利用重要的不等式证明分式不等式

合集下载

分式不等式的解法步骤

分式不等式的解法步骤
嘿，朋友们！咱今儿来聊聊分式不等式的解法步骤哈。

你看这分式不等式，就好像是一道有点复杂的迷宫，咱得一步步找到出口。

先来说说第一步，那就是移项啦！把那些不在分式这边的家伙统统挪到一边去，就像整理房间一样，把东西都归归类。

比如说一个分式不等式，咱就把含未知数的都弄到一边，其他的扔到另一边。

这就好比把不同类型的玩具分开摆放，清楚明白！
然后呢，就是通分啦！这就像是给一群小伙伴排排队，让他们按照一定的规则站好。

通分之后，咱就能更清楚地看到它们之间的关系啦。

接下来这步可重要啦，就是化简！把那些能合并的都合并起来，能约分的都约分掉，让整个式子变得简单明了。

就像给一棵树修剪枝叶，让它的形状更漂亮。

再之后呢，就是判断符号啦！这可得仔细着点，就像走在路上得看清红绿灯一样。

要根据各种情况来确定符号的正负，可不能马虎哟！
最后一步，就是求出解集啦！就好像终于找到了迷宫的出口，那种感觉，爽歪歪呀！
你想想，解分式不等式不就跟咱解决生活中的难题一样嘛。

咱得有条有理地一步一步来，不能着急，不能马虎。

要是着急了，说不定就走错路啦；要是马虎了，那可就找不到正确答案咯！
所以啊，遇到分式不等式别害怕，按照这几步慢慢来，肯定能把它搞定。

就像咱平时做事一样，只要有耐心，有方法，啥困难都能解决！咱可不能被这小小的分式不等式给难住了呀，对吧？咱得有信心，有勇气，去攻克它！就这么办，加油！。

分式不等式的解题方法与技巧

分式不等式的解题方法与技巧
1.解分式不等式的具体步骤：
(1) 将分式不等式化简成分母常数：将不等式变形为分式不等式，将分式不等式化简成分母常数；
(2) 将不等式转化成一般不等式：将分母常数乘以变量，将所有项收集到一边，生成相应的一般不等式；
(3) 利用一般不等式的性质，求出解集；
(4) 将解集转换成包含分式不等式的解集。

2.解分式不等式的技巧：
(1) 病跟踪：当涉及到分母的数值时，要特别注意，分母不能等于0；
(2) 将不相交子集划分到正确的方向：可将不相交的子集分成左侧大于右侧或右侧小于左侧两类，将包含在不等式符号内部的子集作为取反并划入另一边；
(3) 利用添加常数的思想解决设定了等号的不等式：在求解分式不等式时可以将左右两边的式子同时加上一个未知的常数，看看未知常数好满足分式不等式。

分式不等式和高次不等式课件

高次不等式的解法
总结词
高次不等式的解法主要包括因式分解法、配方法、导数法和不等式性质法等。
详细描述
因式分解法是解高次不等式的一种常用方法，通过将多项式进行因式分解，将复杂的高次不等式转化为简单的一元一次或一元二次不等式，从而方便求解。配方法则是将多项式转化为完全平方的形式，再利用一元二次方程的解法求解。导数法是通过求导数来确定函数的单调性，再利用函数的单调性求解不等式。不等式性质法则是利用不等式的性质，如对称性、传递性和可加性等，来简化不等式的求解过程。
详细描述
因式分解法是将分式不等式化为整式不等式的一种常用方法，通过因式分解可以简化不等式的形式，便于求解。换元法是通过引入新的变量来替换原不等式中的部分变量，从而将复杂的不等式转化为简单的不等式。作差法是将两个函数值相减，通过判断差的正负来求解不等式。构造函数法则是通过构造一个新的函数，利用函数的性质来求解不等式。这些方法在解决分式不等式问题时具有重要的作用。
分式不等式和高次不等式件
• 分式不等式的概念和性质 • 高次不等式的概念和性质 • 分式不等式和高次不等式的应用 • 分式不等式和高次不等式的解题技
巧
01
分式不等式的概念和性质
分式不等式的定义
总结词
详细描述
分式不等式的性质
总结词
详细描述
分式不等式的解法
总结词
分式不等式的解法主要包括因式分解法、换元法、作差法和构造函数法等。这些方法可以帮助我们有效地解决分式不等式问题。
02
高次不等式的概念和性质
高次不等式的定义
总结词
详细描述
高次不等式的性质
总结词
高次不等式具有一些重要的性质，如对称性、传递性和可加性等。

几个常见分式不等式的统一构造证明

几个常见分式不等式的统一构造证明
分式不等式是一种常见的数学不等式，它的统一构造证明可以帮助我们更好地理解和解决这类问题。

首先，我们来看一个典型的分式不等式：\frac{x^2+1}{x+1}>0。

首先，我们将分式不等式转化为乘法不等式：x^2+1>0\cdot(x+1)，即x^2+1>0。

接下来，我们可以将x^2+1分解为(x+1)(x+1)，即(x+1)^2>0。

最后，我们可以得出结论：x+1>0，即x>-1。

因此，我们可以得出结论：\frac{x^2+1}{x+1}>0的解集为x>-1。

以上就是分式不等式的统一构造证明。

通过将分式不等式转化为乘法不等式，再将乘法不等式分解为平方不等式，最后得出结论，我们可以很容易地解决分式不等式问题。

总之，分式不等式的统一构造证明可以帮助我们更好地理解和解决这类问题，从而提高我们的数学水平。

分式方程与分式不等式

分式方程与分式不等式通常情况下，分式方程与分式不等式是我们在初中数学学习过程中需要掌握的重要知识点。

本文将对分式方程与分式不等式进行详细介绍，包括定义、求解方法以及一些应用实例。

一、分式方程分式方程是指方程中含有分式的等式。

通常表现为分式中含有未知数，并且需要求解该未知数的值。

在解分式方程时，首先需要将方程中的分式转化为通分式，然后将等式两边进行化简，最后得到未知数的值。

举例说明：1. 解方程：$\frac{1}{2}x - \frac{3}{4} = \frac{x}{6}$首先，通分得到 $\frac{3}{6}x - \frac{9}{12} = \frac{2}{12}x$化简得到 $\frac{3}{6}x - \frac{2}{12}x = \frac{9}{12}$进一步计算得到 $\frac{1}{6}x = \frac{9}{12}$最后得到 $x = \frac{9}{12} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3}{2}$因此，方程的解为 $x = \frac{3}{2}$2. 解方程：$\frac{1}{x} + \frac{3}{2} = \frac{5}{4}$首先，通分得到 $\frac{2}{2x} + \frac{3x}{2x} = \frac{5}{4}$化简得到 $\frac{2 + 3x}{2x} = \frac{5}{4}$进一步计算得到 $8 + 12x = 10x$移项得到 $12x - 10x = -8$最后得到 $x = -8$因此，方程的解为 $x = -8$二、分式不等式分式不等式是指方程中含有分式的不等式。

