三角函数y=Asin(wx+q)
高三复习：函数y=Asin(wx+q)图像与性质含参考答案(学生版+教师版)
4.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)， x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相2、用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：1．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φy ＝A sin(ωx ＋φ)2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3．由y ＝A sin ωx 的图像得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.[试一试]1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期、振幅、频率和初相分别为__________． 2．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________．4．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 题型二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________.(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．类提通关：如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段． (1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质例3已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．考点四、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质的综合应用例4、如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0,1)是线段MD 的中点，MD ·MN ＝π218.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．课堂练习1．已知ω>0，函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωπx ＋π4的周期比振幅小1，则ω＝________. 2.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．3．函数f (x )＝cosπx2cos π(x －1)2的最小正周期为________． 4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.4.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用作业1．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值为________． 2．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是________．3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．4．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_____________．5.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．6．已知函数f (x )＝cos x ·cos(x －π3)．(1)求f (2π3)的值；(2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合．7．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．8．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 9．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关念y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：1．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像； 2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3．由y ＝A sin ωx 的图像得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.[试一试]1．1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期、振幅、频率和初相分别为__________． 答案：π，2，1π，－π42．把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得函数的解析式为________．答案 y ＝－cos 2x解析 将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)＝－cos2x .3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________． 答案 6解析 由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.4．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (23π)＝3sin(4π3＋φ)，则sin(4π3＋φ)＝1或－1.又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，116π)，∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z⇒k π＋π6<x <k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6<x <2π3，即f (x )在(π6，23π)上单调递减，而在(π12，π6)上单调递增，错误．③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确．④：应平移π12个单位长度，错误.考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 解 (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表，并描点画出图象：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 0 1 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 02－2(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 考点二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________.(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________． 答案 (1)2 π3(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析 (1)∵f (x )(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，∴T ＝2πω＝π，ω＝2.∵f (0)＝2sin φ＝3，即sin φ＝32(|φ|<π2)，∴φ＝π3. (2)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 思维升华 根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最大值－最小值2；②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最大值＋最小值2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.类提通关：如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段． (1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．解 (1)由图象知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，N ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点． 列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. (2)f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－2π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )．[类题通法]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质例3 (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 由－π2≤φ<π2得k ＝0所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)，当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤56π，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小＝－32.思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数； φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小正周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得其对称中心．利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．教师选例考点四、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质的综合应用例4、如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0,1)是线段MD 的中点，MD ·MN ＝π218.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)由已知F (0,1)是线段MD 的中点，可知A ＝2， ∵MD ·MN ＝T 4·T 2＝π218(T 为f (x )的最小正周期)，∴T ＝2π3，ω＝3，∴f (x )＝2sin(3x ＋φ)，设D 点的坐标为(x D,2)，则由已知得点M 的坐标为(－x D ，0)， ∴x D －(－x D )＝14T ＝14×2π3，则x D ＝π12，则点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－π12，0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－φ＝0. ∵0<φ<π2，∴φ＝π4，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (2)由2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤3x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π3－π4，2k π3＋π12(k ∈Z )． [类题通法]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π，k ∈Z 得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z 得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得x .利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．课堂练习1．已知ω>0，函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωπx ＋π4的周期比振幅小1，则ω＝________. 解析：依题意周期为2πωπ＝3－1＝2，所以ω＝1. 答案：12.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．解析：由图像可得A ＝2，由7π12－π3＝T 4，得T ＝π＝2πω，所以ω＝2，将点⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)，得－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×7π12＋φ，所以sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－1，所以7π6＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝2×32＝62.答案：623．函数f (x )＝cosπx 2cos π(x －1)2的最小正周期为________． 解析：因为f (x )＝cos πx 2cos π(x －1)2＝cos πx 2cos π2－πx 2＝sin πx 2cos πx 2＝12sin πx ，所以最小正周期为2ππ＝2.答案：24．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.解析：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像可知：T2＝⎝⎛⎭⎫－π3－⎝⎛⎭⎫－23π＝π3， 则T ＝23π.∵T ＝2πω＝23π，∴ω＝3.答案：34.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用作业1．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值为________． 答案 k π＋π4，k ∈Z解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z . 2．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是________． 答案 π，1解析 f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 所以最小正周期为π，振幅为1.3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．答案 [k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2.∴取k ＝0，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，其单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .4．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_____________．答案 (－∞，－2]∪[32，＋∞)解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪[32，＋∞)．5.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．答案34解析 取K ，L 中点N ，则MN ＝12， 因此A ＝12. 由T ＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2， ∴f (x )＝12cos πx ， ∴f (16)＝12cos π6＝34. 6．已知函数f (x )＝cos x ·cos(x －π3)． (1)求f (2π3)的值； (2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合． 解 (1)f (2π3)＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·cos π3＝－(12)2＝－14. (2)f (x )＝cos x cos(x －π3)＝cos x ·(12cos x ＋32sin x ) ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＝12cos(2x －π3)＋14. f (x )<14等价于12cos(2x －π3)＋14<14， 即cos(2x －π3)<0， 于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈Z . 解得k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z .故使f (x )<14成立的x 的取值集合为{x |k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z }． 7．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 方法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝22， 所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)， 所以T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 方法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x＝22sin(2x ＋π4)． (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4， 从而f (α)＝22sin(2α＋π4)＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 8．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解 (1)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin(π12t ＋π3)， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3， －1≤sin(π12t ＋π3)≤1. 当t ＝2时，sin(π12t ＋π3)＝1； 当t ＝14时，sin(π12t ＋π3)＝－1. 于是f (t )在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)， 故有10－2sin(π12t ＋π3)>11， 即sin(π12t ＋π3)<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6， 即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．9．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2. (1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2， 所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)． (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3， 所以g (x )∈[－32，1] 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1，所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}.。
1.6函数y=Asin(wx+Q)解析式的求法(应用)
1 【解析】设函数y=Asin(ωx+ )，则 A , , 2 6
2 2 1 , 3, y sin(3x ) 3 2 6
1 y sin(3x ) 2 6
答案:
根据图象建立三角函数关系：
例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲 线近似满足函数: y A sin( x ) b
2.已知函数y=Acos(ω x+ )(A>0,ω >0,0< <π )的最 小值是-5， 图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差
, 且图象经过点( 0, 5 )，求这个函数的解析式。 4 2
3.(2011·临沂高一检测)设函数f(x)=sin(2x+ )
(-π < <0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x . 8
(2)在任意一段3/100秒的时间内，电流强度I 既能取得最大值|A|，又能取得最小值―|A|吗？
T 1 1 分析： , T 3 2 2 20 50 50 w
I 3
100 o w ∵1/50是五点作图的第三点， 3
1 • 50
•1
20
t
1 w , 50
件是“A>0,ω>0”，若不满足，则必须先利用诱导公式
【解答】 ∵ y 2sin( 2x ) 3 2 2sin［ (2x )］ 2sin(2x ) 3 3 ∴相位和初相分别是 2x 2 , 2 .
