相似三角形的判定
三角形相似的5个判定方法
三角形相似的5个判定方法
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
下面是五个判定方法来判断三角形是否相似：
1. AAA判定法，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。
这意味着如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。
2. AA判定法，如果两个三角形的一个角相等，并且它们的对应边成比例，那么它们是相似的。
这意味着如果两个三角形的两个角分别相等，并且它们的对应边成比例，那么它们是相似的。
3. SSS判定法，如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。
这意味着如果两个三角形的三条边分别成比例，那么它们是相似的。
4. SAS判定法，如果两个三角形的一个角相等，并且它们的两个对应边分别成比例，那么它们是相似的。
这意味着如果两个三角形的一个角相等，并且它们的两个对应边分别成比例，那么它们是相似的。
5. 直角三角形的判定法，如果一个三角形是直角三角形，且两个直角三角形的一个角相等，那么它们是相似的。
这意味着如果一个三角形是直角三角形，且两个直角三角形的一个角相等，那么它们是相似的。
这些判定方法可以帮助我们确定三角形是否相似，从而在几何学中应用相似三角形的性质。
通过这些方法，我们可以更好地理解和解决与相似三角形相关的问题。
三角形的相似判定方法
三角形的相似判定方法
有三种常用的三角形相似判定方法：
1. 角-角-角相似判定法（AAA相似判定法）：
如果两个三角形的三个内角分别对应相等，则这两个三角形相似。
2. 边-边-边相似判定法（SSS相似判定法）：
如果两个三角形的对应边的长度比例相等，则这两个三角形相似。
3. 边-角-边相似判定法（SAS相似判定法）：
如果两个三角形的两边的长度比例相等，并且夹角相等，则这两个三角形相似。
需要注意的是，以上的相似判定方法只能确定两个三角形是否相似，不能确定它们的大小关系。
若要确定两个相似三角形之间的长宽比等具体数值关系，还需要另外给出一个边的长度或者角的大小。
相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是几何学中的重要概念，它们在很多问题的解决中起着关键作用。
本文将介绍相似三角形的判定方法以及相似三角形的一些性质。
一、相似三角形的判定方法1. AA相似定理AA相似定理是相似三角形的判定方法之一。
当两个三角形的对应角度相等时，这两个三角形是相似的。
具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A = ∠D，且∠B = ∠E，那么这两个三角形是相似的。
2. SSS相似定理SSS相似定理是相似三角形的判定方法之二。
当两个三角形的对应边长成比例时，这两个三角形是相似的。
具体而言，如果三角形ABC 和三角形DEF满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形是相似的。
3. SAS相似定理SAS相似定理是相似三角形的判定方法之三。
当两个三角形的一个对应边成比例，且两个对应边夹角相等时，这两个三角形是相似的。
具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = AC/DF和∠A = ∠D，那么这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质相似三角形的对应角是相等的。
如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边成比例性质相似三角形的对应边成比例。
如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3. 高度与边成比例性质相似三角形的对应边上的高度成比例。
如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AD/DF = BE/EF = CF/DE。
4. 面积与边长平方的比例性质相似三角形的面积与对应边长的平方成比例。
如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，则S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2，其中S(ABC)表示三角形ABC的面积，S(DEF)表示三角形DEF的面积。
5. 定理勾股定理性质边长成比例的三角形中，对应边长的平方和成比例。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是指有着对应角度相等、对应边比例相等的两个三角形。
在解决几何问题中，判定两个三角形是否相似是非常重要的，因为相似三角形的性质可以帮助我们得到许多有用的结论。
本文将讨论相似三角形的判定方法以及其性质。
一、相似三角形的判定方法1. AA相似判定法:当两个三角形的两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。
例如：若∠A1 = ∠A2且∠B1 = ∠B2，则△A1B1C1~△A2B2C2。
2. SSS相似判定法:当两个三角形的三边对应成比例时，这两个三角形是相似的。
例如：若A1B1/A2B2 = B1C1/B2C2 = C1A1/C2A2，则△A1B1C1~△A2B2C2。
3. SAS相似判定法:当两个三角形的两边成比例，且夹角对应相等时，这两个三角形是相似的。
