数学归纳法(1)
31-2.3数学归纳法(1)
2.3.1数学归纳法1教材分析人类对问题的研究，结论发现的认同，思维流程通常是观察→归纳→猜想→证明.猜想的结论对不对，证明是尤为关键的.运用数学归纳法解题时，有助于学生对等式的恒等变形，不等式的放缩，数、式、形的构造与转化等知识加强训练与掌握.对数学归纳法原理的理解，蕴含着递归与递推，归纳与推理，特殊到一般，有限到无限等数学思想和方法，对思维的发展起到了完善与推动的作用.一堂精彩的课不仅仅是传授给学生知识，更重要的是对学生能力的培养和情感的熏陶.根据本节课的特点及布鲁纳的教学目标，特设置一条明线：如何验证等差数列通项公式的正确性；一条暗线：如何验证由不完全归纳法得到的与正整数有关命题的真假.课时分配本课时是数学归纳法的第一课时，主要解决的是数学归纳法的原理及作用.教学目标重点: 了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法与技巧.难点：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力.知识点：数学归纳法证题的方法与应用范畴．能力点：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情．教育点：培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神．自主探究点：计算，观察，归纳，猜想，证明.考试点：正确运用数学归纳法.易错易混点：在验证1+=k n 命题的正确性时，极易脱离归纳假设.拓展点：链接高考.教具准备 实物投影机和电脑.课堂模式 基于问题驱动的诱思探究.一、创设情境首先给大家讲一个故事：从前有一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了.过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖.结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？答：因为有姓“万”的.对！有姓“万”的.员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”.通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？答：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的.）其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程.那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？答：有.例如等差数列通项公式的推导.很好.我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的.其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法.那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？答：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法.特点：特殊→一般.对.（投影展示有关定义）像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法.根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？（齐答）可靠.用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？不可靠.这是因为只考察了部分情况，结论不一定具有普遍性.是不可靠的.不妨再举一例()()()()1000321----=n n n n a n 容易验证01=a ，02=a ，03=a ，…，01000=a ，如果由此作出结论——对于任何*N n ∈，()()() 321---=n n n a n()01000=-n 都成立，那就是错误的.事实上，0!10001001≠=a .【设计意图】创设问题情境，激发学生兴趣，引发探究欲望，若时间允许也可看一段视频.二、探究新知请问同学们你们玩过多米诺骨牌吗？（没）玩过.（课堂气氛由刚才的沉思变得开始活跃）无论玩没玩过，下面我们一起来玩一下.（投影仪上进行生动、形象的骨牌演示）在观看骨牌玩法时，请思考：满足什么条件，骨牌可以全部倒下？假设第()*N k k ∈张骨牌倒下，保证第1+k 张骨牌倒下.这样就保证了可以递推下去，骨牌就可以全部倒下了，是吗？不是.我们不知道第k 张骨牌是否倒下了，从而我们是假设第k 张骨牌倒下.若第k 张骨牌倒下，需要第1-k 张骨牌倒下；若第1-k 张骨牌倒下，需要第2-k 张骨牌倒下，……，最后递归到需要第1张骨牌倒下，所以，还要有一个条件：第一张骨牌倒下.大家说有了这两个条件，骨牌是不是可以顺次的倒下呢？是.上面同学说得很好，要使骨牌全部倒下应满足两个条件（投影显示）第一个条件是：第一张骨牌倒下；第二个条件是：假设第k 张骨牌倒下，第1+k 张骨牌一定倒下.现在你能不能利用这种思想（递推思想）来证明等差数列通项公式呢？是不是应该建立一种递推顺序呢？1=n 时结论正确2=⇒n 时结论正确3=⇒n 时，结论正确，k n =⇒⇒ 时结论正确1+=⇒k n 时结论正确 ⇒由于这个过程推理方法是一样的，能否把这个过程一般化呢？假设k n =时结论正确1+=⇒k n 时结论也正确.这样就保证了递推.下面你能证明等差数列通项公式了吗？证明：（1）当1=n 时，左边1a =，右边110a d a =⋅+=，等式是成立的.（2）假设当k n =时等式成立，就是d k a a k )1(1-+=，下面看看是否能推出=n 1+k 时等式也成立，那么1+k a 等于什么？ []d k a a k 1)1(11-++=+.哦！看来1+=k n 时等式也成立，这样做对吗？（齐答）不对.注意在证1+=k n 时，一定要用到归纳假设，k n =时等式成立这一步，因为这样才能保证递推，那么1+k a 与k a 有什么关系呢？