2.二次函数图象(1)
二次函数及其图像
二次函数及其图像一般地，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
x为自变量，y为因变量。
等号右边自变量的最高次数是2。
注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。
[1]编辑本段几种表达式一般式y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c 的值。
[1]顶点式y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，当x=h 时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)^2+2，把（3，10）代入上式，解得y=2(x-1)^2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，-h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
[1]交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B （x2，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
二次函数图象(1)
?
做一做
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
在同一坐标系中作Βιβλιοθήκη 二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和 y=3(x+1)2的图象． 完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值, 它们之间有什么关系?
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 3x 2
y 3x 1 y 3x 1
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3 x2
27
12 27
3 12
0 3
3 0
12 3
27 12
48 27
3(x-1)2 48
(2)在同一坐标系中作出二次函数 y=3x2和 y=3(x-1)2的图象．
做一做
y=3x2 (3)函数y=3(x-1)2的 图象与 y =3 x 2 的图象 有什么关系 ? 它是轴 对称图形吗 ? 它的对 称轴和顶点坐标分别 是什么?
?
二次函数y=3(x-1)2+2的
图象和抛物线y=3x² , y=3(x-1)2有什么关系?它 的开口方向、对称轴和 顶点坐标分别是什么?
y 3x 2
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
二次函数y=3(x-1)2+2 的图象可以看作是抛 x=1 物线y=3x2先沿着x轴向 开口向上 右平移1个单位,再沿直 对称轴仍是平行于 y轴的直 ,当 x=1 时有最小 线x=1向上平移2个单 线x=1;增减性与y=3 x2 类似. 值,且最小值为2. 位后得到的. 顶点是(1,2).
独立 作业
知识的升华
P48 习题2.4
1题.
祝你成功！
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什 么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什 么? (2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有 什么关系? (3)对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增 大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函 数y=3(x+1)2+4呢?
二次函数的图象一
2、抛物线的开口向上对称轴是y轴，顶点在 坐标原点和上面1题的形状大小一样，它的 解析式是＿＿；x＜0时，函数值y随增大而 ＿＿ ，x＞0时，函数值随增大而＿＿ ，x= ＿＿＿时，有最＿＿值是＿＿＿
• 3.记r为圆的半径，S为该圆的面积， 有面积公式S=πr2，表明S是r的函 数. (1)当半径r分别为2、2.5、3时，求 圆的面积S（π取3.14）； (2)画出函数S=πr2的图象.
沿对称轴 y=ax² 上(下) y=ax² +c (a≠0) 平移|c|个 (a≠0) 单位
二次函数y=ax2+c的性质 抛物线 y=ax2+c (a>0) y=ax2+c (a<0)
顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
图 象
1.函数y x 2 1的图象，可由y x 2的图象向 _____ 平移________个单位而得到。 2.已知 m, n 在y ax a的图象上， m, n _____
y
（ 2 ， 4）
（ 0 ， 1）
O
x
互动探究，拓展延伸
1.心理学家发现，学生对概念的接受能 力y与提出概念所用的时间（单位：min)之 间满足函数关系y= - 0.1x²+2.6x+43(0≤x ≤30),y值越大，表示接受能力越强。
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步 增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐 步降低？ （2）第10min时，学生的接受能力是多少？ （ 3）多长时间时，学生的接受能力最强？
5、如图，抛物线的顶点P的
坐标是（1，-3）则此抛物 线对应的二次函数有（
y
o
） P
x
A、最大值1 C、最大值-3
2.2 二次函数的图象(一)
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ...
x
... -3 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2
3 ...
y 2 x2 3
...
-6
8 3
1.5
2 3
0
2
3
1.5
8 3
-6
...
练一练2
已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上； （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2.
（2）因为 4 2(1)2 ，所以点B（-1 ，-4）
函数图象画法
描点法
列表
y2 x
y x2
y1 x
描点
连线
y x2
画出下列函数的图象。
(1) y 1 x2 2
(2) y 2x2
(3) y 2 x2 3
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4 ...
yy=12x2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0
0.5 2 4.5
8
...
.
抛物线在x轴的
方（除顶点外）.
已知抛物线y=ax2经过点(-2,2). (1) 求这条抛物线的解析式； (2) 求出这个二次函数的最大值或最小值；
(3) 在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1>x2>0,试比较y1与y2的大小.
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线.
二次函数的图像(1)
第二十六章 二次函数26.2（1）二次函数的图像课时同步检测一、基础巩固一．选择题1. 二次函数y =﹣x 2+bx +c 的图象如图所示，点A (b ，c )在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴在y 轴右边可得a 、b 异号，所以b ＞0，根据抛物线与y 轴的交点在负半轴可得c ＜0，由此可推出答案．【详解】∵对称轴在y 轴右边， ∴22(1)2b b b a -=-=⨯-＞0， ∴b ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在负半轴，∴c ＜0，∴点(,)b c 在第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象确定二次函数的字母系数的取值范围是解题的关键．2. 抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，抛物线过点()1,0-，则下列结论：①0abc >；②20a b -=；③30a c +>；④2a b am bm +>+（m 为一切实数）；⑤24b ac >；正确的个数有（ ）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】 【分析】由抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点位置，确定,,a b c 的正负，即可①；抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=1，即可判断②；抛物线与x 轴的一个交点 (1-；0)，得到另一个交点，把b =−2a 代入即可判断③，根据抛物线的最大值判断④；由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2-4ac>0，即可判断⑤.【详解】①∵抛物线开口向下，∴a <0；∵对称轴是：1,x =∴a ；b 异号，∴b >0；∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c >0；∴abc <0；∴选项①不正确； ②抛物线对称轴是：12b x a=-=， b =−2a ；2a +b =0；选项②不正确;③抛物线与x 轴的一个交点 (1-；0)，则另一个交点为(3；0)； 930,a b c ∴++=把b =−2a 代入得：30,a c +=∴选项③不正确；④抛物线在1x =时取得最大值，2,a b c am bm c ∴++≥++即2,a b am bm ∴+≥+故选项④不正确；⑤ ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2-4ac>0即24b ac >，∴选项⑤正确；正确的有1个，故选A【点睛】考查二次函数与系数的关系.