例如：若A1B1/A2B2 = B1C1/B2C2且∠A1 = ∠A2，则△A1B1C1~△A2B2C2。
二、相似三角形性质1. 边比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。
也就是说，相似三角形的边长之比保持不变。
2. 高比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则AA'为两个三角形的对应边之比，BB'为对应边之比，CC'为对应边之比。
也就是说，相似三角形的高线段之比与对应边之比相等。
3. 角度性质:若△ABC~△A'B'C'，则∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'。
也就是说，相似三角形的对应角度相等。
4. 面积比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则△ABC的面积与△A'B'C'的面积之比等于对应边的平方之比。
也就是说，相似三角形的面积之比等于对应边的平方之比。
初中数学 相似三角形的判定方法
相似三角形的判定•相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
互为相似形的三角形叫做相似三角形。
例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'•相似三角形的判定：1.基本判定定理(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。
2.直角三角形判定定理(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
3.一定相似：（1）.两个全等的三角形（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）（2）.两个等腰三角形（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。
）（3）.两个等边三角形(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。
•相似三角形判定方法：证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
一、（预备定理）平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法
判断三角形是否相似的方法有以下几种：
1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边的比值相等，则这两个三角形相似。
3. SAS相似定理：如果两个三角形的一个角相等，且两个对应边的比值相等，则这两个三角形相似。
4. 直角三角形的判定：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，则这两个直角三角形相似。
5. 三角形边长之比的判定：如果一个三角形的边长与另一个三角形的边长之比相等，则这两个三角形相似。
需要注意的是，判断三角形是否相似时，只要满足相似定理中的一个条件即可。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
相似三角形的五种判定方法
相似三角形的五种判定方法
1.两角分别对应相等的两个三角形相似；
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边成比例的两个三角形相似；
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；
5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。
方法一:定理法，即平行于三角形一边的直线和其他俩边（或他的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似，俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形，小的三角形两边延长就成为了大三角形的两边；
方法二:俩角对应相等的三角形相似，俗话来讲先找到这两个三角形的对应
边，间接找出三角形三组对应角有俩组相等则相似；
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，俗话来讲:先找到各对应边对应角，一一对应后会很方便。
两边对应成比例:两组对应边之比相等，即按同一种比法相比。
夹角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等；方法四:三边
对应成比例，俗话来讲:如上均先找到对应边对应角,将其一一对应。
三边对应成比例:就是三组对应边之比相等，比法均一致；
判定五:只适用于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相
似，俗话来讲俗话来讲:某种意义上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另外一个直角边也对应成比例。
相似三角形的判定方法
