函数自变量取值范围
函数定义域的取值范围口诀
函数定义域的取值范围口诀
确定函数定义域的口诀如下：
1. 函数定义域是函数自变量的取值范围，其实际意义是：自变量取每一个确定的值，函数都有唯一确定的值与之对应。
因此，定义域的取值范围是由函数的解析式和实际问题的要求共同确定的。
2. 分式函数的分母不能为0，偶次根式函数的被开方数必须大于等于0，零指数幂的底数不能为0，负整数指数幂的底数不能为负数。
3. 函数解析式有意义的情况包括：一元二次函数二次项系数大于0，分式分母不为0等。
在实际应用中，根据问题的实际情况确定自变量的取值范围即可。
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反比例函数与一次函数
反比例函数与一次函数1．函数自变量的取值范围自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．2.函数的图象函数的图象定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．3.函数的表示方法函数的三种表示方法：____、____、____．其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．4．反比例函数的性质反比例函数的性质：（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是____；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．5．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y=xk（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．6．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．7．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题：①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．8．反比例函数综合题（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．9.一次函数的图象（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣bk，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b．注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b 分别是与y 轴，x 轴平行的直线，就不是一次函数的图象．（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx 平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：________；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．10．一次函数图象与系数的关系由于y=kx+b 与y 轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y=kx+b 的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y=kx+b 的图象在二、三、四象限．11．两条直线相交或平行问题直线y=kx+b，（k≠0，且k，b 为常数），当k 相同，且b 不相等，图象平行；当k 不同，且b 相等，图象相交；当k，b 都相同时，两条线段重合．（1）两条直线的交点问题两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．（2）两条直线的平行问题若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同．例如：若直线y 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2平行，那么k 1=k 2．12．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．13．一次函数综合题（1）一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（2）一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（3）用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．14．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y=k1x和反比例函数y=在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y=k1x和反比例函数y=在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y=k1x和反比例函数y=在同一直角坐标系中有0个交点．1.函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．【例1】（2014•成都双流中学期末）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＜B．x≠﹣C．x≠D．x＞练1.（2014春•湘潭中学质检）下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y=B．y=C．y=x﹣3D．y=2.待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质．【例2】（2014•山西中考一模）如果反比例函数的图象经过点（﹣2，﹣3），那么k的值为（）A．B．C．﹣6D．6练2.已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（）A．第二，三象限B．第一，三象限C．第三，四象限D．第二，四象限3.反比例函数图象上点的坐标特征．【例3】（2014•河北博野县一模）点M （﹣2，3）在曲线y=上，则下列点一定在该曲线上的是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（3，2）练3.已知点P（m，n）在某反比例函数的图象上，则此图象上还有点（）A．（0，0）B．（﹣m，﹣n）C．（m，﹣n）D．（﹣m，n）4．一次函数的图象．【例4】（2014•秋•宜昌校级月考）关于x 的一次函数y=kx+k 2+1的图象可能正确的是（）A．B．C．D．练4.已知函数y=kx+b 的图象如图，则y=2kx+b 的图象可能是（）A．B．C．D．5．反比例函数与一次函数的交点问题．【例5】（2014•东营中学期中）如图所示，反比例函数y 1与正比例函数y 2的图象的一个交点坐标是A（2，1），若y 2＞y 1＞0，则x 的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．练5．如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m 在第一象限交于点P（6，2），A、B 为直线上的两点，点A 的坐标为2，点B 的横坐标为3．