通常表现为分式中含有未知数，并且需要求解该未知数的取值范围。

在解分式不等式时，首先需要将不等式中的分式转化为通分式，然后将不等式两边进行化简，最后得到未知数的取值范围。

举例说明：1. 解不等式：$\frac{2}{3}x + \frac{1}{2} < \frac{5}{4}$首先，通分得到 $\frac{8}{12}x + \frac{6}{12} < \frac{15}{12}$化简得到 $\frac{8x + 6}{12} < \frac{15}{12}$进一步计算得到 $8x + 6 < 15$移项得到 $8x < 9$最后得到 $x < \frac{9}{8}$因此，不等式的解为 $x < \frac{9}{8}$2. 解不等式：$\frac{x}{4} - \frac{1}{3} \geq \frac{5}{6}$首先，通分得到 $\frac{3x}{12} - \frac{4}{12} \geq \frac{10}{12}$化简得到 $\frac{3x - 4}{12} \geq \frac{10}{12}$进一步计算得到 $3x - 4 \geq 10$移项得到 $3x \geq 14$最后得到 $x \geq \frac{14}{3}$因此，不等式的解为 $x \geq \frac{14}{3}$三、分式方程与分式不等式的应用实例1. 实例一：某公司的总资产为450万元，其中固定资产占总资产的四分之一，流动资产为总资产的三分之一。

微专题05 一元二次不等式、分式不等式(解析版)

