17.5实数的运算(2)
实数的运算与性质
实数的运算与性质在数学中，实数是指包括有理数和无理数的数集。
它们可以进行各种运算，并且具有特定的性质。
本文将详细介绍实数的运算法则以及相关性质。
一、实数的四则运算实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面以具体的运算示例来说明这四种运算法则。
1. 加法：实数加法的法则是：对于任意的实数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)，即加法具有结合律。
例如，对于a=2，b=3和c=4，我们有(2+3)+4=9，而2+(3+4)=9，所以加法满足结合律。
2. 减法：实数减法是加法的逆运算。
设a、b和c是任意实数，那么a-(b+c)=a-b-c，即减法也具有结合律。
举个例子，对于a=5，b=3和c=1，我们有5-(3+1)=1，而5-3-1=1，因此减法也满足结合律。
3. 乘法：实数乘法的法则是：对于任意的实数a、b和c，有(ab)c=a(bc)，即乘法也具有结合律。
例如，对于a=2，b=3和c=4，我们有(2*3)*4=24，而2*(3*4)=24，所以乘法满足结合律。
4. 除法：实数除法是乘法的逆运算。
对于任意非零实数a、b和c，有a/(bc)=(a/b)/c，即除法也具有结合律。
举个例子，对于a=10，b=2和c=5，我们有10/(2*5)=1，而(10/2)/5=1，所以除法也满足结合律。
二、实数的性质实数具有许多重要的性质，下面介绍几个常见的性质。
1. 封闭性：实数的加法和乘法都具有封闭性，即任意两个实数的和或积仍为实数。
例如，对于任意实数a和b，a+b和ab也都是实数。
2. 结合律：前文已经介绍了加法和乘法的结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)和(ab)c=a(bc)。
这个性质允许我们对实数进行连续的运算，无需考虑运算的顺序。
3. 交换律：实数的加法和乘法都具有交换律，即a+b=b+a和ab=ba。
举个例子，对于任意实数a和b，a+b和ab都满足这一性质。
4. 零元素和单位元素：加法中的零元素是0，即对于任意实数a，a+0=a。
实数运算知识点总结
实数运算知识点总结一、实数的基本性质1. 实数的定义及性质实数是指包括有理数和无理数的数集。
实数的性质包括封闭性、传递性、结合律、交换律和分配律等。
2. 实数的大小比较对于任意实数a和b，有两个重要性质：反对称性和三角不等式。
3. 实数的绝对值绝对值是实数a到原点的距离。
绝对值的性质包括非负性、非零性、三角不等式和绝对值的运算法则。
4. 实数的方根与幂实数的n次方根、实数的n次幂的运算法则和性质。
二、实数的运算1. 实数的加法运算实数的加法运算法则，包括交换律、结合律和单位元素等性质。
2. 实数的减法运算实数的减法定义，以及减法的性质和规律。
3. 实数的乘法运算实数的乘法运算法则，包括交换律、结合律、分配律和零因子等性质。
4. 实数的除法运算实数的除法定义，包括零的倒数、分数的相乘和相除等性质。
5. 实数的乘方运算实数的乘方运算法则，包括同底数幂的乘法法则和除法法则等。
三、实数的运算法则1. 基本的实数运算法则包括整数的加减法和乘法运算、有理数的加减法和乘法运算、实数的加减法和乘法运算等基本法则。
2. 实数的化简运算将实数的表达式化为最简形式，包括有理数的四则运算和乘方运算、无理数的运算等。
3. 实数的合并与分解将实数的表达式进行合并或分解，以便进行进一步的运算。
四、实数的应用1. 实数的应用于代数方程实数的应用包括一元一次方程、一元二次方程等的求解和实数的性质应用等方面。
2. 实数的应用于不等式实数的应用包括一元一次不等式、一元二次不等式等的求解和实数的性质应用等方面。
3. 实数的应用于几何问题实数的应用包括平面几何和立体几何中实数的运用、问题的建立和解决。
五、实数的推论与应用1. 实数的应用问题实数的运算和性质在实际生活中的应用，如金融、工程、物理等领域的问题解决。
2. 实数性质的证明实数的性质和运算法则的证明，以及实数应用问题的解题过程。
3. 实数性质的应用实数的性质在代数方程、不等式、几何问题和实际应用问题中的具体应用。
实数的运算步骤
实数的运算步骤
实数呢，就包括有理数和无理数。
那在进行运算的时候，要是加减法，咱得先把相同类型的数凑一起。
比如说整数和整数加，分数和分数加。
就像你整理东西，要把同类的放在一块儿一样。
如果有括号的话，那括号里的就像一个小团体，要先把这个小团体内部的运算搞定。
再说说乘除法。
乘法其实就是几个相同数相加的简便运算啦。
两个实数相乘的时候，按照乘法法则来就行。
要是有多个数相乘，那正负号可一定要注意哦。
负数个数是奇数的时候，结果就是负的；负数个数是偶数的时候，结果就是正的，就像玩奇偶游戏一样有趣呢。
除法呢，其实就是乘法的逆运算，除以一个数就等于乘以它的倒数。
不过要小心哦，除数不能为0呀，0要是做了除数，那可就像没有地基就想盖高楼，整个运算就乱套啦。
对于乘方运算，那就是一个数自己乘以自己好几次。
底数是正数的时候，结果肯定是正数；底数是负数，指数是偶数的时候，结果也是正数，指数是奇数的时候，结果就是负数啦。
