一道国际数学奥林匹克题的简证
2023国际数学奥林匹克竞赛试题解答与评注
2023国际数学奥林匹克竞赛试题解答与评注1.引言2023年国际数学奥林匹克竞赛（简称IMO）是全球顶级的数学竞赛之一，每年都吸引着世界各地最顶尖的数学高手参与。
这项比赛不仅考察了参赛者的数学功底，更是对他们逻辑思维、创新能力和解决问题的能力的挑战和考验。
在本文中，我们将对2023年IMO的试题进行深入分析，探讨试题解答，并对试题进行全面的评注。
2.分析和解答我们需要深入分析和解答2023年IMO的试题。
这些题目通常包括几道难度不同、涉及不同数学领域的题目，例如代数、几何、组合数学和数论等。
在解答这些题目时，参赛者需要灵活运用数学知识，发挥自己的思维和创造力，找出解题的突破口。
在这里，我们就以其中一道代表性试题为例，逐步展开分析和解答。
3.问题一：XXXXX这是一道关于XXXXX的问题，题目描述了XXXXX的情境，要求参赛者证明或计算某个特定的结论。
我们通过探究XXXXX的定义和相关性质来理解题目的背景和条件。
我们可以尝试运用一些常见的数学方法和定理，如XXXXX定理、XXXXX公式等，根据题目条件和要求进行推导和计算，最终得出结论。
我们可以通过详细的数学推导和演算，对解题过程进行逐步分析，说明每一步的推理和逻辑，以及如何得出最终的答案。
4.问题二：XXXXX接下来，我们继续分析另一道题目——XXXXX。
这道题目涉及到XXXXX的概念和性质，要求参赛者给出某种特定的解释或证明。
在解答这道题目时，我们可以运用一些特定的数学方法和技巧，例如XXXXX的变换、XXXXX的化简等，从而化繁为简，找到问题的本质。
我们还可以借助一些经典的数学定理或结论，如XXXXX定理、XXXXX公式等，加深我们对题目的理解，并寻找解题的线索和突破口。
我们需要清晰地展现解题过程，说明每一个步骤的合理性和有效性，以及为什么得出这样的结论。
5.总结和回顾在全面分析和解答了2023年IMO的试题之后，我们可以对这些试题进行总结和回顾。
【精品】奥林匹克题解几何篇
【关键字】精品第三章、几何第一节平面几何证明(上)C1－001 已知线段MN的两个端点在一个等腰三角形的两腰上，MN的中点S作等腰三角形的底边的平行线，交两腰于点K 和L．证明：线段MN在三角形底边上的正投影等于线段KL．【题说】 1956年～1957年波兰数学奥林匹克三试题2．【证】设M、N在直线KL上的射影分别为D、E，由于MS=SN，所以MD=NE．由于AB=AC，KL∥BC，所以∠DKM=∠AKL=∠ALK，又∠MDK=∠NEL=90°，所以△MDK≌△NEL，DK=EL，从而DE=KL，即MN在BC上的正投影等于KL．C1－002 设四边形ABCD内接于圆O，其对边AD与BC的延长线交于圆O外一点E，自E引一直线平行于AC，交BD延长线于点M，自M引MT切圆O于T点，则MT=ME．【题说】 1957年南京市赛初赛5．利用切割线定理和相似三角形．【证】四边形ABCD内接于圆O，故∠1=∠2．由ME∥AC，得∠2=∠4，又∠1=∠3，所以∠3=∠4，又∠EMB=∠DME，所以△EMB∽△DME．从而有即ME2=MB·MD所以MT2=MB·MD=ME2即 MT=MEC1－003 若一直角三角形的外接圆半径为R，其内切圆半径为r，与斜边相切的旁切圆半径为t，若R为r及t的比例中项，证明这直角三角形为等腰直角三角形．【题说】 1957年北京市赛高二题4．【证】设直角△ABC的斜边长为c，两直角边长为a、b．易知R=c/2所以a=b．C1－004 任意四边形ABCD的对角线AC与BD相交于P，而BD与AC的中点是M与N，设Q是P关于直线MN的对称点，过P 作MN的平行线，分别交AB、CD于X、Y，又过Q作MN的平行线，顺次交AB、BD、AC、CD于E、F、G、H．试证：1．EF=GH；【题说】 1963年成都市赛高二二试题4．同本届高三二试题4．【证】 1．P、Q关于MN对称，所以MN平分PQ，又FG∥MN，所以MP=MF，从而BF=PD，BP=FD．同理，有AP=CG，AG=PC．比较（1）、（2）得EF=GH．C1－005 在内角都相等的凸n边形中，设a1，a2，…，an 依次为边的长度，而且满足不等式a1≥a2≥…≥an．证明：必有a1=a2=…=an．【题说】第五届（1963年）国际数学奥林匹克题3．本题由匈牙利提供．【证】当n为奇数时，设n=2k+1（k为正整数），∠A2A1An 的平分线A1B交Ak+1Ak+2于点B（如图）．由于已知n边形的各角都相等，所以A1B⊥Ak+1Ak+2，因此折线A1A2…Ak+1与折线A1An…Ak+2在这条角平分线上的射影都等于A1B．另一方面，A1A2≥A1An，并且它们与A1B的交角相等，所以A1A2的射影≥A1An的射影．同理A2A3的射影≥AnAn－1的射影…．所以上述各式中等号均应成立，即a1=a2=…=an．当n为偶数时，作A1A2的中垂线L．考虑各边在L上的射影，同样可得a1=a2=…=an．C1－006 在平面上取四点A、B、C、D，已知对任何点P都满足不等式PA+PD≥PB+PC．证明；点B和C在线段AD上，并且AB=CD．【题说】 1966年全俄数学奥林匹克九年级题2．【证】由于点P是任意的．可以取P=D，则应有AD≥BD+DC；若取P=A，则有AD≥AB+AC．将二式相加，得2AD≥AB+AC+BD+CD（1）然而另一方面，总有AD≤AC+CD及AD≤AB+BD．因此又得2AD≤AB+AC+BD+CD（2）由（1）、（2）知2AD=AB+AC+BD+CD从而其他4个不等式中皆取等号，亦即B、C两点一定在线段AD上，而且AB=CD．C1－007 凸多边形内一点O同每两个顶点都组成等腰三角形，证明：该点到多边形的各顶点等距．【题说】第六届（1972年）全苏数学奥林匹克九年级题6．【证】（1）如果凸多边形是△ABC，则结论显然成立．（2）对n（n＞3）边形，设A、B、C为多边形的任意三个顶点，则C或在AO、BO的反向延长线组成的夹角内（图a），或C 在该角外，即该角与多边形的边DE相交（图b）．在图a中，点O在△ABC内，由（1），AO=BO=CO．在图b中，点O在△BDE和△ADE内，故有AO=DO=EO=BO．C1－008 设有一圆，它与∠O两边相切，切点为A、B．从点A引OB的平行线，交圆于点C，线段OC与圆交于E，直线AE与OB 交于K．证明：OK=KB．【题说】第七届（1973年）全苏数学奥林匹克九年级题2．【证】设圆在点C的切线与∠O两边分别相交于P、Q．因为AP=PC，所以△APC和△OPQ皆为等腰三角形，从而AO=CQ=OB=BQ．又∠OAE=∠OCA=∠COQ，且∠AOB=∠CQB，从而△OAK∽△QOC．所以亦即 OK=KBC1－009 圆的内接四边形两条对角线互相笔直，则从对角线交点到一边中点的线段等于圆心到这一边的对边的距离．【题说】 1978年上海市赛二试题6．【证】如图，已知ABCD为⊙O的内接四边形，AC⊥BD于E，F为AB中点，OG⊥DC，G为垂足．因为 AF=FB=EF∠EAB=∠AEF又∠EAB=90°－∠EBA=90°－∠GCH=∠GHC所以∠AEF＝∠GHC ， EF∥GO同理可证，EG∥FO．所以EGOF是一个平行四边形，从而FE=OG．C1－010四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．【题说】 1978年全国联赛二试题1．【证】设四边形ABCD的对边交点为E、F，并且BD∥EF，AC交BD 于H，交EF于G．由于BD∥EF，所以GF=EGC1－011在平面上已知两相交圆O1和O2，点A为交点之一，有两动点M1和M2，从点A同时出发，分别以常速沿O1和O2同向运动，各绕行一周后恰好同时回到点A．证明：在平面上存在一定点P，P到点M1和M2的距离在每一时刻都相等．【题说】第二十一届（1979年）国际数学奥林匹克题3．本题由原苏联提供．【证】设O1和O2为已知圆的圆心，r1和r2分别为它们的半径．作线段O1O2的垂直平分线l及点A关于l的对称点P，则O1P=r2，O2P=r1（如图）．由已知，∠AO1M1=∠AO2M2，由对称性，∠AO1P=∠AO2P．于是，∠M1O1P=∠M2O2P．又因为O1M1=O2P=r1，O2M2=O1P=r2，故△O1M1P≌O2M2P，M1P=M2P．[别证] 可以用复数来作．以O1为原点，O1O2为实轴建立复平面．C1－012二圆彼此外切于D，一直线切一圆于A，交另一圆于B、C两点．证明：A点到直线BD、CD的距离相等．【题说】第十三届（1987年）全俄数学奥林匹克十年级题3．【证】过切点D作二圆的公切线l，交AB于F．设E在CD的延长线上，则∠BDA=∠BDF+∠FDA=∠ACD+∠FAD=∠ADE，即DA平分∠BDE，所以，A到BD、CD的距离相等．C1－013在“筝形”ABCD中，AB=AD，BC=CD．经AC、BD的交点O任作两条直线，分别交AD于 E，交BC于F，交AB于G，交CD于H．GF、EH 分别交BD于I、J．求证：IO=OJ．【题说】 1990年全国冬令营选拔赛题3．本题宜用解析几何来证．本题是蝴蝶定理的一个推广．【证】易证AC⊥BD．如图，以O为原点，BD为x轴，CA为y轴，建立直角坐标系．设各点坐标为A（0，b），B（－a，0），C（0，c），D（a，0），EF 的方程为y=kx，GH的方程为y=lx，则AD的方程是EH的方程是比较常数项与y的系数有J的横坐标x满足及（1′）·l－（2′）·k得利用（3）得同样可得Ｉ的横坐标x应满足（将（4）中的k与l互换，a换成－a）．由（4）、（5）立即看出I、J的横坐标互为相反数，即IO=OJ．C1－014如图，设△ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B=60°，∠A＜∠C，∠A的外角平分线交⊙O于E．证明：（1）IO=AE；【题说】 1994年全国联赛二试题3．【证】（1）连AI，延交⊙O于F，则易知EF为⊙O直径．过E作ED∥IO交AF于D，则IO是△FDE的中位线，从而IO＝因∠AOC=2∠ABC=120°故A、O、I、C共圆．从而（2）连CF，则∠IFC=∠AFC=∠B=60°∠ICF＝∠ICB+∠BCF故IF=IC，又由（1）知IO=AE，从而IO+IA+IC=EA+AI+IF=EA+AF≥EF=2R令α=∠OAI，则（因∠A＜∠C）又 AE+AF＝2Rsinα+2Rcosα当α∈（0，45°）时，sin（45°+α）为增函数，故AE+AF＜2R（sin30°+cos30°）C1－015设△ABC是锐角三角形，在△ABC外分别作等腰Rt△BCD、△ABE、△CAF．在这三个三角形中，∠BDC、∠BAE、∠CFA是直角．又在四边形BCFE外作等腰Rt△EFG，∠EFG是直角．求证：（2）∠GAD=135°．【题说】 1994年上海市赛高三二试题2．【证】以点A为原点建立直角坐标系，与B相应的复数记为Z B，等等．C1－016设M、N为三角形ABC的边BC上的两点，且满足BM=MN=NC．一平行AC的直线分别交AB、AM、AN于D，E和F，求证：EF=3DE．【题说】 1994年澳大利亚数学奥林匹克一试题1．【证】如图，过N、M分别作AC的平行线交AB于H、G点．NH交AM于K点．则BG=GH=HA．HK∶KN=1∶3又由于DF∥HN，于是DE∶EF=HK∶KN=1∶3故EF=3DE．C1－017 ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上一点．AF 交ED于G，EC交FB于H．连接G，H并延长交AD于L，交BC于M，求证：DL=BM【题说】 1994年澳大利亚数学奥林匹克二试题4．【证】如图，过E、F分别作EK∥AD，FQ∥AD，则所以AL·DL=QF·EK．同理，CM·MB=QF·EK．故AL·DL=CM·MB又由于 AL+DL=CM+MB，所以DL=BMC1－018 在梯形ABCD（AB∥DC）中，两腰AD、BC上分别有点P、Q 满足∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD．证明：点P和Q到梯形对角线交点O的距离相等．【题说】第二十届（1994年）全俄数学奥林匹克九年级（决赛）题7．【证】如图，设B′是B点关于AD的对称点，则P点就是B′C与AD的交点．在△APB和△DPC中，∠APB=∠DPC，∠PAB=180°－∠PDC，由正弦定理知△COP∽△CAB′C1－019从△ABC的顶点A引3条线段，∠A的平分线AM，∠A的外角平分线AN，三角形外接圆的切线AK，点M、N、K依次排列在直线BC上．证明：MK=KN．【题说】 1995年城市数学联赛低年级普通水平题4．【证】由于∠KAM=∠KAB+∠BAM=∠ACB+∠CAM=∠AMK所以，KA=KM．另一方面，∠NAM=90°，且∠ANM=90°－∠AMN=90°－∠KAM=∠NAK故KN=AK=KM．C1－020△ABC具有下面性质：存在一个内部的点P使∠PAB=10°，∠PBA=20°，∠PCA=30°，∠PAC=40°．证明：△ABC是等腰三角形．【题说】第25届（1996年）美国数学奥林匹克题5．[解] 作AC边上的高BD，又作AQ使∠QAD=30°，AQ交BD于Q，连PQ．设直线PQ交AC于C′．因为∠BAD=10°+40°=50°，所以∠ABD=90°－50°=40°，∠PBQ=40°－∠PBA=20°=∠PBA，∠PAQ=∠PAC－∠QAD=10°=∠PAB，从而P是△ABQ的内心，∠PQA=∠PQB=而∠PCA=30°，所以C′与C重合．从而QA=QC，QD平分AC，BA=BC．C1－021半径相等的三个互不相交的圆的圆心O1、O2、O3位于三角形的顶点处．分别从点O1、O2、O3引已知圆的切线，如图所示，已知这些切线相交成凸六边形，而六边形相邻的边分别涂成红色和蓝色．证明：红色线段长度之和等于蓝色线段长度之和．【题说】第二十二届（1996年）全俄数学奥林匹克九年级题2．【证】如图所示，X1、X2、Y1、Y2、Z1、Z2分别为切点．切线围成的六边形为ABCDEF．因⊙O1，⊙O2，⊙O3的半径相等，易得X1O2=O1Y2，Y1O3=O2Z2，Z1O1=O3X2．即X1A+AB+BO2=O1B+BC+CY2Y1C+CD+DO3=O2D+DE+EZ2Z1E+EF+FO1=O3F+FA+AX2以上三式两边相加，并利用X1A=AX2，Y1C=CY2，Z1E=EZ2，及BO2=O1B，DO3=O2D，FO1=O3F，得AB+CD+EF=BC+DE+FAC1－022 在等腰△ABC中（AB=BC），CD是角平分线．过△ABC的外心作直线垂直于CD，交BC于E点，再过E点作CD的平行线交AB于F，证明：BE=FD．【题说】第二十二届（1996年）全俄数学奥林匹克十一年级题6．【证】设O是△ABC的外心，K是直线BO和CD的交点．先设O在B、K之间（图a），∠BOE=90°－∠DKO=∠DCA，所以，点K、O、E、C四点共圆．∠OKE=∠OCE因为OB=OC，所以∠OCE=∠OBE．于是∠BKE=∠OCE=∠KBE所以BE=KE又∠BKE=∠KBE=∠KBA所以KE∥AB．从而KEFD为平行四边形，则DF=KE=BEK在O、B之间（图b）或K、O重合的情况可用类似方法证明．C1－023直角三角形ABC中，C为直角，证明：在△ABC中至少有一点P，使∠PAB＝∠PBC＝∠PCA．【题说】 1963年合肥市赛高二二试题2．【证】我们证明结论对任意△ABC成立．不妨设∠A、∠B为锐角，过A作AB的垂线，与边AC的中垂线相交于点O B．过B作BC的垂线交AB的中垂线于点O C，分别以O B、O C为心，过A点作圆．设P为这两个圆的另一个公共点，则AP⊥O B O C．连PB、PC．设O为△ABC的外心，则OO C∥AO B，四边形OO B AO C为梯形，对角线O B O C 在梯形内，∠AO B O C＜∠AO B O，所以∠PAO B＝90°－∠AO B O C＞90°－∠AO B O=∠CAO B．同样∠PAO C＞∠BAO C，所以射线AP在∠CAB内，P是AP与的交点，与A在BC的同侧，所以P在△ABC内．由于BC与⊙O C相切，所以∠PBC=∠PAB．同理∠PAB=∠PCA．因此，P合乎要求．C1－024在矩形ABCD内，M是AD的中点，N是BC的中点，在线段CD的延长线上取一点P，用Q表示直线PM和AC的交点．证明：∠QNM=∠MNP．【题说】第六届（1972年）全苏数学奥林匹克八年级题1．【证】设R是直线QN和CD的交点，O是矩形ABCD的中心，由OM=ON 得：PC=CR．因此三角形PNR是等腰三角形（NC是该三角形的中线和高，也就是△PQN的外角∠PNR的平分线，又NC⊥MN），问题的结论由此即得．C1－025已知正方形ABCD，点P和Q分别在AB和BC上，且BP=BQ，BH⊥PC于H．证明：∠DHQ是直角．【题说】第八届（1974年）全苏数学奥林匹克十年级题2．【证】延长BH交AD于E，则Rt△ABE≌Rt△BCP，于是AE=BP=BQ，因此，QC=ED，从而得矩形CDEQ．这个矩形的外接圆直径就是其对角线CE与DQ，而∠CHE=90°，所以H点在矩形的外接圆上，即C、D、E、H、Q五点共圆．对着直径DQ的圆周角：∠DHQ=∠DCQ=90°即∠DHQ是直角．C1－026设ABCD是矩形，BC=3AB，证明：如果P、Q是BC边上的点，BP=PQ=QC，那么∠DBC+∠DPC=∠DQC．【题说】第六届（1974年）加拿大数学奥林匹克题2．【证】如图所示，即证β+γ＝α或tan（β+γ）=tanα=1△BRD∽△PQD．于是∠RBD=∠DPC=β，从而有β+γ＝∠RBC=α．C1－027在任一△ABC的边上，向外作△BPC、△CQA和△ARB，使得2．QR=RP．【题说】第十七届（1975年）国际数学奥林匹克题3．本题由荷兰提供．【证】建立一个复平面，令A和B的坐标分别为－1和1，C的因而，于是RQ⊥RP，RQ=RP．C1－028如图，两圆O1、O2相交于A、B，圆O1的弦BC交圆O2于E，圆O2的弦BD交圆O1于F，证明：1．若∠DBA=∠CBA，则DF=CE；2．若DF=CE，则∠DBA=∠CBA．【题说】 1979年全国联赛二试题6．【证】 1．连AD、AE、AF、AC，则∠DFA=∠ECA．又∠DBA=∠CBA以AD=AE，AC=AF所以△DAF≌△EACDF=CE2．由于∠DFA=∠ACE，∠AEC=∠ADF，DF=CE，所以△DAF≌△EAC，AD=AE．从而∠DBA=∠EBA．C1－029两圆相切（内切或外切）于P点，一条直线切一个圆于A，交另一圆于B、C．证明：直线PA是∠BPC的平分线（如果两圆内切）或∠BPC的补角的平分线（如果两圆外切）．【题说】 1980年五国国际数学竞赛题4．本题由比利时提供．【证】设两圆外切（图a），作公切线PT，则∠APB=∠APT+∠TPB=∠BAP+∠BCP=∠BPC的补角－∠APB即AP是∠BPC的补角的平分线．若两圆内切（图b），设公切线与BC相交于T．因为∠CPT、∠APT、∠TAP都是弦切角，故∠BPA=∠APC，因此，PA是∠BPC的平分线．C1－030已知A为平面上两条半径不等的圆O1和O2的一个交点，两外公切线P1P2、Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点，求证：∠O1AO2=∠M1AM2．【题说】第二十四届（1983年）国际数学奥林匹克题2．本题由原苏联提供．【证】设B是两圆的另一交点，T、M分别是P1P2、O1O2与AB的交点．又P1M1∥TM∥P2M2所以MM1=MM2为AB⊥O1O2所以TM是M1M2的中垂线．在O1O2上，取MO3＝MO2，则∠O3AM1＝∠O2AM2．因为O1P1∥O2P2，O1M1∥O2M2，P1M1∥P2M2△O1P1M1∽△O2P2M2由此可知，AM1是∠O1AO3的角平分线．所以∠O1AM1=∠O3AM1=∠O2AM2故有∠O1AO2=∠O1AM1+∠M1AO2=∠O2AM2+∠M1AO2=∠M1AM2C1－031 如图，延长线段AB至D，以AD为直径作半圆，圆心为H．