工程力学07-梁的强度问题分解
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静矩与坐标轴位置有关。 同一图形对不同坐标轴的静矩不同
∫ ydA
A
静矩值：可正、可负、可为零
当坐标轴通过图形的形心时，图形
A zdA ∫ A zC= A
对该轴的静矩为零 Sy=A.zC
关系：
Sz=A.yC
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
7.2 与应力分析相关的 截面图形的几何性质
7.2.1 静矩、形心及其相互关系 y 4）组合图形的静矩与形心公式 Sz=SAi.yi Sy=SAi.zi
SAi.yi yC= SA i SAi.zi zC= SA i (7-4)
y y
C
z
C
z
C
z
(7-5)
《工程力学》
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7.2 与应力分析相关的 截面图形的几何性质
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 5）常用截面图形的几何性质 圆形截面： 4 p d (7-11) Iy =∫A z2dA = 64 4 p d Iz = ∫A y2dA = 64 4 p d (7-14) IP =∫A r2dA = 32 Iy d iy = A = 4
z
dz z
C
y
d
《工程力学》
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7.2 与应力分析相关的 截面图形的几何性质
7.2.1 静矩、形心及其相互关系 3）形心与静矩之间的关系 静矩： Sz= ∫A ydA Sy=∫A zdA 形心： yC=
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
7.2 与应力分析相关的 截面图形的几何性质
引子 材料力学研究工程中构件的使用、安全问 题
每个工程构件都是一个实体 实体必有形状和尺寸 构件强度问题与组成构件的形状有关
《工程力学》
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弯曲时的一些概念
截面图形的几何性质
梁截面上应力分布与危险截面(点) 弯曲正应力与切应力公式 弯曲梁强度计算
《工程力学》
7.2 与应力分析相关的 截面图形的几何性质
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 2）极惯性矩 (二次极矩） 极惯性矩的定义 (7-7) IP =∫A r2dA 图形面积对坐标原点的矩 极惯性矩与惯性矩的关系 在同一坐标系内有： r2=y2+z2 IP =∫A r2dA = ∫A (y2+ z2)dA
7.2.1 静矩、形心及其相互关系 1）静矩 （面积矩） 静矩的定义 Sz= ∫A ydA Sy=∫A zdA
z z
dA
C
(7-1)
O y
y
图形对轴的面积矩或一次矩 静矩的单位： m3 或 mm3
《工程力学》
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7.2 与应力分析相关的 截面图形的几何性质
7.2.1 静矩、形心及其相互关系 2）形心 图形的几何形状中心 形心的定义 S =A.y z C Sy=A.zC
A zdA ∫ Sy A zC= A = A
Sz yC= A = (7-2)
zc z z
dA
C
O
y yc y
∫ ydA
A
(7-3)
《工程力学》
7.2 与应力分析相关的 截面图形的几何性质
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
z
1）惯性矩
dA z
惯性矩的定义 Iy =∫A z2dA
Iz = ∫A y2dA
(7-6)
O
y y
图形面积对坐标轴的二次矩 惯性矩的单位： m4 或 mm4
《工程力学》
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7.1 工程中的弯曲构件
工程实例
F
火车轴
F
吊车梁
F
F
F F
简支梁
CW P
外伸梁
悬臂梁
凡是以弯曲变形为主要变形的杆件称为“梁”
《工程力学》
z
dA z
O
y y
= ∫Az2dA + ∫A y2dA = Iy + Iz
(7-10)
《工程力学》
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7.2 与应力分析相关的 截面图形的几何性质
材料力学的任务之一是为构件选择合理的
截面形状
因此，探讨强度问题就要涉及到截面的形
状，即：截面的几何性质
《工程力学》
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7.2 与应力分析相关的 截面图形的几何性质
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 3）惯性积 惯性积的定义
z
dA z
Iyz = ∫A yzdA 4）惯性半径 惯性半径的定义
Iy iy = A Iz iz = A
(7-8)
O y y
(7-9)
Байду номын сангаас 《工程力学》
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∫ ydA
A
静矩值：可正、可负、可为零
当坐标轴通过图形的形心时，图形
A zdA ∫ A zC= A
对该轴的静矩为零 Sy=A.zC
关系：
Sz=A.yC
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7.2 与应力分析相关的 截面图形的几何性质
7.2.1 静矩、形心及其相互关系 y 4）组合图形的静矩与形心公式 Sz=SAi.yi Sy=SAi.zi
SAi.yi yC= SA i SAi.zi zC= SA i (7-4)
y y
C
z
C
z
C
z
(7-5)
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7.2 与应力分析相关的 截面图形的几何性质
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 5）常用截面图形的几何性质 圆形截面： 4 p d (7-11) Iy =∫A z2dA = 64 4 p d Iz = ∫A y2dA = 64 4 p d (7-14) IP =∫A r2dA = 32 Iy d iy = A = 4
z
dz z
C
y
d
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7.2 与应力分析相关的 截面图形的几何性质
7.2.1 静矩、形心及其相互关系 3）形心与静矩之间的关系 静矩： Sz= ∫A ydA Sy=∫A zdA 形心： yC=
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7.2 与应力分析相关的 截面图形的几何性质
引子 材料力学研究工程中构件的使用、安全问 题
每个工程构件都是一个实体 实体必有形状和尺寸 构件强度问题与组成构件的形状有关
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弯曲时的一些概念
截面图形的几何性质
梁截面上应力分布与危险截面(点) 弯曲正应力与切应力公式 弯曲梁强度计算
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7.2 与应力分析相关的 截面图形的几何性质
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 2）极惯性矩 (二次极矩） 极惯性矩的定义 (7-7) IP =∫A r2dA 图形面积对坐标原点的矩 极惯性矩与惯性矩的关系 在同一坐标系内有： r2=y2+z2 IP =∫A r2dA = ∫A (y2+ z2)dA
7.2.1 静矩、形心及其相互关系 1）静矩 （面积矩） 静矩的定义 Sz= ∫A ydA Sy=∫A zdA
z z
dA
C
(7-1)
O y
y
图形对轴的面积矩或一次矩 静矩的单位： m3 或 mm3
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7.2.1 静矩、形心及其相互关系 2）形心 图形的几何形状中心 形心的定义 S =A.y z C Sy=A.zC
A zdA ∫ Sy A zC= A = A
Sz yC= A = (7-2)
zc z z
dA
C
O
y yc y
∫ ydA
A
(7-3)
《工程力学》
7.2 与应力分析相关的 截面图形的几何性质
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
z
1）惯性矩
dA z
惯性矩的定义 Iy =∫A z2dA
Iz = ∫A y2dA
(7-6)
O
y y
图形面积对坐标轴的二次矩 惯性矩的单位： m4 或 mm4
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7.1 工程中的弯曲构件
工程实例
F
火车轴
F
吊车梁
F
F
F F
简支梁
CW P
外伸梁
悬臂梁
凡是以弯曲变形为主要变形的杆件称为“梁”
《工程力学》
z
dA z
O
y y
= ∫Az2dA + ∫A y2dA = Iy + Iz
(7-10)
《工程力学》
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7.2 与应力分析相关的 截面图形的几何性质
材料力学的任务之一是为构件选择合理的
截面形状
因此，探讨强度问题就要涉及到截面的形
状，即：截面的几何性质
《工程力学》
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7.2 与应力分析相关的 截面图形的几何性质
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 3）惯性积 惯性积的定义
z
dA z
Iyz = ∫A yzdA 4）惯性半径 惯性半径的定义
Iy iy = A Iz iz = A
(7-8)
O y y
(7-9)
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