九年级数学《圆》复习导学案-北师大版

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九年级数学下册第三章圆复习教案北师大版教案

第三章圆【课标要求】（1）认识圆并掌握圆的有关概念和计算①知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性.②通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素.③利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理.④探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.⑤掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理.⑥了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念.⑦掌握圆内接四边形的性质（2）点与圆的位置关系①能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系.②知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图.（3）直线与圆的位置关系①能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系.②了解切线的概念.③能运用切线的性质进行简单计算和说理.④掌握切线的识别方法.⑤了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念.⑥能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算.（4）圆与圆的位置关系①了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系.②能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系.③掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算（5）圆中的计算问题①掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量.②掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用.③了解圆锥的高、母线等概念.④结合生活中的实例(模型)了解圆柱、圆锥的侧面展开图.⑤会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实际问题加以应用.⑥能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积.【课时分布】圆的部分在第一轮复习时大约需要8个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排（仅供参考）.1、知识脉络2、基础知识（1）掌握圆的有关性质和计算①弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.②垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.④圆内接四边形的性质:圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.（2）点与圆的位置关系①设点与圆心的距离为，圆的半径为，则点在圆外；点在圆上；点在圆内．②过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. 一个三角形有且只有一个外接圆.③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.（3）直线与圆的位置关系①设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交．②切线的性质:与圆只有一个公共点；圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径.③切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.④三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心到三角形三边的距离相等.⑤切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.⑥切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.（4）圆与圆的位置关系①圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.设两圆心的距离为，两圆的半径为，则两圆外离两圆外切两圆相交两圆内切两圆内含②两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴.由对称性知:两圆相切，连心线经过切点. 两圆相交，连心线垂直平分公共弦.③两圆公切线的定义:和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线.两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线.两个圆在公切线两旁时,这样的公切线叫做内公切线.④公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.（5）与圆有关的计算①弧长公式：扇形面积公式：（其中为圆心角的度数，为半径）②圆柱的侧面展开图是矩形．圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．圆柱的侧面积＝底面周长×高圆柱的全面积＝侧面积＋２×底面积③圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体．④圆锥的侧面积＝×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积3、能力要求例1 如图，AC为⊙O的直径，B、D、E都是⊙O上的点，求∠A+∠B +∠C的度数.【分析】由AC为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连结AE，这样将∠CAD（∠A）、∠C放在了△AEC中，而∠B与∠EAD是同弧所对的圆周角相等，这样问题迎刃而解．【解】连结AE∵AC是⊙O的直径∴∠AEC=90O∴∠CAD +∠EAD+∠C =90O∵∴∠B=∠EAD∴∠CAD +∠B+∠C =90O【说明】这里通过将∠B转化为∠EAD，从而使原本没有联系的∠A、∠B、∠C都在△AEC中，又利用“直径对直角”得到它们的和是90O．解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”，另一方面也注意到了将“特殊的弦”（直径）转化为“特殊的角”（直角），很好地体现了“转化”的思想方法．例2 △ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C=90O，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，求AD的长．【分析】圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解，所以作CH⊥AB，这只要求出AH的长就能得出AD的长．【解】作CH⊥AB，垂足为H∵∠C=90O，AC＝6，BC＝8∴AB=10∵∠C=90O，CH⊥AB∴又∵AC＝6，AB=10∴AH＝∵CH⊥AB∴AD=2AH∴AD答：AD的长为．【说明】解决与弦有关的问题，往往需要构造垂径定理的基本图形——由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形，它是解决此类问题的关键.定理的应用必须与所对应的基本图形相结合，教师在复习时要特别注重基本图形的掌握.例3 (１)如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAE=∠B，试说明AE与⊙O相切于点A．(２)在（１）中，若AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，AE还与⊙O相切于点A吗？请说明理由．(1) (2)【分析】第(１)小题中，因为AB为直径，只要再说明∠BAE为直角即可．第(２)小题中，AB为非直径的弦，但可以转化为第(１)小题的情形．【解】(１)∵AB是⊙O的直径∴∠C=90O∴∠BAC＋∠B=90O又∵∠CAE=∠B∴∠BAC＋∠CAE =90O即∠BAE =90O∴AE与⊙O相切于点A．(２)连结AO并延长交⊙O于D，连结CD.∵AD是⊙O的直径∴∠ACD=90O∴∠D＋∠CAD=90O又∵∠D=∠B∴∠B＋∠CAD=90O又∵∠CAE =∠B∴∠CAE＋∠CAD=90O即∠EAD =90O∴AE仍然与⊙O相切于点A．【说明】本题主要考查切线的识别方法．这里可以引导学生依据第(1)小题的特殊情况,大胆提出猜想,渗透“由特殊到一般”的数学思想方法，这对于学生的探索能力培养非常重要.例4 如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5．（1）若，求CD的长．（2）若∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）．【分析】图形中有“直径对直角”，这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形，求CD的长就转化为求DE的长.第（2）小题求扇形OAC的面积其关键是求∠AOD的度数，从而转化为求∠AOD的大小．【解】（1）∵AB是⊙O的直径，OD＝5∴∠ADB＝90°，AB＝10又∵在Rt△ABD中，∴∵∠ADB＝90°，AB⊥CD∴BD2=BE·ABCD= 2DE∵AB＝10∴BE=在Rt△EBD中，由勾股定理得∴答：CD的长为．（2）∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD∴∴∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD∵AO＝DO∴∠BAD＝∠ADO∴∠CDB＝∠ADO设∠ADO＝4k，则∠CDB＝4k由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝k∵∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°∴得k＝10°∴∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°∴∠AOC＝∠AOD＝100°则答：扇形OAC的面积为【说明】本题涉及到了圆中的重要定理、直角三角形的边角关系、扇形面积公式等知识点的综合，考查了学生对基本图形、基本定理的掌握程度．求DE长的方法很多，可以用射影定理、勾股定理，也可以运用面积关系来求，但都离不开“直角三角形及斜边上的高”这个基本图形．解题中也运用了比例问题中的设k法，同时也渗透了“转化”的思想方法．⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4 : 3，点P在半圆AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.(l)当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；(2)当点P运动到半圆AB的中点时，求CQ的长；(3) 当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．【分析】当点P与点C关于AB对称时，CP被直径垂直平分，由垂径定理求出CP的长，再由Rt△ACB∽Rt△PCQ，可求得CQ的长．当点P在半圆AB上运动时，虽然P、Q点的位置在变，但△PCQ始终与△ACB相似，点P运动到半圆AB的中点时，∠PCB＝４５O，作BE⊥PC于点E，CP＝PE+EC．由于CP与CQ的比值不变，所以CP取得最大值时CQ也最大．【解】(l)当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=900.∴AB=5，AC：CA=4：3∴BC=4，AC=3S Rt△ACB=AC·BC=AB·CD∴∵在Rt△ACB和Rt△PCQ中，∠ACB＝∠PCQ=900, ∠CAB＝∠CPQ，∴Rt△ACB∽Rt△PCQ∴∴(2)当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥PC于点E（如图）.∵P是弧AB的中点，∴又∠CPB=∠CABword∴∠CPB= tan∠CAB =∴从而由（l）得，(3）点P在弧AB上运动时，恒有故PC最大时，CQ取到最大值．当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为【说明】本题从点P在半圆AB上运动时的两个特殊位置的计算问题引申到求CQ的最大值，一方面渗透了“由特殊到一般”的思想方法，另一方面运用“运动变化”观点解决问题时，寻求变化中的不变性（题中的Rt△ACB∽Rt△PCQ）往往是解题的关键．【复习建议】①教材对圆的知识要求有了适当的降低，但教学中必须注重指导学生在较复杂的“背景”下分析出隐含的基本图形，或通过添加适当的辅助线，构造或分解基本图形．学会将较复杂问题转化为易解决问题.②对于常见的辅助线的添法，在解题中可以多加引导．③注意圆中一些隐含条件的作用．如：“同弧所对的圆周角相等”；“半径都相等”．④由特殊到一般、转化、方程、分类讨论等思想方法以及运动变化观点的渗透，在圆的综合问题中更能提高学生解决问题能力，在复习时应及时归纳并注重方法的指导．11 / 11。

