1.3.函数的基本性质第1课时
高一数学人教A版必修1课件1321函数的奇偶性
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：
函数的基本性质
例1. 如图是定义在区间[-5, 5]上的函数 y=f(x), 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间 上, 它是增函数还是减函数? y
解: 函数的单调区
间有 [-5, -2), [-2, 1). [1, 3), [3, 5].
例题(补充). 如图是函数 y=f(x) 的图象, 其定义域 为[-p, p], x0 为何值时, 有f(x)≥f(x0), 或 f(x)≤f(x0)? 函数的最大值是多少? 最小值是多少? 解: (1) 当 x0 = - p 时, f(x)≥f(x0),
2
-p y
-p 2
1
这时函数取得最小值
o
-1
[解析] 任取 x1、x2，使得－1<x1<x2<1， 则 Δx＝x2－x1>0. ax1x2＋1x1－x2 Δy＝f(x2)－f(x1)＝ ， 2 x2 － 1 x － 1 1 2
∵－1<x1<x2<1，
2 ∴x1x2＋1>0，x2 1－1<0，x2－1<0，
Байду номын сангаас
x1x2＋1x1－x2 ∴ 2 <0， x1－1x2 － 1 2 ∴当 a>0 时，f(x2)－f(x1)<0， 故此时函数 f(x)在(－1,1)上是减函数， 当 a<0 时，f(x2)－f(x1)>0， 故此时 f(x)在(－1,1)上是增函数． 综上所述，当 a>0 时，f(x)在(－1,1)上为减函数， 当 a<0 时，f(x)在(－1,1)上为增函数．
• 3．函数单调性在图象上的反映：若f(x)是区间A上的单调增 函数，则图象在A上的部分从左向右是逐渐________ 的，若 上升 f(x)是单调减函数，则图象在相应区间上从左向右是逐渐 下降 的． ________ 取值 作差 ， • 4．用定义证明单调性的步骤：__________ ，________ 变形 ，________ 定号 ，________. 结论 ________
新课标人教版高中数学必修一 1.3函数的基本性质 教学设计
1.3 函数的基本性质[教学目标]1．理解函数的单调性，初步掌握函数单调性的判别方法．2．理解函数的最大值、最小值及其几何意义．3．结合具体函数了解奇偶性的含义．4．能够运用函数图象理解和研究函数的性质．[教学要求]讨论函数的基本性质，就是要研究函数的重要特征：函数的增与减，最大值与最小值，增长率与衰减率，增长（减少）的快与慢，对称性（奇偶性），函数的零点，函数值的循环往复（周期性）等．引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．[教学重点]函数的单调性的概念；判断、证明函数的单调性；形成奇偶性的定义．[教学难点]1．函数的单调性和奇偶性定义的形式化表达．2．利用增（减）函数的定义判断函数的单调性．[教学时数]3课时[教学过程]第一课时1.3.1单调性与最大（小）值——函数的单调性新课导入一、情景问题如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时气温相同为32︒C ），观察这张气温变化图：问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？由“函数在某个区间内随着自变量的增加函数值增大或减小”引入课题——函数的单调性．二、观察函数图象，认识“上升”与 “下降”请同学们画出函数x x f =)(和2)(x x f =的图象，并观察图象的变化特征，说说自己的看法．（呈现这两个函数的图象，课本第27页图）可观察到的图象特征：（1）函数x x f =)(的图象由左至右是上升的；（2）函数2)(x x f =的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的；也就是图象在区间]0,(-∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小，在区间),0(+∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大．归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同．函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映．新课进展一、函数的单调性1．如何用函数解析式2)(x x f =描述“随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小”，“随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大”？