2020届高三浙江百校联考数学卷
浙江省联考部分市学校2020届高三上学期数学试题Word版含解析
浙江省联考部分市学校2020届高三上学期数学试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，那么（）A. B. C. D.2. 设为虚数单位，表示复数的共轭复数，若，则（）A. B. C. D.3. “”是“直线与直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知，满足约束条件若恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.5. 已知函数（），下列选项中不可能是函数图象的是（）A. B. C. D.6. 已知实数，，，则的最小值是（）A. B. C. D.7. 已知等差数列、的前项和分别为、，若，则的值是（）A. B. C. D.8. 设点是双曲线（，）上异于实轴端点上的任意一点，，分别是其左右焦点，为中心，，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.9. 已知是正四面体（所有棱长都相等的四面体），是中点，是上靠近点的三等分点，设与、、所成角分别为、、，则（）A. B. C. D.10. 如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，将答案填在答题纸上）11. 16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即.现在已知，，则__________.12. 设，，则__________；__________.13. 在的展开式中，各项系数之和为64，则__________；展开式中的常数项为__________.14. 4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，并且每队赢的场数各不相同，则共有__________种结果；其概率为__________.15. 某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为__________；此几何体的体积__________.16. 已知圆：（），点，若在圆上存在点，使得，的取值范围是__________.17. 当时，不等式恒成立，则的最大值是__________.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 设函数.（1）求的单调递增区间；（2）若角满足，，的面积为，求的值.19. 如图，在三棱锥中，是正三角形，面面，，，和的重心分别为，.（1）证明：面；（2）求与面所成角的正弦值.20. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，存在实数，使.21. 如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆：上一点，从原点向圆：作两条切线分别与椭圆交于点，，直线，的斜率分别记为，.（1）求证：为定值；（2）求四边形面积的最大值.22. 已知数列满足：，，.（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：.浙江省联考部分市学校2020届高三上学期数学试题参考答案第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合∴∵集合∴故选C2. 设为虚数单位，表示复数的共轭复数，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴∴故选B3. “”是“直线与直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，两直线不平行当时，由两直线平行可得，且，解得或∴“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件故选A4. 已知，满足约束条件若恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出满足约束条件的可行域如图所示：平移直线到点时，有最小值为∵恒成立∴，即故选D点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.5. 已知函数（），下列选项中不可能是函数图象的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵（）∴当时，，易得在上为减函数，在上为增函数，故可能；当时，，，为增函数，故可能；当时，，有两个不相等且互为异号的实数根，先递减再递增然后再递减，故可能；当时，，有两个不相等的负实数根，先递增再递减然后再递增，故错误.故选D6. 已知实数，，，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，，∴当且仅当，即，时取等号.故选B点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。
2020届浙江省高三百校联考 数学
2020届浙江省高三百校联考数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。
1.已知集合{{12}A x y B x x ===-≤≤，则A∩B ＝ A.{12}x x -<≤ B.{01}x x ≤≤ C.{12}{1}x x ≤≤- D.{02}x x ≤≤2.已知i 是虚数单位，若复数z 满足以z(1＋2i)＝3＋4i ，则|z|＝B.2D.33.若x ，y 满足约束条件1020220x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤⎩，则z ＝x ＋y 的最大值是A.－5B.1C.2D.44.已知平面β，α和直线l 1，l 2，且α∩β＝ l 2，则“l 1//l 2”是“l 1//α且 l 1//β”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若二项式2)nx 的展开式中各项的系教和为243，则该展开式中含二项的系数为A.1B.5C.10D.206.函数f(x)＝xcose |x|的大致图象为7.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间。
2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学(理)试题(解析版)
2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学（理）试题一、单选题 1．复数312112i ii +++-的模为（ ） A ．1 B 3C 5D ．5【答案】C【解析】对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案. 【详解】 根据题意，31211211212i i i ii i +++++=+-+ (12)(1)122i i i+-+=+3122i i++=+2i =+，所以22|2|215i +=+=故选：C. 【点睛】本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题.2．集合{|3}A x x =≤，(){}22|log 2,B x y x x x R ==-+∈，则A B ＝ð（ ） A ．{|0}x x ≤ B ．{|2 3 0}x x x ≤≤≤或 C ．{|23}x x ≤≤ D ．{|03}x x ≤≤【答案】B【解析】对集合B 进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案. 【详解】因为(){}22|log 2,B x y x x x ==-+∈R{}2|20,x x x x =-+>∈R{}|02,x x x =<<∈R ，因为集合{|3}A x x =≤所以{|2 3 0}A B x x x =≤≤≤或ð. 故选：B. 【点睛】本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题.3．已知向量(3,4)a =r ，则实数1λ=是||5a λ=r 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先求出a r ，然后分别判断由1λ=能否得到||5a λ=r ，和由||5a λ=r能否得到1λ=，从而得到答案. 【详解】因为向量(3,4)a =r ，所以22345a =+=r因为1λ=，所以可得5a a λλ==r r，所以1λ=是||5a λ=r的充分条件. 因为||5a λ=r，所以||||5a λ=||1λ=即1λ=±.所以1λ=是||5a λ=r的不必要条件.综上所述，实数1λ=是||5a λ=的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题.4．已知函数32,0()log ,0x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则不等式()1g x <的解集为（ ）A ．(0,2)B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．(1,2)【答案】C【解析】按0x ≤和0x >，分别解不等式()1g x <，从而得到答案. 【详解】根据题意，32,0,()log ,0,x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，由不等式()1g x <得310x x ⎧-<⎨≤⎩或2log 10x x <⎧⎨>⎩，， 所以10x -<≤或02x <<. 即12x -<<所以不等式()1g x <的解集为(1,2)-. 故选：C. 【点睛】本题考查解分段函数不等式，解对数不等式，属于简单题. 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图 A ．43 B ．23C ．32-D ．34-【答案】C【解析】根据三视图还原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥E ABC -和三棱锥E ACD -两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出几何体的体积. 【详解】该几何体的直观图如下图，平面ACD ⊥平面ABC ，DE P 平面ABC ，ACD V 与ACB △均是边长为2的等边三角形，2BE =，点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上， 所以DE ⊥平面ACD ， 所以1313E ABC ABC V S -∆=⨯=， 13E ACD ACD V S DE -=⨯⨯V 13(31)3=31=，所以几何体的体积为32. 故选：C. 【点睛】本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题. 6．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（ ） A ．1112B ．3316C ．3516D ．12548【答案】D【解析】对()f x 求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与()g x 的交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案. 【详解】由题意，22()(1)f x x '=--，221(3)(31)2f '∴=-=--，所以切线方程为270x y +-=，与2()2g x x =+的交点横坐标为132x =-，21x =. 故封闭图形的面积13227222x S x dx -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 3122231323311d 22243x x x x x x --⎛⎫⎛⎫=⎰--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12548=故选：D. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中档题. 7．已知数列满足11a =，121n n a a +=+，设数列(){}2log 1n a +的前n 项和为n S ，若12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+，则与9T 最接近的整数是（ ） A ．5 B ．4C ．2D ．1【答案】C【解析】根据递推关系式121n n a a +=+，得到1121n n a a ++=+，得到{}1n a +的通项，从而得到(){}2log 1na +的通项和前n 项和nS，从而求出n T ，再得到9T ，从而得到答案.【详解】由题意，()112221n n n a a a ++=+=+，所以1121n n a a ++=+， 所以{}n a 为以112a +=为首项，2为公比的等比数列， 所以()11112n n a a -+=+2n =，因此()2log 1n a n +=，数列(){}2log 1n a +的前n 项和为(1)2n n n S +=， 12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，12111n nT S SS =++⋅⋅⋅+ 11111212231n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以995T =. 所以与9T 最接近的整数是2. 故选：C. 【点睛】本题考查构造法求数列的通项，等差数列前n 项和公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.8．已知函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[2,)+∞ B ．(1,0)(2,)-+∞U C ．(1,2]-D ．(1,0)-【答案】D【解析】画出()y f x =的图像，然后得到()y f x =的图像和y m =的图像有两个交点，从而得到m 的取值范围. 【详解】根据函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，画出()f x 的图象如图所示，函数()()g x f x m =-有两个零点则函数()y f x =的图象与y m =的图象有2个交点， 所以10m -<<，所以实数m 的取值范围为(1,0)-. 故选：D. 【点睛】本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题. 9．如果函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞，则14m n +的最小值为（ ） A ．92B ．2C ．1D ．34【答案】A【解析】由()f x 单调递增区间为[1,)+∞，得到对称轴方程21n m--=，即2m n +=，再根据基本不等式求出14m n+的最小值，得到答案. 【详解】因为函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞ 所以对称轴为：21n m--=，即2m n +=， 所以14114()2m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1452m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭14(522m n n m≥+⋅92=，当且仅当2,3m =43n =时，等号成立. 故选：A. 【点睛】本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于简单题. 10．