北师大数学九年级下册第三章圆导学案

3.1圆１、从圆的形成过程，我们可以得出：定义1：平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周, 另一个端点所形成的_____叫做圆．定义2：平面上到______的距离等于______的所有点组成的图形叫做圆.定点叫做_____，______叫做半径．以点O 为圆心的圆，记作“_____”，读作“______”．外延：①的线段叫做弦;②的弦叫做直径；③部分叫做圆弧，简称，叫做优弧，小于半圆的弧叫做弧．④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做.能够重合的两个圆叫做______；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______．２、确定圆有两个要素：①_______（确定圆的______）；②_________（确定圆的______）.二、小组学习：1.以O 为圆心的圆可以画_________个圆，这些圆叫_______________.以2cm 为半径的圆可以画________个圆，这些圆是________________.2.平面内，设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则有d >r ⇔点P 在⊙O ______；d =r ⇔点P 在⊙O ______；d <r ⇔点P 在⊙O ______．3.下列说法正确的是①直径是弦②弦是直径③半径是弦④半圆是弧，但弧不一定是半圆⑤半径相等的两个半圆是等弧⑥长度相等的两条弧是等弧⑦等弧的长度相等4.如图，圆中有条直径，条弦，以A 为一个端点的劣弧有条．5.在矩形ABCD 中，AB =6cm ,AD =8cm ，（1）若以A 为圆心，6cm 长为半径作⊙A ，则点B 在⊙A ______，点C 在⊙A _______，点D 在⊙A ________，AC 与BD 的交点O 在⊙A _________；D3.2圆的对称性1.如图所示的⊙O 中，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？结论1：在同一个圆中，相等的圆心角所对的____相等，所对的相等．2.在⊙O 和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O′A′重合．在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等吗？结论2：我们可以得到下面的定理：______________________________________.同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角____，所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____，所对的弧也.3.如右图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．(1)如果CD AB =，则有，.(2)如果，则有，.(3)如果COD AOB ∠=∠，则有，.(4)如果∠AOB=∠COD，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？(5)如果OE=OF，那么弧AB 与弧CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？∠AOB 与∠COD 呢？为什么？(6)如果CD AB =，则OE 与OF 相等吗？为什么？B 'B ''A*3.3垂径定理【结构梳理】1.圆是_________图形，其对称轴是__________________的直线.2.垂径定理是由被称为"几何之父"的古希腊数学家欧几里得（Ευκλειδης）提出的．它是圆的重要性质之一，是证明圆内线段相等，角相等，垂直关系的重要依据，也为圆中的计算，证明和作图提供了依据，思路和方法．垂径定理本身的内涵也非常丰富．对于以上①②③④⑤，已知任意两条，可推出其余三条，称为知二推三．请大家以小组为单位探究以上定理的证明过程．(垂径定理：垂直于弦的直径平分，并且平分．)已知：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径EF，使EF⊥AB，垂足为D.求证：AD=BD，EF平分AFB，EF平分AEB(垂径定理的一个推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分．)已知：如图，AB是⊙O的一条弦（不是直径），直径EF平分AB，交AB于点D.求证：EF⊥AB，EF平分AFB，EF平分AEB①垂直于弦：EF⊥AB于点D②过圆心：EF过圆心O③平分弦：AD=BD④平分弦所对的优弧：EF平分AFB⑤平分弦所对的劣弧：EF平分AEB 垂径定理一、预习导学1.叫圆心角.2.在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的度数.二、自主学习1.如图，点B、D、E在⊙O上，∠B、∠D、∠E有什么共同的特征？①顶点在_______，②并且两边_______________________的角叫做圆周角.2.度量∠B、∠D、∠E的大小，它们的数量关系是_______________.3.如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，①∠BA1C＝＿＿，∠BA2C＝＿＿，∠BA3C＝＿＿；②通过计算发现：∠BAC＝＿＿∠BOC．4、从一般情况来看，如图，BC所对的圆心角有多少个？BC所对的圆周角有多少个（位置有什么不同）？请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流.思考与讨论①观察上图，在画出的无数个圆周角，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？②设BC所对的圆周角为∠BAC，除了圆心O在∠BAC的一边上外，圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系？对于这几种位置关系，结论∠BAC＝12∠BOC还成立吗？试证明之．通过上述讨论发现：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.CB【结构梳理】2.如图，在△ABC 中，OA=OB=OC,则∠ACB=°.请证明：二、自主学习1.如图，BC 是⊙O 的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么？2.如图，在⊙O 中，圆周角∠BAC=90°，弦BC 经过圆心吗？为什么？3.归纳自己总结的结论：（1）（2）注意：（1）这里所对的角、90°的角必须是圆周角；（2）直径所对的圆周角是直角在圆的有关问题中经常遇到，也是圆中常见辅助线.4.小明在分析几何问题时发现，如果题目中给出条件却没有给出相应的图形，那么就会出现因为图形的位置不确定而需要考虑多种情况的可能．请你与小明通过作图解决以下问题．在直径为4的⊙O 中，弦AB ＝，点C 是圆上不同于A ，B 的点，求∠ACB 的度数．第1题OCBA第2题番外篇圆内接四边形学习目标：1.识记圆的内接四边形的概念 2.掌握圆内接四边形的性质一、预习导学1.如图1，△ABC叫⊙O的_________三角形，⊙O叫△ABC的_________圆.2.如图1,若的度数为1000,则∠BOC=,∠A=______3.如图2四边形ABCD中,∠B与∠1互补,AD的延长线与DC所夹∠2=600,则∠1=_________,∠B=_________.4.判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧,这两条弧的度数和为3600()二、自主学习1.如图3,四边形ABCD的各顶点都在⊙O上,所以四边形ABCD是⊙O的_________四边形,⊙O叫四边形ABCD的_________圆.2.你能解决下列问题吗?如上图:(1)∵所对圆心角为∠1，所对圆心角为∠2,∴∠1+∠2=的度数+的度数=______度.∵∠BAD=21∠2（___________________________），∠BCD=21∠1（同上）∴∠BAD+∠BCD=21∠2+21∠1=_______(2)为什么∠DCE=∠A?3.如图4，5，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上.⑴如图4，当圆心O在四边形内部时，猜想四边形ABCD的对角的关系，并说明理由.⑵如图5，当圆心O在四边形外部时，⑴中的结论是否成立？并说明理由.归纳：圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角，任意一个外角都等于.三、达标练习1.如图6四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=____，∠B+∠ADC=_____;若∠B=800，则∠ADC=______∠CDE=______2.圆内接平行四边形必为()A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形3.如图7在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A的度数.EDCBA21AB CODC EBAo21图2图3图1图6EDBAC80图73.5确定圆的条件探究1：经过不同的点作圆（请你在下面空白处作图探究）(1)作经过已知点A 的圆，这样的圆你能作出多少个？(2)做经过已知点A ，B 的圆，这样的圆有多少个？它们的圆心分布有什么特点？(3)作经过A ，B ，C ，三点的圆，这样的圆有多少个？如何确定它的圆心？由以上作圆可知过已知点作圆实质是确定和，因此(1)过一点的圆有个；(2)过两点的圆有个，圆心在上；(3)过不在同一条直线上的三点作个圆，圆心是.探究2：三角形的外接圆：过三角形ABC 三顶点作一个圆，这个圆叫做三角形的_________，这个圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的.锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．二、合作学习1.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A ，B ，C ，其中B 点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．2.学校花园里有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，学校想修建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）请你把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若△ABC 中，BC ＝4米，AC ＝3米，∠C ＝90°，试求圆形花坛的面积．3.6.1直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系相离相切相交图形公共点个数及名称d 与R 的大小关系直线名称探究1：切线的性质定理1.圆的切线的半径．如图：已知直线l 是⊙O 的切线，切点为A ，连接0A,用符号语言来表示定理：∵∴2.常用的辅助线：连接与.探究2：切线的性质定理的推论若一条直线满足：①过圆心，②过切点，③垂直于切线,这三个条件中的任意个，就必然满足第个，即：①②O A3.6.2直线和圆的位置关系--切线的判定与三角形内切圆【结构梳理】1.探究：如图，点A 在⊙O 上，请过点A 画一条直线l ，使得 l OA ，判断直线l 与⊙O 的位置关系.由此得切线的判定定理(文字语言）：的直线是圆的切线.符号语言：2.分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况?二、合作学习判断（1）过半径的外端的直线是圆的切线（）（2）与半径垂直的的直线是圆的切线（）（3）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）这说明我们要牢记一条直线是圆的切线必须满足1：2三、总结提升1.判定切线的方法有哪些？2.常用的添辅助线方法？⑴直线与圆的公共点已知时，则⑵直线与圆的公共点不确定时，则*3.7切线长定理如图，点P 在⊙O 外，过点P 作⊙O 的切线，能作出条，它们的数量关系是.证明：二、合作学习问题提出：如图1，一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西120km 处（即点O 的位置），受影响的范围是半径长为40km 的圆形区域．已知港口位于台风中心正北50km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响?探究思路：为了解决这个实际问题，先将其转化成数学问题，如图2，⊙O 表示台风影响的范围，O 是台风中心，圆的半径长为40km ，AB 表示这艘轮船的航线.请结合以下解题思路，尝试解决本题．（1）本题主要研究哪些图形之间的关系？（2）应比较哪些量之间的关系?（3）最终你是如何判断轮船受不受影响?图13.8圆内接正多边形正多边形边数内角中心角边长边心距周长面积3456n lr 21小明同学在学习了课本P 98提供的利用尺规作正五边形的方法之后，想借助这个图形得到一个正三角形，以下是他设计的尺规作图过程．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，第1步．作直径AF ．第2步．以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ．第3步．连接AM ，MN ，NA ．（1）请根据小明设计的作法补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；（2）请你帮小明求出∠ABC 的度数．（3）小明想说明△AMN 是正三角形，他的部分推理过程如下，请你帮他补全推理过程．理由：连接ON ，NF ，…3.9弧长及扇形的面积【结构梳理】一、温故知新：圆的周长公式是,圆的面积公式是.二、自主探究：1.圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是_______.2°的圆心角所对的弧长是_______.4°的圆心角所对的弧长是_______.……n°的圆心角所对的弧长是_______.2.什么叫扇形？.3.圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积，设圆的半径为R，=_______.1°的圆心角所对的扇形面积S扇形2°的圆心角所对的扇形面积S=_______.扇形=_______.5°的圆心角所对的扇形面积S扇形……n°的圆心角所对的扇形面积S=_______.扇形4.比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积？(写出推导过程)。

初中数学九年级《圆的基本性质复习》公开课教学设计附导学案操作单

初中数学九年级《圆的基本性质复习》公开课教学设计附导学案操作单附导学案操作单一、教学目标1. 理解并掌握圆的基本概念和性质。

2. 能够运用圆的基本性质解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。

二、教学重点1. 圆的构造方法和基本性质。

2. 圆的相关概念与术语的理解和运用。

三、教学难点圆的弦、弧、切线和割线的概念及其性质的理解和应用。

四、教学过程1. 导入（5分钟）引入圆的概念，与学生分享关于圆的日常生活中的例子，引起学生的兴趣并了解圆的基本特点。

2. 探究圆的基本性质（15分钟）让学生思考有关圆的性质，通过实际测量和分析，让学生发现圆的直径和半径的关系，并引出圆周长、弧长和面积的公式。

3. 讲解圆的构造方法（10分钟）讲解圆的构造方法，包括利用圆心和半径、直径和弦、切线和割线的方法，通过实例演示，并配以图示讲解，帮助学生理解。

4. 拓展应用（15分钟）通过一些实际问题的讨论和解决，将圆的基本性质应用到实际情境中，培养学生的数学建模和解决问题的能力。

5. 总结归纳（10分钟）对圆的基本性质进行总结归纳，帮助学生梳理知识点，加深理解，并回答学生的疑问。

6. 练习巩固（20分钟）布置练习题，让学生进行巩固练习，检验他们对圆的基本性质的掌握情况，并及时纠正他们的错误。

7. 作业布置（5分钟）布置适量的作业，要求学生能够独立完成，并在下节课之前提交。

五、教学资源1. 圆的模型和教具。

2. 教科书和课外参考资料。

六、教学评价1. 观察学生在课堂上的表现，包括学生的参与度、思维活跃度等。

2. 批改和评价学生的作业，对学生的掌握情况进行评估。

3. 针对学生在练习中的错误，进行集体或个别辅导，帮助他们改正错误并提高。

通过本节课的教学设计，学生将能够全面理解和掌握圆的基本性质，培养数学思维和解决实际问题的能力。

希望同学们能够积极参与课堂讨论和练习，提高数学学习的兴趣和效果。

期待同学们在数学学习中取得更好的成绩！。

北师大版九年级数学下册3.1 圆导学案

3.1 圆学习目标:经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程；理解圆的概念，理解点与圆的位置关系．学习重点:圆及其有关概念，点与圆的位置关系．学习难点:用集合的观念描述圆．学习过程:一、例题讲解：【例1】如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系．【例2】如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．【例3】已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC．【例4】设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x2－22x ＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置．【例5】城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？【例6】由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图3-1-5），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？二、随堂练习1．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由．2．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是．三、课后练习1．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（）A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径C．⊙O上有两点到点P的距离最小D．⊙O上有两点到点P的距离最大2．若⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，4），点P的坐标为（5，8），则点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不确定3．两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在（）A．甲圆内B．乙圆外C．甲圆外，乙圆内D．甲圆内，乙圆外4．以已知点O为圆心作圆，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个5．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个6．已知⊙O的半径为3．6cm，线段OA=25/7cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．A点在圆外B．A点在⊙O上C．A点在⊙O内D．不能确定7．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O 上或⊙O外8．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以C为圆心，4cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心，5cm 为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有，在圆上的有，在圆内的有．10．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm．11．圆上各点到圆心的距离都等于，到圆心的距离等于半径的点都在．12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以A为圆心，12cm为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系是．13．⊙O的半径是3cm，P是⊙O内一点，PO=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是．14．作图说明：到已知点A的距离大于或等于1cm，且小于或等于2cm的所有点组成的图形．15．菱形的四边中点是否在同一个圆上？如果在同一圆上，请找出它的圆心和半径．16．在Rt△ABC中，BC=3cm，AC=4cm，AB=5cm，D、E分别是AB和AC的中点．以B为圆心，以BC为半径作⊙B，点A、C、D、E分别与⊙B有怎样的位置关系？17．已知：如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm．若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．18．如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒？19．在等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC=AB，D为BC的中点，以BC为直径作⊙D，问：（1）顶角A等于多少度时，点A在⊙D上？（2）顶角A等于多少度时，点A在⊙D 内部？（3）顶角A等于多少度时，点A在⊙D外部？20．如图，点C在以AB为直径的半圆上，∠BAC=20°，∠BOC等于（）A．20°B．30°C．40° D．50°21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=9，AB=12，M为AB的中点，以CD为直径画圆P，判断点M与⊙P的位置关系．22．生活中许多物品的形状都是圆柱形的．如水桶、热水瓶、罐头、茶杯、工厂里用的油桶、贮气罐以及地下各种管道等等．你知道这是为什么吗？尽你所知，请说出一些道理．。

