九年级暑假-第1讲：相似形与比例线段 - 教师版

九年级暑假数学最新讲义相似形与比例线段内容分析放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容，主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用．通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础．比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容，主要对比例线段的有关概念和性质进行讲解，重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题．通过对比例线段的学习，一方面为之后学习平行线分线段成比例做好准备，另一方面服务于之后相似三角形知识的学习．知识结构1、相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．【例1】相似的图形，它们的形状相同，它们的大小相同．（选填“一定”或“不一定”或“一定不”）【难度】★【答案】一定，不一定．【解析】相似图形是形状相同的两个图形，由其定义可得出结论．【总结】考查相似图形的概念，注意全等图形是特殊的相似图形．【例2】在下边的方格图中，分别画出ABC和四边形ABCD的一个相似图形．【难度】★【答案】略．【解析】答案不唯一．如图是其中一种．【总结】考查对于相似图形定义的把握，可以采用全等是特殊的相似画图，若要画比例选段，将各边长分别在横向和纵向等比例分解即可．模块一：相似形的概念及性质知识精讲例题解析ADA【例3】下列给出的图形中，不是相似形的是（）（A）由同一张底片印出来大小不同的照片（B）一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片（C）小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像（D）五星红旗上的大五角星和小五角星【难度】★【答案】C【解析】哈哈镜反映人像及物件的扭曲面貌，呈现出与原物不同的像，即不是相似形．【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同．【例4】下列说法不一定正确的是（）（A）所有的等边三角形都相似（B）有一个角是100 的等腰三角形都相似（C）所有等腰直角三角形都相似（D）所有的直角三角形都相似【难度】★★【答案】D【解析】直角三角形两个锐角角度不固定，形状不一定相同．【总结】对于三角形而言，只要三角形的角大小都相同，三角形即相似．【例5】下列各组中的两个图形一定相似的有（）（1）两个等腰三角形；（2）两个直角三角形；（3）两个等腰直角三角形；（4）两个等边三角形；（5）两个矩形；（6）两个菱形；（7）两个正方形；（8）两个等腰梯形；（9）两个圆．（A）3组（B）4组（C）5组（D）6组【难度】★★【答案】B【解析】相似的是（3）（4）（7）（9）【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同，对于三角形来说，三个角大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应．【例6】已知四边形ABCD 和四边形''''A B C D 是相似的图形，并且点A 与点'A 、点B 与 点'B 、点C 与点'C 、点D 与点'D 分别是对应顶点，已知4BC =， 3.6CD =， '' 3.3A B =，''3B C =，75B ∠=︒，105C ∠=︒，95D ∠=︒，求AB ，''C D 的长和'A ∠的度数．【难度】★★【答案】'''4.4 2.785AB C D A ==∠=︒，，．【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例．有''''''43AB CD BC A B C D B C ===，将''3.6 3.3CD A B ==，代入，求得：''4.4 2.7AB C D ==，，根据四边形内角和，可求得：360360751059585A B C D ∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒，相似图形对应角相等可知'85A A ∠=∠=︒．【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系．【例7】如图，ABC ∆和ADE ∆是相似形，顶点A 、B 、C 分别与点A 、D 、E 对应，已知35A ∠=︒，65B ∠=︒， 1.2AE =， 2.5AB =，2AC =，1ED =．求AD 、BC 的长和AED ∠的度数． 【难度】★★【答案】51.53AD BC ==，，80AED ∠=︒．【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例． 有 1.2325AD AE DE AB AC BC ====，将 2.51AB ED ==，代入，可求得51.53AD BC ==，，根据三角形内角和为180°，可求得：180180356580C A B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 根据相似图形对应角相等可知80AED C ∠=∠=︒． 