蝴蝶定理巧解小学竞赛中的图形问题
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)..
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
蝴蝶定理模型和相似模型—小学数学竞赛模型
蝴蝶定理模型和相似模型—⼩学数学竞赛模型
这⾥是对上⼀篇⽂章的补充，上⼀篇⽂章有粉丝问到，蝴蝶定理的⼀个题相信看完蝴蝶定理就
明⽩了，想要对应题⽬的看上⼀篇⽂章！
蝴蝶定理模型
任意四边形中的⽐例关系（“蝴蝶定理”）：
(1)S1:S2=S4:S3或者S1×S3=S2×S4
(2)AO:OC=（S1+S2）:（S4+S3）
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形⾯积问题的⼀个途径，通过构造模型，⼀⽅⾯可以使
不规则四边形的⾯积关系与四边形的三⾓形相联系；另⼀⽅⾯，也可以得到与⾯积对应的对⾓
线的⽐例关系。
梯形中⽐例关系（“梯形蝴蝶定理”）：
（1）S1:S3=a²：b²；
（2）S1:S3:S2:S4=a²：b²：ab：ab；
（3）梯形S的对应份数为（a+b）²。
相似模型
相似三⾓形性质：
⾦字塔和沙漏模型
（1）AD∶AB=AE:AC=DE:BC=AF:AG；
（2）S△ADE:S△ABC=AF²：AG²。
所谓的相似三⾓形，就是形状相同，⼤⼩不同的三⾓形（只要其形状不改变，不管怎样改变它
们都相似），与相似三⾓形相关的常⽤性质及定理如下：
（1）相似三⾓形的⼀切对应线段的长度成⽐例，并且这个⽐例等于它们的相似⽐；
（2）相似三⾓形的⾯积⽐等于它们相似⽐的平⽅。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)知识讲解
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们解开许多几何谜题。
蝴蝶定理的名字听起来是不是很有趣？就好像一只美丽的蝴蝶在几何图形中翩翩起舞。
那到底什么是蝴蝶定理呢？让我们一起来揭开它神秘的面纱。
想象一下有一个四边形，它的两条对角线相交于一点。
在这个四边形中，相对的两个三角形的面积之间存在着一种特殊的关系，这就是蝴蝶定理所描述的内容。
比如说，我们有一个四边形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O。
那么根据蝴蝶定理，三角形 AOB 和三角形 DOC 的面积之积等于三角形 AOD 和三角形 BOC 的面积之积。
可能你会觉得有点抽象，那我们通过一个具体的例子来感受一下。
假设四边形 ABCD 是一个平行四边形，AB 平行于 CD，AD 平行于BC。
AC 和 BD 相交于点 O。
因为平行四边形的对边相等且平行，所以三角形 ABC 和三角形 ADC 的面积相等。
又因为三角形 AOB 和三角形BOC 分别以 AO 和 OC 为底边时，它们的高相同，所以三角形 AOB 和三角形 BOC 的面积之比就等于 AO 与 OC 的长度之比。
同样的道理，三角形 AOD 和三角形 DOC 的面积之比也等于 AO 与OC 的长度之比。
这就意味着三角形 AOB 和三角形 BOC 的面积之积等于三角形 AOD 和三角形 DOC 的面积之积，这正是蝴蝶定理的体现。
蝴蝶定理在解决一些几何问题时非常有用。
比如，当我们已知四边形中某些部分的面积，要求其他部分的面积时，就可以运用蝴蝶定理来找到答案。
再比如，如果我们知道了两个三角形的面积关系，以及对角线的交点位置，也可以通过蝴蝶定理求出整个四边形的面积。
那小朋友们在学习蝴蝶定理的时候，可能会遇到一些困难。
这是很正常的，因为几何需要我们有一定的空间想象力和逻辑思维能力。
不过别担心，我们可以通过多做一些练习题，多画一些图形来帮助自己理解。
小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？A BCDG321【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)任意四边形、梯形与相似模型【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
小学的奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
小学奥数之几何蝴蝶定理问的题目
⼩学奥数之⼏何蝴蝶定理问的题⽬⼏何之蝴蝶定理⼀、基本知识点定理1：同⼀三⾓形中，两个三⾓形的⾼相等，则⾯积之⽐等于对应底边之⽐。