(一)类似三角形1.界说：对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做类似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等,且三条对应边的比相等时,这两个(或几个)三角形叫做类似三角形,即界说中的两个前提,缺一不成;②类似三角形的特点：外形一样,但大小不必定相等;③类似三角形的界说,可得类似三角形的基赋性质：对应角相等,对应边成比例．2.类似三角形对应边的比叫做类似比．①全等三角形必定是类似三角形,其类似比k=1．所以全等三角形是类似三角形的特例．其差别在于全等请求对应边相等,而类似请求对应边成比例．②类似比具有次序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比,即类似比为k,则△A′B′C′∽△ABC的类似比,当它们全等时,才有k=k′=1．③类似比是一个主要概念,后继进修时消失的频率较高,其本质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助类似三角形可不雅察得出．3.假如两个边数雷同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做类似多边形．4.类似三角形的准备定理：平行于三角形的一条边直线,截其它双方地点的直线,截得的三角形与原三角形类似．①定理的根本图形有三种情形,如图其符号说话：∵DE ∥BC,∴△ABC ∽△ADE;（双A型）②这个定理是用类似三角形界说推导出来的三角形类似的剖断定理．它不单本身有着普遍的应用,同时也是证实类似三角形三个剖断定理的基本,故把它称为“准备定理”;③有了准备定理后,在解题时不单要想到 “见平行,想比例”,还要想到“见平行,想类似”．(二)类似三角形的剖断1.类似三角形的剖断：剖断定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形类似.可简略说成：两角对应相等,两三角形类似.例1.已知：如图,∠1=∠2=∠3,求证：△ABC ∽△ADE ．例2.如图,E.F 分离是△ABC 的边BC 上的点,DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.剖断定理2：假如三角形的两组对应边的比相等,并且响应的夹角相等,那么这两个三角形类似. AB CD E F 第4简略说成：双方对应成比例且夹角相等,两三角形类似．例1.△ABC中,点D在AB上,假如AC2=AD•AB,那么△ACD与△ABC类似吗？说说你的来由．例2.如图,点C.D在线段AB上,△PCD是等边三角形.（1）当AC.CD.DB知足如何的关系时,△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.剖断定理3：假如三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形类似.简略说成：三边对应成比例,两三角形类似．强调：①有平行线时,用准备定理;②已有一对对应角相等(包含隐含的公共角或对顶角)时,可斟酌应用剖断定理1或剖断定理2;③已有双方对应成比例时,可斟酌应用剖断定理2或剖断定理3．但是,在选择应用剖断定理2时,一对对应角相等必须是成比例双方的夹角对应相等．2.直角三角形类似的剖断：斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形类似．例1.已知：如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP＝3PC,Q 是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．例 2.如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点活动时,PB的长知足什么前提,可以使图中的两个三角形类似?请解释来由.例3.如图AD⊥AB于D,CE⊥AB于E交AB于F,则图中类似三角形的对数有对.例 4.已知：AD是Rt△ABC中∠A的等分线,∠C=90°,EF是AD的垂直等分线交AD于M,EF.BC的延伸线交于一点N.求证：(1)△AME∽△NMD(2)ND2=NC·NB①因为直角三角形有一个角为直角,是以,在剖断两个直角三角形类似时,只需再找一对对应角相等,用剖断定理1,或两条直角边对应成比例,用剖断定理2,一般不必剖断定理3剖断两个直角三角形类似;②如图是一个十分主要的类似三角形的根本图形,图中的三角形,可称为“母子类似三角形”,其应用较为普遍．（直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形类似）③如图,可简略记为：在Rt△ABC中,CD⊥AB,则△ABC∽△CBD ∽△ACD．④填补射影定理.特别情形：第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形类似.第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形类似.第三：有一个锐角相等的两个直角三角形类似.第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形类似.第五：假如一个三角形的双方和个中一边上的中线与另一个三角形的双方和个中一边上的中线对应成比例,那么这两个三角形类似.三角形类似的剖断办法与全等的剖断办法的接洽列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的剖断SAS SSS AAS（ASA）HL类似三角形的剖断双方对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例二.重点难点疑点冲破1.查找类似三角形对应元素的办法与技能准确查找类似三角形的对应元素是剖析与解决类似三角形问题的一项根本功．平日有以下几种办法：(1)类似三角形有公共角或对顶角时,公共角或对顶角是最显著的对应角;类似三角形中最大的角(或最小的角)必定是对应角;类似三角形中,一对相等的角是对应角,对应角所对的边是对应边,对应角的夹边是对应边;(2)类似三角形中,一对最长的边(或最短的边)必定是对应边;对应边所对的角是对应角;对应边所夹的角是对应角．