直线与圆的位置关系的判定
直线与圆位置关系的判定方法
直线与圆位置关系的判定方法直线和圆的位置关系是初中数学中常见的问题，也是高中和大学数学中常见的基础概念，理解好这两者之间的关系对进一步的数学学习和应用都有很大的帮助。
下面将介绍判定直线与圆位置关系的方法。
一、一次函数方程式首先，对于经过圆的直线，可以将其方程式化为一次函数的形式，即：y = kx + b其中，k为斜率，b为截距。
接下来，我们只需要找到该函数与圆的位置关系即可。
1、当k=0时，直线平行于x轴，此时若圆心的y坐标在直线两端点的y坐标之间，则直线与圆有两个交点；若圆心的y坐标小于直线两端点的y坐标，则没有交点；若圆心的y坐标大于直线两端点的y坐标，则有且只有一个交点。
2、当k不为0时，此时直线的斜率存在，这意味着直线与圆的位置关系会发生变化。
如果直线的斜率大于圆与直线的交点处的切线的斜率，则直线与圆没有交点；如果直线的斜率小于切线的斜率，则直线与圆有两个交点；如果直线的斜率等于切线的斜率，则直线与圆有且只有一个交点。
二、圆的一般方程式还有一种情况是，圆的方程不是标准方程，而是一般方程：（x-a）² +（y-b）² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。
这时我们可以将直线的方程式 y=kx+b 代入圆的一般方程，并进行变形。
变形后的方程为：(k²+1)x² + (2kb-2ak-2b) x+(a²+b²-r²) = 0解此一元二次方程可以得到交点的横坐标，进而求得纵坐标。
当求出的纵坐标与直线对应的纵坐标接近时，则判断直线与圆相切；当求出的纵坐标与直线对应的纵坐标相等时，则判断直线与圆相离；否则，判断直线与圆相交。
相交时，根据解出的横坐标作代入圆的方程，得到两个交点的纵坐标。
总结：在日常生活和工作中，我们经常需要判定直线和圆的位置关系，上述方法简单易行，当我们用好这些方法，可以在很大程度上提高工作有效性。
判断圆与直线的位置关系的方法
判断圆与直线的位置关系的方法圆与直线的位置关系是几何学中的一个重要概念，我们可以通过一些方法来判断圆与直线的位置关系。
在本文中，我们将介绍三种常见的方法：切线法、判别式法和坐标法。
一、切线法切线法是判断圆与直线位置关系的一种常用方法。
当直线与圆相交时，我们可以通过判断直线与圆的切点个数来确定它们的位置关系。
1. 如果直线与圆相交于两个不同的切点，则直线与圆相交。
2. 如果直线与圆相切于一个切点，则直线与圆相切。
3. 如果直线不与圆相交或相切，则直线与圆相离。
二、判别式法判别式法是通过判别式来判断圆与直线的位置关系。
对于一般方程的直线和圆的方程，我们可以通过判别式来确定它们的位置关系。
1. 如果判别式大于零，则直线与圆相交。
2. 如果判别式等于零，则直线与圆相切。
3. 如果判别式小于零，则直线与圆相离。
三、坐标法坐标法是通过直线和圆的方程的坐标表示来判断它们的位置关系。
我们可以将直线和圆的方程代入，然后通过解方程组的方法来判断它们的位置关系。
1. 如果方程组有两个不相等的实数解，则直线与圆相交。
2. 如果方程组有一个实数解，则直线与圆相切。
3. 如果方程组无实数解，则直线与圆相离。
通过切线法、判别式法和坐标法，我们可以判断圆与直线的位置关系。
在实际应用中，我们经常会遇到需要判断圆与直线的位置关系的问题，比如在建筑设计、机械制造等领域中。
掌握这些方法可以帮助我们更好地解决相关问题，提高工作效率。
判断圆与直线的位置关系是几何学中的一个重要问题。
通过切线法、判别式法和坐标法，我们可以准确地判断圆与直线的位置关系，从而更好地解决相关问题。
希望本文对读者有所帮助，能够在实践中灵活运用这些方法。
初三数学直线和圆的位置关系
初三数学直线和圆的位置关系一.直线和圆的位置关系：①相交：直线和圆有两个公共点，这时说这条直线和圆相交；这条直线叫做圆的割线；②相切：直线和圆有唯一公共点，这时说这条直线和圆相切；这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.③相离：直线和圆没有公共点，这时说这条直线和圆相离．二.直线和圆的位置关系的判定：（1）定理：若⊙O的半径为R，圆心到直线l 的距离为d. 则直线l与⊙O相交d﹤R；直线l与⊙O相切 d =R；直线l与⊙O相离d﹥R；（2）“圆心到直线的距离d和半径R的数量关系”与“直线和圆的位置关系”之间的对应与等价关系列表如下：例1、1.在Rt△ABC中，∠C=，AC=3cm，AB=6cm，以点C为圆心，与AB边相切的圆的半径为_________cm.2.如图，⊙O的半径OD为5cm，直线l⊥OD，垂足为O，则直线l沿射线OD方向平移_________cm时与⊙O相切.3.已知⊙O的直径为6cm，如果直线l上的一点C到圆心的距离为3cm，则直线l与⊙O的位置关系是_________.4.⊙O的半径为R，圆心O到直线l的距离d与R是方程x2－6x＋9=0的两个实数根，则直线l和⊙O的位置关系是_________.三．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；2．切线的性质：①切线垂直于过切点的半径；②切线和圆心的距离等于半径；③经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；④经过切点垂直于切线的直线必过圆心.综上所述，在解决有关圆的切线的问题，连接圆心和切点的线段是最常见的辅助线.四、切线长的定义及切线长定理过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长，如图所示，PA，PB 是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段PA，PB的长即为点P到⊙O的切线长．切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．例2、如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AD∥CO.求证：CD是⊙O的切线.1、⊙O的半径为R，直线l和⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是（）A.d>RB.d<RC.d≤RD.d≥R2、点A为直线l上任一点，过A点与直线l相切的圆有（）个.A.1 B.2C.