第二章单纯形法
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第二章 单纯形法
此时基变量为： x3 , x2 , x1
非基变量为：x4 , x5 得到另一基本可行解为：
X 2 4,6,4,0,0
T
z1 42
迭代结果
2 1 x3 x4 x5 4 3 3 1 x4 6 x2 2 2 1 x4 x5 4 x1 3 3
最小比值规则
当确定进基变量后，以进基变量的系数列向量 中的正数为分母，以相应的方程右端常数为分子求 最小比值，所得到的最小比值的分母就是主元。主 元所在的方程中的基变量就是离基变量。即：
bi bl min ik 0 aik alk
令新的非基变量 x3 x4 0 ,得到新的 基本可行解: T
12 36 12 x2 m in , 2 4 2
2是主元，其所在方程为主方程，且
x4 为离基变量。
此时基变量为： x3 , x2 , x5
非基变量为： x1 , x4 得到另一基本可行解为：
X1 0,6,8,0,12
T
z1 30
迭代结果
8 x1 x3 1 6 x2 x4 2 3 x 2 x x 12 1 4 5
单纯形法的3种形式——
方程组形式（代数形式） 表格形式 矩阵形式
单纯形法的基本思路——
基于LP问题的标准形，先设法找到某个基本 可行解（称为初始基本可行解）； 开始实施从这个基本可行解向另一个基本可 行解的转换，要求这种转换不仅容易实现， 而且能改善（至少保持）目标函数值； 继续寻找更优的基本可行解，进一步改进目 标函数值。当某一个基本可行解不能再改善 时，该解就是最优解。（或者是出现无可行 解、无最优解、无穷多最优解的情况）
第二章单纯形法总结
得到解（0，0，0，5，4）T，y1+y2=9 选择x2为替换变量，替换y2：
- 2 3 2 2，行1-行2，行22 行3 行 2 得到解（0，2，0，1，0）T，y1+y2=1 2
0 1 0
1 1
1 0 -1
-1 1 2 0
1 2 2 -1
①
给出①的一个基解X=（XB，XN），令C=（CB，CN），则： x0=CBXB+CNXN ② XB=B-1b-B-1NXN ③ X0=CBB-1b-（CBB-1N-CN）XN ④ 若④中取XN=0，则： X0=CBB-1b是基可行解X=（XB，XN）的目标函数值。
将③和④写成矩阵形式 ： x 0 C B B 1b C B B 1 N C N X N X 1 B 1b B N B
引进新记号 x 0 xB0 , X B ( xB1 , xB2 xBm )T , 用R表示N中各列的下标集合， S {B1，B2， ，Bm }表示S中各列的下标集合 令 y 00 C B B1b y10 Y0 （ 1 ） ， B b y mc y0 j C B B1Pj c j y1 j Yi （ ） ， j R B1Pj y mj
单纯形法初始基本可行解的选择：
1、若原线性规划问题中所有约束条件均为≤形式，则松弛变 量可作为初始基本可行解。 2、若原线性规划问题中所有约束条件包括≥或=形式，则需 要人工变量法求得初始基本可行解。 标准型中最能引起目标函数值Z变化的非基变量为首选。
单纯形法入基变量的选择：
运筹学单纯形法
单纯形表
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
Cj CB XB b 0 0 Z X3 3 X4 1 0 1 2 0 0
标准化
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0
Z=x1+2x2 x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 单纯形表
Cj
1
2
0
0
单纯形法原理 单纯形表 CB XB b
z=x1+2x2 x3 =3-x1-x2 x4=1 -x2
x2进基，x4离基
X1 X2 X3 X4
3/1 11
0
1 0
1 1
1 1
2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 -1 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2, x3, x40
x1=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,1,2,0), z=2 C (x1,x2,x3,x4)= (2,1,0,0), z=4,最优解
B
x4=0 x3=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,0,3,1), z=0
1 0
0 0
0 1
0
CB XB b 0 2 Z Cj CB XB b 1 2 Z X1 2 X2 1 4 X3 2 X2 1 2 1 1 0 0
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 0 0 0 -1 1 -1
第二章 单纯形法
求解线性规划： 求解线性规划： max z = 3x1 + 5x2 s.t. x1 ≤ 8 2x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤36 x1, x2 ≥ 0
解：将原问题转化为标准 型模型： 型模型：
Max z = 3 x1 + 5 x2 s.t. x1 + x3 = 8 x2 + x4 = 12 3x1+ 4x2 + x5 = 36 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
=0 =8 =12 =36
z
-3x1 x1 x2 3x1
+5/2x4 +x3 +1/2x4 -2x4 +x5
=30 =8 =6 =12
z +x3 x2 x1
+1/2x4 +x5 =42 +2/3x4 -1/3x5 =4 +1/2x4 =6 -2/3 x4 +1/3x5 =4
