数学建模变分法建模
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所需的时间最少(见图1)。
x0
x1
x
y0
y1
A( x0 , y0 )
B( x1 , y1 )
y
图6-1
由能量守恒定律，物体在曲线 轨道上任意一点处的速度为
ds v 2 gy dt
2
1 y ds dt dx 2 gy 2 gy
物体从A到B的 滑行时间为
T[ y ( x )]
x1 x0
欧拉方Baidu Nhomakorabea组
d Fy F y 0 dx F d F 0 z z dx
最速下降问题的求解
F ( x , y , y ) 1 2g 1 y y
2
d ( F y Fy ) 0, 或F y Fy C dx
1 y y
L y0 ( x),y( x) r ( y0 ( x),y( x))
泛函 J 在
而 r 是 y 的高阶项 其中L是y的线性项，
J ( y0 ( x)) L( y0 ( x),y( x))
y0 ( x) 的变分
泛函的极值
泛函 J ( y( x )) s 取得极小值(极大值)是指： 对于任意一个与 y0 ( x) 接近的 y( x ) s 都有
x1
1 y ' 2 gy
2
x0
dx
问题
求解
2 x1 1 y ' min dx x0 2 gy s. t . y ( x ) S
S y( x ) y( x ) C 1 [ x0 , x1 ], y( x0 ) y0 , y( x1 ) y1
S y( x) y( x) C [ x0 , x1 ], y( x0 ) y0 , y( x1 ) y1
泛函的变分
函数 y( x ) 在 y0 ( x) 的增量 y x y x y0 x 函数 的
变分
J J y0 ( x) y( x) J y0 ( x)
条件极值 满足的方程
I ( y( x ), u( x ))
x
x0
H y dx
哈密尔顿函数
H y H y
y u
d H y dx d H y dx
y u
0 0
H ( x ) 0 y H 0 u
变分问题
二
泛 函
变分法的基本概念
设S为一函数集合，若对S中的每一函数都 有 一个确定的数J与之相对应，则称J为定义在S 上的一个泛函，记作J[y(x)] 。S称为泛函 J[y(x)]的定义域。
J [ y( x )] F x, y, y dx , y( x ) S
x x0
最简泛 函的形 式
2
y 2 ~ C1 2 y 1 y
y 1 y C1
2
y ' ctgt y 1 ctg 2 t C1
dy ctgt dx
y c1 si n2 t 或 dy dx ctgt
C1 2t s i n2t x C2 2 y C 1 1 co s 2t 2
J ( y( x ) ) J ( y0 ( x)) (J ( y( x)) J ( y0 ( x))
变分与极值的关系
J ( y0( x ) ) J ( y0( x ) y( x ) ) 0
泛函数极值的必要条件 若 J ( y0 ( x)) 在 y0 ( x) 达到极值(极小或极大)，则
第六讲
变分法建模
• 处理动态优化问题
• 问题归结为求最优控制函数使某个泛函 达到最大或最小 6.1 变分法简介 6.2 掌舵问题
6.1 变分法简介
一 实例 最速下降问题
求一条曲线 y x S，使得物体在重力的作用下
(不计摩擦力)，由 A x0 , y0 沿着该曲线轨道滑到 B x1 , y1
ys
0
解
Fy 2 cos x , Fy 2 y
y cos x 0
y cos x c1 x c2
y(0) y( ) 0
y cos x
2
x 1
四 条件极值
J (u( x )) mi n F x, y( x ), u( x ) dx
J ( y0 ( x )) 0
三 最简泛函取得极值的必要条件
d Fy F y 0 dx
或 Fy Fyx y Fy y y" Fyy 0
欧拉 方程
注：此最简泛函极值的必要条件可以推广到含有 两个及两个以上未知函数
J y x , z x F x, y, y , z, z dx
x1 uU x0
s.t . y ( x ) f x, y( x ), u( x )
拉格朗 日乘子 法
化条件极值为无条件极值
I ( y( x ), u( x )) [F ( x, y, u) f x, y, u y ]dx
x1 x0
H ( x, y, u) F ( x, y, u) f ( x, y, u)
其中任意常数 C1 , C2 由边界条件 y( x0 ) y0 , y( x1 ) y1 确定
例
J [ y] min [( y / )2 2 y cos x]dx
S y( x ) y( x ) C 1 [0, ], y(0) 0, y( ) 0