（学生齐答，教师继续板书）[]d d k a d a a k k +-+=+=+)1(11[]d k a 1)1(1-++=.这就是说，当1+=k n 时，等式也成立，大家说有了这两步，是不是就证明了等差数列通项公式的正确性了呢？1=n 时等式成立2=⇒n 时等式成立3=⇒n 时等式成立⇒……所以n 取任何正整数等式都成立. 这种证明方法叫做数学归纳法，那么你能谈谈什么是数学归纳法，及其用数学归纳法证题的步骤是怎样的呢？（在学生交流，教师引导完善下）数学归纳法（证明一个与正整数有关的命题的步骤）是：（投影跟踪给出）.（1）证明当n 取第一个值0n （例如10=n 或2等）时结论正确；（2）假设当k n =（*N k ∈，且0n k ≥）时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确.根据（1）和（2），可知命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确.所以数学归纳法是证明一个与正整数有关的命题的一种方法.概括起来就是“两个步骤，一个结论.”用数学归纳法证题，实质是一种什么思想？递推思想.在递推中，两个步骤各起到了怎样的作用呢？第一步是奠基，是递推的基础，第二步是保证能够递推，是递推的依据.（此时投影上注明）这两步可以缺少哪一步吗？（学生举例说明，教师点评，投影上也举出实例，从而明确）两步缺一不可.我们已经知道，由不完全归纳法得到的结论不可靠，因而必须作证明.若命题是与正整数有关的，证明可考虑用数学归纳法.下面请同学们看一道例题.【设计意图】动手实践，体验“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”的深刻道理，准确计算，提高猜想的正确率，留一点时间让学生把例子再进行证明一下.三、理解新知1．归纳法⎩⎨⎧完全归纳法不完全归纳法 特点：特殊→一般2．数学归纳法概念及证题步骤.3．数学归纳法实质是递推思想.【设计意图】应用整合，强化新知，让学生进一步熟悉数学归纳法证题原理，触类旁通，做到烂熟于心.四、应用新知例1：用数学归纳法证明：()212531n n =-++++ （师生共同证题，总结出用数学归纳法证题的技巧是“一凑假设，二凑结论”.）证明：①当1n =时，左边=1，右边=1，等式成立②假设*(,1)n k k N k =∈≥时等式成立,即：()213521k k ++++-=，当1n k =+时：()2213521[2(1)1]21(1)k k k k k ++++-++-=++=+，所以当1n k =+时等式也成立由①和②可知，对*n N ∈，原等式都成立例2：求证：1+≤n 111++…+n 232-1. 证明：①当1n =时,易知结论正确.②假设当*(,1)n k k N k =∈≥时结论正确,即: 12+≤k 111++…+k 32-1则当1n k =+时,1+-+++-k k k 1k k+11111++…1122+12+22++23211 +++-≤k k k k+1111122+12+22k +1 +++k k k k1111222<k +<2k +1.（适度放缩到目标非常关键） 故当1n k =+时,结论也正确. 根据①②知,对一切正整数n ,结论正确.练习：用数学归纳法证明： 1．()121321+=++++n n n . 2．12222112-=++++-n n .3．首项是1a ，公比是q 的等比数列的通项公式是11-=n n q a a .【设计意图】通过具体题目进一步熟悉数学归纳法证题的技巧是“一凑假设，二凑结论”，提升认知境界，学会学习，为将来做好铺垫.五、课堂小结本节的中心内容是什么？为什么要学习数学归纳法？什么是数学归纳法？体现什么思想？（学生积极回答，从而自主地构建本节课的知识网络.）（投影展示）小结：1．归纳法⎩⎨⎧完全归纳法不完全归纳法 特点：特殊→一般2．数学归纳法概念及证题步骤.3．数学归纳法实质是递推思想.六、布置作业1、必做题：96P 题1,2.2、选做题： 1.是否存在常数,a b ,使得等式:⋅⋅222212n an +n ++…+=1335(2n -1)(2n +1)bn +2对一切正整数n 都成立,并证明你的结论.2.求证：*11(2,)n n N +>+≥∈n 111n ++…+2322. 3.求证：当5n ≥时，2n n ≥2.七、反思提升1.本节课的亮点是课件制作精良，易于学生接受，课堂容量大，题型全面，举一反三，触类旁通.2.本节课的不足之处是用数学归纳法证明不等式需要适度放缩难度较大，且是考试重点，引导力度有点不足.八、板书设计。
数学归纳法(1)导学案
课题★数学归纳法（1）编写人：张智亮姓名：组别学习目标了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.预习案探究案1.数学归纳法是用来证明某些与__________有关的数学命题的一种方法，步骤如下：(1)（归纳奠基）验证:当n取________________（n0∈*N）时,命题成立；(2)（归纳递推）在假设____________________时命题成立的前提下，推出当_________时,命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.2.用数学归纳法证明:首项为1a,公差为d的等差数列{}n a的前n项和公式为+=1naSn2)1(dnn-.3. 用数学归纳法证明:nn yx22-能被x+y整除（n是正整数）.例1.已知数列{}n a满足02111=-=+，aaann试猜想{}n a的通项公式并用用数学归纳法证明.探究案例2. 用数学归纳法证明:),1(1)1(+∈->+≥+Nnnnααα.训练案1. 用数学归纳法证明:nn21121......4121-=+++(n是正整数).2. 用数学归纳法证明:平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点个数f（n）=2)1(-nn.3. 用数学归纳法证明: 12＋22＋32＋…＋n2=61n(n+1)（2n＋1）2（n是正整数）.。
数学归纳法(1)
6.已知An
(1 lg
x)n , Bn
1 n lg
x
n(n 1) lg 2 2
x
其中n
N
,
n
3,
x
(1 10
,),
试比较 An与Bn的
大小, 并说明理由 .