微专题05一元二次不等式、分式不等式【知识点总结】一、一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上．（2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或．②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭且．③若0∆<，解集为R ．（2）当0a <时，二次函数图象开口向下．①若0∆>，解集为{}12|x x x x <<②若0∆≤，解集为∅二、分式不等式（1）()0()()0()f x f xg x g x >⇔⋅>（2）()0()()0()f x f xg x g x <⇔⋅<（3）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩（4）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ⋅≤⎧≤⇔⎨≠⎩三、绝对值不等式（1）22()()[()][()]f xg x f x g x >⇔>（2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或；()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【方法技巧与总结】（1）已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；（2）已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；（3）已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；（4）已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．【题型归纳目录】题型一：一元二次不等式的解法题型二：分式不等式的解法题型三：绝对值不等式的解法题型四：高次不等式的解法题型五：一元二次不等式恒成立问题【典型例题】题型一：一元二次不等式的解法例1．（2022·全国·高一课时练习）不等式20x ax b --<的解集是{|23}x x <<，则210bx ax -->的解集是（）A ．{|23}x x <，解不等式得解集为11{|}23x x -<<-故选：C例2．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，则下列说法正确的是（）A ．0a >B ．不等式20ax cxb ++>的解集为{|22x x <<+C ．0a b c ++<D ．不等式0ax b +>的解集为{}|3x x >【答案】B【解析】因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，所以0a <，所以选项A 错误；由题得014,3,414a b b a c a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-∴=-=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，所以20ax cx b ++>为2430,22x x x --<∴<，所以选项C 错误；不等式0ax b +>为30,3ax a x ->∴<，所以选项D 错误．故选：B例3．（2022·江苏南京·高一期末）已知,b c ∈R ，关于x 的不等式20x bx c ++<的解集为()2,1-，则关于x 的不等式210cx bx ++>的解集为（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．()1,12∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为不等式20x bx c ++<的解集为()2,1-，所以2121-=-+⎧⎨=-⨯⎩b c 即12=⎧⎨=-⎩b c ，不等式210cx bx ++>等价于2210x x -++>，解得112x -<<．故选：A ．例4．（2022·全国·高一课时练习）已知不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎨-+<⎩的解集是关于x 的不等式230x x a -+<解集的子集，则实数a 的取值范围是（）．A ．0a ⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，解得0a ，故选：B ．例5．（多选题）（2022·江苏·苏州中学高一阶段练习）关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则下列正确的是（）A ．0a 的解集为(,6)-∞-C ．0a b c ++>D ．关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集为121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ACD【解析】A ．由已知可得0a <且2,3-是方程20ax bx c ++=的两根，A 正确，B ．由根与系数的关系可得：2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得,6b a c a =-=-，则不等式0bx c +>可化为：60ax a -->，即60x +>，所以6x >-，B 错误，C ．因为660a b c a a a a ++=--=->，C 正确，D ．不等式20cx bx a -+>可化为：260ax ax a -++>，即2610x x -->，解得12x >或13x <-，D 正确，故选：ACD ．例6．（多选题）（2022·全国·高一）若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，则下列说法正确的是（）A ．0a C ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()3,1-D ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()(),31,-∞-⋃+∞【答案】ABD【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，所以0,1,2b ca a a<-==-，故,2b a c a =-=-，此时20a b c a ++=->，所以A 正确，B 正确；22230230230bx cx a ax ax a x x ++>⇔--+>⇔+->，解得：3x <-或1x >．所以D 正确；C 错误．故选：ABD例7．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+-≥>的解集为[]12,x x ，则12123ax x x x ++的最小值是_____________．【答案】4【解析】关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+-≥>可化为()()30(0)x a x a a --≤>所以不等式的解集为[],3a a ，所以12,3x a x a ==．所以122123314443a a x x a a x x a a ++=+=+≥=（当且仅当14a a=，即12a =时取“=”）．故答案为：4．例8．（2022·江苏·盐城市大丰区新丰中学高一期中）已知关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{|}x x c ≠，且a ，b ，R c ∈，0b c +≠，则2210a b b c +++的最小值为_______．【答案】【解析】由题意，关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{|}x x c ≠，可得0b >，且440ab ∆=+=，所以1ab =-且0b >，所以1a b=-，又由不等式220bx x a -->的解集为{|}x x c ≠，所以212c b b--==，令12t b c b b=+=+≥，则22222211()22a b b b t b b +=+=+-=-，所以2221088a b t t b c t t +++==+≥+t =时取等号．所以2210a b b c+++的最小值为故答案为：题型二：分式不等式的解法例9．（2022·河南·高一期中）不等式351x x x +>-的解集是______．【答案】()(),11,5-∞-⋃【解析】不等式351x x x +>-化为以下两个不等式组：21035x x x x -<⎧⎨+<-⎩或21035x x x x ->⎧⎨+>-⎩，解21035x x x x -<⎧⎨+<-⎩，即21450x x x <⎧⎨-->⎩，解得1x <-，解21035x x x x ->⎧⎨+>-⎩，即21450x x x >⎧⎨--<⎩，解得15x <<，所以原不等式的解集是()(),11,5-∞-⋃．故答案为：()(),11,5-∞-⋃例10．（2022·全国·高一专题练习）不等式3113x x+>--的解集是_______．【答案】()23-，【解析】由3113x x +>--可得31103x x ++>-，即2403x x +<-，即()()3240x x -+<解得23x -<<所以不等式3113x x+>--的解集是()23-，故答案为：()23-，例11．（2022·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）不等式2131x x +>-的解是___________．【答案】(1,4)【解析】由题设，2143011x xx x +--=>--，∴(1)(4)0x x --<，可得14x <<，原不等式的解集为(1,4)．故答案为：(1,4)．例12．（2022·上海市延安中学高一期中）已知关于x 的不等式221037kx kx x x -+≤-+的解集为空集，则实数k 的取值范围是___________．【答案】[)0,4【解析】2231937024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立，∴不等式等价于210kx kx -+≤的解集是φ，当0k =时，10≤不成立，解集是φ，当0k ≠时，240k k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得：04k <<，综上：04k ≤<．故答案为：[)0,4例13．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）不等式301x x -≥+的解集是____________．【答案】()[),13,-∞-+∞【解析】原不等式等价于()()31010x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得：3x ≥或1x <-，故答案为：()[),13,-∞-+∞．例14．（2022·上海市奉贤区曙光中学高一阶段练习）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为(,1)-∞，则关于x 的不等式06ax bx -≥-的解集为______；【答案】[)1,6-【解析】由于关于x 的不等式0ax b +>的解集是(,1)-∞，则1为关于0ax b +=的根，且0a <，0a b ∴+=，得=-b a ，不等式06ax b x -≥-即为06ax a x +≥-，即106x x +≤-，解该不等式得[)1,6x ∈-故答案为：[)1,6-例15．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一开学考试）若不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，则不等式13x ax -≤-的解集为______．【答案】{}3x x >【解析】∵不等式2510ax x ++≤的解集为11{|}23x x -≤≤-∴12-，13-是方程2510ax x ++=的两根，∴6a =，∴13x a x -≤-可化为303x -≤-∴3x >∴不等式13x ax -≤-的解集为{|3}x x >，故答案为：{|3}x x >．例16．（2022·上海·高一专题练习）关于x 的不等式212x ax -≤--的解集是523x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，则a 的值为____．【答案】3【解析】由题知，22122x a x x x --≤-=---，整理得()3202x a x -+≤-，所以()()()3220x a x -+-≤，且2x ≠，因为不等式()()()3220x a x -+-≤，且2x ≠，的解集为523x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以()53203a ⋅-+=，3a =．故答案为：3．题型三：绝对值不等式的解法例17．（2022·上海交大附中高一阶段练习）不等式组12511x x ⎧-≤⎪⎨≥⎪+⎩的解集为______________；【答案】(]1,3-；【解析】不等式12x -≤等价于212x -≤-≤，解之得：13x -≤≤，不等式511x ≥+等价于()5101x x -+≥+，解之得：14x -<≤，故不等式组12511x x ⎧-≤⎪⎨≥⎪+⎩的解集为：(]1,3-．故答案为：(]1,3-．例18．（2022·上海交大附中高一期中）已知集合102x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{|}1||2B x x =-≤，则A B ＝___．【答案】(23]-，【解析】解不等式102x x -≤+即(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩，解得21x -<≤，故10(2,1]2x A xx ⎧⎫-=≤=-⎨⎬+⎩⎭，解|1|2x -≤，即212x -≤-≤，解得13x -≤≤，故121{|||]3}[B x x =-≤=-，，则(23]A B ⋃=-，，故答案为：(23]-，．例19．（2022·上海浦东新·高一期中）不等式221x x ->+的解集是_________．【答案】1|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】当12x ≤-时，不等式221x x ->+转化为()()221x x -->-+，解得3x >-，此时132x -<≤-，当122x -<<时，不等式221x x ->+转化为()221x x -->+，解得13x <，此时1123x -<<，当2x ≥时，不等式221x x ->+转化为221x x ->+，解得3x <-，此时无解，综上：221x x ->+的解集是1|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．故答案为：1|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭例20．（2022·全国·高一专题练习）设集合A ＝{x ||x ﹣a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围为___．【答案】2≤a ≤4【解析】由|x ﹣a |＜1，得﹣1＜x ﹣a ＜1，∴a ﹣1＜x ＜a +1，由A 是B 的真子集，得1115a a ->⎧⎨+<⎩，∴2＜a ＜4．又当a ＝2时，A ＝{x |1＜x ＜3}，a ＝4时，A ＝{x |3＜x ＜5}，均满足A 是B 的真子集，∴2≤a ≤4．故答案为：2≤a ≤4题型四：高次不等式的解法例21．（2022·全国·高一课时练习）不等式22132x x x +≥-+的解集为___________．【答案】[0,1)(2,4]⋃【解析】22132x x x +≥-+等价于221032+-≥-+x x x ，即224032x x x x -+≥-+，即(4)0(1)(2)x x x x -≤--，又等价于()()()()()1240120x x x x x x ⎧---≤⎪⎨--≠⎪⎩，利用数轴标根法解得01x ≤<或24x <≤，所以原不等式的解集为[0,1)(2,4]⋃，故答案为：[0,1)(2,4]⋃例22．（2022·天津·静海一中高一阶段练习）不等式()()222344032x x x x x +-+≤+-的解集为___________．【答案】3[,1){2}(3,)2--+∞【解析】由题得2320,3x x x +-≠∴≠且1x ≠-．由题得()()()()2222322320,023(3)(1)x x x x x x x x +-+-≥∴≥---+，所以()()223(1)2(3)0x x x x ++--≥，()()223(1)2(3)0x x x x ++--=零点为3,1,2,32--．当32x <-时，不等式不成立；当312x -≤<-时，不等式成立；当12x -≤<时，不等式不成立；当2x =时，不等式成立；当23x <≤时，不等式不成立；当3x >时，不等式成立．故不等式的解集为：3[,1){2}(3,)2--+∞故答案为：3[,1){2}(3,)2--+∞例23．（2022·上海·华师大二附中高一阶段练习）不等式201712xx x <≤-+的解集为________．【答案】(0,2][6,)⋃+∞【解析】20712xx x <⇒-+()()340x x x -->，根据数轴穿根法可解得03x <<或4x >，22228121100712712712x x x x x x x x x x -+≤⇒-≤⇒≥-+-+-+()()()()2234607120x x x x x x ⎧----≥⇒⎨-+≠⎩，解得2x ≤或34x <<或6x ≥，所以2034017122346x x xx x x x x ⎧<<≤⇒⎨-+≤<<≥⎩或或或，解得(0,2][6,)x ∈⋃+∞．故答案为：(0,2][6,)⋃+∞例24．（2022·上海·华师大二附中高一期末）不等式2411x x x --≥-的解集为______．【答案】[1,1)[3,)-+∞【解析】不等式2411x x x --≥-化为24101x x x ---≥-，22301x x x --≥-，(1)(3)(1)010x x x x +--≥⎧⎨-≠⎩，解得3x ≥或11x -≤<．故答案为：[1,1)[3,)-+∞．例25．（2022·上海·高一专题练习）不等式()()()()2321120x x x x ++--≤的解集为________【答案】(]{}[],211,2-∞--【解析】如下图所示：根据图象可知：当2x -≤或1x =-或12x ≤≤时，()()()()2321120x x x x ++--≤，所以不等式的解集为：(]{}[],211,2-∞--，故答案为：(]{}[],211,2-∞--．例26．（2022·浙江·诸暨中学高一期中）不等式()()2160x x x -+-<的解集为______．【答案】()(),31,2-∞-【解析】因为()()2160x x x -+-<，所以()()()1320x x x -+-<，解得3x <-或12x <<．所以不等式()()2160x x x -+-<的解集为：()(),31,2-∞-．故答案为：()(),31,2-∞-例27．（2022·上海·高一专题练习）不等式()()22221221x xx x x x ++>++的解集为_________．【答案】()()(),11,02,-∞--+∞．【解析】()()22221221xxx x x x ++>++等价于()()2120,x x x +->当1x =-时，不等式不成立，当1x ≠-时，不等式等价于()20x x ->，解得0x <或2x >且1x ≠-，故不等式的解集为()()(),11,02,-∞--+∞．故答案为：()()(),11,02,-∞--+∞．例28．（2022·上海市复兴高级中学高一期中）不等式()()()()2233021x x x x x --≥-+-的解集是______．【答案】23x x ⎧≤⎨⎩或}13x <≤【解析】不等式()()()()2233021x x x x x --≥-+-等价为()()()23310x x x ---≥且10x -≠，∴23x ≤或13x <≤，∴不等式()()()()2233021x x x x x --≥-+-的解集是23x x ⎧≤⎨⎩或}13x <≤故答案为：23x x ⎧≤⎨⎩或}13x <≤例29．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）不等式()()232101xx x x -++≤-的解集为（）A ．