D、C 为反比例函数图象上的两点，且AD、BC 平行于y 轴．（1）直接写出k，m 的值；（2）求梯形ABCD 的面积．1．若一次函数y=kx+b（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜0B．k＞0C．b＜0D．b＞02．如果函数y=ax+b（a＜0，b＜0）和y=kx（k＞0）的图象交于点P，那么点P应该位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．小明在一直道上骑自行车，经过起步、加速、匀速、减速之后停车．设小明骑车的时间为t（秒），骑车的路程为s（米），则s关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．4．在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（）m1234v0.01 2.98.0315.1A．v=2m﹣2B．v=m2﹣1C．v=3m﹣3D．v=m+15．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度为y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（）A．B．C．D．6．一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应（）A．不小于4.8ΩB．不大于4.8ΩC．不小于14ΩD．不大于14Ω__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．矩形面积为4，它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为（）A．B．C．D．2．为了预防“HINI”流感，某校对教室进行药熏消毒，药品燃烧时，室内每立方米的含药量与时间成正比；燃烧后，室内每立方米含药量与时间成反比，则消毒过程中室内每立方米含药量y与时间t的函数关系图象大致为（）A．B．C．D．3．一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应（）A．不小于4.8ΩB．不大于4.8ΩC．不小于14ΩD．不大于14Ω4．设从茂名到北京所需的时间是t，平均速度为v，则下面刻画v与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．）与它的体积v（m3）5．根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p（pa 的乘积是一个常数k，即pv=k（k为常数，k＞0），下列图象能正确反映p与v之间函数关系的是（）A．B．C．D．6．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积．7．某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600件的任务，计划用t天完成．（1）写出每天生产夏凉小衫w（件）与生产时间t（天）（t＞4）之间的函数关系式；（2）由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前4天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？8．为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．根据以上信息，解答下列问题：（1）求药物燃烧时y与x的函数关系式；（2）求药物燃烧后y与x的函数关系式；（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体无毒害作用．那么从消毒开始，经多长时间学生才可以返回教室？。
值域和定义域的区别
值域和定义域的区别值域和定义域的区别：定义域是函数的自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；4、分段函数的定义域是各个区间的并集；5、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；6、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域。
1．观察法用于简单的解析式。
y=1-√x≤1，值域-∞,1]y=1+x/1-x=2/1-x-1≠-1，值域-∞,-1∪-1,+∞.2．配方法多用于二次型函数。
y=x^2-4x+3=x-2^2-1≥-1，值域[-1,+∞）y=e^2x-4e^x-3=e^x-2^2-7≥-7，值域[-7,+∞）3．换元法多用于复合型函数。
通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。
特别注意中间变量（新量）的变化范围。
4．不等式法用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。
5．最值法如果函数fx存在最大值M和最小值m，那么值域为[m,M]。
因此，求值域的方法与求最值的方法是相通的。
6．反函数法（又叫反解法）函数和它的反函数的定义域与值域互换。
如果一个函数的值域不易求，而它的反函数的定义域易求，那么我们可以通过求后者得出前者。
7．单调性法若fx在定义域[a,b]上是增函数，则值域为[fa,fb]；若是减函数，则值域为[fb,fa]。
1变量与函数如何确定自变量的取值范围
如何确定自变量的取值范围学习了函数以后就会经常遇到求自变量的取值范围的问题，那么如何才能正确地确定自变量的取值范围呢？一般可以从以下几个方面去考虑：一、当解析式是整式时，自变量的取值范围是一切实数例1 求下列函数中自变量x 的取值范围：（1）y ＝2x +3；（2）y ＝－3x 2+1.分析 由于这两个函数的解析式都是整式型的，所以自变量的取值范围是一切实数. 解（1）自变量x 的取值范围是一切实数；（2）自变量x 的取值范围是一切实数. 说明 求解时首先应判断函数是否属于是整式型的.二、当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的一切实数例2 求下列函数中自变量x 的取值范围：（1）y ＝21x +；（2）y ＝－22x x x --. 分析 这两道题都是属于分式型的，所以分母不等于零即可.解（1）因为x +1≠0，所以x ≠－1.即y ＝21x +中的自变量x 的取值范围是x ≠－1. （2）因为x 2－x －2≠0，即(x +1)( x －2)≠0，所以x ≠－1且x ≠2.即y ＝－22x x x --中的自变量x 的取值范围是x ≠－1且x ≠2.说明 这里在处理（2）时应特别注意文字“或”与“且”的使用.三、当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不是负数的一切实数例3 求下列函数中自变量x 的取值范围：（1）y （2）y . 分析 这两道题都是属于根式型的，所以只要被开方数不是负数，即是非负数.解（1）因为x +2≥0，即x ≥－2，所以y x 的取值范围是x ≥－2.（2因为2x －3≥0且3－2x ≥0，即x ≥32且x ≤32，所以x ＝32，所以y +x 的取值范围是x ＝32. 说明 在求解第（2）小题时，应保证使每一个根式都同时有意义.四、当解析式是由上述几种形式组合而成，应首先求出式子中各部分的取值范围，然后再求出它们的公共部分例4 求下列函数中自变量x 的取值范围：（1）y+x ；（2）y ＝1x -. 分析 这两道是属于复合型的，要使函数有意义，必须保证每一个式子都有意义. 