高三数学一轮复习学案：不等式的解法

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高考数学一轮复习统考第7章不等式第4讲基本不等式学案(含解析)北师大版-北师大版高三全册数学

第4讲基本不等式基础知识整合1．重要不等式a 2＋b 2≥012ab (a ，b ∈R )(当且仅当02a ＝b 时等号成立)．2．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：03a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当04a ＝b 时等号成立； (3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的05算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的06几何平均数．3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当07x ＝y 时，x ＋y 有08最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当09x ＝y 时，xy 有10最大值S 24.(简记：“和定积最大”)1．常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 2．利用基本不等式求最值的两个常用结论(1)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若ax ＋by ＝1，则有1x ＋1y＝(ax ＋by )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝a ＋b ＋by x ＋ax y≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.(2)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若a x ＋b y＝1，则有x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A ．1 B.14 C.12 D.22答案 B解析 ∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，即ab的最大值为14.故选B.2．已知a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b答案 D解析 ∵a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，则显然有a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab .下面比较a 2＋b 2与a ＋b 的大小．由于a ，b ∈(0,1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b .故各式中最大的是a ＋b .3．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)C ．y ＝4e x＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1)答案 C解析 A 中x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，函数没有最小值；B 中若y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)取得最小值4，则sin 2x ＝4，显然不成立；D 中由0<x <1，则log 3x ∈(－∞，0)，y ＝log 3x ＋log x 3＝log 3x ＋1log 3x 没有最小值；C 中y ＝4e x ＋e －x ＝4e x ＋1e x ≥4，当且仅当4e x ＝e －x，即x ＝－ln 2时，函数的最小值为4.故选C.4．(2019·山西晋城模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4C.92 D ．5答案 C解析 y ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4a b ＋b a ≥92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立，即1a ＋4b 的最小值是92.故选C.5．若x ，y 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3B.72 C ．4 D.92答案 C解析原式＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2≥4.当且仅当x ＝y ＝22时取“＝”号，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是4. 6.3－aa ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为________．答案 92解析当a ＝－6或a ＝3时，3－aa ＋6＝0；当－6<a <3时，3－a a ＋6≤3－a ＋a ＋62＝92，当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时取等号．故3－aa ＋b (－6≤a ≤3)的最大值为92.核心考向突破精准设计考向，多角度探究突破考向一利用基本不等式求最值角度1 利用配凑法求最值例1 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴x ·(3－3x )＝13·3x ·(3－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，x (3－3x )取得最大值．故选B.(2)设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．答案 0解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．[即时训练] 1.设a ，b 均大于0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．答案 3 2解析 ∵(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋1＋b ＋3＋ 2a ＋1b ＋3＝9＋2a ＋1b ＋3，又2a ＋1b ＋3≤a ＋1＋b ＋3＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝72，b ＝32时取“＝”， ∴(a ＋1＋b ＋3)2≤18， ∴a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.角度2 利用常数代换法求最值例2 (1)(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( )A ．[6，＋∞)B ．[10，＋∞)C ．[12，＋∞)D ．[16，＋∞)答案 D解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D. (2)已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则2a －1＋1b的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8答案 D解析因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2，所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，所以2a －1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1＋1b ·[(a －1)＋2b ]＝4＋4b a －1＋a －1b ≥4＋24b a －1·a －1b ＝8，当且仅当4b a －1＝a －1b，即a ＝32，b ＝14时取等号，所以2a －1＋1b的最小值是8，故选D.常数代换法求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．运用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值．[即时训练] 2.(2020·正定模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．答案 5解析由x ＋3y ＝5xy ，可得15y ＋35x＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.角度3 利用消元法求最值例3 (1)(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则acb2的最大值为( )A ．8B ．2 C.18 D.16答案 C解析因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac 4a 2＋4ac ＋c 2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·ca＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立，即acb 2的最大值为18.故选C.(2)已知x >54，则函数y ＝16x 2－28x ＋114x －5的最小值为________．答案 5解析令4x －5＝t ，则x ＝t ＋54(t >0)，∴y ＝t 2＋3t ＋1t ＝t ＋1t ＋3(t >0)，又t ＋1t≥2(当且仅当t ＝1时，取“＝”)，∴y 的最小值为5.通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．[即时训练] 3.(2019·安徽阜阳模拟)若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b ＋3ba的最小值为________．答案 6解析因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以b ＝aa －1>0，所以a >1，所以a ＋b ＋3b a ＝(a －1)＋4a －1＋2≥4＋2＝6，当且仅当a ＝3时等号成立，所以a ＋b ＋3ba 的最小值是6.考向二求参数值或取值范围例4 (1)(2019·山西长治模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，∴(a ＋1)2≥9.∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4.故选B.(2)当0<m <12时，若1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－2,0)∪(0,4]B ．[－4,0)∪(0,2]C ．[－4,2]D ．[－2,4]答案 D解析因为0<m <12，所以m (1－2m )＝12×2m ×(1－2m )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋1－2m 22＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号，所以1m ＋21－2m ＝1m 1－2m ≥8.又1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，所以k 2－2k －8≤0，所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4]．故选D.(1)要敏锐地洞察到已知条件与所求式子的联系，并能灵活地进行转化． (2)利用基本不等式确立相关成立条件，从而得到参数的值或取值范围．[即时训练] 4.设a >0，b >0且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2答案 C解析由1a ＋1b ＋ka ＋b≥0得k ≥－a ＋b 2ab，又a ＋b 2ab＝a b ＋b a＋2≥4(当且仅当a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.故选C.5．(2019·珠海模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C解析解法一：由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t >0，且t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6.故x ＋3y 的最小值为6.解法二：∵x ＋3y ＝9－xy ≥23xy ，∴(xy )2＋23·xy －9≤0，∴(xy ＋33)(xy －3)≤0，∴0<xy ≤3，∴x ＋3y ＝9－xy ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.故选C. 考向三基本不等式的实际应用例5 (2019·辽宁沈阳质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )(万元)，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x－1450.每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品的销售额为0.05×1000x 万元，依题意得，当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1000x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1000x )－⎝⎛⎭⎪⎫51x ＋10000x－1450－250＝1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.则当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元；当x ≥80时，L (x )＝1200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ≤1200－2x ·10000x＝1200－200＝1000⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝10000x，即x ＝100时取等号，则当x ＝100时，L (x )取得最大值1000万元．由于950<1000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为1000万元．有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．[即时训练] 6.某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2020年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)． (2)∵当m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab，由于ab >0，∴4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立，故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4. 答题启示利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．对点训练已知a >b >0，求a 2＋16b a －b的最小值．解 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴b (a －b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋a －b 22＝a 24. ∴a 2＋16ba －b ≥a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16. 当a 2＝64a 2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立． ∴a 2＋16b a －b 的最小值为16.。

高考数学含绝对值的不等式的解法

三灵与肉
我站在镜子前，盯视着我的面孔和身体，不禁惶惑起来。我不知道究竟盯视者是我，还是被盯视者是我。灵
魂和肉体如此不同，一旦相遇，彼此都觉陌生。我的耳边响起帕斯卡尔的话语：肉体不可思议，灵魂更不可思议，最不可思议的是肉体居然能和灵魂结合在一起。人有一个肉体似乎是一件尴尬事。那个丧子的母亲终于停止哭泣，端起饭碗，因为她饿了。那个含情脉脉的姑娘不得不离
您一定愿意静静地听这个生命说：'我愿意静静地听您说话…… '我从不愿把您想像成一个思想家或散文家，您不会为此生气吧。 "也许再过好多年之后，我已经老了，那时候，我相信为了年轻时读过的您的那些话语，我要用心说一声：谢谢您!" 信尾没有落款，只有这一行字："生
命本来没有名字吧，我是，你是。"我这才想到查看信封，发现那上面也没有寄信人的地址，作为替代的是"时光村落"四个字。我注意了邮戳，寄自河北怀来。
高三第一轮复习
含绝对值不等式的解法
1、绝对值的意义：其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离
OA a
a, a 0
a