方程组形式的求解过程
max z = 10 x1 + 5 x2 3x1 + 4 x2 + x3 = 9 s.t 5 x1 + 2 x2 + x4 = 8 x ,x ,x ,x ≥0 1 2 3 4
4 在所有σj<0中，只要有一个σr<0说对应 中 说对应 的系数列向量a 的系数列向量 r ≤0，即一切 ir ≤0（i=1， ，即一切a （ ， 2，m），则该 问题无最优解，停止计 ， ），则该LP问题无最优解 ），则该 问题无最优解， 算，否则转5。 否则转 。 5 按最小检验数规则
确定进基变量x 和主列a 确定进基变量 k和主列 k；再按最小比值规 则
•转换为典则形式 转换为典则形式
运筹学单纯形法
总结：①在迭代过程中要保持常数列向量非负，这能确保基 可行解旳非负性。最小比值能做到这一点。 ②主元素不能为0。因为行旳初等变换不能把0变成1。 ③主元素不能为负数。因为用行旳初等变换把负数变成1会 把常数列中相应旳常数变成负数。
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
运筹学第2章 单纯形法
所有检验数 j 0 ，则这个基本可行解是最优解。
n
z z0 j x j
j m 1
m
j ciaij c j =CTBa j c j
i 1
m
m
z0 c j x j = cibi =CBT b
j 1
i 1
✓对于求目标函数最小值的情况，只需 σj≤0
0
XB
b
x1
-1 x5 0
0
0 x4 3
1
-3 0
0
00
x2
x3
x4
0
-2 0
2
-2 1
0 10
-1 bi/aik
x5
1
0
0
29 2020/3/4
2、无界解
在求目标函数最大值的问题中，所谓无界解是指在约束条件 下目标函数值可以取任意的大。
•存在着一个小于零的检验数，并且该列的系数向量的每个元素 都小于或等于零，则此线性规划问题是无界的，一般地说此类
2x1 x2 x3 x5 2
s.t. x1 2x2
x4
3
x1,
x2 , x3, x4 , x5 0
✓添加人工变量x5来人为的创造一个单位矩阵作为基 ✓M叫做罚因子，任意大的数。 ✓人工变量只能取零值。必须把x5从基变量中换出去，否 则无解。
cj
3
2
00
CB XB
2020/3/4
14
(2)出基变量和主元的确定——最小比值规则
min
bi aik
aik
0
bl alk
确定出基变量的方法：把已确定的入基变量在各约束方程中的正的系数
运筹学02-单纯形法
反之，若经过迭代，不能把人工变量都变
为非基变量，则表明原LP问题无可行解。
19
第2章
单纯形法
2.3 人工变量法
2.3.1 大M法
在原问题的目标函数中添上全部人工变量，并令其系数 都为-M，
而M是一个充分大的正数。即
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + cnxn – M( xn+1 + xn+2 +…+ xn+m )
思路：由一个基本可行解转化为另一个基本可行解。 等价改写为 目标方程 max z max z = 3x1+5x2 z -3x1 -5x2 = 0 z -3x1 -5x2 x1 +x3 x1 +x3 = 8 2x2 +x4 2x2 +x4 = 12 s.t. s.t. 3x1+4x2 +x5 3x1 + 4x2 +x5 = 36 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 ≥ 0
以主列中正值元素为分母，同行右端常数为分子，求比值；
6
第2章
单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
(Ⅰ)
用换基运算 将X0 转化为 另一个基本 可行解 X1。
z- 3x1 -5x2 = 0 0 换基运算—— x1 +x3 = 8 ① 方程组的初等变换 目的是把主列变为 22x2 +x4 = 12 ② 单位向量：主元变 3x1 + 4x2 +x5 = 36 ③ 为1，其余变为0。 X0 = ( 0, 0, 8, 12, 36 )T z0 = 0
⑴ 当前基：m阶排列阵
第二章 单纯形法
运筹学
15
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法的求解步骤
重复步骤2~5，直到终止。
判优换基迭代
判优换基迭代 判优换基迭代 判优 最优解
运筹学Leabharlann 16华东交通大学工业工程与物流管理系
基本可行解的改进
• 换入变量的确定——最大增加原则
假设检验向量σN＝(CN- CB B-1N )=(σm+1, σm+2, …,σn), 若其中有两个以上的检验数为正，选取最大正检验数所对应的 非基变量为换入变量。 若：max{σj| σj>0,m+1≤j≤n}= σm+K 则选取对应的xm+k为换入变量。
1 0 B 0 1
2 / 5 3 / 5 1 / 5 N 6 / 5 1 / 5 2 / 5
17 / 5 b 6/5
CB (3,5), CN (2,1,1)
再转向步骤（2） 运筹学
25
华东交通大学工业工程与物流管理系
（2）检验X’=(0,0,4,0,3)T是否最优：
检验向量 N CN CB B N
1
1 / 2 1 1 / 2 N (5,2,1) (3,1) (1,4,2) 5 / 2 3 1 / 2
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单纯形法
线性规划问题的几何意义： • 凸集：没有凹入部分，内部没有空洞。实习圆、实 心球体、实心立方体都是凸集；两个凸集的交集是 凸集。 • 若线性规划问题存在可行域，则可行域是凸集。 • 线性规划问题的基可行解对应可行域的顶点。 • 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以 在其可行域的顶点上达到最优。
由最优解判别定理，非基变量检验数σ1＝1>0， 所 以X‘=(0,0,4,0,3)T不是最优解