S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三⾓形△AED 的⾯积占三⾓形△ABC 的⾯积的2034153=?定理3：任意四边形中的⽐例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的⾯积之积等于左、右部分的⾯积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的⽐例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的⾯积⽐等于上、下边的平⽅⽐2）左、右部分的⾯积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三⾓形性质1） H hC cB bA a===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2C F E AD B C BEF D A定理5：燕尾定理S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB⼆、例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分⾯积为5平⽅厘⽶，ABC 的⾯积是多少平⽅厘⽶？例2、有⼀个三⾓形ABC 的⾯积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三⾓形DEF 的⾯积.例3、如图，在三⾓形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为35，AB 上的⼀点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的⾯积是求三⾓形ABC的⾯积.例4如图，ABCD是直⾓梯形，求阴影部分的⾯积和。
（单位：厘⽶）例5、两条对⾓线把梯形ABCD分割成四个三⾓形。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。
蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。
二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。
解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。
2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。
解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。
3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。
解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)分解
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？A BCDG321【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． ()任意四边形、梯形与相似模型【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSS=，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)在小学奥数的几何部分，蝴蝶定理是一个非常有用的工具，它可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。
蝴蝶定理主要描述了在四边形中，当两条对角线互相垂直时，四边形被分成四个小三角形，而这四个小三角形的面积之间存在一定的关系。
蝴蝶定理的内容如下：设四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，交于点O。
设四个小三角形的面积分别为S1、S2、S3、S4。
那么，蝴蝶定理可以表述为：S1 + S2 = S3 + S4。
这个定理听起来可能有些抽象，但实际上它的应用非常广泛。
我们可以通过蝴蝶定理来解决一些看似复杂的问题。
下面，我将通过一些例子来展示蝴蝶定理的应用。
例1：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC =8cm，BD = 6cm。
如果三角形ABC的面积是24cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。
由于三角形ABC的面积是24cm²，所以S1 = 24cm²。
又因为AC = 8cm，BD = 6cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 8cm6cm = 24cm²。
因此，三角形ADC的面积也是24cm²。
例2：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC = 10cm，BD = 5cm。