0,
a

0
a, a 0
2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）
（1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝
卡尔的话：肉体是奇妙的，灵魂更奇妙，最奇妙的是肉体居然能和灵魂结合在一起。
四动与静
喧哗的白昼过去了，世界重归于宁静。我坐在灯下，感到一种独处的满足。我承认，我需要到世界上去活动，我喜欢旅行、冒险、恋爱、奋斗、成功、失败。日子过得
平平淡淡，我会无聊，过得冷冷清清，我会寂寞。但是，我更需要宁静的独处，更喜欢过一种沉思的生活。总是活得轰轰烈烈热热闹闹，没有时间和自己待一会儿，我就会非常不安，好像丢了魂一样。我身上必定有两个自我。一个好动，什么都要尝试，什么都想经历。另一个喜静，

高三数学第一轮复习教案(学生版)

二、典型例题分析
题型1：比较大小
例1.设 ,试比较A=1+a2与B= 的大小。
变式训练：（2010西城二模）若，则下列不等式中正确的是（）
A． B． C． D．
题型2：取值范围
题型2：确定取值范围
例2.若满足，求的取值范围
解：
变式训练：已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范围.
一、知识梳理：
1．两实数大小的比较原理：
（差值比较原理）
（1）a－b＞0 a＞b；
（2）a－b=0 a=b；
（3）a－b＜0 a＜b.
特别提示（1）在实际问题中a，b可以是含未知数的代数式；
（2）提供了比较两个实数（代数式）大小的方法，也是利用比较法证明不等式的原理。
2.不等式的基本性质：
（1）a＞b ________b＜a.
推论：a＞b＞0 ________________- ＞（n∈N，n＞1）；
推论：a＞b＞0 _____________________-an＞bn（n∈N，n＞1）.
（5）a＞b，ab＞0 _____________ ＜，
特别提示：（1）性质5不能弱化条件得a＞b ＜；
（2）不等式的性质从形式上可分两类：一类是“ ”型；另一类是“ ”型.要注意二者的区别.
⑤若a>b，c>d能否能判定a－c>b－d？
⑥若a>b,c>d，cd≠0是否有
⑦若a>b,c>d是否有a－c>b－d？
⑧若a>b>0,d>c>0是否有
⑨若a>b,ab<0，是否有
⑩若a<b<0是否有（a）a3<b3；(b)a2>b2.

高考一轮复习理科数学课件绝对值不等式的解法及其应用

知识点梳理和归纳总结
01
绝对值不等式的定义和性质
明确绝对值不等式的概念，掌握其基本性质，如正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
02
绝对值不等式的解法
熟练掌握绝对值不等式的解法，包括分段讨论法、平方法、几何意义法等，能够根据不同的题型选择合适的解法。
03
绝对值不等式的应用
了解绝对值不等式在解决实际问题中的应用，如求解最值问题、证明不等式等。
针对性地进行专项训练和模拟考试
专项训练
针对绝对值不等式的各类题型进行专项训练，如含参绝对值不等式、绝对值三角不等式等，提高解题速度和准确率。
模拟考试
定期进行模拟考试，模拟真实考试环境，检验自己的备考效果，查漏补缺。
其他相关定理和性质介绍
绝对值的非负性
对于任意实数x，都有|x|≥0，且 |x|=0当且仅当x=0。
绝对值的单调性
对于任意实数x、y，若x≤y，则 |x|≤|y|。但反之不成立，即若|x|≤|y|
，不能推出x≤y。
绝对值的几何意义
在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值。因此，绝对值与距离、长度等几何概念密切相关。
绝对值不等式分类
03
根据不等号方向分类
可分为严格不等式（如$|x|<a$）和非严格不等式（如$|x|leq a$）。
根据涉及绝对值个数分类
可分为单一绝对值不等式（如$|x-1|<2$ ）和多个绝对值不等式（如$|x1|+|x+2|geq 3$）。
根据解法不同分类
可分为可直接去绝对值符号求解的不等式和需要讨论绝对值内部表达式正负情况求解的不等式。

高考数学一轮复习第7章不等式 2 第2讲一元二次不等式及其解法教案理-高三全册数学教案

第2讲一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集 (1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >b a ；(2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x 0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根ax 2＋bx ＋c>0(a >0)的解集{x |x >x 2或x <x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c<0(a >0) 的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅(1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；(2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0.4．绝对值不等式的解法(1)|f (x )|>|g (x )|⇔[f (x )]2>[g (x )]2；(2)|f (x )|>g (x )⇔f (x )>g (x )或f (x )<－g (x )； (3)|f (x )|<g (x )⇔－g (x )<f (x )<g (x )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( ) (2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)不等式2x 2－x －3>0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <32B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >32或x <－1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <－32解析：选B.2x 2－x －3>0⇒(x ＋1)(2x －3)>0，解得x >32或x <－1.所以不等式2x 2－x －3>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >32或x <－1. 不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)解析：选A.由不等式x －12x ＋1≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12<x ≤1，所以不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.设二次不等式ax2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <13，则ab 的值为________．解析：由不等式ax2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <13，知a <0且ax2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝13，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－1＋13＝－b a，－13＝1a ，所以a ＝－3，b ＝－2，ab ＝6. 答案：6若不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________．解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. 所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)一元二次不等式的解法(高频考点)一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题．高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下三个命题角度：(1)解不含参数的一元二次不等式； (2)解含参数的一元二次不等式；(3)已知一元二次不等式的解集求参数．[典例引领]角度一解不含参数的一元二次不等式(1)解不等式：－x 2－2x ＋3≥0；(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0，解不等式f (x )>3.【解】 (1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x >3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2＋2x >3，解得x >1.故原不等式的解集为{x |x >1}．角度二解含参数的一元二次不等式(分类讨论思想)解关于x 的不等式：12x 2－ax >a 2(a ∈R )．【解】因为12x 2－ax >a 2，所以12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0. 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.①当a >0时，－a 4<a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；③当a <0时，－a 4>a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 3，或x >－a 4.综上所述：当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 3，或x >－a 4.角度三已知一元二次不等式的解集求参数已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．【解析】由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.即不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.【答案】 {x |x ≥3或x ≤2}(1)解一元二次不等式的方法和步骤 (2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． ③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[通关练习]1．(2018·陕西西安模拟)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1≤0，B ＝{x |x 2<2x }，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |0≤x <1} C ．{x |0<x ≤1} D ．{x |0≤x ≤1}解析：选A.因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1≤0＝{x |0≤x <1}， B ＝{x |x 2<2x }＝{x |0<x <2}，所以A ∩B ＝{x |0<x <1}，故选A.2．(2018·广东清远一中模拟)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．(1，3)C ．(－1，3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选C.关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax 0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，所以所求解集是(－1，3)．故选C.3．不等式0<x 2－x －2≤4的解集为________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}．答案：[－2，－1)∪(2，3]一元二次不等式恒成立问题(高频考点)一元二次不等式恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．高考对一元二次不等式恒成立问题的考查有以下三个命题角度：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围； (3)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[典例引领]角度一形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】当a －2＝0，即a ＝2时不等式为－4<0，对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2－2<a <2，解得－2<a <2. 所以实数a 的取值范围是(－2，2]．【答案】 (－2，2]角度二形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围(转化与化归思想)若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1<0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.【答案】⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，0 角度三形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．【解】将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，则－1≤a ≤1. 因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去． (2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.则实数x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．(1)不等式恒成立问题的求解方法①一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．②一元二次不等式f (x )≥0在x ∈[a ，b ]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．③一元二次不等式对于参数m ∈[a ，b ]恒成立确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)求解不等式恒成立问题的数学思想求解此类问题常利用分类讨论思想及转化与化归思想，如例22是不等式与函数的转化，例23是主元与次元的转化，而例21是对二次项系数是否为0进行讨论．[通关练习]1．若函数y ＝mx 2－（1－m ）x ＋m 的定义域为R ，则m 的取值范围是________．解析：要使y ＝mx 2－（1－m ）x ＋m 有意义，即mx 2－(1－m )x ＋m ≥0对∀x ∈R 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，（1－m ）2－4m 2≤0，解得m ≥13.答案：m ≥132．若关于x 的不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：因为不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1，2]上恒成立，所以4x－2x ＋1≥a 在[1，2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.因为1≤x ≤2，所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0，所以实数a 的取值范围为(－∞，0]．答案：(－∞，0]解分式不等式的关键是先将给定不等式移项，通分，整理成一边为商式，另一边为0的形式，再通过等价转化化成整式不等式(组)的形式进行求解．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．易错防范(1)对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形．(2)当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集是R 还是∅，要注意区别．(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述． 1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1，2) B ．[1，2] C ．[1，2)D ．(1，2]解析：选D.A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12，或x >13，则a －ba 的值为( ) A.56 B.16 C ．－16D ．－56解析：选A.由题意得ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12与13，所以－ba＝－12＋13＝－16，则a －b a ＝1－b a ＝1－16＝56. 3．不等式x －43－2x<0的解集是( )A ．{x |x <4}B ．{x |3<x <4}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >4 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32<x <4 解析：选C.不等式x －43－2x <0等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32(x －4)>0，所以不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >4.4．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2，5]解析：选A.x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4即可，解得－1≤a ≤4.5．(2018·福建龙岩模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析：选A.不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，故f (x )<0的解集是{x |x <－1或x >3}，故f (－2x )<0的解集为{x |－2x <－1或－2x >3}，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－32或x >12.6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．函数y ＝lg （1－x ）－2x 2＋12x ＋32的定义域为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋12x ＋32>0，1－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x －16<0，1－x >0，解得－2<x <1，即原函数的定义域为{x |－2<x <1}．答案：(－2，1)8．(2018·江西南昌模拟)在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，329．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12.10．(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知函数f (x )＝4－|ax －2|(a ≠0)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈[0，1]时，不等式f (x )≥1恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)要使函数有意义，需4－|ax －2|≥0，即|ax －2|≤4，|ax －2|≤4⇔－4≤ax －2≤4⇔－2≤ax ≤6. 当a >0时，函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2a≤x ≤6a ；当a <0时，函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪6a≤x ≤－2a .(2)f (x )≥1⇔|ax －2|≤3，记g (x )＝|ax －2|，因为x ∈[0，1]，所以需且只需⎩⎪⎨⎪⎧g （0）≤3g （1）≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧2≤3|a －2|≤3⇔－1≤a ≤5，又a ≠0，所以－1≤a ≤5且a ≠0.1．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A ．(－1，0) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定解析：选C.由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.2．(2018·陕西咸阳模拟)已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( ) A ．13 B ．18 C ．21D ．26解析：选C.设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象为开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≤0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－6×2＋a ≤0，12－6×1＋a >0，解得5<a ≤8，又a ∈Z ，故a ＝6，7，8.则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.3．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8)．答案：[2，8)4．不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，所以x 2＋8y 2－λy (x ＋y )≥0对于任意的x ，y ∈R 恒成立，即x 2－λyx ＋(8－λ)y 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y 2＋4(λ－8)y 2＝y 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. 答案：[－8，4]5．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解：(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.6．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .。

