直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系—知识讲解
直线与圆的位置关系—知识讲解责编：常春芳【学习目标】1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系；2.理解切线的判定定理和性质定理.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，（1）d＜r直线l与⊙O相交；（2）d=r直线l与⊙O相切；（3）d＞r直线l与⊙O相离.要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线.【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系【高清ID号：356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】解：过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC，∴AC BC34CD===2.4AB5∙⨯(cm)，（1）当r=2cm时，CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．举一反三：【变式】已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离【答案】B.类型二、切线的判定与性质2．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC是⊙D的切线．【思路点拨】作垂直，证半径．【答案与解析】证明：过D作DF⊥AC于F．∵∠B＝90°，∴DB⊥AB．又AD平分∠BAC，∴ DF＝BD＝半径．∴ AC与⊙D相切．【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可．3．（2016•三明）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．【思路点拨】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°﹣90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8﹣x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．【总结升华】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．4．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．【思路点拨】（1）连接OD，证明OD∥AD即可；（2）作DF⊥AB于F，证明△EAD≌△FAD，将DE转化成DF来求.【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠ODA＝EAD．∴EA∥OD．∵DE⊥EA，∴DE⊥OD．又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．（2）如上图，作DF⊥AB，垂足为F．∴∠DFA＝∠DEA＝90°．∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△EAD≌△FAD．∴AF＝AE＝8，DF＝DE.∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．。
考点41 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点四十一直线与圆、圆与圆的位置关系知识梳理1．直线与圆的位置关系(1) 直线与圆相交，有两个公共点；(2) 直线与圆相切，只有一个公共点；(3) 直线与圆相离，无公共点．2. 直线与圆的位置关系的判断方法设直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，圆为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.3.(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．(2) 判断两圆位置关系的方法设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．圆心距O1O2＝d，则4.(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.5．求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则(l2)2＝r2－d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]. 注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题． 6．相交两圆公共弦所在直线方程求法设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)．将两圆方程相减，得到关于x 和y 的一次方程，即为公共弦所在直线方程．典例剖析题型一 判断直线与圆的位置关系例1 直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是__________． 答案 相交解析 ∵直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交． 变式训练 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆D 的位置关系是__________． 答案 相交解析 由点M 在圆外，得a 2＋b 2>1， ∴圆心D 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2<1＝r ，则直线与圆O 相交． 解题要点 判断直线与圆的位置关系常见的方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程随后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． 题型二 直线与圆相交弦长问题例2 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 答案2555解析 因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x ＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555. 变式训练 已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是__________． 答案 －4解析 由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫422，得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.题型三 直线与圆相切问题例3 过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________； 答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k |k 2＋(－1)2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，所求切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.变式训练 过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为________________． 