2013-2014年湖南省长沙市长郡中学高一上学期数学期末模拟试卷带答案
长郡中学高一数学第一次月考数学试卷
数学（长郡版）- 4
（1）若 A 1,2，求 S T ： （2）若 A 0, m，且 S T ，求实数 m 的值；
（3）若对于 A 中的每一个 x 值，都有 f (x) g(x) ，求集合 A 。
17. （本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) 2x2 a , 且f (1) 3 。 x
（1）求函数 f (x) 在 - ，0 上的单调区间，并利用定义证明；
个数为
A.71
B.49
C.35
D.29
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，将答案填在答案纸上。
11. 设 P,Q 为两个非空实数集合， P 中含有 0,2,5 三个元素， Q 中含有1,2,6 三个元素，定
义集合 P Q 中的元素是 a b ，其中 a P,b Q ，则 P Q 中元素个数是
一片森林原面积为 a .计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积与上一年剩余
面积的百分比相等，并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是 10 年。为保护生态环境，
森林面积至少要保留原面积的 1 。已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的 2 。
4
2
（1）求每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？
19.（本小题满分 12 分）
已 知 函 数 f (x) 对 一 切 实 数 x, y ， 等 式 f (x y) f ( y) x(x 2y 1) 都 成 立 ， 且
f (1) 0 。
（1）求函数 f (x) 的解析式； （2）已知 a,b R，g(x) f (x) bx, 当 0 x 1 时，使不等式 f (x) 3 2x a 恒成立
2014年长郡中学高一上学期数学试卷
/. 如图 % 有向线段 + 且+ " 6 ! + # 为圆, 的直径% - 与圆, 交点.% .%
" /. 若 /. /. /. 则+ + -! + + %槡 &% #++ -% !!!!! + #
! 第" 7题图"
%
!!!!!
! 第" 6题图"
# ( %! "! 已知函数$! " % 且 $! " = ! %" % % (&$ 且('" /" % 4 0 5 ( %" (! " ! " % 则$! 7 /' $ !/" % !!!!! 设函数$! 的图象与直线%% # $ ! %" (% %% ) 及% 轴所围成图形的面 积称为函数$ ! 在( 上 的 面 积! 已 知 函 数 &%1 %" (% )) 8 90 %在 上的面积为 # ! % % 则函数 &%1 ! " $ 0)) " 8 9 & %! -" 在 ( 0) 0 ' % 上的面积为 !!!!! ( & &)
( ) &槡 & 槡 +) ! % ) ( & &
3% 3 槡 () !槡 3 3 题号 答案 题号 答案 = " $ " " " # &
* )!
" % (" 3 3) " " ,) ! % ) ( & &
选择题答题卡
长郡中学2014年高一数学上学期期中考试试卷
方程是
'(!$&""#&!#&""#%#
*(!$&""#&!#!""#%#
,(!$&""#&!#&""#%+
.(!$&""#&!#!""#%+
选择题答题卡
题号 " # - + 0 ) 1 2 3 "$ "" "# "- "+ "0 得分 答案
二$填空题#本大题共小题%每小题分%共分%把答案填写在题中的横 线上!
")!已知两条直线""#2$&-#!-%$%"##+$&)#!"%$!若"" %"#%则2% ! !!!!
"1!若实数$%#满足!$!#"#&##%"%则$# 的最大值是!!!!!! "2!经过点%!!0%#"且在$轴上的截距等于在# 轴上的截距的#倍的直线
湖南省长沙市长郡中学高一数学上学期期末试卷(含解析)
湖南省长沙市长郡中学2014 -2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）已知全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，2，4}，则?U A=（）A．φB．{0，2，4} C．{1，3} D．{﹣1，1，3} 2．（3分）函数f（x）=的定义域为（）A．B．D．A．=（0，0），=（1，﹣2）B．=（2，﹣3），=（﹣，）C．=（3，5），=（6，10）D．=（1，﹣2），=（5，7）9．（3分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）10．（3分）把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的图象关于直线x=对称D．f（x）的图象关于点（，0）对称11．（3分）函数f（x）=log a（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A．0＜a﹣1＜b﹣1＜1 B．0＜b﹣1＜a＜1 C．0＜b＜a﹣1＜1 D．0＜a﹣1＜b＜1 12．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．4πB．C．4πD．13．（3分）已知sinx+cosx=，则x的取值范围是（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）14．（3分）现有某种细胞1000个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过（）小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg3=0.4771，lg2=0.3010）A．39 B．40 C．41 D．4315．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥０时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若?x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．16．（3分）求值：tan40°+tan20°＋tan40°?tan20°=．17．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为．18．（3分）如图，OA为圆C的直径，有向线段OB与圆C交点P，且=．若||=，则?=．19．（3分）已知函数f（x）=+log a（a＞0且a≠1），且f（m）=7（m≠0），则f （﹣m）=．20．（3分）函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在上的面积，已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=sin（3x﹣π）+1在上的面积为．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8分）已知函数f（x）=3sin（2x+）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期和初相；（2）若f（）=，α∈（，），求cosα的值．22．（8分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（2，1）．（1）若||=3，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．23．（8分）如图（1），等腰梯形OABC的上、下底边长分别为1、3，底角为∠COA=60°．记该梯形内部位于直线x=t（t＞0）左侧部分的面积为f（t）．试求f（t）的解析式，并在如图（2）给出的坐标系中画出函数y=f（t）的图象．24．（8分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（﹣）?f（+）的单调递增区间．25．（8分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）若f（1）＞0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（sin2θ+cos2θ）+f（1﹣tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，）均成立的t的取值范围；（2）若f（1）=，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），且g（x）在1．（3分）已知全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，2，4}，则?U A=（）A．φB．{0，2，4} C．{1，3} D．{﹣1，1，3}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：由全集U及A，求出A的补集即可．解答：解：∵全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，2，4}，∴?U A={1，3}．故选：C．点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（3分）函数f（x）=的定义域为（）A．B．D．，故选：C．点评：本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于基础题．7．（3分）下列各式中值等于的是（）A．sin15°cos15°B．C．cos2﹣sin2D．考点：二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：利用二倍角公式化简所给的各个式子的值，从而得出结论．解答：解：∵sin15°cos15°＝sin30°＝，故排除A．∵==tan45°＝，故B满足条件．∵cos2﹣sin 2 =cos=，故排除C．∴=cos=，故排除D，故选：B．点评：本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．8．（3分）下列向量中，可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（1，﹣2）B．=（2，﹣3），=（﹣，）C．=（3，5），=（6，10）D．=（1，﹣2），=（5，7）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，判断各个徐昂项中的两个向量是否共线，从而得出结论．解答：解：平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，由于向量（1，2）和向量（5，7）不共线，故可以作为基底，而其它选项中的2个向量的坐标对应成比例，故其它选项中的2个向量是共线向量，不能作为基底，故选：D．点评：题主要考查基地的定义，两个向量是否共线的判定方法，属于基础题．9．（3分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得f（2）?f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．解答：解：∵函数满足 f（2）=＞0，f（3）=1﹣ln3＜0，∴ｆ（2）?f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选B．点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．10．（3分）把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的图象关于直线x=对称D．f（x）的图象关于点（，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．解答：解：把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）=sin=sin（2x ﹣）的图象，令x=，可得函数f（x）取得最大值为1，故f（x）的图象关于直线x=对称，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．（3分）函数f（x）=log a（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A．0＜a﹣1＜b﹣1＜1 B．0＜b﹣1＜a＜1 C．0＜b＜a﹣1＜1 D．0＜a﹣1＜b＜1考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数和函数图象平移的方法列出关于a，b的不等关系是解决本题的关键．利用好图形中的标注的（0，﹣1）点．利用复合函数思想进行单调性的判断，进而判断出底数与1的大小关系．解答：解：∵函数f（x）=log a（2x+b﹣1）是增函数，令t=2x+b﹣1，必有t=2x+b﹣1＞0，t=2x+b﹣1为增函数．∴a＞1，∴0＜＜1，∵当x=0时，f（0）=log a b＜0，∴0＜b＜1．又∵f（0）=log a b＞﹣1=log a，∴b＞，∴0＜a﹣1＜b＜1．故选：D．点评：本题考查对数函数的图象性质，考查学生的识图能力．考查学生的数形结合能力和等价转化思想．12．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．4πB．C．4πD．考点：球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入表面积公式，可得答案解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的四个顶点，故其外接球，相当于一个长，宽，高分别均为2的正方体的外接球，故外接球的半径R=，故球的体积V==4，故选：A．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．13．（3分）已知sinx+cosx=，则x的取值范围是（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得sinx+cosx≥0，即sin（x+）≥0，解三角不等式可得．解答：解：∵sinx+cosx=，∴sinx+cosx≥0，即sin（x+）≥0，∴2kπ≤x+≤2kπ+π，解得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z故选：C点评：本题考查和差角的三角函数公式，属基础题．14．（3分）现有某种细胞1000个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过（）小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg3=0.4771，lg2=0.3010）A．39 B．40 C．41 D．43考点：对数的运算性质．分析：现有细胞1000个，先求出经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，得到细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为y=1000×（）x，由1000×（）x＞1010，得x＞，由此能求出经过40小时，细胞总数超过1010个．