高考数学一轮总复习练习不等式的解法 (2)

1．(2019·台州质检)已知关于x 的不等式ax 2－x ＋c <0的解集为{}x |－1<x <2，则a ＋c 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．32．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( ) A ．(－4,1) B ．(－1,4) C ．(1,4)D ．(0,4)3．如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(－2,0) C ．(－2,1)D ．(0,1)4．已知p ：－12<a <1，q ：对任意的x ∈[－1,1]，x 2－ax －2<0，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若不等式ax 2＋2x ＋c <0的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则不等式cx 2＋2x ＋a ≤0的解集是( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，13 B.⎣⎡⎦⎤－13，12 C ．[－2,3]D ．[－3,2]6．若不等式ax －b >0的解集为(－∞，1)，则关于x 的不等式bx ＋3ax －5>0的解集为( )A ．(－5,3)B ．(－∞，－5)∪(3，＋∞)C ．(－3,5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)7．(2020·浙江省五校联考)已知关于x 的不等式ax 2－2x ＋3a <0在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，33 B.⎝⎛⎭⎫－∞，47 C.⎝⎛⎭⎫33，＋∞D.⎝⎛⎭⎫47，＋∞8．若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,1]C ．[0,1)D ．(0,1)9．关于x 的不等式x 2－2kx ＋k 2＋k －1>0的解集为{x |x ≠a ，x ∈R }，则实数a ＝________. 10．若x ∈[－1,1]时，关于x 的不等式x 3－1≤ax 2＋2ax －a 2恒成立，则实数a 的取值范围是________．11．(2019·嘉兴模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，x －1，x ≥0，那么不等式x ＋(x ＋1)·f (x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x |－1≤x ≤ 2－1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤ 2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤ 2－1}12．设a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个实根，则(a －1)2＋(b －1)2的最小值是( )A ．－494B ．18C ．8D ．－613．定义：区间[a ，b ]，(a ，b ]，(a ，b )，[a ，b )的长度均为b －a ，若不等式1x －1＋2x －2≥54的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为( ) A.512 B.125 C.2095D.520920914．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )＝))232,0,1,1,1,2,2x x x x x -⎧-∈⎡⎣⎪⎪⎨⎛⎫⎪-∈⎡ ⎪⎣⎪⎝⎭⎩若当x ∈[－4，－2)时，不等式f (x )≥m 24－m ＋12恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[2,3]B ．[1,3]C ．[1,4]D ．[2,4]15．已知二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，不等式f (x )≥m 的解集的区间长度为6(规定：闭区间[a ，b ]的长度为b －a )，则实数m 的值是________．16．(2020·浙江省浙南名校联盟联考)已知等比数列{a n }的公比为q ，关于x 的不等式a 2x 2－(a 1＋a 3)x ＋a 2>0有下列说法：①当q >1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，1q ，(q ，＋∞)； ②当0<q <1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫q ，1q ； ③当a 1>0时，存在公比q ，使得不等式解集为∅； ④存在公比q ，使得不等式解集为R . 上述说法正确的序号是________．答案精析1．A 2.B 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 8．D 9.1 10.⎣⎡⎦⎤0，34 11.C 12．C [因为a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个实根，所以由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2m ，ab ＝m ＋6，且Δ＝4(m 2－m －6)≥0，所以y ＝(a －1)2＋(b －1)2＝(a ＋b )2－2ab －2(a ＋b )＋2＝4m 2－6m －10 ＝4⎝⎛⎭⎫m －342－494，且m ≥3或m ≤－2. 由二次函数的性质知，当m ＝3时，函数y ＝4⎝⎛⎭⎫m －342－494取得最小值为8. 即(a －1)2＋(b －1)2的最小值为8.] 13．B [不等式1x －1＋2x －2≥54，即4(x －2)＋8(x －1)－5(x －1)(x －2)4(x －1)(x －2)≥0，化简可得5x 2－27x ＋264(x －1)(x －2)≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x 2－27x ＋26≤0，(x －1)(x －2)>0 或⎩⎪⎨⎪⎧5x 2－27x ＋26≥0，(x －1)(x －2)<0，方程5x 2－27x ＋26＝0有两个根x 1＝27－20910或x 2＝27＋20910，则原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，27－20910∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2，27＋20910，其解集区间的长度为⎝⎛⎭⎪⎫27＋20910－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27－20910－1＝275－3＝125.]14．B [因为当x ∈[－4，－2)时，不等式f (x )≥m 24－m ＋12恒成立，所以f (x )min ≥m 24－m ＋12，当x ∈[－4，－2)，x ＋4∈[0,2)时，f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)＝⎩⎪⎨⎪⎧14[(x ＋4)2－(x ＋4)]，x ＋4∈[0，1)，－14×34212x +-⎛⎫ ⎪⎝⎭，x ＋4∈[1，2)，当x ＋4∈[0,1)时，f (x )＝14[(x ＋4)2－(x ＋4)]≥－14×14＝－116，当x ＋4∈[1,2)时， f (x )＝－14×34212x +-⎛⎫⎪⎝⎭≥－14，因此当x ∈[－4，－2)时，f (x )min ＝－14≥m 24－m ＋12，所以实数m 的取值范围是1≤m ≤3.] 15．－5解析根据题意－x 2＋2x ＋3≥m 的解集为[a ，b ]，则x ＝a 和x ＝b 是方程－x 2＋2x ＋3＝m 即x 2－2x ＋m －3＝0的两根，则a ＋b ＝2，ab ＝m －3，不等式f (x )≥m 的解集的区间长度为6，即b －a ＝6，则有(a ＋b )2－4ab ＝4－4(m －3)＝36，解得m ＝－5. 16．③解析由题意a 1＝a 2q ，a 3＝a 2q ，不等式a 2x 2－(a 1＋a 3)x ＋a 2>0变为 a 2⎣⎡⎦⎤x 2－⎝⎛⎭⎫1q ＋q x ＋1>0，即a 2(x －q )⎝⎛⎭⎫x －1q >0，若a 2>0，则(x －q )⎝⎛⎭⎫x －1q >0，当q >1或－1<q <0时解为x <1q 或x >q ，当0<q <1或q <－1时，解为x <q 或x >1q ，当q ＝±1时，解为x ≠q ；若a 2<0，则(x －q )⎝⎛⎭⎫x －1q <0，当q >1或－1<q <0时，解为1q <x <q ，当0<q <1或q <－1时，解为q <x <1q，当q ＝±1时，不等式无解．对照①，②，③，④，只有③正确．。