[－1，2]B ．[－2，1]C ．[－2，1）∪（1，3]D ．[－1，1）∪（1，2]【答案】D【解析】由()()232101x x x x -++≤-可得，()()()12101x x x x --+≤-，∴()()21010x x x ⎧-+≤⎨-≠⎩，解得12x -≤≤且1x ≠，故原不等式的解集为[1,1)(1,2]-．故选：D ．题型五：一元二次不等式恒成立问题例30．（2022·江苏·高一专题练习）若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．532⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C ．532⎛⎤- ⎥⎝⎦，D ．(]5,3,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】正实数x ，y 满足244x y xy ++=，可得244x y xy +=-，∴不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，即()24422340xy a a xy -++-≥恒成立，变形可得()222214234xy a a a +≥-+恒成立，即2221721a a xy a -+≥+恒成立，0x >，0y >，2x y ∴+≥2x y =时等号成立，4244xy x y ∴=++≥+220≥，≥≤舍)可得2xy ≥，要使2221721a a xy a -+≥+恒成立，只需22217221a a a -+≥+恒成立，化简可得22150a a +-≥，即()()3250a a +-≥，解得3a ≤-或52a ≥，故实数a 的取值范围是(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭故选：B ．例31．（2022·全国·高一单元测试）在R 上定义运算():1x y x y ⊗⊗=-．若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（）A ．1322a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}02a a <<C ．{}11a a -<<D ．3122a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】由()()1x a x a -⊗+<，得()()11x a x a ---<，即221a a x x --<-，令2t x x =-，此时只需2min 1a a t --<，又221124t x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以2114a a --<-，即24430a a --<，解得1322a -<<．故选：A ．例32．（2022·河南濮阳·高一期末（理））已知命题“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．(][),04,-∞+∞UB ．[]0,4C ．[)4,+∞D ．()0,4【答案】A【解析】若“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是真命题，即判别式()21Δ24404a =--⨯⨯<，解得：04a <<，所以命题“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是假命题，则实数a 的取值范围为：(][),04,-∞+∞U ．故选：A ．例33．（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（）A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ．1m >【答案】A【解析】∵不等式20x x m -+>在R 上恒成立，∴24(10)m ∆--<＝，解得14m >，又∵14m >，∴140m ∆=-<，则不等式20x x m -+>在R 上恒成立，∴“14m >”是“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件，故选：A ．例34．（2022·四川·广安二中高一阶段练习（理））已知关于x 的不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围（）A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[)3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当1a =时，不等式为10-<，对x R ∀∈恒成立，所以满足条件当1a =-时，不等式为210x -<，解集为1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，不满足题意当210a ->时，对应的二次函数开口向上，()()221110a x a x ----<的解集一定不是R ，不满足题意当210a -<，11a -<<时，若不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则()()221410a a ∆=-+-<，解得：315a -<<，综上，315a -<≤故选：B例35．（2022·全国·高一单元测试）已知12x ≤≤，20x ax ->恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．{}1a a ≥B ．{}1a a >C ．{}1a a ≤D ．{}1a a <【答案】D【解析】由12x ≤≤，20x ax ->恒成立，可得a x <在[]1,2上恒成立，即即1a <．故选：D ．例36．（2022·陕西安康·高一期中）若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，则m 的取值范围是（）A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】A【解析】因为对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，所以对任意的2[1,0],242x m x x ≥-∈--恒成立，因为当[1,0]x ∈-，()[]22142,4y x =--∈-，所以()2max2424m x x --≥=，[1,0]x ∈-，即m 的取值范围是[4,)+∞故选：A例37．（2022·广西·南宁市东盟中学高一期中）已知命题“21,2,2102x x ax ⎡⎤∃∈-+≤⎢⎥⎣⎦”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．a -<⎢⎥⎣⎦为真命题，即11,2,22x x a x ⎡⎤∀∈+>⎢⎥⎣⎦恒成立．又12x x +≥12x x =≥2x =等号成立，所以a <故选：B例38．（2022·全国·高一课时练习）已知命题p ：“15x ∃≤≤，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．4a D ．4a >-【答案】A【解析】由题意，当15x ≤≤时，不等式250x ax -->有解，等价于“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”为真时对应a 取值集合的补集若15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立为真命题，需满足，25550a --≤且150a --≤，解得4a ≥．因此p 命题成立时a 的范围时4a <故选：A ．【过关测试】一、单选题1．（2022·江西·丰城九中高一期末）已知集合{}2870A x x x =-+<，{}14B x x =<<，则“x A ∈”是“x B ∈”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意得{}17A x x =<<，所以AB ．所以“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件．故选：B2．（2022·全国·高一）若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【答案】C【解析】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<，当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤；当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<；故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选：C3．（2022·江苏·高一专题练习）若存在正实数y ，使得54y xx y xy-=+，则实数x 的最大值为（）A ．15B ．54C ．1D ．4【答案】A 【解析】115454y x x y x y xy x y-=+⇔-=+，因为0y >，所以144y y +≥，所以154x x-≥，当0x >时，154x x-≥⇔25410x x +-≤，解得105x <≤，当0x <时，154x x-≥⇔25410x x +-≥，解得1x <-，故x 的最大值为15．故选：A4．（2022·江苏·高一）已知关于x 的不等式ax b >的解集是{|2}x x <，则关于x 的不等式()()10ax b x +->的解集是（）A ．()()12-∞⋃+∞，，B ．()12，C ．()()21-∞-⋃+∞，，D ．()21-，【答案】D【解析】关于x 的不等式ax b >的解集为{|2}x x <，0a ∴<，20a b -=，()()10ax b x ∴+->可化为()()210a x x +->，21x ∴-<<，∴关于x 的不等式()()10ax b x +->的解集是()21-，．故选：D ．5．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(0)∞-，B ．30,(4)⎛⎫∞+∞⎪- ⎝⎭，C ．(]0-∞，D ．(]40,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】因为不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，所以210mx mx m ++-<对R x ∈恒成立，所以，当0m =时，10-<对R x ∈恒成立．当0m ≠时，由题意，得20Δ410m m mm <⎧⎨=--<⎩，即20340m m m <⎧⎨->⎩，解得0m <，综上，m 的取值范围为(]0-∞，．故选：C6．（2022·江苏·高一）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<，则不等式20cx bx a -+<的解集为（）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,1-【答案】A【解析】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<0a ∴<，且2-和1是方程20ax bx c ++=的两个根，则4200a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩b a ∴=，2c a =-，关于x 的不等式20cx bx a -+<，即220ax ax a --+<，2210x x ∴+-<，解得112x -<<，故不等式的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：A7．（2022·北京师大附中高一期末）关于x 的不等式21x x a x +≥-对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,3-B ．(],3-∞C ．(],1-∞D ．(][),13,-∞⋃+∞【答案】B【解析】当0x =时，不等式为01≥-恒成立，a R ∴∈；当0x ≠时，不等式可化为：11a x x≤++，0x >，12x x ∴+≥（当且仅当1x x=，即1x =±时取等号），3a ∴≤；综上所述：实数a 的取值范围为(],3-∞．故选：B ．8．（2022·广西·桂林中学高一期中）已知0ax b ->的解集为(,2)-∞，关于x 的不等式2056ax bx x +≥--的解集为（）A ．(,2](1,6)-∞--B ．(,2](6,)-∞-+∞C ．[2,1)(1,6)---D ．[2,1)(6,)--+∞【答案】A【解析】因0ax b ->的解集为(,2)-∞，则0a <，且2ba=，即有2,0b a a =<，因此，不等式2056ax bx x +≥--化为：22056ax a x x +≥--，即22056x x x +≤--，于是有：220560x x x +≤⎧⎨-->⎩或220560x x x +≥⎧⎨--<⎩，解220560x x x +≤⎧⎨-->⎩得2x -≤，解220560x x x +≥⎧⎨--<⎩得16x -<<，所以所求不等式的解集为：(,2](1,6)-∞--．故选：A 二、多选题9．（2022·湖北黄石·高一阶段练习）下列结论错误的是（）A ．不存在实数a 使得关于x 的不等式210ax x ++≥的解集为∅B ．不等式20ax bx c ++≤在R 上恒成立的必要条件是0a <且240b ac ∆=-≤C ．若函数()20y ax bx c a =++≠对应的方程没有实根，则不等式20ax bx c ++>的解集为RD ．不等式11x>的解集为1x <【答案】CD【解析】对于选项A ，当0a ≥时，210ax x ++≥的解集不为∅，而当0a <时，要使不等式210ax x ++≥的解集为∅，只需140a ∆=-<，即14a >，因0a <，故不存在实数a 使得关于x 的不等式210ax x ++≥的解集为∅，因此A 正确；对于选项B ，当0a <且240b ac ∆=-≤时，20ax bx c ++≤在R 上恒成立，故不等式20ax bx c ++≤在R 上恒成立的必要条件是0a <且240b ac ∆=-≤，因此B 正确；对于选项C ，因函数()20y ax bx c a =++≠对应的方程没有实根，但a 正负不确定，故20ax bx c ++>或20ax bx c ++<恒成立，因此不等式20ax bx c ++>的解集不一定为R ，故C错；对于选项D ，由11x>，得10x x ->，即()10x x ->，解得01x <<，故D 错．故选：CD ．10．（2022·黑龙江·尚志市尚志中学高一阶段练习）设p ：实数x 满足1021x x -≤-，则p 成立的一个必要不充分条件是（）A ．11 2x ≤≤B ．112x <≤C ．01x ≤≤D ．01x <≤【答案】ACD【解析】由题设，若p 成立，(1)(21)0210x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得112x <≤，∴p 成立的一个必要不充分条件，只需1(,1]2在某个范围内，但不相等即可．故选：ACD ．11．（2022·江苏南京·高一阶段练习）定义区间(),m n 的长度为n m -，若满足()()2012x ax x -<--的x 构成的区间的长度之和为3，则实数a 的可能取值是（）A ．14B ．13C ．3D ．4【答案】CD【解析】若14a =，()()()1111220,1,21222x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭<⇒∈- ⎪--⎝⎭故区间长度之和为1+1=2，不符合题意；若13a =，()()()01,212x x x x x ⎛+ ⎛⎝⎭⎝⎭<⇒∈ --⎝⎭故区间长度之和为符合题意；若3a =，(()()())0212x x x x x +<⇒∈--故区间长度之和为123=，符合题意；若()()()()()224,02,112x x a x x x -+=<⇒∈---故区间长度为3，符合题意．故选：CD ．12．（2022·全国·高一专题练习）下列条件中，为“关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有（）A ．04m ≤对R x ∀∈恒成立，当0m =时，原不等式即为10>恒成立；当0m >时，不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立，可得∆<0，即240m m -<，解得：04m <<．当0m <时，21y mx mx =-+的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m 的取值范围为：[)0,4．所以“关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有02m <<或14m <<．故选：BC ．三、填空题13．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，则不等式（ax +b ）（cx -b ）<0的解集是________．【答案】3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由图像知：1和2是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的两个根，所以0a >，12,12b c a a+=-⋅=，所以3,2b a c a =-=．不等式（ax +b ）（cx -b ）<0可化为()()3230ax a ax a -+<，即()()23230x x a-+<，解得：332x -<<．所以不等式（ax +b ）（cx -b ）<0的解集是3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭14．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）若对任意R x ∈，2222224x ax bx c x x +≤++≤-+恒成立，则ab 的最大值为_________．【答案】12【解析】令1x =，则44a b c ≤++≤，故4a b c ++=，对任意R x ∈，222x ax bx c +≤++，则2(2)20ax b x c +-+-≥恒成立，∴222(2)4(2)(2)4(2)(2)0b ac a c a c a c ∆=---=+---=-+≤∴2c a =+，此时22b a =-，∴2111(22)2(1)2(222ab a a a a a =-=-=--+≤，当15,1,22a b c ===时取等号，此时()()2222333224310222x x ax bx c x x x -+-++=-+=-≥成立，∴ab 的最大值为12．故答案为：12．15．（2022·江苏·扬州大学附属中学高一期中）不等式20ax bx c ++≤的解集为R ，则2222b a c +的最大值为____________．【解析】当0a =时，即不等式0bx c +≤的解集为R ，则0b =，0c ≤，要使得2222b a c +有意义，此时0c <，则22202b a c =+；当0a ≠时，若不等式20ax bx c ++≤的解集为R ，则20Δ40a b ac <⎧⎨=-≤⎩，即204a b ac <⎧⎨≤⎩，所以，22222422b ac a c a c ≤++，因为24b ac ≤，则0ac ≥，当0c =时，则0b =，此时22202b a c =+；当0c <时，则0ac >，令0c t a =>，则22244412122ac t a c t t t ==≤+++当且仅当242b ac c a a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩时，等号成立．综上所述，2222b a c +16．（2022·上海·格致中学高一期末）已知关于x 的不等式()226300x ax a a -+-≥>的解集为[]12,x x ，则12123a x x x x ++的最小值是___________．【答案】【解析】因为关于x 的不等式()226300x ax a a -+-≥>的解集为[]12,x x ，所以12,x x 是方程()226300x ax a a -+-=>的实数根，所以112226,3x x x x a a ==+，因为0a >，所以1212316a x x a x x a ++=+≥16a a =，即a =时等号成立，所以12123a x x x x ++的最小值是故答案为：。