分析：（1）当x=1时: （2）当x>1时:
（3）当0.1<x<1时: (数学归纳法证明）
假设当n
k(k
3)时有Ak
Bk ,即(1 lg
1.已知f (n) 1 1 1 1 ,则当n 1时
23
3n 1
左边
2.用数学归纳法证明: (n 1)(n 2) (n n) 2n 1 2 3 (2n 1)(n N ), 从k到k 1左端需增乘的代数式为
3.已知f (n) 1 1 1
n1 n 2
3n 1
则f (k 1) f (k)
(3 2
sk
2)
0
c sk
由于sk
4(1
1 2k
)
4, sk
(3 2
sk
2)
2
1 2
sk
0
则
3 2
sk
2
c 3
sk
……（※）
3
sk1 sk 2 sk 2 2 s1 2 1
又sk 4 1 c 4
c N c 2或3
3
（1）当C=2时，由于S1=a1=2,那么当k=1时，
2
[分析] :
sn
2[1 (1 )n ] 2
1 2
2[(1 )n 2
1]
(1)n 2
1 2
sn
1
2.3 数学归纳法(1)
2.3 数学归纳法(1)对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.试试：你能证明数列的通项公式1na n =这个猜想吗? 反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.※ 典型例题例1 用数学归纳法证明变式：用数学归纳法证明小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.例2 用数学归纳法证明:首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-,前n 项和的公式是1(1)2n n nS na d -=+. 变式：用数学归纳法证明:首项是1a ,公比是q 的等差数列的通项公式是11n n aa q -=,前n 项和的公式是1(1)1n na q S q -=-.(1q ≠) 小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题. ※ 动手试试练1. 用数学归纳法证明:当n 为整数时,练2. 用数学归纳法证明:当n 为整数时,【学习反思】※ 学习小结1. 数学归纳法的步骤2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.※ 知识拓展意大利数学家皮亚诺总结了正整数的有关性质,并提出了关于正整数的五条公理,后人称之为“皮亚诺公理”.数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理. 【基础达标】※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 用数学归纳法证明：22111(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为 A.1 B.21a a ++ C.1a + D.231a a a +++2. 用数学归纳法证明))(12(312)()3)(2)(1(*N n n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅=++++ 时，从n=k 到n=k+1，左端需要增加的代数式为 A. 12+k B.)12(2+k C. 112++k k D. 132++k k 3. 设*111()()122f n n N n n n =+++∈++，那么)()1(n f n f -+等于（ ） A. 121+n B.221+n C. 221121+++n n D. 221121+-+n n 4. 已知数列}{n a 的前n 项和)2(2≥=n a n S n n ，而11=a ，通过计算432,,a a a ，猜想=n a 5. 数列}{n x 满足1221,3x x ==，且11112n n n x x x -++=（2≥n ），则=n x .【拓展提升】1. 用数学归纳法证明:2. 用数学归纳法证明:。
数学归纳法PPT优秀课件(1)
证明 1当 n1时 ,式 左右两边 1,即 都这 等 时等 成 式.立 2 假 n 设 k k 1 时 当 等 成 ,即 式 立 1 3 5 1 k 2 k 1 1 k k .
但是正整数是无限,多我个们无法对它们一一验
证.所以,通过验证的方法无成 法证 完明.
要证明这个,必 问须 题寻找一种有骤限 ,就个步 能够处理完无限象多的个方对 . 法
我 们 先 从 多 米 诺 骨 牌 游 戏 说 起 .这 是 一 种 码 放骨牌的游戏,码放时保证任意相邻的两块 骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后一块 骨 牌 倒 下.这 样, 只 要 推 倒 第1块 骨 牌,由 于 第1 块骨牌倒下,就可导致第2块骨牌倒下;而第 2 块 骨 牌 倒 下, 就 可 导 致 第3块 骨 牌 倒 下 最 后, 不 论 有 多 少 块 骨 牌 , 都 能 全 部 倒 下.
数学归纳法
一、提出问题
在数学研究中 , 人们会遇到这样的情况 , 对于
任意正整数 nn N 或不小于某个数 n0 的 任意正整数 n n N , n n0 , 都有某种不等
关系成立 .为表达这样的关系 , 就出现了与无 数多个正整数相关的不 等式 , 例如 :
| sin n | n | sin | n N , n2 2n n N , n 5, 1 xn 1 nx x 1, n N .
的 乘 积 a 1 a 2 a n 1 ,那 么 它 们 的 和 a 1 a 2 a n n . 分析这是与正整数密切 的相 不关 等,它 式的形式 简洁和.用 谐数学归纳法证明 ,应它 注时 意利n用 个 正数的乘积 1的为条件 ,并对什么是归纳假 由设 它和 要递推的目标心.中有数
数学归纳法(1)
数学归纳法（1）考情分析1、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．2、初步能用数学归纳法证明整除和不等式问题。
1. 若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N )，则n ＝1时，f(n)＝________. 2. (选修22P 88练习题3改编)用数学归纳法证明不等式“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取为________．3. 设f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f(k ＋1)－f(k)＝________.1. 由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2. 对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n 取第1个值n 0时，命题成立；然后假设当n ＝k(k ∈N ，k ≥n 0)时命题成立；证明当n ＝k ＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：(1) 归纳奠基：证明凡取第一个自然数n 0时命题成立；(2) 归纳递推：假设n ＝k(k ∈N ，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立；(3) 由(1)(2)得出结论．例1 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n ＋7)·3n ＋9(n ∈N *)能被36整除．证明：(1) 当n ＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．(2) 假设n ＝k 时，f(k)能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)，由归纳假设3[(2k ＋7)·3k ＋9]能被36整除，而3k －1－1是偶数，所以18(3k －1－1)能被36整除．所以n ＝k ＋1时，f(n)能被36整除．由(1)(2) 知，对任何n ∈N ，f(n)能被36整除．变式练习若5n ＋2×3n －1＋1(n ∈N *)能被正整数m 整除，请写出m 的最大值，并给予证明．解：当n ＝1时，51＋2×30＋1＝8，∴m ≤8.下证5n ＋2×3n －1＋1(n ∈N *)能被8整除．①当n ＝1时已证；②假设当n ＝k(k ∈N *)时命题成立，即5k ＋2×3k －1＋1能被8整除．则当n ＝k ＋1时，5k ＋1＋2×3k ＋1＝5·5k ＋6·3k －1＋1＝(5k ＋2×3k －1＋1)＋4(5k ＋3k －1)．∵5k ＋2×3k －1＋1能被8整除，而5k ＋3k －1为偶数，∴4(5k ＋3k －1)也能被8整除，即当n ＝k ＋1时命题也成立．由①②，得m 的最大值为8.例2 用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n)＝n (3n ＋1)2(n ∈N *)． 证明：(1) 当n ＝1时，左边＝2，右边＝1×(3＋1)2＝2＝左边，等式成立． (2) 假设n ＝k 时等式成立，即(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k)＝k (3k ＋1)2.则当n ＝k ＋1时，左边(k ＋2)＋(k ＋3)＋…＋(k ＋k)＋(k ＋k ＋1)＋(k ＋k ＋2)＝[(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k)]＋3k ＋2＝k (3k ＋1)2＋3k ＋2＝3k 2＋7k ＋42＝(k ＋1)(3k ＋4)2＝(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]2，∴n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)和(2)知对任意n ∈N *，等式成立．变式练习证明：对任意的正整数n 都有()()61213212222++=++++n n n n K 成立。
数学归纳法(1)