2019北师大版九年级数学下第三章圆全章复习教学设计

2019北师大版九年级数学下第三章圆全章复习教学设计一、教学目标1.理解圆的相关概念，包括半径、直径、圆心等。

2.掌握计算圆的周长和面积的方法。

3.掌握如何绘制圆。

二、教学内容本次教学将围绕九年级数学下册的第三章圆展开复习。

具体内容包括：1.圆的基本概念及性质。

2.计算圆的周长和面积的方法。

3.圆的绘制方法。

三、教学步骤第一步：复习圆的概念1.让学生回顾圆的基本定义和相关术语的含义：圆心、半径、直径等。

2.提供一些具体的实例，让学生用自己的语言解释圆的含义。

第二步：复习计算圆的周长和面积的方法1.介绍计算圆的周长和面积的公式，并强调公式的运用方法。

2.给学生提供一些实际问题，让他们运用公式进行计算。

第三步：复习圆的绘制方法1.调用投影仪或者黑板进行实时展示，教学如何用指南针和直尺绘制圆。

2.给学生一些练习题，让他们亲自动手绘制圆。

第四步：巩固练习1.给学生一些巩固练习题，包括计算圆的周长和面积的题目，以及绘制圆的题目。

2.让学生独立完成这些练习题，并互相交流答案和解题思路。

第五步：总结复习内容1.和学生一起回顾整节课的内容，强调重要的概念和计算方法。

2.解答学生提出的问题，帮助他们消除疑惑。

四、教学评价1.通过观察学生在课堂上的表现，评价他们对圆的概念的理解程度。

2.通过检查学生完成的练习题，评价他们在计算圆的周长和面积方面的能力。

3.对学生的圆的绘制情况进行评价，看是否能正确并精确地绘制出圆形。

五、教学反思本次复习教学设计在保持简洁明了的同时，覆盖了圆的基本概念、计算方法和绘制方法。

通过练习题的设置，学生在复习的同时也得到了巩固和提高。

在今后的教学中，可以进一步丰富教学资源，增加互动性，激发学生的学习兴趣。

同时，也可以根据学生的实际情况进行个性化的教学辅导，以提高教学效果。

北师大版九年级数学下册第三章圆圆的基本性质复习课教案

1 / 3ABCD OE例1图圆的基本性质复习课教案考纲要求：1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念。

2．探索圆周角、弧、弦之间的关系，了解并证明圆周角定理及其推论，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，圆内接四边形的对角互补。

教学重点：掌握圆的基本性质教学难点：圆的基本性质的应用教学过程：一、引入师：大家请看老师黑板上所画的图形圆。

这是我们这节课要复习的主要内容，请大家回顾，什么是圆？生：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。