二次项系数a 决定抛物线的开口方向，,a b 共同决定了对称轴的位置，常数项c 决定了抛物线与y 轴的交点位置.是中考常考题型.3. 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，①abc ＜0；②b-2a=0；③a+b+c ＜0；④4a+c ＜2b ；⑤am 2+bm+c≥a-b+c ，上述给出的五个结论中，正确的结论有（ ）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个【答案】B【解析】 【分析】由抛物线开口方向判断a 的符号，然后由对称轴位置判断b 的符号，再根据抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，即可判断；；根据对称轴12b x a=-=-，可判断；；由图像可得当x=1时，y=a+b+c ＞0，可判断；；当x=-2时，y=4a-2b+c ，根据对称性可知x=-2与x=0时y 相等，可判断；；由图像可知，当x=-1时，y=a-b+c 为最小值，据此可判断；.【详解】；抛物线开口向上，a ＞0，对称轴在y 轴左侧，根据“左同右异”可知b ＞0，抛物线与y 轴交于负半轴，所以c ＜0，所以abc ＜0，故；正确；；由图像可知，12b x a=-=-，所以2b a =，即2=0-b a ，故；正确； ；由图像可得当x=1时，y=a+b+c ＞0，故；错误；；∵抛物线对称轴x=-1，当x=0时，y ＜0，∴当x=-2时，y=4a-2b+c ＜0，所以4a+c ＜2b ，故；正确；；由图像可知，当x=-1时，y=a-b+c 为最小值，当x=m 时，y= am 2+bm+c ，所以am 2+bm+c≥a-b+c ，故；正确；所以；；；；正确，故选B.【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图像与系数之间的关系是解题的关键.4. 已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，分析下列四个结论，其中正确的结论有（ ）①abc ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③b ﹣2a ＞0；④(a +c )2＜b 2．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】 【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴在y 轴左侧以及与y 轴交于正半轴，即可确定a 、b 、c 的符号，进而可判断结论①；由二次函数图象与x 轴有两个交点，即可得出b 2﹣4ac ＞0，进而可判断结论②；由﹣2b a＞﹣1结合a ＜0即可判断结论③；当x=1时y ＜0和当x=﹣1时y ＞0，可得a+b+c ＜0，a ﹣b+c ＞0，两式相乘后变形即可判断结论④，从而可得答案．【详解】解：①∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，与y 轴交于正半轴， ∴a ＜0，﹣2b a ＜0，c ＞0， ∴b ＜0，∴abc ＞0，故结论①错误；②∵二次函数图象与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，故结论②正确； ③∵﹣2b a＞﹣1，a ＜0， ∴b ＞2a ，∴b ﹣2a ＞0，故结论③正确；④∵当x=1时，y ＜0；当x=﹣1时，y ＞0，∴a+b+c ＜0，a ﹣b+c ＞0，∴(a+b+c)(a ﹣b+c)＜0，∴(a+c)2﹣b 2＜0，即(a+c)2＜b 2，故结论④正确．综上，正确的结论有3个．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数的图象与系数的关系，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．5. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：0abc >①；240b ac -<②；42a c b ③+>；22()a c b +>④；()x ax b a b +≤-⑤，其中正确结论的是( )A. ①③④B. ②③④C. ①③⑤D. ③④⑤【答案】C【解析】 【分析】利用图象信息以及二次函数的性质一一判断即可；【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴x ＝﹣1＝2b a-， ∴b ＜0，∵抛物线交y 轴于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故；正确，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，故；错误，∵x ＝﹣2时，y ＞0，∴4a ﹣2b +c ＞0，∴4a +c ＞2b ，故；正确，∵x ＝﹣1时，y ＞0，x ＝1时，y ＜0，∴a ﹣b +c ＞0，a +b +c ＜0，∴(a ﹣b +c) (a +b +c)＜0∴22()0a c b +-＜，∴22()a c b +＜，故；错误，∵x ＝﹣1时，y 取得最大值a ﹣b +c ，∴ax 2+bx +c ≤a ﹣b +c ，∴x （ax +b ）≤a ﹣b ，故；正确．故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6. 已知函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列4个结论：①abc ＞0；②b 2＞4ac ； ③4a +2b +c ＞0；④2a +b ＝0．其中正确的有（ ）个．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点来确定，结合抛物线与x 轴交点的个数来分析解答． 【详解】解：①由抛物线的对称轴可知：2b a -＞0， ∴ab ＜0，由抛物线与y 轴的交点可知：c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②由图象可知：△＞0，∴b 2−4ac ＞0，即b 2＞4ac ，故②正确；③∵（0，c ）关于直线x ＝1的对称点为（2，c ），而x ＝0时，y ＝c ＞0，∴x ＝2时，y ＝c ＞0，∴y ＝4a ＋2b ＋c ＞0，故③正确； ④∵12b a-=， ∴b ＝−2a ，∴2a ＋b ＝0，故④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，属于中等题型．7. 已知二次函数 y；ax 2+bx+c；a≠0），过（1；y 1；；2；y 2；；①若 y 1；0 时，则 a+b+c；0②若 a；b 时，则 y 1；y 2③若 y 1；0；y 2；0，且 a+b；0，则 a；0④若 b；2a；1；c；a；3，且 y 1；0，则抛物线的顶点一定在第三象限上述四个判断正确的有（ ）个．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质以及图象与系数之间的关系判断即可.【详解】①若 y 1；0 时，当 x；1 时，y 1；a+b+c；0 此时，正确；②若 a；b 时；即函数的对称轴是 x；；12；；；；；；；；也确定不了 y 1；y 2 的大小，故 y 1；y 2，错误；③若 y 1；0；y 2；0，即：a+b+c；0；4a+2b+c；0；解得；；3a；b；0；而 a+b；0；即；；2a；0；∴a；0；正确；④若 b；2a；1；c；a；3，且 y 1；0；即：a+b+c；0；把 b；c 的值代入上式得；a；1； 则 b；1；c；；2； 顶点的 x 坐标＝﹣2b a ；0，顶点的 y 坐标＝﹣244ac b a ；；2；14a；0；故顶点一定在第三象限，正确；故选C；【点睛】考查的是二次函数图象与系数的关系，涉及到函数基本性质、解不等式等相关知识，难度较大．8. 如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b ﹣a ＞c ；③4a +2b +c ＞0；④a +b ＞m （am +b ）（m ≠1的实数），其中正确结论的有（ ）A. ①②③B. ②③C. ②③④D. ③④【答案】C【解析】【分析】①由图象知，a、b异号，c＞0，∴abc＜0；②由图象知，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，b﹣a＞c；③由图象知，当x=2时，y=4a+2b+c＞0；④由图象知，x=1时，y=a+b+c为函数最大值，当x=m时，y=am2+bm+c，∴a+b＞m（am+b）．【详解】解：①由图象知，a、b异号，c＞0，∴abc＜0，错误；②由图象知，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，b﹣a＞c，正确；③由图象对称性知，x=0和x=2的函数值相同，且当x=0时，y＞0故当x=2时，y=4a+2b+c＞0，正确；④由图象知，x=1时，y=a+b+c为函数最大值，当x=m时，y=am2+bm+c，∴a+b+c＞am2+bm+c∴a+b＞m（am+b），正确．故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数图象及性质，掌握二次函数的图象及性质和各项系数的关系是解决此题的关键．9. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. a＜0B. c＞0C. 2a=﹣bD. b＞a【答案】D【解析】【分析】本题分别根据抛物线开口方向、与y 轴交点位置、对称轴逐一判断可得答案．【详解】解：A 选项：由抛物线开口向上知a ＞0，此选项错误；B 选项：由抛物线与y 轴交于负半轴知c ＜0，此选项错误；C 选项：由抛物线的对称轴12b x a=-=-知2b a =，此选项错误； D 选项：由b =2a 且a ＞0知b ＞a ，此选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．10. 如图为二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象，则下列说法：①abc ＞0；②2a +b =0；③a +b +c ＞0；④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0．