高等数学9.2 二重积分的计算法
大一高等数学第九章第二节二重积分的计算法.
第二节二重积分的计算法• 一、二重积分在直角坐标系中的计算法 • 二、二重积分在极坐标系中的计算法 •三、小结思考题练习题一、二重积分在直角坐标系中的计 算法a < x <^h 9 (p t (x) V y V (pAx).—型]其中函数©（劝、02（兀）在区间［“,6上连续・如果积分区域为:1 1J = <p 2(x)」_屮心)1 1 ab的值等于以。
为底，以曲面z =f(x,y)为曲顶柱体的体积.应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,SRcy=fdyr 2>f(x,y)dx.兴 切(丿)y =©(x)y =^(x)A(x (JX型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式n 勿+u •D D、D2 D、例1 改变积分f(x y y)dy的次序.解例2改变积分’/（X 』）心的次序.解积分区域如图2J = 2-x X、»= \ 2x -5^• ■ 70.91\ *・53原式=』dy J二缶f f(x,y)dx.例 3 改变积分j ^-p/(x,j)Jy (« >0) 的次序.f(x^y)dx+他(：丹八3)必+f"dy0gy)必.x 2 =>x =a ± x a 2 -y 2=\ 2ax —::2例4求jj(x 2 + y )dxdy ,其1=1©是由抛物线解两曲线的交点 产二=>(0,0) ,(1,1), 1兀=厂+ y)dxdy {x 1+y)dyD=x - x 2) + ^(x-x 4)]rfx =豊・Jo2 140例5 求JJ x 2e'y2dxdy ,其中 D 是以0,0),(1,1),(<M)为顶点的三角形.x 2e~ydxdy =^dy^ x 2e ydx D□□y =，和兀=b 所围平面闭区域.解・・・“》心无法用初等函数表示・・・积分时必须考虑次序- 卩 f 了 -e x dx^ \dy \ e x dx.y解^e xdx 不能用初等函数表示・•・先改变积分次序. =f x(e —e x)dx = -e — -<e.码 8 2例7求由下列曲面所围成的立体体积， z = x +j, z = xy 9 x+ ‘=l, x =0, j =0.原式=I = e^dy例6计算积分成的立体如图.所围立体在xoy 面上的投影是•・• 0< x4-j < 1, x + y> xy 9 所求 =JJ(x +j- xy)daD(x-hy-xy)dy訂：住(1 一兀)+ £(1-兀尸血=召二、二重积分在极坐标系中计算 法 1 ^1 .Aa,=-（巧 + ZV;$ ・一 乙叮・=-(2r ； + zXr f )Ar ； •2-"+叫・M “A2=片• Ar z•〃亍△o \JJ f (x9y)dxdy = f (rcosG3rsinO)rdrd0.D D二重积分化为二次积分的公式（1）区域特征如图a<0<. p y(p\O}<r < 02(&)・JJ f(rcos0^rsin0)rdrd0D=f (r cos^,r sin^)rJr.JaJ 卩i (0)区域特征如图a V & V 0，0（&）＜厂 V 02（&）・JJ f (rcos09rsin0)rdrdO =\p dor O}Ja J®©) 01 (0)f (rcosG yrsin0)rdr.CQE二重积分化为二次积分的公式（2 ）JJ f (r cos^,r sin0)rdrdOD“r (p2、=J do] f(r cos^,rsin^)rJr.二重积分化为二次积分的公式（3）|| f (r cos^,r sinff)rdrd0 D极坐标系下区域的面积a = \\rdrdO./(rcos^,rsin^)rJr.区域特征如图0 < r < 0（&）・SB区域特征如图0 V & V 2眄例8写出积分\\f(x.y)dxdy 的极坐标二次积分形 式，其中积分注域D = {(x 9y)\ 1-x < y < \ l-x\O<x<l}.所以圆方程为厂=1,直线方程为厂=^―1—-sin& + cos &SR例9 计算^e~x ^ydxdy ，其中D 是由中心在 原点，半径站的圆周所围成的闭区域. 解在极坐标系下D ： 0<r <« , 0<0<2兀・\\e~x ~ydxdy= J 冷町：”皿解在极坐标系下{X = rcos 0 y= rsin &\\f(x.y)dxdy= [}dd^ xf (r cos G^rsinG)rdr.豈」A ^e~x2~y ：dxdy<帖宀怙心 ffe'^ dxdy.D tSD 2又•・• 1 = ^e~x dxdys=e~xl dx e~y dy =([ e~' dx)2; =jje~xydxdyD\同理笃=fj e~x' ydxdy=^(\-e~1R");UH例10 求广义积分Jx ・ 解9={(%』)1云 +，2<尺2}D 2={(x 9y)\x 2^y 2<2R 2}S = {(2)\0<x<Rfi<y<R}{x 5:0, j >0}显然有 D] u S u 。
高等数学 第九章 第2节 二重积分的计算法(1)(中央财经大学)
第二节 二重积分的计算法（1）一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系(right angle 计算二重积分)(2x y ϕ=abD)(1x y ϕ=Dba)(2x y ϕ=)(1x y ϕ=y yy x f x S x x d ),()()()(21∫=ϕϕy )(1x ϕ=)(2x y ϕ= d d ),(d )( )()(21∫∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛==ba x x ba x y y x f x x S V ϕϕyy x f x S x x d ),()()()(21∫=ϕϕx ϕ=)(1y ϕDcdcd(2x ϕ=)(1y ϕ=DX 型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y 型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，3D 2D 1D 在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321∫∫∫∫∫∫∫∫++=D D D D则必须分割.,X=YY=2X=1YX 2112dxdyy dy2x2xy=y=−y e2−dyey 2∵2d y=2x y =xy =xy −=1例6 改变积分 ∫d x10的次序.原式∫∫−=y dxy x f dy 101),(.