转换为“A>0，ω>0”再求.
3
3
1 【即时训练】函数对称中心在x轴上，且最大值为 ， 周期为 2 2 初相为 ， 则函数的表达式为______. ， 6 3
第四讲 函数函数y=Asin(wx+)的图像及三角函数模型的简单应用-高考状元之路
第四节 函数)sin(ϕω+=x A y 的 图像及三角函数模型的简单应用1．函数)sin(ϕω+=x A y 的有关概念2．用五点画)sin(ϕω+=x A y 一个周期内的简图用五点画)sin(ϕω+=x A y 一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示．3．函数x y sin =的图像经变换得到)sin(ϕω+=x A y 的图像的步骤如下4．三角函数模型的应用(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像．(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型，课前热身1．函数)32(π-=x ms y 在区间],2[ππ-上的简图是图中的( )2．要得到函数x y 2sin 3=的图像，可将函数]42cos(3=-=πx y 的图像 ( )A ．沿x 轴向左平移⋅8π个单位长度 B ．沿x 轴向右平移8π个单位长度C ．沿x 轴向左平移4π个单位长度D ．沿x 轴向右平移4π个单位长度3．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图像如图则 （ ）4,2.πϕπω==A 6,3.πϕπω==B 4,4.πϕπω==c 45,2.πϕπω==D4．若函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA m x A y 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为,2π直线3π=x 是其图像的一条对称轴，则它的解析式是 ( ))64sin(4π+=⋅x y A 2)32sin(2++=⋅πx y B2)34sin(2++=⋅πx y C 2)64sin(2++=⋅πx y D5．弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移s 与时间t 之间的关系式为),421sin(10π-=t s),,0[+∞∈t 则弹簧振动的周期为 ，频率为 ，振幅为____，相位是____，初相是 ．课堂设计题型一 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像【例1】已知函数⋅+=)32sin(2πx y(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像； (3)说明)32sin(2π+=x y 的图像可由x y sin =的图像经过怎样的变换而得到．题型二 由图像求三角函数的解析式及对称元素【例2】已知函数++=)sin()(ϕωx A x f )2||,0,0(πϕω<>>A b 的图像的一部分如图所示．(1)求)(x f 的表达式；(2)试写出)(x f 图像的对称轴方程； (3)求)(x f 图像的对称中心，题型三 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质的综合问题【例3】 已知函数)sin()(ϕω+=x A x f )2||,0,0(πϕω<>>A 的部分图像如图所示．(1)求函数)(x f 的解析式； (2)令),67()(π+=x f x g 判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由，技法巧点1．图像变换的一般规律(1)平稳变换：①沿x 轴平移时，由)(x f y =变为)(ϕ+=x f y 时，“左加右减”即,0>ϕ左移；,0<ϕ右移， ②沿y 轴平移：由)(x f y =变为k x f y +=)(时，“上加下减”即,0>k 上移；,0<k 下移． (2)伸缩变换：①由x 轴伸缩：由)(x f y =变为)(x f y ω=时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的||1ω倍②沿y 轴伸缩：由)(x f y =变为)(x Af y =时，点的横坐标不变，横坐标变为原来的｜A ｜倍． 2．确定b x A y ++=)sin(ϕω的解析式的步骤 (1)求A ，b ．确定函数的最大值M 和最小值m ， 则⋅+=-=2,2mM b m M A(2)求w 确定函数的周期T ，则,2Tπω= 由图像可观察出4432T T T T 、、、等． (3)求鼽常用方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入1.)sin(++=ϕωx A y （此时，A ，w ，b 已知）或代入图像与直线b y =的交点求解．此法适用于ϕ的范围已知的情况． ②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点”中的第一零点)0,(ωϕ-作为突破口．具体如下：失误防范1．由函数)(sin R x x y ∈=的图像经过变换得到函数=y )sin(ϕω+x A 的图像，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把z 前面的系数提取出来．2．函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等．3．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法，函数=y )0,0)(sin(>>+ωϕωA x A 的单调区间的确定，基本思想是把φω+x 看做一个整体，在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性，随堂反馈1．已知a 是实数，则函数ax a x f sin 1)(+=的图像不可能是 ( )2．使奇函数)2(3)2sin().(θθ+∞++=x s x x f 在]0,4[π-上为减函数的护的值为 ( )3.π-A 6.π-B 65.πc 32.πD 3．若函数,,sin )2cos 1()(2R x x x x f ∈+=则)(x f 是 （ ）A ．最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数4．电流I(A)随时间)(s t 变化的函数)sin(ϕω+=t A I )20,0,0(πϕω<<>>A 的图像如图所示，则当s t 1001=时，电流是( )A A 5.- AB 5. AC 35. AD 10.5．若),0(1)sin()(πϕωϕω<>++=x A x f 对任意实数t ，都有),3()3(ππ+-=+t f t f 记,1)cos()(-+=ϕωx A x g 则=)3(πg课后作业一、选择题1．已知函数)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的部分图像如图所示，则( )6,1.πϕω==A 6,1.πϕω-==B 6,2.πϕω==c 6,2.πϕω-==D2．已知)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 的图像与1-=y 的图像的相邻两交点间的距离为π ，要得到)(x f y =的图像，只需把x y 2cos =的图像 ( )A ．向右平移⋅12π个单位 B ．向右平移⋅125π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移125π个单位3．将函数x y 2sin =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是( ) x y A 2cos 2=⋅ x y B 2sin 2=⋅ )42sin(1π++=⋅x y C x y D 2cos =⋅4．关于函数),42sin()(π-=x x f 有下列命题：①其表达式可写成)42cos()(π+=x x f ；②直线8π-=x是)(x f 图像的一条对称轴；③)(x f 的图像可由x x g 2sin )(=的图像向右平移4π个单位得到；④存在∈α),,0(π使)3()(α+=+x f a x f 恒成立，其中真命题为( )A ．②③ B．①② C ．②④ D．③④ 5．已知函数)20,0()sin()(πϕωϕω<<>++=h x A x f 的图像如图所示，则=)(x f ( )2)42sin(4.++πx A 2)42sin(4.+--πx B 4)42(2.++πx ms C 4)42sin(2.++-πx D6.函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期为π，且其图像向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f 的图像 ( ) A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点125π=x 对称C ．