第十四讲 二次函数与几何综合(教师版)
二次函数与几何综合(讲义及答案)
二次函数与几何综合（讲义）➢ 课前预习1. 如图，直线112y x =+经过点A (1，m )，B (4，n )，点C 的坐标为(2，5)，则△ABC 的面积为__________．提示：利用点坐标求面积，需要将点坐标转化为横平竖直的线段长，常考虑作横平竖直的线来对图形进行割补． 具体操作：①过点C 作CD ∥y 轴，交AB 于点D ； ②借助C ，D 坐标求解CD 长；③以CD 为底，则A ，B 两点间的水平距离为高，即1()2ABC ADC DBC B A S S S CD x x =+=⋅⋅-△△△．2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线334y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点C 的坐标为(0，-2)．若点D 在直线AB 上运动，点E 在直线AC上运动，当以O，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________．提示：（1）分析定点（A，O），动点（D，E），属于两定两动的平行四边形存在性问题．（2）连接两定点得定线段，考虑：①若定线段作为平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；②若定线段作为平行四边形的对角线，则绕定线段中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标．（3）利用函数特征和几何特征求解后，结合图形进行验证．➢知识点睛1.“函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，_____________________．2.研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________．②___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息．3. 二次函数之面积问题的常见模型①割补法——铅垂法求面积：1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△ 1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ， 若S △ABP =S △ABQ ， 当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时， PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．➢ 精讲精练1. 如图，抛物线y =-x 2+2x +3经过A ，B ，C 三点．点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B ，C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，连接MB ，MC ．（1）若设点M 的横坐标为m ，四边形OBMC 的面积为S ，则S 与m 的函数关系式为________________．（2）四边形OBMC 的最大面积为________，此时点M 的坐标为____________．2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3经过A，B，C三点，点D的坐标为(0，1)，直线AD与抛物线交于另一点E．（1）若M是直线AD上方抛物线上的一个动点，则△AME面积的最大值为__________．（2）在直线AD下方的抛物线上有一动点G，当S=6时，点G的坐标△AEG为_______________．3.如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a＞0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC，CD，∠ACD=90°．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）若点M在抛物线上，且以点M，A，C以及另一点N为顶点的平行四边形ACNM的面积为12，设M的横坐标为m，求m的值．4. 如图，已知二次函数y =x 2-3x -4的图象与x 轴交于点A ，B ，且经过点C(2，标；若不能，请说明理由．5.如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D在抛物线对称轴上，点E在抛物线上，且以A，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；（3）已知点F是抛物线上的动点，点G是直线y=-x上的动点，且以O，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形，求点G的横坐标．【参考答案】➢课前预习1.9 22.1126 () 55D，，2286 () 55D-，➢知识点睛1.利用横平竖直的线段长，函数特征与几何特征互转2.①四点一线；k，b②坐标转线段长➢精讲精练。
第14讲 二次函数
第十四讲 二次函数考点综述：二次函数是历届中考的重要考点，学生应掌握：通过实际问题分析体会二次函数的意义，并能确定二次函数的关系式；会用描点法画二次函数的图象，并能根据图象认识二次函数的性质；能确定函数图象的顶点、开口方向、对称轴等信息，并能解决简单的实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
中考课标要求考点精析考点1 二次函数的概念（1）一般地，形如c bx ax y ++=2（a 、b 、c 是常数，且0≠a ）的函数称为二次函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数。
（2）二次函数c bx ax y ++=2的几种特殊形式：①)0(2===c b ax y ②)0,0(2=≠+=c b bx a y ③)0,0(2≠=+=c b c ax y考点2 二次函数的图像和性质（1）二次函数的图像的有关概念：二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。
（2）二次函数)0(2≠=a ax y 的图像与性质（3）二次函数c bx ax y ++=2的图像和性质 （4）二次函数c bx ax y ++=2的图像的画法因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用“五点法”描出大致图像，其步骤是：①先找出顶点坐标，画出对称轴；②找出抛物线上关于对称轴对称的四个点（如与坐标轴的交点）； ③把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连接起来； （5）二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图像的平移将c bx ax y ++=2配方，得到a b ac a b x a y 44)2(22-++=，设a b h 2=，ab ac k 442-=，则有k h x a y ++=2)(。
抛物线k h x a y ++=2)(可以由抛物线2ax y =经过适当的平移得到，具体平移方法如下所示：（6）求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为k h x a y ++=2)(的形式，顶点坐标为),(k h ，对称轴为直线h x =。
二次函数与几何综合
二次函数与几何综合（讲义）一、知识点睛“二次函数与几何综合”思考流程：①研究函数表达式,二次函数关注四点一线，一次函数关注k、b；②关键点坐标转线段长，找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息．二、精讲精练1. 如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a>0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC、CD，∠ACD=90°．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B、A、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标．3.已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中A (1，0)，C (0，-3). （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ），①如图1，当△PBC 的面积与△ABC 的面积相等时，求点P 的坐标； ②如图2，当∠PCB =∠BCA 时，求直线CP 的解析式．4. 如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x=-与抛物线214y x bx c=-++交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x 轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．5．已知，抛物线212y ax ax b=-+经过A(-1，0)，C(2，32)两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ2y，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．6．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(m-4，0)和B(m，0)，与直线y=-x+p 相交于点A和点C(2m-4，m-6).（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A、C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP的面积为12，求P、Q两点的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴下方抛物线上的一动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．令x=0，则y=-3a，∴C（0，3-a），∴OC=3a∵D为抛物线223y ax ax a=--的顶点，∴D（1，-4a）过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，则∠AOC =∠CMD =90°， 又∵∠ACD +∠MCD =∠AOC +∠1，∠ACD =∠AOC =90°∴∠MCD =∠1 ， ∴△AOC ∽△CMD ，∴OA OCCM DM=， ∵D （1，-4a ），∴DM =1，OM =4a ，∴CM =a ∴331a a =，∴21a =，∵a >0，∴a =1 ∴抛物线的解析式为：223y x x =-- （2）当AB 为平行四边形的边时， 则BA ∥EF ，并且EF = BA =4由于对称轴为直线x =1，∴点E 的横坐标为1 ∴点F 的横坐标为5或者-3 将x =5代入223y x x =--得y =12， ∴F （5，12）．将x =-3代入223y x x =--得y =12， ∴F （-3，12）．当AB 为平行四边形的对角线时，点F 即为点D ， ∴F （1，-4）．综上所述，点F 的坐标为（5，12），（-3，12）或（1，-4）． 3．解：（1）由题意，得0322a b c c ba⎧⎪++=⎪=-⎨⎪⎪-=⎩，解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为243y x x =-+-.（2）①令2430x x -+-=，解得1213x x ==， ∴B （3， 0）则直线BC 的解析式为3y x =- 当点P 在x 轴上方时，如图1，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于点P ， ∴设直线AP 的解析式为y x n =+， ∵直线AP 过点A （1，0），∴直线AP 的解析式为1y x =-，交y 轴于点(01)E -，. 解方程组2143y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩，得12121201x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，∴点1(21)P ， 当点P 在x 轴下方时，如图1，根据点(01)E -，，可知需把直线BC 向下平移2个单位， 此时交抛物线于点23P P 、， 得直线23P P 的解析式为5y x =-，解方程组2543y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩，得1212x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩∴23P P ， 综上所述，点P 的坐标为：1(21)P ，，23P P ， ②过点B 作AB 的垂线，交CP 于点F .