解积分区域如图例xy −=222x x y −=例7 改变积分∫∫∫∫−−+xxx dy y x f dx dy y x f dx 20212010),(),(2的次序.原式∫∫−−−=12112),(yy d xy x f d y .解积分区域如图例x+ =−d x y y )二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结.),(),()()(21∫∫∫∫=Dbax x dy y x f dx d y x f ϕϕσ.),(),()()(21∫∫∫∫=Ddcy y dx y x f dy d y x f ϕϕσ［Y －型］［X －型］谢谢大家！。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在高等数学的学习中，二重积分是一个重要的概念和工具，它在解决许多实际问题和理论推导中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法对于我们深入学习数学以及解决相关的实际问题至关重要。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是在平面区域上对某个二元函数进行积分。
简单来说，就是把平面区域划分成许多小的区域，然后对每个小区域上的函数值乘以小区域的面积，再把这些乘积相加。
接下来，我们来介绍几种常见的二重积分计算方法。
一、直角坐标系下的计算方法在直角坐标系中，二重积分可以表示为两种形式：先对 x 积分再对y 积分，或者先对 y 积分再对 x 积分。
当我们选择先对 x 积分时，我们需要把积分区域投影到 x 轴上，确定 x 的积分限。
然后，对于每个固定的 x 值，在对应的垂直于 x 轴的线段上确定 y 的积分限。
例如，对于积分区域 D 是由直线 y ＝ x ，y ＝ 1 以及 x ＝ 0 所围成的三角形，我们要计算二重积分∬D f(x,y)dxdy。
先对 x 积分，x 的积分限是从 0 到 y ，y 的积分限是从 0 到 1 。
则可以将二重积分化为累次积分：∫₀¹(∫₀ʸ f(x,y)dx)dy 。
同样，如果先对 y 积分，就把积分区域投影到 y 轴上，确定 y 的积分限，然后再确定每个固定 y 值对应的 x 的积分限。
二、极坐标系下的计算方法在某些情况下，使用极坐标系来计算二重积分会更加方便。
极坐标系中的坐标是（r,θ) ，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示极角。
在极坐标系下，二重积分的表达式为∬D f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ 。
比如，对于圆形或者扇形的积分区域，使用极坐标系往往能简化计算。
例如，计算以原点为圆心，半径为 R 的圆上的二重积分，积分区域 D 为 x²＋y² ≤ R² 。
在极坐标系中，r 的积分限是从 0 到 R ，θ 的积分限是从 0 到2π 。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面上某个区域的面积、质量、质心等问题。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方法，包括直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
一、直角坐标系下的二重积分计算方法在直角坐标系下，二重积分的计算通常通过累次积分的方式进行。
设有一个二元函数 f(x, y) 在某一闭区域 D 上连续，则 D 可以表示为水平投影区域 D' 在直角坐标系上的投影区域，并且可以将 D 划分成许多小的面积 dA。
二重积分的计算可以表示为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(x, y)dxdy其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(x, y) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(x, y)dxdy = ∫[a, b]∫[c(x), d(x)]f(x, y)dydx其中，[a, b] 表示 x 的取值范围，c(x) 和 d(x) 分别表示 D' 在 x 轴上的投影区间的下边界和上边界。
根据具体问题，我们可以选择先对 x进行积分，再对y 进行积分，或者先对y 进行积分，再对x 进行积分。
通过这样的累次积分方式，可以计算得到二重积分的结果。
二、极坐标系下的二重积分计算方法在某些问题中，使用极坐标系进行二重积分的计算更加方便。
对于闭区域 D 在极坐标系下的表示，我们可以将二重积分的计算公式改写为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(r, θ)rdrdθ其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(r, θ) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(r, θ)rdrdθ = ∫[α, β]∫[g(θ), h(θ)]f(r, θ)rdrdθ其中，[α, β] 表示θ的取值范围，g(θ) 和h(θ) 分别表示 D 在极坐标系下的投影区间的内半径和外半径。
同样地，通过选择先对θ进行积分，再对r进行积分，或者先对r进行积分，再对θ进行积分的方式，可以计算得到二重积分的结果。
高等数学 第九章 第2节 二重积分的计算法(2)(中央财经大学)
第二节 二重积分的计算法（2）
一、利用极坐标系计算二重积分
二、广义二重积分
一、利用极坐标计算二重积分 (polar coordinates)
D α
D
o
D
α
β
f
1=+y x 1
22=+y x θ
c o n 1
+
x
1
D 2
D S S
2
D R
R
2
y
d x
+ x2+
y
D D ，
D
1
(2x 2
y≥4
D
D
1
)
在一元函数中有无穷限广义积分(积分区间为无穷区间)，如果二重积分的积分区域为无穷区域时该如何积分呢？
在一元函数中有无穷限广义积分(积分区间为无穷区间)，如果二重积分的积分区域为无穷区域时该如何积分呢？
∞
),(y
1 a 2
z
z
三、小结
1.二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）
2.广义二重积分基本解法：
先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解.