其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】根据函数的开口方向，对称轴以及与y 轴的交点确定a ，b ，c 的符号，从而判断①；根据对称轴的位置判断②；根据x =1时的纵坐标的位置判断③；根据二次函数图象落在x 轴上方的部分对应的自变量x 的取值，判断④．【详解】解：①图象开口向下，能得到a ＜0，与y 轴交于正半轴，则c ＞0，对称轴在y 轴右侧，故b ＞0，则abc ＜0，故①错误；②对称轴在y 轴右侧，x =132-+=1，则有﹣2b a=1，即2a +b =0，故②正确； ③当x =1时，y ＞0，则a +b +c ＞0，故③正确；④由图可知，当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，故④正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，根据图象判断出a ，b ，c 的符号以及对称轴的位置是解题的关键．11. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，点A （2，y 1），B （4，y 2），则y 1，y 2的大小关系是（ ）A. 12y y >B. 12y y =C. 12y y <D. 无法确定【答案】A【解析】 【分析】利用二次函数的性质即可解答．【详解】从题中给出的图像可以看出，对称轴为直线x=1；a；0；又点A；B 位于对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，则y 1；y 2；故选A；【点睛】本题考查的知识点是二次函数图像上点的坐标特征，解题关键是利用图像性质进行解答．12. 若点(12-，y 1)，(14-，y 2)，(1，y 3)都在二次函数y =x 2﹣3的图象上，则有（ ）A. y 1＞y 2＞y 3B. y 2＞y 1＞y 3C. y 3＞y 1＞y 2D. y 1＞y 3＞y 2 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y 轴（直线x=0），图象的开口向上，根据二次函数的性质得出点（1，y 3）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣1，y 3），在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，再比较即可．【详解】∵二次函数y=x 2﹣3的图象的对称轴是y 轴（直线x=0），∴点（1，y3）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣1，y3），图象的开口向上，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∵111024---＜＜＜，∴y3＞y1＞y2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．13. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线均过原点，直线经过抛物线的顶点（2；4），则下列说法：①当0；x；2时，y2；y1；②y2随x的增大而增大的取值范围是x；2；③使得y2大于4的x值不存在；④若y2=2，则或x=1；其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】根据图象得出函数解析式为y=a；x-2；2+4，再把c=0代入即可得出解析式，根据二次函数的性质得出答案．【详解】设抛物线解析式为y=a；x-2；2+4；∵抛物线与直线均过原点，∴a；0-2；2+4=0；∴a=-1；∴y=-；x-2；2+4；∴由图象得当0；x；2时，y2；y1，故①正确；y2随x的增大而增大的取值范围是x；2，故②正确；∵抛物线的顶点（2；4；；使得y2大于4的x值不存在，故③正确；把y=2代入y=-；x-2；2+4，得y2=2；则或其中正确的有3个，【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．14. 二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（1，﹣1），则b+c的值是（）A. ﹣1B. 3C. ﹣4D. ﹣2【答案】D【解析】【分析】把点（1；2）直接代入函数解析式，变形即可．【详解】∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（1；；1；；；；1=1+b+c；即b+c=；2；故选D；【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知点的坐标适合解析式是解题的关键；15. 若点P(1，a)、Q(﹣1，b)都在函数y=x2的图象上，则线段PQ的长是（）A. a+bB. a﹣bC. 4D. 2【答案】D【解析】【分析】把P（1，a）、Q（﹣1，b）分别代入y=x2得a和b的值，从而得到P、Q点的坐标，然后再计算两点之间的距离即可．【详解】把P（1，a）、Q（﹣1，b）分别代入y=x2得a=12=1，b=（﹣1）2=1，即P（1，1），Q（﹣1，1），∴PQ=1﹣（﹣1）=2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．16. 已知抛物线y=x2+2x上三点A（﹣5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（）A. y1＜y2＜y3B. y3＜y2＜y1C. y2＜y1＜y3D. y3＜y1＜y2【答案】C【分析】首先求出抛物线y=x2+2x的对称轴，对称轴为直线x=-1；然后根据A；B；C 的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解；由B离对称轴最近，A次之，C最远，则对应y的值大小可确定.【详解】∵抛物线y=x2+2x；∴x=-1；而A；-5；y1；；B；2.5；y2；；C；12；y3；；∴B离对称轴最近，A次之，C最远，∴y2；y1；y3；故选:C；【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．17. y=3；x；1；2+2与y轴的交点坐标是（）A. ；0；2；B. ；0；5；C. ；2；0；D. ；5；0；【答案】B【解析】【分析】求抛物线与y轴的解得坐标，可令x=0；求得y值即可.【详解】∵当x=0时；y=3(x-1)2+2=3(0-1)2+2=5；；y=3；x；1；2+2与y轴的交点坐标是（0，5），故选B.【点睛】本题考查二次函数图像与y轴交点坐标的特点，掌握图像与y轴的交点的横坐标为0是解题关键.18. 已知点A；；2；a；；B；12；b；；C；52；c）都在二次函数y=；x2+2x+3的图象上，那么a；b；c的大小是（）A. a；b；cB. b；c；aC. a；c；bD. c；b；a【答案】C【解析】【分析】先计算对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，再根据A；B；C三点与对称轴的远近，比较纵坐标的大小．【详解】比较A；B；C 三点横坐标与坐标轴的距离，可知距离差分别为A ；3 B；0.5 C；1.5 ∴ b；c；a ，选C.【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图像的性质.19. 设点(﹣1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)是抛物线y =﹣2x 2+1上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（ ）A. y 3＞y 2＞y 1B. y 1＞y 3＞y 2C. y 3＞y 1＞y 2D. y 1＞y 2＞y 3【答案】D【解析】【分析】分别计算自变量为﹣1、2、3对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．【详解】当x=﹣1时，y 1=﹣2x 2+1=﹣2×（﹣1）2+1=﹣1，当x=2时，y 2=﹣2x 2+1=﹣2×22+1=﹣7，当x=3时，y 3=﹣2x 2+1=﹣2×32+1=﹣17，所以y 1＞y 2＞y 3．故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．20. 已知抛物线y=；x 2+2x+k 上三点（1；y 1；；；2；y 23），则y 1；y 2；y 3的大小关系是（ ）A. y 1；y 2；y 3B. y 2；y 1；y 3C. y 3；y 1；y 2D. y 3；y 2；y 1 【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的性质得到抛物线开口向下，抛物线y =-x 2+2x +k 的对称轴为直线x =1，则离对称轴越远的点对应的函数值越小，而点y 3）离对称轴最远，点（；1；y 1；离对称轴最近，于是有y 1；y 2；y 3；【详解】∵a =-1＜0，∴抛物线开口向下， ∵抛物线y =-x 2+2x +k 的对称轴为直线x =()22-1⨯=1，y 3）离对称轴最远，点（；1；y 1；离对称轴最近，；y 1；y 2；y 3；故选A；【点睛】本题是一道运用二次函数的性质比较函数值的大小的题目，需要掌握二次函数的性质. 对于二次函数y =ax 2+bx +c ；a ；b ；c 为常数，a ≠0；；当a >0时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大；当a <0时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小.21. 已知函数y=x 2；2mx+2016；m 为常数）的图象上有三点：A；x 1；y 1；；B；x 2；y 2；；C；x 3；y 3），其中x 1+m；x 2=23+m；x 3=m；1，则y 1；y 2；y 3的大小关系是（ ）A. y 2；y 3；y 1B. y 3；y 1；y 2C. y 1；y 2；y 3D. y 1；y 3；y 2 【答案】A【解析】【分析】先求出二次函数y =x 2-2mx +2016的对称轴为x =m ，进而得到函数图象上的点到对称轴的距离越远，函数值就越大；接下来，通过比较A ；x 1；y 1；；B ；x 2；y 2；；C ；x 3；y 3）到对称轴x =m 的距离的大小关系，就能确定y 1；y 2；y 3的大小关系.