就像正负之间在玩一种规律的小把戏。
开方运算也很有趣呢。
平方根的时候，正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根就是0；负数可没有平方根哦，这就像有些规则是不能打破的。
立方根就不一样啦，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根还是0。
在做实数混合运算的时候，就像做一个大杂烩。
要按照先乘方、开方，再乘除，最后加减的顺序来。
如果有括号，还是先算括号里面的。
这就像我们做事要有个先后顺序一样，不能乱来。
实数的运算与性质
实数的运算与性质实数是数学中最基本的概念之一，广泛应用于各个领域。
在实际生活中，我们常常需要进行实数的运算，比如加减乘除等，通过运算可以帮助我们解决各种问题。
本文将简要介绍实数的运算规则以及相关性质。
一、实数的加法与减法运算实数的加法运算是指将两个实数进行相加的操作，其运算规则如下：规则1：对于任意实数a、b，a + b = b + a，即实数的加法满足交换律。
规则2：对于任意实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)，即实数的加法满足结合律。
规则3：对于任意实数a，存在一个特殊的实数0，使得a + 0 = a，即实数0是加法的单位元素。
规则4：对于任意实数a，存在一个特殊的实数-b，使得a + (-b) = 0，即实数-b是a的加法逆元素。
实数的减法运算是加法运算的逆运算，其运算规则如下：规则5：对于任意实数a、b，a - b = a + (-b)，即实数的减法等价于加法。
二、实数的乘法与除法运算实数的乘法运算是指将两个实数进行相乘的操作，其运算规则如下：规则6：对于任意实数a、b，a × b = b × a，即实数的乘法满足交换律。
规则7：对于任意实数a、b和c，(a × b) × c = a × (b × c)，即实数的乘法满足结合律。
规则8：对于任意实数a，存在一个特殊的实数1，使得a × 1 = a，即实数1是乘法的单位元素。
规则9：对于任意实数a（a ≠ 0），存在一个特殊的实数1/a，使得a × (1/a) = 1，即实数1/a是a的乘法逆元素。
实数的除法运算是乘法运算的逆运算，其运算规则如下：规则10：对于任意实数a、b（b ≠ 0），a ÷ b = a × (1/b)，即实数的除法等价于乘法。
三、实数的性质除了运算规则外，实数还具有以下重要的性质：性质1：实数具有封闭性。
实数的概念和运算
实数的概念和运算实数是数学中的一种重要概念，它包括有理数和无理数两部分。
实数运算指对实数进行加、减、乘、除等基本运算的操作。
在本文中，我们将从实数的概念入手，探讨实数的性质、分类以及基本运算规则。
一、实数的概念实数是一种可以用来表示尺寸、时间、温度、权重等具体物理量的数。
它包括有理数和无理数两个部分。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则无法表示为有理数的比值。
有理数是实数的一部分，它包括整数、分数和小数。
整数是不带小数点的正负整数，分数是两个整数的比值，小数是无限位小数或者有限位小数。
有理数之间的运算满足交换律、结合律和分配律等基本运算规则。
无理数包括无限不循环小数和根号形式的数。
无限不循环小数是指小数位数无限且没有循环的小数，如圆周率π和自然对数的底数e。
根号形式的数是指无法表示为有理数的平方根或立方根等形式的数，如根号2和根号3等。
二、实数的分类实数可以分为有限实数和无限实数。
有限实数是指小数位数有限的实数，而无限实数则是指小数位数无限的实数。
在有限实数中，又可以进一步分为有理数和有限不循环小数。
有理数是可以表示为两个整数的比值，而有限不循环小数则是指小数位数有限且不出现循环的小数，如0.25和0.333等。
在无限实数中，又可以进一步分为无理数和无限不循环小数。
无理数是指无法表示为有理数的比值的数，而无限不循环小数是指小数位数无限且不出现循环的小数，如π和e等。
三、实数的基本运算规则实数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面将分别介绍它们的运算规则。
1. 加法：实数的加法满足交换律、结合律和零元素的存在。
即对于任意实数a、b和c，满足以下规则：- 交换律：a + b = b + a- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)- 零元素：a + 0 = a2. 减法：实数的减法可以转化为加法运算。
即对于任意实数a、b 和c，满足以下规则：- 减法定义：a - b = a + (-b)3. 乘法：实数的乘法满足交换律、结合律和单位元素的存在。
实数的运算公式
实数的运算公式主要包括以下几种：
1. 去括号：如果括号外的数字是正数，则括号内的符号不改变；如果括号外的数字是负数，则括号内的符号要改变。
2. 添括号：与去括号相反，添括号时，如果括号外的数字是正数，则括号内各项不变号；如果括号外的数字是负数，则括号内各项都变号。