谢谢大家！。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要内容，用于计算平面上各种形状的曲线或曲面与坐标平面的“面积”。
在实际应用中，二重积分常常与物理、几何、概率统计等学科密切相关。
本文将详细介绍二重积分的计算方法，包括定积分的计算、计算面积和质量等应用问题，以及换元积分、极坐标系、重积分等高阶积分方法。
一、定积分的计算定积分是二重积分的基础，因此首先需要掌握如何计算定积分。
定积分可以通过定义式或者积分的性质计算。
1.定义式计算定积分的定义式如下：∫a^b f(x) dx = lim(n→∞) ∑(k=1,n) f(xi)Δx其中[a,b]是定积分的区间，f(x)是被积函数，x_i是区间[a,b]上的等间距点，Δx是x_i与x_i+1之间的距离。
当被积函数f(x)是连续函数时，可以通过定义式计算定积分。
具体方法是将区间[a, b]等分成n个小区间，取每个小区间的中点作为x_i，计算f(xi)Δx的和，然后取极限即可。
2.积分的性质计算定积分具有一些特殊的性质，可以利用这些性质计算定积分。
（1）和函数性质：∫a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫a^b f(x) dx + ∫a^b g(x) dx（2）积分常数性质：∫a^b c f(x) dx = c∫a^b f(x) dx（3）分段函数性质：∫a^b ([f(x)]_a^c + [f(x)]_c^b) dx = ∫a^b f(x) dx（4）奇偶函数性质：当f(x)是奇函数时，∫-a^a f(x) dx = 0当f(x)是偶函数时，∫-a^a f(x) dx = 2∫0^a f(x) dx根据这些性质，可以将复杂的定积分化简为简单的定积分来计算。
二、计算面积二重积分还可以用于计算平面上一些特定形状的曲线与坐标平面的“面积”。
具体可以分为以下两种情况。
1.曲线位于坐标平面的上方：设z=f(x,y)是定义在区域D上的连续函数，且在区域D上始终大于等于0，若D的边界由曲线C所围成，则D的面积可以用二重积分来计算：∬D dσ = ∬D dxdy = ∬D dA = ∫∫D dxdy其中，dσ表示微面积元素，dA表示微面积。
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法一、极坐标法在二维平面上，如果点P在直角坐标系中的坐标为（x，y），那么以O点为极点，OP 线段所在直线为极轴的极坐标（r，θ）满足以下关系式：x=r*cosθy=r*sinθ将函数f(x,y)转化为g(r,θ)表示，则有：根据二重积分的定义式，可以得到用极坐标表示的二重积分：∬Df(x,y)dxdy=∬g(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ其中，D为定义域，r为极径。
二、对称性法对称性法即利用函数在定义域内的对称性简化计算。
具体方法如下：1. 翻折对称：如果定义域D为一个轴对称图形，那么可以将积分区域缩小一半，只计算一侧再乘以2。
3. 奇偶性：如果函数f(x,y)满足奇偶性，即满足f(-x,y)=-f(x,-y)或f(-x,-y)=f(x,y)，则可以将定义域限定在一个象限内（通常是第一象限），依次计算再乘以4或2。
轮换对称法即利用极坐标系下的轮换对称性简化计算。
对于一个n边形，将其边每隔2π/n取一条，则这些边的边长相等，角度之和为2π，因此在极坐标系下具有轮换对称性。
具体方法如下：1. 将定义域D分成n份，每份的极角为（k-1）2π/n和k2π/n（k=1,2,...,n）。
2. 对于每份，取中心点和每条边上的一个点，计算这些点构成的区域上的积分。
3. 最后将n份的积分相加即得到原积分。
四、正交性法正交性法即根据正交性定理，将一些特殊的函数乘在被积函数上，使之变成正交函数的线性组合，从而简化计算。
常用的正交函数有勒让德多项式、柯西-斯瓦茨函数等。
1. 将f(x,y)表示为一些正交函数的线性组合。
2. 考虑在正交函数构成的正交系下计算积分。
3. 利用正交性定理，将积分转化为正交基上的系数计算，从而得到简化后的积分表达式。
五、变换法变换法即通过适当的变换将一些定义域较为复杂的积分转化为更加简单的形式。
常见的变换有参数化、奇异变换、极坐标变换等。
1. 找到适当的变换使定义域变得简单。
二重积分计算方式
二重积分计算方式二重积分是微积分中的重要概念之一，用来求解平面上某个区域上的某个量的总和。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方式和应用。
一、二重积分的定义及性质二重积分是通过将一个二元函数在一个区域上进行积分来求解该区域上的某个量的总和。
在二重积分中，被积函数的两个自变量分别为x和y，积分区域为D。
1. 定义：设函数f(x,y)在区域D上有定义，D是xy平面上的一个有界闭区域，将D分成许多小区域，记作ΔD。
选取ΔD中任意一点(xi,yi)，作函数值f(xi,yi)与ΔDi的乘积f(xi,yi)ΔAi，其中ΔAi为ΔDi的面积。
如果极限$$\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(xi,yi) \Delta Ai$$存在且与D和ΔD的选取无关，那么称此极限为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作$$\iint_D f(x,y) dxdy$$2. 性质：二重积分具有线性性质和可加性质，即对于任意常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，以及区域D和E，有以下性质：- 线性性质：$$\iint_D (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a\iint_D f(x,y) dxdy + b\iint_D g(x,y) dxdy$$- 可加性质：$$\iint_{D \cup E} f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dxdy + \iint_E f(x,y) dxdy$$二、二重积分的计算方式在实际计算二重积分时，常常使用直角坐标系和极坐标系来简化计算。