分式不等式的解法课件

转化为一元二次不等式组的方法
总结词
通过移项和整理，将分式不等式转化为简单的一元二次不等式组，然后求解。
详细描述
首先观察分式不等式的形式，通过移项和整理，将其转化为形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的一元二次不等式。然后，根据一元二次不等式的解法，求解这个不等式组，得出解集。
VS
详细描述
综合练习题将分式不等式与其他数学知识相结合，如代数、函数、方程等。这些题目通常需要学生综合运用多个知识点来解题，旨在提高学生的数学综合素质和问题解决能力。解决这些题目需要学生具备扎实的数学基础和灵活的思维，能够从多个角度分析问题并找到合适的解题方法。
感谢观看
THANKS
分子和分母同号时，解集为空集；分子和分母异号时，解集为全体实数。
02
分式不等式的解法
转化为一元一次不等式组的方法
总结词
通过消去分母，将分式不等式转化为简单的一元一次不等式组，然后求解。
详细描述
首先观察分式不等式的分母，通过乘以适当的正数消去分母。然后，将不等式两边进行整理，使其成为一元一次不等式的形式。最后，解这个一元一次不等式组，得出解集。
转化为一元高次不等式组的方法
总结词
通过移项和整理，将分式不等式转化为简单的一元高次不等式组，然后求解。
详细描述
首先观察分式不等式的形式，通过移项和整理，将其转化为形如 ax^n + bx^(n1) + ... + c > 0 或 ax^n + bx^(n-1) + ... + c < 0 的一元高次不等式。然后，根据一元高次不等式的解法，求解这个不等式组，得出解集。

