2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
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(新课程)高中数学 2-3 反证法与放缩法课件 新人教A版选修4-5
题型三 放缩法在数列中的综合应用 【例 3】 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项； (2)证明：n2－13＜aa12＋aa23＋…＋aan＋n 1＜n2(n∈N＋)．
[思维启迪] (1)问考查由递推关系式求通项的方法； (2)问考查放缩法证明不等式． (1)解 ∵an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数 列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． ∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N＋)．
基础自测
1．实数a，b，c不全为0等价于
( )．
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．“a，b，c中至少有一个
不为0”．
答案 D
2．已知 a，b，c，d 都是正数，S＝a＋ab＋c＋a＋bb＋d＋c＋dc＋a
[思维启迪] 利用 n2＜ nn＋1＜n＋n2＋1放缩，进而求证．
证明 ∵Sn> 12＋ 22＋…＋ n2 ＝1＋2＋…＋n＝nn＋2 1. 且 Sn<1＋2 2＋2＋2 3＋…＋n＋n2＋1 ＝32＋52＋…＋2n＋2 1 <12＋32＋52＋…＋2n＋2 1＝n＋212 ∴nn＋2 1<Sn<n＋212.
法二 假设 x(2－y)＞1 且 y(2－z)＞1 且 z(2－x)＞1.
∴ x2－y＋ y2－z＋ z2－x＞3
③
而 x2－y＋ y2－z＋ z2－x
≤x＋22－y＋y＋22－z＋z＋22－x＝3
④
④与③矛盾，故假设不成立，
∴原题设结论成立．
方法点评 (1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”， “不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反 面比较具体． (2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与 已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾.
2.3《放缩法与反证法证明不等式》课件(新人教选修4-5)
课堂练习
1、当 n > 2 时，求证：log n (n 1) log n (n 1) 1
证：∵n > 2 ∴log n (n 1) 0, log n (n 1) 0
log
n (n
1) log n
(n
1)
log n
(n
1)
2
log
n (n
1) 2
log
n (n2 2
1) 2
不等式的证明
复习
• 不等式证明的常用方法: • 比较法、综合法、分析法
反证法
先假设要证明的命题不成立，以此为出发点, 结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等， 进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确， 从而间接说明原命题成立的方法。
例1.已知x，y f 0，且x y f 2.试证： 1 x ，1 y 中至少有一个小于2.
log n 2
n2
2
1
∴n > 2时, log n (n 1) log n (n 1) 1
课堂练习
• 2、若p>0,q>0,且p3+q3=2, • 求证：p+q≤2
1 a b c d 2 abd bca cdb dac
证：记m =
a b c d abd bca cdb dac
∵a, b, c, dR+
m
a
b
c
d
1
abcd abca cdab dabc
同时 m a b c d 2 ab ab cd dc
∴1 < m < 2 即原式成立
例2已知a,b是实数，求证:
则三式相乘： (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a > 1 ① 64
2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
f(－a)，求证：a<b.
证明：假设a<b不成立，则a＝b或a>b. 当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)， 于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾． 当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得
f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)
于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不 成立． ∴a<b.
项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，
或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从 而达到证明不等式的目的．
1 1 1 1 4．设 n 是正整数，求证： ≤ ＋ ＋„＋ ＜1. 2 n＋1 n＋2 2n
证明：由 2n≥n＋k＞n(k＝1,2，„，n)， 1 1 1 得 ≤ ＜ . 2n n＋k n 1 1 1 当 k＝1 时， ≤ ＜n； 2n n＋1 1 1 1 当 k＝2 时， ≤ ＜ ； 2n n＋2 n „ 1 1 1 当 k＝n 时， ≤ ＜ ， 2n n＋n n ∴将以上 n 个不等式相加得： 1 n 1 1 1 n ＝ ≤ ＋ ＋„＋ ＜ ＝1. 2 2n n＋1 n＋2 2n n
(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，
唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”， “至少”，“不能”等词语的不等式． (2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准 确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，
在解题时要灵活应用．
1．实数a，b，c不全为0的等价条件为 A．a，b，c均不为0
②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明
而断定原命题成立．Fra bibliotek2．不等式的证明方法——放缩法 放缩法证明的定义： 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 放大
人教版高中数学选修4-5课件第二讲2.3反证法与放缩法精选ppt课件
所以 M＜1，选 B. 答案：B
4．用反证法证明“ 2， 3， 5不可能成等差数列” 时，正确的假设是________．
答案： 2， 3， 5成等差数列
5．A＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1与 n
n(n∈N＋)的大小关系
是______________________．
解析：A＝
11＋
12＋
13＋…＋
[变式训练] (1)已知 x＞0，y＞0，z＞0，求证：
x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＞x＋y＋z； (2)求证：12＜n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n＜1(n＞1，n∈N*)．
证明：(1)因为 x＞0，y＞0，z＞0，
所以 x2＋xy＋y2＝
x＋2y2＋34y2＞x＋2y，①
[变式训练] 已知 0＜x＜2，0＜y＜2，0＜z＜2， 求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于 1. 证明：法一：假设 x(2－y)＞1，y(2－z)＞1，z(2－x) ＞1 均成立， 则三式相乘得 xyz(2－x)(2－y)(2－z)＞1，① 因为 0＜x＜2，
所以 0＜x(2－x)＝ － x2＋2x＝ － (x－1)2＋1≤1， 同理，0＜y(2－y)≤1，0＜z(2－z)≤1. 所以三式相乘得 0＜xyz(2－x)(2－y)(2－z)≤1② ②与①矛盾，故假设不成立． 所以 x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于 1.