师：根据定义，确定圆必须有几个条件？生：圆心和半径。

师：和圆有关的两种角是圆心角和圆周角，请同学们回顾它们的定义。

生：顶点在圆心的角是圆心角。

顶点在圆上、两边和圆相交的角是圆周角。

师：今天，老师带来了一个圆形纸片，但圆心找不到了，你们能通过折纸的方法帮老师找到这个圆的圆心吗？生：对折两次，两条折痕的交点就是圆心。

师：非常好，这两条折痕其实是圆的什么？对折后能完全重合，说明圆具有什么性质？生：折痕是直径，说明圆具有轴对称性。

师：圆是一个轴对称图形，从它的轴对称性我们可以得到垂径定理及其逆定理。

下面，我们回顾一下垂径定理及其逆定理的内容。

生：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

师：刚才，我们通过折纸的方法找到了圆的两条直径，如图，两条直径AB 与CD 的交点O 就是圆心。

那么，图中⌒AD 与⌒BC 、⌒AC 与⌒BD 相等吗？为什么？生：相等。

因为它们所对的圆心角相等。

师：在一个圆中，只要圆心角相等，它们所对的弧一定相等，这是因为圆具有旋转不变性。

这种旋转不变性，使得圆的三种基本量圆心角、弧、弦之间具有特殊的关系。

接下来我们就来复习这些内容。

二、知识回顾1．圆心角定理及其推论。

北师大版九年级下第三章圆导学案

3.1车轮为什么做成圆形学习目标、重点、难点【学习目标】1.经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程.2.理解圆的概念，理解点与圆的位置关系. 【重点难点】1.圆及其有关概念，点与圆的位置关系.2.用集合的观念描述圆.知识概览图新课导引【生活链接】在现实生活中，通过观察你会发现，像车轮、齿轮等都做成圆形，家用餐具中，锅、碗、盆等多数也是圆形．【问题探究】在现实生活中，还有许多物品都是做成圆形的．那么，你能描述出什么样的图形叫做圆吗?【点拨】平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．教材精华知识点1 圆的定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．其中，定点称为圆心，定长称为半径的长(通常也称为半径)．如图3－1所示，OA 为半径，以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”．拓展确定一个圆需要两个要素：一是圆心；二是半径．圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽然圆的位置固定，但大小不确定，因而圆不确定；只有半径没有圆心，虽然圆的大小固定，但圆心的位置不确定，因而圆也不确定．只有圆心和半径都固定了，圆才被唯一确定．探究交流 (1)以已知点O 为圆心，可以画个圆； (2)以已知线段AB 的长为半径，可以画个圆．点拨由于确定一个圆要有两个条件，即圆心和半径，而两个问题中都只有一个条件，这样的圆不能确定．故都应填“无数”．同时要注意到(1)中的圆都有相同的圆心，称为同心圆；(2)中的圆都有相同的半径，称为等圆．知识点2 点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内，如图3－2所示．点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径(OA ＞r )；点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径(OB ＝r )；点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径(OC ＜r )．拓展点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．即：如果圆的半径是r ，点到圆圆的定义点与圆的位置关系点在圆内点在圆上点在圆外＜r．探究交流设AB＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形．(1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形；(2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形．点拨(1)到点A的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙A，到点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙B，同时满足这两个条件的点为既在⊙A上，又在⊙B上的点，即为点P、点Q(如图3－3所示)．(2)满足条件的点为既在⊙A内，又在⊙B内的点，即如图3－4所示的阴影部分，但要注意不包括阴影的边界．规律方法小结1．本节运用的思想方法有分类讨论思想和转化思想．如：在分析点与圆的位置关系时，运用了分类讨论思想，而在判断点与圆的位置关系时，把问题转化为用点到圆心的距离与半径之间的数量关系来判断，运用了转化思想．2．(1)确定一个圆需要圆心和半径两个要素．(2)点与圆的位置关系可由点到圆心的距离与半径之间的数量关系来确定．课堂检测基本概念题1、求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．基础知识应用题2、两个圆的圆心都是O，半径分别为r和R(R＞r)，点A满足r＜OM＜R，那么点A在 ( )A．小圆内 B．大圆内 C．小圆外大圆内 D．小圆内大圆外综合应用题3、如图3－6所示，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm．(1)以点A为圆心，4 cm长为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何?(2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么?4、如图3－7所示，⊙O′过坐标原点O，点O′的坐标为(1，1)，判断点P(－1，1)，Q(1，0)，R(2，2)和⊙O′的位置关系．探索与创新题5、爆破时，导火索燃烧时的速度是每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域．如果这根导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全?6、已知线段AB＝4 cm，试用阴影表示到点A的距离不小于3 cm，而到点B的距离小于2 cm的点的集合．体验中考1、在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心O的距离为3 cm．则点P与⊙O的位置关系是．2、如图3－11所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB的度数为．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、已知：如图3－5所示，四边形ABCD 为矩形，O 是对角线AC 和BD 的交点．求证：A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上．分析欲证A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上，需证明OA ＝OB ＝OC ＝OD ．证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以AC ＝BD ，OA ＝OC ＝21AC ，OB ＝OD ＝21BD ，所以OA ＝OB ＝OC ＝OD ．所以A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上．【解题策略】解此类题要把文字语言转化为数学语言，根据题意画出图形，写出已知、求证，再进行证明，这是解此类问题的一般步骤．2、分析由于r ＜OA ，所以点A 在小圆外，而OA ＜R ，所以点A 在大圆内．故选C ．【解题策略】要判断平面上一点与圆的位置关系，只需比较该点到圆心的距离与半径的大小即可．3、分析要判断B ，C ，D 与⊙A 的位置关系，只需比较AB ，AC ，AD 的长与半径4 cm 的大小．解：(1)连接AC ．∵AB ＝3 cm ＜4 cm ，∴点B 在⊙A 内． ∵AD ＝4 cm ，∴点D 在⊙A 上．在Rt △ABC 中，∵AC ＝222243+=+BC AB ＝5 cm ＞4 cm ，∴点C 在⊙A 外．(2)∵AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，AC ＝5 cm ，∴点B 到圆心A 的距离3 cm 是最短的距离，点C 到圆心A 的距离5 cm 是最长的距离．要使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是3 cm ＜r ＜5 cm ．【解题策略】要确定⊙A 的半径r 的取值范围，需要知道B ，C ，D 三点到点A 的距离，即确定出最短距离和最长距离，才能确定半径r 的取值范围．4、分析解此题的关键是先求出⊙O ′的半径，即OO ′的长，其次要分别求出点P 、点Q 、点R 到圆心O ′的距离PO ′，QO ′和RO ′的长，再用OO ′的长与PO ′，QO ′和RO ′的长比较，即可得结论．解：⊙O ′的半径r ＝OO ′＝21122=+，2)11()11(22=-+--='O P ， 22(11)(01)1QO '=-+-=， 2)12()12(22=-+-='O R .∵QO ′＜r ．∴点Q 在⊙O ′内； ∵RO ′＝r ．∴点R 在⊙O ′上．【解题策略】本题在解题中应用了平面内任意两点间的距离公式．设平面内任意两点的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221221)()(y y x x AB -+-=．5、分析爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，120米为半径的圆的圆外部分．解：导火索燃烧的时间为9.018＝20(秒)，人跑的路程为20×6．5＝130(米)．∵130米＞120米，∴点导火索的人是安全的．【解题策略】解此题的关键是求人跑的路程，再与120米相比较．6、分析到点A 的距离不小于3 cm ．即所求点应在以A 为圆心、3 cm 长为半径的⊙A 的圆上及其外部；而到点B 的距离小于2 cm 的点应在以B 为圆心、2 cm 长为半径的⊙B 的内部．解：根据题意画出图形如图3－8所示，其中阴影部分即为所求．体验中考1、分析因为点P 到圆心O 的距离为3 cm ＜5 cm ，所以点P 在⊙O 内．故填点P 在⊙O 内．2、分析本题比较容易，考查圆的相关性质，根据∠ACO ＝32°可知∠CAO ＝32°，从而∠COB ＝∠ACO ＋∠CAO ＝32°＋32°＝64°．故填3.2圆的对称性学习目标、重点、难点【学习目标】1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程． 2．理解圆的对称性及相关知识．3．理解并掌握垂径定理及其逆定理．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．【重点难点】1.垂径定理及其逆定理．2.垂径定理及其逆定理的证明.知识概览图新课导引圆的有关概念：弧、弦、直径垂径定理及其逆定理圆的旋转不变性圆心角、弦心距等概念圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆的对称性教材精华知识点1 圆的轴对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．拓展圆的对称轴有无数条．不能说每条直径都是圆的对称轴，因为图形的对称轴是一条直线，应该说每条直径所在的直线都是圆的对称轴．知识点2 与圆有关的概念(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，如图3－13所示，以A ，B 为端点的弧记作“AB ”．读作“圆弧AB ”或“弧AB ”．(2)圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧(用三个字母表示，如图3－14所示的BAC )；小于半圆的弧叫做劣弧(如图3－14所示的BDC )．(3)连接圆上任意两点的线段叫做弦(如图3－14所示的线段CD )．(4)经过圆心的弦叫做直径(如图3－14所示的AB)．直径等于半径的2倍．拓展 (1)直径是弦，但弦不一定是直径．(2)半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．知识点3 垂径定理及其逆定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．如图3－15所示，垂径定理的题设和结论可用符号语言表示为：,,,,.AE BE CD O AD BD CD AB AC BC =⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩经过圆心垂足为E拓展 (1)这里的“垂径”可以是直径、半径、过圆心的直线或线段．(2)条件中的“弦”可以是直径，结论中的“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧．垂径定理的逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．如图3－15所示，垂径定理的逆定理的题设和结论可用符号语言表示为：,,(,()(.CD AB CD O CD ACB AC BC CD AB AB CD ADB AD BD ⎧⎪⎫⎪⇒=⎬⎨⎭⎪=⎪⎩垂直于弦经过圆心平分即平分弦不是直径平分即拓展一定不能忽略“弦不是直径”这个条件，因为圆中任意两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直．由垂径定理及其逆定理可得的其他结论．对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么就可推出其他三个：①垂直于弦；②平分弦；③平分弦所对的优弧；④平分弦所对的劣弧；知识点4 圆的旋转不变性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．实际上，一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．如图3－16所示，⊙O 绕圆心O 旋转任意一个角度α，⊙O 上的任意点A 与A ′重合，即⊙O 上的所有点旋转α角后，都与⊙O 上的点重合．知识点5 圆心角、弦心距的概念顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．如图3－17所示，∠AOB 是⊙O 的一个圆心角，垂线段OC 的长为弦AB 的弦心距．知识点6 圆心角、弧、弦之间的关系圆的一个特性：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－18所示，若下列三个等式：①∠AOB ＝∠COD ，②AB ＝CD ，③AB CD =中有一个等式成立，则其他两个等式也成立．拓展 (1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若丢掉这个前提条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系．(3)上述关系中的“弧”一般指劣弧．(4)在具体运用上述关系解决问题时，可根据需要选择其有关部分．如：在同圆中，相等的弦所对的弧相等；在等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．(5)上面的定理可以扩充为“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系的定理”——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－19所示，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，若下列四个等式：①∠AOB ＝∠COD ，②AB ＝CD ，③AB CD =，④OE ＝OF 中有一个等式成立，则其他三个等式也成立．探究交流长度相等的弧是等弧．点拨因为在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧，所以等弧必须是在同圆或等圆中的弧，也只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合．因此长度相等的弧不一定是等弧．规律方法小结 1．本节解决问题的主要思想方法是数形结合思想，通过图形把垂径定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系展现出来，将几何问题代数化．如垂径定理的应用，解题过程中使用列方程的方法，用代数方法解决几何问题．2．(1)与圆有关的一些概念的比较．概念区别与联系弦半圆和弧半圆是弧，但弧不一定是半圆同心圆、等圆同心圆是指圆心相同、半径不等的圆；等圆是指半径相等、圆心不同的圆(2)垂径定理及其逆定理和几个相关的结论是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据．在理解定理的前提下，要把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径、弦心距、弦长及弓形的高之间的关系式．