已知3sin()1223πα-=则sin(2)6πα+= （ ）A ．710-B ．710C ．79-D ．79【答案】C【解析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解. 【详解】21cos()12sin ()61223ππαα-=--=,(2)cos[(2)]cos(2)6263sin ππππααα+=-+=-272()169cos πα=--=-,故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.11．如图，在三角形ABC 中，AC 上有一点D 满足4BD =，将ABD △沿BD 折起使得5AC =，若平面EFGH 分别交边AB ，BC ，CD ，DA 于点E ，F ，G ，H ，且AC P 平面EFGH ，BD P 平面EFGH 则当四边形EFGH 对角线的平方和取最小值时，DHDA=（ ）A ．14B ．1641C ．2041D ．3241【答案】B【解析】易得HG AC P ，EF AC P ，设DH GHk DA AC==，易得∥EH BD ，∥FG BD ，得1AH EHk DA BD==-，从而得到5GH k =，4(1)EH k =-，平行四边形EFGH 中，()2222413216EG HF k k +=-+，从而得到22EG HF +最小时的k 值，得到答案.【详解】AC P 平面EFGH ，AC ⊂平面ACD ，平面ACD I 平面EFGH HG =， 所以AC HG P ，同理AC EF P设DH GHk DA AC==(01)k <<， BD P 平面EFGH ，BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH HE =， 所以BD HE P ，同理∥FG BD所以1AH EHk DA BD==-， 因为4BD =，5AC =所以5GH k =，4(1)EH k =-， 在平行四边形EFGH 中，222222516(1)EG HF k k ⎡⎤∴+=+-⎣⎦(22413216)k k =-+， 又01k <<Q ，∴当1641k =时，22EG HF +取得最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查线面平行证明线线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中档题. 12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，(2018)2f =，任意的[1,2]t ∈，函数32(2)()(2)2f m g x x x f x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上存在极值点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(9,5)--C ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．37,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据(2)()0f x f x ++=得到()f x 周期为4，再求得()()220182f f ==，得到()g x ，求导得到()g x '，判断出()0g x '=的两根一正一负，则()g x 在区间(,3)t 上存在极值点，且[]1,2t ∈，得到()g x '在(),3t 上有且只有一个根，从而得到关于t 的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于m 不等式组，解得m 的范围. 【详解】由题意知，(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x ∴+=，所以()f x 是以4为周期的函数，(2018)(2)2f f ∴==，所以322()22m g x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭32222m x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求导得2()3(4)2g x x m x '=++-， 令()0g x '=，23(4)20x m x ∴++-=，2(4)240m ∆=++>，由12203x x =-<， 知()0g x '=有一正一负的两个实根. 又[1,2],t ∈(,3)x t ∈，根据()g x 在(,3)t 上存在极值点，得到()0g x '=在(,3)t 上有且只有一个正实根.从而有()0(3)0g t g ''<⎧⎨>⎩，即23(4)2027(4)320t m t m ⎧++-<⎨++⨯->⎩恒成立，又对任意[1,2]t ∈，上述不等式组恒成立，进一步得到2311(4)20,322(4)20,273(4)20,m m m ⨯+⨯+-<⎧⎪⨯+⨯+-<⎨⎪+⨯+->⎩所以59373m m m ⎧⎪<-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩故满足要求的m 的取值范围为：3793m -<<-. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题.二、填空题13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,1)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，3BD DC =u u u r u u u r，则OA OD ⋅=u u u r u u u r________.【答案】32-【解析】将3BD DC =u u u r u u u r 转化为3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得到OD uuu r的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算，得到答案. 【详解】因为3BD DC =u u u r u u u r，所以3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()134OD OC OB =+u u u r u u u r u u u r 93,44⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1OA =-u u u r所以9344OA OD ⋅=-+u u u r u u u r 32=-.故答案为：32-.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题.14．已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则11y z x +=+的最小值为________.【答案】13【解析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案. 【详解】因为已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，画出可行域，如图所示，11y x ++表示点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，所以可得当直线过点A 时，z 最小，由0240y x y =⎧⎨+-=⎩得2,0,x y =⎧⎨=⎩所以z 的最小值为011213+=+. 故答案为：13. 【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.15．如图，底面ABCD 为正方形，四边形DBEF 为直角梯形，DB EF ∥，BE ⊥平面ABCD ，2AB BE ==，2BD EF =，则异面直线DF 与AE 所成的角为________.【答案】6π 【解析】设正方形ABCD 的中心为O ，可得OE DF ∥，得到直线DF 与AE 所成角为AEO ∠（或其补角），根据余弦定理，可得cos AEO ∠的值，从而得到答案. 【详解】 如图，设正方形ABCD 的中心为O ，连接AO ，EO ， 则12OD BD =因为DB EF ∥，2BD EF = 所以EF OD P ，EF OD = 所以DFEO 为平行四边形， 所以OE DF ∥，所以直线DF 与AE 所成角等于OE 与AE 所成的角，即AEO ∠（或其补角）， 因为2,AE =2,OA =6OE =在三角形AEO 中，根据余弦定理，可知2223cos 2EO EA AO AEO EO EA +-∠==⋅， 所以6AEO π∠=.故答案为：6π. 【点睛】本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题. 16．已知函数()4cos sin 33f x x x πωω⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(0)>ω在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，无最大值，则ω=________. 【答案】73【解析】先对()f x 进行整理，得到()2sin 23f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，得到743k ω=+，然后根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭无最大值，得到周期的范围，从而得到ω的范围，确定出ω的值. 【详解】()4cos sin 33f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭134cos sin cos 322x x x ωωω⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭)22sin cos 32cos 1x x x ωωω=+-sin 232x x ωω=2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，依题意，则322,432k ππωππ⨯+=+k Z ∈， 所以743k ω=+()k ∈Z . 因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 所以342πππω-≤，即6ω≤， 令0k =，得73ω=. 故答案为：73ω=. 【点睛】本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦型函数的最值和周期求参数的值，属于中档题.三、解答题17．已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，149a a +=，238a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n S ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=；（2）1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-【解析】（1）根据等比数列23148a a a a ==，解出1a 和4a 的值，从而得到公比q ，得到{}n a 的通项公式；（2）根据（1）得到n S ，再利用错位相减法和分组求和的方法求出{}n n S ⋅的前n 项和n T . 【详解】（1）由题意，1423149,8,a a a a a a +=⎧⎨==⎩ 解得11,a =48a =或18,a =41a =； 而等比数列{}n a 递增，所以11,a =48a =，故公比4312a q a ==，所以12n n a -=. （2）由（1）得到12n S =++…1221n n -=-， 所以()*21n n S n ⋅=-2n n n =⋅-，23122232n T =⨯+⨯+⨯+…2(12n n +⋅-++…)n +，设23122232t =⨯+⨯+⨯+…2n n +⋅，2342122232t =⨯+⨯+⨯+…12n n ++⋅，两式相减可得，23222t -=+++ (1)22n n n ++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-故1(1)22n t n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-. 【点睛】本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前n 项的和，属于简单题.18．已知函数321()3f x x ax bx =-+(),a b ∈R 在区间(1,2)-上为单调递减函数. （1）求+a b 的最大值；（2）当2a b +=-时，方程2135()32b f x x +=+有三个实根，求b 的取值范围. 【答案】（1）32-；（2）123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求得()f x '，根据()f x 在区间(1,2)-上为减函数，得到(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立，从而得到关于a ，b 的约束条件，画出可行域，利用线性规划，得到+a b 的最大值；（2）根据2a b +=-，得到b 的范围，设2135()()32b h x f x x +=--，求导得到()h x '，令()0h x '=得到x b =或1x =，从而得到()h x 的极值点，根据()h x 有3个零点，得到b 的不等式组，解得b 的范围. 【详解】（1）2()2f x x ax b '=-+， 因为()f x 在区间(1,2)-上为减函数，所以(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立即120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩，画出可行域如图所示：设z a b =+，所以b a z =-+，z 表示直线l ，b a z =-+在纵轴上的截距.当直线:l b a z =-+经过A 点时，z 最大， 由120,440,a b a b ++=⎧⎨-+=⎩所以12a =，2b =- 故z a b =+的最大值为13222-=-. （2）由2a b +=-得2a b =--代入120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩可得1235b -≤≤-， 令2135()()32b h x f x x +=--32111323b x x bx +=-+-， 故由2()(1)h x x b x b '=-++(1)()0x x b =--=，得x b =或1x =，所以得到()h x 和()h x '随x 的变化情况如下表：x (,)b -∞ b(,1)b 1(1,)+∞ ()h x ' +-+()h xZ极大值32111623b b -+- ]极小值12b -要使()h x 有三个零点，故需321110,62310,2b b b ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 即()2(1)220,1,b b b b ⎧---<⎪⎨<⎪⎩ 解得13b <， 而12135>-所以b 的取值范围是123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足cos cos 2cos ca Bb A C+=，且BC 边上一点P 使得PA PC =. （1）求角C 的大小； （2）若3PB =，357sin BAP ∠=ABC V 的面积. 