【详解】在二次函数y =x 2-2mx +2016中，对称轴x =m ，；A ；x 1；y 1；；B ；x 2；y 2；；C ；x 3；y 3）是图象上的三个点，|23+m -m |；|m +m -m |；∴y 2＜y 3＜y 1.故选A.【点睛】本题是一道运用二次函数的性质比较函数值的大小的题目，需要掌握二次函数的性质. 对于二次函数y =ax 2+bx +c ；a ；b ；c 为常数，a ≠0；；当a >0时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大；当a <0时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小.22. 函数y；2x 2；8x+m 的图象上有两点A；x 1；y 1；；B；x 2；y 2；，且|x 1；2|；|x 2；2|，则； ；A. y 1；y 2B. y 1；y 2C. y 1；y 2D. y 1；y 2的大小不确定【答案】C【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图象具有对称性，可以解答本题．【详解】解：∵函数y=2x2-8x+m=2；x-2；2-8+m；∴该函数图象开口向上，有最小值，对称轴为直线x=2；∵函数y=2x2-8x+m的图象上有两点A；x1；y1；；B；x2；y2），且|x1-2|；|x2-2|；∴y1；y1；故选C；【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．23. 若A(；4；y1)；B(；1；y2)；C(0；y3)为二次函数y；；(x+2)2+3的图象上的三点，则y1；y2；y3的大小关系是()A. y1；y2；y3B. y3；y1；y2C. y3；y1；y2D. y1；y2；y3【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征,将A；-4,y1；,B；-1,y2；,C；0,y3）分别代入二次函数的关系式,分别求得y1,y2,y3的值,最后比较它们的大小即可．【详解】解：∵A；-4,y1；,B；-1,y2；,C；0,y3）为二次函数y=-；x+2；2+3的图象上的三点,；y1=-4+3=-1,即y1=-1,y2=-1+3=2,即y2=2,y3=-4+3=-1,即y3=-1,；y3=y1；y2,故选B；【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象性质.24. 已知二次函数2(0)=-+>，当自变量x取m时，其相应的函数值小于y x x a a0，则下列结论正确的是（）m-时的函数值小于0A. x取1B. x取1m-时的函数值大于0C. x取1m-时的函数值等于0D. x取1m-时函数值与0的大小关系不确定【答案】B【解析】【分析】画出函数图象，利用图象法解决问题即可；【详解】由题意，函数的图象为：∵抛物线的对称轴x=12，设抛物线与x轴交于点A；B；∴AB；1；∵x取m时，其相应的函数值小于0；∴观察图象可知，x=m-1在点A的左侧，x=m-1时，y；0；故选B；【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用函数图象解决问题，体现了数形结合的思想．25. 抛物线y=2(x﹣2)2﹣1关于x轴对称的抛物线的解析式为（）A. y=2(x﹣2)2+1B. y=﹣2(x﹣2)2+1C. y=﹣2(x﹣2)2﹣1D. y=﹣(x﹣2)2﹣1【答案】B【解析】【分析】先确定抛物线y=2（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1），再利用关于x轴对称的点的坐标特征得到新抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出新抛物线解析式．【详解】解：抛物线y=2（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1），而（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为（2，1），所以所求抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣2）2+1．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．26. 将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（）A. y=3；x；2；2；1B. y=3；x；2；2+5C. y=3；x+2；2；1D. y=3；x+2；2+5【答案】C【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可；【详解】将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位所得直线解析式为；y=3；x+2；2+2；再向下平移3个单位为；y=3；x+2；2+2；3；即y=3；x+2；2；1；故选C；【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换；要求熟练掌握平移的规律；左加右减；上加下减；27. 将抛物线y＝（x+2）2﹣5向左平移2个单位，再向上平移5个单位，平移后所得抛物线的解析式为（）A. y＝（x+4）2B. y＝x2C. y＝x2﹣10D. y＝（x+4）2﹣10【答案】A【解析】【分析】根据顶点式求出顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后写出顶点式二次函数解析式即可．【详解】；y；；x+2；2；5；∴原抛物线顶点坐标为（﹣2；；5；；∵向左平移2个单位，再向上平移5个单位，∴平移后的抛物线顶点坐标为（﹣4；0；；∴所得抛物线解析式为y ；；x +4；2；故选A ；【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点坐标的变化求解更简便．28. 将抛物线()21112y x =-+向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. ()21322y x =-- B. ()21122y x =+- C. ()21342y x =-+ D. ()21142y x =++ 【答案】B【解析】 【分析】直接根据图形平移的性质即可得出结论；【详解】将抛物线()21112y x =-+向左平移2个单位；再向下平移3个单位；得到的抛物线的函数表达式为；y =12；x ；1+2；2+1；3；即y =12；x +1；2；2； 故选B；【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换；熟知“上加下减；左加右减”的法则是解答此题的关键；29. 要得到抛物线y =213x ﹣4，可将抛物线y =213x （ ）单位． A. 向上平移4个B. 向下平移4个C. 向右平移4个D. 向左平移4个【答案】B【解析】【分析】根据二次函数平移规律：左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解：要得到抛物线y=213x ﹣4，可将抛物线y=213x 向下平移4个单位，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．30. 将抛物线y =3x 2平移得到抛物线y =3(x +2)2，则这个平移过程正确的是（ ）A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位C. 向上平移2个单位D. 向下平移2个单位【答案】A【解析】【分析】根据图象左移加，可得答案．【详解】∵将抛物线y=3x 2平移得到抛物线y=3（x+2）2，∴这个平移过程是向左平移了2个单位.故选：A ．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减． 二、拓展提升31. 如图，将函数21(3)12y x =++的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A；-4；m；；B；-1；n；,平移后的对应点分别为点A'、B'.若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是 ； ；A. 21(3)22y x =+-B. 21(3)72y x =++ C. 21325y x =+-() D. 21342y x =++() 【答案】D【解析】【详解】分析：过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，过A′作A′D∥x轴，交B′B的于点D，则C（-1，m），AC=-1-(-4)=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．详解：过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，过A′作A′D∥x轴，交B′B的于点D，则C（-1，m），∴AC=-1-(-4)=3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴矩形ACD A′的面积等于9；∴AC·AA′=3AA′=9，∴AA′=3，∴新函数的图是将函数y=12（x-2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到的，；新图象的函数表达式是y=12；x-2；2+1+3=12；x-2；2+4；故选D．点睛：此题主要考查了二次函数图象变换以及矩形的面积求法等知识，根据已知得出AA′的长度是解题关键．32. 在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线y1=a；x+1；；x；5）和y2=mx2+2mx+1，其中am；0，要使得两条抛物线构成轴对称图形，下列变换正确的是（ ）A. 将抛物线y 1向右平移3个单位B. 将抛物线y 1向左平移3个单位C. 将抛物线y 1向右平移1个单位D. 