解（1）因为根式要分母上，所以只要满足3x +5＞0，即x ＞－53，所以y +x 中的自变量x 的取值范围是x ＞－53.（2）要使函数有意义，必须满足①x +2≥0，②x －1≠0，即x ≥－2且x ≠－1.说明 在处理复合型函数自变量的取值范围时一定要根据题目的结构特征，分清每一部分的意义，只有保证每一部分都有意义了，才能从整体上保证函数有意义.五、当函数涉及到实际问题时，自变量的取值范围必须保证实际问题有意义例5 一次劳动技术课上，老师要求同学们制作一个周长为20cm 的等腰三角形.请你帮助同学们写出底边长y (cm ）与一腰长x (cm ）的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围.分析 一个等腰三角形有两条腰，一个底边，腰与底的和等于周长，而腰长，即自变量的取值范围必须受到图形本身的限制，一方面边长应是正值，另一方面应满足三角形的两边之和大于第三边.解 依据题意，得2x +y ＝20，即底边长y (cm ）与一腰长x (cm ）的函数关系式为y ＝20－2x .因为x +x ＝2x ＞y ，所以0＜y ＝20－2x ＜2x ，即5＜x ＜10.所以y ＝80－2x （5＜x ＜10）.说明 在求解本题中自变量x 的取值范围得注意两个问题：一是边长x 应是正值，二是应满足三角形的两边之和大于第三边，缺一不可.下面几道习题选自全国部分省市的中考试卷，供同学们练习.1，（广东省）函数y ＝11x +中自变量x 的取值范围是 ( ) A A.x ≠－l B.x ＞－1 C.x ＝－1 D.x ＜－12，（潍坊市）函数y ＝12x -中，自变量x 的取值范围是（ ）D A.x ≥－2 B . x ＞2 C.x ＞－1且x ≠2 D. x ≥－1且x ≠23，（苏州市）下列函数中，自变量x 的取值范围是x ＞2的函数是（ ）CA.yB.y ＝C.yD.y。
函数自变量的取值范围问题
函数自变量的取值范围问题二、方法剖析与提炼例1．在下列函数关系式中，自变量x 的取值范围分别是什么？ ⑴23-=x y ； ⑵121-=x y ； ⑶43-=x y ； ⑷xx y 32+=； ⑸0)3(-=x y【解答】⑴x 的取值范围为任意实数；⑵分母012≠-x ∴21≠x ∴x 的取值范围为21≠x ；⑶043≥-x ∴34≥x ∴x 的取值范围为34≥x ；⑷⎩⎨⎧≠≥+0302x x ∴2-≥x 且0≠x ∴x 的取值范围为：2-≥x 且0≠x ⑸x -3≠0 ∴x ≠3，x 的取值范围为x ≠3．【解析】⑴为整式形式：函数关系式是一个含有自变量的整式时，自变量的取值范围是全体实数．⑵分式型：当函数关系式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数．⑶偶次根式：当函数关系式是偶次根式时，自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数．含算术平方根：被开方数043≥-x ． ⑷复合型：当函数关系式中，自变量同时含在分式、二次根式中时，函数自变量的取值范围是它们的公共解，即建立不等式组，取它们的公共解．⑸0指数型：当函数关系式中，自变量同时含在0指数下的底数中时，自变量取值范围是使底数为非零的实数．即底数x -3≠0 ．【解法】解这类题目，首先搞清楚函数式属于“整式型”、“分式型”、“偶次根式”、“0指数型”、“复合型”当中哪一个类型，自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义即可．【解释】这种解题策略可以推广到其他问题，如： 求31+x 中x 的取值范围．解：右边的代数式属于奇次根式型，自变量的取值范围是全体实数． 例2．某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动，每量汽车上至少有一名教师．甲、乙两车载客量和租金如下表：设租用甲种车x 辆，租车费用为y 元，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．【解答】⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x 辆，则租用乙种车辆（6－x ）辆．y =400x +280（6-x ）=120x +1680∴y 与x 的函数关系式为：y =120x +1680⑵∵⎩⎨⎧≤+≥-+23001680120240)6(3045x x x ， ∴⎩⎨⎧≤≥54x x ， ∴自变量x 的取值范围是：4≤x ≤5【解析】（1）租车费用y =甲种车辆总费用+乙种车辆总费用．（2）函数关系式同时也表示实际问题时，自变量的取值范围要同时使实际问题有意义．自变量x 需满足以下两个条件： 一是，甲、乙两车的座位总数≥师生总数240名；二是，费用≤2300元，还要考虑到实际背景下的x 为整数．【解法】关注问题中所有的限制条件，多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．【解释】做此题前首先要先从乘车人数的角度考虑应总共租多少辆汽车．因为题目已知总共6名教师，而且要求每辆车上至少有一名教师．所以，最多租用6辆车．同时，也不能少于6辆车否则座位数少于师生总数，不能接送所有的师生．由此可知共租用6辆车子． 例3．一个正方形的边长为5cm ，它的边长减少x cm 后得到的新正方形的周长为y cm ，写了y 与x 的关系式，并指出自变量的取值范围．【解答】解：由题意得，y 与x 的函数关系式为y =4（5-x ）=20-4x ；自变量x 应满足⎩⎨⎧≥>-005x x 解得0≤x ＜5，所以自变量的取值范围是0≤x ＜5．【解析】正方形的周长=边长×4，即y =4（5-x ）；自变量的范围同时满足两个条件：一是，正方形的边长是正数；二是，边长减少的x 应取非负数．【解法】关注问题中所有的限制条件，多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．【解释】函数关系式表示实际问题时，自变量的取值范围要同时使实图1际问题有意义．例4．若等腰三角形的周长为20cm ，请写出底边长y 与腰长x 的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．【解答】y =20-2x∵⎪⎩⎪⎨⎧>+>≥y x x y x 00，∴⎪⎩⎪⎨⎧->>-≥x x x x 220202200，∴⎪⎩⎪⎨⎧><≥5100x x x ，∴自变量x 的取值范围是5＜x ＜10．【解析】自变量的范围同时满足两个条件：一是，x 表示等腰三角形腰长，要求x ≥0；二是，等腰三角形底边长y ＞0；三是，三角形中“两边之和大于第三边”，即2x ＞y ．最后综合自变量x 的取值范围．【解法】自变量x 的取值要满足多个条件，根据条件列出不等式得到不同情况和答案，之后取交集．【解释】别忘记解答的最后要写出各个情况的交集． 例5．如图1，在边长为2的正方形ABCD 的一边BC 上，一点P 从B 点运动到C 点，设BP =x ，四边形APCD 的面积为y ．（1）写出y 与x 的函数关系式及x 的取值范围；（2）说明是否存在点P ，使四边形APCD 的面积为1.5．【解答】（1）x y -=4，x 的取值范围是40≤≤x ．（2）令5.1=y ，得x -=45.1， ∴5.2=x∴存在点P 使四边形APCD 的面积为1.5．【解析】（1）ABP ABCD APCD S S S ∆-=正方形四边形，其中取值范围要考虑让P 从B 点运动到C 点过程中，x 由小变大．特别的，当P 在B 处，0=x ．（2）求出的x 的值要符合x 的取值范围．