G 是半圆上一点，∠ABG为锐角．E在线段BH上，Z在半圆【题说】 1992年澳大利亚数学奥林匹克题5．【证】由EH·ED=EZ2知△HEZ∽△ZED，所以∠EZH=∠EDZ=∠DZH．于是∠AEZ=3∠EZHC1－032 在正方形ABCD的AB、AD边各取点K、N，使得AK·AN=2BK·DN．线段CK、CN各交对角线BD于L、M．试证：∠BLK=∠DNC=∠BAM．【题说】第三届（1993年）澳门数学奥林匹克第二轮题4．【证】令AB=a，BK=b，DN=c，则（a－b）（a－c）=2bc即a2－bc=a（b+c）所以∠BCK+∠DCN=45°∠BLK=∠BCK+45°=90°－∠DCN=∠DNC再由△ABM≌△CBM，得∠BAM=∠BCM=∠BCK+∠LCM=∠BCK+（90°－45°）=∠BLKC1－033如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，Q是过P的公切线上任一点，QAB和QDC分别是⊙O1与⊙O2的割线，P在AB、AD和DC上的射影分别为E、F、G．求证：（1）∠BPC=∠EFG；（2）△EFG∽△PBC．【题说】 1994年四川省赛题3．【证】（1）因PQ切⊙O1与⊙O2于P，所以∠QPA=∠PBA （1）因为∠AEP=∠AFP=90°所以A、E、P、F四点共圆．故有∠FEP=∠FAP=∠DAP （2）同理，F、D、G、P四点共圆．且∠BPC=∠BAP+∠PDC=∠EFP+∠PFG=∠EFG（3）（2）因为∠PEQ=∠PGQ=90°所以Q、E、P、G四点共圆，于是∠GEP=∠GQP=∠DQP （4）由（2）、（4）与∠DAP+∠QPA=∠QDA+∠DQP得∠FEG=∠FEP－∠GEP=∠DAP－∠DQP=∠QDA－∠QPA（5）又A、B、C、D四点共圆，有∠QDA=∠QBC．于是由（1）、（5）得∠FEG=∠QBC－∠PBA=∠PBC（6）由（3）、（6）得△EFG∽△PBC．C1－034 D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的点，且∠FDE=∠A，∠DEF=∠B，又设△AFE、△BDF、△CED均为锐角三角形，它们的垂心依次为H1、H2、H3，求证：（1）∠H2DH3=∠FH1E；（2）△H1H2H3≌△DEF．【题说】 1994年江苏省赛题5．【证】如图，（1）∠H2DB=90°－∠B，∠H3DC=90°－∠C，所以∠H2DH3=180°－∠H2DB－∠H3DC=∠B+∠C．而∠EH1F=180°－∠H1EF－∠H1FE=180°－（90°－∠AFE）－（90°－∠AEF）=180°－∠A=∠B+∠C．所以∠H2DH3=∠FH1E（2）由（1）知∠FH1E+∠EDF=180°，所以，H1在△DEF的外接圆上．同理H2、H3也在此圆上，因此D、E、F、H1、H2、H3六点共圆．又由（1）知∠EH1F=∠H2DH3，所以EF=H2H3．同理DF=H1H3，DE=H1H2，故△DEF≌△H1H2H3．C1－035 △ABC为锐角三角形．AD为BC边的高，H为AD内一点．直线BH、CH分别交AC、AB于E、F．证明：∠EDH=∠FDH．【题说】第26届（1994年）加拿大数学奥林匹克题5．又见第3届（1993年）澳门数学奥林匹克题3．[解] 过A作直线l平行于BC．延长DE、EF，分别交l于Q、P．由相似三角形，AP=AQ于是△DPQ的高DA平分PQ，所以△DPQ是等腰三角形，并且∠EDH=∠FDH．C1－036 在直角KLM内取一点P．以O1点为圆心的圆ω1分别切∠KLP 的两边LK和LP于A、D两点；以O2点为圆心半径与圆ω1半径相等的圆ω2分别切∠MLP的两边LP、LM于B、E两点．点O1在线段AB上．设O2D的延长线与KL交于C点．证明：BC是∠ABD的平分线．【题说】第二十届（1994年）全俄数学奥林匹克九年级题6．【证】连结O1D及O2B，则O1D=BO2．因为O1D⊥LP，O2B⊥LP，所以O1D∥BO2，O1BO2D为平行四边形，从而CO2∥AB，∠LDC=∠O1BD．∠LCD=∠LAB=90°（1）因为O2E⊥LM，所以O2ELC是矩形．因此CL=O2E=O2B=DO1（2）由（1）、（2）得Rt△LCD≌Rt△O1DB，所以CD=DB．于是∠ABC=∠BCD=∠CBD，即BC是∠ABD的平分线．C1－037设AK、BL、CM是△ABC的角平分线，K在BC上，令P、Q 分别是BL，CM上的点，使得AP=PK，AQ=QK．证明：【题说】 1995年城市数学联赛低年级较高水平题3．【证】如图，设BL交△ABK的外接圆于点D．则∠DAK=∠DBK=∠DBA=∠DKA所以，DA=DK，从而D与P重合．即有C1－038设△ABC是锐角三角形，且BC＞CA，O是它的外心，H是它的垂心，F是高CH的垂足，过F作OF的垂线交边CA于P．证明：∠FHP=∠BAC．【题说】第三十七届（1996年）IMO预选题．【证】延长CF交⊙O于D点，连BD、BH．由于∠BHF=∠CAF=∠D且BF⊥HD，所以F为HD的中点．设FP所在直线交⊙O于M、N两点，交BD于T点．由OF⊥MN知F为MN的中点．由蝴蝶定理即得F为PT的中点．又因F 为HD的中点，故HP∥TD，所以，∠FHP=∠D=∠BAC．C1－039在凸凹边形ABCD的BC边上取E和F（点E比F更靠近点B）．已知∠BAE=∠CDF及∠EAF=∠FDE．证明：∠FAC=∠EDB．【题说】第二十二届（1996年）全俄数学奥林匹克十年级题1．【证】因为∠EAF=∠FDE，所以A、E、F、D共圆，∠AEF+∠FDA=180°，又∠BAE=∠CDF，所以∠ADC+∠ABC=∠FDA+∠CDF+∠AEF－∠BAE=180°因此A、B、C、D共圆，∠BAC=∠BDC，由此得∠FAC=∠EDB．C1－040 在平行四边形ABCD中有一点O，使得∠AOB+∠COD=180°．证明：∠OBC=∠ODC．【题说】第二十九届（1997年）加拿大数学奥林匹克题4．[解] 过O作OE BA，连EC、ED，则四边形EOAD、EOBC都是平行四边形，所以CE∥BO，ED∥OA，∠CED+∠COD=∠AOB+∠COD=180°O、C、E、D四点共圆，从而∠ODC=∠OEC=∠OBCC1－041已知一个等腰三角形，外接圆半径为R，内切圆半径为r．证明：外接圆和内切圆的圆心距离d为【题说】第四届（1962年）国际数学奥林匹克题6．本题由原东德提供．【证】本题结论（即欧拉公式）对任意三角形（不限于等腰三角形）均成立．设M为BC的中点，O与I分别为外接圆和内切圆的圆心，外接圆直径MN交BC于D．连IB、BM、AM必过I．又设IE⊥BCIK⊥MNE、K为垂足．=∠IBM所以MI=MB又 IO2=MI2+MO2－2MO·MK而MB2=MD·MN=2R·MD所以d2=2R·MD+R2－2R·MK=R2－2R×DK=R2－2RrC1－042设过三角形的内心和重心的直线平行于一边．求证：其它二边长的和等于这一边长的两倍．【题说】 1963年西安市赛高二题3．【证】设△ABC的三边为a、b、c、M为BC之中点，G、I分别为△ABC的重心和内心，且IG∥BC．因为IG∥BC所以G到BC的距离GE=r（内切圆半径）BC边上的高h=3GE=3r，而ha=r（a+b+c）（=2S△ABC）所以3a=a+b+c即b+c=2aC1－043 1．在凸六边形ABCDEF中，所有角都相等．证明：AB－DE=EF－BC=CD－FA2．反之，若六条边a1，a2，a3，a4，a5，a6满足等式a1－a4=a5－a2=a3－a6．证明：它们可以组成各内角相等的凸六边形．【题说】 1964年全俄数学奥林匹克八年级题5（1）、十年级题3（2）．【证】 1．直线AB、CD、EF构成△GHI．由已知六边形各角相等知，每个角都是120°，从而△GHI的每个角都是60°，因此它是正三角形．并且AF、BC、DE分别与边GI、GH、HI平行．AB+AC=AB+BI=AI=GF=GE+EF=DE+EF所以 AB-DE=EF=BC同理 EF-BC=CD-FA2．以a1+a2+a6为边作正三角形GHI，然后在各边取A、B、C、D、E、F，使BI=IC=a2，DG=GE=a4，FH=HA=a6，则BC∥GH，DE∥HI，AF∥GI，所以六边形ABCDEF各角相等，并且AB=a1，BC=BI=a2，AF=AH=a6，DE=DG=a4，CD=（a1+a2+a6）-a2-a4=a3．EF=（a1+a2+a6）-a4-a6=a5．C1-044 已知ABCD为一圆外切梯形，E是对角线AC和BD的交点，r1、r2、r3、r4分别是△ABE、△BCE、△CDE和△DAE的内切圆半径．证明：【题说】 1964年全俄数学奥林匹克十一年级题2．【证】设△ABE、△BCE、△CDE、△DAE的面积和周长分别为S1、S2、S3、S4；l1、l2、l3、l4．由于 AB+C D=AD+BC所以 l1+l3 =l2+l4（2）因为 AB∥CD所以 S2=S4记之为S．则从而相加并利用（2）得即（1）成立．C1-045 设点M是△ABC的AB边上的任一内点，r1、r2、r分别是△AMC、△BMC、△ABC的内切圆半径；q1、q2、q分别是这些三角形在∠ACM、∠BCM、∠ACB内的旁切圆半径．试证：【题说】第十二届（1970年）国际数学奥林匹克题1．本题由波兰提供．【证】设∠CAB=α，∠ABC=β，∠BCA=γ，∠AMC=δ；又设△ABC的内切圆的圆心为R，且与AB切于P（如图）．于是从而有由于三角形的角的内、外分角线互相垂直，因而类似地有由（1）和（2）可得类似的结论对于△AMC和△BMC也成立，故有将（4）、（5）相乘，并利用（3）得C1-046 考虑如图a、图b所示的△ABC和△PQR．在△ABC中，∠ADB=∠BDC=∠CDA=∠120°．试证：x=u+v+w．【题说】第三届（1974年）美国数学奥林匹克题5．【证】△BCD绕B逆时针方向旋转60°，至△BEF，如图c．这时易知A、D、F、E在一直线上，且AE=u+v+w．再将△EAC绕E顺时针方向旋转60°，至△EGB．则△AEG为正三角形且易证它与△PQR全等，其中B相当于O点．得证．【别证】（1）△PQR绕R逆时针旋转60°，至△SPR，如图d．这时作正△ROT外接圆，设交RP于D′．易证∠OD′T=∠TD′P=∠PD′O=120°．由△ABC中D点的唯一性及△ABC≌△TOP知PD′=w，OD′=v，TD′=u．又由托勒密定理，知RD′=u+v，故x=u+v+w．（2）过O作△PQR三边平行线，如图e，也可以得结论．C1-047 直径A0A5把圆O分成两个半圆，其中一个半圆分成五段等点M、N．证明：线段A2A3与MN之和等于圆的半径．【题说】第十九届（1985年）全苏数学奥林匹克八年级题6．【证】在圆上分别标出点A1、A2、A3、A4关于直径A0A5的对称点B1、B2、B3、B4，得圆的内接正十边形A0A1…A5B4B3…B1（如图）．则A2B1∥A3B2，A2B1∥A1A0，OA2∥B2A1，A0A5∥A1A4∥A2A3．由对称性知A2B1和B2A1的交点K在A0A5上．又设A2B1和A1A4相交于点L．于是KA2A3O、A0A1LK、A1MOK、LNOK都是平行四边形．所以A2A3=KO=A1M=LN，从而MN=A1L=A0K．因此，A2A3+MN=A0O．C1-048 四边形ABCD内接于圆，另一圆的圆心O在边AB上且与其余三边相切．求证：AD+BC=AB．【题说】第二十六届（1985年）国际数学奥林匹克题1．本题由英国提供．【证】在AB上取点M，使MB=BC．连结OD、OC、MD和MC．所以C、D、M、O四点共圆．所以∠AMD=∠ADM，故AM=AD．从而AB=AM+MB=AD+BC【别证】设半圆半径为1，∠OAE=α，则AE=cotα．同理可证 BG+ED=BO故 AD+BC=ABC1-049 已知两圆相交于M和K，引两圆的公切线，切点为A和B．证明：∠AMB+∠AKB=180°．【题说】第十四届（1988年）全俄数学奥林匹克八年级题2．【证】如图，连结MK，则∠AMK=∠KAB∠BMK=∠KBA两式相加得∠AMB=∠KAB+∠KBA因此∠AMB+∠AKB=∠KAB+∠KBA+∠AKB=180°C1-050 在一个三角形中，以h a、h b、h c表示它的三条高，以r表示它的内切圆半径．证明：当且仅当三角形为等边三角形时，h a+h b+h c=9r．【题说】 1988年原联邦德国数学奥林匹克（第一轮）题2．【证】设三角形三边为a、b、c，周长为p，面积为S，则2S=rp=ah a=bh b=ch c当且仅当a=b=c，即三角形为等边三角形时取等号，即h a+h b+h c=9rC1-051 设点D、E、F分别在△ABC的三边BC、CA、AB上，且△AEF、△BFD、△CDE的内切圆有相等的半径r，又以r0和R分别表示△DEF和△ABC 的内切圆半径．求证：r+r0=R【题说】第四届（1989年）全国冬令营赛题4．【证】设p为△ABC的半周长，q为△DEF的半周长．因为S△ABC=S△AEF=S△BFD+S△CDE+S△DEF所以R·p=r·p+（r0+r）·q（1）所以 R（p-q）=Pr（4）由（1）、（4）得Rq=（r0+r）q，即R=r0+r．C1-052 在圆内引弦AB和AC，∠BAC平分线交圆于D点．过D【题说】第十六届（1990年第三阶段）全俄数学奥林匹克九年级题8．【证】作DM⊥AC于M（如图）．因为ABDC内接于圆，所以∠MCD=∠B若B与E重合，则∠B=90°=∠ACDRt△ABD≌Rt△ACD，结论显然成立．若B与E不重合，则∠B为锐角或钝角．不妨设∠B为锐角（钝角情形同样讨论），则∠ACD为钝角，M在AC延长线上，而E点在AB线段内．由于AD平分∠BAC，所以DE=DM，AE=AM．从而△BDE≌△CDM，则C1-053 四边形ABCD内接于半径为r的圆，对角线AC、BD相交于E．证明：若AC⊥BD，则EA2+EB2+EC2+ED2=4r2（1）若（1）成立，是否必有AC⊥BD？说明你的理由．【题说】 1991年英国数学奥林匹克题3．【解】若AC⊥BD，则EA2+EB2+EC2+ED2=AB2+CD2．由正弦定理AB2=4r2sin2∠ACBCD2=4r2sin2∠CBD=4r2cos2∠ACB所以EA2+EB2+EC2+ED2=4r2sin2∠ACB+4r2cos2∠ACB=4r2反之，若（1）成立，未必有AC⊥BD．例如AC、BD为任两条直径，则交点E即为圆心．（1）式显然成立．C1-054 设∠A是三角形ABC中最小的内角．点B和C将这个三角形的外接圆分成两段弧．设U是落在不含A的那段弧上且不等于B与C的一个点．线段AB和AC的垂直平分线分别交线段AU于V和W．直线BV和CW相交于T．证明：AU=TB+TC．【题说】第三十八届（1997年）国际数学奥林匹克题2．本题由英国提供．【证】如图所示，因为点V在线段AB的垂直平分线上，所以∠VAB=∠VBA．又因∠A是△ABC的最小内角，且∠VAB=∠UAB＜∠CAB故∠VBA=∠VAB＜∠CAB≤∠CBA即V在∠ABC内．同理W在∠ACB内．BV与CW的交点T在△ABC内．延长BT交外接圆于S．由于AU与BS关于弦AB的中垂线对称，所以AU=BS．因为∠TCS=∠TCA+∠ACS=∠WAC+∠ABS=∠WAC+∠VAB=∠BAC=∠BSC，所以TS=TC，从而AU=BT+TS=BT+TCC1-055 在圆上取六个点A、B、C、D、E、F，使弦AB与DE平行，弦DC与AF平行．证明：弦BC与弦EF平行．【题说】 1959年～1960年波兰数学奥林匹克三试题5．【证】圆上六点的顺序有种种情况．以图a、图b所示的两种为例，其他情况可仿此证明．在图a中，因AB∥DE，DC∥AF，故有所以BC∥EF所以，BC∥EF．C1-056 在平行四边形ABCD的两边AB、AD上，向外作两个正方形ABMX、ADNY．求证：CA⊥XY．【题说】 1963年武汉市赛高三一试题4．【证】如图，延长CA交XY于E，因∠ABC=180°-∠BAD=180°-（360°-∠BAX-∠XAY-∠YAD）=∠XAY又AY=AD=BC及AX=BA所以△XAY≌△ABC，从而∠XYA=∠ACB=∠CAD所以∠AEY=180°-∠EAY-∠EYA=180°-∠EAY-∠CAD=∠DAY=90°．亦即AC⊥XY．C1-057 作△ABC外接圆，连接AC中点与AB、BC中点的弦，分别交AB 于D，交BC于E．证明：DE∥AC且通过三角形的内心．【题说】 1965年全俄数学奥林匹克八年级题3．△ABC的内心，则AM、BN过O．又设LN与AC交于K，连结OK．LN⊥AM在△AON中，易知∠AON=∠NAO．从而ND平分AO．又AO平分∠A．从而AO平分DK．因此在四边形AKOD中二对角线AO、DK互相垂直平分，故AKOD 是菱形．于是DO∥AK．同理，四边形CEOJ是菱形，从而OE∥CJ，从而D、O、E在一条直线上，即DE∥AC，而且DE过△ABC内心O．C1-058 某个平面四边形，各边之长顺次为a，b，c，d，对角线互相垂直．试证：任何其它四边形，若其各边长顺次为a，b，c，d，则其对角线也互相垂直．【题说】 1975年～1976年波兰数学奥林匹克三试题4．【证】设四边形ABCD、A′B′C′D′的边长顺次为a，b，c，d，AC 与BD相交于O，并且AC⊥BD（如图）．显然a2-b2=AO2-OC2=d2-c2设B′在A′C′上的射影为P，D′在A′C′上的射影为Q，则A′P2-PC′2=a2-b2=d2-c2=A′Q2-QC′2即 A′C′×（A′P-PC′）=A′C′×（A′Q-QC′）从而A′P-PC′=A′Q-QC′，又A′P+PC′=A′C′=A′Q+QC′，所以A′P=A′Q，P与Q重合，并且均在B′D′上．于是B′D′⊥A′C′．C1-059 已知平面上的三个正方形ABCD、A1B1C1D1和A2B2C2D2（正方形的顶点是沿逆时针方向标写的）．并且顶点A1与A重合，而C2与C重合，试证：线段D1D2与BM（其中M为线段B1B2的中点）互相垂直并且|D1D2|=2|BM|．【题说】第六届（1981年）全俄数学奥林匹克十年级题5．【证】设B为原点，其它各点的复数表示仍用同样的字母，则由于M 是线段B1B2中点，2·M=B1+B2=（B1-A）+（B2-C）+A+C=（D1-A）·（-i）+（D2-C）·i+A+C=（D2-D1）i+A·（1+i）+C·（1-i）=（D2-D1）i+C·i（1+i）+C·（1-i）=（D2-D1）i因此线段D1D2⊥BM，并且|D1D2|=2|BM|．C1-060 如图，在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行．圆O1过A、B且与边CD相切于P，圆O2过C、D且与边AB相切于Q，圆O1与圆O2相交于E、F．求证：EF平分线段PQ的充分必要条件是BC∥AD．【题说】第五届（1990年）全国冬令营赛题1．【证】首先证明：如图，分别延长CD与BA，记它们的交点为S．并记SC，SD，SP，SA，SB，SQ为c，d，p，a，b，q，则p2=ab，q2=cd．于是延长PQ分别交圆O1、O2于J、I，则由相交弦定理可知PD·PC=PI·PQ，QA·QB=QJ·PQ弦定理可知KP·KJ=KE·KF=KQ·KI即KP（KQ+QJ）=KQ（KP=PI）于是KP·QJ=KQ·PI综上所述，命题得证．C1-061 △ABC是直角三角形，以直角边AC和BC为边分别向外作两个菱形ACDE和CBFG，其中心分别为P和Q，且∠EAC=∠GCB＜90°，如果M和N分别为AB和DG的中点．证明：PQ⊥MN．【题说】 1992年友谊杯国际数学竞赛八年级题2．【证】容易证明，△ACG≌△BCD，所以AG=BD．从而以四边形ADGB各边中点为顶点的四边形P，N，Q，M是菱形，故PQ⊥MN．C1-062 ABCDE是凸五边形，AB=BC，∠BCD=∠EAB=90°．X为此五边形内一点，使得AX⊥BE且CX⊥BD．证明：BX⊥DE．【题说】 1992年澳大利亚数学奥林匹克题3．【证】设AX交BE于Y，CX交BD于Z，BX交DE于F．则AB2=BY·BE=BZ·BD所以D，E，Y，Z四点共圆．又由于B，Y，X，Z四点共圆，所以∠BXZ=∠BYZ=∠ZDF故D，F，X，Z四点共圆，从而∠BFD=∠DZX=90°，即BX⊥DE．C1-063 已知△ABC以O1、O2、O3为旁切圆圆心．证明：△O1O2O3是锐角三角形．【题说】第三届（1993年）澳门数学奥林匹克第一轮题3．【证】易知△O1O2O3包含△ABC，△ABC三内角平分线是△O1O2O3三高，△ABC内心O是△O1O2O3垂心．O在△ABC内，更在△O1O2O3内，故△O1O2O3为锐角三角形．C1-064 在△ABC中，∠A的平分线交AB边中垂线于A′，∠B的平分线交BC边中垂线于B′，∠C的平分线交CA边中垂线于C′．求证：（1）若A′与B′重合，则△ABC为正三角形；【题说】 1993年德国数学奥林匹克（第二轮）题3．【证】（1）若A′与B′重合，则△ABC的内心与外心重合，从而△ABC为正三角形．（2）将△A′AC′绕A旋转，使A与B重合．设这时C′转到∠ABC-∠BAC+∠ACB）=∠B′CC′．所以△B′BK≌△B′CC′，B′K=B′C′．从而△B′A′K≌△B′A′C′，∠【注】设I为内心，AB的垂直平分线交BB′于J，则可以证明△A′C′I∽△A′B′J，从而导出结论，但需要稍多的计算．C1-065 ABC是一个等腰三角形，AB=AC，假如（i）M是BC的中点，O是直线AM上的点，使得OB垂直于AB；（ii）Q是线段BC上不同于B和C的一个任意点；（iii）E在直线AB上，F在直线AC上，使得E，Q，F是不同的和共线的．求证：OQ⊥EF当且仅当QE=QF．【题说】第三十五届（1994年）国际数学奥林匹克题2．本题由亚美尼亚-澳大利亚提供．【证】连线段OE、OF、OC．由对称性，OC⊥AC，∠OBQ=∠OCQ．若OQ ⊥EF，则O、Q、B、E四点共圆，O、Q、C、F四点共圆，故∠OEQ=∠OBQ，∠OFQ=∠OCQ （1）于是∠OEQ=∠OFQ，OE=OF又OQ⊥EF，故QE=QF．反之，若QE=QF，过E作EG∥BC交AC于G，则易知EB=GC=CF．又OB=OC，∠OBE=∠OCF=90°，所以△OBE≌△OCF，OE=OF．从而OQ⊥EF．C1-066 如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、CD于P，交DA于Q．求证：MQ∥NP．【题说】 1995年全国联赛二试题3．【证】连结AC，则O为AC中点，再连结MO、NO．则∠MON=180°-（∠OMN+∠MNO）因此△AMO∽△OMN∽△CON。
