5第五章 单纯形法

§2
单纯形法的表格形式
x1 50
1
把上面的数据填入如表所示的单纯形表格。
迭代 次数 基变 量 s1 s2
0
cB 0 0 0 zj
x2 100
1
s1 0
1
s2 0
0
s3 0
0
比值
b
300
bi/aij
300/1 400/1 250/1
2
0 0
1
1 0
0
0 0
1
0 0
0
1 0
400
250 z=0
s3
σj=cj-zj
c
j
n
j

xj
§2
单纯形法的表格形式
z = z0
j m 1
最终有表达式： 其中： z0
c jb j ,
i 1 m

n
j
xj
j cj zj ，
z j ci aij c1a1 j c2 a2 j
i 1
m
cm amj
c1 , c2 ,
max σj ，其中 σj＞0，对应的非基变量为入基变量 基变量
§1
单纯形法的基本思路和原理
2．出基变量的确定 确定入基变量后，需在原来的基变量 s1，s2，s3 中 选一个出基变量。若 s3 作为出基变量，则新的基变量为 x2，s1，s2 ，非基变量 x1=s3=0，方程组变为： x2 + s1 = 300， x2 + s2 = 400， x2 = 250. 得基本解：x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0。此解 满足非负条件，是基本可行解。
§1
单纯形法的基本思路和原理
一般来说判断一个基是否是可行基，只有在求出 其基本解以后。 能否在求解之前，找到一个可行基呢？ 也就是能否找到的一个基保证在求解之 后得到的解一定是基本可行解呢？
§1
单纯形法的基本思路和原理
由于线性规划的标准型中要求 bj ≥0，若能找到一 个基是单位矩阵（各列向量顺序无关重要），例如：
j m 1
ai ,n xn
ax
ij
n
j
i 1, 2,
, m
把以上的表达式代入目标函数，有
z c1 x1 c2 x2 z0 z0 cn xn z j x j
c x
i 1
m
i i