15
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单纯形法的求解步骤
重复步骤2~5，直到终止。
判优换基迭代
判优换基迭代 判优换基迭代 判优 最优解
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基本可行解的改进
• 换入变量的确定——最大增加原则
假设检验向量σN＝(CN- CB B-1N )=(σm+1, σm+2, …,σn), 若其中有两个以上的检验数为正，选取最大正检验数所对应的 非基变量为换入变量。 若：max{σj| σj>0,m+1≤j≤n}= σm+K 则选取对应的xm+k为换入变量。
1 0 B 0 1
2 / 5 3 / 5 1 / 5 N 6 / 5 1 / 5 2 / 5
17 / 5 b 6/5
CB (3,5), CN (2,1,1)
再转向步骤（2） 运筹学
25
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（2）检验X’=(0,0,4,0,3)T是否最优：
检验向量 N CN CB B N
1
1 / 2 1 1 / 2 N (5,2,1) (3,1) (1,4,2) 5 / 2 3 1 / 2
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单纯形法
线性规划问题的几何意义： • 凸集：没有凹入部分，内部没有空洞。实习圆、实 心球体、实心立方体都是凸集；两个凸集的交集是 凸集。 • 若线性规划问题存在可行域，则可行域是凸集。 • 线性规划问题的基可行解对应可行域的顶点。 • 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以 在其可行域的顶点上达到最优。
由最优解判别定理，非基变量检验数σ1＝1>0， 所 以X‘=(0,0,4,0,3)T不是最优解
二章二节单纯形法
B b b = ≥ 0, 可行。 问题：若B0=I，则X0=？ − − X = 0 0
0 0 −1
2. 最优性检验
问题：用什么检验？
b B N
—— 目标。
−1 −1 B N N N
X 而目标z = CX = (C C ) = C ( B b − B NX ) + C X X = C B b + (C − C B N ) X
解：增加松弛变量 x3 , x 4 , x5 , 则约束化为
= 360 9 x 1 + 4 x 2 + x 3 4 x 1 + 5x 2 +x4 = 200 s .t . + x 5 = 300 3x 1 + 10x 2 x 1, x 2, x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一、单纯形法的预备知识
1.线性规划的标准型 用单纯形法求解线性规划的前提是先将模 型化为标准型：
Maxz = CX AX = b s.t. X ≥ 0
其中，A 的秩为m （m ≤ n） ≥ 0。 ,b
m ×n
标准型的特征：Max型、等式约束、非负约束
非标准形式如何化为标准
1)
Min型化为Max型
1 2 3 1 2 4 1 4
求相应于基B1和B2的基本解，它们是否基本可行解？
1 0 解：B = , B 0 1
1 −1 1
1 0 1 0 1 1 = , B b = 0 1 3 = 3, 0 1
−1 1
相应于基B 的基本解为X = ( 0,0,1,3) , 是基本可行解。
例3：下面为某线性规划的约束 =1 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 3 2 x1 − x2 x ,L , x ≥ 0 4 1 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
0 0 −1
2. 最优性检验
问题：用什么检验？
b B N
—— 目标。
−1 −1 B N N N
X 而目标z = CX = (C C ) = C ( B b − B NX ) + C X X = C B b + (C − C B N ) X
解：增加松弛变量 x3 , x 4 , x5 , 则约束化为
= 360 9 x 1 + 4 x 2 + x 3 4 x 1 + 5x 2 +x4 = 200 s .t . + x 5 = 300 3x 1 + 10x 2 x 1, x 2, x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一、单纯形法的预备知识
1.线性规划的标准型 用单纯形法求解线性规划的前提是先将模 型化为标准型：
Maxz = CX AX = b s.t. X ≥ 0
其中，A 的秩为m （m ≤ n） ≥ 0。 ,b
m ×n
标准型的特征：Max型、等式约束、非负约束
非标准形式如何化为标准
1)
Min型化为Max型
1 2 3 1 2 4 1 4
求相应于基B1和B2的基本解，它们是否基本可行解？
1 0 解：B = , B 0 1
1 −1 1
1 0 1 0 1 1 = , B b = 0 1 3 = 3, 0 1
−1 1
相应于基B 的基本解为X = ( 0,0,1,3) , 是基本可行解。
例3：下面为某线性规划的约束 =1 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 3 2 x1 − x2 x ,L , x ≥ 0 4 1 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
运筹学第2章单纯形法
==８ ==6
① ② ③
－２Ｘ４＋Ｘ５ ＝１２
得到新的基本可行解 X1 =(0,6,8,0,12)T
(1)、决定进基变量：1=--3, X1进基 (2)、决定离基变量：最小比值规则来确定主 元与离基变量.