答案 y ＝±x解析 圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝2.则圆心(2,0)，半径r ＝ 2.设直线方程为y ＝kx .则|2k |k 2＋1＝2，解得k ＝±1，所以直线方程为y ＝±x .例4 过点P (4，1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为____________． 答案 3x ＋y －4＝0解析 方法1：如图所示，A 点的坐标为(1，1)，∵AB ⊥PC ，k PC ＝13，∴k AB ＝－3，∴直线AB 的方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0.方法2：把点P 代入切点弦公式，得方程为：(4－1) ·(x －1) ＋1·y ＝1，即方程为3x ＋y －4＝0.解题要点 过某点求圆的切线时，要注意分清该点在圆上还是在圆外．如果过圆外一点求切线，还需讨论切线斜率是否存在．当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．另外，记住一些常见的结论，有助于快速解题． ①过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，则切点弦方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ②过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则切点弦方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 题型四 圆与圆的位置关系问题例5 圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________． 答案 相交解析 两圆圆心分别为(－2，0)和(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17． ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．变式训练 过两圆x 2＋y 2＋6x ＋4y ＝0及x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的交点的直线方程是________． 答案 x ＋y ＋2＝0解析 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为x 2＋y 2＋6x ＋4y －(x 2＋y 2＋4x ＋2y －4)＝0，即x ＋y ＋2＝0．解题要点 求相交两圆公共弦所在直线方程，只需将两圆方程相减，得到关于x 和y 的一次方程，即为公共弦所在直线方程．当堂练习1．设直线l 过点P (－2，0)，且与圆x 2＋y 2＝1相切，则l 的斜率是________． 答案 ±33解析 设l ：y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，又l 与圆相切，∴|2k |1＋k 2＝1，∴k ＝±33．2．直线x －y ＋3＝0被圆(x ＋2)2＋(y －2)2＝2截得的弦长等于________．答案解析 圆心为(－2，2)，2=由勾股定理求出弦长的一半为2，3. 直线x －ky ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________． 答案 相交或相切解析 直线x －ky ＋1＝0过定点(－1，0)，而点(－1，0)在圆上，故直线与圆相切或相交． 4．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为________． 答案 x －3y ＋2＝0解析 设所求切线方程为y －3＝k (x －1)．⎩⎨⎧x 2＋y 2－4x ＝0y ＝kx －k ＋3⇒x 2－4x ＋(kx －k ＋3)2＝0．该二次方程应有两个相等实根，则Δ＝0，解得k ＝33．∴y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0． 5．直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是________． 答案 1≤b < 2解析 曲线为x 2＋y 2＝1(y ≥0)，表示单位圆的上半圆，由数形结合法，知1≤b <2．课后作业一、 填空题1．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是________． 答案 x －y ＋1＝02．过两圆x 2＋y 2＋3x ＋2y ＝0及x 2＋y 2＋2x ＋6y －4＝0的交点的直线方程是________． 答案 x －4y ＋4＝0解析 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为x 2＋y 2＋3x ＋2y －(x 2＋y 2＋2x ＋6y －4)＝0，即x －4y ＋4＝0．3．已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为________． 答案5π6解析 由题意知，|k ＋3|k 2＋1＝1，∴k ＝－33.∴直线l 的倾斜角为5π6.4．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且被直线x ＋2y ＝0截得的弦长为4，则圆C 的方程是________． 答案 (x ＋5)2＋y 2＝5解析 设圆心为(a,0)(a <0)，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，则d ＝|a ＋2×0|12＋22＝1，解得a ＝－5，所以，所求圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.5．若过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝________． 答案3解析 如图所示，∵P A ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，∴OA ⊥AP . ∵P (1，3)，O (0,0)，∴|OP |＝1＋3＝2.又∵|OA |＝1，∴在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12. ∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|AO |sin ∠AOP ＝3.6．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________． 答案 4解析 ∵点在圆内，由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB |的值最小， 此时|AB |＝2r 2－d 2＝29－5＝4.7．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则________． 答案 l 与C 相交解析 ∵32＋0－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P (3,0)在圆内，∴直线l 与圆C 相交．8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于________． 答案 2 3解析 圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1，∴弦AB ＝2r 2－d 2＝2 3.9．设直线l 截圆x 2＋y 2－2y ＝0所得弦AB 的中点为(－12，32)，则直线l 的方程为________；|AB |＝________．