2012年IMO国际数学奥林匹克试题解答
2012年IMO国际数学奥林匹克试题解答第一题设J是三角形ABC顶点A所对旁切圆的圆心. 该旁切圆与边BC相切于点M, 与直线AB和AC分别相切于点K和L. 直线LM和BJ相交于点F, 直线KM与CJ相交于点G. 设S是直线AF和BC的交点, T是直线AG和BC的交点. 证明: M是线段ST的中点.2012年IMO国际数学奥林匹克试题第一题解答: 因为∠JFL=∠JBM−∠FMB=∠JBM−∠CML=12(∠A+∠C)−12∠C=12∠A=∠JAL,所以A、F、J、L四点共圆. 由此可得AF⊥FJ, 而BJ是∠ABS的角平分线, 于是三角形ABS的角平分线与高重合, 从而AB=BS; 同理可得AC=CT.综上, 有SM=SB+BM=AB+BK=AK=AL=AC+CL=CT+CM=MT,即M是线段ST的中点.第二题设n⩾3, 正实数a2,a3,⋯,a n满足a2⋅a3⋅⋯⋅a n=1, 证明:(a2+1)2(a3+1)3⋯(a n+1)n>n n.解答:由均值不等式, 我们有(a k+1)k=⩾(a k+1k−1+⋯+1k−1)k(ka k⋅(1k−1)k−1−− − − − − − − − − − −−√k)k=k k(k−1)k−1a k,当a k=1k−1时等号成立, 其中k=2,3,⋯,n. 于是(a2+1)2(a3+1)3⋯(a n+1)n⩾221a2⋅3322a3⋅⋯⋅n n(n−1)n−1a n=n n.当对任意的k=2,3,⋯,n时, 若恒有a k=1k−1, 此时由n⩾3知a2⋅a3⋅⋯⋅a n=1(n−1)!≠1,因此上述不等式等号不成立, 从而不等式得证.第三题"欺诈猜数游戏" 在两个玩家甲和乙之间进行, 游戏依赖于两个甲和乙都知道的正整数k和n.游戏开始时甲先选定两个整数x和N, 1⩽x⩽N. 甲如实告诉乙N的值, 但对x 守口如瓶. 乙现在试图通过如下方式的提问来获得关于x的信息: 每次提问, 乙任选一个由若干正整数组成的集合S(可以重复使用之前提问中使用过的集合), 问甲"x是否属于S?". 乙可以提任意数量的问题. 在乙每次提问之后, 家必须对乙的提问立刻回答"是" 或"否", 甲可以说谎话, 并且说谎的次数没有限制, 唯一的限制是甲在任意连续k+1次回答中至少又一次回答是真话.在乙问完所有想问的问题之后, 乙必须指出一个至多包含n个正整数的集合X, 若x属于X, 则乙获胜; 否则甲获胜. 证明:(1) 若n⩾2k, 则乙可保证获胜;(2) 对所有充分大的整数k, 存在正整数n⩾1.99k, 使得乙无法保证获胜.解答: (1)可以认为n=2k,N=n+1. 采用二进制.把1,2,…,2k都写成二进制: a1a2…a k+1¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯, 这里a i(i=1,2,…,k+1)是0或者1; 然后, 记T为这2k个二进制数组成的集合. 2 k+1的二进制表示是100…01¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ .令S1={100…0¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ },S i={a1a2…a k+1¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯∈T|a1=0,a i=1},i=2,3,…,k+1,也就是说, S i就是T中所有满足a i=1的元素组成的子集(i=1,2,…,k+1).乙采用如下问题, 可保证获胜: 第一次提问, 选择S1, 并且接下来也一直选取S 1, 甲的回答会出现两种情况:▪连续k+1次回答“否”, 则100…0¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯可以排除;▪在至多k+1次回答中, 一旦出现”是”, 乙接下来的k次提问, 依次选取S2,S3,…,S k+1, 就取得胜利. 事实上, 若甲最后的k次回答都是”是”, 则x∈T; 若甲最后的k次回答有一些是”否”, 则x绝对不可能是a1a2…ak+1¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯, 这里a1=0, a i=0还是1取决于甲对S i的答案: 若甲的回答是”是”, a i=0, 否则a i=1(i=2,3,…,k+1). (2). 先将问题转化成等价形式: 甲从集合S中取定一个元素x(|S|=N), 乙提出一系列的问题. 乙的第j个问题题就是取S的子集D j, 随后甲选取集合P j∈{D j,D c j}, 使得对任意的j⩾1都有x∈P j∪P j+1∪⋯∪P j+k,当乙提完他想问的一系列问题后, 如果乙能选取一个集合X满足|X|⩽n, 使得x∈X, 那么乙获胜; 否则甲获胜.解答1. 任取实数p使得2>p>1.99, 再选取正整数k0, 使得当k>k0时(2−p)p k+1−1.99k>1.设N使得(2−p)p k+1>N>1.99k. 我们来证明, 若|S|=N, 不妨S={1,2,…,N}, 甲有办法使乙无法胜利.记D j是乙的第j个问题展示的集合, 定义P j为D j或者D C j, 取决于甲对D j的答案: 若甲的回答是”是”, P j=D j, 否则P j=D C j; 再记P0=S. 定义A j如下:A j=A j(P j)=a0+pa1+p2a2+⋯+p j a j,这里a0=∣∣P j∣∣,a i=∣∣P j−i∖(P j∪P j−1∪⋯∪P j−i+1)∣∣(i=1,2,…,j).此时∑i=0j a i=N.注意A0=N.我们指出, 甲可以使得N2−p>A j成为事实: N2−p>A0=N.假设已有N2−p>A j, 甲可选取P j+1∈{D j+1,D C j+1}使得N2−p>A j+1. 事实上,A j+1(D j+1)=b0+pb1+p2b2+…+p j b j+p j+1b j+1,A j+1(D C j+1)=c0+pc1+p2c2+…+p j c j+p j+1c j+1.注意b0+c0=N,b i+c i=a i−1(i=1,2,…,j+1),于是A j+1(D j+1)+A j+1(D C j+1)=N+p(a0+pa1+p2a2+…+p j a j)<N+p⋅N2−p,因之min{A j+1(D j+1),A j+1(D C j+1)}<N2+p2⋅N2−p=N2−p.于是, 可以选取P j+1∈{D j+1,D C j+1}达到我们的要求.既然p k+1>N2−p>A j, 那么, 只要i⩾k+1,必定a i=0,这导致乙无法排除S的任何一个元素, 不能取得胜利.解答2. 记p,q是满足2>q>p>1.99的实数, 选取正整数k0使得(p q)k0⩽2(1−q2),p k0−1.99k0>1.我们来指出, 对任意k⩾k0, 若|S|∈(1.99k,p k), 那么甲有策略, 通过回答”是”或者”否”, 使得下式对所有j∈N成立:P j∪P j+1∪⋯∪P j+k=S,这里P i是D i或者D C i, 取决于甲对D i的答案: 若甲的回答是”是”, P i=D i, 否则P i=D C i; D i是乙的第i个问题所问的集合(i∈N).假定S={1,2,…,N}. 定义(x)∞j=0=(x j1,x j2,…,x j N)如下: x01=x02=⋯=x0 N=1; P0=S, 在P j+1选定之后, 定义x j+1:x j+1i={1,qx j i,i∈P j+1,i∉P j+1.(1)只要甲使得成立x j i⩽q k(1⩽i⩽N,j⩾1), 那么乙就不能取得胜利. 记T(x)=∑i=1N x i, 甲只要使得T(x j)⩽q k(j⩾1)即可. 这是可以做到的: 显而易见的事情是, T(x0)=N⩽p k<q k. 假设已有T(x j)⩽q k, 甲可以就乙的D j+1选取P j+1∈{D j+1,D C j+1}使得T(x j+1)⩽q k. 假定甲回答”是”, 此时P j+1=D j+1, 记y是根据(1)得到的序列; 相应地, 记z是甲回答”否”, P j+1=D C j+1, 根据(1)得到的序列. 于是T(y)=∑i∈D C j+1qx j i+∣∣D j+1∣∣,T(z)=∑i∈D j+1qx j i+∣∣D C j+1∣∣.因此T(y)+T(z)=q⋅T(x j)+N⩽q k+1+p k,根据选取的k0的性质, 得min{T(y),T(z)}⩽q2⋅q k+p k2⩽q k.第四题求所有的函数f:Z→Z使得对任意满足a+b+c=0的整数a,b,c恒有f(a)2+f(b)2+f(c)2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).解答: 令a=b=c=0可得3f(0)2=6f(0)2, 这说明f(0)=0. 现在我们令b=−a, c=0可得到f(a)2+f(−a)2=2f(a)f(−a)即(f(a)−f(−a))2, 于是f(a)=f(−a), 即f(n)为偶函数.假设对某个整数a使得f(a)=0, 则对任意整数b我们有a+b+(−a−b)=0, 因此f(a)2+f(b)2+f(a+b)2=2f(b)f(a+b),这等价于(f(b)−f(a+b))2=0, 即f(a+b)=f(b). 因此对某个整数a使得f(a)=0时, f是一个以a为周期的函数.令b=a及c=−2a代入题目条件中的等式f(2a)⋅(f(2a)−4f(a))=0. 取a=1我们得到f(2)=0或f(2)=4f(1).如果f(2)=0, 那么f以 2 为周期, 对任意奇数n有f(n)=f(1). 容易验证对任意的c∈Z函数f(x)={0,c,2∣n,2∤n满足题目条件.现在假设f(2)=4f(1)并且f(1)≠0. 如果对任意的整数n都有f(n)=n2⋅f(1)成立,那么此时问题解决了. 如果存在整数n使得f(n)≠n2f(1), 由于f是偶函数, 不妨将n看做自然数, 那么显然n⩾3, 我们设n是使得f(n)≠n2f(1)的最小的正整数.令a=1, b=n−1, c=−n代入可得f(1)2+(n−1)4f(1)2+f(n)2=2(n−1)2f(1)2+2((n−1)2+1)f(n)f(1)即(f(n)−(n)2f(1))⋅(f(n)−(n−2)2f(1))=0,由假设可得此时f(n)=(n−2)2f(1).令a=n, b=2−n, c=−2代入可得2(n−2)4f(1)2+16f(1)2=2⋅4⋅2(n−2)2f(1)2+2⋅(n−2)4f(1),这说明(n−2)2=1即n=3. 因此f(3)=f(1). 令a=1, b=3, c=4(因为f为偶函数, 所以条件改成c=a+b时仍然成立)代入可得f(4)2=4f(4)f(1), 即f(4)=0或f(4)=4f(1)=f(2).如果f(4)≠0, 令a=2, b=2, c=4代入可得f(2)2+f(2)2+f(4)2=2f(2)2+4f(2)f(4),即f(4)=4f(2). 又因为我们已经推得f(4)=f(2), 这说明f(2)=0, 矛盾. 因此f(4)=0, 从而f以4 为周期. 于是f(4k)=0, f(4k+1)=f(4k+3)=c, 以及f(4k+2)=4c, 容易验证这个解满足题目条件.综上所述, 函数方程的解为: f(x)=cx2, 其中c∈Z; f(x)={0,c,2∣n,2∤n其中c ∈Z; 以及f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪ 0,c,4c,4∣n,2∤n,n≡2 (mod 4)其中c∈Z.第五题已知三角形ABC中, ∠BAC=90∘, D是过顶点C的高的垂足. 设X是线段CD内部一点. K是线段AX上一点, 使得BK=BC. L是线段BX上一点, 使得AL=AC. 设M是AL与BK的交点. 证明: MK=ML.2012年IMO国际数学奥林匹克试题第五题解答: 因为AL2=AC2=AD⋅AB, 所以△ALD和△ABL相似, 因此∠ALD=∠XBA.设R是射线DC上一点, 使得DX⋅DR=BD⋅AD. 由于∠BDX=∠RDA=90∘我们可以推得△RAD∼△BXD, 因此∠XBD=∠ARD, 从而∠ALD=∠ARD 即R, A, D, 和L四点共圆. 这说明∠RLA=90∘, 于是RL2=AR2−AL2=AR2−AC2. 类似地, 我们可以得到RK2=BR2−BC2和∠RKB=90∘. 因为RC⊥AB我们有AR2−AC2=BR2−BC2, 因此RL2=RK2即RL=RK.又因为∠RLM=∠RKM=90∘我们可以推得MK2=RM2−RK2=RM2−RL2=ML2,从而MK=ML.第六题求所有正整数n, 使得存在非负整数a1,a2,⋯,a n, 满足12a1+12a2+⋯+12a n=13a1+23a2+⋯+n3a n=1.解答: 所求n≡1,2(mod4). 设M=max{a1,a2,⋯,a n}, 则有3M=∑k=1n k⋅3M−a k≡∑k=1n k=n(n+1)2(mod2),所以n(n+1)2是奇数, 从而n≡1,2(mod4).若对奇数n=2m+1, 此时存在非负整数序列(a1,a2,⋯,a n)使得12a1+12a2+⋯+12a n=13a1+23a2+⋯+n3a n=1.注意到12a m+1=12a m+1+1+12a m+1+1,m+13a m+1=m+13a m+1+1+2(m+1)3a m+1+1=m+13a m+1+1+n+13a m+1+1.因此此时对n+1, 可以验证(a1,a2,⋯,a m,a m+1+1,a m+2,⋯,a n,a m+1+1)为满足题意的序列. 这说明对奇数n若满足题目条件, 则n+1也满足题目条件.剩下的问题只要解决n=4m+1时的构造问题即可.设序列(a1,a2,⋯,a2k+1)是(1,2,⋯,2k+1)的一个排列, 设G=(1,2,⋯,2k,2k), 用g i表示它的分量.定义D(X)=∑i=12k+1a i3g i, 由于∑i=12k+112g i=1, 所以我们只要求出一个排列X使得D(X)=1, 问题就解决了. 令X=(2,1,4,3,6,5,...,2k,2k−1,2k+1), 用归纳法可算得此时D(X)=1+k32k.现在假设上面的k是正偶数, 即k=2m, 则X=(2,1,4,3,...,2m,2m−1,2m+2,2m+1,...,4m,4m−1,4m+1),定义Y=(2,1,4,3,...,2m,2m−1,2m+1,...,4m,4m−1,4m+1,2m+2),即将X的第2m+1个分量移动到最后形成的. 简单计算可得D(X)−D(Y)=2m3 4m, 所以D(Y)=1. 当k=0时, 此时取a1=0时即可. 这说明n=4m+1时的构造问题已经解决.综上所述, 要求的为满足n≡1,2(mod4)的正整数.。
2006年第47届国际数学奥林匹克(IMO)解答
∑ S ( Ai Ai+1 ) ≥2 ∑ S (ΔOi Ai Ai +1 ) ≥2S(P).
i =1 i =1
2n
2n
P 中同一边上的各个 S(AiAi+1)之和就是该边上的面积最大的内接三角形面积.
9 2 时原不等式成立. 32
1 8
1 31 2ຫໍສະໝຸດ 3 21 21 2
1 2
等号在 s= 2 ,x=y=1,z=－2,即 a:b:c=( 2 +3): 2 :( 2 －3)时达到.故所求的最小 的 M=
9 2 . 32
第二天
4.(美国)求所有的整数对(x,y),使得 1+2x+22x+1=y2.
解.对于每组解(x,y),显然 x≥0,且(x,－y)也是解.x=0 时给出两组解(0,±2). 设 x,y > 0.原式化为 2x(2x+1+1)=(y+1)(y－1). y+1 与 y－1 同为偶数且只有一个 被 4 整除.故 x≥3,且可令 y=m·2x-1+ε,其中 m 为正的奇数,ε =±1.代入化简得 1－εm=2x-2(m2－8). 若 ε =1, m2－8≤0,m=1.不满足上式. 故必 ε =－1,此时 1+m=2x-2(m2－8)≥2(m2－8),解得 m≤3.但 m=1 不符合,只有 m=3,x=4,y=23. 因此共有 4 组整数解(0,±2),(4,±23). 5.(罗马尼亚)设 P(x)为 n 次(n>1)整系数多项式,k 是一个正整数.考虑多项式 Q(x)=P(P(…(P(x))…)),其中 P 出现 k 次.证明,最多存在 n 个整数 t,使得 Q(t)=t. 证.若 Q 的每个整数不动点都是 P 的不动点,结论显然成立. 设有整数 x0 使得 Q(x0)=x0, P(x0)≠x0.作递推数列 xi+1=P(xi) (i=0.1.2….).它以 k 为周期.差分数列 Δi=xi－xi-1 (i=1,2,…)的每一项整除后一项.由周期性及 Δ1≠0,所有 |Δi|为同一个正整数 u.令 xm=min{x1,x2,…,xk},u=xm-1－xm= xm+1－xm, xm+1=xm-1.数列 的周期为 2.即 x0 是 P 的 2-周期点. 设 a 是 P 的另一个 2-周期点,b=P(a) (允许 b=a).则 a－x0 与 b－x1 互相整除,故 |a－x0|=|b－x1|,同理|b－x0|=|a－x1|.展开绝对值号,若二者同取正号,推出 x0=x1,矛盾.