解答：解：现有细胞1000个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=，2小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=×1000，3小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=×1000，4小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=×1000，可见，细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=1000×（）x，x∈N*由1000×（）x＞1010，得（）x＞107，两边取以10为底的对数，得xlg＞7，∴x＞，∵=≈39.77，∴x＞39.77．即经过40小时，细胞总数超过1010个．故选：B．点评：本题考查对数函数在生产生活中的具体应用，是中档题，解题时要认真审题，注意挖掘数量间的等量关系，合理地建立方程．15．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥０时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若?x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：把x≥０时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对?x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．解答：解：当x≥０时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤ａ2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对?x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对?x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．16．（3分）求值：tan40°+tan20°＋tan40°?tan20°＝．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由两角和的正切公式变形可得可得tan40°+tan20°=tan（40°+20°）（1﹣tan40°tan20°），代入要求的式子化简可得．解答：解：由两角和的正切公式可得tan（40°+20°）=，∴tan40°+tan20°＋tan40°?tan20°=tan（40°+20°）（1﹣tan40°tan20°）+tan40°?tan20°=（1﹣tan40°tan20°）+tan40°?tan20°=．故答案为：．点评：本题考查两角和与差的正切公式，正确变形是解决问题的关键，属基础题．17．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为3π．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，底面的面积是π×１2=π，圆柱的高是3，用底面积乘以高做出几何体的体积．解答：解：由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，底面的面积是π×１2=π圆柱的高是3，∴几何体的体积是3π故答案为：3π点评：本题考查由三视图还原几何体，并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出几何体的形状和各个部分的长度．18．（3分）如图，OA为圆C的直径，有向线段OB与圆C交点P，且=．若||=，则?=．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：连接AP，可得AP⊥OP，Rt△APO中，AOcos∠AOP=OP，则有?==可求．解答：解：连接AP，则可得，AP⊥OP，∵=，||=，Rt△APO中，AOcos∠AOP=OP=∴?===故答案为：点评：本题主要考查了向量数量积的定义的应用，解题的关键是锐角三角函数定义的灵活应用．19．（3分）已知函数f（x）=+log a（a＞0且a≠1），且f（m）=7（m≠0），则f （﹣m）=﹣5．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=f（x）﹣2，得到f（x）=﹣g（﹣x），代入即可得到f（﹣m）的值．解答：解：设g（x）=f（x）﹣2=+log a﹣2=+log a，∴g（﹣x）=+log a=﹣﹣log a=﹣f（x），∴f（x）=﹣g（﹣x），g（x）=f（x）﹣2，∴f（﹣m）=﹣g（m）=﹣f（m）+2=﹣7+2=﹣5，故答案为：﹣ 5点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，关键是构造函数g（x）=f（x）﹣2，属于中档题．20．（3分）函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在上的面积，已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=sin（3x﹣π）+1在上的面积为．考点：正弦函数的图象．专题：新定义．分析：根据三角函数的面积的定义，利用三角函数的关系即可得到所求函数的面积．解答：解：对于函数y=sin3x而言，n=3，∴函数y=sin3x在上的面积为：，将y=sin3x向右平移得到y=sin（3x﹣π）=sin3（x﹣）的图象，此时y=sin（3x﹣π）在上的面积为，将y=sin（3x﹣π）向上平移一个单位得到y=sin（3x﹣π）+1，此时函数在上上的面积为，故答案为：．点评：本题主要考查曲线面积的求法，根据三角函数面积的定义以及三角函数的图象关系是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8分）已知函数f（x）=3sin（2x+）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期和初相；（2）若f（）=，α∈（，），求cosα的值．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）正弦函数y=Asin（ωx+θ）的周期T=，初相是φ；（2）把f（）=代入函数解析式求得sin（α+）=，然后利用公式sin2α+cos2α=1和α的取值范围得到cos（α+）=﹣，所以cos=cos，利用两角和与差的余弦将其展开，并代入相关数值进行求值即可．解答：解：（1）函数f（x）的最小正周期T==π，初相φ=；（2）由f（）=，得3sin（α+）=，则sin（α+）=，又α∈（，），∴α+∈（，π），∴cos（α+）=﹣因此，cos=cos=cos（α+）cos+sin（α+）sin=﹣×+×=﹣．点评：本题考查了正弦函数的图象，熟记公式的解题的关键，难度不大，属于基础题．22．（8分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（2，1）．（1）若||=3，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）因为∥，所以设==（2λ，λ），再由||=3，得到λ．（2）+2与2﹣垂直得到数量积为0，求出，再由数量积公式求出向量的夹角θ．解答：解：（1）因为||=3，且∥，设==（2λ，λ），则==3，解得λ=±3，所以=（6，3）或（﹣6，﹣3）；（2）因为||=，且+2与2﹣垂直，所以（+2）?（2﹣）=0 即2=0，∴2×5﹣2×﹣3=0，解得=…（10分）所以cosθ==﹣1，又θ∈，所以θ=π，与的夹角为π．点评：本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答23．（8分）如图（1），等腰梯形OABC的上、下底边长分别为1、3，底角为∠COA=60°．记该梯形内部位于直线x=t（t＞0）左侧部分的面积为f（t）．试求f（t）的解析式，并在如图（2）给出的坐标系中画出函数y=f（t）的图象．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：过C、B分别作OA的垂线，垂足分别为D、E，设直线x=t与x轴的交点为P，讨论P∈OD、DE、EA以及Ax时，求出函数f（t）的解析式，利用分段函数写出f（t）的解析式并画出函数的图象．解答：解：如图所示，过C、B分别作OA的垂线，垂足分别为D、E，设直线x=t与x轴的交点为P，则|OD|=|DE|=|EA|=1，|CD|=|BE|=；所以，①当P∈OD，即t∈（0，1]时，f（t）=?t?t=t2；②当P∈DE，即t∈（1，2]时，f（t）=??=（2t﹣1）；③当P∈EA，即t∈（2，3]时，f（t）=?（1+3）？﹣?（3﹣t）2=（﹣t2+6t﹣5）；④当P∈Ax，即t∈（3，+∞）时，f（t）=?（1+3）？=2；综上，f（t）=；画出函数f（t）的图象如图2所示．点评：本题考查了求分段函数的解析式、画分段函数的图象的应用问题，是基础题目．24．（8分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（﹣）?f（+）的单调递增区间．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值即可求函数f（x）的解析式；（2）求出g（x）的表达式，利用三角函数的单调性即可求出单调递增区间．解答：解：（1）由图象知函数的周期T=2（）=π，即ω==2，则f（x）=Asin（2x+φ），∵0＜φ＜，∴由五点对应法知2×+φ=π，解得φ=，即f（x）=Asin（2x+），∵f（0）=Asin==1，∴A=2，即函数f（x）的解析式f（x）=2sin（2x+）；（2）g（x）=f（﹣）?f（+）=2sin（x﹣+）?2sin（x++）=4sinxsin（x+）=4sinx（sinx+cosx）=2sin2x+2sinxcosx=1﹣cos2x+sin2x=2sin（2x﹣）+1，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得kπ﹣≤x≤ｋπ+，k∈Z，即g（x）的单调递增区间为，k∈Z．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．综合考查三角函数的性质．25．（8分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）若f（1）＞0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（sin2θ+cos2θ）+f（1﹣tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，）均成立的t的取值范围；（2）若f（1）=，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣1，求m的值．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（0）=0求出k的值，分离参数得到t＞2sinθ+2cosθ=2sin（θ+），根据三角形函数的性质即可求出t范围．（2）由f（1）=，可解得a=2，于是可得f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈[，+∞），通过对m范围的讨论，结合题意h（t）min=﹣1，即可求得m的值解答：解：（1）∵函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．∴f（0）=0，∴1﹣（k﹣1）=0，解得k=2，∴f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（1）=a﹣＞0，且a＞0且a≠1，∴a＞1，∴f（x）是定义域为R的奇函数且单调递增，∵f（sin2θ+cos2θ）+f（1﹣tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，）均成立，∴sin2θ+cos2θ+1﹣tcosθ＜0，即tcosθ＞sin2θ+cos2θ+1=2sinθcosθ+2cos2θ，∵θ∈（0，），∴cosθ（0，1），则t＞2sinθ+2cosθ=2sin（θ+），又当θ=时，2sin（θ+）的最大值为2，∴t＞2，∴ｔ的取值范围为（2，+∞）；（Ⅱ）由（1）知，f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（1）=，∴a﹣=，解得a=2．故f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则22x+2﹣2x=t2+2，由x∈[1，+∞），得t∈[，+∞），∴g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈[，+∞），当m≥时，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣1，解得m=，或m=（舍去），当m＜时，当t=，h（t）min=﹣3m=1，解得m=（舍去）．综上，m的值是2．点评：本题考查指数函数的综合应用，考查函数的奇偶性与单调性，函数恒成立的问题，突出换元思想与分类讨论思想在最值中的综合应用，属于难题．。
长郡中学2024-2025学年高一上学期综合能力检测(入学分班考试)数学试卷(解析版)