答案 x －y ＋2＝0 2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋y 21－2y 1＝0，x 22＋y 22－2y 2＝0，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)－2(y 1－y 2)＝0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1． 故l 的方程为y －32＝1·(x ＋12)，即x －y ＋2＝0． 又圆心为(0，1)，半径r ＝1，故|AB |＝2．10．设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是________． 答案 (x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8 解析 由题意可设圆心A (a ，a )，如图，则22＋22＝2a 2，解得a ＝±2，r 2＝2a 2＝8. 所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8. 11．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 1解析 方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4.相减得2ay ＝2，则y ＝1a .由已知条件22－(3)2＝1a，即a ＝1.二、解答题12．一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程． 解析 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，且与y 轴相切，∴设所求圆的圆心为C (3a ，a )，半径为r ＝3|a |. 又圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心C (3a ，a )到直线y ＝x 的距离为d ＝|3a －a |12＋12. ∴有d 2＋(7)2＝r 2.即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1. 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 13．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解析 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎨⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.。
直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有三种：如图所示. （1）直线与圆相交：有两个公共点； （2）直线与圆相切：有一个公共点； （3）直线与圆相离：没有公共点.2、直线与圆的位置关系的判定的两种方法：直线l 和圆C 的方程分别为：Ax+By+C=0，x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 1）代数法判断直线与圆的位置关系：由l 和C 的方程联立方程组220Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩， ①若方程有两个不相等的实数根（△>0），则直线与圆相交； ②若方程有两个相等的实数根（△=0），则直线与圆相切； ③若方程无实数根（△<0），则直线与圆相离.2）几何法判断直线与圆的位置关系：圆心C(a ，b)到直线的距离d=22||Aa Bb C A B+++与半径r 作比较①若d<r 时，直线l 和圆C 相交；②若d=r 时，直线l 和圆C 相切；③若d>r 时，直线l 和圆C 相离. 3、圆的切线的求法：（1）当点(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=r 2上时，切线方程为x 0x+y 0y=r 2；（2）若点(x 0，y 0)在圆(x －a)2+(y －b)2=r 2上时，切线方程为(x 0－a)(x －a)+(y 0－b)(y －b)=r 2； （3）斜率为k 且与圆x 2+y 2=r 2相切的切线方程为21y kx k =±+；斜率为k 且与圆(x －a)2+(y －b)2=r 2相切的切线方程的求法：先设切线方程为y=kx+m ，然后变成一般 式kx －y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m ；（4）点(x 0，y 0)在圆外面，则切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离 等于半径，解出k ，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上. 4、直线与圆相交的弦长公式1）平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A 、B ，线段AB 的长 即为直线l 与圆相交的弦长.设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为AB ，则有 222()2AB d r +=，即AB=222r d - . 2）解析法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，当直线AB 的倾斜角存在时，联 立方程组，消元得到一个关于x 的一元二次方程，求得x 1+x 2和x 1x 2.于是2121212||()4x x x x x x -=+-，这样就求得2121221||1||1||AB k x x y y k=+-=+-。
九年级数学直线与圆的位置关系
点和圆的位置关系有几种？
A B C
点到圆心的距离为d， 圆的半径为r，则： 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r; d=r； d<r.
直线与圆的位置关系
(地平线)
● ● ●
O
● ●
O
O
a(地平线)
O
O
一、直线与圆的位置关系
（用公共点的个数来区分）
特点： 直线和圆没有公共点， 叫直线和圆相离 特点： 直线和圆有惟一的公共点， 叫做直线和圆相切。 C
C
x
A
图形 直线与圆的 位置关系
．Ｏ r d ┐ l
．ｏ d r ┐ l .
A
. B
．O d r ┐ . lC
相离
0 d>r
相切
1 d=r
相交பைடு நூலகம்
2 d<r
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
公共点的名称 直线名称
切点
切线
已知⊙O的半径r=7cm,直线l1 // l2, 且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离为9cm. 求l1与l2的距离m.
.A
.A
.B
这时的直线叫切线
惟一的公共点叫切点。 特点： 直线和圆有两个公共点， 叫做直线和圆相交。
a(地平线)
观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与 地平线(直线a)经历了哪些位置关系的变化?
看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
（1） （2）
· O · O
l
（3） l l
· O
相离
相交
相切
课堂练习：
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距 离为d, 根据条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ; ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm
初中数学直线与圆的位置关系
a(地平线)
观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与 地平线(直线a)经历了哪些位置关系的变化?