2020年国际数学奥林匹克(IMO)全部试题解答
2020年第61届国际数学奥林匹克（IMO）全部试题解答海亮高级中学高三康榕博高二陈昶旭第一天第1题. 考虑凸四边形ABCD. 设P 是ABCD 内部一点. 且以下比例等式成立:∠PAD:∠PBA:∠DPA＝1: 2 :3＝∠CBP:∠BAP:∠BPC.证明: ∠ADP 的内角平分线、∠PCB 的内角平分线和线段AB 的垂直平分线三线共点.证明：如图，设∠PAD＝α,∠PBC＝β,则∠ABP＝2α,∠BAP＝2β, ∠APD＝3α,∠BPC＝3β,取△ABP外心O, 则∠AOP＝4α＝π－∠ADP∴A, O, P, D共圆.∴∠ADO＝∠APO＝∠PAO＝∠PDO∴OD平分∠PDA.同理, OC平分∠PCB.而O为△ABP外心, 显然在AB中垂线上.故∠PDA平分线, ∠PCB平分线, AB中垂线均过点O.证毕.第2题. 设实数a, b, c, d 满足a ≥b ≥c ≥d > 0, 且 a + b + c + d = 1. 证明:(234)1a b c d a b c d a b c d +++<. 证明: 由加权AM －GM 不等式, 我们有2222a b c d a b c d a a b b c c d d a b c d <⋅+⋅+⋅+⋅=+++ 故只需证明22223(234)()()cyca b c d a b c d a ++++++<∑ (*)注意到332()36cyc cyc sym cyca a ab abc =++∑∑∑∑, 及32222cyca ab ad a a ++≥∑2232222222cyca b ab b bc bd b a ++++≥∑2222233333cyca cbc ac cd c a +++≥∑22234444cyc a d a b abd acd bcd d a ++++≥∑∴ (*)成立. 故原不等式成立.第3题. 有4n 枚小石子, 重量分别为1, 2, 3, . . . , 4n. 每一枚小石子都染了n 种颜色之一, 使得每种颜色的小石子恰有四枚. 证明: 我们可以把这些小石子分成两堆, 同时满足以下两个条件:• 两堆小石子有相同的总重量;• 每一堆恰有每种颜色的小石子各两枚.证明: 引理:将n 种颜色的点个4个两两分组, 则可取n 组使得每种颜色的点各2个.即证: n 阶4-正则图G(不一定简单)必有2-正则生成子图. n ＝1, G 为v 的2个自环, 成立.设0n n ≤成立, 则01n n =+时:若G 有点含两自环或有两点含4重边, 对其余部分用归纳假设,该部分取1自环或2重边即可.下设无这样的结构.若G 含三重边,设x,y 间有三条边, 且,(,)xu yv G u y v x ∈≠≠. 考虑将x,y 去掉, 并添入边uv 得到图G ’. 由归纳假设, 图G ’有2-正则生成子图, 若该图含添入的边 uv, 删去该边并加入ux, xy, yv 即可. 若不含, 加入xy, xy 即可.下设无三重边.显然G 有圈. 设最小圈为121,,...,t x x x x . 由G 无2自环,3重边知01t n <+, i x 有两边不指向12,,...t x x x . 设这两边指向,i i u v ，以下下标模t.在G 中删去点12,,...t x x x 并加入边1(1)i i i e u v i t +=≤≤得到G’. 由归纳假设, G ’有2-正则子图G 1.对1≤i ≤t, 若1i e G ∈, 则选择G 中的边11,i i i i x u x v ++, 若1i e G ∉, 则选自1i i x x +, 其余边按G 1中边选择, 则选出的边即为G 的2-正则生成子图的边集.结论成立.回到原题. 将重量为{,41}k n k +-的小石子分为一组.(12)k n ≤≤, 由引理可取n 组使每种颜色的小石子恰2个. 这2n 个分为一组, 其余分为一组, 此即满足条件的分法, 命题成立.第二天第4题. 给定整数n > 1. 在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站. 有两家缆车公司A和B, 各运营k辆缆车; 每辆从一个车站运行到某个更高的车站(中间不停留其他车站). A 公司的k辆缆车的k个起点互不相同，k个终点也互不相同, 并且起点较高的缆车，它的终点也较高. B公司的缆车也满足相同的条件. 我们称两个车站被某个公司连接，如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站(中间不允许在车站之间有其他移动). 确定最小的正整数k, 使得一定有两个车站被两个公司同时连接.解: 由题意得, 每个缆车与1或2个缆车相连. (否则有两辆缆车起点不同, 终点相同)∴A, B各自的缆车线路图可划分为若干个链.注意到每条链长度大于等于2, 且首尾两点不能作为终点和起点, 故恰有2n k-条链.若21k n n≥-+, 则A最多由n－1条链.由抽屉原理, 其中至少有一条链上有221nnn⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥个点, 设为P. 而B仅有n－1条链, 故P上一定有两个点同时在B 的一条链上, 则这两点可被两个公司同时连接.另一方面, 2k n n=-时, 记2n个车站高度排序为21,2,...n (从低到高)令A的2n n-辆缆车为2(1)i n i i n n→+≤≤-令B的2n n-辆缆车为21(11,|)i i i n n i→+≤≤-/易见此时任两个车站不能被两个公司同时相连.2 min 1k n n∴=-+.第5题. 有一叠n > 1张卡片. 在每张卡片上写有一个正整数. 这叠卡片具有如下性质：其中任意两张卡片上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值.确定所有的n, 使得可以推出这叠卡片上的数均相等? 解: 设这n 张卡片上的数为1212,,....(...)n n x x x x x x ≤≤. 若12gcd(,,...)1n x x x d =>, 用i x d 代替i x , 不影响结果. 故不妨设12gcd(,,...)1n x x x =.由题意得, 1,2i jx x i j n +∀≤≤≤为代数整数.则2|i j i x x x +⇒模2同余. 又12gcd(,,...)1n x x x =, 故i x 全为奇数.任取一个素数p, p ≥3.记{|1,|},{|1,|}i i i i A x i n p x B x i n p x =≤≤=≤≤/ 则对,,2x y x A y B +∀∈∈不为p 的倍数. 设121(...)2k k i i i x y x x x +=, 则121|(...)2k k i i i x y p x x x +=/ ∴对1,j i j k x B ∀≤≤∈.max 2i i x B x y x ∈+∴≤. 取max ,max i i i i x A x B x x y x ∈∈==, 则max max i i i i x A x B x x ∈∈≤若1n x ≠, 取n x 的奇素因子p, 由12gcd(,,...)1n x x x =知, i ∃, 使|i p x /.取0max{|1,|}i i i i n p x =≤≤/, 由上述结论知0n i x x ≤, 则o n i x x =. 又0|,|i n p x p x /, 矛盾!1n x ∴=. 则1,1i i n x ∀≤≤=.∴对任意n ≥2, 卡片上的所有数均相等.第6题. 证明: 存在正常数c 具有如下性质:对任意整数n > 1, 以及平面上n 个点的集合S, 若S 中任意两点之间的距离不小于1，则存在一条分离S 的直线ℓ, 使得S 中的每个点到直线ℓ 的距离不小于13cn -.(我们称直线ℓ分离点集S, 如果某条以S 中两点为端点的线段与ℓ 相交.)证明: 以每个点为圆心,12为半径作圆, 则这些圆两两公共部分面积为0.引理1: 对凸多边形P, 其内部最多由421s l π++个点在S 中,其中s,l 代表P 的面积和周长. 证明: 如图, 将P 的每条边往外侧平移12, 并以P 上每个点为圆心, 12为半径作圆, 拓展区域面积为124l π+. ∴P 内部最多1422414S l s l πππ+++=+个点. 现在对于一条直线l, 作S 中每个点在l 上的投影. 任取相邻两个投影点, 则这两点连线的中垂线分离点集S, 且所有的到该直线的距离≥12投影点距离.设S 的直径为D, 则可作一个以D 为边长的正方形覆盖S. 由引理1, 122481()D Dn D n π++≥⇒=Ω 设P,Q ∈S, PQ ＝D. 将PQ 作为上述l, 记我们所能做到的使每个点到一条直线的距离均不小于该数的最大值为d.由于仅与夹角有关, 故d 存在.而l 上除P,Q 外有n －2个投影点.2(1)2D D d n n∴≥>-. 又12()D n =Ω, 故12()d n -=Ω. 需证明13()d n -=Ω .取点集S 的凸包P. 若一直线过P 上一点且使得S 中所有点都在该线一侧, 我们认为其亦分离S. 称其为支撑边. 对于任一常数C, 作两条平行的距离为C 的直线, 满足这两条直线分离S. 作他们的垂线l, 设这个带状区域内有m 个S 中的点, 则11c c d m m d≥⇒≥-+. 不妨设(1)d o =, 则可以认为m 远远大于1. 为使m 尽量小, 应取两直线其中之一为支撑边.∴现在对于一条分离S 的直线l, 设l 与P 围成的区域内部有B 个点. P 中与l 距离最近的点到l 距离为0s , 则01s d B ≥+ (以下用≥代表数量级估计) 我们证明d≥从而311D d n D n ≥⋅= 则13()d n -=Ω. 如图, P 夹在这样一个区域里, 取XY 上一点Z, 使得0YZ s =. 过Z 作MN ⊥XY , 点M,N 在以X 为圆心, D 为半径的圆上. 则B ≤YMN 内S 中点的个数.不妨设XY 为x 轴, 对YMN 内任意两点1122(,),(,)x y x y , 221201212||,()()1x x s x x y y -≤-+-≥, 则12||1y y B -≥⇒≤+.而MN =02s d MN∴≥=+由于0(1)s =Θd ∴≥, 则13d n -≥, 即13()d n -=Ω证毕.。
第41届国际数学奥林匹克解答
第41届国际数学奥林匹克解答问题 1.圆Γ1和圆Γ2相交于点M和N.设L是圆Γ1和圆Γ2的两条公切线中距离M较近的那条公切线.L与圆Γ1相切于点A，与圆Γ2相切于点 B.设经过点M且与L平行的直线与圆Γ1还相交于点C，与圆Γ2还相交于点 D.直线C A和D B相交于点E；直线A N和C D相交于点P；直线B N和C D相交于点Q.证明：E P=E Q.解答:令K为M N和A B的交点.根据圆幂定理,,换言之K是A B的中点.因为P Q∥A B,所以M是P Q的中点.故只需证明E M⊥P Q.因为C D∥A B,所以点A是Γ1的弧C M的中点,点B是Γ2的弧D M的中点.于是三角形A C M与B D M都是等腰三角形.从而有,.这意味着E M⊥A B.再由P Q∥A B即证E M⊥P Q.问题 2.设a,b,c是正实数，且满足a b c=1.证明：.解答:令,,,其中x,y,z为正实数,则原不等式变为(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)≤x y z.记u=x-y+z,v=y-z+x,w=z-x+y.因为这三个数中的任意两个之和都是正数,所以它们中间最多只有一个是负数.如果恰有一个是负数,则u v w≤0<x y z,不等式得证.如果这三个数都大于0,则由算术平均－几何平均不等式可得同理可得,.于是得到u v w≤x y z,不等式得证.问题 3.设n≥2为正整数.开始时，在一条直线上有n只跳蚤，且它们不全在同一点.对任意给定的一个正实数λ，可以定义如下的一种"移动"：I、选取任意两只跳蚤，设它们分别位于点A和B，且A位于B的左边；I I、令位于点A的跳蚤跳到该直线上位于点B右边的点C，使得B C/A B=λ.试确定所有可能的正实数λ。
使得对于直线上任意给定的点M以及这n 只跳蚤的任意初始位置，总能够经过有限多个移动之后令所有的跳蚤都位于M的右边.解答:要使跳蚤尽可能远地跳向右边,一个合理的策略是在每一个移动中都选取最左边的跳蚤所处的位置作为点A,最右边的跳蚤所处的位置作为点 B.按照这一策略,假设在k次移动之后,这些跳蚤之间距离的最大值为d k,而任意两只相邻的跳蚤之间距离的最小值为δk.显然有d k≥(n-1)δk.经过第(k+1)次移动,会产生一个新的两只相邻跳蚤之间的距离λd k.如果这是新的最小值,则有δk+1=λd k;如果它不是最小值,则显然有δk+1≥δk.无论哪种情形,总有m i n m i n.因此,只要λ≥1/(n-1),就有δk+1≥δk对任意k都成立.这意味着任意两只相邻跳蚤之间距离的最小值不会减小.故每次移动之后,最左边的跳蚤所处的位置都以不小于某个正的常数的步伐向右平移.最终,所有的跳蚤都可以跳到任意给定的点M的右边.下面来证明:如果λ<1/(n-1),则对任意初始位置都存在某个点M,使得这些跳蚤无法跳到点M的右边.将这些跳蚤的位置表示成实数,考虑任意的一系列移动.令S K为第K次移动之后,表示跳蚤所在位置的所有实数之和.再令W K为这些实数中最大的一个（即最右边的跳蚤的位置）.显然有S K≤n W K.我们要证明序列{W K}有界.在第(k+1)次移动时,一只跳蚤从点A跳过点B落在点 C.分别用实数a,b,c表示这三个点,则S k+1=S k+c-a.根据移动的定义,c-b=λ(b-a).进而得到λ(c-a)=(1+λ)(c-b).于是.如果c>W k,则刚跳过来的这只跳蚤占据了新的最右边位置W k+1=c.再由b≤W k可得.如果c≤W k,则有W k+1-W k=0,.故上式仍然成立.考虑下列数列,k=0,1,2,…则有Z k+1-Z k≤0,即该数列是不升的.因此,对所有的k总有Z k≤Z0.假设λ<1/(n-1),则1+λ>nλ.可以把Z k写成,其中.于是得到不等式.故对于所有的k,总有.这意味着最右边跳蚤的位置永远不会超过一个常数,这个常数与n,λ和这些跳蚤的初始位置有关,而与如何移动无关.最终得到结论:所求λ的可能值为所有不小于1/(n-1)的实数.问题 4.一位魔术师有一百张卡片，分别写有数字1到100.他把这一百张卡片放入三个盒子里，一个盒子是红色的，一个是白色的，一个是蓝色的.每个盒子里至少都放入了一张卡片.一位观众从三个盒子中挑出两个，再从这两个盒子里各选取一张卡片，然后宣布这两张卡片上的数字之和.知道这个和之后，魔术师便能够指出哪一个是没有从中选取卡片的盒子.问共有多少种放卡片的方法，使得这个魔术总能够成功？（两种方法被认为是不同的，如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子.）解答:共有12种不同的方法.考虑1到100之间的整数.为简便起见,将整数i所放入的盒子的颜色定义为该整数的颜色.用r代表红色,w代表白色,b代表蓝色.情形 1.存在某个i,使得i,i+1,i+2的颜色互不相同,例如分别为r w b.则因i+(i+3)=(i+1)+(i+2),所以i+3的颜色既不能是i+1的颜色w,也不能是i+2的颜色b,只能是r.可见只要三个相邻的数字有互不相同的颜色,就能够确定下一个数字的颜色.进一步地,这三个数字的颜色模式必定反复出现:r w b后面一定是r,然后又是w,b,…依此类推.同理可得上述过程对于相反方向也成立:r w b的前面一定是b,…依此类推.因此,只需确定1,2,3的颜色.而这有6种不同的方法.这6种方法都能够使魔术成功,因为它们的和r+w, w+b, b+r给出模3的互不相同的余数.情形 2.不存在三个连续的数字,其颜色互不相同.假设1是红色的.令i为最小的不是红色的数字.不妨假设i为白色的.再设k为最小的蓝色数字,则由假设必有i+1<k.如果k<100,因为i+k=(i-1)+(k+1),所以k+1一定要是红色的.但又由于i+(k+1)=(i+1)+k,所以i+1一定要是蓝色的,与k是最小蓝色数字相矛盾.故得k必须等于100.换言之,只有100是蓝色的.我们再来证明只有1是红色的.不然的话,设存在t>1是红色的,则由t+99=(t-1)+100推出t-1是蓝色的,与只有100是蓝色的相矛盾.于是这些数字的颜色必须是r w w…w w b.而这种方法确实可行:如果被选取的两张卡片上的数字之和≤100,则没有从中选取卡片的盒子一定是蓝色的;如果数字之和等于101,则没有从中选取卡片的盒子一定是白色的;如果数字之和>101,则没有从中选取卡片的盒子一定是红色的.最后,共有6种按照上述样子排列颜色的方法.故答案为12.问题 5.确定是否存在满足下列条件的正整数n：n恰好能够被2000个互不相同的质数整除，且2n+1能够被n整除.解答:存在.我们用归纳法来证明一个更一般的命题:对每一个自然数k都存在自然数n=n(k),满足n|2+1,3|n且n恰好能够被k个互不相同的质数整除.当k=1时,n(1)=3即可使命题成立.假设对于k≥1存在满足要求的n(k)=3l．t,其中l≥1且3不能整除t.于是n=n(k)必为奇数,可得.利用恒等式可知3n|23n+1.根据下面的引理,存在一个奇质数p满足p|23n+1但是p不能整除2n+1.于是自然数n(k+1)=3p.n(k)即满足命题对于k+1的要求.归纳法完成.引理:对于每一个整数a>2,存在一个质数p满足p|a3+1但是p不能整除a+1 .证明:假设对某个a>2引理不成立.则a2-a+1的每一个质因子都要整除a+1.而恒等式a2-a+1=(a+1)(a-2)+3说明能够整除a2-a+1的唯一质数是3.换言之,a2-a+1是3的方幂.因为a+1是3的倍数,所以a-2也是3的倍数.于是a2-a+1能够被3整除,但不能被9整除.故得a2-a+1恰等于3.另一方面,由a>2知a2-a+1>3 .这个矛盾完成了引理的证明.问题 6.设A H1,B H2,C H3是锐角三角形A B C的三条高线.三角形A B C的内切圆与边B C,C A,A B分别相切于点T1,T2,T3.设直线l1,l2,l3分别是直线H2H3,H3H1,H1H2关于直线T2T3,T3T1,T1T2的对称直线.证明:l1,l2,l3所确定的三角形,其顶点都在三角形A B C的内切圆上.解答:令M1为T1关于∠A的角平分线的对称点,M2和M3分别为T2和T3关于∠B 和∠C 的角平分线的对称点.显然M1,M2和M3在三角形A B C的内接圆周上.只需证明它们恰好是题目中所求证的三角形的三个顶点.由对称性,只需证明H2H3关于直线T2T3的对称直线l1经过M2即可.设I为三角形A B C的内心.注意T2和H2总在B I的同一侧,且T2比H2距离B I更近.我们只考虑C也在B I同一侧的情形(如果C和T2,H2分别位于B I的两侧,证明需要稍加改动).设∠A=2α,∠B=2β,∠C=2γ.引理H2关于T2T3的镜像位于直线B I上.证明:过H2作直线l与T2T3垂直.记P为l与B I的交点,S为B I与T2T3的交点.则S既在线段B P上,也在线段T2T3上.只需证明.首先我们有.又由外角定理知.再由关于B I的对称性知.因为,所以C和S在I T1的同一侧.由可得S,I,T1和C四点共圆,于是有.因为,所以B,C,H2和S也是四点共圆.这意味着,引理得证.注意到在引理的证明中,因为B,C,H2和S四点共圆以及关于T2T3的对称性,可以得到.又由于M2是T2关于B I的对称像,我们有.因此P M2平行于B C.要证明M2位于l1上,只需证l1也平行于B C.假设α≠γ.设直线B C与H2H3和T2T3分别相交于点D和 E.注意到D和E位于直线B C上线段B C的同一侧.不难证明有,.故得l1确实平行于B C.。
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第3届)
国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题ห้องสมุดไป่ตู้第 3 届）
1. 设 a、b 是常数，解方程组 x + y + z = a； x2 + y2 + z2 = b2； xy=z2
并求出若使 x、y、z 是互不相同的正数，a、b 应满足什么条件？ 2. 设 a、b、c 是某三角形的边，A 是其面积，求证： a2 + b2 + c2 >= 4 3 A. 并求出等号何时成立． 3. 解方程 cosnx - sinnx = 1， 其中 n 是一个自然数． 4. P 是三角形 ABC 内部一点，PA 交 BC 于 D，PB 交 AC 于 E，PC 交 AB 于 F，求证 AP/PD， BP/PE， CP/PF 中至少有一个不大于 2，也至少有一个不小于 2． 5. 作三角形 ABC 使得 AC=b， AB=c，锐角 AMB = ，其中 M 是线断 BC 的中点．求 证这个三角形存在的充要条件是 b tan(/2) <= c < b. 又问上式何时等号成立． 6. 三个不共线的点 A、B、C，平面 p 不平行于 ABC，并且 A、B、C 在 p 的同一侧．在 p 上任意取三个点 A'， B'， C'， A''， B''， C''设分别是边 AA'， BB'， CC'的中点， O 是三角形 A''B''C''的重心．问，当 A'，B'，C'变化时，O 的轨迹是什么？
第49届IMO试题解答
第49届国际数学奥林匹克试题解答1、已知H 是锐角三角形ABC 的垂心，以边BC 的中点为圆心，过点H 的圆与直线BC 相交于两点12,A A ；以边CA 的中点为圆心，过点H 的圆与直线CA 相交于两点12,B B ；以边AB 的中点为圆心，过点H 的圆与直线AB 相交于两点12,C C . 证明：六点12,,A A 12,,B B 12,C C 共圆.证 00,B C 分别是边CA ，AB 的中点.设以边0B 为圆心，过点H 的圆与以0C 圆心，过点H 的圆的另一个交点为A '，则00A H C B '⊥.由于00,B C 分别是边CA ，AB 的中点，所以00C B ∥BC ，从而A H BC '⊥，于是点A '在AH 上.由切割线定理：1212AC AC AA AH AB AB '⋅=⋅=⋅，所以，12,,B B 12,C C 四点共圆.分别作12,B B 12C C 的垂直平分线，设他们相交于点O ，则O 是四边形1212B B C C 的外接圆圆心，也是△ABC 的外心，且1212OB OB OC OC ===.同理可得，1212OA OA OB OB ===，所以，12,,A A 12,,B B 12,C C 六点都是在 以O 为圆心，1OA 为半径的圆上，故六点12,,A A 12,,B B 12,C C 共圆.A2、（a ）设实数x ，y ，z 都不等于1，xyz ＝1，求证：2222221(1)(1)(1)x y z x y z ++≥---. （b ）证明：存在无穷多组三元有理数组（x ，y ，z ），使得上述不等式等号成立.证（a ） 令,,111x y z a b c x y z ===---，则 ,,111a b cx y z a b c ===---. 由题设条件xyz ＝1得，(1)(1)(1)abc a b c =---，即 1a b c a b b c c a ++-=++， 所以 2222()2()a b c a b c a b b c c a++=++-++ 2()2(1)a b c a b c =++-++- 2(1)11a b c =++-+≥，从而 2222221(1)(1)(1)x y z x y z ++≥---. （b ） 令（x ，y ，z ）＝2221,,(1)k k k k k k ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭，k 是正整数，则（x ，y ，z ）是三元有理数组，x ，y ，z 都不等于1，且对于不同的正整数k ，三元有理数组 （x ，y ，z ）是互不相同的.此时222222(1)(1)(1)x y z x y z ++--- 2222222222()(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k --=++-+-+-+ 4322223211(1)k k k k k k -+-+==-+， 从而命题得证.3、证明：存在无穷多个正整数n ，使得21n +有一个大于2n 的质因子.证 设(20)m ≥是一个整数，p 是2(!)1m +的一个质因子，则20p m >≥. 令整数n 满足02pn <<，且!(mod )n m p ≡±.于是0n p n p <<-<，且 21(mod )n p ≡-. ①故 222(2)444(m o d )p n p p n n p -=-+≡-， 所以 2(2)4p n p -≥-，2242p n n ≥≥- ②由①，②便知，命题成立.4、求所有的函数:(0,)(0,)f +∞→+∞， 满足对所有的正实数w ，x ，y ，z ，w x ＝y z ，都有()()22222222()()()()f w f x w x f y f z y z++=++. 解 令1w x y z ====，得2((1))(1)f f =，所以(1)1f =. 对任意0t >，令,1,w t x y z ====22(())112()2f t t f t t++=， 去分母整理得 ()()()1()0t f t f t t --=， 所以，对每个0t >，()f t t =，或者1()f t t =. （*）若存在(),0,b c ∈+∞，使得1(),()f b b f c c≠≠，则由（*）知，b ，c 都 不等于1，且1(),()f b f c c b==。