高中数学一轮复习一元二次不等式及其解法

(Ⅰ)求 f(x)在[0，1]内的值域；
(Ⅱ)若 ax2＋bx＋c≤0 的解集为 R，求实数 c 的取值范围．
Байду номын сангаас解：(Ⅰ)依题意知，－3，2 是方程 ax2＋(b－8)x－a－ab＝0 的两
－3＋2＝－b－a 8，
根，且 a<0，则
所以－3×2＝－aa－ab，
a＝－3，b＝5，则
f(x)＝－
1－ k1－k2}；
当 k＝－1 时，不等式的解集为{x|x≠－1}；
当 k＜－1 时，不等式的解集为 R．
点拨：解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写
出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数
－2152，所以实数 c 的取值范围为－∞，－2152．
点拨：三个“二次”在高考中举足轻重，每年高考中，至
少有三分之一的题目与之相关．直接考查的不多见，以间接考查为主，贯穿高中数学的始终．其中二次函数居核心地位．
(1) 已知不等式 ax2 － 3x ＋ 6>4 的解集为
＋2＞0 的解集为 R．
(2)若关于 x 的不等式 ax2－x＋2a<0 的解集为∅，则
实数 a 的取值范围是________．
解：依题意知，问题等价于 ax2－x＋2a≥0 恒成立，当 a＝0 时，－x≥0 不恒成立；当 a≠0 时，要使 ax2－x＋2a≥0 恒成立，
需aΔ>≤0，0，即1a－>08，a2≤0，解得 a≥ 42，即 a 的取值
{x|x1＜x＜x2}
有两相等实根 x1＝x2＝－2ba

高三数学第一轮复习：4-5 第一章不等式的基本性质(理)人教实验B版知识精讲

高三数学第一轮复习：4－5 第一章不等式的基本性质（理）人教实验B 版【本讲教育信息】一. 教学内容：4－5 / 第一章 / 不等式的基本性质、基本不等式；不等式的解法二. 教学目的：1、巩固不等式的基本性质、拓展基本不等式相关知识；2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及绝对值不等式的解法三. 教学重点、难点基本不等式的知识拓展；绝对值不等式的解法四. 知识分析【不等式的基本性质】1、不等式的基本性质：对于任意的实数a ，b ，有000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩，这三条基本性质是差值比较法的理论依据．2、不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面．【单向性】（1）c a c b ,b a >⇒>>（2）d b c a d c ,b a +>+⇒>> （3）bc ac 0c ,b a >⇒>> （4）bc ac 0c ,b a <⇒<>（5）bd ac 0d c ,0b a >⇒>>>>（6）n n b a R n ,0b a >⇒∈>>+ 【双向性】（1）000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩（2）a b b a >⇔<（3）a b a c b c >⇔+>+单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础（当然也可用于证明不等式），由于单向性（3）、（4）的逆命题都成立，所以它们也可用于解不等式，在应用单向性（6）解无理不等式和形如nx a >的高次不等式时，若n 为偶数时要注意讨论． 3、要注意不等式性质成立的条件．例如，在应用“11,0a b ab a b>>⇒<”这一性质时，有些同学要么是弱化了条件，得11a b a b>⇒<，要么是强化了条件，而得110a b a b>>⇒<【基本不等式】定理1 设R b ,a ∈，则ab 2b a 22≥+，当且仅当b a =时，等号成立。

高三第一轮复习一元二次不等式及常见不等式的解法

【解析】：∵－c<ax＋b<c，又a>0，
∴－ <x< .
∵不等式的解集为{x|－2<x<1}，
∴ ∴
∴a∶b∶c＝a∶ ∶ ＝2∶1∶3.
答案B
4．已知集合P＝{x| >0}，集合Q＝{x|x2＋x－2≥0}，则x∈Q是x∈P的( )
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)
【解析】：由题意得或解得－3<x<1或x>3.
答案A
3．设a>0，不等式－c<ax＋b<c的解集是{x|－2<x<1}，则a∶b∶c等于( )
A．1∶2∶3B．2∶1∶3
C．3∶1∶2D．3∶2∶1
答案(－2,3)
三．解答题
9．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a、b的值．
【解析】：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，
即a2－6a－3<0，解得3－2 <a<3＋2 .
答案C
二．填空题
3．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如右图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为________________．

2025年高考数学一轮复习-2.3.1-一元二次不等式的解法【课件】

是 {x|x<－2，或x>3}
，不等式 x2－x－6<0
的解集是 {x|－2<x<3}
．
解析：相应的一元二次方程 x2－x－6＝0 的判别式 Δ＝(－1)2 ＋4×6＝25>0，故函数图象与 x 轴有两个交点．
由 x2－x－6＝0，得 x1＝－2，x2＝3，故交点横坐标分别为－2,3. 故不等式 x2－x－6>0 的解集为{x|x<－2，或 x>3}．不等式 x2－x－6<0 的解集为{x|－2<x<3}．
[解] (1)∵Δ＝(－3)2－4×5＝－11<0，
∴x2－3x＋5>0 的解集为 R.
(2)原不等式可化为 6x2＋x－2≤0，
∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0，
∴方程 6x2＋x－2＝0 有两个不同实根，
即 x1＝－23，x2＝12，
∴原不等式的解集为x－23≤x≤12
.
(3)原不等式可化为 4x2－4x＋1≤0，
典例讲解破题型
类型一不含参数的一元二次不等式的解法
[例 1] 求下列一元二次不等式的解集： (1)x2－3x＋5>0； (2)－6x2－x＋2≥0； (3)－4x2≥1－4x； (4)2x2－4x＋7<0. [思路分析] 先求出对应一元二次方程的解，再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集．
[答一答] 1．不等式 ax2＋2x－3>0 一定表示一个一元二次不等式吗？
提示：不一定．当 a≠0 时表示一个一元二次不等式．当 a ＝0 时表示一个一元一次不等式．
2．一元二次不等式有哪些常见的形式？
提示：任意一个一元二次不等式，总可以化为以下四种形式中的一种：