将抛物线y 1向左平移1个单位【答案】B【解析】【详解】【分析】根据开口方向相反的抛物线关于x 对称的抛物线的对称轴是同一条直线，图象的平移规律 左减右加，可得答案【详解】y 1=a；x+1；；x；5；=ax 2；4ax；5a ，对称轴是x=2；y 2=mx 2+2mx+1对称轴是x=；1；y 1=a；x+1；；x；5；=ax 2；4ax；5a 图象向左平移3个单位，得对称轴x=；1；两条抛物线关于x 轴对称，∴将抛物线y 1向左平移3个单位，两条抛物线构成轴对称图形，故选B；【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用图象的平移规律：左减右加是解题关键，还利用了开口方向相反的抛物线关于x 对称的抛物线的对称轴是同一条直线．33. 将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为； ；A. ()215y x =-+B. ()244y x =-+C. ()246y x =-+D. ()21y x =-【答案】B【解析】【详解】223y x x =-+=（x-1）2+2，向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=(x-1-3)2+2+2，即y=(x-4)2+4，故选B.【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．34. 抛物线22y x =经过平移得到22(1)y x =+，则这个平移过程正确的是（ ）A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向上平移1个单位D. 向下平移1个单位【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减，即可判定.【详解】由题意，得平移过程为向左平移1个单位，故选：A .【点睛】此题主要考查抛物线的平移，熟练掌握，即可解题.35. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=（x+1）2向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线解析式是（ ）A. y=（x ﹣2）2﹣4B. y=（x ﹣1）2﹣4C. y=（x ﹣2）2﹣3D. y=（x ﹣1）2﹣3【答案】B【解析】 【详解】试题解析：∵抛物线()21y x =+顶点坐标为()10-，， 向右平移2个单位，再向下平移4个单位，∴平移后抛物线的顶点坐标为()1,4-，∴平移后抛物线的解析式为()214y x =--．故选B；36. 抛物线y =5x 2+6向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（ ）A. y =5(x ﹣3)2+6B. y =5x 2C. y =5(x +3)2+6D. y =5x 2+9 【答案】A【解析】【分析】先确定抛物线y=5x 2+6的顶点坐标为（0，6），再利用点平移的坐标特征得到点（0，6）平移后对应点的坐标为（3，6），然后根据顶点式写出平移后的新抛物线的表达式．【详解】∵抛物线y=5x 2+6的顶点坐标为（0，6），∴点（0，6）向右平移3个单位长度后的对应点的坐标为（3，6），∴平移后的新抛物线的表达式为y=5（x﹣3）2+6．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．37. 已知抛物线c：y=x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是（）A. 将抛物线c沿x轴向右平移52个单位得到抛物线c′ B. 将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c′C. 将抛物线c沿x轴向右平移72个单位得到抛物线c′ D. 将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c′【答案】B【解析】【详解】∵抛物线C；y=x2+2x；3=；x+1；2；4；∴抛物线对称轴为x=；1；∴抛物线与y轴的交点为A；0；；3；；则与A点以对称轴对称的点是B；2；；3；；若将抛物线C平移到C′，并且C；C′关于直线x=1对称，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称．则B点平移后坐标应为（4；；3；；因此将抛物线C向右平移4个单位．故选B；38. 抛物线y=12x2的图象向左平移2个单位，在向下平移1个单位，得到的函数表达式为（）A. y=12x2+2x+1 B. y=12x2+2x﹣2C. y=12x2﹣2x﹣1 D. y=12x2﹣2x+1【答案】A【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】根据“上加下减，左加右减”可知，二次函数y=12x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象表达式为y=12（x+2）2﹣1， 即y=12x 2+2x+1． 故选：A ．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．39. 将抛物线y =(x ﹣2)2+2向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）A. y =x 2+3B. y =x 2﹣1C. y =x 2﹣3D. y =(x +2)2﹣3【答案】B【解析】【分析】根据平移的规律：上加下减，左加右减，可得2(22)23y x =-++-， 化简即可选择．【详解】将抛物线y =(x ﹣2)2+2向左平移2个单位，再向下平移3个单位后， 可得2(22)23y x =-++-，即21y x =-，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移的规律：上加下减，左加右减是解题关键．40. 已知：如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =﹣1，与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且OB =OC ，则下列结论正确的个数是（ ）①b =2a ②a ﹣b +c ＞﹣1 ③0＜b 2﹣4ac ＜4 ④ac +1=b ．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】 【分析】①根据抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=﹣1，即﹣2b a=﹣1，整理后即可得到答案；②根据图象法即可得到答案； ③观察图象知函数图象与x 轴有两个交点，从而得到b 2﹣4ac ＞0；然后根据表示出a ，b ，c 的值，根据不等式的性质，即可求得；④由抛物线与y 轴相交于点C ，就可知道C 点的坐标，然后代入函数式，即可得到答案．【详解】解：①∵抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=﹣1， ∴﹣2b a=﹣1， 整理得b=2a ，故①正确；④由抛物线与y 轴相交于点C ，就可知道C 点的坐标为（0，c ），又因OC=OB ，所以B （﹣c ，0），把它代入y=ax 2+bx+c ，即ac 2﹣bc+c=0，两边同时除以c ，即得到ac ﹣b+1=0，所以ac+1=b ．故④正确；②∵抛物线过点B 、C ，且直线BC 与x 轴所夹锐角为45°，且抛物线只与直线BC 有两个交点B 、C ，设直线BC 与对称轴x=﹣1交于点D ，对称轴与x 轴交于点E ，易知DE ＜1， ∴D 的纵坐标大于﹣1，而抛物线是光滑曲线与直线BC 相交于B 、C 后不会再与直线BC 相交，。
2.2 浙教版二次函数的图象(1)
y = x2
1 y= x
列表 描点 连线
(1) y = 2x2 2 2 (2) y = − x 3
y = −x 2
用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结
y = x2
1、观察右图， 、观察右图， 并完成填空。 并完成填空。 练习2 2、练习2 3、想一想 练习4 4、练习4
二次函数y=ax2的性质 二次函数 １、顶点坐标与对称轴 ２、位置与开口方向 ３、增减性与极值
y = −x2
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 极值
y=x2
（0，0） ， ） y轴 轴
1、已知抛物线y=ax2经过点 （-2，-8）。 、已知抛物线 经过点A（ ， ）。 （1）求此抛物线的函数解析式； ）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 ）判断点 （ ， ）是否在此抛物线上。 的点的坐标。 （3）求出此抛物线上纵坐标为 的点的坐标。 ）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标 解（1）把（-2，-8）代入 ） ， ）代入y=ax2,得 得 -8=a(-2)2,解出 -2,所求函数解析式为 解出a= 所求函数解析式为 解出 y= -2x2. （2）因为 − 4 ≠ −2( −1) 2 ，所以点B（-1 ，-4） ） 所以点 （ ） 不在此抛物线上。 不在此抛物线上。 （3）由-6=-2x2 ,得x2=3, ） 得 x=± 3 所以纵坐标为-6的点有两个 的点有两个， 所以纵坐标为 的点有两个，它们分别是
二次函数及其图象
函数的图像以y轴为对称轴。
与x轴的交点
当c=0时，函数与x轴无交点；当c>0时，函数与x轴有两 个交点；当c<0时，函数与x轴有一个交点。
CHAPTER 03
二次函数图象特征
开口方向
开口向上
当二次项系数a大于0时，函数图 像开口向上，顶点为最低点。
开口向下
当二次项系数a小于0时，函数图 像开口向下，顶点为最高点。
科技领域
图像处理
01
在计算机视觉和图像处理中，二次函数常被用于图像的缩放、
旋转和变形等操作中。
声音处理
02
在音频处理中，二次函数被用于声音的频谱分析和合成，以及
音频信号的滤波等。
航天技术
03
在航天学中，二次函数被用于描述火箭和卫星的运动轨迹，以
及太空探测器的路径规划等。
CHAPTER 06
二次函数与数学文化
CHAPTER 04
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
01
二次函数是一元二次方程的图形 表示，一元二次方程是二次函数 的解析形式。
02
二次函数描述了一个抛物线的形 状，而一元二次方程则描述了该 抛物线与x轴的交点位置。
一元二次方程解法
公式法