看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
（1） （2）
· O · O
l
（3） l l
· O
相离
相交
相切
注意：直线是可以无限延伸的．
二、直线和圆的位置关系（用圆心o到直线l的距 离d与圆的半径r的关系来区分）
直线与圆的位置关系
(地平线)
● ● ●
O
● ●
O
O
a(地平线)
O
O
一、直线与圆的位置关系
（用公共点的个数来区分）
特点： 直线和圆没有公共点， 叫直线和圆相离 特点： 直线和圆有惟一的公共点， 叫做直线和圆相切。 C
.A
.A
.B
这时的直线叫切线
惟一的公共点叫切点。 特点： 直线和圆有两个公共点， 叫做直线和圆相交。
移动多少个单位？若⊙A要与x轴相交呢？
y
B 4
-1
3 .(-3,-4)
O
-1
C
x
A
图形 直线与圆的 位置关系．Ｏ r d ┐ l．ｏ d r ┐ l .
A
. B
．O d r ┐ . lC
相离
0 d>r
相切
1 d=r
相交
2 d<r
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
公共点的名称 直线名称
课堂练习：
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距 离为d, 根据条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ; ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm
直线和圆的位置关系
设⊙O的圆心O到直线的距离为d,半径为r，d， r是方程(m+9)x2－(m+6)x +1=0的两根,且直线与 ⊙O相切时,求m的值?
解:由题意可得 b2－4ac= [-(m+6)]2－4(m+9)=0 解得 m1= -8 m 2= 0 当m=-8时原方程 为x2+2x+1=0 x1=x2= -1 (不符合题意舍去) 当m=0时原方程 为9x2-6x+1=0 x1=x2= 1 3 ∴ m=0
高桥初中 刘方霞
点 与 圆 的 位 置 关 系
点P在圆内 点P在圆上 点P在圆外
d<r
P
d=r
O
P
d>r
r
·
P
A
想想:
思考： 把海平面看作一条直线，太阳看作一 个圆，由此你能得出直线与圆的位置 关系吗？
思考： 把海平面看作一条直线，太阳看作一 个圆，由此你能得出直线与圆的位置 关系吗？
直线和圆的位置关系有三种：
5
D
3
A
例: Rt△ABC,∠C=90°AC=3cm， 解：过C作CD⊥AB，垂足为D。 在Rt△ABC中， BC=4cm，以C为圆心，r为 2 = 2 2 2 半径的圆与AB有怎样的位置 AB= 关系？为什么？ =5（cm） （1）r=2cm；（2）r=2.4cm 根据三角形面积公式有 (3)r=3cm。 CD· AB=AC· BC
l
（二）.直线与圆的位置关系 (数量特征)
.Or
相离
d
B A
直线与圆的位置关系的性质与判定
H
l
r .D
1、直线与圆相离
d>r
相切
.O
直线与圆的位置关系
ｍ ：
．
③当（Ｏ与 ｃ相交时，＜ ， Ｄ ｄｒ
－
即
— Ｖ３
—
１
ｍ ＜一
。 ． ＜— ｍ
ｖ３
—
－
．
Ｚ
Ｚ
ｊ ＿
综， ＞ 邮ｃｏ相； ＝ 帅ｃ 上ｍ 当孚 与。离 ｍ 当 与
ｏＤ相切 ； ｍ 当 ＜ 时 ， Ｃ与 ｏＤ 交 ． Ｂ 相
切线的判定
在 直线 与 圆的三种 位 置关 系中 ， 切是 最 为重要 的一种 ． 以 相 所 切 线 的性质 和判定 显得 尤为 重要 ．
ｄ＞Ｃ ｎ与 ００相离 ． ２ｒ￣
这是判定 直线 与圆位置关系 的常用方法— —垂直法 ． 判定步聚 ：
① 过 圆心 向直 线作 垂线 ， 到垂 线 段 ； 找 ② 判 断垂 线段 ｄ与 ｒ 的大 小关 系 ；
③ 利用 大小 关 系 ， 定 位置 关 系． 判
Ｃ
如 图 ， Ｒ ＡＡＢ 在 ｔ Ｃ中 ， ＝ ０ ， ￣Ｃ ９ 。
证明
・
．
Ｅ 与 ｏ０相 切． Ｄ 连接 ０ Ｄ．
Ｃ．
‘
Ｄ为 Ａ 中点 ， Ｂ Ｄ为 Ｂ Ｃ中点 ，
ＯＤ
．
Ｉ ， ｆ ｒ ｌ 。 ｏ 鹊 ｓ ｏ ｒ ｌｂ ｄａ Ｍｅ ａ ｔ ａ ｌ ｉ ｎ ｔ ｅ ｓ ｏ ｄｏ ｉ ａ ｓｗｅｂ ｌ ｖ ｔ ｏｂ ． ｌ ｓ ｅ ｉ ｅｉ ｔ ｅ ｅ
Ｃ ＱＤ与 证明
。
．