1. 直角坐标系下的计算方式在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过迭代积分来进行。
假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，可以将二重积分表示为以下形式：$$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) dy dx$$其中a和b为x的范围，c(x)和d(x)为y的范围。
二重积分的基本计算方法
二重积分的基本计算方法二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算平面上某个区域内的面积、质量、质心等物理量。
在本文中，我们将介绍二重积分的基本计算方法。
我们来看二重积分的定义。
对于二元函数f(x,y)，在平面上的一个闭区域D上，可以定义二重积分为：∬D f(x,y) dA其中，dA表示平面上的面积元素，可以表示为dx dy或者dy dx。
二重积分的计算方法主要有两种：先对x进行积分，再对y进行积分；或者先对y进行积分，再对x进行积分。
第一种方法是先对x进行积分，再对y进行积分。
具体步骤如下：1. 将区域D在x轴上的投影为[a, b]，在y轴上的投影为[c, d]，则二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA = ∫[a,b]∫[c,d] f(x,y) dy dx2. 针对y进行积分时，将x看作常数，即将f(x,y)中的x替换为常数，然后对y进行积分。
积分的上限为d，下限为c。
3. 最后对x进行积分，将y看作常数，即将上一步得到的结果作为一个关于x的函数，然后对x进行积分。
积分的上限为b，下限为a。
第二种方法是先对y进行积分，再对x进行积分。
具体步骤如下：1. 将区域D在y轴上的投影为[c, d]，在x轴上的投影为[a, b]，则二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA = ∫[c,d]∫[a,b] f(x,y) dx dy2. 针对x进行积分时，将y看作常数，即将f(x,y)中的y替换为常数，然后对x进行积分。
积分的上限为b，下限为a。
3. 最后对y进行积分，将x看作常数，即将上一步得到的结果作为一个关于y的函数，然后对y进行积分。
积分的上限为d，下限为c。
无论采用哪种方法，最终的结果都是相同的。
在实际计算中，可以根据具体情况选择合适的积分顺序，以简化计算过程。
除了基本的计算方法之外，还可以利用二重积分来计算一些特殊区域的面积、质量、质心等物理量。
例如，对于平面上的一个闭区域D，可以使用二重积分来计算该区域的面积。
高等数学 9-2二重积分的计算法
解 根据对称性有 D = 4D1
在极坐标系下
D1
x + y = a ⇒ r = a,
2 2 2
( x + y ) = 2a ( x − y )
2 2 2 2 2 2
⇒ r = a 2 cos 2θ ,
r = a 2 cos 2θ π , 得交点 A = ( a, ) , 由 6 r=a
1
2− y 1− y
2
f ( x , y )dx .
例 3 求 ∫∫ ( x + y )dxdy ，其中 D 是由抛物线
2
所围平面闭区域. y = x 和 x = y 所围平面闭区域
2 2
D
解 两曲线的交点
x = y2
y = x ⇒ (0,0) , (1,1), 2 x = y
2
y = x2
y
A(x0 )
x
y = ϕ1(x)
ϕ2 ( x) ϕ1 ( x )
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫ dx ∫
a D
f ( x , y )dy .
c 如果积分区域为： 如果积分区域为： ≤ y ≤ d , ϕ 1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ 2 ( y ).
［Y－型］ －
d
d
x = ϕ1( y)
x2 + y2 = 1
1 , 直线方程为r = sinθ + cosθ
所以圆方程为 r = 1,
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫ dθ ∫
2
π
1
D
0
1 sinθ +cosθ
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
高等数学 重积分 (9.2.1)--二重积分的计算
导出
V
b A(x)dx
a
b a
2 ( x) 1 ( x)
f (x, y)dy dx
D
f (x, y)dxdy
ab
2 (x) 1 ( x)
f
(x,
y)dy dx
写成
f (x, y)dxdy bdx 2 (x) f (x, y)dy
x2 y 2 Rx 所割下部分的体积 V
z
y
r=Rcos
D
O
x
xR
y
例 求双纽线 (x2 y2 )2 2a2 (x2 y2 ) 所围 区域的面积
乐
例 求二次积分
2
2 dy
1y2 arctan ydx
0
y
x
例 求积分 I ex2 dx 0
乐
9.2.3 二重积分的变量代换
设变换
x x(u, v)
y
y(u, v)
有连续偏导数，且
满足
J
(x, y) (u, v)
xu xv
yu yv
0
而 f (x, y) C(D) ，那么
f (x, y)dxdy f (x(u, v), y(u, v)) J dudv
D
D
乐
uv 平面小矩形AﾢBﾢCﾢDﾢﾢ ﾢﾢ xy 平面曲边四边形 ABCD
D
a 1 ( x)
乐
若积分区域
D {(x, y)1( y) x 2 ( y), c y d}
y 型正 则区域
则有
f (x, y)dxdy d dy 2 ( y) f (x, y)dx
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要内容，用于计算平面上的曲线与坐标轴所围成的面积或求平面上的散布点的平均性质等。
在实际运用中，可以通过直接计算、换元法、极坐标法等多种方法来进行二重积分的计算。
一、直接计算法直接计算法是最常用也是最基础的计算二重积分的方法。
其基本步骤是将所给的二重积分转化为累次积分，先对一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分。