使用求根公式计算一元二次方程 的解。
因式分解法
期货与期权定价
二次函数常被用于金融衍生品如 期货、期权等的定价模型中，通 过调整参数来估算未来资产价格
的不确定性。
物理领域
弹性力学
在研究材料的弹性和塑性问题时，经常使用二次函数来描述应变 和应力之间的关系。
波动方程
在物理学中，二次函数经常被用来描述波动现象，如弦的振动、电 磁波等。
1.2 二次函数的图象(1)
1.2 二次函数的图象(1)二次函数y=ax 2(a≠0)的图象是顶点在原点的一条抛物线，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．1.已知抛物线y=(m-1)x 2经过点(－1，－2)，那么m 的值是(B ).A.1B.－1C.2D.－22.抛物线y=ax 2(a ＜0)的图象一定经过(B ).A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限3.函数y=xa 与y=ax 2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(D ). A. B.C. D. 4.在同一平面直角坐标系中作函数y=3x 2，y=-3x 2，y=31x 2的图象，这些图象的共同特点是(B ).A.都是关于x 轴对称，抛物线开口向上B.都是关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点C.都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点D.都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 5.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y=201x 2(x ＞0)，若该车某次的刹车距离为5m ，则刹车前的速度为(C ).A.40m/sB.20m/sC.10m/sD.5m/s 6.已知抛物线y=ax 2(a ＞0)过A(-2，y 1)，B(1，y 2)两点，则下列关系式中,一定正确的是(C ).A.y 1＞0＞y 2B.y 2＞0＞y 1C.y 1＞y 2＞0D.y 2＞y 1＞07.若抛物线y=ax 2经过点A(3，-9)，则其函数表达式为 y=-3x 2 ． 8.若抛物线y=(a+1)x a2+a 开口向下，则a= -2 ．9.已知二次函数y=ax 2的图象经过点P(-2，5).(1)求a 的值.(2)若点M(4，m)在这个二次函数的图象上，求m 的值.【答案（1）∵二次函数y=ax 2的图象经过点P(-2，5)，∴a×(-2)2=5，解得a=45. （2由（1）知二次函数表达式为y=45x 2， ∵点M(4，m)在这个二次函数的图象上，∴m=45×42=20. 10.根据下列条件，求a 的值或取值范围：(1)函数y=(a-2)x 2，当x ＞0时，y 随x 增大而减小;当x ＜0时，y 随x 增大而增大．(2)函数y=(3a-2)x 2有最大值．(3)抛物线y=(a+2)x 2与抛物线y=-21x 2的形状相同． (4)函数y=(a-1)x a2-a 的图象是开口向上的抛物线．【答案】（1）a ＜2．（2）a ＜32． （3）a=-2.5.（4）a=2.11.已知四个二次函数的图象如图所示，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是(A ).A.a 1＞a 2＞a 3＞a 4B.a 1＜a 2＜a 3＜a 4C.a 2＞a 1＞a 4＞a 3D.a 2＞a 3＞a 1＞a 4(第11题) (第12题)12.株洲湘江五桥主桥主孔为拱梁钢构组合体系(如图1所示)，小明在五桥观光，发现拱梁的路面部分均匀排列着9根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20m ，拱高(中柱)10m ，于是他建立如图2所示的平面直角坐标系，将余下的8根支柱的高度都算出来了.那么，中柱右边第二根支柱的高度是(D ). A.7m B.7.6m C.8m D.8.4m13.边长为1的正方形OABC 的顶点A 在 x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，将正方形OABC 绕顶点O 顺时针旋转75°，如图所示，使点B 恰好落在函数y=ax 2(a ＜0)的图象上，则a 的值为(D ).A.- 2B.-1C.- 423D.- 32 (第13题) (第14题)14.如图所示，边长为2的正方形ABCD 的中心在直角坐标系的原点O 上，AD∥x 轴，以O 为顶点且过A ，D 两点的抛物线与以O 为顶点且过B ，C 两点的抛物线将正方形分割成几部分.则图中阴影部分的面积是 2 ．15.已知函数y=ax 2(a≠0)与直线y=2x-3交于点A(1，b).(1)求a 和b 的值．(2)当x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而增大？(3)求抛物线y=ax 2与直线y=2x-3的另一个交点B 的坐标．【答案】（1）a=-1,b=-1.（2）∵a=-1，∴二次函数y=ax 2为y=-x 2，它的图象开口向下，对称轴为y 轴. ∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大. （3）解方程组⎩⎨⎧-=-=232x y x y ,得⎩⎨⎧-==1111y x ,⎩⎨⎧-=-=9322y x . ∴抛物线y=ax 2与直线y=2x-3的另一个交点B 的坐标是（-3，-9）．16.有一座横断面为抛物线形状的拱桥，其水面宽AB 为18m ，拱顶O 离水面AB 的距离OM 为8m ，货船在水面以上部分的横断面是矩形CDEF ，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求此抛物线的二次函数表达式．(2)如果限定矩形的长CD 为9m ，那么矩形的高DE 不能超过多少米，才能使船通过拱桥？(3)若设EF=a ，请将矩形CDEF 的面积S 用含a 的代数式表示，并指出a 的取值范围．【答案】（1）y=-818x 2．（2）∵CD=9,∴点E 的横坐标为29，则点E 的纵坐标为-818×⎪⎭⎫ ⎝⎛292=-2. ∴点E 的坐标为（29,-2）. ∴要使货船能通过拱桥，则货船高度不能超过8-2=6（m ）.（3）∵EF=a，∴点E 坐标为（21a,- 812a 2） (第16题) ∴ED=8-│-812a 2∣=8-812a 2. ∴S 矩形CDEF =EF·ED=8a -812a 3（0＜a ＜18）． (第17题)17.如图所示，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线y=4x+4交y 轴于点A ，在抛物线y=2x 2上是否存在一点P ，使△POA 的面积等于10？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】假设存在一点P （m ，n ），使S △POA =10.∴S=21OA·|m|=10，即21×4×|m|=10， 解得m=5或-5.把m 代入y=2x 2，解得n=50.∴点P 的坐标为（5，50）或（-5，50）．18.【宁夏】已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是(C ). A.B. C. D.(第19题) 19.【淄博】如图所示，Rt△OAB 的顶点A(-2，4)在抛物线y=ax 2上，将Rt△OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD 与该抛物线相交于点P ，则点P 的坐标为 （2，2） （第20题）20.如图所示，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y=x 2(x ≥0)和抛物线C 2：y= 42x (x ≥0)交于A ，B 两点，过点A 作CD∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 2交于点C ，D ，过点B作EF∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ，F ，则EADOFB S S ∆∆的值为(D ). A. 62 B. 42 C. 41 D. 61 【解析】设点A ，B 的横坐标为a （a ＞0），则点A 的纵坐标为a 2，点B 的纵坐标为42a ∵BE∥x 轴，∴点F 的纵坐标为42a .∵F 是抛物线y=x 2上的点， ∴点F 的横坐标为x=y =21a. ∵CD∥x 轴，∴点D 的纵坐标为a 2.∵D 是抛物线y=42x 上的点， ∴点D 的横坐标为x=y 4=2a.∴AD=a，BF=21a ，CE=43a 2，OE=41a 2. ∴EAD OFBS S ∆∆=CE AD OE BF ⋅⋅2121=224321412121a a a a ⨯⨯⨯⨯=61.故选D.。
2.2 二次函数的图象与性质(1)
函数
y＝ax2(a>0)
y＝ax2(a<0)
图象
开口方向
_向__上__
_向__下__
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顶点坐标
(0，0)
__(_0_，__0_)___
对称轴
___y_轴__(_直__线__x_＝__0_) __
y 轴(直线 x＝0)
当 x>0 时，y 随 x 的增大而_增__大_；当 x>0 时，y 随 x 的增大而减__小__； 函数值变化
当 x<0 时，y 随 x 的增大而_减__小_ 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增__大__
最大(小)值
当 x＝0 时，y 最小值＝_0_
当 x＝0 时，y 最大值＝_0_
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3.(1)a 的正负可以确定抛物线的开__口__方__向__，反之，抛物线的开__口__方__向__也可以确定 a 的正负；
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解：(1)将 x＝1，y＝b 代入 y＝2x－3，得 b＝－1， ∴ 交点坐标是(1，－1)． 再将 x＝1，y＝－1 代入 y＝ax2，解得 a＝－1， ∴a＝－1，b＝－1； (2)B( 2，－2)、C(－ 2，－2)； (3)S△OBC＝2 2.