如图2，∵(30)(03)B C -，，， ∴OB =OC ，∴∠OCB =∠OBC =45° ∴∠CBF =∠ABC =45° 又∵∠PCB =∠BCA ，BC =BC ∴△ACB ≌△FCB∴BF =BA =2，则点F （3，－2） 又∵CP 过点F ，点C ∴直线CP 的解析式为133y x =-.4．解：（1）对于3342y x =-，当y =0，x =2；当x =-8时，y =-152.∴A 点坐标为（2，0），B 点坐标为15(8)2--， 由抛物线214y x bx c =-++经过A 、B 两点，得012151682b c b c =-++⎧⎪⎨-=--+⎪⎩ 解得3452b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 2135.442y x x ∴=--+（2）设直线3342y x =-与y 轴交于点M 当x =0时，y =32-. ∴OM =32.∵点A 的坐标为（2，0），∴OA =2，∴AM 5.2=∴OM ：OA ：AM =3：4：5.由题意得，∠PDE =∠OMA ，∠AOM =∠PED =90°，∴△AOM ∽△PED . ∴DE ：PE ：PD =3：4：5∵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，∴PD 213533()()44242x x x =--+--=213442x x --+∴21213(4)542l x x =--+231848555x x =--+23(3)155l x ∴=-++由题意知：82x -<<315.x l ∴=-=最大时，5．解：(1) ∵拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A (-1，0)，C (0，23)两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2302b b a a ，∴1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴拋物线的解析式为y 1= -21x 2+x +23（2）解法一：过点M 作MN ⊥AB 交AB 于点N ，连接AM 由y 1= -21x 2+x +23可知顶点M (1，2) ，A (-1，0)，B (3，0)，N (1，0) ∴AB =4，MN =BN=AN =2，AM =MB =∴△AMN 和△BMN 为等腰直角三角形. ∵∠MP A +∠QPB =∠MP A +∠PMA =135° ∴∠QPB =∠PMA 又∵∠QBP =∠P AM =45° ∴△QPB ∽△PMA∴=AP BQAM BP将AM =AP =x +1，BP =3－x，BQ=22－y 代入，223y x=－－，即2215=+22y x x －. ∵点P 为线段OB 上一动点 （不与点B 重合） ∴0≤x ＜3则y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2-x +25(0≤x <3) 解法二：过点M 作MN ⊥AB 交AB 于点N .由y 1= -21x 2+x +23易得M (1，2)，N (1，0)，A (-1，0)，B (3，0)， ∴AB =4，MN =BN =2，MB =22，∠MBN =45︒. 根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM2-PN 2. ∴(()22222=1PM x ---…①，又∠MPQ =45︒=∠MBP ， ∴△MPQ ∽△MBP ， ∴2PM MQ MB =⨯=22y 2⨯22 由 、 得y 2=21x 2-x +25.∵0≤x <3，∴y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2-x +25(0≤x <3) 6．解：（1）如图1，过点C 作CE ⊥AB ，交AB 于点E . ∵点C (2m -4，m -6)，∴点E (2m -4，0) ∴EC =6-m ，AE =OE +EA =m 又∵直线AC ：y =-x +p ∴∠EAC =45°，AE =EC 即6－m =m ，m =3.∴A (-1，0)，B (3，0)，C (2，-3)可得抛物线解析式为y =x 2-2x-3，直线AC 解析式为y = -（2）如图2，AC =32，AC 所在直线的解析式为：y ∠BAC =45°∵平行四边形ACQP 的面积为12. ∴平行四边形ACQP 中AC 边上的高为2312=22过点D 作DK ⊥AC 与PQ 所在直线相交于点K ，DK = 22， 符合条件的点K 在直线AC 的两侧各有一个， ∴PQ 所在直线可能在直线AC 的两侧各有一条， 又∵∠OAD =45°，∴DN =4 ∴PQ 的解析式为y =-x +3或y =-x -5∴ 2233y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩ ，解得1130x y =⎧⎨=⎩或2225x y =-⎧⎨=⎩2235y x x y x ⎧=--⎨=--⎩ 方程组无解. 即P 1(3，0)， P 2(-2，5)∵ACPQ 是平行四边形 ，A (-1，0) C (2，-3) ∴当P (3，0)时，Q (6，-3) 当P (-2，5)时，Q (1，2)∴满足条件的P ，Q 点是P 1(3，0)， Q 1(6，-3)或 P 2(-2，5)，Q 2(1，2) （3）如图3，作直线l 平行于PQ 所在的直线（即BN ）， 且使得l 与抛物线只有一个交点，这个交点即为M （此时以PQ 为底，高最大，面积最大） 设l 的表达式为y x b =-+，则223y x b y x x =-+⎧⎨=--⎩，得230x x b ---=，由△=0，得b =134-，∴213423y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩，解得12154x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴M （21，154-） 设l 与y 轴交点为点G ，过G 作GH ⊥BN 于点H ， 易得∠NGH =45°，则在Rt △NGH 中，GHNG 又∵N （0，3），G （0，134-），∴NG =254∴GHNG = ∵PQ =AC=∴S=11752288PQ GH =⨯=1，154），最大面积为857.∴M（2。
中考数学专题复习课件 --- 第十四讲二次函数
以下特点： 1.命题方式为二次函数解析式的确定,二次函数的图象与 性质的应用,判定二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴方 程,二次函数的实际应用,题型多样,涉及了选择题、填空题与 解答题.
2.命题的热点为二次函数解析式的求法、二次函数的实
际应用，二次函数与一次函数、反比例函数的综合应用.
3.(2011·凉山中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
反比例函数 y a 与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图
x
象是(
)
【解析】选B.由二次函数图象可知，a<0,c>0,
b 0, 2a
∴b<0.a<0,说明反比例函数图象在二、四象限，b<0，说明正 比例函数图象经过二、四象限，所以选B.
方法二：∵a=-10<0，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2 000.
∵x≤32，∴30≤x≤32时，w≥2 000.
∵y=-10x+500, k=-10<0, ∴y随x的增大而减小. ∴当x=32时，y最小＝180. ∵当进价一定时，销售量越小，成本越小，
∴20×180=3 600(元).
二次函数的图象与性质
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可以通过配方得
2 b 2 4ac b 2 到: y a(x ) ,其中抛物线的顶点为 ( b , 4ac b ), 2a 4a 2a 4a 对称轴方程为直线 x b . 2a
2.已知一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，要求其图象关于x轴 对称、y轴对称的函数解析式时,应先把原函数的解析式化成 y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,然后考虑所求图象的顶点坐标、
第二章二次函数-二次函数与几何综合(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）二次函数图像的几何变换：重点理解图像的平移、伸缩、对称等几何变换的规律及其对函数表达式的影响。
-平移变换：掌握二次函数图像向左、向右、向上、向下平移的规律，理解平移变换对函数解析式中常数项的影响。
-难点举例：在图像的平移、伸缩、对称变换中，如何正确调整函数解析式中的常数项和系数。
-解决方法：通过动态演示和实际操作，帮助学生直观地理解图像变换规律，并学会应用于实际问题。
（2）二次函数与几何关系的综合应用：学生对二次函数图像与坐标轴、直线、圆的交点的理解可能不深刻。
-难点举例：如何确定二次函数图像与坐标轴、直线、圆的交点，以及如何利用这些交点解决几何问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数与几何综合》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算抛物线与坐标轴围成图形面积的情况？”（如篮球投篮的抛物线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数与几何综合的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数与几何综合在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决方法：通过典型例题的分析和讲解，使学生掌握求解交点的方法，并运用这些交点解决几何问题。
华师大版九年级下册数学全册教案(1)
华师大版九年级下册数学全册教案一、教学内容1. 第十三章：锐角三角函数1.1 正弦、余弦、正切的概念及性质1.2 锐角三角函数的求值方法1.3 锐角三角函数的应用2. 第十四章：二次函数2.1 二次函数的图像与性质2.2 二次函数的解析式2.3 二次函数的实际应用3. 第十五章：圆3.1 圆的基本概念与性质3.2 直线和圆的位置关系3.3 圆和圆的位置关系二、教学目标1. 理解并掌握锐角三角函数、二次函数、圆的基本概念、性质及应用。
2. 学会求解二次函数的解析式，并能运用二次函数解决实际问题。
3. 掌握圆与直线、圆与圆的位置关系，并能运用相关知识解决几何问题。
三、教学难点与重点1. 教学难点：锐角三角函数的求值方法、二次函数的图像与性质、圆的位置关系。
2. 教学重点：锐角三角函数的应用、二次函数的解析式、圆的基本概念与性质。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、圆规、直尺、多媒体设备。
2. 学具：三角板、圆规、直尺、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入新课，激发学生兴趣。
1.1 以生活中常见的物体（如滑梯、篮球架等）为例，引导学生观察、分析锐角三角函数在实际中的应用。
1.2 以现实生活中的抛物线现象（如投篮、扔物体等）为例，引导学生思考二次函数的图像与性质。
1.3 以车轮、硬币等圆形物体为例，引导学生探讨圆的基本概念与性质。
2. 新课讲解：讲解新课内容，注重知识点的讲解与例题分析。
2.1 锐角三角函数：讲解正弦、余弦、正切的概念及性质，引导学生掌握求值方法，并通过例题进行巩固。
2.2 二次函数：讲解二次函数的图像与性质，推导二次函数的解析式，并通过例题讲解实际应用。
2.3 圆：讲解圆的基本概念与性质，分析直线与圆、圆与圆的位置关系，并通过例题进行巩固。
3. 随堂练习：设计具有代表性的练习题，让学生当堂巩固所学知识。
3.1 锐角三角函数：计算给定角度的正弦、余弦、正切值。
3.2 二次函数：求解给定二次函数的解析式，并分析图像性质。
九年级数学下册 专题三 二次函数与几何小综合课件 (新版)湘教版
一、二次函数与三角形的结合
1．已知二次函数 y＝12x2＋bx＋c 的图象经过点 A(－3，6)并且与 x 轴相交于点 B(－1，0)和点 C，顶 点为 P.