归纳升华 1．当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存 在”等词语时，适合应用反证法，因为此类问题的反面比 较具体． 2．用反证法证明不等式时，若原命题结论的否定不 止一个，就必须将结论的所有否定逐一驳倒．
3．当遇到命题的结论以“至多”“至少”等形式给 出时，一般多用反证法；应注意“至少有一个”“都是” 的否定形式分别是“一个也没有”“不都是”．
高中数学 2.3反证法与放缩法课件 新人教A版选修45
栏Leabharlann 证法二 假设三式同时大于14.
目 链 接
∵0＜a＜1，∴1－a＞0，
－a
2
＋b≥
－a
b＞ 41＝12.
－b ＋c －c ＋a
1
同理
2
，
2
都大于2.
33 三式相加，得2＞2，此式矛盾，
∴原命题成立．
第十页，共16页。
变式 训练
1．若a3＋b3＝2，求证(qiúzhèng)：a＋b≤2.
分析：a＋b≤2 的反面是 a＋b>2，用反证法证．
证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步，分清欲证不等式所涉及的条件和结论．
第五页，共16页。
第二步，做出与所证不等式______相__反的(假xi定ān．gfǎn)
第三步，从___条__件__(_t_iá_o_j_ià出n发)和(假ch定ūfā)，应用正确的推理方法， 推出________矛结盾果．
第七页，共16页。
栏 目 链 接
第八页，共16页。
题型一 反证法证明(zhèngmíng)不等式
例 1 已知 a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－
c)a 不能同时大于14.
分析：“不能同时”包含情况较多，而其否定“同时大于”仅有 栏
一种情况，因此用反证法．
目 链
1
接
证明：证法一 假设三式同时大于4，
即有(1－a)b＞14，(1－b)c＞14，(1－c)a＞14.
三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞614. 又(1－a)a≤1－2a＋a2＝14，
第九页，共16页。
目 链 接
∵0＜a＜1，∴1－a＞0，
－a
2
＋b≥
－a
b＞ 41＝12.
－b ＋c －c ＋a
1
同理
2
，
2
都大于2.
33 三式相加，得2＞2，此式矛盾，
∴原命题成立．
第十页，共16页。
变式 训练
1．若a3＋b3＝2，求证(qiúzhèng)：a＋b≤2.
分析：a＋b≤2 的反面是 a＋b>2，用反证法证．
证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步，分清欲证不等式所涉及的条件和结论．
第五页，共16页。
第二步，做出与所证不等式______相__反的(假xi定ān．gfǎn)
第三步，从___条__件__(_t_iá_o_j_ià出n发)和(假ch定ūfā)，应用正确的推理方法， 推出________矛结盾果．
第七页，共16页。
栏 目 链 接
第八页，共16页。
题型一 反证法证明(zhèngmíng)不等式
例 1 已知 a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－
c)a 不能同时大于14.
分析：“不能同时”包含情况较多，而其否定“同时大于”仅有 栏
一种情况，因此用反证法．
目 链
1
接
证明：证法一 假设三式同时大于4，
即有(1－a)b＞14，(1－b)c＞14，(1－c)a＞14.
三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞614. 又(1－a)a≤1－2a＋a2＝14，
第九页，共16页。
高二数学人教A版选修4-5课件：2.3 反证法与放缩法
证明:假设 4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)都大于 1,则 a(1-
b)>14,b(1-c)>14,c(1-d)>14,d(1-a)>14.