【解法】几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围．【解释】求实际问题中的自变量取值范围时，如果用运动观点研究，动点必须在一定的轨道上运动，而且要时刻兼顾到图形其它的部分的变化．三、能力训练与拓展1．函数y =15-x 21的自变量取值范围是 ．2．函数34x y x -=-的自变量x 的取值范围是 ． 3．在函数1-=x y 中，自变量x 的取值范围是（ ）．A 、x ≥－1B 、x ≠1C 、x ≥1D 、x ≤14．函数3y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1- B ．x ≠3 C ．x ≥1-且x ≠3 D ． 1x <-5．已知等腰三角形的面积为20cm 2，设它的底边长为x （cm ），则底边上的高y （cm ）关于x 的函数关系式为 ，自变量的取值范围是： ．6．汽车由北京驶往相距850千米的沈阳．它的平均速度为80千米/时．求汽车距沈阳的路程S (千米)与行驶时间t(小时)的函数关系式，写出自变量的取值范围．7.如图2，在矩形ABCD中，边CD上有一动点P(异于C、D)，设DP＝x，AD＝a，AB＝b，△APD和△QCP面积之和为y，写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．8．如图3，OM⊥ON，AB＝a，点A、B分别在ON、OM上滑动．设OB＝x，△OAB面积为y，写出y与x的函数关系及x的取值范围．9.如图4，△ABC中，AC＝4，AB＝5，D是AC边上点，E是AB边上点，∠ADE＝∠B，设AD＝x，AE＝y，写出y与x之间函数关系式及x的取值范围．10.用长6米铝合金条制成如图形状的矩形窗框， 问长和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？1．全体实数【解析】由于15-x 21是整式，所以x 的取值范围是全体实数． 2．x ≠4【解析】43--x x 是分式，由分母x -4≠0得x ≠4,所以x 的取值范围是x ≠4． 3．C【解析】此函数关系式是二次根式，由被开方数为非负数可知，x -1≥0，所以x ≥1．故选C ．4．Ｃ。
初中函数中自变量的取值范围的确定好方法
函数中自变量取值范围的确定一、整式型：取值范围是全体实数。
例1 求函数y=2x-8的自变量的取值范围。
分析：因为不论x取任意实数，2x-8都有意义，所以x的取值范围是全体实数。
例2 在函数y=x2+3x+9中，自变量x的取值范围是( a )。
a.全体实数b.x≤0c.x≠-1d.x≥0二、分式型：取值范围是使分母不为零的实数。
例3 y=；分析：为分式形式：分母2x+1≠0∴x≠－∴x的取值范围为x≠－；三、偶次根式型：取值范围是使被开方式非负的实数。
例5 y=；分析：含算术平方根：被开方数3x-4≥0 ∴x≥∴x的取值范围为x≥；四、函数关系式含0指数和负整指数幂：底数≠0例6 y=（x-3）0分析：含0指数，底数x-3≠0 ∴x≠3，x的取值范围为x≠3．五、以上类的复合型：复合用上面的综合取值范围。
例7 y=分析：既含分母、又含算术平方根，故∴x≥－2且x≠0x的取值范围为：x≥－2且x≠0六、实际问题型在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：⑴自变量自身表示的意义．如时间、用油量等不能为负数．⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．当遇到实际问题或几何问题时，自变量的取值还必须符合实际意义或几何意义。
例6 甲到乙的铁路长为360千米，一列火车以90千米/时的速度从南京开往上海，h小时后火车距甲s千米，用解析式表示s与h之间的函数关系，并求自变量h 的取值范围（不考虑停站时间）。
分析：火车速度为90千米/时，h小时所行的路程为90h千米，于是s=311-90h。
只对函数解析式而言，自变量的取值范围是全体实数。
但h表示火车行使的时间，所以自变量h的取值范围是0≤h≤4。
例7、东风学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动，每量汽车上至少有一名教师．甲、乙两车载客量和租金如下表：设租用甲种车x辆，租车费用为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．解析：⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x辆，则租用乙种车辆（6－x）辆．y=400x+280（6-x）=120x+1680∴y与x的函数关系式为：y=120x+1680⑵自变量x需满足以下两个条件：240名师生有车坐：45x+30（6-x）≥240 ∴x≥4费用不超过2300元：120x+1680≤2300 ∴x≤5∴自变量x的取值范围是：4≤x≤5七、几何图形中函数自变量的取值范围几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围．特别要注意的是在三角形中“两边之和大于第三边”．例8．若等腰三角形的周长为20cm，请写出底边长y与腰长x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．解析：底边长y与腰长x的函数关系式为：y=20-2x①x表示等腰三角形腰长：x≥0②三角形中“两边之和大于第三边”：2x＞y 即2x＞20-2x ∴x＞5③等腰三角形底边长y＞0，20-2x＞0，∴x＜10∴自变量x的取值范围是：5＜x＜10总之，确定函数中自变量的取值范围时，首先应找准函数所属的类型，然后根据不同的类型运用相应的方法来加以确定，这样能快速、准确地解决问题，从而收到事半功倍的效果。
函数自变量的取值范围
函数自变量的取值范围
函数自变量的取值范围：
①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；
②函数y的取值范围也是任意非零实数。
取值范围怎么求
函数的自变量x的取值范围指的就是函数的定义域，用初中的说法就是使得函数的式子有意义的x的范围。
（1）解析式为整式的，自变量可取任意实数；
（2）解析式是分式的，自变量应取母不为0的实数；
（3）解析式是二次根式或偶次根式的，自变量取被开方数不小于0的实数等；
（4）对于函数解析式复杂的复合函数，应全面考虑，使其解析式中各式都有意义。
如y=1/x+根（3x-1），其取值为x≥1/3.2，对于有实际意义的函数，应当根据实际意义确定其自变量的取值范围。
有限区间
(1)开区间例如:{x|a<x<b}=(a,b)
(2)闭区间例如:{x|a≤x≤b}=[a,b]
(3)半开半闭区间例如:{x|a<x≤b}=(a,b]
{x|a≤x<b}=[a,b)
b-a成为区间长度。
有限区间在数学几何上的意义表现为：一条有限长度的线段。
初中数学如何确定函数自变量的取值范围(最新编写)