1.内部积分内部积分即对于每个固定的y值，对x进行积分。
可以根据具体的题目决定如何进行内部积分，常用的有定积分、不定积分和积分换元等方法。
2.外部积分外部积分即对内部积分的结果再进行一次积分，这一步是对y进行积分。
同样的，可以根据具体题目决定如何进行外部积分，可以选择定积分、不定积分和积分换元等方法。
需要注意的是，直接计算法在面对比较复杂的函数或曲线时计算量较大，需要进行复杂的代数计算，常常需要对整个积分范围进行划分，或者使用边界定理简化计算。
二、换元法换元法是将二重积分变换到坐标系上的简单区域。
换元法分为直角坐标系的变换和极坐标系的变换两种情况。
1.直角坐标系的变换直角坐标系的变换是指将原先的积分变为关于新的变量的积分，使得积分计算更加简化。
常见的直角坐标系变换有平移变换、旋转变换和放缩变换等。
例如，当变量的变化范围较大或边界不规则时，使用平移变换可以将积分范围变为一个更加简单的区域，从而简化计算。
2.极坐标系的变换极坐标系的变换是将原先的直角坐标系变为极坐标系，使得计算过程更加简单明了。
极坐标系变换常用于对称图形或圆形区域进行积分计算。
极坐标系变换需要通过变量替换来实现，通常需要将原函数和积分上下限由直角坐标形式转换为极坐标形式，再进行计算。
换元法可以大大简化积分计算过程，但需要选择合适的坐标变换，有时会引入更多的计算量。
需要根据具体问题的特点来决定选择哪种变换。
三、几何意义根据题目所给的条件，可以确定积分范围和被积函数形式，将二重积分转化为面积或长度的几何问题。
大学高等数学课件——9-2_二重积分的计算法
d e
0 0
R
R2 rdr (1 e ); 4 2 R2 ); dxdy (1 e 4
同理 I 2 e
D2
x2 y2
I1 I I 2 ,
R R2 x2 2 2 R2 (1 e ) ( e dx ) (1 e ); 0 4 4
D {( x, y) | a x b, c y d}， 则
f ( x, y)dxdy [
D
b
a
f1 ( x)dx][ f 2 ( y )dy ]
c
d
求 3x y d， 练习2：
2 2
D
其中D是由x轴, y轴和抛物线y 1 x2所围成的
在第一象限内的区域．
原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.
解
在极坐标系下
D：0 r a ，0 2 .
e
D
x2 y2
dxdy d e
0 0
a2
2
a
r 2
rdr
(1 e
).
例3
求广义积分 0 e dx .
x2
解 D1 {( x , y ) | x 2 y 2 R 2 }
0 1 x x
(1,1)
sin y dy y
比较麻烦
例5
求 x e
D
2 y2
dxdy ，其中 D 是以(0,0), (1,1),
(0,1) 为顶点的三角形.
解 e
y2
dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x
D
2 y2
e
dxdy dy x e
二重积分的积分方法和积分公式
二重积分的积分方法和积分公式二重积分是高等数学中一个重要的概念，主要用于求解平面区域上的积分问题。
在实际应用中，二重积分常常伴随着一些积分方法和积分公式，有助于简化计算过程，提高计算效率。
本文将详细介绍二重积分的积分方法和积分公式。
一、二重积分的基本概念首先，我们需要了解二重积分的基本概念。
对于一个平面区域D，如果对于每一个区域内的点(x,y)，都有一个实数f(x,y)与之对应，那么我们称f(x,y)是D上的一个二元函数。
此时，通过对区域D进行分割，我们可以得到很多个小区域，用矩形来近似表达每个小区域，使得这些小矩形的面积的和趋近于区域D的面积，这个和就可以作为表示f(x,y)在区域D上的对应二重积分。
其数学表达式为：∬Df(x,y)dxdy其中f(x,y)是被积函数，D是被积区域，dxdy表示在x轴和y 轴上的微小增量。
二、二重积分的积分方法1. 变量代换法变量代换法常用于解决被积函数较为复杂的情况。
通过建立一个新的变量，将原式中的变量替换为新的变量，并计算出新的变量的微分值，从而得到新的被积函数和被积区域。
例如，对于二重积分∬Dx^2y dxdy，如果我们令u=xy，v=y，那么在新的变量下，原式可化为∬D(u/v)dvdu。
此时，我们需要通过计算出u和v的微分值，将原被积函数与被积区域进行转化，从而得到简洁的结果。
2. 极坐标法极坐标法常用于解决被积区域的对称性问题。
通过将二维平面上的坐标系转化为极坐标系，可以轻松地描述出各种对称图形的被积区域，并简化计算过程。
例如，对于二重积分∬Dxy dxdy，如果我们将被积区域D转化为极坐标系下的区域，可以得到简化后的被积函数为∫0^πdθ∫0^Rρ^3sinθcosθdρ。
此时，我们只需要进行简单的积分运算，就可以得到最终的结果。
3. 分部积分法分部积分法常用于解决被积函数中的乘积项问题。
通过将乘积项拆分成不同的部分，并对每一部分进行不同的求导和积分操作，可以简化被积函数的形式，并且可以将原式化简为更易于计算的形式。
高等数学 上、下册9_2 二重积分的计算法
二重积分化为二次积分计算 时，确定二次积分的积分限是一 个关键.为此，应先画出积分区域
y
B D
图，如果区域是 X-型区域(图9 7), A
在区间a,b上任意取定一点 x，并
过此点作一条平行于 y 轴的直线， 顺着 y 轴正向看去，点 A 是这条直
O ax 图 9-7
b
线穿入区域 D 的点，这点的纵坐标 1(x)就是积分的下限；点
于是得曲顶柱体的体积 V 为
V
b
S (x)dx
a
b a
2 (x) 1 ( x)
f
(
x
,
y
)
d
y
d
x
从而有
D
f (x, y)d
b a
2 ( x) 1 ( x)
f
(x,
y)dy
dx
(1)
或写成
f (x, y)d
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
D
a
1 ( x)
(1')
D
示，又是Y 型的，可用不等
式 1( y) x 2 ( y),c y d c
表示 (图9 6) ，由公式 (1) 和 O a
b
(2) 就有
图 9-6
bdx2(x) f(x,y)dy ddy2(y) f(x,y)dx
a 1(x)
c
1(y)
(3)
公 式 (3)常 用 来 交 换 二 重 积 分 的 积 分 次 序 .