在区间),0(+∞上任取x 1,x 2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？对于函数2)(x x f =，经过师生讨论得出：在区间),0(+∞上，任取两个21,x x ，当21x x <时，有)()(21x f x f <．这时，我们就说函数2)(x x f =在区间),0(+∞上是增函数．课堂练习请你仿照刚才的描述，说明函数2)(x x f =在区间]0,(-∞上是减函数．2．增函数和减函数的定义设函数)(x f 的定义域为I ：（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数（increasing function ）．（2）请你仿照增函数的定义给出函数)(x f 在区间D 上是减函数的定义．如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数（decreasing function ）．3．对定义要点分析问：（1）你能分析一下增函数定义的要点吗？（2）你能分析一下减函数定义的要点吗？引导学生分析增（减）函数定义的数学表述，体会定义中“区间D 上的任意两个自变量都有…”的含义．课堂例题例1 （课本第29页例1）课堂练习课本第39页习题1.3A 组第4题．课本第32页练习第1、2、3题．课堂例题例2 （课本第29页例2）课堂练习课本第32页练习第4题．4．本课小结（1）增减函数的图象有什么特点？增减函数的图象从左自右是上升的，减函数的图象从左自右是下降的．（2）用定义证明函数的单调性，需要抓住要点“在给定区间任意取两个自变量”去比较它们的函数值的大小．（3）如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间．5．布置作业课本第39页习题1.3A 组第1、2、3题．课本第44页复习参考题A 组第9题．第二课时1.3.1单调性与最大（小）值——函数的最大（小）值复习导入通过提问复习上节课主要学习内容．问：如何判断函数的单调性？观察上节课例1中的图象（课本第29页），发现，函数图象在2-=x 时，其函数值最小，而在1=x 时，其函数值最大．函数2)(x x f =的图象有一个最低点)0,0(，函数2)(x x f -=的图象有一个最高点)0,0(，而函数x x f =)(的图象没有最低点，也没有最高点．新课进展二、函数的最大（小）值1．函数的最大（小）值的定义设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0．那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值(maximum value)．请你仿照函数最大值的定义，给出函数)(x f y =的最小值的定义．设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≥)(；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0．那么，我们称M 是函数)(x f y =的最小值(minimum value)．课堂例题例1 （课本第30页例3）说明：本例题是一个实际应用题，教学时应让学生体会问题的实际意义．例2 （课本第30页例4）说明：本例题表明，高一阶段利用函数的单调性求函数的最大（小）值是常用的方法．通过本例题的教学，再一次让学生体会用函数的单调性定义证明函数的单调性的方法．课堂练习课本第32页练习第5题2．函数的最大（小）值与单调性的关系从上面的例题可以看到，函数的最大（小）值与单调性有非常紧密的关系．我们再看一个例子．例3观察下图，用函数的单调性研究以下问题：(1) 若函数()y f x =的定义域为[],x b e ∈，求最大值和最小值；(2) 若函数()y f x =的定义域为[],x a e ∈，求最大值和最小值；(3) 若函数()y f x =的定义域为[),x b d ∈，求最大值和最小值；解：(1)在定义域[],b e 上，函数()y f x =在区间[],b c 上是增函数，在区间[],c d 上是减函数， 在区间[],d e 上是增函数，且()()f e f c <，则函数()y f x =在[],b e 上的最大值为()f c ，最小值为()f d ；(2) 在定义域[],a e 上，函数()y f x =在区间[],a c 上是增函数，在区间[],c d 上是减函数， 在区间[],d e 上是增函数，且()()f a f d <，则函数()y f x =在[],a e 上的最大值为()f c ，最小值为()f a ；(3) 在定义域[),b d 上，函数()y f x =在区间[],b c 上是增函数，在区间[),c d 上是减函数， 由于函数在x d =处没有定义，则函数()y f x =在[),b d 上的最大值为()f c ，没有最小值．思考：为什么要讨论)()(c f e f <？