如图3－20所示，对于一个圆中的弦长a 、弦心距d 、半径r 及弓形的高h ，我们利用垂径定理和勾股定理，由a ，d ，r ，h 中的任意两个可求其他两个． ①若已知r ，d ，则a ＝2 22r d -；h =r －d ． ②若已知r ，h ，则a ＝2 (2)h r h -；d ＝r －h ．③若已知r ，a ，则222a d r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；222a h r r ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．④若已知d ，h ，则r ＝h ＋d ；a =2(2)h h d +．⑤若已知a ，d ，则222a r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；222a h d d ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．⑥若已知a ，h ，则2222a h d h ⎛⎫- ⎪⎝⎭=；2222a h r h⎛⎫+ ⎪⎝⎭=．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．如图3－21所示，弦AB 与AB 及ACB 组成两个不同的弓形．弧的中点到弦的距离叫做弓形的高．如图3－22所示，C 为ACB 的中点，CD ⊥AB于D，则CD为弓形ACB的高．(3)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦和两条弦的弦心距四组量之间的相等关系可以概括为：圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等．课堂检测基本概念题1、下列语句中，不正确的有 ( )①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧．A．①③④B．②③ C．② D．②④基础知识应用题2、如图3－23所示，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，直径MN⊥AB于E，MN 交CD于F，根据垂径定理，请你至少写出五个结论．3、如图3－25所示，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB 的距离为3 cm，则⊙O的半径长为 cm．4、如图3－26所示，在⊙O中，过圆周上一点A作弦AB和AC，且AB＝AC，M和N 分别为弦AB及AC的中点，连接MN并向两方延长，交圆于P和Q两点，求证PM＝NQ．综合应用题5、如图3－27所示⊙O1和⊙O2相交于A和B两点，过点A作O1O2的平行线交两圆于C，D两点，已知O1O2＝20 cm，求CD的长．6、如图3－28所示，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径画圆，分别交AD，BC 于E，F，延长BA交⊙A于G，求证GE EF．探索与创新题7、如图3－29所示，在半圆O中，半径OF⊥AB于O，OF交CD于点E，CD∥AB，则弦AC与BD是否相等?8、如图3－30所示，∠APC＝∠BPC，PC过圆心O，请判断PA与PB之间的大小关系．体验中考1、如图3－33所示，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为E，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为 ( )A．2 B．32、如图3－34所示，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，则DM 的长为．3、如图3－35所示，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6 cm ，则直径AB 的长是 ( )A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 ①是正确的；②不正确，因为弧不一定是半圆，如优弧是弧，但不是半圆；③是正确的；④不正确，因为等弧是在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧．所以不正确的有②④．故选D ．【解题策略】准确理解弦、直径、弧、半圆、等弧等与圆有关的概念．2、分析由MN ⊥AB ．MN 为直径，可得AE ＝BE ，AM BM =，AN BN =．由MN ⊥AB ，AB ∥CD ，可得MN ⊥CD ，CF ＝DF ，CM DM =，CN DN =．又由CM DM =，AM BM =，可得CM AM DM BM -=-，即AC BD =．解：答案不唯一，如由MN ⊥AB ，MN 为直径，可得AE ＝BE ，AM BM =，NA BN =．由MN ⊥AB ，AB ∥CD ，可得MN ⊥CD ，CM DM =，CN DN =，AC BD =．【解题策略】由本例我们得出垂径定理的一个重要推论，即圆的两条平行弦所夹的弧相等．如图3－24所示，若AB ∥CD ，则AC BD = ．3、分析欲求半径长，可连接OB ．由垂径定理．可得BC ＝AC ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．在Rt △OCB 中，OB ＝222234OC BC +=+＝5(cm)．即⊙O 的半径长为5 cm ．故填5．【解题策略】 (1)垂径定理的应用常与勾股定理相联系．(2)连接半径是圆中常见的一种辅助线的作法．通过连接半径可构造出直角三角形，再利用勾股定理求相关线段的长度．4、分析欲证PM ＝NQ ，由PQ 为弦，容易联想到作弦心距OH ，则PH ＝HQ 连接OM ，ON ．现只需证MH ＝HN 即可．又M ，N 分别为弦AB ，AC 的中点，易知OM ＝ON ，所以可证MH ＝NH ．证明：作OH ⊥PQ 于H ，则PH ＝HQ 连接OM ，ON ． ∵M ，N 分别是弦AB ，AC 的中点，∴OM ⊥AB ，ON ⊥AC ．∵AB ＝AC ，∴OM ＝ON ．∵OH ⊥MN ，∴MH ＝HN ．∴PH －MH ＝HQ －HN ，∴PM ＝NQ ．【解题策略】本例反复运用垂径定理及其逆定理和推论来达到证题的目的，要仔细体会遇弦作弦心距这种辅助线作法的应用．5、分析可过O 1作O 1E ⊥CD 于E ，过O 2作O 2F ⊥CD 于F ，这样就可构造出矩形O 1O 2FE ，再利用矩形及垂径定理的相关知识求解．解：过O 1作O 1E ⊥AC 于E ，过O 2作O 2F ⊥AD 于F ，由垂径定理，可得AE ＝EC ，AF ＝DF ，∴EF ＝AE ＋AF ＝12CD ．∵EF ∥O 1O 2，O 1E ∥O 2F ，O 1E ⊥AC ，O 2F ⊥AD ， ∴四边形O 1O 2FE 是矩形．∴EF ＝O 1O 2＝20 cm ，∴CD ＝2EF ＝40 cm ．【解题策略】本题在解题过程中综合运用了垂径定理及矩形的判定和性质．6、分析可连接AF ，欲证GE EF =，可证它们所对的圆心角∠GAE 与∠EAF 相等．证明：连接AF ，则AB ＝AF ，∴∠ABF ＝∠AFB ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠DAF ＝∠AFB ，∠GAE ＝∠ABF ，∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE EF =．【解题策略】在同圆中，圆心角、弧、弦之间的关系是证弧相等、角相等、线段相等的依据，一般在分析时，哪一组量与所证问题联系最紧，就应构造这一组量，再证明相等．7、分析由图形和已知条件不难发现，半径OF 是弦CD 的中垂线，要探求弦AC 与BD 是否相等，只需判断圆心角∠AOC 与∠BOD 是否相等即可，可连接OC ，OD ．解：连接OC ，OD ，则OC ＝OD ．因为OE ⊥AB ，所以∠AOE ＝∠BOE ＝90°．又因为AB ∥CD ，所以OE ⊥CD ，CE ＝DE ，所以∠COE ＝∠DOE ，所以∠COA ＝∠BOD ，所以AC ＝BD ．【解题策略】本题的解题关键是利用垂径定理和半径的性质求得∠COE ＝∠DOE ，而不需要由△COE ≌△DOE 来得到∠COE ＝∠DOE ．8、分析 PA ，PB 既不是弦也不是弧，而是弦上的线段，所以可以过O 作两弦的垂线．解：作OE ⊥PA ，OF ⊥PB ，垂足分别为E ，F ，则AE ＝12GA ，BF ＝12HB ．因为∠APC ＝∠BPC ，所以OE ＝OF ，所以GA ＝HB ，所以12GA ＝12HB ，所以AE ＝BF ．因为OE ＝OF ，OP ＝OP ，所以Rt △OPE ≌Rt △OPF ，所以PE ＝PF ，所以PE ＋EA ＝PF ＋BF ，所以PA ＝PB ．【解题策略】 (1)圆心到弦的距离叫做弦心距；(2)在同圆或等圆中，若两条弧、两个圆心角、两条弦、两条弦的弦心距有一组量相等，则其余各组量都相等．体验中考1、分析在⊙O 中，AB 为直径，AB ⊥CD 于E ，所以∠DEB ＝90°，所以CE ＝DE ＝12CD＝2，所以BE ＝22(3)(2)-＝1．连接OD ，则O E ＝OD －BE ＝OD －1，所以在Rt △OED 中，OD 2＝(OD －1)2＋2(2)，解得OD ＝1．5．所以AB ＝2OD ＝3．故选B ．2、分析在⊙O 中，CD 为直径，弦AB ＝8．AB ⊥CD ，所以AM ＝BM ＝4，连接OB ，则OB ＝5，在Rt △OBM 中，OM ＝2254-＝3，所以DM ＝5＋3＝8．故填8．3、分析在⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于P ，CD ＝6 cm ，所以CP ＝DP ＝3 cm ，连接OD ，因为P 为OB 的中点，所以OP ＝12OD ，所以在Rt △ODP 中，(2OP )2＝OP 2＋32，解得OP ＝3±，因为OP ＞0，所以OP ＝3cm ，故AB ＝43cm ．故选D ．3.3圆周角和圆心角的关系学习目标、重点、难点【学习目标】1.了解圆周角的概念．2.理解圆周角定理的证明．【重点难点】1.圆周角概念及圆周角定理．2.认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．知识概览图新课导引【问题链接】如下图所示，通过观察发现，每一个图形都是由∠BAC 和⊙O 组成的．【问题探究】通过观察可知第三个图中的∠BAC 是⊙O 的圆周角．那么什么叫做圆周角呢?【点拨】顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．教材精华知识点1 圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．拓展圆周角有两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．二者缺一不可．知识点2 圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．拓展 (1)定理的要求是同一条弧所对的圆周角和圆心角，从数值上来看，圆周角是圆心角的一半．(2)不能忽略“同一条弧”这个前提条件，不能简单表述成“圆周角等于圆心角的一半”．关于这个定理的证明，教材上采用的是分类讨论的证明方法，这种方法应认真理解．其证明要点是：(1)将已知图形之间的各种可能位置关系进行分类；(2)先证明特殊位置的情形；(3)利用特殊情形的结论证明其他情形，即把其他情形转化为已证的特殊情形进行证明；(4)归纳、总结出一般性结论．这种方法可应用于解题之中．本定理的证明可以通过画图观察，如图3－44所示，以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数多个，但它们与圆心的位置关系归纳起来却只有三种情况：(1)圆心在角的一边上(如图3－44(1)所示)；(2)圆心在角的内部(如图3－44(2)所示)；(3)圆心在角的外部(如图3－44(3)所示)．在这三种情况下证明定理成立，进而证明在一般情况下也成立．圆周角和圆心角的关系圆周角的概念圆周角定理圆周角定理的推论知识点3 圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图3－45所示，AB所对的圆周角有∠ACB，∠ADB，∠AEB，因此∠ACB＝∠ADB＝∠AEB．拓展(1)若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论不成立．如图3－46所示，∠ACB，∠ADB，∠AEB所时的弦是同一条弦AB，∠ADB＝∠AEB，但∠ADB与∠ACB，∠AEB与∠ACB却不相等．(2)此推论的逆命题是一个真命题，可以作为圆周角定理的一个推论，其表述为：在同圆或等圆中．相等的圆周角所对的弧也相等．如图3－47所示．如果∠ACB＝∠DFE，那么AB DE．推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．如图3－48所示，若AB为直径，则∠ACB＝90°；若∠ACB＝90°，则AB为直径．由此得到：如果三角形的一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．规律方法小结1．(1)分类讨论思想：如本节中的圆周角定理，是分三种情况进行证明的，但对于各类所要证明的命题，应不应该分情况讨论，主要是看各种情况的证明方法是否相同．如果相同，那么不需要分情况证明；如果不同，那么必须分情况证明，而且情况要分得正确，不能重复或遗漏．(2)转化思想：在圆周角定理的证明过程所分的三种情况中，后两种情况是通过转化为第一种情况来证明的．2．圆心角与圆周角的比较．定义图形圆心角与圆周角的关系圆心角顶点在圆心的角一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如圆周角(1)顶点在圆上 (2)角的两边都与圆相交下图所示，∠ACB＝12∠AOB课堂检测基本概念题1、如图3－49所示，判断哪些角是圆周角．基础知识应用题2、如图3－50所示，在⊙O 中，∠AOC ＝150°，求∠ABC ，∠ADC ，∠EBC 的度数，并判断∠ABC 和∠ADC ，∠EBC 和∠ADC 的度数关系．3、如图3－51所示，已知AB 为⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，且AD ＝CD ，∠B ＝50°，求∠BAD ，∠DCB ，∠ADC 的度数．综合应用题4、如图3－52所示，AB ，CD 是半径为5的圆内互相垂直的两条直径，E 为AO 的中点，连接CE并延长，交⊙O于另一点F，求弦CF的长．5、如图3－53所示，已知⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．探索与创新题6、在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图3－54所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)体验中考1、如图3－59所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为 ( ) A．30° B．45°C．60° D．90°2、如图3－60所示，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．3、如图3－61所示，在⊙O中，∠ABC＝40°，则∠AOC＝度．4、如图3－62所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD＝度．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析只有(2)具备圆周角的两个特征．(1)(3)的顶点不在圆上，(4)(5)虽然顶点在圆上．但角的两边不与圆相交，因此(1)(3)(4)(5)都不是圆周角．解：(2)中的角是圆周角．【解题策略】正确理解圆周角的概念．2、分析解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如ADC所对的圆心角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC，ABC所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC．解：∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝12∠AOC＝75°(圆周角定理)，∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°．∴∠ADC＝12∠α＝105°(圆周角定理)．∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°．∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∠EBC＝∠ADC＝105°，∴∠ABC和∠ADC互补，∠EBC和∠ADC相等．【解题策略】理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角定理解题的前提．3、分析由AB是直径，连接AC，可得∠ACB＝90°．由AD＝CD．可得AD CD=，连接OD，可得OD⊥AC，OD∥BC，∠AOD＝∠B＝50°．由圆周角定理，可得∠DCA＝12∠DOA＝25°．只要求出∠DCA的度数，其余的角可以很容易求得．解：连接AC，OD．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵AD＝CD，∴AD CD=，∴OD⊥AC．∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OD∥BC，。