长郡中学2024级高一综合能力检测试卷数学时量：90分钟 满分100分一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符题目要求的.1.《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1=万1万，1兆1=万1×万1×亿．若1兆10m=，则m 的值为（ ） A.4 B.8C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】由指数幂的运算性质即可求解. 【详解】1万=410，所以1亿=810， 所以1兆=8816101010×=， 所以16m =. 故选：D2.二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）A.12B.112C.16D.14【答案】D 【解析】【分析】根据概率的计算公式即可求解.【详解】从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为61244=， 故选：D3.如图，矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 所表示的数为（ ）A. 2B.1−C.D.1【答案】B 【解析】【分析】利用勾股定理和数轴的知识求得正确答案.【详解】由于AC =，所以点M所表示的数为)231+−=−.故选：B4. 若关于x 的不等式组()532223x x x x a + ≥−+<+恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）A. 53a <−B. 5433a −≤<− C. 523a −<−≤D. 523a −<<−【答案】C 【解析】【分析】化简不等式组，由条件列不等式求a 的取值范围. 【详解】解不等式532x x +≥−，得11x ≤， 解不等式()223x x a +<+，得23x a >−， 由已知可得7238a ≤−<， 所以523a −<−≤.故选：C.5. 在ABC ，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A ，B ，P 为圆心画圆，圆A 的半径为1，圆B 的半径为2，圆P 的半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离【答案】B 【解析】【分析】由题意条件分析两圆圆心距与两半径和差的大小关系即可得. 【详解】由圆A 与圆P 内切，则312PA =−=，5AB =， 又点P 在ABC 内，则PA PB AB +>，且PB AB <， 所以523PB AB PA >−=−=，且5PB <， 则3232PB −<<+，由圆B 的半径为2，圆P 的半径为3， 所以圆P 与圆B 相交. 故选：B.6. 对于正整数k 定义一种运算：1()[][]44k k f k +=−，例：313(3)[][]44f +=−，[]x 表示不超过x 的最大整数，例：[3.9]3=，[ 1.8]2−=−．则下列结论错误的是（ ） A. ()10f =B. ()0f k =或1C. ()()4f k f k +=D. ()()1f k f k +≥【答案】D 【解析】【分析】根据给定的定义，逐项计算判断即可.【详解】对于A ，11(1)[][]00024f =−=−=，A 正确； 对于B ，取4,1,2,3,4k n i i =+=，n 为自然数， 当4i =时，1()[1][1][1]044f k n n ++−+，当3i =时，33()[1][]1([])144f k n n n n =+−+=+−+=，当1,2i =时，11()[][][]([])04444i i i if k n n n n ++=+−+=+−+=，B 正确； 对于C ，11(4)[1][1]1[](1[])()4444k k k kf k f k +++=+−+=+−+=，C 正确； 对于D ，414313(31)[][]0,(3)[][]14444f f +++=−==−=，即(31)(3)f f +<，D 错误.故选：D7. 如图，点A 为反比例函数()10y x x=−<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例函数()40yx x=>的图象交于点B ，则AO BO 的值（ ）A.12B.14C.D.13【答案】A 【解析】【分析】设121214,,,A x B x x x −，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ，由AO BO ⊥，得∽∠ AOE OBF ，由==AEEO AO OFBF BO，可得答案. 【详解】设AA �xx 1,−1xx 1�,BB �xx 2,4xx 2�(xx <0,xx 2>0)，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ， 且()()12,0,,0E x F x ，因为AO BO ⊥，所以,∠=∠∠=∠AOE OBF OAE BOF ， 所以∽∠ AOE OBF ，所以AE EO OF BF =，可得112214−−=x x x x ，即22124x x =，所以122x x =−， 所以12121211==−==−=A Ex x x OA BO OFx.故选：A.8. 若二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤，且函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，则q 的取值范围是（ ） A. 124q −≤≤ B. 50q −≤≤C. 54q −≤≤D. 123q −≤≤【答案】A 【解析】【分析】由二次函数解析式可求得对称轴为1x m =+，进而可得412p p m ++=+，由函数图象过点(),p q ，可得2(1)4q m =−−+，可求q 的取值范围.【详解】因为二次函数解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤， 所以二次函数的对称轴为1x m =+，函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，故点(),p q 和点()4,p q +关于直线1x m =+对称， 所以412p p m ++=+，所以1[0,4]p m −∈， 又()()()()2222121223(1)4q p m p m m m m m m =−−=−−−−=−++=−−+， 当1m =，max 4q =，当5m =，min 12q =−，所以124q −≤≤. 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．9. 分解因式：432449a a a −+−=______． 【答案】2(23)(1)(3)a a a a −++− 【解析】【分析】根据给定条件，利用公式法及十字相乘法分解因式即可得解.【详解】43222222449(2)9(23)(23)(23)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a −+−=−−=−+−−=−++−. 故答案为：2(23)(1)(3)a a a a −++−的10. 直线1:1l y x =−与x 轴交于点A ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转15°，得到直线2l ，则直线2l 对应的函数表达式是______．【答案】y =【解析】【分析】先求得2l 的倾斜角，进而求得直线2l 对应的函数表达式. 【详解】直线1:1l y x =−与x 轴交于点 1,0A ， 直线1:1l y x =−的斜率为1，倾斜角为45°，所以2l 的倾斜角为60°所以直线2l 对应的函数表达式是)1y x =−=.故答案为：y=−11. 若关于x 的分式方程22411x a x ax x −−+−=−+的解为整数，则整数a =______． 【答案】1± 【解析】【分析】由分式方程有意义可知1x ≠且1x ≠−，再化简方程求解2x a=，由,a x 均为整数可求.【详解】则方程241x a x −−−1x ≠且1x ≠−. 方程可化为222211x a x ax x −−+−=+−+，即2211a a x x −+=−+， 解得2x a=，由1x ≠且1x ≠−，所以2a ≠且2a ≠−.由a 为整数，且x 为整数，则当1a =−，2x =−，或当1a =，2x =时满足题意. 所以1a =±. 故答案为：1±.12. 如图，已知两条平行线1l ，2l ，点A 是1l 上的定点，2AB l ⊥于点B ，点C ，D 分别是1l ，2l 上的动点，且满足AC BD =，连接CD 交线段AB 于点E ，BH CD ⊥于点H ，则当BAH ∠最大时，sin BAH ∠的值为______．【答案】13【解析】【分析】因为BH CD ⊥于点H ，所以点 H 在以BE 为直径的圆上运动, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大，据此在OHA 求解即可. 【详解】12//,//,AC BD l l∴ 四边形 ACBD 是平行四边形 12AE BE AB ∴==A 为定点, 且 2//AB l AE ∴ 为定值,BH CD ⊥ 90BHE ∠∴=, 如图，取BE 的中点O ,则点 H 在以BE 为直径的圆上运动,此时 1123OE BE OA ==, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大1sin 3OH BAH OA ∠∴==故答案为：13.三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息.a .教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）；平均数中位数众数教师评委 91 91 m 学生评委90.8n93c .评委打分的平均数、中位数、众数如上： 根据以上信息，回答下列问题：①m 的值为______，n 的值位于学生评委打分数据分组的第______组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则x ______91（填“>”“=”或“<”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评1评委2评委3评委4评委5甲 93 90 92 93 92 乙9192929292丙 90 94 90 94 k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k （k 为整数）的值为______.【答案】（1）①91；4；②< （2）甲；92 【解析】【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可；②根据算术平均数的定义求出8名教师评委打分的平均数，即可得出答案； （2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可. 【小问1详解】①由题意得，教师评委打分中91出现次数最多，故众数91m =；45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n 的值位于学生评委打分数据分组的第4组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ， 则1(8890919191919292)90.758x =×+++++++=，91x ∴<.【小问2详解】甲选手的平均数为1(9390929392)925×+++=， 乙选手的平均数为1(9192929292)91.85×++++=， 因为丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，所以三位选手中排序最靠前的是甲，且丙的平均数大于或等于乙的平均数， 因为5名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92， 乙选手的方差2221[4(9291.8)(9191.8)]0.165S =××−+−=乙， 5名专业评委给丙选手的打分为90,94,90,94,k ， 所以乙选手的方差小于丙选手的方差，所以丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴9390929392909490949192929292k ++++≥++++>++++，9291k ∴≥>， k 为整数，的k ∴的值为92.14. 根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中FC 为椅背，EC 为坐垫，C ，D 为焊接点，且CD 与AB 平行，支架AC ，BD 所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O ．设计方案中，要求A ，B 两点离地面高度均为5厘米，A ，B 两点之间距离为70厘米；素材二：经研究，53OCF ∠=°时，舒适感最佳．现用来制作椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A 时（如图3），F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米．（sin530.8°≈，cos530.6°≈，tan53 1.3°≈）任务：（1）根据素材求底座半径OA ； （2）计算图3中点B 距离地面的高度；（3）①求椅背FC 的长度范围；（结果精确到0.1m ） ②设计一种符合要求的方案． 【答案】（1）125厘米；（2）19.6厘米 （3）①64.580FC ≤<；②70cm ，90cm （答案不唯一）． 【解析】【分析】（1）根据四边形AHNB 为矩形，35AG BG ==厘米，5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，由勾股定理求出r 即可得出答案；（2）由四边形ANBK 为矩形，进而得AK BN h ==，()125cm,125cm OK h OB =−=，然后在直角三角形中由勾股定理列出关于h 的方程，解方程求出h 即可得出答案；（3）①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，先求出cos cos 0.28QCD OAB ∠=∠=，设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−，即可得0.60.28(160)12x x −−≥，由此解得64.5x ≥，据此可得椅背FC 的长度范围；②在①中椅背FC 的长度范围任取一个FC 的值，再计算出EC 的值即可，例如取70FC =厘米，则1607090EC =−=（厘米）；（答案不唯一，只要在FC 的长度范围内即可）． 【小问1详解】过点A 作AH 垂直地面于H ，过点O 作OG AB ⊥于G ，OG 的延长线于地面交于点M ，如图所示：AB 平行于地面，∴四边形AHNB 为矩形，1352AG BG AB ===厘米， 5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，(5)OG OM GM r ∴=−=−厘米，在Rt OAG ∆中，OA r =厘米，35AG =厘米，(5)OGr =−厘米， 由勾股定理得：222OA OG AG =+，即：222(5)35r r =−+， 解得：125r =，∴底座半径OA 的长度为125厘米；【小问2详解】过点B 作BN 垂直地面于N ，BK OA ⊥于K ，如图所示：设BN h =，底座与地面相切于点A ，OA ∴垂直地面于点A ，∴四边形ANBK 为矩形，AK BN h ∴==，由任务一可知：125cm,125OA OB OK OA AK h ==∴==--， 在Rt ABK △中，cm,=70cm AK h AB =， 由勾股定理得：2222270BK AB AK h =−=−，在Rt OBK 中，()125cm,125cm OK h OB =−=， 由勾股定理得：22222125(125)BK OB OK h =−=−−，222270125(125)h h ∴−=−−，解得：19.6h =，∴点B 距离地面的高度为19.6厘米；【小问3详解】①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，如图所示：//CD AB ，QCD OAB ∴∠=∠，由任务②可知：19.6AK h ==厘米，70AB =厘米， 在Rt ABK △中，19.6cos 0.2870AK OAB AB ∠===， cos cos 0.28QCD OAB ∴∠=∠=，椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米， ∴设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−， 椅背长度小于坐垫长度，160x x ∴<−，解得：80x <，在Rt CQE △中，cos 0.28CQQCD CE∠==， 0.280.28(160)CQ CE x ∴==−厘米，在Rt CFP △中，cos CPOCF CF∠=， cos cos530.6CP CF OCF x x ∴=⋅∠=⋅°≈（厘米）， F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米，12AP AN ∴−≥，即：()12AC CP AC CQ +−+≥，12CP CQ ∴−≥，0.60.28(160)12x x ∴−−≥，解得：64.5x ≥， 又80x < ，64.580x ∴≤≤，即：64.580FC ≤≤，∴椅背FC 的长度范围是：64.580FC ≤<；②由于64.580FC ≤<，故取70cm FC =，则1607090cm EC ==-．