3. 运算法则：实数运算主要利用加法运算律，加法运算律适用于所有实数的加法运算。
此外，还有减法运算律和乘法运算律，以及除法运算律。
需要注意的是，任何两个数的和乘以一个非零实数，等于这两个数分别乘以这个实数后再相加。
此外，实数的运算还包括平方运算、开方运算和乘方运算等，这些运算也有相应的运算法则。
总的来说，实数的运算需要遵循一些基本的规则和原则，以保证运算的正确性和有效性。
实数的基本概念与运算
实数的基本概念与运算实数是数学中的一个基本概念，它包括了整数、有理数和无理数。
实数的运算是数学中的重要内容，包括加法、减法、乘法和除法等。
本文将介绍实数的基本概念以及实数的运算法则。
一、实数的基本概念实数是用于表示现实世界中各种物质和现象的数，它包括了整数、有理数和无理数。
整数由正整数、负整数和零组成，例如-3、-2、-1、0、1、2、3等。
有理数是可以表示为两个整数之商的数，例如2/3、-4/5、1等。
无理数是不能表示为两个整数之商的数，例如π和√2等。
二、实数的加法与减法运算实数的加法是指将两个实数相加得到一个新的实数。
加法运算满足交换律、结合律和零元律。
例如，对于任意实数a、b和c，有以下等式成立：1. 交换律：a + b = b + a2. 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)3. 零元律：a + 0 = a实数的减法是指将一个实数减去另一个实数得到一个新的实数。
减法运算可以看作是加法运算的逆运算。
例如，对于任意实数a、b和c，有以下等式成立：a -b = a + (-b)三、实数的乘法与除法运算实数的乘法是指将两个实数相乘得到一个新的实数。
乘法运算满足交换律、结合律和单位元律。
例如，对于任意实数a、b和c，有以下等式成立：1. 交换律：a × b = b × a2. 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)3. 单位元律：a × 1 = a实数的除法是指将一个实数除以另一个非零实数得到一个新的实数。
除法运算可以看作是乘法运算的逆运算。
例如，对于任意实数a、b和c（其中b≠0），有以下等式成立：a ÷b = a × (1/b)四、实数的运算性质实数的运算满足分配律、零因子律和单位元律等性质。
1. 分配律：对于任意实数a、b和c，有以下等式成立：a × (b + c) = (a × b) + (a × c)a × (b - c) = (a × b) - (a × c)2. 零因子律：如果两个实数的乘积等于零，则其中至少一个实数为零。
初中数学实数的运算(02)教学PPT课件
（3）已知 m 是 15 的整数部分，n 是 15 的小数部分。
计算 m－2×n 的值。
收获和体会
1、通过这节课的学习活动你有 哪些新的收获？
1、实数混合运算顺序。 2、可以利用运算法则和运算律简化运算过程。 3、近似值的取法。 4、常用的几个近似值。
A、 24 22 20 20 20 1
B、 22 1 1 4 4 1 2 1
3 3 2
36
C、 24 152 15 16 15 1
D、 24 32 23 16 17 1
究
活
探
（1）
动
计算下面式子的结果：
4 9 与= 4 9
16 25 与= 16 25
② 1 2 2 3 3 4 ...... 2010 2011
2011 2012
= 2012 1
☞ 一起探究（3） 我们都知道 2 是无理数，而无理数是无限不循 环小数，因此， 2 的小数部分我们无法全部写出来， 于是小明用 2 1来表示 2 的小数部分，你同
意小明的方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 2的整数 部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。 请解答： （1）π的整数部分为__3_，则它的小数部分是 π-3 ；
你发现了什么相同的规律？能用 字母表示这种规律吗？
a b ab
1.不用近似值求下列运算。
① 2 50
原式= 2 50 100 = 10
② 1 27 3
原式= 1 27 9 = 3
3
③ 0.1 0.001
原式= 0.1 0.001 0.0001 =0.01
☞ 一起探究（2）
实数的运算大全
交换律：ab=ba
结合律：(ab)c=a(bc)
分配律：a(b+c)=ab+ac
乘法结合律：(ab)c=a(bc)
运算性质
交换律：ab=ba 结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 乘法与加法的结合律：a(b+c)=(a×b)+(a×c)
实数的除法
第四章
定义与性质
实数的除法定义：两个实数相除， 等于乘以另一个数的倒数
运算性质
实数的除法运算是乘法的逆运算 除数不能为0，否则无意义 实数的除法运算结果仍为实数 除法运算满足交换律和结合律
实数的幂运算
第五章
定义与性质
幂运算的定义：实数的幂运算是指 将一个实数自乘若干次，表示为指 数形式。
幂运算的运算顺序：先进行乘方运 算，再进行乘除运算，最后进行加 减运算。
添加标题
实数乘法的运算律：交换律、结合律和分配律。