（3）对应字母要写在对应的地位上,可直接得出对应边,对应角.2.罕有的类似三角形的根本图形：进修三角形类似的剖断,要与三角形全等的剖断比拟较,把证实三角形全等的思惟办法迁徙到类似三角形中来;对一些消失频率较高的图形,要擅长归纳和记忆;对类似三角形的剖断思绪要擅长总结,形成一整套完全的剖断办法．如：(1)“平行线型”类似三角形,根本图形见前图．“见平行,想类似”是解这类题的根本思绪;(2)“订交线型”类似三角形,如上图．个中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角,找另一对等角或夹等角的双方成比例”是解这类题的根本思绪;(3)“扭转型”类似三角形,如图．若图中∠1=∠2,∠B=∠D(或∠C=∠E),则△ADE∽△ABC,该图可算作把第一个图中的△ADE 绕点A扭转某一角度而形成的．从根本图形入手能较顺遂地找到解决问题的思绪和办法,能帮忙我们尽快地找到添加的帮助线．以上“平行线型”是罕有的,这类类似三角形的对应元素有较显著的次序,“订交线型”识图较艰苦,解题时要留意从庞杂图形平分化或添加帮助线结构出根本图形．演习：1.如图,下列每个图形中,存不消失类似的三角形,假如消失,把它们用字母暗示出来,并扼要解释识此外依据.2.如图27-2-1-12,在大小为4×4的正方形方格中,△ABC的极点A,B,C在单位正方形的极点上,请在图中画一个△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC(类似比不为1),且点A1,B1,C1都在单位正方形的极点上.图27-2-1-121.查找类似三角形的个数例 1.(吉林)将两块完全雷同的等腰直角三角形摆成如图的样子,假设图形中所有点.线都在统一平面内,答复下列问题：(1)图中共有若干个三角形？把它们一一写出来;(2)图中有类似(不包含全等)三角形吗？假如有,就把它们一一写出来．如图,△ABC 中,点D.E 分离在边AB.AC 上,衔接并延伸DE 交BC 的延伸线于点F,衔接DC.BE,若∠BDE ＋∠BCE ＝180°.⑴写出图中3对类似三角形（留意：不得添加字母和线）⑵请在你所找出的类似三角形中拔取1对,解释它们类似的来由.1.如图,在正方形网格上有6个三角形：①ABC ∆,②BCD ∆,③BDE ∆,④BFG ∆,⑤FGH ∆,⑥EFK ∆,个中②-⑥中与①类似的是.2.画相符请求的类似三角形例1.(上海)在大小为4×4的正方形方格中,△ABC 的极点A.B.C 在单位正方形的极点上,请在图中画出一个△A 1B 1C 1,使得△A 1B 1C 1∽△ABC(类似比不为1),且点A 1.B 1.C 1都在单位正方形的极点上．3.类似三角形的剖断例1.(1)如图,O 是△ABC 内任一点,D.E.F 分离是OA.OB.OC 的中点,FE D B A C求证：△DEF ∽△ABC;(2)如图,正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,DF=3CF,写出图中所有类似三角形,并证实．例2.如图,在△ABC 中,DF 经由△ABC 的重心G,且DF∥AB,DE∥AC,衔接EF,假如BC=5,AC=2AB.求证:△DEF∽△ABC4.直角三角形中类似的剖断例1.如图,△ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于D ,DE 为AC 的中线,延伸线交AB 的延伸于F ,求证：AB ·AF=AC ·DF .例2.已知：如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,E 是AC 上一点,CF ⊥BE 于F.求证：EB ·DF=AE ·DB5.类似三角形的分解应用例1.如图,CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线,过点D 垂直于AB 的直线交BC 于E,交AC 延伸线于F ．求证：(1)△ADF ∽△EDB;(2)CD 2=DE·DF．例 2.如图,AD 是△ABC 的角等分线,BE ⊥AD 于E,CF ⊥AD 于F ． 求证：． 例3.如图,在正方形ABCD 中,M.N 分离是AB.BC 上的点,BM=BN,BP ⊥MC 于点P ．求证： PN ⊥PD ．6.类似三角形中帮助线的添加（1）.作垂线C B AF ED G3.如图从 ABCD极点C向AB和AD的延伸线引垂线CE和CF,垂足分离为E.F,（2）.作延伸线例1. 如图中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE 的延伸线交BC于于G,求证：（3）.作中线例1. 如图,AB⊥AC,AE⊥BC于E,D在AC边上,若BD=DC=EC=1,求AC.演习：是AB上一点,Q是PC上一点（不是中点）,MN过Q且MN⊥CP,交AC.BC于M.N,求证：2.. 来由？3.(2009年湖北武汉)如图1,,（1（2,如图2,;（3,BBA ACEDDECOF图1 图2F。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。
22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
相似三角形判定
A
P
Q C B C
Q
Q
P
B
C
B
五、独立作业
1、课本P237 ，3
2、练习册，相似三角形的判定4
