福建省仙游金石中学高三数学上学期期中试题文(含解析)
福建省部分校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题
高三数学考试注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，不等式，三角函数与解三角形，平面向量，复数，数列，立体几何初步。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}21,5,,1,23A a B a ==+，且B A ⊆，则a =（）A ．1−B ．1C ．3−D ．32．命题“()20,1,sin 21x x x x ∀∈>−+−”的否定为（ ）A ．()20,1,sin 21x x x x ∃∉≤−+−B ．()20,1,sin 21x x x x ∃∈≤−+−C ．()20,1,sin 21x x x x ∀∉>−+−D ．()20,1,sin 21x x x x ∀∈≤−+−3．函数()()22log log eesin xxf x x −=−⋅在区间[],ππ−上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．若()20.5:90,:log 11p x q x −≤−>−，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在长方体1111ABCD A B C D −中，已知122AA AD CD ==，点E 是线段CD 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的余弦值为（）A B ．89C ．25D 6．当强度为x 的声音对应的等级为()f x 分贝时，有()010lgxf x A =（其中0A 为常数），某挖掘机的声音约为90分贝，普通室内谈话的声音约为50分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ）A ．4eB ．410C ．95D ．35107．如图，在圆锥PO 中，用一个平行于底面的平面去截圆锥PO ，可得一个圆锥1PO 和一个圆台1O O ，若圆锥1PO 的体积是圆锥PO 体积的18，则圆锥1PO 与圆台1O O 的侧面积的比值为（ ）A ．12B ．14C ．23D ．138．已知函数()()sin 2cos ,0,0f x x ax ax x x f x =−−∀≥≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4 +∞B ．10,4C ．1,3 +∞D ．10,3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知()22i i z +=，则下列说法正确的是（ ）A ．z 在复平面内对应的点的坐标为21,55−B ．21i 55z =−−C.z 在复平面内对应的点与点21,55−关于原点对称 D ．z = 10．如图，这是函数()()sin 0,0,02f x A x b A πωϕωϕ=++>><<的部分图象，则（ ）A ．()2sin 216f x x π=++B ．()2sin 213f x x π=++C ．()512cos 26f x x π=−+D ．()12cos 23f x x π=−+11．已知1,1m n >>，且3m n +=，则（ ）A ．333log log 2log 4m n +≤−B ．222e ln ln 2e e e m nmn≥−C ．2182113m n +≥−−D ．229m n +≥12．意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一个数列：1,1,2,3,5,8,⋅⋅⋅．这个数列的前两项均是1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和．人们把这样的一列数组成的数列{}n F 称为斐波那契数列．现将数列{}n F 中的各项除以3所得余数按原顺序构成的数列记为{}n G ，则下列说法正确的是（ ）A ．2024202611i i F F ==−∑B ．20242202320241ii FF F ==∑C ．20240G =．D ．202412277ii G==∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知向是,a b 的夹角为3π，且()1,22a a a b =⋅−=−，则b = ______．14．若1tan 42πθ+=−，则tan θ=______． 15．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若313S =，且5436a a a =+，则满足41n S <的n 的最大值为______．16．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()()()421,84,01f x f x f f x f x f ++=−=−=，则()20251k f k ==∑______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 2c aA b−=．（1）求B ；（2）若3,c b==ABC △的面积．18．（12分）设函数()23ln f x x x x =−+． （1）求()f x 在(]0,1上的最大值； （2）设函数()()33ln g x f x x x =−+，关于x 的方程()21g x m =−有3个不同的根，求m 的取值范围． 19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =−，数列{}n b 为等差数列，34521b b b ++=，611b =．（1）求{}{},n n a b 的通项公式；（2）求数列n n b a的前n 项和n T ．20．（12分）如图．在三棱锥P ABC −中．,2,AB BC AB BC PBC ⊥=△为等边三角形，,,BP AP BC 的中点分別为,,,D E O且AD =．（1）证明：平面ABC ⊥平面PBC ：（2）若F 为AC 的中点．求点C 到平面BEF 的距离．21．（12分）近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破．某企业原有1000名技术人员，年人均投入a 万元()0a >，现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（x ∈N 且100500x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加()0.2%x ，技术人员的年人均投入调整为31000x a m−万元． （1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？（2）为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m ，满足以上两个条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由． 22．（12分）已知函数()()414ln 2x f x ea x −=−．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点11,22f处的切线方程； （2）当0a >时，若关于x 的不等式．()()ln 2x a a f a ≥+恒成立，求实数a 的取值范围．高三数学考试参考答案1．D 【解析】 本题考查集合间的基本关系，考查数学运算的核心素养．若235a +=，则1a =，此时21a =，不满足互异性；若223a a =+，则解得3a =或1a =−，显然，3a=符合题意，而当1a =−时，21a =，不满足互异性．2．B 【解析】 本题考查常用逻辑用语，考查逻辑推理的核心素养．全称量词命题的否定为存在量词命题，故原命题的否定为()20,1,sin 21x x x x ∃∈≤−+−．3．C 【解析】 本题考查函数的图象与性质，考查直观想象与逻辑推理的核心素养． 因为()()()()()2222log log log log eesin e esin xxxxf x x x f x −−−−−=−⋅−=−−⋅=−，所以()f x 为奇函数，A ，B 错误．又当01x <<时，22log 0log x x <<−，所以22log log eexx−<，sin 0x >，从而()()22log log eesin 0xxf x x −=−⋅<，C 正确，D 错误．4．B 【解析】 本题考查常用逻辑用语，考查逻辑推理的核心素养．由290x −≤，得33x −≤≤，由()0.5log 11x −>−，得13x <<，所以p 是q 的必要不充分条件． 5．A 【解析】 本题考查异面直线所成的角，考查直观想象的核心素养．设2ADCD ==，则14AA =，易知11//AD BC ，所以异面直线1D E 与BC ，所成的角为 1AD E ∠．经计算可知11D EAD AE=，所以1cos AD E∠=．6．B 【解析】 本题考查函数的应用，考查数学建模的核心素养．设该挖掘机的声音强度为1x ，普通室内谈话的声音强度为2x ，由题意知12010lg 90,10lg 50,x A x A==化简得91052010,10,x A x A = = 所以41210x x = 7．D 【解析】 本题考查旋转体的体积与侧面积，考查直观想象的核心素养．设圆锥1,PO PO 的底面圆半径分别为,r R ，它们的母线长分别为,l L ，因为1318PO PO V r V R ==，所以12r R =，从而12l L =，即2,2R r L l==．所以111223CO PO S rl S r l rl πππ==⋅⋅−侧侧． 8．C 【解析】 本题考查导数在研究函数中的应用，考查逻辑推理的核心素养．()0,0x f x ∀≥≤等价于sin 2cos x ax x ≤+．记()sin 2cos x g x ax x=−+，即()0g x ≤在[)0,+∞上恒成立．()()222cos 111132cos 332cos x g x a a x x +=−=−−+− + +′．当103a −≤，即13a ≥时，()()0,g x g x ′≤在[)0,+∞上单调递减，所以当0x ≥时，()()00g x g ≤=，即()0f x ≤恒成立；当103a <<时，记()sin 3x h x ax =−，则()cos 3x h x a =′−，存在00,2x π ∈，使得()00h x ′=，当()00,x x ∈时，()()0,h x h x ′>单调递增，所以()()00h x h >=，即sin 3xax >，所以当()00,x x ∈时，sin sin 2cos 3x xax x ≥>+，即()0f x >，不符合题意；当0a ≤时，102f a ππ=−>，不符合题意． 综上，a 的取值范围是1,3+∞．9．BCD 【解析】 本题考查复数的运算与几何意义，考查数学运算的核心素养．由题可得()22i 121i 2i 4i 55z −−−===−++−，即z 在复平面内对应的点的坐标为21,55−，与点21,55−关于原点对称，A 错误，C 正确；21i 55z =−−，B 正确；z =，D 正确．10．BC 【解析】 本题考查三角函数的图象与性质，考查直观想象与数学运算的核心素养．因为3,1,A b A b += −+=−所以2,1.A b = = 又1741234T πππ−，所以T π=，则2ω=，故()()2sin 21f x x ϕ=++．将点,13π的坐标代入()()2sin 21f x x ϕ=++，得3πϕ=，则()2sin 213f x x π =++ ，B 正确；若()2sin 216f x x π =++ ，则23f π=，A 错误；而512cos 212cos 22sin 216323x x x ππππ−+=−++=++，C 正确；若()12cos 23f x x π=−+，则()00f =，D 错误．11．ABC 【解析】 本题考查不等式，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．因为22m n mn +≤，所以()233333log log log log 2log 42m n m n mn + +=≤=− ，当且仅当m n =时，等号成立，A 正确；易知e e mn+≥，即22e e 2e emn m n+≥，所以22e 2e e e m n mn ≥−，1222222e 2e e 2e e 0e m n mn ≥−>−>，故222e ln ln 2e e e m nmn≥− ，B 正确； 因为2122,32112122m n m n m n +=++=−−−−，所以21223m n −+−=， ()2112214442212242113212232122n m m n m n m n m n −−+=+−+−=++ −−−−−−，因为444242122n m m n −−+≥=−−，所以1444284321223n m m n −− ++≥−− ，当且仅当57,44m n ==时，等号成立，C 正确；()2222929m n m n mn mn +=+−=−<，D 错误． 12．ACD 【解析】 本题考查数学文化与数列的求和，考查数学抽象与数学运算的核心素养．对于A ，因为21n n n F F F ++−=，所以321432543202620252024,,,,F F F F F F F F F F F F −=−=−=⋅⋅⋅−=，上式两边分别相加得2026201224i i F F F =−=∑，又121F F ==，所以2024202611i i F F ==−∑，A 正确． 对于B ，因为12n n n F F F ++=−，所以21211n n n n nF F F F F ++++=−，所以222223221343324544320242025202420242023,,,,F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F =−=−=−⋅⋅⋅=−，上式两边分别相加得222232024202520241F F F F F ++⋅⋅⋅+=−，所以202421202420251i FF F ==∑，B 错误．对于C ，由题意知123456789101,1,2,0,2,2,1,0,1,1,G G G G G G G G G G ==========⋅⋅⋅，所以数列{}n G 是最小正周期为8的数列，故202480G G ==，C 正确． 对于D ，()20241253112022102277ii G ==×+++++++=∑，D 正确．13．3【解析】 本题考查平面向量的夹角与模，考查数学运算的核心素养．因为()212||21222a ab a a b b ⋅−=−⋅=−×=− ，所以3b = ．14．3−【解析】 本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．因为tan 11tan 41tan 2πθθθ++==−−，所以tan 3θ=−． 15．4【解析】 本题考查等比数列的性质与求和，考查数学运算的核心素养．设公比为q ，因为5436a a a =+，所以260q q −−=，解得3q =．又由313S =，即1113913a a a ++=，解得11a =，所以312n n S −=．由31412n −<，得383n <，所以n 的最大值为4． 16．2024【解析】 本题考查抽象函数，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养． 由()()84f x f x −=−可知()f x 的图象关于直线2x =对称，从而()()401f f ==．又()()()421f x f x f ++=，令x =，得()()()21042f f f =+=，则()()()()()()()()152637482f f f f f f f f +=+=+=+=．由()()42f x f x ++=，得()()482f x f x +++=，可推出()()8f x f x +=，故()f x 的最小正周期为8，则()()()2152,10f f f ===．因为202582531=×+，所以()()()()()2025125312812024k f k f f f f = =++⋅⋅⋅++= ∑．17．解：（1）因为2cos 2c aA b −=，所以222222b c a c a bc b +−−=，整理得222a c b ac +−=，所以2221cos222a cb ac B ac ac +−===， 又因为()0,B π∈，所以3B π=．（2）因为2222cos ,3,b a c ac B c b =+−==，所以21393a a +−，即2340a a −−=，解得4a =．所以ABC △的面积11sin 3422S ac B ==××=． 评分细则：第一问另解： 因为2cos 2c aA b−=，所以2cos 2b Ac a =−． 由正弦定理得()2cos sin 2sin sin A B A B A =+−，整理得2sin cos sin 0A B A −=． 因为sin 0A >，所以1cos 2B =． 又因为()0,B π∈，所以3B π=．18．解：（1）因为()23ln f x x x x =−+，所以()()()211123x x f x x x x=′−−=−+．令()0f x ′<，解得112x <<，令()0f x ′>，解得102x <<或1x >， 所以()f x 在10,2 上单调递增，在1,12上单调递减． 所以()f x 在(]0,1上的最大值为15ln 224f=−−． （2）()264ln g x x x x =−+，它的定义域是()0,+∞，且()()()221426x x g x x x x=′−−=−+，当()()0,12,x ∈+∞ 时，()0g x ′>，当()1,2x ∈时，()0g x ′<，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增．因为方程()21g x m =−有3个不同的根，()()15,24ln28g g =−=−， 所以4ln28215m −<−<−，解得72ln222m −<<−，即m 的取值范围为72ln2,22−−． 评分细则：【1】第一问，写出()()()211123x x f x x x x=′−−=−+，得2分，正确写出单调区间，累计得4分，第一问都正确，累计得5分． 【2】第二问，写出()()()22142x x g x x x x=′−−=−+，累计得7分，正确写出单调区间，累计得9分，正确计算出两个极值，累计得10分，直至求出正确答案，累计得12分． 【3】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分． 19．解：（1）当1n =时，1122a a =−，解得12a =． 当2n ≥时，1122,22n n n n S a S a −−=−=−，两式相减得122n n n a a a −=−，即()122nn an a −=≥，所以{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故2n n a =． 设等差数列{}n b 的公差为d ，由34521b b b ++=，可得47b =，又611b =，所以7211d +=，解得2d =，故21nb n =−． （2）令n n nb c a =，则由（1）可知212n n n c −=，则23135212222n n n T −=+++⋅⋅⋅+，① 234111352122222nn n T +−=+++⋅⋅⋅+，② ①-②，得21111111111211121323122222222222n n n n n n n n n T −+−++−−+ =+++⋅⋅⋅+−=+−−=− ， 所以2332n nn T +=−． 评分细则：【1】第一问，写出12a =，得1分，写出2n n a =，累计得4分，写出47b =，累计得5分，求出21n b n =−，累计得6分．【2】第二问，求出212n nn c −=，累计得7分，求出11323222n n n T ++=−，累计得11分，直到给出正确结论得12分．20．（1）证明：因为PBC △为等边三角形，,D O 分别是BP BC ⋅的中点，且BC =，所以DO BD ==，所以AD =．又2AB =，所以222AB BD AD +=，即AB BD ⊥． 因为,AB BC BC BD B ⊥= ，所以AB ⊥平面PBC ． 又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面PBC ．（2）解：连接PO ，由已知可得PO BC ⊥，又由（1）可知平面PBC ⊥平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ．因为F 为AC 的中点，所以点C 到平面BEF 的距离等于点A 到平面BEF 的距离．在直角ABC △中，可知2ACBF ==，在直角ABP △中，可知2APBE ==因为EF 是ACP △的中位线，所以2PC EF BEF==△的面积12BEFS =△设点A 到平面BEF 的距离为d ，则三棱锥A BEF −的体积A BEF V −=．又ABF △的面积122ABF S =×=△点E 到平面ABF 的距离为2OP =，所以三棱锥E ABF −的体积13E ABF V −==d =，即点C 到平面BEF ．评分细则：【1】第一问中，求出AD =，得2分，证出AB BD ⊥，累计得4分，证出平面ABC ⊥平面PBC ，累计得5分．【2】第二问中，证出PO ⊥平面ABC ，累计得6分，计算出BEF S =△，累计得9分，计算出E ABF V −=累计得11分，直至正确求出点C 到平面BEF 的距离，累计得12分． 21．解：（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为211000x a+万元， 则()21000110001000x x a −+≥0a >，所以2201000x x −≤，解得0500x ≤≤, 因为x ∈N 且100500x ≤≤，所以100500x ≤≤，故5001000900x ≤−≤，即要使这()1000x −名研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为500．（2）由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得()231000110001000x x x a x m a−+≥−，上式两边同除以ax ，得1000231110001000x x m x −+≥−，整理得100011000x m x ≤++． 由条件②技术人员年人均投入不减少，得31000x a m a−≥，解得311000xm ≥+． 假设存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，即()310001110050010001000x xm x x +≤≤++≤≤恒成立． 