说明：从本例中可以看出，在求函数的最值时，除了注意单调区间的变化之外，还要注意定义域的区间端点的函数值．3．本课小结函数的最大（小）值是一个函数在一段区间或者整个定义域上的整体性质．一个函数可能存在最大值也可能不存在最大值，最大值具有唯一性．对于最小值也一样．我们经常利用函数的单调性求函数的最大（小）值．4．布置作业课本第39页习题1.3A 组第5题；课本第39页习题1.3B 组第1、2题第三课时1.3.2 奇偶性创设情景，导入新课从对称的角度，观察下列函数的图象： 函数2()1,().f x x g x x =+=这两个函数图象有什么共同的特征?请列出从-3到3这一段区间上，两个函数的对应值表，并思考：自变量取值互为相反数时，函数值如何变化，有怎样的等量关系？讨论结果：当自变量取值互为相反数时，函数值恰相等．反映在图象上，函数图象关于y 轴对称．新课进展三、函数的奇偶性1．偶函数如果函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()(),f x f x -=那么函数()f x 就叫做偶函数(even function)．定义域关于坐标原点对称．请你举出偶函数的例子．2)(x x f =，21)(xx f =等等． 2．奇函数 观察函数x x f =)(和x x f 1)(=的图象，说一说这两个函数有什么共同特征？（1）图象看，它们都是关于坐标原点成中心对称；（2）从定义域看，它们的定义域都是关于坐标原点对称；（3）从函数值看，x 与x -的函数值的绝对值相等且符号相反．如果函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()(),f x f x -=-则函数()f x 叫做奇函数(old function)．请你举出奇函数的例子．3．函数的奇偶性奇函数和偶函数的这种性质叫做函数的奇偶性．（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．课堂例题例1 （课本第35页例5）课堂练习课本第36页练习第1（1）——（4）、第2题．4．本课小结本节课学习了函数的奇偶性及其判断方法．我们可以把对称性和奇偶性结合起来思考． 定义域具有对称性，函数值具有对称性，图象具有对称性．由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．5．布置作业课本第39页习题1.3A 组第6题，B 组第3题．课本第44页复习参考题A 组第10题．补充：1．已知2(),f x ax bx cx =++∈R 是偶函数，那么32()g x ax bx cx =++是( )．(A)偶函数 (B)奇函数(C)既奇又偶函数 (D)非奇非偶函数 2． 已知函数1,0,()0,0,1,0.x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩试判断并证明它的奇偶性．。
函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修一：1-3-1-1课件
2.常见的一次函数、反比例函数、二次函数的单调区间分别是什么?
提示:(1)y=ax+b,a>0时,单调递增区间为(-≦, +≦);a<0时,单调递减区间为(-≦,+≦). (2)y= ,a>0时,单调递减区间为(-≦,0)和(0,+≦); a<0时,单调递增区间为(-≦,0)和(0,+≦).
a 2+n,a>0时,单调递减区间为(-≦,m],单调递增区间为[m,+≦);a<0时,单 (3)y=a(x-m)
②若在端点处有定义,用开区间或闭区间都可以,但若在端点处无定义,必须用开区间表 示. 易错警示:函数不连续的单调区间只能用“和”或“,”连接,而不能用“∪”连接.
类型一 求函数的单调区间
【典例】1.如图是定义在区间
[-4,2]上的函数y=f(x)的图象, 则函数的单调递增区间为____
____________,单调递减区间
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性
【自主预习】
1.增函数与减函数的定义 (1)前提条件: ①设函数f(x)的定义域为I; ②对于定义域I内__________; ③在区间D上_____取两个自变量的值x1,x2,且x1<x2.
某个区间D
任意
()结论: ①若恒有___________成立,则函数f(x)在区间D上是增函数. ②若恒有___________成立,则函数f(x)在区间D上是减函数.
f(x1)<f(x2)
f(x1)>f(x2)
(3)图示:
2.函数的单调性与单调区间 (1)条件: 函数y=f(x)在某个区间D上是_______________. (2)结论: ①函数y=f(x)在这一区间上具有_______________. ②______叫做函数y=f(x)的单调区间.
高一数学人教版必修1课件：1.3 1.第一课时 函数的单调性
x)，所以
x－2<1－x，解得
3 x<2
②.
