2019-2020年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1课时达标训练新人教A版选修
2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理讲义新人教A版选修2_3
1．3.1 二项式定理知识点二项式定理及其相关概念1．二项式定理二项展开式：(a＋b)n＝□01C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理，其中各项的系数□02C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．特别地，(1＋x)n＝□031＋C1n x＋C2n x2＋…＋C k n x k＋…＋C n n x n(n∈N*)．结构特点：(1)各项的次数都□04等于二项式的幂指数n；(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n；05n＋1项．(3)共有□2．二项展开式的通项(a＋b)n的二项展开式中的第k＋1项□06C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即T k＋1＝□07C k n a n－k b k.(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)1．注意区分项的二项式系数与系数的概念二项展开式的第r＋1项的二项式系数是C r n，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第r＋1项的系数则是二项式系数C r n 与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是C15，而第二项的系数则是C15·24.注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数．2．要牢记C k n a n－k b k是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )(2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．( )(3)C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k项．( )答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 16的二项展开式中第4项是________． (2)展开⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 4为________．(3)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________． 答案 (1)－560x 10(2)1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x4 (3)10解析 (1)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 16·x16－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 16·x 16－2r ， 所以第4项为T 4＝(－1)3C 316·x 10＝－C 316x 10＝－560x 10.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 4＝1＋C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x4.(3)T 4＝C 35x 2y 3含x 2y 3的项的系数是C 35＝10.探究1 二项式定理的正用与逆用例1 (1)若f (x )＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋4，则f (2019)－f (－2019)的值为________；(2)求⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4的展开式．[解析] (1)根据f (x )的解析式，逆用二项式定理，得f (x )＝[(x －1)＋1]4＋3＝x 4＋3.显然f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，∴f (2019)－f (－2019)＝0.(2)解法一：⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝C 04(x )4－C 14·(x )3·12x＋C 24(x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－C 34x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋C 44⎝⎛⎭⎪⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2. 解法二：⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x 2(2x －1)4＝116x 2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1)＝x 2－2x＋32－12x ＋116x2. [答案] (1)0 (2)见解析 拓展提升二项式定理的双向功能(1)正用：将二项式(a ＋b )n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：将展开式合并成二项式(a ＋b )n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．[跟踪训练1] (1)用二项式定理展开⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4；(2)化简1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C nn .解 (1)解法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 解法二：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x2(1＋3x )4＝1x 2[1＋C 14(3x )＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4] ＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4) ＝1x2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C nn ＝C 0n ＋21C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C nn ＝(1＋2)n＝3n.探究2 利用二项式定理求某些特定项例2 已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数及二项式系数； (3)求展开式中所有的有理项．[解] (1)由题意得，T r ＋1＝C r n (3x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r n x n －2r 3(r ＝0,1,2，…，n )．∴T 6＝T 5＋1＝(－1)5·⎝ ⎛⎭⎪⎫125C 5n ·xn －103， 又第6项为常数项，∴n －103＝0，∴n ＝10.(2)由(1)知T r ＋1＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r10·x 10－2r 3，令10－2r3＝2，得r ＝2.∴x 2的系数为(－1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 210＝454.含x 2这一项的二项式系数为C 210＝45.(3)由题意得，10－2r3为整数，其中0≤r ≤10，r ∈Z .∵T r ＋1为有理项， ∴10－2r3为有理数，∴10－2r ＝0， 或10－2r ＝6，或10－2r ＝－6， 得r ＝5或r ＝2或r ＝8. ∴有理项为T 3＝C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫122x 2＝454x 2，T 6＝C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝－638， T 9＝C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128·x －2＝45256x －2. 拓展提升求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程． 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．[跟踪训练2] (1)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________；(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中的常数项是________． 答案 (1)1 (2)7解析 (1)展开式的通项为T r ＋1＝C r 9x9－r(－a )r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 9·(－a )r x 9－2r(0≤r ≤9，r ∈N )．当9－2r ＝3时，解得r ＝3，代入得x 3的系数，根据题意得C 39(－a )3＝－84，解得a ＝1. (2)展开式的通项为T r ＋1＝C r8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r C r 8x 8－r －13r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r C r 8x 8－43r (0≤r ≤8，r ∈N )．令8－43r ＝0，得r ＝6，则T 7＝(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫128－6C 68＝7.探究3 整除及余数问题例3 (1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除； (2)求9192被100除所得的余数． [解] (1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1 ＝(1010＋C 110·109＋C 210·108＋…＋C 910·10＋1)－1 ＝1010＋C 110·109＋C 210·108＋…＋102＝100(108＋C 110·107＋C 210·106＋…＋1)， ∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝C 092·10092－C 192·10091·9＋C 292·10090·92－…＋C 9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C 092·1092－C 192·1091＋…＋C 9092·102－C 9192·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.拓展提升利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．[跟踪训练3] (1)求证32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除； (2)求230－3除以7的余数． 解 (1)证明：32n ＋2－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n ＋1n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182＋C nn ＋1·8＋1－8n －9 ＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182.