高三一轮复习第一章第四节一元二次不等式及其解法

课时作业1．(2022·安庆模拟)函数f (x )＝1ln （－x 2＋4x －3）的定义域是( ) A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(1，3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1，2)∪(2，3)【解析】　由题意知{－x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1，即{1<x <3，x ≠2，故函数f (x )的定义域为(1，2)∪(2，3)．【答案】　D2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0，2) B ．(－2，1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1，2)【答案】　B3．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈[0，1]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤－3或m ≥0B ．－3≤m ≤0C ．m ≥－3D ．m ≤－3 【答案】　D4．(2022·宣城模拟)不等式 1－x 2＋x≥0的解集为( ) A ．[－2，1]B ．(－2，1]C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪(1，＋∞)【解析】　由1－x 2＋x ≥0，得 {（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，解得－2<x ≤1，所以不等式1－x 2＋x ≥0的解集为{x |－2<x ≤1}．【答案】　B5．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)【解析】　f （x ）－f （－x ）x ＝2f （x ）x＜0的解集为(－1，0)∪(0，1)．【答案】　D6．(2022·安溪摸底)设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1【解析】　∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －b a． ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴{－b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴{b ＝a 2，c ＝32a ， ∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a 2＝2∶1∶3．【答案】　B7．(2022·冀州中学一模)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A ．52B ．72C ．154D ．152【解析】　由x 2－2ax －8a 2<0(a >0)得(x ＋2a )(x －4a )<0(a >0)，即－2a <x <4a ，故原不等式的解集为(－2a ，4a )．由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，即6a ＝15，所以a ＝52．故选A ．【答案】　A8．(2022·潍坊质检)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A．(－∞，－32)∪(12，＋∞)B．(－32，12)C．(－∞，－12)∪(32，＋∞)D．(－12，32)【解析】　f(x)＝0的两个解是x1＝－1，x2＝3且a<0，解得a＝－1，b＝－3，∴f(x)＝(－x－1)(x－3)．由f(－2x)<0得－2x>3或－2x<－1，∴x<－32或x>12．【答案】　A9．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A．12元B．16元C．12元到16元之间D．10元到14元之间【解析】　设销售价定为每件x元，利润为y，则：y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．故选C．【答案】　C10．(2022·漳州模拟)若不等式kx2－kx＋1>0对任意x∈R都成立，则k的取值范围是( )A．(0，4) B．[0，4)C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)【解析】　因为kx2－kx＋1>0对任意x∈R都成立，所以当k＝0时，1>0显然成立，当k≠0时，应有{k>0，Δ＝k2－4k<0，解得0<k<4．综上知，0≤k<4．【答案】　B11．(2022·如东模拟)若不等式x2＋px＞4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( )A ．[－1，3]B ．(－∞，－1]C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】　由题意，原不等式可化为x 2＋(x －1)p －4x ＋3＞0，可设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，因为x －1≠0，所以f (p )为一次函数，要使f (p )在0≤p ≤4内恒大于0，则有f (0)＞0，且f (4)＞0，即x 2－4x ＋3＞0且x 2－1＞0，解得x ＞3或x ＜－1，故选D ．【答案】　D12．(2022·石家庄模拟)不等式2x －1x ＋2≤1的解集为________．【解析】　由不等式2x －1x ＋2≤1，可得2x －1x ＋2－1＝x －3x ＋2≤0，结合分式不等式的解法，可得－2＜x ≤3，即不等式2x －1x ＋2≤1的解集为(－2，3]．【答案】　(－2，3]13．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为(－13，12)，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．【解析】　由ax 2＋2x ＋c >0的解集为(－13，12)知a <0，且－13，12为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0，其解集为(－2，3)．【答案】　(－2，3)14．(2022·华南师大附中三模)当x ＞a 时，x －1x ＞0成立，则实数a 的取值范围是______．【解析】　x －1x ＞0 x (x －1)＞0 x ＞1或x ＜0，则当x ＞a 时，x －1x ＞0成立，所以a ≥1．【答案】　[1，＋∞)。

2022届高三数学一轮复习训练-不等式的解法和基本不等式

专题一、不等式解法和基本不等式一、一元二次不等式解法1．不等式（x+1）（4﹣x）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤4}B．{x|x≥4或x≤﹣1}C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|x＞4或x＜﹣1}2．不等式（x+1）（x﹣2）＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞2} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x＜﹣2或x＞1} D．{x|﹣2＜x＜1} 3．关于x的一元二次不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞6} B．{x|﹣1＜x＜6} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜3} 4．一元二次不等式2x2+x﹣6≥0的解集为（）A．B．C．D．5．不等式x2﹣x≤0的解集为（）A．[0，1] B．[0，1）C．（0，1] D．（0，1）6．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab+2a+b，则满足x⊙（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|x＜﹣2，或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜2}二、分式不等式的解法7．关于x的不等式＜0的解集（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）8．不等式≥0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）B．[﹣3，5]C．（﹣∞，﹣3）∪[5，+∞）D．（﹣3，5]9．关于x的不等式＜1的解集为（）A．{x|x＞1} B．{x|x＜1}C．{x|x＜0或x＞1} D．{x|x＜0或0＜x＜1}10．不等式的解集为（）A．B．C．D．11．不等式≤2的解集为（）A．[2，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）三、一元二次方程和一元二次不等式关系12．若关于x的不等式ax2﹣2x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣313．关于x的不等式（ax﹣b）（x+3）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）14．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a＜0的解集是（）A．B．C．{x|x＜﹣或x＞} D．{x|x＜﹣或x＞}四、恒成立问题15．关于x的不等式x2﹣mx+1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，4）B．（﹣2，2）C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）16．当x∈R时，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．[0，4）D．（0，4）五、基本不等式17．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．a＜b＜＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D．＜a＜＜b18．已知x＞0，则x+的（）A．最大值为2 B．最小值为2 C．最大值为4 D．最小值为419．若x＞1，则函数的最小值为（）A．B．C．4 D．520．当x＞4时，不等式x+≥m恒成立，则m的取值范围是（）A．m≤8B．m＜8 C．m≥8D．m＞821．已知x＞0，y＞0，x+9y＝1，则的最小值为（）A．48 B．12 C．16 D．2022．已知a＞0，b＞0，，则a+2b的最小值为（）A．9 B．5 C．D．23．若正数x，y满足2x+3y＝xy，则3x+2y的最小值为（）A．10 B．15 C．20 D．25高考专题六、不等式与集合间的应用24．（2020•新课标Ⅰ）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣4，1} B．{1，5} C．{3，5} D．{1，3}25．（2020•新课标Ⅰ）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．426．（2019•全国）设集合P＝{x|x2﹣2＞0}，Q＝{1，2，3，4}，则P∩Q的非空子集的个数为（）A．8 B．7 C．4 D．327．（2019•新课标Ⅲ）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{0，1，2} 28．（2019•新课标Ⅰ）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 29．（2018•新课标Ⅰ）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}30．（2016•新课标Ⅱ）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{1，2，3} D．{1，2}七、不等式（基本不等式近几年出现的几率很低，但是基本内容还是要掌握）31．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sin x|+C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+32．（2020•上海）下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 33．（选做）（2021•天津）已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为．34．（选做）（2021•上海）已知函数f（x）＝3x+（a＞0）的最小值为5，则a＝．35．（2021•上海）不等式＜1的解集为．36．（选做）（2020•天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则++的最小值为．37．（2020•上海）不等式＞3的解集为．38．（选做）（2019•上海）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．。