如何确定函数自变量的取值范围湖北省黄石市下陆中学宋毓彬为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围．函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题．初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为以下三种类型：一、函数关系式中自变量的取值范围在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；⑵函数关系式为分式形式：分母≠0；⑶函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；⑷函数关系式含0指数：底数≠0．例1．在下列函数关系式中，自变量x的取值范围分别是什么？⑴y=2x-5；⑵y=；⑶y=；⑷y=；⑸y=（x-3）0解析：⑴为整式形式：x的取值范围为任意实数；⑵为分式形式：分母2x+1≠0∴x≠－∴x的取值范围为x≠－；⑶含算术平方根：被开方数3x-4≥0 ∴x≥∴x的取值范围为x≥；⑷既含分母、又含算术平方根，故∴x≥－2且x≠0x的取值范围为：x≥－2且x≠0⑸含0指数，底数x-3≠0 ∴x≠3，x的取值范围为x≠3．二、实际问题中自变量的取值范围．在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：⑴自变量自身表示的意义．如时间、用油量等不能为负数．⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．例2、某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动，每量汽车上至少有一名教师．甲、乙两车载客量和租金如下表：甲种车辆甲种车辆载客量（单位：人/辆）45 30租金（单位：元）400 280设租用甲种车x辆，租车费用为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．解析：⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x辆，则租用乙种车辆（6－x）辆．y=400x+280（6-x）=120x+1680∴y与x的函数关系式为：y=120x+1680⑵自变量x需满足以下两个条件：240名师生有车坐：45x+30（6-x）≥240 ∴x≥4费用不超过2300元：120x+1680≤2300 ∴x≤5∴自变量x的取值范围是：4≤x≤5三、几何图形中函数自变量的取值范围几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围．特别要注意的是在三角形中“两边之和大于第三边”．例3．若等腰三角形的周长为20cm，请写出底边长y与腰长x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．解析：底边长y与腰长x的函数关系式为：y=20-2x①x表示等腰三角形腰长：x≥0②三角形中“两边之和大于第三边”：2x＞y 即2x＞20-2x ∴x＞5③等腰三角形底边长y＞0，20-2x＞0，∴x＜10∴自变量x的取值范围是：5＜x＜10作者简介：宋毓彬，男，43岁，中学数学高级教师．在《中学数学教学参考》、《数哩天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》等报刊发表教学辅导类文章40多篇．主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究．。
求函数自变量的取值范围方法总结
求函数自变量的取值范围方法总结函数自变量的取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围.求自变量的取值范围一般从两个方面考虑:（1）使函数关系式有意义;（2）符合客观实际.确定自变量的取值范围的方法:（1）如果函数关系式的右边是关于自变量的整式,则自变量的取值范围是全体实数.例如函数1-=x y ,自变量x 的取值范围是全体实数.（2）如果函数关系式的右边是分式,则自变量的取值范围是使分母不等于零的所有实数.例如函数12-=x y ,自变量x 的取值范围是1≠x . （3）如果函数关系式的右边包含二次根号,则自变量的取值范围是使被开方数为非负数.例如函数2-=x y ,自变量x 的取值范围是x ≥2.（4）如果函数关系式是有具体问题建立的,则自变量的取值范围不但要使函数关系式有意义,还要符合实际意义.例如函数2x y =,自变量x 的取值范围是全体实数,如果x 表示正方形的边长,y 表示正方形的面积,则自变量x 的取值范围就变成了0>x （边长不能为负数）.（5）有些函数自变量的取值范围是以上情况的综合,需进行多方面的考虑. 例如函数21-=x y ,自变量x 应满足两个条件:一是满足分母不等于零,二是保证被开方数为非负数,所以得到关于自变量的不等式组⎩⎨⎧≥-≠-0202x x ,求得自变量x 的取值范围是2>x .例1. 求函数131-+-=x x y 中的自变量x 的取值范围. 分析:本题中,自变量x 的取值范围应同时满足分母()3-x 不等于零和被开方数()1-x 为非负数.解:⎩⎨⎧≥-≠-0103x x 解这个不等式组得:x ≥1且3≠x .∴自变量x 的取值范围是x ≥1且3≠x .习题1. 函数xx y 2+=的自变量x 的取值范围是__________. 习题2. 函数413-+-=x x y 中自变量x 的取值范围是__________. 习题3. 在函数x xy -=1中, 自变量x 的取值范围是__________.习题4. 下列函数中,自变量的取值范围是2>x 的是 【 】（A ）2-=x y （B ）21-=x y （C ）12-=x y （D ）121-=x y习题5. 函数21--=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 习题6. 下列函数中,自变量的取值范围错误的是 【 】（A ）2-=x y （x ≥2） （B ）11+=x y （1-≠x ） （C ）22x y =（x 取全体实数） （D ）31+=x y （x ≥3-）习题7. 在函数24-++=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________.例2. 已知等腰三角形的周长为20,求底边长y 与腰长x 的函数关系式及自变量的取值范围.分析:本题为易错题,考虑问题不全面导致自变量的取值范围不完整.解决本题要注意两个问题:（1） 边长不能为负数;（2）三角形三边之间的关系.解:由题意得:202=+y x∴y 与x 之间的函数关系式为x y 220-=∵⎪⎩⎪⎨⎧->+>->x x x x x 22002200∴自变量x 的取值范围是105<<x .习题8. 已知等腰三角形的周长为12 cm,底边长y （cm ）是腰长x （cm ）的函数.（1）写出这个函数关系式;（2）求自变量x 的取值范围.专题 自变量的取值范围受哪些因素的影响求函数自变量的取值范围是学习数学的难点,也是历年来中考的热点,那么,如何确定自变量的取值范围呢?一般情况下,可以遵循以下原则:如果函数解析式是整式,则自变量的取值范围是全体实数（整式型）习题9. 函数12+=x y 中,自变量x 的取值范围是__________.分析:因为函数解析式的右边12+x 是整式,所以自变量x 的取值范围是全体实数.习题10. 函数122-+=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________.如果函数解析式含有分式,则自变量的取值范围是使分母不等于零的实数（分式型） 习题11. 在函数11-=x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 分析:因为11-x 是分式,所以要求分母不等于零,即01≠-x . 习题12. 函数52-=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 如果函数解析式中含有二次根式,则自变量的取值范围是使被开方数为非负数的实数 习题13. 函数3-=x y 中自变量x 的取值范围是__________.