15. 定义：在平面直角坐标系中，直线x m =与某函数图象交点记为点P ，作该函数图象中点P 及点P 右侧部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数图象上的点P 及点P 右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线x m =的“迭代函数”．例如：图1是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为()()10,10.x x y x x +≥ =−+<（1）函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为______．（2）若函数243y x x =−++关于直线x m =的“迭代函数”图象经过()1,0−，则m =______．（3）已知正方形ABCD 的顶点分别为：(),A a a ，(),B a a −，(),C a a −−，(),D a a −，其中0a >．①若函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，求a 的值； ②若6a =，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，求n 的取值范围．【答案】（1）1,13,1x x y x x +≥ =−+<（2）m =m =，（3）①3；②()5,1,12−∞−∪−. 【解析】【分析】（1）取点()2,3M ，()3,4N ，求两点关于1x =的对称点，利用待定系数法求左侧图象的解析式，由此可得结论；（2）判断点()1,0−与函数243y x x =−++的图象的关系，再求()1,0−关于直线x m =的对称点，由条件列方程求m 即可；（3）①求函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式，作函数图象，观察图象确定a 的值； ②分别在0n >，0n =，0n <时求函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”解析式，讨论n ，由条件确定n 的范围.小问1详解】在函数1y x =+的图象上位于1x =右侧的部分上取点()2,3M ，()3,4N ， 点()2,3M 关于直线1x =对称点为(0,3)， 点()3,4N 关于直线1x =的对称点为()1,4−，设函数1y x =+，1x >的图象关于1x =对称的图象的解析式为,1y kx b x =+<， 则34b k b = −+=，解得13k b =− = ，所以函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为1,13,1x x y x x +≥ =−+<；【的【小问2详解】取1x =−可得，2431432y x x =−++=−−+=−， 故函数243y x x =−++的图象不过点()1,0−， 又点()1,0−关于直线x m =的对称点为()21,0m +， 由已知可得()()20214213m m =−++++，1m >−，所以m =或m =，【小问3详解】①当0x >或20x −≤<时，函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的图象的解析式为6y x =， 当2x <−时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象上，则点()4,x y −−在函数6y x=的图象上，所以64y x=−−， 所以函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式为[)()()6,2,00,6,,24x xy x x∞∞ ∈−∪+ =∈−− −− ， 作函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象如下：观察图象可得3a =时，函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，②若0n >，当x n ≥时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=， 当0x <或0x n <<时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上，则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上，所以62y n x=−， 所以函数6y x =关于直线x n =“迭代函数”的解析式为()()()6,,6,,00,2x n xy x n n x∞∞ ∈+ =∈−∪ − ， 当6n >时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，的当6n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当16n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当1n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有3个公共点，当01n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当0n =时，函数6y x =关于直线xx =0的“迭代函数”的解析式为6,06,0x xy x x> =−< ， 作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，若0n <，当0n x ≤<或0x >时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=， 当x n <时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上， 则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上， 所以62y n x=−，所以函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的解析式为[)()()6,,00,6,,2x n xy x n n x ∞∞ ∈∪+ = ∈− −，当10n −<<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当1n =−时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有5个公共点，当512n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有6个公共点，当52n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有5个公共点，当7522n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当72n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当762n −<<−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n =−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n <−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，综上，n 的取值范围为()51,12∞−−∪−，. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.16. 已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于点()1,0A −，()3,0B ．（1）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为线段OC 上一点（不与端点重合），直线PA ，PB 分别交抛物线于点E ，D ，设PAD △面积为1S ，PBE △面积为2S ，求12S S 的值； （2）如图2，点K 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，过点K 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M ，N ，过抛物线顶点G 作直线//l x 轴，点Q 是直线l 上一动点求QM QN +的最小值．【答案】（1）19（2）【解析】【分析】（1）把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程，解出抛物线的解析式，设(0,)P p ，求出直线AP 解析式为y px p =+，联立方程223y px p y x x =+ =−++， 可得2(3,4)E p p p −−+，同理可得234(,)393p p p D −−+，即可得1S ，2S ，化简可得结果； （2）作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，求出(1,0)K ，设直线MN解析式为y kx d =+，把点K 坐标代入即可知直线MN 的解析式y kx k =−，设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，求出2(,25)N n n n ′−+，可得QM QN QM QN MN ′′+=+≥，结合2(,23)F n m m −++，可得222421780MN MF N F k k =+=++′′，从而得到QM QN +的最小值. 【小问1详解】把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程2y x bx c =−++得：10930b c b c −−+= −++=， 解得：23b c = =， 所以抛物线方程为：223y x x =−++， 设(0,)P p ，直线AP 解析式为11y k x b =+， 把点()1,0A −，(0,)P p 代入得：1110k b b p −+= = ， 所以线AP 解析式为y px p =+，联立223y px p y x x =+ =−++ ，解得：10x y =−=或234x p y p p =− =−+ ， 所以2(3,4)E p p p −−+，设直线BP 解析式为22y k x b =+ 把点()3,0B ，(0,)P p 代入得：22230k b b p+= = ， 直线BP 解析式为3py x p =−+ 联立2323p y x p y x x =−+ =−++ ，解得：30x y = = 或233493p x p p y − = =−+可得234(,)393p p p D −−+， 所以221142()2(3)2939ABD ABP D P p p S S S AB y y p p p =−=⋅−=−+−=− ， ()2221()242(3)2ABE ABP E P S S S AB y y p p p p p =−=⋅−=−+−=− ， 所以2122192(3)92(3)S p p S p p −=−= 【小问2详解】作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，如图：因为2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线223y x x =−++的对称轴为1x =， 所以(1,0)K ，设直线MN 解析式为y kx d =+， 把点(1,0)K 代入得：=0k d +，所以=d k −，所以直线MN 的解析式为y kx k =− 设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，联立223y x x y kx k =−++ =−，可得2(2)30x k x k +−−−= 则2m n k +=−，3mn k =−−，因为N ，N ′关于直线l ：4y =对称，所以2(,25)N n n n ′−+，则QM QN QM QN MN ′′+=+≥，又2(,23)F n m m −++， 所以222()2N F m n m n +−++′，FM m n =−， 在Rt MFN ′ 中，2222222()2()2MN MF N F m n m n m n =+=−++−++ ′ ′，222()4()22()2m n mn m n mn m n =+−++−−++222(2)4(3)(2)2(3)2(2)2k k k k k =−−−−+−−−−−−+ 421780k k =++所以当0k =时，2MN ′最小为80，此时MN ′=所以QM QN +≥，即QM QN +的最小值为。
湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题
湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}26A x x =≤<，{}240B x x x =-<，则A B =I （ ）A ．()0,6B ．()4,6C ．[)2,4D ．()[),02,-∞⋃+∞2．命题“x ∃∈R ，2220x x -+≤”的否定是（ ） A ．x ∃∈R ，2220x x -+≥ B ．x ∃∈R ，2220x x -+> C ．x ∀∈R ，2220x x -+≤ D ．x ∀∈R ，2220x x -+>3．设a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．2(),()x f x x g x x ==B ．()(),()()f x x x R g x x x Z =∈=∈C ．,0(),(),0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩D ．2(),()f x x g x ==5．函数1xy x=+的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．6．若x A ∈且1A x ∈就称A 是伙伴关系集合，集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（ ） A ．15B ．16C ．64D ．1287．某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（ ） A ．20B ．21C ．23D ．258．已知集合P ，Q 中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P ，Q 中的元素都为正数；②对于任意(),a b Q a b ∈≠，都有aP b∈；③对于任意(),a b P a b ∈≠，都有ab Q ∈；则下列说法正确的是（ ）A ．若P 有2个元素，则Q 有3个元素B ．若P 有2个元素，则P Q ⋃有4个元素C ．若P 有2个元素，则P Q ⋂有1个元素D ．存在满足条件且有3个元素的集合P9．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．2ab b < C ．2ab a -<-D ．11a b-<-二、多选题10．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{}34x x -≤≤∣，则下列说法正确的是（ ）A ．