运算规则
乘法交换律：a × b = b × a 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c) 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c 乘法与加法的结合律：(a + b) × c = a × c + b × c
运算律
实数的运算大全
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
目录
CONTENTS
01 实数的加法 02 实数的减法 03 实数的乘法 04 实数的除法 05 实数的幂运算
06 实数的开方运算
实数的加法
第一章
定义与性质
实数的加法定义：两个实数相加，得到另一个实数 加法的交换律：a+b=b+a 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 加法的非消去律：如果a+b=a+c，那么b=c
考点03 实数的运算(解析版)
考点三实数的运算知识点整合(1)实数的加减法则.注意异号两数相加时,取“绝对值较大”的数的“符号”.(2)实数的乘除法则.注意“异号”得“负”，除法中的除数不等于0.两数的积为0,则两数中至少有一个为0.(3)实数的乘方开方运算中,乘方时,注意底数相同,开平方时,被开方数为非负数.(4)实数的混合运算中,在同一个式子里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．(5)实数的运算律:加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律、分配律.(6)熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等的运算.注意运算顺序，分清先算什么，再算什么.考向一实数的综合运算典例引领(1)在数轴上，把点A向左平移4个单位长度得到点B，求点(2)若点C表示的数是B所表示数的相反数，求点C表示的数；点左侧个单位长度，14．一个数值转换器，如图所示：(1)当输入的x为16时，输出的y值是______；(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的(1)当输入的x为16时，输出的y值是______．(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的(1)当输入的x值为2-时，求输出的y值；(2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的(1)当输入的x值为16时，输出的y值是______；(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的(1)请用含有(n n 为正整数)的等式n S (2)推算出10OA =______．(3)求出222212310S S S S +++⋯+的值．【答案】(1)n(1)A类正方形的边长是________；(2)求长方形邀请函的周长；(3)小李建议将图1正中间的正方形去掉，以中间的C类长方形的长为D类长方形的长为∴阴影部分的周长为(1)当m=1时，输出的结果为(2)计算：()()5134i i i +-+；(3)计算：234i i i i ++++⋯+2023i ．【答案】(1)3i-(2)7(3)1-【分析】（1）3233i i i =⨯⨯，据此即可求解；（2）利用材料所给乘法运算和乘方运算法则即可求解；（3）23451,,,1,...i i i i i i i i ==-===-据此可找到规律求解．【详解】（1）解：()3213333i i i ii =⨯⨯=⨯-⨯=-故答案为：3i-（2）解：原式2223434i i i i i i=-+-+⨯⨯34i i=-++7=（3）解：由题意可得：23451,,,1,...i i i i i i i i ==-===-∵20234505 (3)÷=∴原式()()115051i i i i =--+⨯+--01=-1=-【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了学生举一反三以及抽象概括能力．9．【阅读】求值2341012222+++++…+2解：设23410122222S =++++++…①，将等式①的两边同时乘以2得：2345112222222S =+++++⋯+②由②－①得：11221S S -=-即：234101112222221S =+=+++⋯+=-【运用】仿照此法计算：2310015555+++++ ；【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为1S ，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形2S ，依次操完成下列问题：①小正方形的面积1S②求正方形1S、2S、10151-(1)当x为9时，y值为(2)如果输入0和1，(1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________(2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为6，求输入的x的值．(1)当输入的x值为4时，输出的y值为；当输入的x值为16时，输出的(2)输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为3。