北师大版九年级下第三章圆导学案

3.1车轮为什么做成圆形学习目标、重点、难点【学习目标】1.经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程.2.理解圆的概念，理解点与圆的位置关系. 【重点难点】1.圆及其有关概念，点与圆的位置关系.2.用集合的观念描述圆.新课导引【生活链接】在现实生活中，通过观察你会发现，像车轮、齿轮等都做成圆形，家用餐具中，锅、碗、盆等多数也是圆形．【问题探究】在现实生活中，还有许多物品都是做成圆形的．那么，你能描述出什么样的图形叫做圆吗?【点拨】平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．教材精华知识点1 圆的定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．其中，定点称为圆心，定长称为半径的长(通常也称为半径)．如图3－1所示，OA 为半径，以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”．拓展确定一个圆需要两个要素：一是圆心；二是半径．圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽然圆的位置固定，但大小不确定，因而圆不确定；只有半径没有圆心，虽然圆的大小固定，但圆心的位置不确定，因而圆也不确定．只有圆心和半径都固定了，圆才被唯一确定．探究交流 (1)以已知点O 为圆心，可以画个圆； (2)以已知线段AB 的长为半径，可以画个圆．点拨由于确定一个圆要有两个条件，即圆心和半径，而两个问题中都只有一个条件，这样的圆不能确定．故都应填“无数”．同时要注意到(1)中的圆都有相同的圆心，称为同心圆；(2)中的圆都有相同的半径，称为等圆．知识点2 点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内，如图3－2所示．点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径(OA ＞r )；点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径(OB ＝r )；点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径(OC ＜r )．拓展点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．即：如果圆的半径是r ，点到圆心的距离为d ，那么：(1)点在圆外⇔d ＞r ；(2)点在圆上⇔d ＝r ；(3)点在圆内⇔d ＜r ．探究交流设AB＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形．(1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形；(2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形．点拨(1)到点A的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙A，到点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙B，同时满足这两个条件的点为既在⊙A上，又在⊙B上的点，即为点P、点Q(如图3－3所示)．(2)满足条件的点为既在⊙A内，又在⊙B内的点，即如图3－4所示的阴影部分，但要注意不包括阴影的边界．规律方法小结1．本节运用的思想方法有分类讨论思想和转化思想．如：在分析点与圆的位置关系时，运用了分类讨论思想，而在判断点与圆的位置关系时，把问题转化为用点到圆心的距离与半径之间的数量关系来判断，运用了转化思想．2．(1)确定一个圆需要圆心和半径两个要素．(2)点与圆的位置关系可由点到圆心的距离与半径之间的数量关系来确定．课堂检测基本概念题1、求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．基础知识应用题2、两个圆的圆心都是O，半径分别为r和R(R＞r)，点A满足r＜OM＜R，那么点A在 ( ) A．小圆内 B．大圆内 C．小圆外大圆内 D．小圆内大圆外综合应用题3、如图3－6所示，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm．(1)以点A为圆心，4 cm长为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何?(2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么?4、如图3－7所示，⊙O′过坐标原点O，点O′的坐标为(1，1)，判断点P(－1，1)，Q(1，0)，R(2，2)和⊙O′的位置关系．探索与创新题5、爆破时，导火索燃烧时的速度是每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域．如果这根导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全?6、已知线段AB＝4 cm，试用阴影表示到点A的距离不小于3 cm，而到点B的距离小于2 cm 的点的集合．体验中考1、在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心O的距离为3 cm．则点P与⊙O的位置关系是．2、如图3－11所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB的度数为．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、已知：如图3－5所示，四边形ABCD 为矩形，O 是对角线AC 和BD 的交点．求证：A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上．分析欲证A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上，需证明OA ＝OB ＝OC ＝OD ．证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以AC ＝BD ，OA ＝OC ＝21AC ，OB ＝OD ＝21BD ，所以OA ＝OB ＝OC ＝OD ．所以A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上．【解题策略】解此类题要把文字语言转化为数学语言，根据题意画出图形，写出已知、求证，再进行证明，这是解此类问题的一般步骤．2、分析由于r ＜OA ，所以点A 在小圆外，而OA ＜R ，所以点A 在大圆内．故选C ．【解题策略】要判断平面上一点与圆的位置关系，只需比较该点到圆心的距离与半径的大小即可．3、分析要判断B ，C ，D 与⊙A 的位置关系，只需比较AB ，AC ，AD 的长与半径4 cm 的大小．解：(1)连接AC ．∵AB ＝3 cm ＜4 cm ，∴点B 在⊙A 内． ∵AD ＝4 cm ，∴点D 在⊙A 上．在Rt △ABC 中，∵AC ＝222243+=+BC AB ＝5 cm ＞4 cm ，∴点C 在⊙A 外．(2)∵AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，AC ＝5 cm ，∴点B 到圆心A 的距离3 cm 是最短的距离，点C 到圆心A 的距离5 cm 是最长的距离．要使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是3 cm ＜r ＜5 cm ．【解题策略】要确定⊙A 的半径r 的取值范围，需要知道B ，C ，D 三点到点A 的距离，即确定出最短距离和最长距离，才能确定半径r 的取值范围．4、分析解此题的关键是先求出⊙O ′的半径，即OO ′的长，其次要分别求出点P 、点Q 、点R 到圆心O ′的距离PO ′，QO ′和RO ′的长，再用OO ′的长与PO ′，QO ′和RO ′的长比较，即可得结论．解：⊙O ′的半径r ＝OO ′＝21122=+，2)11()11(22=-+--='O P ，1QO '==， 2)12()12(22=-+-='O R .∵PO ′＞r ．∴点P 在⊙O ′外；∵QO ′＜r ．∴点Q 在⊙O ′内； ∵RO ′＝r ．∴点R 在⊙O ′上．【解题策略】本题在解题中应用了平面内任意两点间的距离公式．设平面内任意两点的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221221)()(y y x x AB -+-=．5、分析爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，120米为半径的圆的圆外部分．解：导火索燃烧的时间为9.018＝20(秒)，人跑的路程为20×6．5＝130(米)．∵130米＞120米，∴点导火索的人是安全的．【解题策略】解此题的关键是求人跑的路程，再与120米相比较． 6、分析到点A 的距离不小于3 cm ．即所求点应在以A 为圆心、3 cm 长为半径的⊙A 的圆上及其外部；而到点B 的距离小于2 cm 的点应在以B 为圆心、2 cm 长为半径的⊙B 的内部．解：根据题意画出图形如图3－8所示，其中阴影部分即为所求．体验中考1、分析因为点P 到圆心O 的距离为3 cm ＜5 cm ，所以点P 在⊙O 内．故填点P 在⊙O 内．2、分析本题比较容易，考查圆的相关性质，根据∠ACO ＝32°可知∠CAO ＝32°，从而∠COB ＝∠ACO ＋∠CAO ＝32°＋32°＝64°．故填3.2圆的对称性学习目标、重点、难点【学习目标】1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程． 2．理解圆的对称性及相关知识．3．理解并掌握垂径定理及其逆定理．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．【重点难点】1.垂径定理及其逆定理．2.垂径定理及其逆定理的证明.新课导引【生活链接】对于现实生活中的各种圆形物体，我们可以发现它们的对称美．教材精华知识点1 圆的轴对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．拓展圆的对称轴有无数条．不能说每条直径都是圆的对称轴，因为图形的对称轴是一条直线，应该说每条直径所在的直线都是圆的对称轴．知识点2 与圆有关的概念(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，如图3－13所示，以A ，B 为端点的弧记作“AB ”．读作“圆弧AB ”或“弧AB ”． (2)圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大BAC )；小于半于半圆的弧叫做优弧(用三个字母表示，如图3－14所示的圆的弧叫做劣弧(如图3－14所示的BDC )．(3)连接圆上任意两点的线段叫做弦(如图3－14所示的线段CD )． (4)经过圆心的弦叫做直径(如图3－14所示的AB)．直径等于半径的2倍．拓展 (1)直径是弦，但弦不一定是直径．(2)半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．知识点3 垂径定理及其逆定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．如图3－15所示，垂径定理的题设和结论可用符号语言表示为：,,,,.AE BE CD O AD BD CD AB AC BC =⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩经过圆心垂足为E拓展 (1)这里的“垂径”可以是直径、半径、过圆心的直线或线段．(2)条件中的“弦”可以是直径，结论中的“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧．垂径定理的逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．如图3－15所示，垂径定理的逆定理的题设和结论可用符号语言表示为：,,(,()(.CD AB CD O CD ACB AC BC CD AB AB CD ADB AD BD ⎧⎪⎫⎪⇒=⎬⎨⎭⎪=⎪⎩垂直于弦经过圆心平分即平分弦不是直径平分即拓展一定不能忽略“弦不是直径”这个条件，因为圆中任意两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直．由垂径定理及其逆定理可得的其他结论．对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么就可推出其他三个：①垂直于弦；②平分弦；③平分弦所对的优弧；④平分弦所对的劣弧；⑤过圆心．知识点4 圆的旋转不变性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．实际上，一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．如图3－16所示，⊙O 绕圆心O 旋转任意一个角度α，⊙O上的任意点A与A ′重合，即⊙O 上的所有点旋转α角后，都与⊙O 上的点重合．知识点5 圆心角、弦心距的概念顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．如图3－17所示，∠AOB 是⊙O 的一个圆心角，垂线段OC 的长为弦AB 的弦心距．知识点6 圆心角、弧、弦之间的关系圆的一个特性：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－18所示，若下列三个等式：①∠AOB ＝∠COD ，②AB ＝CD ，③AB CD=中有一个等式成立，则其他两个等式也成立．拓展 (1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若丢掉这个前提条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系．(3)上述关系中的“弧”一般指劣弧．(4)在具体运用上述关系解决问题时，可根据需要选择其有关部分．如：在同圆中，相等的弦所对的弧相等；在等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．(5)上面的定理可以扩充为“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系的定理”——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－19所示，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，若下列四个等式：①∠AOB ＝∠COD ，②AB ＝CD ，③AB CD =，④OE ＝OF 中有一个等式成立，则其他三个等式也成立．探究交流长度相等的弧是等弧．点拨因为在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧，所以等弧必须是在同圆或等圆中的弧，也只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合．因此长度相等的弧不一定是等弧．规律方法小结 1．本节解决问题的主要思想方法是数形结合思想，通过图形把垂径定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系展现出来，将几何问题代数化．如垂径定理的应用，解题过程中使用列方程的方法，用代数方法解决几何问题．2．(1)(2)垂径定理及其逆定理和几个相关的结论是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据．在理解定理的前提下，要把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径、弦心距、弦长及弓形的高之间的关系式．如图3－20所示，对于一个圆中的弦长a 、弦心距d 、半径r 及弓形的高h ，我们利用垂径定理和勾股定理，由a ，d ，r ，h 中的任意两个可求其他两个． ①若已知r ，d ，则a ＝h =r －d ． ②若已知r ，h ，则a ＝2 ；d ＝r －h ．③若已知r ，a，则d =h r =．④若已知d ，h ，则r ＝h ＋d ；a．⑤若已知a ，d，则r =h d =．⑥若已知a ，h ，则2222a h d h ⎛⎫- ⎪⎝⎭=；2222a h r h⎛⎫+ ⎪⎝⎭=．与AB 及由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．如图3－21所示，弦ABACB 组成两个不同的弓形．弧的中点到弦的距离叫做弓形的高．如图3－22所示，C 为ACB 的中点，CD ⊥AB 于D ，则CD 为弓形ACB 的高．(3)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦和两条弦的弦心距四组量之间的相等关系可以概括为：圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等．课堂检测基本概念题1、下列语句中，不正确的有 ( )①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧． A ．①③④ B ．②③ C ．② D ．②④基础知识应用题2、如图3－23所示，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，直径MN ⊥AB 于E ，MN 交CD 于F，根据垂径定理，请你至少写出五个结论．3、如图3－25所示，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则⊙O的半径长为cm．4、如图3－26所示，在⊙O中，过圆周上一点A作弦AB和AC，且AB＝AC，M和N分别为弦AB及AC的中点，连接MN并向两方延长，交圆于P和Q两点，求证PM＝NQ．综合应用题5、如图3－27所示⊙O1和⊙O2相交于A和B两点，过点A作O1O2的平行线交两圆于C，D两点，已知O1O2＝20 cm，求CD的长．6、如图3－28所示，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径画圆，分别交AD，BC于E，F，延．长BA交⊙A于G，求证GE EF探索与创新题7、如图3－29所示，在半圆O 中，半径OF ⊥AB 于O ，OF 交CD 于点E ，CD ∥AB ，则弦AC 与BD 是否相等?8、如图3－30所示，∠APC ＝∠BPC ，PC 过圆心O ，请判断PA 与PB 之间的大小关系．体验中考1、如图3－33所示，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为E ，且CD ＝，BD ，则AB的长为 ( )A ．2B ．3C ． 4D ．52、如图3－34所示，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，则DM 的长为．3、如图3－35所示，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6 cm ，则直径AB 的长是 ( )A ．．C ．cmD ．cm学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 ①是正确的；②不正确，因为弧不一定是半圆，如优弧是弧，但不是半圆；③是正确的；④不正确，因为等弧是在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧．所以不正确的有②④．故选D ．【解题策略】准确理解弦、直径、弧、半圆、等弧等与圆有关的概念．2、分析由MN ⊥AB ．MN 为直径，可得AE ＝BE ，AM BM =，AN BN =．由MN ⊥AB ，AB ∥CD ，可得MN ⊥CD ，CF ＝DF ，CM DM =，CN DN =．又由CM DM =，AM BM =，可得CM AM DM BM -=-，即AC BD =．解：答案不唯一，如由MN ⊥AB ，MN 为直径，可得AE ＝BE ，AM BM =，NA BN =．由MN ⊥AB ，AB ∥CD ，可得MN ⊥CD ，CM DM =，CN DN =，AC BD =．【解题策略】由本例我们得出垂径定理的一个重要推论，即圆的两条平行弦所夹的弧相等．如图3－24所示，若AB ∥CD ，则AC BD = ．3、分析欲求半径长，可连接OB ．由垂径定理．可得BC ＝AC ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．在Rt△OCB中，OB=5(cm)．即⊙O的半径长为5 cm．故填5．【解题策略】 (1)垂径定理的应用常与勾股定理相联系．(2)连接半径是圆中常见的一种辅助线的作法．通过连接半径可构造出直角三角形，再利用勾股定理求相关线段的长度．4、分析欲证PM＝NQ，由PQ为弦，容易联想到作弦心距OH，则PH＝HQ连接OM，ON．现只需证MH＝HN即可．又M，N分别为弦AB，AC的中点，易知OM＝ON，所以可证MH＝NH．证明：作OH⊥PQ于H，则PH＝HQ连接OM，ON．∵M，N分别是弦AB，AC的中点，∴OM⊥AB，ON⊥AC．∵AB＝AC，∴OM＝ON．∵OH⊥MN，∴MH＝HN．∴PH－MH＝HQ－HN，∴PM＝NQ．【解题策略】本例反复运用垂径定理及其逆定理和推论来达到证题的目的，要仔细体会遇弦作弦心距这种辅助线作法的应用．5、分析可过O1作O1E⊥CD于E，过O2作O2F⊥CD于F，这样就可构造出矩形O1O2FE，再利用矩形及垂径定理的相关知识求解．解：过O1作O1E⊥AC于E，过O2作O2F⊥AD于F，由垂径定理，可得AE＝EC，AF＝DF，∴EF＝AE＋AF＝12 CD．∵EF∥O1O2，O1E∥O2F，O1E⊥AC，O2F⊥AD，∴四边形O1O2FE是矩形．∴EF＝O1O2＝20 cm，∴CD＝2EF＝40 cm．【解题策略】本题在解题过程中综合运用了垂径定理及矩形的判定和性质．6、分析可连接AF，欲证GE EF=，可证它们所对的圆心角∠GAE与∠EAF相等．证明：连接AF，则AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF，∴∠GAE＝∠EAF，∴GE EF=．【解题策略】在同圆中，圆心角、弧、弦之间的关系是证弧相等、角相等、线段相等的依据，一般在分析时，哪一组量与所证问题联系最紧，就应构造这一组量，再证明相等．7、分析由图形和已知条件不难发现，半径OF是弦CD的中垂线，要探求弦AC与BD是否相等，只需判断圆心角∠AOC与∠BOD是否相等即可，可连接OC，OD．解：连接OC，OD，则OC＝OD．因为OE⊥AB，所以∠AOE＝∠BOE＝90°．又因为AB∥CD，所以OE⊥CD，CE＝DE，所以∠COE＝∠DOE，所以∠COA＝∠BOD，所以AC＝BD．【解题策略】本题的解题关键是利用垂径定理和半径的性质求得∠COE＝∠DOE，而不需要由△COE≌△DOE来得到∠COE＝∠DOE．8、分析PA，PB既不是弦也不是弧，而是弦上的线段，所以可以过O作两弦的垂线．解：作OE⊥PA，OF⊥PB，垂足分别为E，F，则AE＝12GA，BF＝12HB．因为∠APC＝∠BPC，所以OE＝OF，所以GA＝HB，所以12GA＝12HB，所以AE＝BF．因为OE＝OF，OP＝OP，所以Rt△OPE≌Rt△OPF，所以PE＝PF，所以PE＋EA＝PF＋BF，所以PA＝PB．【解题策略】 (1)圆心到弦的距离叫做弦心距；(2)在同圆或等圆中，若两条弧、两个圆心角、两条弦、两条弦的弦心距有一组量相等，则其余各组量都相等．体验中考1、分析在⊙O中，AB为直径，AB⊥CD于E，所以∠DEB＝90°，所以CE＝DE＝12CD，所以BE1．连接OD，则O E＝OD－BE＝OD－1，所以在Rt△OED中，OD2＝(OD－1)2＋2，解得OD＝1．5．所以AB＝2OD＝3．故选B．2、分析在⊙O中，CD为直径，弦AB＝8．AB⊥CD，所以AM＝BM＝4，连接OB，则OB＝5，在Rt△OBM中，OM3，所以DM＝5＋3＝8．故填8．3、分析在⊙O中，直径AB垂直弦CD于P，CD＝6 cm，所以CP＝DP＝3 cm，连接OD，因为P为OB的中点，所以OP＝12OD，所以在Rt△ODP中，(2OP)2＝OP2＋32，解得OP＝，因为OP＞0，所以OPcm，故AB＝．故选D．3.3圆周角和圆心角的关系学习目标、重点、难点【学习目标】1.了解圆周角的概念．2.理解圆周角定理的证明．【重点难点】1.圆周角概念及圆周角定理．2.认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．新课导引【问题链接】如下图所示，通过观察发现，每一个图形都是由∠BAC和⊙O组成的．【问题探究】通过观察可知第三个图中的∠BAC是⊙O的圆周角．那么什么叫做圆周角呢?【点拨】顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．教材精华知识点1 圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．拓展圆周角有两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．二者缺一不可．知识点2 圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．拓展(1)定理的要求是同一条弧所对的圆周角和圆心角，从数值上来看，圆周角是圆心角的一半．(2)不能忽略“同一条弧”这个前提条件，不能简单表述成“圆周角等于圆心角的一半”．关于这个定理的证明，教材上采用的是分类讨论的证明方法，这种方法应认真理解．其证明要点是：(1)将已知图形之间的各种可能位置关系进行分类；(2)先证明特殊位置的情形；(3)利用特殊情形的结论证明其他情形，即把其他情形转化为已证的特殊情形进行证明；(4)归纳、总结出一般性结论．这种方法可应用于解题之中．本定理的证明可以通过画图观察，如图3－44所示，以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数多个，但它们与圆心的位置关系归纳起来却只有三种情况：(1)圆心在角的一边上(如图3－44(1)所示)；(2)圆心在角的内部(如图3－44(2)所示)；(3)圆心在角的外部(如图3－44(3)所示)．在这三种情况下证明定理成立，进而证明在一般情况下也成立．知识点3 圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图3－45所示，AB所对的圆周角有∠ACB，∠ADB，∠AEB，因此∠ACB＝∠ADB＝∠AEB．拓展(1)若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论不成立．如图3－46所示，∠ACB，∠ADB，∠AEB所时的弦是同一条弦AB，∠ADB＝∠AEB，但∠ADB与∠ACB，∠AEB与∠ACB却不相等．(2)此推论的逆命题是一个真命题，可以作为圆周角定理的一个推论，其表述为：在同圆或等圆中．相等的圆周角所对的弧也相等．如图3－47所示．如果∠ACB ＝∠DFE ，那么AB DE ．推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．如图3－48所示，若AB 为直径，则∠ACB ＝90°；若∠ACB ＝90°，则AB 为直径．由此得到：如果三角形的一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．规律方法小结 1．(1)分类讨论思想：如本节中的圆周角定理，是分三种情况进行证明的，但对于各类所要证明的命题，应不应该分情况讨论，主要是看各种情况的证明方法是否相同．如果相同，那么不需要分情况证明；如果不同，那么必须分情况证明，而且情况要分得正确，不能重复或遗漏．(2)转化思想：在圆周角定理的证明过程所分的三种情况中，后两种情况是通过转化为第一种情况来证明的．2课堂检测基本概念题1、如图3－49所示，判断哪些角是圆周角．基础知识应用题2、如图3－50所示，在⊙O中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC，∠EBC的度数，并判断∠ABC和∠ADC，∠EBC和∠ADC的度数关系．3、如图3－51所示，已知AB为⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，且AD＝CD，∠B＝50°，求∠BAD，∠DCB，∠ADC的度数．综合应用题4、如图3－52所示，AB，CD是半径为5的圆内互相垂直的两条直径，E为AO的中点，连接CE并延长，交⊙O于另一点F，求弦CF的长．5、如图3－53所示，已知⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．探索与创新题6、在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图3－54所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)体验中考1、如图3－59所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为 ( )A．30° B．45°C．60° D．90°2、如图3－60所示，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．3、如图3－61所示，在⊙O中，∠ABC＝40°，则∠AOC＝度．4、如图3－62所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD ＝度．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析只有(2)具备圆周角的两个特征．(1)(3)的顶点不在圆上，(4)(5)虽然顶点在圆上．但角的两边不与圆相交，因此(1)(3)(4)(5)都不是圆周角．解：(2)中的角是圆周角．【解题策略】正确理解圆周角的概念．2、分析解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如ADC所对的圆心角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC，ABC所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC．解：∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝12∠AOC＝75°(圆周角定理)，∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°．∴∠ADC＝12∠α＝105°(圆周角定理)．∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°．∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∠EBC＝∠ADC＝105°，∴∠ABC和∠ADC互补，∠EBC和∠ADC相等．【解题策略】理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角定理解题的前提．3、分析由AB是直径，连接AC，可得∠ACB＝90°．由AD＝CD．可得AD CD=，连接OD，可得OD⊥AC，OD∥BC，∠AOD＝∠B＝50°．由圆周角定理，可得∠DCA＝12∠DOA＝25°．只要求出∠DCA的度数，其余的角可以很容易求得．解：连接AC，OD．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵AD＝CD，∴AD CD=，∴OD⊥AC．∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝50°，∴∠DCA＝12∠AOD＝25°．∵AD CD=，∴∠DCA＝∠DAC＝25°．∵∠CAB＝90°－∠B＝90°－50°＝40°，∴∠DAB＝∠DAC＋∠CAB＝25°＋40°＝65°，∠ADC＝180°－∠DA C－∠DCA＝180°－25°－25°＝130°，∠DCB＝∠DCA＋∠ACB＝25°＋90°＝115°．【解题策略】运用圆周角定理及其推论解此题．4、分析连接FD，由CD为直径，可得∠CFD＝90°，易知△OCE与△FCD相似，CF的长可由相似三角形的对应边成比例求得．解：连接FD．∵CD为直径，∴∠CFD＝90°．又∵CD⊥AB，∴∠COE＝∠CFD＝90°．∵∠ECO＝∠DCF，∴△COE∽△CFD，∴CD CECF CO=，即CO CDCFCE=．又∵1155222 OE AO==⨯=，∴在Rt△COE中，CE===∴CF==．【解题策略】这里构造直径所对的圆周角(直角)是解题的关键，它是一种重要的添加辅助线的方法，应注意掌握．5、分析BC可直接由勾股定理求出．求AD，BD的长，要先利用∠ACB被CD平分，得AD BD=，然后再利用勾股定理求解．解：因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝∠ADB＝90°．在Rt△ACB中，BC=＝8(cm)．因为CD平分∠ACB，所以AD BD=，所以AD＝BD，所以在Rt△ADB中，AD＝BD＝AB=(cm)．【解题策略】已知条件中若有直径，则先利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质求解．6、分析在真正的足球比赛中，情况会很复杂，这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑．如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点各自对球门MN 的张角的大小．当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截．解：连接BM，BN，过M，N，B三点作圆，显然A点在圆外．连接MA交圆于C，连接NC，NA，则∠MAN＜∠MCN．∵∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN，因此在B点射门较好，即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．【解题策略】谁射门更好，关键是看哪一点的射门命中率更高，而射门的命中率的高低与射门点对球门两个边框M，N的张角大小有关，张角越大，命中的机会越大，于是可以考虑过M，N 以及A，B中的任意一点作一圆，比较∠MA N与∠MBN的大小．体验中考1、分析∵AB为⊙O的直径，∠ACB为AB所对的圆周角，∴∠ACB＝90°．故选D．2、分析一台监视器监控到的最长弧所对应的圆心角为65°×2＝130°，因为36010213013=，故至少在圆形边缘上安装3台监视器，才能监控整个展厅．故填3．3、分析此题考查圆中圆周角与圆心角的关系，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．故填80．。