F ( x, y, y) ( y / )2 2 y cos x
x0
x1
x
y0
y1
A( x0 , y0 )
B( x1 , y1 )
y
图6-1
由能量守恒定律，物体在曲线 轨道上任意一点处的速度为
ds v 2 gy dt
2
1 y ds dt dx 2 gy 2 gy
物体从A到B的 滑行时间为
T[ y ( x )]
x1 x0
欧拉方Baidu Nhomakorabea组
d Fy F y 0 dx F d F 0 z z dx
最速下降问题的求解
F ( x , y , y ) 1 2g 1 y y
2
d ( F y Fy ) 0, 或F y Fy C dx
1 y y
L y0 ( x),y( x) r ( y0 ( x),y( x))
泛函 J 在
而 r 是 y 的高阶项 其中L是y的线性项，
J ( y0 ( x)) L( y0 ( x),y( x))
y0 ( x) 的变分
泛函的极值
泛函 J ( y( x )) s 取得极小值(极大值)是指： 对于任意一个与 y0 ( x) 接近的 y( x ) s 都有
x1
1 y ' 2 gy
2
x0
dx
问题
求解
2 x1 1 y ' min dx x0 2 gy s. t . y ( x ) S
S y( x ) y( x ) C 1 [ x0 , x1 ], y( x0 ) y0 , y( x1 ) y1
S y( x) y( x) C [ x0 , x1 ], y( x0 ) y0 , y( x1 ) y1
泛函的变分
函数 y( x ) 在 y0 ( x) 的增量 y x y x y0 x 函数 的
变分
J J y0 ( x) y( x) J y0 ( x)
条件极值 满足的方程
I ( y( x ), u( x ))
x
x0
H y dx
哈密尔顿函数
H y H y
y u
d H y dx d H y dx
y u
0 0
H ( x ) 0 y H 0 u
变分问题
二
泛 函
变分法的基本概念
设S为一函数集合，若对S中的每一函数都 有 一个确定的数J与之相对应，则称J为定义在S 上的一个泛函，记作J[y(x)] 。S称为泛函 J[y(x)]的定义域。
J [ y( x )] F x, y, y dx , y( x ) S
x x0
最简泛 函的形 式
2
y 2 ~ C1 2 y 1 y
y 1 y C1
2
y ' ctgt y 1 ctg 2 t C1
dy ctgt dx
y c1 si n2 t 或 dy dx ctgt
C1 2t s i n2t x C2 2 y C 1 1 co s 2t 2
J ( y( x ) ) J ( y0 ( x)) (J ( y( x)) J ( y0 ( x))
变分与极值的关系
J ( y0( x ) ) J ( y0( x ) y( x ) ) 0
泛函数极值的必要条件 若 J ( y0 ( x)) 在 y0 ( x) 达到极值(极小或极大)，则
第六讲
变分法建模
• 处理动态优化问题
• 问题归结为求最优控制函数使某个泛函 达到最大或最小 6.1 变分法简介 6.2 掌舵问题
6.1 变分法简介
一 实例 最速下降问题
求一条曲线 y x S，使得物体在重力的作用下
(不计摩擦力)，由 A x0 , y0 沿着该曲线轨道滑到 B x1 , y1
ys
0
解
Fy 2 cos x , Fy 2 y
y cos x 0
y cos x c1 x c2
y(0) y( ) 0
y cos x
2
x 1
四 条件极值
J (u( x )) mi n F x, y( x ), u( x ) dx
J ( y0 ( x )) 0
三 最简泛函取得极值的必要条件
d Fy F y 0 dx
或 Fy Fyx y Fy y y" Fyy 0
欧拉 方程
注：此最简泛函极值的必要条件可以推广到含有 两个及两个以上未知函数
J y x , z x F x, y, y , z, z dx
x1 uU x0
s.t . y ( x ) f x, y( x ), u( x )
拉格朗 日乘子 法
化条件极值为无条件极值
I ( y( x ), u( x )) [F ( x, y, u) f x, y, u y ]dx
x1 x0
H ( x, y, u) F ( x, y, u) f ( x, y, u)
其中任意常数 C1 , C2 由边界条件 y( x0 ) y0 , y( x1 ) y1 确定
例
J [ y] min [( y / )2 2 y cos x]dx
S y( x ) y( x ) C 1 [0, ], y(0) 0, y( ) 0
F ( x, y, y) ( y / )2 2 y cos x