则Xl为进基变量。 MIN(8/1,-,12/3)=12/3 此时可以确定X5为离基变量
Z
X(0) =(0, 0, 10, 15 )T
Z0 =0
Z-30X1-20X2 =0 选中X1从0↗，X2 =0 X3=10-(-X1 )0
X4=15-(-3X1 )0 求X1， X1→+ ,Z→+
2.2.3 单纯形法计算之例
2-3 人工变量法 (Artificial Variable)
+1/2X4
+X5 =42 =6
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4
X1 -2/3X4+1/3X5=4 令X4 =X5 =0 X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2,
Z值不 再增大了,X值是最优基本解
5
=1,
* T * 即:X =(4,6) ,Z =42
检验数
当目标方程中基变量系数全为0时，非基 变量的系数可以作为检验当前的基本可 行解是否最优的标志，称之为检验数。
(2)、判定解是否最优 Z-3X1-5X2 =0 当X1从0↗或X2从0↗ Z从0↗ ∴ X0 不是最优解
(3)、由一个基可行解→另一个基可行解。 ∵ -5<-3 选X2从0↗，X1 =0 X3 =8 X4 =12-2X2 0 X2 12/2
N
沿边界找新 的基本可行解
结束
① ② ③
－２Ｘ４＋Ｘ５ ＝１２
得到新的基本可行解 X1 =(0,6,8,0,12)T
(1)、决定进基变量：1=--3, X1进基 (2)、决定离基变量：最小比值规则来确定主 元与离基变量.
则Xl为进基变量。 MIN(8/1,-,12/3)=12/3 此时可以确定X5为离基变量
Z
X(0) =(0, 0, 10, 15 )T
Z0 =0
Z-30X1-20X2 =0 选中X1从0↗，X2 =0 X3=10-(-X1 )0
X4=15-(-3X1 )0 求X1， X1→+ ,Z→+
2.2.3 单纯形法计算之例
2-3 人工变量法 (Artificial Variable)
+1/2X4
+X5 =42 =6
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4
X1 -2/3X4+1/3X5=4 令X4 =X5 =0 X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2,
Z值不 再增大了,X值是最优基本解
5
=1,
* T * 即:X =(4,6) ,Z =42
检验数
当目标方程中基变量系数全为0时，非基 变量的系数可以作为检验当前的基本可 行解是否最优的标志，称之为检验数。
(2)、判定解是否最优 Z-3X1-5X2 =0 当X1从0↗或X2从0↗ Z从0↗ ∴ X0 不是最优解
(3)、由一个基可行解→另一个基可行解。 ∵ -5<-3 选X2从0↗，X1 =0 X3 =8 X4 =12-2X2 0 X2 12/2
N
沿边界找新 的基本可行解
结束
第二章单纯形法
6 s.t.
5
B
G
2 x1 3
C x1
x2 x2 x2
x3 x4 x5
10 8 7
f(x) = 3 6
4
x1 , x 2 , x 3 , x2 4 , x 5 0
3 最优解
2
:
x
K
1
2, 1
x2
6,
1 max f ( x ) 36 .
D
否 确定改善方向
求新的基础可行解
求最优解的目标函数值
1、初始基本可行解的确定
对目标函数为(MAX≤)形式的线性规划背景模型，通过标准化， 每一个约束方程引入一个松弛变量，松弛变量为基变量，其 他变量为非基变量，得到一个初始基本可行解。
n
max f (x) cj xj j 1
s.t.
1、可行解：满足约束条件 (2)和(3)的解称为可行解。 2、基及基变量：设矩阵A的秩为m（n≥m）,则A中任何一组m个 线性无关的列向量构成的子矩阵,称为该问题的一个基(basis), 基中的这些列向量对应的变量称为基变量(basic variable)
3、基本解：对于基,令非基变量为零,求得满足（2） 的唯一解，称为基对应的线性规划的基本解（basic solution）。 4、基本可行解：满足（3）的基本解称为基本可行解 （basic feasible solution）；基可行解的非零分
2、最优解检验（根据线性规划问题的典式）
max z c B B 1 b ( c N c B B 1 N ) x N
s .t
x
B
B
1 Nx
5
B
G
2 x1 3
C x1
x2 x2 x2
x3 x4 x5
10 8 7
f(x) = 3 6
4
x1 , x 2 , x 3 , x2 4 , x 5 0
3 最优解
2
:
x
K
1
2, 1
x2
6,
1 max f ( x ) 36 .
D
否 确定改善方向
求新的基础可行解
求最优解的目标函数值
1、初始基本可行解的确定
对目标函数为(MAX≤)形式的线性规划背景模型，通过标准化， 每一个约束方程引入一个松弛变量，松弛变量为基变量，其 他变量为非基变量，得到一个初始基本可行解。
n
max f (x) cj xj j 1
s.t.