【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系．【例8】已知ABC∆的三边长分别是3、4、5，与其相似的'''A B C∆的最大边长是15，求'''A B C∆的最小边长．【难度】★★【答案】最小边长为9．【解析】15395⨯=．【总结】考查三角形三边的对应关系，两个相似三角形中最长边对应最长边，最短边对应最短边．【例9】已知甲、乙两个三角形相似，甲三角形的三边长分别为4、6、8，乙三角形其中一边的长为2，求乙三角形的另外两边的长．【难度】★★★【答案】3，4或43，83或1，32．【解析】分类讨论．（1）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为4的边时，边长对应比值为2142=，则另两边长分别为11636422⨯=⨯=，；（2）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为6的边时，边长对应比值为2163=，则另两边长分别为1418483333⨯=⨯=，；（3）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为4的边时，边长对应比值为2184=，则另两边长分别为113416442⨯=⨯=，．【总结】三角形中，注意三边的对应关系，对题目指代不明确的，需进行分类讨论．【例10】如图，矩形ABCD中，2AB CD=，线段10EF=，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似，且点M与点A、点F与点B，点G与点C，点N与点D分别是对应顶点，令MN x=．求出矩形EMNH的面积S与x的函数关系式．【难度】★★★【答案】()221005S x x x=-+<<．【解析】根据矩形MFGN与矩形ABCD相似，可对应得222MF GF MN x===，因此102EM x=-，进而可求得：()2102210S MN EM x x x x=⋅=-=-+．【总结】考查简单的函数对应关系，找准线段关系即可进行准确表示相关结果．1、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作:a b （或表示为a b）； 如果::a b c d =（或a cb d=），那么就说a 、b 、c 、d 成比例． 2、比例的性质（1）基本性质：如果a cb d =，那么ad bc =；如果a cb d =，那么b d ac =，a b cd =，c d a b=． （2）合比性质： 如果a c b d =，那么a b c db d ++=； 如果a cb d =，那么a bc db d--=． （3）等比性质： 如果a c k b d ==，那么a c a ck b d b d +===+．【例11】下列各组线段中，成比例的一组是（ ）（A ）23a =，5b =，32c =，15d = （B ）8a =，0.05b =，0.6c =，10d =（C ）3a =，4b =，5c =，6d = （D ）9a =，6b =，3c =，4d =【难度】★ 【答案】A【解析】只有A 选项满足ac bd =可知其成比例．【总结】考查成比例的定义，根据比例的基本性质即可确定．模块二：比例的性质知识精讲例题解析【例12】（12310（2）若1x +，x ，4x +的第四比例项是4，求x ． 【难度】★【答案】（115（2）2±．【解析】（1）根据比例的基本性质可得第四比例项310152⨯=；（2）依题意有()()1:4:4x x x +=+，根据比例的基本性质()()441x x x +=+，整理得24x =，解得2x =±．【总结】考查比例的基本性质和比例中相关定义．【例13】（1）6是a 和b ab ab= ；（2）b 是9和4的比例中项，则b =；（3）线段6a =厘米，16b =厘米，则线段a 和b 的比例中项是 ．【难度】★ 【答案】（1）356；（2）6±；（3）46cm ． 【解析】（1）由题意可知26ab =6ab 135666ab ab=-=； （2）由题意可知29436b =⨯=，可解得6b =±；（3）a 、b 61646cm ⨯ 【总结】考查比例中项的定义，注意线段比例中项和数字比例中项的区别．【例14】（1）若23x y =，则x yy -= ； （2）若45a b =，则2a ba b +=- ；（3）若250x y -=，则()()3:43x y x y +-=．【难度】★★【答案】（1）13-；（2）13-；（3）17:14．【解析】（1）根据比例的合比性，23133x y y --==-； （2）由45a b =，可得45a b =，原式=4251345b bb b ⨯+=--； （3）由250x y -=，可得52x y =，原式=553:4317:1422y y y y ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】考查比例性质运用中的基本计算，确定单位“1”再准确计算．