设()21000110001110001000x f x x x x =++=++，易知()f x 在(]0,1000上单调递减，因为x ∈N 且100500x ≤≤，所以()f x 在[]100,500上单调递减，则min 1000500()1 3.55001000f x =++=，当500x =时，等号成立，所以 3.5m ≤．又因为100500x ≤≤，当500x =时，max31 2.51000x+=，所以 2.5m ≥， 所以2.5 3.5m ≤≤，即存在这样的m 满足条件，m 的取值范围为[]2.5,3.5． 评分细则：【1】第一问，写出调整后研发人员的年人均投入为211000x a+万元，得1分，写出0500x ≤≤，累计得3分，写出调整后的研发人员的人数最少为500，累计得5分． 【2】第二问，求出()231000110001000x x x a x m a−+≥−，累计得6分，求出311000x m ≥+，累计得8分，写出()310001110050010001000x xm x x +≤≤++≤≤恒成立，累计得9分，直到给出正确结论得12分．22．解：（1）当1a =时，()()41e 4ln 2x f x x −=−，所以()4,144e x f x x−′=−， 114e 8,e 22f f=−=′，所以切线方程为()1e 4e 82y x−=−−， 即()4e 8e 4y x =−−+．（2）()f x 的定义域为()()()0,,ln 2f x a a a +∞≥+，即()()41e 4ln 2ln 20x a x a a a −−−−≥．设()()()41e4ln 2ln 2x g x a x a a a −=−−−，则()4144e x ag x x−=′−． 因为0a >，所以()g x ′在()0,+∞上为增函数，当0x →时，()g x ′→−∞，当x →+∞时，()g x ′→+∞，所以存在唯一的00x >，使()0410044e 0x ag x x −−′==， 且当()00,x x ∈时，()0g x ′<，当()0,x x ∈+∞时，()0g x ′>．由()0410044e 0x a g x x −−′==，得0410e x a x −=，则()()00ln 2ln 241a x x =+−． 所以()()()()000414141min 000()e4ln 2ln 2e e 4ln 21ln 2x x x g x a x a a a x x a −−− =−−−=−++()0412000e 15ln 240x x x x − =−−≥ ．因为()()20000000115ln 245ln 240x x x x x x x −−=−−≥，所以()00015ln 240x x x −−≥．设()()15ln 24h x x x x=−−，易知它在()0,+∞上为减函数，注意到102h=，所以0102x <≤．又0410e x a x −=，设()411e 02x u x x x −=<≤，则()()4141e 0x u x x −=′+>，可知()u x 在10,2上单调递增，则e 0,2a ∈，即实数a 的取值范围是e 0,2．分评分细则：【1】第一问，写出()4144e x f x x−′=−，得2分，正确求出曲线()y f x =的切线方程，累计得4分．【2】第二问，写出()4144e x ag x x−=′−，累计得6分，推导出()()00ln 2ln 241a x x =+−，累计得8分，推出()0412000e15ln 240x x x x − −−≥，累计得9分．证出()()4141e 0x u x x −=′+>，累计得11分，求出实数a 的取值范围是e 0,2，累计得12分．【3】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分．。
2021-2022学年高三上学期数学(文)期中试题及答案
2021-2022学年上学期期中考试高三数学（文科）试题考试时间：120分钟 分数：150分本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则U C A =( )A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}2. 131ii +- = ( )A. 1+2iB. -1+2iC. 1-2iD. -1-2i3. 已知实数x , y 满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z=y-x 的最大值为 ( )A. 1B. 0C. -1D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π(5题图) （6题图）是否开始k=1,s=1k<5?输出s结束 k=k+1s=2s-k6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ） A. -10 B. -3 C. 4 D. 57. 已知x 与y 之间的几组数据如表：x 0 1 2 3 y267则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点 ( )A. (1,2)B. (2,6)C. (315,24) D. (3,7)8. 下列函数中，在定义域内与函数3y x =的单调性与奇偶性都相同的是 （ ）A. sin y x =B. 3y x x =-C. 2x y =D.2lg(1)y x x =++9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若,a b ∈(0, +∞),且2a b +=，则133a b +的下确界为 （ ） A. 163 B. 83 C. 43 D. 2310.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所有数的和等于36，那么22a = （ ）A. 8B. 4C. 2D. 111.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 （ ）A. 4B. 6C. 8D.1012.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x xe f x e >+ 的解集为 （ ） A. {}|0x x > B. {}|0x x < C. {}|11x x x <->或 D. {}|10x x x <->>或1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =，则ab =14.已知数列{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为15.抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿x 轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f(x)，关于函数y=f(x)有下列说法：①f(x)的值域为[0，2]； ②f(x)是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;④滚动后，当顶点A 第一次落在x 轴上时，f(x)的图象与x 轴所围成的面积为833π+．其中正确命题的序号为三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知3cos 3cos c b C c B =+（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1cos ,233B b =-=，求∆ABC 的面积。
2015-2016学年福建省莆田市仙游一中高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
2015-2016学年福建省莆田市仙游一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应点的坐标是（）A．（3，3） B．（﹣1，3）C．（3，﹣1）D．（﹣1，﹣3）2．（5分）在△ABC中，若（tanB+tanC）=tanBtanC﹣1，则sin2A=（）A．﹣B．C．﹣ D．3．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．254．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞95．（5分）由曲线y=x2与直线y=x+2所围成的平面图形的面积为（）A．B．4 C．2 D．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=3，则b的值为（）A．6 B．26 C．D．7．（5分）在△ABC所在的平面内，点P0、P满足=，，且对于任意实数λ，恒有，则（）A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AC=BC D．AB=AC8．（5分）三个实数a，b，c成等比数列，且a+b+c=3，则b的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．（0，1]C．[﹣1，0）∪（0，3]D．[﹣3，0）∪（0，1]9．（5分）已知函数（p为常数，且p＞0），若f（x）在（1，+∞）上的最小值为4，则实数p的值为（）A．2 B．C．4 D．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．611．（5分）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（﹣x）=f（x），f （﹣2）=﹣3，数列{a n}满足a1=﹣1，且=2×+1，（其中S n为{a n}的前n项和）．则f（a5）+f（a6）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．212．（5分）已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g （x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式的展开式中的常数项为．14．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，S n=（﹣1）n a n﹣，n∈N*，则S1+S2+…+S2016=．15．（5分）已知f（n）=1+（n∈N*），经计算得f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，则可以归纳出一般结论：当n≥2时，有．16．（5分）给出下列四个命题：①△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件；②当x＞0且x≠1时，有lnx+≥2；③已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7＞S5，则S9＞S3；④若函数为R上的奇函数，则函数y=f（x）的图象一定关于点成中心对称．其中所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=sinxcosxsinφ+cos2xcosφ+cos（π+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，）．（1）求φ的值；（2）将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[﹣，]上的单调递增区间．18．（12分）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数．（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．19．（12分）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=1，b1=2，b n＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n和为S n，若对所有正整数n恒成立，求常数t的取值范围．20．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，a2=8，S n+1+4S n﹣1=5S n（n ≥2），T n是数列{log2a n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求满足的最大正整数n的值．22．（12分）已知f（x）=，（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若f（x）在（0，4]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）在[m，m+2]（m＞0）上的最小值；（Ⅲ）求证：．2015-2016学年福建省莆田市仙游一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应点的坐标是（）A．（3，3） B．（﹣1，3）C．（3，﹣1）D．（﹣1，﹣3）【解答】解：∵复数==（1+2i）（1+i）=﹣1+3i，则z的共轭复数=﹣1﹣3i在复平面内对应点的坐标是（﹣1，﹣3）．故选：D．2．（5分）在△ABC中，若（tanB+tanC）=tanBtanC﹣1，则sin2A=（）A．﹣B．C．﹣ D．【解答】解：△ABC中，若（tanB+tanC）=tanBtanC﹣1，则tan（B+C）==﹣，∴B+C=150°，∴A=30°，∴sin2A=sin60°=，故选：B．3．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．25【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选：A．4．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9【解答】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得，解得，则f（x）=x3+6x2+11x+c，由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，即6＜c≤9，故选：C．5．（5分）由曲线y=x2与直线y=x+2所围成的平面图形的面积为（）A．B．4 C．2 D．【解答】解：作出两条曲线对应的封闭区域，如右图：再联立方程，解得x=﹣1或x=2，所以，A（﹣1，1），B（2，4），根据定积分的几何意义，所求阴影部分的面积：S阴影==（﹣x3+x2+2x）=，故选：D．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=3，则b的值为（）A．6 B．26 C．D．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=3，∴S=acsinB==3．∴a=6．由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=36+2﹣12×=26．∴b=．故选：D．7．（5分）在△ABC所在的平面内，点P0、P满足=，，且对于任意实数λ，恒有，则（）A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AC=BC D．AB=AC【解答】解：∵=，，∴P0、P、A、B 四点共线，以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，设AB=4，C （a，b），P（x，0），则A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0），∵恒有，∴（2﹣x，0）•（a﹣x，b）≥（1，0）•（a﹣1，b）即（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立，即x2﹣（a+2）x+a+1≥0 恒成立，∴判别式△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0，解得a2≤0，∴a=0，即点C在AB的垂直平分线上，∴CA=CB，故选：C．8．（5分）三个实数a，b，c成等比数列，且a+b+c=3，则b的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．（0，1]C．[﹣1，0）∪（0，3]D．[﹣3，0）∪（0，1]【解答】解：设此等比数列的公比为q，∵a+b+c=3，∴=3，∴b=．当q＞0时，b≤=1，当且仅当q=1时取等号，此时b∈（0，1]；当q＜0时，b≥=﹣3，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b∈[﹣3，0）．∴b的取值范围是[﹣3，0）∪（0，1]．故选：D．9．（5分）已知函数（p为常数，且p＞0），若f（x）在（1，+∞）上的最小值为4，则实数p的值为（）A．2 B．C．4 D．【解答】解：由x＞1可得x﹣1＞0，即有f（x）=（x﹣1）++1≥2+1=2+1，当且仅当x﹣1=，即x=1+处取得最小值，且为1+2，由题意可得1+2=4，解得p=．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，﹣a m=1，所以公差d=a m+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．）=﹣2，又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（﹣x）=f（x），f （﹣2）=﹣3，数列{a n}满足a1=﹣1，且=2×+1，（其中S n为{a n}的前n项和）．则f（a5）+f（a6）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2【解答】解：∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∵f（﹣x）=f（x），∴f（﹣x）=﹣f（﹣x）∴f（3+x）==﹣f（）=﹣f[]=﹣f（﹣x）=f（x）∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{a n}满足a1=﹣1，且=2×+1，∴a1=﹣1，且S n=2a n+n，∴a5=﹣31，a6=﹣63∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g （x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0=a，因此构造函数，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h （t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式的展开式中的常数项为112．【解答】解：展开式的通项为T r=（﹣2）r C8r，+1令=0得r=2，所以展开式中的常数项为（﹣2）2C82=112．故答案为：112．14．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，S n=（﹣1）n a n﹣，n∈N*，则S1+S2+…+S2016=．【解答】解：由S n=（﹣1）n a n﹣，∈N*，当n=1时，有，得．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n a n﹣﹣，即，若n为偶数，则（n≥2）．∴（n为正奇数）；若n为奇数，则=（﹣2）•（﹣）+=．∴（n为正偶数）．∵（n为正奇数），∴，又（n为正偶数），∴．则．，．则．…﹣．S1+S2+S3+S4+…+S2016=（﹣a1+a2）+（﹣a3+a4）+…+（﹣a2015+a2016）﹣（）=2（）﹣（）=2•=．故答案为：．15．（5分）已知f（n）=1+（n∈N*），经计算得f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，则可以归纳出一般结论：当n≥2时，有（n∈N*）．【解答】解：由题意f（4）＞2，可化为f（22）＞，f（8）＞，可化为f（23）＞，…以此类推，可得（n∈N*）．故答案为：（n∈N*）．16．（5分）给出下列四个命题：①△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件；②当x＞0且x≠1时，有lnx+≥2；③已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7＞S5，则S9＞S3；④若函数为R上的奇函数，则函数y=f（x）的图象一定关于点成中心对称．其中所有正确命题的序号为①③．【解答】解：对于①，由A＞B，得边a＞边b（大角对大边），根据正弦定理知：=，则sinA＞sinB；由sinA＞sinB，根据正弦定理知：=，则边a＞边b，根据大边对大角，则有A＞B．∴△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件．命题①正确；对于②，若0＜x＜1，则lnx＜0，lnx+≥2不成立．命题②错误；对于③，等差数列{a n}若S7＞S5，则2a1+11d＞0，则S9﹣S3=6a1+33d＞0，即S9＞S3，命题③正确；对于④，函数y=f（x﹣）为R上的奇函数，则其图象关于（0，0）中心对称，而函数y=f（x）的图象是把y=f（x﹣）的图象向左平移个单位得到的，∴函数y=f（x）的图象一定关于点F（﹣，0）成中心对称．命题④错误．故答案为：①③三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=sinxcosxsinφ+cos2xcosφ+cos（π+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，）．（1）求φ的值；（2）将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[﹣，]上的单调递增区间．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosxsinφ+cos2xcosφ+cos（π+φ）===．又函数图象过点（，）．所以，又0＜φ＜π，所以φ=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由（1）知f（x）=，将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象，可知g（x）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）因为x∈，所以，由和知函数g（x）在上的单调递增区间为和﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．