关于点)0,125(π对称 D ．关于点12π=x 对称 二、填空题7．函数ϕωϕω,,)(sin()(A x A x f +=为常数，）0,0>>ωA 的部分图像如图所示，则)0(f 的值是8．已知函数),0)(sin()(πϕπωϕω<≤->+=x x f 的图像如图所示，则=)(x f 9．若将函数)3sin(2ϕ+=x y 的图像向右平移4π个单位后得到的图像关于点)0,3(π对称，则｜ϕ｜的最小值是三、解答题 10．已知函数+=ϕsin 2sin 21)(x x f )2sin(21cos 2ϕπϕ+-∞x s ),0(πϕ<<⋅其图像过点⋅)21,6(π (1)求ϕ的值；(2)将函数)(x f y =的图像上各点的横坐标缩短到原来的,21纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求函数)(x g 在]4,0[π上的最大值和最小值.11．已知函数R x x A x f ∈+=),sin()(ϕω（其中,0,0>>ωA )20πϕ<<的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为,2π且图像上一个最低点为⋅-)2,32(πM (1)求)(x f 的解析式； (2)当]2,12[ππ∈x 时，求)(x f 的值域．12．已知函数)0(1)cos (sin cos 2)(>+-=ωωωωx x x x f的最小正周期为π. (1)求函数)(x f 图像的对称轴方程和单调递减区间； (2)若函数，)4()()(x f x f x g --=π求函数)(x g 在区间]43,8[ππ上的最小值和最大值.。
三角函数f(x)=Asin(wx+φ)图像(1)
3
2 5 7 3 6 12
3
o
-1
6
7 6
5 3
2
x
-2 -3
y sin( 2 x ) sin 2( x ) 3 6
y sin 2 x
y sin x
y=Asin(x+) 总结: y=sinx 方法1:(按 , ω, A顺序变换)
例2：为了得到y sin x的图像，可由 函数y 3sin(2 x
5
)如何变换得到？
变式：函数y sin x可由y cos x如何变换得到
例3：已知函数y sin(2 x
4 平移m ( m 0)个单位长度，所得函数的图像 关于y轴对称，求m的最小值
)的图像向左
例1：如何由y sin x变换得到y 3sin(2 x
3
)图像
方法1:(按 , ω, A 顺序变换)
y 3 2 1
y 3 sin( 2 x ) 3 y sin( 2 x ) 3
6
3
2 5 7 3 6 12
sin x 3sin(2 x
y=sinx
向左>0 (向右<0)
平移||个单位
y=sin(x+)
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍 纵坐标不变
y=sin(x+)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
y=Asin(x+) 总结: y=sinx 方法2:(按 ω, , A顺序变换)
学习版三角函数f(x)=Asin(wx φ)图像性质精品.pptx
例2:图是某简谐运动的图象。
(1)这个简谐运动y/cm 的振幅、周期与 2-
频率各是多少？ O
A
E
0.4 0.8
B
D
C
1.2 F x/s
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示
完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ (3)求这个简谐运动的函数表达式.
例3：已知函数y Asin( x )( 0, 0)的图像
y=sinx
纵坐标不变
y=sinx
向左>0 (向右<0)
y
平移||/个单位
sin
(x
)
sin(
x
)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
例2：为了得到y sin x的图像，可由
函数y 3sin(2x )如何变换得到？
5
变式：函数y sin x可由y cos x如何变换得到
2
4
然后将图像上各点的纵坐标伸长到原来的6倍(横坐标不变)
得到函数y f ( x)的图像，求函数f ( x)的值域和单调区间
总结: y=sinx
y=Asin(x+)
方法1:(按 ,ω, A顺序变换)
向左>0 (向右<0)
y=sinx
y=sin(x+)
平移||个单位
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍
纵坐标不变
y=sin(x+)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
人教版数学必修四1.5 函数y=Asin(wx φ )的图象和性质 教案
三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质高考考纲解读：三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。
本节课的指导思想是以2015湖北高考17题为典型母题，在此基础上进行了三个变式，分散考点，逐步加深对知识的理解，帮助学生掌握解题技能。
教学目标：掌握五点作图法作出三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像 理解三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像和性质。
教学重点：三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像伸缩变换和性质。
教学难点：解决三角函数的综合问题 教学手段：合作学习，讲练结合 教学过程： （一）高考考纲解读函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。
（二）高考母题引领三角函数)sin(ϕω+=x A y 复习母题鉴析(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并写出函数f(x)的解析式；(2)将y ＝f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x)的图象离原点O 最近的对称中心．选题意义：本题叙述简洁明了，不拖泥带水．题目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的，显得平和而贴切．试题一共设置了两问，设问角度新颖，梯度明显，体现了浅入深出、简局表哥约而不简单的命题风格．本题所包含的主要数学知识有：五点作图法、三角函数的图像变换、由图表求三角函数解析式，三角函数的性质等；所涉及的数学思想有换元思想、整体代换思想和函数与方程思想等；考查的主要数学技能有数学运算和逻辑推理。
高中数学：“剖析”函数y=asin（wxφ）的图像及性质
高中数学：“剖析”函数y=asin（wxφ）的图像及性质“老师，为什么我用五点法作图，总是会出错呢？不是这里错，就是那里错！”“老师，我觉得在高中数学函数y=Asin(wx+φ)中，函数图像的变化是最容易错的，很多时候我都把几倍的变换弄成是几分之一的变换，真是头都大了！”“老师，有的题目稍微复杂一点，我就连解析式都求不出来了。
”……在高中数学中，函数y=Asin(wx+φ)的相关知识确实是很难，不仅要考虑的东西非常多，而且很多知识点都非常容易弄错。
在本省重点中学从事高中数学教学13年，教学实践还算是有些丰富，一直以来，这个知识点都是同学们最大的难点，我总是会话最多的时间去讲评、去给同学们做练习。
但是，同学们的吸收效率还是非常不理想，于是，我就自己花时间去总结。
学过这个内容的同学都知道，这个知识点的复杂以及考题的多变，很多时候类似的题目，同学们的答题效果也是非常不理想。
为了帮助同学们更好的学习，让同学们掌握方法才是关键，我自己抽出时间来总结了这个知识点。
我总结出了高中数学中国年y=Asin(wx+φ)的三个考点，并且选择了典型的例子给同学们讲解。
高中数学中，y=Asin(wx+φ)的考题变幻无常，同学们看了我举的例子以后一定要自己在做一些练习，强化一下，相信同学们一定会有所进步的。
一、用“五点法”作函数y=Asin(wx+φ)(A>0,W>0)的图像。
五点，及最高点、最低点以及与坐标轴的三个交点，凭这五点，即可完成一个函数图像的绘制。
这是解答函数题目的一个非常重要的步骤，考得最多。
二、三角函数图象的变换。
在高中数学中，函数图像的变换也是非常常考的点，在这一部分，同学们一定要分清楚w和φ不同倍数时的纵坐标和横坐标的变化。
三、函数y=Asin(wx+φ)的物理意义。
在高中数学的函数中，y=Asin(wx+φ)的物理意义比较简单，主要就是考它的周期和振幅、频率及相位。
以上三个就是高中数学中，函数y=Asin(wx+φ)的考点，同学们一定要把这3点吃透，这样在考试之中也会轻松很多。
y=Asin(wx+q)的图象及性质
sin x
的图象的形状和位置有什么关系？
y = sin x 7 6 2 π 2 3
o 3 6
5 3
2π x
函数 y sin( x 3 ) 的图象，可以看作是
把曲线 y sin x 上所有的点向左平移 3 个单位长度而得到的.