如 图 ，已 知 Ｏ Ｃ是 ／ＡＯ 的平 分 线 ， Ｂ Ｄ是 ０ Ｇ上一 点 ， 相切 于点 Ｅ， 证 ： Ｂ与 ｏＤ相 切． 求 Ｏ 过 Ｄ作 Ｄ Ｆ￣Ｏ Ｂ于 点 Ｆ。 连接 Ｄ ． Ｅ
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系介绍直线和圆是几何中常见的元素，它们在空间中的相对位置关系对于多个学科领域都具有重要意义。
本文将介绍直线和圆的四种基本位置关系：相离、相切、相交和包含。
相离相离是指直线和圆没有任何交点，它们在空间中完全没有重叠部分。
如果一条直线与一个圆都是无限延伸的，直线与圆的位置关系就可以通过它们的公式来确定。
设直线方程为Ax + By + C = 0，圆心坐标为(h, k)，半径为r，则直线与圆的位置关系可以通过以下公式判断：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d > r：相离else：其他位置关系其中，d为直线到圆心的距离。
相切相切是指直线与圆只有一个交点，这个交点同时位于直线上和圆上。
相切的情况可以进一步分为两种：外切和内切。
外切外切是指直线与圆相切，且直线在圆的外部。
对于直线方程Ax + By + C = 0和圆心坐标(h, k)，半径r，判断直线与圆是否外切的公式如下：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d = r：外切else：其他位置关系内切内切是指直线与圆相切，且直线在圆的内部。
同样，可以通过直线方程和圆的参数来判断直线与圆是否内切：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d = -r：内切else：其他位置关系相交相交是指直线与圆有两个不重复的交点。
如果直线方程和圆的参数已知，可以通过以下公式来判断直线与圆是否相交：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d < r：相交else：其他位置关系包含包含是指直线经过圆的中心，这是一种特殊的位置关系。
如果直线方程和圆心坐标已知，可以通过以下公式判断直线是否包含圆：Ah + Bk + C = 0结论直线与圆的位置关系可以通过直线方程和圆的参数来判断。
相离、相切、相交和包含是直线和圆的四种基本位置关系。
圆与直线的位置关系
圆与直线的位置关系圆与直线是几何学中常见的图形，它们之间的位置关系包括相离、相切和相交三种情况。
本文将详细探讨这些情况，并通过几何推理和实例来解释。
1. 圆与直线相离：当直线与圆没有任何交点时，它们被视为相离的。
直线可能是圆心到圆周的垂直线，或者不经过圆心的一般直线。
无论直线与圆相切于内侧还是外侧，只要它们没有交点，就可以判定为相离的情况。
2. 圆与直线相切：相切是指直线与圆仅有一个交点，且交点位于圆上。
这种情况下，直线的斜率与圆心到直线的距离有一定的关系。
具体而言，如果直线的斜率与圆心到直线的距离相等，则可判断为相切关系。
相切分为外切和内切两种情况。
2.1 外切情况：当直线与圆相切于圆外时，被视为外切。
此时，直线与圆心的连线垂直于直线，且直线与圆的切点在圆心与直线之间的连线上。
2.2 内切情况：当直线与圆相切于圆内时，被视为内切。
此时，直线与圆心的连线垂直于直线，且直线与圆的切点在圆心与直线之间的连线上。
3. 圆与直线相交：当直线与圆有两个交点时，它们被视为相交。
直线可以穿过圆或与圆相切于圆上。
相交分为两种情况。
3.1 直线穿过圆：当直线穿过圆时，它将与圆有两个交点。
在这种情况下，可以进一步判断两个交点与圆心的位置关系，即是否位于圆的同侧或异侧。
3.2 直线与圆相切于圆上：当直线与只与圆相切于圆上时，它将与圆有两个重合的交点。
这种情况下，直线的斜率与圆心到直线的距离不等。
通过上述讨论，我们可以看出，圆与直线的位置关系涉及直线的斜率、圆心到直线的距离以及交点的位置。
这种关系对于解决几何问题和实际应用具有重要意义。
我们可以通过几何推理和计算来判断圆与直线的位置关系，进而解决与其相关的问题。
例如，在建筑设计中，确定某个圆形花坛是否与墙面的直线相交或相切，可以决定是否需要调整花坛的位置和形状，从而达到更美观和合理的效果。
在机械制图中，分析零件的圆形定位孔与直线轴线的位置关系，有助于确定装配的精度和可靠性。
圆与直线的位置关系