1、可行解：满足约束条件 (2)和(3)的解称为可行解。 2、基及基变量：设矩阵A的秩为m（n≥m）,则A中任何一组m个 线性无关的列向量构成的子矩阵,称为该问题的一个基(basis), 基中的这些列向量对应的变量称为基变量(basic variable)
3、基本解：对于基,令非基变量为零,求得满足（2） 的唯一解，称为基对应的线性规划的基本解（basic solution）。 4、基本可行解：满足（3）的基本解称为基本可行解 （basic feasible solution）；基可行解的非零分
2、最优解检验（根据线性规划问题的典式）
max z c B B 1 b ( c N c B B 1 N ) x N
s .t
x
B
B
1 Nx
第3讲 第二章 LP-单纯形法
j m 1
' a ij x j
n
i 1,2,m (1 )
z c j x j ci x i
j 1
n
m
i 1
j m 1
c
n
n
j
xj
ci (bi'
i 1
m
m
j m 1
n
' a ij x j )
m
n
j m 1
c x
j
j
ci bi'
ylj
j 1, 2,
n.
例1.用单纯形法求解(L):
maxZ=4X1+6X2 s.t. X1 ≤5 2X2 ≤8 2X1+3X2≤16 X1≥0 X2≥0
解:单纯形表如下:
cj
4 6 0 0 0
b
5 8 16 0 5 4 4 -24 3 4 2 -32
CB
0 0 0
XB
X3 X4 X5 σj
X1
B为基矩阵
基变量： x3 , x4 , x5 , 非基变量： x1 , x2 ,
方程组改写为： x 3 4 - x1 x4 3 - x 2 x 8 - x - 2x 1 2 5
令非基变量 x1 0, x2 0
得初始基可行解： X ( 0) (0,0,4,3,8)T
' m T
,则(LP)有无穷多最优解.
' 1
3. 若
(b , b ,, b ,0,0)
' 且有 0 Pk
为一基可行解,
又存在某检验数 k
0 ,则(LP)具有无界解.
4. 若存在某b’r<0,且对一切j有a’rj≥0 ,则(LP)无可行解.
第2章 单纯形法
2. 转换方法——换基运算
换基运算即对当前方程组进行一系列初等变换，其目的是：
将主列化成单位向量，以符合典式。 （1）将主元化为1。
用主元的倒数乘以主方程，得到新方程（a），称为源方程。
（2）载将主列中其余元素全部消去，都化为0.
欲消去主列中哪行非0元素，就用其相反数乘以源方程（a）后，再
（0） ① ② ③
2015年9月10日星期四
2.1.4 可行基变换
1.转换规则——主元的确定
（2） 确定离基变量合主元的规则——最小比值规则
根据主列中ak中的一切正数aik＞0 i 1, 2, , m 按照式 bi bl =min |aik＞0 2 3b a a lk ik 确定最小比值，以及 对应的第l行（方程）为主行（主方程），主行中的原 基变量xr 就是离基变量，同时确定主列中的主行元素alk 为主元。
x3 6 -x1 0 x1 6 x4 8 0 x 18-2 x 0 x 18 2 1 1 5
2-1
故有：x1 min 6,18 2 =6 （2-2）
即有：x1 = min 6,18 2 =6 不能取x1 6 , 否则x3，x4，x5全都为正数，无一离基。所以式（2-2）只能取等式，
加给该非0元素所在行。反复这样，主列化成单位列向量。
15
山西大学经济与管理学院 范建平
2015年9月10日星期四
2.1.4 可行基变换
范例的可行基变换
(1)由于主元为1，已经符合要求；
将主方程①填写入新方程组 Ⅱ Ⅰ 中，仍置于原行序①处，作为 源方程，表上记号（如打√）， 以备正确识别、援用。
换基运算即对当前方程组进行一系列初等变换，其目的是：
将主列化成单位向量，以符合典式。 （1）将主元化为1。
用主元的倒数乘以主方程，得到新方程（a），称为源方程。
（2）载将主列中其余元素全部消去，都化为0.