实数的运算
实数的运算实数的运算(1)加法 同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；异号两数相加。
取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 任何数与零相加等于原数。
(2)减法 a-b=a+(-b)(3)乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即⎪⎩⎪⎨⎧⋅-⋅=)(0),(||||),(||||为零或异号同号b a b a b a b a b a ab(4)除法 )0(1≠⋅=b b a b a (5)乘方 个n n a aa a = (6)开方 如果x 2＝a 且x ≥0，那么a ＝x ； 如果x 3=a ，那么x a =3在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．3．实数的运算律(1)加法交换律 a+b ＝b+a (2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)(3)乘法交换律 ab ＝ba ． (4)乘法结合律 (ab)c=a(bc)(5)分配律 a(b+c)=ab+ac其中a 、b 、c 表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．典型题型与习题一、填空题：1．我国数学家刘徽，是第一个找到计算圆周率π方法的人，他求出π的近似值是3.1416，如果取3.142是精确到 位，它有 个有效数字，分别是 。
1.5972精确到百分位的近似数是 ；我国的国土面积约为9600000平方干米，用科学计数法表示为 平方干米。
2．按鍵顺序－1·2÷4＝，结果是 。
3．我国1990年的人口出生数为23784659人。
保留三个有效数字的近似值是人。
4．由四舍五入法得到的近似数 3.10×104，它精确到 位。
这个近似值的有效数字是 。
5．2的相反数与倒数的和的绝对值等于 。
6．若n 为自然数时(－1)2n+1+(－1)2n = .7.已知2a －b ＝4, 2(b －2a)2－3(b －2a)＋1＝8．已知：｜x|＝4，y 2＝149且x>0,y<0，则x －y ＝ 。
17.5第2课时 二次根式的加减
学习课题17.5实数的运算第2课时二次根式的加减内容分析（复习课时才用）本节内容主要是理解同类二次根式的概念；能够正确进行简单的二次根式加减法的运算；利用二次根式加减法解决一些实际问题.二次根式的加减是中考的基本考点之一，主要以填空题、选择题为主，有时渗透在解答题中考查．本节重点是理解并掌握二次根式的加减法运算；难点是探讨二次根式加减法运算的方法,快速准确进行二次根式加减法的运算；被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简．本节常见的易混点是对同类二次根式的概念理解不清，将不是同类二次根式的式子合并，初学者往往忽略这一点，出现错误．本节常见的易错点是不能准确运用性质进行化简．学习目标1．理解同类二次根式的概念；2．能够正确进行简单的二次根式加减法的运算；3．利用二次根式加减法解决一些实际问题.学习重难点重点：理解并掌握二次根式的加减法运算难点： 1．探讨二次根式加减法运算的方法,快速准确进行二次根式加减法的运算；2．被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简．学习过程一．学习准备1.知识准备：①什么同类项？②二次根式的加、减运算步骤是．③的二次根式，叫做同类二次根式.④计算12＋48＝.2. 情绪准备：在二次根式的加、减运算中，怎样合并同类二次根式？答案：1.①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．②先化简后合并．③化简后被开方数相同④6 32.只把根号外面的因数相加减，被开方数和根指数不变.二．阅读感知本节内容安排了三个层次：1．同类二次根式由问题你能计算出5x2y－3xy2－4xy2－3xy2吗？引导学生回忆整式加减运算的步骤，启发学生思维，用类比的思想，进一步提出①什么叫做同类二次根式？它有哪两个必要条件？让学生展开联想，引导学生从具体的问题入手，概括出同类二次根式的概念及主意事项．出示联系题，让学生做判断，以达到理解概念，巩固新知的目的．2．最简二次根式：提出问题你们怎样计算下列各式呢？，激发学生的学习热情，让学生自己探究、交流，在计算的过程中寻求解决问题的方法，找出“二次根式的被开方数相同是可以合并的”的规律，从而得出最简二次根式的概念．3．二次根式的加减：由两个问题如何合并二次根式呢？对二次根式的加减运算，应按怎样的步骤进行呢？