∴
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������) > 12.
������ ������ 变式训练 2
设
n
是正整数,求证12
≤
1 ������+1
+
������+1 2+…+21������<1.
分析:要求一个
n
项分式 1
������+1
+
������+1 2+…+21������的范围,它的和又求不
出来,可以采用“化整为零”的方法,先观察每一项的范围,再求整体的 范围.
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探究一
探究二
探究三
证法二:假设a+b>2,则a>2-b. ∵a3+b3=2,∴2=a3+b3>(2-b)3+b3, 即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0, 这与(b-1)2≥0矛盾, ∴a+b≤2. 证法三:假设a+b>2, 则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6, ∴ab(a+b)>2. 又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2). ∴a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0,这与(a-b)2≥0矛盾,∴a+b≤2.
2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
[小问题· 大思维] 1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？
提示：用反证法证明不等式要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一 论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进 行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证， 就不是反证法． (3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛 盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与 已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．
y－1＝k x 1 的坐标(x，y)满足 y＋1＝k2x
，
k ＝y－1， x 1 故知 x≠0，从而 y＋1 k2＝ x . y－1 y＋1 代入 k1k2＋2＝0，得 x · x ＋2＝0， 整理后，得 2x2＋y2＝1， 所以交点 P 在椭圆 2x2＋y2＝1 上．
这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．
[通一类] 2．已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，求证：y＝f(x) 在区间(a，b)上至多有一个零点．
证明：假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，
不妨设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零 点，且x1＜x2，则f(x1)＝f(x2)＝0.
的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．
[研一题]
[例1]
设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－
b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.
[精讲详析]
本题考查反证法的应用．解答本题若采用
直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手 解决．
假设 4a(1－b)＞1,4b(1－c)＞1,4c(1－d)＞1， 4d(1－a) ＞1，则有 1 1 a(1－b)＞ ，b(1－c)＞ ， 4 4 1 1 c(1－d)＞ ，d(1－a)＞ . 4 4 1 1 ∴ a1－b＞ ， b1－c＞ ， 2 2 1 1 c1－d＞ ， d1－a＞ . 2 2 a＋1－b b＋1－c 又∵ a1－b≤ ， b1－c≤ ， 2 2
2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？
提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适 当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母 放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小， 则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放 大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数 相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中
的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．
[研一题]
[例1]
设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－
b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.
[精讲详析]
本题考查反证法的应用．解答本题若采用
直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手 解决．
假设 4a(1－b)＞1,4b(1－c)＞1,4c(1－d)＞1， 4d(1－a) ＞1，则有 1 1 a(1－b)＞ ，b(1－c)＞ ， 4 4 1 1 c(1－d)＞ ，d(1－a)＞ . 4 4 1 1 ∴ a1－b＞ ， b1－c＞ ， 2 2 1 1 c1－d＞ ， d1－a＞ . 2 2 a＋1－b b＋1－c 又∵ a1－b≤ ， b1－c≤ ， 2 2
[读教材· 填要点] 1．反证法 先假设 要证的命题不成立 ，以此为出发点，结合已知条 件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得 到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾 的结论，以说明 假设 不正确，从而证明原命题成立，我 们称这种证明问题的方法为反证法． 2．放缩法 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 放大 或 缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的．我们把这种方法 称为放缩法．
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2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
[悟一法] (1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等 词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体． (2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形
式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相
矛盾．
[通一类] 1．已知f(x)是R上的单调递增函数，且f(a)＋f(－b)＞f(－a) ＋f(b)．求证：a＜b. 证明：假设a≥b，则当a＝b时－b＝－a，
[悟一法]
(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或
证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明．在证 明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显 然的事实矛盾，也可以自相矛盾． (2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的
假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用
[读教材· 填要点] 1．反证法 先假设 要证的命题不成立 ，以此为出发点，结合已知条 件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得 到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾 的结论，以说明 假设 不正确，从而证明原命题成立，我 们称这种证明问题的方法为反证法． 2．放缩法 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 放大 或 缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的．我们把这种方法 称为放缩法．
c＋1－d d＋1－a c1－d≤ ， d1－a≤ ， 2 2 a＋1－b 1 b＋1－c 1 ∴ ＞ ， ＞ ， 2 2 2 2 c＋1－d 1 d＋1－a 1 ＞ ， ＞ . 2 2 2 2 将上面各式相加得 2＞2，矛盾． ∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不 可能都大于 1.