（12分）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数．（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．【解答】解：，（Ⅰ）当a=0时，，f′（1）=，f（1）=0∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（x﹣1）．（Ⅱ）（1）当a≥0时，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＜0时，令f′（x）＞0，则＞0，整理得，ax2+（2a+2）x+a ＞0，令f′（x）＜0，则＜0，整理得，ax2+（2a+2）x+a＜0．以下考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.，对称轴方程．①当a≤﹣时，△≤0，∴g（x）＜0恒成立．（x＞0）②当﹣＜a＜0时，此时，对称轴方程＞0，∴g（x）=0的两根都为正根，计算得当0＜x＜时，g（x）＜0；当＜x＜时，g（x）＞0．当x＞时，g（x）＜0．综合（1）（2）可知，当a≤﹣时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当﹣＜a＜0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，）单调递增，在（，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．19．（12分）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=1，b1=2，b n＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n和为S n，若对所有正整数n恒成立，求常数t的取值范围．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q（q＞0）．由题意，得，解得d=q=3．…（3分）∴a n=3n﹣2，．…（7分）（Ⅱ）．…（9分）∴S n=c1+c2+…+c n=2（31+32+…+3n）﹣2n=3n+1﹣2n﹣3．…（11分）∴．…（12分）∴3n+1＞3n﹣2+t恒成立，即t＜（3n﹣3n+3）min．令f（n）=3n﹣3n+3，则f（n+1）﹣f（n）=2•3n﹣3＞0，所以f（n）单调递增．故t＜f（1）=3，即常数t的取值范围是（﹣∞，3）．…（14分）20．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD===．（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，∴sin∠BAD==，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，∴由正弦定理知=，∴BC=•sin∠BAC=×=321．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，a2=8，S n+1+4S n﹣1=5S n（n ≥2），T n是数列{log2a n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求满足的最大正整数n的值．【解答】解：（1）∵当n≥2时，S n+1+4S n﹣1=5S n，∴S n+1﹣S n=4（S n﹣S n﹣1），∴a n+1=4a n．∵a1=2，a2=8，∴a2=4a1，∴数列{a n}是以a1=2为首项，公比为4的等比数列，∴．（2）由（1）得：，∴T n=log2a1+log2a2+…+log2a n=1+3+…+（2n﹣1）==n2．即有===，令，解得n≤1008．故满足条件的最大正整数n的值为1008．22．（12分）已知f（x）=，（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若f（x）在（0，4]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）在[m，m+2]（m＞0）上的最小值；（Ⅲ）求证：．【解答】解：（Ⅰ）由题意知在（0，4]上恒成立．又e ax＞0，x2＞0，则ax﹣1≤0在（0，4]上恒成立，即在（0，4]上恒成立．而当x∈（0，4]时，，所以，于是实数a的取值范围是．（Ⅱ）当a=1时，则．当x﹣1＞0，即x＞1时，f'（x）＞0；当x﹣1＜0且x≠0，即x＜0和0＜x＜1时，f'（x）＜0，则f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（﹣∞，0）和（0，1）． (6)据此可得函数f（x）的大致图象，如图所示：因为m＞0，所以m+2＞1，①当0＜m≤1时，f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+2]上单调递增，所以f（x）min=f（1）=e．②当m≥1时，f（x）在[m，m+2]上单调递增，所以．综上，当0＜m≤1时，f（x）min=e；当m≥1时，．证明有：（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当x＞0时，f（x）=≥e，所以≤，x＞0，可得=≤•，于是证：=++…+≤（1+++…+）＜（1+++），=[1+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）]，=[1+（1+﹣﹣）]＜（1++）=。
2017-2018学年福建省莆田市仙游县金石中学高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2017-2018学年福建省莆田市仙游县金石中学高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知全集U=R，设集合A={x|x＞1}，集合B={x|x≥2}，则A∩（∁U B）=（）A．[1，2]B．（1，2） C．（1，2]D．[1，2）2．（5分）已知=2﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=24．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏5．（5分）已知平面向量=（1，3），=（x，﹣3），且∥，则|+2|=（）A．10 B．C．5 D．6．（5分）已知m、n为两条不同的直线α、β为两个不同的平面，给出下列四个命题①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；③若m⊥α，m⊥β，则α∥β；④若m∥α，n∥α，则m∥n．其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③7．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A．1 B．C．2 D．8．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]9．（5分）已知p：x＞1或x＜﹣3，q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[﹣3，+∞）D．（﹣∞，﹣3]10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．8 C．D．11．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π12．（5分）已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]=．14．（5分）曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程为．15．（5分）当x＞0时，不等式x2﹣mx+3＞0恒成立，则实数m的取值范围是．16．（5分）若函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共计70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a15，求{b n}前n项和T n．18．（12分）已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（I）证明直线MN∥平面PAB；（II）求四面体N﹣BCM的体积．20．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求的值；（2）若，b=2，求△ABC的面积．21．（12分）已知函数（k∈R）的最大值为h（k）．（1）若k≠1，试比较h（k）与的大小；（2）是否存在非零实数a，使得对k∈R恒成立，若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：θ=a与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a．（1）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（2）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年福建省莆田市仙游县金石中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知全集U=R，设集合A={x|x＞1}，集合B={x|x≥2}，则A∩（∁U B）=（）A．[1，2]B．（1，2） C．（1，2]D．[1，2）【解答】解：全集U=R，设集合A={x|x＞1}，集合B={x|x≥2}，则∁U B={x|x＜2}，∴A∩（∁U B）={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：B．2．（5分）已知=2﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：=2﹣i，∴=（1﹣i）（2﹣i）=1﹣3i∴z=1+3i∴复数z对应点（1，3）在第一象限．故选：A．3．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=2【解答】解：∵指数函数y=2t的值域为（0，+∞）∴任意x∈R，均可得到2x﹣1＞0成立，故A项正确；∵当x∈N*时，x﹣1∈N，可得（x﹣1）2≥0，当且仅当x=1时等号∴存在x∈N*，使（x﹣1）2＞0不成立，故B项不正确；∵当x=1时，lgx=0＜1∴存在x∈R，使得lgx＜1成立，故C项正确；∵正切函数y=tanx的值域为R∴存在锐角x，使得tanx=2成立，故D项正确综上所述，只有B项是假命题故选：B．4．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏【解答】解：设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故选：B．5．（5分）已知平面向量=（1，3），=（x，﹣3），且∥，则|+2|=（）A．10 B．C．5 D．【解答】解：∵=（1，3），=（x，﹣3），且∥，∴，则x=﹣1，即=（﹣1，﹣3），则+2=（1，3）+2（﹣1，﹣3）=（1﹣2，3﹣6）=（﹣1，﹣3），则|+2|==，6．（5分）已知m、n为两条不同的直线α、β为两个不同的平面，给出下列四个命题①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；③若m⊥α，m⊥β，则α∥β；④若m∥α，n∥α，则m∥n．其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③【解答】解：m⊂α，n∥α，则m∥n或m与n是异面直线，故①不正确；若m⊥α，则m垂直于α中所有的直线，n∥α，则n平行于α中的一条直线l，∴m⊥l，故m⊥n．故②正确；若m⊥α，m⊥β，则α∥β．这是直线和平面垂直的一个性质定理，故③成立；m∥α，n∥α，则m∥n，或m，n相交，或m，n异面．故④不正确，综上可知②③正确，故选：D．7．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（2，3），∴平面区域的面积S=．8．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．9．（5分）已知p：x＞1或x＜﹣3，q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[﹣3，+∞）D．（﹣∞，﹣3]【解答】解：∵条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件∴集合q是集合p的真子集，q⊊P即a∈[1，+∞）．故选：A．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．8 C．D．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个棱长为2的正方体，截去一个三棱锥得到，所以几何体的体积为2×2×2﹣=，故选：C．11．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，AOB故选：C．12．（5分）已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：根据题意，设函数，当x＞0时，，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（x）为偶函数，所以g（x）为偶函数，又f（1）=0，所以g（1）=0，故g（x）在（﹣1，0）∪（0，1）的函数值大于零，即f（x）在（﹣1，0）∪（0，1）的函数值大于零．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]=．【解答】解：由分段函数可知，f（）=log，f（﹣1）=，故答案为：．14．（5分）曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程为x﹣ey=0．【解答】解：∵y=lnx，∴，∴曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的斜率k=，曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程为：y﹣1=），整理，得x﹣ey=0．故答案为：x﹣ey=0．15．（5分）当x＞0时，不等式x2﹣mx+3＞0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，2）．【解答】解：当x＞0时，不等式x2﹣mx+3＞0恒成立，∴m＜x+，∵x+≥2=2，当且仅当x=时取等号，∴m＜2，故答案为：（﹣∞，2）16．（5分）若函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（2﹣2ln2，+∞）．【解答】解：令f′（x）=e x﹣2=0，则x=ln2，∴x＞ln2，f′（x）=e x﹣2＞0；x＜ln2，f′（x）=e x﹣2＜0；∴函数f（x）在（ln2，+∞）上是增函数，在（﹣∞，ln2）上是减函数．∵函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，所以f（ln2）=2﹣2ln2﹣a＜0，故a＞2﹣2ln2．故填：（2﹣2ln2，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共计70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a15，求{b n}前n项和T n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=2，前3项和S3=．∴a1+2d=2，3a1+3d=，解得a1=1，d=．∴a n=1+（n﹣1）=．（II）b1=a1=1，b4=a15=8，可得等比数列{b n}的公比q满足q3=8，解得q=2．∴{b n}前n项和T n==2n﹣1．18．（12分）已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+sinωxcosωx=sin2ωx=sin2ωx ﹣cos2ωx+，=sin（2ωx﹣）+…（3分）因为函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，所以=π，解得ω=1；…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2ωx﹣）+，…（6分）因为0≤x≤，所以﹣≤2x﹣≤…..（8分）所以﹣≤sin（2ωx﹣）≤1…（10分）因此0≤sin（2ωx﹣）+≤，即f（x）的取值范围为[0，]．…（12分）19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（I）证明直线MN∥平面PAB；（II）求四面体N﹣BCM的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．∴AM=，取BP的中点T，连结AT，TN，∴由N为PC的中点知TN∥BC，TN=BC=2，又AD∥BC，∴TN AM，∴四边形AMNT是平行四边形，∴MN∥AT，又AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，∴MNⅡ平面PAB．解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，∴N到平面ABCD的距离为=2，取BC的中点E，连结AE，由AB=AC=3，得AE⊥BC，AE==，由AM∥BC，得M到BC的距离为，∴S==2，△BCM∴四面体N﹣BCM的体积：==．20．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求的值；（2）若，b=2，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵==，∴cosAsinB﹣2sinBcosC=2cosBsinC﹣sinAcosB，∴sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosC+2cosBsinC，∴sin（A+B）=2sin（B+C），∴sinC=2sinA，∴=2；（2）由（1）可得c=2a，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，∴4=a2+4a2﹣a2，解得a=1，则c=2，∵cosB=，∴sinB=，∴S=acsinB=×1×2×=．21．（12分）已知函数（k∈R）的最大值为h（k）．（1）若k≠1，试比较h（k）与的大小；（2）是否存在非零实数a，使得对k∈R恒成立，若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）．令f'（x）＞0，得0＜x＜e k+1，令f'（x）＜0，得x＞e k+1，故函数f（x）在（0，e k+1）上单调递增，在（e k+1，+∞）上单调递减，故．当k＞1时，2k＞k+1，∴，∴；当k＜1时，2k＜k+1，∴，∴．（2）由（1）知，∴．设，∴，令g'（k）=0，解得k=﹣1．当a＞0时，令g'（k）＞0，得k＞﹣1；令g'（x）＜0，得k＜﹣1，∴，∴．故当a＞0时，不满足对k∈R恒成立；当a＜0时，同理可得，解得．故存在非零实数a，且a的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：θ=a与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．【解答】解：（1）圆C1（φ为参数），转化成直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2=4即：x2+y2﹣4x=0转化成极坐标方程为：ρ2=4ρcosθ即：ρ=4cosθ圆C2（φ为参数），转化成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1即：x2+y2﹣2y=0转化成极坐标方程为：ρ2=2ρsinθ即：ρ=2sinθ（2）射线OM：θ=α与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q 则：P（2+2cosα，2sinα），Q（cosα，1+sinα）则：|OP|==，|OQ|==则：|OP||OQ|==设sinα+cosα=t（）则：则关系式转化为：4=由于：所以：（|OP||OQ|）max=．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a．（1）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（2）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a．（1）当a=0时，解不等式为|2x+1|≥|x|，两边平方，可得：（2x+1）2≥x2．即3x2+4x+1≥0．解得：x≤﹣1或x≥﹣∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）（2）f（x）≤g（x）成立，即a≥|2x+1|﹣|x|令h（x）=|2x+1|﹣|x|．可得：h（x）=∴h（x）min=h（）=．故得存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，实数a的取值范围是[）．。
2018年福建省莆田市仙游一中高三上学期期中数学试卷含解析答案