【答案】（1）3C π=；（253【解析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到cos C 的值，从而得到C 的值；（2）根据条件得到APC △为等边三角形，从而得到23APB ∠=π，根据正弦定理，得到AB 的值，根据余弦定理，得到AP 的长，根据三角形面积公式，得到答案.【详解】（1）因为cos cos 2cos ca Bb A C+=在ABC V ，由正弦定理sin sin sin a b cA B C== 所以得2cos (sin cos sin cos )C A B B A +sin C =. 所以2cos sin()sin C A B C +=. 即2cos 1C = 所以1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=（2）由（1）知3C π=，而PA PC =APC △为等边三角形.由于APB ∠是APC △的外角， 所以23APB ∠=π. 在APB △中，由正弦定理得2sin sin3PB ABBAPπ=∠， 2357sin 3ABπ=，所以19AB =所以由余弦定理得，2222co 23s AB PA PB PA PB π=+-⋅， 即21993PA PA =++， 所以2PA =，故235BC =+=，2AC =， 所以11353sin 2522ABC S CA CB C =⋅⋅=⨯⨯=V . 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.20．如图，在四棱锥1A ABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ︒∠=，AB DC P ，2DC AB =24AD ==，12AA =且O 为BD 的中点，延长AO 交CD 于点E ，且1A 在底ABCD内的射影恰为OA 的中点H ，F 为BC 的中点，Q 为1A B 上任意一点.（1）证明：平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）求平面1A OE 与平面1A DC 所成锐角二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（25【解析】（1）根据1A H ⊥平面ABCD ，得到1A H EF ⊥，由平面几何知识得到EF AE ⊥，从而得到EF ⊥平面1A OE ，所以所以平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，得到平面1A DC 和平面1A OE 的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值. 【详解】（1）由题意，E 为CD 的中点，因为1A H ⊥平面ABCD ，EE ⊂平面ABCD ， 所以1A H EF ⊥，又因为DB EF ∥，AB AD =，OB OD =，所以AE 垂直平分BD ， 所以DE BE =又因AB DE ∥，90BAD ︒∠= 所以ADEB 为正方形， 所以DE EC AB == 因为F 为BC 的中点， 所以EF BD P而DB AE ⊥，所以EF AE ⊥，又1A H AE H =I ，所以EF ⊥平面1A OE ， 又EF ⊂平面EFQ ，所以平面EFQ⊥平面1A OE .（2）因为1A 在底面ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ， 所以112242OH OA BD ===. 因为AB AD ⊥，所以过点O 分别作AD ，AB 的平行线（如图）， 并以它们分别为x ，y 轴，以过O 点且垂直于xOy 平面的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,3,0)C ，(1,1,0)D -，1116,22A ⎛-- ⎝⎭， 所以1316,,222A D ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ，1376,,222A C ⎛=- ⎝⎭，设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则1100n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r v u u v v ，所以316022376022x y z x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令6z =6)n =r，由（1）知，BD ⊥平面1A OE ，所以OD ⊥平面1A OE ，所以(1,1,0)OD =-u u u r为平面1A OE 的一个法向量，则||5|cos ,|||||102n OD n OD n OD ⋅〈〉===⋅r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面1A OE 与平面1A DC 5. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题. 21．已知函数1()1ln1mx f x x x-=-++(0)m >与满足()2()g x g x -=-()x R ∈的函数()g x 具有相同的对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）当(,]x a a ∈-，期中(0,1)a ∈，a 是常数时，函数()f x 是否存在最小值若存在，求出()f x 的最小值；若不存在，请说明理由； （3）若(21)(1)2f a f b -+-=，求22211a b a b+++的最小值. 【答案】（1）1()1ln 1x f x x x -=-++；（2）11ln 1a a a--++（3）94 【解析】（1）根据()g x 关于()0,1对称，从而得到()()2f x f x +-=，整理化简，得到m 的值；（2）判断出()f x 的单调性，得到当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，从而得到()f x 最小值；（3）由(21)(1)2f a f b -+-=得到a ，b 关系，然后将22b a =-代入到22211a b a b+++，利用基本不等式，得到其最小值.【详解】（1）因为()2()g x g x -=-，所以()()2g x g x -+=，所以()y g x =图象关于(0,1)对称， 所以11()()1ln 1ln 11mx mx f x f x x x x x-++-=-+++++- 22212ln 21m x x ⎛⎫-=+= ⎪-⎝⎭所以22211,1m x x-=-0m > 解得1m =， 所以1()1ln 1x f x x x-=-++. （2）()f x 的定义域为(1,1)-，1()1ln 1x f x x x -=-++21ln 11x x ⎛⎫=-+-+ ⎪+⎝⎭，当12x x <且12,(1,1)x x ∈-时，()f x 为减函数，所以当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，所以当x a =时，min 1()1ln1a f x a a-=-++. （3）由(21)(1)2f a f b -+-=， 得2110,1211,111,a b a b -+-=⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩解得01,a <<02,b <<22a b +=， 所以2222221211(1)a b a b ab b a a b a b++++++=++ 21(1)b a a b++=+()25321a a -=- 令53t a =-，则5,3t a -=(2,5)t ∈， ()()225392121016a t a t t -=--+- 916210t t =⎛⎫--+ ⎪⎝⎭94162(210)t t≥=-⋅- 当且仅当4t =时，等号成立， 即当13a =，43b =时，22211a b a b+++的最小值为94. 【点睛】本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的最小值，属于中档题.22．已知函数1()ln 2f x mx x =--()m R ∈，函数()F x 的图象经过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其导函数()F x '的图象是斜率为a -，过定点(1,1)-的一条直线.（1）讨论1()ln 2f x mx x =--()m R ∈的单调性； （2）当0m =时，不等式()()F x f x ≤恒成立，求整数a 的最小值.【答案】（1）当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）2【解析】对()f x 求导，得到()f x '，按0m ≤和0m >进行分类讨论，利用导函数的正负，得到()f x 的单调性；（2）根据题意先得到()F x '，然后得到()F x 的解析式，设()()()g x F x f x =-，按0a ≤和0a >分别讨论，利用()g x '得到()g x 的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于0时，整数a 的最小值.【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()mx f x x-'=， 当0m ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0m >时，令()0f x '=，则1x m =， 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数， 综上，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）根据题意，()(1)1F x a x '=-++， 设21()(1)2F x ax a x c =-+-+，代入10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得12c =， 令()()()g x F x f x =-21ln (1)12x ax a x =-+-+， 所以1()(1)g x ax a x '=-+-2(1)1ax a x x-+-+=. 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上是单调递增函数，又因为21(1)ln11(1)112g a a =-⨯+-⨯+3202a =-+>， 所以关于x 的不等式()()F x f x ≤不能恒成立.当0a >时，2(1)1()ax a x g x x -+-+'=1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令()0g x '=，得1x a =. 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. 故函数()g x 的最大值为211111ln (1)12g ax a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 2a a =-. 令1()ln 2h a a a =-，因为1(1)0,2h =>1(2)ln 204h =-<， 又因为()h a 在(0,)a ∈+∞上是减函数.所以当2a ≥时，()0h a <.所以整数a 的最小值为2.【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，根据导函数的解析式求原函数的解析式，利用导数研究不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想，题目比较综合，属于难题.。
2020-2021学年高三百校3月联考数学试卷答案
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浙江名校Z20联盟2020届第三次联考数学试卷及参考答案
浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第三次联考 数学参考答案 第 1 页 共 5 页浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第三次联考数学参考答案一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A A D C B B A C C二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11． 12 12．324;402x −− 13．2;4223+ 14．23;3π 15．20 16．1− 17．622;2− 三、解答题: 本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分14分） 【答案】（Ⅰ）T =π，3()34f π=−；（Ⅱ）13[,)44a ∈ 【解析】（Ⅰ）313()2sin cos()cos 2sin 23222f x x x x x π=+−=−， ……（4分） 则最小正周期T =π，……（6分） 3()34f π=−.（直接带入也可） ……（8分） （Ⅱ）3|()|sin(2)221226f x a x a a ππ++=⇒+=−或. ……（10分）35[0,]2[,]4663x x ππππ∈⇒+∈，考虑要有3个解，结合图像可知121,232,2a a ⎧≤<⎪⎪⎨⎪−>−⎪⎩ ……（12分）故13[,)44a ∈. ……（14分）浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第三次联考 数学参考答案 第 2 页 共 5 页19．（本小题满分15分）【答案】（Ⅰ）证明略（Ⅱ）7【解析】（Ⅰ）设F 为DE 的中点，D 为AC 的中点，2BE EA =，则2AD AE ==，故,AF DE A F DE '⊥⊥. 34BP PC =，34BP AB PC AC ==，所以AP 是BAC ∠的角平分线，且,,A F P 三点共线. 由DE FP DE A FP DE A P DE A F ⊥⎧''⇒⊥⇒⊥⎨'⊥⎩面. ……（6分） （Ⅱ）法一：连结AA '.由DE A FP '⊥平面得ABC A FP '⊥平面平面，交线为AP .所以A '在面ABC 上的射影点H 在AP 上.A PH '∠为直线A P '与平面BCD 所成角. ……（9分）由余弦定理得7cos 8CAB ∠=，故1DE =，152AF A F '==，由23AA '=得5sin 5A AP '∠=，所以2155A H '=. ……（11分） 由（Ⅰ）得AP 为角平分线.由余弦定理得6157AP =,21535PH ==. ……（13分） tan 7A H A PH PH''∠==，所以直线A P '与平面BCD 所成角的正切值为7. ……（15分）法二：如图，以F 为原点，,FE FP 为,x y 轴建立空间直角坐标系.……（8分） 111531515515(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(0,((224F E D A B C P −−, 设(0,,)A a b '，由15A F AF '==，23AA '= 222215,415(12,a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ ……（10分） 得315215A '. ……（12分） 平面BCD 法向量为(0,0,1)n = ……（13分）浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第三次联考 数学参考答案 第 3 页 共 5 页 215||725sin 10230||||17PA n PA n θ'⋅==='⋅⋅,则tan 7θ=，所以直线A P '与平面BCD 所成角的正切值为7. ……（15分）20．（本小题满分15分）【答案】（Ⅰ）122221,22,nn n n a n ++⎧−⎪=⎨⎪−⎩为奇数,为偶数;（Ⅱ）存在，{1,3,4}n ∈ 【解析】（Ⅰ）232,3a a ==……（2分） 当n 为奇数时，12212112(1)n n n n n a a a a a −−−=+=+⇒+=+，则1221n n a +=−.……（4分） 当n 为偶数时，2221222222n n n n a a +−==⋅−=−. ……（6分） 综上所述122221,22,nn n n a n ++⎧−⎪=⎨⎪−⎩为奇数,为偶数.……（7分） （Ⅱ）当21n k =−时，21k n a =−，则12121212122k k k A k +=−+−++−=−−.……（9分） 当2n k =时，122k n a +=−，则2312222222224k k k B k ++=−+−++−=−−.……（11分） ①1211223236332222k k k k k k k k S A B k k a a ++++⋅−−===−−−，则1k =时，133222k k +=−舍去。
