第五章 单纯形法2

思考：若不按最小比值法确定 出基变量会怎么样？
请大家计算一下： 若在第一次迭代中不选x5出基，而让x3
或x4出基，会出现什么情况。
若让x3 出基，则新的基为(p2
，p4 ，p5) ， 求得解为(0,300,0,100,-50)，非可行。

如，取1、2、3列得到：
1 1 1 2 1 0 0 1 0
此矩阵为可逆阵，故令x4＝0，x5＝0，一定 可以得到一个解。 对应的解为（75，250，-25，0，0）。

基的概念： 已知A是约束条件的m×n阶系数矩阵，其秩 为m 。 设B是A矩阵中的一个非奇异（可逆）的m×m 阶子矩阵，则称B为线性规划问题的一个基。 B由A中的m个线性无关列向量组成。
一定可以找到？ 答案：不一定。 如例中x2＝0，x5＝0时不能得到解。 可行的办法：找到一个基。
2、一个基是否一定对应可行域顶点？ 答案：不一定。必须是可行基。
一般来说，判断一个基是否是可行基，
需要在求出其基本解后才能判断。
3、那有没有办法在求出解之前保证我
们取得的基为可行基？ 解决办法：保证右端项非负，找到一个 单位矩阵，必定是一个可行基。

二、单纯形法的基本思路和原理
单纯形法的基本思路：
首先找到一个顶点；
然后判断它是否最优；
如果不是，则通过更换顶点的方式找到
更优的顶点； 直到找到最优顶点。
二、单纯形法的基本思路和原理
第一步：找到一个顶点
（初始基本可行解）
思考： 1、令n-m个变量为0（非基变量）是否


一个基对应一组概念：
非基变量
x1 1 2
x2 1 1 1
x3 1 0 0
x4 0 1 0
x5 0 0 1
基变量
b
300 400 250
基向量
非基向量
0
对应基本解：（0，0，300，400，250）
基 B1=(p1 ,p2 ,p3) B2=(p1,p2 ,p4 ) B3=(p1 ,p2 ,p5) B4=(p1 ,p3 ,p4) B5=(p1 ,p3 ,p5) B6=(p1 ,p4 ,p5) B7=(p2 ,p3,p4) B8=(p2 ,p3,p5)

检验数的概念非基变量： 若只用来表示目标函数，将所有基变量从目 标函数中用非基变量替换出去。 此时目标函数中各非基变量的系数即为各非 基变量的检验数，把变量xj的检验数记为j。


最优解判别准则：
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基 本可行解，若所有非基变量检验数j≤0，则 这个基本可行解是最优解。
s.t.
Max z= 50x1+100 x2 1· x1+1· x2≤300 2· x1+1 · x2≤400 0· x1+1 · x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
从其标准形的解向量开始研究：
Max z= 50x1+100 x2 s.t. 1· x1+1· x2+1· x3+0· x4+0· x5＝300 2· x1+1· x2+0· x3+1· x4+0· x5＝400 0· x1+1· x2+0· x3+0· x4+1· x5＝250 xj ≥0 (j=1,2,3,4,5)
是否可行 否 是 是 是 否 是 否
p1 ,p2 ,p3 x1 ,x2 ,x3 p1 ,p2 ,p4 x1 ,x2 ,x4 p1 ,p2 ,p5 x1 ,x2 ,x5 p1 ,p3 ,p4 x1 ,x3 ,x4 p1 ,p3 ,p5 x1 ,x3 ,x5 p1 ,p4 ,p5 x1 ,x4 ,x5 p2 ,p3 ,p4 x2 ,x3 ,x4 p2 ,p3 ,p5 x2 ,x3 ,x5
2x1+x2+x4＝400
x2+x5＝250
可得到解（50，250，0，50，0）
若令x2＝0，x5＝0，会怎样？ 由约束方程可知： x1+x2+x3＝300 → x1+x3＝300

2x1+x2+x4＝400 → 2x1+x4＝400


x2+x5＝250
→ 0＝250？
。 可见要使Z增加，只有使x3和x5减少。
x3，x5的取值是否有减少的可能？
分析：该解中非基变量
0，其值不可能再减少。 所以Z值不可能再增加。
x3，x5的取值为
说明此基本解对应的目标函数值已经达
到最优。
由以上分析，可见，完全可以由典式中