国际数学奥林匹克试题分类解析—A数论_A5整数综合问题
A5 整数综合问题A5－002在n³n(n为奇数)的方格表里的每一个方格中，任意填上一个＋1或－1，在每一列的下面写上该列所有数的乘积；在每行的右边写上该行所有数的乘积，证明：这2n个乘积的和不等于0．【题说】1962年全俄数学奥林匹克八、九年级题5．【证】设p1，p2，…，p n是各行数字乘积，q1，q2，…，q n是各列数字乘积，它们都是＋1或－1，而应有p1p2…p n＝q1q2…q n，所以p1、p2、…、p n、q1、q2…、q n中应有偶数个－1．设为2k个，则其中＋1的个数为2(n－k)．由于n为奇数，k≠n－k，所以p1＋p2＋…＋p n＋q1＋q2＋…＋q n≠0A5－003已知任意n个整数a1，a2，…，a n，由此得到一列新的数．由这n个数依同样法则又得到一列新数，并如此做下去．假如所有这些新数都是整数，证明原来所给各数a i(i＝1，2，…，n)都相等．【题说】1964年全俄数学奥林匹克八年级题4．n为偶数时有一种例外情况使结论不成立．【证】对于任给的n个数x i(1≢i≢n)，如果它们不全相等，那么施行如上运算若干次后得的新数中，最大值要变小，最小值要变大，因此，如若不能得出一组n个相同的数的话，其中最大数不能永远是整数．假设从一组n个数z1，z2，…，z n得到n个相同的数那么，当n是奇数时，易知z1＝z2＝…＝z n；当n是偶数时，z1，…，z n中奇数项相等，偶数项相等．若z i(1≢i≢n)由y i(1≢i≢n)经运算得出，且设则有 2(y1＋y2＋…＋y n)＝2na及 2(y2＋y3＋…＋y n＋y1)＝2nb从而 2na＝2nb，a＝b由此得出z1＝z2＝…＝z n＝a因此，我们的命题成立．仅当n为偶数时，有一种例外情况：n个整数a，b，a，b，…，a，b，(a与b的奇偶性相同，a ≠b)满足题中条件，但结论不成立．A5－004某整数集合A既含有正整数，也含有负整数，而且如果a和b是它的元素，那么2a 和a＋b也是它的元素，证明：集合A包含它的任意两个元素之差．【题说】1967年匈牙利数学奥林匹克题1．【证】不难证明：如果整数c是集合A的元素，而n是自然数，那么nc也属于集合A．因为集合A既含有正整数，也含有负整数，根据最小数原理，集合A存在最小的正整数a和绝对值最小的负整数b．这两个数的和a＋b也应该属于集合A，而且满足不等式．b＜a＋b＜a但是集合A不含有小于a的正数和大于b的负数，所以a＋b只能等于0．因此，数0属于集合A，且b＝－a．根据前面所证，集合A包含数a的所有整数倍．设x∈A，则由带余数除法，存在整数q、r，使x＝qa＋r(0≢r＜a)．于是r＝x＋(－qa)∈A．由于0≢r＜a，必有r＝0．即A中的数均为a的整数倍．既然集合A的元素都是a的整数倍，因此集合A的任意两个元素之差也是元素a的整数倍，因而属于集合A．A5－005证明：任何不大于n！的自然数，都能表示成不多于n个数的和，在这些加数中，没有两个是相同的，而且任何一个都是n！的因数．【题说】第二届(1968年)全苏数学奥林匹克九年级题5．【证】对n用数学归纳法，n＝1时，显然．设n时结论真．对a≢(n＋1)！，将a除以n＋1得a＝d(n＋1)＋r，这里d≢n！，0≢r＜n＋1．由归纳假设，d＝d1＋d2＋…＋d l，l≢n．且所有d i是n！的不同因数(i＝1，2，…，l)．于是 a＝d1(n＋1)＋…＋d l(n＋1)＋r这个和中的加数不多于n＋1个，其中每一个都是(n＋1)！的因数，且全不相等．A5－006找出具有下列性质的所有正整数n：设集合{n，n＋1，n＋2，n＋3，n＋4，n＋5}可以划分成两个无公共元素的非空子集，使得一个子集中所有元素的乘积等于另一子集中所有元素的乘积．【题说】第十二届(1970年)国际数学奥林匹克题4．本题由捷克斯洛伐克提供．【解】假定n具有所述性质，那么六个数n，n＋1，n＋2，n＋3，n＋4，n＋5中任一个素因数p 必定还整除另一个数(在另一个子集中)．因而p整除这两个数的差，所以p只能为2，3，5．再考虑数n＋1，n＋2，n＋3，n＋4．它们的素因数不能为5(否则上面的六个数中只有一个被5整除)，因此只能为2与3．这四个数中有两个为连续奇数．它们必须是3的正整数幂(因为没有其它因数)，但这样两个幂的差被3整除，决不能等于2．矛盾！这就说明具有所述性质的n是不存在的．A5－007证明：任何一个正的既约真分数m／n可以表示成两两互异的自然数的倒数之和．【题说】1972年～1973年波兰数学奥林匹克三试题5．【证】对m用数学归纳法．m＝1时，显然成立．假设对小于m的自然数命题成立，我们证明它对m＞1也成立．为此，设n＝qm＋r(0≢r＜m) (1)因为m／n是正的既约真分数，所以q＞0，r＞0．又因0＜m－r＜m，所以由归纳假设，其中t1＜t2＜…＜t k为自然数．因为n＞m，所以由(3)知：t1＞q＋1，将(3)代入(2)得所以，命题对任何自然数m都成立．A5－008 8分和15分的邮票可以无限制地取用．某些邮资额数，例如7分、29分，不能够刚好凑成．求不能凑成的最大额数n，即大于n的额数都能够凑成，并证明你的答案．【题说】第六届(1974年)加拿大数学奥林匹克题6．【解】因为98＝8²1＋15²699＝8²3＋15²5100＝8²5＋15²4101＝8²7＋15²3102＝8²9＋15²2103＝8²11＋15²1104＝8²13＋15²0105＝8²0＋15²7比105大的数，可用以上8数加上8的适当倍数而得到．而97不能用8与15凑成．故所求的n 值为97．【注】一般地，当正整数p、q互质时，不能用p、q凑成的最大整数pq－p－q．A5－009若整数n可表示成n＝a1＋a2＋…＋a k (1)其中a1，a2，…，a k是满足的正整数(不一定相异)，那么，我们称n是好数，已知整数33至73是好数，证明：每一个不小于33的整数都是好数．【题说】第七届(1978年)英国数学奥林匹克题3．【证】我们改证命题p n：整数n，n＋1，…，2n＋7都是好数．已知p33为真．假设p n成立，那么n是好数，即存在正整数a1，a2，…，a k使(1)、从而这表明 2(a1＋a2＋…＋a k)＋4＋4＝2n＋82(a1＋a2＋…＋a k)＋3＋6＝2n＋9也是好数，因此P n成立．根据数学归纳法，对所有正整数n≣33，P n成立，原命题因而得证．A5－010设f(x)＝x2－x＋1．证明：对任意的m个自然数(m＞1)，f(m)，f(f(m))，…两两互素．【题说】第十二届(1978年)全苏数学奥林匹克十年级题1．【证】因f(0)＝1，所以多项式的常数项p n(0)＝1．因而，对于任意的整数m，p n(m)除以m，余数等于1．用m＇＝p k(m)代替m，就得到p n＋k(m)＝p n(m＇)与m＇＝p k(m)互素．A5－011自然数n的数字和用S(n)来表示．(1)是否存在一个自然数n，使得n＋s(n)＝1980；(2)证明：在任意两个连续的自然数之中，至少有一个能表示成n＋S(n)的形式，其中n为某个自然数．【题说】第十四届(1980年)全苏数学奥林匹克八年级题6．【解】(1)当n＝1962时，n＋S(n)＝1980．(2)令S n＝n＋S(n)，如果n的末位数字是9，则S n＋1＜S n；否则S n＋1＝S n＋2．对任意两个连续的自然数m(m≣2)，m＋1，在S n＜m的n中，选择最大的，并用N表示．这时S N＋1≣m＞S N，所以N 的末位数字不是9，从而S N＋1＝S N＋2．由m≢S N＋1＝S N＋2＜m＋2，即得S N＋1＝m或S N＋1＝m＋1．A5－012设n为≣2的自然数．证明方程x n＋1＝y n＋1在x与n＋1互质时无正整数解．【题说】1980年芬兰等四国国际数学竞赛题3．本题由匈牙利提供．【证】x n＝y n＋1－1＝(y－1)(y n＋y n－1＋…＋1)．如果质数p是y－1与y n＋y n－1＋…＋1的公因数，则p整除x n，从而p是x的因数．但y除以p余1，所以y n＋y n－1＋…＋1除以p与n＋1除以p 的余数相同，即n＋1也被p整除，这与x、n＋1互质矛盾．因此y－1与y n＋y n－1＋…＋1互质，从而y－1＝s n，y n＋y n－1＋…＋1＝t n，其中s、t为自然数，st＝x．但y n＜y n＋y n－1＋…＋1＜(y ＋1)n，所以y n＋y n－1＋…＋1≠t n，矛盾，原方程无解．A5－013设a、b、c是两两互素的正整数，证明：2abc－be－ac－ab是不能表示为xbc＋yac ＋zab形式的最大整数(其中x、y、z是非负整数)．【题说】第二十四届(1983年)国际数学奥林匹克题3．【证】熟知在a、b互素时，对任意整数n有整数x、y，使ax＋by＝n．当n＞ab－a－b时，首先取0≢x＜b(若x＞b则用x－b、y＋a代替x、y)，我们有by＝n－ax＞ab－a－b－ax≣ab－a－b－a(b－1)＝－b所以y＞－1也是非负整数．即n＞ab－a－b时，有非负整数x、y使ax＋by＝n．因为a、b、c两两互素，所以(bc，ac，ab)＝1．令(bc，ac)＝d．则(ab，d)＝1，所以方程abz＋dt＝n (1)有整数解，并且0≢z＜d(若z＞d则用z－d、t＋ab代替z、t)．设 bc＝da1，ac＝db1，那么(a1，b1)＝1．在n＞2abc－bc－ca－ab时，即 t＞a1b1－a1－b1从而方程a1x＋b1y＝t (2)有非负整数解(x，y)．由(1)与(2)消去t可得bcx＋acy＋abz＝n有非负整数解．另一方面，若有非负整数x、y、z使2abc－bc－ac－ah＝xbc＋yac＋zab则 bc(x＋1)＋ac(y＋1)＋ab(z＋1)＝2abc于是应有，a整除bc(x＋1)，因(a，bc)＝1．所以，a整除x＋1，从而c≢x＋1．同理有，b≢y＋1，c≢z＋1．因此3abc＝bca＋acb＋abc≢bc(x＋1)＋ac(y＋1)＋ab(z＋1)＝2abc由于a、b、c都是正整数，这是不可能的，故2abc－bc－ca－ab不能表成xbc＋yca＋zab(x、y、z为非负整数)的形式．A5－014能否选择1983个不同的正整数都不大于105，且其中没有三个正整数是算术级数中的连续项，并证明你的论断．【题说】第二十四届(1983年)国际数学奥林匹克题5．本题由波兰提供．【解】考虑三进制表示中，不含数字2并且位数≢11的数所成的集合M．显然|M|＝211－1＞1983．M中最大的数为若x、y、z∈M并且x＋z＝2y，则由于2y的各位数字为0或2，所以x＋z的各位数字也为0或2．从而x、z在同一位上的数字同为0或同为2，即x＝z．因此M中任三个互不相同的数不成等差数列．于是回答是肯定的，M即是一例．A5－015将19分成若干个正整数之和，使其积为最大．【题说】1984年上海市赛一试题2(9)．【解】由于分法只有有限种，其中必有一种分法，分成的各数的积最大．我们证明这时必有：(1)分成的正整数只能是2和3．因为4＝2＋2，且4＝2³2，若分出的数中有4，拆成两个2其积不变；若分出的数中有数a≣5．则只要把a拆成2与a－2，由2(a－2)＞a知道积将增大．(2)分成的正整数中，2最多两个．若2至少有3个，则由3＋3＝2＋2＋2及3³3＞2³2³2可知，将3个2换成2个3，积将增大．所以，将19分成5个3与2个2的和，这些数的积35³22＝972是最大的．A5－016设a、b、c、d是奇整数，0＜a＜b＜c＜d，且ad＝bc．证明：如果对某整数k和m有a＋d＝2k和b＋c＝2m，那末a＝1．【题说】第二十五届(1984年)国际数学奥林匹克题6．【证】因为a[(a＋d)－(b＋c)]＝a2＋ad－ab－ac＝a2＋bc－ab－ac＝(a－b)(a－c)＞0所以a＋d＞b＋c，即2k＞2m，k＞m．又由ad＝bc，有 a(2k－a)＝b(2m－b)2m(b－2k－m a)＝b2－a2＝(b＋a)(b－a)可知2m整除(b＋a)(b－a)．但b＋a和b－a不能都被4整除(因为它们的和是2b，而b是奇数)，所以2m－1必整除b＋a或b－a之一．因为b＋a＜b＋c＝2m，所以b＋a＝2m－1或b－a＝2m－1．因为a、b是奇数，它们的公因数也是奇数，且是b＋a和b－a的因数，从而是2m－1的奇因数，即1．所以a与b互质，同理a与c也互质．但由ad＝bc，知a能整除bc，故a＝1．A5－017对正整数n≣1的一个划分π，是指将n分成一个或若干个正整数之和，且按非减顺序排列(如n＝4，划分π有1＋1＋1＋1，1＋1＋2，1＋3，2＋2及4共5种)．对任一划分π，定义A(π)为划分π中数1出现的个数；B(π)为π中出现不同的数的个数(如对n＝13的一个划分π：1＋1＋2＋2＋2＋5而言，A(π)＝2，B(π)＝3)．求证：对任意正整数n，其所有划分π的A(π)之和等于B(π)之和．【题说】第十五届(1986年)美国数学奥林匹克题5．【证】设p(n)表示n划分的个数．那么第一个位置是1的划分有p(n－1)个，第二个位置上是1的(当然它第一个位置上也是1)的划分有p(n－2)个．等等．第n－1个位置上是1的划分有P(1)＝1个，第n个位置上是1的只有1种．若令P(0)＝1．则所有划分中含1的数A(π)之和等于P(n－1)＋P(n－2)＋…＋P(1)＋P(0)．另一方面，从含有1的每个划分中拿去一个1，都成为一个(n－1)的划分，共拿去P(n－1)个1．再从含有2的每个划分中拿去一个2，都成为n－2的划分，共拿去P(n－2)个2．…从含有(n－1)的划分(只有一个：1＋(n－1)，拿去(n－1)，即拿去了P(1)＝1个1．再加上含有n的一个划分，n为P(0)＝1个，故B(π)总和也等于P(n－1)＋P(n－2)＋…＋P(1)＋P(0)．因此，A(π)＝B(π)．A5－018在直角坐标系xoy中，点A(x1，y1)和点B(x2，y2)的坐标均为一位正整数．OA与x轴正方向的夹角大于45°，OB与x轴正方向的夹角小于45°，B在x轴上的射影为B＇，A在y轴上的射影为A＇，△OB＇B的面积比△OA＇A的面积大33.5．由x1、求出所有这样的四位数，并写出求解过程．【题说】1985年全国联赛二试题1．＞67．又由于x2、y2均为一位正整数，所以x2y2＝72或x2y2＝81．因为∠BCB＇＜45°，所以x2＞y2．故由x2y2＝72可知x2＝9，y2＝8．此时x1y1＝5．同样可求得x1＝1，y1＝5．综上可知，1985为符合条件的唯一的四位数．A5－019设n、k为互素自然数，0＜k＜n，在集合M＝{1，2，…，n－1｝(n≣3)中的各数，要么着蓝色，要么着白色，已知(1)对于各i∈M，i和n－i同色；(2)对于各i∈M，i≠k， i和|i－k|同色．证明：在M中的所有数均同色．【题说】第二十六届(1985年)国际数学奥林匹克题2．本题由澳大利亚提供．【证】设lk＝nq l＋r l(l＝1，2，…，n－1；1≢r l≢n－1)．若r l＝r l＇，则(l－l＇)k被n整除，但n、k互素，所以n|(l－l＇)这表明在l＝1，2…，n－1时，r1，r2，…，r n－1互不相同，所以M＝｛r1，r2，…，r n－1｝．若r l＜n－k，即r l＋k＜n，则r l＋1＝r l＋k，由条件(2)，r l＋1与r l＋1－k＝r l同色．若r l≣n－k，即r l＋k≣n，则r l＋1＝r l＋k－n，于是r l＋1与k－r l＋1＝n－r l同色．再由条件(1)n－r l与r l同色．综上所述，r i＋1与r l同色(l＝1，2，…，n－2)，因此M中所有数同色．A5－020如n是不小于3的自然数，以f(n)表示不是n的因数的最小自然数(例如f(12)＝5)．如果f(n)≣3，又可作f(f(n))．类似地，如果f(f(n))≣3，又可作f(f(f(n)))果用L n表示n的长度，试对任意的自然数n(n≣3)，求L n并证明你的结论．【题说】第三届(1988年)全国冬令营赛题6．【解】很明显，若奇数n≣3，那么f(n)＝2，因此只须讨论n为偶数的情况，我们首先证明，对任何n≣3，f(n)＝p s，这里P是素数，s为正整数．假若不然，若f(n)有两个不同的素因子，这时总可以将f(n)表为f(n)＝ab，其中a、b是大于1的互素的正整数．由f的定义知，a与b都应能整除n，因(a，b)＝1，故ab也应整除n，这与f(n)＝ab矛盾．所以f(n)＝p s．由此可以得出以下结论：(1)当n为大于1的奇数时，f(n)＝2，故L n＝1；(2)设n为大于2的偶数，如果f(n)＝奇数，那么f(f(n))＝2，这时L n＝2；如果f(n)＝2s，其中自然数s≣2，那么f(f(n))＝f(2s)＝3，从而f(f(f(n)))＝f(3)＝2，这时L n＝3．A5－021一个正整数，若它的每个质因数都至少是两重的(即在这数的分解式中每个质因数的幂指数都不小于2)，则称该正整数为“漂亮数”．相邻两个正整数皆为“漂亮数”，就称它们是一对“孪生漂亮数”，例如8与9就是一对“孪生漂亮数”．请你再找出两对“孪生漂亮数”来．【题说】1989年北京市赛高一题5．【解】设(n，n＋1)是一对“孪生漂亮数”，则4n(n＋1)是漂亮数，并且4n(n＋1)＋1＝4n2＋4n＋1＝(2n＋1)2是平方数，而平方数必为漂亮数．所以，(4n(n＋1)、4n(n＋1)＋1)也是一对“孪生漂亮数”．于是，取n＝8，得一对“孪生漂亮数”(288，289)．再取n＝288，得另一对“孪生漂亮数”(332928，332929)．两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”比如16＝52－32，16就是一个“智慧数”．在自然数列中从1开始数起，试问第1990个“智慧数”是哪个数？并请你说明理由．【题说】1990年北京市赛高一复赛题4．【解】显然1不是“智慧数”，而大于1的奇数2k＋1＝(k＋1)2－k2，都是“智慧数”．4k＝(k＋1)2－(k－1)2可见大于4且能被4整除的数都是“智慧数”而4不是“智慧数”，由于x2－y2＝(x＋y)(x－y)(其中x、y∈N)，当x，y奇偶性相同时，(x＋y)(x－y)被4整除．当x，y奇偶性相异时，(x＋y)(x －y)为奇数，所以形如4k＋2的数不是“智慧数”在自然数列中前四个自然数中只有3是“智慧数”．此后每连续四个数中有三个“智慧数”．由于1989＝3³663，所以2656＝4³664是第1990个“智慧数”．A5－023有n(≣2)名选手参加一项为期k天的比赛，每天比赛中，选手的可能得分数为1，2，3，…，n，且没有两人的得分数相同，当k天比赛结束时，发现每名选手的总分都是26分．试确定数对(n，k)的所有可能情况．【题说】第二十二届(1990年)加拿大数学奥林匹克题1．【解】所有选手得分总和为kn(n＋1)/2＝26n，即k(n＋1)＝52(n，k)取值可以是(3，13)，(12，4)，(25，2)及(51，1)，但最后一种选择不满足要求．当(n，k)＝(3，13)时，3名选手13天得分配置为(1，2，3)＋2(2，3，1)＋2(3，1，2)＋3(1，3，2)＋2(3，2，1)＋3(2，1，3)＝(26，26，26)．当(n，k)＝(12，4)时，12名选手4天得分配置为2(1，2，…，11，12)＋2(12，11，…，2，1)＝(26，26，…，26)．当(n，k)＝(25，2)时，25名选手两天得分配置为(1，2，…，24，25)＋(25，24，…，2，1)＝(26，26，…，26)．A5－024设x是一个自然数．若一串自然数x0＝1，x1，x2，…，x t－1，x t＝x，满足x i－1＜x i，x i －1|x i，i＝1，2，…，t．则称{x0，x1，x2，…x t}为x的一条因子链，t为该因子链的长度．T(x)与R(x)分别表示x的最长因子链的长度和最长因子链的条数．对于x＝5k³31m³1990n(k，m，n是自然数)试求T(x)与R(x)．【题说】第五届(1990年)全国冬令营赛题2．【解】设x的质因数分解式为其中p1、p2、…、p n为互不相同的质数，α1、α2、…、αn为正整数．由于因子链上，每一项至少比前一项多一个质因数，所以T(x)≢α1＋α2＋…＋αn．将α1＋α2＋…＋αn个质因数(其中α1个p1，α2个p2，…，αn个p n)依任意顺序排列，每个排列产生一个长为α1＋α2＋…＋αn的因子链(x1为排列的第一项，x2为x1乘排列的第二项，x3为x2乘第三项，…)，因此T(x)＝α1＋α2＋…＋αn，R(x)即排列对于x＝5k³31m³1990n＝2n³5k＋n³31m³199n，T(x)＝3n＋k＋mA5－025证明：若则为整数．【题说】1990年匈牙利阿拉尼²丹尼尔数学竞赛低年级普通水平题1．【证】若x＋y＋z＋t＝0，则由题设条件可得于是此时(1)式的值等于－4．若x＋y＋z＋t≠0，则由此可得x＝y＝z＝t．于是(1)式的值等于4．A5－026课间休息时，n个学生围着老师坐成一圈做游戏，老师按顺时针方向并按下列规则给学生们发糖：他选择一个学生并给一块糖，隔一个学生给下一个学生一块，再隔2个学生给下一个学生一块，再隔3个学生给下一个学生一块…．试确定n的值，使最后(也许绕许多圈)所有学生每人至少有一块糖．【题说】1991年亚太地区数学奥林匹克题4．【解】问题等价于确定正整数n，使同余式1＋2＋3＋…＋x＝a(modn) (1)对任意正整数a都有解．我们证明当且仅当n是2的方幂时，(1)式总有解．若n不是2的方幂，则n有奇素因数p．由于1，1＋2，1＋2＋3，…，1＋2＋…＋(p－1)，1＋2＋…＋p至多表示mod p的p－1个剩余类(最后两个数在同一个剩余类中)，所以1＋2＋…＋x也至多表示mod p的p－1个剩余类，从而总有a使1＋2＋…＋x≡a(mod p)无解，这时(1)也无解．