分析:因为3-x 为被开方式,要求被开方式为非负数,所以3-x ≥0,解得x ≥3. 习题14. 函数1+-=x y 中,自变量x 的取值范围是__________.如果函数解析式中含有零指数幂或负整指数幂,则自变量的取值范围是使底数不等于零的实数（指数型）习题15. 函数()221+-=-x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 分析:因为函数解析式中含有负整指数幂,所以要求底数02≠-x ,即2≠x . 实际上,()221+-=-x y ,即221+-=x y . 习题16. 函数()202-++=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________.如果函数解析式兼有上述两种或两种以上的结构特点,则先按上述方法分别求出它们的取值范围,再求它们的公共部分（综合型）习题17. 函数()023---=x x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 习题18. 函数31--=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 习题19. 函数24-++=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________.自变量的取值范围必须符合客观实际,必须使实际问题有意义（如边长不能为负、人数不能为小数等）例3. 某小汽车的油箱可装汽油30升,原装有油10升,现加x 升汽油,如果油价为5元/升,求油箱内汽油的总价y （元）与x （升）之间的函数关系式,并求出自变量x 的取值范围.分析:本题先求出函数关系式,再由关系式和实际意义确定自变量的取值范围. 解:由题意得:()=xy5+10∴50y=x5+∵油箱原有油10升,油箱容量为30升∴自变量x的取值范围是0≤x≤20.（也可以是x0≤20）<习题20. 某台拖拉机油箱中有油60升,工作时每小时耗油6升.（1）求出拖拉机油箱中的剩余油量Q（升）与工作时间t（小时）之间的函数关系式;（2）求出自变量t的取值范围;（3）当拖拉机工作3小时后,油箱中还剩多少升油?。
人教版八年级下函数自变量的取值范围课件
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
定义与概念
定义
函数自变量的取值范围是指函数 中自变量可以取到的值的集合。
概念
在函数中，自变量的取值范围是 受到限制的，这些限制可能来自 于函数的定义域、实际背景或数 学性质。
确定取值范围的重要性
保证函数的定义域
正确的自变量取值范围是函数能够定 义的基础，超出取值范围的自变量值 会导致函数无法定义。
综合练习题
综合练习题1
求函数$y = frac{x^{2} 1}{x - 1}$的自变量取值范 围。
综合练习题2
求函数$y = frac{x + 1}{x^{2} + x - 2}$的自变 量取值范围。
综合练习题3
求函数$y = frac{x^{2} 4}{x - 3}$的自变量取值范 围。
ERA
一次函数
自变量的取值范围
实数集 $mathbb{R}$。
特殊情况
当 $b = 0$ 时，函数退化为正比例函数，此时自变量 $x$ 的取值范围也是 $mathbb{R}$。
二次函数
自变量的取值范围
实数集 $mathbb{R}$。
特殊情况
当 $a > 0$ 时，函数图像开口向上，自变量 $x$ 的取值范围 是全体实数；当 $a < 0$ 时，函数图像开口向下，自变量 $x$ 的取值范围是除顶点外的全体实数。
确定变量范围
在解决实际问题时，确定自变量的取值范围可以帮助我们更好地理解问题的背景和条件 ，从而更准确地建模和求解。
05
练习与巩固
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
定义域与值域
定义域与值域在数学中，定义域（Domain）和值域（Range）是运用在函数概念中的基本概念。
它们是用来描述函数的输入和输出的范围。
在本文中，我们将详细介绍定义域和值域的概念、性质以及它们在数学问题中的应用。
定义域定义域是指函数中所有可能的输入值所构成的集合。
换句话说，定义域是函数中自变量的取值范围。
通常情况下，我们用D来表示一个函数的定义域。
例如，考虑一个简单的线性函数：f(x) = 2x + 1。
在这个函数中，x可以取任意实数值。
因此，定义域可以表示为D = (-∞,+∞)。
然而，并非所有函数的定义域都是整个实数集。
有些函数的定义域可能受到限制，例如分式函数或开方函数。
考虑函数g(x) = 1/x，在这个函数中，由于分母不能为0，所以定义域不能包括x=0。
因此，函数g(x)的定义域可以表示为D = (-∞,0)∪(0,+∞)。
总之，定义域是函数中能够使函数有意义并定义的所有可能的自变量取值的范围。
值域值域是函数中所有可能的输出值所构成的集合。
换句话说，值域是函数中因变量的取值范围。
通常情况下，我们用R来表示一个函数的值域。
对于线性函数f(x) = 2x + 1，我们可以观察到任意实数值都可以由这个函数得出。
因此，该函数的值域可以表示为R = (-∞,+∞)。
类似地，对于函数g(x) = 1/x，我们可以观察到函数的取值范围限制了正实数和负实数，但不包括0。
因此，该函数的值域可以表示为R = (-∞,0)∪(0,+∞)。
总之，值域是函数能够输出的所有可能的因变量取值的范围。
应用定义域和值域是解决数学问题中的重要工具。
通过确定定义域和值域，我们可以更好地理解函数的特性和行为。
在实际问题中，定义域和值域也具有重要的应用。
例如，在经济学中，定义域和值域可以帮助我们确定某种商品的价格范围以及销售量的可能区间。
在物理学中，定义域和值域可以帮助我们预测某一变量的可能取值，并对实验数据进行分析和解释。
结论在数学中，定义域和值域是函数概念中的基本概念。
自变量取值范围的求法
自变量取值范围的求法在求函数自变量的取值范围时，最关键的是要分析函数存在的形式。
在初中阶段，函数的存在的形式有三种：整式形式的函数，分式形式的函数，二次根式形式的函数，我们把这三种函数叫做求定义域的基本函数。
求函数自变量的方法，一般是根据函数有意义的条件列出有关不等式再来求值即可。
一·基本函数1.整式函数：由于在整式中的字母不受任何条件的限制，即无论字母取什么值函数都有意义，所以自变量的取值范围为全体实数，但遇到实际问题那么函数自变量的取值范围还必须使实际问题有意义。
例1.求中自变量的取值范围·解: 可以看出，取任何实数时这个式子都有意义，所以的取值范围是全体实数。
例2．一辆汽车的邮箱中现有汽油50L,如果不再加油，那么邮箱中的油量（单位：L）随行驶里程（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L∕km.(1)写出表示与的函数关系的式子(2)指出自变量的取值范围。
解：（1）行驶里程是自变量，油箱中的油量是的函数，它们的关系为（2）仅从式子看，可以取任意实数，但是考虑到代表的实际意义为行驶路程，所以不能取负数，并且行驶中的耗油量为0.1，它不能超过油箱中现有汽油量的值50，即因此，自变量的取值范围是2·分式函数：根据分时有意义的条件是坟墓不为零，建立不等式求出解集，即为函数自变量的取值范围例3. 求中自变量的取值范围。
解：要使函数有意义，必须有即的取值范围是1.二次根式函数：根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，建立不等式求出解集，即为该函数自变量的取值范围。
例4.中自变量的取值范围。