2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？
人教版选修A4-5数学课件：2.3 反证法与放缩法(共21张PPT)
-5-
三 反证法与放缩法
探究一 探究二 思维辨析
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1 2
1 2
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【例 2】 求证 2(
1 1 1 ������ + 1-1)<1+ + …+ <2 2 3 ������
������(n∈N+).
分析：观察所证不等式,中间有 n 项需裂项相消,当 k∈N+时,因为 ������ + ������ + 1>2 ������ ,所以
1 >2( ������
������ + 1 −
1
1 4
1
1 4
1 4
1
1
又 ������(1-������) ≤
以上四个式子相加 ,得 2>2,矛盾 . ∴原命题结论成立.
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利用放缩法证明不等式
则 a(1-b)> ,b(1-c)> ,c(1-d)> ,d(1-a)> .
1 4
∴ ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2.
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【例 2】 求证 2(
1 1 1 ������ + 1-1)<1+ + …+ <2 2 3 ������
������(n∈N+).
分析：观察所证不等式,中间有 n 项需裂项相消,当 k∈N+时,因为 ������ + ������ + 1>2 ������ ,所以
1 >2( ������
������ + 1 −
1
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1
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1
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又 ������(1-������) ≤
以上四个式子相加 ,得 2>2,矛盾 . ∴原命题结论成立.
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三 反证法与放缩法
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利用放缩法证明不等式
则 a(1-b)> ,b(1-c)> ,c(1-d)> ,d(1-a)> .
1 4
∴ ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2.
2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
y－1＝k x 1 的坐标(x，y)满足 y＋1＝k2x
，
k ＝y－1， x 1 故知 x≠0，从而 y＋1 k2＝ x . y－1 y＋1 代入 k1k2＋2＝0，得 x · x ＋2＝0， 整理后，得 2x2＋y2＝1， 所以交点 P 在椭圆 2x2＋y2＝1 上．
[读教材· 填要点] 1．反证法 先假设 要证的命题不成立 ，以此为出发点，结合已知条 件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得 到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾 的结论，以说明 假设 不正确，从而证明原命题成立，我 们称这种证明问题的方法为反证法． 2．放缩法 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 放大 或 缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的．我们把这种方法 称为放缩法．
2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？
提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适 当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母 放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小， 则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放 大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数 相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中
3．已知：an＝ 1×2＋ 2×3＋ 3×4＋…＋ nn＋1(n∈N＋)， nn＋1 nn＋2 求证： ＜an＜ . 2 2 证明：∵ nn＋1＝ n2＋n，
∴ nn＋1＞n， ∴an＝ 1×2＋ 2×3＋…＋ nn＋1 nn＋1 >1＋2＋3＋…＋n＝ . 2 n＋n＋1 ∵ nn＋1< ， 2
[悟一法] (1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变 换，即欲证a>b，可换成证a>c且c>b，欲证a<b，可换成证 a<c且c<b.
人教A版选修4-5 第2讲 3 反证法与放缩法 课件(15张)
知识点二 放缩法证明不等式
4．已知 S＝1＋1×1 2＋1×12×3＋…＋1×2×31×…×n(n 是
大于 2 的自然数)，则有( )
A．S<1
B．2<S<3
C．1<S<2
D．3<S<4
解析：S＝11＋1×1 2＋1×12×3＋…＋1×2×31×…×n<1＋12 ＋212＋213＋…＋2n1－1＝11－－2112n＝2－2n1－1<2.
又因为 S＝1＋1×1 2＋…＋1×2×31×…×n>1.故选 C. 答案：C
5．令
P＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1n，Q＝
n，则 P 与 Q 的大小
关系是________．
解析：P＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1≥ n
1＋ n
1 ＋…＋ n
1＝ n
n＝ n
n，当且仅当 n＝1 时取等号，∴P≥Q.
综上所述，正确的命题有 2 个，故选 B. 答案：B
பைடு நூலகம்
3．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列．
求证： a， b， c不成等差数列．
证明：假设 a， b， c成等差数列，则有 a＋ c＝2 b，即 a＋c＋2 ac＝4b.