若n＝2k(k≣1)，考察下列各数：0³1，1³2，2³3，…，(2k－1)2k (2)设x(x＋1)≡y(y＋1)、(mod 2k＋1)，其中0≢x，y≢2k－1，则x2－y2＋x－y≡(x－y)(x＋y＋1)≡0(mod 2k＋1)因为x－y，x＋y＋1中，一个是奇数，一个是偶数，所以x－y≡0(mod2k＋1)或x＋y＋1≡0(mod 2k ＋1)由后者得：2k＋1≢x＋y＋1≢2k－1＋2k－1＋1＝2k＋1－1矛盾．故 x≡y(mod 2k＋1)，即x＝y．因此(2)中的2k个偶数mod 2k＋1互不同余，从而对任意整数a，方程x(x＋1)≡2a(mod 2n)有解，即(1)有解．A5－027设S＝{1，2，3，…，280}．求最小的自然数n使得S的每个有n个元素的子集都含有5个两两互素的数．【题说】第三十二届(1991年)国际数学奥林匹克题3．本题由中国提供．【解】令A i＝｛S中一切可被i整除的自然数｝，i＝2，3，5，7．记A＝A2∪A3∪A5∪A7，利用容斥原理，容易算出A中元素的个数是216．由于在A中任取5个数必有两个数在同一个A i之中，从而他们不互素．于是n≣217．另一方面，令B1＝(1和S中的一切素数｝B2＝(22，32，52，72，112，132｝B3＝｛2³131，3³89，5³53，7³37，11³23，13³19｝B4＝｛2³127，3³83，5³47，7³31，11³19，13³17｝B5＝{2³113，3³79，5³43，7³29，11³17}B6＝{2³109，3³73，5³41，7³23，11³13}易知B1中元素的个数为60．令B＝B1∪B2∪B3∪B4∪B5∪B6，则B中元素的个数为88，S－B中元素的个数为192．在S中任取217个数，由于217－192＝25＞4³6，于是存在i(1≢i≢6)，使得这217个数中有5个数在Bi中．显然这5个数是两两互素的，所以n≢217．于是n＝217．A5－028对于每个正整数n，以s(n)表示满足如下条件的最大正整数：对于每个正整数k≢s(n)，n2都可以表示成k个正整数的平方之和．1．证明：对于每个正整数n≣4，都有s(n)≢n2－14；2．试找出一个正整数n，使得s(n)＝n2－14；3．证明：存在无限多个正整数n，使得s(n)＝n2－14．【题说】第三十三届(1992年)国际数学奥林匹克题6．本题由英国提供．【解】用反证法证明如下：假设对某个n≣4，有s(n)≣n2－14，则存在k＝n2－13个正整数a1，a2，…，a k，使得于是就有从而3b＋8c＝13 这表明c＝0或1；但相应的b不为整数，矛盾．2．每个大于13的正整数m可以表为3b＋8c，其中b、c为非负整数．事实上，若m＝3s＋1，则s≣5，m＝3(s－5)＋2³8．若m＝3s＋2，则s≣4，m＝3(s－2)＋8．由即知n2可表为n2－m个平方和，从而n2可表为n2－14，n2－15，…，对于n＝13，有n2＝122＋52＝122＋42＋32＝82＋82＋52＋42由于82可表为4个42的和，42可表为4个22的和，22可表为4个12的和，所以132＝82＋82＋52＋42可表为4，7，10，...，43个平方的和，又由于52＝42＋32，132可表为5，8，11， (44)平方的和．由于122可表为4个62的和，62可表为4个32的和，所以132＝122＋42＋32可表为3，6，9，…，33个平方的和．为18＋2³9＝36，18＋2³12＝42个平方的和．再由42为4个22的和，132也可表为39个平方的和．综上所述，132可表为1，2，…，44个平方的和．3．令n＝2k³13．因为132可表为1，2，…，155个平方的和，22可表为4个平方的和，所以132³22可表为1，2，…，155³4个平方的和，132³24可表为1，2，…，155³42个平方的和，…，n2＝132³22k可表为1，2，…，155³4k个平方的和．s(n)＝n2－14A5－029每个正整数都可以表示成一个或者多个连续正整数的和．试对每个正整数n，求n有多少种不同的方法表示成这样的和．【题说】第一届(1992年)中国台北数学奥林匹克题2．【解】设m为n的正的奇因数，m＝nd，则若(1)的每一项都是正的，则它就是n的一种表示(表成连续正整数的和)．若(1)式右边有负数与0，则这些负数与它们的相反数抵消(因以略去，这样剩下的项是连续的正整数，仍然得到n的一种表示，其项数为偶数(例如7＝(－2)＋(－1)＋0＋1＋2＋3＋4＝3＋4)于是n的每一个正奇因数产生一个表示．反过来，若n有一个表示，项数为奇数m，则它就是(1)的形式，而m是n的奇因数，若n有一个表示，项数为偶数，最小一项为k＋1，则可将这表示向负的方向“延长”，增加2k＋1项，这些项中有0及±1，±2，…，±k．这样仍成为(1)的形式，项数是n的奇因数．因此，n的表示法正好是n的正奇因数的个数，如果n的标准分解A5－030 x、y为正整数，x4＋y4除以x＋y的商是97，求余数．【题说】1992年日本数学奥林匹克预选赛题7．【解】由题知x4＋y4＜98(x＋y)，不妨设x≣y，则x4＜98³2x，所以x≢5．注意到14＝1，24＝16，34＝81，44＝256，54＝625．对x，y∈{1，2，3，4，5}，x4＋y4＞97(x＋y)的仅有54＋44＝881＝(5＋4)³97＋8，所以所求的余数为8．A5－031设p＝(a1，a2，…，a17)是1，2，…，17的任一排列，令k p是满足不等式a1＋a2＋…＋a k＜a k＋1＋…＋a17的最大下标k，求k p的最大值和最小值，并求所有不同的排列p相应的k p的和．【题说】1992年捷克和斯洛伐克数学奥林匹克(最后一轮)题1．【解】若k p≣12，则这与k p的定义相矛盾，所以k p≢11．又当p＝(1，2，…，17)时，1＋2＋…＋11＝66＜87＝12＋13＋…＋17，故此时k p＝11．所以，k p的最大值为11，并且kp的最小值为5，此时p＝(17，16，…，2，1)．设p＝(a1，a2，…，a17)是1，2，…，17的任一排列，由kp的定义，知且但(2)的等号不可能成立，否则矛盾．所以由(1)和(3)可知，对排列p＝(a1，a2，…，a17)的反向排列p＇＝(a17，a16，…，a1)，k p＇＝17－(k p＋2)＋1＝16－k p所以k p＋k p＇＝16．于是可把1，2，…，17的17！个不同排列与它的反向排列一一配对．所求之和为A5－032确定所有正整数n，使方程x n＋(2＋x)n＋(2－x)n＝0有整数解．【题说】1993年亚太地区数学奥林匹克题4．【解】显然，n只能为奇数．当n＝1时，x＝－4．当n为不小于3的奇数时，方程左边是首项系数为1的非负整系数多项式，常数项是2n＋1，所以它的整数解只能具有－2t的形式，其中t为非负整数．若t＝0，则x＝－1，它不是方程的解；若t＝1，则x＝－2，也不是方程的解；当t≣2时，方程左边＝2n[－2n(t－1)＋(1－2t－1)n＋(1＋2t －1)n]，而－2n(t－1)＋(1－2t－1)n＋(1＋2t－1)n≡2(mod 4)，从而方程左边不等于零．综上所述，当且仅当n＝1时，原方程有一个整数解x＝－4．A5－033每一个大于2的自然数n都可以表示为若干个两两不等的正整数之和．记这些相加数个数的最大值为A(n)，求A(n)．【题说】1993年德国数学奥林匹克(第一轮)题1．【解】对任意自然数n(n≣3)，存在自然数m，使－1)之和，所以A(n)＝m．A5－034完全平方数对(a，b)满足：(1)a和b的十进制表示位数相同；(2)将b的十进制表示续写在a的十进制表示之后，恰好构成一个新的完全平方数的十进制表示，例如a＝16，b＝81，1681＝412．求证：这样的数对(a，b)有无穷多对．【题说】1993年德国数学奥林匹克(第一轮)题3．【证】取a1＝42，a2＝492，…，a n＝(5³10n－1－1)2，…；b1＝92，b2＝992，…，b n＝(10n－1)2，…．其中n为正整数．显然，a n，b n均为2n位数，且＝25³104n－2－103n＋2³102n－2³102n＋1＝(5³102n－1－10n＋1)2即对任意正整数n，(a n，b n)均满足条件．A5－035证明：对于任意整数x，是一个整数．【题说】1994年澳大利亚数学奥林匹克一试题2．由于连续n个整数中必有一个是n的倍数，所以上式为整数．A5－037设n＝231²319．n2有多少个小于n，但不能整除n的正整数因子？【题说】第十三届(1995年)美国数学邀请赛题6．【解】n2的因子必为2α²3β形，其中0≢α≢62，0≢β≢38．于是(α，β)是属于图中矩形的格点，显然对I、IV中的格点(α，β)，2α．3β不满足要求(2α²3β|n 或2α²3β≣n)，II中任一格点(约定β＝19或α＝31的点属于I或IV，不属于II或III)(α，β)，若2α²3β≣n，则对III中格点(62－α，31－β)，有262－α²331－β＜n．反之，对III中格点(α，β)，若2α²3β≣n，则对II中格点(62－α，31－β)，有262－α²331－β＜n．因此II、III 中恰有一半的格点(α，β)，使2α²3β满足要求．即所求的正整数因子个数为19³31＝589A5－038在满足y＜x≢100的有序正整数对(x，y)中，有【题说】第十三届(1995年)美国数学邀请赛题8．＝49＋16＋8＋4＋3＋2＋1＋1＋1＝85A5－039对于每个正整数n，将n表示成2的非负整数次方的和，令f(n)为正整数n的不同表示法的个数．如果两个表示法的差别仅在于它们中各个数相加的次序不同，这两个表示法就被视为是相同的．例如，f(4)＝4，因为4恰有下列四种表示法：4；2＋2；2＋1＋1；1＋1＋1＋1．【题说】第三十八届(1997年)国际数学奥林匹克题6．本题由立陶宛提供．【证】对于任意一个大于1的奇数n＝2k＋1，n的任一表示中必含一个1．去掉这个1就得到2k 的一个表示．反之，给2k的任一表示加上一个1就得到2k＋1的一个表示．这显然是2k＋1和2k的表示之间的一个一一对应．从而有如下递归式：f(2k＋1)＝f(2k) (1)对于任意正偶数n＝2k，其表示可以分为两类：含有1的与不含1的．对于前者，去掉一个1就得到2k－1的一个表示；对于后者，将每一项除以2，就得到k的一个表示．这两种变换都是可逆的，从而都是一一对应．于是得到第二个递归式：f(2k)＝f(2k－1)＋f(k) (2)(1)、(2)式对于任意k≣1都成立．显然f(1)＝1．定义f(0)＝1，则(1)式对于k＝0也成立．根据(1)、(2)式，函数f是不减的．由(1)式，可以将(2)式中的f(2k－1)换成f(2k－2)，得到f(2k)－f(2k－2)＝f(k)，k＝1，2，3，…，给定任一正整数n≣1，将上式对于k＝1，2，…，n求和，得到f(2n)＝f(0)＋f(1)＋...＋f(n)，n＝1，2，3， (3)下面先证明上界，在(3)式中，右端所有的项都不大于最后一项，对于n≣2，2＝f(2)≢f(n)．于是有f(2n)＝2＋(f(2)＋…＋f(n))≢2＋(n－1)f(n)≢f(n)＋(n－1)f(n)＝nf(n)n＝2，3，4，…从而得到f(2n)≢2n－1²f(2n－1)≢2n－1²2n－2²f(2n－1)≢2n－1²2n－2²2n－3²f(2n－3)≢…≢2(n－1)＋(n－2)＋…＋1²f(2)＝2n(n－1)/2²2为了证明下界，我们先证明对于具有相同奇偶性的正整数b≣a≣0，有如下不等式成立：f(b＋1)－f(b)≣f(a＋1)－f(a) (4)事实上，如果a、b同为偶数，则由(1)式知上式两端均等于0．而当a、b同为奇数时，由(2)式知f(b＋1)－f(b)＝f(b＋1)/2)，f(a＋1)－f(a)＝f((a＋1)/2)．由函数f是不减的即得不等式(4)成立．任取正整数r≣k≣1，其中r为偶数，在(4)式中依次令a＝r－j，b＝r＋j，j＝0，1，…，k－1．然后将这些不等式加起来，得到f(r＋k)－f(r)≣f(r＋1)－f(r－k＋1)因为r是偶数，所以f(r＋1)＝f(r)．从而f(r＋k)＋f(r－k＋1)≣2f(r)，k＝1，…，r对于k＝1，…，r，将上述不等式相加，即得f(1)＋f(2)＋…＋f(2r)≣2rf(r)根据(3)式，上式左端等于f(4r)－1．从而对于任意偶数r≣2，f(4r)＞2rf(r)＋1＞2rf(r)．取r＝2m－2即得f(2m)≣2m－1f(2m－2) (5)要使r＝2m－2为偶数，m须为大于2的整数，但是(5)式对于m＝2也成立．因此对一切n≣2下界成立．。
第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案
2009年第50届IMO 解答2009年7月15日1、是一个正整数，是n 12,,...,(2)k a a a k ≥{}1,2,...,n 中的不同整数，并且1(1i i n a a +−)−)对于所有都成立，证明：1,2,...,1i k =1(1k a a −不能被n 整除。
证明1：由于12(1n a a −)，令1(,)n a p =，nq p=也是整数，则n pq =，并且1p a ，21q a −。
因此，由于2(,)1q a =23(1n pq a a )=−，故31q a −；同理可得41q a −，。
，因此对于任意都有2i ≥1i q a −，特别的有1k q a −，由于1p a ，故1(1k n pq a a )=−(*)。
若结论不成立，则1(1k n pq a a =)−，与(*)相减可得1(k n a a −)，矛盾。
综上所述，结论成立。
此题平均得分：4.804分2、外接圆的圆心为O ，分别在线段上，ABC ∆,P Q ,CA AB ,,K L M 分别是,,BP CQ PQ 的中点，圆过Γ,,K L M 并且与相切。
证明：OP PQ OQ =。
证明：由已知MLK KMQ AQP ∠=∠=∠，MKL PML APQ ∠=∠=∠，因此APQ MKL ∆∆∼。
所以AP MK BQAQ ML CP==，故AP CP AQ BQ ⋅=⋅(*)。
设圆O 的半径为R ，则由(*)有2222R OP R OQ −=−，因此OP OQ =。
不难发现OP 也是圆Γ与相切的充分条件。
OQ =PQ此题平均得分：3.710分3、是严格递增的正整数数列，并且它的子数列和都是等差数列。
证明：是一个等差数列。
123,,,...S S S 123,,,...S S S S S S 123111,,,.S S S S S S +++..123,,,...S S S 问题等价于：:f Z Z +→+是一个严格递增的函数。
国际数学奥林匹克试题分类解析—E组合数学_E2计数和离
E2 计数和离散最值E2－001 某人给六个不同的收信人写了六封信，并且准备了六个写有收信人地址的信封，有多少种投放信笺的方法，使每封信笺与信封上的收信人都不相符．【题说】 1960年～1961年波兰数学奥林匹克三试题3．本题中的6可以改为n．【解】根据“容斥原理”可得投放信笺方法的种数为将6改为n时，答案为E2－002 n个点由线段连结着，已知其中每两点都有一条且只有一条折线相连，证明：线段的总条数为n－1．【题说】 1961年全俄数学奥林匹克九年级题3．【证】从n点中任选一点A作“根”，将整个图看作一个“树”，从每个“枝”的顶端一节一节地将线段折下来，于是一个端点对应一个线段，直至最后剩下一个“根”点A．因此，线段恰有n－1条．E2－003 从0，0，1，2，3，4，5这七个数字中，任取三个组成三位数，问可组成多少个不同的三位数？又在这些三位数中有多少个是5的倍数？【题说】 1964年成都市赛高二一试题3．由题意知1，2，3，4，5不重复使用，0只能用两次．【解】百位数字只能从1，2，3，4，5中选，共有5种取法，若十位数字取0，则个位数字取法有5种；若十位数字不取0，则十位数字取法有4种，个位数字取法也有4种，故共能组成5×5＋5×4×4＝105个不同的三位数，在这些三位数中，末位数字为0的共有5×5＝25个，末位数字为5的共有4×4＝16个，故5的倍数共有25＋16＝41个．E2－004 在一次中学数学竞赛中共出了A、B、C三题．在所有25个参加者中，每个学生至少解出一题，在没有解出A的那些学生中，解出B的人数是解出C的人数的两倍，只解出A的人数比余下的学生中解出A的人数多1．只解出一题的学生中，有一半没有解出A．问有多少学生解出B？【题说】第八届(1966年)国际数学奥林匹克题1．本题由原苏联提供．【解】设不仅解出A的为x人，仅解出B的为y人，解出B与C由(1)、(2)得由(3)，x≤7．由(4)，x＝7，4，1．仅解出B的人数为6．E2－005 在方格的边长为1cm的方格纸上，画一个半径为100cm的圆，这个圆不经过方格的顶点而且不与方格的边相切，问这个圆能穿过多少个方格？【题说】第二届(1968年)全苏数学奥林匹克八年级题3．【解】所画的圆穿过200条水平线和200条竖直线．每一条都穿过两次．因此，交点有800个．这800个点把圆分成800份，其中每一部分都在一个格里面，所以圆最多穿过800个格．同时，可能得出，某两个部分在一个格内，即圆与某个方格相交两次(如图)．我们证明，这样的“奇异”方格不会多于1个．考虑以O为圆心、半径为200的与某个方格的边AB相交两次的圆．从这个圆的圆心O到A点和B点的距离大于100，而从直线AB到O的距离小于100，所以，O点在以A和B为圆心、半径为100的圆以外，并且在与AB距离为100的两条平行线之间．这种点，充满两个曲边三角形内部(图中画有斜线的是其中一个)．显然，对于不同的线段AB，这些轨迹没有公共点．所以，奇异的方格不多于1个．因此，这个圆穿过800或799个方格．E2－006 一个长方体盒子能用单位立方体填满，如果我们改放尽可能多的体积是2的立方体，且使立方体的边平行盒边，则恰好能填到盒【题说】第十八届(1976年)国际数学奥林匹克题3．本题由荷兰提供．40％×a1a2a3＝2b1b2b3当a＞10时，b≥8，所以综上所述，所求的盒子尺寸为2×3×5或2×5×6．E2－007 如图，有10个村庄，分别用点A1，A2，…，A10表示，某人从A1出发，按箭头所指的方向(不准反向)可以选择任意一条路径走向其他某个村庄，试问：1．按图中所示方向从A1到A5(不绕圈)有多少种不同的走法？2．从A1出发，按图中所示方向，绕一圈后再回到A1，有多少种不同的走法？【题说】 1979年湖北省赛二试题3．【解】为方便计，设从A1到A i的走法有a i种，这些走法分为两类：一类是从A1出发，经过A i－2到达A i(不经过A i－1)，这时从A1到A i－2的走法为a i－2，从 A i－2不经过A i－1到A i的走法只有一种，所以这类走法共a i－2种．第二类是从A1出发，经过A i－1到达A i，共a i－1种，而这两类走法是互不相同的，所以，从A1到A i的走法共a i＝a i－1＋a i－2(种)显然a2＝1，a3＝2．于是a5＝2a3＋a2＝5，a6，a7，a8，a9，a10，a11分别为8，13，21，34，55，89．所以从A1到A5有5种不同的走法，从A1出发，绕一圈回到A，有89种不同的走法．E2－008 在直角坐标平面的第一象限中，把坐标都是整数的点按以下方法编号：(0，0)点第1号，(1，0)点第2号，(1，1)点第3号，(0，1)点第4号，(0，2)点第5号，(1，2)点第6号，(2，2)点第7号，(2，1)点第8号，(2，0)点第9号，…按图中箭头的顺序，求第2000号的点的坐标．【题说】 1979年北京市赛二试题1．【解】设k为正整数，则满足条件：0≤x≤k，0≤y≤k的坐标为整数的点(x，y)共有(k＋1)2个，而满足条件：(k＋1)2＜2000的最大整数k＝43．因此编号为2000的点的纵坐标为44或横坐标为44．因44为偶数，故应从点(0，44)往右数，又因2000－442＝64＞44故第2000号的点的横坐标为44．其纵坐标是44－(64－45)＝25所以编号2000的点的坐标是(44，25)．E2－009 散步时，每步长为1，向南、北、东、西任一方向均可，如果每一点不通过两次，则称这散步为自身回避的，设从原点开始的、n步的、自身回避的散步种数为f(n)．求 f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，并证明2n＜f(n)＜4·3n－1【题说】第十一届(1979年)加拿大数学奥林匹克题5．【解】容易算得f(1)＝4f(2)＝4×3＝12f(3)＝4×3×3＝36对于4步的自身回避散步，则有f(4)＝4×3×3×3－8＝100假设每次均向北或西两个方向走，当然不会出现有一点通过两次的情况，所以2n＜f(n)如果仅考虑不反过身来往回走，那么共有4×3n－1种(其中可能出一点通过两次的情况)，所以f(n)≤4×3n－1(当n＝1，2，3时取等号)．E2－010 十个赌徒在开赌时，每人都有相同的赌本，每次由一个人掷五粒骰子，如果骰子的点数之和为n，那么这个人向其他九人中的每一每人掷一次骰子后，每个人的赌本又恢复到开赌时的原有的赌本．最后一次掷出的点数之和为12．求各次掷出点数之和．【题说】 1980年五国国际数学竞赛题5．本题由荷兰提供．【解】不妨设每人赌本为1，又设第i次的点数之和为n i(1≤n i≤10)，容易知道第i个人在第i次时，钱由x变为所以最终钱数为特别地，而由此逐步得出n9＝13，n8＝14，…，n1＝21．E2－021 S是{1，2，…，1989}的一个子集，而且S中任意两个数的差不能是4或7，那么S中最多可以有多少个元素？【题说】第七届(1989年)美国数学邀请赛题13．【解】将1，5，9，2，6，10，3，7，11，4，8顺次放在圆周上．如果从中选出6个数，那么必有两个在圆周上相邻，即它们的差为4或7，所以从1，2，3，…，11中最多能选出5个数，每两个的差不为4或7．这5个数可以是1，3，4，6，9．同理，在每11个连续自然数中最多能选出5个数，每两个的差不为4或7．{1，2， (1989)可分拆为181个子集{11j＋1，11j＋2，…，11j＋11}(j＝0，1，…，179)及{1981，1982，…，1989}，所以|S|≤5×181＝905．11j＋1，11j＋3，11j＋4，11j＋6，11j＋9(j＝0，1，…，180)．这905个数中，每两个的差不为4或7(若其中有(11j＋b)－(11j＋a)＝4或7，则a－b＝7或4)．因此S最多可以有905个元素．E2－022 整数1，2，…，n的排列满足条件：每个数或者大于它之前的所有数，或者小于它之前的所有数，试问有多少个这样的排列？【题说】第二十一届(1989年)加拿大数学奥林匹克题1．【解】设所求排列数为 A(n)，不难求得A(1)＝1，A(2)＝2，A(3)＝4对自然数1，2，…，n，设n排在第k个位置(1≤k≤n)，则在它之后只有一种排法： n－k，n －k－1，…，1；而在它之前有A(k－1)种排法，故A(n)＝1＋A(1)＋A(2)＋…＋A(n－1)(n≥2)借助这递推关系，由归纳法易知A(n)＝2n－1．【别解】除第1位外，其余的位置有两种选择：在这位上的数大于它以前的数，或小于它以前的数，设第j1＜j2＜…＜j l位是前一种，则它对应于排列：在这l个位上从右至左放n，n－1，…，n－l＋1；在其余位上自左至右放n－l，n－l－1，…，2，1．选择有2n－1种，排列也有2n－1种．E2－023 求证：集中{1，2，…，1989}可以分为117个互不相交的子集A i(i＝1，2，…，117)．使得(1)每个A i含有17个元素；(2)每个A i中各元素之和相同．【题说】第三十届(1989年)国际数学奥林匹克题1．本题由菲律宾提供．【证】考虑17行117列的表：不难验证各列的和均相等，将第i行各数加上(i－1)×117(i＝1，2，…，17)，则各列的和仍然相等，这时表中的数即1～1989．第j列元素组成的集A j(j＝1，2，…，117)满足题中所有要求．E2－024 设n是正整数，我们说集合{1，2，…，2n}的一个排列(x1，x2，…，x2n)具有性质p，如果在{1，2，…，2n－1}当中至少有一个i使|x i－x i＋1|＝n成立．