2020年高考数学理科一轮复习课后限时集训17 定积分与微积分基本定理
2020届高考数学一轮复习：课时作业17《定积分与微积分基本定理》(含解析)
课时作业17 定积分与微积分基本定理1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )d x 的值为( D )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：⎠⎛01(3x ＋e x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫32x 2＋e x |10＝32＋e －1＝e ＋12.2.(2019·河南郑州一模)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速运动时，在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程是( D )A ．5 mB ．112 m C ．6 mD ．132 m解析：根据题意，汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速运动时，汽车在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋2t |21＝132m ，故选D ．3.若f (x )＝⎩⎨⎧lgx ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( A ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.4．(2019·孝义质检)定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，如⎪⎪⎪⎪⎪⎪13 24＝1×4－2×3＝－2，那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛12x d x 1 32)＝( D )A ．6B ．3C ．32D ．05．(2019·福建省师大附中等校联考)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b x (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为( C )A ．0B ．1C ．－1D ．－2解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ． 由题意得f ′(0)＝0，得b ＝0， ∴f (x )＝－x 2(x －a )．由⎠⎛a0(x 3－ax 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4－13ax 3|0a ＝0－a 44＋a 43＝a 412＝112，得a ＝±1.函数f (x )与x 轴的交点的横坐标一个为0，另一个为A ．,根据图形可知a ＜0，即a ＝－1.6.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC ，则, ⎠⎛-11 [(x ＋1)f (x )]d x 等于( D )A ．2B ．－2,C ．1D ．－1解析：由题图易知,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ≤0，x －1，0＜x ≤1，所以⎠⎛-11 [(x ＋1)f (x )]d x＝⎠⎛-10 (x ＋1)(－x －1)d x ＋⎠⎛01(x ＋1)(x －1)d x＝⎠⎛-1(－x 2－2x －1)d x ＋⎠⎛1(x 2－1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3－x 2－x |0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x |10＝－13－23＝－1，故选D ． 7.(2019·新疆第一次适应性检测)由曲线y ＝x 2＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( B )A ．3B ．103C ．73D ．83解析：由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋1，y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝5(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A(1,2)， 结合图形可知，所求的面积为⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋12×22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x|10＋2＝103.8.(2019·呼和浩特质检)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( B )A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1解析：方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73，,S 2＝ln x |21＝ln2＜lne ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2＜S 1＜S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2＜S 1＜S 3.9.若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝－4__.解析：因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．,所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.,故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 44－x 3|20＝－4. 10.一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为494m ．解析：由题图可知，v (t )＝⎩⎨⎧2t ，0≤t ＜1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3＜t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得s ＝⎠⎜⎜⎛126v (t )d t ＝⎠⎜⎜⎛1212t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ＋1d t＝t 2⎪⎪⎪112＋2t |31＋⎝⎛⎭⎪⎫16t 2＋t |63＝494(m)． 所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494 m ．11.设M ，m 分别是f (x )在区间[a ，b]上的最大值和最小值，则m (b －a )≤⎠⎛a b f (x )d x ≤M (b －a )．根据上述估值定理可知定积分⎠⎛-122－x 2d x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤316，3.解析：因为当－1≤x ≤2时，0≤x 2≤4， 所以116≤2－x 2≤1.根据估值定理得116×[2－(－1)]≤⎠⎛-122－x 2d x ≤1×[2－(－1)]，即316≤⎠⎛-122－x 2d x ≤3.12．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0＜t ＜1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是14 .解析：设图中阴影部分的面积为S (t )， 则S (t )＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋13.由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为S (t )在区间(0,1)上的最小值点，此时S (t )m in ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14.13．(2019·青岛模拟)已知函数f(x)在R 上满足f (π－x )＝f (x )，若当0≤x ≤π2时，f (x )＝cos x －1，则当0≤x ≤π时，f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积为( A )A ．π－2B ．2π－4C ．3π－6D ．4π－8解析：∵当0≤x ≤π2时， f (x )＝cos x －1，∴当π2＜x ≤π时，0≤π－x ＜π2，f (x )＝f (π－x )＝cos(π－x )－1＝－cos x －1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x －1，0≤x ≤π2，－cos x －1，π2＜x ≤π.所以当0≤x ≤π时，f (x )的图象与x 轴所围成图形的面14.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为1.2__.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)得抛物线的函数表达式为y ＝225x 2－2，抛物线与x 轴围成的面积S 1＝15.(2019·郑州调研) ⎠⎛-11 (1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e －2.16.(2019·安徽六安第一中学模拟)已知a ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －x 6展开式的常数项为240，则⎠⎛－aa (x 2＋x cos x ＋4－x 2)d x ＝163＋2π.。
2020年高考数学一轮复习专题17定积分与微积分基本定理(含解析)
专题17定积分与微积分基本定理最新考纲1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.基础知识融会贯通 1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃba f (x )d x ，即ʃbaf (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在ʃba f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃba kf (x )d x ＝k ʃba f (x )d x (k 为常数)； (2)ʃba [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃba f 1(x )d x ±ʃba f 2(x )d x ； (3)ʃba f (x )d x ＝ʃca f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )． 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃba f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|ba ，即ʃba f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )． 【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则ʃa－a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x . (2)若f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.重点难点突破【题型一】定积分的计算【典型例题】函数为奇函数，则（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：由于函数为奇函数，则，得a＝1，因此，．故选：D．【再练一题】计算（cos x+e x）dx为（）A．e B．e 2 C．e D．e【解答】解：（cos x+e x）dx＝（sin x+e x）（）﹣（sin0+e0）＝11．故选：A．思维升华运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．【题型二】定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分【典型例题】（π）dx＝．【解答】解：依题意，（π）dx（）dx（﹣π）dx（）dx ﹣πx|（）dx﹣4π．而（）dx的几何意义为圆x2+y2＝4（y≥0）在x轴上方的面积，所以（）dx﹣4π4π＝﹣2π．故填：﹣2π．【再练一题】，则T的值为（）A．B．C．﹣1 D．1【解答】解：根据题意，M dx的几何意义为半径为1的圆的的面积，则M dx，则T sin2xdx cos2x；故选：A．命题点2 求平面图形的面积【典型例题】由直线与曲线y＝sin x所围成封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：作出对应的图象，则封闭区域的面积S＝﹣∫sin xdx+∫sin xdx﹣∫sin xdx＝﹣（﹣cos x）|（﹣cos x）|（﹣cos x）|＝cos0﹣cos（）﹣cosπ+cos0+cos cosπ＝11+11＝4，故选：B．【再练一题】如图是函数y＝x与函数在第一象限的图象，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由，得两函数的交点为（0，0），（1，1）．所以阴影部分的面积S（）|．故选：A．思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分．(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．【题型三】定积分在物理中的应用【典型例题】汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m【解答】解：根据题意，汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S（3t+1）dt＝（t） 5.5；故选：C．【再练一题】一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J【解答】解：由于F（x）与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F•cos30°，W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx∫12（5﹣x2）dx（5x x3）|12故选：C．思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃba v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .基础知识训练1．【吉林省白城市通榆县第一中学2018-2019学年高二下学期第三次月考（期中)】已知函数，则（ ）A ．16B ．8C ．2cos2D ．2cos2-【答案】A 【解析】，故选：A2．【河南省焦作市2018-2019学年高二下学期期中考试】已知图中的三条曲线所对应的函数分别为，2y x =，314y x =，则阴影部分的面积为（ ）A ．1ln2+B ．ln 2C ．1D ．2【答案】B 【解析】由1y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩得1x =；由14y xx y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2x =. 阴影部分的面积.故选：B3．【河南省豫南六市2018-2019学年高二下学期期中测试】已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（ ）A ．1a <B ．10a -<<C ．1a >或0a <D ．01a <<或0a <【答案】C 【解析】，即1m =则当0a =或1a =时，()f x 不存在极值，不合题意 当0a <时或时，()0f x '<，此时()f x 单调递减时，()0f x '>，此时()f x 单调递增则()f x 在x a =-处取得极大值，满足题意 当01a <<时或时，()0f x '>，此时()f x 单调递增时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在x a =-处取得极小值，不满足题意 当1a >时或()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增 时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在x a =-处取得极大值，满足题意 综上所述：1a >或0a <4．【辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试】下列积分值最大的是（ ） A ．B ．C ．D ．11edx xò【答案】A 【解析】 A ：，函数y=2sin x x 为奇函数，故，，B:，C:表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的14，故，D:，通过比较可知选项A 的积分值最大， 故选：A5．