(1)求二次函数的解析式； (2)设 D 为线段 OC 上一点满足∠DPC＝∠BAC， 求点 D 的坐标． 解：(1)y＝12x2－x－31，0) (2)(4，21)或(－4，5)
3．如图，在坐标系 xOy 中，△ABC 是等腰直角三 角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线 y＝12 x2＋bx－2 过 C 点．求抛物线的表达式．
解：y＝12x2－12x－2
二、二次函数与平行四边形的结合
4．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，过点 A，
(2)(53，0)
2．如图，对称轴为直线 x＝－1 的抛物线 y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)与 x 轴相交于 A，B 两点，其中点 A 的坐 标为(－3，0)．
(1)求点 B 的坐标； (2)已知 a＝1，C 为抛物线与 y 轴的交点，若点 P 在抛物线上，且 S△POC＝4S△BOC，求点 P 的坐标．
C，D 作抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，点 A，B，D 的
坐标分别为(－2，0)，(3，0)，(0，4)．求抛物线的表
达式．
解：y＝－27x2＋170x＋4
三、二次函数与正方形的结合 5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，边长为 2 的 正方形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴 上，二次函数 y＝－23x2＋bx＋c 的图象经过 B，C 两 点．求该二次函数的表达式．
二次函数与几何综合类存在性问题课件
03
注意答案的完整性和规 范性；
04
在解答过程中，注意逻 辑的严密性和推理的准 确性。
02
二次函数与几何综合类存在
性问题的类型
以二次函数为背景的存在性问题
总结词
这类问题主要考察二次函数的性质，如开口方向、对称轴、顶点等，以及这些 性质在几何图形中的应用。
详细描述
这类问题通常会给出二次函数的一般形式，如$f(x) = ax^2 + bx + c$，然后要 求求解满足某些条件的点或线。例如，求函数$f(x) = x^2 - 2x$在$x$轴上的交 点，或求函数$f(x) = x^2 - 2x$的对称轴等。
3. 将代数结果和几何结果相互印证，得出最终结论。
04
二次函数与几何综合类存在
性问题的实例分析
实例一
总结词
利用抛物线的性质和点到直线距离公式，求出最小值。
详细描述
设抛物线方程为 $y = ax^2 + bx + c$，直线方程为 $y = mx + n$。首先，将抛线上的点 $(x, y)$ 到直线的距离表示为 $d = frac{|ax^2 + bx + c - mx - n|}{sqrt{m^2 + 1}}$。然后，利用抛物线的 性质和极值定理，求出 $d$ 的最小值。
实例三
总结词
利用双曲线的性质和点到直线距离公 式，求出最小值。
详细描述
设双曲线方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$，直线方程为 $y = mx + n$。首先，将双曲线上的点 $(x, y)$ 到直线的 距离表示为 $d = frac{|mx - y + n|}{sqrt{m^2 + 1}}$。然后，利用双曲线的性质和极值定理 ，求出 $d$ 的最小值。
二次函数与几何综合类问题复习课件
①当 m＝－3， n＞3 时， 求
S△ACO S四边形AOED
的值(用含 n 的代数式表示)．
②当四边形 AOED 为菱形时， m 与 n 满足的关系式为________； 当四边形 AOED 为正方形时，m＝________，n＝________．
图 40－2
解：(1)当 m＝－1 时，y＝x ＝1，当 n＝4 时，y＝x ＝16. ∴点 A 的坐标为(－1，1)，点 B 的坐标为(4，16)． ∵直线 y＝kx＋b 过 A、B 两点， 1＝－k＋b， k＝3， ∴ 解得 16＝4k＋b. b＝4. 当 m＝－2 时，y＝x2＝4，当 n＝3 时，y＝x2＝9. ∴点 A 的坐标为(－2，4)，点 B 的坐标为(3，9)．
情况二：当－2＜t＜0 时，如图②，设过点 P 且平行于 y 轴 的直线交 AC 于点 N，则 OP＝－t，PA＝t－(－2)＝t＋2. ∵PN∥OC，∴△APN∽△AOC， PN PA PN t＋2 ∴ ＝ ，即 ＝ ， OC OA 3 2 3 ∴PN＝ (t＋2)， 2
1 1 3 3 ∴S△APN＝ PN·PA＝ × (t＋2)×(t＋2)＝ (t＋2)2， 2 2 2 4 1 3 3 2 2 ∴S＝S△ABC－S△APN＝ ×6×3－ (t＋2) ＝－ (t＋2) ＋9. 2 4 4 3 综上所述，当 0≤t＜4 时，S＝ (4－t)2；当－2＜t＜0 时，S 8 3 ＝－ (t＋2)2＋9. 4
②如图，连接 AE 交 OD 于点 P.
∵点 A(m，m2)关于 y 轴的对称点为 E， ∴E(－m，m2)，∴OP＝m2. ∵k＝m＋n，b＝－mn，∴D(0，－mn)． 若四边形 AOED 为菱形，则 OP＝DP，即－mn＝2m2，∴n＝－2m. 若四边形 AOED 为正方形，则 OP＝AP，即－m＝m2，解得 m＝－1 或 m＝0(舍去)，∴n＝－2m＝2. 故答案为 n＝－2m；－1，2.
北师大中考数学总复习《二次函数与几何综合类存在性问题》课件
二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在
一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与 “形”结合起来，互相渗透．存在探索型问题是指在给定条件 下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问 题．解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，
2
(3)过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 Q，交 OB 于点 F，设 P(x， x2－2x－3)．由 x2－2x－3＝0 得点 A 的坐标为(－1，0)．∵B 点的坐 标为(3，0)，C 点的坐标为(0，－3)，∴直线 BC 的解析式为：y＝x－ 2 3，∴Q 点的坐标为(x，x－3)，∴AB＝4，CO＝3，BO＝3，PQ＝－x ＋ 1 1 1 1 3x.∴S 四边形 ABPC＝S△ABC＋S△BPQ＋S△CPQ＝ AB² CO＋ PQ² BF＋ PQ² FO＝ AB² CO 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 ＋ PQ²(BF＋FO)＝ AB²CO＋ PQ²BO＝ ³4³3＋ (－x ＋3x)³3＝ 2 2 2 2 2 3 3 2 9 3 2 75 － x ＋ x＋6＝－ x－ ＋ . 2 2 2 2 8 3 ∴当 x ＝ 时，四边形 ABPC 的面积最大．此时 P 点的推出矛盾，即可否定假设；
若推出合理结论，则可肯定假设．
探究一
二次函数与三角形的结合
例1 [2013²重庆] 如图42－1，对称轴为直线x＝－1的抛 物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点为A、B两点，其中点A 的坐标为(－3，0)． (1)求点B的坐标； (2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点． ①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC， 求点P的坐标； ②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x 轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值． 图42－1
北师大版九年级下册数学教案：2.2二次函数的图像和性质
3.培养学生通过探索二次函数图像的规律，培养数据分析观念和推理能力，增强问题解决策略。
4.培养学生在研究二次函数过程中，形成合作交流、勇于探究的学习态度，提高数学学习兴趣和信心。
5.通过对二次函数图像和性质的深入学习，培养学生数学建模素养，为解决实际生活中的问题奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-函数图像的绘制：重点讲解如何根据二次函数的一般形式准确绘制出函数图像，包括确定顶点、开口方向等。
-二次函数的性质：强调二次函数图像的对称性、开口方向、最值、增减性等核心性质。
-图像与性质的相互关系：通过实例分析图像特征与函数性质之间的关系，如顶点坐标与最值的关系，a的符号与开口方向的关系。
-理解a对图像的影响：学生需要理解a的值不仅影响图像的开口方向，还决定了图像的“胖瘦”，即函数的增长速率。
举例：
-难点1：对于图像y = ax^2 + bx + c，学生可能难以理解为何顶点坐标可以通过方程的系数直接计算得出。教学中需要通过图示和具体例子来解释这一关系。
-难点2：在理解二次函数的对称性时，学生可能难以将对称轴的概念与实际图像联系起来。可以通过绘制具体的图像，并引导学生观察对称轴与图像的关系来突破这一难点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、图像的绘制和性质分析。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数应用的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2013届北师大版初中数学全程复习方略配套课件第十四讲 二次函数
【即时应用】 1.将y=x2的图象向右平移3个单位,则平移后的图象的关系式为 y=(x-3)2 __________. 2.将二次函数y=2(x-1)2-3的图象沿着y轴向上平移3个单位,那 (1,0) 么平移后的二次函数图象的顶点坐标是_______.
向左 3.抛物线y=－x2+2x－2经过平移得到y=－x2,平移方法是_____
平移1个单位,再向上平移1个单位 _______________________________.
【记忆助手】 二次函数的图象与性质：二次函数抛物线 ,图象对称是关键， 开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a断,c与y 轴来相见,b的符号较特别,符号与a相关联；顶点位置先找见,y 轴作为参考线,左同右异中为0,牢记心中莫混乱；顶点坐标最 重要,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最值见； 一般、顶点式,不同表达能互换.
特 别 提 醒
【例1】(2011·莱芜中考)已知二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则函数y= ab
x
与y=acx的图象在同一坐标系中大致
是( )
【思路点拨】 确定a,b,c的符号 → 确定ab的符号 → 确定双曲线的位置 → 确定ac的符号 → 判断直线所经过的象限 .