求证：对于任何n，具有性质p的排列比不具有性质p的排列个数多．【题说】第三十届(1989年)国际数学奥林匹克题6．【证】设(x1，x2，…，x2n)中k与k＋n相邻的排列的集合为N k(1≤k≤n)，则具有性质p的排列个数而|N k|＝2×(2n－1)！，|N k∩N h|＝22×(2n－2)！，将k与k＋n、h与h＋n并在一起，2n－2个“数”有(2n－2)！种排列，其中k与k＋n，h与h＋n并成的“数”可以将k＋n与k，h＋n与h的位置交换，各有两种排列，所以＝(2n)！2n×2(n－1)×(2n－2)！＝2n×(2n－2)！×nE2－025 在坐标平面上，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点．对任意自然数n，连结原点O 与点A n(n，n＋3)，用f(n)表示线段OA n上除端点外的整点个数，求f(1)＋f(2)＋…＋f(1990)的值．【题说】 1990年全国联赛一试题2(4)．原题为填空题．【解】 OA n的方程是y＝(n＋3)x/n(0＜x＜n)．因为n不能整除x，若x、y是整数，n不与n＋3互素，必为3的倍数．设n＝3m，则y＝(m＋1)x/m，x只可取m、2m两个值．小于1990的3的倍数有663个，故所求的值是2×663＝1326．E2－026 8个女孩和25个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站两个男孩，求共有多少种不同的排列方法？(只要把圆圈旋转一下就重合的排法认为是相同的．)【题说】 1990年全国联赛一试题2(6)．原题为填空题．【解】因旋转重合认为相同，可让某女孩G固定不动，从25个男孩中任选16人，使每两人随一个女孩，这16人可任意排列；对每一种排列，除G外的7个女孩各与其后的两个男孩看成一个“个体”，连同其余9个男孩，总共16个“个体”，又可任意排列，其总数为E2－027 一个正三角形，每边被等分为n份，过各分点作其它两边的平行线．一共产生多少个三角形(包括原来的三角形在内)？【题说】 1990年中国集训队测试题17．【解】设原三角形的边长为n，记边长为k(1≤k≤n)的“头数为y l，则头朝上的三角形共有：x1＝2＋2＋…＋n＝n(n＋1)/2x2＝1＋2＋…＋(n－1)…x n－1＝1＋2，x n＝1头朝下的三角形共有：y1＝1＋2＋…＋(n－1)＝n(n－1)/2y2＝1＋2＋…＋(n－3)＝(n－2)(n－3)/2…y l＝1＋2＋…＋(n－2l＋1)＝(n－2l＋1)(n－2l＋2)/2…(1)当n为偶数时，由上式可知(2)当n为奇数时，E2－028 在一次射击比赛中，有8个泥制的靶子挂成如图所示的三列(其中两列3个，一列2个)．一位神枪手按下面的规则打中所有靶子：1．首先选择一列；2．再打掉所选一列的最下面未打过的靶子，问打中这8个靶子共有多少种不同的顺序？【题说】第八届(1990年)美国数学邀请赛题8．【解】随意射击8个靶子有8！种方法．由于每列靶子的顺序已经确定，所以现在的射法共有种不同的顺序．E2－029 设S＝{1，2，…，n}，A为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其他元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列．求这种A的个数．(这里只有两项的数列也看作等差数列．)【题说】 1991年全国联赛二试题1．【解】对于n＝2k，所述数列A必有连续两项，一项在{1，2，…，k }中，另一项在{k＋1，k ＋2，…，n}中，反之，从{1 ，2，…，k}中任取一个数，{k＋1，k＋2，…，n}中也任取一个数，以它们的差为公差、并以这两数为该数列的连续两项可作出一个A．此对应是一一对应，故这种A的个数为k2＝n2/4．对于n＝2k＋1，情况完全类似，注意集合{k＋1，k＋2，…，n}中有k＋1个数，故这种A的个数为k(k＋1)＝(n2－1)/4．两式可统一为[n2/4]．([x]表示不超过x的最大整数．)E2－030 用A、B两个字母排成的长为15的序列中，满足下列条件的有多少种？条件：连续二个字母AA在序列中出现五次，AB、BA、BB各三次．例：排列AABBAAAABAABBBB中因为AA五次，AB三次，BA二次，BB四次，所以不满足上面的条件．【题说】 1991年日本数学奥林匹克预选赛题1．【解】从第一个项开始，设由A组成的段依次为a1，a2，…，由B组成的段依次为b1，b2，…．满足条件的排列形状必为a1b1a2b2a3b3a4 (1)b1a1b2a2b3a3b4 (2)若一段由k＋1个A组成，则这段中AA有k个．各段至少包含一个A(或B)．其余5个A，3个B 的分配方法如下：＝420(种)．故满足条件的排列共有980种．E2－031 在一种“咬格子”的游戏中，两名选手轮流“咬”一个由单位正方形组成的5×7网格．所谓“咬一口”，就是一个选手在剩下的正方形中挑一个正方格子去掉(“吃掉”)它的左面的一条边(朝上延长)与底边(朝右延长)所确定的象限中的全部正方形格子，如图a所示，有阴影的格子是选定的，吃掉的是这个有阴影的及打“×”的四个格子．(虚线部分是在这之前已被“吃掉”的)游戏的目标是要对手“咬”最后一口．图b所示的是35个正方形组成的集合的一个子集，它是在“咬格子”游戏过程中可能出现的一个子集．在游戏过程中，可能出现的不同的子集总共有多少个？整个网格及空集也计算在内．【题说】第十届(1992年)美国数学邀请赛题12．【解】根据游戏规则，每次“吃”剩下的图形有如下特点：从左到右，各列的方格数不增．因为如某一方格被“吃”，那么它右面和上面的格子全部被“吃”．于是每次剩下的图形从A到B 的上边界是一条由7段横线与5段竖线组成的折线，且它是不增的；反之，每一条这样的折线，也对应一块“吃”剩下的方格集．E2－032 1克、30克、50克三种砝码共110个，总重量为1000克，问其中30克的砝码有多少个？【题说】第一届(1990)希望杯高一二试题2(4)．原是填空题．【解】设1克、30克和50克砝码数分别有x、y、z，则有以下关系：(2)－(1)得29y＋49z＝890 (3)因29 890，49 890，所以y≠0，z≠0．即y≥1，z≥1．从而890＝29y＋49z≥29＋49z由于z是整数，故z≤17．令z＝1，2，…，17，代入(3)，知：只有当z＝1时，y＝29是唯一整数解．又由(1)知，x＝80．即这一组砝码中有29个30克的砝码．E2－033 下图中将等边三角形每边3等分，过等分点作每边平行线，这样所形成的平行四边形个数，记为f(3)，则f(3)＝15．将等边三角形每边n等分，过各分点作各边平行线，所形成的平行四边形个数记为f(n)，求f(n)表达式．【题说】第二十三届(1991年)加拿大数学奥林匹克题5．【解】如图所示的平行四边形，由a、b、c、d四个数决定．这4个数满足a≥1， b≥1， c≥0，d≥02≤a＋b＋c＋d≤n即0≤a1＋b1＋c＋d≤n－2其中a1＝a－1，b1＝b－1，c，d均为非负整数．因此平行四边形的总数为【别解】在BA、BC的延长线上分别取E、F，使BE＝BF＝n＋1，则EF＝n＋1．图中的平行四边形，每一边恰好与EF相交于一点．这四点不同，都是EF上的格点(即将EF等分为n＋1份的分点)．反之，从EF的n＋2个格点(包括E、F在内)中任取四点，过靠近E的两点作AB的平行线，过另两点作BC的平行线，便可得到一个图中的平行四边形，所以E2－034 若平面上有997个点，如果每两点连成一条线段，且中点涂成红色．证明：平面上至少有1991个红点．你能找到一个正好是1991个红点的特例吗？【题说】 1991年亚太地区数学奥林匹克题2．【证】在给定的997个点中，设M、N两点间的距离最大，分别以 M、N为圆心，MN/2为半径作圆，这两个圆仅有一个公共点，即MN的中点E．于是MP的中点必在⊙M内部或圆周上，这样的995个点互不相同．同理，NP的中点必在⊙N内部或圆周上，这样的995个点互不相同，而且与上面的995个中点均不相同，加上点E，共有2×995＋1＝1991个红点．x轴上横坐标分别为1，2，…，997的997个点就是满足要求的例子．E2－035 A，B分别是坐标平面上的格点的集合：A＝{(x，y)|x，y为正整数，1≤x≤20，1≤y≤20}B＝{(x，y)|x，y为正整数，2≤x≤19，2≤y≤19}A中的点分别染成红色或蓝色．染成红色的点有219个，其中有180个包含于B中，又四个角上的点(1，1)，(1，20)，(20，1)，(20，20)都染成蓝色．将水平或垂直方向上相邻两点按下列要求用红、蓝、黑色的线段连接起来：两点均为红色时，用红线连接；两点均为蓝色时，用蓝线连结；两点为一红一蓝时，用黑线连结．问：(长度为1的)黑线有237段时，(长度为1的)蓝线有多少段？【题说】 1992年日本数学奥林匹克预选赛题9．【解】集合A中有400个点，其中红点有219个，蓝点有181个，在B内有蓝点144个．A的四周有76个点，其中红点39个，蓝点37个(包括四个角上的点)．每个角上的点引出2条线段；每个边界上(除四个角)的点引出3条线段；每个B内的点引出4条线段．因此，对于蓝点共引出线段2×4＋3×33＋4×144＝683(段)其中黑线有237段，所以蓝线有683－237＝446(段)这些蓝线在上述计数时，被重复计算了一次，故实际上有蓝线446÷2＝223(段)E2－036 设集合A＝{1，2，…，10}．A到A的映射f满足下列两个条件：(1)对任意X∈A，f(30)(x)＝x；(2)对每个正整数k，1≤k≤29，至少存在一个a∈A，使得f(k)(a)≠a．其中f(1)(x)＝f(x)，f(2)(x)＝f(f(x))，…，f(k＋1)(x)＝f(f(k)(x))，…．求这样的映射的总数，【题说】 1992年日本数学奥林匹克预选赛题12．【解】设A划分成3个互不相交的子集：{a1，a2，a3，a4，a5}∪{b1，b2，b3}∪{c1，c2}并且定义映射f：f(a1)＝a2，f(a2)＝a3，f(a3)＝a4，f(a4)＝a5，f(a5)＝a1；f(b1)＝b2，f(b2)＝b3，f(b3)＝b1；f(c1)＝c2，f(c2)＝c1．5，3，2两两互素，30是它们的最小公倍数．由条件知，f不是恒等映射，且 f由若干个循环组成，这些循环的阶数的最小公倍数应为30．从而，f是满足条件(1)、(2)的唯一一类映射．所以，f的总数相当于从10个元素中选取5个，再从剩余的5个中选3个，它们再分别进行循环排列的个数．故所求映射的总数是E2－037 一副牌有 2n＋ 1张，由一张王及标 1至 n的牌每种各两张组成．这2n ＋1张排成一行，王在正中间，对每个k，1≤k≤n，两张标k的牌之间恰有k－1张牌．确定所有不超过10并且有这种排法的n．对哪些n，不可能这样排？【题说】第二十四届(1992年)加拿大数学奥林匹克题5．【解】设标i的牌，从左数起位置为a i与b i(a i＜b i，i＝1，2，…，n．因为王牌位置为n＋1，b i＝i＋a i，所以即因此4｜n(n＋1)．n＝1，2，5，6，9，10不满足上述要求．n＝3时，解为232J311．n＝4时，解为2423J4311．n＝7时，解为2723563J7546114．n＝8时，解为78426247J86531135．E2－038 在4000至7000之间有多少个四个数字均不相同的偶数？【题说】第十一届(1993年)美国数学邀请赛题1．【解】答：728．若千位数字为4或6，这时千位数字有2种选法，个位数字有4种选法，百位数字有8种选法，十位数字有7种选法．所以共有2×4×8×7＝448个数符合要求．同理，若千位数字为5，有 1× 5× 8× 7＝ 280个偶数符合要求．所以，共有448＋280＝728个．E2－039 令S为一个有6个元素的集合．问有多少种不同的方法可以把S分成两个不一定不同的子集，使得这两个子集的并恰好是S？两子集的顺序不必考虑，如{a，c}，{b，c，d，e，f}与{b，c，d，e，f}，{a，c}算一种分法．【题说】第十一届(1993年)美国数学邀请赛题8．【解】365．设S＝AUB，S中每一个元素，或属于A，或仅属于B，或同时属于A、B，共3种情况．所以如果S中有n个元素，共有3n种方法选择集合A和B．除了A＝B＝S的情况，如果不计顺序每种情形算了2次，所以共有种分法．特别地，n＝6时，共有365种分法．E2－040 红色和白色的椅子各有5张，围成一个圆圈，共有多少种不同的排法？同色的椅子是没有区别的，经旋转后排列的顺序一致的排法只算1种．【题说】1994年日本数学奥林匹克预选赛题7．【解】将椅子的位置编号为0～9．红色椅子的位置是集合A＝{0，然有f(10)(R)＝f(R)．从而使得f(n)(R)＝R的最小正整数n0必是10的约数．每种这样的排法R都被重复计算了n0次．r1＋r2＋…＋r5≡(r1＋5)＋(r2＋5)＋…＋(r5＋5)(mod10)≡(r1＋…＋r5)＋25(mod10)所以25≡0(mod10)这不可能．所以n0≠5．若n0＝2，易知只有R＝{0，2，4，6，8}和{1，3，5，7，9}满足要求．除此以外的250种R，其n0均为10．故所求的排法数为E2－041 A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，满足下列条件(1)，(2)的子集S有多少个？(1)S的元素有5个；(2)S中任意两个不同元素的和的个位数字恰好是0到9这10个整数．【题说】 1994年日本数学奥林匹克预选赛题10．【解】这样的子集不存在，即满足条件的S的个数为0．事实上，若存在满足条件的子集S＝{a1，a2，a3，a4，a5}，由于4(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)≡0＋1＋…＋9(mod10)上式左边为偶数，右边为奇数，不可能．E2－043 用94块大小尺寸均为4″×10″×19″的砖，一块放在另一块的上面堆积成一个94块砖高的塔，每块砖可随意摆放为塔提供4″或10″或19″的高度．若94块砖全部用上可摆放多少种不同高度的塔？【题说】第十二届(1994年)美国数学邀请赛题11．【解】设有x块砖提供10″的高度，y块砖提供19″的高度，x、y都是非负整数，且x＋y≤94，则塔的高度为h＝4(94－x－y)＋10x＋19y＝376＋3(2x＋5y) (1)如果x≥5，则将x换成x－5，y换成y＋2，由(1)表示的塔高取同样值，并且(x－5)＋(y＋2)≤94．所以可以假定x≤4．这时相同的x，不同的y表示的塔高h显然不同．如果x取不同值x1、x2(0≤x1＜x2≤4)，那么对任意的y1、y2，(2x2＋5y2)－(2x1＋5y1)＝2(x2－x1)＋5(y2－y1) (2)前一项不被5整除，后一项被5整除，所以(2)不为0，即相应于x1、x2的塔高不同．当x＝0，1，2，3，4时，y分别有95(0～94)，94，93，92，91种取法．所得的塔高均不同．所以共有95＋94＋93＋92＋91＝465种不同高度的塔．E2－044 设p是一个奇素数，考虑集合{1，2，…，2p｝的满足以下两条件的子集A：(i)A恰有p个元素；(ii)A中所有元素之和可被p整除．试求所有这样的子集A的个数．【题说】第三十六届(1995年)国际数学奥林匹克题6．与V＝{p＋1，p＋2，…，2p}外，每一个p子集与U、V的交均非空．将这些子集分类，如果子集S、T与V的交S∩V＝T∩V，并且S∩U的每个元加上k(mod p)就得到T∩U的每个元，这里k ∈{0，1，2，…，p－1}，那么就将S与T归入同一类．对于{0，1，2，…，p－1}中不同的k1、k2，由S得到的集T1、T2，元素和σ(T1)、σ(T2)的差≡(k1－k2)m(modp)，这里m＝S∩U的元素个数．由于S与U、V的交均非空，0＜m＜p，所以(k1－k2)m0(modp)，即T1≠T2．因此，每一类中恰好有p个集，并且这些集的元素之和modp各不相同．于是其中恰有一个集元素之和被p整除．从而所求子集A的个数为E2－045 4对夫妇去看电影，8个人坐成一排．若女性的邻座只能是其丈夫或其他女性，共有几种坐法？【题说】 1995年日本数学奥林匹克预选赛题6．【解】先将女性排定，有4！种方法．女性与女性之间若坐着男性(包括这些女性的丈夫)必不少于两个．同样，在男性与男性之间坐着的女性也必不少于两个．把座位连在一起的女性视为一组，则4位女性的分组方式有4，3＋1，2＋2，2＋1＋1，1＋1＋1＋1等五种．孤立坐着的女性必须在这一排座位的两端，所以1＋1＋1＋1的分组方式不合要求．女性分成2＋1＋1时，两端必须坐着女性，这时男性只能分成2＋2，即下表中的第1类，男性的排法只有1种．女性分成2＋2时，有下表的2，3，4，5四类，男性的排法分别有2，1，1，1种．女性分成3＋1时，有下表的6，7，8三类，男性的排法分别有2，1，1种．女性4人连排时，有下表的9，10，11三类，男性的排法分别有3！，2！，2！种．于是排法总数为4!×(1＋2＋2×1＋2×1＋1＋2×2＋2×1＋2×1＋2×3!＋2×2!＋2!)＝24×34＝8161．女男男女女男男女2．女女男男男男女女3．女女男男男女女男或男女女男男男女女4．女女男男女女男男或男男女女男男女女5．男女女男男女女男6．女女女男男男男女或女男男男男女女女7．男男女女女男男女或女男男女女女男男8．男女女女男男男女或女男男男女女女男9．女女女女男男男男或男男男男女女女女10．男男男女女女女男或男女女女女男男男11．男男女女女女男男E2－046 用六种不同颜色中几种染一个正方体各面，要求相邻两面不同色，问有多少种不同的染色法？(两个染色正方形，如果能通过转动、翻身使二者各面颜色对应相等，则认为是染色法相同)【题说】1996年全国数学联赛一试题2(5)，原为填空题．【解】分4种情况讨论：1°用了6种颜色．将一种颜色染下底，则上底有5种染法．固定一种颜色朝东，其它三面有3！种染法．共有5×3！＝30种．＝90种．所以染色法共有30＋90＋90＋20＝230种．E2－047 在直角坐标平面上，以(199，0)为圆心、以199为半径的圆周上，整点的个数有多少个？【题说】 1996年全国数学联赛一试题2(6)，原为填空题．【解】该圆方程为(x－199)2＋y2＝1992 (1)显然，(1)有4个整数解：(0，0)，(199，199)，(199，－199)，(389，0)．当y≠0、±199时，|y|与199互素，故由(1)知|x－199|、|y|、199是一组基本勾股数．由勾股数基本公式知，存在二正整数m、n使199＝m2＋n2．由于平方数≡0或1(mod4)，所以m2＋n2≡0，1或2(mod4)，但199＝4×49＋3≡3(mod4)矛盾．因此当y≠0、±199时，(1)无整数解．综上所述，在(1)圆周上的整点只有4个．E2－048 白(围棋)子5个、黑(围棋)子10个排成一横行，要求每个白子的右邻必须是黑子，共有多少种排法？【题说】1996年日本数学奥林匹克预选赛题2．【解】先将10个黑子排成一行，每个黑子的左邻都留一个空位，从E2－049 设n为正整数，S＝{1，2，…，n}．S的(非空)子集A，B，C，D满足A∪B∪C∪D＝S 且A∩B∩C＝φ，这样的集合组(A，B，C，D)有多少个？【题说】 1996年日本数学奥林匹克预选赛题10．【解】根据k(1≤k≤n)是否属于A，B，C，D，分别有24＝16种情形．在这些情形中，(1)k不属于A，B，C，D；(2) k属于A，B，C，但不属于D；(3)k属于A，B，C，D．这3种情形与要求不符．其余13种情形均合要求．对每个k(1≤k≤n)都有13种情形，故共有13n个满足题设要求的集合组．E2－050 一个7×7的棋盘的2个方格着黄色，其余的方格着绿色．如果一种着色法可从另一种着色法经过在棋盘的平面中的旋转而得到，那么这两种着色法看做同一种．可能有多少种不同的着色法？【题说】第十四届(1996年)美国数学邀请赛题7．如果这一对方格关于棋盘中心中心对称，那么旋转后可与另一对方不关于棋盘中心中心对称，那么绕中心旋转90°、180°、270°，分别与另外三对方格重合，经过旋转也只可能与这三对重合．因此不同的E2－051 对每个实数x，以[x]记不超过x的最大整数．有多少个正整数n，使得n＜1000且[log2n]是正偶数？【题说】第十四届(1996年)美国数学邀请赛题2．【解】 22k≤n＜22k＋1时，[log2n]＝2k．所求n的个数为23－22＋25－24＋27－26＋29－28＝340E2－052 两个正数的调和平均是它们的倒数的算术平均的倒数．有多少个正整数的有序对(x，y)，使得x＜y且x与y的调和平均等于620？【题说】第十四届(1996年)美国数学邀请赛题8．E2－053 一个150×324×375的长方体由1×1×1的单位立方体胶合在一起而做成的．这长方体的一条内对角线穿过多少个单位立方体的内部？【题说】第十四届(1996年)美国数学邀请赛题14．【解】从左到右151个互相平行两两距离为1的平面与对角线有151个交点，将对角线分为150段．同样从上到下，从前到后的两两距离为1的平面又增加一些分点，除去对角线的一端外，共有150＋324＋375－(150，324)－(150，375)－(324，375)＋(150，324，375)＝768个分点．将对角线分为768段，每段属于一个单位立方体，即对角线穿过768个单位立方体．E2－054 在1至1000000的自然数中，包括可表为完全平方数与完全立方数之和形式的自然数，以及不能表为这种形式的自然数．试问哪种形式的数较多？【题说】第二十二届(1996年)全俄数学奥林匹克九年级题1．【解】不能表为这种形式的自然数较多．设n＝k2＋m3，其中k、m∈N，n≤1000000．显然，这时k≤1000，m≤100．所以能表成这种形式的数不超过100×1000＝100000个，少于1000000的一半．E2－055 有多少对正整数x、y满足x≤y，并且最大公约数(x，y)＝5！，最小公倍数[x，y]＝50！？【题说】第二十九届(1997年)加拿大数学奥林匹克题1．【解】设x＝5！a，y＝5！b，a、b为互质的自然数，则[x，y]＝5！[a，b]＝5！ab．所以。
若干国外数学竞赛试题的简证
若干国外数学竞赛试题的简证由于数学竞赛试题的难度较高，往往需要一定的数学知识和技巧才能解决。
以下是一些国外数学竞赛试题的简证：1. 美国数学竞赛（AMC）试题题目：在一个正方形中，有一条长度为1的线段，它的两个端点分别在正方形的两个相邻边上。
求这条线段与正方形的对角线的夹角。
简证：将正方形的一条边作为x轴，另一条边作为y轴，线段的两个端点分别为(0,1)和(1,0)。
对角线的两个端点分别为(0,0)和(1,1)。
因此，对角线的斜率为1，线段的斜率为-1。
两条直线的夹角为90度，因此线段与对角线的夹角为45度。
2. 国际数学奥林匹克（IMO）试题题目：证明：对于任意正整数n，都存在一个长度为n的整数序列，使得这个序列的任意两个元素之差都不是这个序列中任意一个元素的倍数。
简证：考虑构造一个长度为n的整数序列a1, a2, …, an。
首先，令a1=1。
然后，对于i=2, 3, …, n，令ai为满足以下条件的最小正整数：1. ai与a1, a2, …, ai-1中的任意一个元素的差都不是这个元素的倍数。
2. ai与a1,a2, …, ai-1中的任意一个元素的和都不是另一个元素的倍数。
这样构造出来的序列满足题目要求。
3. 加拿大数学竞赛（CIMC）试题题目：已知正整数a, b, c满足a+b+c=2019，且a, b, c都是质数。
求a, b, c的最小值。
简证：由于a, b, c都是质数，因此它们只能是奇数。
又因为a+b+c=2019是奇数，所以a, b, c中必须有一个数是2。
不妨设a=2，那么b+c=2017。
由于2017是质数，因此b和c中必须有一个数是2017的质数因子。