该式每一项都含因式82，故能被64整除． (2)230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3 ＝C 010710＋C 11079＋…＋C 9107＋C 1010－3 ＝7×(C 01079＋C 11078＋…＋C 910)－2. 又∵余数不能为负数(需转化为正数)，∴230－3除以7的余数为5.1．若(2x －3x )n ＋3的展开式中共有15项，则自然数n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14 答案 A解析 因为(2x －3x )n ＋3的展开式中共n ＋4项，所以n ＋4＝15，即n ＝11.选A.2．二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 3－2x25的展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40 答案 B解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x 25的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x2r ＝(－1)r ·2r C r 5x 15－5r，令15－5r ＝0，得r ＝3，所以常数项为T 4＝(－1)3×23×C 35＝－80.选B.3．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4 D ．x ＝6，n ＝5 答案 C解析 由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1，分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅有C 适合．4．(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于________． 答案 70解析 ∵(1＋2)5＝1＋C 152＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55(2)5＝41＋292，∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝41＋29＝70.5．求(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数．解 ∵(x ＋2)10(x 2－1)＝x 2(x ＋2)10－(x ＋2)10，本题求x 10的系数，只要求(x ＋2)10展开式中x 8及x 10的系数．由T r＋1＝C r10x10－r·2r，取r＝2得x8的系数为C210×22＝180，又x10的系数为C010＝1，因此所求系数为180－1＝179.。
高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.3 二项式定理习题课教案 3数学教案
1.3.3 二项式定理习题课教学目标知识与技能1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．过程与方法1．能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．情感、态度与价值观1．培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用．2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．教学难点：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程复习巩顾前面我们学习了二项式定理，请回顾：1．(a＋b)n＝________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的______________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做______________，通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：____________________. (2)性质2：______________________.(3)二项式系数的最大值________________________．(4)二项式系数之和____________________，所用方法是____________________． 答案：1．(a ＋b)n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋C 2n an －2b 2＋…＋C r n an －r b r＋…＋C n n b n(n∈N )、展开式、二项式系数、r ＋1、n ＋1、C rn 、变量前的常数2．(1)C mn ＝Cn －mn (2)C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn(3)当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C rn ＋…＋C nn ＝2n赋值法典型示例类型一：二项展开式的有关概念 例1试求：(1)(x 3－2x 2)5的展开式中x 5的系数；(2)(2x 2－1x)6的展开式中的常数项；(3)在(3x ＋32)100的展开式中，系数为有理数的项的个数．思路分析：理解二项展开式的有关概念，什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手，根据变量的系数、指数进行判断，当指数为0时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项．解：(1)T r ＋1＝C r5(x 3)5－r(－2x2)r ＝(－2)r C r 5x 15－5r ，依题意15－5r ＝5，解得r ＝2.故(－2)2C 25＝40为所求x 5的系数．(2)T r ＋1＝C r 6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r ，依题意12－3r ＝0，解得r ＝4.故(－1)4·22C 26＝60为所求的常数项．(3)T r ＋1＝C r 100(3x)100－r(32)r ＝C r100·350－r 2·2r 3x 100－r ，要使x 的系数为有理数，指数50－r 2与r 3都必须是整数，因此r 应是6的倍数，即r ＝6k(k∈Z )，又0≤6k≤100，解得0≤k≤1623(k∈Z )，∴x 的系数为有理数的项共有17项．点评：求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．【巩固练习】试求：(1)(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；(2)(|x|＋1|x|－2)3的展开式中的常数项．解：(1)∵(x＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…，∴(x＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179.(2)∵(|x|＋1|x|－2)3＝(|x|－1|x|)6，∴所求展开式中的常数项是－C 36＝－20.类型二：二项展开式的有关应用——简单应用例2求(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数． 解：∵(x－1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5＝x －1{1－[－x －1]5}1－[－x －1]＝x －1＋x －16x ，∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数－C 36＝－20.点评：这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式的问题，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．能够最大限度地考查学生对知识的把握程度．【巩固练习】(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中x 3项的系数是( ) A ．74 B ．121 C ．－74 D ．－121解析：先求和：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8＝1－x 5[1－1－x4]1－1－x＝1－x5[4x －6x 2＋4x 3－x 4]x，分子的展开式中x 4的系数，即为原式的展开式中x 3项的系数，(－1)×1＋4×(－C 15)－6C 25＋4×(－C 35)＝－1－20－60－40＝－121，所以选D.答案：D类型三：二项展开式的有关应用：整除、不等式、近似值等问题 例3证明：(1)2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *；(2)证明：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．思路分析：对于二项式中的不等式，通过展开式，分析其中的特殊项，可以证明一些简单的不等式问题；对于整除问题同样如此，关键是把二项式拆成676的形式；对于比较麻烦的数列问题，我们经常采用的方法就是数学归纳法，本题也不例外．证明：(1)(1＋1n )n ＝1＋C 1n ·1n ＋C 2n (1n )2＋…≥2(当且仅当n ＝1时取等号)．当n ＝1时，(1＋1n)n＝2<3显然成立；当n≥2时，(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·1n 2＋…＋C nn ·1n n ＝2＋n(n －1)2！1n 2＋n(n －1)(n －2)3！1n 3＋…＋n(n －1)…2·1n ！1n n ＝2＋12！n n n －1n ＋13！n n n －1n n －2n ＋…＋1n ！n n n －1n …2n 1n <2＋12！＋13！＋…1n ！<2＋11×2＋12×3＋…＋1n(n －1)＝2＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝3－1n <3.综上所述：2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *.(2)当n ＝0，n ＝1时33n－26n －1＝0，显然33n－26n －1可被676整除．当n≥2时，33n－26n －1＝27n－26n －1＝(1＋26)n－26n －1＝1＋26n ＋C 2n ·262＋…＋C nn ·26n－26n －1＝C 2n ·262＋C 3n ·263＋…＋C nn 26n＝676(C 2n ＋26C 3n ＋…＋26n －2C nn)．综上所述：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．点评：用二项式定理解决整除问题是二项式定理的一大特色，这是二项展开式的一种基本应用，通过对二项式的拆解，我们可以解决一些看似很难但易解决的问题．【巩固练习】已知m ，n 是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x 的系数为7，(1)试求f(x)中的x 2的系数的最小值；(2)对于使f(x)中的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数； (3)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)． 解：根据题意得：C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7.(*)(1)x 2的系数为C 2m＋C 2n＝m(m －1)2＋n(n －1)2＝m 2＋n 2－m －n2.将(*)变形为n ＝7－m 代入上式得：x 2的系数为m 2－7m ＋21＝(m －72)2＋354.故当m ＝3或4时，x 2的系数的最小值为9.