的系数来判断解是否最优。 如： Z= 50x1+100 x2系数>0，未达到最优； Z= 27500-50x3-50x5系数<0，达到最优。 这些系数我们称为检验数。
（x3,x4,x5是每个约束条件的松弛变量）
X2

A(0,250)
B(50,250)

C(100,200)

O(0,0)
D(200,0)

X1
顶点对应的解向量有何代 数特征？ O (0,0,300,400,250) A (0,250,50,150,0) B (50,250,0,50,0) C (100,200,0,0,50) D (200,0,100,0,50) 答案：都有两个变量取值 为0，且非负。
B9=(p2,p4,p5) B10 =(p3,p4,p5)
p2 ,p4 ,p5 x2 ,x4 ,x5 p3 ,p4 ,p5 x3 ,x4 ,x5
p1 ,p3 p1 ,p2
x1 ,x3 x1 ,x2
(0,300,0,100,-50) (0,0,300,400,250)
否 是
线性规划解的集合关系：
如范例系数阵：
右端项非负
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
存在3阶单位阵 （初始可行基）
基本可行解为（0，0，300，400，250） 此可行基称为初始可行基。
对应的解称为初始基本可行解。
初始基本可行解在上页矩阵中一目了然。



回顾图解法，我们知道：最优解必定在可行域的顶 点上取得，而顶点的个数总是有限的。 多维线性规划问题的可行域也存在有限个顶点。 如果能够从一个顶点开始，通过某种方式向更优顶 点转移，总会找到最优点。

首先面临的问题： 如何通过代数方法找到第一个顶点？

图解法中的例1.5模型为：
可 行 解
基 本 可 行 解
最 优 解
基 本 解
显然，将搜索范围控制在基本可行
解内，将大大减少搜索工作量。
但是，即使取得一个基，得到的解
还不一定可行。 如何才能保证取得一个可行基呢？
总结： 1、可行域顶点对应的解必为基本可行解：有 n-m个变量取值为0，满足非负条件。（n为 未知数个数，m为方程个数） 2、一个基对应一组基本解，可能可行，也可 能不可行； 3、最优解必定在基本可行解中；
1 1 -3 -1 1 3 -1 -3 4 4 1 5 -9 -8 0
x1=1.5x3-0.75x4+1.25 x2=1.5x3+1.75x4-0.25 x3= x3 x4= x4

单纯形法，就是这样的一种代数搜寻法。
线性规划问题的解一般有无穷多个，如果不 缩小搜寻范围，工作量太大！ 我们首先将最优解缩小在一个有限的范围。
答案：Z增加50。 如果x2的值增加1，Z会怎样？ 答案：Z增加100。
x1，x2的取值是否有增加的可能？
分析：该解中非基变量
x1，x2的取值为
0，（》=0）其值完全有可能增加。
说明此时目标函数值还有增加的可能，
没有达到最优。
再如：基本解（50，250，0，50，0） 其非基变量为x3，x5
由约束方程可得：
x1＝50-x3+x5 目标函数为Max
x2＝250 -x5 z= 50x1+100 x2 ＝
27500-50x3-50x5
典式Z=
27500-50x3-50x5
如果x3增加1，Z会怎样？
答案：Z减少50。 如果x5的值增加1，Z会怎样？ 答案：Z减少50
基向量
基变量
非基 向量 p4 ,p5 p3 ,p5 p3 ,p4 p2 ,p5 p2 ,p4 p2 ,p3 p1 ,p5 p1 ,p4
非基 变量 x4 ,x5 x3 ,x5 x3 ,x4 x2 ,x5 x2 ,x4 x2 ,x3 x1 ,x5 x1 ,x4
基本解 (75,250,-25,0,0) (50,250,0,50,0) (100,200,0,0,50) 不存在 (200,0,100,0,50) (300,0,0,-200,-50) (0,250,50,150,0) (0,400,-100,0,150)
对于求最小目标函数的情况，当所有非基变 量检验数j≥0时，目标值最优，对应的基本 可行解为最优解。

第三步：基变换
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
初始基本可行解（0，0，300，400，250），x1,x2为非基变量, 代入目标函数

为什么令x2＝0，x5＝0时不能得到解？ 因为其余三个变量的系数列向量为
1 1 0 1 0 1 0 0 0

该矩阵是非可逆矩阵，即去掉x2和x5后的三个约束 方程线性相关，这种情况下得不到解。

既然如此，如果我们在技术矩阵中取出三列， 组成一个可逆阵，令其余两列对应的变量为 零，则一定可以得到一个解。