【福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019学年高二下学期期中考试】由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为()A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22【答案】B 【解析】由题意，联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x =， 所以曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为 ，故选B ．6．【湖南省醴陵市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】如图所示,在边长为1的正方形OABC 内任取一点P,用M 表示事件“点P 恰好取自曲线2y x =与直线1y =及y 轴所围成的曲边梯形内”,N 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”,则P(N | M)等于( )A ．14B ．15C ．16D ．71 【答案】A 【解析】根据条件概率的公式得到()P MN 表示落在阴影部分的概率，故答案为：A.7．【福建省福州市2018-2019学年高二下学期期中联考】设0a x =，，12d c x x =⎰，则,,a b c 的大小关系A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C 【解析】 ∵，由定积分的几何意义可知，表示单位圆在第一象限部分与x 轴、y 轴所围成的封闭曲线的面积，等于4π，，∴b a c >>，故选C.8．【广东省佛山市第二中学2018-2019学年第二学期第三次月考高二级】已知，则22()d f x x -⎰的值为（ ）A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．不确定【答案】A 【解析】 由题意，.故选A9．【云南省昭通市云天化中学2018-2019学年高二下学期5月月考】射线与曲线3y x =所围成的图形的面积为（ ） A ．2 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】将射线方程与曲线方程联立34y xy x =⎧⎨=⎩，解得：1100x y =⎧⎨=⎩，2228x y =⎧⎨=⎩ 即射线与曲线3y x =有两个公共点所围成的图形的面积为本题正确选项：B10．【吉林省长春市九台区师范高中、实验高中2018-2019学年高二下学期期中考试】（ ）A ．πB ．2πC ．2D ．1【答案】A 【解析】 因为定积分表示直线与曲线y =围成的图像面积，又y =224x y +=的一半，其中0y ≥；因此定积分表示圆224x y +=的14，其中，故.故选A11．【福建省厦门第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】已知区域，区域，在Ω内随机投掷一点M ，则点M 落在区域A 内的概率是（ ）A ．1112e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1114e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1118e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11e-【答案】B【解析】由题意，对应区域为正方形区域，S==；其面积为224对应区域如下图阴影部分所示：其面积为，所以点M落在区域A内的概率是.故选B12．【湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，当时，由可得；所以，又，所以在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为.故选B13．【福建省晋江市南侨中学2018-2019学年高二下学期第二次月考】若是偶函数，则______．【答案】【解析】由题意，函数是偶函数，则，即，所以，又由定积分的几何意义可知，积分，表示所表示的半径为2的半圆的面积，即，所以，故答案为：．14．【广西南宁市第三中学、柳州市高级中学2018-2019学年高二下学期联考（第三次月考)】二项式的展开式中，第三项系数为2，则11adx x=⎰_______ 【答案】ln2【解析】展开式的通项为，第三项系数为，因为0a >，所以2a =，，故答案为ln 2.15．【新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高二下学期期中考试】__________．【答案】8π 【解析】 由题表示的几何意义为：以（0,0）为圆心，4为半径的圆在第一第二象限的面积，所以=，440xdx -=⎰所以故答案为8π16．【福建省泉州市泉港区第一中学2018-2019学年高二下学期期中考】如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为_________.【答案】14【解析】由图象可知，直线OB 方程为：y x = 则阴影部分面积为：∴所求概率本题正确结果：1417．【云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试】定积分______. 【答案】2 【解析】.18．【四川省树德中学2018-2019学年高二5月阶段性测试】定积分__________．【答案】2π+ 【解析】 因为表示圆224x y +=面积的14，所以；又，所以.故答案为2π+19．【安徽省六安市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次段考】二项式的展开式的第四项的系数为-40，则21ax dx -⎰的值为__________．【答案】3 【解析】二项式（ax ﹣1）5 的通项公式为：T r +15rC =•（ax ）5﹣r •（﹣1）r ，故第四项为35C -•（ax ）2＝﹣10a 2x 2，令﹣10a 2＝﹣40， 解得a ＝±2， 又a ＞0， 所以a ＝2． 则故答案为：3．20．【辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试】曲线22y x =-与曲线y x =所围成的区域的面积为__________. 【答案】92【解析】由曲线y ＝x 与y ＝2-x 2，得2-x 2=x ，解得x ＝-2或x ＝1， 则根据积分的几何意义可知所求的几何面积（2x-231123x x -）1-2| ＝=78+4+2-63= 92； 故答案为：92．能力提升训练1．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】如图，在正方形OABC 内任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分内的概率为（ ）A ．14 B ．13 C ．25D ．37【答案】B 【解析】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），由定积分的定义可得：S 阴1=⎰（1dx ＝（x 3223x -）101|3=，设“点M 恰好取自阴影部分内”为事件A ， 由几何概型中的面积型可得：P （A ），故选：B ．2．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟】如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )A ．e 3B ．43e- C ．33e- D ．13e - 【答案】B 【解析】由题意，阴影部分的面积为，又矩形OABC 的面积为=3OABC S 矩形，所以在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为.故选B3．【江西省新八校2019届高三第二次联考】如图，在半径为π的圆内，有一条以圆心为中心，以2π为周期的曲线，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．1πB ．21π C ．22π D ．无法确定【答案】B 【解析】由题意知：圆的面积为：周期为2π可得：22ππω= 1ω∴=设圆的圆心为：(),0πϕπ⇒=∴曲线为：∴阴影部分面积∴所求概率本题正确选项：B4．【河南省开封市2019届高三第三次模拟】如图，在矩形中的曲线是的一部分，点，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】阴影部分面积为矩形的面积为则此点落在阴影部分的概率故选B 。
2020版高考数学一轮复习 定积分与微积分基本定理配套课时作业(理)(含解析)新人教A版
第5讲 定积分与微积分基本定理配套课时作业1．(2019·山西模拟)已知⎠⎛01(x 2＋mx)d x ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2答案 B解析 根据题意有⎠⎛01(x 2＋mx)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋12mx 2|10＝13＋12m ＝0，解得m ＝－23.故选B .2．(2018·江西模拟)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1答案 B解析 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73，S 2＝ln |x 21＝ln 2＜ln e ＝1，S 3＝e|x21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2＜S 1＜S 3.3．(2019·陕西榆林模拟)若定积分⎠⎛-2m－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 A解析 根据定积分的几何意义知，定积分⎠⎛-2m－x 2－2x d x 的值是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成图形的面积，y ＝－x 2－2x 是圆心(－1，0)，半径为1的上半圆，其面积等于π2，而⎠⎛-2m－x 2－2x d x ＝π4，即在区间[－2，m]上该函数图象应为14的圆，于是得m ＝－1.4．(2019·山西模拟)定积分⎠⎛－22|x 2－2x|d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 D解析 ∵|x 2－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x＜0，－x 2＋2x ，0≤x≤2，∴⎠⎛-22|x 2－2x|d x ＝⎠⎛-20 (x 2－2x)d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2|20＝8.5．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt(g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g答案 C解析 由题意知电视塔高为 ⎠⎛12gt d t ＝12gt 2|21＝2g －12g ＝32g. 6．(2019·枣庄模拟)由y ＝x 2，y ＝x24，y ＝1所围成的图形的面积为( )A.34 B ．1 C.43 D ．2答案 C解析 因为曲线所围成的图形关于y 轴对称，如图所示，面积S 满足12S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x 24d x＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝23，所以S ＝43.故选C .7．(2019·湖北鄂东模拟)如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14 答案 D解析 由x 2＝14得x ＝12或－12(舍去)，∴所求阴影部分的面积为8．(2019·昆明检测)设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x∈[0，1]，2－x ，x∈1，2]，则⎠⎛02f(x)d x 等于( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在 答案 C解析 如图，⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x)d x＝13x 3|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2|21＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.故选C. 9．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－1≤x<0，cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32B ．1C ．2 D.12答案 A解析 如图，根据定积分的几何意义，结合图形可得所求的封闭图形的面积为S ＝12×1×1＋⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝12＋sin π2－sin 0＝32.10．(2019·衡水调研)在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx(k>0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机投一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为( )A.13B.23C.12D.34 答案 A解析 令x －x 2＝0得x ＝0或x ＝1，令kx ＝x －x 2得x ＝0或x ＝1－k.所以M 的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝16，A 的面积为∫1－k 0(x －x 2－kx)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3－k 2x 2|1－k 0＝16(1－k)3，所以161－k 316＝827，所以k ＝13.故选A.11．(2018·丰台模拟)由曲线y ＝1x 与y ＝x ，x ＝4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是( )A.3132B.2316C ．ln 4＋12D ．ln 4＋1答案 C解析 如图，面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛141x d x ＝12x 2|10＋ln x|41＝12＋ln 4.12．(2019·宜昌检测)如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(0，－1)，B(π，－1)，C(π，1)，D(0,1)，正弦曲线f(x)＝sin x 和余弦曲线g(x)＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2π B.1＋22π C.1πD.12π答案 B解析 根据题意，可得阴影部分是曲线f(x)＝sin x ，g(x)＝cos x 与直线x ＝π围成的区域，其面积为.又矩形ABCD 的面积为2π，得该点落在阴影区域内的概率是1＋22π.故选B .13．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x≤3π2与坐标轴所围成的图形面积是________．答案 3解析结合图形知其面积为14．正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1，1)分别在抛物线y ＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案2 3解析由几何概型的概率计算公式可知，所求概率。
2020版广西高考人教A版数学(理)一轮复习考点规范练：17 定积分与微积分基本定理 Word版含解析
23
D. 3
又∫20 f(x)dx=2f(x0),∴83a+2b=2a������20+2b.
23
又 x0>0,∴x0= 3 .
{ 12.某物体在力
F(x)=
10,0 ≤ ������ 3������ + 4,������
≤ >
22,(单位:N)的作用下沿与力
F(x)相同的方向运动了
4
m,则力
F(x)做
能力提升
11.设函数 f(x)=ax2+b(a≠0),若∫20 f(x)dx=2f(x0),x0>0,则 x0=( )
3
A.2
B. 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C.1
答案 D
解析∵函数 f(x)=ax2+b(a≠0),
( ) ∴∫20 f(x)dx=
������������3
3 + ������������
|20
=
8
3a+2b,
������ = 2������, ������ = 4 - 2������2,得
������ ������
= =
12,或
������ = ������ =
- 2, - 4,
( ) 故直线 y=2x 及曲线 y=4-2x2 围成的封闭图形的面积为 S=∫1- 2 (4-2x2-2x)dx= 4������ - 23������3 - ������2 | -12=9.
A.2
B.3
C.1
D.8
答案 A
( ) 解析 S=∫������2 0(m- ������)dx= ������������ - 23������32 |���0���2=m3-23m3=83,解得 m=2.