2020届高三百校大联考数学(理)答案
由正弦定理得，ｓｓｉｉｎｎＣＢｃｃｏｏｓｓＢＣ＝槡３３ｔａｎＣ，∴ｔａｎＢ＝槡３， ∵０＜Ｂ＜π，∴Ｂ＝π３； （５分） （２）∵∠Ｄ＝２∠Ｂ， ∴由（１）知，∠Ｄ＝２３π，在△ＡＣＤ中，由余弦定理得，
ａｘｅｘ，则曲线 ｆ（ｘ）＝ａｘｅｘ在点（０，ｆ（０））处的切线的
斜率为 ｋ＝ｆ′（０）＝ａ，又切点为（０，０，），∴切线方
{ｙ＝ａｘ
程为 ｙ＝ａｘ，联立
得，ｘ２ －（２＋ａ）ｘ＋
ｙ＝ｘ２ －２ｘ＋４
ＡＣ２ ＝１２ ＋２２ －２×１×２ｃｏｓ２３π＝７，
∴ＡＣ＝槡７， （７分） 又 ＢＣ＝槡７，Ｂ＝π３，
４＝０，∴Δ＝（２＋ａ）２ －４×４＝０，解得，ａ＝２或 ａ＝
－６．）
１４．１５３６（解析：∵数列｛ｌｏｇ２Ｓｎ｝是公差为 ２的等差
＋１１＝
３＋９×２１４＝６６，故选 Ｂ．）
{ １０．Ｄ（解析：由 ｙ＝ａｂｘ
得，Ｐ（ａ２，ａｂ），又 ｃｃ
Ｆ１（－ｃ，０），
ｘ２＋ｙ２＝ａ２
ａｂ 则 ｔａｎ∠ＰＦ１Ｆ２ ＝ｋＰＦ１ ＝ｃ＋ｃａ２ ＝ｃ２ａ＋ｂａ２ ＝１３，化简得，
ｃ
ｃ４－７ｃ２ａ２＋１０ａ４＝０，即 ｅ４ －７ｅ２ ＋１０＝０，解得 ｅ２ ＝５或
（７分） 令 ｈ（ｘ）＝ｅｘ －１－ｘ，
ｘｘ
则 ｈ′（ｘ）＝ｅｘ（ｘｘ２－１）＋ｘ１２ －１＝ｅｘ（ｘ－ｘ２１）＋１－１，
∵当 ｘ≥１时，ｅｘ≥ｘ＋１＞０，
∴当
ｘ≥
１
时，ｈ′（ｘ）
＝
ｅｘ（ｘ－１）＋１ ｘ２
－１≥
（ｘ＋１）（ｘｘ２－１）＋１－１＝０， （１０分）
∵Ｂ（４，０），∴ｋＭＢ ＋ｋＮＢ ＝ｘ１ｙ－１４＋ｘ２ｙ－２４
＝ｋ（ｘ１ －１）＋ｋ（ｘ２ －１）
浙江省2020届高三数学9月第一次联考试题(含解析)
浙江省2020届高三数学9月第一次联考试题（含解析）注意事项：1．本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的。
1.记全集U =R ，集合{}240A x x =-≥，集合{}22xB x =≥，则()U A B =I ð（）A. [)2+∞，B. ØC. [)12， D. ()12， 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式和指数不等式，再求补集与交集.【详解】由240x -≥得2x -≤或2x ≥，由22x ≥得1x ≥，则()[)221U A B =-=+∞，，，ð，所以()[)12U A B =I ，ð，故选C . 【点睛】本题考查集合的运算、解一元二次不等式和指数不等式，其一容易把交集看作并集，概念符号易混淆；其二求补集时要注意细节.2.已知复数2-iz 1i=+（i 为虚数单位），则复数z 的模长等于（）A.2 B.2【答案】A【解析】 【分析】先化简复数z,利用模长公式即可求解. 【详解】化简易得13i z 2-=，所以10z 2=，故选A . 【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，了解复数的基本概念、运算和共轭复数的概念、模长是解答本题的关键.3.若实数x y ，满足约束条件2032402340x y x y x y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为（）A. -2B. 12C. -4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域,平移目标函数即可求解.【详解】如图中阴影部分所示（含边界），显然当目标函数2z x y =+经过点()44，时有最大值12，故选B .【点睛】本题考查线性规划，准确作出可行域是解答本题的关键.4.在同一直角坐标系中，函数2y ax bx =+，x by a-=（0a >且1a ≠）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的图象,以指数函数的底数a 与1的大小分情况讨论，由指数函数图象与y 轴的交点即可得出b 的大小，从而能判断出二次函数图象的正误.【详解】对1a >和01a <<分类讨论，当1a >时，对应A,D:由A 选项中指数函数图象可知，002bb a>∴-<，A 选项中二次函数图象不符，D 选项符合；当01a <<时，对应B,C:由指数函数图象可知，00,02bb a a<∴->>，则B ，C 选项二次函数图象不符，均不正确，故选D . 【点睛】本题易错在于函数图象的分类，从指数函数分类易正确得到函数图象.5.已知直线ml ，，平面αβ，满足l α⊥，m β⊂，则“l m P ”是“αβ⊥”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理进行判断.【详解】当l m P 时，m α⊥，则可知αβ⊥；反之当αβ⊥时，l 与β中的m 不一定平行，故选A .【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理.若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．6.已知随机变量ξ满足下列分布列，当()01p ∈，且不断增大时，（）A. ()E ξ增大，()D ξ增大B. ()E ξ减小，()D ξ减小C. ()E ξ增大，()D ξ先增大后减小D. ()E ξ增大，()D ξ先减小后增大 【答案】C 【解析】 【分析】由分布列可知，随机变量ξ服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断. 【详解】由题意可知，随机变量ξ满足二项分布，即~(2,)B p ξ，易得()()()221E p D p p ==-，ξξ，所以当01p <<且不断增大时，()E ξ增大，()D ξ先增大后减小.故选C .【点睛】本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键.7.已知双曲线()22210y x b b-=>右焦点为F ，左顶点为A ，右支上存在点B 满足BF AF ⊥，记直线AB 与渐近线在第一象限内的交点为M ，且2AM MB =u u u u r u u u r，则双曲线的渐近线方程为（）A. 2y x =±B. 12y x =±C. 4 3y x =±D. 34y x =?【答案】D 【解析】 【分析】根据题意依次求出,A B 点的坐标，求出直线AB 的方程，联立渐近线求出点M 的横坐标，利用向量关系即可得出关系式，进而可求出渐近线方程.【详解】易知()2B c b ，，()10A -，，得直线211b AB y xc =++：（），联立渐近线y bx =，得1M b x c b =+-，又2AM MB =u u u u r u u u r ，所以1211b b c c b c b ⎛⎫+=- ⎪+-+-⎝⎭，得12c b -=，又221c b -=，所以34b =，所以双曲线的渐近线方程为34y x =?，故选D . 【点睛】本题考查双曲线的渐近线.当双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>时，渐近线方程为by x a=±； 当双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>时，渐近线方程为a y x b =±.8.已知函数()()()()ln 1212if x x x m i =---=，，e 是自然对数的底数，存在m R ∈（） A. 当1i =时，()f x 零点个数可能有3个 B. 当1i =时，()f x 零点个数可能有4个 C. 当2i =时，()f x 零点个数可能有3个 D. 当2i =时，()f x 零点个数可能有4个 【答案】C 【解析】 【分析】首先将()f x 的零点转化为两个图象的交点，利用以直代曲的思想可以将(ln 1)x -等价为()x e -，根据穿针引线画出草图，即可判断.【详解】将()()()()ln 1212if x x x m i =---=，看成两个函数(),yg x y m ==的交点，利用以直代曲，可以将()g x 等价看成()()()20iy x e x x =-⋅->，利用“穿针引线”易知12i =，时图象如图，所以当1i =时最多有两个交点，当2i =时最多有三个交点.故选C .【点睛】本题考查函数的零点,函数零点个数的3种判断方法(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.9.三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，动点M 在线段1CA 上滑动（包含端点），记BM与11B A 所成角为α，BM 与平面ABC 所成线面角为β，二面角M BC A --为γ，则（）A. ≥≤，βαβγB. ≤≤，βαβγC. ≤≥，βαβγD. ≥≥，βαβγ【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找出这三个角，分别在直角三角形中表示出这三个角对应的三角函数值，将角的大小比较转化为线段长度的大小比较即可.【详解】过点M 作MN AC ⊥于N ，则MN ABC ⊥平面，过点M 作MH BC ⊥于H ，连接NH ，则NH BC ⊥,过点M 作MG AB ⊥于G ，连接NG ，则NG AB ⊥． 所以MBA =∠α，MBN =∠β，MHN =∠γ，sin ,sin ,MG MNBM BMαβ== tan ,tan ,MN MNBN HNβγ== 由MG MN ≥可知≤βα（M 位于1A 处等号成立），由BN NH ≥可知≤βγ（当B Ð为直角时，等号成立），故选B . 【点睛】本题主要考查线线角、线面角、二面角，本题也可以直接用线线角最小角定理（线面角是最小的线线角）和线面角最大角定理（二面角是最大的线面角）判断.10.已知函数()()1121222x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，，，，若函数()()g x x f x a =⋅-(1)a ≥- 的零点个数为2，则（）A. 2837a <<或1a =- B.2837a << C. 7382a <<或1a =-D. 7382a <<【答案】D 【解析】 【分析】 由1()(2)(2)2f x f x x =-->，可知当()2,22()x k k k Z ∈+∈时，()f x 的图象可由()22,2()x k k k Z ∈-∈的图象沿x 轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数()f x 的图象，将()g x 的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可. 【详解】如图，可得()f x 的图象.令()0g x =，当0x =时，不符合题意；当0x ≠时，得()a f x x =，若0a >，则满足132178a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，，可得7382a <<；若10a -≤<，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当10a -<<时，因为(1)11af =-<，所以在()0,2上有两个交点，不合题意舍去，当1a =-时，则需154a <-，解得a Ø∈，故选D .【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键.二、选择题：本大题共7小題，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
浙江省百校2019-2020学年高三数学联考试卷
浙江省百校2019-2020学年高三数学联考试卷一、单选题（共10题；共20分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知i是虚数单位，若复数z满足，则（）A. B. 2 C. D. 33.若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A. -5B. 1C. 2D. 44.已知平面，和直线，，且，则“ ”是“ 且”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若二项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 206.函数的大致图象为（）A. B.C. D.7.已知双曲线，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B，交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且满足点C位于A，B之间.已知O为原点，且，则（）A. B. C. D.8.已知内接于半径为2的，内角A，B，C的角平分线分别与相交于D，E，F三点，若，则（）A. 1B. 2C. 3D. 49.如图，在中，，，，将绕边AB翻转至，使面面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则当PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ的长度为（）A. B. C. D.10.设无穷数列满足，，，若为周期数列，则pq的值为（）A. B. 1 C. 2 D. 4二、双空题（共4题；共4分）11.若函数为奇函数，则实数a的值为________，且当时，的最大值为________.12.已知随机变量的分布列如下表，若，则a=________，________.0 1 2P a b13.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示则该几何体的体积为________ ，表面积为________.14.已知、分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线对称的点Q在椭圆上，则椭圆的离心率为________；若过且斜率为的直线与椭圆相交于AB两点，且，则k=________.三、填空题（共3题；共3分）15.某学校要安排2名高二的同学，2名高一的同学和名初三的同学去参加电视节目《变形记》，有五个乡村小镇A、B、C、D，E（每名同学选择一个小镇）由于某种原因高二的同学不去小镇A，高一的同学不去小镇B，初三的同学不去小镇D和E，则共有________种不同的安排方法（用数字作）16.已知向量满足，则的取值范围是________.17.在平面直角坐标系xOy中，已知圆.过原点的动直线l与圆M交于A，B两点若以线段AB为直径的圆与以M为圆心MO为半径的始终无公共点，则实数a的取值范围是________.四、解答题（共5题；共50分）18.已知函数（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间.19.