欲消去主列中哪行非0元素，就用其相反数乘以源方程（a）后，再
（0） ① ② ③
2015年9月10日星期四
2.1.4 可行基变换
1.转换规则——主元的确定
（2） 确定离基变量合主元的规则——最小比值规则
根据主列中ak中的一切正数aik＞0 i 1, 2, , m 按照式 bi bl =min |aik＞0 2 3b a a lk ik 确定最小比值，以及 对应的第l行（方程）为主行（主方程），主行中的原 基变量xr 就是离基变量，同时确定主列中的主行元素alk 为主元。
x3 6 -x1 0 x1 6 x4 8 0 x 18-2 x 0 x 18 2 1 1 5
2-1
故有：x1 min 6,18 2 =6 （2-2）
即有：x1 = min 6,18 2 =6 不能取x1 6 , 否则x3，x4，x5全都为正数，无一离基。所以式（2-2）只能取等式，
加给该非0元素所在行。反复这样，主列化成单位列向量。
15
山西大学经济与管理学院 范建平
2015年9月10日星期四
2.1.4 可行基变换
范例的可行基变换
(1)由于主元为1，已经符合要求；
将主方程①填写入新方程组 Ⅱ Ⅰ 中，仍置于原行序①处，作为 源方程，表上记号（如打√）， 以备正确识别、援用。
第二章 单纯形法1
Cm 由基的有限性可知，基本解的个数也不会超过 n
个。 由于基本解中的非零分量可能是负数，所以基 本解不一定是可行的。
(5) 基本可行解。 满足非负条件的基本解称为基本可行解（简 称基可行解）。 与基本可行解对应的基称为可行基。 基本可行解的非零向量的个数小于等于m，并 且都是非负的。 由于基本可行解的数目一般少于基本解的数 目，因此可行基的数目也要少于基的数目。 当基本可行解中有一个或多个基变量是取零 值时，称此解为退化的基本可行解。 (6) 基 本 最 优 解 （ 对 应 的 基 为 最 优 基 ） 使目标函数达到最优值的基本可行解
x(2))的一个凸组合。
（3 ）顶点：设K为凸集, x∈K, 若x不能用x(1)∈K,
x(2)∈K两点的一个凸组合表示为x=αx(1)+ (1-α)x(2),其中 0<α<1 ，则称x为K的一个顶点（或极点）。
线性规划的基本定理
定理1 若约束条件为（2.2),（2.3）的线性规划问题存在可行域，则 D= x Ax=b ,x 0 是一个凸集。 其可行域 证明：为了证明满足Ａx=ｂ，x≥0的所有点（可行解）组成的几何体是 凸集，只要证明Ｄ中任意两点 x(1) ,x(2) 连线上的一切点均满足线性约束 条件既可。
例2
已知线性规划问题的约束条件为
10 x1 x 2 x 3 x 4 10 x1 x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4
解:可行域
1 1 1 0 A 1 0 0 1
试讨论可行域顶点和基本可行解之间的对应关系。
D= x / x1 +x 2 +x 3 =10, x1 +x 4 =10, x j 0, j=1,2,3,4,
个。 由于基本解中的非零分量可能是负数，所以基 本解不一定是可行的。
(5) 基本可行解。 满足非负条件的基本解称为基本可行解（简 称基可行解）。 与基本可行解对应的基称为可行基。 基本可行解的非零向量的个数小于等于m，并 且都是非负的。 由于基本可行解的数目一般少于基本解的数 目，因此可行基的数目也要少于基的数目。 当基本可行解中有一个或多个基变量是取零 值时，称此解为退化的基本可行解。 (6) 基 本 最 优 解 （ 对 应 的 基 为 最 优 基 ） 使目标函数达到最优值的基本可行解
x(2))的一个凸组合。
（3 ）顶点：设K为凸集, x∈K, 若x不能用x(1)∈K,
x(2)∈K两点的一个凸组合表示为x=αx(1)+ (1-α)x(2),其中 0<α<1 ，则称x为K的一个顶点（或极点）。
线性规划的基本定理
定理1 若约束条件为（2.2),（2.3）的线性规划问题存在可行域，则 D= x Ax=b ,x 0 是一个凸集。 其可行域 证明：为了证明满足Ａx=ｂ，x≥0的所有点（可行解）组成的几何体是 凸集，只要证明Ｄ中任意两点 x(1) ,x(2) 连线上的一切点均满足线性约束 条件既可。
例2
已知线性规划问题的约束条件为
10 x1 x 2 x 3 x 4 10 x1 x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4
解:可行域
1 1 1 0 A 1 0 0 1
试讨论可行域顶点和基本可行解之间的对应关系。
D= x / x1 +x 2 +x 3 =10, x1 +x 4 =10, x j 0, j=1,2,3,4,
单纯形法2 第二章
(2)将(2-14)式中xk列的各元素，除apk变换为1以外，其他都 应变换为零。其他行的变换是将(2-15)式乘以aik(i≠p)后， 从(2-14)式的第i行减去，得到新的第i行。
a p ,m1 apn bp aik aik ,,0,, a p n aik bi aik 0,, ,0,,0, ai ,m1 a pk a pk a pk a pk
