2018黄冈市自主招生模拟训练数学试题
2018年最新 湖北省黄冈中学2018届高三第一次模拟考试
湖北省黄冈中学2018届高三第一次模拟考试数学试题（理科B卷）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试题卷封线内，将考号最后两位填在答题卷右上方座位号内，同时机读卡上的项目填涂清楚，并认真阅读答题卷和机读卡上的注意事项。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把机读卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。
3．将填空题和解答题用0．5毫米黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的答题区域内，答在试卷上无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1．已知集合2{0,},{|250,}P m Q x x x x Z ==-<∈，若P Q ≠∅，则m 等于（ ） A ．2B ．1C ．1或2D ．1或252．复数z 满足(2)z z i =+，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --3．已知函数2sin y x =的定义域为[a ,b ]，值域为[-2，1]，则b -a 的值不可能是 （ ）A.65πB.πC. π2D.67π 4．,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ． a b c >>5． 设两个正态分布2111(,)(0)N μσσ>和2222(,)(0)N μσσ>曲线如图所示,则有A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>6．下列四个函数图象，只有一个是符合112233||||||y k x b k x b k x b =+++-+（其中123,,k k k 为正实数，123,,b b b 为非零实数）的图象，则根据你所判断的图象，123,,k k k 之间一定成立的关系是（ ）A ．123k k k ==B ． 123k k k +=C ．123k k k +>D ．123k k k +<A.B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知向量(2,3)=a ，(2,1)=-b ，则a 在b 方向上的投影等于 ．12．已知1)n x)(*N n ∈展开式中常数项是2n C ，则n 的值为 。
黄冈市2018年初中毕业生学业水平和高中阶段学校招生考试数学试题
黄冈市2018年初中毕业生学业水平和高中阶段学校招生考试数 学 试 题（考试时间120分钟 满分120分）第Ⅰ卷（选择题 共18分）一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。
每小题给出4个选项中，有且只有一个答案是正确的） 1. -32的相反数是A. -23B. -32C.32 D.232. 下列运算结果正确的是A. 3a 3·2a 2=6a 6B. (-2a)2= -4a 2C. tan45°=22 D. cos30°=233.函数y= 11-+x x 中自变量x 的取值范围是A ．x ≥-1且x ≠1 B.x ≥-1 C. x ≠1 D. -1≤x ＜14.如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交BC ，AC 于点D 和E ，∠B＝60°，∠C ＝25°，则∠BAD 为A.50°B.70°C.75°D.80°（第4题图）5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=A.2B.3C.4D.23（第5题图）6.当a ≤x ≤a+1时，函数y=x 2-2x+1的最小值为1，则a 的值为 A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2第Ⅱ卷（非选择题 共102分）二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）7.实数16 800 000用科学计数法表示为______________________. 8.因式分解：x 3-9x=___________________________. 9.化简(2-1)0+(21)-2-9+327 =________________________. 10.若a-a1=6，则a 2+a21值为_______________________. 11.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠CAB=60°，弦AD 平分∠CAB ，若AD=6，则AC=___________.（第11题图）12.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.13.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm ，底面周长为32cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为_________________cm （杯壁厚度不计）.（第13题图）14. 在-4，-2，1，2四个数中，随机取两个数分别作为函数y=ax 2+bx+1中a ，b 的值，则该二次函数图像恰好经过第一、二、四象限的概率为___________.三、解答题 （本题共10题，满分78分）15.（本题满分5分）求满足不等式组： x-3(x-2)≤8 的所有整数解．21x-1＜3 -23x16.（本题满分6分）在端午节来临之际，某商店订购了A 型和B 型两种粽子。
高中自主招生数学模拟试题(附答案1)
第 1 页 共 4 页22018年高中自主招生考试数学模拟试题（满分：120 分时间：120 分钟）一、选择题。
（每小题 4 分，共 24 分）1. 若正方形的外接圆半径为 2，则其内切圆半径为（ ）A. B.2 C. 2 2D.1 2. 如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点 D 是 CB 延长线上的一点，且 BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为（ ）A.2＋B.2C.3＋D.3 A MPONB第 2 题图第 3 题图第 5 题图3. 如图，正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，EF ⊥AE ，交 BC 于点 F ，则∠1 与∠2 的大小关系 为 （ ）A.∠1＞∠2B.∠1＜∠2C.∠1=∠2D.无法确定4. 若点 M (－7，m )、N (－8，n )都是函数 y ＝－(k 2＋2k ＋4)x ＋1（k 为常数）的图象上，则 m 和n 的大小关系是（ ）A.m ＞nB.m ＜nC.m ＝nD.不能确定5. 如图，点 P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补．若∠MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA ，OB 相交于 M 、N 两点，则以下结论：（1）PM ＝PN 恒成立，（2）OM ＋ON 的值不变，（3）四边形 PMON 的面积不变，（4）MN 的长不变，其中正确的 个 数 为 （ ）A.4B.3C.2D.16. 在平面直角坐标系内，直线 AB 垂直于 x 轴于点 C （点 C 在原点的右侧），并分别与直线 y ＝23333第 2 页 共 4 页2 3 2 x 和双曲线 y ＝ 1x相交于点 A 、B ，且 AC ＋BC ＝4，则△OAB 的面积为（）A.2 ＋3 或 2 －3B. ＋1 或 －1C.2 －3D. －1二、填空题。
（每小题 4 分，共 24 分）7. 一个人把四根绳子紧握在手中，仅在两端露出它们的头和尾，然后随机地把一端的四个头中的某两个相接，另两个相接，把另一端的四个尾中的某两个相接，另两个相接，则放开手后四根 绳子恰好连成一个圈的概率是．8. 有 4 张看上去无差别的卡片，上面分别写着 2，3，4，6，小红随机抽取 1 张后，放回并混在一起，再随机抽取 1 张，则小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率为．9. 如图，在直角三角形 ABC 中，AB =3，BC =4，∠ABC =90°，过 B 作 BA 1⊥AC ，过 A 1 作 A 1B 1⊥BC ，得阴影直角三角形 A 1B 1B ；再过 B 1 作 B 1A 2⊥AC ，过 A 2 作 A 2B 2⊥BC ，得阴影直角三角形 A 2B 2B 1；…，如此无限下去，请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为．AHDE GBFCQ第 9 题图 第 10 题图第 11 题图10. 如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的两条直角边长分别为 a ，b ，则（a +b ）2 的值是 ．11. 如图，将矩形 ABCD 沿 GH 对折，点 C 落在 Q 处，点 D 落在 AB 边上的 E 处，EQ 与 BC相交于点 F ．若 AD ＝8，AB ＝6，AE ＝4，则△EBF 周长的大小为 ．12. 观察下列各式： 2 = 1 - 1 ， 2 = 1 - 1 2 = 1 - 1 ……请利用你所得结论，化简 1⨯ 3 1 3 2 ⨯ 4 2 4 ， 3 ⨯ 5 3 5 ，代 数 式 21⨯ 3＋ 2 2 ⨯ 4 ＋ 2 3 ⨯ 5 ＋…＋ 2 n (n + 2) （n ≥3 且为整数），其结果为．三、解答题。
黄冈中学2018年自主招生数学模拟试题五
AB ，PF ⊥AC ，连接AP ，BP ，CP ，如果S △APF + S △BPE + S △CPD =233，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．233．如图，在平面直角坐标系中，⊙O 1过原点O ，且与⊙O 2外切，圆心O 1与O 2在x 正半轴上，⊙O 1的半径O 1P 1，⊙O 2的半径O 2P 2都与x 轴垂直，且点P 1、P 2在反比例函数)0(1>=x x y 的图象上，则21y y +的值为（ ）A ．22B ．1C ．23D ．24．已知关于x 的一元四次方程420x px qx r +++=有三个相等的实根和另一个与之不同的实根,则下列三个命题中真命题有( )个.①p q r +=可能成立;②p r q +=可能成立;③q r p +=可能成立. A.0 B.1 C.2 D.3.A ．23 B ．43 C ．23- D ．43-6. 如图,△ABC 内接于圆O,BC=36,∠A=60°,点D 为 BC 上一动点,BE ⊥直线OD 于E,当点D 由B 点沿 BC运动到点C 时,点E 经过的路线长为.54A B C D二、填空题（每小题5分，共30分）7．设二次函数()20y ax bx c a =++≠满足:当01x ≤≤时,1y ≤.则a b c ++的最大值是_________________.8．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通（即管子底端离容器底5cm ），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm ，如图所示. 若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升65cm ，积分别为S 和S ′. 若对任意x 值，)(322c x b x a c bx ax '+'+'=++恒成立，则S S'= . 12.设a 1,a 2,…,a k 为k 个互不相同的正整数，且a 1+a 2+…+a k =1995，那么k 的最大值是 .三、解答题（共60分）13. (12分) 已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.14、（16分）校园安全与每个师生、家长和社会有着切身的关系.某校教学楼共五层，设有左、右两个楼梯口，通常在放学时，若持续不正常，会导致等待通过的人较多，发生拥堵，从而出现不安全因素．通过观察发现位于教学楼二、三楼的七年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数按每分钟12人递增，6分钟后经过单个楼梯口等待人数按每分钟12人递减；位于四、五楼的八年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数y2与时间为t（分）满足关系式y2=-4t2+48t-96（0≤t≤12）．若在单个楼梯口等待人数超过80人，就会出现安全隐患．（1）试写出七年级学生在单个楼梯口等待的人数y1（人）和从放学时刻起的时间t（分）之间的函数关系式，并指出t的取值范围．（2）若七、八年级学生同时放学，试计算等待人数超过80人所持续的时间．（3）为了避免出现安全隐患，该校采取让七年级学生提前放学措施，要使单个楼梯口等待人数不超过80人，则七年级学生至少比八年级提前几分钟放学？15、（14分）如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O和△BCH的外接圆⊙1O相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点216．(18分)如图，在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA=2，OC=6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N．（1）填空：经过A，B，D三点的抛物线的解析式是；（2）已知点F在（1）中的抛物线的对称轴上，求点F到点B,D的距离之差的最大值；（3）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，-2），记△DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求出S随x增大而增大时所对应的自变量x的取值范围．x13、【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=，去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，222222222222()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠ ，()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式=1.x y zxyz++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又 ,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++ 9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++- 222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.14. （1）y 1=12(0t 6),14412t(6t 12).t ≤≤⎧⎨-<≤⎩（2）同时放学：七年级单个楼梯口等待人数为y=2246096(0t 6),436t 48(6t 12).t t t ⎧-+-≤≤⎪⎨-++<≤⎪⎩当0≤t ≤6时，-4t 2+60t-96=80,得t 1=4,t 2=11, ∴4≤t ≤6；当6<t ≤12时，-4t 2+36t+48=80,得t 1=1,t 2=8, ∴6<t ≤8.∵8-4=4, ∴等待人数超过80人所持续的时间为：8-4=4(分). ∴等待人数超过80人所持续的时间为：8-4=4分钟； （3）设七年级学生比八年级提前m （m>0）分钟放学， 当0≤t ≤6-m 时，y=-4t 2+48t-96+12(t+m)= -4t 2+60t+12m-96, ∵602(4)--=7.5>6-m, ∴当t=6-m 时, y 有最大值=-4m 2+120,由-4m 2+120≤80，∵m>0, ∴m 2≥10, 得m当6-m<t ≤12-m 时，y=-4t 2+48t-96+144-12(t+m)= -4t 2+36t-12m+48, ∵362(4)--=4.5, ∴当t=4.5时, y 有最大值=129-12m ≤80，得m ≥4112；当12-m<t ≤12时，y=-4t 2+48t-96=-4(t-6)2+48≤48.∴要使单个楼梯口等待人数不超过80人，则七年级学生比八年级至少提前4112分钟放学， 15、证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. 因为AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠90=︒BDQ ． 故BQ 为⊙2O 的直径.于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，. 又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ， 四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.16.解：（1）y=14-x 232-x-2； （2）∵点A,B 关于抛物线的对称轴对称，∴FA=FB, ∴|FB-FD|=|FA-FD|, ∵|FA-F 到点B,D 的距离之差的最大值是 （3）存在点M 使△CMN 为等腰三角形，理由如下：由翻折可知四边形AODE 为正方形，过M 作MH ⊥BC 于H ，∵∠PDM=∠PMD=45°，则∠NMH=∠MNH=45°，NH=MH=4， ∵直线OE 的解析式为：y=x ，依题意得MN ∥OE ，∴设MN 的解析式为y=x+b ， 而DE 的解析式为x=-2，BC 的解析式为x=-6，∴M （-2，-2+b ），N （-6，-6+b ），CM 2=42+(-2+b)2，CN 2=(-6+b)2，MN 22=32， ①当CM=CN 时， 42+(-2+b)2=(-6+b)2，解得：b=2，此时M （-2，0）； ②当CM=MN 时，42+(-2+b)2=32，解得：b 1=-2，b 2=6（不合题意舍去），此时M （-2，-4）；③当CN=MN时，，此时M（-2，；综上所述，使△CMN为等腰三角形的M点的坐标为：（-2，0），（-2，-4），（-2，；（4）当-2≤x≤0时，∵∠BPN+∠DPE=90°，∠BPN+∠BNP=90°，∴∠DPE=∠BNP，又∠PED=∠NBP=90°，∴△DEP∽△PBN，∴PB BNDE EP=，∴62x+=2BNx+，∴BN=(2)(6)2x x++，∴S△DBN=12BN×BE=12×(2)(6)2x x++×4, 整理得：S=x2+8x+12；当-6≤x＜-2时，∵△PBN∽△DEP，∴PE DEBN PB=，∴226xBN x-=-，∴BN=(2)(6)2x x-+，∴S△DBN=12BN×BE=12×(2)(6)2x x--+×4，整理得：S=-x2-8x-12；则S与x之间的函数关系式：S=22812(2x0)812(6x2) x xx x⎧++-≤≤⎪⎨----≤<-⎪⎩，①当-2≤x≤0时，S=x2+8x+12=(x+4)2-4，当x≥-4时，S随x的增大而增大，即-2≤x≤0，②当-6≤x＜-2时，S=-x2-8x-12=-(x+4)2+4，当x≤-4时，S随x的增大而增大，即-6≤x≤-4，综上所述：S随x增大而增大时，-2≤x≤0或-6≤x≤-4．。