高考数学一轮复习第二章不等式第三节绝对值不等式学案解析版

第三节绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解法：不等式 a ＞0 a ＝0a ＜0|x |＜a {}x |－a ＜x ＜a ∅∅ |x |＞a{}x |x ＞a 或x ＜－a{}x |x ∈R 且x ≠0R(2)|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c . [小题体验]1．不等式|2x －1|＞3的解集为________．答案：{x |x ＜－1或x ＞2}2．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集为________．答案：{}x |x ≥13．函数y ＝|x －4|＋|x ＋4|的最小值为________．解析：∵|x －4|＋|x ＋4|≥|(x －4)－(x ＋4)|＝8，即函数y 的最小值为8. 答案：81．对形如|f (x )|＞a 或|f (x )|＜a 型的不等式求其解集时，易忽视a 的符号直接等价转化造成失误．2．绝对值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |中易忽视等号成立的条件．如|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≤0时等号成立，其他类似推导．[小题纠偏]1．设a ，b 为满足ab ＜0的实数，那么( )A ．|a ＋b |＞|a －b |B ．|a ＋b |＜|a －b |C ．|a －b |＜||a |－|b ||D ．|a －b |＜|a |＋|b |解析：选B ∵ab ＜0， ∴|a －b |＝|a |＋|b |＞|a ＋b |.2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3， ∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 答案：[－2,4]考点一绝对值不等式的解法基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，13，则实数a ＝________. 解析：由|ax －2|＜3，得－1＜ax ＜5， ∵－53＜x ＜13，∴a ＝－3.答案：－32．解不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6.解：法一：当x ＞12时，原不等式转化为4x ≤6⇒12＜x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x ＜－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒－32≤x ＜－12.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32. 法二：原不等式可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.3．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集．解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. [谨记通法]解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．考点二绝对值不等式的证明重点保分型考点——师生共研[典例引领](2019·成都外国语学校模拟)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (2)若|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：f ab |a |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . 解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x ＜－3，－x ＋4，－3≤x ＜12，3x ＋2，x ≥12，当x ＜－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103；当－3≤x ＜12时，－x ＋4≥8无解；当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2.所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－103或x ≥2. (2)证明：f ab |a |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 等价于f (ab )＞|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，即|ab －1|＞|a －b |. 因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0，所以|ab －1|＞|a －b |.故所证不等式成立．[由题悟法]证明绝对值不等式主要的3种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明．[即时应用]已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|.∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.考点三绝对值不等式的综合应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－a 2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．[由题悟法](1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．(2)f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a .f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a .[即时应用]已知定义域为R 的奇函数f (x )＝x |x ＋m |. (1)解不等式f (x )≥x ；(2)若对任意的x 1，x 2∈[1,1＋a ]，恒有|f (x 1)－f (x 2)|≤2成立，求实数a 的取值范围．解：因为f (x )＝x |x ＋m |是定义域为R 的奇函数，所以m ＝0，即f (x )＝x |x |.(1)由x |x |≥x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x 2≥x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2≥x ，即x ≥1或－1≤x ≤0，所以不等式f (x )≥x 的解集为[－1,0]∪[1，＋∞)．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，则f (x )在R 上单调递增，所以f (x )在[1,1＋a ]上单调递增，所以f (1＋a )－f (1)≤2，即(1＋a )|1＋a |－1≤2，又1＋a ＞1，故可得0＜a ≤ 3－1，所以实数a 的取值范围是(0，3－1]．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a ，b ∈R ，则使不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |一定成立的条件是( ) A ．a ＋b ＞0 B ．a ＋b ＜0 C ．ab ＞0D ．ab ＜0解析：选D 当ab ＞0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当ab ＜0时，|a ＋b |＜|a |＋|b |，故选D.2．设集合A ＝{x ||4x －1|＜9，x ∈R}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪xx ＋3≥0，x ∈R ，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．(－∞，－3)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞B ．(－3，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，52C ．(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ D ．(－3，－2]解析：选A 由题意得A ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，52，B ＝(－∞，－3)∪[0，＋∞)，∴(∁R A )∩B ＝(－∞，－3)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.3．不等式|x ＋2|＞3x ＋145的解集是( )A ．(－3，－2)B ．(－2,0)C ．(0,2)D ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)解析：选D 不等式即为5(x ＋2)＞3x ＋14或5(x ＋2)＜－(3x ＋14)，解得x ＞2或x ＜－3，故选D.4．不等式|x －1|－|x －5|＜2的解集为____________．解析：不等式|x －1|－|x －5|＜2等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，－x －1＋x －5＜2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，x －1＋x －5＜2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞5，x －1－x －5＜2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，－4＜2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，2x ＜8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞5，4＜2，故原不等式的解集为{x |x ＜1}∪{x |1≤x ＜4}∪∅＝{x |x ＜4}．答案：{x |x ＜4}5．不等式|x (x －2)|＞x (x －2)的解集为________．解析：不等式|x (x －2)|＞x (x －2)的解集即x (x －2)＜0的解集，解得0＜x ＜2. 答案：{x |0＜x ＜2}二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·台州联考)不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集是( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜0且x ≠－1} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x ＜1且x ≠－1}解析：选D 不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x 2＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，1＋x 2＞0，解得0≤x ＜1或x ＜0且x ≠－1.故选D.2．已知a ，b ∈R ，则“|a |＋|b |＞1”是“b ＜－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 令a ＝0，b ＝2，则|a |＋|b |＞1成立，但推不出b ＜－1；反之，若b ＜－1，则|b |＞1，又|a |≥0，所以|a |＋|b |＞1.所以“|a |＋|b |＞1”是“b ＜－1”的必要不充分条件．3．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( ) A ．[－5,7]B ．[－4,6]C. (－∞，－5]∪[7，＋∞)D. (－∞，－4]∪[6，＋∞)解析：选D 当x ≤－3时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x －x －3＝2－2x ≥10，即x ≤－4，∴x ≤－4.当－3＜x ＜5时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x ＋x ＋3＝8≥10，不成立，∴无解．当x ≥5时，|x －5|＋|x ＋3|＝x －5＋x ＋3＝2x －2≥10，即x ≥6，∴x ≥6.综上可知，不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．4．不等式x 2－|x －1|－1≤0的解集为( ) A ．{x |－2≤x ≤1} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |－1≤x ≤1}解析：选A 当x －1≥0时，原不等式化为x 2－x ≤0，解得0≤x ≤1.∴x ＝1；当x －1＜0时，原不等式化为x 2＋x －2≤0，解得－2≤x ≤1.∴－2≤x ＜1. 综上，－2≤x ≤1.所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤1}，故选A.5．(2018·长沙六校联考)设f (x )＝1ax 2－bx ＋c ，不等式f (x )＜0的解集是(－1,3)，若f (7＋|t |)＞f (1＋t 2)，则实数t 的取值范围为( )A ．(－3,1)B ．(－3,3)C ．(－1,3)D ．(－1,1)解析：选B ∵f (x )＜0的解集是(－1,3)， ∴a ＞0，f (x )的对称轴是x ＝1，且ab ＝2. ∴f (x )在[1，＋∞)上单调递增．又∵7＋|t |≥7,1＋t 2≥1，∴由f (7＋|t |)＞f (1＋t 2)，得7＋|t |＞1＋t 2. ∴|t |2－|t |－6＜0，解得－3＜t ＜3. 故选B.6．已知函数f (x )＝|x ＋6|－|m －x |(m ∈R)，若不等式f (x )≤7对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围为________．解析：由绝对值三角不等式得f (x )＝|x ＋6|－|m －x |≤|x ＋6＋m －x |＝|m ＋6|，由题意得|m ＋6|≤7，则－7≤m ＋6≤7，解得－13≤m ≤1，故m 的取值范围为[－13,1]．答案：[－13,1]7．设|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，则正数a 的取值范围为____________．解析：由|x －2|＜a 得2－a ＜x ＜a ＋2，由|x 2－4|＜1，得3＜x 2＜5，所以－5＜x ＜－3或3＜x ＜ 5. 因为a ＞0，所以由题意得⎩⎨⎧3≤2－a ，a ＋2≤ 5.解得 0＜a ≤5－2，故正数a 的取值范围为(0，5－2]．答案：(0，5－2]8．(2018·杭州五校联考)已知不等式|x 2－4x ＋a |＋|x －3|≤5的x 的最大值为3，则实数a 的值是____________．解析：∵x ≤3，∴|x －3|＝3－x .若x 2－4x ＋a ＜0，则原不等式化为x 2－3x ＋a ＋2≥0. 此不等式的解集不可能是集合{x |x ≤3}的子集， ∴x 2－4x ＋a ＜0不成立．于是，x 2－4x ＋a ≥0，则原不等式化为x 2－5x ＋a －2≤0.∵x ≤3，令x 2－5x ＋a －2＝(x －3)(x －m )＝x 2－(m ＋3)x ＋3m ，比较系数，得m ＝2，∴a＝8.答案：89．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.解：(1)不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1.即|x |＜|a |＋1. 10．(2018·杭州质检)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R)的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，令－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2，当2＜x ≤4时，显然不等式成立，当x ＞4时，令2x －6≤5，得4＜x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤112. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·金丽衢十二校联考)设a ，b 为实数，则“|a －b 2|＋|b －a 2|≤1”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122≤32”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122≤32⇔a 2－a ＋14＋b 2－b ＋14≤32⇔a 2－a ＋b 2－b ≤1⇔b 2－a＋a 2－b ≤1，令b 2－a ＝x ，a 2－b ＝y ，则|x |＋|y |≥|x ＋y |≥x ＋y ，所以|x |＋|y |≤1⇒x ＋y ≤1，故充分性成立，必要性不成立，故选A.2．已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |(a ＞1)．(1)若不等式f (x )≥2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥52，求a 的值； (2)若对任意的x ∈R ，都有f (x )＋|x －1|≥1，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝|x －1|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a －1，x ≥a ，a －1，1≤x ＜a ，－2x ＋a ＋1，x ＜1，当x ≥a 时，由2x －a －1≥2，解得x ≥a ＋32＝52；当x ＜1时，由－2x ＋a ＋1≥2，解得x ≤a －12＝12. 综上得a ＝2.(2)由x ∈R ，f (x )＋|x －1|≥1，可得2|x －1|＋|x －a |≥1.当x ≥a 时，只需3x －2－a ≥1恒成立即可，此时只需3a －2－a ≥1⇒a ≥32；当1≤x ＜a 时，只需x －2＋a ≥1恒成立即可，此时只需1－2＋a ≥1⇒a ≥2；当x ＜1时，只需－3x ＋2＋a ≥1恒成立即可，此时只需－3＋2＋a ≥1⇒a ≥2.综上可得，a 的取值范围为[2，＋∞)．。

