北京市西城区(南区)2012-2013学年高二下学期期末考试数学文

北京市西城区（南区）2012-2013学年下学期高二期末质量检测数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集{}7,5,3,1=U ，集合{}a M ,1=，{}7,5=M C U ，则实数a 的值为（ ） A. 1B. 3C. 5D. 72. 复数i-12化简的结果为（ ） A. i --1B. i +-1C. i -1D. i +13. 曲线x x y +=331在点（1，34）处的切线的斜率为（ ） A. 1B. 31C. 2D. 344. 化简：=+25.0log 10log 255（ ） A. 0B. 1C. 2D. 45. 设833)(-+=x x f x，用二分法求方程0833=-+x x 在（1，2）内的近似解的过程中得0)1(<f ，0)5.1(>f ，0)25.1(<f ，0)75.1(>f ，则方程的根落在（ ）A. （1，1.25）B. （1.25，1.5）C. （1.5，1.75）D. （1.75，2）6. 当1>a 时，函数xay -=与x y a log =的图象是（ ）7. 函数x x y ln 212-=的单调递减区间是（ ）A. ]1,1(-B. ]1,0(C. ),1[+∞D. ),0(+∞8. 若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是A. )2,(--∞B. ),2(+∞C. ),2()2,(+∞--∞D. )2,2(-9. 函数13)(3+-=x x x f 在区间[-3，0]上的最大值、最小值分别为 A. 1，-1B. 1，-17C. 3，-17D. 9，-1910. 若函数c bx ax x f ++=2)(的导函数)('x f 的图象如下图所示，则函数)(x f 的图象可能是11. 设函数1)(--=x ax x f ，集合{}0)(|<=x f x M ，{}0)('|>=x f x P ，若P M ≠⊂，则实数a 的取值范围是（ ）A. ),1(+∞B. （0，1）C. （1,∞-）D. ),1[+∞12. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当00≥时，2)(x x f =，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. ),2[+∞B. ),2[+∞C. ]2,0(D. ]3,2[]1,2[ --二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13. 复数i z 2-=的共轭复数是______________。

14. 已知4log 3=a ，051⎪⎭⎫⎝⎛=b ，10log 31=c ，a ，b ，c 按从小到大的顺序排列为________。

15. 已知函数⎩⎨⎧≤-+>=),0(83),0()(x a ax x a x f x 若函数)(x f 的图象经过点（3，8），则a=_______；若函数)(x f 在（∞-，∞+）上是增函数，那么实数a 的取值范围是__________。

16. 函数)(x f 的定义域为A ，若1x ，A x ∈2且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数，例如，函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数，下列命题：①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数；②若)(x f 为单函数，1x ，A x ∈2且21x x ≠，则)()(21x f x f ≠； ③若f:A →B 为单函数，则对于任意B b ∈，它至多有一个原象； ④函数)(x f 在某区间上具有单调性，则)(x f 一定是单函数。

其中的真命题是______________。

（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共5小题，共36分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分6分）设函数)82(log )(25.0++-=x x x f 的定义域为A ，函数ax x g -=1)(的定义域为B ，当∅=B A 时，求a 的取值范围。

18. （本小题满分6分）二次函数)(x f y =的图象的一部分如下图所示。

（I ）根据图象写出)(x f 在区间[-1，4]上的值域； （II ）根据图象求)(x f y =的解析式；（III ）试求k 的范围，使方程0)(=-k x f 在（-1，4]上的解集恰为两个元素的集合。

19. （本小题满分8分） 已知函数)0(1331)(223>+--=a x a ax x x f 在1-=x 处取得极值。

（I ）求实数a 的值；（II ）求函数)(x f 的单调区间、极大值和极小值。

20. （本小题满分8分） 已知函数xax x f 1)(+=且0>a（I ）若曲线)(x f 在（1，)1(f ）处的切线与x y =平行，求实数a 的值； （II ）若]2,0(∈x ，求函数)(x f 的最小值。

21. （本小题满分8分）已知函数)0(12)(2>++-=a b ax ax x g 在区间[2，4]上的最大值为9，最小值为1，记|)(|)(x g x f =（I ）求实数a,b 的值。