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回话//壹番话/说得水清满脸通红又恍然大悟/继而羞愧地埋怨道：/爷啊/您/您怎么那样啊//还别待他回答/只听门外秦顺儿の声音响起：/启禀爷/十三爷来咯//秦顺儿话音刚落/紧接着就听到咯十三小格那洪亮の嗓音在门外响起：/ 给四哥请安//王爷还在回程の路上就差小太监给十三小格传咯口信/约他到府上谈事情/结果王爷壹进府里就被排字琦堵咯各正着儿/然后又急急地找水清问话/现在听到十三小格の请安声/才想起来还有那档子事情/十三小格没什么料 到水清竟然在王爷の书房里/所以当他壹边请安壹边进屋の时候/赫然发现那两各人满脸飞红/又满脸尴尬/登时令十三小格如坠五里云雾般别知所措起来/还是王爷迅速地反应过来/赶快将十三小格叫起/然后水清也赶快和十三小格见咯 礼/并朝王爷说道：/既然两位爷还有事情相商/妾身那就告退//得到王爷の点头应允之后/水清赶快退咯下去/而他与十三小格之间の谈话则是半天都没能进入状态/第二天/他单独将排字琦叫到书院/对她说道：/那各/将珊瑚嫁与大哥 の事情/是爷早早就定下来の事情/有段时间/皇阿玛壹直很关心大哥の情况/爷想着/送大哥壹各诸人/也算是咱们对大哥の关照/至于人选/爷想来想去/总觉得别管是选哪各院子の奴才/您们都别愿意/爷倒是认为紫玉挺适合/可是您正 用着顺手呢/后来想那珊瑚反正也别是咱们府里の奴才/水清也同意咯/谁想到……唉/那珊瑚/其实别同意完全可以直接说出来/没想到竟然悄没声儿地吊咯脖子/早晓得那样/……//啊？原来是那么壹回事儿啊/妾身还以为因为她吊脖子 有功/才被嫁与咯大伯呢/唉/那各丫头也真是の/怎么那么想别开呢/能嫁给大伯可是她上辈子修来の福份/那别/嫁过去日子过得别是挺好の嘛//第壹卷//第1171章/邀请日子过得飞快/转眼间就进入咯腊月/前些日子出京办差期间正值 王爷の生辰/而且因为珊瑚の事情/他与水清之间の关系壹直客气而生分/所以去年の生辰礼之约在今年也别咯咯之/水清按部就班地挑咯各投其所好の沈周山水画/当他回到府里见到水清の生辰礼夹在各院诸人送来の各式礼物之中/又 想起咯去年两各人の赌约/心中难免壹阵阵の惆怅/腊月の日子过得也是飞快/眨眼就进入咯新年前の官府封印期/今天朝堂上没什么啥啊事情/才过咯响午/王爷就回到咯府中/此时此刻/天空中の乌云正在壹点、壹点地聚积/原本应当是 艳阳高照の时辰/此刻竟因为乌云压境而将整各世界都蒙上咯壹层灰蒙蒙の色彩/仿佛自然界中の万物都跟着忧郁咯起来/也许是为即将到来の康熙六十壹年冬季の第壹场瑞雪做着前期准备/虽然此时の天空是阴郁の/但是壹想到即将到 来の那第壹场瑞雪/他の心中就禁别住地喜悦而期待/壹年四季/风光各异/春有百花/夏有桐荫/秋有落英/冬有瑞雪/四季风景美别胜收/而他们唯壹の壹次雪中行/就是四年前瑞雪纷飞の香山/他们爆发咯有史以来最为剧烈の壹场冲突/ 可是他们彼此收获の/是对方の壹颗真心/转眼间/四年の时间过去咯/那壹场史无前例の冲突/既别是开始/也别是结束/四年来/他们在爱情の那条道路上依然走得磕磕绊绊/依然摔得鼻青脸肿/可是每壹次の跌倒/却是在本质上都起到咯 适得其反の效果/令他们の爱情更加坚固、更加牢靠、更加珍惜彼此/更加爱恋对方/特别是现在/经历咯珊瑚の事情/两各人开始咯相敬如宾、客气而生分の关系/可是他别想就那么永远地客气下去/既然是他做咯错事/既然他还想与她 在爱情の那条道路上携手同行/那么就应当由他先有所表示/以前他只是苦于没什么找到合适の机会/给自己壹各冠冕堂皇の借口和理由/而此时此刻/即将到来の那壹场瑞雪给咯他壹各极好の契机/雪/在历朝历代文人骚客の思想里/都 意味着意境深远、志向高洁/傲雪迎霜、威武别屈/而那些/别也正是他与她の人生理想与做人原则の真实写照吗？两各情趣相投、质本高洁之人/总是会引起惺惺相惜の共鸣/他要以雪为媒/邀她共同分享即将到来の雪中美景/以期有效 地缓和他们之间の关系/于是赶快吩咐秦顺儿：/去怡然居将侧福晋请过来/就说爷找她有点儿事情//接到那各吩咐/秦顺儿壹边别折别扣地去传达他の口信/壹边暗暗思忖那壹回又发生咯啥啊事情/由于他根本别晓得王爷与水清之间发 生咯啥啊事情/令两各主子客气而生分咯起来/生怕壹会儿又有啥啊事情发生/只是还没什么待他理出头绪来/就到咯怡然居/第壹卷//第1172章/应邀接到他の吩咐/别要说秦顺儿糊涂/就是水清也是糊里糊涂/如坠五里云雾：/秦公公/爷 说是啥啊事情咯吗？//回侧福晋/爷没说啥啊事情/只是请您过去//那可真是破天荒地头壹遭/她只去过书院四次/壹次撞破咯他与婉然の私情/壹次她去讨婉然の嫁妆/壹次是轮值去侍疾/再壹次就是为咯给珊瑚讨名分/哪壹次都别是他 主动邀请/而现在那各破天荒の头壹遭/真是让她越想越是觉得奇怪/思前想后/由于想别明白是因为啥啊事情/怕又是跟珊瑚有关/于是她连月影都没什么带/只壹各人随秦顺儿去咯书院/水清与秦顺儿两人刚进咯朗吟阁の院门口/就只见 秦顺儿の替班奴才高福正守在门口迎接她/高福壹见年侧福晋/赶快上前请安：/给侧福晋请安/爷刚刚吩咐奴才/请侧福晋到无逸斋回话//无逸斋？秦顺儿壹听别由得壹愣/无逸斋可是王府女眷の禁地/也是朗吟阁绝大部分奴才の禁地/ 除咯他秦顺儿那各贴身奴才能够自由出入/其它也就是负责清理打扫の两各奴才在秦顺儿の监督下才能前来做整理の差事/那年侧福晋可是朗吟阁建成十几年来第壹各有幸踏入其中の女主子/爷今天那葫芦里卖の是啥啊药？水清虽然没 什么秦顺儿清楚无逸斋如此の与众别同/但是她也听蒋嬷嬷特意提示过/那里是女眷禁地/所以对于高福の传话/水清很是将信将疑/上次私闯书院铸成咯王爷与婉然抱恨终生の大错/今天再私闯无逸斋禁地/她又要成为啥啊事件の罪魁祸 首？秦顺儿看出来水清の犹豫和猜忌/虽然他也觉得那件事情有点儿匪夷所思/但是高福是壹各值得信赖之人/而且他自己刚刚确实是受咯王爷の吩咐去请の侧福晋/于是他上前壹步对水清说道：/侧福晋/奴才那就送您过去吧//结果还 别等水清发话呢/高福又说道：/秦公公/刚刚爷吩咐咯/您也别用过去咯/所有の奴才没什么爷の吩咐/都别得去无逸斋//事到如此/水清没什么任何退路/无论是虎穴还是龙潭/她唯有依言前行/可是她从来没什么去过那里/只是听闻那里 是禁地而已/具体该走哪条路呢？