由①②得 1≤x<32. [答案] 1，32
[类题通法] 1．上题易忽视函数的定义域为[－1,1]，直接利用单调性得 到不等式 x－2<1－x，从而得出 x<32的错误答案． 2．解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号 “f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数 y＝f(x)在区间 D 上是增 函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)，有 x1<x2；若函数 y ＝f(x)在区间 D 上是减函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)， 有 x1>x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞ )上分别单调，因此 要使函数 f(x)在区间[1,2]上单调，只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增；当 a≥2 时，函数 f(x)在区 间[1,2]上单调递减)，从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
[类题通法] “函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是 I，指 的是函数递减的最大范围为区间 I.而函数在某一区间上单调，则 指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调 性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
由函数的单调性求参数的取值范围 [例 3] (1)已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1 －a)<f(2a－1)，则 a 的取值范围是________． (2)已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上单调，求实数 a 的取值范围．
(1)[解析]由题意可知－－11<<12－a－a<1<1，1
高中数学1.3函数的基本性质 PPT课件 图文
f (x)
1、单调函数的图象特征； 2、函数单调性的定义； 3、证明函数单调性的步骤；
作业 1：证明函数 f(x)＝x＋4x在(0，1)上是减函数． 2、 证明函数f(x)=x 3 在(-∞，+∞)上是增函数.
思考：讨论函数 f(x )x22ax 3
在(-2,2)内的单调性.
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的
《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第1课时函数的单调性)
第三章 函数的概念与性质
由函数单调性求参数范围的类型及处理方法 (1)由函数解析式求参数
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变 量的关系 f(a)<f(b)⇔am<≤b（a≤a>nb，），
m≤b≤n. ②方法：依据函数单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． [提醒] 单调区间是 D≠在区间 D 上单调． (1)单调区间是 D：指单调区间的最大范围是 D. (2)在区间 D 上单调：指区间 D 是单调区间的子集．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 0＜x1＜x2＜2， 所以 x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)． 所以函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(2)如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时，都有__f_(x_1_)_＞__f(_x_2_) ___，那么 就称函数 f(x)在区间 D 上单调递减(如图②) 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上_单__调__递__减__时，我们就称它 是减函数．
栏目 导引
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
2．已知函数 f(x)＝2x－＋x1，证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为减 函数． 证明：∀x1，x2∈(－1，＋∞)， 且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x21－＋x11－x22－＋x12
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
人教A版必修一第一章1.3.1 第1课时单调性与最大(小)值
k≠0)与一次函数(y＝ kx＋b，k≠0)
k＜0
无
R
反比例函数 (y＝kx，k≠0)
k＞0
无
k＜0 (－∞，0)和 (0，＋∞)
(－∞，0)和 (0，＋∞)
无
二次函数 (y＝ax2＋bx＋c，
a≠0)
a＞0 a＜0
[－2ba，＋∞) (－∞，－2ba]
(－∞，－2ba] [－2ba，＋∞)
• 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，
• 『规律方法』 利用函数的单调性解函数值的不等式就是 利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转
化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件， 以防出错．
• 〔跟踪练习3〕 • 已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求
实数t的取值范围．
[解析] ∵g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)， ∴t>1－2t，∴t>13，即所求t的取值范围为(13，＋∞)．
• 『规律方法』 1.函数单调性的证明方法——定义法 • 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
• 2．用定义证明函数单调性时，作差f(x1)－f(x2)后，若f(x)为 多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f(x)是 分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f(x)解析式是 根式，则先“分子有理化”再分解因式．
(2)设x1>x2>－1， 则x1－x2>0，x1＋1>0， x2＋1>0， y1－y2＝x12＋x11－x22＋x21 ＝x12＋x11－xx2＋2 1>0， ∴y1>y2， ∴函数y＝x＋2x1在(－1，＋∞)上为增函数．
高中数学人教A版必修1课件：1.3函数的基本性质
(2)函数单调性的刻画： ①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函 数在该区间上是单调递增(减)的； ②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称 函数在该区间上是单调递增(减)的．
间应是定义域的子集．
2.画出函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋3 的 图象，并指出函数的单调区间．
解析： y＝－x2＋2|x|＋3 －x2＋2x＋3＝－x－12＋4
＝－x2－2x＋3＝－x＋12＋4 函数图象如图所示：
x≥0 x＜0 .