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13．【易错】如图，根据图象提供的信息，下列结论正确的是( A )
A．a1>a2>a3>a4 C．a4>a1>a2>a3
B．a1<a2<a3<a4 D．a2>a3>a1>a4
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14．如图，二次函数 y＝x2 与一次函数 y＝－x－1 的图象在同一直角坐标系中， 大致应为( D )
二次函数的图象(一)
二次函数2ax y =c bx ++的图象（一）【知识要点】1．二次函数2ax y =c bx ++的图象．方法一：“列表、描点、连线”方法画出它的图象；方法二：通过二次函数2ax y =向左右方向或上下方向作平移变换而得到.（下节课待续）2．二次函数c bx ax y ++=2的性质.二次函数c bx ax y ++=2的性质如下表：【经典例题】例1 通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．例2．关于二次函数c bx ax y ++=2的图象有下列命题：（1）当0=c 时，函数的图象经过原点；（2）当0>c 时，且函数的图象开口向下时，方程02=++c bx ax 必有两个不等实根；（3）函数图象最高点的纵坐标是ab ac 442-. （4）当0=b 时，函数的图象关于y 轴对称；（5）当0=b ，0=c ，抛物线顶点是原点.其中正确命题的个数是（ ）.A 、5B 、2C 、3D 、4二、填空题：1、++x x 62 =（+x ）2 852+-x x =+-2)25(x+-x x 252 =（-x ）2 942++x x =++2)2(x2．开口向下的抛物线()12222++-=mx x m y 的对称轴经过点()3,1-，则m 为 ．3．抛物线c bx x y ++=22的顶点坐标是()2,1-则=b ,=c .4．若函数k x x y ++-=42的最大值等于3，则k 的值等于 ．5．已知二次函数()()2231-+-=x x y ，当x = 时，函数y 达到最小值. 6．将函数()232-=x y 的图象向右平移16个单位，再向上平移23个单位，得到的图象的解析式是 ．7．已知二次函数()k x y +-=213的图象上有三个点()()()321,5,,2,,2y C y B y A -， 则321,,y y y 的大小关系为 .三．解答题：2．已知抛物线c bx ax y ++=2与241x y =形状相同，开口方向相反，顶点坐标是()4,2-. （1）求c b a ,,的值；（2）求抛物线与x 轴和y 轴的交点坐标；（3）在直角坐标系中画出抛物线的图象.3．已知抛物线()922++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值.。
第17讲 二次函数的图象与性质(1)
∵关于 a 的方程有实数根，
∴Δ＝(8S－54)2－4×27×24≥0，
即(8S－54)2≥(36 2)2，
∵a＜0，
∴S＝247－3a－287a＞247， ∴8S－54＞0，
∴8S－54≥36 2，即 S≥247＋922，
∴△QMN
面积的最小值为247＋9
2
2 .
【变式3】 (2017·衢州)定义：如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A、B两点不重合)，如 果△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的勾股点．
分析与反思 解题中要注意二次函数的增减与最值问题成立的条件．错误
答案中忽视只有二次函数二次项系数a<0时才有最大值，显然此题中m
＝1函数有最小值，图象有最低点．
剖析
正确解答
分析与反思
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∴方程有两个不相等的实数根，
∴直线与抛物线有两个交点．
点拨
解
(3)直线与抛物线的另一个交点记为N.
①若－1≤a≤－
1 2
，求线段MN长度的取值范围；
点拨 由(2)的方程可求得N点坐标，利用勾股定理可求得MN2，利用二次
函数性质可求得MN长度的取值范围；
点拨
解
解 由(2)得，联立直线与抛物线解析式的方程为 ax2＋(a－2)x－2a＋2 ＝0，即 x2＋1－2ax－2＋2a＝0， ∴(x－1)x－2a－2＝0， 解得：x＝1 或 x＝2a－2， ∴N 点坐标为2a－2，4a－6. ①由勾股定理得 MN2＝2a－2－12＋4a－62＝2a02 －6a0＋45＝201a－322，
人教版九年级数学26.1.2_二次函数图象(1)
1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
y
,y=x2,y=-2x2的图像与 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
1 y = − x2 2
y =−2x2
当a>0时,抛物线的开口向上, a>0时 抛物线的开口向上, 顶点是抛物线的最低点, 越大 越大, 顶点是抛物线的最低点,a越大 抛物线的开口越小
1 2 y= x 2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
在同一直角坐标系中画出函数y=－1 y=－ 在同一直角坐标系中画出函数y=－2 x2和y=－2x2的图像 y= :(1)列表 解:(1)列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … (2)描点 (2)描点
y= -
x … -2 y=2x2 … 8
-1 -0.5 0 0.5 1
y
4.5 2 0.5
1.5 2 … 0 0.5 2 4.5 8 …
y= 2x2 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
(3) 连线 函数y= 函数y= 2 与函数y=x2(图中虚线图形) 与函数y=x 图中虚线图形) 的图像相比, 的图像相比,有什么共同点 和不同点? 和不同点? 共同点：开口向上; 共同点：开口向上; 除顶点外,图像都在x 除顶点外,图像都在x轴上方 不同点: 开口大小不同; 不同点: 开口大小不同; x21,y=2x2的图像
1 x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 2
…
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=－ y=－2x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
二次函数图象-1
20.2 二次函数图象-1选择题 1．（2007•朝阳区）如图，直角梯形ABCD 中，∠A=90°，∠B=45°，底边AB=5，高AD=3，点E 由B 沿折线BCD 向点D 移动，EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AD 于N ，设BM=x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）．CD ．MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右平移，直到C 点与N 点重合时为止，设△ABC 与正方形MNPQ 的重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm 2，MA 的长度为xcm ，则y 与x 之间的函数关系大致为（ ）．CD．3．（2008•铜仁地区）已知y=ax +bx+c 的图象如图所示，则y=ax+b 的图象一定过（ ）4．（2006•菏泽）二次函数y=ax +bx+c 的图象如图所示，则直线y=bx+c 的图象不经过（ ）（ ）．C D．6．（2008•绵阳）二次函数y=ax+bx+c的部分对应值如下表．利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是7．（2005•连云港）抛物线y=a（x+1）+2的一部分如图所示，该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是（）．C D．．C D．．C D．2．CD ．12．如图，一次函数y 1=kx+b 与二次函数y 2=ax 交于A （﹣1，1）和B （2，4）两点，则当y 1＜y 2的取值范围是（ ）13．（2010•福州）已知二次函数y=ax +bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）14．（2009•随州）如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax +bx+c （a ≠0），则下列结论中正确的有（ ） （1）a ＞0；（2）c ＜0；（3）2a ﹣b=0；（4）a+b+c ＞0．15．（2007•南充）如图是二次函数y=ax +bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a+b=0；③a ﹣b+c=0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）16．（2006•山西）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示．有下列结论：①b2﹣4ac＜0；②ab＞0；③a﹣b+c=0；④4a+b=0；⑤当y=2时，x只能等于0．其中正确的是（）17．（2006•金华）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a＞0；②c＞0；③b﹣4ac＞0，其中正确的个数是（）18．