2020高考理科数学一轮复习学案：3.4 定积分与微积分基本定理
3．4 定积分与微积分基本定理1．定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n)作和式∑i ＝1nb －anf (ξi )．当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作______________，即⎠⎛ab f (x )d x ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )．其中f (x )称为______________，x 称为______________，f (x )dx 称为______________，[a ，b ]为______________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号．(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、_______________________.2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝____________(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________________； (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝_____________________(其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理 一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x ) ，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝___________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．常常把F (b )－F (a )记作___________，即⎠⎛ab f (x )d x ＝___________＝___________. 4．定积分在几何中的简单应用(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝____________.(2)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为负时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝____________. (3)当x ∈[a ，b ]有f (x )＞g(x )＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )，y ＝g(x )围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝____________.一般情况下，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(4)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－aaf (x )d x ＝____________(其中a >0)；若f (x )是奇函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝__________(其中a >0)． 5．定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V (t)，速度方向不变)在时间区间[a ，b ]上所经过的路程S ＝____________. (2)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所做的功W ＝____________. (3)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所做的功W ＝____________.自查自纠： 1．(1)⎠⎛a b f (x )d x 被积函数 积分变量 被积式 积分区间(2)分割 取极限2．(1)k ⎠⎛a b f (x )d x (2)⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x(3)⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x3．F (b )－F (a ) F (x )|b a F (b )－F (a ) F (x )|b a 4．(1)⎠⎛ab f (x )d x (2)－⎠⎛ab f (x )d x(3)⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x (4)2⎠⎛0a f (x )d x 05．(1)⎠⎛a b V (t )d t (2)⎠⎛a b F (x )d x (3)⎠⎛ab F (x )cos θd x(2017·西安调研)定积分∫10(2x ＋e x)d x 的值为 ( ) A ．e ＋2 B ．e ＋1 C ．e D ．e －1解：∫10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝1＋e 1－1＝e.故选C .(教材改编题)汽车以v ＝(3t ＋2)m /s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是( )A.132 m B ．6 m C.152 m D ．7 m 解：s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t |21＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m )．故选A.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为 ( )A.2π5B.43C.32D.π2解：根据图象可知，二次函数f (x )＝－(x ＋1)(x－1)＝1－x 2.所以所求面积S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3|10＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.故选B.⎠⎛－111－x 2 dx ＝________.解：⎠⎛－111－x 2 dx 的几何意义是单位圆位于x轴及其上方部分的面积，圆的面积为π，所以⎠⎛－111－x 2 dx ＝π2.故填π2.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈（1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x ＝________.解：⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋lne ＝43.故填43.类型一 计算简单函数的定积分(1)∫π20sin 2x2d x ＝________.解：∫π20sin 2x2dx ＝∫π201－cos x 2dx ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π20＝π4－12.故填π4－12. (2)若∫π20(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a ＝________.解：∫π20(sin x －a cos x )dx ＝(－cos x －a sin x )|π20＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2，所以a ＝－1.故填－1.(3)(2018·河北五校联考)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0， f [f (1)]＝1，则a ＝________.解：因为f (1)＝lg1＝0，f (0)＝⎠⎛0a3t2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f [f (1)]＝1得a 3＝1，a ＝1.故填1.点 拨：求定积分的步骤：第一步，把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；第二步，利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；第三步，分别用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )；第四步，利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；第五步，计算所求定积分的值．(1)下列值等于1的是 ( )A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x 解：⎠⎛011d x ＝x |10＝1.故选C.(2)若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2(a >1)，则a ＝________.解：由题意知⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln2，解得a ＝2.故填2.(3)设a ＝22ππ-⎰2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中x 的系数为 ( )A ．240B ．193C ．7D ．－6解：a ＝22ππ-⎰2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝22ππ-⎰(cos x －sin x )d x ＝22ππ-⎰cos x d x －22ππ-⎰sin x d x ＝2，⎝⎛⎭⎫a x －1x 6＝⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中x 的系数为C 2624(－1)2＝240.故选A.类型二 计算分段函数的定积分(1)定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________.解：⎠⎛－22|x 2－2x |dx ＝⎠⎛－20(x 2－2x )dx ＋⎠⎛02(2x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 2|0－2＋⎝⎛⎭⎫x 2－x 33|20＝83＋4＋4－83＝8.故填8.(2)(2017·昆明检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]， 则∫20f (x )dx 等于 ( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在解：如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2|21 ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56.故选C .点 拨：对分段函数f (x )求定积分，关键是找到分段点c 后利用定积分性质⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x 求解．(1)定积分⎠⎛02|x －1|d x ＝________.解：⎠⎛02|x －1|d x＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22|10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x |21＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫222－2－⎝⎛⎭⎫12－1＝1.故填1. (2)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，|x |≤2，1＋x 2，2＜x ≤4 在区间[－2，4]上的定积分．解：⎠⎛－24f (x )d x ＝⎠⎛－22(2x ＋1)d x ＋⎠⎛24(1＋x 2)d x＝(x 2＋x )|2－2＋⎝⎛⎭⎫x ＋13x 3|42＝743.类型三 利用定积分求平面图形的面积(1)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)，且当x ∈[0，2]时，4x ≥x 3，所以所求面积S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4|20＝4.故选D.(2)(2017·江西九校联考)⎠⎛01(2x ＋1－x 2)dx ＝________.解：⎠⎛011－x 2dx 表示单位圆面积的14，所以⎠⎛011－x 2dx ＝π4.又因为⎠⎛012xdx ＝x 2|10＝1，所以⎠⎛01(2x ＋1－x 2)dx ＝⎠⎛012xdx ＋⎠⎛011－x 2dx＝1＋π4.故填1＋π4.点 拨：用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．(1)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623解：由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝1， 得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －112x 3|20＝2⎝⎛⎭⎫2－812＝83.故选C. (2)给出如下命题：①⎠⎛b a 1d x ＝⎠⎛ab 1d t ＝b －a (a 、b 为常数，且a <b )；②⎠⎛－101－x 2d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＝π4；③⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x (a >0)． 其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解：由于⎠⎛b a 1d x ＝a －b ，⎠⎛ab 1d t ＝b －a ，①错误；由定积分的几何意义知，⎠⎛－11－x 2 d x 和⎠⎛011－x 2d x 都表示单位圆面积的14，所以都等于π4，②正确；只有当函数f (x )为偶函数时，才有⎠⎛－aa f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ，③错误．故选B.类型四 定积分在物理中的简单应用一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是 ( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2 解：令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，所以汽车行驶的距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）|40＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.故选C .点 拨：物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J (x 的单位：m ，力的单位：N )． 解：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从 x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |101＝342(J )．故填342.1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则反向求F (x )． 2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．1．定积分⎠⎛013x d x 的值为 ( )A ．3B ．1 C.32 D.12解：⎠⎛013x d x ＝32x 2|10＝32.故选C. 2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛－11f (x )dx 等于( )A.⎠⎛－11x 2d xB.⎠⎛－112x d xC.⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD.⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x解：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，所以⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－102x dx ＋⎠⎛01x 2d x .故选D.3．由曲线y ＝x 2＋2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为 ( ) A.16 B.13 C.56 D.23解：在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，由x 2＋2x ＝x ，得交点坐标为(－1，－1)和(0，0)，故所求面积为S ＝ ⎠⎛－1[x －(x 2＋2x )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3－12x 2|0－1＝－13＋12＝16.故选A.4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力的单位：N ，位移单位：m )作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A.233 J B. 3 J C.433 J D ．2 3 J解：⎠⎛12F (x )cos30°d x ＝32⎠⎛12(5－x 2)d x ＝32⎝⎛⎭⎫5x －13x 3|21＝433， 所以F (x )做的功为433J ．故选C.5．(2016·湖南四校联考)已知S 1＝⎠⎛12x d x ， S 2＝⎠⎛12e x d x ，S 3＝⎠⎛12x 2d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为 ( ) A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 1＜S 3＜S 2 C ．S 3＜S 2＜S 1 D ．S 2＜S 3＜S 1 解：S 1＝12x 2|21＝12(4－1)＝32， S 3＝13x 3|21＝13(8－1)＝73＞32，S 2＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)＞e ＞73.故选B. 6．若函数f (x )，g(x )满足⎠⎛－11f (x )g(x )dx ＝0，则称f (x )，g(x )为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g(x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g(x )＝x －1；③f (x )＝x ，g(x )＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：由①得f (x )g (x )＝sin 12x cos 12x ＝12sin x ，是奇函数，所以⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，所以①为区间[－1，1]上的正交函数；由②得⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝⎠⎛－11(x 2－1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 1－1＝－43≠0，所以②不是区间[－1，1]上的正交函数；由③得f (x )g (x )＝x 3，是奇函数，所以⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，所以③是区间[－1，1]上的正交函数．故选C.7．(2018·山西临汾质检)若m >1，则f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1－4x 2dx 的最小值为________． 解：f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1－4x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋4x |m 1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．故填－1.8．(2018·湖北八校联考)考虑函数y ＝e x 与函数y ＝ln x 的图象关系，计算：∫e 21ln x d x ＝____________.解：y ＝e x 与y ＝ln x 的图象关于直线y ＝x 对称，∫e 21ln x d x 即表示y ＝0，y ＝ln x ，x ＝e 2围成封闭区域的面积，由对称性知∫e 21ln x d x ＝2e 2－⎠⎛02e x d x ＝e 2＋1.故填e 2＋1.9．(2016·武汉模拟)如图，矩形OABC 的四个顶点依次为O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎫π2，0，B ⎝⎛⎭⎫π2，1，C (0，1)，记线段OC ，CB 以及y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，求点M 落在区域Ω内的概率．解：阴影部分的面积为∫π20(1－sin x )d x ＝π2－1，矩形的面积是π2×1＝π2，所以点M 落在区域Ω内的概率为π2－1π2＝1－2π.10．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x 得交点A (1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2|31＝23＋16＋43＝136.11．在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解：S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－∫t 0x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝∫1t x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23. 所以当t ＝12时，S (t)最小，且最小值为14.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解： 以梯形的底边为x轴，底边的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y ＝ax 2，根据已知点(5，2)在该抛物线上，代入抛物线方程得a ＝225，即抛物线方程为y ＝225x 2，故抛物线与直线y ＝2所围成的图形的面积为2∫50⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫2x －275x 3|50＝403，梯形的面积为10＋62×2＝16.最大流量之比等于其截面面积之比，故比值为16403＝4840＝1.2.故填1.2.3．4 定积分与微积分基本定理1．定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n)作和式∑i ＝1nb －anf (ξi )．当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作______________，即⎠⎛ab f (x )d x ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )．其中f (x )称为______________，x 称为______________，f (x )dx 称为______________，[a ，b ]为______________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号．(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、_______________________.2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝____________(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________________； (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝_____________________(其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理 一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x ) ，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝___________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．常常把F (b )－F (a )记作___________，即⎠⎛ab f (x )d x ＝___________＝___________. 4．定积分在几何中的简单应用(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝____________.(2)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为负时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝____________. (3)当x ∈[a ，b ]有f (x )＞g(x )＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )，y ＝g(x )围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝____________.一般情况下，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(4)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－aaf (x )d x ＝____________(其中a >0)；若f (x )是奇函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝__________(其中a >0)． 5．定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V (t)，速度方向不变)在时间区间[a ，b ]上所经过的路程S ＝____________. (2)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所做的功W ＝____________. (3)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所做的功W ＝____________.自查自纠： 1．(1)⎠⎛a b f (x )d x 被积函数 积分变量 被积式 积分区间(2)分割 取极限2．(1)k ⎠⎛a b f (x )d x (2)⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x(3)⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x3．F (b )－F (a ) F (x )|b a F (b )－F (a ) F (x )|b a 4．(1)⎠⎛ab f (x )d x (2)－⎠⎛ab f (x )d x(3)⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x (4)2⎠⎛0a f (x )d x 05．(1)⎠⎛a b V (t )d t (2)⎠⎛a b F (x )d x (3)⎠⎛ab F (x )cos θd x(2017·西安调研)定积分∫10(2x ＋e x)d x 的值为 ( ) A ．e ＋2 B ．e ＋1 C ．e D ．e －1解：∫10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝1＋e 1－1＝e.故选C .(教材改编题)汽车以v ＝(3t ＋2)m /s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是( )A.132 m B ．6 m C.152 m D ．7 m 解：s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t |21＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m )．故选A.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为 ( )A.2π5B.43C.32D.π2解：根据图象可知，二次函数f (x )＝－(x ＋1)(x－1)＝1－x 2.所以所求面积S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3|10＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.故选B.⎠⎛－111－x 2 dx ＝________.解：⎠⎛－111－x 2 dx 的几何意义是单位圆位于x轴及其上方部分的面积，圆的面积为π，所以⎠⎛－111－x 2 dx ＝π2.故填π2.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈（1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x ＝________.解：⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋lne ＝43.故填43.类型一 计算简单函数的定积分(1)∫π20sin 2x2d x ＝________.解：∫π20sin 2x2dx ＝∫π201－cos x 2dx ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π20＝π4－12.