(2)当m ＝3，n ＝4或m ＝4，n ＝3时，x 3的系数为C 33＋C 34＝5. (3)f(0.003)≈2.02.类型四：二项式系数的最大值、系数的最大值问题 例4求(x －1)9的展开式中系数最大的项．思路分析：二项式系数最大的项我们可以根据公式求解，但是系数最大的项怎么求呢？观察本题中二项式系数与系数之间的关系，我们发现它们只不过相差一个负号而已，所以可以通过二项式系数的大小反映系数的大小，只不过要注意正负号．解：T r ＋1＝(－1)r C r 9x 9－r .∵C 49＝C 59＝126，而(－1)4＝1，(－1)5＝－1，∴T 5＝126x 5是所求系数最大的项．点评：此类问题仍然是利用二项展开式的通项公式来求解，但在解题过程中要注意一些常用方法和数学思想的应用．【巩固练习】 求(x ＋124x)8展开式中系数最大的项．解：记第r 项系数为T r ，设第k 项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧T k ≥T k －1，T k ≥T k ＋1，又T r ＝C r －182－r ＋1，那么有⎩⎪⎨⎪⎧C k －182－k ＋1≥C k －282－k ＋2，C k －182－k ＋1≥C k 82－k，即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！(9－k)！≥8！(k －2)！(10－k)！×2，8！(k －1)！(9－k)！×2≥8！k ！(8－k)！，∴⎩⎪⎨⎪⎧1k －1≥2k －2，29－k ≥1k .解得3≤k≤4，∴系数最大的项为第3项T 3＝7x 52和第4项T 4＝7x 72.类型五：二项式系数之和、系数之和等问题例5若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值等于__________；思路分析：注意到与系数的和差有关，所以可以用赋值法求得奇数项的系数之和与偶数项的系数之和，注意使用平方差公式．解：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4，由此可得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝[(3＋2)(3－2)]4＝1.点评：在二项式系数的性质应用中，尤其是系数和的问题，我们经常使用赋值法，这是一种奇妙的方法，可以帮助我们在不用计算每一个系数的前提下，求出各个系数的和．【巩固练习】已知(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 求(1)a 0＋a 1＋…＋a 7的值；(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6及a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值； (3)各项二项式系数和．解：(1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 7＝－1.(2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝2 187. 则a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094；a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093. (3)各项二项式系数和C 07＋C 17＋…＋C 77＝27＝128. 【拓展实例】例1(1＋3x)6(1＋14x)10的展开式中的常数项为( )A ．1B ．46C ．4 245D ．4 246思路分析：对于非一般的二项式问题，要注意转化成二项式问题解决．本题虽然有两个式子相乘，只要我们写出整个式子的通项，令指数为0，即可求得常数项．解：先求(1＋3x)6的展开式中的通项．T r ＋1＝C r 6(x 13)r ＝C r 6x r3，r ＝0,1,2,3,4,5,6.再求(1＋14x )10的展开式中的通项．T k ＋1＝C k10(x －14)k ＝C k 10x －k 4，k ＝0,1,2,3,4，…，10.两通项相乘得：C r 6x r 3C k10x －k 4＝C r 6C k 10x r 3－k 4，令r 3－k 4＝0，得4r ＝3k ，这样一来，(r ，k)只有三组：(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．故常数项为：1＋C 36C 410＋C 66C 810＝4 246.点评：对于乘积的式子或者三项的式子的展开问题，我们可以通过化归思想，将其转化成二项展开式问题．要注意本题中，常数项的位置有三处．【巩固练习】已知(1＋x ＋x 2)(x ＋1x 3)n 的展开式中没有．．常数项，n∈N *，且2≤n≤8，则n ＝______. 解析：依题意(x ＋1x 3)n ，对n∈N *，且2≤n≤8中，只有n ＝5时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x 、x 2乘积为常数的项．故填5.答案：5 【变练演编】(1)对于9100你能编出什么样的整除问题？ 如9100被________整除的余数是________．(2)(2x 2－1x )6的展开式中的常数项是第____________项，整数项是第______________项，x 的最高次项是第______________项，二项式系数之和是______________，系数之和是______________．将你能得到的所有正确的答案一一列举出来．答案：(1)这是一个开放性的问题，学生可以有多种答案，比如说9100被8整除的余数是1,9100被80整除的余数是1等等．(2)T r ＋1＝C r6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r .依题意12－3r ＝0，解得r ＝4，所以常数项是第5项；整数项是第1,2,3,4,5项；x 的最高次项是第1项；二项式系数之和为64；系数之和为1.设计意图：变练演编——这种开放性的设计，能够有效地提高学生学习的积极性，使得编题不仅仅是老师的专利，学生在编题解题的过程中，领悟知识，提高能力，增长兴趣，增强信心，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维，最终提高学生的数学成绩．【达标检测】1)12展开式中的常数项为( )1．(x－3xA．－1 320 B．1 320 C．－220 D．2202．(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是( )A．－4 B．－3 C．3 D．43．若(1－2x)2 005＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 005x2 005(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 005)＝________(用数字作答)．答案：1.C 2.B 3.2 003反考老师：即由学生出题，教师现场解答(约8分钟)．(活动设计：请学生到黑板板书题目，要求别太烦琐，且与本节习题课内容相符．一般不多于3道题，教师尽可能全部解答，具体解答数目视题目难度和时间而定．教师要边做边讲，以向学生现场展示解题思路的发现过程和解题能力．做完后，请学生给“阅卷”)课堂小结活动设计：先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络，思想方法，解题规律等．活动成果：(板书)1．知识收获：二项式定理、二项展开式、二项式系数的性质．2．方法收获：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．3．思维收获：合作意识，创新精神，增加了学习数学的积极性，提升学习数学的兴趣．设计意图：通过学生自己总结所学、所识、所想，不但能充分体现新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁”精神，真正体现了学生的主体地位．不仅可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！补充练习【基础练习】1．计算1－3C 1n ＋9C 2n －27C 3n ＋…＋(－1)n 3n C nn . 2．(x ＋1x －2)3的展开式中，常数项是________．3．已知(3x －13x2)n ，n∈N *的展开式中各项系数和为128，则展开式中1x3的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－21 4．求(x －13x)10的展开式中有理项共有________项．1．解：原式＝C 0n ＋C 1n (－3)1＋C 2n (－3)2＋C 3n (－3)3＋…＋C 3n (－3)n＝(1－3)n＝(－2)n. 2．解析：(x ＋1x －2)3＝[(x －1)2x ]3＝(x －1)6x 3. 上述式子展开后常数项只有一项C 36x3－13x3，即－20.3．解析：由已知条件可得：(3－1)n＝128，n ＝7. ∵T r ＋1＝(－1)r C r7(3x)7－r(13x2)r ＝(－1)r C r 737－rx7－53r.令7－5r3＝－3，则有：r ＝6.所以二项展开式中1x 3的系数是：T 7＝(－1)6C 6737－6＝21，故选C.4．解析：∵T r ＋1＝C r10(x)10－r(－13x)r ＝C r 10(－1)rx5－56r.∴当r ＝0,6时，所对应的项是有理项．故展开式中有理项有2项． 【拓展练习】5．已知(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中，x 8的系数小于120，则k ＝____________. 6．设n∈N ，则C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝____________.5．解析：(1＋kx 2)6按二项式定理展开的通项为T r ＋1＝C r 6(kx 2)r ＝C r 6k r x 2r，我们知道x 8的系数为C 46k 4＝15k 4，即15k 4<120，也即k 4<8，而k 是正整数，故k 只能取1.6．解：C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝16C 0n ＋C 1n ＋C 2n 6＋…＋C n n 6n －1－16C 0n ＝16(C 0n ＋C 1n 6＋C 2n 62＋…＋C n n 6n －1)＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n －1)．设计说明二项式定理的内容，是各地高考中经常要考查的内容之一，其形式主要是选择题和填空题，题型往往相对稳定，思路方法常常是利用二项展开式的通项公式、二项式系数的有关性质等．常见的二项式问题有：求二项展开式中某一项或某一项的系数，求所有项系数的和或奇(偶)数项系数和，求展开式的项数，求常数项，求近似值，证明不等式等．实际教学的过程中，要努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生发挥其创造意识，以使他们能在创造的氛围中学习．二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式．二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系．掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习、深化作用，又可以为进一步学习概率统计做好必要的知识储备．所以有必要掌握好二项式定理的相关内容．备课资料 二项式定理 同步练习选择题1．已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，那么n 等于( )A ．14B ．12C ．13D ．15 2．C 0n ＋3C 1n ＋9C 2n …＋3n C nn 的值等于( )A ．4nB ．3·4nC.4n3－1 D .4n－133．C 111＋C 311＋…＋C 911的值为( )A ．2 048B ．1 024C ．1 023D ．5124．(x ＋1)(2x ＋1)(3x ＋1)……(nx＋1)展开式中x 的一次项系数为( )A ．C n －1nB ．C 2nC ．C 2n ＋1D ．不能用组合数表示5．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 2n x 2n ，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n 等于 …( )A ．22nB ．3n C.3n －12 D.3n ＋12 6．若n 是正奇数，则7n ＋C 1n 7n －1＋C 2n 7n －2＋…C n －1n 7被9除的余数为( ) A ．2 B ．5 C ．7 D ．87．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10展开式中x 4的系数为( )A ．C 511B ．C 411 C ．C 510D ．C 410填空题8．(a ＋b)n 展开式中第r 项为__________．9．11100－1的末位连续零的个数为__________．参考答案1．A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A5．提示：令x ＝1即可．8．T r ＝C r －1n an ＋1－r b r －1 9．3。
