平行与垂直

背景分析一、教学内容“平行与相交”是新人教版小学数学四年级上册第四单元“平行四边形和梯形”的第一课时。

这部分内容在整个教材体系中处于“承上启下”的位置，它是在学生学习了直线及角的知识的基础上教学的，又是之后认识平行四边形和梯形的基础。

教材在编写这一课时时原本设置的是“垂直与平行”，也就是说要在这节课中，对两条直线的位置关系要进行两次分类，通过第一次分类，让学生体会在同一平面内两条直线的位置关系有相交和不相交两种情况，然后通过对相交再次分类，分成相交成直角的和不成直角的，学习“垂直”。

在此基础上得出结论：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。

如果相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

这样一个完整的知识点，我们在经过一练以后却发现通过一节课教学有一些困难和不合理之处：1．从知识结构上来看，虽然“垂直”与“平行”都属于同一平面内两条直线的特殊位置关系，但是在分类上，它们属于不同的分类标准之下。

“平行”是与“相交”相对的，它们的分类标准是同一平面内的两条直线是否会相交，而“垂直”是在“相交”这一前提之下，相交成了直角的这样一种特殊的“相交”关系，它是“相交”的下位概念。

虽然我们非常重视将完整的知识结构呈现给学生，通过两次分类分别教学“平行”和“垂直”，但由于一节课中，我们关注的重点是“平行”与“垂直”两种特殊的情况，所以留在学生脑中的往往是单独的这两个概念，而没有一幅完整的知识结构图，因此在解答类似于“同一平面内的两条直线，要么平行，要么垂直”时，学生往往会判“对”。

2．从一练中学生学习情况来看，本节课中要学习的概念比较集中：“同一平面”、“相交”、“互相平行”、“互相垂直”、“垂线”、“垂足”等，这也给学生学习带来了很大的困难。

同时，因为本次教学的对象是三年级下学期的学生，在能力上更加欠缺一些，也让我们不得不降低教学的难度。

基于以上两个原因，我们在二练时大胆地对教材进行了重组：在第一课时中只将同一平面内的两条直线进行一次分类，理解“平行”的概念和意义。

然后在第二课时的教学中，再将“相交”进行二次分类，重点学习“垂直”。

我们设想这样能降低教学难点，降低学生学习的难度，有利于学生学得更扎实。

二、学生情况学生在本册第二单元“角的度量”中，学习了有关直线和角的知识，知道直线具有向两端无限延长的特点，同时也认识直角，这为本课时打下了学习基础。

另外，平行与相交是同一平面内两条直线的两种位置关系，在生活中有着广泛的应用，如学校操场上的单杠、双杠等都蕴涵着平行与相交的“原型”，这能唤起学生的生活经验。

但通过课前与学生的谈话也可以了解到大部分学生对“平行”的理解等同于“水平”，存在着片面性。

同时，这一几何知识虽然直观，但比较抽象，也难于理解，对学生的学习也造成了一定的困难。

“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。

教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

”这是新的《数学课程标准(实验稿)》对数学教学活动提出的基本理念之一。

本节课关注学生的生活经验和知识基础，努力创设学生主动获取知识的空间。

充分运用学具操作、教具演示，从不同角度培养学生的思维能力，有效培养学生的空间观念。

教学目标：1.初步理解平行与相交是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识平行线。

2.培养学生的空间想象能力。

3.感受数学与生活的联系，生活中处处有数学。

教学手段：采用学生操作，结合PPT课件演示，提高教学效率。

技术准备：自制的PPT课件、平行四边形框架、小棒、正方体框架、练习纸。

教学过程：（文字描述）一练：从数学情境引入，进行空间想象将两条直线画在纸上，选择有代表性的几组直线贴于黑板，然后引导学生小组讨论，将这几组直线按照两条直线的位置关系进行分类，分成相交和不相交两类。

然后引导学生对相交和不相交的情况进行观察和讨论，先讨论不相交的情况，揭示平行线的含义。

再讨论相交的情况，通过量两条相交直线所组成角的度数，揭示垂线的含义。

二练：开门见山直接出示课题，让学生说说对“平行”的了解，通过学生的回答了解学生的已有经验。

接着，分两阶段教学“平行”这一概念：首先，通过让学生摆出已知直线的平行线，将看似不相交其实延长后会相交的情况进行辨析，认识到平行线的本质特征，理解“永不相交”的含义，将同一平面内两条直线的位置关系分为平行和相交两类。

然后通过在正方体中找与已知线段互相平行的线段，突破“同一平面内”这一难点，完善平行线的概念。

教学过程(表格描述)一练：学习效果评价设计本节课的教学内容是“平行”，这一内容看似简单，但学生要真正理解“平行”这一概念也存在着一定的难度，从课堂上学生的反馈中就可以看出很多学生存在着片面的理解。

一练和二练的教学内容不同，那么对“平行”概念的掌握是否如我们之前设想的呢？单独教学“平行”概念，是否能使学生对这一知识结构的掌握更加完整，是否有利于对“平行”概念的掌握呢？在教学结束后，我们设置了有关练习在一练和二练的班级进行测试，以下是测试题目和分析。