【自主解答】选A.先由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口
2.二次函数的表达式 y=ax2+bx+c(a≠0) (1)一般式：_________________. (h,k) (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0),其顶点坐标是______.
第二课 二次函数与几何综合
二次函数与几何综合1（线段最值）大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：（1）M在直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN平行于y轴交直线AC于点N，当点M的坐标为多少时，线段MN有最大值，并求出最大值二次函数与几何综合2大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：点M是直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN//y轴交直线AC于点N，作ME⊥AC于点E，当点M的坐标为多少时，△MEN的周长有最大值。
二次函数与几何综合3：线段的比（相似）大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A （-3,0），B （1,0），两点，与y 轴交于点C （0,3）小条件：如图，直线()0<=k kx y 与该抛物线在第二象限的交点为M ，与AC 交于点E ，求OE ME 的最大值二次函数与几何综合4：铅锤法（面积问题）大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A （-3,0），B （1,0），两点，与y 轴交于点C （0,3）小条件：点M 是AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点M ，使△ACM 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A （-3,0），B （1,0），两点，与y 轴交于点C （0,3）小条件：点M 是直线AC 下方抛物线上一动点，是否存在点M ，使？△15ACM =S 若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由二次函数与几何综合6：平行转化法（面积问题）大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A （-3,0），B （1,0），两点，与y 轴交于点C （0,3）小条件：点P 是抛物线上的顶点，在抛物线上是否存在异于点P 的点Q ，使ACP ACQ S S △△=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A （-3,0），B （1,0），两点，与y 轴交于点C （0,3）小条件：点M 是抛物线上一动点，是否存在点M ，使ACO ACM S 23△△=S ，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由二次函数与几何综合8：异侧过中点（面积问题）大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A （-3,0），B （1,0），两点，与y 轴交于点C （0,3）小条件：抛物线上是否存在点P ，使OPA OPC S △△=S ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由二次函数与几何综合模型9：等腰直角三角形大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：点P是AC上方抛物线上一动点，过点P点作PE垂直于x轴于E，交AC于点F，若当△CPF为等腰直角三角形时，求P的坐标二次函数与几何综合10：等腰三角形大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：在抛物线对称轴上是否存在点Q，使△BCQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为直角三角形；若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由二次函数与几何综合12：三角形的周长最小大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△BCQ的周长最小；若存在，求出点Q的坐标与周长的最小值；若不存在，请说明理由大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A （-3,0），B （1,0），两点，与y 轴交于点C （0,3）小条件：在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使CQ -AQ 最大；若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由二次函数与几何综合14：四边形周长最小大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A （-3,0），B （1,0），两点，与y 轴交于点C （0,3）小条件：若D 点的坐标为（0,1），P 是抛物线对称轴上一动点，Q 是x 轴上一动点，当P 、Q 两点的坐标为多少时，四边形CPQD 周长的最小值大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：抛物线对称轴与x轴交于点E，有一动点Q从点E出发以每秒1个单位长度的速度运动到线段AC上的点M后再以每秒2个单位长度的速度运动到点C，求Q点运动时间的最小值并写出此时点M的坐标二次函数与几何综合16：天桥模型大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：E（1，a）F（-1，a+1）是抛物线对称轴上的两个动点，当a为何值时四边形EFCB 的周长最小？并直接写出四边形EFCB周长的最小值大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：点Q是抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E，是否存在点Q，使以点A、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由二次函数与几何综合18：斜直角相似大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：点P是抛物线的顶点，作PH⊥AB于H，Q是x轴上方一动点（点Q与点P不重合），过Q点作QM⊥AP于M，当△QMP与△APH相似时，求点Q的坐标二次函数与几何综合19：45度角大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件：抛物线上是否存在点Q，使∠QBC=45°，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由二次函数与几何综合20：两角和为45°大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件:抛物线上是否存在点Q，使∠QCA+∠OCB=45°，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由二次函数与几何综合21：二倍角大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件:抛物线的对称轴于x轴交于点E，在对称轴上是否存在一点Q，使∠AQE=2∠BCO，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由二次函数与几何综合22：相似与角度综合大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件:M为线段AB上一动点，过点M作MN//AC交BC于点N，若△ACM∽△CMN，求点M的坐标变式：求△MCN面积的最大值及此时点M的坐标二次函数与几何综合23：平行四边形1大前提：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3,0），B（1,0），两点，与y 轴交于点C（0,3）小条件:M为抛物线上一动点，过点M作MN//y轴交直线AC于点N，当以OCMN为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。
中考数学专题复习 二次函数与几何综合模型 讲义(PDF版)
y
P
H
C
F
∴ m2 3m 2m , 解得： m 0(舍去) ， m 2 3
E
OB x
从而求出 P 点的坐标。
二次函数综合题模型，第 8 页
（10）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q 使△BCQ 是等腰三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不 存在，说明理由；（等腰三角形：两圆一线） 几何法：先利用“两圆一线”画出 Q 点的位置，再利用勾股定理、三线合一或相似三角形求点 Q 的坐 标．（具体方法可参考等腰三角形模型之单动点平行四边形存在性问题微课）
4
此时M ( 3 , 15 ). 24
N A
OB
x
（2）点 M 为直线 AC 上方抛物线上一动点，过 M 点作 MN∥y 轴交直线 AC 于点 N, 作 ME⊥AC 于点
E，当点 M 的坐标为多少时，△MEN 的周长有最大值，并求出其最大值；
变式：△MEN 的面积有最大值，并求出其最大值．
思路点拔：
四、几何最值问题： （12）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△BCQ 的周长最小；若存在，求出点 Q 的坐标与周长最
小值；若不存在，说明理由；（线段和最小与差最大：大同小异） 变式 1：在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使四边形 BOQC 的周长最小，若存在，求出点 Q 的坐标
及四边形周长的最小值；若不存在，说明理由； 变式 2：点 F 是直线 BC 上的一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使 BQ+QF 最小，若存在，
y
易证△MEN∽△AOC， ∴△MEN 为等腰直角三角形，
M C
∴ C MEN ( 2 1)MN
∴当 MN 取最大值时， C MEN 最大
由（1）得当 M( 3 , 15 ) 时，MN 的最大值为： 9
第14讲 二次函数
当x=
b 时, 2a 4ac b 2 最大值为 4a
当x=
【即时应用】 ＞-2 1.y=x2+4x-1的顶点坐标为(_______)，当x_____时，y随x的增 -2，-5
大而增大.
小 2 2.对于二次函数y=3x2-12x+13，当x=__时，函数y有最___值， 其值为__. 1 y轴(或x=0) 3.函数y=x2+3的对称轴为___________.
∴当x=3时，y=9+3b+c≤0
①②联立解得：c≥3,故选B.
②，
4.(2012·泰州中考)如图，在平面直角坐
标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，
C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数 y=2 2 x +bx+c的图象经过B，C两点. 3
(1)求该二次函数的解析式；
(2)结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围.
一、二次函数的有关概念 1.定义 二次 如果函数的解析式是自变量的_____多项式,这样的函数称为二 次函数. 2.形式 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) (1)一般式:_____________________________; y=a(x-h)2+k (h,k) (2)顶点式:___________,其中顶点坐标是______.