如果三角形ABC的面积是20cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：同样地，根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。
由于三角形ABC的面积是20cm²，所以S1 = 20cm²。
又因为AC = 10cm，BD = 5cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 10cm 5cm = 25cm²。
因此，三角形ADC的面积是25cm²。
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解开许多几何难题。
让我们先来直观地感受一下蝴蝶定理是什么。
想象一下有一个四边形，它的两条对角线相交于一点。
然后分别从这个交点向四边形的四个顶点连线，这样就把四边形分成了四个三角形。
奇妙的是，这四个三角形的面积之间存在着一种特殊的关系，这就是蝴蝶定理所描述的内容。
蝴蝶定理的基本形式是：在一个梯形中，两条对角线相交，位于对角线交点两侧的三角形面积相等。
比如说，有一个梯形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O。
那么三角形 AOD 的面积就等于三角形 BOC 的面积。
为什么会有这样神奇的结论呢？我们来试着证明一下。
假设梯形的上底是 a，下底是 b，高是 h。
那么三角形 ABD 的面积可以用公式“底×高÷2”来计算，也就是（a ＋ b)×h÷2。
而三角形 AOD 和三角形 AOB 分别以 AO 和 BO 为底边，它们的高是相同的，都等于梯形的高 h。
假设三角形 AOD 的面积是 S1，三角形 AOB 的面积是 S2，那么根据三角形面积公式，我们可以得到：S1 ： S2 ＝ AO ： BO同样地，三角形 BOC 和三角形 DOC 的面积比也是 BO ： AO。
因为三角形 ABD 和三角形 ABC 的面积是固定的，所以：S1 ＋ S2 ＝三角形 ABD 的面积三角形 BOC 的面积S2 ＋ S1 ＝三角形 ABC 的面积三角形 AOD 的面积这就说明三角形 AOD 的面积等于三角形 BOC 的面积，也就是蝴蝶定理的结论。
蝴蝶定理在解决实际问题中非常有用。
比如说，有一道题：在一个梯形中，已知上底是 6 厘米，下底是 10 厘米，其中一条对角线把梯形分成了两个三角形，其中一个三角形的面积是 18 平方厘米，求另一个三角形的面积。
我们就可以利用蝴蝶定理，先求出梯形的高，然后再计算另一个三角形的面积。
小学的奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)分解
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？A【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的任意四边形、梯形与相似模型面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)分解
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型)任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理")：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米,△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米?ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米,公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知,求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？A BCDG321【解析】 ⑴根据蝴蝶定理,123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=;⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． （？？?）任意四边形、梯形与相似模型【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示）.如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种"不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解决许多看似复杂的几何问题。
让我们先来看看蝴蝶定理到底说的是什么。
蝴蝶定理通常是指在一个梯形中，连接两条对角线，会形成四个三角形。
位于梯形对角线两侧的两个三角形的面积相等。
简单来说，就像是一只蝴蝶的两个翅膀，面积是一样的。