y
y 2(x)
D
y 1(x)
Oa
b
(a )
y
y 2(x)
D
y 1(x)
x
二重积分的计算法
二重积分的计算法二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算平面上的曲线或曲面的面积、质量、质心等物理量。
本文将以二重积分的计算法为主题，介绍二重积分的概念、计算方法以及一些应用。
一、二重积分的概念在平面上，设有一个有界闭区域D，可以将其分割为许多小的面积元素。
二重积分的概念就是将这些小的面积元素累加起来，从而求得整个区域D的面积。
一般来说，二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA其中，f(x,y)是定义在D上的一个函数，dA表示面积元素的微元。
二、二重积分的计算方法1. 通过直接定积分计算：如果D可以用简单的几何图形表示（如矩形、三角形等），那么可以通过直接计算定积分的方法求得二重积分的值。
具体计算方法如下：将D分割为若干个小矩形或小三角形，然后计算每个小面积元素的面积，最后将这些小面积元素的面积相加即可得到二重积分的值。
2. 通过极坐标变换计算：当被积函数f(x,y)具有一定的对称性时，可以通过极坐标变换将二重积分转化为极坐标下的积分。
具体的计算方法如下：设有二重积分∬D f(x,y) dA，通过极坐标变换可以将其转化为∬D' g(r,θ) r dr dθ的形式，其中g(r,θ)是原函数f(x,y)在极坐标下的表示形式。
3. 通过变量代换计算：当被积函数f(x,y)在直角坐标系下比较复杂，难以直接计算时，可以通过变量代换的方法将其转化为简单的形式，从而计算二重积分的值。
具体的计算方法如下：设有二重积分∬D f(x,y) dA，通过变量代换可以将其转化为∬D' f(u,v) |J| du dv的形式，其中(u,v)是变量代换后的坐标，|J|是变换的雅可比行列式。
三、二重积分的应用1. 计算平面图形的面积：二重积分可以用来计算平面上的曲线或曲面的面积。
通过将曲线或曲面分割为小的面积元素，并将其面积相加，可以得到整个曲线或曲面的面积。
2. 计算质量和质心：对于有一定密度分布的平面图形，可以用二重积分来计算其质量和质心。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将讨论二重积分的计算方法，包括直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
首先，我们来看直角坐标系下的二重积分计算方法。
设函数f(x, y)在闭区域D上连续，要计算二重积分∬D f(x, y) dxdy。
其中D是有界闭区域，可以表示为D={(x, y)|a≤x≤b, c≤y≤d}。
我们可以将D分割成若干个小区域，每个小区域用矩形来逼近，然后计算每个小矩形的面积乘以函数值的和，再对所有小矩形的面积和进行求和，即可得到二重积分的近似值。
当小矩形的数量趋向于无穷大时，即可得到二重积分的精确值。
接下来，我们来看极坐标系下的二重积分计算方法。
在极坐标系下，二重积分的计算通常更加简便。
设函数f(r, θ)在闭区域D 上连续，要计算二重积分∬D f(r, θ) r drdθ。
其中D可以表示为D={(r, θ)|α≤θ≤β, g(θ)≤r≤h(θ)}。
在极坐标系下，我们可以直接利用极坐标系下的面积元素r drdθ来进行计算，即将函数f(r, θ)乘以r后再进行积分即可得到二重积分的值。
除了直角坐标系和极坐标系外，二重积分还可以在其他坐标系下进行计算，如柱坐标系、球坐标系等。
不同的坐标系下，二重积分的计算方法会有所不同，但原理都是类似的，即将闭区域分割成小区域，然后计算每个小区域的面积乘以函数值的和，再对所有小区域的面积和进行求和。
在实际应用中，二重积分常常用于计算平面图形的面积、质心、转动惯量等物理量，以及计算二元函数在闭区域上的平均值、方差等统计量。
因此，掌握二重积分的计算方法对于深入理解微积分的应用具有重要意义。
总之，二重积分的计算方法是微积分中的重要内容，通过对不同坐标系下的二重积分进行计算，可以更好地解决实际问题。
希望本文对读者对二重积分的计算方法有所帮助。
高等数学9-2'利用极坐标系计算二重积分
二重积分的性质
总结词
二重积分具有可加性、可交换性、可分解性和可积性等性质。
详细描述
二重积分具有可加性，即如果两个平面区域的边界曲线可以相加或相减，那么它们的二重积分也可以相加或相减。 二重积分还具有可交换性，即积分区域和被积函数的顺序可以交换，不影响二重积分的值。此外，二重积分还具 有可分解性和可积性等重要性质，这些性质在计算二重积分时非常有用。
ERA
二重积分的定义与几何意义
总结词
二重积分是定积分的一种扩展，用于计算二维曲面的面积。
详细描述
二重积分是高等数学中的重要概念，它表示一个函数在平面区域上的累积效果。通过二 重积分，我们可以计算平面曲线的长度、平面图形的面积以及立体的体积等。二重积分
的几何意义是二维曲面的面积，即由函数z=f(x,y)所确定的曲面的面积。
05
总结与思考
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
本章内容的总结
极坐标系的基本概念 极坐标系是二维平面上的一个坐标系，其中每个点由一个距离和一个角度确定。
极坐标系中的基本元素包括极点、极轴、极径和极角。
本章内容的总结
二重积分的极坐标形式
二重积分在极பைடு நூலகம்标系中的表示形式与直角坐标系 有所不同。