不存在 D.无数个3、在Rt△ABC中，∠A=，BA=12，CA=5，若以A为圆心，5为半径作圆，则斜边BC与⊙A的位置关系是（）A.相交 B.相离C.相切 D.不确定4、等边△ABC的边长为6，点O为△ABC的外心，以O为圆心，为半径的圆与△ABC的三边（）A.都相交B.都相离C.都相切D.不确定5、两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，作大圆的弦MN=8cm，则MN与小圆的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离D．无法判断6、如图，在直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相交C．相切 D．以上三种情形都有可能7、下列说法正确的是（）A．垂直于切线的直线必过切点B．垂直于半径的直线是圆的切线C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于切线的直线必经过圆心8、已知Rt△ABC的直角边AC=BC=4cm，若以C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则这个圆与斜边所在的直线的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离 D．不能确定9、如右上图，在△ABC中，AB=2，AC=1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，则AD的长为（）10、如下图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，∠D=__________．11、如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O移动到与AC相切时，OA=__________．12、设⊙O的半径为R，⊙O的圆心到直线的距离为d，若d、R是方程x2－6x＋m=0的两根，则直线l 与⊙O相切时，m的值为__________．13、已知∠ABC=60°，点O在∠ABC的平分线上，OB=5cm，以O为圆心，2cm为半径作⊙O，则⊙O与BC的位置关系是__________．14、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D．求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB＋EB=AC．15、如图，以边长为4的正△ABC的BC边为直径作⊙O与AB相交于点D，⊙O的切线DE交AC于E，EF⊥BC，点F是垂足，求EF的长．16、如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B．求证：PB是⊙O的切线．17、如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，∠BAC=30°，点C在⊙O上，过点C与⊙O相切的直线交AB 的延长线于点D，求线段BD的长．1．弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：2．扇形面积公式：（1）和含n°圆心角的扇形的面积公式同样不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：．（2）将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长和半径表示的扇形面积公式：。
圆与直线的位置关系与判定
圆与直线的位置关系与判定圆与直线是几何学中最基本的图形，它们之间的位置关系和判定方法在数学问题中有着广泛的应用。
本文将从不同角度探讨圆与直线之间的位置关系，并介绍几种常用的判定方法。
一、圆与直线的位置关系1. 直线经过圆心：当一条直线穿过圆心时，我们称其为圆的直径线或直径。
直径线是圆的特殊位置关系，它将圆分成两个相等的半圆，且直径线的长度等于圆的直径。
2. 直线在圆内部：当一条直线完全位于圆的内部时，我们称之为直线在圆内部。
在这种情况下，直线与圆相交于两个不同的点。
例如，图中的直线AB位于圆O的内部。
3. 直线切圆：当一条直线与圆相切时，我们称之为直线切圆。
直线与圆相切于圆上的一点，此点既属于圆，又属于直线。
例如，图中的直线AB切圆O于点C。
4. 直线在圆外：当一条直线完全位于圆的外部时，我们称之为直线在圆外部。
在这种情况下，直线与圆没有交点。
例如，图中的直线AB位于圆O的外部。
二、圆与直线的位置判定方法1. 判断直线是否经过圆心：通过直线的方程可以判断该直线是否经过圆心。
直线的方程一般可以表示为y = kx + b的形式，其中k为斜率，b为截距。
如果圆的圆心坐标为(x0, y0)，则当直线方程中的x0和y0满足方程y = kx + b时，直线经过圆心。
2. 判断直线与圆的位置关系：通过直线与圆的方程可以判断它们的位置关系。
设圆的方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，直线的方程为y =kx + c。
将直线的方程代入圆的方程中，可得一个关于x的一元二次方程。
通过求解该方程，可以得到方程的解，从而判断直线与圆的位置关系。
3. 判断直线是否切圆：通过直线与圆的切点个数可以判断直线是否切圆。
直线与圆相切时，方程的解只有一个，此时直线切圆。
当方程有两个不相等的解或者无解时，直线与圆没有交点。
4. 判断直线是否在圆内部或外部：通过圆的半径和圆心到直线的距离可以判断直线是否在圆的内部或外部。
直线与圆的位置关系
那么直线和圆有几个公共点？为什么?
2、已知圆心和直线的距离为4cm，如果圆和直线的关系分别 为以下情况，那么圆的半径应分别取怎样的值？ （1）相交；（2）相切；（3）相离。
例、在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=3cm，BC=4cm.
(1)以A为圆心，3cm为半径的圆与直线BC的位置关系是
以A为圆心，2cm为半径的圆与直线BC的位置关系是 相切 ;
0
相离 ; 以A为圆心，3.5cm为半径的圆与直线BC的位置关系是 相交 .