【例15】（1）已知：23a b a -=，求243a ba b -+的值； （2）已知：357x y z==，求332y z y z +-的值；（3）已知：32x y z ==，求22x y zx y z -++-的值．【难度】★★【答案】（1）15；（2）26；（3）11．【解析】（1）令23a b k a -==，得3a k b k ==，，原式=2341335k k k k ⨯-=⨯+； （2）令357x y z k ===，得357x k y k z k ===，，，原式=537263527k kk k+⨯=⨯-⨯； （3）令32x y z k ===，得32k k x y z k ===，，，原式=23211232k kkk k k -+=⨯+-． 【总结】考查换元思想，也可采用【例14】确定单位“1”的思想．【例16】设线段x 、y 、z 满足23418x y z x y zx y z +++⎧==⎪⎨⎪++=⎩，求x 、y 、z 的值．【难度】★★ 【答案】2610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【解析】由（1）可得()2234234x y z x y z x y z +++++===++，再结合（2）18x y z ++=，可得：21842349x y z x y z +++⨯====，由此可得到81216x y z x y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，结合（2）式可解得2610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩． 【总结】考查比例的等比性质的应用．【例17】设()()23a b b c c aa b b c c a +++==---，求895a b c ++的值． 【难度】★★ 【答案】0．【解析】根据分式基本性质，得()()()()()()632666a b b c c a a b b c c a +++==---，令()()()()()()632666a b b c c a k a b b c c a +++===---，则有()()66a b k a b +=-，()()36b c k b c +=-，()()26c a k c a +=-，三式相加，即得8950a b c ++=． 【总结】考查比例的性质的综合应用．【例18】若333333x y y z z xm z x y+++===，求m 的值． 【难度】★★★ 【答案】6或3-．【解析】（1）0x y z ++≠时，根据比例的等比性3333336x y y z z xm z x y+++++==++；（2）0x y z ++=时，可得x y z +=-，则()333x y zm zz+-===-． 【总结】考查比例的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论．【例19】已知a b ckbc a c a b===+++，则一次函数3y kx=-的图像一定经过第几象限？【难度】★★★【答案】三、四．【解析】（1）0a b c++≠时，根据比例的等比性()122a b cka b c++==++，此时一次函数132y x=-经过一、三、四象限；（2）0a b c++=时，可得b c a+=-，则1aka==--，此时一次函数3y x=--经过二、三、四象限；综上所述，函数必经过三、四象限．【总结】考查比例的等比性质，注意根据分母是否为0分类讨论，同时考查一次函数所在象限与系数的关联．1、比例线段的概念对于四条线段a、b、c、d，如果::a b c d=（或表示为a cb d=），那么a、b、c、d 叫做成比例线段，简称比例线段．2、黄金分割如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP PB>）两段（如下图），其中AP是AB和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点．其中，510.6182APAB-=≈，称为黄金分割数，简称黄金数．模块三：比例线段知识精讲【例20】在比例尺为1:40000的地图上，量得A 与B 两地的距离是24厘米，则A 与B 两地的实际距离是．【难度】★ 【答案】9.6km ．【解析】实际距离=图上距离÷比例尺，可知两地实际距离为24400009600009.6cm km ⨯==，注意单位的转化．【总结】考查应用比例尺的定义，比例尺=图上距离÷实际距离，公式转化．【例21】东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，则这张地图的比例尺是（）（A ）1:5（B ）1:500000（C ）1:5000000 （D ）500000:1【难度】★ 【答案】B【解析】比例尺=图上距离÷实际距离，比例尺=6.5132.5100000500000=⨯． 【总结】考查比例尺的定义，注意单位的换算．【例22】（1）若0.1AB =，0.75CD =，则:AB CD = ； （2）若1AB m =，25CD cm =，则:AB CD = ； （3）若AB m =，CD n =，则():AB AB CD +=．【难度】★【答案】（1）2:15；（2）4:1；（3）():m m n +．