蝴蝶定理巧解小学竞赛中的图形问题

蝴蝶定理巧解小学竞赛中的图形问题

特级教师吴乃华

梯形的两条对角线，把梯形分割为“上”、“下”、“左”、“右”四个部分，这四个三角形的面积以及相应边长的比例关系，都是由梯形上、下底的长短或者比例关系所决定的。由于

这四个部分形状有点像蝴蝶，揭示梯形上、下底与“上”、“下”、“左”、

“右”四个部分的关系，以及这四个部分相互之间规律的理论，就

叫做“梯形蝴蝶定理”。它的奇妙之处在于，运用这种理论解答图形

问题，轻松便捷，化难为易。下面以几道小学竞赛题的解答，就定

理的部分内容作浅显的解读，敬请校正。

一、紧盯翅膀求答案

梯形的左右两个三角形，就像蝴蝶的一对翅膀，它们的面积是相等的，这是因为它们分属于同底同高的两个三角形，并且共有一个“上”（或者“下”）

三角形。简记为：“左＝右”。在有关梯形的图形里，关注这一部分

的情况，有时能得到答案，有时为解答提供思路。

例1、如图的梯形ABCD中，三角形ABP的面积为20平方厘

米，三角形CDQ的面积为35平方厘米，求四边形MPNQ的面积。

解：连接MN，这样把梯形ABCD分成ABNM和MNCD两个小梯形。

由“左＝右”知道：S△MNQ＝S△CDQ＝35；S△MNP＝S△ABP＝20。

所以，四边形MPNQ的面积是：20＋35＝55（平方厘米）。

例2、如图所示, 四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形, 若三角形DFP 与三角形AEF 的面积分别是22 和36, 则三角形BNE 的面积是多少？（第十六届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛小学组决赛试题)

解：连接AM。把四边形CPMN

以外的部分，分成了AMND和ABGM

两个梯形。

由“左＝右”知道：S△AFM＝22；

S△AEM＝36－22＝14。

所以，三角形BNE 的面积是14。

二、上底下底藏玄机

梯形上、下底的长度，决定了对角线交叉所成的角度。上、下底的比，决定了对角线上、下段的比，也决定了这些线段所围成的三角形面积的比。所以相应边长的比，等于边长所在的三角形面积的比，反之，三角形面积的比，等于三角形相应边长的比。简记为：AO ∶OC ＝上∶左＝右∶下。

例3、梯形ABCD 的上底AD 长3厘米，下底BC 长9厘米，两对角线相交于O 。已知三角形ABO 的面积为12平方厘米，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？（1999年小学数学奥

林匹克决赛试题）

解：因为AD ∶BC ＝3∶9＝AO ∶CO ＝EO ∶OF ＝DO ∶BO ＝1∶3；

所以，S △AOD ∶S △AOB ＝S △DOC ∶S △BOC ＝1∶3。 已知三角形ABO 的面积为12平方厘米，知

S △AOD ＝ 12÷3＝4（平方厘米）； S △BOC ＝12×3＝36（平方厘米）。

所以，梯形ABCD 的面积为：4＋12×2＋36＝64（平方厘米）。

例4、如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O 。已知AB ＝5，CD ＝3，梯形ABCD 的面积为4，求三角形ABO 的面积。（第十四届“华杯赛”小学组决赛A 卷试题）

解：已知CD ∶AB ＝3∶5，如果S △COD 为3份， S △AOD 为5份，S △BOC 为5份，

则S △AOB 为

553⨯＝

253

份

梯形ABCD 共分了：3＋5＋5＋253

＝

643

份；

三角形ABO 的面积是梯形面积的

25

3

÷

64

3＝

2564

所以，三角形ABO 的面积为：4×2564

＝

2516

。

三、细研定理多思路

（1）、梯形中，面积的比等于相应的边长平方的比，简记为：

22::a b =上下。

例5、如下图，在梯形ABCD 中，三角形ABO 和三角形CDO 的面积分别是16和4，那么DC ∶AB 是几比几？（第十五届“华杯赛”小学组决赛B 卷试题）

解：由三角形ABO 和三角形OCD 的面积分别是16和4，

知：16＝4×4，4＝2×2。

根据“22

上下”，

::

a b

可知，DC∶AB＝2∶4＝1∶2。

（2）、由“上∶左＝右∶下”，根据比例的基本性质，推知“上×下＝左×右”。

例6、如图，BD、CF将长方形ABCD分成四块。红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米?（第五届“华罗庚金杯”少年

数学邀请赛团体决赛口试题）

解：连接B、F两点．根据“上×下＝左×右”，

知，S△BCE＝6×6÷4＝9（平方厘米）。

对角线BD把长方形ABCD分成相等的两半，

可知，S△ABD＝S△BCD＝6＋9＝15（平方厘米）。

所以，四边形ABEF的面积为：15－4＝11（平方厘米）。

例7、如图，ABCD是个梯形，已知三角形ABD的面积是12 cm²，三角形AOD的面积比三角形BOC的面积少12 cm²。那么，梯形ABCD的面积是多少cm²？

解：设三角形AOD的面积为x. 依题中条件

S△AOB＝12－x；S△BOC＝12＋x。根据“上×下＝左

×右”，得方程：

x×（x＋12）＝（x－12）×（x－12）解得

x＝4。

所以，梯形ABCD的面积是：4＋16＋8＋8＝36（cm²）。

例8、在右图的梯形ABCD中，三角形AOD面积是27 平方厘米，三角形COD的面积是45平方厘米，三角形BCE的面积是55平方厘米。那么，阴影部分面积是多少平方厘米？

解：根据“上×下＝左×右”，可知，

S△BOC＝45×45÷27＝75（平方厘米）。

而S△BCE＝55 cm²，

所以S△EOC＝75－55＝20（平方厘米）。

根据高相同，面积的比等于底边的比，知，

，

EO长是BO长的20÷75＝4

15

所以，阴影部分的面积是：（45＋75）×4

＝32（平方厘米）。

15

（3）、一条对角线上段与下段的比＝上、右两个三角形的面积和与左、下两个三角形面