极坐标系中的二重积分可以表示为对面积的积分， 其中面积由极径和角度确定。
本章内容的总结
极坐标系中的面积元素
1
2
在极坐标系中，面积元素是极径和角度的函数。
3
掌握面积元素的计算对于理解和计算二重积分至 关重要。
本章内容的总结
二重积分的计算方法
利用极坐标系计算二重积分的基本步骤包括：选择合适的积分次序、将直角坐标 转换为极坐标、选择适当的面积元素进行积分。
二重积分的计算方法资料
二重积分的计算方法资料二重积分是微积分中的重要内容，在物理、工程、统计学等领域都有广泛应用。
本文将介绍二重积分的计算方法，包括定积分计算与几何应用两个方面。
一、定积分计算方法（一）极坐标下的二重积分计算：在极坐标下，平面上的一个点可以用极径和极角来表示。
设区域D由曲线r=f(θ)和两直线θ=a，θ=b（0≤a≤b≤2π）所围成。
要计算D上的二重积分，可以通过极坐标转换来简化计算。
1.若函数f为连续函数，则有二重积分I = ∬D f(x,y) dA = ∫ab ∫f(r，θ) r dθ dr2.计算时，先按θ积分，再按r积分。
3.需要注意的是，r的取值范围是由f(θ)和直线θ=a，θ=b所围成的区域。
（二）直角坐标下的二重积分计算：在直角坐标系下，可以利用定积分的性质计算二重积分。
设区域D的上下界分别为y=g1(x)和y=g2(x)（a≤x≤b），则有二重积分I = ∬D f(x,y) dA = ∫ab ∫g2(x) g1(x) f(x,y) dy dx1.计算时，先按y积分，再按x积分。
2.需要注意的是，y的取值范围是由g1(x)和g2(x)所围成的区域。
对于一些复杂的积分，可以通过换元法来简化计算。
一般来说，选择适当的变量替换可以使原积分转化为更简单的形式。
1.平面区域变换：设变换为x = φ(u,v)，y = ψ(u,v)，则有 dA = ，J， du dv，其中J为变换的雅可比行列式，可利用行列式的性质计算。
2.极坐标变换：设变换为x = r cos(θ)，y = r sin(θ)，则有dA = r dr dθ。
3.球坐标变换：设变换为x = ρ sinφ cosθ，y = ρ sinφ sinθ，z = ρcosφ，则有dV = ρ^2 sinφ dρ dφ dθ。
（四）离散型二重积分与曲边梯形面积：如果函数f(x,y)是有界函数，并且在区域D上有无穷多个不连续点，则可以通过计算曲边梯形面积来近似计算二重积分：I ≈ ∑f(xi,yi) ΔA = ∑f(xi,yi) Δx Δy其中(Δx,Δy)为曲边梯形的底边与两侧边长，(xi,yi)为底边上的任意点。
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2
已知 比较
x2 2 xyd [ xydx]dy [ y ] y dy 1 1 y 2 D
2 2
2
xyd dy xydx
D
1 y
2
2
2
1
x2 2 dy[ y ] y 2
xyd
D
2
1
ydy xdx
y
2
2
1
x2 2 y[ ] y dy 2
2 2 y 1 x y d D
(1, y) 1
y[
1
1
y
1
1 x 2 y 2 dx]dy ．
哪个二次积分容易计算？
例 例3 计算 xyd ，其中 D 是由直线 yx2 及抛物线 y2x 所
D
所围成的闭区域． 解 画出区域D，D 可表为DD1+D2：
1 ( x)
a
f ( x, y)dy
类似地，如果区域D 为Y 型区域：
D ： y1(y)xy2(y)，cyd .， 则有
二次积分
f ( x, y)d
D
d
c
dy
y 2 ( y)
y1 ( y )
f ( x, y )dx ．
例 1 例 1 计算 xyd ，其中 D 是由直线 y1、x2 及 yx 所围
其中 D1：0x1， x y x ；D2:1x4，x2y x ．于是
xyd xyd xyd [
D
D1
1
x
1
y
D2
0
x
xydy]dx [
1
4
x
x2
xydy ]dx ．
x=y2
O 1
D1 x 1
D2 x 4 x
例 例3 计算 xyd ，其中 D 是由直线 yx2 及抛物线 y2x 所
0 R
R
x
2
dx
D
x
R x2 y2 R 2
y
2 ( R 2 x 2 )dx R 3 ； 0 3
讨论 1．下列积分还可以怎样写？
[
0 R R2 x2 0 R2 x2
R x dy]dx dx
2 2 0
R
R2 x2
0 2 2
R 2 x 2 dy ，
x
曲顶柱体体积的计算： 设f(x，y)0，则以曲面z f(x，y)为顶， 以闭区域 D 为底的 曲顶柱体的体积为 V f ( x, y )d ． 设 D 为X型区域：
D
z
zf ( x, y )
D ： j1(x)yj2(x)，axb ． 任意取一点x0 [a，b] ，平面xx0
2
xyd [
D
2
y2
1
y2
6 1 y4 4 3 y 5 2 2 [ y 2 y ]1 5 ． 2 4 3 6 8
例4 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的 体积． 解 设这两个圆柱面的方程分别为x2y2R 2及x2z2R 2． 所求立体在第一卦限部分可以看
a
1
b
j2 ( x)
二重积分的计算公式：
设 D 为X型区域：
D ： j1(x)yj2(x)，axb ． 则有 或记为
f ( x, y)d [j
D
a
b
j2 ( x)
1 ( x)
f ( x, y )dy]dx ．
f ( x, y)d dxj