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
[0,1]
4．求证：函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单 调减函数．
证明： 设 1＜x1＜x2，
y1－y2＝x1－1 1－x2－1 1 ＝x1－x21－xx21－1 ∵1＜x1＜x2 ∴x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0 ∴x1－x21－xx21－1＞0. 即 y1＞y2，
∴函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数.
解析： ∵f(x)在R上递减，且3<5，
∴f(3)>f(5)．故选C.
答案： C
3．如图所示，函数y＝ f(x)的单调递增区间有 ________，递减区间有 ________．
人教A版必修一1.3.1.1函数的单调性
单调区间的确定，常借助于函数图象去探求，而且这些函数的单调区间作为常识 性的东西，可以直接使用. （2）对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，如
解析：函数单调性强调x1，x2 ［－1，3］，且x1，x2具有任意性， 虽然f（0）＜f（1），但不能保证其他值也能满足这样的不等关 系.故选D.
4.函数f（x）=|x|的减区间是___________. 解析：画出f（x）=|x|的草图，可知此函数的减区间是（－ ，0］
答案：（－
，0］
探究要点一：函数单调性的理解 1.单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间 上可以有不同的单调性. 2.单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以 下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证 明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1<x2；三 是属于同一个单调区间. 3.单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推， 即由f（x）是增（减）函数且f（x1）<f（x2） x1<x2（x1>x2）. 4.并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又 有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性. 探究要点二：单调性的证明方法 1.取值：任选定义域中同一单调区间上的自变量值x1，x2，且设x1<x2. 2.作差：指求f（x2）－f（x1）. 3.变形：这一步连同下一步“定号”是单调性证明与判定的核心内容，即
类型一：函数单调性的证明 利用单调性的定义证明函数 解题流程： 在 上是增函数.
解：法一：对于任意的x1，x2
且x1＜x2，则
规律方法：利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧：
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.1.1 函数的单调性
[规律方法] 1.本题逆用函数单调性，将函数值的不等关系，转 化为与之等价的代数不等式组，但一定注意定义域．
2．设x1，x2∈D，且x1＜x2： (1)f(x1)＜f(x2)⇔f(x)在D上是增函数； (2)f(x1)＞f(x2)⇔f(x)在D上是减函数．
【活学活用 3】 已知函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且 f(x)在区 间[－2,2]上是增函数，f(1－m)＜f(m)，求实数 m 的取值范围． 解 ∵f(x)在[－2,2]上是增函数，且 f(1－m)＜f(m)，
类型二 求函数的单调区间 【例 2】 画出函数 y＝－x2＋2|x|＋1 的图象并写出函数的单调 区间． [ 思 路 探 索 ] 去绝对值 → 化为分段函数 → 作图象 → 求单调区间
解 y＝－－xx22＋－22xx＋＋11，，xx≥＜00，， 即 y＝－ －xx－ ＋1122＋ ＋22， ，xx≥ ＜00，. 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]， 单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
高一数学必修一
第一章 集合与函数概念 1．3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性
【课标要求】 1．理解函数的单调性的概念． 2．掌握判断函数单调性的一般方法． 【核心扫描】 1．单调性的概念．(重点、难点) 2．判断函数的单调性及函数单调性的应用．(重点)
新知导学 1．定义域为I的函数f(x)的增减性
探究点3 若函数f(x)在定义域内的两个区间A、B上都是减(增) 函数，你能认为f(x)在区间A∪B上是减(增)函数吗？ 提示 不能．如f(x)＝在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上 也是减函数，但不能说它在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是 减函数，如取x1＝－1＜1＝x2，有f(－1)＝－1＜1＝f(1)，不 满足减函数．
2020届高中数学分册同步讲义(必修1) 第1章 1.3.1 第1课时 函数的单调性
§1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性.知识点一增函数与减函数的定义设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.思考(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？答案(1)不是.(2)不能.知识点二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.1.如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数.(×)2.函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3).(√)3.若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数.(×)4.若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数.(√)题型一利用图象判断函数单调性例1(1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数. (2)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________.