(2)以C为圆心，半径r为何值时， ⊙C与 直线AB相切？ 相离？相交？
BCຫໍສະໝຸດ A小结：说一说，这节课你有哪些收获？
课后思考
⑴垂直于半径的直线是圆的切线吗？
⑵过半径外端的直线是圆的切线吗？ ⑶过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线吗？ ⑷过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线吗？
当直线与圆的位置关系是相交时，
知识梳理：
直线和圆的 位置关系 图形 公共点 个数 公共点 d 与 r 名称 的关系 直线 名称
相离 相切
没有
d>r
切点
一个
d=r d<r
切线
相交
两个
割线
练一练！
1、已知圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距离分别为 （1）d=4.5cm （2）d=6.5cm （3）d=8cm，
分层作业：
1.基础题：作业本(2)P21；
2.自选题：
如图，一热带风暴中心O距A岛为2千米，风
暴影响圈的半径为1千米.有一条船从A岛出发沿
AB方向航行，问∠BAO的度数是多少时船就会进 入风暴影响圈？
B A O
挑战自我！
如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC, ∠C= 30° ，AD=1，AB=2.
直线与圆的位置关系常见题型归纳
直线与圆的位置关系常见题型归纳 （一）.直线与圆的位置关系判定： Eg1：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，以C 为圆心，R 为半径作⊙C 。
（1）若⊙C 与斜边AB 没有公共点，则R 的取值范围是 ；（2）若⊙C 与斜边AB 只有一个公共点，则R 的取值范围是 ；（3）若⊙C 与斜边AB 有两个公共点，则R 的取值范围是 。
Eg2：如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径是1，直线AB 与x 轴交于点P （x ，0），且与x 轴正方向夹角为45°，若AB 与⊙O 有公共点，则x 值的范围是（ ）A ．﹣1≤x ≤1B ．22≤≤-x C ．22 x - D ．20≤≤xEg3：如图，两个同心圆，大圆半径为5 cm ，小圆的半径为3 cm ，若大圆的弦AB 与小圆有公共点，则弦AB 的取值范围是_______．Eg4：如图，P 为∠AOB 边OA 上一点，∠AOB =30∘，OP =10cm ，以P 为圆心，5cm 为半径的圆与直线OB 的位置关系是（ ）A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定（二）.切线性质：1. 有关角度问题：Eg1：如图，AB 为⊙O 的切线，切点为A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O 上，若∠ABO 的度数是32∘，则∠ADC 的度数是（ ）A.29∘ B.30∘ C.31∘ D.32∘Eg2：如图所示，线段AB 是⊙O 的直径，∠CDB ＝20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 等于 ( )A ．50°B ．40°C ．60°D ．70°Eg3：如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25∘，则∠C=度．Eg4：如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C,点D、E、F是⊙O上三个点，EF∥AB，若EF=23，则∠EDC的度数为。
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳知识点精讲一、 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 二、 直线与圆的位置关系判断1. 几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心(,)a b 到直线0Ax By C ++=的距离，则d =则d r <⇔直线与圆相交，交于两点,P Q ，||PQ =d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离2. 代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由2220()()Ax By C x a y b r++=⎧⎨-+-=⎩ ，消元得到一元二次方程20px qx t ++=，20px qx t ++=判别式为∆，则： 则0∆>⇔直线与圆相交； 0∆=⇔直线与圆相切； 0∆<⇔直线与圆相离.三、 两圆位置关系的判断是用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆12,O O 的半径分别是,R r ，（不妨设R r >），且两圆的圆心距为d ，则： 则d R r <+⇔两圆相交； d R r =+⇔两圆外切； R r d R r -<<+⇔两圆相离 d R r =-⇔两圆内切；0d R r ≤<-⇔两圆内含（0d =时两圆为同心圆） 四、 关于圆的切线的几个重要结论（1） 过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=.（2） 过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=（3） 过圆220x y Dx Ey F ++++=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为0000022x x y y x x y y D E F ++++⋅+⋅+= （4） 求过圆222x y r +=外一点00(,)P x y 的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k 的方程，求出k 值.若求出的k 值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.题型讲解题型1 直线与圆的相交关系 思路提示研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长2l、弦心距d 和半径r 之间形成的数量关系222()2l d r +=.例9.28 已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1(0)2x y πθθθ+=<<，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k =___________. 分析 先求出圆心到直线的距离，在进行判断解析 因为圆心(0,0)到直线l 的距离为1，又因为圆O 4个点符合条件. 评注 若圆O 上到直线l 的距离等于2的点的个数为k ，则2k =；若3k =，则圆O 上到直线l 的距离等于1变式1已知圆O ：224x y +=，直线l ：1x ya b+=，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数有两个，则2211a b +的取值范围___________. 例9.29 已知圆C ：228120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=， （1） 当直线l 与圆C 相交时，求实数a 的取值范围;（2） 当直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =l 的方程.分析 根据点到直线距离等于半径来度量直线与圆相切问题；根据三长关系解决直线与圆相交问题. 解析 （1）圆C ：22(4)4x y +-=，故圆心为(0,4)C ，因为直线l 与圆C 相交，所以圆心为(0,4)C 到直线l 的距离2d =<，解得34a <-，故实数a 的取值范围是3(,)4-∞-（2）由题意，直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =224+=，化简可得2870a a ++=，即1a =-或7a =-，故所求直线的方程为20x y -+=或7140x y -+=.