分式不等式的解法

分式不等式的解法分式不等式是一种含有分式的不等式，其解的求解方法与普通的不等式有所不同。

本文将介绍两种常见的分式不等式的解法：基本不等式法和区间法。

一、基本不等式法基本不等式法是分式不等式的常用解法之一，适用于形如$\frac{A}{B} \geq 0$或$\frac{A}{B} \leq 0$的分式不等式。

其中，A 和B分别表示多项式。

步骤如下：1. 将分式不等式化为标准形式：将分式中的分子和分母用括号括起来，并将不等号方向保持不变。

2. 对分子和分母进行因式分解。

3. 找出分母因式为0的值，这些值构成分式不等式的解。

4. 将分母为0的值所对应的点作为分式的分界点，将实数轴分成若干个区间。

5. 在每个区间上确定分式的正负号，判断每个区间上是否满足不等式的条件。

6. 将满足不等式条件的区间合并，得到分式不等式的解集。

举例说明：假设有一个分式不等式：$\frac{x-1}{x+2} \geq 2$首先将其化为标准形式，得到：$\frac{x-1}{x+2} -2 \geq 0$然后对分子和分母进行因式分解，得到：$\frac{(x-1)-2(x+2)}{x+2} \geq 0$化简得：$\frac{x-1-2x-4}{x+2} \geq 0$继续化简得：$\frac{-x-5}{x+2} \geq 0$找出分母为0的值，得到：$x=-2$根据$x=-2$将实数轴分成三个区间：$(-∞, -2), (-2, -5), (-5, +∞)$接下来在每个区间上判断分式的正负号：当$x < -5$时，$\frac{-x-5}{x+2} > 0$，这个区间上不满足不等式条件；当$-5 < x < -2$时，$\frac{-x-5}{x+2} < 0$，这个区间上满足不等式条件；当$x > -2$时，$\frac{-x-5}{x+2} > 0$，这个区间上不满足不等式条件。

分式方程与分式不等式的综合应用

分式方程与分式不等式的综合应用在数学中，分式方程与分式不等式是一种常见的数学应用。

它们可以在解决实际问题中起到重要的作用。

本文将综合讨论分式方程与分式不等式的应用，并通过实例进行详细解析。

一、分式方程的应用分式方程是一种含有分式的方程，通常以分数形式表达。

分式方程在各个领域中都有广泛的应用，比如经济学、物理学和化学等。

下面将通过一些实例来说明分式方程的应用。

【案例一】投资问题假设小明和小华共同投资1000元用于创业，小明投资的部分占总投资额的1/4，小华投资的部分占总投资额的2/5。

如果小明的投资收益率是8%，小华的投资收益率是6%，求他们各自的投资额以及一年后的总收益。

解答：设小明的投资额为x元，则小华的投资额为（1000 - x）元。

根据题意可得分式方程：x/4 * 8/100 + (1000 - x)/5 * 6/100 = 总收益化简上式，得：2x/25 + (2000 - 2x)/25 = 总收益合并同类项并化简，得：2000/25 = 总收益计算可得小明的投资额为400元，小华的投资额为600元。

一年后的总收益为80元。

【案例二】化学反应问题某化学反应的速率与反应物的浓度有关，可以用分式方程表示。

例如，燃烧反应中，汽油的燃烧速率与氧气浓度（表示为O₂）有关，设反应速率正比于氧气浓度，比例系数为k。

求反应速率与氧气浓度之间的关系。

解答：设汽油燃烧速率为y，氧气浓度为x，则可得分式方程：y = kx上式表示反应速率与氧气浓度之间成正比关系，比例系数为k。

二、分式不等式的应用分式不等式是一种含有分式的不等式，通常以不等号表示。

它们在实际问题中也有诸多应用，比如经济学中的利润最大化问题和约束条件优化问题等。

下面将通过一些实例来说明分式不等式的应用。

【案例三】库存管理问题假设某公司的产品库存量为S，年销售量为A，需求量为D。

设每个单位库存的成本为C1，每个单位销售的收益为C2，每个单位未满足的需求所损失的成本为C3。

专题二、分式不等式的解法

〔一〕分式不等式：型如：0)()(>x x f ϕ或0)()(<x x f ϕ〔其中）（、x x f ϕ)(为整式且0≠）（x ϕ〕的不等式称为分式不等式。

〔2〕归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：〔1〕0)()(0)()(>⋅⇔>x x f x x f ϕϕ〔3〕0)()(0)()(<⋅⇔<x x f x x f ϕϕ〔2〕⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥0)(0)()(0)()(x x x f x x f ϕϕϕ 〔4〕⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x x x f x x f ϕϕϕ 〔3〕小结分式不等式的解法步骤：〔1〕移项通分，不等式右侧化为"0〞，左侧为一分式〔2〕转化为等价的整式不等式〔3〕因式分解，解整式不等式〔注意因式分解后，一次项前系数为正〕〔1〕分式不等式的解法：解关于*的不等式0231>-+x x方法一：等价转化为：方法二：等价转化为：⎩⎨⎧>->+02301x x 或⎩⎨⎧<-<+02301x x 0)23)(1(>-+x x 变式一：0231≥-+x x等价转化为：⎩⎨⎧≠-≥-+0230)23)(1(x x x比拟不等式0231<-+x x 及0231≤-+x x 的解集。

〔不等式的变形，强调等价转化，分母不为零〕练一练：解关于*的不等式例1、解关于*的不等式：232≥+-x x 解：0232≥-+-x x 即，038≥+--x x 038≤++x x 〔保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正〕等价变形为：⎩⎨⎧≠+≤++030)3)(8(x x x∴原不等式的解集为[)3,8--例2、解关于*不等式23282<+++x x x 方法一：322++x x恒大于0，利用不等式的根本性质方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。

分式不等式的解题步骤

分式不等式的解题步骤
解分式不等式的步骤如下：
1. 将分式不等式写为零的形式。

将分式不等式的两边移项，使得不等式的右边为零，例如：$\frac{a}{b} \geq c$ 可以写为 $\frac{a}{b} - c \geq 0$。

2. 求解分式等式的解集。

将分母消去，得到方程的解集。

解这个方程的方法和解普通的方程相同。

3. 确定不等式的定义域。

由于分母不能为零，因此需要排除分母为零时取值的情况。

确定定义域是为了确保等式两边的运算合法。

4. 根据定义域将解集分成不同的区间。

根据分数的正负性质，将解集分成不同的区间。

每个区间都要满足定义域的要求。

5. 确定每个区间的符号。

选择每个区间内的一个测试点，代入原始不等式，确定每个区间的符号。

如果符号为正，则该区间为不等式的解集；如果符号为负，则该区间不是不等式的解集。

6. 将解集的区间表示合并起来。

将每个区间的解集合并起来，形成分式不等式的最终解集。

以上是解分式不等式的一般步骤，实际解题时需要根据具体的不等式形式进行灵活运用。

(完整版)不等式的证明方法大全,推荐文档

不等式的证明一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种：1．作差比较法（1）应用范围：当欲证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，常用此法。

（2）方法：欲证A>B,只需要证A-B>0（3）步骤：“作差----变形----判断符号”。

（4）使用此法作差后主要变形形式的处理：○将差变形为常数或一常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差符号。