圆与直线的位置关系在几何学中，圆和直线是常见的几何对象，它们之间的位置关系有着重要的理论和实际应用价值。
本文将探讨圆与直线的不同相交情况以及相应的性质和应用。
一、相交情况1. 直线与圆相交当一条直线与圆相交时，可能存在三种不同的相交情况：相离、相切和相交。
（1）相离情况：当直线不与圆相交，且直线与圆的中心距离大于圆的半径时，可以判断直线与圆相离。
（2）相切情况：当直线与圆相交，且直线与圆的中心距离等于圆的半径时，可以判断直线与圆相切。
相切的情况下，直线与圆只有一个交点。
（3）相交情况：当直线与圆相交，且直线与圆的中心距离小于圆的半径时，可以判断直线与圆相交。
相交的情况下，直线与圆有两个交点。
2. 直线与圆的位置关系在直线与圆相交的情况下，可以进一步讨论直线与圆的位置关系。
（1）两条切线：当直线与圆相交于两个交点时，这两个交点连同圆心构成的直线称为切线。
切线与圆的切点处于圆上，切线与圆的切点处的切线方向垂直于半径。
（2）割线：当直线与圆相交于两个交点时，这两个交点连同圆心构成的直线称为割线。
割线的两个端点分别处于圆的内部和外部。
二、圆与直线位置关系的性质和应用1. 直径与切线的关系当直线通过圆的圆心，并且与圆相交于两个交点时，该直线称为直径。
直径是圆上任意两点之间距离的最大值。
根据圆的性质，直径与圆上任意切点处的切线垂直。
2. 切线定理切线定理是指在圆上任取一点和该点处的切线，该点与圆心连线与切线的切点连线所夹的角等于切线和该点处的切线段之间的角。
该定理在解决相关几何问题时具有重要的应用价值。
3. 圆与直线的应用圆与直线的位置关系在很多实际问题中都有重要应用，例如：（1）导航定位：通过确定某一圆上的两个已知点和与该圆相切的直线，可以确定导航目标的位置与方向。
（2）机械设计：在机械设计中，圆与直线的位置关系可以用于确定零件的相对位置和运动轨迹，有助于提高机械系统的设计精度。
（3）轮胎与地面的摩擦力：轮胎与地面接触时，通过轮胎与地面的接触点构成的直线与圆的位置关系，可以分析轮胎与地面的摩擦力和抓地力，以提高汽车的行车安全性。
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
Locational relation between line and circle
d
r
d<r
直线与圆相交
直线与圆的位置关系
Locational relation between line and circle
x2 y 2 2 y 4 0
Example. Find the length of the chord(弦) which formed by the line l:2x-y-2=0 and the circle C : x2 y 2 6 x 0
Exercise. Find the length of the chord(弦) which formed by the line l:x-2y+2=0 and the circle C : x2 y 2 6 x 7 0
(3)圆上恰有两个点到直线l的距离等于1
(4)圆上恰有三个点到直线l的距离等于1 (5)圆上恰有四个点到直线l的距离等于1
3
趣味题
一只小老鼠在圆(x-5)2+(y-3)2=9上环行， 它走到哪个位置时与直线l ：3x+4y-2=0的 距离最短，请你帮小老鼠找到这个点并计 算这个点到直线l的距离。
p
最短距离为2
例-3.求圆 x y 4x 2 y 4 0 上的点到直线y=x－1的最近距离和最 远距离
消元
一元二次方程
方法二：直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2
d=
例2、已知过点M（-3，-3）的直线l被圆 x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5，求直线l的 方程。