如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，为等腰直角三角形，，，点E，F分别为BC，PD的中点，直线PC与平面AEF交于点Q.（1）若平面平面，求证：.（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.20.已知各项为正数的数列，其前n项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.21.如图，过抛物线上的一点作抛物线的切线，分别交x轴于点D交y轴于点B，点Q 在抛物线上，点E，F分别在线段AQ，BQ上，且满足，，线段QD与交于点P.（1）当点P在抛物线C上，且时，求直线的方程；（2）当时，求的值.22.已知函数，.（1）若，求证：当时，（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】C二、双空题11.【答案】；12.【答案】；13.【答案】100；14.【答案】；1三、填空题15.【答案】3216.【答案】17.【答案】四、解答题18.【答案】（1）解：化简得，所以（2）解：由于，故，，解得函数的单调递增区间为，19.【答案】（1）证明：因为，平面PC，平面PCD，所以平面PCD.又因为平面PAB，平面平面，所以.（2）解：连接PE.因为，所以，则设，则.因为A，E，Q，F四点共面，所以，解得，则.取AD的中点O，连接OC，OP，由题意可得OC，OD，OP两两垂直如图，建立空间直角坐标系，设，则，，，.所以，.设平面PCD的一个法向量为，则，令，得，即，所以，所以.20.【答案】（1）解：由平方，得，所以，将以上两式相减，可得，则，所以，由于数列的各项均为正数，所以，又，所以（2）解：由题意可得，则，，将以上两式相减，可得，设，则，将以上两式相减，可得，由此可得，则21.【答案】（1）解：过抛物线上点A的切线斜率为，切线AB的方程为，则B，D的坐标分别为，，D是线段AB的中点.设，，，，显然P是的重心.由重心坐标公式得，所以，则，故或因为，所以，所以直线EF的方程为或（2）解：由解（1）知，AB的方程为，，，D是线段AB的中点令，，，因为QD为的中线，所以而，所以，即，所以P是的重心，.22.【答案】（1）证明：当时，，则欲证，即，故只需证明，两边取对数，即证，，该不等式显然成立，从而当时，（2）解：恒成立，即恒成立设，则，只需讨论函数，因为，所以单调递增，，欲取一点，使得，，因此，取因此在之间存在唯一零点，得，则，故在上单调递减，在上单调递增，所以，设，，则只需，即，此时，由此可得实数a的取值范围是。
2020届百校联盟(全国II卷)高三联考 数学(文)
2020届百校联盟（全国II 卷）高三联考文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合2{4120},{2}A x x x B y y =--<==，则A B =A.[0，6)B.[2，6)C.(－2，0]D.φ2.复数(25)(38)i i -+的虚部为A.iB.46C.－1D.13.已知0.95log 26,0.6a b c ===，则A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a4.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故。
“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事。
2020届浙江省百校高三联考数学试题(解析版)
2020届浙江省百校高三联考数学试题一、单选题1．已知集合{|A x y ==，{}|12B x x =-剟，则A B =I （ ）A ．{}|12x x -<„B ．{}|01x x 剟C ．{}{}|121x x -U 剟D ．{}|02x x 剟【答案】C【解析】求函数的定义域求得集合A ，再求得其与集合B 的交集，由此得出正确选项. 【详解】由210x -≥解得1x ≤-或1x ≥，故{}{}|121A B x x ⋂=≤≤⋃-. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念及运算，考查函数定义域的求法，属于基础题. 2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足(12i)34i z +=+，则z =（ ） A．B ．2C．D ．3【答案】A【解析】化简z 为a bi +的形式，由此求得z ，从而得出正确选项. 【详解】依题意()()()()341234112112121212555i i i i z i i i i +-+-====-++-，故z ==故选A. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数模的概念和运算，属于基础题.3．若x ，y 满足约束条件1020220x y x y +⎧⎪-⎨⎪--⎩…„„，则x y +的最大值是（ ）A ．-5B ．1C ．2D ．4【答案】D【解析】画出可行域，向上平移基准直线0x y +=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线0x y +=到可行域边界()2,2B 的位置，由此求得目标函数的最大值为224+=. 故选：D.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.4．已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将“12l l P ”与“1l α∥且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l α∥且1l β∥”.当“1l α∥且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的必要不充分条件. 故选：B.本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.5．若二项式2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x 项的系数为（ ） A ．1 B ．5C ．10D ．20【答案】C【解析】对2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭令1x =，结合展开式中各项的系数和为243列方程，由此求得n 的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得含x 项的系数. 【详解】对2n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭令1x =得()123243n n +==，解得5n =.二项式52x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()515312225522rr rr rr C x xC x---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令53122r -=，解得1r =，故展开式中含x 项的系数为115210C ⋅=.故选：C. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查求二项式展开式指定项的系数，属于基础题.6．函数()cos e xf x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，判断出正确选项.函数()f x 的定义域为R ，且()()cos xf x x e f x -=-=-，故函数为奇函数，图像关于原点对称，故排除C,D 两个选项.由于()1cos 0f e =<，故排除B 选项.所以A 选项正确. 故选：A 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FB FC =（ ） A ．45 B ．23C ．34D ．13【答案】A【解析】设出直线AB 的方程，联立直线AB 方程和渐近线方程，由此求得,A B 两点的坐标，以及求得C 点的坐标，根据53OA a =列方程，求得,,a b c 的关系，由此求得||||FB FC 的值. 【详解】由于双曲线渐近线为b y x a =±，不妨设直线AB 的斜率为ab-，故直线AB 的方程为()a y x c b =--.令0x =，得0,ac C b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由()a y x c bb y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,a ab B c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由()a y x c bb y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得22222,a c abc A a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，由53OA a =得22222222259a c abc a a b a b ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化简得()()2222440a b a b --=，解得12b a =或2b a =.由于C 位于,A B 之间，故12b a =舍去，所以2b a=，即2b a =.故22222222||44||45B C aby FB b b a c ac FC y c a b a a b======++. 故选：A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 8．已知ABC V 内接于半径为2的O e ，内角A ，B ，C 的角平分线分别与O e 相交于D ，E ，F 三点，若cos cos cos (sin sin sin )222A B CAD BE CF λA B C ⋅+⋅+⋅=++，则λ=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】分别求得()cos2sin sin 2A AD C B ⋅=+、()cos 2sin sin 2BBE A C ⋅=+、()cos2sin sin 2CCF A B ⋅=+，结合已知条件，求得λ的值. 【详解】连接BD ，在三角形ABD 中，由正弦定理得4sin 2ADA B =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故cos2A AD ⋅=4sin cos 22A AB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ4sin cos 222222BC B C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦4sin cos 2222B C B C ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin cos cos sin cos cos sin sin 22222222B C B C B C B C ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22222sin cos sin 2sin cos sin 2222C C B B B C ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2sin sin B C =+.同理可得()cos2sin sin 2B BE A C ⋅=+、()cos 2sin sin 2CCF A B ⋅=+，故cos cos cos 4(sin sin sin )222A B CAD BE CF A B C ⋅+⋅+⋅=++，故4λ=.故选D.【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 9．如图，在中，，，，将绕边AB 翻转至，使面面ABC ，D 是BC 的中点，设Q 是线段PA 上的动点，则当PC 与DQ 所成角取得最小值时，线段AQ的长度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，计算，利用夹角公式列式，根据取得最大值，也即与所成角取得最小值，求出的长度.【详解】由余弦定理得，，所以为钝角.由于平面平面，且交线为，过作的垂线，交的延长线于，连接，则平面，所以，根据折叠前后的关系可知，故两两垂直.以为空间直角坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系如下图所示，在等腰直角三角形和中，，，故,，设，且，则，所以.，设直线与直线所成角为，则，令，则，则，当且仅当，即时取得最大值，也即与所成角取得最小值.此时.所以.故选B.【点睛】本小题主要考查利用空间向量求解空间异面直线所成角最值有关问题，考查空间想象能力，考查运算求解能力，属于中档题.10．设无穷数列{}n a 满足1(0)a p p =>，2(0)a q q =>，()*21122n n n a a n a ++⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，若{}n a 为周期数列，则pq 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】先求得12n n a a +-的表达式，再根据周期确定2120a a -=，即得pq 的值. 【详解】22111112122n n n n n n n a a a a a a a +++++⎛⎫=+∴ ⎪=⎝⎭+Q ， 2111(222)n n n n a a a a +++∴-=-111212(2)()2n n n a a a a +--∴-=因为数列是周期数列，所以存在11111122221222(2)(,)20,22n n n n N a a a a a a a a a a pq -++-=-∴-=-∴-==∈故pq 的值为2.故选C. 【点睛】本小题主要考查周期数列，考查分析与解决问题的能力，考查观察与思考的能力，属于基础题.二、双空题 11．若函数()(2)()xf x x x a =+-为奇函数，则实数a 的值为___，且当4x …时，()f x 的最大值为______. 【答案】213【解析】先根据()()0f x f x -+=求得a 的值，然后根据4y x x=-在[)4,+∞上的单调性，求得()f x 的最大值. 【详解】由于函数()f x 为奇函数，故()()0f x f x -+=，即()()()()022x x x x a x x a -+=-+--+-，即()()()()()242022a x x x x a x a -=+-++-，故420,2a a -==.所以()24x f x x =-.当4x ≥时，()14f x x x =-，注意到4y x x =-在[)4,+∞上单调递增，故44434x x -≥-=，所以11043x x<≤-，故当4x ≥时，()f x 的最大值为13.故填：（1）2；（2）13.【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性求函数解析式，考查函数的单调性和最值的求法，属于中档题.12．已知随机变量ξ的分布列如下表，若2()3E ξ=，则a =________，()D ξ=______.ξ012P a b16【答案】1259【解析】根据分布列概率之和为1以及期望值列方程组，解方程组求得,a b的值，进而求得方差.【详解】依题意()1161233a bE bξ⎧++=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，故11,23a b==.所以()222212121012323336Dξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭59=.