答案 (－∞，1)，(1，＋∞)解析 y ＝1x －1的图象可由y ＝1x 的图象向右平移一个单位得到，如图，∴单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).反思感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.跟踪训练1(1)函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则函数f(x)的所有单调递减区间为()A.[－4，－2]B.[1,4]C.[－4，－2]和[1,4]D.[－4，－2]∪[1,4]答案 C(2)函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性.考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞).题型二函数单调性的证明例2求证：函数f(x)＝x＋1x在[1，＋∞)上是增函数.考点 函数的单调性的判定与证明 题点 定义法证明具体函数的单调性证明 设x 1，x 2是[1，＋∞)上的任意实数，且1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2 ＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2. ∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2).∴f (x )＝x ＋1x在区间[1，＋∞)上是增函数.反思感悟 定义法证明或判断函数单调性的四个步骤跟踪训练2 利用定义判断f (x )＝2xx ＋3在区间(0，＋∞)上的单调性.解 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则 f (x 2)－f (x 1)＝2x 2x 2＋3－2x 1x 1＋3＝2[x 2(x 1＋3)－x 1(x 2＋3)](x 1＋3)(x 2＋3)＝6(x 2－x 1)(x 1＋3)(x 2＋3).因为x 1<x 2，且x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以x 2－x 1>0，x 1＋3>0，x 2＋3>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x )＝2xx ＋3在区间(0，＋∞)上是增函数.题型三 函数单调性的应用例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围. 解 f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的开口方向向上，对称轴为x ＝1－a ， ∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数， ∴4≤1－a ， ∴a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－3]. 延伸探究1.若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的单调减区间为(－∞，4]，则a 的值是什么？ 解 ∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的单调减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4， ∴a ＝－3.2.若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间[2,4]上单调，则a 的取值范围是什么？ 解 ∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间[2,4]上单调， ∴二次函数的对称轴x ＝1－a 一定不在区间(2,4)内， ∴1－a ≤2或1－a ≥4， 即a ≥－1或a ≤－3，∴a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－1，＋∞).3.若y ＝f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围. 解 f (1－a )<f (2a －1)等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |0<a <23.反思感悟 函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.1.函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是( )A.[－2,0]B.[0,1]C.[－2,1]D.[－1,1]考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间 答案 C2.函数y ＝6x 的减区间是( )A.[0，＋∞)B.(－∞，0]C.(－∞，0)，(0，＋∞)D.(－∞，0)∪(0，＋∞)答案 C3.函数y＝x2－6x的单调递减区间是()A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[3，＋∞)D.(－∞，3]答案 D解析y＝x2－6x的开口方向向上，对称轴为x＝3.所以其单调递减区间是(－∞，3].4.下列说法中正确的是()A.定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则f(x)在(a，b)上为增函数B.定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则f(x)在(a，b)上为增函数C.若f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则f(x)在A∪B上也为减函数D.若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)<f(x2)(x1，x2∈I)，则x1<x2答案 D5.若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m)>f(1＋m)，则实数m的取值范围是__________. 答案(－∞，1)解析由2m<1＋m得m<1.1.证明函数的单调性时要注意以下几点(1)用定义证明函数单调性时，易忽视x1，x2的任意性.(2)要证明f(x)在[a，b]上不是单调函数，只要举出一个反例即可.2.判断函数的单调性可用定义法、直接法、图象法，而函数单调性的证明现在只能用定义证明.3.已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识：如f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.