展开探究，在学生掌握同类二次根式的概念基础上，师生共同归纳出，二次根式的加减法则，在计算的过程中，教师要适时地点拨，二次根式的混合运算方法和顺序，从而为学生更好地掌握本课时的重点知识点打好基础．三．合作探究1．同类二次根式：我们学习了整式的加减运算，你能计算出5x 2y －3xy 2－4xy 2－3xy 2吗？上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减． 学生自主完成后，让学生说出解题过程．①什么叫做同类二次根式？它有哪两个必要条件？通过引导，让学生与同类项进行类比、联想、讨论、交流，概括出同类二次根式的概念．(1)被开方数相同；(2)二次根式不能再化简；(3)根指数都是2；(4)与二次根式的系数无关．它有哪两个必要条件：（1）它们都是最简二次根式；（2）它们的被开方数必须完全相同．②下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（1）33； （2）a 1； （3）77-； （4）2a ； （5）985a ； （6）23b a 。
实数的运算规则
实数的运算规则实数是数学中一个非常重要的概念，其涵盖了所有有理数和无理数。
实数拥有完整的代数结构，包括加法、减法、乘法和除法等运算，同时也具有一些特殊的运算规则。
本文将全面介绍实数的运算规则。
一、实数集合实数包括有理数和无理数两个部分，有理数为整数、分数和小数，无理数为不能表示为有限小数或者分数的实数。
实数的集合表示为R。
二、加法和减法实数的加法和减法满足以下性质：1. 交换律a+b=b+aa-b=-(b-a)2. 结合律(a+b)+c=a+(b+c)(a-b)-c=a-(b+c)3. 分配律a(b+c)=ab+aca(b-c)=ab-ac4. 存在加法单位元素、加法逆元素存在零元素0，满足a+0=a对于任意实数a，都存在一个相反数-b，满足a+b=05. 减法和加法具有相同优先级，从左向右进行运算。
例如：a+b-c=a+(b-c)三、乘法和除法实数的乘法和除法满足以下性质：1. 交换律ab=ba2. 结合律(ab)c=a(bc)3. 分配律a(b+c)=ab+acb(c+d)=bc+bd4. 存在乘法单位元素、乘法逆元素存在一个单位元素1，满足a*1=a对于任何实数a，如果a≠0，则存在一个逆元素1/a，满足a(1/a)=1 5. 除法和乘法具有相同优先级，从左向右进行运算。
例如：a/b*c=a/(b*c)四、其他运算规则1. 对于任何实数a，a+(-a)=02. 对于任何实数a，a*0=03. 对于任何实数a，a*1=a4. 对于任何实数a，a*（1/a）=1，（a≠0）5. 对于任何实数a、b，如果a>b，则a+c>b+c；a-c>b-c，ac>bc，a/c>b/c（c>0）在使用实数进行运算时，需要注意遵循以上的运算规则，才能得出正确的结果。
在学习实数的过程中，需要注重练习和实践，多做习题来加深对实数运算规则的理解。
实数的运算
实数的运算实数是数学中一种最基本的数的概念，包括有理数和无理数。
实数的运算是数学中重要的基本运算之一，其中包括加法、减法、乘法和除法等操作。
本文将介绍实数的运算规则和性质。
加法运算实数的加法运算是指两个实数相加的操作。
对于实数a和b，它们的和记作a+ b。
加法运算具有以下性质：1.交换律：对于任意实数a和b，a + b = b + a。
2.结合律：对于任意实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。
3.存在零元素：对于任意实数a，存在0使得a + 0 = a。
4.存在相反元素：对于任意实数a，存在一个实数-b使得a + (-b) = 0。
减法运算实数的减法运算是指两个实数相减的操作。
对于实数a和b，它们的差记作a - b。
减法运算具有以下性质：1.减法的定义：a - b = a + (-b)。
2.减法的运算顺序：减法运算不满足交换律，即a - b ≠ b - a。
乘法运算实数的乘法运算是指两个实数相乘的操作。
对于实数a和b，它们的乘积记作a * b或ab。
乘法运算具有以下性质：1.交换律：对于任意实数a和b，a * b = b * a。
2.结合律：对于任意实数a、b和c，(a * b) * c = a * (b * c)。
3.存在单位元素：对于任意实数a，存在1（不等于0）使得a * 1 = a。
4.存在倒数元素：对于任意非零实数a，存在一个实数1/a（a的倒数）使得a * (1/a) = 1。
除法运算实数的除法运算是指一个实数除以另一个实数的操作。
对于实数a和b（b ≠ 0），它们的商记作a / b。
除法运算具有以下性质：1.除法的定义：a / b = a * (1/b)。
2.除法的运算顺序：除法运算不满足交换律，即a / b ≠ b / a。
3.分子为0：任意实数a除以0没有定义。
实数的运算律实数的四则运算满足一系列的运算律，这些运算律对于进行实数的复杂运算非常有用。
八年级数学上册 17.5实数的运算课件 冀教版
1 2
8
2
2 3
27 8
3 72 6
4
4 5
8 5
1、二次根式 a
被开方数a≥0； 根指数为2.