又∵三个正数 a，b，c 成等比数列． ∴b2＝ac，即 b＝ ac. ∴a＋c＋2 ac＝4 ac，即( a－ c)2＝0， ∴ a＝ c，即 a＝c.从而得 a＝b＝c. ∴a，b，c 也成等差数列，这与已知矛盾． 故假设错误，∴ a， b， c不成等差数列．
命题的结论．
A．①②
B．①②③
C．①②③④
D．②③
解析：在用反证法证明命题时，要把假设，原命题中的条
2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 － ＋ － ＋…＋n－ ＜ 2＋ 2＋…＋ 2＜1－ 2 3 3 4 n 2 n＋1 2 3 1 1 1 1 ＋ － ＋…＋ － ， 2 3 n－1 n 1 1 1 1 1 1 即 － ＜ ＋ ＋…＋ 2＜1－n， 2 n＋1 22 32 n 1 1 1 1 1 1 ∴1＋ － ＜1＋ 2＋ 2＋…＋ 2＜1＋1－n， 2 n＋1 2 3 n 3 1 1 1 1 1 即 － ＜1＋ 2 ＋ 2 ＋…＋ 2 ＜2－ n (n∈N* 且 2 n＋1 2 3 n n≥2)成立．
[悟一法] (1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等 词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体． (2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形
式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相
矛盾．
[通一类] 1．已知f(x)是R上的单调递增函数，且f(a)＋f(－b)＞f(－a) ＋f(b)．求证：a＜b. 证明：假设a≥b，则当a＝b时－b＝－a，
于是有f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾．
当a＜b时，－a＞－b，于是有f(a)<f(b)，f(－b)<f(－a)， ∴f(a)＋f(－b)＜f(b)＋f(－a)与已知矛盾． ∴a<b.
[研一题] [例2] 实数a、b、c、d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1， 求证：a、b、c、d中至少有一个是负数． [精讲详析] 本题考查“至多”、“至少”型命题的证明方 法．解答本题应假设a、b、c、d都是非负数，然后证明并得 出矛盾． 假设a、b、c、d都是非负数， 即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0， 则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd， 这与已知中ac＋bd＞1矛盾， ∴原假设错误， ∴a、b、c、d中至少有一个是负数．
高中数学 2.3 反正法和放缩法课件 新人教A版选修45
第三十六页，共42页。
证明 ∵n∈N＋， ∴n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n≥21n＋21n…＋21n＝2nn＝12. 又∵n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n<1n＋1n＋…＋1n ＝nn＝1， ∴12≤n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n<1.
第三十七页，共42页。
【例 4】 已知实数 x，y，z 不全为零，求证： x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2>32(x＋y＋z)．
k＋1＝2(
k＋1－
k)．
∴1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1 n >2(
2 －1)＋2(
3－
2)＋…＋
2( n＋1－ n)＝2( n＋1－1)．
又∵
1 k<
2 k＋
k－1＝2(
k－
k－1)(2≤k≤n)，
第三十三页，共42页。
∴1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1n<1＋2(
2－1)＋2(
3－
2)＋…＋
2( n－ n－1)＝2 n.
【分析】 本题结论中含有都不是，从语言上来判断可以 用反证法．
第二十四页，共42页。
【证明】 (1)假设 x，y，z 中有负数， 若 x，y，z 中有一个负数，不妨设 x<0， 则 y2＋z2≥12(y＋z)2＝12(a－x)2， 又∵y2＋z2＝12a2－x2， ∴12a2－x2≥12(a－x)2. 即32x2－ax≤0，这与 a>0，x<0 矛盾． 若 x，y，z 中有两个是负数，不妨设 x<0，y<0，
由于 x，y，z 不全为零，故上面三个式子中至少有一个式
子等号不成立，
第三十九页，共42页。
证明 ∵n∈N＋， ∴n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n≥21n＋21n…＋21n＝2nn＝12. 又∵n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n<1n＋1n＋…＋1n ＝nn＝1， ∴12≤n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n<1.
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【例 4】 已知实数 x，y，z 不全为零，求证： x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2>32(x＋y＋z)．
k＋1＝2(
k＋1－
k)．
∴1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1 n >2(
2 －1)＋2(
3－
2)＋…＋
2( n＋1－ n)＝2( n＋1－1)．
又∵
1 k<
2 k＋
k－1＝2(
k－
k－1)(2≤k≤n)，
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∴1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1n<1＋2(
2－1)＋2(
3－
2)＋…＋
2( n－ n－1)＝2 n.