【解析】（1）0.1:0.752:15=；（2）1:25100:254:1m cm cm cm ==；（3）():m m n +． 【总结】考查比例的化简计算，注意比例中的项带有单位时，注意单位的统一．例题解析【例23】小智发现自己的数学辅导书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20厘米，则它的宽约为．（精确到百分位）【难度】★ 【答案】12.36cm ． 【解析】这本书的宽约为512012.36cm -≈． 【总结】考查黄金比的定义及其相关比值．【例24】如图，已知在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 上，AB DCAE DF=． 求证：（1）AB DC EB FC =；（2）AB DC AB DCEB FC EB FC+-=+-． 【难度】★ 【答案】略．【解析】证明：（1）AB DCAE DF=Q ， AE EB DF FCAE DF++∴=． 根据比例的合比性质，EB FC AE DF ∴=，AE DFEB FC∴=． 根据比例的合比性质，AE EB DF FC EB FC ++∴=，即AB DCEB FC=． 根据比例的合比性质，AB DC AB DC AB DCEB FC EB FC EB FC+-===+-． 【总结】考查比例的合比性质的应用．【例25】如果ABC ∆和'''A B C ∆面积相等，且:''9:25AB A B =，那么边AB 与边''A B 上的高的比为（ ）（A ）9:25 （B ）25:9（C ）3:5（D ）5:3【难度】★ 【答案】B【解析】面积相等的条件下，高与底边成反比，可知高之比为25:9． 【总结】考查成反比的相关计算．【例26】已知有三条线段的长分别为3cm ，6cm ，9cm 的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度．【难度】★★【答案】18cm 或4.5cm 或2cm ．【解析】设添加的线段长度为acm ，将a 当作一个比例外项，根据比例的基本性质有： （1）对应的外项是3cm 时，69318a cm =⨯÷=； （2）对应的外项是6cm 时，396 4.5a cm =⨯÷=； （3）对应的外项是9cm 时，6392a cm =⨯÷=【总结】考查比例的计算，在顺序不确定的情况下，必须进行分类讨论．【例27】在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且34AD AE DE AB AC BC ===， 则AEEC= ，若ADE ∆的周长为90厘米，则ABC ∆的周长为厘米．【难度】★★【答案】（1）3；（2）120．【解析】（1）由34AE AC =，可得43AC AE =，即43AE EC AE +=，故13EC AE =，3AE EC=； （2）根据比例的等比性，34AD AE DE AD AE DE AB AC BC AB AC BC ++====++， 即34ADE ABC C C =V V ， 代入求得120ABC C cm =V ．【总结】考查比例的合比性和等比性的综合应用．【例28】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD相交于点O．（1）图中有哪几对三角形的面积相等？为什么？（2）求证：AO DOCO BO=．【难度】★★【答案】（1）ABD ACDS S=V V，ABC BCDS S=V V，ABO CDOS S=V V，同底等高，减去公共部分面积相等；（2）略．【解析】（1）ABD ACDS S=V V，ABC BCDS S=V V，同底等高，故ABD AOD ACD AODS S S S-=-V V V V，即ABO CDOS S=V V；（2）证明：AODQV和AOBV同高，AODAOBS DOS BO∴=VV．同理AODCODS AOS CO=VV，又ABO CDOS S=V V，∴AO DOCO BO=．【总结】考查梯形中的面积相等，基本图形面积的计算，等高条件下面积之比等于其高之比．【例29】如图，在ABC∆中，BD AC⊥，垂足为D，E是BC边上的一点，EF AC⊥，垂足为F，:2:3ABD ABEDS S∆=四边形，求:AD AF的值．【难度】★★【答案】:2:3AD AF=．【解析】Q:2:3ABD ABEDS S∆=四边形，:2:1ADB EDBS S∴=V V．又BD AC⊥，EF AC⊥，BD∴//EF．BDF EDBS S∴=V V，:1:2BDF ADBS S∴=V V．即()():1:2FD BD AD BD⋅⋅=，:1:2FD AD∴=．()():2:21AD AD FD∴+=+，即:2:3AD AF=．【总结】考查等高或同高三角形面积之比等于其底边之比．【例30】已知线段AB 的长度为l ，点P 在线段上，PB APAP AB=，求线段AP 的长． 【难度】★★ 【答案】51AP l -=． 【解析】根据题意，即有l AP AP AP l -=，解得51AP l -=，P 点是AB 黄金分割点． 【总结】考查黄金分割点的定义．【例31】（1）点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，6AB =厘米，求BP 的长；（2）已知点P 是线段AB 的黄金分割点，51AB =+，求AP 的值． 