2017-2018学年福建省莆田市仙游一中高三（上）期中数学试卷一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（5分）已知集合A={y|y=x2+1，x∈R}，B={y|y=x+1，x∈R}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{y|y=1或2}C．或}D．{y|y≥1}2．（5分）三个数（0.3）2，20.3，log20.3的大小顺序是（）A．（0.3）2＜20.3＜log20.3 B．C．D．3．（5分）函数f（x）=1﹣e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．4．（5分）空间中，设m，n表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥β，α⊥β，则m∥αD．若n⊥m，n⊥α，则m∥α5．（5分）若，，均为单位向量，且=0，则|+﹣|的最小值为（）A．B．1 C．+1 D．6．（5分）某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（）A．B．C．D．7．（5分）已知数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，则的值是（）A．B．C．或D．8．（5分）已知函数f（x）=asinx+cosx（a为常数，x∈R）的图象关于直线对称，则函数g（x）=sinx+acosx的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．10．（5分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＞f（cosβ）11．（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．D．412．（5分）已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+3）f（x）+xf（x）＞0，则（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）为减函数D．f（x）为增函数二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知，则实数k的取值范围为．14．（5分）已知向量=（1，1），=（2，x），若与4平行，则x的值是．15．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，P，A，B三点共线，且，则S2018=．16．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过直线EF的平面分别与棱BB1，DD1交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①EF⊥MN②当且仅当时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]，则是奇函数；④四棱锥C1﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；其中正确命题的有．（填序号）三．解答题：（本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17．（12分）已知x，y满足．（1）求Z1=2x﹣y﹣1取到最值时的最优解；（2）求的取值范围；（3）若ax+y≥3恒成立，求a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知a，b，c是△ABC三边长，且f（C）=2，△ABC的面积S=10，c=7．求角C及a，b的值．19．（12分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，O是AC与BD的交点，E为BB1的中点．（I）求证：直线B1D∥平面AEC．（II）二面角E﹣AC﹣D的余弦值．20．（12分）已知各项均不为零的数列{a n}的前n项和S n，且满足4S n=（2n+1）a n+1，数列满足b1=1，b n+1=2b n+1．（Ⅰ）证明数列{{b n}+1}是等比数列，并求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n（b n+1），求数列{c n}的前n项和T n．21．（12分）设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．（Ⅰ）关于x的不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（Ⅱ）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g （x）的“分界线”．设a=，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C2交于P，Q两点，求|OP|•|OQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣2．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）+|2x﹣3|＞0的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年福建省莆田市仙游一中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（5分）已知集合A={y|y=x2+1，x∈R}，B={y|y=x+1，x∈R}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{y|y=1或2}C．或}D．{y|y≥1}【解答】解：A={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，B={y|y=x+1，x∈R}=R，则A∩B={y|y≥1}，故选：D．2．（5分）三个数（0.3）2，20.3，log20.3的大小顺序是（）A．（0.3）2＜20.3＜log20.3 B．C．D．【解答】解：（0.3）2∈（0，1），20.3＞1，log20.3＜0．∴log20.3＜（0.3）2＜20.3，故选：C．3．（5分）函数f（x）=1﹣e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=1﹣e|﹣x|=1﹣e|x|=f（x），故此函数为偶函数，排除B、D∵f（0）=1﹣e|0|=0，故排除C故选：A．4．（5分）空间中，设m，n表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥β，α⊥β，则m∥αD．若n⊥m，n⊥α，则m∥α【解答】解：对于A选项，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，不正确，在此条件下，两平面α，β可以相交，对于B选项，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，正确，对于C选项，m⊥β，α⊥β，则m∥α，同时垂直于一个平面的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行，故C不正确，对于D选项，n⊥m，n⊥α，则m∥α，由同时垂直于一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行，故D不正确．故选：B．5．（5分）若，，均为单位向量，且=0，则|+﹣|的最小值为（）A．B．1 C．+1 D．【解答】解：因为=0，所以=+2=2，则=，所以=+2﹣2（）=3﹣2（），则当与同向时，（）最大，|+﹣|2最小，此时，（）=，所以≥3﹣2，故|+﹣|≥﹣1，即|+﹣|的最小值为﹣1，故选：A．6．（5分）某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（）A．B．C．D．【解答】解：不妨令该函数解析式为y=Asin（ωx+ϕ），由图知A=1，=，于是，即，因是函数减时经过的零点，于是，k∈Z，所以ϕ可以是，故选：C．7．（5分）已知数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，则的值是（）A．B．C．或D．【解答】解：∵数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，由﹣4=﹣1+3d，求得公差d=a2﹣a1==﹣1．∵﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，由﹣4=﹣1q4，求得q2=2，∴b2=﹣1q2=﹣2．则==，故选：A ．8．（5分）已知函数f （x ）=asinx +cosx （a 为常数，x ∈R ）的图象关于直线对称，则函数g （x ）=sinx +acosx 的图象（ ） A ．关于点对称B ．关于点对称C ．关于直线对称 D ．关于直线对称【解答】解：∵函数f （x ）=asinx +cosx （a 为常数，x ∈R ）的图象关于直线对称， ∴f （0）=f （），即1=a +，∴a=，∴f （x ）=asinx +cosx=sinx +cosx=sin （x +），故函数g （x ）=sinx +acosx=sinx +cosx=sin （x +），当x=时，g （x ）=为最大值，故A 错误，故g （x ）的图象关于直线对称，即C 正确． 当x=时，g （x ）=≠0，故B 错误．当x=时，g （x ）=1，不是最值，故g （x ）的图象不关于直线x=对称，排除D ． 故选：C ．9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A．B．C．1 D．【解答】解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．该几何体的体积V=××1=．故选：A．10．（5分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＞f（cosβ）【解答】解：∵奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，∴α+β＞，∴α＞﹣β，∴sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，∴f（sinα）＜f（cosβ）．故选：C．11．（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．D．4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（6，8），化目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）为，由图可知，当直线为过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6a+8b=12．∴．则+=（）（）=．当且仅当a=b=时上式等号成立．故选：A．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+3）f（x）+xf（x）＞0，则（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）为减函数D．f（x）为增函数【解答】解：根据题意，设g（x）=x3e x f（x），g′（x）=x2e x[（x+3）f（x）+xf′（x）]，∵（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，∴g′（x）=x2e x[（x+1）f（x）+x′（x）]＞0，故函数g（x）在R上单调递增，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）=x3e x f（x）＞0⇒f（x）＞0；x＜0时，g（x）=x3e x f（x）＜0⇒f（x）＞0；在（x+3）f（x）+xf'（x）＞0中取x=0，得f（0）＞0．综上，f（x）＞0．故选：A．二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知，则实数k的取值范围为．【解答】解：∵=（）=（）﹣（）=+1∴即2≤+1≤4，解之得≤k≤2故答案为：14．（5分）已知向量=（1，1），=（2，x），若与4平行，则x的值是2．【解答】解：根据题意，向量=（1，1），=（2，x），则=（3，1+x），4=（6，4x﹣2），若与4平行，则有3（4x﹣2）=6（1+x），解可得x=2，故答案为：2．15．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，P，A，B三点共线，且，则S2018=1009．【解答】解：∵，P，A，B三点共线，∴a3+a2016=1，∵{a n}是等差数列，∴a1+a2018=a3+a2016=1，∴S2018==1009．故答案为：1009．16．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过直线EF的平面分别与棱BB1，DD1交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①EF⊥MN②当且仅当时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]，则是奇函数；④四棱锥C1﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；其中正确命题的有①②④．（填序号）【解答】解：①连结BD，B'D'，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，所以正确．②因为EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．函数为偶函数，故③不正确．④连结C'E，C'M，C'N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C'EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C'EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．故答案为：①②④．三．解答题：（本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17．（12分）已知x，y满足．（1）求Z1=2x﹣y﹣1取到最值时的最优解；（2）求的取值范围；（3）若ax+y≥3恒成立，求a的取值范围．【解答】解：画出x，y满足．的可行域如图：（1）由图可知：直线3x﹣y﹣2=0与直线2y﹣x﹣1=0交点A（1，1）；直线3x ﹣y﹣2=0与直线2x+y﹣8=0交点B（2，4）；直线2x+y﹣8=0与直线2y﹣x﹣1=0交点C（3，2）；目标函数Z1=2x﹣y﹣1在C（3，2）点取到最小值，B（2，4）点取到最大值∴Z1=2x ﹣y﹣1取到最值时的最优解是C（3，2）和B（2，4）（2）目标函数，由图可知：∴Z2∈（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）（3）由于直线ax+y﹣3=0恒过定点（0，3），∴当﹣a≤﹣2时，ax+y≥3恒成立，∴a≥2，或由题意可知，∴a≥2．18．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知a，b，c是△ABC三边长，且f（C）=2，△ABC的面积S=10，c=7．求角C及a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos﹣cos2xsin+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵ω=2，∴T==π；令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则函数f（x）的递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（Ⅱ）由f（C）=2，得到2sin（2C+）+1=2，即sin（2C+）=，∴2C+=或2C+=，解得：C=0（舍去）或C=，∵S=10，∴absinC=ab=10，即ab=40①，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即49=a2+b2﹣ab，将ab=40代入得：a2+b2=89②，联立①②解得：a=8，b=5或a=5，b=8．19．（12分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，O是AC与BD的交点，E为BB1的中点．（I）求证：直线B1D∥平面AEC．（II）二面角E﹣AC﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接OE，在△B1BD中，∵E为BB1的中点，O为BD的中点，∴OE∥B1D，又∵B1D⊄面AEC，OE⊂平面AEC，∴直线B1D∥平面AEC；（Ⅱ）解：以D为原点，建立空间坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，2）．平面DAC的一法向量为=（0，0，1），设面AEC的一个法向量为=（x，y，z），∵，，由，取z=1，得，设二面角E﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ=﹣cos＜＞==，故二面角E﹣AC﹣D的余弦值为．20．（12分）已知各项均不为零的数列{a n}的前n项和S n，且满足4S n=（2n+1）a n+1，数列满足b1=1，b n+1=2b n+1．（Ⅰ）证明数列{{b n}+1}是等比数列，并求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n（b n+1），求数列{c n}的前n项和T n．【解答】证明：（Ⅰ）由4S n=（2n+1）a n+1，得n=1，4S1=3a1+1，a1=S1⇒a1=1；当n≥2时，4a n=4S n﹣4S n﹣1=（2n+1）a n﹣（2n﹣1）a n﹣1．∴（n≥2），∴==2n﹣1．当n=1时，a1=2•1﹣1=1，上式成立，∴a n=2n﹣1．由b n=2b n+1⇒b n+1+1=2（b n+1），+1∴数列{b n+1}是以2为公比，2为首项的等比数列，∴，则；解：（Ⅱ）∵，∴…①…②①﹣②得=，∴．21．（12分）设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．（Ⅰ）关于x的不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（Ⅱ）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g （x）的“分界线”．设a=，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，等价于（1﹣a2）x2﹣2x+1＞0恰有三个整数解，故1﹣a2＜0，令h（x）=（1﹣a2）x2﹣2x+1，由h（0）=1＞0且h（1）=﹣a2＜0（a＞0），所以函数h（x）=（1﹣a2）x2﹣2x+1的一个零点在区间（0，1），则另一个零点一定在区间（﹣3，﹣2），这是因为此时不等式解集中有﹣2，﹣1，0恰好三个整数解故h（﹣2）＞0，h（﹣3）≤0，解之得．（Ⅱ）设，则．所以当时，F′（x）＜0；当时，F′（x）＞0．因此x=时，F（x）取得最小值0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）．设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为，即y=kx+﹣k，由f（x）≥kx+﹣k在x∈R恒成立，则x2﹣2kx﹣e+2k≥0在x∈R恒成立．所以△=≤0成立，因此k=．下面证明g（x）x﹣（x＞0）恒成立．设G（x）=elnx﹣x+，则G′（x）=．所以当时，G′（x）＞0；当x＞时，G′（x）＜0．因此x=时G（x）取得最大值0，则g（x）x﹣（x＞0）成立．故所求“分界线”方程为：y=x﹣．选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C2交于P，Q两点，求|OP|•|OQ|的值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为普通方程：，即，则C1的极坐标方程为，…（3分）∵直线C2的方程为，∴直线C 2的极坐标方程．…（5分）（2）设P（ρ1，θ1），Q（ρ2，θ2），将代入，得：ρ2﹣5ρ+3=0，∴ρ1•ρ2=3，∴|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=3．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣2．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）+|2x﹣3|＞0的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（本大题满分10分）解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣a|﹣2．若a=1，不等式f（x）+|2x﹣3|＞0，化为：|x﹣1|+|2x﹣3|＞2．当x≥时，3x＞6．解得x＞2，当x∈（1，）时，可得﹣x+2＞2，不等式无解；当x≤1时，不等式化为：4﹣3x＞2，解得x．不等式的解集为： (5)（Ⅱ）关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，可得|x﹣a|﹣2＜|x﹣3|设f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，因为|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，所以，f（x）max=|a﹣3|即：|a﹣3|＜2所以，a的取值范围为（1，5） (10)赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
