第三章函数及其图象_第15课_函数的应用课件

第14课 函数的应用
要点梳理
1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．
2．利用函数知识解应用题的一般步骤：
(1)设定实际问题中的变量； (2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次
函数或其他复合而成的函数式；
(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义； (4)利用函数的性质解决问题；
4．(2011· 河北)一小球被抛出后，距离地面的高度
h(米)和飞行时间t(秒)满足下面的函数关系式：
h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高 度是(
C
) B．5米 C．6米 D．7米
A．1米
解析：由关系式h＝－5(t－1)2＋6得，当t＝1时， h有最大值6.
5．(2010· 荷泽)某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变
表示物质的密度)，由图可知( B ) A．ρA>ρB>ρC，且ρC>ρ水 B．ρA>ρB>ρC，且ρA>ρ水
C．ρA<ρB<ρC，且ρC>ρ水 D．ρA<ρB<ρC，且ρA>ρ水 解析：∵密度ρ＝
质量 ＝ 体积
m ，由图象可知ρA>ρB>ρC， v
又ρA＝
，这里0.5<A<1，
100 ∴ρA>1000，即ρA>ρ水所以应选B. A
探究提高 根据图形特点，建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题转 化为数学问题．建立平面直角坐标系时，要尽量将图形放置于 特殊位置，这样便于解题．
知能迁移3
如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地
面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现 球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后
探究提高 问题中已经给出了基本数量关系，由此可确定函数关系式． 利用函数关系解题时，要理解已知数的意义，弄清已知数对应 的是自变量还是函数值，正确代入．
知能迁移2
人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中的司
机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变 窄，当车速为50 km/h时，视野为80度．如果视野f(度)是车速 v (km/h)的反比例函数，求f、v之间的关系式，并计算当车速 为100 km/h时视野的度数．
解法二：当8<x≤14时，y＝20(14－x)＝－20x＋280.
(3)
题型二
反比例函数相关应用题
【例2】 水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售 价格，进行了8天试销，试销情况如下：
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 第八天
售价x (元/千克)
销售量y (千克)
例函数 y＝ 3 图象上的点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、
x
y3的大小关系正确的是( A．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3
)A
B．y1＞y2＞y3 D．y3＞y2＞y1
解析：因为x3>0，则y3>0，又x1<x2<0，则y2<yபைடு நூலகம்<0，所以 y3>0>y1>y2.
3．A、B、C三种物质的质量与体积的关系如图所示(ρ
又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原
来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？(取4 3＝7) (3)运动员乙要抢到第二个
落点D，他应再向前跑多
少米？(取2 6＝5)
解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为y＝a(x－6)2＋4，
2
3
(3)若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指
出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？
解：由题意得Q＝x＋y＋z＝x＋ 120－1x＋60－ x＝180－ 1 x. 3 2 6 1 120－ x≥0， 2 ∴ 解得x≤90. (注：事实上0≤x≤90且x是6的整数 2 60－ 3 x≥0， 倍). 由一次函数的性质可知，当x＝90时，Q最小，此时按三
5 当P≤120时，V≥ . 4 5
题型分类 深度剖析
题型一 一次函数相关应用题 【例1】 某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板 材规格是60 cm×30 cm，B型板材规格是40 cm×30 cm.现只 能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材．一张标准板材尽可 能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：(图是裁法一 的裁剪示意图)
【例4】 我市某工艺厂为配合伦敦奥运，设计了一款成本为20元/