【解析2，2). ∵二次函数y=- 2 x2+bx+c的图象经过B，C两点，
3 ∴c=2，2b+c= 14 ，∴b= 4 ， 3 3 ∴二次函数的解析式为y= 2 x 2 4 x 2 . 3 3 2 2 4 (2)令y=0，则 x x 2 =0，解得x=-1或x=3， 3 3
二次函数与几何综合(2014-2015)-教师版
中考解决方案和二次函数相关的面积学生姓名：上课时间：本讲属于二次函数几何综合的一个模块。
和二次函数相关的面积类问题经常会在压轴题出现，尤其是代数几何综合题，而九年级上的期末试卷中也会常常出现。
通过此讲，学生应该掌握基本的面积计算方法并体会方程思想在此讲的应用☞考点说明：求三角形面积有方法3 方法一：补形法图①ABC OBC OAC OAB S S S S =+-△△△△，图②ABC BCD AOB ACDO S S S S =--△△△梯形 图③+ABC ACD AOB BODE S S S S =-△△△梯形，图④ABC ADEO ACD BCE AOB S S S S S =---△△△△矩形④③②①E DD D xy OABCxy OABCx y OABCC BAOy x方法二：分割法图⑤+ABC ACD BCD S S S =△△△，图⑥+ABC BCD ABD S S S =△△△12ABC A B S CD x x =⋅△－,12ABC A C S BD y y =⋅△－⑤Dxy OABC⑥xy OABC D方法三：平行线转化法图⑦ABC BDA S S =△△（过C 点作AB 的平行线CD ,则两三角形同底等高）中考说明 和二次函数相关的面积例题精讲⑦CBA Oy xD一、坐标系中的面积【例1】 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过(4,0)A -，(0,4)B -，(2,0)C 三点．（1）求抛物线的解析式．（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，AM B △的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）探究当S 取最大值时，点M 的横坐标m 与A 、B 两点横坐标的关系．【答案】（1）设抛物线的解析式为20y ax bx c a ≠＝＋＋（），则有⎪⎩⎪⎨⎧02440416 ＝＋＋＝＝＋－－c b a c c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧4121－ ＝＝＝c b a ∴抛物线的解析式为24y x x ＝＋－（2）过点M 作MD x ⊥轴于点D ，设M 点的坐标为()24m m m ，＋－则4AD m ＝＋，24MD m m ＝－－＋ 222()()44444()(40)44AMDABODMBO S SS Sm m m m m m m m m ∴⨯⨯梯形 ＝＋－＝＋－－＋＋－－＋＋－－ ＝－－（－＜ ＜ ）即22)2(44S m m m ＝－－＝－＋＋xyO BC MA4S ∴最大值＝（3）()12A B m x x =+ 【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(2)2y mx m x =+++过点(2,4)，且与x 轴交于A ,B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C .点D 的坐标为(2,0)，连接CA ，CB ，CD .（1）求证：ACO BCD ∠=∠；（2）P 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接DP 交BC 于点E . ①当BDE △是等腰三角形时，直接写出点E 的坐标； ②连接CP ，当CDP △的面积最大时，求点E 的坐标.【答案】（1）∵抛物线2(2)2y mx m x =+++过点(2,4)，∴13m =-． ∴抛物线表达式为215233y x x =-++． ∴(1,0)A -，(6,0)B ，(0,2)C .xyO B CMA D作BM CD ⊥，交CD 延长线于点M ， 在Rt DOC △中，∵2OC OD ==，∴45CDO BDM ∠=∠=︒，22CD =． 在Rt BMD △中， ∵4BD =，∴22DM BM ==．在Rt CMB △中，221tan 242BM BCM CM ∠===． 在Rt AOC △中，1tan 2OA ACO OC ∠==． ∴tan tan BCM ACO ∠=∠． ∴BCD ACO ∠=∠． （2）①12(4,)3E ，262(610,10)55E -． ②设215(,2)33P x x x -++， 过点P 作x 轴的垂线，垂足为点F ，交CD 延长线于点Q ，直线CD 的解析式为2y x =-+．∴(,2)Q x x -+．CDP CPQ DPQ S S S ∆∆∆=-1122PQ OF PQ DF =⋅-⋅ 12PQ OD =⋅． ∴21833CDP S x x ∆=-+(06)x <<． 当4x =时，CDP S ∆最大，此时10(4,)3P ． 直线PD 的解析式为 51033y x =-． 直线CB 的解析式为 123y x =-+． PD 与CB 的交点为810(,)39E ． ∴当CDP △的面积最大时，点E 坐标为810(,)39. 【例3】 抛物线顶点坐标为点(1,4)C ,交x 轴于点(3,0)A ，交y 轴于点B . (1) 求此抛物线的解析式；(2) 抛物线上是否存在点P ,使12ABP ABC S S ∆∆=,若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）设抛物线的顶点形式为()214y a x =-+,将(3,0)A 代入得：044a =+，即1a =-，则抛物线解析式为221423y x x x =--+=-++（）； （2）存在这样的P 点，设2(,23)P a a a -++， 设直线AB 解析式为y kx b =+，将(3,0)A ，(0,3)B 代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 解析式为3y x =-+， ∵12ABP ABC S S =△△，且两三角形都以AB 为底边，∴P 到直线AB 的距离等于C 到直线AB 距离的12， ∵(1,4)C 到直线AB 的距离14322d +-==， ∴P 到直线AB 的距离2233222a a a d -++-==，即231a a -+=， 整理得：2310a a --=或2310a a -+=， 解得：3132a ±=或352a ±=， 当3132a +=时，2226131311132331334222a a +--++=+++=-+=； 当3132a -=时，2226131311132331334222a a -+-++=+-+=+=； 当3+52a =时，214+655523+3+5+342a a --++==； 当352a -=时，2146555523+35+342a a ---++=-=， 则满足题意的P 坐标为3+13113(,)22-，31313+1(,)22-，3+555(,)22-，35555(,)22--【例4】 如图 , 已知二次函数243y x x =-+的图象交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C .（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 是在直线BC 下方的抛物线上的一个动点，当BCD △的面积最大时，求D 点坐标.【答案】设直线BC 的解析式为:0y kx b k =+≠（）令2430x x -+=，解得11x =，23x =，则(1,0)A ，(3,0)B ，C(0,3)，将(3,0)B ，C(0,3)代入0y kx b k =+≠（），得033k bb =+⎧⎨=⎩，解得：1k =-，3b =，BC 所在直线为：3y x =-+．设过D 点的直线与直线BC 平行，且抛物线只有一个交点时，BCD △的面积最大．∵直线BC 为3y x =-+，∴设过D 点的直线为y x b =-+，∴243y x by x x =-+⎧⎨=-+⎩， ∴2330x x b -+-=，∴()=9430b ∆--=，解得34b =，∴23443yx y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，解得3234x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 则点D 的坐标为：33(,)24-【例5】 已知：抛物线c x ax y ++=22，对称轴为直线1-=x ，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于()0,3-A 、B 两点．（1）求直线AC 的解析式；（2）若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；yxO DCB A【答案】（1）∵对称轴122-=-=ax ，∴1a = ∵()30A -，，∴3c =- 设直线AC 的解析式为y kx b =+∵()30A -，，()03C -，, 代入得：直线AC 的解析式为 3--=x yMN DyxOCBA（2）代数方法一：过点D 作DM y ∥轴分别交线段AC 和x 轴于点M 、N ． 设()32,2-+x x x D ，则()3,--x x M∵ABCD ABC ACD S S S ∆∆+＝四边形136()622DM AN ON DM +⨯⨯+=+＝()[()]3232362+-----+=x x x629232+--=x x87523232+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x∴当23-=x 时，四边形ABCD 面积有最大值875. 代数方法二：ADCB ADN OBC NDCO S S S S ∆∆=++四边形梯形=()()()()23332213232122+-++--++--+x x x x x x =87523236292322+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--x x x∴当23-=x 时，四边形ABCD 面积有最大值875. 几何方法：过点D 作AC 的平行线l ，设直线l 的解析式为b x y +-=.由⎩⎨⎧+-=-+=bx y x x y 322得：0332=--+b x x 当()03432=---=∆b 时，直线l 与抛物线只有一个公共点即：当421-=b 时,ADC △的面积最大,四边形ABCD 面积最大此时公共点D 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--415,23 ADCB ADN OBC NDCO S S S S ∆∆=++四边形梯形()111222AN DN DN OC ON OB OC =⋅+++⋅ 111222OA DN OC ON OB OC =⋅+⋅+⋅ 115131331324222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=875 即：当23-=x 时，四边形ABCD 面积有最大值875. 【例6】 如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4,1)的抛物线交y 轴于点A ，交x 轴于B ，C 两点（点B在点C 的左侧），已知C 点坐标为(6,0). （1）求此抛物线的解析式；（2）联结AB ，过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ,如果以点C 为圆心的圆与抛物线的对称轴l 相切，先补全图形，再判断直线BD 与⊙C 的位置关系并加以证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间.