黄冈中学2018年自主招生数学模拟试题一
错B 1 D CB E E A 1黄冈中学2018年自主招生数学模拟试题一一、选择题：（每个5分，共30分）1.对于正整数n ，设a n1232001111...a a a a ++++=（ ） A. 191/7 B ．192/7 C ．193/7 D ．194/72.甲杯中盛有m 毫升红墨水，乙杯中盛有m 毫升蓝墨水，从甲杯中倒出a 毫升到乙杯里（0＜a ＜m ），搅匀后，又从乙杯倒出a 毫升到甲杯里，则这时（ ）A.甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少B. 甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多C. 甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同D. 甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定3.如图，△ABC 是顶角为100°的等腰三角形，将它绕C 旋转到△CA 1B 1的位置，D 、E 、F 分别是AB 、BA 1、A 1B 1的中点，则∠DEF 为（ ）A.90ºB.100ºC.80ºD.60º第3题图 第4题图4. 如图，DC ∥AB ，∠BAE=∠BCD,AE ⊥DE,∠D=130°,则∠B=（ ）A. 30°B. 40°C. 45°D. 50°5.如果同时满足不等式错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
的整数仅为1，2，3，那么整数a, b 有序数对（a, b ）有( )A.17对B.64对C.72对D.81对6. 已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = （ ）.A 0 .B 14 .C 34- .D 2- 二、填空题：（每个5分，共30分）7.某商铺专营A ，B 两种商品，试销一段时间，总结得到经营利润y 与投入资金错误！未找到引用源。
（万元）的经验公式分别是y A =错误！未找到引用源。
黄冈中学2018年自主招生数学模拟试题二
黄冈中学2018年自主招生数学模拟试题二一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1．1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a -= （ ）.A12 .B .C 1 .D 2．已知△ABC 的三边长分别是a,b,c ，有以下三个结论：（1 （2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以为1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在. 其中正确结论的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．在直角坐标系xOy 中 ，横、纵坐标均为整数的点称为整点，已知k 为实数，当两条不同直线k kx y 14-=与21+=x ky 的交点为整点时，k 可以取的值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．多个3个4．已知函数31++-=x x y 的最大值为a ，最小值为b ，则a b的值为（ ）A ．22B ．21C ．41D ．815．如图，M 是以AB 为直径的半圆⊙O 的内接四边形ABCD 边CD 的中点，MN ⊥AB 于点N ，AB=10，AD=AN=3，则BC=（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 6．若0°<α<45°，且sin αcos α=1673，则sin α=（ ） A ．87 B ．47 C ．414 D ．814 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =____． 8．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．9．在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程m x x mx x +=-++3132，则实数m 的取值范围为 . 10. 如图，OA 在x 轴上，OB 在y 轴上，OA =8，AB =10，点C 在边OA 上，AC =2，⊙P 的圆心P 在线段BC 上，且⊙P 与边AB ，AO 都相切．若反比例函数y =（k ≠0）的图象经过圆心P ，则k = ．第9题图 第10题图11.已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ． 12. 如图，以Rt ABC Δ的斜边BC 为一边在ABC Δ同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果AB=4，AO=26，则AC= . 三、解答题（本大题共4小题，共60分。
黄冈市2018年初中毕业生学业水平和高中阶段学校招生考试数学试题
黄冈市2018年初中毕业生学业水平和高中阶段学校招生考试数学试题第Ⅰ卷（共18分）一、选择题：本大题共6个小题,每小题3分,共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.23-的相反数是（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．322.下列运算结果正确的是（ ）A ．326326a a a ⋅=B ．()2224a a -=- C ．2tan 452=D ．3cos30=3.函数y =x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥-且1x ≠ B ．1x ≥- C ．1x ≠ D ．11x -≤< 4.如图，在ABC △中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交BC ，AC 于点D 和E ，60B ∠=，25C ∠=，则BAD ∠为（ ）A ．50B ．70 C.75 D ．805.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，2AD =，5CE =，则CD =（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．6.当1a x a ≤≤+时，函数221y x x =-+的最小值为1，则a 的值为（ ） A ．1- B ．2 C.0或2 D ．1-或2第Ⅱ卷（共102分）二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）7.实数16800000用科学计数法表示为 ． 8.因式分解：39x x -= ．9.化简)2112-⎛⎫+= ⎪⎝⎭．10.若1a a -=，则221a a+值为 ． 11.如图，ABC △内接于O ，AB 为O 的直径，60CAB ∠=，弦AD 平分CAB ∠，若6AD =，则AC = ．12.一个三角形的两边长分別为3和6，第三边长是方程210210x x -+=的根，则三角形的周长为 ．13.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm ，底面周长为32cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为 cm （杯壁厚度不计)）.14.在4-，2-，1，2四个数中，随机取两个数分別作为函数21y ax bx =++中a ，b 的值，则该二次函数图像恰好经过第一、二、四象限的概率为 ．三、解答题 （本大题共10小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 求满足不等式组()328131322x x x x --≤⎧⎪⎨-<-⎪⎩的所有整数解.16. 在端午节来临之际，某商店订购了A 型和B 型两种粽子，A 型粽子28元/千克，B 型粽子24元/千克，若B 型粽子的数量比A 型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克.17. 央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注.我市某校就“中华文化我传承——地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机凋查.对收集的信息进行统汁，绘制了下面两副尚不完整的统计图.请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：图中A 表示“很喜欢”，B 表示“喜欢”，C 表示“一般”，D 表示“不喜欢”.（1）被调查的总人数是 人，扇形统计图中C 部分所对应的扇形圆心角的度数为 ； （2）补全条形统计图；（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A 类有 人； （4）在抽取的A 类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率.18. 如图，AD 是O 的直径，AB 为O 的弦，OP AD ⊥，OP 与AB 的延长线交于点P ，过B 点的切线交OP 于点C .（1）求证：CBP ADB ∠=∠.（2）若2OA =，1AB =，求线段BP 的长.19. 如图，反比例函数()0ky x x=>过点()3,4A ，直线AC 与x 轴交于点()6,0C ，过点C 作x 轴的垂线BC 交反比例函数图象于点B .（1）求k 的值与B 点的坐标；（2）在平面内有点D ，使得以A ，B ，C ，D 四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有D 点的坐标.20. 如图，在ABCD Y 中，分别以边BC ，CD 作等腰BCF △，CDE △，使BC BF =，CD DE =，CBF CDE ∠=∠，连接AF ，AE .（1）求证ABF EDA ≌△△;（2）延长AB 与CF 相交于G .若AF AE ⊥，求证BF BC ⊥.21. 如图，在大楼正前方有一斜坡CD ，坡角30DCE ∠=，楼高60AB =米，在斜坡下的点C 处测得楼顶B 的仰角为60，在斜坡上的D 处测得楼顶B 的仰角为45，其中点A ，C ，E 在同一直线上.（1）求坡底C 点到大楼距离AC 的值； （2）求斜坡CD 的长度.22. 已知直线:1l y kx =+与抛物线24y x x =-. （1）求证：直线l 与该拋物线总有两个交点；（2）设直线l 与该抛物线两交点为A ，B ，O 为原点，当2k =-时，求OAB △的面积. 23. 我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y （万件）与月份x （月）的关系为：()()418,20912,x x x y x x x +≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩为整数为整数，每件产品的利润z （元）与月份x （月）的关系如下表:（1）请你根据表格求出每件产品利润z （元）与月份x (月）的关系式；（2）若月利润w (万元）=当月销售量y (万件）⨯当月每件产品的利润z (元），求月利润w (万元）与月份x (月）的关系式；（3）当x 为何值吋，月利润w 有最大值，最大值为多少？24. 如图，在直角坐标系XOY 中，菱形OABC 的边OA 在x 轴正半轴上，点B ，C 在第一象限，120C ∠=，边长8OA =.点M 从原点O 出发沿x 轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N 从A 出发沿边AB BC CO --以每秒2个单位长的速度作匀速运动.过点M 作直线MP 垂直于x 轴并交折线OCB 于P ，交对角线OB 于Q ，点M 和点N 同时出发，分別沿各自路线运动，点N 运动到原点O 时，M 和N 两点同时停止运动. （1）当2t =时，求线段PQ 的长； （2）当t 为何值时，点P 与N 重合；（3）设APN △的面积为S ，求S 与t 的函数关系式及t 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CDABC 6:D二、填空题7.71.6810⨯ 8.()()33x x x +- 9.1- 10.811.16 13.20 14.16三、解答题15.解：由①得：1x ≥-； 由②得：2x <；∴不等式组的解为：12x -≤<，所有整数解为：1-，0，1. 16.解：设A 型粽子x 千克，B 型粽子y 千克，由题意得：22028242560y x x y =-⎧⎨+=⎩解得：4060x y =⎧⎨=⎩，并符合题意.∴A 型粽子40千克，B 型粽子60千克. 17.答案：（1）50：216； （2）10人（见图）； （3）180； （4）图表略，25（或0.4或40%） 18.证：（1）连接OB ，则OB BC ⊥，90OBD DBC ∠+∠=，又AD 为直径，90DBP DBC CBP ∠=∠+∠=，∴OBD CBP ∠=∠又OD OB =，OBD ODB ∠=∠；∴ODB CBP ∠=∠，即ADB CBP ∠=∠ 解：（2）在Rt ADB ∆和Rt APO ∆中，DAB PAO ∠=∠，Rt ADB Rt APO ∆∆∽1AB =，2AO =，4AD =，AB ADAO AP=，8AP =,7BP = 19.解：（1）代入()3,4A 到解析式ky x=得12k =，()6,2B ；（2）()13,2D 或()23,6D 或()39,2D -.20.（1）证：∵ABCD Y ，∴AB CD DE ==，BF BC AD == 又ABC ADC ∠=∠，CBF CDE ∠=∠，∴ABF ADE ∠=∠ 在ABF ∆与EDA ∆中，AB DE =,ABF ADE ∠=∠，BF AD = ∴ABF EDA ∆∆≌（2）由（1）知EAD AFB ∠=∠，GBF AFB BAF ∠=∠+∠ 由ABCD Y 可得：//AD BC ，∴DAG CBG ∠=∠∴90FBC FBG CBG EAD FAB DAG EAF ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠= ∴BF BC ⊥21.解：（1）在Rt ABC ∆中，60AB =米，60ACB ∠=，∴tan 60ABAC ==.（2）过点D 作DF AB ⊥于点F ，则四边形AEDF 为矩形，∴AF DE =，DF AE =设CD x =米，在Rt CDE ∆中，12DE x =米，CE x =（米） 在Rt BDF ∆中，45BDF ∠=，∴1602BF DF AB AF x ==-=-（米）∵DF AE AC CE ==+，∴1602x x =-解得：120x =（米）（或解：作BD 的垂直平分线MN ，构造30直角三角形，由BC =解方程可得120CD =）答：（1）坡地C 处到大楼距离AC 为（2）斜坡CD 的长度()120米.22.（1）证明：令241x x kx -=+，则()2410x k x -+-=∴()2440k ∆=++>，所以直线l 与该抛物线总有两个交点（2）解：设A ，B ，P 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，直线l 与y 轴交点为()0,1C 由（1）知1242x x k +=+=，121x x =-()212448x x -=+=，12x x -=OAB ∆的面积1211122S OC x x=-=⨯⨯=（或解：解方程得1111x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2211x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或12111224S y y =⨯-=⨯=23.解：（1）根据表格可知：当110x ≤≤的整数时，20z x =-+； 当1112x ≤≤的整数时，10z =.∴z 与x 的关系式为：()()20,110,10,1112,x x x z x x -+≤≤⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩为整数为整数（注：()()20,19,10,1012,x x x z x x -+≤≤⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩为整数为整数照样给满分）（2）当18x ≤≤时，()()22041680w x x x x =-++=-++； 当910x ≤≤时，()()2202040400w x x x x =-+-+=-+；当1112x ≤≤时，()102010200w x x =-+=-+；∴w 与x 的关系式为：()()()22168018,40400910,102001112,x x x x w x x x x x x x ⎧-++≤≤⎪⎪=-+≤≤⎨⎪-+≤≤⎪⎩为整数为整数为整数（注：()()()22168018,404001219102001012,x x x x w x x x x x x ⎧-++≤≤⎪⎪=-+==⎨⎪-+≤≤⎪⎩为整数为整数一样给满分）（3）当18x ≤≤时，()2216808144w x x x =-++=--+，∴8x =时，w 有最大值为144.当910x ≤≤时，()224040020w x x x =-+=-，w 随x 增大而减小，∴9x =时，w 有最大值为121，当1112x ≤≤时，10200w x =-+，w 随x 增大而减小，∴11x =时，w 有最大值为90.∵90121144<<，∴8x =时，w 有最大值为144.（注：当18x ≤≤时，w 有最大值为144；当9x =时，121w =；当10x =时，100w =；当11x =时，90w =；当12x =时，80w =.照样给满分）24.解：（1）在菱形OABC 中，60AOC ∠=，30AOQ ∠=，当2t =时，2OM =，PM =，3QM =，3PQ =. （2）当4t ≤时，22AN PO OM t ===，4t =时，P 到达C 点，N 到达B 点，点P ，N 在边BC 上相遇.设t 秒时P ，N 重合，则()()4248t t -+-=，203t =. 即203t =秒时，P ，N 重合.（3）①当04t ≤≤时8PN OA ==，且//PN OA ，PM =，18342APN S t ∆==， ②当2043t <≤时，()834203PN t t =--=-， ()12032APN S t ∆=⨯-= ③当2083t <≤时，()348320PN t t =--=-， ()13202APN S t ∆=⨯-=-④当812t <≤时，242ON t =-，N 到OM 距离为，N 到CP 距离为()=-4CP t =-，12BP t =-， APN AON CPN APB S S S S S ∆∆∆∆=---菱形()()()1118412222t t =⨯⨯-----⨯22=-+-综上S 与t 的函数关系式为()()2,0420,4320838122t t s t t ⎧≤≤⎪⎛⎫⎪<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=-⎨⎛⎫-<≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪-+-<≤⎩ （注：在第-段定义域写为04t <≤，第二段函数的定义域写为2043t <<照样给满分）。