二是数形结合意识：如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题.一、选择题1.如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A.函数在区间[－5，－3]上单调递增B.函数在区间[1,4]上单调递增C.函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D.函数在区间[－5,5]上没有单调性答案 C解析单调区间不能用“∪”连接.2.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A.y ＝3－xB.y ＝x 2＋1C.y ＝1xD.y ＝－|x ＋1|答案 B解析 y ＝x 2＋1在(0,2)上是增函数. 3.函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上( )A.递减B.递增C.先减后增D.先增后减答案 C解析 因为y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.作出y ＝|x ＋2|的图象， 如图所示，易知在[－3，－2)上为减函数，在[－2,0]上为增函数.4.已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图象上的两点，那么－1<f (x )<1的解集是( )A.(－3,0)B.(0,3)C.(－∞，－1]∪[3，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)考点 函数单调性的应用题点 利用单调性解抽象函数不等式答案 B解析 由已知f (0)＝－1，f (3)＝1，∴－1<f (x )<1，即f (0)<f (x )<f (3).又∵f (x )在R 上单调递增，∴0<x <3，∴－1<f (x )<1的解集为(0,3).5.函数f (x )＝－x 2＋2(a －3)x ＋1在区间[－2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞) 答案 B解析 二次函数开口向下，对称轴为x ＝a －3，∴a －3≤－2，∴a ≤1.6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－2，＋∞)考点 函数单调性的应用 题点 利用单调性解抽象函数不等式答案 A解析 画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上单调递增，故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2.7.已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )考点 函数的单调性的概念题点 函数单调性概念的理解答案 B解析 对于A ，存在x 1∈(0,1)，f (x 1)>f (1)，A 不对；对于C ，存在x 1>1，f (x 1)<f (1)，C 不对；对于D ，存在x 1＝－1，x 2＝1，f (x 1)<f (x 2)，D 不对；只有B 完全符合单调性定义.8.已知函数y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )A.减函数且f (0)<0B.增函数且f (0)<0C.减函数且f (0)>0D.增函数且f (0)>0答案 A 解析 因为y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数， 所以a <0，b <0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，故选A.二、填空题9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________. 答案 (－∞，1)解析 当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1).10.如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________.答案 (－∞，2]解析 因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2. 11.已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________. 考点 函数单调性的应用题点 利用单调性解抽象函数不等式答案 ⎣⎡⎭⎫1，32 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32， 故满足条件的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，32. 三、解答题12.求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递增区间.考点 求函数的单调区间题点 求函数的单调区间解 ∵y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.函数图象如图所示，∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1].13.证明：函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数. 证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－1x 1－x 22＋1x 2＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋1x 1x 2. 因为0<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋1x 1x 2>0. 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数.14.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是____________.考点 函数单调性的应用 题点 已知二次函数单调性求参数范围答案 (0,1]解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得a ≤1.由g (x )＝a x ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0.∴0<a ≤1.15.设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：(1)f (xy )＝f (x )＋f (y )；(2)f (2)＝1；(3)在(0，＋∞)上是增函数.如果f (2)＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围.解 ∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，∴令x ＝y ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2f (2).又f (2)＝1，∴f (4)＝2.∵f (2)＋f (x －3)＝f (2(x －3))＝f (2x －6)，∴f (2x －6)≤2＝f (4)，即f (2x －6)≤f (4).∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＞0，2x －6≤4，解得3＜x ≤5.故x 的取值范围为(3,5].。