j m 1
cx
j
n
j
j m 1 n j m 1
本章内容
1
2
单纯形法的表格形式
求目标函数值最小的线性规划问题的单 纯形表解法
3
4
几种特殊情况
§2
单纯形法的表格形式
在讲解单纯形法的表格形式之前，先从一般数学模型里推导出 可行基为 m 阶单位矩阵的线性规划模型如下（假 检验数 σj 的表达式。
设其系数矩阵的前 m 列是单位矩阵）：
约束条件：
max z c1 x1 c2 x2 x1 a1, m 1 xm 1 x2 a2, m 1 xm 1 xm am, m 1 xm 1 xj ≥ 0 cn xn a1, n xn b1 , a2, n xn b2 , am, n xn bm , , n
j 1, 2,
以下用 xi (i = 1,2,…, m ) 表示基变量，用 xj ( j = m+1, m+2,…, n )表示非基变量。
§2
单纯形法的表格形式
把第 i 个约束方程移项，就可用非基变量来表示基 变量 xi，
xi bi ai ,m 1 xm 1 ai ,m 2 xm 2 bi
目标函数为50x1+100x2，由于初始可行解中x1，x2 为 非基变量，所以此目标函数已经用非基变量表示了，无 需代换出基变量。各检验数为： σ1=50，σ2=100，σ3=0，σ4=0，σ5=0
§1
单纯形法的基本思路和原理
2．最优解判别定理 求最大目标函数的问题中，若某个基本可行解所有 检验数 σj ≤0，则该解是最优解。 通俗地解释最优解判别定理，设用非基变量表示的 目标函数如下所示：
管理运筹学
第五章 单纯形法
本章内容
1
2
单纯形法的表格形式
求目标函数值最小的线性规划问题的单 纯形表解法
3
4
几种特殊情况
本章内容
1
2
单纯形法的表格形式
求目标函数值最小的线性规划问题的单 纯形表解法
3
4
几种特殊情况
§1
单纯形法的基本思路和原理
单纯形法的基本思路：
选取可行域某顶点 (更优顶点)
是 输出 最优解
§1
单纯形法的基本思路和原理
若在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令其非 基变量为零，再求解该 m 元线性方程组可得到唯一 解，该解称之为线性规划的基本解。 此例题找到 A 的一个基 B3（可逆子阵）：
1 1 0 B3 1 0 0 1 0 1
令非基变量 x1=0 ,s2=0 , 约束方程变为基变量的方程。
§1
单纯形法的基本思路和原理
x2+s1=300，
基变量的约束方程:
x2 =400，
x2+s3=250，
求解得到此线性规划的一个基本解：
x1=0，x2=400，s1=−100，s2=0，s3=−150
§1
单纯形法的基本思路和原理
由于该基本解中 s1=−100，s3=−150 , 不满足决策变量非负的约束条件，不是可行解。 满足非负条件的基本解叫做基本可行解， 并把这样的基叫做可行基。
zj = (cB1 ,..., cBm ) p′j = (cB ) p′j ,
其中，(cB )是基变量目标函数依次组成的有序行向量。
§2
单纯形法的表格形式
单纯形法的表格形式是把用单纯形法求出的基本 可行解、检验最优性、迭代等步骤都用表格的方式表 现。其计算的方法基本使用矩阵的行的初等变换。
以下用单纯形表格来求解第二章的例1。 max 50x1 + 100x2 + 0∙s1 + 0∙s2 + 0∙s3 约束条件： x1 + x2 + s1 = 300， 2x1 + x2 + s2 = 400， x2 + s3 = 250， x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0.
a1 j a2 j , cm amj , cm p j
c1 , c2 ,
§2
单纯形法的表格形式
已假设 x1,x2,…xm 是基变量，即第 i 行约束方程的 基变量正好是 xi，迭代后，若第 i 行约束方程的基变量 变为 xBi，相应的目标函数系数变为 cBi，系数列向量为 p′j ( j = 1, 2, , n ) 则
min bi/aij，其中aij > 0，对应的基变量为出基变量 基变量
§1
单纯形法的基本思路和原理
x1 + x2 + s1 = 300,
2x1 + x2 + s2 = 400,
在本例题中约束方程为
x2 + s3 = 250.
在第二步中已经知道 x2 为入基变量，把各约束方 程中 x2 的为正的系数除对应的常量，得
是否为最优解
否
否
是
是否无最优解
终止
§1
单纯形法的基本思路和原理
一、找出一个初始基本可行解
下面通过第二章例1的求解来介绍单纯形法。
在加上松弛变量之后得到此线性规划的标准形式。 目标函数：max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1=300， 2x1+x2+s2=400， x2+s3=250，
基变量&非基变量 约束等式中，非基变 量移到右边，用非基 变量表示基变量
目标函数
非基变量
则目标函数中变量系数即为其检验数，把 xi 的检验数 记为 σi。所有基变量检验数为0。
§1
单纯形法的基本思路和原理
例题中找到一个初始可行基：
1 0 0 B2 0 1 0 0 0 1
§1
单纯形法的基本思路和原理
如何在求解以前来确定 出基变量，使得求出的 解是可行解？
§1
单纯形法的基本思路和原理
确定出基变量的方法如下： 把已确定的入基变量在各约束方程中的正系数除 其所在约束方程中的常数项，把最小比值所在的约束 方程中的原基变量确定为出基变量。 在下一步迭代的矩阵变换中可以确保新得到的 bj 值都≥0。
z z0 j x j
jJ
注：对于求目标函数最小值的情况，只需把σj ≤0改为σj ≥0。
§1
单纯形法的基本思路和原理
当所有的 x j ≥0，且σj ≤0，此时