【难度】★★【答案】（1）()935BP cm =-；（2）2AP =或51AP =-． 【解析】（1）根据黄金分割点定义，且AP BP >，可知51AP AB -=，此时 ()35356935BP AB cm --==⨯=-； （2）线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为51-和35-， 故512AP AB -==或3551AP AB -==-． 【总结】注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个．【例32】如图，乐器上的一根弦80AB =厘米，两个端点A 、B 固定在乐器面板上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，求CD 的长．【难度】★★【答案】()805160cm -．【解析】根据黄金分割点定义，知51AC AB -=，故51351AD AB AB ⎛⎫--=-= ⎪ ⎪⎝⎭，()513552CD AC AD AB AB AB --=-=-=-，得CD =()805160cm -．【总结】考查线段的黄金分割点有两个．【例33】如图，在矩形ABCD中截取正方形ABMN，已知MN是BC和CM的比例中项，35CM=-，求AD的长．【难度】★★【答案】2．【解析】由22MN BC CM BM=⋅=，即()2BC CM BC CM⋅=-，可得35CM BC-=，代入即得2AD BC==．【总结】考查黄金比的综合应用．【例34】如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD．在BA的延长线上取点F，使PF PD=．以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求线段AM、DM的长；（2）求证：2AM AD DM=⋅；（3）请指出图中的黄金分割点．【难度】★★★【答案】（1）51AM=-，35DM=-；（2）略；（3）M是线段AD的黄金分割点，A是线段BF的黄金分割点【解析】（1）P是AB的中点，2AB=，可知1AP=，根据勾股定理得：225PD AD AP=+=，则5PF PD==，51AM AF PF AP==-=-，35DM AD AM=-=-；（2）证明：()()2251625235AM AD DM=-=-=⨯-=⋅，即证；（3）根据定义可知M是线段AD的黄金分割点，类似的，我们可以得到24AB BF AF=⋅=，可知A是线段BF的黄金分割点．【总结】考查黄金比的综合应用，黄金分割题目中容易出现别的黄金分割．【习题1】对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）（A ）图形中线段的长度与角的大小都保持不变 （B ）图形中线段的长度与角的大小都会改变 （C ）图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 （D ）图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 【难度】★ 【答案】D【解析】根据相似形的定义，在缩放的过程中，图形始终保持与原图形相似，可知其线段长度可以改变，角度保持不变． 【总结】考查相似的定义．【习题2】在下图中，画出四边形ABCD 的相似四边形1111A B C D ，使11:1:2A B AB ． 【难度】★ 【答案】略【解析】如图即为所示． 【总结】注意把握好相似图形的定义，形状完全相同，各对应边比例相等，在不能计算的情况下将图形分别在横向和纵向进行分解即可．随堂检测【习题3】已知：a、b、c、d是四条线段，它们的长度分别是1a mm=，0.8b cm=，0.02c cm=，0.4d dm=，它们是不是成比例线段？【难度】★【答案】是【解析】将线段长度单位都转化为mm，18a mmb mm==，，0.240c mmd mm==，，由::a c d b=，可知线段a、b、c、d是成比例线段．【总结】讨论成比例线段时要注意单位的统一性．【习题4】已知甲、乙两地之间的距离为10千米，画在一张地图上的距离为5厘米，那么在这张地图上量得的距离为2厘米的A、B两地的实际距离为千米．【难度】★【答案】4．【解析】同一张地图上比例尺相等，则有5210cm cmkm AB=，可得4AB km=．【总结】考查应用比例尺的定义，比例尺=图上距离÷实际距离，公式转化应用．【习题5】已知点D是边BC上一点，且ABC∆与DAC∆是相似形，点A、B、C分别与点D、A、C对应，:3:2CB CA=，求:CD DB的值．【难度】★★【答案】4:5．【解析】依题意可得32CA CBCD CA==，则23CD CA=，32CB CA=，56DB CB CD CA=-=，故25::4:536CD DB CA CA==．【总结】考查相似形的对应关系．【习题6】若()()::a b x y x y =+-，则:x y = ．【难度】★★【答案】()():a b a b +-．【解析】根据比例的基本性质，()()b x y a x y +=-，去括号得bx by ax ay +=-，移项，得()()a b x a b y -=+，故:x y =()():a b a b +-． 