2019-2020年高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理教案新人教A版选修
2019-2020年高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理教案新人教A版选修一、教学目标1.知识与技能：(1) 能利用计数原理证明二项式定理；(2) 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
2. 过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,体会从特殊到一般的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳，然后证明，最后再应用的思想意识。
3. 情感、态度与价值观：通过本节课的学习，可以培养学生观察、分析、归纳、总结的能力。
二、教学重点、难点重点：二项式定理；难点：二项式定理的应。
三、教具：白板四、课型：新课五、教学过程一）新课提问引入课题1、分类计数加法原理与分布乘法计数原理；2、组合与组合数3、今天是星期五，再过7天、15天、810天的那一天分别是星期几？二）讲授新课1、探究发现二项式定理研究的是的展开式，如：那么的展开式是什么？探究一：+⨯⨯⨯=++abba⨯abab从上述过程可以看出是2个相乘，根据多项式的乘法法则，每个在相乘是由两种选择，选或选，而且每个中的或选定后，才能得到展开式的一项。
根据分布乘法计数原理，在合并同类项前展开式共有项，合并后共有3项，分别为。
①对于项，是由2个都不选得到的，所以出现的次数相当于2个从取0个的组合数，即的系数为②对于项，是由1个选，1个选得到的，由于选定后，的选法也随之确定，所以出现的次数相当于从2个中取1个的组合数，即的系数为；③对于项，是由2个都选得到的，相当于从取2个取2个的组合数，即的系数为。
所以222122022)(b C ab C a C b a ++=+探究二：引导学生模仿上述过程推出，的展开式归纳总结：222122022)(b C ab C a C b a ++=+3332232133033)(b C ab C b a C a C b a +++=+44433422243144044)(b C ab C b a C b a C a C b a ++++=+ 分析：展开整理后共有3项，分别为，系数为；展开整理后共有4项，32233,,,)(b ab b a a b a 展开整理后的项分别为+系数为；展开整理后共有5项，4322344,,,,)(b ab b a b a a b a 展开整理后的项分别为+系数为。
高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理学案含解析
1．3.1 二项式定理问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a ＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项．若都选a，则得C04a4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得C14a3b；若有两个选b，其余两个选a，则得C24a2b2；若都选b，则得C44a0b4.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.二项式定理及其相关概念1．二项展开式的特点(1)展开式共有n＋1项．(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n.(3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2．二项展开式的通项公式的特点(1)它表示(a ＋b )n 的展开式的第k ＋1项，该项的二项式系数为C kn . (2)字母b 的次数与二项式系数的组合数的上标相同． (3)a 和b 的次数之和为n .(1)求(x ＋(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .(1)(x ＋2y )4＝C 04x 4＋C 14x 3(2y )＋C 24x 2(2y )2＋C 34x ·(2y )3＋C 44(2y )4＝x 4＋8x 3y ＋24x 2y 2＋32xy 3＋16y 4.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝n＝x n.1．(a ＋b )n的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．1．求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 24的展开式． 解：法一：⎝⎛⎭⎪⎫2x －32x 24＝C 04(2x )4＋C 14(2x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋C 24(2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 22＋C 34(2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 24＝16x 4－48x ＋54x 2－27x 5＋8116x 8.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 3－32x 24＝116x 8(4x 3－3)4＝116x 8＝16x 4－48x ＋54x 2－27x 5＋8116x 8. 2．化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．解：原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－C 55＝5－1＝x 5－1.(1)在⎝⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项(2)(浙江高考)设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. (1)T k ＋1＝C k20(32x )20－k⎝⎛⎭⎪⎫－12k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k ·(32)20－k C k 20·x 20－k. ∵系数为有理数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k与2203k －均为有理数，∴k 能被2整除，且20－k 能被3整除． 故k 为偶数，20－k 是3的倍数，0≤k ≤20， ∴k ＝2,8,14,20.(2)T k ＋1＝C k5(x )5－k⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x k＝C k 5(－1)kx5526k－，令52－5k 6＝0，得k ＝3，所以A ＝－C 35＝－10. (1)A (2)－101．在通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k(n ∈N *，k ＝0,1,2,3，…，n )中含有a ，b ，n ，k ，T k ＋1五个量，只要知道其中4个量，便可求出第5个量．在运用二项式定理解决展开式中的项或项的系数的一些问题时，常涉及这5个量的求解问题．这通常是化归为方程的问题来解决．2．对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；而对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好是整数的项．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求展开式中所有的有理项．解：通项公式为T k ＋1＝C k n x 3n k － (－3)kx3k －＝C k n(－3)kx3n k －.(1)∵第6项为常数项， ∴k ＝5时，有n －2k3＝0，即n ＝10.(2)根据通项公式，由题意得⎩⎨⎧10－2k3∈Z ，k ≤10，k ∈Z.令10－2k 3＝r (r ∈Z)，则10－2k ＝3r ，即k ＝5－32r .∵k ∈Z ，∴r 应为偶数．于是r 可取2,0，－2，即k 可取2,5,8.故第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为 C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x －2.在⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项．法一：利用二项式的展开式解决．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 18(2x 2)7·13x ＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 3＋C 48(2x 2)4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8， 则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数为C 48·24＝1 120.(2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6＝112x 2. 法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T 5＝C 48·(2x 2)8－4·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 4＝C 48·24·x 203，则第5项的二项式系数是C 48＝70，第5项的系数是C 48·24＝1 120.(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝112x 2.1．本例第(2)问也可转化为求另一二项展开式的某些项，即在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8展开式中的倒数第3项就是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x －2x 28展开式中第3项，T 3＝C 28·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8－2·(－2x 2)2＝112x 2.2．要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C kn ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．1．(全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案) 解析：(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝25－r ·C r5·x 5－r 2. 