2、最简二次根式： （1）被开方数是整数； （2）这个整数不含能开得尽得因数。
小结（2）
3、运算性质：
( a )2 a（a≥0）
a • b a • b (a 0,b 0)
a b
a (a 0,b 0)
一般地，
( a )2 a（a≥0）
1、请你完成下列各式的计算，你能发现什么规律吗？
1 4 25 10 4 25 102 916 1234 252 5
4
25 36
5 6
9 16 12
4 25
2 5
25 5
36 6
2、用计算器验证下列等式成立
1 2 3 2 3
2
3
3
8
8
a • b a • b(a 0,b 0)
a b
a (a 0,b 0)
b
化简：
(1) 8
(2) 50
解：(1) 8 4 2 4 2 2 2
(2) 50 25 2 25 2 5 2
化简下列各式：
(1) 24 (3) 52
(2)
98 16
(4) 0.75
最简二次根式： （1）被开方数是整数； （2）这个整数不含能开得尽得因数。
如图，一边长为3m的正方形花坛，要在其中 一条对角线AC上单独种植某种花卉，相邻两 棵树之间相距 2m，问需要这种花卉多少棵？
析解：对角线AC的长为： 18 m， A
D
所需棵树为（ ÷18+1）2 棵。
那么到底如何进行计算呢？
实数的运算法则
实数的运算法则实数是我们在日常生活中经常接触到的一种数，它包括有理数和无理数。
在数学中，我们经常需要对实数进行各种运算，比如加法、减法、乘法、除法等。
这些运算法则是我们学习数学的基础，也是我们在解决实际问题时经常需要用到的知识。
本文将从加法、减法、乘法、除法等方面介绍实数的运算法则，希望能帮助读者更好地理解和掌握这些知识。
一、加法。
实数的加法是指两个实数相加的运算。
假设有两个实数a和b，它们的和记作a+b。
实数的加法满足交换律、结合律和存在加法单位元素的性质。
即对于任意的实数a、b和c，有以下性质：1. 交换律，a+b=b+a。
2. 结合律，(a+b)+c=a+(b+c)。
3. 存在加法单位元素0，对于任意的实数a，有a+0=0+a=a。
二、减法。
实数的减法是指一个实数减去另一个实数的运算。
假设有两个实数a和b，它们的差记作a-b。
实数的减法满足减法的逆运算、结合律和存在减法单位元素的性质。
即对于任意的实数a、b和c，有以下性质：1. 减法的逆运算，a-(a-b)=b。
2. 结合律，(a-b)-c=a-(b+c)。
3. 存在减法单位元素0，对于任意的实数a，有a-0=a。
三、乘法。
实数的乘法是指两个实数相乘的运算。
假设有两个实数a和b，它们的积记作a×b。
实数的乘法满足交换律、结合律和存在乘法单位元素的性质。
即对于任意的实数a、b和c，有以下性质：1. 交换律，a×b=b×a。
2. 结合律，(a×b)×c=a×(b×c)。
3. 存在乘法单位元素1，对于任意的实数a，有a×1=1×a=a。
四、除法。
实数的除法是指一个实数除以另一个实数的运算。
假设有两个实数a和b，它们的商记作a÷b。
实数的除法满足除法的逆运算、结合律和存在除法单位元素的性质。
即对于任意的实数a、b和c，有以下性质：1. 除法的逆运算，a÷(a÷b)=b。
七年级下册数学实数的运算
七年级下册数学实数的运算实数是包括有理数和无理数的数集合，包括正数、负数和零。
在数学中，我们经常会进行实数的运算，包括加、减、乘、除等。
下面我们来详细介绍一下七年级下册数学实数的运算。
首先，我们来讨论实数的加法运算。
实数的加法运算遵循交换律和结合律。
例如，对于实数a、b、c，有如下性质：1.交换律：a + b = b + a2.结合律：(a + b) + c = a + (b + c)在实数的加法运算中，我们可以将正数、负数和零进行运算。
例如，2 + 3 = 5，(-2) + 3 = 1，(-2) + (-3) = -5，0 + 2 = 2。
接着，我们来讨论实数的减法运算。
实数的减法运算可以看作是加法运算的逆运算。
例如，a - b = a + (-b)。
实数的减法运算遵循减法性质，即减法不满足交换律，但满足结合律。
对于实数a、b、c，有如下性质：1.非交换性：a - b ≠ b - a2.结合律：(a - b) - c = a - (b + c)在实数的减法运算中，我们也可以将正数、负数和零进行运算。
例如，5 - 3 = 2，(-2) - 3 = -5，0 - 2 = -2。
接着，我们来讨论实数的乘法运算。
实数的乘法运算也遵循交换律和结合律。
例如，对于实数a、b、c，有如下性质：1.交换律：a × b = b × a2.结合律：(a × b) × c = a × (b × c)在实数的乘法运算中，我们可以将正数、负数和零进行运算。
例如，2 × 3 = 6，(-2) × 3 = -6，(-2) × (-3) = 6，0 × 2 = 0。