【总结】考查比例的基本性质．【习题7】直线l 上顺次有四点A 、B 、C 、D ，且3AB AD BC DC ==，则BCAD= ；ABCD= ．【难度】★★【答案】16，32．【解析】3AB BC=，得3AB BC =，3ADDC =，得34AD DC DC AB BC DC BC ==++=+， 即得2DC BC =，故6AD BC =，则BC AD =16，AB CD =32． 【总结】学会根据比例关系进行线段比例的转化．【习题8】点P 是线段AB 的黄金分割点，求APAB的值． 【难度】★★★ 51-35-． 【解析】根据黄金分割点的定义，2AP BP AB =⋅，即()2AP AB AP AB =-⋅，两边同时除以2AB ，可解得AP AB 51-2BP AP BC =⋅，类似的可得AP AB 35-． 【总结】注意线段的黄金分割点有两个．21 / 23【作业1】举出日常生活中相似的图形的实例．【难度】★【答案】答案不唯一．例：镜子中的虚像和人体的实像．【解析】考查相似图形的特征是形状完全相同的图形．【总结】考查相似图形的特征，注意多观察．【作业2】若()()2:321:2x y x y -+=，则:2x y =． 【难度】★【答案】2．【解析】根据()()2:321:2x y x y -+=，由比例的基本性质，则有()3222x y x y +=-，整理 得：4x y =，故:24:22x y y y ==． 【总结】考查比例的基本性质．【作业3】下列各组四边形中是相似多边形的是（ ）（A ）一组邻边为2厘米和5厘米与一组邻边为3厘米和6厘米的矩形（B ）有一个内角为30︒的两个菱形（C ）边长分别为3厘米和4厘米的两个菱形（D ）两个高相等的等腰梯形【难度】★★【答案】B【解析】菱形一个内角确定，则每个内角都可以确定下来，同时，菱形四边相等，对应成比例，可知B 选项正确；A 选项边不对应成比例，C 选项菱形有不稳定性，形状不固定，D 选项等腰梯形形状不固定．【总结】考查相似图形的特征．课后作业22 / 23【作业4】已知ABC ∆的三边长分别是4、5、6，与其相似的'''A B C ∆的最小边长是12， 求'''A B C ∆的周长．【难度】★★【答案】45．【解析】两三角形对应相似，则必有最短边对应最短边，最长边对应最长边，即ABC ∆中边长为4的边对应中边长为'''A B C ∆12的边，根据比例的等比性，可以得到'''41123ABC A B C C C ∆∆==，由45615ABC C ∆=++=，可得'''345A B C ABC C C ∆∆==． 【总结】实际上，根据比例的等比性可知相似三角形周长比等于对应边之比．【作业5】7a cm =，0.08b m =， 1.5c dm =，求线段a 、b 、c 的第四比例项．【难度】★★ 【答案】1207cm ． 【解析】将单位都转化为cm ，则815b cm c cm ==，，根据比例的基本性质，ad bc =，可知线段a 、b 、c 的第四比例项1207bc d cm a ==． 【总结】成比例线段问题中注意单位的统一．【作业6】舞台的形状是一个矩形，宽AB 为12米，如果主持人站立的位置是宽AB 的黄金 分割点，那么主持人从台侧点A 沿AB 走到主持的位置至少需走 米．【难度】★★ 【答案】(1865m -或()655m ． 51-，主持人需走的路程为 ()5112656m -=；另一个比例则为51351--=，主持人需走的路程为(35121865m -=-． 【总结】注意线段的黄金分割点有两个，与黄金比是不同的含义．23 / 23 【作业7】若222222b c a c a b k a b c +++===，求直线y kx k =+经过的象限． 【难度】★★★【答案】一、二、三或二、三、四．【解析】（1）0a b c ++≠时，根据比例的等比性()44a b c k a b c ++==++，此时一次函数44y x =+ 经过一、二、三象限； （2）0a b c ++=时，可得b c a +=-，则()222b c a k a a+-===-，此时一次函数22y x =--经过二、三、四象限． 【总结】考查比例的等比性，注意根据分母是否为0分类讨论，同时考查一次函数所在象限与系数的关联．【作业8】已知a 、b 、c 是非零实数，且满足a b c a b c a b c c b a +--+-++==, 求()()()a b b c c a abc+++的值． 【难度】★★★【答案】8或1-． 【解析】设a b c a b c a b c k c b a+--++-===． （1）当0a b c ++≠时，根据比例的等比性1a b c k a b c ++==++， 此时有1a b c a b c a b c c b a+--++-===， 可得222a b c a c b b c a +=+=+=，，，代入所求代数式，可得：()()()2228a b b c c a c a b abc abc+++⋅⋅==； （2）当0a b c ++=时，可得b c a +=-，b c a +=-，a c b +=-，代入所求代数式，可得：()()()()()()1a b b c c a c a b abc abc +++-⋅-⋅-==-．【总结】考查比例的等比性，注意根据分母是否为0分类讨论．。