○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。

○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。

2．作商比较法（1）应用范围：当要证的式子两端是乘积的形式或幂、指数时常用此法。

（2）方法：要证A>B,常分以下三种情况：若B>0，只需证明1A B >；若B=0，只需证明A>0；若B<0，只需证明1AB<。

（3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小”例1 已知a ，b ∈R ，且a+b=1. 求证：()()2252222≥+++b a . 解析：用作差比较法a b b a R b a -=∴=+∈1,1,,()()2222259224()22a b a b a b ∴+++-=+++-2222911(1)4222(0222a a a a a =+-+-=-+=-≥即()()2252222≥+++b a （当且仅当21==b a 时，取等号）例2：已知a , b , m 都是正数，并且a ++解析：用作差比较法∵)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++∵a ,b ,m 都是正数，并且a 0 , b a > 0∴0)()(>+-m b b a b m即：bam b m a >++例3：已知a>b>0,求证：()2a b a ba b ab +>解析：用作商比较法∵()222222a b a b a b a b a b a b a b a b a ba aabb ab -++-----+⎛⎫=== ⎪⎝⎭又∵a>b>0,()221,012a b a ba ba ab a b b a b ab -+-⎛⎫∴>>∴> ⎪⎝⎭∴>练习：已知a ，b∈R +，求证a a b b ≥a b b a ．例4：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。

分式不等式解法课件

分式不等式解法课件
欢迎来到分式不等式解法课件。在这个课件中，我们将深入了解分式不等式的各种解法，包括消元法、通分法、数轴法等等。让我们一起开始吧！
什么是分式不等式
分式不等式是一种包含分数的数学不等式表达式。它们通常涉及分式的大小关系，我们将学习如何解决这些问题。
分式不等式的基本形式
分式不等式有几种基本形式，包括单独的分数、分数与整数的组合，以及分式与分式的比较。我们将学习如何识别和解决这些基本形式。
消元法解分式不等式
消元法是解决分式不等式的常用方法之一。通过合并分母或分子，我们可以简化不等式，并找到解的范围。让我们学习如何应用消元法解决问题。
通分法解分式不等式
通分法是解决包含多个分式的不等式的方法。通过找到公共分母并进行通分，我们可以将不等式简化为更简单的形式，并找到解的范围。
数轴法解分式不等式
一维图像法解分式不等式
一维图像法是一种直观解决分式不等式的方法。通过绘制分式的图像并观察图像的特征，我们可以找到解的范围。
数轴法是解决分式不等式的可视化方法。通过在数轴上绘制分式的零点和不等式的符号，我们可以直观地找到解的范围。
规律法解分式不等式
规律法是解决特殊分式不等式的方法。通过观察分式中的模式和规律，我们可以找到解的范围，并简化解决问题的过程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
寻找零点解分式不等式
寻找零点是解决分式不等式的重要策略之一。通过将分子或分母设置为零，并求解方程，我们可以确定分式不等式的解的范围。

分式不等式的证明方法与技巧

x + y 4 令 = t ( t > 0) , 则 t ≥ + 1 , 即 t2 - t - 4 z t
≥0 . 注意到 t > 0 , 解得 t ≥ 故
1 + 2
17
.
+
an ( a1 + a2 + … + an- 1 ) ( a1 + a2 + … + an ) = (
b x + y - z 1 = = tc + a 2z 2
4
同理 ,
b 2b ≥ , c + a a + b+c c 2c ≥ . a +b a + b+c
≤
1 . 2
当且仅当 a = b = c ≠0 时 , 上式等号成立 .
2) 记原不等式左边为 A , 则由柯西不等式 , 得
A [ a1 ( a2 + 3 a3 + 5 a4 + 7 a5 ) + a2 ( a3 + 3 a4 + 5 a5 + 7 a1 ) + … + a5 ( a1 + 3 a2 + 5 a3 + 7 a4 ) ]
1) 利用非负实数的性质 : a2 ≥0 ( a ∈ R) . 2) 利用基本不等式 . 均值不等式、柯西不等式、
的性质 . 例2 1) ( 2004 年北京市中学生数学竞赛试题) 已知 abc ≠0 , 求证 :
a4 b4 c4 4 4 + 4 4 4 + 4 4a + b + c 4b + c + a 4 c + a4 + b4

(杨李)权方和不等式在高考中的应用

权方和不等式在高考中的应用杨李四川省成都市石室阳安学校权方和不等式是数学中一个很重要的不等式，可用于处理分式不等式、放缩求最值、证明不等式等方面，在高考中有着广泛的应用。

其形式简洁，结构漂亮，合理使用权方和不等式可以避免不等式放缩过程中许多技巧性很强的凑配。

从上述例子，可以充分体会权方和不等式的“魅力”，可用一句话来概括：用权方和不等式，简万般繁杂运算，直接用“简捷明快”；凑着用“小巧玲珑”；变换着用更是“威力无穷”。

若,(1,2,,)i i a b R i n +∈=，且实数0m >，则11111()()nm m i ni i nm mi ii i a a b b ++===≥∑∑∑，当且仅当1212n na a ab b b ===时，等号成立。

这个不等式叫做权方和不等式，m 称为该不等式的权，权方和不等式的显著特征是：其中出现的每一个分式，分子的幂指数都比分母的幂指数恰好大1。

特别地，当1m =时，权方和不等式就是大家熟知的柯西不等式。

权方和不等式在中学数学有着广泛应用，如果能够根据题设、结论的结构特征，巧妙配凑，灵活选用权方和不等式往往解题过程简洁明快，能起到事半功倍的效果，堪称解题“利器”。

下面举例说明权方和不等式在高考中的应用，供大家参考。

一、权方和不等式证明不等式例1 （2013年新课标理科卷Ⅱ23）已知,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ca ++≤；（2）2221a b c b c a++≥。

证明（1）略。

（2）因为0,0,0a b c >>>，且1a b c ++=，所以由权方和不等式，可得2222()1a b c a b c b c a a b c++++≥=++，当且仅当1a b c a b c b c a++=⎧⎪⎨==⎪⎩，即13a b c ===时，等号成立。

例2 （2017年全国卷Ⅱ文/理23）已知0,0a b >>，332a b +=，证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤。

不等式的证明

ab 证明：要证| | ＜1 1 ab 只需证|a+b|＜|1+ab|
ab 例3：|a|＜1，|b|＜1，求证：| 1 ab |＜1
只需证|a+b|2＜|1+ab|2 展开得 a2+2ab+b2＜1+2ab+a2b2 只需证 a2+b2＜1+a2b2 只需证 a2+b2－1－a2b2 ＜0 即证（a2-1)(1-b2）＜0 ∵|a|＜1，|b|＜1 ∴a2-1＜0，1-b2＞0 （a2-1)(1-b2）＜0