（II ）若不等式)2()(log 2f k f >成立，求实数的取值范围；（III ）定义在[p,q]上的函数)(x ϕ，设q x x x x x p n i i =<<<<<<=- 110，1x ，2x ，……，1-n x 将区间[p,q]任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0>M ，使得和式M x x i i ni ≤-∑-=|)()(|11ϕϕ恒成立，则称函数)(x ϕ为在[p,q]上的有界变差函数，试判断函数)(x f 是否为在[0，4]上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由。

（)(1i n i x f =∑表示)()()(21n x f x f x f +++ ）参考答案一、选择题： 1. B 2. D 3. C 4. C 5. B 6. A 7. B8. D9. C10. D11. A12. B二、填空题： 13. i 214. a b c <<15. 2；（1，3] 16. ②③三、解答题：19. 解：（I ）因为2232)('a ax x x f --=，所以0321)1('2=-+=-a a f ，又0>a 所以1=a 2分经检验，当1=a 时，函数)(x f 在1-=x 处取得极值。

（II ）当1=a 时，1331)(23+--=x x x x f ，32)('2--=x x x f ， 令032)('2=--=x x x f ，得1-=x 或3=x 则当x 变化时，)(x f 与)('x f 的变化情况如下表： x（∞-，-1） -1 （-1，3） 3 （3，∞+） )('x f + 0- 0 + )(x f递增38 递减-8递增∴函数)(x f 的单调递增区间是（∞-，-1），（3，∞+） 函数)(x f 的单调递减区间是（-1，3）6分当1-=x 时，)(x f 取得极大值，极大值为38； 当x=3时，f(x)取得极小值，极小值为-88分20. 解（I ）22211)('xax x a x f -=-= 依题意11)1('=-=a f ， 故a=23分（II ）22211)('xax x a x f -=-= 当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a a x ,0时，0)('<x f ，即f(x)在⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a ,0上单调递减； 当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,a a x 时，0)('>x f ，即)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,a a 上单调递增 4分（1）当2≥a a ，即410≤<a 时， 可知f(x)在（0，2]是减函数， 故x=2时，212)(min +=a x f 6分可知f(x)在⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a ,0递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,a a 递增，故a a x =时，a x f 2)(min = 综上所述，当410≤<a 时，212)(min +=a x f ；41>a 时，a x f 2)(min = 8分 21. （本小题满分8分）解：（I ）a b x a x g -++-=1)1()(2，因为0>a ， 所以)(x g 在区间[2，4]上是增函数，故⎩⎨⎧==,9)4(,1)2(g g 解得⎩⎨⎧==0,1b a2分（II ）由已知可得1||2|)(|)(2+-==x x x g x f 为偶函数。

所以不等式)2()(log 2f k f >可化为2log 2>k 或2log 2-<k 解得4>k 或410<<k 即实数k 的取值范围是（0，41）),4(+∞ 4分（III ）函数)(x f 为[0，4]上的有界变差函数。

因为函数)(x f 在[0，1]上单调递减，在[1，4]上单调递增，且对任意划分40110=<<<<<<=-n i i x x x x x不妨设)1(410110n k x x x x x n k k ≤≤=<<<≤<<<=- 所以有)()()()0(110->>>=k x f x f x f f)4()()()()(11f x f x f x f x f n n k k =<<<<-+所以∑=--ni i ixf x f 11|)()(|))()(())()(())()((122110---++-+-=k k x f x f x f x f x f f))()(())()((|)()(|111-+--++-+-+n n k k k k x f x f x f x f x f x f当)()(1-≥k k x f x f 时，∑=----+-+-=-ni k n k k k i ix f x f x f x f x f x f xf x f 11101)()()()()()(|)()(|10)(2)4()0()(2)()(110≤-+=-+=--k k n x f f f x f x f x f ；当)()(1-<k k x f x f 时，∑=----+-+-=-ni k n k k k i ix f x f x f x f x f x f xf x f 11101)()()()()()(|)()(|10)(2)4()0()(2)()(0<-+=-+=k k n x f f f x f x f x f综上，存在常数10≥M ，使得∑=-≤-ni i iM xx 11|)()(|ϕϕ恒成立。