2018年福建省莆田市仙游县金石中学高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2017-2018学年福建省莆田市仙游县金石中学高三（上）期中数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的）1．（5分）设集合M={x|x≥﹣2}，集合N={x|（）x≤4}，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x≤﹣2}D．R2．（5分）已知复数，则下列说法正确的是（）A．z的虚部为4iB．z的共轭复数为1﹣4iC．|z|=5D．z在复平面内对应的点在第二象限3．（5分）已知直角坐标系内的两个向量=（1，3），=（m，2m﹣3）使平面内的任意一个向量都可以唯一地表示成=λ+μ，则m的取值范围是（）A．m≠﹣3 B．C．m＜﹣3 D．4．（5分）已知数列{a n}是等差数列，且a7﹣2a4=6，a3=2，则公差d=（）A．2 B．4 C．8 D．165．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的n=3，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．96．（5分）α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点且cosα=x，则x的值为（）A．B．±C．﹣D．﹣7．（5分）已知和，若，则||=（）A．5 B．8 C． D．648．（5分）下列四个命题中真命题的个数是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题④命题p；∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真命题．A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）函数的图象是（）A．B．C．D．10．（5分）要得到函数f（x）=cos（2x+）的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度11．（5分）对于函数y=g（x），部分x与y的对应关系如表：数列{x n}满足：x1=1，且对于任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=g（x）的图象上，则x1+x2+…+x2015=（）A．4054 B．5046 C．5075 D．604312．（5分）已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则=．14．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=．15．（5分）若幂函数f（x）过点（4，2），则满足不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是．16．（5分）已知锐角△ABC的外接圆O的半径为1，∠B=，则的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一系列对应值如表：（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若在△ABC中，AC=2，BC=3，，求△ABC的面积．18．（12分）某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图：（Ⅰ）试估计该校学生在校月消费的平均数；（Ⅱ）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y（元），满足关系式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（ⅰ）对于任意一个学生，校服务部可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（ⅱ）若校服务部计划每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，那么受资助的学生每人每月可获得多少元？19．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+bx+4．（Ⅰ）若，且函数f（x）在区间[﹣2，1]是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在x=﹣1处取得极小值0，求f（x）在[﹣2，0]上的最大值和最小值．20．（12分）设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣1）x﹣1恒成立，求整数a的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ．（1）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设直线l交曲线C1于O、A两点，直线l交曲线C2于O、B两点，求|AB|的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）若存在x∈R，使f（x）＞|2a﹣4|，求实数a的取值范围．2017-2018学年福建省莆田市仙游县金石中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的）1．（5分）设集合M={x|x≥﹣2}，集合N={x|（）x≤4}，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x≤﹣2}D．R【解答】解：∵集合M={x|x≥﹣2}，集合N={x|（）x≤4}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}．故选：A．2．（5分）已知复数，则下列说法正确的是（）A．z的虚部为4iB．z的共轭复数为1﹣4iC．|z|=5D．z在复平面内对应的点在第二象限【解答】解：∵=，∴z的共轭复数为1﹣4i．故选：B．3．（5分）已知直角坐标系内的两个向量=（1，3），=（m，2m﹣3）使平面内的任意一个向量都可以唯一地表示成=λ+μ，则m的取值范围是（）A．m≠﹣3 B．C．m＜﹣3 D．【解答】解：根据平面向量基本定理，得向量，不共线，∵=（1，3），=（m，2m﹣3），∴2m﹣3﹣3m≠0，∴m≠﹣3．故选：A．4．（5分）已知数列{a n}是等差数列，且a7﹣2a4=6，a3=2，则公差d=（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，且a7﹣2a4=6，a3=2，∴，解得a1=﹣6，d=4．则公差d=4．故选：B．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的n=3，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：模拟执行程序，可得n=3，i=0不满足条件n是偶数，n=10，i=1不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=5，i=2不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是偶数，n=16，i=3不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=8，i=4不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=4，i=5不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=2，i=6不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=1，i=7满足条件n=1，退出循环，输出i的值为7．故选：B．6．（5分）α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点且cosα=x，则x的值为（）A．B．±C．﹣D．﹣【解答】解：∵cosα===x，∴x=0（∵α是第二象限角，舍去）或x=（舍去）或x=﹣．故选：C．7．（5分）已知和，若，则||=（）A．5 B．8 C． D．64【解答】解：∵和，，∴x+2﹣2x=0，解得x=2，∴||=|（5，0）|=5．故选：A．8．（5分）下列四个命题中真命题的个数是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题④命题p；∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真命题．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①由x=1，则12﹣3×1+2=0，即x2﹣3x+2=0成立，反之，由x2﹣3x+2=0，得：x=1，或x=2．所以，“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，故正确；②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”，正确；③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，故不正确；④命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，正确，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0错误，因为x2+x+1=＞0恒成立，p∨q为真，故正确．故选：D．9．（5分）函数的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：因为，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A、C不正确．当x∈（﹣1，0）时，是增函数，又因为y=lnx是增函数，所以函数是增函数．故选：B．10．（5分）要得到函数f（x）=cos（2x+）的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数f（x）=sin（2x+π﹣）=cos（2x+）的图象，故选：A．11．（5分）对于函数y=g（x），部分x与y的对应关系如表：数列{x n}满足：x1=1，且对于任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=g（x）的图象上，则x1+x2+…+x2015=（）A．4054 B．5046 C．5075 D．6043）都在函数y=g（x）的图象上，【解答】解：∵点（x n，x n+1∴x n=g（x n），+1∵x1=1，∴由函数对应关系得x2=g（x1）=g（1）=2，x3=g（x2）=g（2）=4，x4=g（x3）=g（4）=5，x5=g（x4）=g（5）=1=x1，=x n，即数列{x n}是周期为4的周期数列，则x n+4则x1+x2+…+x2015=503（x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3=503×（1+2+4+5）+（1+2+4）=503×12+7=6036+7=6043，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（）A． B．C． D．【解答】解：∵函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，而函数y=kx﹣1关于直线y=﹣1的对称图象为y=﹣kx﹣1，∴f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，作函数f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象如下，易知直线y=﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1），设直线AC与y=xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x），y′=lnx﹣1，故lnx﹣1=，解得，x=1；故k AC=﹣1；设直线AB与y=x2+x相切于点B（x，x2+x），y′=2x+，故2x+=，解得，x=﹣1；故k AB=﹣2+=﹣；故﹣1＜﹣k＜﹣，故＜k＜1；故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则=．【解答】解：∵，∴======．故答案为：．14．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=50．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，∴a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50．故答案为：50．15．（5分）若幂函数f（x）过点（4，2），则满足不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是[1，）．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，其图象过点（4，2），则4α=2，解得α=；∴f（x）==，∴不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）为＞，∴，解得1≤a＜；∴实数a的取值范围是[1，）．故答案为：[1，）．16．（5分）已知锐角△ABC的外接圆O的半径为1，∠B=，则的取值范围为（3，）．【解答】解：如图，设，，∵△ABC的外接圆O的半径为1，∠B=，∴，则a=2sinA，c=2sinC．C=，由，得．∴=ca•cos=4×sinAsin（）====．∵，∴，则．∴∈（3，）．故答案为：（3，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一系列对应值如表：（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若在△ABC中，AC=2，BC=3，，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由表中数据知，函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期为T=2×（﹣0）=π，所以ω==2；…（2分）由sin[2×（﹣）+φ]=0，0＜φ＜π，所以φ=；…（4分）所以函数的解析式为f（x）=sin（2x+）（或者f（x）=cos2x）；…（5分）（2）∵f（A）=sin（2A+）=cos2A=﹣，∴2A=或2A=，解得A=或A=；…（7分）当A=时，在△ABC中，由余弦定理得，cos=，故c2﹣2c﹣5=0，解得c=+1，=AB•AC•sinA=；…（10分）∴S△ABC同理可求得，当A=时，cos=，故c2+2c﹣5=0，解得c=﹣1，S△ABC=AB•AC•sinC=．…（12分）18．（12分）某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图：（Ⅰ）试估计该校学生在校月消费的平均数；（Ⅱ）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y（元），满足关系式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（ⅰ）对于任意一个学生，校服务部可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（ⅱ）若校服务部计划每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，那么受资助的学生每人每月可获得多少元？【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得学生月消费的平均数：…（2分）=680…（4分）（Ⅱ）（ⅰ）月消费值落入区间[200，400）、[400，800）、[800，1200]的频率分别为0.05、0.80、0.15，∴P（ξ=20）=0.05，P（ξ=40）=0.80，P（ξ=80）=0.15，∴ξ的分布列为：Eξ=20×0.05+40×0.80+80×0.15=45．（ii）服务部的月利润为45×2000=90000（元），受助学生人数为2000×0.05=100，每个受助学生每月可获得90000×÷100=200（元）．19．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+bx+4．（Ⅰ）若，且函数f（x）在区间[﹣2，1]是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在x=﹣1处取得极小值0，求f（x）在[﹣2，0]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）若，则f（x）=x3+x2+bx+4，得f′（x）=3x2+2x+b…（1分）因为函数f（x）在区间[﹣2，1是增函数，所以∀x∈[﹣2，1]，f′（x）=3x2+2x+b≥0恒成立，…（2分）令g（x）=3x2+2x+b，在区间[﹣2，﹣）单调递减，在区间[﹣，1]单调递增…（4分）∴g（x）min=g（﹣）=b﹣≥0，∴b≥．…（6分）（Ⅱ）由f（x）=x3+3ax2+bx+4，得f′（x）=3x2+6ax+b…（7分）因为函数f（x）=x3+3ax2+bx+4在x=﹣1处取得极小值0，，解得…（9分）f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递增，在（﹣3，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，所以f（x）在x=﹣1处取得极小值0符合题意，所以f（x）在[﹣2，0]上的最小值为0 …（11分）f（﹣2）=2，f（0）=4，故f（x）在[﹣2，0]的最大值为4…（12分）20．（12分）设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1=2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n=2．∴a n=．当n=1时，a1=2，上式也成立．∴a n=．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）==﹣，∴S n=++…+=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣＜1．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣1）x﹣1恒成立，求整数a的最小值．【解答】解：（1），函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a≤0时，f'（x）＞0，则f（x）在区间（0，+∞）内单调递增；当a＞0时，令f'（x）=0，则或（舍去负值），当时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，当时，f'（x）＜0，f（x）为减函数．所以当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a＞0时，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由，得2（lnx+x+1）≤a（2x+x2），因为x＞0，所以原命题等价于在区间（0，+∞）内恒成立．令，则，令h（x）=2lnx+x，则h（x）在区间（0，+∞）内单调递增，由h（1）=1＞0，，所以存在唯一，使h（x0）=0，即2lnx0+x0=0，所以当0＜x＜x0时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，当x＞x0时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，所以x=x0时，==，所以，又，则，因为a∈Z，所以a≥2，故整数a的最小值为2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ．（1）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设直线l交曲线C1于O、A两点，直线l交曲线C2于O、B两点，求|AB|的长．【解答】解：（1）曲线C1：（θ为参数），化为普通方程：x2+（y﹣1）2=1，展开可得：x2+y2﹣2y=0，可得极坐标方程：ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．曲线C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ，即ρ2=ρ（﹣2cosθ+2sinθ），化为直角坐标方程：x2+y2=﹣2x+2y．（2）直线l：（t为参数），可得普通方程：y=﹣x，可得极坐标方程：θ=（ρ∈R）．∴|OA |=2sin =，|OB |=﹣2cos+2sin =+=4，∴|AB |=|OB |﹣|OA |=4﹣．[选修4-5：不等式选讲]23．已已知函数f （x ）=|x +1|﹣|x ﹣3|． （Ⅰ）解不等式f （x ）≥1；（Ⅱ）若存在x ∈R ，使f （x ）＞|2a ﹣4|，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=|x +1|﹣|x ﹣3|=，由f （x ）≥1，得x ≥，∴f （x ）≥1的解集为[，+∞）； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）最大值为4， 由题意，得|2a ﹣4|＜4， ∴0＜a ＜4，即a 的取值范围是（0，4）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a aa M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数。
2023-2024学年福建省部分达标学校高三上学期期中质量监测数学试题+答案解析
2023-2024学年福建省部分达标学校高三上学期期中质量监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则()A. B. C. D.2.“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知是三角形的内角，且，则的值是()A. B. C. D.4.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升到8000，则C大约增加了A. B.C. D.5.已知曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则下列曲线的方程正确的是()A. B. C. D.6.已知关于x的不等式的解集为，若，则的最小值是()A. B. C. D.7.函数在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到，然后两边同时求导得，于是，用此法探求的递增区间为()A. B. C. D.8.已知函数的定义域为R，满足，当时，，记的极小值为t，若对则m的最大值为()A. B.1 C.3 D.不存在二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若复数z满足其中i为虚数单位，则下列说法正确的是()A.B.z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限C.z的虚部为D.10.函数的部分图象如图所示，则()A. B.C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称11.下列大小关系中，正确的是()A. B. C. D.12.已知函数，其中e是自然对数的底数，下列说法中正确的是()A.的一个周期为B.在区间上单调递增C.是偶函数D.在区间上有且仅有一个极值点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学上学期期中试题文含解析4