2018年黄冈中学自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题及参考答案
2018年黄冈中学预录数学模拟试卷时间120分钟满分120分一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分．每小题恰有一个正确的答案,请将正确答案的代号填入题中相应的括号内）1、已知实数a 、b 、c 满足2|a+3| +4－b=0，c 2+4b －4c －12 =0，则a+b+c 的值为（ ） A ．0 B ．3 C ．6 D ．92、若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形,用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（ ）A 、18B 、24C 、30D 、363、已知点A ),(11y x 、B ),(22y x 均在抛物线)30(422<<++=a ax ax y 上，若21x x <，a x x -=+121，则（ ）（A ）21y y > （B ）21y y < （C ）21y y = （D ）1y 与2y 的大小不能确定4、如图，在四边形ABCD 中，AB=AC ，∠ABD=60°，∠ADB=76°，∠BDC=28°，延长BD 至点E ，使得DE=DC ，连结AE ，则∠DBC 的度数为（ ）A ．18°B ．16°C ．15°D ．14° 5、若不等式a x x ≤-+-3312有解，则实数a 最小值是（ ）A 、1B 、2C 、4D 、66、有n 个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动，规定每人至少参加1 项比赛，至多参加2项比赛，但乙、丙两项比赛不能同时兼报，若在所有的报名方式中，必存在一种方式至少有20个人报名，则n 的最小值等于 （ ）(A ) 171 (B ) 172 (C ) 180 (D ) 1817、在△ABC 中，120A ∠=，6BC =．若△ABC 的内切圆半径为r ，则r 的最大值为（ ）.（A ） 4 （B （C ）4- （D ）6-8、若函数5y x =-+，令1x =，2，3，4，5，可得函数图象上的5个点，在这5个点中随机取两个点11(,)P x y ，22(,)Q x y ,则,P Q 两点在同一个反比例函数图象上的概率是（ ）.（A ）51 （B ）25 （C ）35 （D ）45二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分．请将正确答案填在各小题后的横线上） 9、已知点A （0，2）、B （4，0），点C 、D 分别在直线1=x 与2=x 上，且CD x //轴，则AC+CD+DB 的最小值为 .10、已知实数a 、b 、c 满足2|210|)6)(2005(2=-+-++++b b a c b a ， 则代数式ab+bc 的值为__________。
2018年黄冈中学自主招生模拟试题二及答案
一．选择题（共27小题）1．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（ ）A． B．C．D．2．如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（ ）A．﹣2＜a＜2 B．C．D．3．已知a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则a3+8β+6的值为（ ）A．﹣1B．2 C．22 D．304．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（ ）A．B．C．D．（1+）25．设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．06．若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b7．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2﹣4ac=（2ax0+b）2，其中正确的（ ）A．只有①②③B．只有①②④C．①②③④D．只有③④8．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，则a+b﹣2c的值为（ ）A．﹣13B．﹣9C．6 D．09．若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（ ）A．0≤m≤1 B．m≥C．＜m≤1 D．≤m≤110．关于x的方程2x2+mx﹣n=0的二根是﹣1和3，则2x2+mx﹣n因式分解的结果是（ ）A．（x+1）（x﹣3） B．2（x+1）（x﹣3）C．（x﹣1）（x+3） D．2（x﹣1）（x+3）11．关于x的方程|x2﹣x|﹣a=0，给出下列四个结论：①存在实数a，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数a，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数a，使得方程恰有4个不同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个不同的实根；其中正确的结论个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．412．已知一直角三角形的三边长为a，b，c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2﹣1）﹣2x+b（x2+1）=0的根的情况为（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定13．已知x2﹣ax+3﹣b=0有两个不相等的实数根，x2+（6﹣a）x+6﹣b=0有两相等的实数根，x2+（4﹣a）x+5﹣b=0无实数根，则a、b的取值范围是（ ）A．2＜a＜4；2＜b＜5 B．1＜a＜4；2＜b＜5 C．1＜a＜4；1＜b＜5 D．2＜a＜4；1＜b＜5 14．方程|x2﹣6x+8|=1实根的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．已知函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y=cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（ ）A．B．C．D．17．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ）A．h＜1 B．h=1 C．1＜h＜2 D．h＞218．若关于x的不等式组有解，则函数y=（a﹣3）x2﹣x﹣图象与x轴的交点个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．1或219．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，Q（n，2）是图象上的一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（ ）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣220．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，记p=|a﹣b+c|+|2a+b|，q=|a+b+c|+|2a﹣b|，则p与q的大小关系为（ ）A．p＞q B．P=qC．p＜q D．p、q大小关系不能确定21．如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）A．△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与△ADB重合B．△ACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与△DAC重合C．沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合D．沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合22．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A．B．C．D．23．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S124．在平面直角坐标系中，设点A（0，4）、B（3，8）．若点P（x，0），使得∠APB最大，则x=（ ）A．2R B．R C．R D．R26．如图，△ABC的内切圆⊙O与各边相切于D，E，F，则点O是△ABC的（ ）A．三条中线交点B．三条高线交点C．三条角平分线交点D．三边中垂线交点27．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC=（ ）A．145° B．135° C．120° D．105°二．解答题（共6小题）28．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a 、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．30．已知：如图，A是半径为2的⊙O上的一点，P是OA延长线上的一动点，过P作⊙O的切线，切点为B，设PA=m，PB=n．（1）当n=4时，求m的值；（2）⊙O上是否存在点C，使△PBC为等边三角形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由；（3）当m为何值时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形？并直接答出：此时⊙O 上能与PB构成等腰三角形的点共有几个？一．选择题（共27小题）1．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（ ）A． B．C．D．【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y=ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x=1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则△＞0，∴（a+2）2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2=﹣，x1x2=9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x=1时，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜﹣（不符合题意，舍去），当a＜0时，x=1时，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，故选D．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1x2=．2．如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（ ）A．﹣2＜a＜2 B．C．D．【分析】根据方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即△≥0，关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根⇔（1）当方程有两个相等的正根，（2）当方程有两个不相等的根，①若若a=2，此时方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合条件，若a=﹣2，此时方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去，（2）当方程有两个根时，△＞0可得﹣2＜a＜2，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤，而a=﹣时不合题意，舍去．所以﹣＜a≤符合条件，②若方程有两个正根，则，解可得a＞，综上可得，﹣＜a≤2．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程根的应用，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．3．已知a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则a3+8β+6的值为（ ）A．﹣1B．2 C．22 D．30【分析】根据求根公式x=求的α、β的值，然后将其代入所求，并求值．【解答】解：方程x2﹣2x﹣4=0解是x=，即x=1±，∵a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴①当α=1+，β=1﹣时，a3+8β+6，3a3+8β+6，=（1﹣）3+8（1+）+6，=16﹣8+8+8+6，=30．故选D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．解答本题时，采用了“公式法”．4．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（ ）A．B．C．D．（1+）2【分析】从图中可以看出，正方形的边长=a+b，所以面积=（a+b）2，矩形的长和宽分别是a+2b，b，面积=b（a+2b），两图形面积相等，列出方程得=（a+b）2=b（a+2b），其中a=1，求b的值，即可求得正方形的面积．【解答】解：根据图形和题意可得：（a+b）2=b（a+2b），其中a=1，则方程是（1+b）2=b（1+2b）解得：b=，所以正方形的面积为（1+）2=．故选A．5．设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．0【分析】利用根与系数的关系把α，β之间的关系找出来，利用α，β之间的关系，解关于p，q的方程，然后再代入原方程检验即可．【解答】解：根据题意得，α+β=p①，αβ=q②；α2+β2=p③，α2β2=q④．由②④可得α2β2﹣αβ=0，解之得αβ=1或0由①③可得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=p2﹣2q=p，即p2﹣p﹣2q=0，当q=0时，p2﹣p=0，解之得，p=0或p=1，即，，把它们代入原方程的△中可知符合题意．当q=1时，p2﹣p﹣2=0，解之得，p=﹣1或2，即，，把它们代入原方程的△中可知不合题意舍去，所以数对（p，q）的个数是3对．6．若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b【分析】方程可以化简为x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，根据求根公式即可求得方程的两个根，再根据m＜n，a ＜b，即可判断．【解答】解：方程可以化简为x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，根据求根公式得到：x=，又因m=＜a，n=＞b，∵a=，b=∵a＜b，∴a＜＜b，又∵＜＜＜＜，∴m＜a＜b＜n．故本题选A．【点评】根据求根公式求出m，n的值，正确比较m，a的大小是解决本题的关键．7．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若b=2，则方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；A．只有①②③B．只有①②④C．①②③④D．只有③④【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示x0．【解答】解：①若b=2，方程两边平方得b2=4ac，即b2﹣4ac=0，所以方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则b2﹣4ac＞0方程x2﹣bx+ac=0中根的判别式也是b2﹣4ac=0，所以也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac2+bc+c=0成立，当c≠0时ac+b+1=0成立；当c=0时ac+b+1=0不成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可得x0=，把x0的值代入（2ax0+b）2，可得b2﹣4ac=（2ax0+b）2，综上所述其中正确的①②④．故选B【点评】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x0，整体代入求b2﹣4ac=（2ax0+b）2．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，则a+b﹣2c的值为（ ）A．﹣13B．﹣9C．6 D．0这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．【解答】解：设m是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根，则m2﹣3m﹣1=0，所以m2=3m+1．由题意，m也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，所以m4+am2+bm+c=0，把m2=3m+1代入此式，得（3m+1）2+am2+bm+c=0，整理得（9+a）m2+（6+b）m+c+1=0．从而可知：方程x2﹣3x﹣1=0的两根也是方程（9+a）x2+（6+b）x+c+1=0的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有（9+a）x2+（6+b）x+c+1=k（x2﹣3x﹣1）（其中k为常数），所以b=﹣3a﹣33，c=﹣a﹣10．