令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.答案：102．(山东高考)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________. 解析：T r ＋1＝C r5·(ax 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－rx 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.答案：－22.二项式定理破解三项式问题求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项．法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25 ＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5.其中为常数项的有：C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项：C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2； C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5.综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322.法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x5·5＝132x5·(x ＋2)10. 求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5.所以所求的常数项为C 5102532＝6322.解决三项式问题有两种方法：方法一，反复利用二项式定理，先把三项式中的某两项视为一项，用二项式定理展开，然后再利用二项展开式求解．方法二，转化为二项式．转化为二项式常见的有两种形式：三项式恰好是二项式的平方，则可转化为二项式定理求解，三项式可分解因式，则转化为两个二项式的积的形式．利用二项式定理求特定项，注意下列题型的变化．⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．12解析：选C 根据题意，所给式子的展开式中含x 的项有(1－x )4展开式中的常数项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的x 以及(1－x )4展开式中的含x 2的项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的2x 两部分，所以所求系数为1×2＋1＝3，故选C.在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是( ) A ．－15 B ．85 C ．－120D ．274解析：选A 根据分类加法、分步乘法计数原理，得－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4＝－15x 4， 所以原式的展开式中，含x 4的项的系数为－15.在(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中，x 2的系数是________．(用数字作答) 解析：法一(转化为二项式定理解决)：(1＋x )2，(1＋x )3，…，(1＋x )6中x 2的系数分别为C 22，C 23，…，C 26，所以原式的展开式中，x 2的系数为C 22＋C 23＋…＋C 26＝C 33＋C 23＋…＋C 26＝C 34＋C 24＋…＋C 26＝…＝C 37＝35.法二(利用数列求和方法解决)：由题意知1＋x ≠0，原式＝＋x7－＋xx，故只需求(1＋x )7中x 3的系数， 即(1＋x )7的展开式中第4项的系数， 即C 37＝35. 答案：351．在(x －3)10的展开式中，含x 6的项的系数是( ) A ．－27C 610 B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 410解析：选D 含x 6的项是T 5＝C 410x 6(－3)4＝9C 410x 6. 2．(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．168解析：选D (1＋x )8的展开式中x 2的系数为C 28，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为C 24，所以x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.3．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．解析：由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝C 36(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.答案：－160x 34.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．解析：T k ＋1＝C k9·(x 2)9－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212.答案：84 －2125．求⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第3项的系数和常数项．解：T 3＝C 25(x 3)3⎝⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第3项的系数为C 25·49＝409.通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.一、选择题1．二项式(a ＋b )2n的展开式的项数是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2(n ＋1)解析：选B 根据二项式定理可知，展开式共有2n ＋1项．2．化简多项式(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1的结果是( )A ．(2x ＋2)5B ．2x 5C ．(2x －1)5D ．32x 5解析：选D 原式＝5＝(2x )5＝32x 5.3．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项D ．6项解析：选C T k ＋1＝C k24·x 24－k 2·x －k 3＝C k 24·x 12－56k ，则k ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数为整数．4．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( )A ．3B ．5C ．8D ．10解析：选B T k ＋1＝C kn (2x 3)n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2k ＝2n －k ·C k n x 3n －5k .令3n －5k ＝0，∵0≤k ≤n ， ∴n 的最小值为5.5．对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 3n (n ∈N *)，有以下四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项； ②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项； ③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项； ④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项． 其中正确的是( ) A ．①与③ B ．②与③ C ．②与④D ．①与④解析：选D 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 3n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n，由通项公式可知，当n ＝4k (k ∈N *)和n ＝4k －1(k ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项．二、填空题6．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是________． 解析：由{ T 2>T 1，T 2>T 3，得{ C 162x >1，162x >C 26x2.解得112<x <15.答案：⎝⎛⎭⎪⎫112，157．(1＋x ＋x 2)(1－x )10的展开式中含x 4的项的系数为________．解析：因为(1＋x ＋x 2)(1－x )10＝(1＋x ＋x 2)(1－x )·(1－x )9＝(1－x 3)(1－x )9， 所以展开式中含x 4的项的系数为1×C 49(－1)4＋(－1)×C 19(－1)＝135.答案：1358．230＋3除以7的余数是________．解析：230＋3＝(23)10＋3＝810＋3＝(7＋1)10＋3＝C 010·710＋C 110·79＋…＋C 910·7＋C 1010＋3＝7×(C 010·79＋C 110·78＋…＋C 910)＋4，所以230＋3除以7的余数为4.答案：4 三、解答题9．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．解：T 5＝C 4n (x )n －424x －8＝16C 4n xn －202，T 3＝C 2n (x )n －222x －4＝4C 2n x n －102.由题意知，16C 4n 4C 2n ＝563，解得n ＝10.T k ＋1＝C k 10(x )10－k 2k x －2k ＝2k C k10x 10－5k2， 令5－5k2＝0，解得k ＝2.∴展开式中的常数项为C 21022＝180.10．在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．解：(1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240. (2)T k ＋1＝C k6(2x )6－k⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k.令3－k ＝2，得k ＝1. 所以含x 2的项为第2项， 且T 2＝－192x 2.11．已知在⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n 的展开式中，第9项为常数项．求： (1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数；(3)含x 的整数次幂的项的个数．解：二项展开式的通项为T k ＋1＝C kn ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C k n x 522n k －. (1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10. (2)令2n －52k ＝5，得k ＝25(2n －5)＝6， 所以x 5的系数为(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 610＝1058. (3)要使2n －52k ，即40－5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．。
2019_2020学年高中数学第1章计数原理1.3.1二项式定理课件新人教B版选修2_3
3．(1)在(1－x3)(1＋x)10 的展开式中，x5 的系数是________．
(2)若x－
a6
x2
展开式的常数项为
60，则常数
a
的值为________．
【解析】 (1)x5 应是(1＋x)10 中含 x5 项、含 x2 项分别与 1，－x3 相乘 的结果，
∴其系数为 C510＋C210(－1)＝207.