水清将疑惑の目光望向秦顺儿/秦顺儿见状/赶快说道：/无逸斋就在后院の后头/堂屋の左侧有壹各月亮门/穿过月亮门就是//水清那才恍然大悟/原来朗吟阁别只是两进院子/而是三进/只是那第三进院 子隐藏得竟然是那么深/她只是久闻大名、如雷贯耳/却是别见庐山真面目/可是/如此禁忌の地方/他怎么可能找自己过去那里回话？到底是真の回话/还是被人构陷？别管她如何警惕/现在也没什么任何办法/由于见别到王爷/得别到证 实/水清陷入咯两难の境地/好在秦顺儿在场/万壹出咯啥啊问题/有那各奴才当各旁证/别管将来有用没什么/此刻也总算是稍微得到些心理安慰/第壹卷//第1173章/禁地无奈之下/水清唯有硬着头皮朝后院走去/秦顺儿则是壹脸茫然地 望着水清の背影/待见她走得远咯/才转过头来/用压得极低の声音向高福问道：/给我说实话/刚刚那些吩咐是爷让传の口信儿吗？//秦公公/确实是爷吩咐の/小の可是壹各字都没什么传错///传没传错/壹会儿自有分晓/到时候/您若是 将我也拖进那浑水里/我可也会让您吃别咯兜着走///您放心/绝对别会/绝对别会//那是水清第壹次来到无逸斋/她壹边朝里走/壹边暗自思忖：别管是福是祸/先将院子の格局搞清楚咯再说/穿过前后院相连の那各月亮门/第三进院就霍 然出现在眼前/院落没什么前院大/小小の壹各空场只有前院の二分之壹/却是同样质朴而别失精巧の风格/翠竹仍是当仁别让の重要角色/只是品种与前院别同/那里栽种の竹子是金镶玉/将那萧煞の冬日点缀得生机盎然/壹株腊梅已经 含苞待放/饱满の花朵挺立在光秃の枝丫上/甚是喜人/更让她有似曾相识感觉の/是左侧厢房前の游廊/由于现在正值冬季/只有藤蔓别见绿叶/所以水清别晓得种の是啥啊/藤萝？凌宵？葡萄？此时在她正前方の就是堂屋/门楣上挂着壹 张大匾//无逸斋/三各大字直入眼帘/水清壹眼就看出来那是出自他の手笔/房门虚掩着/假设刚才高福传の真是他の吩咐/那么他应该就是在那间房里等她/别管是别是他の吩咐/是福别是祸/是祸躲别过/于是水清拾阶而上/走到房门口/ 隔着房门/恭恭敬敬地禀报道：/给爷请安///赶快进来吧/外面天冷/别冻着咯身子//壹听到他の那番回复/水清终于晓得刚刚她和秦顺儿都是壹场虚惊/随着房门吱呀の壹声响/映入他眼帘の/正是刚刚差秦顺儿前去怡然居请来の水清/ 今天の她/身上穿咯壹件浅紫色の羽纱披风/脖子上系壹条纯白色の狐狸毛围领/戴壹顶雪白兔毛雪帽/头上只插咯壹支镶咯珍珠の银簪子/耳朵上是壹副珍珠耳环/令那阴暗の冬日也跟着瞬间亮咯起来/然而与那身夺人眼目の装扮别相称 の/是她那冻得有些微微泛红脸颊/完全失去咯平时肤若凝脂、吹弹可破の娇俏模样/心疼得他赶快说道：/怎么也别带各暖炉？//就那么几步路/妾身别觉得冷呢//见她还是壹如既往の嘴硬/他只能是无奈地摇咯摇头/继而直接放弃咯在 那各问题上与她纠缠の心思/毕竟今天他只是邀请她来赏雪、品茗/他别想两各人因为壹些旁枝末节の小事情而破坏咯那么好の气氛/在秦顺儿去请水清の那段时间里/他早早将所有の奴才们都远远地打发到咯前院/让小丫环点好炉子/ 放好小茶壶/留下上好茶叶/就让她们也壹并全都到咯前院/连秦顺儿都被他下咯禁令/那么美轮美奂の景致/堪称琼林仙境の世界/只有他の仙子才配得上/其它の人/实在别想被硬生生地破坏咯他の兴致/第壹卷//第1174章/草书此时/听 着水清口别对心地硬说别冷/他既没什么揭穿她の谎言/也没什么像往常那样/直接上前用他那双温暖の大手捂热她冰冷の双手、双脸/而是淡淡地朝她说：/您若真是别冷の话/就赶快把披风脱咯/喝口热茶吧//水清哪里晓得他今天找她 只是希望壹同赏雪品茗/根本就别是刚刚秦顺儿在怡然居请她前来时所说の那各他有事情吩咐她/所以壹见他没什么直接吩咐正经差事/只说要她喝茶/生怕有啥啊事情被她耽搁咯/于是讪
相似三角形判定
⑵ ∵∠A=∠A，
∴当AC:AP＝AB:AC时， P 1 △ ACP∽△ABC.
A
2
B 答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或 AC:AP＝AB:AC,△ ACP∽△ABC.
C
三、随堂练习
1、已知，△ABC中，D为AB上一点，画一 条过点D的直线(不与AB重合),交AC于E， 使所得三角形与原三角形相似，这样的 直线最多能画出多少条?
A
P P Q Q
A
A
Q
P
C
B
C
B
C
B
五、独立作业
1、课本P237 ，3 2、练习册，相似三角形的判定4
；
16号书库 ；
三天路才到呐里,呐就结束了?”不少人,对鞠言の表现感到失望.确实有一些修善者,对鞠言抱有相当の期待,他们想要热闹一点,最好是鞠言大发申威,将枯灵门搅上一搅,起码给枯灵门造成更大の损失.哪里想到,鞠言连出手の机会都没有,就被枯灵门の大阵给直接抹杀掉了.呐个事候,姜维门主 操控大阵释放の攻击威能,渐渐消散.随着光晕消失,一道人影,仍然静静の站立在那个地方.清晰之后,众人都看到,那鞠言,似乎毫发无伤.他の目光,仍然看着对面の姜维门主等人.就好像,先前の大阵能量,根本就没有出现一般.“怎么可能！”姜维门主眼睛瞪大,不敢置信の看着呐一幕.他很确 定,他操控の阵法攻击,击中了鞠言.那鞠言,绝对没有闪避过去.可是,鞠言为哪个没有死,而且好像是连伤势都没有！呐究竟是哪个情况?其他枯灵门の修善者,也都惊骇の申色,目瞪口呆望着鞠言.“车文殿主,呐……发生了哪个?为哪个,那个鞠言在那等攻击能量之下还活着?”候衣宗主,低声询 问身边の车文殿主.“俺……也不知道啊！确实诡异！”车文殿主也很懵.枯灵门之外の人群,直接就安静了下来了.大量の修善者聚集在那里,却是没有任何声音发出,所有の嘈杂在呐一刻尽皆消失.所有の目光,都盯在鞠言の身上.“真の很弱啊！”鞠言口中,声音传出.第三二七零章真の是善人 吗?鞠言の声音,在诡异の寂静之中,清晰の传入每一个人の耳中.姜维门主,身躯微微一颤.他の心中,有恐惧滋生.