数学北师大版九年级下册圆复习导学案

第二章《圆》复习导学案（1）【课前热身】１.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC =30°，过点A 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点D ，则∠D = .2 .如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 到点C ，使BC=OB ，过点C 作⊙O 的切线CD ，D 为切点.判断△ACD 的形状： .第1题图第2题图3.圆锥的底面半径是3cm ，母线长是5cm ，则它的侧面展开图的面积是________4.圆心角为120°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长分别是________5.若圆锥的母线长为5cm ，高为3cm ，则侧面展开图中扇形的圆心角的度数是 _______6.用一个半径长为6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为7.用一张圆形的纸剪一个边长为4cm 的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小应为__8.圆锥母线长10cm ，底面半径为6cm ，那么它的侧面展形图的圆心角是9.如图，OA=OB =5㎝，AB =8㎝，⊙O 的半径为3㎝． AB 与⊙O 相切吗？为什么？【例题精选】例1、四边形ABCD 的对角线交于点E ，有AE=EC ，BE=ED ，以AB 为直径的半圆过点E ，圆心为O ．（1）利用图1，求证：四边形ABCD 是菱形．（2）如图2，若CD 的延长线与半圆相切于点F ，已知直径AB=8．①连结OE ，求△OBE 的面积．②求弧AE的长。

例2、如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E . ⊙O 的切线BF 与弦AD 的A B_ B _ A _ D_ AA延长线相交于点F ，且AD =3，cos ∠BCD=43 . （1）求证：CD ∥BF ；（2）求⊙O 的半径；（3）求弦CD 的长.例3、如图，矩形ABCD 的边AB =3cm ，AD =4cm ，点E 从点A 出发，沿射线AD 移动，以CE 为直径作圆O ，点F 为圆O 与射线BD 的公共点，连接EF 、CF ，过点E 作EG ⊥EF ，EG 与圆O 相交于点G ，连接CG ．（1）试说明四边形EFCG 是矩形；（2）当圆O 与射线BD 相切时，点E 停止移动，在点E 移动的过程中，①矩形EFCG 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G 移动路线的长．。

九年级数学下册第三章圆复习教案 (新版)北师大版

——————————新学期新成绩新目标新方向——————————
圆
课程标准描述
考试大纲描述
教材内容分析
圆的整章复习
学生分析
学生通过对本章知识的学习，对基本知识的理解达到一定的水平，希望通过本节课的复习，能够更进一步加深印象。
学习目标
理解圆的各种定理，及补充定理，掌握几种圆相关的位置关系。
重点
定理的运用
例18：已知扇形的半径为5厘米，圆心角所对的弧长为4 ，则此扇形的面积是。
例19：如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OA=1，∠AOB= ，
求图中阴影部分的面积。
检测课堂效果
教学反思
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ教学后完成
难点
定理的运用
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图（备注）
导
教师用问题导入，引入新课题，明确目标
（1）圆是到定点的距离定长的点的集合；圆的内部可以看作是到圆心的距离
半径的点的集合；圆的外部可以看作是到圆心的距离半径的点的集合
（2）点和圆的位置关系：若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：
点P在圆dr点P在圆dr点P在圆 dr
例1：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米，以点A为圆心，
学生思考，了解学习目标
导入新课
思
教师出示导学提纲，提出学生自学的明确要求，做好巡视检查，做好小组评价
根据导学提纲阅读教材，完成导学提纲的问题
跟踪训练：例1：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米，以点A为圆心，
4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系分别为点B在圆A ，
为200mm，则油槽截面的直径为。

3 1圆导学案北师大版数学九年级下册

第三章圆3.1 圆【学习目标】：1．认识圆，了解圆的定义；2．了解弦、弧、等圆、等弧等与圆有关的概念；3．掌握点与圆的位置关系．【学习重点】：掌握点与圆的位置关系．【学习难点】：掌握点与圆的位置关系．【学习过程】：一、预学：1、提出问题，创设情境[阅读课本P65第一段，完成下列问题]问题（1）：这样的队形对每个人都公平吗？如果不公平，他们应当排成怎样的队形才公平？问题（2）：你知道的与圆有关的知识有哪些？2、目标导引，预学探究（一）问题分析：[阅读课本P65页4-13行，完成下列问题]问题（1）：连接圆上任意两点的线段叫做；经过圆心的弦叫做；圆上任意两点间的部分叫做；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做；能够重合的两个圆叫做；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做。

问题（2）：以1cm为半径能画几个圆，以点O为圆心能画几个圆？问题（3）：如何画一个确定的圆？确定一个圆的要素有哪些？问题（X）：（预学后，你还有哪些没弄懂的问题，请列举在下面）：二、研学（合作发现，交流展示）探究一：点和圆的位置关系1、⊙O是一个半径为r的圆，在圆内、圆上、圆外分别取一点，点到圆心的距离为d，请你用r和d的大小关系刻画点的位置特征.点P在⊙O内点P在⊙O上点P在⊙O外2、⊙O的半径为10cm，Ｄ、Ｅ、Ｆ三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点Ｄ、Ｅ、Ｆ与⊙O的位置关系是：点Ｄ在；点Ｅ在；点Ｆ在 .探究二：根据圆的概念作图设AB=3cm，作出满足下列要求的图形：（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形；（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形；（3）到点A的距离大于3cm，且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形．探究X：总结归纳：1、确定圆的元素有哪些？2、点和圆有哪几种位置关系？这些位置关系取决于哪些线段的数量关系？三、评学1、积累巩固：（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．（2）图中有条直径，条非直径的弦圆中以A为一个端点的优弧有条，劣弧有条．（3）判断下列说法的正误，并说明理由或举一反例．1)弦是直径；2)半圆是弧；3)过圆心的线段是直径；4)过圆心的直线是直径；5)半圆是最长的弧；6)直径是最长的弦；7)长度相等的弧是等弧.(4)正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A .（5）⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为（）A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.在⊙O上或⊙O外2、拓展延伸：(1)画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.(2)一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远的距离为10cm，则这个圆的半径是 .【课堂小结】：通过本课学习，你掌握了哪些知识？获得了哪些技能？还存在什么疑问？。