故填：（1）12；（2）59.【点睛】本小题主要考查分布列中概率的计算，考查分布列的期望和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.13．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示则该几何体的体积为____3cm，表面积为_____2cm.【答案】100124234+【解析】画出三视图对应的原图，由此计算出几何体的体积和表面积.【详解】画出三视图对应的原图如下图所示几何体ABCD J FGHI --，也即长方体ABCD EGHI -切掉一个三棱锥J EFI -.故几何体的体积为11663344108810032⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=3cm ，表面积为()16626323623434442JFI S ∆⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯+⨯+124JFI S ∆=+，在JFI ∆中5,42JI IF JF ===，所以142172342JFI S ∆=⨯⨯=，故表面积为124124234JFI S ∆+=+2cm .故填：（1）100；（2）124234+.【点睛】本小题主要考查根据三视图还原为原图，考查几何体体积和表面积的计算，属于基础题.14．已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B =u u u v u u u v，则k =___. 【答案】221 【解析】根据对称性和中位线判断12QF F ∆为等腰直角三角形，根据椭圆的定义求得离心率.设()()1122,,,A x y B x y 根据113AF F B=u u u r u u u r得到123y y =-，设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和椭圆方程，根据根与系数关系列方程，解方程求得k 的值. 【详解】由于点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，由于y x =的倾斜角为π4,画出图像如下图所示，由于O 是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知12QF F ∆为等腰直角三角形，且Q 为短轴的端点，故离心率π2cos 42c a ==.不妨设2,a t b c t ===，则椭圆方程化为222220x y t +-=，设直线AB 的方程为10x my t m k ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，代入椭圆方程并化简得()222220m y mty t +--=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12222mt y y m +=+①，21222t y y m -⋅=+②.由于113AF F B =u u u r u u u r ，故123y y =-③.解由①②③组成的方程组得1m =，即11,1k k==. 故填：（1）22；（2）1.【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查直线和椭圆相交的交点坐标有关计算，考查方程的思想，考查化归与转化的数学思想方法，运算能力要求较强，属于中档题.三、填空题15．某学校要安排2名高二的同学，2名高一的同学和1名初三的同学去参加电视节目《变形记》，有五个乡村小镇A 、B 、C 、D ，E （每名同学选择一个小镇）由于某种原因高二的同学不去小镇A ，高一的同学不去小镇B ，初三的同学不去小镇D 和E ，则共有________种不同的安排方法（用数字作） 【答案】32【解析】按照初三学生去,,A B C 三个小镇分成3类，用分步计数原理计算出每一类的方法数，然后相加，得到总的方法数. 【详解】如果初三学生去A ，则高二学生选1人去B ，另外三人去,,C D E ，故方法数有132312C A =种；如果初三学生去B ，则高一学生选1人去A ，另外三人去,,C D E ，故方法数有132312C A =种；如果初三学生去C ，则高二学生选1人去B ，高一学生选1人去A ，另外两人去,D E ，故方法数有1122228C C A =种.故总的方法数有1212832++=种. 故填：32. 【点睛】本小题主要考查分类加法计算原理，考查分步乘法计数原理，考查排列数和组合数的计算，属于基础题.16．已知向量,a b v v 满足232a b a b -=+=v vv v ，则a b -v v 的取值范围是________. 【答案】6,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】化简232a b a b -=+=r r r r，根据化简的结果化简所求a b -=r r 此求得最终的取值范围. 【详解】由232a b a b -=+=r r r r 得2222444+694a a b b a a b b ⎧-⋅+=⎨⋅+=⎩v v v v v v v v ，化简得222246b a ba b ⎧=-⋅⎨=-⎩v v v v v ，且52323234b b a a b b a a b a b a b =-++≤-++=-++=r r r r r r r r r r r r r ，故405b ≤≤r .而a b -=r r===405b ≤≤r，故6,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故填：6,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查平面向量模的运算，考查绝对值不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:()(3)4()M x a y a a -++-=∈R .过原点的动直线l 与圆M 交于A ，B 两点若以线段AB 为直径的圆与以M 为圆心MO 为半径的始终无公共点，则实数a 的取值范围是________.【答案】33,,22⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【解析】先求得圆M 的圆心和半径.根据两个圆内含的条件列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】圆M 的圆心为(),3M a a -，半径2M r =.设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，要使“以线段AB 为直径的圆与以M 为圆心MO 为半径的始终无公共点”，则两圆内含.即MC OM CA <-，即MC OM 恒成立，即(maxMC OM <，由基本不等式有222422MC MC +-≤=⎝⎭，故MC +≤所以OM <，即<22610a a -+>，解得33,22a ⎛⎫⎛⎫+-∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∈U .故填：⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查恒成立问题的求解策略，属于中档题.四、解答题18．已知函数2()sin 2332xf x x =-+ （1）求()f π的值；（2）求函数()y f x =的单调递增区间. 【答案】（13（2）5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 【解析】（1）利用降次公式和辅助角公式化简()f x ，由此求得()πf 的值.（2）根据绝对值符号对三角函数单调性的影响列不等式，解不等式求得()y f x =的单调递增区间. 【详解】解：（1）化简得()sin 32sin 3f x x x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，所以2()2sin33πf π==（2）由于2sin 3πy x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故π32ππk x k π-+剟，k ∈Z ， 解得函数()y f x =的单调递增区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数单调区间的求法，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.19．如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等腰直角三角形，2APD π∠=，23πBAD ∠=，点E ，F 分别为BC ，PD 的中点，直线PC 与平面AEF 交于点Q .（1）若平面PAB ⋂平面PCD l =，求证：AB l P . （2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（23462【解析】（1）根据线面平行的判定定理证得//AB 平面PCD ，然后根据线面平行的性质定理证得//AB l .（2）先根据,,,A E Q F 四点共面，结合向量的线性运算，求得23PQ PC =uu u r uu u r，也即求得Q 位置.建立空间直角坐标系，利用直线AQ 的方向向量和平面PCD 的法向量，求得线面角的正弦值.【详解】（1）证明：因为AB CD ∥，AB ⊄平面PC ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD .又因为AB Ì平面P AB ，平面PAB ⋂平面PCD l =，所以AB l P . （2）解：连接PE .因为12AE AC CE AC DA =+=+uu u r uuu r uur uuu r uu u r ，所以1()2PE PA PC PA PA PD -=-+-uur uu r uu u r uu r uu r uu u r ，则22PA PD PE PC =+-uu r uu u r uur uu u r设PC PQ λ=u u u r u u u r ，则222PA PF PE PQ λ=+-u u r u u u r u u r u u u r .因为A ，E ，Q ，F 四点共面，所以2221λ+-=，解得32λ=，则23PQ PC =uu u r uu u r.取AD 的中点O ，连接OC ，OP ，由题意可得OC ，OD ，OP 两两垂直 如图，建立空间直角坐标系，设1OD =u u u r，则(0,0,1)P ，(3,0,0)C ，(0,1,0)D ，(0,1,0)A -.所以(3,0,1)PC =-u u u r ，(0,1,1)PD =-u u u r. 设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则300n PC x z n PD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令1y z ==，得3x =，即3,1,13n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ， 所以2231,1,333AQ AP PC ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭uuu r uu u r uu u r ， 所以3462sin 77||||AQ n AQ n θ⋅==⋅uuu r r uuur r .【点睛】本小题主要考查线面平行的判定定理和性质定理的运用，考查空间向量法求线面角的正弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．已知各项为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，2221n n S a =+，且11a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若23n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =；（2）()211332n nnn T+-+⨯-=.【解析】（1）利用n a 与n S 的关系求出数列的通项公式； （2）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和.【详解】（1）由2221n n S a =+平方，得()2821n n S a =+，所以()211821n n S a ++=+， 将以上两式相减，可得()()221182121n n n a a a ++=+-+，则()()22121210n n a a +--+=，所以()()11222220n n n n a a a a +++--=，由于数列的各项均为正数，所以11n n a a +-=，又11a =， 所以n a n =；（2）由题意可得2233n nn n b a n ==⋅， 则22213233nn T n =⨯+⨯++⨯L ，22322131323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯L ，将以上两式相减，可得22121333(21)33n n n T n n +-=⨯+⨯++-⨯-⨯L ， 设21333(21)3nn Q n =⨯+⨯++-⨯L ，则23131333(23)3(21)3n n n Q n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，将以上两式相减，可得212132323(21)3n n n Q n +-=⨯+⨯++⨯--⨯L ，由此可得1(1)33n n Q n +=-⨯+，则()211332n nn n T+-+⨯-=.【点睛】本题考查n a 与n S 的关系的应用，考查数列求和的方法，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题型.21．如图，过抛物线2:C y x =上的一点()1,1A 作抛物线的切线，分别交x 轴于点D 交y 轴于点B ，点Q 在抛物线上，点E ，F 分别在线段AQ ，BQ 上，且满足AE EQ λ=u u u v u u u v，BF FQ μ=u u u v u u u v，线段QD 与EF 交于点P .（1）当点P 在抛物线C 上，且12λμ==时，求直线EF 的方程； （2）当1λμ+=时，求:PAB QAB S S △△的值.【答案】（1）2y x =-2y x =-.（2）1:3. 【解析】（1）先求得切线AB 的方程，由此求得,B D 两点的坐标，确定D 是AB 的中点.根据三角形重心坐标公式列式，求得P 点的坐标，再根据点斜式求得EF 的方程.（2）利用QEF QABS S △△列方程，证得P 是QAB ∆的重心，由此求得:PAB QAB S S △△的值.【详解】解：（1）过抛物线上点A 的切线斜率为122x y x ='==，切线AB 的方程为21y x =-， 则B ，D 的坐标分别为(0,1)-，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 是线段AB 的中点.设(,)P x y ，()200,Q x x ，()11,E x y ，()22,F x y ，显然P 是ABQ △的重心.