解：要使函数有意义，必须有，即的取值范围是但函数往往不是以某种单一的基本函数形式出现的，而是由两种或两种以上基本函数的形式同时出现在一个函数里面，这样的我们认为复合函数，求复合函数中自变量的取值范围，仍然以基本函数的求法基础。
二·复合二次函数1.两个两个以上的分式函数组成的函数，只要分解出各个不同的分式部分，分别确定其有意义的条件，组成不等式组，求出其解集，即为自变量的取值范围。
函数自变量的取值范围六种类型
函数自变量的取值范围六种类型吉林松花江中学奥培中心 王永会（132013）函数解析式中，自变量的取值范围（即自变量取何值时，函数有意义）是函数的重要组成部分，在解函数的有关问题时，都不能忽视自变量的取值范围。
现总结初中函数自变量取值范围类型供读者参考。
一、 整式型：函数的解析式是整式，自变量的取值范围是全体实数。
例1：求函数y=16-2x 中x 是取值范围。
解： x 取值范围是全体实数。
二、分式型：函数的解析式是分式，由分式的分母不为零确定自变量的取值范围例2：求3212--+=x x x y 中x 取值范围。
解：x 2-2x-3≠0即（x+1）(x-3)310≠-≠∴≠x x 且注意本题不能约去x+1三、二次根式型：函数解析式是二次根式，由每个二次根式子的根被开方数为非负数而确定自变量的取值范围。
例3：求y=x 43-的取值范围。
解：由3-4x 0≥得x 43≤. 四、零指数式型：函数解析式是零指数式，由底不为零确定自变量的取值范围。
例4：求y=(x-2)0中的x 取值范围。
解：由x-20≠得x 2≠的全体实数。
五、复合型：函数解析式是由上述四种类型的复合。
求自变量取值范围时要思考全面。
不要“顾此失彼”。
例5：求函数自变量的取值范围。
21)2(0----=x x x y 解：由题意知⎪⎩⎪⎨⎧≠--≥-≠-0210102x x x 即 x ≥1且 x ≠2和x ≠5.六、实际意义型：函数解析式是表示实际意义的量，因此，它不仅要求解析式有意义，还要符合实际意义。
例6：从含盐的20%的100千克的盐水中，把水蒸发掉x 千克后盐水是浓度为y ，试写出y 与x 的函数关系式及自变量x 取值范围。
解：依题意，得y(100-x)=100⨯20%,即y=x-10020 由水最多有80千克 所以800≤≤x 。
函数自变量的取值范围六种类型
函数自变量的取值范围六种类型
函数的自变量取值范围可以分为以下六种类型：
1.实数范围（R）：自变量可以是任意实数，即包括所有正数、负数
和零。
在实数范围内，自变量可以取任何实数值，例如-3.5、2.1、π等等。
实数范围是最一般的自变量取值范围。
2.正数范围（R+）：自变量只能取正数。
正数范围常用于表示物理世
界中的非负量，例如时间、质量等。
一般来说，时间、质量等都不能取负值，所以在表示这类量时，自变量的取值范围应限定为正数范围。
3.负数范围（R-）：自变量只能取负数。
负数范围常用于表示物理世
界中的负数量，例如负电荷、负温度等。
这些量在现实生活中并不常见，
但在数学模型中有时需要考虑。
4.非负数范围（R≥0）：自变量只能取非负数，即包括零和所有正数。
非负数范围常用于表示正比例关系、欧氏空间中的距离等问题。
在这些问
题中，自变量的取值范围不包括负数，因为负数在实际问题中没有意义。
5.非正数范围（R≤0）：自变量只能取非正数，即包括零和所有负数。
非正数范围在一些数学问题中有用，例如一些函数的图像关于y轴对称。
6.整数范围（Z）：自变量只能取整数。
整数范围通常用于离散数学
中的问题，例如排列组合、整数划分等。
在这类问题中，自变量通常被建
模为整数，因为整数对问题的描述更为自然。
综上所述，函数的自变量取值范围可以根据具体问题的需求进行设定，并可以是实数范围、正数范围、负数范围、非负数范围、非正数范围以及
整数范围。
定义清楚自变量的取值范围有助于具体问题的分析和解决。
求函数定义域的几种类型
求函数定义域的几种类型函数定义域指函数在自变量上的取值范围。
根据函数定义的不同，可以分为以下几种类型的函数定义域。
1. 实数域：实数域是最常见的函数定义域类型，对于绝大多数函数，其定义域都是实数集（R）。
实数集包括所有的有理数和无理数。
例如，在函数y = sin(x)中，定义域是实数集。
2.闭区间：闭区间定义域是指定义域包含端点的区间，用[a,b]表示。
闭区间的端点可以是实数或无穷大。
例如，在函数y=1/x中，定义域可以是区间[-∞,0)∪(0,+∞]。
3.开区间：开区间定义域是指定义域不包含端点的区间，用(a,b)表示。
例如，在函数y=√x中，定义域可以是区间(0,+∞)。
4.半开半闭区间：半开半闭区间定义域是指定义域只包含一个端点的区间。
例如，在函数y=1/x中，定义域可以是区间(-∞,0]∪(0,+∞)。
5.单个点：有些函数的定义域只包含一个点，用{x}表示。
例如，在函数y=1/x中，定义域可以是{x，x=1}。
6.开放区域：开放区域定义域是指定义域是一个开放集。
开放集是指不包含边界的区域。
例如，在函数y=e^x中，定义域是开放区域R。
7.中心对称区域：中心对称区域定义域是指定义域关于其中一点对称。
例如，在函数y=√(x^2-1)中，定义域可以是(-∞,-1]∪[1,+∞)；定义域关于x=0对称。
8. 关于x轴对称区域：关于x轴对称区域定义域是指定义域关于x 轴对称。
例如，在函数y = sin(x)中，定义域是全体实数，关于x轴对称。
9.关于y轴对称区域：关于y轴对称区域定义域是指定义域关于y轴对称。
例如，在函数y=x^2中，定义域是全体实数，关于y轴对称。
10.复数域：复数域是指定义为变量可以取复数的函数的定义域。
例如，在函数y=√(1-x^2)中，定义域是复数集合。
综上所述，函数定义域可以是实数域、闭区间、开区间、半开半闭区间、单个点、开放区域、中心对称区域、关于x轴对称区域、关于y轴对称区域和复数域等多种不同类型。
函数自变量取值范围
函数自变量取值范围
我们学习数学时，经常会接触到函数。
函数是表示一种变化关系的数学工具。
简单来说，函数就是一个数值映射，将一个自变量映射成一个因变量。
这个数值映射的自变量取
值范围很重要。
下面我们来介绍一下函数自变量取值范围。
1. 实数范围
函数的自变量通常是实数，也就是可以表示所有可能的数值，包括正数，负数，和零。
通常情况下，函数的自变量取值范围是用实数集合来表示。
实数集合包含了所有有理数和
无理数，可以表示为：
R = {a | a 是一个实数}
这个范围是实数轴上的所有点，是一个无限范围。
所有的实数都可以作为函数的自变量。
有时，函数的自变量只能取自然数，通常是因为自变量表示了某种计数器，比如“第
几个人”、“第几项”等。
自然数包括了所有正整数，可以用如下符号表示：
N = {1, 2, 3, …}
通常，函数的自变量取自然数范围的时候，我们使用一个大写字母 N 来表示这个范围。
4. 区间范围
有些函数的自变量只能在一定的区间内取值，比如时间、长度等等。
这时候，我们使
用一个区间来表示自变量的取值范围。
区间包含了一段连续的数值，比如 [a, b] 表示的
是从 a 到 b 的所有数值，包括 a 和 b。
标记的方式有两种：
（1）闭区间：[a, b] 表示 a 和 b 都在这个区间内。
总之，函数自变量取值范围很重要，要根据实际问题来选定。
不同的自变量取值范围
有不同的意义和用途，应该根据具体问题选择合适的范围来进行计算和分析。
函数自变量取值范围的确定方法
函数自变量取值范围的确定策略金山初级中学 庄士忠 201508函数是初中数学一个十分重要的内容，为保证函数式有意义或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围。
函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型：（1）函数关系式中函数自变量的取值范围；（2）实际问题中函数自变量的取值范围；（3）几何问题中函数自变量的取值范围。