九年级数学圆3.1圆导学案新版北师大版

3.1圆预习案一、预习目标及范围：1.知道圆的有关定义及表示方法.2.掌握点和圆的位置关系.3.会根据要求画出图形.预习范围：P51-52二、预习要点1.判断点与圆的位置关系的方法：设⊙Ｏ的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有（1）点P在⊙Ｏ上则 OP r（2）点P在⊙Ｏ内则 OP r（3）点P在⊙Ｏ外则OP r2.要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点到的距离相等.三、预习检测1.正方形ABCD的边长为3cm，以Ａ为圆心，３cm长为半径作⊙Ａ，则点Ａ在⊙Ａ，点Ｂ在⊙Ａ，点Ｃ在⊙Ａ，点Ｄ在⊙Ａ.２.已知⊙Ｏ的半径是５cm，Ａ为线段ＯＰ的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点Ａ与⊙Ｏ的位置关系：当OP＝６cm时， ;当OP＝10cm时， ;当OP＝14cm时， ;3.已知⊙O的面积为25π，判断点P与⊙O的位置关系．（1）若PO=5.5，则点P在；（2）若PO=4，则点P在；（3）若PO= ，则点P在圆上．4.已知圆P的半径为3，点Q在圆P外，点R在圆P上，点H在圆P内，则PQ______3，PR______3,PH______3.5.一个点到已知圆上的点的最大距离是8，最小距离是2，则圆的半径是______. 探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作观察车轮，你发现了什么？车轮为什么做成圆形?车轮做成三角形、正方形可以吗？探究1; （1）如图，A，B表示车轮边缘上的两点，点O表示车轮的轴心，A，O之间的距离与B，O之间的距离有什么关系？（2）C表示车轮边缘上的任意一点，要使车轮能够平稳地滚动，C，O之间的距离与A，O之间的距离应满足什么关系？明确：探究2：投圈游戏一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字排开,这样的队形对每个人公平吗?你认为他们应当排成什么样的队形?为了使投圈游戏公平,现在有一条3米长的绳子, 你准备怎么办?定义：A注意：1.从圆的定义可知:圆是指圆周而不是圆面.2.确定圆的要素是：以点O为圆心的圆记作：探究3：圆的有关性质战国时期的《墨经》一书中记载：“圜，一中同长也”.古代的圜（huán）即圆，这句话是圆的定义，它的意思是：圆是从中心到周界各点有相同长度的图形.提问: 如果一个点到圆心距离小于半径, 那么这个点在哪里呢?大于圆的半径呢?反过来呢?试根据圆的定义填空：1.圆上各点到________________的距离都等于___________________.2.到定点的距离等于定长的点都在_________.探究4：点与圆的位置关系如图，设⊙O的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那么OA＜r， OB＝r，OC＞r．结论：点的位置可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来，已知点到圆心的距离与半径的关系也可以确定该点与圆的位置关系.1.画图：已知Rt△ABC，AB<BC,∠B=90°，试以点B为圆心，BA为半径画圆.2.根据图形回答下列问题：（1）看图想一想，Rt△ABC的各个顶点与⊙B在位置上有什么关系？答：（2）在以上三种关系中，点到圆心的距离与圆的半径在数量上有什么关系？活动2：探究归纳点在圆外，这个点到圆心的距离半径.点在圆上，这个点到圆心的距离半径.点在圆内，这个点到圆心的距离半径.活动内容2：典例精析例1.已知⊙O的半径r=2cm,当OP 时，点P在⊙O上；当OA=1cm时，点A在；当OB=4cm时，点B在 .答案：例2.已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，试猜想：矩形的四个顶点能在同一个圆上吗？答：二、随堂检测1.（上海·中考）矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A.点B，C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B，C均在圆P内2.（新疆建设兵团·中考）如图，王大爷家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳子可以选用（）A.3mB.5mC.7mD.9m3.（泉州·中考）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是________.（写出符合的一种情况即可）参考答案预习检测：1.内部不；上；外部；上2. 点Ａ在⊙Ｏ内部；点Ａ在⊙Ｏ上；点Ａ在⊙Ｏ外部3.圆外；圆内；54. ＞；=；＜5. 5或3随堂检测1. 【解析】选C.由题意知，PB=6，PA=2，PD=7， PC=9，所以点B在圆P内、点C在圆P外.2. 答案:A3. 【解析】∵圆心的位置不确定，∴交点个数共有5种情况即0、1、2、3、4.故答案为0或1或2或3、4.答案：2（符合答案即可）。

(完整版)九年级数学圆复习课导学案

提高
C.2AB>CDD.2AB<CD
wZ.
J
3如图2所示，已知BC为OO直径，D为圆上一点，且有/ADC=20°，那么
2题
C
A
/ACB=。
4•如图3所示，已知/AOB=100，则
ZACB=
B
C
5•如图4所示，在OO中，ZACB=ZD=60
°,AC=3，则△ABC的周长=。
6.如图5所示，在OO中，BD为直径，
O中，直径AB=2，且
点P是OC上一动点，贝y
PA+PD的最小
值是（
)
A.2
B・3S3
2
D.-3 -1
OC丄AB，点D在AC上，AD 2CD,
周日九年级数学圆复习课导学案
备课人：张艳班级：学生姓名:
学习目标
1•知道弧、弦、圆心角之间的关系；
2•圆周角及其定理；
1•圆心角：我们把在圆心的角称为圆
心角；圆心角的度数寺于所对的的度
数。
2•弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对
的弦、所对弦心距的。
C
3•圆周角：在圆周上，并且都
、
目标指导
和圆相交的于它所对的弧上的圆心
角度数,或者可以表示为圆周角的度
数等于它所对的的度数的一半。
/O\
V
4•相关推论：①半圆或直径所对的圆周角都是，都是：②90。的圆周角所
对的弦是；
5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，相等的圆周角所对的和
都相等；
1•下列语句中，正确的有（）
—-
①相等的圆心角所对的弧也相等；②顶
D<
合作探究

九年级数学下册第3章圆复习导学案新版北师大版_

第三章圆一、知识梳理(一)圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

(二)点与圆的位置关系1、点在圆内点在圆内；2、点在圆上点在圆上；3、点在圆外点在圆外；（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆相离无交点；2、直线与圆相切有一个交点；3、直线与圆相交有两个交点；（四）圆与圆的位置关系外离（图1）无交点；外切（图2）有一个交点；相交（图3）有两个交点；内切（图4）有一个交点；内含（图5）无交点；（五）垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①是直径②③④弧弧⑤弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙中，∵∥ ∴弧弧。

九年级数学下册第3章圆3.1圆导学案新版北师大版_

春九年级数学下册第三章圆小结与复习学案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中九年级下册数学学案

第三章小结与复习【学习目标】1．复习本章内容，要求对本章知识有整体认识．2．在巩固复习中，掌握圆中各性质定理的运用．【学习重点】对本章知识结构的总体认识．【学习难点】把握有关性质和定理解决问题．情景导入生成问题知识结构框图：圆⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧圆的有关性质⎩⎪⎨⎪⎧圆的有关概念圆的对称性⎩⎪⎨⎪⎧圆心角、弧、弦之间的关系垂径定理圆周角定理及其推论圆内接四边形直线与圆的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧直线与圆的位置关系切线的性质与判定三角形的内切圆切线长定理圆内接正多边形弧长和扇形面积公式自学互研生成能力知识模块一圆的有关性质X 例1：如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为( C ) A ．2cmB .3cmC ．23cmD ．25cm,(X 例1题图)) ,(仿例图))仿例：如图所示，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的半径OA′，OB ′分别交小圆于点A ，B ，则下列结论中正确的是( D )A ．A ′B ′＝2AB B .AB ︵＝A ′B ′︵C .AB ︵＝12A ′B ′D ．AA ′＝BB′知识模块二圆的切线X 例2：(某某中考)如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD ＝OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B 是CF ︵的中点，弦CF 交AB 于点E.若⊙O 的半径为2，则CF ＝23．仿例1：(某某中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点A(－4，0)，B(0，4)，⊙O 的半径为1(O 为坐标原点)，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为7．(X 例2题图) (仿例1题图) (仿例2题图)仿例2：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，则AD 为．知识模块三圆的其他计算X 例3：圆内接正六边形的边长、半径、边心距之比为( A )A ．2∶2∶3B ．1∶1∶3C ．1∶2∶3D ．1∶2∶ 3仿例1：圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为( C )A ．6B ．9C ．18D ．36(仿例2题图) (仿例3题图)仿例2：(某某中考)如图，将一块含30°角的直角三角板和半圆量角器按如图的方式摆放，使斜边与半圆相切．若半径OA ＝2，则图中阴影部分的面积为43π＋32(结果保留π)．仿例3：如图，在▱ABCD 中，以点A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C ，交AD 于点E ，延长BA与⊙A 相交于点F ，若EF ︵的长为π2，则图中阴影部分的面积是2－π2,.) 交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一圆的有关性质知识模块二圆的切线知识模块三圆的其他计算检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：_____________________________________________________________2．存在困惑：_________________________________________________________。

2019年九年级数学下册 3.1 圆导学案(新版)北师大版.doc

_B _O _A _C 2019年九年级数学下册 3.1 圆导学案（新版）北师大版【学习目标】1、理解圆的概念，理解点与圆的位置关系。

2、能运用圆的半径相等解决简单推理证明。

【学习重难点】重点：用集合的观点研究圆的概念及点与圆的位置关系难点：运用圆的半径相等解决简单推理证明【学习过程】模块一预习反馈一、知识回顾：1、以定点O 为圆心作圆，能作个圆，这些圆都是圆。

确定一个圆需要两个要素，一是＿，二是＿，确定位置，确定大小。

（提示：圆心相同的圆叫做同心圆；半径相等的圆叫做等圆）二、自主学习：看书65页---66页后，解答下列问题：1、圆的定义：____________ （运动的观点）2、圆的有关概念：弦（直径）、弧（半圆、优弧、劣弧）、等圆、等弧；⑴ 弦：连接圆上叫做弦；经过圆心的弦叫做；直径是圆中的弦⑵ 弧：圆上叫做圆弧，简称弧；以A ，B 为端点的弧记作： ①圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做；②大于半圆的弧（用三个字母表示）叫做，•小于半圆的弧叫做．⑶ 等圆：叫做等圆；即半径的两个圆是等圆。

⑷ 等弧：在同圆或等圆中，叫做等弧。

⑸ 同心圆：相同，不等的一些圆叫做同心圆。

实践练习：⑴ 如图所示，______是直径, ______是弦,_______是劣弧,__________是优弧。

⑵如果a ,d 分别是同一个圆的弦和直径，则a ,d 的大小关系是__________________.3、点和圆的位置关系点P 到圆心O 的距离为d ，那么： r r r PP P点P 在圆 d r 点P 在圆 d r 点P 在圆 d r 实践练习：⊙O 的半径10cm ，A 、B 、C 三点到圆心的距离分别为8cm 、10cm 、12cm ，则点A ，B ，C 与⊙O 的位置关系是：点A 在；点B 在；点C 在。

模块二：合作探究探究1、如图，Rt △ABC 的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB 上的高为CD ，若以C 为圆心，分别以r 1=2cm ，r 2=2．4cm ，r 3=3cm 为半径作圆，试判断D 点与这三个圆的位置关系。

初中数学北师大九年级下册(2023年新编) 圆导学案

第2题图课题3．3 垂径定理预习疑问一、问题引入：1.圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是______对称图形，它的对称中心是____________________．2.垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．几何语言：（如右图）∵∴3.平分________（不是直径）的直径________于弦，并且平分________________________________．二、基础训练：1.圆的半径为5cm ，圆心到弦AB 的距离为4cm ，则AB =______cm ．2.如图，CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD 于E ，DE =8cm ，CE =2cm ，则AB =______cm ．3.如图，⊙O 的半径OC 为6cm ，弦AB 垂直平分OC ，则AB =______cm ，∠AOB =______．三、成果展示：1. (2023 广东省中山市) 如图，在⊙O 中，已知半径为5，弦AB 的长为8，那么圆心O 到AB的距离为 _________ ．第3题图第3题图EBDOC A第2题第1题图2.(2023 浙江省嘉兴市) 如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A. 2B. 4C. 6D.83.如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（）A ．4B ．6C ．7D ．84.如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．55.如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（）A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm6.下列命题中，正确的是（）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心第4题图第5题7.如图，直径是50cm 圆柱形油槽装入油后，油深CD 为15cm ，求油面宽度AB8. (2023 浙江省湖州市) 已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D （如图）．（1）求证：AC=BD ；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．9.如图，已知⊙O 的半径为30mm ，弦AB ＝36mm ，求点O 到AB 的距离及 cos ∠OAB 的值．D OBCA第7题图OAB。

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