高考数学 高次分式不等式解法

课 题：分式不等式 高次不等式的解法
⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解；
分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等
式的解集是下面两个不等式组：⎩⎨⎧<+>-0401x x 与⎩⎨⎧>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|⎩
⎨⎧<+>-040
1x x }
∪⎩⎨
⎧>+<-0
40
1|{x x x }=φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.书写时可按下列格式：
解二：∵(x-1)(x+4)<0⇔⎩⎨
⎧<+>-0401x x 或⎩
⎨⎧>+<-040
1x x
⇔x ∈φ或-4<x<1⇔-4<x<1，
∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}.
解三：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x （从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x 轴分为三部分：（-∞，-4）（-4，1）（1，+∞）； ②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号
③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4<x<1}. 例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；
解：①检查各因式中x 的符号均正；②求得相应方程的根为：-2，1，3； ③列表如下：
④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2<x<1或x>3}. 小结：此法叫列表法，解题步骤是：
①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…
(x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……；
②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的
因式开始依次自上而下排列）；
③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；
④看下面积的符号写出不等式的解集.
练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1<x<0或2<x<3}.
思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解
直接写出解集：{x|-2<x<1或x>3}. {x|-1<x<0或2<x<3}
在没有技术的情况下：
可大致画出函数图形求解，称之为根轴法（零点分段法）
①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)
②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,
则找“线”在x轴下方的区间.
注意：奇过偶不过
例3解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.
解：①检查各因式中x的符号均正；
②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；
③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始奇过偶不过），如下图：
④∴原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.
说明：∵3是三重根，∴在C处过三次，2是二重根，∴在B处过两次，结果相当于没过.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇过偶不过”.
练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0.
解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2≤0；
②求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3；
③在数轴上表示各根并穿线，如图：
④∴原不等式的解集是{x|-1≤x ≤3或x=-2}.
说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿过-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉. 2．分式不等式的解法 例4 解不等式：
07
3
<+-x x . 错解：去分母得03<-x ∴原不等式的解集是{}3|<x x . 解法1：化为两个不等式组来解： ∵
073
<+-x x ⇔⎩⎨⎧>+<-⎩⎨⎧<+>-0
7030703x x x x 或⇔x ∈φ或37<<-x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x . 解法2：化为二次不等式来解：
∵073
<+-x x ⇔⎩⎨⎧≠+<+-0
70)7)(3(x x x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x
说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x ≠-7的条件，解集应是{x| -7<x ≤3}.
小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x ，不等式两边同乘以一个含x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.
解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为
)
()
(x g x f 的形式. 例5 解不等式：03
22
32
2≤--+-x x x x . 解法1：化为不等式组来解较繁.
解法2：∵0322322≤--+-x x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠--≤--+-0
320
)32)(23(222x x x x x x ⇔
⎩
⎨
⎧≠+-≤+---0)1)(3(0
)1)(3)(2)(1(x x x x x x ， ∴原不等式的解集为{x| -1<x ≤1或2≤x<3}.
练习：1.课本P21练习：3⑴⑵；2.解不等式
25
3
>+-x x . 答案：1.⑴{x|-5<x<8}；⑵{x|x<-4,或x>-1/2}；2.{x|-13<x<-5}.
2解不等式：
12
3422
+≥+--x x x x
.（答：{x|x ≤0或1<x<2}） 三、小结：
1．特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x 的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律作；②注意边界点（数轴上表示时是“0”还是“.”）.
2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为
)()(x g x f >0(或)
()
(x g x f <0)的形式，转化为：)0)(0
)()((0)(0)()(⎩
⎨⎧≠<⎩⎨
⎧≠>x g x g x f x g x g x f 或，即转化 为一次、二次或特殊高次不等式形式 . 也可以直接用根轴法（零点分段法）求解
3．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式. 4．注意必要的讨论.
5．一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴. 四、、布置作业 五、思考题：
1． 解关于x 的不等式：(x-x 2+12)(x+a)<0.
解：①将二次项系数化“+”为：(x 2-x-12)(x+a)>0，
②相应方程的根为：-3，4，-a ，现a 的位置不定，应如何解？ ③讨论：
ⅰ当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
∴原不等式的解集为{x| -3<x<4或x>-a}.
ⅱ当-3<-a<4，即-4<a<3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
∴原不等式的解集为{x| -3<x<-a 或x>4}.
ⅲ当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
∴原不等式的解集为{x| -a<x<-3或x>4}.
ⅳ当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
∴原不等式的解集为{x| x>-3}.
ⅴ当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
∴原不等式的解集为{x| x>4}.
2．若不等式13
64222
2<++++x x k
kx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围.(提示：4x 2+6x+3恒正)（答：1<k<3）
解：∵13642222<++++x x k kx x ⇔013642222<-++++x x k kx x ⇔03
643)3(2222>++-+--x x k
x k x
⇔ 03)3(222>-+--k x k x (∵4x2+6x+3恒正)，
∴原不等式对x 取任何实数均成立，等价于不等式2x2-2(k-3)x+3-k>0对x 取任何实数均成立. ∴∆=[-2(k-3)]2-8(3-k)<0⇔k2-4k+3<0⇔1<k<3. ∴k 的取值范围是（1，3）.
小结：逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分。