高考一轮总复习数学第六章第2讲一元二次不等式及其解法

延伸探究 1 例 2 中(1)变为：若不等式 mx2－mx－1<0 对 m∈[1,2]恒成立，求实数 x 的取值范围．
解设 g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，
其图象是直线，
当 m∈[1,2]时，图象为一条线段，
则gg12<<00，，
x2－x－1<0，即2x2－2x－1<0，
解得1－2
3 1＋ <x< 2
3，
故 x 的取值范围为1－2
3，1＋2
3 .
延伸探究 2 例 2 中(2)条件“f(x)<5－m 恒成立”改为“f(x)<5－m 无解”，如何求 m 的取值范围？
解若 f(x)<5－m 无解，即 f(x)≥5－m 恒成立，即 m≥x2－6x＋1恒成立，又 x∈[1,3]，得 m≥6.即 m 的取值范围为[6，＋∞)．
A．{x|1≤x≤2}
B．{x|x≤1 或 x≥2}
C．{x|1<x<2}
D．{x|x<1 或 x>2}
解析因为(x－1)(2－x)≥0，所以(x－2)(x－1)≤0，所以结合二次函数的性质可得 1≤x≤2.故选 A.
3．[2016·辽阳统考]不等式xx－＋21≤0 的解集是(
)
A．(－∞，－1)∪(－1,2]
所以不改革时的纯收入为：70n－3n＋nn－ 2 1·2万元，
90＝a＋b，
a＝80，
由题设知170＝2a＋b，所以b＝10，
由题意建立不等式：80n＋10－300－n>70n－3n－(n－1)n，
解得－
3<k<0.
(2)[2015·兰州模拟]已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋a，若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，则实数 a 的取值范围是_(_－__3_，__＋__∞__) __．

高考数学(理)一轮复习学案：§7.2 一元二次不等式及其解法+(新课标含解析)

§7.2一元二次不等式及其解法1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c ＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集．4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f （x ）g （x ）＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0； f （x ）g （x ）＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ）g （x ）≤0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0. 自查自纠1．(1)同解不等式 (2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞b a ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜b a a ＝0，b ＜0 3．(1)一元二次 (2)解集 (3)两边中间(4)①{}x |x ＜x 1或x ＞x 2 ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2a ③∅(2014·课标Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1，2) C ．[－1，1]D ．[1，2)解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}， ∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1]．故选A .设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A ．{x |x ∈R } B ．{x |x ≠1，x ∈R } C ．{x |x ≥1}D ．{x |x ≤1}解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ，由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ，解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2－2x ＋1>0， x 的取值范围是x ≠1.故选B .已知－12<1x<2，则x 的取值范围是( )A ．(－2，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫－12，2 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <－2.所以x 的取值范围是x <－2或x >12，故选D .不等式2x 2－x <4的解集为____________．解：由2x 2－x <4得x 2－x <2，解得－1<x <2，即不等式2x 2－x <4的解集为{x |－1<x <2}．故填{x|－1<x<2}．(2014·武汉调研)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．解：显然k ≠0.则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＜0，Δ＜0，解得k ∈(－3，0)．故填(－3，0)．类型一一元一次不等式的解法已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13，则关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集为________．解：由(a ＋b )x ＜3b －2a 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13，得a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b＝－13，从而a ＝2b ，则a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0，将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0，得－bx －3b ＞0，x ＜－3，故填{x|x ＜－3}．【点拨】一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a a ＋b＝－13是解本题的关键．解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2.解：(1)当m 2－4＝0即m ＝－2或m ＝2时， ①当m ＝－2时，原不等式的解集为∅，②当m ＝2时，原不等式的解集为R .(2)当m 2－4＞0，即m ＜－2或m ＞2时，x ＜1m －2.(3)当m 2－4＜0，即－2＜m ＜2时，x ＞1m －2.类型二一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x 2－7x ＋12＞0; (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1＜0; (4)x 2－2x ＋2＞0.解：(1)方程x 2－7x ＋12＝0的解为x 1＝3，x 2＝4.而y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得原不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(2)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0. 方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}． (3)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相同的解x 1＝x 2＝1.而y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)因为Δ＜0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2＞0的解集为R .【点拨】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．(2015·贵州模拟)关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是________．解：原不等式可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a ≤5；当a <1时，得a <x <1，此时解集中的整数为－2，－1，0.则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4，5]．故填[－3，－2)∪(4，5]．类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系(2015·贵州模拟)已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x <－1或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}解：由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，且a ＜0.由韦达定理得⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，（－1）×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.解得－1＜x ＜12.故选B .【点拨】已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为________．解：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，∴a ＜0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎨⎧－ba＝2＋3，c a ＝2×3，a ＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a ＜0.代入不等式cx 2－bx ＋a ＞0，得6ax 2＋5ax ＋a >0(a ＜0)．即6x 2＋5x ＋1＜0，解得－12＜x ＜－13.故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12＜x ＜－13.类型四含有参数的一元二次不等式解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0.解：(1)当m ＝0时，不等式为－(x －1)＜0，得x －1＞0，不等式的解集为{x |x ＞1}；(2)当m ≠0时，不等式为m ⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＜0. ①当m ＜0，不等式为⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＞0， ∵1m ＜1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1m 或x ＞1. ②当m ＞0，不等式为⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＜0. (Ⅰ)若1m＜1，即m ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜1；(Ⅱ)若1m＞1，即0＜m ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1m ；(Ⅲ)若1m＝1，即m ＝1时，不等式的解集为∅.【点拨】当x 2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m ＜0与m ＞0进行讨论；第三层次：1m 与1大小的不确定性，对m ＜1、m ＞1与m ＝1进行讨论．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解：不等式整理为ax 2＋(a －2)x －2≥0，当a ＝0时，解集为(－∞，－1]．当a ≠0时，ax 2＋(a －2)x －2＝0的两根为－1，2a，所以当a ＞0时，解集为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞；当－2＜a ＜0时，解集为⎣⎡⎦⎤2a ，－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，解集为⎣⎡⎦⎤－1，2a . 类型五分式不等式的解法(1)不等式x －12x ＋1≤1的解集为________．解：x －12x ＋1≤1 ⇔ x －12x ＋1－1≤0 ⇔ －x －22x ＋1≤0 ⇔ x ＋22x ＋1≥0.解法一：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0.得{x|x ＞－12或x ≤－2}．解法二：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2x ＋1＞0 或 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，2x ＋1＜0.得{x |x ＞－12或x ≤－2}．故填{x|x ＞－12或x ≤－2}．(2)不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集为．解：x －2x 2＋3x ＋2＞0⇔x －2（x ＋2）（x ＋1）＞0⇔(x －2)(x ＋2)(x ＋1)＞0，数轴标根得{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}，故填{x|－2＜x ＜－1或x ＞2}．【点拨】分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零．※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：根据不等式的性质对不等式进行移项，使得右端为0，化为不等式的标准形式(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数)．(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根．①若是整式不等式，将其分解因式，求出所有根；②若是分式不等式，用积和商的符号法则，将其转化为整式不等式，再求出所有根．(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可)．(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根．但画线时遇偶重根不穿过(即线画至此根时，不穿过此根，而向左依次穿过其余的根)，遇奇重根要穿过，可用口诀：“奇穿偶不穿”来记忆．(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，就连根一同取，但若是分式不等式，写解集时要考虑分母不能为零．(1)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2）≤0，x ≠0的解集，求出B ＝{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．故选B .(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解：x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0得－12<x ≤1.故选A .类型六和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，则实数a 的最小值为( ) A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝⎛⎦⎤0，12， ∴a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x .∵f (x )＝x ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，12上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫－x －1x max＝－52.∴a ≥－52.解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－a2.①⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f （0）≥0⇒a ≥0.(如图1) ②⎩⎨⎧0＜－a 2＜12，f ⎝⎛⎭⎫－a 2≥0⇒－1＜a ＜0.(如图2)③⎩⎨⎧－a 2≥12，f ⎝⎛⎭⎫12≥0⇒－52≤a ≤－1.(如图3)图1图2图3综上 ①②③，a ≥－52.故选C .(2)已知对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．1＜x ＜3B ．x ＜1或x ＞3C ．1＜x ＜2D ．x ＜1或x ＞2解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1，1]，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （－1）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2＞0，x 2－5x ＋6＞0⇒x ＜1或x ＞3，故选B .【点拨】(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a ＜f (x ))型恒成立问题，再利用a ＞f (x )max (a ＜f (x )min )，求出参数范围．解法二化归为二次函数，由于是轴动区间定，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围．(2)对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围．(1)(2015·甘肃模拟)若不等式a ·4x －2x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解：不等式可变形为a >2x －14x ＝⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫14x ，令⎝⎛⎭⎫12x ＝t ，则t >0.∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫14x ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a 的取值范围是a >14.故填⎝⎛⎭⎫14，＋∞.(2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围为________．解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1＞0，设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则f (a )在[－2，2]上恒大于0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （2）＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，x ＞1或x ＜－1.∴x ＜－1或x ＞3.故填(－∞，－1)∪(3，＋∞)．类型七二次方程根的讨论若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，1)D ．[0，1)解法一：令f (x )＝2ax 2－x －1，则f (0)·f (1)＜0，即－1×(2a －2)＜0，解得a ＞1.解法二：当a ＝0时，x ＝－1，不合题意，故排除C ，D ；当a ＝－2时，方程可化为4x 2＋x ＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a ＝－2不适合，排除A.故选B .【点拨】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，画出相应函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：①开口方向；②判别式；③区间端点函数值的正负；④对称轴x ＝－b2a与区间端点的关系．本书2.4节有较详细的讨论，可参看．(2015·贵州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为________．解：根据题意有f (－2)f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0.∴－32<a <－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1.检验知合要求．不等式f (x )>1即为－x 2－x ＋1>1，解得－1<x <0. ∴故填{x|－1＜x ＜0}．类型八一元二次不等式的应用(2013·上海)甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)根据题意，200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000⇒5x －14－3x≥0⇒5x 2－14x －3≥0⇒(5x ＋1)(x －3)≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.(2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫－3x 2＋1x ＋5＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112. 故x ＝6时，y max ＝457 500元．【点拨】和一元二次不等式有关的实际应用题是高考考查的重点，这类题目往往与实际生活结合紧密，应予以重视．(2015·河南模拟)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解： (1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . ∵售价不能低于成本价，∴100⎝⎛⎭⎫1－x 10－80≥0. ∴y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.∴x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的解集的确定，受二次项系数a 的符号及判别式Δ＝b 2－4ac 的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒大于0的条件是a ＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a ＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如f （x ）g （x ）≥0或f （x ）g （x ）≤0的不等式称为非严格分式不等式)3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．6．对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1，2]B ．[－1，2]C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．(－1，2]解：x －2x ＋1≤0⇔()x ＋1()x －2≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1，2]，故选D .2．(2015·湖北模拟)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解：由题意得⎩⎨⎧－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2.则f (x )＝－x 2－x ＋2，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2.故选C .3．(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >lg2}B ．{x |－1<x <lg2}C ．{x |x >－lg2}D ．{x |x <－lg2}解：可设f (x )＝a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)⎝⎛⎭⎫10x －12<0，从而10x <12，解得x <－lg2，故选D .4．(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30]解：设矩形的另一边为y m ，依题意得x 40＝40－y 40，即y ＝40－x ，所以x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30.故选C .5．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－12)B ．(－4，＋∞)C ．(－12，＋∞)D ．(－∞，－4)解：关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ＞0在(1，4)内有解，即a ＜2x 2－8x －4在(1，4)内有解，令f (x )＝2x 2－8x －4＝2(x －2)2－12，当x ＝2时，f (x )取最小值f (2)＝－12；当x ＝4时，f (4)＝2(4－2)2－12＝－4，所以在(1，4)上，－12≤f (x )＜－4.要使a ＜f (x )有解，则a ＜－4.故选D .6．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根大于－2且小于0，另一个根大于1且小于3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－12，＋∞)C ．(－22，0)D ．(－12，0)解：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则由题意有⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （0）＜0，f （1）＜0，f （3）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧22＋a ＞0，a ＜0，－2＋a ＜0，12＋a ＞0. 解得－12＜a ＜0.故选D .7．(2015·浙江模拟)不等式log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋6≤3的解集为________．解：log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋6≤3⇔log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋6≤log 28⇔0＜x ＋1x ＋6≤8⇔－6＜x ＋1x≤2.当x ＞0时，x ＋1x ≥2，此时x ＝1；当x ＜0时，x ＋1x ≤－2，此时x ＋1x＞－6，解得－3－22＜x ＜－3＋2 2.故填(－3－22，－3＋22)∪{1}．8．(2015·昆明模拟)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值是__________．解：原不等式可化为x 2a ≥1＋x 2－1＋x (*)，令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)即（t 2－1）2a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22，对t ≥1恒成立，所以（t ＋1）2a ≥12对t ≥1恒成立，又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.故填8.9．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解法一：设f (x )＝x 2－ax －a .则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )min≤－3，即f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－4a ＋a 24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2. 解法二：x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔x 2－ax －a ＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a ≤－6或a ≥2.10．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2， s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问甲、乙两车有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2＞12，即x 2＋10x －1200＞0，解得x ＞30或x ＜－40(舍去)．这表明甲车的车速超过30 km/h ，又由甲车刹车距离略超12 m ，可判断甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车有0.05x ＋0.005x 2＞10，即x 2＋10x －2000＞0，解得x ＞40或x ＜－50(舍去)．这表明乙车超过40 km/h ，超过规定限速．11．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1，3)．(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式；(2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＋2x ＞0的解集为(1，3)，∴f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a ＜0.因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②因为方程②有两个相等的实根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15. 由于a ＜0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①得f (x )的解析式 f (x )＝－15x 2－65x －35. (2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a ，及a ＜0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎨⎧－a 2＋4a ＋1a ＞0，a ＜0，解得a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0. 故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．解关于x 的不等式：a （x －1）x －2＞1(a ＜1)．解：(x －2)[(a －1)x ＋2－a ]＞0，当a ＜1时有(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1＜0，若a －2a －1＞2，即0＜a ＜1时，解集为{x |2＜x ＜a －2a －1}；若a －2a －1＝2，即a ＝0时，解集为∅；若a －2a －1＜2，即a ＜0时，解集为{x |a －2a －1＜x ＜2}．。