数学归纳法（1）一、填空题1．用数学归纳法证明2n >2n ＋1，n 的第一个取值应是________．2．用数学归纳法证明：时，在验证成立时，左边所得的代数式是______________．3．用数学归纳法证明2321422n n n +=+⋅⋅⋅+++，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上________．4．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，给出以下说法：①f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13；②f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14；③f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13；④f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14.则上述说法正确的序号是________． 5．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是________．6．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324(n >2)的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边________(填序号)．①增加了一项：12(k ＋1)； ②增加了两项：12k ＋1，12(k ＋1)； ③增加了两项：12k ＋1，12(k ＋1)，又减少了一项：1k ＋1； ④增加了一项：12(k ＋1)，又减少了一项：1k ＋1. 7．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为________． 8．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可以推出n ＝k ＋1时该命题也成立．给出以下说法：①n ＝4时该命题成立；②n ＝4时该命题不成立；③n ≥5，n ∈N *时该命题都成立；④可能n 取某个大于5的整数时该命题不成立．现已知n ＝5时该命题成立，那么上述说法正确的序号是________．9．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成立，推理n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________．10．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，利用归纳法假设证明n ＝k ＋1时，只需展开________(填“(k ＋3)3、(k ＋2)3、(k ＋1)3、(k ＋1)3＋(k ＋2)3”中的其中一个)．11．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则其一般结论为________． 12．对于任意的正整数k ，用)(k g 表示k 的最大奇因数，例如⋅⋅⋅===3)3(,1)2(,1)1(g g g令*∈⋅⋅⋅++=N n g g g n f n 其中),2()2()1()(，则当时，2≥n )1()(-n f n f 与的关系式是二、解答题 ()()()1221121n n n ++++=++1n =13.用数学归纳法证明：)(12)12)(12(1531311*∈+=+-+⋅⋅⋅+⨯+⨯N n n n n n ．14.用数学归纳法证明:*∈+-=--+⋅⋅⋅+-+-N n n n n n ),12()2()12(4321222222．15.用数学归纳法证明:）． 1111++++>*,1n N n ∈>16.已知数列的前项和为，且满足． （1）计算的值； （2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想． n n S ()121,223n n n a S a n S =-++=≥1234,,,S S S S n S。
369.高中数学教案选修2-2《2.3 数学归纳法(1)》
教学目标：1．理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤．2．通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法．教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法．教学难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．教学过程：一、预习1．问题：很多同学小时候都玩过这样的游戏，（教具摆设）就是一种码放砖头的游戏，码放时保证任意相邻的两块砖头，若前一块砖头倒下，则一定导致后一块砖头也倒下，这样只要推倒第一块砖头就会导致全部砖头都倒下（这种游戏称为多米诺骨牌游戏）．思考 这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？只要满足以下两个条件，所有的多米诺骨牌都能倒下：（1）__________________________________________________；（2）__________________________________________________．思考 你认为条件（2）的作用是什么？思考 如果条件（1）不要，能不能保证全部的骨牌都倒下？2．我们知道对于数列{a n }，已知a 1＝1，且11n n na a a ＋＝＋（n ＝1，2，3…）通过对n ＝1，2，3，4，前4项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为1n a n＝，但归纳推理得出的猜想不一定成立，必须通过严格的证明．要证明这个猜想，同学们自然就会从n ＝5开始一个个往下验证，当n 较小时可以逐个验证，但当n 较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n 取所有正整数时，逐个验证是不可能的．能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立．思考？你认为证明数学的通项公式是1nan＝，这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？多米诺骨牌游戏原理通项公式1nan＝的证明方法（1）第一块骨牌倒下．（1）当n＝时，猜想成立（2）若第k块倒下时，则相邻的第k＋1块也倒下．（2）若当n＝时，猜想成立，即，则当n＝时，猜想也成立，即．根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下．根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立．证明：（1）．（2）假设，3．小结．数学归纳法的定义：一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立．（2）（归纳递推）假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．用框图表示为：注 这两个步骤缺一不可，只完成步骤（1）而缺少步骤（2），就做出判断可能得出不正确的结论，因为单靠步骤（1），无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤（2）而缺少步骤（1），也可能得出不正确的结论，缺少步骤（1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）也就没有意义了．二、课堂训练例1 证明等差数列通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ．例2 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n －1）＝2n ．例3 用数学归纳法证明 12＋22＋32＋…＋n 2＝(1)(21)6n n n ＋＋（n ∈N *）． 练习：用数学归纳法证明：－1＋3－5＋…＋(－1)n (2n －1)＝(－1)n n ．三、巩固练习 1．用数学归纳法证明：“()2211111n n a a a a a n a +N ＋＋－＋＋＋＋＝≠∈－，” 在验证n ＝1成立时，左边计算所得的结果是 ．2．已知：111()1231f n n n n ⋅⋅⋅＝＋＋＋＋＋＋，则(1)f k ＋等于 ． 3．用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝1(1)(2)3n n n ＋＋． 4．用数学归纳法证明：2222121(1)1234(1)(1)2n n n n n －－＋－＋－＋＋－＝－． 四、小结重点：两个步骤、一个结论；注意：奠基基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．五、作业课本P94第1，2，3题．〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．。
4-5.4.1数学归纳法及其应用举例(1)
证明：(i)当n＝1时，34×1+2＋52×1+1＝754＝14×16， ∴当n＝1时，34n+2＋52n+1能被14整除． (ii)设n＝k(k≥1，k∈N*)时，34k+2＋52k+1能被14整除． 那么当n＝k＋1时
34(k+1)+2＋52(k+1)+1＝34k+2· 34＋52k+1· 52 ＝81· 34k+2＋25· 52k+1 ＝(25＋56)· 34k+2＋25· 52k+1
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2
3）当n=k+1时，命题的形式是
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1) +(k+1)[3(k+1)+1] =(k+1)[(k+1)+1]2
4）此时，左边增加的项是
(k+1)[3(k+1)+1]
5)从左到右如何变形？
证明： （1）当n=1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，等式成立。 （2）假设 n= k时 命题成立，即 1× 4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2 当n=k+1时 左边=1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)
k k 1 k 1 k 1
5(5 2 3 1) 4(3 1) 5 Ak 4(3 1) 因为 Ak 是 8 的倍数,3k-1 +1 是偶数即 4(3k-1 +1)也是 8 的倍数,所以 Ak+1 也是 8 的倍数 ,即当 n=k +1 时,命题成立. 由(1)、(2)知对一切正整数 n, An 能被 8 整除.