2 2
x4 100 3 x2 x5 120 3 x2
(2 7)
x 为使 x4 , x5 0 ， min(100 , 40) 100 3 3 当 x 的值由0增加到 100 ，原来的基变量x4的值最先变为 3 0，这就决定用 x 去替换 x ，所以新的基变量为 x , x ， 非基变量为 x1, x3 , x4
2.最优性的检验与解的判别
b1 a1,m 1 xm 1 a1,n xn , x1 x2 b2 a m 1 xm 1 a m 2 xm 2 a n xn , 2, 2, 2, xm bm a ,m 1 xm 1 a ,m 2 xm 2 a ,n xn , m m m x j 0 j 1, 2, , n
第三节 单纯形法
自1947年Dantzig提出单纯形法以来， 单纯形法是目前求解线性规划问题最有 效的方法。 一个线性规划问题如果有最优解， 就一定可以在可行域的顶点上找到。 Dantzig的单纯形法把寻优的目标集 中在所有基本可行解（即可行域顶点） 中。
单纯形法的基本思路是从一个初始的基 本可行解出发，寻找一条达到最优基本可行 解的最佳途径。 单纯形法的一般步骤如下： （1）寻找一个初始的基本可行解。 （2）检查现行的基本可行解是否最优， 如果为最优，则停止迭代，已找到最优解， 否则转一步。 （3）移至目标函数值有所改善的另一个 基本可行解，然后转到步骤（2）。
a p ,m1 apn bp aik aik ,,0,, a p n aik bi aik 0,, ,0,,0, ai ,m1 a pk a pk a pk a pk
2 2
x4 100 3 x2 x5 120 3 x2
(2 7)
x 为使 x4 , x5 0 ， min(100 , 40) 100 3 3 当 x 的值由0增加到 100 ，原来的基变量x4的值最先变为 3 0，这就决定用 x 去替换 x ，所以新的基变量为 x , x ， 非基变量为 x1, x3 , x4
2.最优性的检验与解的判别
b1 a1,m 1 xm 1 a1,n xn , x1 x2 b2 a m 1 xm 1 a m 2 xm 2 a n xn , 2, 2, 2, xm bm a ,m 1 xm 1 a ,m 2 xm 2 a ,n xn , m m m x j 0 j 1, 2, , n
第三节 单纯形法
自1947年Dantzig提出单纯形法以来， 单纯形法是目前求解线性规划问题最有 效的方法。 一个线性规划问题如果有最优解， 就一定可以在可行域的顶点上找到。 Dantzig的单纯形法把寻优的目标集 中在所有基本可行解（即可行域顶点） 中。
单纯形法的基本思路是从一个初始的基 本可行解出发，寻找一条达到最优基本可行 解的最佳途径。 单纯形法的一般步骤如下： （1）寻找一个初始的基本可行解。 （2）检查现行的基本可行解是否最优， 如果为最优，则停止迭代，已找到最优解， 否则转一步。 （3）移至目标函数值有所改善的另一个 基本可行解，然后转到步骤（2）。
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s.t.
32x1x133x2x22xx33
100 120
x1, x2, x3 0
CB XB b 0 x4 100 0 x5 120
OBJ = 0 zj cj-zj
40 45 24 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
23110 33201 00000 40 45 24 0 0
求解过程：
序
40 45 24 0 0
基本步骤：
始
确定初试基础可行解
检查是否为
是
最优解？
否 确定改善方向
求新的基础可行解
求最优解的目标函数值
1、初始基本可行解的确定
对目标函数为(MAX≤)形式的线性规划背景模型，通过标准化， 每一个约束方程引入一个松弛变量，松弛变量为基变量，其 他变量为非基变量，得到一个初始基本可行解。
n
max f (x) cj xj j 1
cB
p
' j
c ia
' ij
,
j
m
1,
n;
机会成本
i1
j c j z j, j m 1, n ;
检验数
线性规划问题的典式展开式：
max z cBB1b (cm1 cB pm' 1)xm1 (cj cB p'j )xj
(cn cB pn' )xn
x1 x2
a x ' 1,m1 m1
a1', j xj
a' 1,n
xn
b1'
a x ' 2,m1 m1a2' , xja' 2,n
xn
b2'
xm
a x ' m,m1 m1
am' , j xj
a' m,n
xn
bm'
x1, x2, xm 0; xj 0( j m 1,m 2 n)
表格形式典式
I II III
c1 CB XB b x1
5
B
G
2 x1 3
C x1
x2 x2 x2
x3 x4 x5
10 8 7
f(x) = 3 6
4
x1 , x 2 , x 3 , x2 4 , x 5 0
3 最优解
2
:
x
K
1
2, 1
x2
6,
1 max f ( x ) 36 .