故填π4－12. (2)若∫π20(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a ＝________.解：∫π20(sin x －a cos x )dx ＝(－cos x －a sin x )|π20＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2，所以a ＝－1.故填－1.(3)(2018·河北五校联考)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0， f [f (1)]＝1，则a ＝________.解：因为f (1)＝lg1＝0，f (0)＝⎠⎛0a3t2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f [f (1)]＝1得a 3＝1，a ＝1.故填1.点 拨：求定积分的步骤：第一步，把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；第二步，利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；第三步，分别用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )；第四步，利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；第五步，计算所求定积分的值．(1)下列值等于1的是 ( )A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x 解：⎠⎛011d x ＝x |10＝1.故选C.(2)若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2(a >1)，则a ＝________.解：由题意知⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln2，解得a ＝2.故填2.(3)设a ＝22ππ-⎰2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中x 的系数为 ( )A ．240B ．193C ．7D ．－6解：a ＝22ππ-⎰2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝22ππ-⎰(cos x －sin x )d x ＝22ππ-⎰cos x d x －22ππ-⎰sin x d x ＝2，⎝⎛⎭⎫a x －1x 6＝⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中x 的系数为C 2624(－1)2＝240.故选A.类型二 计算分段函数的定积分(1)定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________.解：⎠⎛－22|x 2－2x |dx ＝⎠⎛－20(x 2－2x )dx ＋⎠⎛02(2x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 2|0－2＋⎝⎛⎭⎫x 2－x 33|20＝83＋4＋4－83＝8.故填8.(2)(2017·昆明检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]， 则∫20f (x )dx 等于 ( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在解：如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2|21 ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56.故选C .点 拨：对分段函数f (x )求定积分，关键是找到分段点c 后利用定积分性质⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x 求解．(1)定积分⎠⎛02|x －1|d x ＝________.解：⎠⎛02|x －1|d x＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22|10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x |21＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫222－2－⎝⎛⎭⎫12－1＝1.故填1. (2)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，|x |≤2，1＋x 2，2＜x ≤4 在区间[－2，4]上的定积分．解：⎠⎛－24f (x )d x ＝⎠⎛－22(2x ＋1)d x ＋⎠⎛24(1＋x 2)d x＝(x 2＋x )|2－2＋⎝⎛⎭⎫x ＋13x 3|42＝743.类型三 利用定积分求平面图形的面积(1)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)，且当x ∈[0，2]时，4x ≥x 3，所以所求面积S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4|20＝4.故选D.(2)(2017·江西九校联考)⎠⎛01(2x ＋1－x 2)dx ＝________.解：⎠⎛011－x 2dx 表示单位圆面积的14，所以⎠⎛011－x 2dx ＝π4.又因为⎠⎛012xdx ＝x 2|10＝1，所以⎠⎛01(2x ＋1－x 2)dx ＝⎠⎛012xdx ＋⎠⎛011－x 2dx＝1＋π4.故填1＋π4.点 拨：用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．(1)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623解：由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝1， 得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －112x 3|20＝2⎝⎛⎭⎫2－812＝83.故选C. (2)给出如下命题：①⎠⎛b a 1d x ＝⎠⎛ab 1d t ＝b －a (a 、b 为常数，且a <b )；②⎠⎛－101－x 2d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＝π4；③⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x (a >0)． 其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解：由于⎠⎛b a 1d x ＝a －b ，⎠⎛ab 1d t ＝b －a ，①错误；由定积分的几何意义知，⎠⎛－11－x 2 d x 和⎠⎛011－x 2d x 都表示单位圆面积的14，所以都等于π4，②正确；只有当函数f (x )为偶函数时，才有⎠⎛－aa f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ，③错误．故选B.类型四 定积分在物理中的简单应用一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是 ( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2 解：令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，所以汽车行驶的距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）|40＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.故选C .点 拨：物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J (x 的单位：m ，力的单位：N )． 解：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从 x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |101＝342(J )．故填342.1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则反向求F (x )． 2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．1．定积分⎠⎛013x d x 的值为 ( )A ．3B ．1 C.32 D.12解：⎠⎛013x d x ＝32x 2|10＝32.故选C. 2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛－11f (x )dx 等于( )A.⎠⎛－11x 2d xB.⎠⎛－112x d xC.⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD.⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x解：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，所以⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－102x dx ＋⎠⎛01x 2d x .故选D.3．由曲线y ＝x 2＋2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为 ( ) A.16 B.13 C.56 D.23解：在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，由x 2＋2x ＝x ，得交点坐标为(－1，－1)和(0，0)，故所求面积为S ＝ ⎠⎛－1[x －(x 2＋2x )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3－12x 2|0－1＝－13＋12＝16.故选A.4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力的单位：N ，位移单位：m )作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A.233 J B. 3 J C.433 J D ．2 3 J解：⎠⎛12F (x )cos30°d x ＝32⎠⎛12(5－x 2)d x ＝32⎝⎛⎭⎫5x －13x 3|21＝433， 所以F (x )做的功为433J ．故选C.5．(2016·湖南四校联考)已知S 1＝⎠⎛12x d x ， S 2＝⎠⎛12e x d x ，S 3＝⎠⎛12x 2d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为 ( ) A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 1＜S 3＜S 2 C ．S 3＜S 2＜S 1 D ．S 2＜S 3＜S 1 解：S 1＝12x 2|21＝12(4－1)＝32， S 3＝13x 3|21＝13(8－1)＝73＞32，S 2＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)＞e ＞73.故选B. 6．若函数f (x )，g(x )满足⎠⎛－11f (x )g(x )dx ＝0，则称f (x )，g(x )为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g(x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g(x )＝x －1；③f (x )＝x ，g(x )＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：由①得f (x )g (x )＝sin 12x cos 12x ＝12sin x ，是奇函数，所以⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，所以①为区间[－1，1]上的正交函数；由②得⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝⎠⎛－11(x 2－1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 1－1＝－43≠0，所以②不是区间[－1，1]上的正交函数；由③得f (x )g (x )＝x 3，是奇函数，所以⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，所以③是区间[－1，1]上的正交函数．故选C.7．(2018·山西临汾质检)若m >1，则f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1－4x 2dx 的最小值为________． 解：f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1－4x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋4x |m 1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．故填－1.8．(2018·湖北八校联考)考虑函数y ＝e x 与函数y ＝ln x 的图象关系，计算：∫e 21ln x d x ＝____________.解：y ＝e x 与y ＝ln x 的图象关于直线y ＝x 对称，∫e 21ln x d x 即表示y ＝0，y ＝ln x ，x ＝e 2围成封闭区域的面积，由对称性知∫e 21ln x d x ＝2e 2－⎠⎛02e x d x ＝e 2＋1.故填e 2＋1.9．(2016·武汉模拟)如图，矩形OABC 的四个顶点依次为O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎫π2，0，B ⎝⎛⎭⎫π2，1，C (0，1)，记线段OC ，CB 以及y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，求点M 落在区域Ω内的概率．解：阴影部分的面积为∫π20(1－sin x )d x ＝π2－1，矩形的面积是π2×1＝π2，所以点M 落在区域Ω内的概率为π2－1π2＝1－2π.10．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x 得交点A (1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2|31＝23＋16＋43＝136.11．在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解：S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－∫t 0x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝∫1t x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23. 所以当t ＝12时，S (t)最小，且最小值为14.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解： 以梯形的底边为x轴，底边的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y ＝ax 2，根据已知点(5，2)在该抛物线上，代入抛物线方程得a ＝225，即抛物线方程为y ＝225x 2，故抛物线与直线y ＝2所围成的图形的面积为2∫50⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫2x －275x 3|50＝403，梯形的面积为10＋62×2＝16.最大流量之比等于其截面面积之比，故比值为16403＝4840＝1.2.故填1.2.3．4 定积分与微积分基本定理1．定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n)作和式∑i ＝1nb －anf (ξi )．当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作______________，即⎠⎛ab f (x )d x ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )．其中f (x )称为______________，x 称为______________，f (x )dx 称为______________，[a ，b ]为______________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号．(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、_______________________.2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝____________(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________________； (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝_____________________(其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理 一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x ) ，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝___________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．常常把F (b )－F (a )记作___________，即⎠⎛ab f (x )d x ＝___________＝___________. 4．定积分在几何中的简单应用(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝____________.(2)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为负时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝____________. (3)当x ∈[a ，b ]有f (x )＞g(x )＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )，y ＝g(x )围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝____________.一般情况下，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(4)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－aaf (x )d x ＝____________(其中a >0)；若f (x )是奇函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝__________(其中a >0)． 5．定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V (t)，速度方向不变)在时间区间[a ，b ]上所经过的路程S ＝____________. (2)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所做的功W ＝____________. (3)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所做的功W ＝____________.自查自纠： 1．(1)⎠⎛a b f (x )d x 被积函数 积分变量 被积式 积分区间(2)分割 取极限2．(1)k ⎠⎛a b f (x )d x (2)⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x(3)⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x3．F (b )－F (a ) F (x )|b a F (b )－F (a ) F (x )|b a 4．(1)⎠⎛ab f (x )d x (2)－⎠⎛ab f (x )d x(3)⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x (4)2⎠⎛0a f (x )d x 05．(1)⎠⎛a b V (t )d t (2)⎠⎛a b F (x )d x (3)⎠⎛ab F (x )cos θd x(2017·西安调研)定积分∫10(2x ＋e x)d x 的值为 ( ) A ．e ＋2 B ．e ＋1 C ．e D ．e －1解：∫10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝1＋e 1－1＝e.故选C .(教材改编题)汽车以v ＝(3t ＋2)m /s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是( )A.132 m B ．6 m C.152 m D ．7 m 解：s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t |21＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m )．故选A.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为 ( )A.2π5B.43C.32D.π2解：根据图象可知，二次函数f (x )＝－(x ＋1)(x－1)＝1－x 2.所以所求面积S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3|10＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.故选B.⎠⎛－111－x 2 dx ＝________.解：⎠⎛－111－x 2 dx 的几何意义是单位圆位于x轴及其上方部分的面积，圆的面积为π，所以⎠⎛－111－x 2 dx ＝π2.故填π2.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈（1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x ＝________.解：⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋lne ＝43.故填43.类型一 计算简单函数的定积分(1)∫π20sin 2x2d x ＝________.解：∫π20sin 2x2dx ＝∫π201－cos x 2dx ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π20＝π4－12.故填π4－12. (2)若∫π20(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a ＝________.解：∫π20(sin x －a cos x )dx ＝(－cos x －a sin x )|π20＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2，所以a ＝－1.故填－1.(3)(2018·河北五校联考)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0， f [f (1)]＝1，则a ＝________.解：因为f (1)＝lg1＝0，f (0)＝⎠⎛0a3t2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f [f (1)]＝1得a 3＝1，a ＝1.故填1.点 拨：求定积分的步骤：第一步，把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；第二步，利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；第三步，分别用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )；第四步，利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；第五步，计算所求定积分的值．(1)下列值等于1的是 ( )A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x 解：⎠⎛011d x ＝x |10＝1.故选C.(2)若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2(a >1)，则a ＝________.解：由题意知⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln2，解得a ＝2.故填2.(3)设a ＝22ππ-⎰2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中x 的系数为 ( )A ．240B ．193C ．7D ．－6解：a ＝22ππ-⎰2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝22ππ-⎰(cos x －sin x )d x ＝22ππ-⎰cos x d x －22ππ-⎰sin x d x ＝2，⎝⎛⎭⎫a x －1x 6＝⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中x 的系数为C 2624(－1)2＝240.故选A.类型二 计算分段函数的定积分(1)定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________.解：⎠⎛－22|x 2－2x |dx ＝⎠⎛－20(x 2－2x )dx ＋⎠⎛02(2x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 2|0－2＋⎝⎛⎭⎫x 2－x 33|20＝83＋4＋4－83＝8.故填8.(2)(2017·昆明检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]， 则∫20f (x )dx 等于 ( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在解：如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2|21 ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56.故选C .点 拨：对分段函数f (x )求定积分，关键是找到分段点c 后利用定积分性质⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x 求解．(1)定积分⎠⎛02|x －1|d x ＝________.解：⎠⎛02|x －1|d x＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22|10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x |21＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫222－2－⎝⎛⎭⎫12－1＝1.故填1. (2)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，|x |≤2，1＋x 2，2＜x ≤4 在区间[－2，4]上的定积分．解：⎠⎛－24f (x )d x ＝⎠⎛－22(2x ＋1)d x ＋⎠⎛24(1＋x 2)d x＝(x 2＋x )|2－2＋⎝⎛⎭⎫x ＋13x 3|42＝743.类型三 利用定积分求平面图形的面积(1)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)，且当x ∈[0，2]时，4x ≥x 3，所以所求面积S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4|20＝4.故选D.(2)(2017·江西九校联考)⎠⎛01(2x ＋1－x 2)dx ＝________.解：⎠⎛011－x 2dx 表示单位圆面积的14，所以⎠⎛011－x 2dx ＝π4.又因为⎠⎛012xdx ＝x 2|10＝1，所以⎠⎛01(2x ＋1－x 2)dx ＝⎠⎛012xdx ＋⎠⎛011－x 2dx＝1＋π4.故填1＋π4.点 拨：用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．(1)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623解：由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝1， 得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －112x 3|20＝2⎝⎛⎭⎫2－812＝83.故选C. (2)给出如下命题：①⎠⎛b a 1d x ＝⎠⎛ab 1d t ＝b －a (a 、b 为常数，且a <b )；②⎠⎛－101－x 2d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＝π4；③⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x (a >0)． 其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解：由于⎠⎛b a 1d x ＝a －b ，⎠⎛ab 1d t ＝b －a ，①错误；。
高考数学一轮复习课后限时集训17定积分与微积分基本定理理含解析北师大版
C．－2或4D．4
D[由 (2x－2)dx＝8得，(x2－2x) ＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．]
2．(20xx·四平模拟) dx的值为( )
A. B．
C．πD．2π
A[令y＝ ，则(x－1)2＋y2＝1，(y＞0)．
∴ 表示由曲线y＝ ，x＝0，x＝1及x轴围成的曲边图形的面积，即圆面积的 ，∴ ＝ .]