D
b
j2 ( x)
y x=y2
4
x
例3 计算 xyd ，其中 D 是由直线 yx2 及抛物线 y2x 所 例
D
所围成的闭区域． 解 画出区域D， D 也可表为：1y2，y2xy2． 于是
x 2 y2 1 2 xydx]dy [ y ] y 2 dy [ y ( y 2) 2 y 5 ]dy 1 2 2 1
例 2 计算 y 1 x 2 y 2 d ，其中 D 是由直线 y1、x1 例 2
D
及yx 所围成的闭区域． 解 画出区域D， 可把D看成是X型区域：1x1，xy1．
于是
2 2 y 1 x y d [ y 1 x y dy]dx
成是一个曲顶柱体，它的底为
2 2 D{(x，y)|0y R x ，0xR}，
z x2 z2 R 2
2 2 它的顶是柱面 z R x ．
O
D
x
R x2 y2 R 2
y
例4 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的 体积． 解 设这两个圆柱面的方程分别为x2y2R 2及x2z2R 2． 所求立体在第一卦限部分可以看
成是一个曲顶柱体，它的底为
2 2 D{(x，y)|0y R x ，0xR}，
2 2 它的顶是柱面 z R x ．
从而所求立体体积为
2 2 R x d V1 D
V8V1
O
16 3 R x2
0
R 2 x 2 dy]dx
2
[ R 2 x 2 y ]0 R
i ri sin q i ， 取 i ri cosq i ， ．
r=`ri i
D
q`qi
O
i
x
按二重积分的定义 f ( x, y )d =lim f ( i ,i ) i ． 0
dy 的乘积？
二． 利用极坐标计算二重积分
有些二重积分， 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表 示比较方便， 且被积函数用极坐标变量r 、q 表达比较简单． 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分 f ( x, y)d ．
D
按二重积分的定义 f ( x, y )d =lim f ( i ,i ) i ． 0
2 2 D
1
1
1
x
y 1 y=x
1 1 [(1 x 2 y 2 ) 2 ]1 x dx 1 3 1 1 (| x |3 1)dx 3 1 2 1 3 1 ( x 1)dx ． 3 0 2
3
(x, 1)
1 ( x, x)
O 1
1
x
例 2 计算 y 1 x 2 y 2 d ，其中 D 是由直线 y1、x1 例 2
D
成的闭区域． 解法1，画出区域D， 可把D看成是X型区域： 1x2，1yx ．
于是
xyd [
D
2
x
y 2
xydy ]dx
1
1
y=x ( x, y) 1yx (x, 1)
y x 1 2 3 [ x ]1 dx ( x x)dx 1 1 2 2 1
成是一个曲顶柱体，它的底为
2 2 D{(x，y)|0y R x ，0xR}，
z x2 z2 R 2
2 2 它的顶是柱面 z R x ．
O
D
x
R x2 y2 R 2
y
例4 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的 体积． 解 设这两个圆柱面的方程分别为x2y2R 2及x2z2R 2． 所求立体在第一卦限部分可以看
y=j 2 ( x)
截曲顶柱体得一截面， 其面积为
A( x0 )
j 2 ( x0 ) j1 ( x0 )
y
A(x0)
D O a x0 b x
f ( x0 , y)dy ．
根据求截面面积为已知的立体体
积的方法，曲顶柱体的体积为
b
y=j 1 ( x)
V A( x)dx a [ j ( x ) f ( x, y)dy]dx ．
D
所围成的闭区域． 解 画出区域D， D 也可表为：1y2，y2xy2． 于是
x 2 y2 1 2 xydx]dy [ y ] y 2 dy [ y ( y 2) 2 y 5 ]dy 1 2 2 1
2
xyd [
D
2
y2
1
y2
1 y O 1
D
2
2
y 2
y=x
1
y
1y2 y
1
( x, y)
(2, y)
2 x2 2 y3 [ y ] y dy ( 2 y ) dy 1 1 2 2 4 y 9 2 [ y 2 ]1 ． 8 8 2
O
1
y x2
2
x
应注意的问题： 已知 比较
y2 x xyd [ xydy ]dx [ x ]1 dx 1 1 1 2 D 2 x 2 y2 x xyd 1 dx 1 xydy dx[ x ]1 1 2 D 2 x 2 y2 x xyd 1 xdx 1 ydy x[ ]1 dx 1 2 D
§9．2 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
X型区域、 Y 型区域
直角坐标下二重积分的计算公式
应注意的问题
二、利用极坐标计算二重积分
极坐标下二重积分的计算公式
一、利用直角坐标计算二重积分
X型区域： D ： j1(x)yj2(x)，axb ． y y=j2(x) y=j1(x) y=j1(x) O a 例如：
1 D：0 x 4, x y x ． 2
y
y=j2(x)
b
x
O a
b
y 2 x=y2 D
O x=2y
x
4 x
Y 型区域： D ： y1(y)xy2(y)，cyd ． d y d x=y 2 ( y) y
x=y 1 ( y) c O 例如： D：0 y 2， y2 x