二项式系数 各项系数_C__rn _(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数
二项式通项 Crnan－rbr 是展开式中的第 r＋1项，可记做 Tr＋1＝Crnan－rbr(其 中 0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)
二项展开式 C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N＋)
(2)x－
a6
x2
的展开式的通项是
Tr＋1＝C6rx6－r·(－ a)rx－2r＝Cr6x6－3r(－ a)r，令 6－3r＝0，得 r＝2，即
当 r＝2 时，Tr＋1 为常数项，即常数项是 C26a，
根据已知得 C26a＝60，解得 a＝4.
【答案】 (1)207 (2)4
当堂达标 固双基
第一章 计数原理
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
学习目标：1Leabharlann 会证明二项式定理．(难点)2.掌握二项式定理及其展开式 的通项公式．(重点)
自主预习 探新知
教材整理 二项式定理
阅读教材 P26～P27 例 1 以上部分，完成下列问题． 二项式定理及相关的概念
概念
二项式定理 公式(a＋b)n＝_C_0n_a_n_＋__C_1n_a_n_－_1_b_＋__C_2n_a_n_－_2_b_2_＋__…__＋__C_rn_a_n_－_r_b_r _ _＋__…__＋__C_nn_b_n(_n_∈__N_＋_)__称为二项式定理
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理课堂探究教案新人教B版选修
1.3.1 二项式定理课堂探究探究一 二项式定理的应用形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理直接展开，对于形式较复杂的二项式，在展开之前可以根据二项式的结构特点，进行必要的变形，然后再展开，以使运算得到简化．记准记熟二项式(a ＋b )n的展开式是解答与二项式定理有关问题的前提．逆用二项式定理，要注意分析其结构特点，a 的指数是从高到低，b 的指数是从低到高，且a ，b 的指数和等于二项式的次数n ，正负相间是(a －b )n的形式．指数不满足时可通过乘(或除)某项来调整，缺项时通常需添加项来凑结构形式．【典型例题1】 求⎝⎛⎭⎪⎫2x －32x 25的展开式．思路分析：对一个二项式进行展开时，可以利用二项式定理直接展开，也可以先化简，再展开．解：(直接利用二项式定理展开)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋C 25(2x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 22＋C 35(2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 23＋C 45(2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 24＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10. 探究二 二项展开式中特定项的求法求二项展开式的特定项问题实质是考查通项T r ＋1＝C r n an －r b r的特点，一般需要建立方程求r ，再将r 的值代回求解，注意r 的取值范围(r ∈{0,1，…，n })．求二项展开式的特定项的三种常见类型分别为：(1)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为零建立方程； (2)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程；(3)第m 项：此时r ＋1＝m ，直接代入通项．特定项的次数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．【典型例题2】 若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列．求： (1)展开式中含x 的一次幂的项； (2)展开式里所有x 的有理项； (3)展开式中系数最大的项．思路分析：首先应根据题意，得到关于n 的方程，解得n 的值，然后根据题目的要求解答每一问．这三问都与二项展开式的通项公式有关，通项为T r ＋1＝C r n ·(x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r. 解：由已知条件知： C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12，解得n ＝8(n ＝1舍去)．(1)T r ＋1＝C r8·(x )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r ＝C r 8·2－r·x 4－34r .令4－34r ＝1，解得r ＝4.所以x 的一次幂的项为T 4＋1＝C 48·2－4·x ＝358x . (2)令4－34r ∈Z ，且0≤r ≤8，所以r ＝0,4,8.因此，有理项为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x2. (3)记第r 项系数为t r ，设第k 项系数最大，则有t k ≥t k ＋1，且t k ≥t k －1. 又t r ＝C r －18·2－r ＋1，于是有⎩⎪⎨⎪⎧C k －18·2－k ＋1≥C k8·2－k，C k －18·2－k ＋1≥C k －28·2－k ＋2.即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！·(9－k )！×2≥8！k ！(8－k )！，8！(k －1)！·(9－k )！≥8！(k －2)！·(10－k )！×2.所以⎩⎪⎨⎪⎧29－k ≥1k，1k －1≥210－k .解得3≤k ≤4.所以系数最大项为第三项和第四项，分别为T 3＝7x 52，T 4＝7x 74.探究三 易错辨析易错点：对二项式定理理解不透造成错误【典型例题3】 求⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x－15展开式的常数项．错解：因为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x－15＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －15，所以展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5－r ·(－1)r.而⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5－r的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 5－r ·x5－r －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 5－r ·x 5－r －2k. 令5－r －2k ＝0，即r ＋2k ＝5，且0≤r ≤5,0≤k ≤5－r .则有⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，k ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，k ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，k ＝0.所以常数项为C 15·C 24·(－1)1，C 35·C 12·(－1)3和C 55·C 00·(－1)5，即－30和－20和－1. 错因分析：错解中有两处错误：一是出现了C 00这个无意义的组合数，这是解题不严密造成的，在考虑⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5－r的展开式时，用的是二项式定理，但没有注意二项式定理只对两项和的正整数次幂适用，当r ＝5时，5－r ＝0，此种特殊情况应特殊处理；二是对概念的理解错误，一个展开式中常数项只能有一个，不可能出现两个或两个以上的常数项．正解：因为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x－15＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －15，所以展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5－r ·(－1)r(0≤r ≤5)．当r ＝5时，T 6＝C 55·(－1)5＝－1；当0≤r ＜5时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5－r 的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5－r ·x 5－r －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1xk ＝C k 5－r ·x5－r －2k(0≤k ≤5－r )．因为0≤r ＜5，且r ＋2k ＝5，r ∈Z ，所以r 只能取1或3，此时相应的k 值分别为2或1， 即12r k ⎧⎨⎩＝，＝或31.r k ⎧⎨⎩＝，＝ 所以常数项为C 15·C 24·(－1)1＋C 35·C 12·(－1)3＋(－1)＝－51.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理课件新人教B版选修230829230
x (- 3)r,
4 6
4 6
∴r=4.∴T5=C10
x (- 3)4=9C10
x.