因此，a+b﹣2c=a+（﹣3a﹣33）﹣2（﹣a﹣10）=﹣13．故选A．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转化法”，即将所求转化为求（9+a）x2+（6+b）x+c+1=k（x2﹣3x﹣1）（其中k为常数）的相应的系数间的关系．9．若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（ ）A．0≤m≤1 B．m≥C．＜m≤1 D．≤m≤1【分析】方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程x2﹣2x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x2﹣2x+m=0的两个根设是x2和x3，一定是两个正数，且一定有|x2﹣x3|＜1＜x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．【解答】解：方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的有三根，∴x1=1，x2﹣2x+m=0有根，方程x2﹣2x+m=0的△=4﹣4m≥0，得m≤1．又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．∴＜m≤1．故选C．【点评】本题利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．10．关于x的方程2x2+mx﹣n=0的二根是﹣1和3，则2x2+mx﹣n因式分解的结果是（ ）A．（x+1）（x﹣3） B．2（x+1）（x﹣3）C．（x﹣1）（x+3） D．2（x﹣1）（x+3）【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出m，n的值，再代入2x2+mx﹣n，分解因式即可．【解答】解：∵关于x的方程2x2+mx﹣n=0的二根是﹣1和3，∴﹣1+3=﹣，﹣1×3=﹣，∴m=﹣4，n=6．∴2x2﹣4x﹣6=2（x2﹣2x﹣3）=2（x+1）（x﹣3）．故选B．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及多项式的因式分解．此外，本题还可以利用因式分解与整式乘法的关系，直接得出结果．11．关于x的方程|x2﹣x|﹣a=0，给出下列四个结论：①存在实数a，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数a，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数a，使得方程恰有4个不同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个不同的实根；其中正确的结论个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先由：|x2﹣x|﹣a=0，可得a≥0，然后分析若x2﹣x＞0时，由判别式可知此时方程有两个不相等的实数根，又由x2﹣x＜0时，分析当△=﹣4a+1＞0时，有两个不相等的实数根，当△=﹣4a+1=0时，有∴a≥0，当a=0时，x2﹣x=0，方程有两个实数根，若x2﹣x＞0，则x2﹣x﹣a=0，∴△=（﹣1）2+4a=4a+1＞0，此时方程有两个不相等的实数根．若x2﹣x＜0，则﹣x2+x﹣a=0，即则x2﹣x+a=0，∴△=（﹣1）2﹣4a=﹣4a+1，当﹣4a+1＞0时，0≤a＜，此时方程有两个不相等的实数根，当﹣4a+1=0时，a=，此时方程有两个相等的实数根，当﹣4a+1＜0时，a＞，此时方程没有的实数根；∴当0＜a＜时，使得方程恰有4个不同的实根，故③正确；当a=时，使得方程恰有3个不同的实根，故②正确；当a=0或a＞时，使得方程恰有2个不同的实根，故①正确．∴正确的结论是①②③．故选C．根的情况为（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】在直角三角形中有：a2+c2=b2，再根据方程的△来判断根的情况．【解答】解：由题意得：a2+c2=b2，化简方程为：（a+b）x2﹣2x﹣a+b=0，∴△=4﹣4（b+a）（b﹣a）=4﹣4（b2﹣a2）=4﹣4c2，不知c的取值，所以无法确定方程的根的情况．故选D．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．13．已知x2﹣ax+3﹣b=0有两个不相等的实数根，x2+（6﹣a）x+6﹣b=0有两相等的实数根，x2+（4﹣a）x+5﹣b=0无实数根，则a、b的取值范围是（ ）A．2＜a＜4；2＜b＜5 B．1＜a＜4；2＜b＜5 C．1＜a＜4；1＜b＜5 D．2＜a＜4；1＜b＜5【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a，b的不等式，解这些不等式就求出a，b的取值范围．【解答】解：对于方程x2﹣ax+3﹣b=0有两个不相等的实数根，则△=a2﹣4（3﹣b）=a2+4b﹣12＞0即a2+4b﹣12＞0 ①对于方程x+（4﹣a）x+5﹣b=0无实数根，则△=（4﹣a）2﹣4（5﹣b）=a2﹣8a+4b﹣4＜0，a2﹣8a+4b﹣4＜0 ③②代入①得a＞2，b＞2，②代入③得a＜4，b＜5，∴2＜a＜4，2＜b＜5．故选A【点评】总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．方程|x2﹣6x+8|=1实根的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】方程|x2﹣6x+8|=1可化为两个方程，然后分别化简这两个方程，求出每个△的值，再来判断实根的个数．【解答】解：方程|x2﹣6x+8|=1可化为两个方程，分别为x2﹣6x+8=1 (1)x2﹣6x+8=﹣1 (2)（1）化简为x2﹣6x+7=0△=（﹣6）2﹣4×7=8＞0即（1）有两个不相等的实数根．（2）化简为x2﹣6x+9=0△=（﹣6）2﹣4×9=0【点评】此题不仅要根据根的判别式来判断根的个数，还要考虑含有绝对值的方程的化简问题．15．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x=＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，当x=1时，a+b+c=2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选D．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等．16．已知函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y=cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（ ）A．B．C．D．【分析】当y＞0时，，所以可判断a＜0，可知﹣=﹣+=﹣，=﹣×=﹣，所以可知a=6b ，a=﹣6c，则b=﹣c，不妨设c=1进而得出解析式，找出符合要求的答案．【解答】解：因为函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，所以可判断a＜0，可知﹣=﹣+=﹣，=﹣×=﹣所以可知a=6b，a=﹣6c，则b=﹣c，不妨设c=1则函数y=cx2﹣bx+a为函数y=x2+x﹣6即y=（x﹣2）（x+3）则可判断与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣3，0），故选A．17．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ）A．h＜1 B．h=1 C．1＜h＜2 D．h＞2【分析】由抛物线表达式和三角形性质求出A、B、C各点坐标，就可以求出h或h的范围．【解答】解：由题A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴，知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，可设A（﹣，b），B（，b），C（a，a2），D（0，b）则因斜边上的高为h，故：h=b﹣a2，∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，∴得CD=∴=方程两边平方得：（b﹣a2）=（a2﹣b）2即h=（﹣h）2因h＞0，得h=1，是个定值．故选B．【点评】此题考查观察图形的能力，要找到各点坐标之间的关系，巧妙地代换未知量．据根的判别式的正负即可得到图象与x轴的交点个数．【解答】解：∵关于x的不等式组有解，∴3a﹣2＞a+2，即a＞2，令y=0，（a﹣3）x2﹣x﹣=0，△=（﹣1）2﹣4×（a﹣3）×（﹣）=a﹣2，∵a＞2，∴a﹣2＞0，∴函数图象与x轴的交点个数为2．当a=3时，函数变为一次函数，故有一个交点，故选D．【点评】解答此题要熟知以下概念：（1）解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解与二次函数y=ax2+bx+c的关系．19．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，Q（n，2）是图象上的一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（ ）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣2【分析】化简得：n2﹣n（x1+x2）+4+x1x2=0．有n2+n+4+=0，∴an2+bn+c=﹣4a．∵（n，2）是图象上的一点，∴an2+bn+c=2，∴﹣4a=2，∴a=﹣．故选B．【点评】此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是注意数形结合思想．20．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，记p=|a﹣b+c|+|2a+b|，q=|a+b+c|+|2a﹣b|，则p与q的大小关系为（ ）A．p＞q B．P=q C．p＜q D．p、q大小关系不能确定【分析】先由图象开口向下判断出a＜0，由对称轴在y轴右侧得出b＞0，所以2a﹣b＜0，当x=﹣1时图象在x轴下方，得出y＜0，即a﹣b+c＜0．当x=1时图象在x轴上方，得出y＞0，即a+b+c＞0，由对称轴公式﹣＞1，得出2a+b＜0．然后把p，q化简利用作差法比较大小．【解答】解：当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0；当x=0时，y=c=0，∴2a+b＞0；∵a＜0，b＞0，∴2a﹣b＜0；∴p=|a﹣b+c|+|2a+b|=﹣a+b﹣c+2a+b=a+2b﹣c，q=|a+b+c|+|2a﹣b|=a+b+c﹣2a+b=﹣a+2b+c，∵p﹣q=a+2b﹣c+a﹣2b﹣c=2（a﹣c）＜0∴p＜q．故选C．【点评】主要考查了利用图象求出a，b，c的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子，21．如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）A．△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与△ADB重合B．△ACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与△DAC重合C．沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合D．沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合【分析】本题通过观察全等三角形，找旋转中心，旋转角，逐一判断．【解答】解：A、根据题意可知AE=AB，AC=AD，∠EAC=∠BAD=135°，△EAC≌△BAD，旋转角∠EAB=90°；D、根据题意可知∠BAD=135°，∠EAD=360°﹣∠BAD﹣∠BAE=135°，AE=AB，AD=AD，△EAD≌△BAD，正确．故选B．【点评】此题主要考查平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．22．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A．B．C．D．【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S=，又∵r=，∴a+b=2r+c，将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选B．【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S1【分析】设出半径，作出△COB底边BC上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解．【解答】解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA=60°，∴∠COB=120°，则∠COD=60°．∴S扇形AOC=；S扇形BOC=．在三角形OCD中，∠OCD=30°，∴OD=，CD=，BC=R，∴S△OBC=，S弓形==，＞＞，∴S2＜S1＜S3．故选B．【点评】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的面积，首先利用扇形公式计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形﹣三角形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们A．3 B．0 C．4 D．【分析】当以AB为弦的圆C与x轴相切时，∠APB最大．设点C（x，y），根据切线的性质及同圆的半径相等，列出方程组即可求解．【解答】解：如图，以AB为弦作圆C与x轴相切，切点为P．在x轴上选取一个异于点P的任一点，例如P'点，连接AP、BP、AP′、BP′，则必有∠1=∠2＞∠3．故此时∠APB最大．连接CP，则CP⊥x轴，所以C点横坐标与P点横坐标相等．设点C（x，y）．∵CP=CA=CB，∴y2=x2+（y﹣4）2=（x﹣3）2+（y﹣8）2，由y2=x2+（y﹣4）2，得8y=x2+16 ①，由y2=（x﹣3）2+（y﹣8）2，得x2﹣6x+73﹣16y=0②，①代入②，整理得x2+6x﹣41=0，解得x1=5﹣3，x2=﹣5﹣3（不合题意舍去）．故选D．【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质及两点间的距离公式，有一定难度．作出符合要求的圆C是解题的关键．25．如图，已知⊙O的半径是R．C，D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为96°，弧BD的度A．2R B．R C．R D．R【分析】首先要确定点P的位置，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D，交圆于点P，则点P即为所求作的点．且此时PC+PD的最小值为C′D．【解答】解：连接DC′，根据题意以及垂径定理，得弧C′D的度数是120°，则∠C′OD=120°．作OE⊥C′D于E，则∠DOE=60°，则DE=R，C′D=R．故选B．【点评】此类题只要是能够正确确定点P的位置．此题综合运用了垂径定理、勾股定理进行计算．26．如图，△ABC的内切圆⊙O与各边相切于D，E，F，则点O是△ABC的（ ）A．三条中线交点B．三条高线交点C．三条角平分线交点D．三边中垂线交点【分析】因为O为圆心，所以OE=OF=OD，故点O是△DEF的三边中垂线交点，还是△ABC的三条角平∴点O是△DEF的三边中垂线交点，则又是△ABC的三条角平分线的交点．故选C．【点评】此题考查了三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，外接圆的圆心是三边中垂线交点． 27．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC=（ ）A．145° B．135° C．120° D．105°【分析】已知P为△ABD的内心，则P点必在∠BAC的角平分线上，由于AB=AC，根据等腰三角形的性质可知：P点必在BC的垂直平分线上，即BP=PC，△BPC也是等腰三角形，欲求∠BPC，必先求出∠PBC 的度数．等腰△ABC中，已知了顶角∠A的度数，可求得∠ABC、∠ACB的度数；由于CB=CD，∠ACB是△ABC的外角，由此可求出∠D和∠CBD的度数；由于P是△ABD的内心，则PB平分∠ABD，由此可求得∠PBD 的度数，根据∠PBC=∠PBD﹣∠CBD可求出∠PBC的度数，由此得解．【解答】解：△ABC中，AB=AC，∠A=40°；∴∠ABC=∠ACB=70°；∵P是△ABD的内心，∴P点必在等腰△ABC底边BC的垂直平分线上，∴PB=PC，∠BPC=180°﹣2∠PBC；在△CBD中，CB=CD，∴∠CBD=∠D=∠ACB=35°；∴∠PBC=∠PBD﹣∠CBD=52.5°﹣35°=17.5°；∴∠BPC=180°﹣2∠PBC=145°．故选A．【点评】此题比较复杂，考查了三角形的内心及等腰三角形的性质，解答此题要熟知以下概念：三角形的内心：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心．二．解答题（共6小题）28．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a 、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC=．②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S △ABC=×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．29．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．（1）求直线AC的解析式；（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；【分析】（1）直线AC经过点A，C，根据抛物线的解析式面积可求得两点坐标，利用待定系数法就可x=0时，y=2，y=0时，x=±2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），设直线AC的解析式是y=kx+b，代入得：，解得：k=1，b=2，即直线AC的解析式是y=x+2；（2）当0≤t＜2时，OP=（2﹣t），QC=t，∴△PQC的面积为：S=（2﹣t）t=﹣t2+t，当2＜t≤4时，OP=（t﹣2），QC=t，∴△PQC的面积为：S=（t﹣2）t=t2﹣t，∴；（3）当AC或BC为等腰三角形的腰时，AC=MC=BC时，M点坐标为（0，2﹣2）和（0，2+2）当AC=AM=BC 时，M为（0，﹣2）【点评】本题属于一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质，需注意分类讨论，全面考虑点M所在位置的各种情况．