高中数学集合总结+题型分类+完美解析

集合【知识清单】1.性质：确定性、互易性、无序性.2.元素和集合的关系：属于“∈”、不属于“∉”.3.集合和集合的关系：子集（包含于“⊆”）、真子集（真包含于“≠⊂”）. 4.集合子集个数=n 2；真子集个数=12-n.5.交集：{}B x A x x B A ∈∈=且|并集：{}B x A x x B A ∈∈=或|补集：{}A x U x x A C U ∉∈=且|6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集.题型一、集合概念解决此类型题要注意以下两点：①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性；②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集.【No.1 定义&性质】1.下列命题中正确的个数是（ ） ①方程022=++-y x 的解集为{}2,2-②集合{}R x x y y ∈-=,1|2与{}R x x y y ∈-=,1|的公共元素所组成的集合是{}1,0 ③集合{}01|<-x x 与集合{}R a a x x ∈>,|没有公共元素A.0B.1C.2D.3 分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构成的集合，而是x 和y 的值的集合，也就是一个点.答案：A详解：在①中方程022=++-y x 等价于⎩⎨⎧=+=-0202y x ，即⎩⎨⎧-==22y x 。

因此解集应为(){}2,2-，错误；在②中，由于集合{}R x x y y ∈-=,1|2的元素是y ，所以当R x ∈时，112-≥-=x y .同理，{}R x x y y ∈-=,1|中R y ∈，错误；在③中，集合{}01|<-x x 即1<x ，而{}R a a x x ∈>,|，画出数轴便可知这两个集合可能有公共的元素，错误.故选A.2.下列命题中，（1）如果集合A 是集合B 的真子集，则集合B 中至少有一个元素；（2）如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 的元素少于集合B 的元素；（3）如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 的元素不多于集合B 的元素；（4）如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 和B 不可能相等．错误的命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3分析：首先大家要理解子集和真子集的概念，如果集合M 是集合N 的子集，那么M 中的元素个数要小于或等于N 中元素的个数；如果集合M 是集合N 的真子集，那么M 中的元素个数要小于N 中元素的个数.答案：C详解：（1）如果集合A 是集合B 的真子集，则集合B 中至少有一个元素，故（1）正确；（2）如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 的元素少于或等于集合的B 元素，故（2）不 正确；（3）如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 的元素不多于集合B 的元素，故（3）正确；（4）如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 和B 可能相等，故（4）不正确．故选C ．3.设P 、Q 为两个非空实数集，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合Q P +中的元素是b a +，其中P a ∈,Q b ∈，则Q P +中元素的个数是（ ）A.9B.8C.7D.6 分析：因为P a ∈，Q b ∈，所以Q P +中的元素b a +是P 中的元素和Q 中元素两两相加而得出的，最后得出的集合还要考虑集合的互易性.答案：B详解：当0=a 时，b 依次取1,2,6，得b a +的值分别为1,2,6；当2=a 时，b 依次取1,2,6，得b a +的值分别3,4,8；当5=a 时，b 依次取1,2,6，得b a +的值分别6,7,11；由集合的互异性得Q P +中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个，故选B.4.设数集M 同时满足条件①M 中不含元素1,0,1-，②若M a ∈，则M aa ∈-+11. 则下列结论正确的是 ( )A ．集合M 中至多有2个元素；B ．集合M 中至多有3个元素；C ．集合M 中有且仅有4个元素；D ．集合M 中有无穷多个元素. 分析：已知M a ∈时，M aa ∈-+11.那么我们可以根据条件多求出几个M 集合的元素，找出规律并且判断元素之间是否有可能相等，从而判断集合中元素的个数.答案：C详解：由题意，若M a ∈，则M a a ∈-+11，则M a a a a a ∈-=-+--++1111111，M a a aa ∈+-=+-111111，则M a a a a a a ∈==+--+-+22111111，若a a a -+=11，则12-=a ，无解，同理可证明这四个元素中，任意两个元素不相等，故集合M 中有且仅有4个元素．----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No2. 表达方式】5.下列集合表示空集的是（ ）A.{}55|=+∈x R xB.{}55|>+∈x R xC.{}0|2=∈x R x D.{}01|2=++∈x x R x 分析：本题考查空集的概念，空集是指没有任何元素的集合.答案：D详解：012=++x x ，031141<-=⨯⨯-=∆∴方程无实数解，故选D.6.用描述法表示下列集合：(1){}8,6,4,2,0；(2){} ,81,27,9,3；(3)⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,87,65,43,21； (4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．分析：描述法就是将文字或数字用式子表示出来.但是要注意题中给出的元素的范围详解：(1){}是偶数且x x N x ,100|<≤∈；(2){}+∈=N n n x x ,3|；(3)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=+N n n n x x ,212|； (4){}Z n n x x ∈+=,25|．====================================================================== 题型二、不含参数⑴⑴中的参数是指方程的非最高次项系数解决此类型题应注意：①区分∈，⊆，≠⊂的区别； ②会用公式求子集、真子集、非空真子集的个数；③B A A B A ⊆⇒=A B A B A ⊆⇒=两方面讨论和从∅=∅=⇒∅=B A B A .【No.1 判断元素/集合与集合之间的关系】1.给出下列各种关系①0≠⊂{}0；②0∈{}0；③{}∅∈∅；④{}a a ∈；⑤{}0=∅；⑥{}∅∈0；⑦{}0∈∅；⑧∅≠⊂{}0 其中正确的是（ ）A.②③④⑧B.①②④⑤C.②③④⑥D.②③④⑦分析：本题需要大家分清∈，⊆，≠⊂三个符号的意义和区别：∈--“属于”，用于表示元素和集合的关系；⊆，≠⊂--“包含于和真包含于”，用于表示集合和集合之间的关系.答案：A详解：①错误，应为{}00∈；②③④⑧正确；⑤⑥⑦应为∅≠⊂{}0；2.若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）（1）若()()U B C A C B A U U =∅= 则,（2）若()()∅==B C A C U B A U U 则,（3）若∅==∅=B A B A ，则A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 分析：本题应先简化后面的式子，然后再和前面的条件对比.答案：D详解：（1）()()()U C B A C B C A C U U U U =∅== ；（2）()()()∅===U C B A C B C A C U U U U ；（3）证明：∵()B A A ⊆,即∅⊆A ，而A ⊆∅，∴∅=A ；同理∅=B ， ∴∅==B A ；----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No.2 子集、真子集】3.从集合{}d c b a U ,,,=的子集中选出4个不同的子集，须同时满足以下两个条件： ①∅，U 都要选出；②对选出的任意两个子集A 和B ，必有B A ⊆或A B ⊆.那么共有 种不同的选法.分析：由①可以知道选出的子集中一定有∅和U ，我们要求得只剩两个集合。