答案(dáàn):D
第十三页，共16页。
)
1
2
3
4
5
3.设P=1+5(x+1)+10(x+1)2+10(x+1)3+5(x+1)4+(x+1)5,则P等于
(děngyú)(
)
A.x5
B.(x+2)5
1
· ,得
2
T4+1=C84
·2
3
(2)令 4- r∈Z(0≤r≤8),则 r=0,4,8,
4
1
35
4
有理项为 T1=x ,T5= 8 x,T9=2562 .
第十页，共16页。
35
-4
x= x.
8
题型一
题型二
(3)设第 k 项的系数 tk 最大,
则有 tk≥tk+1,且 tk≥tk-1,于是
-1
)
+ C4
12
1
2
=81x +108x+54+ + 2 .
1 4
(3+1)4
解法二 3 + = 2
1
=2 [C40 (3x)4+C41 (3x)3·1+C42 (3x)2·12+C43 (3x)·13+C44
2
C43 (3
·1
108x3+54x2++1)
12
1
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理堂堂清(无答案)新人教A版选修2-3(2
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1.3.1 二项式定理(堂堂清）一、选择题1. 二项式（a＋b）2n的展开式的项数是（）A. 2n B。
2n＋1C。
2n－1 D。
2(n＋1)2. 在（x－)10的展开式中，x6的系数是( )A。
B. C. D。
3。
的展开式中x的系数是（ )A。
－4 B. －2 C. 2 D. 44. 在的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是( )A. 3B. 5C. 8D. 105. 在（1－x3)(1＋x）10的展开式中x5的系数是（ )A。
－297 B.－252 C。
297 D。
2076。
在的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是（）A。
3 B. 4 C。
5 D。
67。
（x∈R）展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A。
－1 B。
C. 1 D。
28.若（1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( ） A.B 。
C. D 。
二、填空题9、()632b a +的展开式的第3项___________。
10。
()732x x +的展开式的第4项的二项式系数__________。
2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理课件新人教A版选修2_3
(1)求二项展开式特定项的步骤
(2)正确区分二项式系数与该项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指 数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及 项数均有关．
1.二项式2
x－1x6的展开式中第 6 项的二项式系数和第 6 项的系
数分别为________，________. 解析：由已知得二项展开式的通项为
1.S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则 S 等于( )
A．x4
B．x4＋1
C．(x－2)4
D．x4＋4
解析：选 A．S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝C04(x －1)4＋C14(x－1)3＋C24(x－1)2＋C34(x－1)＋C44＝[(x－1)＋1]4＝x4， 故选 A．
1.[变问法]在本例条件下，求二项展开式的常数项.
9－3r
解：因为 Tr＋1＝(－2)rCr9x 2 ，若 Tr＋1 为常数项，则 9－3r＝0， 所以 r＝3，因此常数项为第 4 项(－2)3C39＝－672.
2.[变问法]在本例条件下，求二项展开式的所有有理项.
9－3r
解：因为 Tr＋1＝(－2)rCr9x 2 ， 若 Tr＋1 为有理项，当且仅当9－23r为整数. 因为 0≤r≤9，r∈N，所以 r＝1，3，5，7，9， 即展开式中的有理项共 5 项，它们是 T2＝－18x3，T4＝－672， T6＝－4 x0332，T8＝－4 x6608，T10＝－5x192.
B．－80
C．40
D．－40
答案：C
(1＋2x)5 的展开式的第三项的系数为________，第三项的二项 式系数为________.