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系一、知识归纳：直线和圆的位置关系1．直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.①Δ＞0，直线和圆相交；②Δ=0，直线和圆相切；③Δ＜0，直线和圆相离.方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径R 的大小加以比较.①d ＜R ，直线和圆相交；②d =R ，直线和圆相切；③d ＞R ，直线和圆相离.2．直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3．直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.1．设0>m ，则直线01)(2=+++m y x 与圆m y x =+22的位置关系为A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切2．设直线过点),0(a ，其斜率为1, 且与圆222=+y x 相切,则a 的值为A ．± 2B ．±2C ．±2 2D ．±43．已知直线ax +by +c =0（ab c ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，三条边长分别为｜a ｜、｜b ｜、｜c ｜的三角形是（ ）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在4.若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 始终平分圆014222=+-++y x y x 的周长,则a b +=( )A ． 41B ． 21 C ． 1 D ．-1 5．若圆（x －3）2＋（y +5）2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y =2的距离等于1，则半径r的范围是A.（4，6）B.［4，6）C.（4，6］D.［4，6］6．设P 为圆221x y +=上的动点，则点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为_______.7．已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是 .8．设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为则a =__________．9．圆822=+y x 内有一点)2,1(-P ，AB 为经过点P 且倾斜角为α的弦。
3、直线和圆位置关系
1、直线与圆的三种位置关系：（1）当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；（2）当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切。
这时直线叫做圆的切线，唯一公共点叫切点。
（3）当直线与圆有两个公共点（即交点）时，叫做直线与圆相交。
这时直线叫做圆的割线。
2、直线与圆位置关系的数量描述： 如果O 的半径为R ，圆心O 到直线L 的距离为d ，那么（1）直线L 与O 相交⇔0≤d<R （2）直线L 与O 相切⇔d=R （3）直线L 与O 相离⇔d>R3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
二、例题精讲：例1、如图，在Rt ABC ∆中，ACB=90A=30BC=4∠∠，， （1）以C 为圆心、3为半径的C 与直线AB 有怎样的位置关系？ （2）以C为圆心、3.5为半径的C 与直线AB 有怎样的位置关系？（3）要使C 与直线AB 相切，C 的半径长应该是多少？（4）设C 的半径长为R ，如果C 与直线AB 有公共点，请写出R 的取值范围。
例2、如图，在ABC ∆中，C=90A=30∠∠，，O 是AB 上一点，BO=a ，O 的半径r 为12；问：当a 在什么范围内取值时，直线BC 与O 相离？相切？相交？CBAB例3、如图、已知折线ABCD ，作ABC ∠、DCB ∠的平分线相交于点I ，又作IE BC ⊥，E 是垂足。
以I为圆心、IE 为半径作I（1）请说明I 与BC 必相切。
（2）请问：I 与AB 、CD 都相切吗？为什么？例4、已知AB 是O 的直径，C 是AB 延长线上一点，且BC=OB（1）如图①，过点C 作射线CD ，使30ACD ∠=。
求证：CD 是O 的切线（2）如图②，作弦AP ，使30PAC ∠=，联结CP 。
问：CP 是不是O 的切线？并说明理由。
例5、如图，ABC ∆内接于O ，过点B 作射线BP ，使CBP=BAC ∠∠。
求证：BP 是O 的切线。
直线与圆的位置关系
那么直线和圆有几个公共点？为什么?