仙游金石中学2021-2021学年上学期期中考试卷高三年级数学(文)科考试时间是是: 120分钟满分是: 150分第一卷〔选择题一共60分〕一．选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的1. 全集，设集合，集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴,又∴应选：B点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进展集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. ，那么在复平面内，复数对应的点位于〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】根据所给的关于复数的等式，整理出要求的z的表示式，进展复数的乘法运算，得到复数的最简结果，根据横标和纵标的值写出对应的点的坐标，得到点的位置．解：∵复数z满足∴=〔1-i〕〔2-i〕=1-3i，∴z=1+3i对应的点的坐标是〔1， 3〕∴复数在复平面上对应的点在第一象限，应选A3. 以下命题中的假命题是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：当x=1时，〔x-1〕2=0,显然选项B错误，应选B。
考点：特称命题与存在命题的真假判断。
视频4. 吴敬?九章算法比类大全?中描绘：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，一共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】设塔顶盏灯，那么，解得．应选C．5. 平面向量，且，那么〔〕A. 10B.C. 5D.【答案】B【解析】∵平面向量，且∴,即,∴∴∴应选：B6. 为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出以下4个命题：①假设②假设③假设④假设其中真命题的序号为〔〕A. ①②B. ①④C. ③④D. ②③【答案】D【解析】m⊂α，n∥α，那么m∥n或者m与n是异面直线，故①不正确；假设m⊥α，那么m垂直于α中所有的直线，n∥α，那么n平行于α中的一条直线l，∴m⊥l，故m⊥n．故②正确；假设m⊥α，m⊥β，那么α∥β．这是直线和平面垂直的一个性质定理，故③成立；m∥α，n∥α，那么m∥n，或者m，n相交，或者m，n异面．故④不正确，综上可知②③正确，应选：D．7. 在平面直角坐标系中，不等式组, 表示的平面区域的面积是〔〕A. B. 3 C. 2 D.【答案】A【解析】作出可行域如图：联立方程组解得B，所以，应选A.8. 运行如下图的程序框图,假如输入的,那么输出s属于〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】程序为条件结果对应的表达式为s=，那么当输入的t∈[﹣1，3]，那么当t∈[﹣1，1〕时，s=3t∈[﹣3，3〕，当t∈[1，3]时，s=4t﹣t2=﹣〔t﹣2〕2+4∈[3，4]，综上s∈[﹣3，4]，应选：D．点睛：算法与流程图的考察，侧重于对流程图循环构造的考察.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序构造、条件构造、循环构造，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. ，假设是的充分不必要条件，那么的取值范围是( )A. [1，＋∞)B. (－∞，1]C. [－3，＋∞)D. (－∞，－3]【答案】A【解析】：∵条件p：x＞1或者x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件∴集合q是集合p的真子集，q⊊P即a∈[1，+∞〕．应选：A10. 如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，那么该多面体的体积为〔〕A. B. 8 C. D.【答案】A【解析】根据三视图可知几何体是一个棱长为2的正方体，截去一个三棱锥得到，所以几何体的体积为2×2×2﹣，应选：A．11. 是球的球面上两点，,为该球面上的动点，假设三棱锥体积的最大值为36，那么球的外表积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：如上图所示，点三点应为大圆面上的等要直角三角形，由于为该球面上的动点，所以当点到平面的间隔最大时即时，三棱锥的体积取最大值，所以，解得，所以球的外表积为，应选C.考点：1、球；2、球的外表积；3、三棱锥.12. 偶函数的导函数为，且满足，当时，，那么使成立的的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】令，那么，当时，由题设可得，即函数是单调递减函数，当时，函数是单调递增函数，又由题设可知，所以结合图像可知不等式解集是，那么不等式的解集是，应选答案B 。
高三数学上学期期中试题文含解析试题2
仙游县2021届高三数学上学期期中试题 文〔含解析〕第一卷〔60分〕一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
〕21iz i=+所对应的点关于实轴对称的点为A ，那么A 对应的复数为〔 〕 A. 1i + B. 1i -C. 1i --D. 1i -+【答案】B 【解析】 【分析】用两个复数代数形式的乘除法法那么，化简复数得到复数的一共轭复数，从而得到复数在复平面内的对应点的坐标，得到选项．【详解】复数()()()2121111i i iz i i i i -===+++-， ∴复数的一共轭复数是1i -，就是复数21iz i=+所对应的点关于实轴对称的点为A 对应的复数； 应选：B ．【点睛】此题考察两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的一共轭复数，考察复数与复平面内对应点之间的关系，是一个根底题．θ的顶点与原点重合,始边与x 轴正半轴重合，假设(),3A x 是角θ终边上一点，且cos 10θ=-,那么x =〔 〕A. -B.C. 1D. -1【答案】D【解析】 【分析】根据三角函数定义可得0x <10=-，解方程得到结果.【详解】因为cos 010θ=-<，及(),3A x 是角θ终边上一点 0x ⇒<=解得：1x =- 此题正确选项：D【点睛】此题考察三角函数的定义，属于根底题. 3.12a =，4log 5b =，，那么a ，b ，c 满足 A. a <b <c B. b <a <c C. c <a <b D. c <b <a【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，化简得2log 3a =，2log b =12b a <<<，又由2>c ，即可得到答案.【详解】由题意，可得21log 32a ===，42log 5log b ==又由2log y x =为单调递增函数，且432>>>，所以222log 3log 1>>>， 所以21a b >>>，又由312222c =>= ，所以b a c <<，应选B.【点睛】此题主要考察了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中合理应用对数函数的单调性进展比拟是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，12AA =，那么异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为〔 〕A.23B.56C.33D.66【答案】A 【解析】 【分析】画出图形分析，先根据定义找出异面直线1AB 与1BC 所成的角，然后通过解三角形的方法求解即可．【详解】画出图形，如下图．连111,AD B D ，那么11//AD BC ，所以11B AD ∠即为1AB 与1BC 所成的角或者其补角． 在11B AD 中，116AB AD =112B D =，所以由余弦定理得116642cos 263B AD +-∠==⨯，所以异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为23．应选A ．【点睛】用几何法求空间角的步骤为：“找、证、求〞，即先根据定义确定出所求角，并给出证明，再通过解三角形的方法求出所求角〔或者三角函数值〕．解题时容易出现的问题是无视两条异面直线所成角的范围，属于根底题．5.p q ，是两个命题，那么“p q ∧是真命题〞是“p ⌝是假命题〞的〔 〕 A. 既不充分也不要必要条件 B. 充分必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件【答案】C 【解析】 【分析】由充分必要条件及命题的真假可得：“p ∧q 是真命题〞是“￢p 是假命题〞的充分不必要条件，得解【详解】因为“p ∧q 是真命题〞那么命题p ，q 均为真命题，所以￢p 是假命题， 由“￢p 是假命题〞，可得p 为真命题，但不能推出“p ∧q 是真命题〞， 即“p ∧q 是真命题〞是“￢p 是假命题〞的充分不必要条件， 应选：C ．【点睛】此题考察了充分必要条件及命题的真假，属简单题．()222102y x a a -=>的一条渐近线方程为y =，那么双曲线的焦点坐标为〔 〕A. ()B. ()C. (0,D. (0,【答案】D 【解析】【分析】根据解析式可知双曲线的焦点在y 轴上,结合渐近线方程及b 的值,可得a 的值.由双曲线中a b c 、、的关系即可求得c ,得焦点坐标.【详解】由双曲线()222102y x a a -=>可知双曲线的焦点在y 轴上,所以渐近线方程可表示为ay x b=±由22b =及渐近线方程2y x =可得22a= 解得2a =双曲线中a b c 、、满足222+=a b c 那么()222226c =+=解得6c =,那么焦点坐标为()0,6± 应选:D【点睛】此题考察了双曲线渐近线方程的简单应用,双曲线中a b c 、、的关系,属于根底题. 7.在平行四边形ABCD 中，4,3,3AB AD DAB π==∠=，点,E F 分别在,BC DC 边上，且2,BE EC DF FC ==，那么AE BF ⋅=〔 〕A. 83- B. 1- C. 2D.103【答案】C 【解析】 试题分析：2233AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+,1122BF BC CF BC CD AD AB =+=+=-,所以222112232233AE BF AB AD AD AB AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221221434322332=-⨯+⨯+⨯⨯⨯=，应选C.考点：1.向量加减法的几何意义；2.向量数量积定义.【名师点睛】此题主要考察向量的向量加减法的几何意义、向量数量积定义，属中档题；向量的几何运算主要是利用平面向量根本定理，即通过平行四边形法那么或者三角形法那么进展向量的加、减或者数乘运算，一共线向量定理的应用起着至关重要的作用，当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的.8.现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象〔局部〕如下，那么按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是〔 〕A. ①④②③B. ①④③②C. ④①②③D.③④②① 【答案】A 【解析】 【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【详解】解：①sin y x x =⋅为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是； ②cos y x x =⋅为奇函数，它的图象关于原点对称，它在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值是正数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值是负数，故第三个图象满足； ③cos y x x =⋅为奇函数，当0x >时，()0f x ≥，故第四个图象满足； ④2x y x =⋅，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足， 应选：A ．【点睛】此题主要考察函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题．ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，假设cos cos sin ,c B b C a A += )222S b a c =+-，那么B ∠=A. 90︒B. 60︒C. 45︒D. 30︒【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值．【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)2224S b a c =+-，得1sin 2cos 24ab C ab C =⋅,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 应选：D【点睛】此题考察正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考察计算才能和转化思想，属于中档题．10.我国古代科学家祖冲之儿子祖暅在理论的根底上提出了体积计算的原理：“幂势既同，那么积不容异〞(“幂〞是截面积，“势〞是几何体的高)，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，那么它们的体积相等.某不规那么几何体与如下图的三视图所表示的几何体满足“幂势既同〞，那么该不规那么几何体的体积为( )A. 12π-B. 8π-C. 122π-D.122π-【答案】A 【解析】 【分析】首项把三视图转换为几何体，得该几何体表示左边是一个棱长为2的正方体，右边是一个长为1，宽和高为2的长方体截去一个底面半径为1，高为2的半圆柱，进一步利用几何体的体积公式，即可求解，得到答案.【详解】根据改定的几何体的三视图，可得该几何体表示左边是一个棱长为2的正方体，右边是一个长为1，宽和高为2的长方体截去一个底面半径为1，高为2的半圆柱， 所以几何体的体积为2122222112122V ππ=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=-，应选A.【点睛】此题考察了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图复原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规那么，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的外表积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.S ABC -的各顶点均在球O 上，SC 为该球的直径，1,120AC BC ACB ︒==∠=，三棱锥S ABC -的体积为12，那么球的外表积为〔 〕 A. 4π B. 6πC. 8πD. 16π【答案】D 【解析】 【分析】由体积公式求出三棱锥S ABC -的高，可得O 到平面ABC ，由正弦定理可得三角形ABC 的外接圆的半径，由勾股定理可得球半径，从而可得结果.【详解】如图， 132ABC S AC BC sin ACB ∆=⋅⋅∠=， 三棱锥S ABC -的体积为12， 所以13132h =，解得三棱锥S ABC -的高为 设H 为三角形ABC 的外接圆的圆心， 连接OH ，那么OH ⊥平面ABC ， 因为SC 为该球的直径，所以12OH h ==， 连接CH ，由正弦定理可知三角形ABC 的外接圆的直径为22120AB CH sin ACB sin ===∠，1,CH ∴=由勾股定理可得球半径2CO ==∴球O 的外表积为24216ππ⨯=，应选D.【点睛】此题主要考察三棱锥外接球外表积的求法，属于难题.要求外接球的外表积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①假设三条棱两垂直那么用22224R a b c =++〔,,a b c 为三棱的长〕；②假设SA ⊥面ABC 〔SA a =〕，那么22244R r a =+〔r 为ABC ∆外接圆半径〕；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.()21,1ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，关于x 的方程()22[()](12)0f x m f x m +--=，有5个不同的实数解，那么m 的取值范围是〔 〕 A. 11,e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B. (0,)+∞C. 1(0,)eD. (10,]e【答案】C 【解析】 【分析】利用导数研究函数ln xy x=的单调性并求最值，求解方程()()()22120f x m f x m ⎡⎤+--=⎣⎦得到()f x m =或者1()2f x =，画出函数()f x 的图象，数形结合即可求解. 【详解】设ln x y x =，那么21ln xy x-'=，由0y '=解得x e =，当(0,)x e ∈时0y '>，函数为增函数，当(,)x e ∈+∞时0y '<，函数为减函数，当x e =时，函数获得极大值也是最大值为1()f e e=. 方程()()()22120f x m f x m ⎡⎤+--=⎣⎦化为[()][2()1]0f x m f x -+=解得()f x m =或者1()2f x =. 画出函数()f x 的图象如图：根据图象可知e 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，方程由5个解. 应选C.【点睛】此题主要考察了利用导数求函数的最值，函数零点，函数与方程，数形结合，属于中档题.第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分.〕2y kx =+与圆224x y +=相交于M ，N 两点，假设22MN =k =______.【答案】±1 【解析】 【分析】根据圆截直线的弦长,结合垂径定理及点到直线间隔 公式即可求得k 的值. 【详解】直线2y kx =+可化为20kx y -+= 圆224x y +=,那么圆心()0,0,半径2r 根据垂径定理可知圆心到直线间隔d ==又根据点到直线间隔可得d ==解方程可得1k =± 故答案为: ±1【点睛】此题考察了直线与圆的位置关系,垂径定理及点到直线间隔 公式的应用,属于根底题.,x y 满足210320220x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，那么2x y +的最小值是______．【答案】-4 【解析】 【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得到2x+y 的最小值. 【详解】先作出不等式组对应的可行域，如下图，设z=2x+y,所以y=-2x+z,当直线经过点A 时，直线的纵截距最小，z 最小，联立320220x y x y -+=⎧⎨++=⎩得A(-2,0),所以z 最小=2×〔-2〕+0=-4. 故答案为：-4【点睛】此题主要考察线性规划求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.()f x 对于任意实数x 都有()()f x f x -=，且当0x ≥时，()sin x f x e x =-，假设实数a满足()()2log 1f a f <，那么a 的取值范围是______．【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先证明函数在[0,+∞ )上单调递增，在,0)（-∞上单调递减，再利用函数的图像和性质解不等式|2log a |＜1得解.【详解】由题得，当x ≥0时，()cos xf x e x '=-，因为x ≥0，所以01,cos 0x x e e e x ≥=∴-≥， 所以函数在[0,+∞ )上单调递增， 因为()()f x f x -=，所以函数是偶函数，所以函数在,0)（-∞上单调递减， 因为()()2log 1f a f <，所以|2log a |＜1，所以-1＜2log a ＜1， 所以122a <<. 故答案为：1,22⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】此题主要考察利用导数研究函数的单调性，考察函数的奇偶性和单调性的应用，考察对数不等式的解法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，假设2a =，cos cos tan sin sin A CA A C+=+，那么sin sin b cB C++的取值范围是__________．【答案】4) 【解析】 【分析】 由cos cos tan sin sin A CA A C+=+结合三角恒等变换知识可得cos2cos A B =，即2B A =，从而得到64A ππ<<，又sin sin sin b c a B C A+=+，进而可得结果. 【详解】由得()()sin sin sin cos cos cos A A C A A C +=+，∴22cos sin sin sin cos cos A A A C A C -=-，∴()cos2cos cos A A C B =-+=. ∵ABC ∆是锐角三角形，∴2B A =且022A π<<，032A ππ<-<，∴64A ππ<<.∵2a =，∴)sin a A ⎡∈⎣.又sin sin sin b c a B C A+=+，∴()sin sin b cB C+∈+.故答案为：()4【点睛】此题主要考察了三角函数恒等变换的应用，正弦定理的应用．考察了学生对三角函数根底知识的理解和灵敏运用．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分〕{}n a 中，33a =，22a +，4a ，62a -顺次成等比数列.〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕记()2111nn nn n a b a a ++=-，{}n b 的前n 项和n S ，求2n S .