jJ
j
xj 0
实际上目标函数：
z z0 j x j z0 （
jJ xs 为基向量

s xs） （
0 0 1 1 0 0 0 1 0
所得基本解一定是基本可行解，解中的各个变量或 等于某个 bj 或等于零。
§1
单纯形法的基本思路和原理
第一次找到的可行基为单位矩阵（各列可以乱 序），称之为初始可行基，相应的基本可行解叫初始 基本可行解。
本例中找到了一个基是单位矩阵：
1 0 0 B2 0 1 0 0 0 1
§1
单纯形法的基本思路和原理
1．入基变量的确定
当某 σj＞0 ，非基变量 xj 变为基变量，不取0值可使 目标函数值增大，故选基检验数大于0的非基变量换到基 变量中。
若有两个以上 σj＞0，为使目标函数更大，一般选 σj 较大者的非基变量为入基变量。例题中 σ2=100 是最大的 非负检验数，故选 x2 为入基变量。
50
100
0
0
0
step4--计算目标函数 z：b列乘以 c 列；初始基本可 step6--确定出基变量：计算 b aij ，由于 250/1 最小， B step5--确定入基变量：由于 σ > σ > 0 ，因此确定 x2 i/ step7--标出主元：出基变量所在行，入基变量所在列 step2--计算 值：在 z 行中填入第 j 列与 c step1--step3--寻找基变量：在上表中有一个 计算 σ jz 值：在 σ = c − z 行中填入 m × m c 的单位矩阵， − 2 1 j j B列 j j j j zj 行解为 s1=300 ，s2=400，s3=250 ，x1=0，x2=0； 因此确定 s3 为出基变量； 的交汇处为主元，这里是 a ，在表中画圈以示区别； 为入基变量； 对应的基变量为 s , s , s ； 32 所得的值； 中对应的元素相乘相加所得的值； 1 2 3
xi ≥0（i=1,2），sj≥0（j=1,2,3）。
§1
单纯形法的基本思路和原理
该线性规划问题约束方程的系数矩阵为：
1 1 1 0 0 A ( p1 , p2 , p3 , p4 , p5 ) 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1
其中 pj 为系数矩阵 A 第 j 列的向量.A 的秩为3,方程 组变量个数大于 A 的秩，从方程组的无数组解中找 一个初始可行解。
§1
单纯形法的基本思路和原理
如何找初始基本可行解？ 基本概念
基 Am×n 是约束条件系数矩阵，秩为 m。若 Bm×m 是 A 的子阵， 且可逆，称 B 为一个基。
基向量 基 B 中的一列即称为一个基向量。 非基 向量 在 A 中除了基 B 之外的一列称之为基 B 的非基向量。 基变量 与基向量 pi 相应的变量 xi 叫基变量，基变量有m个。 非基 与非基向量 p 相应的变量 x 叫非基变量，非基变量有n‒m 个。 j j 变量
x2 = 250.
求解得到新的基本可行解
x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0.
§1
单纯形法的基本思路和原理
这时目标函数值为 50x1+100x2=50×0+100×250=25 000 显然比初始基本可行解 x1=0，x2=0，s1=300，s2=400， s3=250 时的目标函数值为 0 要好得多。 下面再重新检验其解的最优性，若不是最优解还要 继续进行基变换，直至找到最优解，或者能够判断出 线性规划无最优解为止。
令其非基变量 x1=x2=0，得初始基本可行解：
x1=0，x2=0，s1=300，s2=400，s3=250
注：若找不到单位矩阵（各列可以乱序）的基作为初始可行基， 需要构造初始可行基。
§1
单纯形法的基本思路和原理
二、最优性Fra Baidu bibliotek验
判断已求得的基本可行解是否是最优解。
1．最优性检验的依据——检验数 σj 目标函数
b1 300 300, a12 1 b3 250 b2 400 400, 250 a22 1 a32 1
§1
b3 此时a32
单纯形法的基本思路和原理
最小，从而对应原基变量中 s3 为出基变
量，变换为 x2，s1，s2 为基变量，x1，s3 为非基变量。
令非基变量为零，得 x2 + s1 = 300， x2 + s2 = 400，
xt 为非基向量

t xt）
基变量均≥0，只有检验数都为0，才有σ s x s =0;非基变 量的检验数均 ≤0，只有非基变量都为0，才有σ t x t=0 。 此时目标函数才能取最大值z0。
§1
单纯形法的基本思路和原理
三、基变换 例题中 σ1，σ2>0，即该基本可行解不是最优解，需 进行基变换。 具体做法：更换可行基中的一个列向量，得到新的 可行基，求出新的基本可行解使目标函数值更优。 为了换基要确定换入变量---入基变量与换出变量--出基变量。