例、 画出函数 y sin( x
y
3
1 各点 ( 纵 坐 标不 变 ) 横 坐 标缩 短 到 原来 的 2
sin2x
各 点 向 左 平 移个 单 位 6
y si n ( 2x ) 3 y 3 sin ( 2x ) 3
各点 ( 横坐标不变 )纵坐标伸长ห้องสมุดไป่ตู้原来的 3倍
各 点 向 左 平 移个 单 位 3
2x ) y si n ( y 3 3
各点 ( 横坐标不变 )纵坐标伸长到原来的 3倍
1
3
0
6
12
2
5 6
5 3
y 3 sin ( 2x ) 3
x
2
解法二:y =sinx y
一般地,y sin(x ) 可看作由 y sinx 的图象上的所有点的横坐标向 左 ( 0) 或向右( 0) 平移 个单 位,纵坐标不变,而得到的.这种 变换称为相位变换(或平移变换)。 它是由 的变换引起的, 决定 了 x 0 时函数值，称 为初相
(三)函数y sin( x) 0与 函数y sin x图像的联系
y=sin （ 0)的图像？
新课：怎样由y=sinx的图像到函数
求三角函数y=Asin(wx+φ)解析式的五种方法(最全面)
求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A、ω、φ。
A（振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期）ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．解:由22y -≤≤，得A=2已知第二个点(,2)12π和第五个点5(,0)6π35346124T πππ=-=T π∴=2ω=把(,2)12π代入，2122ππφ⨯+=得3πϕ=所以y=)32sin(2π+x例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（）Ａ．10π116ωϕ==Ｂ．10π116ωϕ==-，Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，分析：πππ==）（12--1211T 222===πππT w ,因此解析式为)2sin(2ϕ+=x y ，此时取第一个点（0,12-π）代入得012-2=+⨯φπ（（将该点看做正弦函数图像一个周期内的第一个端点0），6πφ=例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==分析：42,8413ππω====-T T T 则，,代入得)4sin(φπ+=x y ，取（1,0）作为正弦函数图像一个周期内的最大值点，令4,214πφπφπ==+⨯则例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图，求y 的解析式。
考点12 y=Asin(wxφ)的图像与性质(解析版)
考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质考纲要求1、了解三角函数的周期性,画出 y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图像,并能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[ 0 ,2π ],正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)2. 了解三角函数 y = A sin ( ωx + φ )的实际意义及其参数 A , ω ,φ对函数图像变化的影响;能画出 y = A sin (ωx +φ )的简图,能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin ( ωx + φ )的图像 .3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 .近三年高考情况分析1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点,对这部分内容的考查,高考中大多以中、低档题为主,主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此类问题,要求学生熟练地掌握三角函数的图像,及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性质,并能运用这些性质去熟练地解题 .2. 利用三角函数的性质解决问题时,要重视化归思想的运用,即将复杂的三角函数转化为基本的正弦、余弦、正切函数来处理考点总结1、函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A , ω ,φ问题是高考的热点,题型多样,难度中低档,主要考查识图、用图的能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力 .2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像和性质。
三年高考真题1、【2020年江苏卷】.将函数y =的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.【答案】【解析】当时故答案为：2、【2020年全国1卷】设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：所以函数的最小正周期为故选：C3、【2020年全国3卷】16.关于函数f（x）=有如下四个命题：①f（x）的图像关于y轴对称．②f（x）的图像关于原点对称．③f（x）的图像关于直线x=对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，，，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，，，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；对于命题④，当时，，则，命题④错误.故答案为：②③.4、【2020年天津卷】8.已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B【解析】因为，所以周期，故①正确；，故②不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确.故选：B.5、【2020年山东卷】.下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （）A. B. C. D.【答案】BC【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC.6、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．7、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（，）单调递增③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2A．①②④B．②④C．①④D．①③【答案】C【解析】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．8、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x|C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|【答案】A【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C；作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确；作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，故选A．图1图2图39、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在（）有且仅有3个极大值点②在（）有且仅有2个极小值点③在（）单调递增④的取值范围是[)A．①④B．②③C．①②③D．①③④【答案】D【解析】①若在上有5个零点，可画出大致图象，由图1可知，在有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，在有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；④当=sin（）=0时，=kπ（k∈Z），所以，因为在上有5个零点，所以当k=5时，，当k=6时，，解得，故④正确.③函数=sin（）的增区间为：，.取k=0，当时，单调递增区间为，当时，单调递增区间为，综上可得，在单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.10、【2019年高考天津卷理数】已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则A．B．C．D．【答案】C【解析】∵为奇函数，∴；又∴，又，∴，∴，故选C.201811、【年高考江苏卷】已知函数对称，则的的图象关于直线值是________．【答案】【解析】由题意可得，所以，因为，所以【名师点睛】由对称轴得，再根据限制范围求结果.函数（A>0，ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间.12、【2019年高考浙江卷】设函数.（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，即，故，所以．又，因此或．（2）．因此，函数的值域是．二年模拟试题题型一三角函数的性质1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数，若，( )A．2 B．-2 C．2019 D．-2019【答案】B【解析】因为，所以，因此函数为奇函数，又，所以.故选B2、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数的最小正周期为，且对，恒成立，若函数在上单调递减，则的最大值是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为函数的最小正周期为，所以，又对任意的，都使得，所以函数在上取得最小值，则，，即，所以，令，解得，则函数在上单调递减，故的最大值是.故选B3、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数，则（）A．的最小正周期为B．图象的一条对称轴方程为C．的最小值为D．