评注 在处理直线与圆的相交问题时经常用到三长关系，即半弦长，弦心距，半径长构成直角三角形的三边.变式1 对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（ ） A ．相离 B. 相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心变式 2 过点(1,2)--的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为，则直线l 的斜率为__________.变式3 已知直线l 经过点(1,3)P -且与圆224x y +=相交，截得弦长为l 的方程.例9.30 过点(1,1)P 的直线l 与圆22:(2)(3)9C x y -+-=相交于,A B 两点，则||AB 的最小值为（ ）A.解析 设圆心(2,3)C 到直线l 的距离d ，由弦长公式||AB ==可知当距离最大d 时，弦长||AB 最小.又||d CP ≤==，当直线l CP ⊥时取等号，故max d =.所以max ||4AB ===.故选B评注 过圆内一定点的所有弦中，过此点的直径为最长弦，过此点且垂直于该直径的弦为最短弦. 变式1 过点(11,2)A 做圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ） A. 16 条 B. 17条 C. 32条 D. 34条例9.31 已知圆的方程为22680x y x y +--=.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A. 解析 22680x y x y +--=可化为22(3)(4)25x y -+-=，故圆心坐标(3,4)，半径为5，点(3,5)在圆内，因为AC 最长，所以AC 为直径，即||10AC =，BD 最短，且BD 过点(3,5)，所以||BD ==，所以1||||2S AC BD == B变式1 如图所示，已知AC ,BD 为圆O ：224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为__________.例9.32 （2012北京海淀高三期末理13改编）已知圆22:(1)2C x y -+=，过点(1,0)M -的直线l 交圆C 于,A B 两点，若0CA CB ⋅=（C 为圆心），则直线l 的方程为__________. 解析 设直线:(1)l y k x =+，即:l 0kx y k -+= 则圆心到直线l 的距离为d =又0CA CB ⋅=，故CA CB ⊥，即△ABC 是等腰三角形，2C π∠=.所以sin142d r π====即k =±，故直线l ：10x +=或10x ++= 变式 1 已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(2,0)M -的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点.若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程.变式2 已知圆C ：22(1)(6)25x y ++-=上的两点,P Q 关于直线l :8y kx =+对称，且0OP OQ ⋅=（O 为坐标原点），求直线PQ 的方程题型2 直线与圆的相切关系 思路提示若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，切线的几何性质为：圆心和切点的连线垂直于切线. 例9.33 求经过点(1,7)-与圆2225x y +=相切的直线方程.分析 将点(1,7)-代入圆方程得221(7)5025+-=>，知点(1,7)-是圆外一点，故只需求切线的斜率或再求切线上另一点坐标.解析 解法一：依题意，直线的斜率存在，设所求切线斜率为k ，则所求直线方程为7(1)y k x +=-，整理成一般式为70kx y k ---=.由圆的切线的性质，5=，化简得3127120k k --=，解得43k =或34k =-. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.解法二：依题意，直线的斜率存在，设所求切线方程为0025x x y y +=（00(,)x y 是切点），将坐标(1,7)-代入后得00725x y -=，由00002272525x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得0043x y =⎧⎨=-⎩或0034x y =-⎧⎨=-⎩. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.评注 已知圆外一点，求圆的切线方程一般有三种方法：①设切点，用切线公式法；②设切线斜率，用判别式法：③设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径.一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况.变式1 已知圆22:(1)(2)4C x y -+-=，求过点(1,5)P -的圆的切线方程.变式2 直线l (2)2y k x =-+与圆22:220C x y x y +--=相切，则的一个方向向量为（ ） A. (2,2)- B. (1,1) C. (3,2)- D. 1(1,)2例9.34 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求入射光线l 所在直线的方程.分析 利用对称性解决此类反射问题.根据光学特征，对称性的使用既可以使用点的对称，也可以使用圆的对称.解析 已知圆22(2)(2)1x y -+-=关于x 轴的对称圆'C 的方程为22(2)(2)1x y -++=，可设光线所在直线方程为3(3)y k x -=+，所以直线l 与圆'C 相切，圆心'(2,2)C -到直线l 的距离1d ==，解得43k =-或34k =-. 所以光线所在的直线l 方程为4330x y ++=或3430x y +-=.变式 1 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线'l 所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求反射光线'l 所在直线的方程.题型3 直线与圆的相离关系 思路提示关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题.例9.35 （1）直线:1l y x =-的点到圆22:4240C x y x y ++-+=上的点的距离最小值是____________. （2）由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ）分析 过直线1y x =+上任意一点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线PQ ，即可得到1||PQ O Q PQ ⊥==，那么，当切线长PQ 取最小值时，即1O P 取最小值.解析 （1）圆C 可化为22(2)(1)1x y ++-=，故圆心(2,1)C -到直线1y x =-的距离d ==1d r -=（3） 过1O 作1O H 垂直于直线1y x =+于点H ，过H 作HR 相切圆1O 与R ，连接1O R ，则切线长的最小值为||HR ，圆心(3,2)-到直线10x y -+=的距离d ==，||HR =，故选A.变式1 已知点P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两切线，,A B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）A. 3B.2C. 变式 2 已知圆22:1O x y +=和定点(2,1)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =.（1）求实数,a b 间满足的等量关系； （2）求线段PQ 长的最小值.