0a <B ．不等式20cx bx a -+<的解集为1143xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣ C ．0a b c ++< D ．2342cb ++的最小值为4- 11．已知0x >，0y >且3210x y +=，则下列结论正确的是（ ）A．xy 的最大值为625B C ．32x y +的最小值为52D ．22x y +的最大值为10013三、填空题12．若函数f （x ）＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是．13．已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是．14．已知函数()()2462f x x a x a =-++-，若集合(){}N 0A x f x =∈<中有且只有两个元素，则实数a 的取值范围是四、解答题15．已知集合{}121A x m x m =-≤≤-，集合()(){}230B x x x =-+<． (1)若2m =，求A B U ； (2)若A B ⊆，求实数m 的范围．16．如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为360m ，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为6m ，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为m x ，墙高5m ，(1)试将垃圾池的总造价y （元）表示为(m)x 的函数，并指出x 的取值范围； (2)怎样设计垃圾池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 17．已知()24xf x x =+，()2,2x ∈-． (1)求证：函数()f x 在区间()2,2-上是增函数； (2)求函数()f x 在区间()2,2-上的值域. 18．已知函数()11mx f x =++，()()21g x x x a =++. (1)当0a =，1m =-时，解关于x 的不等式()()f x g x ≥；(2)当0m =时，对任意[)1,x ∞∈+，关于x 的不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围；(3)当0m <，0a <时，若点()111,P x y ，()222,P x y 均为函数()y f x =与函数()y g x =图象的公共点，且12x x ≠，求证：()1221223a x x --<+<.19．已知集合A 为非空数集.定义：{}|,,,{|,,}S x x a b a b A T x x a b a b A ==+∈==-∈ (1)若集合{1,3}A =，直接写出集合S ，T ；(2)若集合{}12341234,,,,,A x x x x x x x x =<<<且T A =．求证：423x x =；(3)若集合{}|02024,N ,A x x x S T ⊆≤≤∈⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.。
湖南2014年高一上数学期末试题及答案
必考Ⅰ部分一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ A ） A ．8- B ．0 C ．2 D ．102、过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ B ） A ．052=-+y x B ．012=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x3、下列四个结论：⑴两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ A ）A ．0B ．1C ．2D ．34、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ B ） Ａ．28cm π Ｂ．212cm πＣ．216cm πＤ．220cm π5、圆122=+y x 上的点到点(3,4)M 的距离的最小值是（ B ）A ．1B ．4C ．5D ．6 6、若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ D ） A. 052=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y xD. 03=--y x7、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ C ）A ．90B ．60C ．45D ．30二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分；把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．8、在空间直角坐标系中，点(1,1,3)A 与点(1,3,0)B -的距离为5.9、方程022=++-+m y x y x 表示一个圆，则m 的取值范围是)21,(-∞.10、如图，正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若1//EF AB C 平面，则线段EF11、直线01=+-y ax 恒经过定点P ，则P 点的坐标为)1,0(12、一个底面为正三角形，侧棱与底面垂直的棱柱，其三视图如图所示，则这个棱柱的体积348.为【第12题图】 【第13题图】13、如图，二面角C EF G --的大小是60°，线段AB 在平面EFGH 上，B 在EF 上，AB与EF 所成的角为30°，则AB 与平面CDEF 所成的角的正弦值是4三．解答题：本大题共3小题，共35分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14、(满分11分）某工厂为了制造一个实心工件，先画出了这个工件的三视图（如图），其中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形，俯视图为一个圆，三视图尺寸如图所示（单位cm ）；（1）求出这个工件的体积；（2）工件做好后，要给表面喷漆，已知喷漆费用是每平方厘米1元，现要制作10个这样的工件，请计算喷漆总费用（精确到整数部分）. 【解析】（1）由三视图可知，几何体为圆锥，底面直径为4， 母线长为3，.........................................2分 设圆锥高为h ，A1则52322=-=h ........................4分 则 )(3545431313132cm h R Sh V πππ=⨯⨯===...6分 （2）圆锥的侧面积ππ61==Rl S ，.........8分则表面积=侧面积+底面积=πππ1046=+（平方厘米）喷漆总费用=3141001010≈=⨯ππ元...............11分 15、（满分12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， （1）求证：111AD CDA B ⊥平面; （2）求直线1AD 与直线BD 所成的角 【解析】(1)在正方体中D A AD 11⊥，又1111A ADD B A 面⊥，且111A ADD AD 面⊂, 则111B A AD ⊥,而111,B A D A 在平面11B CDA 内，且相交故111AD CDA B ⊥平面；...........................................6分 （2）连接111,AB D B ，因为BD 平行11D B ，则11B AD ∠即为所求的角， 而三角形11D AB 为正三角形，故6011=∠B AD ，则直线1AD 与直线BD 所成的角为60.......................................12分 16、（满分12分）已知圆C 22243x y x y ++-+=0（1）已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； （2）求经过原点且被圆C 截得的线段长为2的直线方程。
2013-2014学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
2013-2014学年高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共7个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是，解得：正方体的棱长为=3即为球的直径，所以半径为）5．（5分）已知圆与圆相交，则与圆7．（5分）已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为B，圆锥的高为：π××22B=，二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.9．（5分）若球的表面积为36π，则该球的体积等于36π．所以球的体积为：10．（5分）如图，直四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于．，故答案是11．（5分）与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4关于y轴对称的圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4．12．（5分）已知点A，B到平面α的距离分别为4cm和6cm，当线段AB与平面α相交时，线段AB的中点M到α平面的距离等于1．，∴===中，EOF=13．（5分）无论m为何值，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0恒过一定点P，则点P 的坐标为（3，1）．，求得定点，14．（5分）直线y=k（x﹣1）与以A（3，2）、B（2，3）为端点的线段有公共点，则k的取值范围是[1，3]．=1=315．（5分）若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则它的体积等于．R=V=SH=．故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（11分）如图示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆．试求这个几何体的侧面积与体积．，代入圆锥的体积公式和表面积公式，可得答案．的圆锥．．17．（12分）已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+（a﹣2）y+a=0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．；时，有故它们之间的距离为18．（12分）如图示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC中点，且AB=BC=2，∠CBD=45°．（1）求证：CD⊥面ABC；（2）求直线BD与面ACD所成角的大小．BE=19．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=a，E是A1C1的中点，F是AB中点．（1）求证：EF∥面BB1C1C；（2）求直线EF与直线CC1所成角的正切值；（3）设二面角E﹣AB﹣C的平面角为θ，求tanθ的值．FEG==．．20．（13分）已知⊙C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x﹣y﹣2=0上．（1）求⊙C的方程；（2）若直线y=kx+3与⊙C总有公共点，求实数k的取值范围．由．21．（14分）（2008•湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（II）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．=AB=40AC=10，=．所以船的行驶速度为．．。
湖南省长郡中学高一数学上学期期末试卷(含解析)
湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（3分）已知全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，2，4}，则∁U A=（） A ． φ B ． {0，2，4} C ． {1，3} D ． {﹣1，1，3}2．（3分）函数f （x ）=的定义域为（）A ． [1，2）∪（2，+∞）B ． （1，+∞）C ． [1，2）D ． [1，+∞） 3．（3分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（） A ． 圆柱 B ． 圆锥 C ． 四面体 D ． 三棱柱 4．（3分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cos α=（）A ．B ．C ． ﹣D ． ﹣5．（3分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（） A ． f （x ）=B ． f （x ）=x 2+1C ． f （x ）=x 3D ． f （x ）=2﹣x6．（3分）函数y=lg （﹣x 2+2x+8）的增区间为（） A ． （﹣∞，1] B ． [1，+∞） C ． （﹣2，1] D ． [1，4）7．（3分）下列各式中值等于的是（）A ． sin15°cos15°B ．C ． cos2﹣sin2D ．8．（3分）下列向量中，可以作为基底的是（）A ． =（0，0），=（1，﹣2）B ． =（2，﹣3），=（﹣，）C ． =（3，5），=（6，10）D ．=（1，﹣2），=（5，7）9．（3分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）10．（3分）把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的图象关于直线x=对称D．f（x）的图象关于点（，0）对称11．（3分）函数f（x）=log a（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A．0＜a﹣1＜b﹣1＜1 B．0＜b﹣1＜a＜1 C．0＜b＜a﹣1＜1 D．0＜a﹣1＜b＜112．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．4πB．C．4πD．13．（3分）已知sinx+cosx=，则x的取值范围是（）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）B．[+kπ，+kπ]（k∈Z）C．[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z）D．[+2kπ，+2kπ]（k∈Z）14．（3分）现有某种细胞1000个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过（）小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg3=0.4771，lg2=0.3010）A．39 B．40 C．41 D．4315．