《数学归纳法》教案1(附知识点归纳 典型例题 练习训练题)
选修2-2 《数学归纳法》 教案一. 教学内容：数学归纳法二. 重点、难点：数学归纳法步骤：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值0n （*0N n ∈）时命题成立。
（2）（归纳递推）假设),(*0N k n k k n ∈≥=时命题成立，证明当+=k n 1时命题也成立。
【典型例题】[例1] *N n ∈求证：n n n n n 212111211214131211+++++=--++-+-ΛΛ。
证明： （1）1=n ，左-=1=21=21右，成立（2）假设k n =时成立 即：k k k k 2111211214131211+++=--++-+-ΛΛ 当1+=k n 时，左=22112121121211+-++--++-k k k k Λ 2213121)22111(1212131212211212111++++++=+-+++++++++=+-+++++=k k k k k k k k k k k k k ΛΛΛ =右即1+=k n 时，成立综上所述，由（1）（2）对一切*N n ∈命题成立。
[例2] *N n ∈求证：2222)12(2)2()12(3221+⋅-⋅-++⋅-⋅n n n n Λ )34)(1(++-=n n n 证明：（1）1=n ，左=4－18=－14=（—1）×2×7=右（2）假设k n =时成立即：2222)12(2)2()12(3221+⋅-⋅-++⋅-⋅k k k k Λ)34)(1(++-=k k k 当1+=k n 时左2222)12(2)2()12(3.22.1+⋅-⋅+++-=k k k k Λ]3)1(4][1)1[()1()74)(2)(1(]141234)[1(]76)[1(2)34)(1(])32()22)(12)[(22()34)(1()32()22()22()12(2222++++⋅+-=+++-=++++-=--++++-=+-++++++-=+⋅+-+⋅++k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k =右即：n=k+1时成立综上所述由（1）（2）命题对一切*N n ∈成立另解：令}{n a 中，2213221⋅-⋅=a22)12(2)2()12(+⋅-⋅-=n n n n a n ∴]212[)16(22n n n n a n +-=+-= )]21(2)21(12[22221n n a a a S n n +++++++-=+++=ΛΛΛ )34)(1()]1()12)(1(2[++-=++++-=n n n n n n n n[例3] *N n ∈求证：12)1211()311)(11(+>-+++n n Λ证明：（1）n=1 左=1+1=2==>34右（2）假设n=k 时成立 即：12)1211()311)(11(+>-+++k k Λ当1+=k n 时，左1222)1211(12++=++⋅+=k k k k 欲证：左=++>1)1(2k 右12)32)(12()22()32()1222(222+++-+=+-++k k k k k k k 0121>+=k ∴ 左边321222+>++=k k k ∴ 1+=k n 时成立 综上所述由（1）（2）对一切*N n ∈命题成立[例4] 对于*N n ∈，≥n 2，求证：n n 12131211222-<++++Λ。
数学归纳法1
自学检测:
P88
2，3
行动起来吧 你才有机会
一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们 有数学归纳法公理
如果 (1)当n取第一个值 n0 （例如 n0 1,2等）时结论正确； (2)假设当 n k (k N * , 且k n0 )时结论正确，证 明当 n k 1时结论也正确。 那么，命题对于从 n0开始的所有正整数 n都成立。
2
行动起来吧 你才有机会
例3用数学归纳法证明： n(n 1)(2n 1) 当n N * 时， 2 n 1 6
2 2 2
行动起来吧 你才有机会
分层训练
必做题 P88 4，5
作 业
P91
1，2
行动起来吧 你才有机会
行动起来吧 你才有机会
数学归纳法
高二数学组 2008年3月16日
行动起来吧 你才有机会
学习目标:
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一 些简单的数学问题
自学指导:
1、数学归纳法用来证明怎样的数学命题？ 2、什么是数学归纳法？试解释数学归纳法的原理。 3、用数学归纳法解题时，为什么两个步骤缺一不可？ 在第一步中要验证的第一个值一定是1吗?是不是要多 验证几个值?