由重心坐标公式得2001,33x x P ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以2200133x x +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则012x +=，故P ⎝⎭或P ⎝⎭因为EF AB ∥，所以2EF k =， 所以直线EF的方程为426y x +=-或426y x =-. （2）由解（1）知，AB 的方程为21y x =-，(0,1)B -，1,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，D 是线段AB 的中点 令||||QD m QP =，1||1||QA t QE λ==+，2||1||QB t QF μ==+， 因为QD 为ABC V 的中线，所以22OAB OAD GBD S S S ==△△△而12||||1||||QEF QABS QE QF S QA QB t t =⋅=△△，1212111322222QEF QEP QFPQEP QFP QABQADQADQBDS S S S S S S S S t m t m t t m+⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭△△△△△△△△△ 所以1212132t t t t m =，即32m =，所以P 是QAB V 的重心，:1:3PAB QAB S S =△△.【点睛】本小题主要考查抛物线的切线方程的求法，考查重心坐标公式，考查方程的思想，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 22．已知函数2()(221)x a f x x a e -=-+，a ∈R .（1）若2a =，求证：当1x …时，2()4(1)f x x x '-⋅… （2）若不等式()210f x x -+…恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）1a „. 【解析】（1）求得函数()f x 的导函数()'fx ，利用分析法，结合取对数运算，证得不等式成立.（2）构造函数221()221ex ax g x x a --=-+-，利用导数求得()g x 的最小值，利用最小值为非负数列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）证明：当2a =时，22()(23)e x f x x -=-，则22()4(1)ex f x x -'=- 欲证2()4(1)f x x x '-…，即222(1)e (1)x x x x ---…，故只需证明222e x x -…，两边取对数，即证1ln x x -…，1x …， 该不等式显然成立，从而当1x …时，2()4(1)f x x x '-…. （2）解：()210f x x -+…恒成立，即2212210ex ax x a ---+-…恒成立 设221()221e x a x g x x a --=-+-，则()222e 22()ex a x a x g x --+-'=，只需讨论函数2()e22x ah x x -=+-，第 21 页 共 21 页 因为2()2e 20x a h x '-=+>，所以()h x 单调递增，2(1)e 0a h -=>，欲取一点0x <，使得()0h x <，22e e e e x a x a a ---=<，因此2e 22e 220x a ax x --+-<+-„，取2e 2ax -+=- 因此在2e ,12a -⎛⎫+- ⎪⎝⎭之间存在唯一零点0x ，得()0200e 220x a h x x -=+-=， 则()002ln 22a x x =--，故()g x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()000min 0000202121()2212ln 2221e 22x a x x g x g x x a x x x ---==-+-=--+--，01x <设022x t -=，0t >，则只需min 1()2ln 0g x t t t=+-…，即1t …， 此时2ln 1a t t =--„，由此可得实数a 的取值范围是1a „.【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分析法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.。
浙江省名校协作体2020届高三数学上学期联考试题
浙江省名校协作体2020学年第一学期联考试题卷高三数学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定地区填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考据号并填涂相应数字。
3．全部答案一定写在答题卷上，写在试卷上无效；参照公式：柱体的体公式假如事件A，B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)假如事件A，B互相独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)假如事件A在一次中生的概率是p,那么n次独立重复中事件A恰巧生k次的概率P n(k)=C n k p k(1－p)n-k(k=0,1,2,⋯，n)台体的体公式1S1S2S2)V=h(S13h此中S1,S2分表示台体的上、下底面，表示台体的高V Sh此中S表示柱体的底面，h表示柱体的高体的体公式1V S h43此中S表示体的底面，h表示体的高球的表面公式S=4πR2球的体公式3VπR3此中R表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1.已知会合P{x| 1 x 1}，Q {x|0 x 2}，则PIQ（▲）A.1,2B.0,1C.1,0D.1,22.双曲线x2y21的焦距是（▲）3233.在ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a,b,c，已知A45o,B60o,b3，则a（▲）A.2B.6C.32 D.36 224.某几何体的三视图以下图,该几何体的体积是（▲）8A.3D.435．已知函数f x lnx．则"f x0"是"f fx0"（▲）A.充足不用要条件B.必需不充足条件C.充要条件D.既不充足也不用要条件5次，6.在一个箱子中装有大小形状完整同样的3个白球和2个黑球,现从中有放回地摸取每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X，黑球个数为Y,则（▲）A.E(X)E(Y)，D(X)D(Y)B.E(X)E(Y)，D(X)D(Y)C.E(X)E(Y)，D(X)D(Y)D.E(X)E(Y)，D(X)D(Y)7．若变量x，y知足拘束条件x2y20y（▲）x1，则z2xA.有最小值3，无最大值B.有最大值1，无最小值C.有最小值3，最大值1D.无最小值也无最大值8.已知a R，函数fx e x x a e x xa，记fx的最小值为ma，则（▲）A.ma在,0上是增函数，在0,上是减函数B.ma在,0上是减函数，在0,上是增函数C.ma在R上是奇函数D.ma在R上是偶函数9.已知公差为d的等差数列{a}的前n项和为S，若存在正整数n，对随意正整数m，n n0S n S n m0恒成立，则以下结论不必定成立的是（▲）00．．．．．1d0 B.|S n|有最小值n0an010n01an02010.已知ABC,D是边BC(不包含端点)上的动点，将ABD沿直线AD折起到AB'D,使B'在平面ADC内的射影恰在直线AD上，则（▲）A.当BD CD时，B,C两点的距离最大B.当BD CD时，B,C两点的距离最小C.当BAD CAD时，B,C两点的距离最小D.当BD AD时，B,C两点的距离最大第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题: 本大题共 7小题，多空题每题6分，单空题每题 4分，共36分．11．已知sin4 ,，则cos ▲，tan2= ▲．，5212．已知i 是虚数单位，复数 z 知足z2ii ，则z ▲ ，z▲.13．已知12x n 睁开式第三项的二项式系数是15，则n▲，含x 2的项的系数是▲．14．已知a,bR,若a 2b 2 ab 2，则a b 的最大值为▲，ab 的取值范围是▲．rrrr r r r 25 r15．已知平面向量a ，b 知足a5，a b 5，若ab，则b 的取值范围是▲．16．用黑白两种颜色随机地染以下图表格中 6个格子，每个格子染一种颜色，而且从左到右数，不论数到哪个格子，总有黑色格子许多于白色格子的染色方法种数为▲（用数字作答）.17.设函数f(x)2+ax+b ，若对随意的实数a 和实数b ，总存在x 0[1,3]，使得xf(x 0)m ，则实数m 的最大值是__▲___．三、解答题：本大题共5小题，共 74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分14 分）已知函数f(x)cos 2x3sinxcosx1(0)的最小正周期为.2（I ）求的值；（II ）求函数yf(x)在区间[0,]上的取值范围．219．（本小题满分15 分）如图，在三棱锥P ABC 中，PAC 和 ABC 均是等腰三角形，且APCBAC90o ，PBAB 4．P（I ）判断AB ⊥PC 能否成立，并给出证明；（II ）求直线PB 与平面ABC 所成角的正弦值．A CB20.（本小题满分 15分）已知数列{a n }知足a 13，a n1a n 2 2a n (nN *)，设数列{b n }知足b nlog 2(a n1)(n N *).（I ）求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式;1112).（II ）求证：(13nn2b n 121.（本小题满分15分）如图，已知抛物线C:y 24x 的焦点是F ，A(x 1,y 1)，2212)是抛物线 C上的两点，线段AB的中垂线交x 轴于点P，若B(x ,y )(xxAF BF4．（I ）求点P 的坐标；（II ）求PAB 面积的最大值．y BA OFP x22.（本小题满分15分）已知函数fxe xax aR ．（I ）若a0，直线y kx 是曲线y fx 的切线，务实数 k 的值；（II ）若x 1,x 2是函数fx 的两个极值点，且x 1x 2，求f x 1的取值范围．2020学年第一学期浙江省名校协作体试题模拟卷高三年级数学学科答案一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的） 1-5 BDABB 6-10CADCC二、填空题（本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上）11．-3，24．12．12i ，5.57 5 55 13．6，6014．2 2，[2,2]．315．1,516 ．2017．4-235小题，共 74分.3三、解答题（本大题共 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．解：（Ⅰ）fx1 cos2 x3sin2 x1 分22------------------22cos 2x3--------------------------------------------5分由2，得1；-----------------------------------------7分2（Ⅱ）f xcos 2x，3由于x[0, 2]，因此2x3,2，------------------------------10分33所以f(x)1 ．------------------------------------------------------------14,12分19．解：（Ⅰ）AB ⊥PC 不可立，证明以下：-------------2分假定AB ⊥PC ，由于ABAC ，且PCI AC C ，因此AB 面PAC ，---------5 分因此AB PA ，这与已知PB AB4矛盾，------7分因此AB ⊥PC 不可立．A（Ⅱ）解法1：取AC 中点O ，BC 中点G ，连PO,OG,PG ，由已知计算得POOGPG 2，------------9分B 由已知得AC PO,AC OG , 且POIOGO ， 因此AC 平面POG ，因此平面 ABC 平面POG ，--------------12POCHG 分取OG 中点H ，连BH ，则PH 平面ABC ，进而， PBH 就是直线PB 与平面ABC 所成的角，由于PH3，PB4，因此sinPH 3 分PBH----------------------15PB4解法2：如图，以A 为原点，AB,AC 所在直线为x,y 轴成立空间直角坐标系，则A0,0,0,B4,0,0,C0,4,0，----------------------------------------- 9分x 2y 2 z 2 8设Px,y,z ，由2y2z216x4P222zx y 48z解得：P1,2,3-----------------------------11分yACBxuuur 3, 2,3 ，因平面ABC 的PBr 0,0,1 ，--------13法向量是n 分 uuurr 3由sinPBgn------------15 分uuur r4PB n20．解：I.由a n1 22a n得a n112 2a n 1（a n2a na n 1）由a 13易得a n 0，因此两取数获得log (1) log （2 2log （1）⋯⋯⋯⋯⋯2分2an11）2b n2an2an即b n1又b 1 log 2(a 11) 2 0{b n }是以2公比的等比数列，即b n2n S n 2n 12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分又 b nlog 2(a n 1)a n22n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分II 法一、用数学法明：1当n2，左 111 11 2=右，此不等式成立；⋯⋯⋯8分23 62假当nk 2，不等式成立，当nk1，左1 1 12k 1 1 1 11⋯⋯⋯10分2312k2k 2k112k个k1 11k1 1 12k 2k 12k12k2k2k1k1=右当nk1，不等式成立。
高三百校联考数学卷