【分析】 本题结论中含有都不是，从语言上来判断可以 用反证法．
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【证明】 (1)假设 x，y，z 中有负数， 若 x，y，z 中有一个负数，不妨设 x<0， 则 y2＋z2≥12(y＋z)2＝12(a－x)2， 又∵y2＋z2＝12a2－x2， ∴12a2－x2≥12(a－x)2. 即32x2－ax≤0，这与 a>0，x<0 矛盾． 若 x，y，z 中有两个是负数，不妨设 x<0，y<0，
由于 x，y，z 不全为零，故上面三个式子中至少有一个式
子等号不成立，
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5．设f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0,1]，求证：
|f(a)－f(b)|<|a－b|.
证明：|f(a)－f(b)|＝|a2－a－b2＋b| ＝|(a－b)(a＋b－1)|＝|a－b||a＋b－1| ∵0≤a≤1,0≤b≤1 ∴0≤a＋b≤2， －1≤a＋b－1≤1，|a＋b－1|≤1. ∴|f(a)－f(b)|≤|a－b|.
(
)
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是 “至少有一个不为0”．
答案：D
2．证明：三个互不相等的正数a、b、c成等差数列，则a， b，c不可能成等比数列． 证明：假设a，b，c成等比数列，则b2＝ac.
z x 3 ＋(y＋ )＋(z＋ )＝ (x＋y＋z)． 2 2 2
(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端
的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，
进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证 的失败． (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法， 利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正
项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，
或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从 而达到证明不等式的目的．
1 1 1 1 4．设 n 是正整数，求证： ≤ ＋ ＋„＋ ＜1. 2 n＋1 n＋2 2n
证明：由 2n≥n＋k＞n(k＝1,2，„，n)， 1 1 1 得 ≤ ＜ . 2n n＋k n 1 1 1 当 k＝1 时， ≤ ＜n； 2n n＋1 1 1 1 当 k＝2 时， ≤ ＜ ； 2n n＋2 n „ 1 1 1 当 k＝n 时， ≤ ＜ ， 2n n＋n n ∴将以上 n 个不等式相加得： 1 n 1 1 1 n ＝ ≤ ＋ ＋„＋ ＜ ＝1. 2 2n n＋1 n＋2 2n n
[例 2]
2
已知实数 x、y、z 不全为零．求证：
2 2 2 2 2
3 x ＋xy＋y ＋ y ＋yz＋z ＋ z ＋zx＋x > (x＋ y＋ 2 z)．
[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方
后再用放缩法证明．
[证明] ＝ ≥
x2＋xy＋y2 y2 3 2 x＋ ＋ y 2 4 y2 x＋ 2
又∵a、b、c成等差数列
∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d公差)． ∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2. ∴d2＝0，∴d＝0.这与已知中a、b、c互不相等矛盾． ∴假设不成立．∴a、b、c不可能成等比数列．
3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)<f(b)＋
1．不等式的证明方法——反证法 (1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，
然后由 此假设出发，结合已知条件，应用公理、定义、定
理、性质等，进行 正确的推理 ，得到和命题的条件 (或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论， 以说明 假设 不成立，从而证明原命题成立． (2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立； 假设不成立 ，从
点击下图进入创新演练
②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明
而断定原命题成立．
2．不等式的证明方法——放缩法 放缩法证明的定义： 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 放大
或 缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的．
3．放缩法的理论依据主要有 (1)不等式的传递性； (2)等量加不等量为 不等量 ； (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．
[例 1]
已知 f(x)＝x2＋px＋q
求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2 1 (2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 . 2
[思路点拨]
“不小于”的反面是“小于”，“至少
有一个”的反面是“一个也没有”．
[证明]
(1)f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(q＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2. 1 (2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 . 2 则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2 矛盾 1 ∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 . 2
f(－a)，求证：a<b.
证明：假设a<b不成立，则a＝b或a>b. 当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)， 于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾． 当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得
f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)
于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不 成立． ∴a<b.
y y ＝|x＋ |≥x＋ . 2 2 z 同理可得： y ＋yz＋z ≥y＋ ， 2
2 2
x z ＋zx＋x ≥z＋ ，由于 x、y、z 不全为零，故 2
2 2
上述三式中至少有一式取不到等号， 所以三式相加得： y x ＋xy＋y ＋ y ＋yz＋z ＋ z ＋zx＋x >(x＋ ) 2
2 2 2 2 2 2
(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，
唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”， “至少”，“不能”等词语的不等式． (2)注意事项：在对原命题进ห้องสมุดไป่ตู้否定时，应全面、准 确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，
在解题时要灵活应用．
1．实数a，b，c不全为0的等价条件为 A．a，b，c均不为0