蝴蝶定理巧解小学竞赛中的图形问题
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蝴蝶定理巧解小学竞赛中的图形问题
特级教师吴乃华
梯形的两条对角线,把梯形分割为“上”、“下”、“左”、“右”四个部分,这四个三角形的面积以及相应边长的比例关系,都是由梯形上、下底的长短或者比例关系所决定的。由于
这四个部分形状有点像蝴蝶,揭示梯形上、下底与“上”、“下”、“左”、
“右”四个部分的关系,以及这四个部分相互之间规律的理论,就
叫做“梯形蝴蝶定理”。它的奇妙之处在于,运用这种理论解答图形
问题,轻松便捷,化难为易。下面以几道小学竞赛题的解答,就定
理的部分内容作浅显的解读,敬请校正。
一、紧盯翅膀求答案
梯形的左右两个三角形,就像蝴蝶的一对翅膀,它们的面积是相等的,这是因为它们分属于同底同高的两个三角形,并且共有一个“上”(或者“下”)
三角形。简记为:“左=右”。在有关梯形的图形里,关注这一部分
的情况,有时能得到答案,有时为解答提供思路。
例1、如图的梯形ABCD中,三角形ABP的面积为20平方厘
米,三角形CDQ的面积为35平方厘米,求四边形MPNQ的面积。
解:连接MN,这样把梯形ABCD分成ABNM和MNCD两个小梯形。
由“左=右”知道:S△MNQ=S△CDQ=35;S△MNP=S△ABP=20。
所以,四边形MPNQ的面积是:20+35=55(平方厘米)。
例2、如图所示, 四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形, 若三角形DFP 与三角形AEF 的面积分别是22 和36, 则三角形BNE 的面积是多少?(第十六届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛小学组决赛试题)
解:连接AM。把四边形CPMN
以外的部分,分成了AMND和ABGM
两个梯形。
由“左=右”知道:S△AFM=22;
S△AEM=36-22=14。
所以,三角形BNE 的面积是14。
二、上底下底藏玄机
梯形上、下底的长度,决定了对角线交叉所成的角度。上、下底的比,决定了对角线上、下段的比,也决定了这些线段所围成的三角形面积的比。所以相应边长的比,等于边长所在的三角形面积的比,反之,三角形面积的比,等于三角形相应边长的比。简记为:AO ∶OC =上∶左=右∶下。
例3、梯形ABCD 的上底AD 长3厘米,下底BC 长9厘米,两对角线相交于O 。已知三角形ABO 的面积为12平方厘米,梯形ABCD 的面积是多少平方厘米?(1999年小学数学奥
林匹克决赛试题)
解:因为AD ∶BC =3∶9=AO ∶CO =EO ∶OF =DO ∶BO =1∶3;
所以,S △AOD ∶S △AOB =S △DOC ∶S △BOC =1∶3。 已知三角形ABO 的面积为12平方厘米,知
S △AOD = 12÷3=4(平方厘米); S △BOC =12×3=36(平方厘米)。
所以,梯形ABCD 的面积为:4+12×2+36=64(平方厘米)。
例4、如图所示,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,对角线AC ,BD 相交于点O 。已知AB =5,CD =3,梯形ABCD 的面积为4,求三角形ABO 的面积。(第十四届“华杯赛”小学组决赛A 卷试题)
解:已知CD ∶AB =3∶5,如果S △COD 为3份, S △AOD 为5份,S △BOC 为5份,
则S △AOB 为
553⨯=
253
份
梯形ABCD 共分了:3+5+5+253
=
643
份;
三角形ABO 的面积是梯形面积的
25
3
÷
64
3=
2564
所以,三角形ABO 的面积为:4×2564
=
2516
。
三、细研定理多思路
(1)、梯形中,面积的比等于相应的边长平方的比,简记为:
22::a b =上下。
例5、如下图,在梯形ABCD 中,三角形ABO 和三角形CDO 的面积分别是16和4,那么DC ∶AB 是几比几?(第十五届“华杯赛”小学组决赛B 卷试题)
解:由三角形ABO 和三角形OCD 的面积分别是16和4,
知:16=4×4,4=2×2。
根据“22
上下”,
::
a b
可知,DC∶AB=2∶4=1∶2。
(2)、由“上∶左=右∶下”,根据比例的基本性质,推知“上×下=左×右”。
例6、如图,BD、CF将长方形ABCD分成四块。红色三角形面积是4平方厘米,黄色三角形面积是6平方厘米.问:绿色四边形面积是多少平方厘米?(第五届“华罗庚金杯”少年
数学邀请赛团体决赛口试题)
解:连接B、F两点.根据“上×下=左×右”,
知,S△BCE=6×6÷4=9(平方厘米)。
对角线BD把长方形ABCD分成相等的两半,
可知,S△ABD=S△BCD=6+9=15(平方厘米)。
所以,四边形ABEF的面积为:15-4=11(平方厘米)。
例7、如图,ABCD是个梯形,已知三角形ABD的面积是12 cm²,三角形AOD的面积比三角形BOC的面积少12 cm²。那么,梯形ABCD的面积是多少cm²?
解:设三角形AOD的面积为x. 依题中条件
S△AOB=12-x;S△BOC=12+x。根据“上×下=左
×右”,得方程:
x×(x+12)=(x-12)×(x-12)解得
x=4。
所以,梯形ABCD的面积是:4+16+8+8=36(cm²)。
例8、在右图的梯形ABCD中,三角形AOD面积是27 平方厘米,三角形COD的面积是45平方厘米,三角形BCE的面积是55平方厘米。那么,阴影部分面积是多少平方厘米?
解:根据“上×下=左×右”,可知,
S△BOC=45×45÷27=75(平方厘米)。
而S△BCE=55 cm²,
所以S△EOC=75-55=20(平方厘米)。
根据高相同,面积的比等于底边的比,知,
,
EO长是BO长的20÷75=4
15
所以,阴影部分的面积是:(45+75)×4
=32(平方厘米)。
15
(3)、一条对角线上段与下段的比=上、右两个三角形的面积和与左、下两个三角形面