那为什么这个定理如此重要呢？想象一下，当我们面对一个梯形的图形，需要计算其中某些部分的面积时，如果能够运用蝴蝶定理，就可以省去很多繁琐的计算步骤，迅速得出答案。
这对于提高我们解决问题的效率和准确性可是非常有帮助的。
为了更好地理解蝴蝶定理，让我们通过一些具体的例子来感受一下它的神奇之处。
比如说，有一个梯形 ABCD，其中 AB 平行于 CD，两条对角线 AC 和 BD 相交于点 O。
假设三角形 AOD 的面积是 6 平方厘米，三角形BOC 的面积是 8 平方厘米。
那么根据蝴蝶定理，三角形 AOB 的面积就等于三角形 DOC 的面积。
那我们怎么来求出这两个未知三角形的面积呢？我们可以这样思考：因为三角形 AOD 和三角形 BOC 的面积已知，我们设三角形 AOB 的面积为 x 平方厘米，那么三角形 DOC 的面积也为 x 平方厘米。
根据梯形中三角形面积的关系，我们可以得到：三角形 AOD 的面积乘以三角形 BOC 的面积等于三角形 AOB 的面积乘以三角形 DOC 的面积。
也就是 6×8 ＝ x×x，解得 x ＝4√3 平方厘米。
再来看一个例子。
有一个梯形，上底是 4 厘米，下底是 6 厘米，高是 5 厘米。
连接两条对角线后，其中一个三角形的面积是 10 平方厘米。
那么另一个与它相对的三角形的面积是多少呢？我们先根据梯形的面积公式：（上底＋下底）×高÷2，算出这个梯形的总面积是（4 ＋ 6）×5÷2 ＝ 25 平方厘米。
最新小学奥数之几何蝴蝶定理问题
几何之蝴蝶定理一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质CFEADBCBEFDA1）HhC c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理5：燕尾定理S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
巧用“蝴蝶定理”求解数学奥赛题
讨．1815 年，在英国一份《先生日记》中，首先出
现蝴蝶定理． 命题 3 （蝴蝶定理）[3]如图 3，过 O 内一弦 EF
中点 P 引任意两弦 AB，CD ， AD 和 BC 交 EF 于 Q1，
Q2 ，则 Q1P = Q2 P ．
L B
A
F D
OQ
E C
P
J
BI
D
T
F E
A
CG
CA
F Q1P Q2 E
46
福建中学数学2019 年源自 11 期= cosθ +1− sinθ ⋅ − sinθ cosθ
1− sinθ
1+ cosθ
= − sinθ cos2 θ + (1− sinθ ) sinθ cosθ (1− sinθ )(1+ cosθ )
= − sinθ (1− sin2 θ ) + (1− sinθ ) sinθ cosθ (1− sinθ )(1+ cosθ )
ABDC 的面积是一个定值，对于大多数考生，思维要
求比较高．
纵观上述 6 种解法，从参数的设法上，可以分
为两类：一类是设直线方程（前 3 种解法），另一类
是设点的坐标（后 3 种解法）；从三角形面积的转化
上，可以分为两类：一类是转化为两个三角形面积
之差（前 5 种解法），另一类是转化为三角形与四边
形面积之差（解法 6）；从转化的结果上分，可以分
所以 S∆BAP ∈ (2， 2 +1] ， 所以 S∆PC=D S∆BAP − 2 ∈ (0， 2 −1] ， 即 ∆PCD 的面积的最大值为 2 −1．
评析 解法 6 先证明四边形 ABDC 的面积是定值
六年级奥数蝴蝶模型
蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。
推导：由等积变形模型可知：OC AOS S BOC AOB =∆∆ OC AOS S COD AOD =∆∆ COD AODBOC AOB S S S S ∆∆∆∆=∴2431S S S S =即4321S S S S ⨯=⨯∴二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h BC AD //21h h =∴（两平行线之间高相等）121h BC S ABC ⨯⨯=∆221h BC S BDC ⨯⨯=∆B DC A B C S S ∆∆=∴ 3231S S S S +=+∴ 21S S =∴三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= A C D B C D S S ∆∆= （同底等高） 4241S S S S +=+∴ 2324S S S S +=+ 21S S =∴ 43S S = OD OB = OC OA = 31S S =∴ 42S S =即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点MEM OG S OGE ⨯⨯=∴∆21EM OG S S ⨯==∴1平行四边形121S S O G E=∴∆同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S O F H =∆ 421S S E O H =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯432121212121S S S S ⨯=⨯∴4321S S S S ⨯=⨯∴ 四、蝴蝶模型与长方形（一）①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