（2004•重庆）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则点M（b，）在（）19．（2004•潍坊）已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）20．（1998•湖州）若二次函数y=ax+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），则S=a+b+c的变化其值为正的式子的个数是（）22．二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则下面四个结论中正确的结论有（）①ac＜0；②ab＞0；③2a＜b；④a+c＞b；⑤4a+2b+c＞0；⑥a+b+c＞0．23．二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是（）24．已知b＞0时，二次函数y=ax+bx+a﹣1的图象如下列四个图之一所示：中正确的个数为（）29．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么点（）在平面直角坐标系中的（）30．（2010•文山州）已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（）【试卷训练】第20章《二次函数和反比例函数》好题集（02）：20.2 二次函数图象-1参考答案与试题解析选择题1．（2007•朝阳区）如图，直角梯形ABCD 中，∠A=90°，∠B=45°，底边AB=5，高AD=3，点E 由B 沿折线BCD 向点D 移动，EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AD 于N ，设BM=x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）．CD ．2．（2004•嘉兴）如图，等腰直角三角形ABC （∠C=90°）的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为4cm ，CA 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右平移，直到C 点与N 点重合时为止，设△ABC 与正方形MNPQ 的重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm 2，MA 的长度为xcm ，则y 与x 之间的函数关系大致为（ ）．CD ．x﹣3．（2008•铜仁地区）已知y=ax2+bx+c的图象如图所示，则y=ax+b的图象一定过（）＞轴的交点为（﹣＞轴的交点为（﹣4．（2006•菏泽）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则直线y=bx+c的图象不经过（）＞2．C D．，与x=6．（2008•绵阳）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表．利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是7．（2005•连云港）抛物线y=a（x+1）2+2的一部分如图所示，该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是（）2．C D．﹣＜9．在同一坐标系中，作出函数y=kx2和y=kx﹣2（k≠0）的图象，只可能是（）．C D．2．C D．2．C D．12．如图，一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2交于A（﹣1，1）和B（2，4）两点，则当y1＜y2的取值范围是（）13．（2010•福州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）14．（2009•随州）如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则下列结论中正确的有（）（1）a＞0；（2）c＜0；（3）2a﹣b=0；（4）a+b+c＞0．==15．（2007•南充）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）x==16．（2006•山西）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．有下列结论：①b2﹣4ac＜0；②ab＞0；③a﹣b+c=0；④4a+b=0；⑤当y=2时，x只能等于0．其中正确的是（）x=17．（2006•金华）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（）18．（2004•重庆）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则点M（b，）在（），进一步得到＞）的位置．，19．（2004•潍坊）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）＜＜20．（1998•湖州）若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），则S=a+b+c的变化范21．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列6个代数式：ab，ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b，2a﹣b中，其值为正的式子的个数是（）x=22．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下面四个结论中正确的结论有（）①ac＜0；②ab＞0；③2a＜b；④a+c＞b；⑤4a+2b+c＞0；⑥a+b+c＞0．轴的正半轴上可知，﹣0＜23．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是（）24．已知b＞0时，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示：轴，所以﹣=0第三个图的对称轴﹣25．（2011•黄浦区一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（）2x=＞27．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＞0；③abc＜0；④2a+b=0．其中正确的个数为（）＜=2＞＞29．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么点（）在平面直角坐标系中的（），）的符＜＜，）在第三象限．30．（2010•文山州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（）﹣。
二次函数图象1
-5
-6
1 y=- 2 x2
-7
-8
-9
y=-x2
y=-2x2
y
10
y=x2
8
6
y=x2与y=-x2关于 x轴对称
-10 -5
4
2
5 -2
10
x
-4
-6
-8
-10
y=-x2
-12
2的图象的性质 二次函数y=ax
1、当a>0时，抛物线的开口向上；当 a<0时，抛物线的开口向下。 2、对称轴是x=0（或y轴）， 3、顶点坐标是（0，0）， 4、|a|越大开口越小，反之开口越大。
-4
-2
0
2
4
6
x
探 究
画出函数y=-x2,y=- 1x2,y=-2x2的图象，并考虑 2 这些抛物线有什么共同点和不同点。
… … -3 -2 -1 0 1 2 3 … …
x
y=-x2
-9
-4 -3
9 2
-4
-2
-1
-1
1 2
0
0
-1
1
1 2
1
-4
2 3
9 2
-9
4
x
1 y=- x2 2
1
4
9
x y=x2
… …
-3
-2
-1
0
1
2
3
… …
94ຫໍສະໝຸດ 1 y9 80
1
4 y=x2
9
7
6
5
4
3
2
1
-8
-6
-4
-2 -1
2
4
6
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练习3、
2图象上有三点： 二次函数y=x
A (2,a), B (1,b), C (0,c)， 求△ABC的面积
练习4、
直线l过A ( 4, 0 ),B ( 0, 4)两点,与 y=ax2交在第一象限于P，若 △AOP的面积为9/2，求此二次函 数解析式。
(4)图象的顶点是哪一点？ 此时函数有最大值还是有最小值？
(5)y随x的变化怎么变化？
(6)你认为抛物线的开口大小是由 什么决定的？
指出下列函数图象所具有的性质
y 23 x y y 7xx y 23 x 8 13
2
22 2 2 2 22
yy x..5x 0 y 22 x y 21 59x y 试，最终为了 中考一场； 一次、两次、三次、四 次……痛苦，最终为了微 笑一次。
二次函数的图 象和性质（1）
议一议
对于二次函数y=ax2的图象，
(1)你能描述图象的形状吗?
(2)你用什么办法确定抛物线的 开口方向？
(3)图象是轴对称图形吗?如果是， 它的对称轴是什么?请你找出几对 对称点．
练习1：
若抛物线y=ax2 (a ≠ 0)过点（-1, 3）。 1.则a的值是 ； 2.对称轴是____开口_____ 3.顶点坐标是____， 4. 抛物线在x轴的_____方 5.增减性是
练习2、
2过点A（-2，-8）。 已知抛物线y=ax
1.求抛物线的函数解析式 2.判断点B（-1，- 4）是否在此抛物 线上。 3.求出此抛物线上纵坐标为-6的点的 坐标。