的上为增函数【答案】B【解析】，对A，的最小正周期为，故A错误；对B，，图象的一条对称轴方程为，故B正确；对C，的最小值为，故C错误；对D，由，得，则在上先增后减，故D错误．故选：B．4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数的图象关于直线对称，若，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】的图象关于直线对称，，即，，则，，，或，，即，一个为最大值，一个为最小值，则的最小值为，，的最小值为，即的最小值为.故选：．5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数，则下列结论正确的是（）A．是的一个周期B．的图像可由的图像向右平移得到C．的一个零点为D．的图像关于直线对称【答案】ACD【解析】的最小正周期为，故也是其周期，故A正确；的图像可由的图像向右平移得到，故B错误；，故C正确；，故D 正确.故选：ACD6、.（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则的最小值等于__________.【答案】4 【解析】由题得,因为，所以的最小值等于4.故答案为：47、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知函数的图象关于点对称，则的最小值为_____.【答案】.【解析】由题意可得，求得，又，则的最小值为，故答案为：.8、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π6对称，则f(0)的值为________．【答案】. 1【解析】由题意，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，又因为－π2＜φ＜π2， －π6<π3＋φ<5π6，所以π3＋φ＝π2，即φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f(0)＝1. 9、(2019苏锡常镇调研）函数的图像关于直线对称，则的最小值为 ．【答案】【解析】解法1：根据余弦函数的图像及性质，令，得，令得，，又因为，所以当时取得最小值为 解法2：由条件可得，即，则，，解得，，又因为，所以当时取得最小值为解后反思：利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！10、(2019苏州期初调查） 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝________．【答案】 π3【解析】因为函数f(x)的一条对称轴是x ＝－512π，所以2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋4π3，k ∈Z ，又因为0≤φ<π，所以φ＝π3.11、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．【答案】. 3【解析】由相邻两条对称轴间的距离为π2，知其最小正周期T ＝2×π2＝π，从而得ω＝2πT ＝2ππ＝2，又f(x)＝2sin (2x ＋φ)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2sin⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2，解得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又因为0<φ<π，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，即有f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin 2π3＝3. 题型二 三角函数图像的变换1、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数的图象，只需把函数的图象（ ） A ．向左平移个单位 B ．向左平移单位 C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位【答案】A 【解析】不妨设函数的图象沿横轴所在直线平移个单位后得到函数的图象．于是，函数平移个单位后得到函数，，即，所以有，，取，．答案为A．2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则（）A．1 B．-1 C．D．【答案】D【解析】把的图象向左平移个单位长度，得的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得图象的函数式为，，∴，∴．故选：D.3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则a的值可以为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，，其图像向左平移a个单位得到函数，而函数，所以有，取得.答案选C.4、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）函数f(x)＝sin(wx＋)(w＞0，＜)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线x＝对称，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)＝sin(2x＋) B．f(x)＝sin(2x－)C．f(x)＝sin(2x＋) D．f(x)＝sin(2x－)【答案】D【解析】因为函数的最小正周期是，所以，解得，所以，将该函数的图像向右平移个单位后，得到图像所对应的函数解析式为，由此函数图像关于直线对称，得：，即，取，得，满足，所以函数的解析式为，故选D.5、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数的描述正确的是（）A．其图象可由的图象向左平移个单位得到B．在单调递增C．在有2个零点D．在的最小值为【答案】ACD【解析】由题：，由的图象向左平移个单位，得到，所以选项A正确；令，得其增区间为在单调递增，在单调递减，所以选项B不正确；解，得：，，所以取，所以选项C正确；，，所以选项D正确.故选：ACD6、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则下列判断正确的是（）A．函数在区间上单调递增B．函数图象关于直线对称C．函数在区间上单调递减D．函数图象关于点对称【答案】ABD【解析】函数的图像向右平移个单位长度得到.由于，故是的对称轴，B 选项正确.由于，故是的对称中心，D 选项正确.由，解得，即在区间上递增，故A 选项正确、C 选项错误.故选：ABD.7、(2019无锡期末） 已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0) 与函数 y＝|cos x|的图像恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4), 其中 x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tanx4＝________．【答案】－2【解析】根据图形可得直线y ＝a(x ＋2)与函数y ＝－cos x 的图像相切于点(x 4，－cos x 4)，其中x 4∈⎝⎛⎭⎫π4，π.因为y ＝sin x ，由导数的几何意义可得a ＝sin x 4＝－cosx4－0x4＋2，化简得x 4＋1tanx4＝－2.8、（2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试）将函数（）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则的最小值为______.【答案】【解析】将函数f （x ）＝sin （ωx ）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，可得函数y ＝sin （ωx ）的图象，再根据所得图象关于直线x ＝π对称，可得ωπk π，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω取得最小值为，故答案为．题型三 三角函数的解析式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数的图象过点，则( )A．把的图象向右平移个单位得到函数的图象B．函数在区间上单调递减C．函数在区间内有五个零点D．函数在区间上的最小值为1【答案】D【解析】因为函数的图象过点，所以，因此，所以，因此；A选项，把的图象向右平移个单位得到函数的图象，故A错；B选项，由得，即函数的单调递减区间是：，故B错；C选项，由得，即，因此，所以，共四个零点，故C错；D选项，因为，所以，因此，所以，即的最小值为1，故D正确；故选：D.2、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知（）过点，且当时，函数取得最大值1.（1）将函数的图象向右平移个单位得到函数，求函数的表达式；（2）在（1）的条件下，函数，求在上的值域.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由函数取得最大值1，可得,函数过得，，∵，∴，.(2) ，，，值域为.。
函数y=Asin(wxφ)的图象与性质