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x ﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．16．（3分）求值：tan40°+tan20°+tan40°•tan20°=．17．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为．18．（3分）如图，OA为圆C的直径，有向线段OB与圆C交点P，且=．若||=，则•=．19．（3分）已知函数f（x）=+log a（a＞0且a≠1），且f（m）=7（m≠0），则f（﹣m）=．20．（3分）函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=sin （3x﹣π）+1在上的面积为．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8分）已知函数f（x）=3sin（2x+）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期和初相；（2）若f（）=，α∈（，），求cosα的值．22．（8分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（2，1）．（1）若||=3，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．23．（8分）如图（1），等腰梯形OABC的上、下底边长分别为1、3，底角为∠COA=60°．记该梯形内部位于直线x=t（t＞0）左侧部分的面积为f（t）．试求f（t）的解析式，并在如图（2）给出的坐标系中画出函数y=f（t）的图象．24．（8分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（﹣）•f（+）的单调递增区间．25．（8分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）若f（1）＞0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（sin2θ+cos2θ）+f（1﹣tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，）均成立的t的取值范围；（2）若f（1）=，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣1，求m的值．湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）已知全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，2，4}，则∁U A=（）A．φB．{0，2，4} C．{1，3} D．{﹣1，1，3}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：由全集U及A，求出A的补集即可．解答：解：∵全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，2，4}，∴∁U A={1，3}．故选：C．点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（3分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2）D． [1，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可．解答：解：由题意解得x∈[1，2）∪（2，+∝）故选A点评：本题是基础题，考查函数定义域的求法，注意分母不为零，偶次方根非负，是解题的关键．3．（3分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱考点：由三视图还原实物图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可．解答：解：圆柱的正视图为矩形，故选：A点评：本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题．4．（3分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．5．（3分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增，得到本题结论．解答：解：选项A，，∵f（﹣x）==f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．∵f（x）=x﹣2，﹣2＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减，∴根据对称性知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增；适合题意．选项B，f（x）=x2+1，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不合题意．选项C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意．选项D，f（x）=2﹣x在（﹣∞，+∞）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意．故选A．点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题．6．（3分）函数y=lg（﹣x2+2x+8）的增区间为（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞）C．（﹣2，1] D．[1，4）考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令t=﹣x2+2x+8＞0，求得函数的定义域为（﹣2，4），函数y=lgt，本题即求函数t=﹣（x﹣1）2+9在（﹣2，4）上的增区间．再利用二次函数的性质可得结论．解答：解：令t=﹣x2+2x+8＞0，求得﹣2＜x＜4，故函数的定义域为（﹣2，4），函数y=lgt，故本题即求函数t=﹣（x﹣1）2+9在（﹣2，4）上的增区间．再利用二次函数的性质可得函数t 在（﹣2，4）上的增区间为（﹣2，1]，故选：C．点评：本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于基础题．7．（3分）下列各式中值等于的是（）A．sin15°cos15°B．C．cos2﹣sin2D．考点：二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：利用二倍角公式化简所给的各个式子的值，从而得出结论．解答：解：∵sin15°cos15°=sin30°=，故排除A．∵==tan45°=，故B满足条件．∵cos2﹣sin2 =cos=，故排除C．∴=cos=，故排除D，故选：B．点评：本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．8．（3分）下列向量中，可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（1，﹣2）B．=（2，﹣3），=（﹣，）C．=（3，5），=（6，10）D．=（1，﹣2），=（5，7）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，判断各个徐昂项中的两个向量是否共线，从而得出结论．解答：解：平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，由于向量（1，2）和向量（5，7）不共线，故可以作为基底，而其它选项中的2个向量的坐标对应成比例，故其它选项中的2个向量是共线向量，不能作为基底，故选：D．点评：题主要考查基地的定义，两个向量是否共线的判定方法，属于基础题．9．（3分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．解答：解：∵函数满足 f（2）=＞0，f（3）=1﹣ln3＜0，∴f （2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选B．点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．10．（3分）把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的图象关于直线x=对称D．f（x）的图象关于点（，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．解答：解：把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）=sin[2（x ﹣）+]=sin（2x﹣）的图象，令x=，可得函数f（x）取得最大值为1，故f（x）的图象关于直线x=对称，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．（3分）函数f（x）=log a（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A．0＜a﹣1＜b﹣1＜1 B．0＜b﹣1＜a＜1 C．0＜b＜a﹣1＜1 D．0＜a﹣1＜b＜1考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数和函数图象平移的方法列出关于a，b的不等关系是解决本题的关键．利用好图形中的标注的（0，﹣1）点．利用复合函数思想进行单调性的判断，进而判断出底数与1的大小关系．解答：解：∵函数f（x）=log a（2x+b﹣1）是增函数，令t=2x+b﹣1，必有t=2x+b﹣1＞0，t=2x+b﹣1为增函数．∴a＞1，∴0＜＜1，∵当x=0时，f（0）=log a b＜0，∴0＜b＜1．又∵f（0）=log a b＞﹣1=log a，∴b＞，∴0＜a﹣1＜b＜1．故选：D．点评：本题考查对数函数的图象性质，考查学生的识图能力．考查学生的数形结合能力和等价转化思想．12．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．4πB．C．4πD．考点：球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入表面积公式，可得答案解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的四个顶点，故其外接球，相当于一个长，宽，高分别均为2的正方体的外接球，故外接球的半径R=，故球的体积V==4，故选：A．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．13．（3分）已知sinx+cosx=，则x的取值范围是（）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）B．[+kπ，+kπ]（k∈Z）C．[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z）D．[+2kπ，+2kπ]（k∈Z）考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得sinx+cosx≥0，即sin（x+）≥0，解三角不等式可得．解答：解：∵sinx+cosx=，∴sinx+cosx≥0，即sin（x+）≥0，∴2kπ≤x+≤2kπ+π，解得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z故选：C点评：本题考查和差角的三角函数公式，属基础题．14．（3分）现有某种细胞1000个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过（）小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg3=0.4771，lg2=0.3010）A．39 B．40 C．41 D．43考点：对数的运算性质．分析：现有细胞1000个，先求出经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，得到细胞总数y 与时间x（小时）之间的函数关系为y=1000×（）x，由1000×（）x＞1010，得x＞，由此能求出经过40小时，细胞总数超过1010个．解答：解：现有细胞1000个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=，2小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=×1000，3小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=×1000，4小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=×1000，可见，细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=1000×（）x，x∈N*由1000×（）x＞1010，得（）x＞107，两边取以10为底的对数，得xlg＞7，∴x＞，∵=≈39.77，∴x＞39.77．即经过40小时，细胞总数超过1010个．故选：B．点评：本题考查对数函数在生产生活中的具体应用，是中档题，解题时要认真审题，注意挖掘数量间的等量关系，合理地建立方程．15．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．解答：解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．16．（3分）求值：tan40°+tan20°+tan40°•tan20°=．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由两角和的正切公式变形可得可得tan40°+tan20°=tan（40°+20°）（1﹣t an40°tan20°），代入要求的式子化简可得．解答：解：由两角和的正切公式可得tan（40°+20°）=，∴tan40°+tan20°+tan40°•tan20°=tan（40°+20°）（1﹣tan40°tan20°）+tan40°•tan20°=（1﹣tan40°tan20°）+tan40°•tan20°=．故答案为：．点评：本题考查两角和与差的正切公式，正确变形是解决问题的关键，属基础题．17．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为3π．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，底面的面积是π×12=π，圆柱的高是3，用底面积乘以高做出几何体的体积．解答：解：由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，底面的面积是π×12=π圆柱的高是3，∴几何体的体积是3π故答案为：3π点评：本题考查由三视图还原几何体，并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出几何体的形状和各个部分的长度．18．（3分）如图，OA为圆C的直径，有向线段OB与圆C交点P，且=．若||=，则•=．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：连接AP，可得AP⊥OP，Rt△APO中，AOcos∠AOP=OP，则有•==可求．