3．(20xx·柳州一模)设f(x)＝ －xcostdt，则f ＝( )
A．1B．sin
C．sin2D．2sin
D[∵f(x)＝ －xcostdt＝sint ＝2sinx，
∴f ＝2sin ＝ ，
∴f ＝2sin .]
4．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2 B．4
A[如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A.]
6．如果1 N的力能拉长弹簧1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为( )
A．0.18 JB．0.26 J
C．0.12 JD．0.28 J
A[设F(x)＝kx，当x＝0.01 m时，F(x)＝1，可知k＝100.
∴所耗费的功W＝∫ 100xdx＝50x2 ＝0.18J．]
刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t)＝v0－at＝20－4t.
令v(t)＝0，可得t＝5s，
所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：
(20－4t)dt＝(20t－2t2) ＝50(m)．
即汽车从开始刹车到停止，共走了50m．]
10．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若 f(x)dx＝3f(x0)，x0＞0，则x0＝________.
高考数学一轮复习课后限时集训17定积分与微积分基本定理理含解析北师大版
高考数学一轮复习 限时集训(十七)定积分与微积分基本
限时集训(十七) 定积分与微积分基本定理(限时：45分钟 满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1. ⎠⎛1e1＋ln x x d x ＝( )A ．ln x ＋12ln 2xB.2e －1C.32D.122．(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π23．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若⎠⎛03f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0等于( ) A ．±1 B. 2 C ．± 3D ．24．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈1，2]，则⎠⎛02f (x )d x ＝( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在5．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 m B.803 m C.403m D.203m6．(2013·青岛模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．8．在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ，则该数列的前5项之和S 5等于________．9．(2013·孝感模拟)已知a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则当⎠⎛0a(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．计算下列定积分： (1)20π⎰sin 2x d x ；(2) ⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ； (3)120⎰e 2xd x .11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．12．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．答 案限时集训(十七) 定积分与微积分基本定理1．C 2.B 3.C 4.C 5.A 6.D 7．4＋2ln 2 8.2423 9.π410．解：(1)20π⎰sin 2x d x ＝20π⎰1－cos 2x2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －14sin 2x 20π＝⎝⎛⎭⎪⎫π4－14sin π－0＝π4.(2) ⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x ＋ln x 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92＋6＋ln 3－(2＋4＋ln 2) ＝92＋ln 3－ln 2＝92＋ln 32. (3)120⎰e 2xd x ＝12e 2x 120＝12e －12. 11．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16.又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S2＝10-k ⎰(x －x 2－kx )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 310-k＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.12．解：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )，则⎠⎛0x (kx －x 2)d x ＝⎠⎛x 2(x 2－kx )d x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 30x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 22x，解得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 2，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.。
2020版高中数学(理)一轮复习：第3章 第17讲 定积分与微积分基本定理
＝b时，力F(x)所做的功是W＝
b
F(x)dx.当力的方向与位移的方向不一致时，应求出和
a
位移方向同向的分力，再求其所做的功．
(1)从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时
刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为( C )
a
a kbf(x)dxc(k 为常数)
(2)bkf(x)dx＝____a _______________；
a
(3)b[f1(x)±f2(x)]dx＝___ba_f1_(_x_)d_x_±__abf_本定理：如果连续函数 f(x)是函数 F (x)的导函数，即 f(x)＝F ′(x)， bf(x)dx＝F (b)－F (a) 则有__a_________________．
A.2＋π
π B.2
C.－2＋π2
D.π4－2
【解析】 f(x)dx＝ sinxdx＋ 1－x2 dx， sinxdx＝－cosx ＝－2，
1 1－x2 dx的几何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积的 4 ，故
π
π
4，所以 f(x)dx＝4－2.
1－x2 dx＝
(4)(2018·长沙一模)已知a>0，
故
(x2＋x＋ 4－x2 )dx＝2
(x2＋
4－x2
)dx＝2
1x2dx＋1
0
0
4－x2dx
＝
1 π×22 1
2 2π
23＋ 12 ＋2×1× 3＝3＋ 3 ＋ 3.
2020年高考理科数学一轮复习：定积分与微积分基本定理
[a，b]叫做积分区间， _____f(_x_)_____叫做被积函数， ______x______叫Байду номын сангаас做积分变量， _____f(_x_)_d_x___叫做被积式．
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(2)定积分的几何意义
大一轮复习·数学·RJ（理）
f(x) f(x)≥0
解析：原式＝
1
x2dx＋
1
－1
－1
1－x2
dx＝
1 3
x3
1 －1
＋
1
－1
1－x2
dx＝
2 3
＋
1
1－x2
dx，
1
1－x2
dx等于半径为1的圆面积的
1 2
，即
1
1－x2 dx
－1
－1
－1
＝π2 ，故原式＝π2 ＋23.
正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的 曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．
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(3)定积分的三个性质
①abkf(x)dx＝___k_ab_f_(x_)b_df_1x(_x_)_d(xk±为常bf2数(x))d；x
－1
－1
0
0
0
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3．(知识点2)e＋1x－1 1dx＝________． ⇐ 源自选修2－2P66A组T14 3
2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试17 定积分与微积分基本定理
考点测试17 定积分与微积分基本定理高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 2．了解微积分基本定理的含义一、基础小题1．计算：⎠⎛01(e x ＋2x)d x ＝( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 ★答案★ C解析 ⎠⎛01(e x ＋2x)d x ＝(e x ＋x 2)10＝e ．故选C ．2．若⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a>1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 ★答案★ A 解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x)a1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，即a ＝2． 3．设f(x)＝(e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f(x)d x ＝( )A ．－43B ．－23C ．23D ．43 ★答案★ D解析 依题意得，⎠⎛0e f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1x d x ＝13x 310＋ln x e 1＝13＋1＝43．4．已知函数y ＝f(x)的图象为如图所示的折线ABC ，则⎠⎛1－1[(x ＋1)f(x)]d x ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1 ★答案★ D解析 由图易知f(x)＝所以⎠⎛1－1[(x ＋1)f(x)]d x ＝⎠⎛0－1(x ＋1)(－x －1)d x ＋⎠⎛10(x ＋1)(x －1)d x ＝⎠⎛0－1(－x 2－2x －1)d x ＋⎠⎛10(x 2－1)d x ＝－13x 3－x 2－x0－1＋13x 3－x10＝－13－23＝－1，故选D ．5．设f(x)是一条连续的曲线，且为偶函数，在对称区间[－a ，a]上的定积分为⎠⎛a －a f(x)d x ，由定积分的几何意义和性质，得⎠⎛a －af (x )d x 可表示为( ) A ．－⎠⎛a －a f(x)d x B ．2⎠⎛0－a f(x)d xC ．12⎠⎛0a f(x)d x D ．⎠⎛0－a f(x)d x★答案★ B解析 偶函数的图象关于y 轴对称，故⎠⎛a －a f(x)d x 对应的几何区域关于y 轴对称，因而其可表示为2⎠⎛0－a f(x)d x ，应选B ．6．设函数f(x)＝ax 2＋b(a ≠0)，若⎠⎛03f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0等于( )A ．±1B ． 2C ．±3D ．2★答案★ C 解析 ⎠⎛3f (x )d x ＝⎠⎛03(ax 2＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13ax 3＋bx 30＝9a ＋3b ，∴9a ＋3b ＝3(ax 20＋b)，即x 20＝3，x 0＝±3，故选C ．7．给出如下命题：①⎠⎛b a d x ＝⎠⎛a b d t ＝b －a (a ，b 为常数，且a<b)；②⎠⎛0－11－x 2d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＝π4； ③⎠⎛a －af (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x (a >0)． 其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ★答案★ B解析 由于⎠⎛b a d x ＝a －b ，⎠⎛a b d t ＝b －a ，所以①错误；由定积分的几何意义知，⎠⎛0－11－x 2d x 和⎠⎛011－x 2d x 都表示半径为1的圆的14面积，所以都等于π4，所以②正确；只有当函数f(x)为偶函数时，才有⎠⎛a －af (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ，所以③错误．故选B ．8．由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点M(0，－3)和点N(3，0)处的两条切线所围成的图形的面积为( )A ．94B ．92C ．74 D ．2 ★答案★ A解析 由y ＝－x 2＋4x －3，得y ′＝－2x ＋4，∴y ′x ＝0＝4，在M 点处的切线方程为y ＝4x －3；y ′x ＝3＝－2，在N 点处的切线方程为y ＝－2x ＋6．又两切线交点的横坐标为x ＝32，故所求面积S ＝∫320[4x －3－(－x 2＋4x －3)]d x ＋[－2x ＋6－(－x 2＋4x －3)]d x ＝∫320x 2d x ＋ (x 2－6x ＋9)d x ＝13x 3320＋13x 3－3x 2＋9x332＝94．9．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( ) A ．∫π20(sin x －cos x)d x B ．2∫π40(sin x －cos x)d x C ．2∫π40(cos x －sin x)d x D ．∫π20(cos x －sin x)d x ★答案★ C解析 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，cos x ≥sin x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，sin x>cos x ，故所求平面区域的面积为∫π40(cos x －sin x )d x ＋∫π2π4(sin x －cos x)d x ，数形结合知∫π40(cos x －sin x)d x ＝∫π2π4(sin x －cos x)d x ．故选C ．10．一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v(t)＝5－t ＋551＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )紧急刹车至停止．在此期间火车继续行驶的距离是( )A ．55ln 10 mB ．55ln 11 mC ．(12＋55ln 7) mD ．(12＋55ln 6) m ★答案★ B 解析 令5－t ＋551＋t＝0，注意到t>0，得t ＝10，即经过的时间为10 s ；行驶的距离s ＝∫100⎝⎛⎭⎪⎫5－t ＋55t ＋1d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5t －12t 2＋55ln (t ＋1)100＝55ln 11，即紧急刹车后火车运行的路程为55ln 11 m ．