30．已知：如图，A是半径为2的⊙O上的一点，P是OA延长线上的一动点，过P作⊙O的切线，切点为B，设PA=m，PB=n．（1）当n=4时，求m的值；（2）⊙O上是否存在点C，使△PBC为等边三角形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由；（3）当m为何值时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形？并直接答出：此时⊙O 上能与PB构成等腰三角形的点共有几个？【分析】（1）此题可有两种解法：①连接OB，利用勾股定理求解，②延长PO交⊙O于另外一点，利（3）若存在等腰△PBM，且以PB为底，那么M点必在线段PB的垂直平分线上，而⊙O上存在唯一点M ，那么线段PB的中垂线与⊙O相切，且切点为M．连接OM，易证得四边形OBDM是正方形，则BP=2BD=2OB=4，即n=4，在Rt△OBP中，利用勾股定理即可求得OP的长，进而可得到AP即m的值．在上面已经求得PB=4，若M能与PB构成等腰三角形（PB不一定是底边），可有两种情况考虑：①BM=PB=4，由于⊙O的半径为2，那么过B作⊙O的直径BM，此时M点就符合题意；②PB=PM=4，此种情况与（2）题相同，此时M、C重合，即PM与⊙O相切，且切点为M．由于BM=PM在上面已经讨论过，所以能与PB构成等腰三角形的共有3点．【解答】解：（1）解法一：连接OB．∵PB切⊙O于B，∴∠OBP=90°，∴PO2=PB2+OB2，∵PO=2+m，PB=n，OB=2，∴（2+m）2=n2+22m2+4m=n2；n=4时，解得：（舍去），．∴m的值为．解法二：延长PO交⊙O于Q，PAQ为⊙O割线．又∵PB切⊙O于B，∴PB2=PA•PQ，∵，PA=m，PO=m+4，∴m的值为．（2）存在点C，使△PBC为等边三角形；当∠OPB=30°时，过点P作⊙O的另一条切线PC，C为切点，∴PB=PC，∠OPB=∠OPC，∴∠BPC=60°，∴△PBC为等边三角形；连接OB，∠OBP=90°，OB=2，得OP=4，∴m=PA=OP﹣OA=2．（3）如图，设EF为线段PB的垂直平分线，垂足为D，当EF与⊙O相切于点M时，M符合要求；连接OB、OM，∵OB∥DM，OB=BD=OM=DM，∠OBD=90°，∴四边形OMDB为正方形，∴BD=DM=OM=2，∴n=PB=4．由（1）得n=4时，m=，∴当m=时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形，【点评】此题考查了勾股定理、切割线定理、切线长定理、等腰三角形和等边三角形的判定、切线的性质等重要知识点，综合性强，难度较大．。
2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)
2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)2018年___自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.√16的平方根是()A.4B.±4C.22.若√(1−x)2=x−1成立，则x满足()A.x≥1B.x≥C.x≤1D.±23.已知x=√5−1，则x2+2x的值是()A.2B.3C.4D.54.如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，d与水平线垂直，取向右为正方向；直线c、以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数x=xx2+2xx+2(x≠0)的图象如图，则下面结论正确的是()A.a为x轴，c为y轴B.a为x轴，d为y轴C.b为x轴，c 为y轴D.b为x轴，d为y轴5.如图，已知AB为圆的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，xx⊥xx，垂足为H，HM平分∠xxx，HM交AB于x.若xx=3，xx=1，则MH长为()A.1B.1.5C.0.5D.0.76.如图，△xxx中，∠x=90°，D是BC边上一点，∠xxx=3∠xxx，xx=8，xx=7.则AB的值为()A.15B.20C.2√2+7D.2√2+√7二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）7.已知实数x、y满足x+2x=5，则x−x=3.8.分解因式：x2+4xx+4x2+x+2x−2=(x+2x+1)2−3.9.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(x,3)，(3x−1,3)，若线段AB与直线x=2x+1相交，则m的取值范围为(0,1)。
10.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是9cm。
11.如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D、N处，B在同一直线上，分别落在M、F与BE交于点G.设AB=√3，那么△xxx的周长为4+4√3.12.如图，已知点x1，x2，…，xx均在直线x=x−1上，点x1，x2，…，xx均在双曲线x=−x上，x1x1⊥x并且满足：x1x2⊥x轴，x2x2⊥x轴，…，xx−1xx⊥x轴，xxxx⊥x轴，且x1x2=x2x3=…=xx−1xx，则n的最小值为2.1.由题意可知，点B在x轴负半轴，点A在x轴正半轴，且AB垂直于x轴，因此AB的斜率为0，即AB为x轴，所以B的纵坐标为0.又因为B在x轴负半轴，所以其横坐标为负数，设为-a。
【提前招生】黄冈中学2018年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题附答案
4．二次函数y =ax +bx +c （a ≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x =2，下列结论：①4a +b =0；②9a +c ＞3b ；③8a +7b +2c ＞0；④当x ＞﹣1时，y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（第4题图）（第5题图） （第6题图）5.如图，正方形ABCD 中，AB=6，点E 在边CD 上，且CD=3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．则下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG=CG ；③AG ∥CF ；④S △EGC =S △AFE ；⑤∠AGB+∠AED=145°．其中正确的个数是（ ）A ． 2B ．3C ．4D ．56.如图，点P （﹣1，1）在双曲线上，过点P 的直线l 1与坐标轴分别交于A 、B 两点，且 tan ∠BAO=1．点M 是该双曲线在第四象限上的一点，过点M 的直线l 2与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C 、点D ．则四边形ABCD 的面积最小值为（ ） A ．10 B ． 8 C ． 6 D ． 不确定二、填空题（每小题5分，共30分）7.已知抛物线y=x 2﹣x ﹣1与x 轴的一个交点为（m ，0），则代数式m 2﹣m+2016的值为 _____________.8. 如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是 cm9.甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是 分．11.在△ABC 中，∠A=30°，∠C=90°，以C 为圆心，CB 为半径作圆交AB 于M ，交AC 边于N ，CM 与BN 交于点P ，若AN=1，则S △CPN -S △BPM = .12.设有n 个数n x ,,x ,x 21,它们每个数的值只能取0，1，-2三个数中的一个，且55251215n n x x x ,x x x +++-=+++ 的值是 .三、解答题（共60分）13.（10分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，弦ED ⊥AB 于点F ，交BC 于点G ，过点C 的直线与ED 的延长线交于点P ，PC=PG ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）当点C 在劣弧AD 上运动时，其他条件不变，若BG 2=BF •BO ．求证：点G 是BC 的中点；（3）在满足（2）的条件下，AB=10，ED=4，求BG 的长．第14题图QH G F E D C B A14.(10分)正数m,n 满足34424=+--+n n m mn m ，求20172232++-+n m n m 的值.15.(10分)已知012=--a a ，且1129322322324-=-++-a xa a xa a ，求x 的值.16（15分）.某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A 、B 两类，A 类杨梅包装后直接销售；B 类杨梅深加工后再销售．A 类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y （单位：万元/吨）与销售数量x （x ≥2）之间的函数关系如图；B 类杨梅深加工总费用s （单位：万元）与加工数量t （单位：吨）之间的函数关系是s =12+3t ，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A 类杨梅有x 吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w 万元（毛利润=销售总收入﹣经营总成本）． ①求w 关于x 的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A 类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．17.（15分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．（1）求点N落在BD上时t的值；（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．黄冈中学2018年自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题参 考 答 案一、选择题（每小题5分，共30分）1．D 2．D 3．B 4．B 5．C 6．B 二、填空题（每小题5分，共30分）7． 2017 8. 12 9. 336 10. 6 11. 8112. -125三、解答题（共60分） 13. 解（1）证明：连OC ，如图，∵ED ⊥AB ，∴∠FBG+∠FGB=90°， 又∵PC=PG ，∴∠1=∠2，而∠2=∠FGB ，∠4=∠FBG ，∴∠1+∠4=90°，即OC ⊥PC ， ∴PC 是⊙O 的切线；（2）证明：连OG ，如图，∵BG 2=BF •BO ，即BG ：BO=BF ：BG ， 而∠FBG=∠GBO ，∴△BGO ∽△BFG ， ∴∠OGB=∠BFG=90°，即OG ⊥BG ， ∴BG=CG ，即点G 是BC 的中点；（3）解：连OE ，如图，∵ED ⊥AB ，∴FE=FD ， 而AB=10，ED=4，∴EF=2，OE=5， 在Rt △OEF 中，OF===1，∴BF=5﹣1=4，∵BG 2=BF •BO ，∴BG 2=BF •BO=4×5，∴BG=2．14.解：由34424=+--+n n m mn m 变形得01232=++-+)n m )(n m (∵012≠++n m ∴32=+n m ，∴10112017323320172232-=+-=++-+n m n m15.解：由012=--a a 得，11=-a a ，∴3122=+aa 又由已知得，112932131222-=+--+x )aa (x )a a (，即1129321332-=+-⨯x x ，解得1051x16. 解：（1）①当2≤x ＜8时，如图，设直线AB 解析式为：y =kx +b ，将A （2，12）、B （8，6）代入得：，解得，∴y =﹣x +14；②当x ≥8时，y =6．∴A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式为：y =．（2）设销售A 类杨梅x 吨，则销售B 类杨梅（20﹣x ）吨． ①当2≤x ＜8时，wA =x （﹣x +14）﹣x =﹣x 2+13x ； wB =9（20﹣x ）﹣[12+3（20﹣x ）]=108﹣6x ∴w =wA +wB ﹣3×20=（﹣x 2+13x ）+（108﹣6x ）﹣60 =﹣x 2+7x +48；当x ≥8时，wA =6x ﹣x =5x ；wB =9（20﹣x ）﹣[12+3（20﹣x ）]=108﹣6x ∴w =wA +wB ﹣3×20=（5x ）+（108﹣6x ）﹣60=﹣x +48． ∴w 关于x 的函数关系式为：w =．②当2≤x ＜8时，﹣x 2+7x +48=30，解得x 1=9，x 2=﹣2，均不合题意； 当x ≥8时，﹣x +48=30，解得x =18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A 类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m 吨杨梅，其中A 类杨梅为x 吨，B 类杨梅为（m ﹣x ）吨，则购买费用为3m 万元，A 类杨梅加工成本为x 万元，B 类杨梅加工成本为[12+3（m ﹣x ）]万元，∴3m +x +[12+3（m ﹣x ）]=132，化简得：x =3m ﹣60． ①当2≤x ＜8时，wA =x （﹣x +14）﹣x =﹣x 2+13x ； wB =9（m ﹣x ）﹣[12+3（m ﹣x ）]=6m ﹣6x ﹣12 ∴w =wA +wB ﹣3×m =（﹣x 2+13x ）+（6m ﹣6x ﹣12）﹣3m =﹣x 2+7x +3m ﹣12． 将3m =x +60代入得：w =﹣x 2+8x +48=﹣（x ﹣4）2+64 ∴当x =4时，有最大毛利润64万元，此时m =，m ﹣x =；②当x ＞8时，wA =6x ﹣x =5x ；wB =9（m ﹣x ）﹣[12+3（m ﹣x ）]=6m ﹣6x ﹣12 ∴w =wA +wB ﹣3×m =（5x ）+（6m ﹣6x ﹣12）﹣3m =﹣x +3m ﹣12． 将3m =x +60代入得：w =48 ∴当x ＞8时，有最大毛利润48万元． 综上所述，购买杨梅共吨，其中A 类杨梅4吨，B 类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．17. 解：（1）当点N落在BD上时，如图1．∵四边形PQMN是正方形，∴PN∥QM，PN=PQ=t．∴△DPN∽△DQ B．∴．∵PN=PQ=P A=t，DP=3﹣t，QB=AB=4，∴．∴t=．∴当t=时，点N落在BD上．（2）①如图2，则有QM=QP=t，MB=4﹣t．∵四边形PQMN是正方形，∴MN∥DQ．∵点O是DB的中点，∴QM=BM．∴t=4﹣t．∴t=2．②如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．∵AB=4，AD=3，∴DB=5．∵点O是DB的中点，∴DO=．∴1×t=AD+DO=3+．∴t=．∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2＜t＜．（3）①当0＜t≤时，如图4．S=S正方形PQMN=PQ2=P A2=t2．②当＜t≤3时，如图5，∵tan∠ADB==，∴=．∴PG=4﹣t．∴GN=PN﹣PG=t﹣（4﹣t）=﹣4．∵tan∠NFG=tan∠ADB=，∴．∴NF=GN=（﹣4）=t﹣3．∴S=S正方形PQMN﹣S△GNF=t2﹣×（﹣4）×（t﹣3）=﹣t2+7t﹣6．③当3＜t≤时，如图6，∵四边形PQMN是正方形，四边形ABCD是矩形．∴∠PQM=∠DAB=90°．∴PQ∥A D．∴△BQP∽△BA D．∴==．∵BP=8﹣t，BD=5，BA=4，AD=3，∴．∴BQ=，PQ=．∴QM=PQ=．∴BM=BQ﹣QM=．∵tan∠ABD=，∴FM=BM=．∴S=S梯形PQMF=（PQ+FM）•QM=[+]•=（8﹣t）2 =t2﹣t+．综上所述：当0＜t ≤时，S =t 2．当＜t ≤3时，S =﹣t 2+7t ﹣6． 当3＜t ≤时，S =t 2﹣t +．（4）设直线DN 与BC 交于点E ， ∵直线DN 平分△BCD 面积， ∴BE =CE =． ①点P 在AD 上，过点E 作EH ∥PN 交AD 于点H ，如图7，则有△DPN ∽△DHE ． ∴． ∵PN =P A =t ，DP =3﹣t ，DH =CE =，EH =AB =4，∴．解得；t =．②点P 在DO 上，连接OE ，如图8，则有OE =2，OE ∥DC ∥AB ∥PN ． ∴△DPN ∽△DOE ． ∴．∵DP =t ﹣3，DO =，OE =2， ∴PN =（t ﹣3）．∵PQ =（8﹣t ），PN =PQ ， ∴（t ﹣3）=（8﹣t ）．解得：t =．③点P 在OC 上，设DE 与OC 交于点S ，连接OE ，交PQ 于点R ，如图9， 则有OE =2，OE ∥D C ．∴△DSC ∽△ESO ． ∴．∴SC =2SO ．∵OC =， ∴SO ==．∵PN ∥AB ∥DC ∥OE ， ∴△SPN ∽△SOE ． ∴．∵SP =3++﹣t =，SO =，OE =2， ∴PN =．∵PR ∥MN ∥BC ， ∴△ORP ∽△OE C ． ∴． ∵OP =t ﹣，OC =，EC =， ∴PR =．∵QR =BE =， ∴PQ =PR +QR =． ∵PN =PQ ， ∴=．解得：t =．综上所述：当直线DN 平分△BCD 面积时，t 的值为、、．。
黄冈市2018年数学初中毕业生学业水平和高中阶段学校招生考试
1
3
2 x-1＜3 - 2 x
16.（本题满分 6 分）在端午节来临之际，某商店订购了 A 型和 B 型两种粽子。A 型粽子 28 元/千克， B 型粽子 24 元/千克。若 B 型粽子的数量比 A 型粽子的 2 倍少 20 千克，购进两种粽子共用了 2560 元，求两种型号粽子各多少千克。
17.（本题满分 8 分）央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注。我市某校就“中华文化我传 承——地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚 不完整的统计图。请你根据统计图所提供的信息解答下列问题： 图中 A 表示“很喜欢”，B 表示“喜欢”，C 表示“一般”，D 表示“不喜欢”。 （1）被调查的总人数是_____________人，扇形统计图中 C 部分所对应的扇形圆心角的度数为 _______.