【答案】(1)n a n =；〔2〕221nn -+ 【解析】 【分析】〔1〕利用三项成等比数列可得()()242622a a a =+-，利用3a 和d 来表示该等式，可求得d ；利用等差数列通项公式求得结果；〔2〕由〔1〕可得()1111n n b n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，那么2n S 可利用裂项相消的方法来进展求解. 【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d22a +，4a ，62a -顺次成等比数列 ()()242622a a a ∴=+- ()()()2333232a d a d a d ∴+=-++-，又33a =()()()23513d d d ∴+=-+，化简得：2210d d -+=，解得：1d =()()33331n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=〔2〕由〔1〕得：()()()()211211111111nnn n nn n a n b a a n n n n +++⎛⎫==-=-+ ⎪++⎝⎭-212321111111122334221n n S b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅+=-+++-++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121nn n -=-+=++ 【点睛】此题考察等差数列通项公式的求解、裂项相消法求数列的前n 项和的问题，关键是纯熟掌握关于通项中涉及到()1n-的裂项方法.18.在某次测验中，某班40名考生的成绩满分是100分统计如下图.〔Ⅰ〕估计这40名学生的测验成绩的中位数0x 准确到0.1；〔Ⅱ〕记80分以上为优秀，80分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关？ 合格 优秀 合计 男生 16 女生 4 合计40附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++【答案】(Ⅰ) 71.7 (Ⅱ)见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据频率分布直方图，找到矩形面积和为0.5时横坐标的取值即为中位数；(Ⅱ)根据频率分布直方图计算频数可补足列联表，根据公式计算出2χ，比照临界值表求得结果. 【详解】(Ⅰ)由频率分布直方图易知：0.01100.015100.02100.45⨯+⨯+⨯= 即分数在[)40,70的频率为：0.45所以()00.03700.50.45x ⨯-=-解得：021571.73x =≈ 40∴名学生的测验成绩的中位数为71.7(Ⅱ)由频率分布直方图，可得列联表如下：()2240164146400.135 3.84130102218297χ⨯⨯-⨯∴==≈<⨯⨯⨯ 故没有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关【点睛】此题考察利用频率分布直方图估计中位数、HY 性检验问题，属于常规题型. 19.【2021届海淀区】如图，三棱柱111ABC A B C -侧面11ABB A ⊥底面ABC ， ,AC AB ⊥12,AC AB AA === 0160AA B ∠=， ,E F 分别为棱11,A B BC 的中点.〔Ⅰ〕求证： AC AE ⊥；〔Ⅱ〕求三棱柱111ABC A B C -的体积；〔Ⅲ〕在直线1AA 上是否存在一点P ，使得//CP 平面AEF ？假设存在，求出AP 的长；假设不存在，说明理由.【答案】〔Ⅰ〕证明见解析；〔Ⅱ〕 3V =〔Ⅲ〕在直线1AA 上存在点P ，使得//CP 平面AEF ，证明见解析. 【解析】试题分析：〔1〕根据题目中的侧面11ABB A ⊥底面ABC ，2AC AB ，可证得结论；（）⊥由条件知AE ⊥底面111A B C ，11123A B C V S AE ∆=⋅=〔3〕连接BE 并延长，与1AA 的延长线相交，设交点为P ，证线线平行即//EF CP ，进而得到线面平行。
2021届福建省莆田市仙游一中高三年级上学期期中考试数学试题及答案
绝密★启用前福建省莆田市仙游一中2021届高三年级上学期期中教学质量检测数学试题2020年11月满分150分, 答卷时间2小时一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，{220B x x x =--<且}x Z ∈，则A B =（ ） A ．{}1 B ．{}1,2 C ．{}0,1,2,3, D ．{}1,0,1,2,3-2．给出下列四个命题：①回归直线a x b yˆˆˆ+=过样本点中心（x ，y ） ②将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,平均值不变 ③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变④在回归方程y ＝4x +4中,变量x 每增加一个单位时,y 平均增加4个单位 其中错误命题的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④3．已知2sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．19- B ．19 C ．89- D ．89 4．在4次的独立重复试验中,事件A 在一次试验中发生的概率为13,则事件A 恰有1次发生的概率是（ ）A ．881B ．1681C ．3281D ．8165 5．已知在等比数列{}n a 中,11a =,59a =,则3a =（ ）A ．5±B ．5C ．3±D ．36．函数212()log (62)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） A ．1[,)4+∞ B ．1[,2)4 C ．31(,]24- D ．1(,]4-∞ 7．已知点(,)m n m n +-在0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域内,则22m n +的最小值为（ ） A ．23 BC ．25D ．498．在△ABC 中,已知9AB AC ⋅=,cos b c A =⋅,△ABC 的面积为6,若P 为线段AB 上的点（点P 不与点A ,点B 重合）,且CA CB CP x y CA CB =⋅+⋅,则1132x y ++的最小值为（ ）.A ．9B ．34C ．12D ．914二、多选题 9．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()f x ( ) A ．是偶函数 B ．在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 C ．最大值为2 D ．其图象关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 10．对于△ABC ,有如下判断,其中正确的判断是（ ）A ．若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ,则△ABC 是钝角三角形 B ．若A ＞B ,则sin A ＞sin BC ．若a ＝8,c ＝10,B ＝60°,则符合条件的△ABC 有两个D ．若△ABC 为斜三角形,则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=11．等差数列{}n a 的公差与前n 项和分别为d ,n S ,若1020S S =,则下列论断中正确的有（ ）。
高三数学上学期期中试题文PDF
卜人入州八九几市潮王学校惠南2021年秋季期中考试卷高三文科试卷参考答案与评分HY 第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在答题卷的相应位置〕13．-314．115．21三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17．〔本小题总分值是10分〕试题解析：〔Ⅰ〕2()cos (cos )cos cos f x x x x x x x =+=+)62sin(212sin 2322cos 1π++=++=x x x ..........4分 当-1)62sin(=+πx 时，()f x 取最小值为12-..........5分〔Ⅱ〕1()sin(2)126f C C π=++=，∴1sin(2)62C π+=，，),0(π∈C 因为132(,)666C πππ+∈，∴3C π=...........6分1sin 2ABC S ab C ∆==，∴3ab =，由余弦定理得222cos73a b ab π+-=，..........8分∴2()16a b +=即4a b +=，∴4a b c ++=+ABC ∆的周长为4+分18．〔本小题总分值是12分〕 解析：〔1〕设数列{}n a 的公比为q ，由题意知542a a =，∴2q =.∴1212n n n a a q -+=⋅=．..........6分（2）由〔1〕可得2325n b n n n =+++=+..........7分1111()(25)(27)22527n c n n n n ==-++++，..........9分∴1111111()27991125271449nnQ n n n =-+-++-=+++…．..........12分 19．〔本小题总分值是12分〕解析：〔Ⅰ〕连接BD ，∵AB=BC=DA=1，∴在△BCD 中，利用余弦定理得：BD 2=BC 2+CD 2-2BC •；在△ABD 中，BD 2=2-2cosA ，∴cosC=2-2cosA ，那么分〔II 〕111sin sin sin .222SBC CD C T AB AD A A =••==•=..........7分 43cos 23cos 23-2++=C C (8)7)63(cos 232+--=C ..........10分易知，)9030(00，∈C ,所以），（230cos ∈C , 当63cos =C 时，22T S+有最大值87...........12分 20．〔本小题总分值是12分〕 试题解析：〔1〕∵2a =，∴()2ln f x x x =-，∴(1)12ln11f =-=，即(1,1)A'2()1f x x=-，'(1)121f =-=-，由导数的几何意义可知所求切线的斜率'(1)1k f ==-， 所以所求切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=...........5分〔2〕'()1a x af x x x-=-=，..........6分 当0a ≤时，∵0x >，∴'()0f x >恒成立，∴()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增..........8分当0a >时，令'()0f x =，得x a =，∵0x >，∴'()0f x >，得x a >；'()0f x <得0x a <<..........10分∴()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增...........12分21．〔本小题总分值是12分〕解：〔1〕取BC 的中点G ，连结DG ，交AC 于P ，连结PE .此时P 为所求作的点〔如下列图〕.下面给出证明： ∵2BCAD =，∴BG AD =，又//BC AD ，∴四边形BGDA 是平行四边形，故//DG AB 即//DP AB . 又AB ⊂平面,ABF DP ⊄平面ABF ，∴//DP 平面ABF ；..........2分∵//,AF DE AF ⊂平面ABF ，DE ⊄平面ABF ，∴//DE 平面ABF ...........4分又∵DP ⊂平面,PDE DE⊂平面,PDE PDDE D =，∴平面//ABF 平面PDE ，又∵PE ⊂平面PDE ，∴//PE 平面ABF ...........6分〔2〕在等腰梯形ABCD 中，∵060,24ABG BC AD ∠===，ACD ∆的面积为122⨯=∵DE⊥平面ABCD ，∴DE 是三棱锥E ACD -的高...........8分 设三棱锥A CDE -的高为h .由A CDEE ACD V V --=，可得1133CDE ACD S h S DE ∆∆⨯⨯=⨯，..........10分即1212h ⨯⨯⨯=h =故三棱锥A CDE -...........12分22．〔本小题总分值是12分〕解析：〔1〕()(1)x f x x k e =-+，由'()0f x =，得1x k =-；当1x k <-时，()0f x <；当1x k >-时，()0f x >；∴()f x 的单调递增区间为(1,)k -+∞，单调递减区间为(,1)k -∞-，1()(1)k f x f k e -=-=-极小值，无极大值．..........3分 〔2〕当11k -≤，即2k ≤时，()f x 在[]1,2上递增，∴()(1)(1)f x f k e ==-最小值；当12k -≥，即3k≥时，()f x 在[]1,2上递减，∴2()(2)(2)f x f k e ==-最小值；当112k <-<，即23k <<时，()f x 在[]1,1k -上递减，在[]1,2k -上递增，∴1()(1)k f x f k e -=-=-最小值．..........7分〔3〕()(221)x g x x k e =-+，∴'()(223)x g x x k e =-+，由'()0g x =，得32x k =-，当32x k <-时，'()0g x <；当32x k >-时，'()0g x >， ∴()g x 在3(,)2k -∞-上递减，在3(,)2k -+∞递增，故323()()22k g x g k e -=-=-最小值，又∵35,22k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]30,12k -∈，∴当[]0,1x ∈时，323()()22k g x g k e -=-=-最小值， ∴()g x λ≥对[]0,1x ∀∈恒成立等价于32()2k g x eλ-=-≥最小值；又32()2k g x eλ-=-≥最小值对35,22k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立．∴32min (2)k e k --≥，故2e λ≤-．..........12分。
福建高三高中数学期中考试带答案解析
福建高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设全集，，，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．2.已知复数，则下列说法正确的是（）A．复数z在复平面上对应的点在第二象限B．C．D．复数z的实部与虚部之积为—123.“点在直线上”是“数列为等差数列”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分不必要条件4.函数，满足的的取值范围（）A．B．C．D．5.已知和都是锐角，且，，则的值是（）A．B．C．D．6.若函数f (x) = x在[1，+∞)上是增函数，则实数p的取值范围是（）A．B．C．D．7.在中，分别为角所对边，若，则此三角形一定是( )A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9.对于函数(其中)，选取的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能的是（）A．4和6B．3和1C．2和4D．1和210.下列命题：①已知直线，若，则∥；②是异面直线，是异面直线，则不一定是异面直线；③过空间任一点，有且仅有一条直线和已知平面垂直；④平面//平面，点，直线//，则；其中正确的命题的个数有（）A．0B．1C．2D．311.对任意的，则（）A．B．C．D．的大小不能确定12.设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若，，且,则称，调和分割，,已知点C(c，0),D(d，0) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是( )A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上二、填空题1.设等差数列的前项和为，若，则2.在中，角、、所对应的边分别为、、，若，角成等差数列，则角的值是_________3.如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面爬行一周又回到A点，它爬行的最短路线长是________4.定义域为的函数，若函数有个不同的零点，，，，，则等于_______________三、解答题1.(本小题满分12分)已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的通项公式.2.(本小题满分12分)已知向量,，设函数.（Ⅰ）若函数的零点组成公差为的等差数列，求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若函数的图象的一条对称轴是，（），求函数的值域.3.(本小题满分12分)如图，棱长为2的正方体中，Ｅ，Ｆ满足．（Ⅰ）求证：EF//平面AB；（Ⅱ）求证：EF；4.本小题满分12分）今有一长2米宽1米的矩形铁皮，如图，在四个角上分别截去一个边长为x米的正方形后，沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱(接口连接问题不考虑)．(Ⅰ)求水箱容积的表达式，并指出函数的定义域；(Ⅱ)若要使水箱容积不大于立方米的同时，又使得底面积最大，求x的值．5.(本小题满分14分)已知函数（Ⅰ）若函数处取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）在（I）条件下，若直线与函数的图象相切，求实数k的值；（Ⅲ）记，求满足条件的实数a的集合．福建高三高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.设全集，，，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，那么由于全集，，那么阴影部分表示的为B与A的集合的补集的交集，因此结合，可知为，故选B.【考点】本试题考查了集合的表示。
2021届福建省仙游一中高三上学期期中考试数学试题
仙游一中2020-2021学年上学期期中考高三数学试卷满分150分, 答卷时间2小时一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，{220B x x x =--<且}x Z ∈，则AB =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3,D ．{}1,0,1,2,3-2．给出下列四个命题：①回归直线a x b yˆˆˆ+=过样本点中心（x ，y ） ②将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值不变 ③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 ④在回归方程y ＝4x +4中，变量x 每增加一个单位时，y 平均增加4个单位 其中错误命题的序号是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④3．已知2sin 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．19-B ．19C ．89- D ．894．在4次的独立重复试验中，事件A 在一次试验中发生的概率为13，则事件A 恰有1次发生的概率是（ ）A ．881 B ．1681 C ．3281 D ．8165 5．已知在等比数列{}n a 中，11a =，59a =，则3a =（ ） A ．5±B ．5C ．3±D ．36．函数212()log (62)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） A ．1[,)4+∞B ．1[,2)4C ．31(,]24-D ．1(,]4-∞7．已知点(,)m n m n +-在0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域内，则22m n +的最小值为（ ）A ．23B．5C ．25D ．498．在△ABC 中，已知9AB AC ⋅=，cos b c A =⋅，△ABC 的面积为6，若P 为线段AB 上的点（点P 不与点A ，点B 重合），且CA CBCP x y CACB=⋅+⋅，则1132x y ++的最小值为（ ）. A ．9 B ．34C ．12D ．914二、多选题9．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数 B ．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．最大值为2 D ．其图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 10．对于△ABC ，有如下判断，其中正确的判断是（ ）A ．若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形 B ．若A ＞B ，则sin A ＞sin B C ．若a ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的△ABC 有两个D ．若△ABC 为斜三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=11．等差数列{}n a 的公差与前n 项和分别为d ，n S ，若1020S S =，则下列论断中正确的有（ ） A ．当15n =时，n S 取最大值B ．当30n =时，0n S =C ．当0d >时，10220a a +>D ．当0d <时，1022a a >12．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()212f x xf x x'+=，()10f =，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 只有一个零点C ．若()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，则2e k > D ．()1f f f <<三、填空题 13．复数21ii+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第_______象限. 14．已知向量()6,2a =与()3,b k =-的夹角是钝角，则k 的取值范围是__________________． 15．()()42x y x y ++的展开式中32x y 的系数为__________________.16．