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蝴蝶定理巧解小学竞赛中的图形问题特级教师吴乃华梯形的两条对角线，把梯形分割为“上”、“下”、“左”、“右”四个部分，这四个三角形的面积以及相应边长的比例关系，都是由梯形上、下底的长短或者比例关系所决定的。
由于这四个部分形状有点像蝴蝶，揭示梯形上、下底与“上”、“下”、“左”、“右”四个部分的关系，以及这四个部分相互之间规律的理论，就叫做“梯形蝴蝶定理”。
它的奇妙之处在于，运用这种理论解答图形问题，轻松便捷，化难为易。
下面以几道小学竞赛题的解答，就定理的部分内容作浅显的解读，敬请校正。
一、紧盯翅膀求答案梯形的左右两个三角形，就像蝴蝶的一对翅膀，它们的面积是相等的，这是因为它们分属于同底同高的两个三角形，并且共有一个“上”（或者“下”）三角形。
简记为：“左＝右”。
在有关梯形的图形里，关注这一部分的情况，有时能得到答案，有时为解答提供思路。
例1、如图的梯形ABCD中，三角形ABP的面积为20平方厘米，三角形CDQ的面积为35平方厘米，求四边形MPNQ的面积。
解：连接MN，这样把梯形ABCD分成ABNM和MNCD两个小梯形。
由“左＝右”知道：S△MNQ＝S△CDQ＝35；S△MNP＝S△ABP＝20。
所以，四边形MPNQ的面积是：20＋35＝55（平方厘米）。
例2、如图所示, 四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形, 若三角形DFP 与三角形AEF 的面积分别是22 和36, 则三角形BNE 的面积是多少？（第十六届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛小学组决赛试题)解：连接AM。
把四边形CPMN以外的部分，分成了AMND和ABGM两个梯形。
由“左＝右”知道：S△AFM＝22；S△AEM＝36－22＝14。
所以，三角形BNE 的面积是14。
二、上底下底藏玄机梯形上、下底的长度，决定了对角线交叉所成的角度。
上、下底的比，决定了对角线上、下段的比，也决定了这些线段所围成的三角形面积的比。
所以相应边长的比，等于边长所在的三角形面积的比，反之，三角形面积的比，等于三角形相应边长的比。
简记为：AO ∶OC ＝上∶左＝右∶下。
例3、梯形ABCD 的上底AD 长3厘米，下底BC 长9厘米，两对角线相交于O 。
已知三角形ABO 的面积为12平方厘米，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？（1999年小学数学奥林匹克决赛试题）解：因为AD ∶BC ＝3∶9＝AO ∶CO ＝EO ∶OF ＝DO ∶BO ＝1∶3；所以，S △AOD ∶S △AOB ＝S △DOC ∶S △BOC ＝1∶3。
已知三角形ABO 的面积为12平方厘米，知S △AOD ＝ 12÷3＝4（平方厘米）； S △BOC ＝12×3＝36（平方厘米）。
所以，梯形ABCD 的面积为：4＋12×2＋36＝64（平方厘米）。
例4、如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O 。
已知AB ＝5，CD ＝3，梯形ABCD 的面积为4，求三角形ABO 的面积。
（第十四届“华杯赛”小学组决赛A 卷试题）解：已知CD ∶AB ＝3∶5，如果S △COD 为3份， S △AOD 为5份，S △BOC 为5份，则S △AOB 为553⨯＝253份梯形ABCD 共分了：3＋5＋5＋253＝643份；三角形ABO 的面积是梯形面积的253÷643＝2564所以，三角形ABO 的面积为：4×2564＝2516。
三、细研定理多思路（1）、梯形中，面积的比等于相应的边长平方的比，简记为：22::a b =上下。
例5、如下图，在梯形ABCD 中，三角形ABO 和三角形CDO 的面积分别是16和4，那么DC ∶AB 是几比几？（第十五届“华杯赛”小学组决赛B 卷试题）解：由三角形ABO 和三角形OCD 的面积分别是16和4，知：16＝4×4，4＝2×2。
根据“22上下”，::a b可知，DC∶AB＝2∶4＝1∶2。
（2）、由“上∶左＝右∶下”，根据比例的基本性质，推知“上×下＝左×右”。
例6、如图，BD、CF将长方形ABCD分成四块。
红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米?（第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛团体决赛口试题）解：连接B、F两点．根据“上×下＝左×右”，知，S△BCE＝6×6÷4＝9（平方厘米）。