A. 3a3·2a2=6a6
B. (-2a)2= -4a2
C. tan45°=
2 2
D. cos30°=
3 2
【考点】同底数幂的乘法与除法、幂的乘方，以及特殊角的三角函数值。
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则以及特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：A. 根据同底数幂的乘法，3a3·2a2=6a5，故本选项错误； B. 根据幂的乘方，(-2a)2= 4a2，故本选项错误 C．根据特殊角的三角函数值，tan45°=1，故本选项错误；
8
黄冈市 2018 年初中毕业生学业水平和高中阶段学校招生考试
数学试题
（考试时间 120 分钟 满分 120 分）
第Ⅰ卷（选择题 共 18 分）
一、选择题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。每小题给出 4 个选项中，有且只 有一个答案是正确的）
2018年湖北省黄冈市省级示范高中自主招生数学试卷(含答案解析)
2018年湖北省黄冈市省级示范高中自主招生数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.||−13|−1|=()A. 13B. 23C. −13D. −232.为遏制中国的经济发展，3月22日美国总统特朗普签署了对中国部分产品征收高额关税的总统备忘录，发动了对华贸易战，中国方面当即回应“奉陪到底”，采取了对等的反制措施．2017年美国对华贸易逆差3372亿美元，用科学记数法表示为()A. 3372×108B. 3.372×1011C. 3.372×108D. 3.372×1093.对每个x，y是y1=2x，y2=x+2，y3=−32x+12三个值中的最大值，则当x变化时，函数y的最小值为()A. 4B. 6C. 8D. 4874.直线a//b，A、B分别在直线a、b上，△ABC为等边三角形，点C在直线a、b之间，∠1=10〫，则∠2=()A. 30〫B. 40〫C. 50〫D. 70〫5.为响应“建设美丽中国”的号召，光明中学青年志愿者服务队的同学们开展了植树活动，统计每个同学的植树量，列表如下，则每个志愿者植树量的中位数是()植树量678910人数14365A. 7B. 8C. 9D. 106.关于x的方程x2−bx+4=0有两个相等的正实数根，则b的值为()A. 4B. −4C. −4或4D. 07.如图，圆O的半径为6，△ABC是圆O的内接三角形，连接OB、OC，BC=6√3，则∠A=()A. 60°B. 45°C. 30°D. 120°8.如图，△ABC是直角三角形，∠B=30〫，∠A=90〫，AC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转60〫至△CB1A1，再将△CB1A1沿边B1C翻折至△CB1A2，则△ABC与△CB1A2重叠部分的面积为()A. √312B. √36C. √33D. √329.将一个正方体的各个面涂上红色或蓝色(可以只用一种颜色)，则正方体不同的涂色方案总共有()种．A. 6B. 8C. 9D. 1010.正整数构成的数列a1，a2，……，a n，……满足：①数列递增，即a1<a2<⋯…a n<⋯…；②a n=a n−1+a n−2(n≥3)，则称为“类斐波拉契数列”，例如：3，4，7，11，18，29，……，则满足a5=59的“类斐波拉契数列”有()种．A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.已知3x−4y=−2，则代数式x(y−9)−y(x−12)的值为______．12.方程x2+mx−1=0的两根为x1，x2，且1x1+1x2=−3，则m=______．13.将大小相同的两个白色小球与两个黑色小球混合放入袋中，从中抽取两个小球，恰好颜色是一白一黑的概率为______．14.国内名牌大学每年都会举办竞赛学科夏令营，选拔优秀的竞赛学生，已知某高校举办的夏令营考试，其综合成绩由三部分组成：基础笔试成绩占30%，竞赛笔试成绩占50%，面试成绩占20%，甲、乙两名学生的成绩如下表：测试者基础笔试成绩竞赛笔试成绩面试成绩甲809285乙928288则甲乙两名学生中综合成绩更为优秀的是______．15.如图，圆O的半径为3，点A在圆O上运动，ABCD为矩形，AC与BD交于点M，MO=5，则AB2+AD2的最小值为______．16.如图，圆柱底面半径为2cm，高为9πcm，A、B两点分别在圆柱的两个底面圆周，且在同一母线上，用一根棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B，棉线最短需要______cm(结果保留π)．17. 当12≤x ≤2时，函数y =1x 的图象为曲线段CD ，y =−2x −b 的图象分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，若曲线段CD 在△AOB 的内部(且与三条边无交点)，则b 的取值范围为______．18. 黄冈首届半程马拉松于5月6日在遗爱湖公园起跑，小林与小雨两名同学为参加比赛，在学校运动场400米环形跑道上进行训练，两人各自以恒定的速度沿逆时针方向跑步，已知每隔12分钟小林追上小雨一次，小林每圈花费的时间比小雨少10秒，则小林跑步的速度为每秒______米． 三、解答题（本大题共6小题，共58.0分） 19. (1)解方程组：{x −y =33x −2y =8(2)解不等式：x3>2−x−1220. 如图，在▱ABCD 中，AB =3，AD =6，∠ABC =60°，E 为BC 的中点，(1)求∠CED ；(2)求DE 的边长．21. 南海诸岛自古以来都是中国的领土，4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，军委主席习近平登上长沙舰检阅海军舰艇编队，包括辽宁号航母在内的48艘舰艇参加了阅兵仪式．如图，A 、B 是两处海港，其中A 在B 东偏南30〫方向30√2千米处，辽宁号航母从海港A 出发，沿东偏北45〫方向，以15千米/小时的速度匀速航行，两小时后，长沙舰从海港B出发，沿东偏北15〫的方向匀速航行，两舰恰好同时到达阅兵地点C．(1)长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了多少时间？(2)求长沙舰的航行速度．(结果保留根号)22.如图，△ABC是钝角三角形，∠A>90〫，⊙O是△ABC的外接圆，直径PQ恰好经过AB的中点M，PQ与BC的交点为D，∠CDO=45〫，l为过点C圆的切线，作DE⊥l，CF也为圆的直径．(1)证明：△CFB∽△DCE．(2)已知⊙O的半径为3，求AD2+CD2的值．23.阅读理解：如图①，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段PA1最短，则线段PA1的长度称为点P到图形l的距离．例如：图②中，线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离；线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离．解决问题：如图③，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为(8,4)，(12,7)，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒．(1)当t=4时，求点P到线段AB的距离；(2)t为何值时，点P到线段AB的距离为5？(3)t满足什么条件时，点P到线段AB的距离不超过6？(直接写出此小题的结果) 24.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，经过点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3)，(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BD，N为抛物线上的点且在第一象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；(3)我们通常用(a,b)表示整数a，b的最大公约数，例如(8,12)=4，若(a,b)=1，则称a，b互素，关于最大公约数有几个简单的性质：①(a,b)=(a,ka+b)，其中k为任意整数；②(a,b)=(a,−b)；若点Q(a,b)满足：a，b均为正整数，且(a,b)=1，则称Q点为“互素正整点”，0≤x≤100时，该抛物线上有多少个“互素正整点”？答案和解析1.【答案】B【解析】解：||−13|−1|=1−13=23．故选：B．直接利用绝对值的性质化简得出答案．此题主要考查了有理数的加法，正确掌握绝对值的性质是解题关键．2.【答案】B【解析】解：3372亿=337200000000=3.372×1011，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查了科学记数法−表示较大的数，较小的数，以及近似数与有效数字，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：分别联立y1、y2，y1、y3，y2、y3，可知y1、y2的交点A(2,4)；y1、y3的交点B(247,487)；y2、y3的交点C(4,6)，∴当x≤2时，y最小=9；当2<x≤247时，y最小=487；当247<x≤4时，y最小=487；当x>4时，y最小=8．故选：D．分别联立三个函数中任意两函数，求出函数的交点坐标，根据此交点坐标即可求解．本题考查的是一次函数的性质，根据题意得出任意两函数的交点坐标是解答此题的关键．4.【答案】C【解析】解：作CE//a．∵a//b，∴CE//b，∴∠2=∠ACE，∠1=∠ECB，∵△ACB是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠1+∠2=60°，∵∠1=10°，∴∠2=50°，故选：C．作CE//a.证明∠1+∠2=∠ACB=60°，即可解决问题本题考查平行线的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．5.【答案】C【解析】解：∵共有1+4+3+6+5=19人，∴中位数是排序后位于第10个人的植树量，∴中位数为9，故选：C．利用中位数的定义进行解答即可．考查了中位数的知识，了解定义是解答本题的关键，难度不大．6.【答案】A【解析】解：∵关于x的方程x2+bx+4=0有两个相等的正实数根，∴△=b2−4×1×4=b2−16=0，解得：b=4．故选：A．根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于b的一元二次方程，解之即可得出b的值．本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：过点O作OD⊥BC，∵BC=6√3，∴BD=DC=3√3，∵BO=6，∴sin∠BOD=3√36=√32，∴∠BOD=60°，∴∠BOC=120°，∴∠A=60°．故选：A．直接利用垂径定理得出BD的长，再利用锐角三函数关系得出∠BOD=60°，则∠BOC= 120°，再利用圆周角定理得出答案．此题主要考查了垂径定理以及三角形的外心，正确得出∠BOD=60°是解题关键．8.【答案】C【解析】解：∵∠B=30〫，∠BAC=90〫，AC=1，∴BC=2，AB=√3AC=√3∵将△ABC绕点C逆时针旋转60〫至△CB1A1，再将△CB1A1沿边B1C翻折至△CB1A2，∴A1C=AC=1=A2C，∠BAC=∠A1=∠B1A2C=90°∴A2B=1，且∠B=30°∴A2E=√3 3∴△ABC与△CB1A2重叠部分的面积=12×√3×1−12×1×√33=√33故选：C．由旋转的性质和折叠的性质可得A1C=AC=1=A2C，∠BAC=∠A1=∠B1A2C=90°，由直角三角形的性质可求A2E=√33，由三角形的面积公式可求解．本题考查了旋转的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．9.【答案】D【解析】解：若只涂红色：1种情况；若只涂蓝色：1种情况；若1个面涂红色：1种情况；若2个面涂红色：2种情况；若3个面涂红色：2种情况；若4个面涂红色：2种情况；若5个面涂红色：1种情况；共有：1+1+1+2+2+2+2+1=10．故选：D．分类讨论：只涂红色；只涂蓝色；1个面涂红色；2个面涂红色；3个面涂红色；4个面涂红色；5个面涂红色．考查了认识立体图形，解题时，需要掌握正方体有6个面，还要掌握“分类讨论”的数学思想的应用．10.【答案】D【解析】解：满足a5=59的“类斐波拉契数列”应满足：①数列递增，即a1<a2<a3< a4<a5；②a n=a n−1+a n−2(n≥3)，故：①10，13，23，36，59；②7，15，22，37，59；③4，17，21，38，59；④1，19，20，39，59．故选：D．由题可发现数列存在a n=a n−1+a n−2(n≥3)的规律，满足a5=59的“类斐波拉契数列”有多少种．本题考查了规律性的题目，通过题目，找准规律是解答此题的关键．11.【答案】6【解析】解：当3x−4y=−2时，代数式x(y−9)−y(x−12)=−9x+12y，=−3(3x−4y)，=−3×(−2)．=6．故答案为：6．先将原式化简，然后将3x−4y=−2代入即可求出答案．本题考查整式的混合运算−化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．12.【答案】−3【解析】解：∵方程x2+mx−1=0的两根为x1，x2，∴△=m2−4×1×(−1)≥0，m2+4>0，由题意得：x1⋅x2=−1；x1+x2=−m，∵1x1+1x2=−3，∴x1+x2x1x2=−3，−m−1=−3，m=−3，故答案为：−3．根据根与系数的关系得出x1⋅x2及x1+x2的值，代入所求代数式得出k的值，再看k的值是否满足△中k的取值范围即可．本题考查的是根与系数的关系及根的判别式，在解答此题时要熟知熟知一元二次方程ax2+bx+c=0中，①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②x1+x2=−ba ，x1x2=ca．13.【答案】23【解析】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中从中抽取两个小球，恰好颜色是一白一黑的结果数为8，所以从中抽取两个小球，恰好颜色是一白一黑的概率=812=23．故答案为23．画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出一白一黑的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．14.【答案】甲【解析】解：∵x 甲−=80×30%+92×50%+85×20%=24+46+17=87分， x 乙−=92×30%+82×50%+88×20%=27.6+41+17.6=86.2分，∴甲乙两名学生中综合成绩更为优秀的是甲； 故答案为：甲．根据加权平均数的计算方法解答．本题考查了加权平均数，权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． 15.【答案】36【解析】解：如图，连接OA ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =BD ，AM =MC =BM =MD ，∠BAD =90°， ∴AB 2+AD 2=BD 2，∴BD 的值最小时，AB 2+AD 2的值最小， ∵AM ≥OM −OA ，OM =5，OA =3， ∴AM ≥3，∴AM 的最小值为3， ∴BD 的最小值为6，∴AB 2+AD 2的最小值为36， 故答案为36．如图，连接OA.首先判断出BD 最小时，AB 2+AD 2的值最小，求出AM 的最小值即可解决问题．本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 16.【答案】15π【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B 的运动最短路线是：AC →CD →DB ， 在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A 沿着3个长方形的对角线运动到B 的路线最短， ∵圆柱底面半径为2cm ，∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2=4π(cm)， ∵圆柱高为9πcm ，∴小长方形的一条边长是9π÷3=3π(cm)，根据勾股定理求得AC =CD =DB =√(3π)2+(4π)2=5π(cm)，∴AC +CD +DB =15πcm ， 故答案为：15π．把圆柱展开，得到棉线最短需要的长度是AC +CD +DB ，根据勾股定理计算即可．本题考查的是圆柱的计算、平面展开--路径最短问题，圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．17.【答案】−92<b <−3【解析】解：把x =12代入y =1x 得，y =2，把x =2代入y =1x 得，y =12，把(12,2)代入y =−2x −b 得，b =−3，把(2,12)代入y =−2x −b 得，b =−92，因此，b 的取值范围为−92<b <−3．故答案为：−92<b <−3．求出C 、D 两点坐标，再代入一次函数的关系式求出b 的值，即可确定b 的取值范围． 