hoq037egk
不宣的行规。为什么？原因只有一个，甲醛太便宜了！”„„„2天灾突变 ---突遇“非典”|正当花开人充满信心，准备再展往日辉煌的时候，一场突如其来的飞来横祸将花开啤酒又一次抛入了险境。还记得那场可怕的、横扫全国的传染病——非典型肺炎（下面简称“非典”）？地球人肯定都清楚地记得，谁也无法想像它会把全社会搅动成如此惨烈的、人人惊慌的模样！几年前爆炒兰花时，100 元钱的铃兰能“呼呼”地窜到40多万，人心都疯了。这一次，人确实都害怕了，没有那一次比这个更害怕的！仿佛地球马上就要毁灭了，好像世界到了末日了似的，马启明刻骨铭心地记得那一场场景象。这是天灾！不是人祸。2003年初，当电视新闻首次报道，我国广东省首例确诊的传染性疾病——“非典”时，马启明只是知道世界上又添了一种传染病叫“非典”，当个新闻听一下也就拉倒，心想广东离江苏省海涛州绿溪镇太遥远了，“非典”不一定就能传到江苏，并没有在意，“非典”也只把它作为闲聊时的一个话题一带而过了。与此同时花开啤酒单位员工们都忙着加班加点地生产啤酒，梦想着月底的工资和奖金又要拿到手，该如何花销？马启明从新闻上看到，4月3日至4月8日世界卫生组织官员到达广东佛山考察，举行新闻发布会，到广州市第八人民医院考察，向外国驻广州领事馆总领事们通报广东情况、世界卫生组织官员发布“取消到广东旅游不明智”等等一系列非正常的行动。紧接着在广东考察工作的** 总书记4月１４日上午来到广东省疾病预防控制中心慰问，深入了解防治 “非典”型肺炎的情况，特别指出：把防治“非典”型肺炎的工作，作为关系改革发展稳定大局、关系人民群众身体健康和生命安全的一件大事，切实抓紧抓好，把防治“非典”提到政治的高度来看。政治的高度，马启明觉得政治的高度就是要多大就有多大，一切都要给它让路，事态真的有这么严重吗？很快电视、报纸上有关“非典”的报道越来越多，马启明感到事情越来越不对劲。 “隔离”、“消毒”、“死亡”成了每个人关注的重点，人人出门带着口罩，公共娱乐场所关闭，特别是江苏也发现“非典”病人时，特别是啤酒销量锐减，他当初的预感被现实残酷地撕成了碎片。4月 30日单位特地召开了一次“非典”专题会，会上通报的情况，把马启明当时就给吓傻了,吓呆了，当时的情景到现在马启明仍历历在目。为保持空气畅通，会议室的门窗都大开着。从窗口望出去，天气阴沉沉的，风“呜呜呜”地像魔鬼一样疯狂抽打着室外的行道树，路上几乎看不到来往的车辆和行人。马启明的心里莫明地恐惧、烦燥、紧张起来，他的心脏似乎要从胸腔里蹦跳出来了一样。会议由赵树春主持，他神情严肃地讲道：“各位，这场突

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

当ｎ≥ ３时， ≥ １，
］＝
翌＝
．
２（
＋
＋
） ≥ｓ
＋
＋
．
—
≥ ・争
２利用例数不等式．
．
．
Ｌ＋２．＝ ≥ ＿＋
ａ－ａｌ２８一∞ ２一一ａｎａｌａ — ｎ
≥
．
０１ａ一ｎ
・
．．
例２（９９年全国高中数学联赛）１７设，是锐角，卢都求
证：ＣＳ０Ｌ —Ｏ２
＋・
总之，式不等式证明的题型千变万化、法灵活多样、巧分方技
博大精深，要较高的数学综合能力．需
要发现和发展学生多方面的潜能，了解学生发展中的需求，
帮助学生认识自我，立自信．挥评价的教育功能，进学建发促
生在原有水平上的发展．因此，学低年级数学教学的评价 ” 小要以促进学生的全面发展为基础，建立合理的评价体系，实现教学评价的科学性．进行教学评价时，要改变以往的根在
据考试成绩作为评价学生学习效果的依据，注意将过程性要
评价与形成性评价相结合．全面地对学生进行科学的评价．要比如，养创造力是小学数学教学的目标之一，培因此，对学在
数学学习与研究２１．２００２
探究性学习．些教学内容对学生的自主学习最有效，些哪哪教学内容对学生开展实践活动最恰当，而选择合适的教学从方法．有实现教学方法的多样性这一特点，才能够使学生只
‘ ．
。ｏ２ｃｓ（ｓｎ２ｓｎ＋ｓｎａ・ｏ＝１，￣＋ｉａ・ｉｉ２ｃｓ
由倒数不等式，得
学竞赛的重点、点．方法多种多样，及的知识面广、难其涉灵
活度大、巧性强。考查学生分析、理、合等能力的热技是推综点题型．文介绍利用重要的不等式证明分式不等式的基本本方法和常用技巧．
生进行评价时，将对创造力的评价纳人到对学生的评价体应
系中．
总而言之，学低年级数学教学只有体现教学目标的全小面性和多元性、学内容的基础性与趣味性、学过程的主教教体性和创造性、学方法的多样性以及教学评价的科学性这教五大 “ ” 点，能够更有效地在小学数学教学中实现新课新特才改的要求．
证明不等式左边＝ＣＯ１／Ｓ，￣Ｏ
＋
－－
ｓｎｏｓｎ＂ｉｒｌ￣－
●
＋＿
ｓｉｎ
南Ｊ－ｏ．ｏｓｒＴ ● ｃ
【考文献】参
周沛耕，博程．学奥林匹克竞赛ห้องสมุดไป่ตู้标准教材．０王数２４０
（接９页）上３
●
．
。
专题研究
● 镲
．Ｉ．－
●
利别交蚴等或值啊骛惑筹或
◎ 陈勇（苏省淮阴中学江２３０）２０１
分式形不等式简称分式不等式，代数不等式的基本类是型．式不等式的证明是高中数学的难点之一，也是各类数分
对学习保持好奇心，而提高学生的学习兴趣，好地实现从更
教学目标．
五、学评价的科学性教
《要》对课程评价提出了新的要求：建立促进学生全纲 “
面发展的评价体系．价不仅要关注学生的学业成绩，而且评
ａ一 Ⅱ ｌ２
啦一ｎ３
证明
原不等式等价于
＋
笙＋… ＋（＝！ ≥ 翌
一毋ａ－ — ａａｉｎ
．
证明不妨设ｎ≥ ６≥ ｃ，ｔ＞０￣ｂ１ ≥ ］由排序不等式，知
≥
ａ一 Ⅱ ｌ２
ａｌａｎ —
由柯西不等式，得
例３如果ａ＞血＞… ＞ｎｎ∈ １２ａ，Ｎ且ｎ≥ ３求证：，
＋ —
兰一＋… ＋（２＝＋
一一ｌａｎ— ａｌ
≥０
．
例１（９３年莫斯科数学竞赛）ａｂｃ是正实数，１６设，，求
证：＋＋ ≥ ．
倒不式：＞，数等若哦０则∑啦 ≥ ∑ ｎ
ｉ：Ｉ ‘：Ｉ４ｏ
原不等式成立．证明分式不等式的基本方法和常用技巧除了上述方法以外，有函数法、还数列法、元法、缩法、学归纳法等等．换放数
（ｏ２ｃｓａ＋ｓ２ｓ２＋ｓ２ｃｓ・ｉａ・ｎｎｉｆｉａ・ｏ）ｌｎ
（Ｓ＋一Ｃ２０／０
原不等式成立．３利用柯西不等式．
‘ ．．
＋１呵
）３９ ≥ ．＝
１利用排序不等式．
如果所要证明的不等式结构是对称性的，以考虑用排可序不等式来证明．
［ａ一啦）啦一）（１＋（＋… ＋（１一一％）・］
＋＋
（）＋（得１２）
＋者＋
≥
＋
＋．１（）＋．２（）
ｆ上
Ｌａｌ一啦
＋＿竺＿＋．＋．．
啦一一ｌ一
］ ≥
Ｊ
≥ 击＋
［２・＋ｎ１１＋・（）：［＋・一１
【考文献】参［］育部．础教育课程改革纲要（行）教［０１ｌ１教基试（２０］７号）ｚ．０．［］０１２『］道才．学数学教学方法改革的新的发展趋势与共２张小
同点［］学教学研究，９８１）Ｊ．小１９（２．『］孔凡哲．小学数学教育教学新一轮改革的主要特点３［］山东教育，００１）Ｊ．２０（６．