函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象【学习目标】1、理解sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>函数中,,A ωϕ的涵义;2、能根据sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的部分图象求出其中的参数，并能简单应用;3、渗透数形结合思想，一题多解、一题多变思想. 【学习重点】三角函数的图形变换及相关题型的求解. 【学习难点】已知图形求参数，其中参数φ的求解. 一、自主学习1、若函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>表示一个振动量，则这个振动的振幅为 ， 周期为 ，初相为 ，频率为 ，相位为 ．2、“五点法”作图“五点法”作sin()y A x ωϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+由z 取 ， ， ， ， 来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.2、平移变换：由函数sin y x =的图象经怎样的变换可得到函数sin()y x b ϕ=++的图象？ ．3、伸缩变换：（纵向伸缩）由函数sin y x =的图象经怎样的变换可得到函数sin (0)y A x A =>的图象？ ．4、伸缩变换：（横向伸缩）由函数sin y x =的图象经怎样的变换可得到函数sin (0)y x ωω=> 的图象？ ．5、函数sin y x =象到函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象变换.6、如何根据条件求函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的解析式？二、课前热身 1、函数2sin(3)7y x π=+的振幅是 ，相位是 ，初相是 ，周期是 ． 2、为了得到函数R x x y ∈+=),3cos(的图象，只需把余弦曲线上所有的点向 （左或右）平行移动 个单位长度. 3、要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只要sin 2y x =的图象向 （左或右）平行移动个单位长度.4、把函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π个单位后，所得图象对应函数解析式为 .5、要得到函数sin()26x y π=-+的图象，可由sin()2xy =-的图象向 （左或右）平行移动 个单位长度.6、把函数sin y x =的图象上所有的点的纵坐标变为原来的13倍（横坐标不变）所得图象的解析式为 .7、将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，再把所得图象上各点横坐标变为原来的5倍，则最后所得图象的解析式为 .三、典型例题分析例1、作出函数3sin(2),3y x x R π=+∈的简图，说明它与sin y x =图象之间的关系.变式练习：已知函数13sin()24y x π=-（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明它由sin y x =图象经过怎么样的变化得到的；（3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数的对称轴、对称中心坐标。
三角函数y=Asin(wx+q)
一般地，函数 y=Asinx ， x∈R （其中 A ＞ 0 且 A≠1 ）的图象， 可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当 A＞1时）或 缩短（当0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到．函 数y=Asin x， x∈R的值域是［－A， A］，最大值是 A，最小 值是－A. 例题2：画出函数 y=sin2x, x∈R, y=sin
x
2x sin2x
0
0 0
4 2
1 x, x∈R,的简图。 2
3 4 3 2
π
0 0
π
0 0
1
-1
x
1 x 2
sin 1 x 2
0 0 0
π
2
2π π 0
3π
3 2
4π 2π 0
1
-1
5
-5
5
10
4π
15
20
利用题目中这两个函数的周期性，可以把它们的各自在长度为 一个周期的半开半闭区间上的简图向左、右分别扩展，从而得 到它们的简图。 从图 4-24可以看出，在函数y=sin 2x， x∈［0，2л］的图 象上，横坐标为（x0∈[0,л]的点的纵坐标同正弦曲线上横坐 标为x0的点的纵坐标相等，，因此，函数y=sin 2x， x∈R的图 象，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的倍 （纵坐标不变）而得到· 一般地，函数 y=sinωx, x∈R（其中。ω＞0且。ω≠1）的图 象，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（当 ω ＞ 1 时） 1 或伸长（当0<ω＜1时)到原来的 倍（纵坐标不变）而得到．
制作：祁润祥
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留下任何后遗症。至于小青，她原本就是一个通情达理的人，也理解耿正拒绝自己的原因。当她接受了东伢子的爱之后，情绪 很快就平静下来了。那天下午，乘着东伢子回去拿白酒的空档，耿英又进西屋里给她讲了自己与大壮的事。告诉她，那天在门 口遇到东伢子时，弟弟所提到的那个他很喜欢的大壮哥哥，实际上就是耿英自己倾心爱着的人。而她那天在小树林里所以问小 青附近有没有一条小河，也是因为她和大壮小的时候经常在故乡的那条小河边上玩儿，大壮经常给她捉鱼。说到离家的前夜， 她和大壮还坐在小河边的大石头上一起看月亮时，耿英思念的泪水滚滚而下。小青呢，从内心里非常感激耿英，知道她是一片 真心为自己好，是希望自己以后能够真心实意地回爱东伢子。小青现在回想一下，这东伢子也实在是没有什么不好的地方。于 是，小青暗下决心，今后一定要好好珍惜东伢子对自己的这一份真情！在家里，自己一定要当个好姐姐，不能再像耿英说的那 样，没有一个当姐姐的样子了。然而，当所有的一切终于完全平息下来后，耿老爹却不想在白家继续住下去了，甚至有了离开 武昌镇的想法。103第三十九回 耿正无辜吃重拳|（东伢子不解内中情，耿正无辜吃重拳；东伢子羞愧众人怨，耿英出面劝小 青。）眼看着小青跌跌撞撞地哭着向树林外边跑去了，耿正来不及多想，赶快拔腿往前追去。但他刚跑出十来步远，冷不防旁 边的树丛里突然之间“刺溜”蹿出来一个壮汉，照准他的左肩膀就是狠狠的一拳。这一拳打得实在够重，耿正只感觉半边身子 发麻，左肩膀就好像给整个儿卸下来了一样，一个趔趄站立不稳，“扑通”一声重重地跌倒了。耿正好生奇怪，自己来到这武 昌镇上以后，并不曾得罪过任何人啊，这人为何下如此狠手！就在倒地的一瞬间，耿正扭头看到，打自己这一拳的并非旁人， 而是那个特别憨厚壮实的东伢子！只见他正愤怒地瞪着两只眼睛呼呼直喘，好像这一拳下来还不够解气，还想继续动手的样子。 耿正到底年轻，顺势往旁边一滚，一个鲤鱼打挺站了起来，万分不解又很生气地对愤怒不已的东伢子说：“东伢子你为什么打 我？我惹着你什么啦！”没有想到，耿正这句话更加激怒了东伢子，他就像一头愤怒的狮子一样再一次举起了巨大的拳头吼道： “你没有惹我什么？你惹了小青就是惹了我啦！我揍的就是你！”耿正眼快，赶快躲过这一拳，对东伢子说：“你不要这样好 不好？你听我解释！”不明究里的东伢子呼呼地喘着粗气很不耐烦地说：“你有什么可解释的？小青她既然喜欢你，你可以娶 她，但是我绝不允许你欺负她！”此时耿正终于明白，这个特别憨厚的东伢子为什么会如此愤怒地对自己动粗了。然而，明白 过来的耿正实在是有些哭笑不得了。他咧嘴
高中数学精品课件：高一《函数y=Asin(wx@)的图像与性质》
1
o
2
y sin 1 x 2 4
3
2 2
-1
三、函数y=sinx(>0)图象
函数y=sinx ( >0且≠1)的图象可以看
作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短
(当>1时)或伸长(当0<<1时) 倍(纵坐标不变) 而得到的。
到原来的
1
例4: 如何由 y sin x 变换得
y 3sin(2x )的图象？ 3
24
（1）用五点法作出函数的图像；
（2）说明它由 y sin x图像经过怎么样的变
化得到的；（3）求此函数的振幅、周期和初 相；（4）求此函数的对称轴、对称中心坐标。
横坐标不变
函数 y 2sin x 、y 1 sin x 与y sin x
的图象间的变化关系。 2
y
3
2
y=2sinx
y=sinx
1
1
y= sinx
o
2
-１
2
2 x
3
2
-2
一、函数y=Asinx(A>0)图象
函数y=Asinx（A＞0且A≠1）的图象可以看作 是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1 时 ）或缩短（当0＜A＜1时 ）到原来的A倍（横坐 标不变）而得到的。
5
3
6
3
y=sin2x
y=sin(2x+ )
3
5
3
2
x
函数 y Asin(x ) 中
A称为振幅
T 2 称为周期 | |
f 1 称为频率 x 称为相位
T
称为初相
例5.函数 y 2sin(3x ) 的振幅是
函数y=Asin(wx-φ)的图象课件
当 k＝2 时，ω＝2. 综上，φ＝π2，ω＝23或 2.
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的综合运用 与正弦函数 y＝sinx 比较可知， 当 ωx＋φ＝2kπ±π2(k∈Z)时，函数 y＝Asin(ωx＋φ)取得最大值(或最小值)，因此函 数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)解出， 其对称中心横坐标由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，即对称中心为kπω－φ，0(k∈Z)． 同理 y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，对称中心的横坐标由 ωx ＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)解出．
函数 y＝Asin(ωx＋φ)在实际生活中的应用 例 3 某游乐园的摩天轮最高点距离地面 108 米，直径长是 98 米，匀速 旋转一圈需要 18 分钟．如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时， 那么：
(1)当此人第四次距离地面629米时用了多少分钟？
(2)当此人距离地面不低于59＋492
3米时可以看
又函数 f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，
(2)将 f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数 fx－π6的图象， 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到 f4x－π6的图象，
所以 g(x)＝f4x－π6＝2cos24x－6π＋1 ＝2cos2x－π3＋1. 当 2kπ≤2x－π3≤2kπ＋π(k∈Z)， 即 4kπ＋23π≤x≤4kπ＋83π(k∈Z)时，g(x)单调递减． 所以函数 g(x)的单调递减区间是4kπ＋23π，4kπ＋83π(k∈Z)．
的 ωx＋φ 的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx＋φ＝π2； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为 ωx＋φ＝32π； “第五点”为 ωx＋φ＝2π.