考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法，数形结合则更直观．18.【答案】5【解析】解：设小林跑步的速度为x 米/秒，则小雨跑步的速度为(x −40012×60)米/秒， 依题意，得：400x−40012×60−400x =10，解得：x 1=−409，x 2=5，经检验，x 1=−409，x 2=5均为原分式方程的解，x =5符合题意．故答案为：5．设小林跑步的速度为x 米/秒，则小雨跑步的速度为(x −40012×60)米/秒，根据时间=路程÷速度结合小林每圈花费的时间比小雨少10秒，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19.【答案】解：(1){x −y =3 ①3x −2y =8 ②， ①×2−②得−x =−2，解得x =2，把x =2代入①得y =−1， 元方程组的解是{x =2y =−1； (2)去分母得：2x >12−3(x −1)，去括号得：2x >12−3x +3，移项，合并同类项得：5x >15，系数化为1得：x>3．【解析】(1)根据加减法，可得方程组的解；(2)根据解不等式的步骤，去分母，去括号．移项合并同类项，系数化为1，可得答案．本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组，加减消元法是解方程组的关键．20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD=6，∠C=180°−∠B=180°−60°=120°，CD=AB=3，∵E为BC的中点，∴BE=CE=3，∴CE=CD，∴∠CED=∠CDE=12(180°−∠C)=12(180°−120°)=30°；(2)作CH⊥DE于H，如图，∵CE=CD，∴CH=DH，在Rt△CEH中，CH=12CE=32，∴EH=√3CH=3√32，∴DE=2EH=3√3．【解析】(1)根据平行四边形的性质得到BC=AD=6，∠C=120°，CD=AB=3，而CE=3，所以CE=CD，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠CED的度数；(2)作CH⊥DE于H，如图，利用等腰三角形的性质得到CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出EH，从而得到DE的长．本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的性质．21.【答案】解：(1)由题意得：AB=30√2，∠ABC=30°+15°=45°，∠BAC=(90°−30°)+45°=105°，∴∠C=180°−45°−105°=30°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，AD=BD=√22×30√2=30，在Rt△ADC中，∠C=30°，∴AC=2AD=60，CD=√3AD=30√3，∴BC=30+30√3，∴辽宁号航母从A到C的时间为60÷15=4小时，则长沙舰从B到C所用时间为4−2=2小时，答：长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了2小时．(2)长沙舰的速度为(30+30√3)÷2=(15+15√3)千米/小时，答：长沙舰的航行速度为(15+15√3)千米/小时．【解析】(1)根据方位角可以得出△ABC的各个内角的度数，根据所给的条件，可以求出三条边的长，于是可以求出辽宁号舰从A到C的时间，进而求出长沙舰从B到C的时间，(2)根据路程除以时间就是速度，即求出BC的长度和长沙舰行驶BC所有时间．考查方位角的意义和解直角三角形等知识，将方位角转化到三角形的内角是关键，正确的解直角三角形是前提．22.【答案】解：(1)∵CF也为圆的直径，∴∠CBF=90°，∵DE⊥l，∴∠DEC=90°，∴∠DEC=∠CBF，∵l为过点C圆的切线，PQ是⊙O的直径，∴CF⊥CE，∴DE//CF，∴∠CDE=∠BCF，∴△CFB∽△DCE；(2)∵PQ是⊙O的直径，直径PQ恰好经过AB的中点M，∴PQ垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠ADQ=∠BDQ，∵∠BDQ=∠CDP=45°，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=90°，∴AD2+CD2=AC2，∵AD=BD，∠ADB=90°，∴∠ABD=45°，连接AF，∴∠AFC=∠ABC=45°，∴△ACF是等腰直角三角形，CF，∴AC=√22∵⊙O的半径为3，∴CF=6，∴AC=3√2，∴AD2+CD2=AC2=18．【解析】(1)根据切线的性质得到CF⊥CE，根据平行线的性质得到∠CDE=∠BCF，于是得到结论；(2)由垂径定理得到PQ垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，求得∠ADB=90°，得到∠ADC=90°，连接AF，推出△ACF是等腰直角三角形，得到AC=√2CF，根据勾股定理即可得到结论．2本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．23.【答案】解：(1)如图1，作AC⊥x轴于点C，则AC=4、OC=8，当t=4时，OP=4，∴PC=4，∴点P到线段AB的距离PA=√PC2+AC2=√42+42=4√2；(2)如图2，过点B作BD//x轴，交y轴于点D，①当点P位于AC左侧时，∵AC=4、P1A=5，∴P1C=√P1A2−AC2=√52−42=3，∴OP1=5，即t=5；②当点P位于AC右侧时，过点A作AP2⊥AB，交x轴于点P2，∴∠CAP2+∠EAB=90°，∵BD//x轴、AC⊥x轴，∴CE⊥BD，∴∠ACP2=∠BEA=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠P2AC，在△ACP2和△BEA中，∵{∠ACP2=∠BEA=90°AC=BE=4∠P2AC=∠ABE，∴△ACP2≌△BEA(ASA)，∴AP2=BA=√AE2+BE2=√32+42=5，而此时P2C=AE=3，∴OP2=11，即t=11；(3)如图3，①当点P位于AC左侧，且AP3=6时，则P 3C =√AP 32−AC 2=√62−42=2√5，∴OP 3=OC −P 3C =8−2√5；②当点P 位于AC 右侧，且P 3′M =6时，过点P 2作P 2N ⊥P 3′M 于点N ，则四边形AP 2NM 是矩形，∴∠AP 2N =90°，∠ACP 2=∠P 2NP 3′=90°，AP 2=MN =5，∴△ACP 2∽△P 2NP 3′，且NP 3′=1，∴AP 2P 2P 3′=CP 2NP 3′，即5P 2P 3′=31， ∴P 2P 3′=53，∴OP 3′=OC +CP 2+P 2P 3′=8+3+53=383， ∴当8−2√5≤t ≤383时，点P 到线段AB 的距离不超过6．【解析】(1)作AC ⊥x 轴，由PC =4、AC =4，根据勾股定理求解可得；(2)作BD//x 轴，分点P 在AC 左侧和右侧两种情况求解，P 位于AC 左侧时，根据勾股定理即可得；P 位于AC 右侧时，作AP 2⊥AB ，交x 轴于点P 2，证△ACP 2≌△BEA 得AP 2=BA =5，从而知P 2C =AE =3，继而可得答案；(3)分点P 在AC 左侧和右侧两种情况求解，P 位于AC 左侧时，根据勾股定理即可得；点P 位于AC 右侧且P 3M =6时，作P 2N ⊥P 3M 于点N ，知四边形AP 2NM 是矩形，证△ACP 2∽△P 2NP 3得AP 2P 2P 3=CP2NP 3，求得P 2P 3的长即可得出答案． 本题主要考查一次函数的综合问题，理解题意掌握点到线段的距离概念及分类讨论思想的运用、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)经过点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3)， ∴{a −b +c =09a +3b +c =0c =−3，解得：{a =1b =−2c =−3，∴y =x 2−2x −3=(x −1)2−4，∴抛物线的顶点M 坐标为：(1,−4)，抛物线的解析式为：y =x 2−2x −3；(2)设直线BC 解析式y =mx +n ，将点B(3,0)、C(0,−3)代入，得：{3m +n =0n =−3， 解得：{m =1n =−3， ∴直线BC 解析式为y =x −3，过点A 作AN//BC 交抛物线于点N ，如图所示：则S △BCN =S △ABC ，设直线AN 的解析式为y =x +p ，将点A(−1,0)代入，得：−1+p =0，解得：p =1，∴直线AN 解析式为y =x +1，由{y =x +1y =x 2−2x −3， 解得：{x =−1y =0或{x =4y =5， ∴点N 坐标为(4,5)；(3)抛物线上的任意整数点Q(a,b)可表示为(t,t 2−2t −3)，t 为正整数，且t ≥4， 由性质①②得：t 与t 2−2t −3的最大公约数为(t,t 2−2t −3)=(t,(t −2)t −3)=(t,−3)=(t,3)，即只需要满足(t,3)=1，又∵3是素数，当且仅当t 不是3的倍数时，t 与3互素，在4到100共97个数中，一共有32个数是3的倍数，∴共有65个数不是3的倍数，满足(t,t 2−2t −3)=1，即在0≤x ≤100时，该抛物线上有65个“互素正整点”．【解析】(1)将点A 、B 、C 坐标代入解析式，解关于a 、b 、c 的方程组可得函数解析式，配方成顶点式即可得顶点M 的坐标；(2)过点A 作AN//BC 交抛物线于点N ，则有S △BCN =S △ABC ，求出直线AN 的解析式，构建方程组求出交点坐标即可；(3)抛物线上的任意整数点Q(a,b)可表示为(t,t 2−2t −3)，得到(t,t 2−2t −3)=(t,(t −2)t −3)=(t,−3)=(t,3)，找到符合条件的值，即可得出答案．本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、三角形面积、解一元二次方程、新定义“互素正整点”等知识；熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，运用数形结合思想是解题的关键．。
2018届湖北省黄冈中学高三模拟考试文科数学试题及答案
湖北省黄冈中学2018届高三模拟考试数学（文史类）本试题卷共6页，共22题．满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|2014},{|01}M x x N x x =<=<<，则下列关系中正确的是（ ） A ．M N R =U B ．{|01}M N x x =<<I C ．N M ∈ D ．M N φ=I2．已知ss p ：,x R $?使1sin 2x x <成立． 则p Ø为（ ） A ．,x R $?使1sin 2x x =成立 B ．,x R "?1sin 2x x <均成立C ．,x R $?使1sin 2x x ³成立D ．,x R "?1sin 2x x ³均成立3．若函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ，x ∈R ，又f (x B 1B )＝－2，f (x B 2B )＝0，且|x B 1B －x B 2B |的最小值为3π4，则正数ω的值为( ) A.13 B.23 C.43 D.32 4．在函数()y f x =的图象上有点列(,)n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可以为 ( ) A ．()21f x x =+ B ．2()4f x x =C ．3()log f x x =D ． 3()()4x f x = 5．如图，已知P 是边长为2的正三角形的边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r（ ）A ．最大值为8 Ｂ．是定值6 Ｃ．最小值为2 Ｄ．与P 的位置有关6．按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是（ ）A．(20,25] B．(30,32] C．(28,57] D．(30,57]7．当实数,x y满足不等式22xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有2ax y+≤成立，则实数a的取值集合是（）A．(0,1]B．(,1]-∞C．(1,1]-D．(1,2)8．已知F是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点，E是双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于,A B两点，若ABE∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．(1,2)B．C．(1,3) D．9．若函数2()2lnf x x x=-在其定义域的一个子区间(1,1)k k-+内存在最小值，则实数k 的取值范围是（）.A．[1,)+∞B．3[1,)2C．[1,2)D．3[,2)210．在等腰梯形ABCD 中，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形AEFD 沿直线EF 折起，所在的平面为α，且α⊥平面BEFC ，P ∈α，设,PB PC 与α所成的角分别为1212,(,θθθθ均不为0)．若12θθ=，则点P 的轨迹为（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线二、填空题：本大题共7小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共35分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11．已知m R ∈，复数112m i i +-+的实部和虚部相等，则m = ． 12．已知向量(2,3)=a ，(2,1)=-b ，则a 在b 方向上的投影等于 ． 13．若函数()(0x f x a x a a =-->且1)a ≠有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．14. 右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 ．15.过抛物线2:2C x y =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段AF = ． 16．路灯距地平面为8m ，一个身高为1．75m 的人以57m/s 的速率，从路灯在地面上的射影点C 处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v 为 m/s ．17．所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数．如：6=123++；28=124714++++；496=1248163162124248++++++++．已经证明：若21n -是质数，则12(21)n n --是完全数，n *∈N .请写出一个四位完全数 ；又623=⨯，所以6的所有正约数之和可表示为(12)(13)+⋅+；22827=⨯，所以28的所有正约数之和可表示为2(122)(17)++⋅+；按此规律，请写出所给的四位数的所有正约数之和可表示．．为 ．（请参照6与28的形式给出）三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分12分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+ （1）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间； （2）在ABC ∆中，若()22Af =,1b =，2c =，求a 的值.BDF EP俯视图19．（本小题满分12分）一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，其中俯视图中060DAB ∠=．E为侧棱PD 的中点．（1）求证：PB //平面AEC ；（2）若F 为侧棱PA 上的一点，且PFFAλ=， 则λ为何值时， PA ⊥平面BDF ？并求此时几何体F —BDC 的体积．20． (本小题满分13分)已知单调递增的等比数列{a B n B }满足：a B 2B ＋a B 3B ＋a B 4B ＝28，且a B 3B ＋2是a B 2B ，a B 4B 的等差中项． （1）求数列{a B n B }的通项公式；（2）若12log n n n b a a =⋅，S B n B ＝b B 1B ＋b B 2B ＋…＋b B n B ，求使S B n B ＋n ·2P n ＋1P＞50成立的正整数n 的最小值．21．（本题满分14分）已知函数2()2,f x x x =+()e x g x x =. （1）求()()f x g x -的极值；（2）当(2,0)x ∈-时，()1()f x ag x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.22．（本题满分14分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上． （1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，已知12,NA AF NB BF λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r，求12λλ+的值；（3）直线l 交椭圆2C 于,P Q 两不同点，,P Q 在x 轴的射影分别为','P Q ，''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=u u u r u u u r u u u u r u u u u r ，若点S 满足OS OP OQ =+u u u r u u u r u u u r，证明：点S 在椭圆2C 上．届湖北省黄冈中学五月模拟试题参考答案1．【答案】B【解析】{|2013}{|01}{|01}M N x x x x x x =<<<=<<I I 2． 【答案】D【解析】原ss 为特称ss ，故其否定为全称ss ，即:p ⌝,sin 2xx x ∀∈≥R ． 3．答案：B解析：因为f (x )＝2sin(ωx ＋π3)，|x 1－x 2|的最小值为344T π=，故3T π=，所以ω＝23.4．【答案】 D【解析】对于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x上的点列(x n ，y n )，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等差数列，所以x n +1－x n ＝d ，因此1n ny y +＝113()334()()344()4n n n n x x x d x ++-==，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．故选D. 5．【答案】B【解析】设BC 的中点为D ，,AP AD u u u r u u u r 的夹角为θ，则有()2AP AB AC AP AD ⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22||(||cos )2||6AD AP AD θ=⋅==u u u r u u u r u u u r 。