2、已知圆心和直线的距离为4cm，如果圆和直线的关系分别 为以下情况，那么圆的半径应分别取怎样的值？ （1）相交；（2）相切；（3）相离。
例、在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=3cm，BC=4cm.
(1)以A为圆心，3cm为半径的圆与直线BC的位置关系是
以A为圆心，2cm为半径的圆与直线BC的位置关系是 相切 ;
0
相离 ; 以A为圆心，3.5cm为半径的圆与直线BC的位置关系是 相交 .
(2)以C为圆心，半径r为何值时， ⊙C与 直线AB相切？ 相离？相交？
BCຫໍສະໝຸດ A小结：说一说，这节课你有哪些收获？
课后思考
⑴垂直于半径的直线是圆的切线吗？
⑵过半径外端的直线是圆的切线吗？ ⑶过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线吗？ ⑷过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线吗？
当直线与圆的位置关系是相交时，
知识梳理：
直线和圆的 位置关系 图形 公共点 个数 公共点 d 与 r 名称 的关系 直线 名称
相离 相切
没有
d>r
切点
一个
d=r d<r
切线
相交
两个
割线
练一练！
1、已知圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距离分别为 （1）d=4.5cm （2）d=6.5cm （3）d=8cm，
分层作业：
1.基础题：作业本(2)P21；
2.自选题：
如图，一热带风暴中心O距A岛为2千米，风
暴影响圈的半径为1千米.有一条船从A岛出发沿
AB方向航行，问∠BAO的度数是多少时船就会进 入风暴影响圈？
B A O
挑战自我！
如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC, ∠C= 30° ，AD=1，AB=2.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1)证明直线l与圆C相交; (2)求直线l被圆C截得的弦长最小时, 直线l的方程.
练习3.圆x y 2 x 4 y 3 0上到直线
2 2
x y 1 0的距离为 2的点共有几个.
三、课堂小结
直线与圆的有三种位置关系
判断直线与圆的位置关系的方法
1、判断圆心到直线的距离与圆的半径的关系 2、判断直线与圆的方程组成的方程组是否有解
判断直线和圆的位置关系
几何方法
求圆心坐标及半径r （配方法） 圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
代数方法
( x a) 2 ( y b) 2 r 2 Ax By C 0
消去y（或x）
px 2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
练习2.求圆心在直线3x y 0上, 与x轴相切，且 被直线x y 0截得的弦长为2 7的圆的方程.
二、新课讲解
例3.已知圆C : ( x 1) 2 ( y 2) 2 25, 直线l : (2m 1) x (m 1) y 7m 4 0(m R) :
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
四、作业布置
课本132页：习题4.2 A组 1、3
直线与圆的位置关系
一、新课引入
直线与圆的位置关系 : 直线和圆的位置关系 交点个数
判断 方法
相交ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相切
相离
2
1
0
d与r的关系 与0的关系
d r d r d r 0 0 0
其中 : (1)d是圆心到直线的距离, r是圆半径;
(2)是联立直线和圆方程后, 一元二次方程判别式.
二、新课讲解
例1.已知直线l : 3x y 6 0和圆心为C的圆x y 2 y 4 0, 判断直线l与圆的位置关系; 如果相交, 求它们交点的坐标.
2 2
练习 .经过点A(2,4)作圆x y 8 x 12 0的 1
2 2
切线, 求切线的方程.
二、新课讲解
例2.已知过点M (3,3)的直线l被圆x 2 y 2 4 y 21 0所截得的弦长为4 5 , 求直线l的方程.