解答：解：连接AP，则可得，AP⊥OP，∵=，||=，Rt△APO中，AOcos∠AOP=OP=∴•===故答案为：点评：本题主要考查了向量数量积的定义的应用，解题的关键是锐角三角函数定义的灵活应用．19．（3分）已知函数f（x）=+log a（a＞0且a≠1），且f（m）=7（m≠0），则f（﹣m）=﹣5．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=f（x）﹣2，得到f（x）=﹣g（﹣x），代入即可得到f（﹣m）的值．解答：解：设g（x）=f（x）﹣2=+log a﹣2=+log a，∴g（﹣x）=+log a=﹣﹣log a=﹣f（x），∴f（x）=﹣g（﹣x），g（x）=f（x）﹣2，∴f（﹣m）=﹣g（m）=﹣f（m）+2=﹣7+2=﹣5，故答案为：﹣5点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，关键是构造函数g（x）=f（x）﹣2，属于中档题．20．（3分）函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=sin （3x﹣π）+1在上的面积为．考点：正弦函数的图象．专题：新定义．分析：根据三角函数的面积的定义，利用三角函数的关系即可得到所求函数的面积．解答：解：对于函数y=sin3x而言，n=3，∴函数y=sin3x在[0，]上的面积为：，将y=sin3x向右平移得到y=sin（3x﹣π）=sin3（x﹣）的图象，此时y=sin（3x﹣π）在上的面积为，将y=sin（3x﹣π）向上平移一个单位得到y=sin（3x﹣π）+1，此时函数在上上的面积为，故答案为：．点评：本题主要考查曲线面积的求法，根据三角函数面积的定义以及三角函数的图象关系是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8分）已知函数f（x）=3sin（2x+）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期和初相；（2）若f（）=，α∈（，），求cosα的值．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）正弦函数y=Asin（ωx+θ）的周期T=，初相是φ；（2）把f（）=代入函数解析式求得sin（α+）=，然后利用公式sin2α+cos2α=1和α的取值范围得到cos（α+）=﹣，所以cos=cos[（α+）﹣]，利用两角和与差的余弦将其展开，并代入相关数值进行求值即可．解答：解：（1）函数f（x）的最小正周期T==π，初相φ=；（2）由f（）=，得3sin（α+）=，则sin（α+）=，又α∈（，），∴α+∈（，π），∴cos（α+）=﹣因此，cos=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=﹣×+×=﹣．点评：本题考查了正弦函数的图象，熟记公式的解题的关键，难度不大，属于基础题．22．（8分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（2，1）．（1）若||=3，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）因为∥，所以设==（2λ，λ），再由||=3，得到λ．（2）+2与2﹣垂直得到数量积为0，求出，再由数量积公式求出向量的夹角θ．解答：解：（1）因为||=3，且∥，设==（2λ，λ），则==3，解得λ=±3，所以=（6，3）或（﹣6，﹣3）；（2）因为||=，且+2与2﹣垂直，所以（+2）•（2﹣）=0 即2=0，∴2×5﹣2×﹣3=0，解得=…（10分）所以cosθ==﹣1，又θ∈[0，π]，所以θ=π，与的夹角为π．点评：本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答23．（8分）如图（1），等腰梯形OABC的上、下底边长分别为1、3，底角为∠COA=60°．记该梯形内部位于直线x=t（t＞0）左侧部分的面积为f（t）．试求f（t）的解析式，并在如图（2）给出的坐标系中画出函数y=f（t）的图象．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：过C、B分别作OA的垂线，垂足分别为D、E，设直线x=t与x轴的交点为P，讨论P∈OD、DE、EA以及Ax时，求出函数f（t）的解析式，利用分段函数写出f（t）的解析式并画出函数的图象．解答：解：如图所示，过C、B分别作OA的垂线，垂足分别为D、E，设直线x=t与x轴的交点为P，则|OD|=|DE|=|EA|=1，|C D|=|BE|=；所以，①当P∈OD，即t∈（0，1]时，f（t）=•t•t=t2；②当P∈DE，即t∈（1，2]时，f（t）=•[（t﹣1）+t]•=（2t﹣1）；③当P∈EA，即t∈（2，3]时，f（t）=•（1+3）•﹣•（3﹣t）2=（﹣t2+6t﹣5）；④当P∈Ax，即t∈（3，+∞）时，f（t）=•（1+3）•=2；综上，f（t）=；画出函数f（t）的图象如图2所示．点评：本题考查了求分段函数的解析式、画分段函数的图象的应用问题，是基础题目．24．（8分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（﹣）•f（+）的单调递增区间．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值即可求函数f（x）的解析式；（2）求出g（x）的表达式，利用三角函数的单调性即可求出单调递增区间．解答：解：（1）由图象知函数的周期T=2（）=π，即ω==2，则f（x）=Asin（2x+φ），∵0＜φ＜，∴由五点对应法知2×+φ=π，解得φ=，即f（x）=Asin（2x+），∵f（0）=Asin==1，∴A=2，即函数f（x）的解析式f（x）=2sin（2x+）；（2）g（x）=f（﹣）•f（+）=2sin（x﹣+）•2sin（x++）=4sinxsin（x+）=4sinx（sinx+cosx）=2sin2x+2sinxcosx=1﹣cos2x+sin2x=2sin（2x﹣）+1，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即g（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．综合考查三角函数的性质．25．（8分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）若f（1）＞0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（sin2θ+cos2θ）+f（1﹣tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，）均成立的t的取值范围；（2）若f（1）=，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣1，求m的值．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（0）=0求出k的值，分离参数得到t＞2sinθ+2cosθ=2sin（θ+），根据三角形函数的性质即可求出t范围．（2）由f（1）=，可解得a=2，于是可得f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈[，+∞），通过对m范围的讨论，结合题意h（t）min=﹣1，即可求得m的值解答：解：（1）∵函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．∴f（0）=0，∴1﹣（k﹣1）=0，解得k=2，∴f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（1）=a﹣＞0，且a＞0且a≠1，∴a＞1，∴f（x）是定义域为R的奇函数且单调递增，∵f（sin2θ+cos2θ）+f（1﹣tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，）均成立，∴sin2θ+cos2θ+1﹣tcosθ＜0，即tcosθ＞sin2θ+cos2θ+1=2sinθcosθ+2cos2θ，∵θ∈（0，），∴cosθ（0，1），则t＞2sinθ+2cosθ=2sin（θ+），又当θ=时，2sin（θ+）的最大值为2，∴t＞2，∴t的取值范围为（2，+∞）；（Ⅱ）由（1）知，f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（1）=，∴a﹣=，解得a=2．故f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则22x+2﹣2x=t2+2，由x∈[1，+∞），得t∈[，+∞），∴g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈[，+∞），当m≥时，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣1，解得m=，或m=（舍去），当m＜时，当t=，h（t）min=﹣3m=1，解得m=（舍去）．综上，m的值是2．点评：本题考查指数函数的综合应用，考查函数的奇偶性与单调性，函数恒成立的问题，突出换元思想与分类讨论思想在最值中的综合应用，属于难题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013-2014学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学模拟试卷一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3.00分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|2x＞2}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}2．（3.00分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．f（x）=|x|，B．，C．，g（x）=x+1 D．，3．（3.00分）下列四个函数中，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），都有＜0”的是（）A．f（x）=B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=2x D．y=log2x4．（3.00分）已知角α的终边经过点P（﹣4m，3m）（m≠0），则2sinα+cosα的值是（）A．1或﹣1 B．或﹣C．1或﹣ D．﹣1或5．（3.00分）下列命题正确的是（）A．若，则•=0B．若•=•，则=C．若∥，∥，则∥D．若与是单位向量，则•=16．（3.00分）函数f（x）=﹣lnx的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞）7．（3.00分）设y1=40.9，y2=80.48，y3=，则（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y1＞y2＞y38．（3.00分）设函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+a2﹣6，若不等式f（x）＜0的解集是（﹣5，﹣2），则实数a=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣4或﹣6 D．﹣4或09．（3.00分）已知函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上的最小值是﹣2，则ω的最小值等于（）A．B．C．2 D．310．（3.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（）C．f（x）=sin（）D．f（x）=sin（2x）11．（3.00分）设方程2﹣x=|lgx|的两个根为x1，x2，则（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜112．（3.00分）已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若++=，则点P与△ABC的位置关系是（）A．P在AC边上B．P在AB边上或其延长线上C．P在△ABC外部D．P在△ABC内部13．（3.00分）已知函数f（x）=2mx2﹣2（4﹣m）x+1，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A．（0，2） B．（0，8） C．（2，8） D．（﹣∞，0）14．（3.00分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣315．（3.00分）已知函数，则方程f（2x2+x）=a（a＞2）的根的个数不可能为（）A．3 B．4 C．5 D．6一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）16．（3.00分）已知单位向量，的夹角为120°，则|2﹣|=．17．（3.00分）集合M满足{a，b}⊊M⊆{a，b，c，d，e}，则这样的集合M的个数为．18．（3.00分）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为．19．（3.00分）已知y=f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，且0≤x≤2时，f （x）=x2﹣2x则10≤x≤12时，f（x）=．20．（3.00分）对函数y=f（x）（x1≤x≤x2），设点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上的两端点．O为坐标原点，且点N N=A+（1﹣λ）B满足．点M（x，y）在函数y=f（x）的图象上，且x=λx1+（1﹣λ）x2（λ为实数），则称|MN|的最大值为函数的“高度”，则函数在区间上的“高度”为．二、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）21．（8.00分）求值（1）lg52+lg8+lg5•lg20+（lg2）2（2）已知=﹣1，求sin2α+sinαcosα+2．22．（8.00分）在直角坐标系xOy中，单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点P，Q在单位圆上，且满足∠AOP=，∠AOQ=α，α∈[0，π）．（1）若cosα=，求cos（α﹣）的值；（2）设函数f（α）=•，求f（α）的值域．23．（8.00分）已知函数f（x）=（a x﹣a﹣x），其中a＞0，a≠1（1）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的取值集合；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值为负，求a的取值范围．24．（8.00分）某厂生产一种机器的固定成本是0.5万元，每生产100台，需增加可变成本0.25万元，市场对该成品的需求是500台，销售收入是f（t）=5t﹣0.5t2万元（0≤t≤5），其中t 是产品的售出数量（百台）．（1）把年利润表示为年产量x（x≥0，单位：百台）的函数；（2）年产量为多少时，工厂所得的纯利润最大？25．（8.00分）已知，设．