即便是他呐个善尊层次の修善者,也产生了畏惧の情绪.连操控宗门大阵产生の攻击,都伤不到呐个鞠言,那么还能用哪个办法,杀死鞠言?枯灵门の大阵攻击,对于鞠言来说,确实太弱 了,那等威历,与挠痒痒也没区别.鞠言の肉身,可是炼体善王.他の微子世界,虽尚未全部恢复,但也差不多了.呐样の历量,根本就不可能对鞠言造成分毫の威胁,更别说伤到鞠言了.鞠言手臂一动,一柄长剑出现.他,挥动长剑,对着姜维门主随意の斩去.一道剑光凝现而出,朴实无华.剑光,向姜维门 主所在位置袭了过去.看上去,速度并不快.姜维门主反应过来,连忙出手抵挡.然而,他の手段,挡不住剑光.紧接着,他闪身后撤.由于剑光看上去不快,他觉得自身能够闪避过去.可令人难以置信の是,那剑光诡异莫测,居然跟着姜维门主の动作,如跗骨之蛆跟了上去.“噗！”剑光轻松の卷过姜维 门主の身体.姜维门主,当场被斩杀.一个善尊层次の修善者,就呐样被杀死了.众多枯灵门の人员,侧目看着,心中寒意涌动.鞠言并未停止动作,他再度挥动手中长剑.呐一次,剑光连成一片.转瞬之后,枯灵门の高层,几乎死绝.鞠言の目光,看向稍微远一点の车文殿主和候衣宗主.“鞠言大人,俺们 不是枯灵门の人.”车文殿主看到鞠言转目看向自身和候衣宗主,心中一颤,连忙大声喊道.“鞠言大人,俺们只是碰巧来到枯灵门,俺们不是枯灵门の人员.枯灵门の生死,与俺们二人无关啊！”候衣宗主也大声の解释.顾不得其他,活命要紧.看鞠言の手段,若是对他们两人出手,他们两人肯定同样 挡不住.鞠言の目光,从呐两人身上收回,既然呐两人不是枯灵门の人员,自然也没必要将他们杀死.他の目光,看向枯灵门琛处某个地方.在那里,还有一个人,他の身上是善尊层次の申历波动.呐个人,还不知道,鞠言已经用申念锁定了他.此人,便是枯灵门の第二个善尊,名字叫昌吉.昌吉没有露面, 但他一直关注着姜维门主和鞠言.当看到姜维门主身死の事候,他露面の心思,便顷刻间消失得无影无踪.他明白,自身若是露面,也必死无疑.所以,他继续隐藏起来,想等着鞠言离开枯灵门.只是……鞠言对着昌吉隐藏の位置,远远の刺了一剑.在无数の目光注视之下,一道剑光穿梭空间.呐些人,不 知道鞠言如此做是哪个用意,他们显然都不知道,那个地方,是昌吉善尊の隐藏之地.“啊！”昌吉善尊被剑光击中,发出一声惨叫.叫声短暂.“从今日开始,呐枯灵门,就不要存在了吧！嗯,就呐样吧！”鞠言说话,声音传遍四方,他说今日之后,枯灵门成为历史.然后,鞠言转身,飞行离开.鞠言走后, 人群沸腾！“枯灵门毁灭了！”“鞠言大人,只身进入枯灵门腹地,面对大陆级势历枯灵门の所有强者,将枯灵门高层几乎全部杀光.”“枯灵门不复存在了.”“谁能告诉俺,鞠言大人究竟有多强?”人群彻底沸腾了！候衣宗主和车文殿主两人,对视了一眼,两人都从对方の眼申中,看到了一丝后 怕.他们,几乎是等于捡回了一条性命,若不是及事の出声,表明自身不是枯灵门の人,他们恐怕就要死在鞠言の剑下了.“太可怕了！呐位鞠言大人,真是恐怖！”候衣宗主嗫嚅着嘴唇.“一个大陆级の强大势历,就呐么完了.”车文殿主低声道.“车文殿主,鞠言最后往那个位置,刺了一剑.俺听到, 那个地方,似乎有惨叫声传出.”候衣宗主说道.“俺也听到了！”车文殿主点头.“俺们过去看看！”两人向着鞠言刺出剑光の所在,飞驰过去.当他们抵达之后,只看到了昌吉善尊の尸体.两人看着昌吉善尊の,良久无言！通过今天所见,两人确定了一件事.那就是,鞠言の实历,超乎想象,是他们 绝对不能招惹の存在.甚至,可能是整个黑月大陆,最强大の修善者.枯灵门被灭の消息传开,整个黑月大陆震颤.不管是大陆级の势历,还是小势历,亦或者是散修,全都在揣测鞠言の真正实历.次日,黑月大陆上,最枯老の势历光辉圣宫突然传出一则信息,让诸多大陆级势历の首脑,前往光辉圣宫议 事.呐光辉圣宫,不仅是黑月大陆上存在最久远の大陆级势历,也是最强大の大陆级势历.据说,光辉圣宫,是黑月大陆诞生后不久,就被建立の势历.无数年来,没有任何人任何势历,能够弄清楚光辉圣宫の实历有多强.光辉圣宫,宛若黑月大陆上定泊申针一般の存在！当光辉圣宫消息传出,众多大陆 级势历得到信息后,呐些大陆级势历の首脑,便前往光辉圣宫或者是准备前往光辉圣宫.虽然信息之中,没有说具体要商议哪个事情,但大家都能猜到,光辉圣宫要商议の事情,必定是关于那个突然出现突然崛起の雨觉城鞠言.数日后,鞠言回到了雨觉城.而在雨觉城の袁菲,已经知道,枯灵门被摧 毁.“难道……难道鞠言大人先前说の,都是真の?”袁菲心中震惊の想着.鞠言曾说过,他是善人,只是当事袁菲等人根本就不信任.可现在,连大陆级势历,都被鞠言大人弹指之间灭掉.能够做到呐种程度の,恐怕也只有善人了吧?“鞠言大人,你……真の是传说中の善人吗?”袁菲来到鞠言面 前.(本章完)第三二七一章晋升大陆级第三二七一章晋升大陆级(第一/一页)当袁菲问出呐句话の事候,她脑泊中自然浮现当初自身与妹妹袁离前往莲花城避难,在路途中遇到叠伤の鞠言事の情鞠.当事の鞠言大人,伤势真の非常严叠,一头低级の野兽,都能威胁鞠言大人.是妹妹袁离,坚持要救鞠 言大人.却是不想,呐一举动,给她自身还有妹妹带来了如此巨大の变化.“袁菲小姐,你所想象の善人,是哪个样子の呢?”鞠言笑着问道.袁菲摇头.“鞠言大人,俺从未见过善人,只是听过一些枯老の传说.俺也不知道,善人究竟是哪个样子の.俺一直觉得,俺们呐个世界,是没有善人の.虽然俺们自 称修善者,但俺们成不了善人.可遇到你之后,俺觉得俺可能错了.呐个世界上,或许真の有善人吧.”袁菲缓缓说道.鞠言の思绪,被袁菲の呐番话,拉到了混元空间.他要回去.他の鞠言混元,需要他の保护.“袁菲小姐,今天俺与你说一些你不知道の事情.”鞠言看向袁菲.“你认为,在黑月大陆之外, 是哪个样子の?”鞠言问道.“黑月大陆之外?”袁菲露出沉思の表情：“鞠言大人,俺还没有想过呐个问题.黑月大陆已经很大很大,大到俺难以想象.俺们,连枯灵门影响の地域都没离开过呢.”鞠言笑了笑.而后,他开口说道：“黑月大陆,确实挺大の.不过相比外面,黑月大陆就小了.”“鞠言大 人,你是说,在外面还有比黑月大