11．∫π20sin 2x 2d x ＝________． ★答案★ π4－12解析 ∫π20sin 2x 2d x ＝∫π201－cos x2d x ＝12x －12sin x π20＝π4－12．12．由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．★答案★423＋76解析 把阴影部分分成两部分(y 轴左侧部分和右侧部分)求面积．易得S ＝⎠⎛0－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 330－2＋2x －x 33－⎭⎪⎫x 2210＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76．二、高考小题13．(2014·山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4 ★答案★ D解析 由得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)．∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 420＝4．14．(2014·湖北高考)若函数f(x)，g(x)满足⎠⎛1－1f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2． 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ★答案★ C解析 由①得f(x)g(x)＝sin 12x cos 12x ＝12sin x ，是奇函数，所以⎠⎛1－1f(x)g(x)d x＝0，所以①为区间[－1，1]上的正交函数；由②得f(x)g(x)＝x 2－1，所以⎠⎛1－1f(x)g(x)d x ＝⎠⎛1－1(x 2－1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 1－1＝－43，所以②不是区间[－1，1]上的正交函数；由③得f(x)g(x)＝x 3，是奇函数，所以⎠⎛1－1f(x)g(x)d x ＝0，所以③为区间[－1，1]上的正交函数．故选C ．15．(2014·湖南高考)已知函数f(x)＝sin (x －φ)，且∫2π30f (x )d x ＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝5π6B ．x ＝7π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6 ★答案★ A解析 由∫2π30f(x)d x ＝∫2π30sin (x －φ)d x ＝－cos (x －φ)2π30＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－φ＋cos φ＝0，得32cos φ＝32sin φ．从而有tan φ＝3，则φ＝n π＋π3，n ∈Z ， 从而有f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －n π－π3 ＝(－1)n ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，n ∈Z ．令x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，即f (x )的图象的对称轴是x ＝k π＋5π6，k ∈Z ．故选A ．16．(2015·天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．★答案★ 16解析 曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形如图中阴影部分所示，由{ y ＝x ，y ＝x 2解得x ＝0或x ＝1，所以S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 310＝12－13＝16． 17．(2015·陕西高考)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．★答案★ 65解析 建立直角坐标系，如图．过B 作BE ⊥x 轴于点E ，∵∠BAE ＝45°，BE ＝2，∴AE ＝2． 又OE ＝5，∴A(3，0)，B(5，2)． 设抛物线的方程为x 2＝2py(p>0)， 代入点B 的坐标，得p ＝254， 故抛物线的方程为y ＝225x 2． 从而曲边三角形OEB 的面积为⎠⎛05225x 2d x ＝2x 37550＝103． 又S △ABE ＝12×2×2＝2，故曲边三角形OAB的面积为4 3，从而图中阴影部分的面积为83．又易知等腰梯形ABCD的面积为6＋102×2＝16，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为1616－83＝65．18．(2014·辽宁高考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．★答案★23解析由对称性可知S阴影＝S正方形ABCD－4⎠⎛1x2d x＝22－4×⎝⎛⎭⎪⎫13x310＝83，所以所求概率为834＝23．三、模拟小题19．(2018·安徽淮南一模)求曲线y＝x2与y＝x所围成的封闭图形的面积S，正确的是()A．S＝⎠⎛1(x2－x)d x B．S＝⎠⎛1(x－x2)d xC．S＝⎠⎛1(y2－y)d y D．S＝⎠⎛1(y－y)d y★答案★B解析两函数图象的交点坐标是(0，0)，(1，1)，故对x积分时，积分上限是1，下限是0，由于在[0，1]上，x ≥x 2，故曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x(同理可知对y 积分时，S ＝⎠⎛01(y －y)d y)．20．(2018·湖北孝感模拟)已知⎠⎛1e1x －m d x ＝3－e 2，则m 的值为( )A ．e －14eB ．12C ．－12 D ．－1 ★答案★ B解析 由微积分基本定理得⎠⎛1e 1x －m d x ＝(ln x －mx)e 1＝m ＋1－m e ，结合题意得m ＋1－m e ＝3－e 2，解得m ＝12．故选B ．21．(2018·河南郑州一模)汽车以v ＝(3t ＋2) m /s 做变速运动时，在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程是( )A ．5 mB ．112 mC ．6 mD ．132 m ★答案★ D解析 根据题意，汽车以v ＝(3t ＋2) m /s 做变速运动时，汽车在第1 s 至第2 s之间的1 s 内经过的路程s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝3t 22＋2t21＝132 m ，故选D ．22．(2018·山西联考)函数y ＝x 2－1的图象如图所示，则阴影部分的面积是( )A ．⎠⎛01(x 2－1)d xB ．⎠⎛02(x 2－1)d xC ．⎠⎛02|x 2－1|d xD ．⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x★答案★ C解析 所求面积为⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x ． 23．(2018·河北五校联考)若f(x)＝f[f(1)]＝1，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 ★答案★ A解析 因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3a 0＝a 3，所以由f [f (1)]＝1得：a 3＝1，a ＝1，故选A ．24．(2018·宁夏质检)已知1sin φ＋1cos φ＝22，若φ∈0，π2，则⎠⎛－1tan φ(x 2－2x )d x ＝( )A ．13B ．－13C ．23D ．－23 ★答案★ C解析 由1sin φ＋1cos φ＝22⇒sin φ＋cos φ＝22sin φ·cos φ⇒2sin φ＋π4＝2sin2φ，因为φ∈0，π2，所以φ＝π4，所以tan φ＝1，故⎠⎛－1tan φ(x 2－2x )d x ＝⎠⎛－11(x 2－2x )d x＝x 33－x 21－1＝23．25．(2018·陕西模拟)⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________．★答案★ 1＋π4解析 ⎠⎛011－x 2d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14， ∴⎠⎛011－x 2d x ＝π4． 又∵⎠⎛012x d x ＝x 210＝1，∴⎠⎛01(2x ＋ 1－x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝1＋π4．26．(2018·河北衡水中学六调)曲线y ＝x 3－3x 和直线y ＝x 所围成的图形的面积是________．★答案★ 8解析 由得交点的坐标分别为(0，0)，(2，2)，(－2，－2)，作出草图如图，可知曲线y ＝x 3－3x 和直线y ＝x 围成图形的面积S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝22x 2－14x 420＝2×(8－4)＝8．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2018·云南月考)用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的较小的数，设f (x )＝min{x 2，x }，那么由函数y ＝f (x )的图象、x 轴、直线x ＝12和直线x ＝4所围成的封闭图形的面积是多少？解 如图所示，所求图形的面积为阴影部分的面积，即所求的面积S ＝x 2d x＋x d x ＝13x 3112＋23x 3241＝724＋143＝11924．2．(2018·甘肃天水月考)在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2．试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解 面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3．S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2，1－t ，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13．所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)． 令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12． t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23． 所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《定积分和微积分基本定理》
2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《定积分和微积分基本定理》 【题型一】：运用微积分定理求定积分 【题型二】：利用定积分的几何定义 【题型三】：利用定积分求平面图形面积 【题型四】：利用定积分解决物理问题 【题型一】：运用微积分定理求定积分 【例1】. 运用微积分定理求定积分 （1）⎰-π0)cos (sin dx x x ； （2）dx xx x ⎰+-212)1(； （3）⎰-+0)(cos πdx e x x .【解析】（1）∵(cos sin )sin cos '--=-x x x x ，∴00(sin cos )(cos sin )2-=--=⎰x x dx x x ππ；（2）∵2321(ln )23'-+=-+x x x x x x，∴232221115()(ln )ln 2236x x x x dx x x -+=-+=-⎰.（3）∵(sin )cos '+=+x x x e x e ，∴001(cos )(sin )1x x x e dx x e e πππ--+=+=-⎰； 【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得()()F x f x '=的原函数()F x 。
通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求()F x ，即利用求导函数与求原函数互为逆运算。
【变式训练】：【变式】计算下列定积分的值：（1）dx x x ⎰+20)sin (π， （2）180(8)x x dx -⎰【解析】（1）2222001(sin )(cos )128x x dx x x πππ+=-=+⎰（2）91801871(8)()0ln893ln 29x xx x dx -=-=-⎰【例2】.求【解析】2420442044204sin cos sin cos sin cos (cos sin )(sin cos )(sin cos )(cos sin )112x x dx x x dx x x dxx x dx x x dxx x x x ππππππππππ==-=-+-=-+-=++--=-+=⎰⎰⎰⎰⎰【总结升华】化简被积函数是积分的前提，直到最简为止. 【变式训练】：【变式】计算下列定积分的值.（1）31[(4)]x x dx --⎰； （2）231(1)x dx -⎰； （3）221dx ⎰； 【解析】（1）332233111120[(4)](4)(2)33x x dx x x dx x x ----=-=-=⎰⎰， （2）223324322111131(1)(331)()424x dx x x x dx x x x x -=-+-=-+-=⎰⎰. （3）22222111117(2)(2ln )|ln 222dx x dx x x x x =++=++=+⎰⎰.22 0【例3】.求定积分3,[0,1]()[1,2]2,[2,3]x x x f x x x ⎧∈=∈∈⎪⎩，求函数)(x f 在区间[]3,0上的积分；【解析】3123012()()()()f x dx f x dx f x dx f x dx =++⎰⎰⎰⎰1330122x x dx dx =++⎰⎰⎰3421232201243ln 2xx x =++5412ln 2=-. 【总结升华】当被积式为分段函数时，应分段积分。
2020年高三年级数学一轮复习(知识点归纳和总结)-定积分和微积分的基本定理