2020届浙江百校联考一、选择题：本大题共10小题, 共40分1.已知集合{|A x y ==, {}|12B x x =-≤≤, 则A B =I （ ）A ．{}|12x x -<≤B ．{}|01x x ≤≤C ．{}{}|121x x ≤≤-UD ．{}|02x x ≤≤2. 已知i 是虚数单位, 若复数z 满足()12i 34i z +=+, 则||z =（ ）AB ．2C．D ．33. 若,x y 满足约束条件1020220x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤⎩, 则z x y =+的最大值是（ ）A ．5-B ．1C ．2D ．44. 已知平面α, β和直线1l , 2l , 且2αβ=I l , 则“12∥l l ”是“1α∥l 且1β∥l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.若二项式2nx ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为243, 则该展开式中含x 项的系数为（ ）A ．1B ．5C ．10D ．206. 函数()cos e xf x x =的大致图象为（ ）DB A7. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>, 过其右焦点F 作渐近线的垂线, 垂足为B , 交y轴于点C , 交另一条渐近线于点A , 并且满足点C 位于,A B 之间．已知O 为原点, 且53aOA =, 则FB FC =（ ）A ．45B ．23C ．34D ．138. 已知ABC △内接于半径为2的O e , 内角,,A B C 的角平分线分别与O e 相交于,,D E F 三点,若 ()coscos cos sin sin sin 222A B CAD BE CF A B C λ⋅+⋅+⋅=++, 则λ=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49. 如图, 在ABC △中, 1AB =,BC =, 4B π=, 将ABC △绕边AB 翻转至ABP △, 使面ABP ⊥面ABC , D 是BC 中点, 设Q 是线段PA 上的动点, 则当PC与DQ 所成角取得最小值时, 线段AQ 的长度为AB （ ）ABCDQ DPCBA10. 设无穷数列{}n a 满足()10=>a p p , ()20=>a q q , ()*21122n n n a a n a ++⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N , 若{}n a 为周期数列, 则pq 的值为（ ）A ．12B. 1C. 2D. 4二、填空题：本大题共7小题, 共36分11. 若函数()()()2xf x x x a =+-为奇函数, 则实数a 的值为 ；且当4x ≥时, ()f x 的最大值为 ．12. 已知随机变量ξ的分布列如下表, 若()2E ξ=, 则a = , ()D ξ= ． 13. 已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示, 则该几何体的体积为 3cm , 表面积为2cm ．俯视图侧视图正视图14. 已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点, 点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上, 则椭圆的离心率为 ；若过1F 且斜率为()0k k >的直线与椭圆相交于,A B 两点,且113AF FB =u u u r u u u r , 则k = ． 15. 某学校要安排2名高二的同学, 2名高一的同学和1名初三的同学去参加电视节目《变形记》,有五个乡村小镇A ,B ,C ,D ,E （每名同学选择一个小镇）, 由于某种原因, 高二的同学不去小镇A , 高一的同学不去小镇B , 初三的同学不去小镇D 和E , 则共有 种不同的安排方法（用数字作答）．16. 已知向量a , b 满足232-=+=a b a b , 则-a b 的取值范围是 ．17. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知圆()()()22:34R M x a y a a -++-=∈．过原点的动直线l 与圆M交于A , B 两点．若以线段AB 为直径的圆, 与以M 为圆心, MO 为半径的圆始终无公共点, 则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共5小题, 共74分 18. （14分）已知函数()2sin 2xf x x =-． （1）求()f π的值；（2）求函数()y f x =单调递增区间．19. （15分）如图, 在底面为菱形的四棱锥P ABCD -中, 平面PAD ⊥平面ABCD , PAD△为等腰直角三角形, 2APD π∠=, 23BAD π∠=, 点E , F 分别是BC , PD 的中点, 直线PC 与平面AEF 交于点Q ．（1）若平面PAB I 平面PCD l =, 求证：AB l ∥；（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值．QFEPDCBA20. （15分）已知各项为正数的数列{}n a , 其前n 项和为n S ,21n a +, 且11a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若23n n n b a =, 求数列{}n b 的前n 项和n T ．21. （15分）已知函数()()2221e x a f x x a -=-+, R a ∈．（1）若2a =时, 求证：当1x ≥时, ()()241f x x x '≥-； （2）若不等式()210f x x -+≥恒成立, 求实数a 的取值范围．22. （15分）如图, 过抛物线2:C y x =上的一点()1,1A 作抛物线的切线, 分别交x 轴于点D ,交y 轴于点B , 点Q 在抛物线上, 点E , F 分别在线段AQ , BQ 上, 且满足AE EQ λ=u u u r u u u r , BF FQ μ=u u u r u u u r, 线段QD 与EF 交于点P ． （1）当点P 在抛物线C 上, 且12λμ==时, 求直线EF 的方程； （2）当1λμ+=时, 求:PAB QAB S S △△的值．。
【高三】【2021浙江省百校联考】数学试题
2020-2021学年高三百校3月联考数学试题注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：球的表面积公式S =4πR 2球的体积公式V =43πR 3其中R 表示球的半径锥体的体积公式V =Sh其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高柱体的体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高台体的体积公式()112213V h S S S S =++其中S 1,S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}02,*A x x x N =<≤∈，{}14,*B x x x N =<≤∈，则A B = （）A ．{}2B ．{}1,2,3,4C ．{}0,1,2,3,4D ．(]04，2．若2i3i 1ia +=++，则a =（）浙考试卷库A ．2B ．2iC ．4D ．4i3.若实数x ，y 满足约束条件204020x x y x y +≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+取最小值时x =（）A ．7-B ．5-C ．3-D ．1-4．函数sin()cos()4411()()()x x f x e eππ++=-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，某四棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该四棱锥的最长的棱长为（）cmA.2B.2C.6 D.3浙考试卷库6．已知数列{}n a 满足1sin n n a a +=，*N n ∈，若对任意n ∈N *，都1n n a a +≤，则下列可能成立的是（）A ．11a =B ．21a =-C ．32a =-D ．412a =-7．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<8．若平面上两点()2,0A -，()1,0B ，则过点B 的直线l 上满足()()20BA PB PA PB -⋅+=的点P的个数为（）A.0B.1C.2D.与直线l 的斜率有关9．已知α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，αβ≠，若sin 2sin e e αβαβ-=-，则下列结论一定成立的是（）A ．4παβ+=B ．2παβ+=C ．αβ>D ．αβ<10．已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，点M ，N 分别为线段AB '，AC 上的动点，点T 在平面''BCC B 内，则MT NT +的最小值是（）A ．2B ．233C ．62D ．1第Ⅱ卷（共110分）二、填空题(本大题共7小题，单空每题3分，双空每题6分，共36分)浙考试卷库11．已知函数21()1x f x x -=-的定义域为．12．已知直线80x my -+=(0)m >和圆O :2225x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为12，则AB 的长度为；m =．13．在二项式9(3)x -的展开式中，含7x 的项是；系数为有理数的项的二项式系数的和为．14．已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且23c a =，6b =，D 是AC 边上近A 点的三等分点，且2ABD CBD ∠=∠，则CBD ∠=；BC =．15．已知函数()2224f x x x a x x a -++-+＝，若对任意的()1,x a ∈不等式()()1f x a x ≥-恒成立，则实数a 的最大值为．16．已知抛物线22=y px 的焦点为F ，若点A ,B 是该抛物线上的点，6AB = ，=0AF BF ⋅，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，则MN的最大值为．17．已知单位向量a ，b ，c 满足231a b c ++≤ ，则a b ⋅的最大值为；最小值为_______．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)18．（本小题满分14分）已知x x x m x x f 2sin )cos sin )(2sin()(-++=π的最大值为2，其中0>m ，（I ）求)(x f 的单调增区间；（II ）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2cos a Ab c C=-，求()f A 的值．浙考试卷库19．(本小题满分15分)如图，圆锥PO 的顶点为P ，其母线长为3，点A B C M 、、、都在底面O e 上，且3BC =，AO OM =uuu r uuu r，PAB PAC ∠=∠；设E F 、分别是母线PB PC 、靠近B C 、的三等分点，并且平面AEF 交母线PM 于点T 。
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2020届浙江百校联考
一、选择题：本大题共10小题，共40分
1.
已知集合{|A x y ==，{}|12B x x =-≤≤，则A B =（ ）
A ．{}|12x x -<≤
B ．{}|01x x ≤≤
C ．{}{}|121x x ≤≤-
D ．{}|02x x ≤≤
2. 已知i 是虚数单位，若复数z 满足()12i 34i z +=+，则||z =（ ）
A
B ．2 C
．D ．3
3. 若,x y 满足约束条件1020220x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最大值是（ ）
A ．5-
B ．1
C ．2
D ．4
4. 已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβ=l ，则“12∥l l ”是“1α∥l 且1β∥l ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.
若二项式2n
x ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x 项的系数为（ ）
A ．1
B ．5
C ．10
D ．20
6. 函数()cos e x
f x x =的大致图象为（ ）
7. 已知双曲线()2
2
22
:
10,0x y C a b a b -=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于,A B 之间．已知O 为原点，且53
a
OA =，则FB FC =（ ） A ．
4
5
B ．
23
C ．
34 D ．13
8. 已知ABC △内接于半径为2的O ，内角,,A B C 的角平分线分别与O 相交于,,D E F 三点，若
()cos cos cos sin sin sin 222A B C
AD BE CF A B C λ⋅+⋅+⋅=++，则λ=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
D
B A
9. 如图，在ABC △中，1AB =
，BC =4
B =
，将ABC △绕边AB 翻转至ABP △，使面ABP ⊥面ABC ，D 是BC 中点，设Q 是线段PA 上的动点，则当PC 与DQ 所成角取得最小值时，线段AQ 的长度为AB （ ）
A
B
C
D
10. 设无穷数列{}n a 满足()10=>a p p ，()20=>a q q ，()*
21122n n n a a n a ++⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭
N ，
若{}n a 为周期数列， 则pq 的值为（ ）
A ．12
B. 1
C. 2
D. 4
二、填空题：本大题共7小题，共36分
11. 若函数()()()
2x
f x x x a =+-为奇函数，则实数a 的值为 ；且当4x ≥时，()f x 的最大值
为 ．
12. 已知随机变量ξ的分布列如下表，若()2
E ξ=
，则a = , ()D ξ= ． 13. 已知某几何体的三视图（单位：
cm ）如图所示，则该几何体的体积为
3cm ，表面积为 2cm ．
Q D
P
C
B
A
俯视图
侧视图正视图
14. 已知1F 、2F 分别为椭圆()22:10C a b a b
+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭
圆上，则椭圆的离心率为 ；若过1F 且斜率为()0k k >的直线与椭圆相交于,A B 两点，且113AF FB =，则k = ．
15. 某学校要安排2名高二的同学，2名高一的同学和1名初三的同学去参加电视节目《变形记》，有五
个乡村小镇A ,B ,C ,D ,E （每名同学选择一个小镇），由于某种原因，高二的同学不去小镇A ，高一的同学不去小镇B ，初三的同学不去小镇D 和E ，则共有 种不同的安排方法（用数字作答）．
16. 已知向量a ，b 满足232-=+=a b a b ，则-a b 的取值范围是 ．
17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()2
2
:34R M x a y a a -++-=∈．过原点的动直线l 与圆M 交于
A ，
B 两点．若以线段AB 为直径的圆，与以M 为圆心，MO 为半径的圆始终无公共点，则实数a 的
取值范围是 ． 三、解答题：本大题共5小题，共74分 18. （14分）已知函数(
)2
sin 2
x
f x x =-． （1）求()f π的值；（2）求函数()y f x =单调递增区间．
19. （15分）如图，在底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等腰直角
三角形，2APD π∠=，23
BAD π
∠=，点E ，F 分别是BC ，PD 的中点，直线PC 与平面AEF 交于点
Q ．（1）若平面PAB 平面PCD l =，求证：AB l ∥；
（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值．
Q
F
E
P
D
C
B
A
20. （15分）已知各项为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S
21n a =+，且11a =．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2
3n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
21. （15分）如图，过抛物线2:C y x =上的一点()1,1A 作抛物线的切线，分别交x 轴于点D ，交y 轴于点
B ，点Q 在抛物线上，点E ，F 分别在线段AQ ，BQ 上，且满足AE EQ λ=，BF FQ μ=，线段QD 与EF 交于点P ．
（1）当点P 在抛物线C 上，且1
2
λμ==
时，求直线EF 的方程； （2）当1λμ+=时，求:PAB QAB S S △△的值．
22. （15分）已知函数()()2221e x a f x x a -=-+，R a ∈．
（1）若2a =时，求证：当1x ≥时，()()241f x x x '≥-； （2）若不等式()210f x x -+≥恒成立，求实数a 的取值范围．。