D
H
O 12345678
非基 变量
基变量
图中的点 解
x1, x2 x3 =10 x4 =8 x5 =7 O 基本可行解
x1, x3 x2 =10 x4 =-2 x1, x4 x2 =8 x3 =2 x1, x5 x2 =7 x3 =3
x5 =-3 x5 =-1 x4 =1
F
基解
E
基解
A 基本可行解
x2, x3 x2, x4 x3, x4
x1 =5 x1 =8 x1 =2
且至少有一个为零，才能保证基变量个数不变。
(3)基可行解的改进（通过初等变换求更优基可行解)
主行 i* 行与主列 j* 相交的元素ai*j* 称为主元，迭代以主 元为中心进行，迭代的实质是线性变换，即要将主元ai*j*变为1，
主列上其它元素变为0，基本步骤为：
变换主行 a i*ja i*j a i*j* j 1 ,2 , ,m n
s .t
x
B
B
1 Nx
N
B 1b
x 0
m
令 z 0 c B B 1 b
c
ib
' i
;
i1
m
z j
c B 机B 会 1成p 本j
cB
p
' j
c ia
' ij
,
j
m
1,
i1
n;
j c j z j, j m 1, n ;
检验数
解的判断：
当所有σj≤０时，表示目标函数已经达到最优，若 存在一个非基变量的检验数等于0，则该线性规划问题 有多重最优解； σj＞0，则表示没有达到最优，若对应该列所有aij ≤０时，则线性规划问题为无界解
2
a2,m+
2
…
am,m+
2
zm+2
cm+2z
… … …
… … … … …
cn xn
a1n
a2n
… amn
zn cn-zn
§2-3 单纯形法
一、单纯形法的基本思路和步骤
思路：如果线性规划问题存在最优解，一定有一 个基本可行解是最优解。因此单纯形法迭代的基 本思路是：先找出一个基本可行解，判断其是否 为最优解，如为否，则转换到相邻的基本可行解， 并使目标函数值不断增大，一直找到最优解为止。
25
二、单纯型表及其格式
IV III II
I
c1 c2 … cn cn+1 CB XB b x1 x2 … xn xn+1
cn+2 … cn+m xn+2 … xn+m
cn+1 xn+1 b1 a11 a12 … a1n
1
0… 0
cn+2 xn+2 b2 a21 a22 … a2n
0
1… 0
c1 x1 b1' 1
c2 x2 b2' 0
… …… …
cm xm bm' 0
OBJ= CBb’ c1 0
IV
c2 … cm x2 … xm
0 …0
1 …0
… …… 0 …1
c2 … cm 0 …0
cm+1 xm+1
a1,m+1
a2,m+1
… am,m+1
zm+1 cm+1z
cm+2 xm+2
a1,m+
解空间 退化解
二、凸集及凸集的顶点
1、凸集
设X1,X2∈Ｋ，若两点连线上任意一点αX1＋（１-α）X２ ∈ Ｋ,且０≤α≤１，则称Ｋ为凸集．
2、极点
设Ｋ为凸集，X∈Ｋ，若Ｘ不能用两点X1,X2∈Ｋ的线性组合 表示为αX1＋（１-α）X２ ∈Ｋ,且０＜α＜１，则称Ｘ为 Ｋ的极点或顶点．（X不是K中任何线段的内点）
x4 =3 x3 =-6 x2 =6
x5 =7 x5 =7 x5 =1
D 基本可行解 H 基解 C 基本可行解
最优解
x3, x5 x1 =1.5 x2 =7 x4 =-0.5 G
基解
x4, x5 x1 =1 x2 =7 x3 =1 B 基本可行解
x 1 x1 =2, x2 =2, x3 =4, x4 =4, x5 =3 K
三、线性规划问题的基本定理
定理1:若线性规划问题存在可行域（满足约束条件），则可行域 是凸集。
证明:假设X1和X2分别是线性规划问题的可行解,则存在:AX1=b;AX2=b 现有X=αX1+(1-α)X2; AX=A[αX1+(1-α)X2]=AαX1+AX2-AαX2=α×b+b-α×b=b,故X也是一可行解.
s.t.
n j1
aij x j
bi ,
xj 0,
n
m
化 maxf (x) cjxj 0 xsi
为
j1
i1
i 1,2, ,m
j 1,2, ,n
标
准型：s.t.
n
j1
aijxj
xsi
bi
,
xj, xsi 0,
i 1,2, ,m j 1,2, ,n
松弛变量
标准型约束方程的系数矩阵为:
可行解
标准型LP问题解的概念
解 可行解X
最优解X*
基解X=
X X
B N
基本可行解
X=
X X
B N
满足条件
适用对象
备注
AXb X0
AX* b AXb
AXb
X0 CTX*optTCX
B 0 XN 0
B 0
XB 0 X N 0
XXN含 B含有有 nm-m个个分分量量
线性规划标准型问题解的关系
非可行解 可行解 约基束可方行程解的 基解
量个数<m 时，称为退化解；基本可行解所对应的基
称为可行基（feasible basis）。
5、最优解：若基本可行解又是最优解（也称基本最 优解），这个基就称为最优基（optimal basis）。
可行解、基解和基可行解举例
x2
10 F
9 max f ( x ) 6 x1 4 x2
8E 7A
6 s.t.
变换主列除主元保留为1，其余都置0
变换非主行、主列元素 aij (包括 bi)
bi
bi
bi*aij* ai*j*
(1.2.5a)
aij
aij
ai*jaij* ai*j*
(1.2.5b)
(4)标准型的单纯型算法
主行 ai*j
主元
ai*j*
aij
aij*
主
四角算法图示
列
迭代过程:
1.变换CB，XB; 2.计算目标函数、机会成本 zj 和检验数 cj zj
a 11
a12
a1n 1 0
0
A
a 21
a
m1
a 22
am2
a2n 0 1
a mn 0 0
0 1
n
m阶方阵
令xj=0,则xsi=bi，推出X=(0,0,0…０,b1,b2…bm)为线 性规划问题的初始基可行解