2020年高三年级数学一轮复习(知识点归纳和总结)-定积分和微积分的基本定理考 什么怎 么 考1.了解定积分的实际背景；了解定积分的基本思想；了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．如2012年江西T11等．3.考查曲边梯形面积的求解．如2012年湖北T3；山东T15；上海T13等．4.与几何概型相结合考查．如2012年福建T6等.[归纳·知识整合]1．定积分(1)定积分的相关概念；a[分别叫做积分下限与积分上限；区间b ；a 中；x )d x (f b ；a∫在叫做被积式．x )d x (f 叫做积分变量；x 叫做被积函数；)x (f 叫做积分区间；]b (2)定积分的几何意义b ；a∫上恒为正时；定积分]b ；a[)在区间x (f 当函数①f (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ；x ＝b (a ≠b )；y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．b ；a∫一般情况下；定积分②f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a ；x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)；其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值；在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质.x )d x (f b ；a ∫k ＝x )d x (kf b ；a ∫① .x )d x (2f b ；a ∫±x )d x (1f b ；a ∫＝x )]d x (2f )±x (1f [b ；a ∫② .x )d x (f b ；c ∫＋x )d x (f c ；a ∫＝x )d x (f b ；a ∫③ 是否相等？t )d t (f b ；a ∫与x )d x (f b ；a ∫；则t 1.若积分变量为 ]探究[ 提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的；反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的；而导函数的原函数则有无穷多个；这些原函数之间都相差一个常数；在利用微积分基本定理求定积分时；只要找到被积函数的一个原函数即可；并且一般使用不含常数的原函数；这样有利于计算．))的几何意义是什么？x (g )>x (f (x d )]x (g －)x (f [b ；a ∫3．定积分 提示：由直线x ＝a ；x ＝b 和曲线y ＝f (x )；y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理b ；a∫)；那么x (f )＝x (′F 上的连续函数；并且]b ；a[)是区间x (f 如果莱布尼兹公式．—；这个结论叫做微积分基本定理；又叫做牛顿)a (F )－b (F ＝x )d x (f ；即b ；a |)x (F )记成a (F )－b (F 为了方便；常把 ∫b ；a )．a (F )－b (F ＝b ；a |)x (F ＝x )d x (f [自测·牛刀小试])等于(x d 错误!4；2∫1. A ．2ln 2B ．－2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2 ＝ln 4－ln 2＝ln 2.错误!错误!x ＝ln x d 错误!4；2∫ D 选解析： 2．(教材习题改[1则此物体在时间＋2；质点作直线运动；t －2t )＝t (V 一质点运动时速度和时间的关系为)编；2]内的位移为( )错误!A. 错误!B.错误!C.错误!D. .错误!＝错误!错误!＝t ＋2)d t －2t (2；1∫＝S A 选解析： 3．(教材习题改所围成的曲边梯形的面积为________．2x ＝y ＝0与曲线y ＝2；x ＝0；x 直线)编 .错误!＝错误!错误!3x 错误!＝x d 2x 2；0∫解析： 错误!答案： ＝________.x d 1－x21；0∫)教材改编题(4．1－x21；0∫由定积分的几何意义可知；解析：＝1在第一象限内部分的面积；所以2y ＋2x 表示单位圆x d ∫1；01－x2π.错误!＝x d π错误!答案： __．所围成的封闭图形的面积为______错误!＋x ＝－y ；直线错误!＝y 5．由曲线 解析：作出图象如图所示．解方程组可得交点为A 错误!；B 错误!；所以阴影部分的面积；212⎰错误!错误!d x ＝错误!212＝错误!－2ln 2.答案：错误!－2ln 2利用微积分基本定理求定积分[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分： (1)∫2；1(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π；0(sin x －cos x )d x ； (3)∫2；0x (x ＋1)d x ；(4)∫2；1错误!d x ； (5)20π⎰sin 2错误!d x .[自主解答] (1)∫2；1(x 2＋2x ＋1)d x ＝∫2；1x 2d x ＋∫2；12x d x ＋∫2；11d x ＝错误!|；；；2；1＋x 2 |；；；2；1＋x |；；；2；1＝错误!.(2)∫π；0(sin x －cos x )d x ＝∫π；0sin x d x －∫π；0cos x d x＝(－cos x ) |；；；π；0－sin x |；；；π；0＝2. (3)∫2；0x (x ＋1)d x ＝∫2；0(x 2＋x )d x＝∫2；0x 2d x ＋∫2；0x d x ＝错误!x 3错误!错误!＋错误!x 2错误!错误! ＝错误!＋错误!＝错误!.(4)∫2；1错误!d x ＝错误!错误!e 2x d x ＋错误!错误!错误!d x＝错误!e 2x 错误!错误!＋ln x 错误!错误!＝错误!e 4－错误!e 2＋ln 2－ln 1 ＝错误!e 4－错误!e 2＋ln 2.(5)20π⎰ sin 2 错误!d x ＝20π⎰错误!d x ＝20π⎰错误!d x －错误!20π⎰cos x d x＝错误!x 20π－错误!sin x20π＝错误!－错误!＝错误!.———————————————————求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分；解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．1．求下列定积分： ；x －1|d x |2；0∫(1) .x d 1－sin 2x 20π⎰(2) {1－x ； x∈[0；1；x －1； x∈[1；2]＝1|－x (1)|解： x－1)d x (2；1∫＋x )d x (1－1；0∫＝x －1|d x |2；0∫故 错误!错误!错误!＋错误!错误!错误!＝ ＝1.错误!＋错误!＝ xd 1－sin 2x 20π⎰(2)x)d x cos －x (sin 24ππ⎰＋x )d x －sin x (cos 40π⎰＝x |d x －cos x |sin 20π⎰＝24ππ)x －sin x ＋(－cos 40π)x ＋cos x ＝(sin －2.2)＝22－1＋(－1＋2＝利用定积分的几何意义求定积分[例2] ∫1；0－x2＋2x d x ＝________. [自主解答]∫1；0－x2＋2xd x 表示y ＝－x2＋2x与x ＝0；x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x2＋2x 得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)； 又∵0≤x ≤1；∴y ＝－x2＋2x 与x ＝0；x ＝1及y ＝0所围成的图形为错误!个圆；其面积为错误!. ∴∫1；0－x2＋2x d x ＝错误!.在本例中；改变积分上限；求∫2；0－x2＋2x d x 的值． 解：∫2；0－x2＋2xd x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积；即半圆的面积；所以∫2；0－x2＋2x d x ＝错误!.——————————————————— 利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂；定积分很难直接求出时；可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义；可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．－sint (cosx ；0∫)＝x (f 已知函数)福建模拟(2013·2．t )d t (x >0)；则f (x )的最大值为________． td 错误!sin 2x ；0∫＝)x (f 因为解析： 错误!cos 错误!－错误!cos 错误!＝错误!错误!错误!cos 2＝ －1；错误!≤－1错误!sin 2－1＝x ＋cos x ＝sin ＝1时；等号成立．错误!当且仅当sin －12答案：利用定积分求平面图形的面积[例3] (2012·山东高考)由曲线y ＝x ；直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.错误! B ．4 C.错误!D ．6[自主解答] 由y ＝x 及y ＝x －2可得；x ＝4；即两曲线交于点(4；2)．由定积分的几何意义可知；由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫4；0(x －x ＋2)d x ＝错误!错误!错误!＝错误!.[答案] C若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”；将“y轴”改为“x轴”；如何求解？解：如图所示；由y＝x及y＝－x＋2可得x＝1.由定积分的几何意义可知；由y＝x；y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为∫2；0f(x)d x＝∫1；0x d x＋∫2；1(－x＋2)d x＝错误!x 32错误!错误!＋错误!错误!错误!＝错误!.———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形；确定被积函数；求出交点坐标；确定积分的上、下限．(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分；写出答案．3．(2013·郑州模拟)如图；曲线y＝x2和直线x＝0；x＝1；y＝错误!所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：选D由错误!⇒x＝错误!或x＝－错误!(舍)；所以阴影部分面积S＝12⎰错误!d x＋112⎰错误!d x＝错误!12＋错误!112＝错误!.定积分在物理中的应用[例4]列车以72 km/h的速度行驶；当制动时列车获得加速度a＝－0.4 m/s2；问列车应在进站前多长时间；以及离车站多远处开始制动？[自主解答]a＝－0.4 m/s2；v0＝72 km/h＝20 m/s.设t s后的速度为v；则v＝20－0.4t.令v＝0；即20－0.4 t＝0得t＝50 (s)．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s；则s＝∫50；0v d t＝∫50；0(20－0.4t)d t；；；50；0＝(20t－0.2t2)|＝20×50－0.2×502＝500(m)；即列车应在进站前50 s和进站前500 m处开始制动．———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)；那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为∫b；a v(t)d t；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)；那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－∫b；a v(t)d t.2．变力做功问题物体在变力F(x)的作用下；沿与力F(x)相同方向从x＝a到x＝b所做的功为∫b；a F(x)d x.4．一物体在力F(x)＝{10 0≤x≤2；3x＋4 x>2 (单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米；力F(x)做功为( ) A．44 J B．46 JC．48 J D．50 J解析：选B力F(x)做功为∫2；010d x＋∫4；2(3x＋4)d x；；；2；0＋错误!错误!＝10x|＝20＋26＝46.1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数；由此可知；求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数；则必须分清谁是积分变量；(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；(3)面积非负； 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ；其中A (0；0)；B轴围成的图形的面积为________．x 1)的图象与≤x ≤)(0x (xf ＝y (1；0)．函数C ；错误! [解析] 由题意可得错误!＝)x (f 错误!＝)x (xf ＝y 所以 错误!＝x )d 2x 10－x (10未找到引用源。
2020年北师大版高考(理)数学一轮复习练习17定积分与微积分基本定理
课时分层训练（十七）定积分与微积分基本定理A组基础达标、选择题1定积分1（2 x+ e x）d x的值为（）丿0A. e + 2 C. eB. e+ 1 D. e-1C [ '(2x+ e x)d x= (x2+ e x)■ 01+ e —1 = e.故选C.]2.由直线x=—nn, x= nn, y= o与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为（）A.2B. 1D. 37tnD [由题意知S= 3 cos x d x= sinniZ-—3 3 =_2 n 2 ~33.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v= g t（g为常数），则电视塔高为（）【导学号：79140093】4 .1A.qgB. gD. 2gC ［由题意知电视塔高为’2g t d t丿11 *22g t1 32g—?g =尹]2 2定积分T x - 2x|d x=( )” -2A. 5C. 7B. 6D. 82[^|x —2x|f2x —2x, —2< x v 0,2—x + 2x, 0< x< 2,21 x2—2x|d x=，0(x2—2x)d x +，2( —x2+ 2x)d x-2 -2 02-25. (2018 •合肥一检)在如图2-12-1所示的正方形中随机投掷 分(曲线C 的方程为x 2— y = 0)的点的个数的估计值为(［图中阴影部分的面积为1(1 — x 2)d x = x —3X ■ 0000个点落入阴影部分个数估计为10 000 X 6 667，故选 B.](e — 1) = e —三、解答题32-x — x+ [卜3+ x 2J = 8.]二、填空题 6. (2018 •长沙模拟(二))若 a (x 2 + sin J -ax )d x = 18，贝U a = 3 [ \ (x 2+ sin x )d x = 'TX ~ — cos ■ -a3a23"，口=3a = 18,解得 a = 3.]-a 37. 设变力F (x )作用在质点 M 上，使M 沿x 轴正向从x = 1运动到x = 10(单位：m ),已知F ( x ) =x 2+ 1(单位：N 且和x 轴正向相同，则变力 F (x )对质点M 所做的功为342 ［变力F (x ) = x 2+ 1使质点M 沿x 轴正向从x = 1运动到x = 10所做的功为 W = '1°J 1J .F (x )d x = ，10(x 2+ 1)d10=342(J).]1x + 1, — 1 w x v 0,(2017 •洛阳统考)函数f (x ) = x的图像与直线x = 1及x 轴所围成e , 0w x wi的封闭图形的面积为【导学号：79140094】1e — [由题意知所求面积为，0(x + 1)d x +1e xd x = 2- — 1 ■ 0 1 22X+ Xx+ e-12-1 +10 000个点，则落入阴影部A. 5 000 C. 7 500B. 6 667 D. 7 8542、3又正方形的面积为 1,则10图 2-12-19.计算下列定积分:(2)『寸—x 2+ 2x d x ; 丿02 2(x — 1) + y = 1的面积的一半，•••cos 0 + sin 0) = 2.110.求曲线y = ,x , y = 2 — x , y =— 3X 所围成图形的面积.3r _ r［解］如图所示，由)—3， 得交点A(1,1),y = 2 — x ,y —2 — x ，由1 得交点B(3 , — 1).y一 3x ，2x - 1x 2X.［解］⑴原式=«x — In'2 X22— In 2 )21 2— ln 1=2 — In 2 ;(2)由定积分的几何意义知, 所求定积分是由x = 0, x = 2, y =— x 2+ 2x ,以及 x⑶原式=Lsin2” 0x + cos x )d x = ( — cos x + sin x )cos -^ + sin7tn轴围成的图像的面积，即圆2— x 2+ 2x =n；\炖F故所求面积1 3B组能力提升f(x) = x2+ 2 'f(x)d x,则'f(x)d x =(A. B.C. D.[由题意知f (x) = x2+ 2 1f (x)d x,J 0设m= '1f (x)d x,「. f(x) = x2+ 2 m,■ 0ff(x)d x=「1(x2+ 2m)d x=0 ■ 0尹+ 2mx1 1=3+ 2m= m, ••• m=--.]12 (2017•河南百校联盟4月模拟)已知編$ € 0, -n，则的$2(x —2x)d x=(1A.3B.2C.2D.C [由一1sin $+cos $ = 2 2? sin $+ cos $ = 2 2 • sin $ • cos $ ? 27ts in 冷 +匸=.2sin 2$,因为 $/ 2 c 、, 卢1 /2(x —2x)d x = (:7t€ 0, nn，所以$=n4,所以tan $ = 1，故'tan$丿—1x2—2x)d x= x —x13.设函数f (x) =ax2+ c( a*0)，若1f (x)d x= f(x o) , 0< x o w 1,贝U x o的值为J。