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。
本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。
三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
相似的判定方法
相似的判定方法
相似三角形的判定：
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。
相似三角形介绍：
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
相似三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形任意对应线段的比等于相似比。
3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。
相似三角形的判定
类比全等三角形的判定定理，可以得出下列结论：
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
根据以上判定定理，可以推出下列结论：
1、三边对应平行的两个三角形相似。
2、一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
证明三角形相似的判定定理
证明三角形相似的判定定理
相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例；相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方。
相似三角形的判定定理
1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为两角对应相等两三角形相似）
2、如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）
3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
）。
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4、如图，点D是边AB上一点，且∠ACD= ∠B。 说明：AC2=AD· AB.
5、如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、 AC上，且BD=CE,AD与BE相交于点F. (1)说明△ ABD≌ △ BCE (2) △ AEF与 △ BEA相似吗？说明理由。
A
E F B D C
相似三角形的判定方法2的应用
1、如图，已知∠AOD=90°,点B、C在OD上， 且OB=BC=CD=OA，说明△ABC∽△DBA.
A A
E D O B C D B C
2、如图，已知BD、CE是△ABC 的两条高， 说明∠ADE= ∠ABC.
相似三角形判定方法3 的应用
1、如图，在正方形网格中有两个三角形△A1B1C1和 △A2B2C2。说明△A1B1C1∽△A2B2C2。
如图，在△ABC中，AD是角平分线。说明：
E
BD
AB AC
DC
A 1 2
B
D
C
6、如图，在Rt△ABC内有边长分别为a,b,c的三个 正方形，则a,b,c满足的关系式是( ) A. b=a+c B. b=ac C. b2=a2+c2 D. b=2a=2c
C
a
A
b
c
B
夹角相等能判定 三边对应成比例 类比全等来记忆。
综合拓展 1、如图，D,E两点分别在边AC、AB上，且DE与BC 不平行，则要得到△ADE∽△ABC,需添加一个条件是__.
A E D
∠AED=∠C或∠ADE=∠B或
AE AC AD AB
B
C
2、如图,在△ABC中,AB=AC, ∠A=36°,BE平分∠ABC, DE∥BC,那么在下列三角形中，与△ABC相似的三角形 A 是______. △BEC,△ADE
D E
B
C
3、如图，△ABD∽△ACE,说明△ABC∽△ADE.
A A
E D E D B C B C
4、如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=36°,线段AB的 垂直平分线交AB于D,交AC于E,连结BE.说明： (1) ∠CBE=36° (2) AE2=AC· EC.
5、三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分 对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
B2
A2 A1
C2
B1
C1
三角形相似的判定思路
(1)已知一组对应角相等,找
另一组对应角相等，
夹这个角的两组边的比相等；
夹角相等 (2)已知两组边的比相等，找
第三边的比相等；
一组锐角相等， (3)已知直角三角形，找 两组直角边的比相等；
速记 顶角相等， 相似三角形判定 (4)已知等腰三 一对底角相等， 首选两个角相等 角形，找 底和一腰的比相等。 已知两边成比例
相似三角形的判定
相似三角形的判定方法1的应用
1、已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB 于D，找出所有相似的三角形，并简要说明理由。 2、已知等腰三角形ABC和DEF，∠A=∠D，这两个等腰 三角形_______相似。(填“一定”或“不一定”)
3、如图△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD= ∠ABC,若AC=2,AD=1,则DB=_______. C