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2019-2020年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1课时达标训练新人教A版选修1.的展开式共有11项,则n等于( )A.9B.10C.11D.8【解析】选B.的展开式共有n+1项,所以n+1=11,故n=10.2.(y-2x)8展开式中的第6项的二项式系数为( )A. B.(-2)5C. D.(-2)6【解析】选C.第6项的二项式系数为.3.(x+2)6的展开式中x3的系数是( )A.20B.40C.80D.160【解析】选D.设含x3的为第r+1,则T r+1=x6-r·2r,令6-r=3,得r=3,故展开式中x3的系数为·23=160.4.若的展开式中x3的系数是-84,则a的值为________.【解析】展开式的通项为T r+1=x9-r(-a)r=·(-a)r x9-2r(0≤r≤9,r∈N),当9-2r=3时,解得r=3,代入得x3的系数,根据题意得(-a)3=-84,解得a=1.答案:15.(1+)7展开式中有理项的项数有________个.【解析】通项T k+1=()k=,当k=0,2,4,6时,均为有理项,故有理项的项数为4个.答案:46.求的展开式中的常数项.【解析】展开式的通项T r+1=(r=0,1,2,…,9)=··(-1)r··由9-r=,得r=6,所以展开式的常数项为第7项.T6+1==.2019-2020年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2二项式定理2课后导练新人教A版选修基础达标1.（0.998）5精确到0.001的近似值为______________.解析：(0.998)5=(1-0.002)5答案：0.9902.今天是星期四，再过260天后的第一天是星期______________.解析：260=820=（7+1）20答案：六3.7100被36除所得的余数是______________.解析：7100=（6+1）100=6100+699+…+62+6+，只须求6+1被36除余几.答案：254.(湖北高考，14)()5的展开式中整理后的常数项为____________.解析：由()5=()10，设常数项为T r+1=()10-r()r.据题意令10-2r=0，即r=5.故常数项为T6=.5.若n为正奇数，则7n+7n-1+7n-2+…+7被9除的余数是( )A.0B.2C.7D.8解析：原式=7n+7n-1+7n-2+…+·7+1-1=(7+1)n-1=8n-1=(9-1)n-1=·9n-9n-1+…+·9·(-1)n-1+（-1）n-1=9n-·9n-1+…+·9-2(n为正奇数)，所以被9除，余数为7.答案：C综合运用6.据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“xx年国内生产总值达到95 933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十·五”期间（xx年-xx年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为( )A.115 000亿元B.120 000亿元 C .127 000亿元 D.135 000亿元解析：设到“十·五”末我国国内年生产总值为A，由复利公式或等比数列通项公式，得A=95 933(1+7.3%)4≈95 933(1+4×0.073+6×0.0732)≈127 000亿元.故选C.7.0.9910的小数点后第1位数字为n1，第2位数字为n2,第3位数字为n3，则n1,n2,n3分别为( )A.9，4，0B.9，0，4C.9，2，0D.9，0，2解析：0.9910=(1-0.01)10=1-10×0.01+45×(0.01)2-…=1-0.1+0.004 5-…=0.9+0.004 5-…故选B.8.1-2+4-8+16-…+(-1)n ·2n等于( )A.1B.-1C.±1D.（-1）n解析：原式=（1-2）n =(-1)n选D.9.已知（x+m ）2n+1与(mx+1)2n （n∈N *，m≠0）的展开式中含x n 项的系数相等，求实数m 的取值范围.解析：设(x+m)2n+1的展开式通项公式为T r+1=x 2n+1-r .m r ，令2n+1-r=n得r=n+1.故此展开式中，x n 项的系数为·m n +1由题意知：·m n+1=·m n ，∴)m 是n 的减函数.∵n∈N *，∴m＞，又当n=1时，m=，∴＜m≤.故m 的取值范围是［,］拓展探究10.已知数列{a n }满足S n =(n∈N *)，S n 是{a n }的前n 项的和，并且a 2=1.(1)求数列{a n }的前n 项的和；（2）证明：≤()a n+1＜2.解析：（1）由题意S n =a n ，得S n+1=a n+1.两式相减得2a n+1=(n+1)a n+1-na n ,即（n-1）a n+1=na n .所以（n+1）a n+1=na n+2.再相加2na n+1=na n+n a n+2，即2a n+1=a n +a n+2.所以数列{a n }是等差数列.又∵a 1=a 1,∴a 1=0.又a 2=1,∴a n =n-1.所以数列{a n }的前n 项的和为S n =a n =.（2）(1+)a n+1=(1+)n =)21()21()21(212210nn n r r n n n n n C n C n C n C C ++++++ . ∵r r r r rn n r r n n n n C 21!)1()1(21)21(<+--∙= (r=1,2,…,n), ∴(1+)n ＜1+211)21(12141211--=++++n n =2-()n＜2而(1+)n ≥+·,∴＜2.备选习题11.农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.xx 年某地区农民人均收入为3 150元（其中工资性收入为1 800元，其它收入为1 350元），预计该地区自xx 年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元.根据以上数据，xx 年该地区农民人均收入介于( )A.4 200元—4 400元B.4 400元—4 600元C.4 600元—4 800元D.4 800元—5 000元解析：在处理与二项式高次幂有关的近似估值问题时，可运用二项式定理将其展开，经简略计算去解决估值问题.xx 年农民工资性人均收入为1 800（1+0.06）5≈1 800（1+×0.06+×0.062）= 1 800（1+0.3+0.036）=1 800×1.336≈2 405;又xx 年农民其它人均收入为1 350+160×5=2 150故xx 年农民人均总收入约为2 405+2 150=4 555（元）.故选B.12.已知函数f(x)=，证明：对于任意不小于3的自然数n ，f(n)＞.证明：若直接运用二项式定理或数学归纲法去证明困难都大，故应另辟解题蹊径，将其转化为熟悉命题：f(n)＞＞2n ＞2n+1(n≥3,n∈N ),再证明就容易了.2n =(1+1)n =1+++…++＞2n+1.∵n≥3，展开至少有4项，故原命题获证.13.（经典回放）某地现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？解析：设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷，依题意得≥(1+10%)，化简得，x≤，即x≤1 000-1 000××1.0110.而（1.01）10=(1+0.01)10=1+×0.01+×0.012+…≈1.104 5，所以x≤1 000-1 000××1.104 5＜1 000-996=4(公顷).答案：耕地平均每年至多只能减少4公顷.14.如果（ax+1）9与（x+2a ）8的展开式中x 3的系数相等，求a 的值，并求无穷等比数列1,a,a 2,a 3,…各项的和（其中a≠0）.解析：由已知得a 3= (2a)5，a≠0，解得a=±.当a=时，1+a+a 2+a 3+…=6138648311+=-； 当a=-时，1+a+a 2+a 3+…=6138648311-=+. 15.设数列{a n }是等比数列，a 1=，公比q 是(x+)4的展开式中的第二项（按x 的降幂排列）.（1）用n,x 表示通项a n 与前n 项和S n ；（2）若A n =,用n,x 表示A n .解析：(1)∵a 1=，∴即∴m=3.由(x+)4知T 2=x 3·=x,∴a n =x n-1,S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠--=,1,11,1,时时x xx x n n （2）当x=1时，S n =n ，A n =+2+3+…+n ，又∵A n =n+(n-1) +(n-2)+…+,=, =,…∴2A n =n(++…+)=n·2n ,∴A n =n·2n-1.当x≠1时，S n =.=--++--+--+--=n n nn n n n C xx C x x C x x C x x A 1111111133221 ［(++…+)-(x+x 2+…+x n )］=［2n -1-(1+x+x 2+x n -1)］=［2n -(1+x)n］. ∴A n =⎪⎩⎪⎨⎧≠-+-=∙-.1,1)1(2,1,21时时x x x x n n n n 16.求证：5151-1能被7整除.解析：5151-1=（49+2）51-1=(4951+4950×2+…+×49×250)+( ×251-1)然后再证251-1能被7整除.251-1=（7+1）17-1=…=7（·716+·715+…+）显然能被7整除.。