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）若函数g（x）和函数f（x）的图象关于原点对称，（ⅰ）求函数g（x）的解析式；（ⅱ）若函数h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在区间上是增函数，求实数λ的取值范围．2013-2014学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3.00分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|2x＞2}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：由集合N中的不等式变形得：2x＞21，即x＞1，∴N={x|x＞1}，∵M={x|x＜3}，∴M∩N={x|1＜x＜3}．故选：C．2．（3.00分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．f（x）=|x|，B．，C．，g（x）=x+1 D．，【解答】解：A．函数g（x）==|x|，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数．B．函数f（x）==|x|，g（x）=x，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数．C．函数f（x）=x+1的定义域为{x|x≠1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．D．由，解得x≥1，即函数f（x）的定义域为{x|x≥1}，由x2﹣1≥0，解得x≥1或x≤﹣1，即g（x）的定义域为{x|x≥1或x≤﹣1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．故选：A．3．（3.00分）下列四个函数中，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），都有＜0”的是（）A．f（x）=B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=2x D．y=log2x【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞），都有＜0，∴对任意x1，x2∈（0，+∞），若x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），即f（x）在（0，+∞）上是减函数．A选项在（0，+∞）上是减函数；B选项在（0，1）是减函数，在（1，+∞）上是增函数；C选项在（0，+∞）上是增函数；D选项在（0，+∞）上是增函数；故选：A．4．（3.00分）已知角α的终边经过点P（﹣4m，3m）（m≠0），则2sinα+cosα的值是（）A．1或﹣1 B．或﹣C．1或﹣ D．﹣1或【解答】解：，当m＞0时，，；当m＜0时，，．故选：B．5．（3.00分）下列命题正确的是（）A．若，则•=0B．若•=•，则=C．若∥，∥，则∥D．若与是单位向量，则•=1【解答】解：对于A．若||=|﹣|，则（）2=（）2，即+2=﹣2，则有=0，则A正确；对于B．若•=•，则，则B错误；对于C．若∥，∥，则也成立，则C错误；对于D．若与是单位向量，则•=||•||cos＜＞=cos＜＞，则D错误．故选：A．6．（3.00分）函数f（x）=﹣lnx的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞）【解答】解：∵函数满足f（2）=＞0，f（3）=1﹣ln3＜0，∴f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选：B．7．（3.00分）设y1=40.9，y2=80.48，y3=，则（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y1＞y2＞y3【解答】解：∵=21.8，=（23）0.48=21.44，=21.5，函数y=2x在R上是增函数，1.8＞1.5＞1.44，∴21.8＞21.5＞21.44，故y1＞y3＞y2，故选：C．8．（3.00分）设函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+a2﹣6，若不等式f（x）＜0的解集是（﹣5，﹣2），则实数a=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣4或﹣6 D．﹣4或0【解答】解：∵不等式f（x）＜0的解集是（﹣5，﹣2），∴﹣5，﹣2是x2﹣（2a+1）x+a2﹣6=0的两个实数根，∴﹣5﹣2=2a+1，解得a=﹣4．故选：A．9．（3.00分）已知函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上的最小值是﹣2，则ω的最小值等于（）A．B．C．2 D．3【解答】解：函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上的最小值是﹣2，则ωx的取值范围是，∴或，∴ω的最小值等于，故选：B．10．（3.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（）C．f（x）=sin（）D．f（x）=sin（2x）【解答】解：由图知，A=1；又=﹣=，∴T=π，又T=，∴ω=2；∵f（x）=Asin（ωx+φ）经过（，0），且在该处为递减趋势，∴ω+φ=π，∴φ=π﹣×2=．∴f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x+）．故选：A．11．（3.00分）设方程2﹣x=|lgx|的两个根为x1，x2，则（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1【解答】解：画出函数y=2﹣x和y=|lgx|的图象，结合图象易知这两个函数的图象有2交点．交点的横坐标即为方程2﹣x=|lgx|的两个根为x1，x2，结合图形可得：0＜x1＜1，x2＞1，根据y=2﹣x是减函数，可得2﹣x1＜2﹣x2，即|lgx1|＞|lgx2|，∴﹣lgx1＞lgx2，∴＞x2，∴0＜x1x2＜1，故选：D．12．（3.00分）已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若++=，则点P与△ABC的位置关系是（）A．P在AC边上B．P在AB边上或其延长线上C．P在△ABC外部D．P在△ABC内部【解答】解：∵∴=∴∴∴P在AC的三等分点上故选：A．13．（3.00分）已知函数f（x）=2mx2﹣2（4﹣m）x+1，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A．（0，2） B．（0，8） C．（2，8） D．（﹣∞，0）【解答】解：当m≤0时，当x接近+∞时，函数f（x）=2mx2﹣2（4﹣m）x+1与g（x）=mx均为负值，显然不成立当x=0时，因f（0）=1＞0当m＞0时，若，即0＜m≤4时结论显然成立；若，时只要△=4（4﹣m）2﹣8m=4（m﹣8）（m﹣2）＜0即可，即4＜m＜8则0＜m＜8故选：B．14．（3.00分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣3【解答】解：∵，∴，即，可得四边形OBAC是平行四边形，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，∴||=||=||=2，∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，∴∠ACB=∠AC0=30°，∴向量在方向上的投影为：cos∠ACB=2cos30°=．故选：A．15．（3.00分）已知函数，则方程f（2x2+x）=a（a＞2）的根的个数不可能为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：画图，和y=2x2+x图象，结合两个函数的图象可知或a＞3，4个根，，5个根，，6个根．故选：A．一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）16．（3.00分）已知单位向量，的夹角为120°，则|2﹣|=．【解答】解：因为单位向量，的夹角为120°，所以，所以|2﹣|2==4+1+2=7；所以|2﹣|=；故答案为：．17．（3.00分）集合M满足{a，b}⊊M⊆{a，b，c，d，e}，则这样的集合M的个数为7．【解答】解：由题意，集合M有：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，b，c，d，e}；故共有7个．故答案为：7．18．（3.00分）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为﹣．【解答】解：由sinα=+cosα，得到sinα﹣cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈（0，），联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，sin（α﹣）=（sinα﹣cosα）=，则==﹣．故答案为：﹣19．（3.00分）已知y=f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，且0≤x≤2时，f （x）=x2﹣2x则10≤x≤12时，f（x）=﹣x2+22x﹣120．【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上周期为4的周期函数，f（x﹣12）=f（x）由10≤x≤12时，﹣2≤x﹣12≤0，0≤12﹣x≤2∵0≤x≤2时，f（x）=x2﹣2x∴f（12﹣x）=（12﹣x）2﹣2（12﹣x）=x2﹣22x+120又∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x﹣12）=﹣f（12﹣x）=﹣x2+22x﹣120故答案为：﹣x2+22x﹣12020．（3.00分）对函数y=f（x）（x1≤x≤x2），设点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上的两端点．O为坐标原点，且点N N=A+（1﹣λ）B满足．点M（x，y）在函数y=f（x）的图象上，且x=λx1+（1﹣λ）x2（λ为实数），则称|MN|的最大值为函数的“高度”，则函数在区间上的“高度”为4．【解答】解：∵==∴即∴A、N、B三点共线又x=λx1+（1﹣λ）x2，∴M，N的横坐标相同∴当M在函数图象的最低点时，此时|MN|最大，值为4故答案为：4二、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）21．（8.00分）求值（1）lg52+lg8+lg5•lg20+（lg2）2（2）已知=﹣1，求sin2α+sinαcosα+2．【解答】解：（1）lg52+lg8+lg5•lg20+（lg2）2=2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+（lg2）2=2+lg5lg2+（lg5）2+（lg2）2=2+（lg5+lg2）2=3．（2）由已知=﹣1，可得tanα=，原式=sin2α+sinαcosα+2（cos2α+sin2α）===．22．（8.00分）在直角坐标系xOy中，单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点P，Q在单位圆上，且满足∠AOP=，∠AOQ=α，α∈[0，π）．（1）若cosα=，求cos（α﹣）的值；（2）设函数f（α）=•，求f（α）的值域．【解答】解：（1）由条件，（0），可得，则=coa+sin=+=；（2）f（α）=•=（cos，sin）•（cosα，sinα）=cosα=sin（）由于α∈[0，π），则∈[），﹣＜sin（）≤1，则有f（α）的值域是（﹣，1]．23．（8.00分）已知函数f（x）=（a x﹣a﹣x），其中a＞0，a≠1（1）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的取值集合；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值为负，求a的取值范围．【解答】解：（1）容易知道函数f（x）=（a x﹣a﹣x）是奇函数、增函数．所以f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0⇒f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）=f（m2﹣1），⇒⇒1＜m＜；（2）由（1）可知：当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值为负⇒f（2）﹣4≤0⇒﹣4=﹣4≤0，⇒2﹣≤a≤2，且a≠1．24．（8.00分）某厂生产一种机器的固定成本是0.5万元，每生产100台，需增加可变成本0.25万元，市场对该成品的需求是500台，销售收入是f（t）=5t﹣0.5t2万元（0≤t≤5），其中t 是产品的售出数量（百台）．（1）把年利润表示为年产量x（x≥0，单位：百台）的函数；（2）年产量为多少时，工厂所得的纯利润最大？【解答】解：（1）设年纯利润为y，则当0≤x≤5时，y=f（x）﹣0.25x﹣0.5=﹣0.5x2+4.75x﹣0.5，当x＞5 时，销售收入为f（5），年纯利润为y=f（5）﹣0.25x﹣0.5=﹣0.25x+12，故函数关系式为y=，（2）当0≤x≤5时，y=﹣0.5（x﹣4.75）2+10.78125，故y max=10.78125，此时x=4.75百台，当x＞5时，y＜12﹣0.25×5=10.75，综上所述，年产量为475台时，工厂的年利润最大．25．（8.00分）已知，设．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）若函数g（x）和函数f（x）的图象关于原点对称，（ⅰ）求函数g（x）的解析式；（ⅱ）若函数h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在区间上是增函数，求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）=2+sinx﹣cos2x ﹣1+sinx=sin2x+2sinx…（4分）（Ⅱ）设函数y=f（x）的图象上任一点M（x0，y0）关于原点的对称点为N（x，y）则x0=﹣x，y0=﹣y，…．（5分）∵点M在函数y=f（x）的图象上∴﹣y=sin2（﹣x）+2sin（﹣x），即∴y=﹣sin2x+2sinx ∴函数g（x）的解析式为g（x）=﹣sin2x+2sinx …（7分）（Ⅲ）h（x）=﹣（1+λ）sin2x+2（1﹣λ）sinx+1，设sinx=t，（﹣1≤t≤1）…（9分）则有ϕ（t）=﹣（1+λ）t2+2（1﹣λ）t+1（﹣1≤t≤1）当λ=﹣1时，ϕ（t）=4t+1在[﹣1，1]上是增函数，∴λ=﹣1 …（11分）当λ≠﹣1时，对称轴方程为直线．ⅰ） λ＜﹣1时，，解得λ＜﹣1 ⅱ）当λ＞﹣1时，，解得﹣1＜λ≤0综上：λ≤0．∴实数λ的取值范围为（﹣∞，0]…（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m n n n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．。