题型4 圆与圆的位置关系 思路提示已知两圆半径分别为12,r r ，两圆的圆心距为d ，则： （1） 两圆外离12r r d ⇔+<； （2）两圆外切12r r d ⇔+=； （3）两圆相交1212||r r d r r ⇔-<<+； （4）两圆内切12||r r d ⇔-=； （5）两圆内含12||r r d ⇔->；两圆外切和内切较为重要，这两种位置关系常与椭圆和双曲线的定义综合考查.例9.36 圆221:20O x y +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（ ）A. 外离B. 相交C. 外切D. 内切 分析 判断圆心距与两圆半径的关系解析 由圆221:20O x y +-=得1(0,0)O ，1r圆222:40O x y y +-=得2(0,2)O ，22r =，121212||||2r r O O r r -<=<+，两圆相交，故选B.变式1 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.变式2 在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线l ：24y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上， （1） 若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2） 使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.例9.37 已知两圆222610x y x y +---=和2210120x y x y m ++-+= （1）m 取何值时两圆外切.（2）m 取何值时两圆外切，此时公切线方程是什么？（3）求45m =时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长度.分析 把两圆的一般方程化为标准方程，求两圆的圆心距d ，判断d 与R r +，R r -的关系，再用圆的几何性质分别解决（2）（3）问. 解析 两圆的标准方程分别为22(1)(3)11x y -+-=，22(5)(6)61,(61)x y m m -+-=-<，圆心分别为(1,3),(5,6)M N（1） =25m =+（2） 小于两圆圆心距55=， 解得，两圆方程222610x y x y +---=与2210120x y x y m ++-+=，相减得861250x y +--+=代入，得43130x y +-+=.（3） 两圆的公共弦所在直线方程为2222(261)(101245)0x y x y x y x y +----+--+=，即43230x y +-=，所以公共弦长为=评注 应注意两圆位置关系由圆心距和两圆半径的和与差的大小关系来确定.变式1 若圆224x y +=与圆22260(0)x y ay a ++-=>，公共弦的长为a =___________.变式2 设两圆12,C C 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆的圆心距离12||C C =（ ）A. 4B. 有效训练题1. 已知点(,)P a b 在圆C ：224x y +=内（异于圆心），则直线10ax by ++=与圆C 的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 2.已知a b ≠，且2sin cos 04a a πθθ+-=，2sin cos 04b b πθθ+-=，则连接2(,)a a ，2(,)b b 两点的直线与单位圆的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定3.设,m n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）A. 1⎡-⎣B. (),11⎡-∞⋃+∞⎣C. 2⎡-+⎣D. (),22⎡-∞-⋃++∞⎣4.若直线1x ya b+=经过点(cos ,sin )M αα，则（ ）A. 221a b +≤B. 221a b +≥ C.22111a b +≤ D. 22111a b +≥5.过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分两部分，使得这两部分的面积之差最大，该直线的方程为（ ）A. 20x y +-=B. 10y -=C. 0x y -=D. 340x y +-=6.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是（ ） A. []3,1-- B. []1,3- C. []3,1- D. (][),31,-∞-⋃+∞7. 设,m n R ∈，若直线10mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△ABC 面积的最小值为___________8.过点(4,0)-作直线l 与圆2224200x y x y ++--=交于,A B 两点，如果||8AB =，则l 的方程为__________.9.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则的最大值是_______. 10.已知点(3,1)M ，直线40ax y -+=及圆22(1)(2)4x y -+-=. （1）求过点M 的圆的切线方程；（2）若直线40ax y -+=与圆相切，求a 的值（3）若直线40ax y -+=与圆相交于,A B 两点，且AB 弦的长为a 的值11.已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=（M 为圆心），直线的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B . （1）若060APB ∠=，试求点的坐标；（2）若点P 的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当CD =CD 的方程；（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.12. 已知圆C 过点(1,1)P ，且与圆222:(2)(2)(0)M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称. （1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值.（M 为圆M 的圆心）；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于,A B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由.。
直线与圆知识点总结
直线与圆知识点总结1. 直线与圆的位置关系：- 直线与圆可能相交于两个点，这种情况称为相交。
- 直线与圆可能与圆外部割线相切于一点，这种情况称为相切。
- 直线可能与圆没有交点，这种情况称为相离。
2. 判断直线与圆的位置关系：- 使用勾股定理可以判断直线与圆是否相交。
设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。
若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。
- 使用两点式可以判断直线与圆的位置关系。
设直线上两点为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
计算直线的斜率m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，若直线的斜率存在且非零，则直线与圆相交或相离；若直线的斜率不存在或为0，则直线可能与圆相切或相离。
将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。
若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。
3. 求直线与圆的交点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