后测题目及数据统计：1．下列各图中，互相平行的是（）。

（正确答案： A、C）后测目的：检查学生对平行线的再认情况。

2．判断。

（1）不相交的两条直线叫做平行线。

（）(正确答案：×)后测目的：检查学生对平行线应在“同一平面内”这一前提条件的记忆情况。

（2）两条直线的位置关系，不是平行，就是相交。

（）（正确答案：√）后测目的：检查学生对两直线位置关系的了解情况。

3．在下面这个正方体中，与AB边平行的边有几条？分别是哪几条？请你写一写，或描一描。

（正确答案：有三条：CD、EF、GH）后测目的：检查学生在较复杂的立体图形中，是否能将平行与相交进行区分，是否能找到所有的平行线。

情况分析：1．从对平行线的理解看，两个班级大部分的学生都能正确理解，在6幅图中有一半左右的学生能将所有的平行线找到。

在错误的学生中，大部分是漏找的，找错的学生比较少。

相比而言，二练班级找到所有平行线的学生更多，找错平行线的情况也更少。

说明二练班级的学生对平行线的图解更加清楚。

2．从对定义的完整掌握看，一练班级的大部分学生忽略了对“同一平面内”这一前提条件，对两条直线的位置关系也有一部分学生不能正确分类，经课后与第（2）道判断题判错的学生谈话，了解到这一部分学生认为两条直线的位置关系除了平行和相交以外，还有垂直，混乱了分类标准。

3．两个班级的掌握情况有很大的差异。

二练班级的学生能找到所有平行线的学生比一练班级多了20%多，找错的学生少了接近50%。

说明，在复杂的立体图形中，学生对平行和相交区分得更加清楚，也就说明二练班级对平行这一概念掌握得更好。

三练设想三练时，我将在二练的基础上，保留大部分的教学设计，再进行略微的改动。

首先仍然保持二练的课时安排，在这一课时仍然只将两条直线的位置关系进行一次分类，教学“相交”和“平行”，在第二课时再进行二次分类，教学“垂直”。

同时强化学生对“同一平面”的理解，在学生得出正方体中的两条异面直线虽然永远都不会相交但不能称为平行线时，让学生在身边找找这样的异面直线，从反例中理解“同一平面”的意义。

其次，改变教师引导得出“平行线”定义的方式，在让学生摆已知直线的平行线之前，让学生先说说准备怎么摆，从另一个角度让学生表达“平行线”的含义。

1．从知识结构和学生学习情况出发，适当调整教学内容，从整体把握平行和垂直的含义。

经过教学内容的调整，本课时只需让学生体会在同一平面内的两条直线有平行和相交两种位置关系，重点教学“平行”。

然后在第二课时中再讨论相交的情况，通过量两条相交直线所组成的角的度数，揭示垂直的含义。

这样将两个内容安排在不同的课时，学生便清楚垂直只是相交的一种特殊情况，而不是除了平行和相交以外的两条直线的第三种位置关系，帮助学生搭建了正确的知识结构。

这样的安排更有利于学生从整体把握平行和垂直的含义，理解知识之间的内在联系。

2．关注学生已有的生活经验和知识基础，把握教学的起点和难点。

教材在编写这部分内容时，建议我们先让学生任意画两条直线，然后引导学生根据两条直线是否相交把这些作品加以分类，接着对不相交的情况进行观察和讨论，揭示平行的含义。

从以往的教学来看，这样的设计脉络清晰，能让学生体会到在同一平面内两条直线的位置关系有相交和不相交两种情况，但是这样的分类对于学生也是有一些难度的，因为在之前的学习中，我们从没有接触过这样的分类标准。

教学的任务是解决学生现有的认识水平和教育要求之间的矛盾，为学习而设计教学，是教学设计的出发点，也是归宿。

考虑到学生经过三年的数学学习，已具备一定的知识基础，同时对于“平行”的概念，虽然比较抽象，但也并不是完全没有这样的生活基础，所以我们尝试从纯数学引入，直接出示课题，让学生说说对平行的了解。

学生虽然不能完整清晰地表达平行的含义，但理解基本是正确的，也能很快将平行确定为两条直线的位置关系，并知道像平行四边形的对边这样的两条直线是平行线。

因为对学生的学习起点有了了解，在接下去的教学中，我们就顺应学生的思维，直接让学生摆一摆已知直线的平行线，切入教学重难点。

这样开门见山似的教学，能使学生更轻松地学习。

3．循序渐进，层层突破教学的难点。

本节课的教学难点是对平行的理解，而对这一概念的理解又有两个难点，一是“永不相交”，要特别注意两条直线延长后才相交的情况，二是“同一平面”，这是一个非常抽象的概念，学生理解时会有很大的难度。

如果要完整地揭示平行的含义，往往不能兼顾这两个难点，容易忽略对“同一平面”的充分理解。

通过对学生的了解，我们觉得学生对于“永不相交”的理解还是比较容易的，于是我们便从简单的开始，先引导学生得出“永不相交的两条直线叫做平行线”，通过练习巩固对平行线这一特点的认识，然后通过在立体图形中找平行线的练习，引出异面直线，进而突破“同一平面”这一难点。

虽然这样的设计使得“平行”的概念直到课的末尾才得以完整地呈现，但是我们觉得数学概念的学习本身就是一个不断修正完善的过程，让学生一步一个台阶，循序渐进地习得完整的概念，这样符合学生的学习心理，更有利于学生正确掌握概念。

4．我的思考。

数学语言的准确运用是学生数学素养的体现，要培养学生准确运用数学语言的能力，不仅要求教师准确示范，同时也需要有效的训练方法。

在本节课中，为了让学生能准确表达“哪两条直线互相平行”，我特意提问学生“什么叫互相”，通过对“互相”的解释加深学生对一组平行线中两条直线之间关系的理解，以让学生能更完整地表达，但是从几次教学看，收效甚微。