一、 函数关系式中函数自变量的取值范围：初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数：底数≠0。
典型例题：例1：函数y=x 1-的自变量x 的取值范围在数轴上可表示为【 】A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出y=x 1-的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使y=x 1-在实数范围内有意义，必须x 10-≥ x 1⇒≥。
故在数轴上表示为：。
故选D 。
例2：函数y =1x 2- 中自变量x 取值范围是【 】A ．x =2 B ．x ≠2 C ．x ＞2 D ．x ＜2【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使1x 2-在实数范围内有意义，必须x 20x 2-≠⇒≠。
故选B 。
例3：函数x+2x 的取值范围是【 】A ．x ＞﹣2 B ．x ≥2 C ．x ≠﹣2 D ．x ≥﹣2 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使x+2在实数范围内有意义，必须x+20x 2x >2x+20x 2≥≥-⎧⎧⇒⇒-⎨⎨≠≠-⎩⎩。
定义域的区间表示方法
定义域的区间表示方法
那啥是定义域呢？简单说就是函数中自变量能取值的范围啦。
那这个范围用区间表示可有好几种情况呢。
先说开区间哈，开区间就是小括号括起来的，比如(a,b)，这就表示自变量x的取值范围是大于a而且小于b哦。
就好像你在一个队伍里，你前面有个小伙伴是a，后面有个小伙伴是b，你就只能站在他们中间，还不能和他们重合呢。
再说说闭区间呀，闭区间是中括号括起来的，像[a,b]，这时候自变量x能取到a 和b这两个值啦，就像你可以紧紧挨着前面和后面的小伙伴啦。
还有半开半闭区间呢，[a,b)这种就是能取到a，但是取不到b，就有点像你可以靠着前面的小伙伴，但是后面那个小伙伴你只能靠近不能碰到。
(a,b]呢，就是反过来啦，能取到b，取不到a。
有时候定义域是到正无穷或者负无穷的，那正无穷就是“+∞”，负无穷就是“ -∞”。
如果是x大于a，一直到正无穷，那就表示成(a,+∞)，这里用小括号哦，因为正无穷是个概念，你可不能真的取到正无穷这个值呀。
同理，如果是x小于b一直到负无穷，那就是(-∞,b)。
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函数自变量取值范围
函数自变量的取值范围是使函数解析式有意义的自变量的所有可能取值，它是一个函数被确定的重要因素，一直是中考的热点问题之一，下面举例谈谈这类问题的常见类型和解法供供同学们学习时参考。
一、教法点拨：
1.在一般的函数关系式中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：
（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；
（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；
（3）函数关系式含偶次方根：被开方数≥0；
（4）函数关系式含0指数或负整数指数：底数≠0.
（5）解析式是上述几种形式组合而成时，应首先求出式子中各部分的取值范围，然后再求出它们的公共部分；
2. 实际问题中自变量的取值范围：
（1）注意自变量自身表示的意义；
（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。
3. 几何图形中函数自变量的取值范围：
（1）使函数式有意义；（2）考虑几何图形的构成条件及运动范围。
注意记清各种情况，判断哪一类型，准确计算即可。
二、题型分类：
题型一：函数关系式中自变量取值范围
1.解析式是整式时, 函数自变量取值范围是全体实数。
（原创题）
①y = x2-3 ；②y = 2x -1；③ y =-3x .
2.解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数。
①（2018哈尔滨）函数y= 中，自变量x的取值范围是_________。
②(2018武汉）若分式在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）[来源:学科网ZXXK] A．x＞－2B．x＜－2C．x＝－2D．x≠－2
③(2017哈尔滨)函数Y= 中，自变量X取值范围是____________。
④（2018•宿迁）函数y= 中，自变量x的取值范围是（）
A．x≠0B．x＜1C．x＞1D．x≠1
3.解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数。
①(2018北京市）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是。
②(2018湖北十堰）函数的自变量x的取值范围是。
③（2018大庆）在函数y= 中，自变量X的取值范围是________。
4.解析式含有零指数、负整数指数幂的函数,自变量的取值范围是使底数不为零的实数。
原创题
确定下列函数的自变量取值范围:
①y= ；
②y=(x+1)-2
5.综合型
（1）解析式是分式与偶次根式综合问题
①(2018黑龙江）在函数y= 中，自变量x的取值范围是__________。
②(2016年齐齐哈尔)函数y= 中，自变量x的取值范围是________。
③(2018湖北恩施）函数的自变量的取值范围是。
（2）解析式的分母中含偶次根式
①（2016．绥化）函数y= 自变量x的取值范围是（）。
A.x≤
B.x≥
C.x＜
D.x＞
②在函数y= 的自变量x的取值范围是。
③(2018安顺）在函数y= 中，自变量x的取值范围是。
（3）解析式是偶次根式、零指数、负整指数幂的函数
①（2017齐齐哈尔）在函数y= + 中，自变量x的取值范围是__________。
②在函数y= + 中，自变量x的取值范围是_______。
③（2017.4龙沙区）
若等式成立，自变量x的取值范围是。
（4）解析式是分式、偶次根式零指数、负整指数幂的函数
①函数y= ﹣（x+2)-2-（x﹣2）0 中，自变量x的取值范围是。
②. 在函数y= 中，自变量x的取值范围是____________。
题型二：实际问题中函数自变量取值范围
一辆汽车的油箱中有汽油40升，该车每千米油耗为0.4升，油箱剩余油量Q（升）与行驶路程s（千米）之间的函数关系式是_____________，自变量取值范围是_______________。
题型三:几何图形中函数自变量取值范围
1.A、B、C、D四个人做游戏，A、B、C三人站在三个不同的点上构成一个三角形，且
∠BAC=40，
D在△ABC内部移动，但不能超越△ABC。
则D与B、C构成一个三角形，则∠BDC的度数的取值范围是______________________。
2. 已知等腰三角形的周长为20cm，底边长y（cm）与腰长x（cm）之间的函数关系式是
___________，自变量x的取值范围是___________。
3.已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米,
AC与MN在同一直线上,开始时点A与点N重合.让△ABC以每秒2厘米的速度
向左运动,最终点A与点M重合,则重叠三角形部分的面积y(cm2)与时间t(秒)
之间的函数关系式为______________。
自变量t 的取值范围是________________。