问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？求出PAC ∆的最大面积.【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为(4,1)，∴设抛物线解析式为2(4)1y a x =-+.∵抛物线经过点C (6,0)，∴20(64)1a =-+.∴14a =-. ∴2211(4)12-344y x x x =--+=-+. 所以抛物线的解析式为212-34y x x =-+(2)补全图形、判断直线BD 与C ☉相离.Oxy CBAlO xyCB Al备用图证明：令21(4)+14x --=0，则12x =，26x =. ∴B 点坐标(2,0). 又∵抛物线交y 轴于点A ，∴A 点坐标为(0,3)，∴223213AB =+=. 设C ☉与对称轴l 相切于点F ，则C ☉的半径2CF =， 作CE BD ⊥于点E ，则90BEC AOB ∠=∠=︒. ∵90ABD ∠=︒，∴90CBE ABO ∠=︒-∠. 又∵90BAO ABO ∠=︒-∠，∴BAO CBE ∠=∠. ∴AOB BEC ∽△△，∴CE BCOB AB=. ∴4213CE =，∴8213CE =>. ∴直线BD 与C ☉相离ABCy xDEFOOPQlxyCBA(3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q . ∵(0,3)A -，(6,0)C . ∴直线AC 解析式为132y x =-. 设P 点坐标为21(,23)4m m m -+-， 则Q 点的坐标为1(,3)2m m -.∴22111323(3)4242PQ m m m m m =-+---=-+.∵22113327()6(3)24244PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+, ∴当3m =时，PAC ∆的面积最大为274.∵当3m =时，21234m m -+-=34∴P 点坐标为3(3,)4.综上：P 点的位置是3(3,)4，PAC ∆的最大面积是274【例7】 已知直线3y kx =-与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点C ，抛物线234y x mx n =-++经过点A 和点C ,动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 轴的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍.（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与AOC △相似；（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得ACD △的面积最大.若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∵ 直线3y kx =-过点(4,0)A ，∴ 043k =-，解得34k =． ∴直线的解析式为334y x =-． 由直线334y x =-与y 轴交于点C ，可知(0,3)C - ． ∴2344304m -⨯+-=，解得 154m =．∴ 抛物线解析式为23153.44y x x =-+-备用图（2）对于抛物线3x 415x 43y 2-+-=，令0y =，则03x 415x 432=-+-，解得11x =,24x =．∴(1,0)B∴3AB =，4AO =，3OC =，5AC =，3AP t =-，52AQ t =- 1190Q P A ∠=︒，11PQ OC ∥∴11APQ AOC ∽△△ ∴ 11AP AQ AO AC =, ∴3t 52t 45--=．解得53t =； ② 若2290P Q A ∠=︒, ∵22P AQ OAC ∠=∠，∴ 22AP Q AOC ∽△△.∴ 22AP AQ AC AO =, ∴ 3t 52t 54--=．解得136t =； 综上所述，当t 的值为53或136时，以P 、Q 、A 为顶点的三角形与AOC △相似．（3）答：存在．过点D 作DD x ⊥轴，垂足为E ，交AC 于点F （如图2）.12ADF S DF AE =⋅△,12CDF S DF OE =⋅△∴11(AE OE)4(DE EF)22ACD ADF CDF S S S DF =+=⨯+=⨯⨯+△△△22315332(33)64442x x x x x =⨯-+--+=-+．∴ 23(2)62ACD S x =--+△ (04)x <<．又024<<且二次项系数023<-，∴ 当2x =时，ACD S △的面积最大． 而当2x =时，32y =．∴ 满足条件的D 点坐标为3(2,)2D .【例8】 已知抛物线c bx x y ++=2的顶点为P ，与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B .（1）如图1，若点P 的横坐标为1，点B 的坐标为(3,6)，试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点M 是直线AB 下方抛物线上的一点，且B 3A M S ∆=，求点M 的坐标；【答案】（1）依题意，12b-=，得2b ＝－把2b ＝－及点(3,6)B 代入2y x bx c ＝＋＋ 得26323c ⨯＝－＋，∴3c ＝ ∴抛物线的解析式为223y x x ＝－＋ （2）223y x x ＝－＋，(0,3)A ∴由(0,3)A ，(3,6)B ，可得直线AB 的解析式为3y x ＝＋ 设2(,23)M m m m －＋，过M 作MN y ∥轴交直线AB 于点N则3N m m （，＋），2232)33(MN m m m m m ∴＝＋－－＋＝－＋∴()21133322ABM B A S EC x x m m =⋅-=-+⨯=△解得11m ＝，22m ＝ M 的坐标为(1,2)或(2,3).【例9】 如图，抛物线235y ax x a ＝＋＋＋与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(0,4)C ，D 为OC 的中点．（1）求a 的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点G ，使G B C △中BC 边上的高为522？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．AB C O yxED AAP P BOOxxyy图1 图2AByP xOMN【答案】（1）∵抛物线235y ax x a ＝＋＋＋与y 轴交于点C(0,4),∴ 54a ＋＝，∴ 1a ＝－ （2）存在∵(4,0)B ,(0,4)C ， ∴OBC △为等腰直角三角形可求直线BC 的解析式为4y x ＝－＋ 设与直线BC 平行且距离为522的直线为y x b ＝－＋ 则5||=2422b ⨯⨯－，解得9b ＝或1b ＝－∴9y x ＝－＋或1y x ＝－－把32x =，代入9y x ＝－＋，得152y =，∴1315(,)22G把32x = 代入1y x ＝－－，得52y =-，∴235(,)22G - ∴在抛物线的对称轴上存在点1315(,)22G 和235(,)22G -，使GBC △中BC 边上的高为522【例10】 如图, 已知抛物线经过坐标原点O 及)0,32(-A ，其顶点为(,3)B m ,C 是AB 中点，点E 是直线OC 上的一个动点 (点E 与点O 不重合)，点D 在y 轴上, 且EO ED = .（1）求此抛物线及直线OC OC 的解析式；（2）连接AD , 当点E 运动到何处时，AED △的面积为433，请直接写出此时E 点的坐标. y xOC B A【答案】（1）∵ 抛物线过原点和A(23,0)-，∴ 抛物线对称轴为3-=x .∴ (3,3)B -.设抛物线的解析式为2+33y ax =+（）. ∵ 抛物线经过(0,0), ∴033a =+． ∴ 1a =-.∴22(3)323y x x x =-++=--∵C 为AB 的中点, A(23,0)- 、(3,3)B -，可得 333(,)22C -.BC O yxG 1G 2可得直线OC 的解析式为x y 33-=. （2）E 点的坐标为(333,22-)或(31,22-). 【例11】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =-++的顶点为C .（1）求点C 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）直线2y x =+与抛物线交于A 、B 两点，点A 在抛物线的对称轴左侧，若P 为直线OC 上一动点，求APB △的面积；【答案】（1）()2222y x mx m m x m m =-++=-+，∴顶点坐标为C m ,m (). （2）①2y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于A 、B 两点，∴2222x x mx m m +=-++. 解方程，得121,2x m x m =-=+.A 点在点B 的左侧，∴(1,1),(2,4).A m m B m m -+++∴3 2.AB =直线OC 的解析式为y x =，直线AB 的解析式为2y x =+， ∴AB OC ∥，两直线AB 、OC 之间距离h =2.∴11322322APBSAB h =⋅=⨯⨯=. 【例12】 已知：如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(1,0)-．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一个动点，求使与四边形ACDB 面积相等的四边形ACPB 的点P 的坐标；y xODCB A【答案】（1）∵抛物线22(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A (1,0)-∴203a a c c ++=⎧⎨=⎩解得 13a c =-⎧⎨=⎩∴ 抛物线的解析式为223y x x =-++∵222(2)3(211)3(1)4y x x x x x =--+=--+-+=--+ ∴顶点D 的坐标为(1,4)（2）连结BC ,过点D 作DE x ⊥轴于点E .E yxOD CB A令0y = 则2230x x -++= ∴ 11x =- ，23x = ∴ 点B 的坐标为(3,0)∴ACDB AOC EBD OEDC S S S S ∆∆=++四边形梯形11113(34)1249222=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯= ∵14362ABC S ∆=⨯⨯=，∴3BCD S ∆=∵点P 是在第一象限内抛物线上的一个动点， ACDB ACPB S S =四边形四边形，∴3BCP BCD S S ∆∆==∴ 点P 是过 D 且与直线BC 平行的直线和抛物线的交点 而直线BC 的函数解析式为3y x =-+∴设直线DP 的函数解析式为y x b =-+ ， 过点(1,4)D ∴14b -+=，5b =，∴直线DP 的函数解析式为5y x =-+把5y x =-+代入223y x x =-++中，解得11x =，22x =∴点P 的坐标为(2,3)【例13】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数822++-=x x y 的图象与一次函数b x y +-=的图象交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为7-. 