备考2020年高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理(理科专用)
备考2020年高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理（理科专用）一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）由直线 y =3−x ，曲线 y =2√x 以及 x 轴所围成的封闭图形的面积是（ ）A ．83B ．3C ．103D ．√2+22．（2分）曲线 y =2x与直线 y =x −1 及 x =4 所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln2B ．2−ln2C ．4−ln2D ．4−2ln23．（2分）曲线y= 4x与直线y=5-x 围成的平面图形的面积为（ ） A ．152B ．154C ．154 -4ln2D ．152-8ln24．（2分）定积分 ∫−a a √a2−x 2dx 等于( )A ．14πa 2B ．12πa 2C ．πa 2D ．2πa 25．（2分）射线 y =4x(x ≥0) 与曲线 y =x 3 所围成的图形的面积为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．66．（2分）曲线 y 2=x 与 y =x 2 所围图形的面积为（ ）A ．16B ．π−24C ．13D ．π2−17．（2分）曲线y ＝x 2与曲线y ＝8 √x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A ．643B ．1283C ．483D ．14438．（2分）如图所示，正弦曲线 y =sin x ，余弦曲线 y =cos x 与两直线 x =0 ， x =π 所围成的阴影部分的面积为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．2√29．（2分）在求由 x =a,x =b(a <b),y =f(x)(f(x)≥0) 及 y =0 围成的曲边梯形的面积 S时，在区间 [a,b] 上等间隔地插入 n −1 个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，下列说法中正确的是( ) A ．n 个小曲边梯形的面积和等于 S B ．n 个小曲边梯形的面积和小于 SC．n个小曲边梯形的面积和大于SD．n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定10．（2分）由y＝1x，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为()A．ln 2B．ln 2－1C．1＋ln 2D．2ln 211．（2分）求由抛物线y=2x2与直线x=0,x=t(t>0),y=0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[ [0,t]等分成n个小区间，则第i−1个区间为()A．[i−1n ,in]B．[i n,i+1n]C．[t(i−1)n ,tin]D．[t(i−2)n,t(i−1)n]12．（2分）如图，由曲线y=x2−1，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积是（）A．1B．23C．43D．2二、填空题(共6题；共6分)13．（1分）∫(√1−(x−1)2−2x)dx1=．14．（1分）由曲线y=1x，y2=x与直线x=2，y=0所围成图形的面积为．15．（1分）计算定积分∫(√1−(1−x)2−1)dx=1.16．（1分）∫02√4−x2dx=.17．（1分）曲线y=x2和曲线y= √x围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是．18．（1分）已知抛物线C：y=ax2的焦点坐标为(0，1)，则抛物线C与直线y=x所围成的封闭图形的面积为．三、解答题(共3题；共15分)19．（5分）如图，阴影部分区域是由函数y=cosx的图象，直线y=1，x=π围成，求这阴影部分区域面积．20．（5分）求曲线y=2x﹣x2，y=2x2﹣4x所围成图形的面积．与直线y=x，x=2所围成的图形面积．21．（5分）求曲线y= 1x答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】如下图所示，联立 {y =2√xy =3−x ，得 {x =1y =2 ，则直线 y =3−x 与曲线 y =2√x 交于点 A(1,2) ， 结合图形可知，所求区域的面积为 ∫12√xdx +∫(3−x)31dx=43x 32|1+(3x −12x 2)|13 =43+2=103 ，故答案为：C 。
高三数学(理)一轮总复习(新课标)考点集训第17讲 定积分与微积分基本定理 Word版含解析
考点集训(十七) 第讲定积分与微积分基本定理．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()＝－＋(的单位：，的单位：)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：)是．＋．＋．＋．＋．若＝，＝，＝则，，的大小关系为．＜＜．＜＜．＜＜．＜＜．曲线＝与直线＝－及＝所围成的封闭图形的面积为．－．－．－．．若＝，则常数的值为．．设函数()＝＋(≠)，若()＝()，则＝．．计算(＋)的值为．．设()＝,（>）＋\(,),（≤）)))，若(())＝，则＝．．当∈，<时，有如下表达式：＋＋＋…＋＋…＝两边同时积分得：∫＋∫＋∫＋…＋∫＋…＝∫，从而得到如下等式：×＋×＋×＋…＋×＋…＝ .请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×＋×＋×＋…＋×＝．．如图，抛物线＝－与直线＝的两个交点为，.点在抛物线的弧上从向运动．()求使△的面积为最大时点的坐标(，)；()证明：由抛物线与直线围成的图形被直线＝分为面积相等的两部分．第讲定积分与微积分基本定理【考点集训】．.±π＋．【解析】()解方程组得或所以抛物线＝－与直线＝的两交点坐标为(，)，(－，－)．点的横坐标的范围是：－＜＜.点(，)到直线＝的距离＝.因为点在抛物线上，所以＝－.∴＝(－－)＝－＋当＝－时，最大，这时＝－＝.所以点坐标为时，△的面积最大．(另解：令′＝－＝，得＝－，代入＝－，得＝，∴) ()设上述抛物线与直线所围成的图形的面积为，位于直线＝－的右侧的面积为.＝(－－)＝，＝∫－(－－)＝，∴＝，即直线＝－平分，原命题得证．。
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课后限时集训(十七) 定积分与微积分基本
定理
(建议用时：40分钟)
A 组 基础达标
一、选择题
1．(2019·湖北模拟)已知t 是常数，若⎠⎛0
t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1
B ．－2
C ．－2或4
D ．4
D [由⎠⎛0
t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x )t 0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)．] 2．(2019·四平模拟)⎠⎛01x (2－x )d x 的值为( ) A .π4
B .π2
C ．π
D ．2π A [令y ＝
x (2－x )，则(x －1)2＋y 2＝1，(y ＞0)． ∴⎠⎛01
x (2－x )表示由曲线y ＝x (2－x )，x ＝0，x ＝1及x 轴围
成的曲边图形的面积，即圆面积的14，∴⎠⎛0
1x (2－x )＝π4.] 3．(2018·柳州一模)设f (x )＝⎠⎜⎛－x
x cos t d t ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( ) A ．1
B ．sin 2
C ．sin 2
D ．2sin 2 D [∵f (x )＝⎠⎜⎛－x
x cos t d t ＝sin t x －x ＝2sin x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4
＝2， ∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin
2.]
4．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A ．2 2
B ．4 2
C ．2
D ．4
D [如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点A (2,8)，图中阴影部分即为
所求图形面积．
S 阴＝⎠⎛0
2(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 420
＝8－14
×24＝4，故选D .] 5．若S 1＝⎠⎛121x d x ，S 2＝⎠⎛12(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠⎛1
2x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1＜S 2＜S 3
B ．S 2＜S 1＜S 3
C ．S 1＜S 3＜S 2
D ．S 3＜S 1＜S 2
A [如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易
知选A .]
6．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，
所耗费的功为( )
A ．0.18 J
B ．0.26 J
C ．0.12 J
D ．0.28 J
A [设F (x )＝kx ，当x ＝0.01 m 时，F (x )＝1，可知k ＝100.
∴所耗费的功W ＝∫0.060100x d x ＝50x 20.060＝0.18 J ．]
7．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛0
1f (x )d x ＝( ) A ．－1
B ．－13
C .13
D ．1
B [由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛0
1f (x )d x ， 设m ＝⎠⎛0
1f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ，
⎠⎛01
f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2m x |10 ＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13
.] 二、填空题
8.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的
面积为________．
43
[由图可知f (x )＝－x 2＋1. ∴它与x 轴所围成的面积S ＝⎠
⎛1－1(1－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 31－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23＋23＝43
.] 9．汽车以72 km /h 的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a ＝4 m /s 2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m .
50 [先求从刹车到停车所用的时间，
当t ＝0时，v 0＝72 km /h ＝20 m /s ，
刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0－at ＝20－4t .
令v (t )＝0，可得t ＝5 s ，
所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：
⎠⎛05
(20－4t )d t ＝(20t －2t 2)50＝50(m)． 即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m ．]
10．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若⎠⎛0
3f (x )d x ＝3f (x 0)，x 0＞0，则x 0＝________. 3 [依题意得⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛0
3(ax 2＋b )d x ＝a 3x 3＋bx 30＝3(ax 20＋b )，即3ax 20＝9a (a ≠0)，x 20＝3(x 0＞0)，由此解得x 0＝3.]
B 组 能力提升
1．已知f (x )＝⎩⎨⎧
s in x x ∈[－π，0]1－x 2 x ∈(0，1]，则
⎠⎜⎛－π1f (x )d x ＝( )
A ．2＋π
B .π2
C ．－2＋π2
D .π4－2 D [⎠⎜⎛－π1f (x )d x ＝⎠⎜⎛－π
0sin x d x ＋⎠⎛011－x 2d x ， ⎠⎜⎛－π
0sin x d x ＝－cos x 0－π＝－2， ⎠⎛011－x 2d x 的几何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积的14，故⎠⎛011－x 2
d x ＝π4，所以⎠⎜⎛－π
1f (x )d x ＝π4－2，故选D .]
2．(2019·合肥一检)在如图所示的正方形中随机投掷10 000
个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个
数的估计值为( )
A ．5 000
B ．6 667
C ．7 500
D ．7 854
B [图中阴影部分的面积为⎠⎛0
1(1－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3|10＝23，又正方形的面积为1，则10 000个点落入阴影部分个数估计为10 000×23
≈6 667，故选B .] 3．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.
49
[封闭图形如图所示， 则⎠⎛0
a x d x ＝23x 32a 0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.] 4．(2019·长春模拟)在平面直角坐标系x O y 中，将直线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴
所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥＝⎠⎛0
1πx 2d x ＝π3x 3|10＝π3
.据此类比：将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V ＝
________.
π(e－1)[类比已知结论，将曲线y＝2ln x与直线y＝1及x轴、y轴所围成的图
形绕y轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π(e y
2)
2＝πe y，积
分变量为y，积分区间为[0,1]，即V＝
⎠⎛
1πe y d y＝πe y|10＝π(e－1)．]。