件的工艺品投入市场进行试销，得到如下数据：
销售单价x (元/件)
每天销售量 y(件) „„ 30 40 400 50 300 60 „„
„„ 500
200 „„
(1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在右面的平面直
角坐标系中描出相应的点，猜想y与x 的函数关系，并求出函数关系式；
时，气球内气体的气压P(kPa)是气球体积V的反比例函数，
其图象如图所示，当气球内的气压大于120 kPa时，气球将 爆炸，为了安全，气球的体积应该( C )
A．不小于 5 m3
4 C．不小于 4 m3 5
B．小于 5 m3
4 D．小于4 m3 5
解析：设P＝ k ，则k＝60×1.6＝96， V 96 . P＝ V 当P＝120时，V＝ 4 ，
基础自测
1．(2011· 南充)小明乘车从南充到成都，行车的平均速度 v(km/h)和行车时间t(h)之间的函数图象是( B )
解析：设南充到成都的路程为s(km)，则v＝ s (s>0)．函数图 象是双曲线分布于第一象限的一个分支．
t
2．(2011· 鸡西)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是反比
由已知得，x＝0时，y＝1， ∴1＝36a＋4，a＝－ 1 . 12 ∴抛物线的表达式为y＝－ 1 (x－6)2＋4. 12 (2)令y＝0，则－ 1 (x－6)2＋4＝0. 12 2＝48，x ＝4 ∴(x－6) 3＋6≈13，x2＝－4 1
＋6<0(舍去)， 3
∴足球第一次落地距守门员约13米．
(5)写出答案．
3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生 活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．
[难点正本 疑点清源]
1．理解实际问题与函数的关系，建立函数模型 函数是刻画现实世界运动变化和变量相依关系的重要数 学模型之一，它有着广泛的应用，国情国策、生产生活、 环保生态、商场经营、经济核算、规划策略等许多问题都 与函数有关．用函数的知识解决实际问题要注意对问题的 审读和理解，恰当地分析、整合信息，将已知条件转化为 相应的数学关系式．用函数的知识解决实际问题的关键是 将实际问题中的数量关系抽象、转化为数学问题，建立函
(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润 最大？最大利润是多少？(利润＝销售总价－成本总价)； (3)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件， 那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润 最大？ 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)画图，由图可猜想y是x的一次函数，设y＝kx＋b， ∵图象过(30,500)，(40,400)这两点， 500＝30k＋b, k＝－10, ∴ 解得 400＝40k＋b, b＝800, ∴y＝－10x＋800.
解：(1)解法一：设火车行驶的速度为v米/秒．
根据题意，得14v＝120＋160，解得v＝20.
解法二：(120＋160)÷14＝20. 答：火车行驶的速度为20米/秒．
(2)①当0≤x≤6，y＝20x；
②当6≤x≤8时，y＝120； ③解法一：当8<x≤14时，y＝120－(20x－160)＝－20x＋280；
A型板材块数 裁法一 裁法二 1 2 B型板材块数 2 m
裁法三
0
n
设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁
x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所裁
出的A、B两种型号的板材刚好够用． (1)上表中，m＝________，n＝________； 0 3 (2)分别求出y与x和z与x的函数关系式； 解：由题意得x＋2y＝240,2x＋3z＝180， ∴y＝120－ 1 x，z＝60－ 2 x.
(2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”
AD－DC－CB，使C、D点在抛物
线上，A、B点在地面OM上，则 这 个“支撑架”总长的最大值是 多少？
解：(1)M点的坐标为(12,0)，顶点P的坐标为(6,6)． (2)设抛物线为y＝a(x－6)2＋6， ∵抛物线y＝a(x－6)2＋6经过点(0,0)． ∴0＝a(0－6)2＋6, 36a＝－6，a＝－ 1 . 6 1 (x－6)2＋6＝－ 1 x2＋2x. ∴抛物线解析式为：y＝－ 6 6 (3)设A(m,0)，则B(12－m,0)，C(12－m,－ 1 m2＋2m)， 6 D(m,－1m2＋2m)． 6 ∴“支撑架”总长AD＋DC＋CB 1 1 ＝ － m2＋2m＋(12－2m)＋－ m2＋2m 6 6 ＝－ 1 m2＋2m＋12＝－ 1 (m－3)2＋15. 3 3 ∵a＝－ 1 <0. 3 ∴当m＝3时，AD＋DC＋CB有最大值为15米．
4000 解：f、v之间的关系式 f ＝ . v 4000 当v＝100时，f ＝ ＝40. 100 答：当车速为100 km/h时，视野的度数为40度．
题型三
二次函数相关应用题
【例3】 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大
高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，