最后，我们来讨论实数的除法运算。
实数的除法运算可以看作是乘法运算的逆运算。
对于非零实数a、b，有如下性质：1.除法性质：a ÷ b = a × (1/b)在实数的除法运算中，我们也可以将正数、负数进行运算。
实数的四则运算
实数的四则运算在数学的世界里，实数的四则运算如同建筑的基石，是我们解决各种数学问题的基本工具。
实数包括有理数和无理数，而四则运算则是指加、减、乘、除这四种基本运算。
首先，咱们来聊聊加法。
加法是将两个或多个实数合并成一个总和的运算。
比如说，3 和 5 相加，结果就是 8。
再比如，15 加上 27，得到42 。
加法运算满足交换律和结合律。
交换律就是说，两个实数相加，交换它们的位置，和不变，比如 2 ＋ 3 和 3 ＋ 2 的结果都是 5 。
结合律呢，指的是三个实数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
例如，（2 ＋ 3）＋ 4 ＝ 2 ＋（3 ＋ 4），结果都是 9 。
接着说说减法。
减法可以看作是加法的逆运算。
比如说 5 3 ，实际上就是问“3 加上多少等于5 ”，答案是 2 。
当减数大于被减数时，结果就是负数。
比如 3 5 ，结果就是－2 。
乘法是连加的简便运算。
比如 3 个 5 相加，写成乘法就是 3 × 5 ＝15 。
乘法也满足交换律和结合律，同时还有分配律。
交换律是指两个实数相乘，交换它们的位置，积不变，比如 2 × 3 ＝ 3 × 2 。
结合律是说三个实数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
例如，（2 × 3）× 4 ＝ 2 ×（3 × 4）。
分配律则是，一个实数乘以两个实数的和，等于这个实数分别乘以这两个实数，然后把所得的积相加。
比如 2 ×（3 ＋ 4）＝ 2 × 3 ＋ 2 × 4 。
除法是乘法的逆运算。
比如 15 ÷ 3 ，就是问“3 乘以多少等于15 ”，答案是 5 。
在除法运算中，要注意除数不能为 0 ，因为 0 做除数没有意义。
在进行实数的四则运算时，我们要遵循一定的运算顺序。
先算乘除，后算加减；如果有括号，要先算括号里面的。
比如计算 2 ＋ 3 × 4 ，要先算乘法 3 × 4 ＝ 12 ，然后再算加法 2 ＋ 12 ＝ 14 。
实数的运算2--整式[下学期]--北师大版
![实数的运算2--整式[下学期]--北师大版](https://img.taocdn.com/s3/m/6e945cfb58fafab068dc0225.png)
在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除， 最后加、减．有括号时，先算括号里面．
3．实数的运算律(1)加法交换律 (2)加法结合律 (3)乘法交换律 (4)乘法结合律 (5)分配律
a+b＝b+a (a+b)+c=a+(b+c) ab＝ba． (ab)c=a(bc) a(b+c)=ab+ac
(2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后 所得的结果p叫做代数式的值．
求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数 式可以化简，要先化简再求值． (3)代数式的分类
2．整式的有关概念
(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单 项式．
对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什 么，含有哪些字母，各个字母的指数分别是什么。
近似值是 人。 4．由四舍五入法得到的近似数3.10×104，它精确到 位。
这个近似值的有效数字是 。 5．2的相反数与倒数的和的绝对值等于 。 6．若n为自然数时(－1)2n+1+(－1)2n= .
7.已知2a－b＝4, 2(b－2a)2－3(b－2a)＋1＝
第二课 实数的运算
知识点：有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、 运算顺序、科学计数法、近似数与有效数字、 计算器功能鍵及应用。
考查重点： 1．考查近似数、有效数字、科学计算法； 2．考查实数的运算； 3．计算器的使用。
实数的运算
(1)加法
同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相 加；
异号两数相加。取绝对值较大的数的符号， 并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排 列或升幂排列．