我们已经用归纳法得到许多结论，例如等差数 列 {a n } 的通项公式
an a1 ห้องสมุดไป่ตู้( n 1) d
自然数平方和公式
n(n 1)( 2n 1) 1 2 n 6
2 2 2
这些命题都与自然数有关。自然数有无限多个，我们 无法对所有的自然数逐一验证，那么 *怎样证明一个与自然数有关的命题呢？
数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据。
数学归纳法教学设计完整版课件(1)
数学归纳法教学设计完整版课件一、教学内容本节课的教学内容选自高中数学教材《数学归纳法》章节。
详细内容包括：数学归纳法的定义、数学归纳法的基本形式、数学归纳法证明的步骤、数学归纳法在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握数学归纳法的基本形式和证明步骤。
2. 能够运用数学归纳法解决一些简单的数学问题，提高逻辑推理能力。
3. 了解数学归纳法在实际问题中的应用，培养解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明步骤的理解和运用。
教学重点：数学归纳法的定义、基本形式和证明步骤。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：课堂练习本、教材。
五、教学过程1. 实践情景引入（1）提出问题：请问同学们，你们知道如何计算1+2+3++100的结果吗？（2）引导学生通过观察、猜想、验证等方法，得出1+2+3++100=5050。
2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的定义和基本形式。
（2）通过例题，演示数学归纳法证明的步骤。
3. 随堂练习（1）让学生独立完成教材中的练习题，巩固数学归纳法的证明步骤。
（2）教师对学生的解答进行点评，指出问题所在，引导学生掌握正确的证明方法。
4. 知识拓展（1）介绍数学归纳法在实际问题中的应用，如：递推关系、数列求和等。
（2）让学生尝试运用数学归纳法解决实际问题。
六、板书设计1. 板书数学归纳法的定义、基本形式和证明步骤。
2. 在讲解例题时，将关键步骤和结论板书在黑板上。
七、作业设计1. 作业题目：（1）教材课后习题1、2、3。
（2）运用数学归纳法证明：对于任意正整数n，有2^n > n。
2. 答案：（1）教材课后习题答案见教材。
（2）证明：当n=1时，2^1 > 1，结论成立。
假设当n=k时，2^k > k成立，则当n=k+1时，2^(k+1) = 2×2^k > 2k > k+1。
所以，对于任意正整数n，2^n > n。
1.数学归纳法(1)
数学归纳法（1）运用数学归纳法证明问题时，关键是n ＝k ＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
Ⅰ、再现性题组：1. 用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n·1·2…(2n －1) （n ∈N ），从“k 到k ＋1”，左端需乘的代数式为（ ） A. 2k ＋1 B. 2(2k ＋1) C. 211k k ++ D. 231k k ++ 2. 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121n -<n (n>1)时，由n ＝k (k>1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的代数式的个数是（ ）A. 2k -1B. 2k －1C. 2kD. 2k＋1 3. 某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N)时该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立。
现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得（ ） (94年上海高考)A.当n ＝6时该命题不成立B.当n ＝6时该命题成立C.当n ＝4时该命题不成立D.当n ＝4时该命题成立4. 数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时a n ＝a n -1＋2n －1，依次计算a 2、a 3、a 4后，猜想a n 的表达式是（ ） A. 3n －2 B. n 2 C. 3n -1 D. 4n －3 5. 用数学归纳法证明342n +＋521n + (n ∈N)能被14整除，当n ＝k ＋1时对于式子3412()k ++＋5211()k ++应变形为_______________________。
6. 设k 棱柱有f(k)个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。
高中数学：数学归纳法(一)课件新课标人教A版选修2-2
证明： (1)当n=1时a1 =1成立
1 (2)假设n=k时猜想成立即 a k k 1
则n=k+1时,a k+1 ak k 1 1 ak 1 1 k 1 k
即n=k+1时猜想也成立
根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.
练习：1、如果{an}是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。
归纳递推
命题对从n0开始的所有 的正整数n都成立。
注：两个步骤,一个结论,缺一不可
思考：用数学归纳法证明:当 n N
证明：①当n=1时，左边＝
1 3 5 .......... (2n 1) n
证明 假设 当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立， 2. 当n=k+1时命题也成立。
这种证明方法就叫做 数学归纳法 。
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
例1：用数学归纳法证明：
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
3
1 n(n 1)(n 2) 3
证明: 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= 1 ×1×2×3 =2. 命题成立
(k 1)(k 2)
利 用 假 设
1 ( k 1) (k 1)(k 2) 3
1 ( k 1)k 1 1k 1 2 = 3
凑结论
∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当
n N ，命题正确。