对角线BD把长方形ABCD分成相等的两半，可知，S△ABD＝S△BCD＝6＋9＝15（平方厘米）。
所以，四边形ABEF的面积为：15－4＝11（平方厘米）。
例7、如图，ABCD是个梯形，已知三角形ABD的面积是12 cm²，三角形AOD的面积比三角形BOC的面积少12 cm²。
那么，梯形ABCD的面积是多少cm²？解：设三角形AOD的面积为x. 依题中条件S△AOB＝12－x；S△BOC＝12＋x。
根据“上×下＝左×右”，得方程：x×（x＋12）＝（x－12）×（x－12）解得x＝4。
所以，梯形ABCD的面积是：4＋16＋8＋8＝36（cm²）。
例8、在右图的梯形ABCD中，三角形AOD面积是27 平方厘米，三角形COD的面积是45平方厘米，三角形BCE的面积是55平方厘米。
那么，阴影部分面积是多少平方厘米？解：根据“上×下＝左×右”，可知，S△BOC＝45×45÷27＝75（平方厘米）。
而S△BCE＝55 cm²，所以S△EOC＝75－55＝20（平方厘米）。
根据高相同，面积的比等于底边的比，知，，EO长是BO长的20÷75＝415所以，阴影部分的面积是：（45＋75）×4＝32（平方厘米）。
15（3）、一条对角线上段与下段的比＝上、右两个三角形的面积和与左、下两个三角形面积和的比。
简记为：AO ∶OC ＝（上＋右）∶（左＋下）。
例9、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若S △AOD ∶S △ACD ＝1∶3，若S △AOD ＝1.8平方厘米，则梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？解：由S △AOD ∶S △ACD ＝1∶3， 知，S △ACD ＝1.8×3＝5.4（平方厘米）。
S △AOD ∶S △DOC ＝1∶（3－1）＝1∶2，设S △ABC 为x 平方厘米。
1∶2＝5.4∶x 解得 x ＝10.8。
所以，梯形ABCD 的面积是：5.4＋10.8＝16.2（平方厘米）。
四、综合思考少难题所谓综合思考，就是善于根据梯形中各部分的面积与相应的边长的比例关系，综合运用，不以一种关系的运用而满足。
例10、E 是矩形ABCD 的边BC 的中点，BD 与AE 的交点为F ，那么，右图中阴影部分（三角形FAB ）与矩形ABCD 的面积之比是多少？（1997年小学数学奥林匹克总决赛题）解：设矩形ABCD 的面积为1. 连接DE.由E 是BC 边的中点，知S △CDE 是矩形面积的12×12＝14，梯形ABED 的面积为 1－14＝34。
由梯形上、下底长度的比是1∶2，可知，上、下、左、右四个三角形面积所占的份数的和为 2（1+2）＝9份，S △ABF 占梯形面积的29。
图中阴影部分（三角形FAB ）是矩形ABCD 的面积的：34×29＝16，即1∶6。
例11、如右图 ABCD 为平行四边形，AE ＝2ED ，若三角形CEF 的面积为1，那么平行四边形ABCD 的面积是多少？（第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛深圳赛题）解：因为AE ＝2ED ，知S △CDE 是平行四边形面积的12×13＝16，则梯形面积是平行四边形面积的 1－16＝56。
由AE ＝2ED ，知AE ∶BC ＝2∶3。
则“上”的面积为2份，“左”为3份，“右”为3份，“下”为3÷2×3＝4.5份，则梯形面积共分为：2＋3＋3＋4.5＝12.5份。
三角形CEF的面积是梯形ABCE面积的3÷12.5＝625。
已知三角形CEF的面积为1，则梯形面积为1÷625＝256。
所以，平行四边形ABCD的面积是：625÷56＝5。
例12、下图中，ABCD是平行四边形，E在AB边上，F在CD边上，G为AF与DE的交点，H为CE与BF的交点。
已知平行四边形的面积是1，AE∶EB＝1∶4，三角形BHC的面积为18，求三角形ADG的面积。
（2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛C卷试题）解：已知平行四边形ABCD的面积是1，根据面积一定，底和高成反比例，所以底和高的长度，凡是积为1的两个数都成。
为了省事，我们设平行四边形ABCD的底和高都为1。
连接EF，把平行四边形分成AEFD和EBCF两个梯形。
在梯形EBCF中，S△BEF＝12×41+4×1＝25，S△BEH＝25－18＝1140；设CF长为x。
根据梯形中三角形面积的比，等于三角形相应边长的比，得比例式1140∶18＝41+4∶x解得x＝411.则DF是CD的1－411＝711。
在梯形AEFD中，S△AED＝S△AEF＝12×11+4×1＝110。
DF∶AE＝DG∶GE＝711∶11+4＝3511。
所以，三角形ADG的面积是：110÷（1＋3511）×3511＝792。