解这个方程即可得到直线与圆的交点的x坐标。
将得到的x坐标代入直线的方程，可以求得对应的y坐标。
4. 求直线与圆的切点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
直线和圆位置关系的判定
判定直线与圆的位置关系常见的方式(1)几何法：利用弦心距d 与半径r 的关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程，再利用Δ判定．(3)点与圆的位置关系法：假设直线恒过定点且定点在圆内，可判定直线与圆相交．上述方式中最经常使用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．例一、已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12.证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； 方式一：证明：由⎩⎨⎧=++-+=12)1()1(122y x kx y ，消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0， 因为∆＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，因此不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点． 方式二：证明：圆心C (1，－1)到直线l 的距离d ＝|k ＋2|1＋k 2，圆C 的半径R ＝23， R 2－d 2＝12－k 2＋4k ＋41＋k 2＝11k 2－4k ＋81＋k2，而在S ＝11k 2－4k ＋8中， Δ＝(－4)2－4×11×8<0， 故11k 2－4k ＋8>0对k ∈R 恒成立，因此R 2－d 2>0，即d <R ，因此不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．方式三：证明：因为不论k 为何实数，直线l 总过点P (0,1)，而|PC |＝5<23＝R ，因此点P (0,1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总通过圆C 内部的定点P .因此不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．点评：在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一路综合考虑，不要单纯依托代数计算，如此既简单又不容易犯错．针对性练习：1．直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分没必要要条件是( )A ．－3＜m ＜1B ．－4＜m ＜2C ．0＜m ＜1D ．m ＜12.已知点P(a,b)(ab ≠0)是圆x 2+y 2=r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax+by=r 2,那么( )(A)m ∥l ,且l 与圆相交 (B)m ⊥l ，且l 与圆相切 (C)m ∥l ,且l 与圆相离 (D)m ⊥l ,且l 与圆相离解析：选C.直线m 的方程为()a y b x a ,b -=-- 即ax+by-a 2-b 2=0,∵P 在圆内，∴a 2+b 2<r 2,∴m ∥l , ∵圆心到直线l 的距离222r d r,a b=>+ ∴直线l 与圆相离. 3．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①假设点P 在圆O上，那么直线l 与圆O 相切；②假设点P 在圆O 外，那么直线l 与圆O 相离；③假设点P 在圆O 内，那么直线l 与圆O 相交；④不管点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依照点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，假设点P 在圆O 上，那么x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；假设点P 在圆O 外，那么x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；假设点P 在圆O 内，那么x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．选A4．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.假设点P 到直线l 的距离为2，那么符合题意的点P 有__________个．解析：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235＞4，故直线与圆相离，那么知足题意的点P 有2个．答案：25．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于_______。
直线与圆的位置关系与性质知识点总结
直线与圆的位置关系与性质知识点总结直线与圆是几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系与性质对于解决几何问题非常重要。
在这篇文章中，我们将总结直线与圆的常见位置关系，并讨论它们的性质。
一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的相交关系当直线与圆有交点时，我们可以得出以下几种情况：- 直线与圆相交于两点：直线穿过圆的中心，此时直径是直线的特例。
- 直线与圆相交于一个点：直线与圆相切，切点称为切点。
- 直线位于圆的内部，没有交点。
- 直线位于圆的外部，也没有交点。
2. 直线与圆的位置关系特例- 切线：直线与圆相切的情况，称为切线。
与圆相切的直线垂直于半径，切点在直线上的法线与从切点到圆心的半径垂直。
- 弦：直线穿过圆，但不过圆心的情况，称为弦。
通过圆心的弦称为直径，且直径是弦中最长的一条线段。
二、直线与圆的性质1. 切线定理定理一：若一条直线与圆相切于切点A，则以切点A为顶点的两条锐角与此直线所夹的圆弧相等。
定理二：若从圆外一点作直线与圆相切于切点A，则此直线与以此点为端点的弦相交处的两个锐角是一对互补角。
2. 弦长定理定理三：若两条弦相交于切点A，则两条弦分割的圆周上的弧长乘积相等。
3. 直径定理定理四：直径是穿过圆心的弦，正好是弦分割的两条弧的半径之和。
4. 割线定理定理五：若两条割线相交于切点A，则此割线与此切点所在的直线上的弦分割的互补角是一对互补角。
三、直线与圆的应用1. 问题一：判断直线是否与圆相交或相切当我们需要解决直线与圆的位置关系问题时，可以利用以下方法：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程并求解交点。
- 使用定理：利用判断圆内点的方法，或使用切线定理判断直线与圆是否相切。
2. 问题二：求解直线与圆的交点坐标当直线与圆相交于两点时，我们可以利用以下方法求解交点坐标：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程，联立方程并求解交点坐标。
3. 问题三：判断两条直线是否为切线或相交于切点当我们需要判断两条直线是否为切线或相交于切点时，可以利用以下方法：- 使用切线定理：若两条直线与圆相切于同一切点，则可判断它们为切线或相交于切点。
直线与圆的位置关系
|a| 解析：(1)设圆心O(a,0)(a＜0)，则 5 ＝ 2 2 ⇒|a|＝5，得a＝－ 1 ＋2 5，∴圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5. (2)依题意可设圆心坐标为(a,0)，a>0， |a－1| 则半径为|a－1|，圆心到直线l的距离为 ， 2 根据勾股定理可得， |a－1| 2 ( ) ＋( 2)2＝|a－1|2， 2 解得a＝3或a＝－1(舍去)，所以圆C的圆心坐标为(3,0)， 则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为x＋y－3＝0.
kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由 Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．
(3)注意：过圆外一点圆的切线方程一定有两条． 2．圆的弦长的常用求法： (1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则 l 2 2 ( ) ＝r －d2 2 (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]
4x－x2 有 ( )
B．[1－ 2，3] D．[1－2 2，3]
解析：在平面直角坐标系内画出曲线 y＝ 3－ 4x－x2与直线 y＝x，在平面直角坐标 系内平移该直线，结合图形分析可知，当 直线沿左上方平移到过点(0,3)的过程中的 任何位置相应的直线与曲线 y＝3－ 4x－x2 都有公共点；当直线沿右下方平移到与以点 C(2,3)为圆心、2 为半 径的圆相切的过程中的任何位置相应的直线与曲线 y＝3－ 4x－x2都有公共点． 注意到与 y＝x 平行且过点(0,3)的直线方程是 y＝x＋3；当直线 y＝x＋b 与以点 C(2,3)为圆心、2 为半径的圆相切 |2－3＋b| 时，有 ＝2，b＝1± 2 2.结合图形可知，满足题意的 b 的取 2 值范围是[1－2 2，3]．
圆和直线的位置关系
圆和直线的位置关系圆和直线是几何学中常见的基本几何形状。
它们之间的位置关系对于解决许多几何问题都至关重要。
本文将探讨圆和直线之间的各种可能的位置关系，并给出具体的例子来帮助读者更好地理解。
一、直线穿过圆的情况首先，我们来看直线穿过圆的情况。
当一条直线与圆相交时，有三种可能的情况：直线与圆相交于两个点、直线与圆相切于一个点或直线完全包围圆。
1. 直线与圆相交于两个点当一条直线与圆相交于两个点时，我们称之为直线与圆相交。
在这种情况下，我们可以通过连接两个交点来得到直线与圆的交点线段（弦）。
这个弦是圆上的一条线段，其长度等于两个交点之间的距离。
2. 直线与圆相切于一个点当一条直线与圆相切于一个点时，我们称之为直线与圆相切。
在这种情况下，直线在相切点处与圆的切线重合，且直线垂直于切线。
直线与圆的相切点是圆上的一个确定的点，其坐标可以通过解几何方程来求得。
3. 直线完全包围圆当一条直线完全包围圆时，我们称之为直线包围圆。
在这种情况下，直线的两个端点在圆的外部，且直线没有与圆相交的点。
直线与圆的位置关系可以通过判断直线方程和圆方程的关系来确定。
二、直线与圆的相对位置关系除了直线穿过圆的情况外，还存在直线与圆的其他相对位置关系。
这些关系包括直线在圆的内部、直线在圆的外部和直线与圆的切线垂直关系。
1. 直线在圆的内部当一条直线完全在圆的内部时，我们可以称之为直线在圆的内部。
在这种情况下，直线的所有点都位于圆的内部，没有与圆相交或相切的点。
2. 直线在圆的外部当一条直线完全在圆的外部时，我们可以称之为直线在圆的外部。
在这种情况下，直线的所有点都位于圆的外部，没有与圆相交或相切的点。
3. 直线与圆的切线垂直关系当一条直线与圆的切线垂直时，我们称之为直线与圆的切线垂直关系。
在这种情况下，直线与圆的切线的斜率乘以圆的切线的斜率为-1，即两条线段互为垂直。
举例来说，设定一个圆的圆心坐标为(0,0)，半径为r，则圆的方程可以表示为x^2 + y^2 = r^2。
判断直线与圆的位置关系方法
判断直线与圆的位置关系方法一、点到直线的距离公式：设直线的方程为Ax+By+C=0，圆的圆心坐标为(h,k)，半径为r，点的坐标为(x1,y1)。
点到直线的距离公式为：d=，A*x1+B*y1+C，/√(A^2+B^2)。
1.当d>r时，直线与圆无交点，直线与圆相离。
2.当d=r时，直线与圆只有一个交点，该交点即为点到直线的垂线与圆的交点。
3.当d<r时，直线与圆有两个交点，求解交点的方法可以利用点到直线的垂线方程。
二、点到圆的距离公式：设直线的方程为Ax+By+C=0，圆的圆心坐标为(h,k)，半径为r，点的坐标为(x1,y1)。
点到圆的距离公式为：d=√((x1-h)^2+(y1-k)^2)。
1.当d>r时，直线与圆无交点，直线与圆相离。
2.当d=r时，直线与圆只有一个交点，该交点即为点到圆的垂线与圆的交点。
3.当d<r时，直线与圆有两个交点，求解交点的方法可以利用点到直线的垂线方程。
三、直线与圆的交点公式：设直线的方程为Ax+By+C=0，圆的圆心坐标为(h,k)，半径为r，直线与圆的交点分别为(x1,y1)和(x2,y2)。
则交点的坐标有以下两种求解方法：1.代入方程法：将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程。
解这个方程可以得到x1和x2的值，将其代入直线的方程即可得到相应的y值。
最终求出交点的坐标。
2.垂线法：设直线的方程为y = kx + b，对其求出斜率 k 并确定直线的垂线的斜率为 -1/k。
将直线的方程代入圆的方程得到一个关于 x 的一元二次方程，解这个方程可以得到 x1 和 x2 的值，将其代入直线的方程即可得到相应的 y 值。
最终求出交点的坐标。
以上是判断直线与圆的常用方法，可以根据具体问题选择合适的方法来解决。
同时也需要注意解析几何中的一些特殊情况，如直线与圆相切、相交、相离等情况，对于这些情况需要综合考虑以上的公式和几何特性来判断两者的位置关系。
直线和圆的位置关系的性质直线与圆位置关系的判定方法直线与圆相交的弦长公式
直线与圆的位置关系：由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
其图像如下：1、由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
2、性质：（1）直线l和⊙O相交d＜r（2）直线l和⊙O相切d=r；（3）直线l和⊙O相离d＞r。
直线和圆的位置关系的性质：（1）直线l和⊙O相交d＜r（2）直线l和⊙O相切d=r；（3）直线l和⊙O相离d＞r。