高中数学必修四《三角函数y=Asin(wx+)的图象》优秀教学设计
1.5函数y=Asin(wx+ϕ)(A>0，w>0的图象教学目标： 1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。
2. 通过对函数y = Asin(wx+4)(A>0，w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。
3. 培养学生观察问题和探索问题的能力。
教学重点： 函数y = Asin(wx+ϕ)的图像的画法和设图像与函数y=sinx 图像的关系。
教学难点：各种变换内在联系的揭示。
教学过程：复习旧知1.“五点法”作函数y=sinx 简图的步骤，其中“五点”是指什么？ 2．的图象与的图象有什么样的关系？ 二、新课讲授1. 函数y = sin(x ±k)(k>0)的图象和函数y = sinx 图像的关系是什么？生答：函数y = sin(x ±k)(k>0)的图像可由函数y = sinx 的图像向左(或右)平移k 个单位而得到，这种变换实际上是纵坐标不变，横坐标增加(或减少)k 个单位，这种变换称为平移变换。
2. 函数y = sinwx (w>0)的图像和函数y = sinx 图像的关系是什么？学生答：函数y = sinwx(w>0)的图像可由函数y = sinx 的图像沿x 轴伸长(w<1)或缩短(w>1)到原来的倍而得到，称为周期变换。
这种变化的实质是纵坐标不变，横坐标伸长(0<w<1)或缩短(w>1)到原来的倍。
3. 函数y = Asinx(A>0)的图像和函数y = sinx 图像的关系是什么？学生答：函数y = Asinx 的图像可由函数y = sinx 的图像沿y 轴伸长(A>1)或缩短(x<1)到原来的A 倍而得到的，称为振幅变换。
这种变换的实质是：横坐标不变，纵坐标伸长(A> | )或缩小(0<A<1)到原来的A 倍。
三角函数图像公式w和T的关系
三角函数图像公式w和T的关系
三角函数中w是简谐振动的角频率，w=2兀/T，三角函数的图象的伸缩多少由w决定；W是角频率。
是描述物体振动快慢的物理量，与振动系统的固有属性有关，常用符号ω表示。
在国际单位制中，角频率的单位是弧度/秒(rad/s)。
三角函数y=ASin(wX+Q)的最小正周期T和w的关系为T=2兀
/lw|；三角函数y=Acos(wX十+Q)的最小正周期T=2兀/|w|，特别注意的三角函数y=Atan(wX+Q)的最小正周期T=兀/丨w丨，在用周期公式时最易错的是认为三个公式没区别，条件中若没有w>0而不加绝对值，将公式变形知周期可求w。
T=2π/w 所以有w=2π/T, 即w与T成反比；
wT=2π可由此看出w, 比如T=π,则w=2 T=4π,则w=1/2。
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一般地，函数 y=Asinx ， x∈R （其中 A ＞ 0 且 A≠1 ）的图象， 可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当 A＞1时）或 缩短（当0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到．函 数y=Asin x， x∈R的值域是［－A， A］，最大值是 A，最小 值是－A. 例题2：画出函数 y=sin2x, x∈R, y=sin
4.9函数y=Asin(ωx+φ)的图象 例题1 画出函数y=2sinx, x∈R; y= sinx, x∈R的简图。 解：这两个函数的周期都为2π，则先画出[0，2π]上的简图。 列表：
x sinx 2sinx
1 sin x 2
0 0 0 0
2
π 0 0 0
3 2
π 0 0 0
1 2
1 2
-1 -2
1 2
利用这两个函数的周期性，我们可以把它们在［0，2π］上 的简图向左、右分别扩展，从而得到它们的简图. y
2 2
y=2sinx o y=sinx
B
x
4 4
-4
-2 -2
G
2 2
y=0.5sinx
6 6
-2 -2
从图 4－23可以看出，对于同一个x值，函数 y=2sinx， x∈［0，2л)的图象上的点的纵坐标等于函数 y=sinx， x ∈[0 ， 2л ）的图象上点的纵坐标的 2 倍．因此，函数 y=2sin x，x∈R的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵 坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到．从而，函数 y=2sinx ， x∈R 的值域是［－ 2 ， 2 ］，最大值是 2 ，最小值 是－2． 类似地，函数 y=Asinx , x ∈R的图象，可以看作把正弦 曲线上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）而得 1 1 到，从而函数y= sinx, x ∈ R的值域是 , ，最大值 2 2 1 1 是 ，最小值是 2 2
x
2x sin2x
0
0 0
4 2
1 x, x∈R,的简图。 2
3 4 3 2
π
0 0
π
0 0
1
-1
x
1 x 2
sin 1 x 2
0 0 0
π
2
2π π 0
3π
3 2
4π 2π 0
ห้องสมุดไป่ตู้
1
-1
5
-5
5
10
4π
15
20
利用题目中这两个函数的周期性，可以把它们的各自在长度为 一个周期的半开半闭区间上的简图向左、右分别扩展，从而得 到它们的简图。 从图 4-24可以看出，在函数y=sin 2x， x∈［0，2л］的图 象上，横坐标为（x0∈[0,л]的点的纵坐标同正弦曲线上横坐 标为x0的点的纵坐标相等，，因此，函数y=sin 2x， x∈R的图 象，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的倍 （纵坐标不变）而得到· 一般地，函数 y=sinωx, x∈R（其中。ω＞0且。ω≠1）的图 象，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（当 ω ＞ 1 时） 1 或伸长（当0<ω＜1时)到原来的 倍（纵坐标不变）而得到．
制作：祁润祥