函数的基本性质说课材料
高一函数的基本性质(说课稿)师大附中---------巴争刚一.教材分析:1.教材地位和作用:人教版《普通高中课程标准实验教科书A》必修一第1.3.1“函数的基本性质”是在学生系统地学习了第一章中的函数概念后对函数的性质展开研究的,其第一课时主要是研究函数的单调性．函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究函数的值域、定义域、最值等性质中有重要应用,在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用．同时函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，比如数形结合的思想,类比的思想等等.这对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用.2.教学重点:形成增(减)函数的形式化定义.3.教学难点:形成增(减)函数概念的过程中,如何从对图象升降的直观认识过渡到用严谨的数学语言来描述函数增(减)的定义;另外根据定义证明函数的单调性也是本节课的难点．二. 目标分析：1.知识与技能使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法．2.过程与方法引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合与类比的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3.情感态度与价值观要使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．三.教法学法:1.教法与教法分析教学方法:启发引导---自主探究-- 合作讨论式在这样的教学方法下, 既有教师的讲授与指导又有学生的独立思考空间,教师真正成为课堂教学的引导者、组织者,是学生学习的合作者,同时来自于生活的朴素而有效的问题情景对学生产生一种情感上的感召力,增强了学生参与的自觉性、积极性和主动性,通过观察、思考、合作交流等学习活动过程使学生体会到了探索的乐趣和成功的愉悦.2.学法与学法分析学习方法:独立思考-自主探索-合作交流-阅读自学在新课改的理念下,在教师的逐步引导下,学生的学习方式慢慢发生了改变,不再是单纯的模仿与机械的记忆,在独立思考与自主探索中学生体会到了探索的乐趣,在合作交流中培养了学生的团队精神与合作意识,通过阅读自学学生学会了学习学会了阅读,增强了对事物的理解能力．3. 教具使用配合多媒体、实物投影等辅助教学4.学情分析学生已有的认知基础是，初中初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念；进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应．学生还了解到函数有三种表示方法，特别是可以借助图象对函数特征加以直观考察．此外，学生还学习过一次函数、二次函数、反比例函数的图象及性质．尤其值得注意的是，学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经验．四.教学过程:流程:问题情境定义形成定义运用自主探究课堂反思作业布置教学环节教学过程设计意图问题情境情景引入 1.（展现龙岩新貌,播放采茶灯的音乐）如图为龙岩市2008年2月1日这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：情景引入1弘扬了家乡文化,是对学生适时进行热爱家乡的教育,同时,根据问题情景的有效性,该情景的设置让学生从图象上对函数的单调性产生直观的认识，为引出单调性的定义打好基础，这些问题的设置教师引导学生观察美丽的家乡采茶女的图片,图片中起伏的山峦就象函数图象的起伏,在优美的采茶灯音乐渲染下联想到季节和温度的变化对茶叶采摘的影响,由此导入这一张温度变化图,并提出以下几个问题,让学生思考回答．问题1.怎样描述气温随时间增大的变化情况？问题2 . 在区间［4，14］上，气温是否随时间增大而增大？问题3. 对于任意的t1、t2∈[4，14]时，当t1< t2时，是否都有f(t1)<f(t2)呢?情景引入2.观察一次函数f（x）＝x和二次函数f（x）＝x2的图象，说说随着x的增大，图象的升降情况．教师引导学生对这两个学过的函数观察图形特征,让学生针对以下问题合作讨论得出一些结论问题1.函数f（x）＝x，在整个定义域内f（x）当x增大时函数值怎么变化?问题2.函数2xy=，在),0[+∞上 y随x的增大而____，在)0,(-∞上y随x的增大而_______．有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最本质的东西．. 情景引入2使学生从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的再一次认识．定义形成通过对以上问题的分析，从正、反两方面领会函数单调性．师生共同总结出单调增函数的定义，并解读定义中的关键词，如：区间内，任意，当1x<2x时，都有)(1xf<)(2xf．仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定义．教师介绍单调性和单调区间的定义．函数单调性定义产生是本节课的难点，难在：如何使学生从图形语言过渡到文字语言再过度到严谨的数学符号语言．通过问题的分解，引导学生步步深入，直至找到最准确的数学语言来描述定义．同时仿照单调增函数的定义得到单调减函数的定义,是数学学习中类比的思想.这一个环节体现了以学生为主体，师生互动合作共同探究规律的教学新理念．定义运用运用一.回到问题情境1的图形，提出问题：你能找出气温图中的单调区间吗？运用二. 课本例1 .如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还减函数.运用1和2都是利用函数的图象判断函数的单调性和单调区间，体现了数形结合的思想.运用三.让学生举出所学过的函数为例并对其单调性和单调区间进行讨论.该步骤采用学生编题学生答题的方式,教师做指导,课堂气氛非常活跃.运用四. 范例: 判断函数 f (x) =3x+2 在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论。