根据②（以B A ⊆为例）可以从讨论A 中有1个或2个元素有几种选法来确定B 的选法.注意A 中不可能有3种元素，因为这样B 中会出现U 和A 中的元素，与题意和性质不符.答案：36详解：由题意知，集合必有子集∅和U ，只需考虑另外两个集合如果A 中含有一个元素，有4种选法，相应的，B 集合中有6中选法，共24种； 如果A 中含有两个元素，有6种选法，相应的，B 集合中有2中选法，共12种； 即总共有36种选择。

4.已知集合{}032|2=--=x x x A ，那么满足A B ⊆的集合B 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 分析：本题求的是A 集合的子集个数答案：D详解：根据题意，0322=--x x ，则1-=x 或3，则集合{}3,1-=A ，其中有2个元素，则其子集有422=个，满足A B ⊆的集合B 有4个，故选D ．5.若集合B A ⊆，C A ⊆，且{}4,2,0=C B ．则满足条件的集合A 的个数为（ ）A ．3个B ．4个C ．7个D ．8个 分析：集合B A ⊆，C A ⊆，说明A 同时是两个集合的子集.答案：D详解：根据题意，集合B A ⊆，C A ⊆，且{}4,2,0=C B ．即A 为{}4,2,0的子集， 而{}4,2,0中有3个元素，共有823=个子集； 即满足条件的A 的个数为8；故选D ．----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No.3 集合间的运算】6．设全集(){}R y x y x U ∈=,|,,集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-+=122|,x y y x M ，(){}4|,-≠=x y y x N , 那么()()N C M C U U 等于________________. 分析：首先要注意本题要求的是点集，M 集合的含义是不含有()2,2-的直线上的点集，M C U 表示的就是()2,2-；N C U 表示4-=x y .答案：(){}2,2-详解：()24:≠-=x x y M ，M 代表直线4-=x y 上，但是挖掉点()2,2-，M C U 代表直线4-=x y 外，但是包含点()2,2-；N 代表直线4-=x y 外，N C U 代表直线4-=x y 上，∴()()(){}2,2-=N C M C U U .7.已知{}06|2=+-=px x x M ，{}06|2=-+=q x x x N ，则{}2=N M ,则=+q p （ ）A.21B.8C.6D.7分析：从{}2=N M 入手得，2既是M 的元素又是N 的元素，那么代入便可以求出p 和q 的值.答案：A详解：由已知得，N M ∈∈2,2所以2是方程062=+-px x 和062=-+q x x 的根，故将2代入得，5=p ；16,0==q q .所以21=+q p .8. 已知方程02=++c bx x 有两个不相等的实根1x ，2x . 设{}21,x x C =，{}9,7,5,3,1=A ， {}10,7,4,1=B ，若C B C C A =∅= ,，试求b ，c 的值。