直线与圆位置关系的判定方法：(1)代数法:判断直线Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系，可由推出mx2+nx+p=0，利用判别式△进行判断．△>0则直线与圆相交；△=0则直线与圆相切；△<0则直线与圆相离．(2)几何法:已知直线Ax+By+C=0和圆，圆心到直线的距离d<r则直线和圆相交；d=r则直线和圆相切；d>r则直线和圆相离．特别提醒:(1)上述两种方法，以利用圆心到直线的距离进行判定较为简捷，而判别式法也适用于直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判断．(2)直线与圆相交，应抓住半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，可使解法简单.直线与圆位置关系的判定方法列表如下：直线与圆相交的弦长公式：（1）几何法：如图所示，直线l与圆C相交于A、B两点，线段AB 的长即为l与圆相交的弦长。
设弦心距为d，半径为r，弦为AB，则有|AB|=（2）代数法：直线l与圆交于直线l的斜率为k，则有当直线AB的倾斜角为直角，即斜率不存在时，|AB|=①相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
直线与圆的位置关系
2、直线与圆交点的个数：与圆有唯一个公共点的直线。
3、圆心到直线的距离与等于圆的半径的直线，即d=r。
方 法：
d
r
l
（1）知直线与圆的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ共点，连半径证垂直。
（2）不明确直线与圆的公共点，作垂直证半径。
切线的性质： 1、性质定理： （知切点，连半径，得垂直） 圆的切线垂直于经过切点的半径． 2、圆的切线与圆只有一个交点。 3、切线与圆心的距离等于半径。 性质推论1：经过圆心且垂直于切线的直线 必经过切点．
性质推论2：经过切点且垂直于切线的直线 必经过圆心．
切线长定理：
过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
· O ·
B
A
·
P
PA PB, APO BPO
直线与圆的位置关系
1、直线和圆的位置关系： （用圆心O到直线l的
距离d与圆的半径r的关系 来区分）
d r
直线和圆相交
d< r d= r
d
r
直线和圆相切
位置 关系、 d、r 知二 求一。
r
d
∟
直线和圆相离
d> r
数量关系
数形结合： 位置关系
切线的判定：
1、定理：
经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
圆与直线的位置关系
圆与直线的位置关系圆与直线是几何学中常见的图形，它们之间的位置关系有多种情况。
本文将从相离、相切和相交三个方面来探讨圆与直线的位置关系。
相离当一条直线与圆没有任何交点时，称它们为相离的关系。
在平面几何中，一条直线可以在圆的内部或外部相离。
以O为圆心、r为半径的圆和直线l为例，如果直线l与圆交点数为0，则可断定圆与直线相离。
相切当一条直线与圆只有一个交点时，称它们为相切的关系。
圆与直线相切的位置关系有内切和外切两种情况。
当直线l与圆内部相切时，交点位于圆的内部且只有一个。
直线l与圆内切于点P，此时直线l是P点的切线。
切线的特点是在交点处与圆的曲线相切且与切点的切线垂直。
当直线l与圆外部相切时，交点位于圆的外部且只有一个。
直线l与圆外切于点T，此时直线l是从点T出发与圆相切的切线。
同样的，切线也是在交点处与圆的曲线相切且与切点的切线垂直。
相交当一条直线与圆有两个交点时，称它们为相交的关系。
圆与直线相交有两种情况，一是直线穿过圆，二是直线与圆的一部分相交。
当直线l穿过圆时，直线l与圆有两个交点。
如图所示，直线l与圆相交于点A和点B。
这种情况下，直线l被称为圆的弦，而弦的中点则位于圆心O上。
当直线l与圆的一部分相交时，直线l与圆有两个交点，且这两个交点不在直线l上。
直线l与圆相交于点C和点D，C点和D点分别位于圆的曲线上。
总结圆与直线的位置关系可以通过相离、相切和相交三个方面来描述。
相离表示没有任何交点，相切表示只有一个交点，而相交表示有两个交点。
通过研究这些位置关系，我们可以深入理解几何形体之间的相互作用，丰富我们的几何知识。
以上是对圆与直线位置关系的简要介绍，希望能够对读者有所帮助。
当然，对于更复杂的情况和具体应用，我们还可以进一步探讨，深入研究几何学的奥妙。
几何学是数学的一门重要分支，通过学习和研究几何学，我们可以培养自己的逻辑思维和分析问题的能力。
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（一）判断直线与圆的位置关系的方法总结： （二）判断直线与圆位置关系的方法总结 几何方法 求圆心坐标及半 径r（配方法） 圆心到直线的距离d （ 点到直线距离公式） 代数方法
( x a) 2 ( y b) 2 r 2 Ax By C 0
消去y（或x）
px 2 qx t 0
数形结合
∟
d
直线和圆相离 位置关系
d> r 数量关系
(2) 利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
Ax By C 0 方程组 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r 得关于x(或y)的一元二次方程， 解的个数为n
△<0
△=0 △>0
n=0 n=1 n=2 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
2:已知直线l:kx-y+6=0被圆x2+y2=25截得的弦长为8,求k值
判断直线与圆的位置关系的方法
单位：泾川县第三中学
姓名：闫天虎
（一）判断直线与圆的位置关系的方法探寻： 设直线l：Ax+By+C=0 设圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
（ 1）利用圆心到直线的距离d
d
r
aA bB C A2 B 2
d< r
直线和圆相交
d
r 直线和圆相切 r d= r
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
（三）判断直线与圆的位置关系的方法应用： 巩固深化，反馈矫正 1:对任意实数k,圆C: x2+y2-6x-8y+12=0 与直线l:kx-y-4k+3=0的位置关系是( A 相交 B相切 C相离 D与k值有关 )