数学归纳法步骤，用框图表示为：
验证n=n0时 命题成立。 归纳奠基
1 1 1 1 答案： 3K 2 3K 3 3K 4 K 1
数学归纳法(1) 教案Microsoft Word 文档
[课题2-3]数学归纳法（1）教案备课时间：01—26上课时间：02—主备：班级： 姓名： [学习目标]：（1）了解数学归纳法原理。
（2）能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
（3）高考A 级要求。
[学习重点]：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
[学习难点]：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
[学法指导]：在用数学归纳法证明命题时要弄清“ 归纳假设”是什么（即当k n =时，命题是什么），要证明的又是什么（即当k n =+1时命题是什么）。
[课前预习导学]：问题（1）：前面我们用归纳法得到了等差数列的通项公式和自然数平方和公式，你能证明吗？用什么方法证明？问题（2）：如何证明一个与自然数有关的命题呢？ [课堂学习研讨]：问题（3）：由“摸球”和“多米诺骨牌”的例子，你能归纳出数学归纳法原理吗？问题（4）：在用数学归纳法证明命题时应注意哪些问题？例1：用数学归纳法证明：等差数列{n a }中，1a 为首项，d 为公差，则通项公式为d n a a n )1(1-+=。
例2：用数学归纳法证明：当+∈N n 时，2)12(531n n =-++++例3：用数学归纳法证明：当+∈N n 时，6)12)(1(3212222++=++++n n n n[课内训练巩固]：(每空10分)1．在验证用数学归纳法证明6)12)(1(3212222++=++++n n n n （+∈N n ），当“1+=→=k n k n ”时，等式左边需添的项是 2．设123)1()1(321++++-++-++++= n n n a n ，通过计算 ,,,321a a a ，可以猜想=n a [课后拓展延伸]：例4：用数学归纳法证明：)(222211532+-∈+++++N n n 是31的倍数。
[课后练习]：（共50分）1．用数学归纳法证明)(222211532+-∈+++++N n n 是31的倍数时，从“1+=→=k n k n ”时需添的项是2．用数学归纳法证明：n n n n n -=-+--++-+-+)2()1()12()1(43211223．用数学归纳法证明：)2)(1(31)1(433221++=+++⨯+⨯+⨯n n n n n课后反思总结]：。
高中数学课件23数学归纳法1
高中数学课件2 3数学归纳法1一、教学内容本节课选自高中数学教材第二册第三章“数学归纳法”的第1节，主要内容包括数学归纳法的概念、应用以及数学归纳法证明的步骤。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握数学归纳法的基本思想。
2. 学会运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
3. 培养学生逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中，如何引导学生从特殊到一般、从具体到抽象的思考过程。
教学重点：数学归纳法的概念、证明步骤及应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2. 学具：教材、练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的数学问题，如：1+2+3++n求和，引导学生思考如何找到通项公式。
2. 例题讲解（1）数学归纳法概念及证明步骤通过讲解数学归纳法的基本概念，引导学生掌握数学归纳法的两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤。
（2）数学归纳法应用结合例题，讲解如何运用数学归纳法证明数学命题。
3. 随堂练习学生独立完成一些简单的数学归纳法证明题目，巩固所学知识。
4. 课堂小结六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法定义（2）数学归纳法证明步骤（3）数学归纳法应用例题七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：1+3+5++(2n1)=n^2（2）证明：1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^22. 答案：（1）证明：当n=1时，等式成立。
假设当n=k时，等式成立，即1+3+5++(2k1)=k^2。
当n=k+1时，等式左边=1+3+5++(2k1)+(2k+1)=(1+3+5++(2k1))+2k+1=k^2+2k+1=(k+1)^2。
所以，当n=k+1时，等式也成立。
对于任意正整数n，等式都成立。
（2）证明：当n=1时，等式成立。
假设当n=k时，等式成立，即1^3+2^3+3^3++k^3=(1+2++k)^2。
当n=k+1时，等式左边=1^3+2^3+3^3++k^3+(k+1)^3=(1+2++k)^2+(k+1)^3。
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S1 =
1 1 2 + = 1× 4 4 × 7 7
S3 =
1 1 1 3 + + = 1× 4 4 × 7 7 ×10 10
1 1 1 1 4 + + + = 1× 4 4 × 7 7 ×10 10 × 13 13 1 1 1 1 n 猜想:S n = + + +⋯+ = 1× 4 4 × 7 7 ×10 (3n − 2)(3n + 1) 3n + 1
练一练： 练一练： 1、（ ）分别计算 、（1）分别计算2,2+4，2+4+6，2+4+6+8的值； 的值； 、（ ， ， 的值 的结果； （2）根据（1）的计算猜想 ）根据（ ）的计算猜想2+4+6+……+2n的结果； 的结果 （3）用数学归纳法证明你的猜想。 ）用数学归纳法证明你的猜想。 解：1)2=2 2+4=6 2+4+6=12 2+4+6+8=20
错误 C、递推步骤 、 中没有用到归 纳假设。 纳假设。
2)猜想：2+4+6+……+2n=n(n+1) 猜想： 猜想 3)证明：用数学归纳法证明。 证明：用数学归纳法证明。 证明 i)当n=1是，左=2×1=2，右=1×（1+1）=2，等式成立。 当 是 × ， × ） ，等式成立。 ii)假设当 假设当n=k是，等式成立，即2+4+6+……+2k=k(k+1) 假设当 是 等式成立， 当n=k+1时， 2+4+6+……+2k+2（k+1）= 时 （ ）