2018自主招生考试数学
数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）D．B C第3题第4题4．如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O，∠OCD的5．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）226．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为4的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是（）A.π-4 B. π C. π+12 D.415π+7．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）排多一人的规律排列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是（）A、296B、221C、225D、641第9题 第10题10．（3分）如图，正△ABC 中，P 为正三角形内任意一点，过P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC 连结AP 、BP 、CP ，如果，那么△ABC 的内切圆半径为（ ）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）与是相反数，计算= _________ ．12. 已知b a ,为有理数，且满足b a +=+33421，则b a -=______ 13．（3分）如图，M 、N 分别为△ABC 两边AC 、BC 的中点，AN 与BM 交于点O ，则= _________ ．第13题 第14题14．（3分）如图，已知圆O 的面积为3π，AB 为直径，弧AC 的度数为80°，弧BD 的度数为20°，点P 为直径AB 上任一点，则PC+PD 的最小值为 _________ ．15．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a ，是3的倍数的个数为b ，则样本6、a 、b 、9的中位数是 _________ ．三、解答题（72）16、某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？17.如图，ABCD是矩形纸片，E是AB上一点，且BE：EA＝5：3，EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，求AB、BC的长．第17题图18．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．19．（15分）如图，已知菱形ABCD 边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．20、已知A 1、A 2、A 3是抛物线221x y =上的三点，A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3分别垂直于x 轴，垂足为B 1、B 2、B 3，直线A 2B 2交线段A 1A 3于点C.（1）如图18-1，若A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA 2的长；（2）如图18-2，若将抛物线221x y =改为抛物线1212+-=x x y ，A 1、A 2、A 3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA 2的长；（3）若将抛物线221x y =改为抛物线c x b x a y ++=2，A 1、A 2、A 3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA 2的长（用a 、b 、c 表示，并直接写出答案）.图18-2参考答案与试题解析2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）．B CAD（（，（23．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）22y=两边平方，求出定义域，然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，最y=，×，当5．（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）．B C D6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）l=（7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）﹣，代入得（﹣）8．（3分）如图，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果，那么△ABC的内切圆半径为（）C=3AB，三角形r=h=1二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）与是相反数，计算=．a+的值，再配方开平方即可得解．|﹣=3=3+2+=．故答案为：=310．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，，则[A]=﹣2．，≈A=++1+111．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=．MN=ABMN=AB故答案是12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB 上任一点，则PC+PD的最小值为3．==80由=120．的度数为==80=100=20=+=100×13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是 5.5．=5.514．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是．（，（[﹣（）﹣=．15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是cm．x=PQ=．三、解答题（72）16、解：设从6时起x 分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S 辆，进场车y 辆，则⎪⎩⎪⎨⎧->+=-=3815)1(6x y y S S x ---------------------------------------------（6分）∴ 3)1(6)15(8-->-S S ， 解得 5.55>S ． -------------------（8分）∵ S 为正整数，∴ S ＝56，即到第56辆车开出后，停车场内第一次出现无车辆．此时330)156(6=-=x ，6+60330=11.5（时） 答：到11时30分时，停车场内第一次出现无车辆．--------------------------（12分）17.设k BE 5=，则k EA 3=，则在k AF AEF Rt 4=中有△，k BE AE AB CD 8=+==，由AEF ∆∽DFC ∆可得，k CF 10=，∴k CF BC 10==，（3分），在中有△BECRt k k k BC BE CE 55)10()5(2222=+=+=，∴51555=k ，3=k ，∴248==k AB ，3010==k BC （3分）18．（14分）如图，过正方形ABCD 的顶点C 在形外引一条直线分别交AB 、AD 延长线于点M 、N ，DM 与BN 交于点H ，DM 与BC 交于点E ，BN △AEF 与DC 交于点F ．（1）猜想：CE 与DF 的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H 是△AEF 的什么心？并证明你的猜想．第19题图利用平行线分线段成比例定理得到，从而得到，19．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．边长为，∠利用等边三角形的面积等于边长平方的×BE=O E=BG=DM=DG=6rDN=DH=6r MN=DM+DN=12（EF=EB+BC+CF=++边长为××）；BE=rr﹣DN=DH=6﹣﹣r+++=12（这个点与圆心的连线平分两切线的夹角；掌握菱形的性质，记住等边三角形的面积等于边长平方的20、解：（1）方法一：∵A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3， ∴A 1B 1=211212=⨯，A 2B 2=22212=⨯，A 3B 3=293212=⨯. 设直线A 1A 3的解析式为y=kx+b. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=b k b k 32921 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==232b k ∴直线A 1A 3的解析式为 232-=x y . ∴CB 2=2×25232=- . ∴CA 2=CB 2-A 2B 2=21225=-. 方法二：∵A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3， ∴A 1B 1=211212=⨯，A 2B 2=22212=⨯，A 3B 3=293212=⨯ . 由已知可得A 1B 1∥A 3B 3，∴CB 2=21(A 1B 1+A 3B 3)= 25)2921(21=+ . ∴CA 2=CB 2-A 2B 2=21225=- . ---------------------------------------------（4分） （2）方法一：设A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为 n-1、n 、n+1 . 则A 1B 1=1)1()1(212+---n n ，A 2B 2=1212+-n n ，A 3B 3=1)1()1(212++-+n n . 设直线A 1A 3的解析式为y=kx+b. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=+++---=+-1)1()1(21)1(1)1()1(21)1(22n n b k n n n b k n 解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=232112n b n k ∴直线A 1A 3的解析式为 2321)1(2+--=n x n y . --------------------------------(8分) ∴CB 2=23212321)1(22+-=+--n n n n n . ∴CA 2=CB 2-A 2B 2=21121232122=-+-+-n n n n . -----------------------------------（10分） 方法二：设A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为n-1、n 、n+1 . 则A 1B 1=1)1()1(212+---n n ，A 2B 2=1212+-n n ，A 3B 3=1)1()1(212++-+n n 由已知可得A 1B 1∥A 3B 3，∴CB 2=21(A 1B 1+A 3B 3) = ]1)1()1(211)1()1(21[2122++-+++---n n n n =23212+-n n ∴CA 2=CB 2-A 2B 2=21)121(232122=-+-+-n n n n . （3）当a ＞0时，CA 2=a ；当a ＜0时，CA 2=-a. ---------------------------------（14分）。
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黄冈市2018年春季自主招生考试优录精典
优录模拟训练数学试题（一）
（满分：120 分时间：120 分钟）
一、选择题（每小题4 分，共24 分）
1.如果实数a,b,c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）
A.2c-a
B.2a-2b
C.-a
D.a
2.若实数m,n 满足m2+3n=2,n2+3n=2,且m≠n,则(1+m2)(1+n2)=( )
A.18
B.12
C.9
D.6
3.已知abc 为正实数，且b +c
=
a +c
=
a +b
=k ，，则直线y=kx+(k+1)一定不经过（）a b c
A.第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4.如图，边长为6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的
面积分别是S
1，S
2
，则S
1
+S
2
的值为（）
A.16
B.17
C.18
D.19
5.平面直角坐标系中，已知A（2,2）、B（4,0），若在坐标轴上取点C，
是ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（）
A.5
B.6
C.7
D.8
第4 题图
6.如果一个正整数可以表示为连个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：2=13-（-1）3,26=33-13，2 和26 均为“和谐数”.那么，不超过2018 的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）
A.6858
B.6860
C.9260
D.9262
二、填空题。
（每小题4 分，共24 分）
7.已知一个五位数1234x 能被12 整除，则x 的值为.
8.已知α、β是关于x 的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数根，且
满足11
+=1
αβ
-，则m 的值是.
9. 有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1 克，为了找出
这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重．那么，两个轻球的编号是和．
10.一名考生步行前往考场，10 分钟走了总路程的1
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，估计步行不能准时到达，于
是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了分钟.
11.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE⊥BD于点E，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F，在AF 的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG 的周长为．
第10 题图
第11 题图
12.如图，△ABC 的顶点A、C 在反比例函数y (x> 0) 的图像上，∠ACB=900，∠ABC=300，AB⊥x 轴，点B 在点A 的上方，且AB=6，则点C 的坐标为.。