点P 是二次函数图象上A 、B 两点之间的一个动点（不与点A 、B 重合），设点P 的横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交AB 于点C ，作PD AB ⊥于点D . （1）求b 及sin ACP ∠的值；（2）用含m 的代数式表示线段DP 的长；（3）连接PB ，线段PC 把PBD △分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为2:1. 如果存在，直接写．．．出．m 的值；如果不存在，请说明理由.yxA BDC OP【答案】（1）当0y =时，2280x x -++=∴12x =-，24x =点A 在x 轴负半轴上∴(2,0)A -,2OA =点A 在一次函数y x b =-+的图象上∴02=+b∴2b =-∴一次函数表达式为2y x =--yxEA BDC O P设直线AB 交y 轴于点E ，则(0,2)E -,2OE OA ==PC x ⊥轴交AB 于点C∴PC //y 轴∴45AEO ACP ∠=∠=︒ ∴2245sin sin =︒=∠ACP（2）点P在二次函数228y x x =-++图象上且横坐标为m∴2(,28)P m m m -++，PC x ⊥轴且点C 在一次函数2y x =--的图象上∴(,2)C m m --∴2310 PC m m=-++PD AB⊥于点D∴在Rt CDP△中，2sin2PDACPPC∠==∴22325222PD m m=-++（3）m的值为1-和2【例14】如图，已知点A(23,2)，点(4,0)B，将OAB△绕点O顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）得到OCD△（O、A、B的对应点分别为O、C、D），将OAB△沿x轴负方向平移m个单位得到EFG△（0m>，O、A、B的对应点分别为E、F、G），α，m的值恰好使点C、D、F落在同一反比例函数()0ky kx=≠的图象上．（1）AOB∠=________°，α＝________°；（2）求经过点A、B、F三点的抛物线的解析式；（3）若（2）中抛物线的顶点为M，抛物线与直线EF的另一个交点为H，抛物线上的点P满足以P、M、F、A为顶点的四边形的面积与四边形MFAH的面积相等（点P不与点H重合），请直接写出满足条件的点P的个数，并求位于直线EF上方的点P的坐标．=【答案】（1）30︒；60︒ (2)2182y x=-+；（3）5个；222(3,)33；222(3,)33-；416(3,)33-（2）∵A(23,2)，(4,0)B，OAB△绕点O顺时针旋转α角得到OCD△4OA OB OC OD∴＝＝＝＝由（1）得30BOC AOB∠︒∠＝＝∴点C与点A关于x 轴对称，232C∴（，－）∵点C、D、F落在同一反比例函数()0ky kx=≠的图象上OAB xyOAB xy备用图∴·43C C k x y ＝＝－ ∵点F 是由点A 沿x 轴负方向平移m 个单位得到2F y ∴＝，23F x ＝＝－ ∴(23,2)F -∴点F 与点A 关于y 轴对称可设经过点A 、B 、F 的抛物线的解析式为2y ax c ＝＋ ∴()2232160a c a c ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得128a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴所求抛物线的解析式为2182y x -＝＋（3）满足条件的点P 的个数为5抛物线2182y x -＝＋的顶点为(0,8)M ）∵EFG △是由OAB △沿x 轴负方向平移m 个单位得到 ∴43m FA ＝＝，∴(43,0)E - 可得直线EF 的解析式为343y x =+， 解方程组2182343y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪-⎩＝＋ 得12433163x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 22232x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ OAFG E yB x11C D4316(,)33H ∴ 由抛物线的对称性知符合题意的1P 点的坐标为14316(,)33P - 易知AFM △是等边三角形，60MAF ∠︒＝由A(23,2)，(0,8)M ，可得直线AM 的解析式为38y x -＝＋ 过点H 作直线AM 的平行线2HP ，交抛物线于点2P ，则点2P 满足2P AMHAMS S＝，四边形2P MFA 的面积与四边形MFAH 的面积相等设直线2HP 的解析式为3y x b -＝＋ 将点H 的坐标代入上式，得1643=333b -⨯+ ∴283b ＝，直线HP 2的解析式为2833y x -＝＋ 解方程组22833182y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 得11433163x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 22233223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22322(,)33P ∴ 点P 2P 关于y 轴的对称3P 也符合题意，其坐标为32322(,)33P ····12分 综上所述，符合题意的点P 的坐标分别为： 14316(,)33P -，22322(,)33P ∴，32322(,)33P 二、 二次函数与动点图形面积☞考点说明：因为动点产生的面积问题，需要考虑动点的运动情况，及分类讨论【例15】 如图，在直角坐标系中，梯形ABCD 的底边AB 在x 轴上，底边CD 的端点D 在y 轴上，直线CB的表达式为41633y x ＝－＋，点A ，D 的坐标分别为(4,0)-，(0,4)．动点P 自A 点出发，在AB OAFGEy B x11P 3P 2 P 1 M H上匀速运行，动点Q 自点B 出发，在折线BCD 上匀速运行，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点P 运动t （秒）时，OPQ △的面积为S （不能构成OPQ △的动点除外）．（1）求出点B ，C 的坐标；（2）求S 随t 变化的函数关系式（注明t 的取值范围）； （3）当t 为何值时S 有最大值？并求出最大值．【答案】（1）把4y ＝代入41633y x ＝－＋，得1x ＝∴点C 的坐标为(1,4)当0y ＝时，416033x －＋＝，4x ∴＝∴点B 坐标为(4,0)（2）作CM AB ⊥于M ，则4CM ＝，3BM ＝2222345BC BM CM ∴++＝＝＝45CM sin ABC BC ∴∠＝＝①当04t ＜＜时，如图作QN OB ⊥于N ，则4·5QN BQ sin ABC t ∠＝＝ 211428·4(25)255S OP QN t t t t ∴⨯⨯-＝＝－＝＋②当45t ＜≤时，如备用图1作QN OB ⊥于N .，同理可得45QN t ＝BCO Ax yDP QMN BC O Axy D P Q（备用图1）N BCOAxyDP QB CO Ax yD（备用图1）B CO A xyD（备用图2）211428·4(55)225S OP QN t t t t ∴⨯⨯--＝＝－＝③当56t ＜≤时，如备用图2 11·442(2)82S OP OD t t ⨯⨯＝＝－＝－（3）①在04t ＜＜时22282825()555S t t t -＝－＋＝－＋∴当2t ＝时，85S 最大＝②在45t ＜≤时228()25582255S t t t -＝－＝－∴抛物线22855S t t ＝－的顶点为8(2,)5-，且抛物线开口向上∴在45t ＜≤时，S 随t 的增大而增大. ∴当5t ＝时，22855255S ⨯⨯最大＝－＝③在56t ＜≤时∵28S t ＝－，∴s 随t 的增大而增大 ∴当6t ＝时，2684S ⨯最大＝－＝∴综合得：当6t ＝时，S 有最大值，最大值是4【例16】 如图，梯形ABCD 中，ADBC ∥，90BAD ∠=︒，CE AD ⊥于点E ,8cm AD =,4cm BC =，5cm AB =．从初始时刻开始，动点P P 、Q Q 分别从点A 、B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A →B →C →E 的方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B →C →E →D 的方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，PAQ △的面积为y cm 2．（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：（1）当2s x =时，y = _________cm 2；当9s 2x =时，y ＝_________cm 2；（2）当514x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出使415ABCD y S 梯形＝的x 的值；【选作】直接写出在整个运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．BCOAxy D PQ （备用图2）C B Q CB【答案】（1）2，9（2）当59x ≤≤时2111544559422()()(2165722)()ABCQ ABPPCQy S SSx x x x x x ⨯⨯--梯形＝＝＋－－－－－－＝－＋ 即2165722y x x ＝－＋当913x <≤时 2()(111994145222)3y x x x x -＝－＋－＝＋－ 即21193522y x x ＝－＋－当1314x <≤时 181)45(462y x x =⨯－＝－＋即456y x ＝－＋（3）当动点P 在线段BC 上运动时441485815152()ABCD y S ⨯⨯梯形＝＝＋＝ 21657822x x ∴－＋＝ 解得127x x ＝＝∴当7x ＝时，415ABCD y S 梯形＝CD ABEP(Q )CDABEP Q（4）209x ＝，619，1019提示（本人添加，仅供参考）：①当P 在AB 上时，若PQ AC ∥，则BPQ BAC ∽△△ ∴BP BA BQ BC =，554x x -=∴，解得209x = ②当P 在BC 上时，若PQ BE ∥，则CPQ CBE ∽△△ CP CB CQ CE =∴，9445x x -=-∴，解得619x = ③当P 在CE 上时，若PQ BE ∥，则EPQ ECD ∽△△ EP EC EQ ED =∴，14594x x -=-∴，解得1019x =【例17】 如图，在直角梯形ABCD 中，90D BCD ∠=∠=︒，60B ∠=︒，6AB =，9AD =，点E 是CD 上的一个动点（E 不与D 重合），过点E 作EF AC ∥，交AD 于点F （当E 运动到C 时，EF 与AC 重合），把DEF △沿着EF 对折，点D 的对应点是点G ．DE x =，GEF △与梯形ABCD 重叠部分的面积为y ．（1）求CD 的长及1∠的度数；（2）若点G 恰好在BC 上，求此时x 的值；（3）求y 与x 之间的函数关系式，并求x 为何值时，y 的值最大？最大值是多少？