解：
猜想:S n =
1 1 1 1 n + + +⋯+ = 1× 4 4 × 7 7 ×10 (3n − 2)(3n + 1) 3n + 1
1 1 = 1× 4 4
证明：用数学归纳法证明。 证明：用数学归纳法证明。
1 1 = 等式成立。 等式成立。 奠基步骤 i)当n=1时，左边 当 时 左边= 右边= 右边 3×1 +1 4 1 1 1 1 k + + +⋯+ = ii)假设当 假设当n=k是，等式成立，即 假设当 是 等式成立， 1× 4 4 × 7 7 ×10 (3k − 2)(3k + 1) 3k + 1
错误 B、貌合神离 、 直接将k换 （直接将 换 成了k+1） 成了 ）
2)猜想：2+4+6+……+2n=n(n+1) 猜想： 猜想 3)证明：用数学归纳法证明。 证明：用数学归纳法证明。 证明
i)当n=1是，左=2×1=2，右=1×（1+1）=2，等式成立。 当 是 × ， × ） ，等式成立。 ii)假设当 假设当n=k是，等式成立，即2+4+6+……+2k=k(k+1) 假设当 是 等式成立， 当n=k+1时， 2+4+6+……+2k+2（k+1）=(k+1)(k+2) 时 （ ） 等式也成立。 等式也成立。 对于任何n∈ 都成立 都成立， 由i)和ii)知： 2+4+6+……+2n=n(n+1)对于任何 ∈N*都成立，即 和 知 对于任何 所得猜想是正确的。 所得猜想是正确的。 练一练
课课练30－31/11--14
例二： 例二： 已知数列
1 1 1 1 , , ,⋯ , ,⋯ 1 × 4 4 × 7 7 × 10 (3 n − 2) × (3 n + 1)
为该数列前n项和 计算S 项和， 设Sn为该数列前 项和，计算 1,S2,S3,S4。根据计算结 果猜想S 的表达式，并用数学归纳法证明。 果猜想 n的表达式，并用数学归纳法证明。
n *
的过程中， 左边需增乘的代数式是什么？ 的过程中，从“k到k+1”左边需增乘的代数式是什么？ 到 左边需增乘的代数式是什么 证明从k到 证明从 到k+1时，要证的等式增减项要明确； 时 要证的等式增减项要明确；
用数学归纳法证明时，常犯的错误： 用数学归纳法证明时，常犯的错误： A、没有奠基步骤 、 B、貌合神离（直接将k换成了 、貌合神离（直接将 换成了 换成了k+1） ） C、递推步骤中没有用到归纳假设。 、递推步骤中没有用到归纳假设。 注意： 注意： 初始值要明确； 初始值要明确； 等式的形式要明确； 等式的形式要明确； 证明从k到 证明从 到k+1时，要证的等式增减项要搞清； 时 要证的等式增减项要搞清；
第一步必不可少
求证： 已知数列{a n }的前n项和为S n = 2n 2 + 3n + 1, 求证： a n = 4n + 1 如：
初始值如何确定
课课练29/1,2,3
的值； （1）分别计算 ）分别计算2,2+4，2+4+6，2+4+6+8的值； ， ， 的值 的结果； （2）根据（1）的计算猜想 ）根据（ ）的计算猜想2+4+6+……+2n的结果； 的结果 （3）用数学归纳法证明你的猜想。 ）用数学归纳法证明你的猜想。 解：1)2=2 2+4=6 2+4+6=12 2+4+6+8=20
练一练： 练一练：
错误
2)猜想：2+4+6+……+2n=n(n+1) 猜想： 猜想 3)证明：用数学归纳法证明。 证明：用数学归纳法证明。 证明
A、没有奠基步骤 、
假设当n=k时，等式成立，即2+4+6+……+2k=k(k+1) 时 等式成立， 假设当 当n=k+1时， 2+4+6+……+2k+2（k+1）=k(k+1)+2(k+1)=(k+1)(k+2) 时 （ ） 等式也成立。 等式也成立。 2+4+6+……+2n=n(n+1)对于任何 ∈N*都成立，即所得猜想 对于任何n∈ 都成立 都成立， 对于任何 是正确的。 是正确的。
那么， 那么，当n=k+1时， 时 递推步骤
1 1 1 1 1 + + +⋯+ + 1× 4 4 × 7 7 × 10 (3k − 2)(3k + 1) 3 ( k + 1) − 2 3 ( k + 1) + 1
k 1 k(3k + 4) +1 3k 2 + 4k +1 (3k +1)(k +1) k +1 = + = = = = 3k +1 ( 3k +1)( 3k + 4) (3k +1)(3k + 4) (3k +1)(3k + 4) (3k +1)(3k + 4) 3(k +1) +1
完全归纳法
不完全归纳法
故，所有三角形的垂心都在三角形的顶点处。 所有三角形的垂心都在三角形的顶点处。
7.4 数学归纳法
预习提纲
数学归纳法用于证明什么样的命题？ 数学归纳法证明的一般步骤是怎样的？ 你能用一个例子说明第一步必不可少吗？ n的初始值如何确定？ 第二步的假设和证明需要注意点什么？
数学归纳法——证明与正整数 有关的数学命题 数学归纳法 证明与正整数n有关的数学命题 证明与正整数
正确 A B C
2)猜想：2+4+6+……+2n=n(n+1) 猜想： 猜想 3)证明：用数学归纳法证明。 证明：用数学归纳法证明。 证明 i)当n=1是，左=2×1=2，右=1×（1+1）=2，等式成立。 当 是 × ， × ） ，等式成立。 ii)假设当 假设当n=k是，等式成立，即2+4+6+……+2k=k(k+1) 假设当 是 等式成立，
2 + 2( k + 1) × ( k + 1) = ( k + 1)( k + 2) 2
等式也成立。 等式也成立。 对于任何n∈ 都成立 都成立， 由i)和ii)知： 2+4+6+……+2n=n(n+1)对于任何 ∈N*都成立，即 和 知 对于任何 所得猜想是正确的。 所得猜想是正确的。 练一练
用数学归纳法证明时，常犯的错误： 用数学归纳法证明时，常犯的错误： A、没有奠基步骤 、 B、貌合神离（直接将k换成了 、貌合神离（直接将 换成了 换成了k+1） ） C、递推步骤中没有用到归纳假设。 、递推步骤中没有用到归纳假设。
作业
课课练29，32
错误
例三、 例三、 试证任何n个人都一样高． 试证任何 个人都一样高． 个人都一样高 证明： 证明：当n=1时，命题变为“任何一个人都一样高”，结论显然成立． 时 命题变为“任何一个人都一样高” 结论显然成立． 假设n=k时，结论成立，即“任何k个人都一样高”，那么，当n=k+1 时 结论成立， 个人都一样高” 那么， 假设 任何 个人都一样高 时，将k+1个人记为 个人记为 A1，A2，…，Ak，Ak+1， ， ， ， ， ， 由归纳假设， ， ， ， 都一样高 都一样高， 由归纳假设，A1，A2，…，Ak都一样高，而A2，A3，…，Ak，Ak+1也 ， ， ， ， 也 都一样高， 都一样高． 都一样高，故A1，A2，…，Ak，Ak+1都一样高． ， ， ， ， 都一样高 根据数学归纳原理，任何 个人都一样高 个人都一样高． 根据数学归纳原理，任何n个人都一样高．