已知2sin cos αα-=，则tan2α=__________.四、解答题17．仙游一中准备在下周校运动会到来之前，在高三年级学生中招募了16名男性志愿者和14名女性志愿者，其中男性志愿者，女性志愿者中分别有10人和6人喜欢运动会，其他人员均不喜欢运动会.（1）根据题设完成下列22⨯列联表：（2）能否有95%的把握认为喜欢运动会与性别有关？并说明理由.注：()()()()()()22n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++临界值表：18．已知函数()2224f x sin x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位，得到函数g （x ）的图象，求g （x ）在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域．19．已知等差数列{}n a ，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若12a <，设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 20．在△ABC 中，a b c 、、分别为三个内角A 、B 、C的对边，且222sin .b A c a += (1)求角A ； (2)若4sin sin 3B C ，=且2a ，=求△ABC 的面积．21．已知数列{}n a 是等比数列，且满足()46138a a a a +=+，n S 是数列{}n b 的前n 项和，且1(1)n n n b +⋅+⋅()*11,1n n S S n N a +=⋅∈=，112b =. （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设1(1)n n nc n a b =+，n T 是数列{}n c 的前n 项和.若对任意的正整数n ，4n n T c λ+<恒成立，求实数λ的取值范围.22．已知()2221()ln ,(0)2f x a x ax a a x a =---≠． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围．仙游一中2020-2021学年上学期期中考参考答案一、选择题12【详解】对A ，()()212f x xf x x '+=，且()0,x ∈+∞ 可得：()()212xf x x f x x'+=可得：()21x f x x '⎡⎤=⎣⎦故()2ln x f x x c =+(c 为常数)又()10f =,可得：()211ln1f c =+求得：0c 故：()2ln x f x x =整理可得：()2ln xf x x =，()0,x ∈+∞ 24412ln 2ln ()x x xx x x x f x x x ⋅-⋅-'==43(12ln )12ln x x x x x--== 当12ln 0x ->，即12ln ln x e <解得：0x <<()0f x '>，此时()f x 单调递增当12ln 0x -=，即12ln ln x e =解得：x =()0f x '=，当12ln 0x -<，即12ln ln x e >解得：x >()0f x '<，此时()f x 单调递减∴x e =，()f x 取得极大值，ln 1()2e f e e==，故A说法错误；对B ，0x +→，()0f x <x e =1(2f e e=x →+∞，()0f x >画出()f x 草图：如图根据图象可知：()f x 只有一个零点，故B 说法正确； 对C ，要保证()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立 即：保证()21f x k x +<在()0,∞+上恒成立 ()2ln xf x x =，可得22ln 1x k x x+<在()0,∞+上恒成立 故：只需22max ln 1x k xx ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭令21ln ()x G x x +=312ln ()x G x x--'∴= 当120x e -<<时，312ln ()0xG x x --'=>当12x e ->时，312ln ()0xG x x--'=< 当12x e-=时，312ln ()0xG x x --'==即1122max 2121ln ()2e eG x G e e --⎛⎫+=== ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭∴22max ln 21e x k xx ⎛⎫>+= ⎪⎝⎭,故C 说法正确；对D ，根据0x e <<()f x 单调递增，x e >()f x 单调递减，1<<()1f f<又23ff ==由ln 3ln 32666ff -=-=-=根据23lnlnln ln 0⎡⎤=-=->⎣⎦∴ff >故：()1f ff <<，故D 说法正确.综上所述，正确的说法是：BCD 故选：BCD.二、填空题 13. 一 14. ()(),11,9-∞-- 15. 14 16.43四、解答题17.【详解】（Ⅰ）函数()2224f x sin x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭1﹣cos （2x 2π-）22212216x x sin x cos x π⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭．所以函数的最小正周期为22T ππ==， 令2226k x k ππππ≤+≤+（k ∈Z ），整理得1212k x k π5ππ-≤≤π+（k ∈Z ）， 所以函数的单调递减区间为[51212k k ππππ-+，]（k ∈Z ）． （Ⅱ）将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位，得到函数g （x ）＝2cos （2x 36ππ-+）+12216cos x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，由于x ∈44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，所以22363x πππ-≤-≤，故12126cos x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以0≤g （x ）≤3，故函数的值域为[0，3]． 18.【详解】（1）（2）2230(10866) 1.158(106)(68)(106)(68)K ⨯⨯-⨯=≈++++, 因为1.158 3.841<，所以没有95%的把握认为喜欢运动会与性别有关. 19.【详解】：（Ⅰ）∵611a =，∴1511a d +=①∵2a ，5a ，14a 成等比数列，∴25214a a a =，∴()()()2111413a d a d a d +=++化简得2163a d d =，若0d =，11n a =若0d ≠，12a d =②，由①②可得，11a =，2d =所以数列的通项公式是21n a n =-或11n a =（Ⅱ）由（Ⅰ）得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴1211111111112335212122121n n n Sb b b n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ 20.【解】（1）由题意，得2222cos sin cos sin tan 33b c a bc A A A A A +-==⇒=⇒=， ∴3A π=；（2）由正弦定理，得2sinB sinC sin a R R b A c ===⇒=2sin b R B =,2sin c R C =∴2232si 1n s sin sin 24in 2ABCS R A B c A C b ∆===⋅=⎝⎭21.【详解】（1）()()()()33246131318810a a qa a a a q q a +=+=+⇒-+=，2110,02q a q ∴+>>⇒=，又111,2n n a a -=∴=， ()*1(1)n n n n n b S S n N++⋅=⋅∈，()11111111(1)(1)1n n n n n n n n S S S S S S n n n n ++++⋅-=⋅⇒-==-++， 11111111111111n n n S n S n S n S +-∴-=-=-==-=+-， 1n n S n ∴=+，121(2)n n n b S S n n n -∴=-=≥+， 又1211211b ==+满足，21n b n n∴=+， （2）11(1)2n n n n n c n a b -==+，11(1)22222n n n nn A n B An B An A B ---++-+=-=，由系数相等得：112(1)4242,4,222n n n n n n A B ---++===-， 12n n T c c c ∴=+++2121421422442222(1)42422n n n n -⨯+⨯+⨯+=-+-+-++-+ 2442n n n T +∴=-， 1(1)2442n n n n T c λλ---∴+=+<恒成立， 21n λ∴-<恒成立，又2,y n N n *=∈为减函数，n →∞时，20n→， ∴10λ-≤，即1λ≤.22.【解】（1）由题意，当1a =时，函数21()ln 2f x x x =-的定义域为(0,)+∞， 可得211()x f x x x x-'=-=， 令()0f x '>，即210x ->，解得01x <<，所以函数()f x 在区间(0,1)上单调递增； 令()0f x '<，即210x -<，解得1x >，所以函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减， 即函数()f x 的递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞.（2）由题意，函数()2221()ln ,(0)2f x a x ax a a x a =---≠的定义域为(0,)+∞， 可得()22()(1)(),0a a x a x f x ax a a x x x+-'=---=->， （Ⅰ）当0a <时，①若10a -<<时，令()0f x '>，即1(0)()x a x +->，解得0x a <<-或1x >， 令()0f x '<，即1(0)()x a x +-<，解得1a x -<<，所以函数()f x 在区间(0,)a -上递增，在区间(,1)a -递减，在(1,)+∞递增， 所以当1x =时，函数取得极小值，不符合题意，舍去；②当1a =-时，可得2(1)()0x f x x '-=≥，此时函数()f x 在(0,)+∞单调递增， 函数()f x 无极值，不符合题意，舍去；③当1a <-时，令()0f x '>，即1(0)()x a x +->，解得01x <<或x a >-， 令()0f x '<，即1(0)()x a x +-<，解得1x a <<-，所以函数()f x 在区间(0,1)上递增，在区间(1,)a -递减，在(,)a -+∞递增， 所以当1x =时，函数取得极大值，符合题意.（Ⅱ）当0a >时，()(1)(),0a x a x f x x x+-'=->， 令()0f x '>，即1(0)()x a x +-<，解得01x <<，令()0f x '<，即()(1)0x a x +->，解得1x >，所以函数()f x 在区间(0,1)递增，在(1,)+∞递减，所以当1x =时，函数取得极大值，符合题意；综上可得，实数a 的取值范围是(,1)(0,)-∞-+∞.。
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仙游金石中学2017-2018学年上学期期中考试卷高三年级数学(文)科考试时间: 120分钟满分: 150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集，设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴,又∴故选：B点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 已知，则在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】根据所给的关于复数的等式，整理出要求的z的表示式，进行复数的乘法运算，得到复数的最简结果，根据横标和纵标的值写出对应的点的坐标，得到点的位置．解：∵复数z满足∴=（1-i）（2-i）=1-3i，∴z=1+3i对应的点的坐标是（1， 3）∴复数在复平面上对应的点在第一象限，故选A3. 下列命题中的假命题是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B错误，故选B。
考点：特称命题与存在命题的真假判断。
视频4. 吴敬《九章算法比类大全》中描述：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设塔顶盏灯，则，解得．故选C．5. 已知平面向量，且，则（）A. 10B.C. 5D.【答案】B【解析】∵平面向量，且∴,即,∴∴∴故选：B6. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列4个命题：①若②若③若④若其中真命题的序号为（）A. ①②B. ①④C. ③④D. ②③【答案】D【解析】m⊂α，n∥α，则m∥n或m与n是异面直线，故①不正确；若m⊥α，则m垂直于α中所有的直线，n∥α，则n平行于α中的一条直线l，∴m⊥l，故m⊥n．故②正确；若m⊥α，m⊥β，则α∥β．这是直线和平面垂直的一个性质定理，故③成立；m∥α，n∥α，则m∥n，或m，n相交，或m，n异面．故④不正确，综上可知②③正确，故选：D．7. 在平面直角坐标系中，不等式组, 表示的平面区域的面积是（）A. B. 3 C. 2 D.【答案】A【解析】作出可行域如图：联立方程组解得B，所以，故选A.8. 运行如图所示的程序框图,如果输入的,则输出s属于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】程序为条件结果对应的表达式为s=，则当输入的t∈[﹣1，3]，则当t∈[﹣1，1）时，s=3t∈[﹣3，3），当t∈[1，3]时，s=4t﹣t2=﹣（t﹣2）2+4∈[3，4]，综上s∈[﹣3，4]，故选：D．点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 已知，若是的充分不必要条件，则的取值范围是( )A. [1，＋∞)B. (－∞，1]C. [－3，＋∞)D. (－∞，－3]【答案】A【解析】：∵条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件∴集合q是集合p的真子集，q⊊P即a∈[1，+∞）．故选：A10. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A. B. 8 C. D.【答案】A【解析】根据三视图可知几何体是一个棱长为2的正方体，截去一个三棱锥得到，所以几何体的体积为2×2×2﹣，故选：A．11. 已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：如上图所示，点三点应为大圆面上的等要直角三角形，由于为该球面上的动点，所以当点到平面的距离最大时即时，三棱锥的体积取最大值，所以，解得，所以球的表面积为，故选C.考点：1、球；2、球的表面积；3、三棱锥.12. 已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则使成立的的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，则，当时，由题设可得，即函数是单调递减函数，当时，函数是单调递增函数，又由题设可知，所以结合图像可知不等式解集是，则不等式的解集是，应选答案B 。
点睛：解答本题的难点在于如何构造函数运用已知条件，并探寻已知不等式与构造的函数之间的关系。
解答时充分运用题设条件先构造函数，再运用求导法则进行求导，借助题设条件与导数与函数的单调性之间的关系推断该函数的单调性是单调递减函数，进而数形结合求出不等式的解集使得问题获解。
第Ⅱ卷（非选择题共90分）填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13. 已知函数，则__________.【答案】【解析】由题意可得：，故答案为：14. 曲线在点处的切线方程为______________.【答案】【解析】试题分析：∵，∴，∴，∴切线方程为，即.考点：用导数求切线方程.15. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】当时，不等式恒成立等价于：当时，恒成立又∴故答案为：点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.16. 若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】试题分析：由题意，得，令，则，当时当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．又当时，，因为函数在上有两个零点，所以，故．考点：1、函数零点；2、利用导数研究函数的单调性．三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知等差数列满足=2，前3项和=.(Ⅰ)求的通项公式，(Ⅱ)设等比数列满足=，=，求前n项和.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（1）设的公差为，则由已知条件可得解得可写出通项公式．（2）由（1）得．据此求得公比为,应用等比数列的求和公式即得．试题解析：（1）设的公差为，则由已知条件得，．化简得解得故通项公式，即．（2）由（1）得．设的公比为,则,从而．故的前项和．考点：1．等差数列的通项公式及求和公式；2．等比数列的通项公式及求和公式．视频18. 已知函数（）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ).【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式及两角和正弦公式化简函数得：，由最小正周期为，利用公式可得的值；（2）利用正弦函数的图象与性质可得函数在区间上的取值范围．试题解析：（Ⅰ）.因为函数的最小正周期为，且，所以，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）得．.因为，所以.所以..因此，即的取值范围为..19. 如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．（I）证明平面；（II）求四面体的体积.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果．试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为.取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故.所以四面体的体积.考点：1、直线与平面间的平行与垂直关系；2、三棱锥的体积．20. 在中，内角的对边分别为，已知．（I）求的值；（II）若，求的面积．【答案】(Ⅰ)2；(Ⅱ).试题解析：由正弦定理得，所以，即，化简得，∴即．（II）由得，由余弦定理得及，得，从而．又，得，所以．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：①定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.②定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.③求结果.21. 已知函数的最大值为.（I）若，试比较与的大小；（II）是否存在非零实数，使得对恒成立，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)存在非零实数，且的取值范围为.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用分类整合思想求解；(2)依据题设先转化再运用导数知识探求.试题解析：（1）.令，得，令，得，故函数在上单调递增，在上单调递减，故.当时，，∴，∴；当时，，∴，∴.（2）由（1）知，∴.设，∴，令，解得.当时，令，得；令，得，∴，∴.故当时，不满足对恒成立；当时，同理可得，解得.故存在非零实数，且的取值范围为.考点：分类整合思想及转化化归思想和导数等有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数函数解析式为背景,精心设置了两道问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是先运用导数求函数最大值，再进行分类比较；第二问的求解时，先构造函数，再运用求导法及分类整合思想进行分析推证，从而使得问题获解．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系中，圆和的参数方程分别是（为参数）和（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求圆和的极坐标方程；（Ⅱ）射线：与圆交于点、，与圆交于点、，求的最大值.【答案】(Ⅰ)，.(Ⅱ)4.【解析】试题分析：（1）圆C1的参数方程分别是（φ为参数），利用平方关系可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程．圆C2的参数方程（β为参数），利用平方关系可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程．（2）依题意得点、的极坐标分别为，，从而表示出，利用正弦函数的有界性问题迎刃而解.试题解析：（Ⅰ）圆和的普通方程分别是和.∴圆和的极坐标方程分别为，.（Ⅱ）依题意得点、的极坐标分别为，。
∴，，从而，当且仅当，即时，上式取“”，取最大值4.23. 已知函数，．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若任意，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：(1)将a=0代入题中的不等式，平方之后求解不等式即可；(2)将问题转化为，令，求解的最小值即可求得实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当时，由，得，两边平方整理得，解得或，∴原不等式的解集为．（Ⅱ）由，得，令，即故，故可得到所求实数的取值范围为.。