【答案】（1）如图1，过A 作AH BC ⊥于H ，则四边形AHCD 是矩形3·cos 6332CD AH AB B ∠⨯∴＝＝＝＝ 333tan 93CD DAC AD ∠===∴，∴30DAC ∠︒＝∵EF AC ∥，∴130DAC ∠∠︒＝＝ABC EDFG1CDAB EP Q C DAB EP QC DAB E PQ（2）如图2，由轴对称的性质可知GEF DEF ≅△△GEF DEF ∴∠∠＝，GE DE =由（1）知130∠︒＝，∴60GEF DEF ∠=∠=︒ ∴60GEC ∠=︒，∴2GE CE ＝ ∵DE x ＝，∴GE x ＝，3CE x ＝－ 233()x x ∴＝－，∴2x ＝（3）当点G 在梯形ABCD 的内部或BC 边上，即023x <≤时2113··3222DEFSDE DF x x x ＝＝＝ ∵GEF DEF ≅△△，∴023x <≤时，232y x =当点G 在梯形ABCD 的外部（如图3），即2333x <≤时 设FG 、EG 分别交BC 于点M 、N在Rt ENC △中，60NEC ∠︒＝，∴22(3)3EN EC x ＝＝－ 又∵GE DE x ==，∴363GN GE EN x =-=-在Rt MGN △中，∵30MNG NEC ∠=∠=︒，∴36MG x =- 2(3)1133·6363181832(2)2MGNSMG GN x x x x ∴＝＝－－＝－＋ 222333=()2181833118328GEF MGN y S S x x x x x --＝－－＋＝＋－∴当2333x <≤时，2318183y x x =-∴＋－综上所述，y 与x 之间的函数关系式如下： ()()22302323181832333x x y x x x ⎧<⎪=⎨⎪-+-<⎩≤≤ A BC EDFG1图2A BC E DFG1图3MN当023x <≤时，函数232y x =随自变量的增大而增大 ∴y 的最大值是63当2333x <≤时，22318183(33393)y x x x ---＝＋＝－＋∵30-<∴当33x ＝时，93y 最大＝∵9363>∴当33x ＝时，y 的值最大，最大值是93【例18】 如图，矩形ABCD 中，6AB ＝，23BC ＝，点O 是AB 的中点，点P 在AB 的延长线上，且3BP =．一动点E 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速运动，到达A 点后，立即以原速度沿AO 返回；另一动点F 从P 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA 匀速运动，点E 、F 同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E 、F 的运动过程中，以EF 为边作等边EFG △，使EFC△和矩形ABCD 在射线PA 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）． （1）当等边EFG △的边FG 恰好经过点C 时，求运动时间t 的值；（2）在整个运动过程中，设等边EFG △和矩形ABCD 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；【答案】（1）当边FG 恰好经过点C 时（如图①）60CFB ∠=︒，3BF t ＝－在Rt CBF △中，23BC ＝，tan BCCFB BF∠＝ 23tan 60BF ︒=∴，∴2BF ＝ 即32t －＝，∴1t ＝ ∴当边FG 恰好经过点C 时，1t ＝ （2）当01t <≤时，2343S t ＝＋当13t <≤时，23733322S t t =-++ABCDO F P E当34t <≤时，43203S t ＝－＋ 当46t <≤时，23123363S t t ＝－＋三、抛物线内特殊三角形的面积☞考点说明： 我们经常会碰到特殊ABC △，其中点A 、B 分别为二次函数与x 轴的两个交点，C 为抛物线的顶点，则三角形的面积公式是328ABC S a =△△① 若ABC △为直角三角形时，21ABC S a=△② 若ABC △为等边三角形时，233ABC S a=△ 记住这些公式，会有助于我们提高做题速度CyxOB A【例19】 已知二次函数图2+y x bx c =+像的对称轴在y 轴的右侧，且图像与y 轴交于点(03)D ，，与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，ABC △的面积为8，则二次函数的解析式为________【答案】2273y x x =-+ 【解析】用328ABCS a=△△即可 【巩固】k 为何值时，抛物线23+4y x kx k =+与x 轴的两交点A 、B 及顶点C 满足90ACB ∠=° 【答案】=1k -或4【解析】由21ABC S a =△和328ABC S a =△△可得，24b ac =-△=8.【题1】已知：如图，抛物线22y ax ax c =-+ （0a ≠）与y 轴交于点C (0,4) ，与x 轴交于点A ，B ，点A 的坐标为(4,0). (1) 求该抛物线的解析式;(2) 点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ . 当CQE ∆的面积最大时，求点Q 的坐标；【答案】∵抛物线22y ax ax c =-+（0a ≠）与y 轴交于点C ( 0 ，4)，与x 轴交于点A (4,0)课后作业M ABCDE QN xO∴41680c a a c =⎧⎨-+=⎩ 解得 124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴该抛物线的解析式为2142y x x =-++（2）令0y =，则21402x x -++= ，解得，12x =-， 24x =∴ (2,0)B - ∴ 6AB =，42AC =，25BC =设AQ x =，CQE ∆的面积用y 表示， 方法一 ∵ QE AC ∥ ∴CE BE AQ BQ =，即256CE CE x x-=- ∴53xCE =过点Q 作QM BC ⊥，垂足为M在Rt BOC △中，425sin 525OC B BC ∠===在Rt BMQ △中 2525(6)sin (6)55x QM BQ B x -=⋅∠=-⋅=∴ 2211525(6)111(6)2(3)32235333x x y CE QM x x x x x -=⋅=⨯⨯=-=-+=--+ ∴ 当3x =时，CQE ∆的面积最大是3，即点Q 的坐标为(1,0)解法二1122ABC S AB OC ∆=⋅= ， 122AQC S AQ OC x ∆=⋅=O xN QED CB A过点E 作EN AB ⊥，垂足为N ，则EN CO ∥∴EN BECO BC = ∵QE AC ∥∴66BE BQ xBC BA -== ∴EN BQ CO BA = 即646EN x-= ∴ 2(6)3EN x =- ∴ 211(6)23BQE S BQ EN x ∆=⋅=-∴ 2211122(6)(3)333ABC AQC BQE y S S S x x x ∆∆∆=--=---=--+∴ 当3x =时，CQE ∆的面积最大是3，即点Q 的坐标为(1,0) 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：34y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点(0,1)B -，抛物线212y x bx c =++经过点B ，且与直线l 的另一个交点为(4,)C n ． (1) 求n 的值和抛物线的解析式；(2) 点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t ,(04)t <<．DE y ∥轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）．若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值；图1图2【答案】（1）∵直线l ：34y x m =+经过点(0,1)B -，∴1m =-.∴直线l 的解析式为314y x =-. ∵直线l ：314y x =-经过点(4,)C N ，∴34124n =⨯-=.∵抛物线212y x bx c =++经过点(4,2)C 和点(0,1)B -， ∴21244,21.b c c ⎧=⨯++⎪⎨⎪-=⎩ 解得5,41.b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ∴抛物线的解析式为215124y x x =--. （2）∵直线l ：314y x =-与x 轴交于点A ， A 的坐标为4(,0)3.∴43OA =.在Rt OAB △中，1OB =∴222245()133AB OA OB =+=+=∵DE y ∥轴， ∴OBA FED ∠=∠.∵矩形DFEG 中，90DFE ∠=︒， ∴90DFE AOB ∠=∠=︒.∴OAB FDE ∽△△. ∴OA OB ABFD FE DE==. ∴45OA FD DE DE AB =⋅=， 35OB FE DE DE AB =⋅=.FG yxO BADC E l图8∴43142(FD FE)2()555p DE DE =+=⨯+=. ∵215(t ,1)24D t t --，3(t ,1)4E t -，且04t <<，∴223151(1)(1)24242DE t t t t t =----=-+.∴22141728(2)5255p t t t t =⨯-+=-+.∵2728(2)55p t =--+，且705-<，∴当2t =时，p 有最大值285.（3）点1A 的横坐标为34或712-. 说明：两种情况参看图9和图10，其中11O B 与x 轴平行，11O A 与y 轴平行.【题2】已知二次函数23332-+-=mx mx y 的图象与x 轴交于点A (23,0)、点B ，与y 轴交于点C ．（1）求点B 坐标；（2）点P 从点C 出发以每秒1个单位的速度沿线段CO 向O 点运动，到达点O 后停止运动， 过点P 作AC PQ //交OA 于点Q ，将四边形PQAC 沿PQ 翻折，得到四边形''C PQA ， 设点P 的运动时间为t ．①当t 为何值时，点'A 恰好落在二次函数23332-+-=mx mx y 图象的对称轴上； ②设四边形''C PQA 落在第一象限内的图形面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．【答案】（1）将(23,0)代入23332-+-=mx mx y 解得33m =∴函数的解析式为23312-+-=x x y 令0=y ，解得：32,321==x x ∴(3,0)B图9图10B1O1A1 lCABO xyyxO BA ClA1 O 1 B 1（2）①由解析式可得点)2,0(-C二次函数图象的对称轴方程为332x =Rt AOC △中 ∵32,2==OA OC∴︒=∠︒=∠60,30OCA OAC∴︒=∠︒=∠60',150QH A PQA ，Q A AQ '= 过点A '作'A H x ⊥轴于点H ，则QH AH =∴332223OQ QH OQ QH ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得32QH = 则3AQ =，1CP =∴1=t ③分两种情况：ⅰ）当10≤<t 时，四边形PQA C ''落在第一象限内的图形为等腰三角形QA N '．'3NQ A Q t ==t t AQ H A 2323360sin '=⋅=︒= 2'43323321t t t S NQ A =⋅=△ 当1=t 时，有最大值334S =ⅱ）当21<<t 时，设四边形PQA C ''落在 第一象限内的图形为四边形]MOQA '．''''222233323(2)(2)2245343234OPQ PC MMOQA QA C S S S S t t tt t ∆∆=--⎡⎤=-----⎢⎥⎣⎦=-+-四边形梯形P 当85t =时，有最大值'635MOQA S =四边形综上：当85t =时，四边形PQA C ''落在第一象限内的图形面积有最大值是635．。