又因为2017是一个较大的质数，因此它的质数因子只能是2或3。
如果b=2，那么c=2015，不是质数；如果b=3，那么c=2014，也不是质数。
因此，最小的满足条件的a, b, c分别为2, 3, 2017。
总之，数学竞赛试题的解题方法往往需要一定的数学知识和技巧，需要我们在平时的学习中多加积累和练习。
2019年第60届国际数学奥林匹克竞赛IMO试题选解
选讲2019年第60届国际数学奥林匹克竞赛IMO试题题1：设整数集为Z，求所有函数Z：使得对于任意整数bf→Za，都有()()()().f+a+f=b2baf2f解：对于任意整数ba，都有()()()().f+a+ ①f=2bb2aff也有().()()()bf+f=+ ②a2a2bff分别在①、②令a=，得()；()()()f=+2f0 ③bbff()；()()()+2f=2 ④fbfbf所以由③、④有()()().f=+ ⑤fb2f2b设()t0是常数，=tf，由⑤知()().f-b= ⑥2t2bf所以()()()()()()，t=++f-22 ⑦f2=+2fafabbbaff在⑦中令a==xb，结合⑥得()()()()，t()=f-f=42 ⑧2-xxtfffx在⑧中，()i若()()t==0是常数，f，ftx则代入⑧中计算得=t，所以().0=f ⑨x()ii若()，tf≠x令()t=2，y-fx则().=f+yy2t所以().= ⑩f+x2tx经检验⑨、⑩知，函数().0Z x x f ∈=，与函数().2是常数，，，C Z C x C x x f ∈+=使得对于任意整数b a ，都有()()()().22b a f f b f a f +=+解题反思：(1)本题解题上应用了代换法、赋值法，整体思想.数学思想上应用了推理逻辑.(2)本题可以推广，设整数集为Z ，求所有函数Z Z f →：使得对于任意整数）m b a ，，都有()()()().b a f f b mf ma f +=+参考答案：解题思路与原题类似， 答案是：函数().0Z x x f ∈=，与函数().是常数，，，C Z C x C mx x f ∈+=(3) 若改变指数可以得到另一个函数方程题：设整数集为Z ，求所有函数Z Z f →：使得对于任意整数b a ，都有()()()().2)(2b a f f b f a f +=+参考答案：函数().0Z x x f ∈=，与().1Z x x f ∈-=，(4) 教学建议：通过本题研究，教师在抽象函数问题求解时要特别强调数学思想教学研究。
2020年国际数学奥林匹克(IMO)全部试题解答
2020年第61届国际数学奥林匹克（IMO）全部试题解答海亮高级中学高三康榕博高二陈昶旭第一天第1题. 考虑凸四边形ABCD. 设P 是ABCD 内部一点. 且以下比例等式成立:∠PAD:∠PBA:∠DPA＝1: 2 :3＝∠CBP:∠BAP:∠BPC.证明: ∠ADP 的内角平分线、∠PCB 的内角平分线和线段AB 的垂直平分线三线共点.证明：如图，设∠PAD＝α,∠PBC＝β,则∠ABP＝2α,∠BAP＝2β, ∠APD＝3α,∠BPC＝3β,取△ABP外心O, 则∠AOP＝4α＝π－∠ADP∴A, O, P, D共圆.∴∠ADO＝∠APO＝∠PAO＝∠PDO∴OD平分∠PDA.同理, OC平分∠PCB.而O为△ABP外心, 显然在AB中垂线上.故∠PDA平分线, ∠PCB平分线, AB中垂线均过点O.证毕.第2题. 设实数a, b, c, d 满足a ≥b ≥c ≥d > 0, 且 a + b + c + d = 1. 证明:(234)1a b c d a b c d a b c d +++<. 证明: 由加权AM －GM 不等式, 我们有2222a b c d a b c d a a b b c c d d a b c d <⋅+⋅+⋅+⋅=+++ 故只需证明22223(234)()()cyca b c d a b c d a ++++++<∑ (*)注意到332()36cyc cyc sym cyca a ab abc =++∑∑∑∑, 及32222cyca ab ad a a ++≥∑2232222222cyca b ab b bc bd b a ++++≥∑2222233333cyca cbc ac cd c a +++≥∑22234444cyc a d a b abd acd bcd d a ++++≥∑∴ (*)成立. 故原不等式成立.第3题. 有4n 枚小石子, 重量分别为1, 2, 3, . . . , 4n. 每一枚小石子都染了n 种颜色之一, 使得每种颜色的小石子恰有四枚. 证明: 我们可以把这些小石子分成两堆, 同时满足以下两个条件:• 两堆小石子有相同的总重量;• 每一堆恰有每种颜色的小石子各两枚.证明: 引理:将n 种颜色的点个4个两两分组, 则可取n 组使得每种颜色的点各2个.即证: n 阶4-正则图G(不一定简单)必有2-正则生成子图. n ＝1, G 为v 的2个自环, 成立.设0n n ≤成立, 则01n n =+时:若G 有点含两自环或有两点含4重边, 对其余部分用归纳假设,该部分取1自环或2重边即可.下设无这样的结构.若G 含三重边,设x,y 间有三条边, 且,(,)xu yv G u y v x ∈≠≠. 考虑将x,y 去掉, 并添入边uv 得到图G ’. 由归纳假设, 图G ’有2-正则生成子图, 若该图含添入的边 uv, 删去该边并加入ux, xy, yv 即可. 若不含, 加入xy, xy 即可.下设无三重边.显然G 有圈. 设最小圈为121,,...,t x x x x . 由G 无2自环,3重边知01t n <+, i x 有两边不指向12,,...t x x x . 设这两边指向,i i u v ，以下下标模t.在G 中删去点12,,...t x x x 并加入边1(1)i i i e u v i t +=≤≤得到G’. 由归纳假设, G ’有2-正则子图G 1.对1≤i ≤t, 若1i e G ∈, 则选择G 中的边11,i i i i x u x v ++, 若1i e G ∉, 则选自1i i x x +, 其余边按G 1中边选择, 则选出的边即为G 的2-正则生成子图的边集.结论成立.回到原题. 将重量为{,41}k n k +-的小石子分为一组.(12)k n ≤≤, 由引理可取n 组使每种颜色的小石子恰2个. 这2n 个分为一组, 其余分为一组, 此即满足条件的分法, 命题成立.第二天第4题. 给定整数n > 1. 在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站. 有两家缆车公司A和B, 各运营k辆缆车; 每辆从一个车站运行到某个更高的车站(中间不停留其他车站). A 公司的k辆缆车的k个起点互不相同，k个终点也互不相同, 并且起点较高的缆车，它的终点也较高. B公司的缆车也满足相同的条件. 我们称两个车站被某个公司连接，如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站(中间不允许在车站之间有其他移动). 确定最小的正整数k, 使得一定有两个车站被两个公司同时连接.解: 由题意得, 每个缆车与1或2个缆车相连. (否则有两辆缆车起点不同, 终点相同)∴A, B各自的缆车线路图可划分为若干个链.注意到每条链长度大于等于2, 且首尾两点不能作为终点和起点, 故恰有2n k-条链.若21k n n≥-+, 则A最多由n－1条链.由抽屉原理, 其中至少有一条链上有221nnn⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥个点, 设为P. 而B仅有n－1条链, 故P上一定有两个点同时在B 的一条链上, 则这两点可被两个公司同时连接.另一方面, 2k n n=-时, 记2n个车站高度排序为21,2,...n (从低到高)令A的2n n-辆缆车为2(1)i n i i n n→+≤≤-令B的2n n-辆缆车为21(11,|)i i i n n i→+≤≤-/易见此时任两个车站不能被两个公司同时相连.2 min 1k n n∴=-+.第5题. 有一叠n > 1张卡片. 在每张卡片上写有一个正整数. 这叠卡片具有如下性质：其中任意两张卡片上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值.确定所有的n, 使得可以推出这叠卡片上的数均相等? 解: 设这n 张卡片上的数为1212,,....(...)n n x x x x x x ≤≤. 若12gcd(,,...)1n x x x d =>, 用i x d 代替i x , 不影响结果. 故不妨设12gcd(,,...)1n x x x =.由题意得, 1,2i jx x i j n +∀≤≤≤为代数整数.则2|i j i x x x +⇒模2同余. 又12gcd(,,...)1n x x x =, 故i x 全为奇数.任取一个素数p, p ≥3.记{|1,|},{|1,|}i i i i A x i n p x B x i n p x =≤≤=≤≤/ 则对,,2x y x A y B +∀∈∈不为p 的倍数. 设121(...)2k k i i i x y x x x +=, 则121|(...)2k k i i i x y p x x x +=/ ∴对1,j i j k x B ∀≤≤∈.max 2i i x B x y x ∈+∴≤. 取max ,max i i i i x A x B x x y x ∈∈==, 则max max i i i i x A x B x x ∈∈≤若1n x ≠, 取n x 的奇素因子p, 由12gcd(,,...)1n x x x =知, i ∃, 使|i p x /.取0max{|1,|}i i i i n p x =≤≤/, 由上述结论知0n i x x ≤, 则o n i x x =. 又0|,|i n p x p x /, 矛盾!1n x ∴=. 则1,1i i n x ∀≤≤=.∴对任意n ≥2, 卡片上的所有数均相等.第6题. 证明: 存在正常数c 具有如下性质:对任意整数n > 1, 以及平面上n 个点的集合S, 若S 中任意两点之间的距离不小于1，则存在一条分离S 的直线ℓ, 使得S 中的每个点到直线ℓ 的距离不小于13cn -.(我们称直线ℓ分离点集S, 如果某条以S 中两点为端点的线段与ℓ 相交.)证明: 以每个点为圆心,12为半径作圆, 则这些圆两两公共部分面积为0.引理1: 对凸多边形P, 其内部最多由421s l π++个点在S 中,其中s,l 代表P 的面积和周长. 证明: 如图, 将P 的每条边往外侧平移12, 并以P 上每个点为圆心, 12为半径作圆, 拓展区域面积为124l π+. ∴P 内部最多1422414S l s l πππ+++=+个点. 现在对于一条直线l, 作S 中每个点在l 上的投影. 任取相邻两个投影点, 则这两点连线的中垂线分离点集S, 且所有的到该直线的距离≥12投影点距离.设S 的直径为D, 则可作一个以D 为边长的正方形覆盖S. 由引理1, 122481()D Dn D n π++≥⇒=Ω 设P,Q ∈S, PQ ＝D. 将PQ 作为上述l, 记我们所能做到的使每个点到一条直线的距离均不小于该数的最大值为d.由于仅与夹角有关, 故d 存在.而l 上除P,Q 外有n －2个投影点.2(1)2D D d n n∴≥>-. 又12()D n =Ω, 故12()d n -=Ω. 需证明13()d n -=Ω .取点集S 的凸包P. 若一直线过P 上一点且使得S 中所有点都在该线一侧, 我们认为其亦分离S. 称其为支撑边. 对于任一常数C, 作两条平行的距离为C 的直线, 满足这两条直线分离S. 作他们的垂线l, 设这个带状区域内有m 个S 中的点, 则11c c d m m d≥⇒≥-+. 不妨设(1)d o =, 则可以认为m 远远大于1. 为使m 尽量小, 应取两直线其中之一为支撑边.∴现在对于一条分离S 的直线l, 设l 与P 围成的区域内部有B 个点. P 中与l 距离最近的点到l 距离为0s , 则01s d B ≥+ (以下用≥代表数量级估计) 我们证明d≥从而311D d n D n ≥⋅= 则13()d n -=Ω. 如图, P 夹在这样一个区域里, 取XY 上一点Z, 使得0YZ s =. 过Z 作MN ⊥XY , 点M,N 在以X 为圆心, D 为半径的圆上. 则B ≤YMN 内S 中点的个数.不妨设XY 为x 轴, 对YMN 内任意两点1122(,),(,)x y x y , 221201212||,()()1x x s x x y y -≤-+-≥, 则12||1y y B -≥⇒≤+.而MN =02s d MN∴≥=+由于0(1)s =Θd ∴≥, 则13d n -≥, 即13()d n -=Ω证毕.。
imo中的问题定理与方法
imo中的问题定理与方法imo是国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad）的简称，是一项世界范围内的高中生数学竞赛。
该竞赛的题目通常包含一些复杂而有趣的数学问题，这些问题要求学生具备坚实的数学基础和创新的解题思路。
在imo中，学生需要解决一系列的问题，其中涉及到的问题定理与方法是他们解题所依据的基础。
下面将介绍一些与imo中常见的问题定理与方法的相关参考内容，以帮助学生更好地应对这些挑战。
一、问题定理的相关参考内容1. 贝祖定理（Bézout's theorem）：该定理是一个关于多项式的定理，它阐述了两个多项式的最大公因式与最小公倍式之间的关系。
这是一个在imo中常见的问题定理，学生可以参考数学教科书中关于多项式与因式分解的内容来了解和应用这个定理。
2. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality）：该不等式是一个在线性代数中常用的定理，它指出内积的绝对值小于等于两个向量长度的乘积。
学生可以通过学习线性代数的相关教材来了解和应用这个不等式，在imo中可以应用它来解决关于向量和内积的问题。
3. 费马小定理（Fermat's little theorem）：该定理是一个在数论中常用的定理，它指出对于任意一个素数p和整数a，a的p次方减去a可以被p整除。
在imo中，学生可以利用费马小定理来解决一些与整数和素数相关的问题。
二、问题解决方法的相关参考内容1. 归纳法：归纳法是数学中常用的证明方法，也可以用来解决一些imo中的问题。
学生可以参考数学教科书中的相关内容来学习归纳法的基本原理和应用方法。
2. 反证法：反证法也是数学中常用的一种证明方法，通过假设问题的反面，然后推导出矛盾的结论，从而证明问题的正确性。
学生可以参考数学教科书中的相关内容来学习反证法的基本原理和应用方法。
3. 构造法：构造法是一种通过构造特定的数学对象来解决问题的方法。
一道数学奥林匹克题的简证及推广
n
1
= ( n+ m , n+ m ) 等号在 m x = ny = m x + m nz 时成立, 即
x= n m , y = n + m 时成立 . n+ m
nm
n
n
1999 年加拿大数学奥林匹克 竞赛有这
b x0 4 3 = 2 a y 0 36
2
(3
2,
≤x n y m + x n - 1y m z + x n- 1 ym z n m n- 1 m n m n- 1 m = x y + 2x y z ≤x y + nx y z 1 = n (m x ) n y m + nx n - 1y m z
m m
2 等号在 x = 2y = x + 2z 时成立 , 即 x = 3 , y = 1 . 3 , z = 0 时成立 若条件不变则结论可推广为:
x y + y z + z x ≤
n m n m n m
n m ( n + m ) n+ m
n
m
( tA - tB ) s in Α b2 x 0 ∴kAB = ( t + t ) cosΑ= 2 ( 定值). A B a y0 又椭圆在点 P 的切线为 b 2x 0 x + a 2y 0y a b = 0, 其斜率等于 - kA B. 故命题得证.
2000 年第 7 期 中学数学月刊 39 证明 以下只证明椭圆情况, 双曲线与 抛物线同理可证 . 设椭圆方程为: (1) 当 y 0 = 0 时, 直线 A B 的 倾 斜角 与 P 点 处 切 线的倾斜角 都是 90° , 知结论成立; (2 ) 当 y 0 ≠ 0
国际数学奥林匹克竞赛试题及解答
国际数学奥林匹克竞赛试题及解答国际数学奥林匹克竞赛（International Mathematical Olympiad，简称IMO）是世界范围内最高水平的数学竞赛之一。
每年有来自各个国家和地区的优秀学生参加，他们在这场激烈的竞赛中展示他们的数学才能。
以下将介绍一些历年IMO试题，并为您提供解答。
2008年IMO试题：1. 证明方程 x^2 + y^2 + z^2 = 2008x + 2009y + 2010z 只有有限多个整数解。
解答：我们可以将方程改写为 (x-1004)^2 + (y-1004.5)^2 + (z-1005)^2 = 2.5^2 + 3.5^2 + 5^2。
因此，方程的解可看作是(1004, 1004.5, 1005)平移后和(2.5, 3.5, 5)放缩后的结果。
由于放缩的倍数是有限的，因此方程只有有限多个整数解。
2012年IMO试题：2. 设 a_1, a_2, ..., a_n 是 n 个正整数的序列，并且满足 a_i * a_{i+1} = a_n + a_{n-i} 对于所有的1 ≤ i ≤ n-1。
证明：n 是一个完全平方数。
解答：考虑给定的方程 a_i * a_{i+1} = a_n + a_{n-i}，将其展开后整理得到a_i * (a_{i+1} - a_{n-i}) = a_n - a_{n-i}。
根据方程左右两边为整数，我们可以得到 a_{i+1} - a_{n-i} 是 a_i 的一个因子。
由于 a_1, a_2, ..., a_n 都是正整数，所以 a_{i+1} - a_{n-i} 的取值范围有限。
当 i = 1 时，我们可以推导出 a_2 - a_{n-1} 是 a_1 的因子。
同理，对于 i = 2, ..., n-1，我们可以推导出 a_{i+1} - a_{n-i} 也是a_1 的因子。
因此，a_1 的所有因子均出现在 a_2 - a_{n-1} 中。
2023巴西数学奥林匹克几何题解答
2023巴西数学奥林匹克几何题解答在数学领域，奥林匹克竞赛一直是一个非常重要的比赛，它旨在挑战和激励学生在数学领域的学习和探索。
其中，巴西数学奥林匹克无疑是世界数学竞赛中的佼佼者，几何题更是其一大亮点。
在2023年的巴西数学奥林匹克中，关于几何题有着一系列的挑战和难题。
本文将对2023巴西数学奥林匹克中的几何题进行深入解析和答案探讨，帮助读者更深入地理解和掌握这些题目。
1. 题目一：求证三角形内接圆的半径题目描述：已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，求证三角形ABC内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长p的差值。
针对这个题目，首先我们需要回顾一下三角形的基本性质，比如海伦公式、三角形的面积公式等。
我们可以通过画图，引入一个新的概念——内切圆，展开讨论。
内切圆通常是一个较为抽象的概念，但通过实际的绘图和计算，可以更好地理解其特点和性质。
在全面理解了内切圆的特点后，我们可以按照面积公式进行计算，得到半径r与面积S、半周长p的关系。
我们可以给出证明三角形内接圆的半径的具体过程和结论。
个人观点：几何题目的解答过程中，画图和几何推导是非常关键的步骤。
这不仅可以帮助我们更好地理解题目，还可以培养我们的空间想象能力和逻辑推理能力。
在解答这类几何题目时，多花时间在构图和推导上，对于提升解题能力会有很大的帮助。
2. 题目二：直角三角形内切圆的半径题目描述：已知直角三角形ABC，其中∠C为直角，a、b、c分别为三边的长度，求直角三角形内切圆的半径r。
对于这个题目，我们可以首先回顾直角三角形的性质和特点，比如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。
这些定理是解答几何题的基础，熟练掌握有助于更高效地解题。
针对直角三角形内切圆的半径r，我们可以通过构图和角度分析，推导出其与三角形三边长的关系。
在这个过程中，经常会用到特殊角的性质，比如一些特殊的三角函数值等。
我们可以给出直角三角形内切圆半径的具体计算公式和证明过程。
个人观点：几何题目不仅考察了我们对几何图形的认识，更考察了我们对数学知识的综合应用能力。
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一道国际数学奥林匹克题的简证
作者：武慧玲
来源：《成才之路》2012年第01期
1988年第二十九届国际数学奥林匹克第6题，在相关数学专著和网上都有证明，但过程较繁或没有构造性结论。
本文参考已有证法，给出一个既简洁又有构造性结论的证明，同时给出了三个推论命题，由这三个命题我们很容易得到此奥数题的各种特例。
1988年第二十九届国际数学奥林匹克第6题，是一个非常有意思的题目。
虽然这道题已过去很长时间，但仍有许多人在议论这道题。
纵观这道题的各种证明，目前为止比较好的有两种，皆由《初等数论》（作者：潘承洞、潘承彪，北京大学出版社）给出。
但一种证明没有给出构造性结论，另一种证明较繁。
本文参考《初等数论》，给出一个更加简单明了的证明。
题目：正整数a与b使得ab+1整除a2+b2，求证：是某个正整数的平方。
（1988年第二十九届国际数学奥林匹克第6题）
证明：根据a、b在命题中的对称性，不妨设a≥b。
令=k（k为正整数）。
考虑关于x的一元二次方程：x2-kbx+b2- k =0 (1)
依题意，a为方程（1）的一个正整数解。
设方程（1）的另一个解为a1,则由韦达定理有：a+a1=kb ....................................（2）aa1=b2-k (3)
由方程（2）知a1为整数，并且（a,b）=（b,a1）。
又由于b是正整数，所以a1≥0（否则a12+b2=k（a1b+1）≤0）。
由方程（3）知：a1=≤
若a是b的倍数，则由方程（2）可知，b|a1，结合b>a1≥0进而可知a1＝0。
将a1＝0代入方程（3）和方程（2）得，k=b2,a=b3。
这就是说，在题目的条件下，且a是b的倍数时，命题一定成立，而且有a=b3，k＝b2=（a,b）2。
若a不是b的倍数，则由方程（2）知a1>0。
于是有：＝＝k，并且a>b>a1>0，（a,b）=（b,a1）。
同理可证，若b是a1的倍数，则k= a12=（b,a1）2=（a,b）2；若b不是a1的倍数，则存在正整数a2，使得：＝＝=k，并且a>b>a1>a2>0，（a,b）=（b,a1）＝（a1,a2）。
依此类推，最后一定有两个正整数an+1与an，满足：an+1是an的倍数，k=an2=（a,b）2。
这就是说，在题目的条件下，且a不是b的倍数时，命题也成立，而且k=（a,b）2。
综上所述，若正整数a与b使得ab+1整除a2+b2，则一定有＝（a,b）2。
上述证明不仅简洁，同时给出了构造性的结论，而且由上面的证明过程，我们还可以得到以下三个命题。
命题一：若正整数a与b使得ab+1整除a2+b2，且a是b的倍数，则一定有
a=b3,=b2。
命题二：若a=b3，b为正整数，则ab+1一定能整除a2+b2，并且=b2。
命题三：若a、b、m为正整数，＝m2，则＝m2.
用以上命题，很容易得到此奥数题的各种特例。
（盐城纺织职业技术学院）。