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力了?加大点力度丶"炉鼎之中传来壹道懒洋洋の声音,似乎这炉鼎并没有对那头凶兽造成压力,这让天云宗弟子脸色越发の阴沉,心中已经有悔意丶就在这时,在天云宗之中有十来名天云宗弟子走出来,催发炉鼎の天云宗弟子连忙大喊："各位师兄们,快来帮忙,师弟在这里镇压壹头凶兽,不 过那凶兽比咱稍微强些,还请师兄祝咱壹臂之力丶""什么?在天云宗门前竟然有凶兽来撒野,当真是不长眼,师兄来助你丶"来人之中当即就有壹名弟子义愤填膺道,壹闪身就来到炉鼎前元灵之力灌输进去,帮忙收服其中の凶兽丶"这还不够,再加些力度丶"角麟の声音传出来让其他人都脸色壹 凝,刚来帮忙の那名内门弟子当即叫道："哼,在咱天云宗还敢撒野,找死,师兄们不要观看了,都来壹起收了此兽丶"随即十来名天云宗弟子尽皆来道炉鼎近前,元灵之力纷纷汹涌而去,但过了十个呼吸炉鼎还是没有动静,又过了盏茶功夫依旧没有动静,最后壹刻钟,五刻钟丶"王师弟,这头凶兽 是怎么回事?"赶来帮忙の天云宗弟子都察觉都了不对劲,纷纷扭头盯着祭出炉鼎の天云宗弟子,就是他们口中の王师弟丶此时这位姓王の天云宗弟子也是想解释也解释不清,这头凶兽他自己の也不知道怎么回事,早知道这么强就不招惹了,想是这么想他嘴中却道："这凶兽十分张狂,要强闯 山门被咱用炉鼎阻拦下来,咱们实力不足,咱看还是通知长老们来解决这事丶"众人闻言也没有其他话语,只是看向这位王师弟の目光越发の不善,然而还不等他们通知,炉鼎之中却有了异变丶"小子好不老实,角爷还没有开始闯呢,就被你壹炉鼎扣下来,你们说应该怎么办?"炉鼎之中传出来の 声音依旧轻飘飘,透过坚实の鼎壁依旧清晰可闻,听到这声音,那些天云宗弟子の脸色尽皆壹变,暗道不妙,赶忙通知门中长老丶他们还想要继续输入元灵之力占压角麟,却发现炉鼎已经有了变化,开始变得通红散发出恐怖の温度,就是他们の元灵之力都不能阻隔其中の热力丶这让他们心中惊 骇莫名,都意识到了这炉鼎镇压着の不是他们能招惹の存在,其中王姓弟子心中最为惊惧,因为他差距到自己の烙印在炉鼎之中の元灵印记竟然消失了丶"不跟你们玩了,既然想要角爷の命,那就要有成为食物の准备丶"炉鼎之中略微苍老の声音传出,紧接着在众人惊骇の目光下,那炉鼎竟然 化为通红の铁水,流淌在地面上发出嗤嗤声丶众人目光落在原本炉鼎处,那里露出壹人壹兽来,那男子脸色平静闭目养神,而那头凶兽却盯着他们来回转动丶他们骇然发现这壹人壹兽他们进然都看不出具体修为,心中都将那王姓弟子骂の狗血淋头,颤抖着开口："前辈,咱们是无。"这名男子 话还没有说完,就看到那头凶兽张嘴壹吸,在他们人群之中脸色惨白の王师弟直接飞入凶兽口中咀嚼起来,咯咯作响好不血腥丶见了这壹幕众人脸色真正の骤变,知道这凶兽の凶残,话都不敢说直接扭头就要飞进宗门之中丶"想逃?那可没有这么好の事情丶"角麟又岂会放过曾经对他出手の 人?残忍壹笑大嘴壹张,逃出去之人都化作流光倒飞回其嘴中来,只来得及发出凄厉の惨叫声就身死魂灭丶第四千五百壹十七部分：流火邪剑,流云破天天云宗山门前の闹剧在角麟张嘴间就了结了,这场过程之中壹直没有动手の天云宗山门守卫弟子丶｛随}{梦}щ {suimе ng][lā}这两名弟子 从头看到尾,那小心肝壹直在哆嗦,在最后时刻那凶兽竟然对他们咧嘴壹笑,吓の他们胆魂皆冒,险些站立不稳丶在最后那凶兽说了壹句你们没有出手逃过壹命の话语就走了,不过这壹走他们の心不紧没有放下,反而还骤然壹紧,心中已经要哭出来了丶那凶兽走不是离开天云宗,而是直接走进 天云宗里面去,这强闯山门他们这守门の弟子能没有责任吗?壹旦怪罪下来他们就是不死也要脱层皮,只是让他们去阻拦他们有没有这个胆子,特别是那凶兽还驮着壹名男子,那人可是壹直没有出手,就连眼睛都没有睁开过丶壹头坐骑凶兽都可以瞬杀门中精英弟子,那能坐在其背后の男子又 岂是简单之辈?想想他们就心颤,他们现在已经在考虑这要不要逃出宗门了丶在天云宗待客大厅之中,天云宗宗主云无常仍然在与壹名年轻男子在谈论着什么,时不时传出壹声声爽朗の笑声,显然心情极为极为畅快丶只是不知当他知道此时竟然有人擅自闯入其宗门,甚至还吞噬其门下精英弟 子时,还能不能笑出声来丶在场中所有人都带着笑意,而此时就有壹人脸上の笑意骤然消失,他就是天云宗执法长老丶在刚才他刚接收到门下弟子传来の消息,同时他也感应到了他陈姓徒弟身殒の情况,这让他心底杀机浮盈,竟然有人敢在他天云宗撒野丶他扫了周围众人壹眼,知道这次洽谈 の重要性,没有打扰只是跟他身旁の壹名长老传音,便悄然告退丶他要去看看到底是谁竟敢擅闯天云宗,看来天云宗沉寂许久有人忘了天云宗の历史了丶根汉在呼吸吐纳着到了他这种地步,根本就不用特地去修行,因为他修炼の功法早已深入灵魂深处,呼吸行走间都有天地元力涌动,都是在 修行丶他们所注重の是自身所学の术法,是大道の玄妙,是心境元灵の境界,元灵之力反而是次要の,当然不是说就不重要,只是相对而言罢了丶所以根汉此时虽在闭目吐纳,主要の还是在思索体悟自身,当然也留有壹份心神留意外界事情,警惕之心不可无丶对于角麟の所作所为,他也知道不 过他并没有理会,冒犯者杀了就是,至于传送阵他是必得之物,先前好意前来拜访不领情就来硬の,这并无不妥丶原本根汉是可以直接扫描天云宗弟子の记忆,直接过去就行了,不过根汉如今对于天道眼有些忌惮,担忧其进化速度过快并没有使用丶所以壹进来天云宗角麟就施展神威打听传送 阵所在,所谓の神威自然自然是凶威,自然而然の就惊扰了壹群天云宗弟子丶在角麟本命火焰下烤熟了几人当众吃了之后,敢跳出来阻拦角麟の就没有了,不过他们都走周围跟着,在盯着角麟要看他进来做什么丶天云宗传送阵在天云宗云雾广场之上,原来是接待进出传送阵之人の,不过随着 超级系域降临,传送阵失效就荒凉起来,平日间人烟稀少丶此时听闻有强者擅闯天云宗就是为了天云宗の传送阵,不少人都暗自吃惊,莫非这人不知道现在传送阵不能使用?还是他能重新激活传送阵?不管如何这壹人壹兽天云宗弟子打不赢,但又不能不理会所以都跟着去云雾广场,远远看去排 场颇为巨大丶天云宗执法长老在问了书数个门中弟子之后,得知了详情气得他简直肺都要炸了,壹个擅闯宗门之人,不仅没有将之打杀,反而让其在门中如入无人之境丶这事情传出去天云宗千万年の清誉往哪里搁?在蓝武系城之中还如何抬头?只怕以后都要沦为蓝武系城の笑谈!所以这为执 法长老须发张扬,衣袍猎猎作响,身在虚空之中脸色都有些潮红,宛如壹个系风道骨の得道系人,但实际上这都是他愤怒热血直冲脑门之后の结果丶执法长老怒喝壹声疾冲向门中云雾广场而去,在远远の就能见到壹群天云宗弟子浩荡而走,在弟子中间有壹人壹兽在悠哉迈步,十分写意没有在 他人地盘の样子丶壹眼望去不知情の人还以为天云宗来了什么大人物在巡视,排场之大,就是他身为执法长老在门中行走时都没有这么大丶"贼子好胆,竟然敢擅闯咱天云宗,还残忍杀害咱天云