2023年新高考数学一轮复习2-1 不等式的性质及常见不等式解法(知识点讲解)解析版

专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．结合集合，考查不等式的概念、性质，结合作差法，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．2．结合函数的图象，考查不等式的解法，凸显直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）不等式的性质1．实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.3.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．*(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．4．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．5．求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．6.不等式性质(1)对称性：a>b⇔b<a.(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c.(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc.(5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(7)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)．(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．（二）不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．*2．分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为分式不等式.f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )__>__0，f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )__<__0. f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )g (x ) ≥ 0，g (x )≠0. ⇔f (x )·g (x )__>__0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＝0g (x )≠0. f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )·g (x ) ≤ 0，g (x )≠0⇔f (x )·g (x )__<__0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝0g (x )≠0. 3．简单的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法①将f (x )最高次项系数化为正数；②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集．4．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．（三）绝对值不等式1．绝对值不等式的解法（1）形如|ax ＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．（2）形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式①绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集②|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax＋b≤c (c>0)，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)．2. 绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立．（四）几条常用结论1．倒数性质的几个必备结论(1)a >b ，ab >0⇒1a <1b. (2)a <0b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x b >0，m >0，则(1)b a b －m a －m(b －m >0)． (2)a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)．【常考题型剖析】题型一用不等式表示不等关系例1. （2010·浙江·高考真题（文））某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______【答案】20【解析】【详解】把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解.七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.所以一月份至十月份的销售总额为:3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,所以x min =20.【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．题型二：比较数或式子的大小例2.（2022·全国·模拟预测（理））已知10a b a >>>，则下列结论正确的是（） A ．1a b b a -⎛⎫> ⎪⎝⎭ B ．log log a a b ba b < C ．log log a b b a a b < D ．11b a a b-<- 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】因为10a b a>>>，所以1a >，对于A ：01b a <<，0a b ->，所以01a b b b a a -<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，故A 错误；对于B ：1a b>，所以log a b y x =在(0,)+∞上为增函数，又a b >，所以log log a a b b a b>，故B 错误；对于C ：log log log log log a b a a a b a b b b b a b a ab -=+=，因为1a b>，1ab >，所以log log 10a a b b ab =>，所以log log a b b a a b >，故C 错误；对于D ：11111()ab b a b a a b a b b a ab -⎛⎫⎛⎫---=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0a b ->，1ab >，所以111()0ab b a a b a b ab -⎛⎫⎛⎫---=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11b a a b -<-，故D 正确. 故选：D例3.比较大小：(1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小；(2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a的大小．【答案】见解析【解析】 (1)x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0，∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)．(2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a当a ＝±1时，a ＝1a；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a. 【领悟技法】1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．题型三：不等式性质及其应用例4.（2022·上海·高考真题）已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（）A ．a d b c +>+B ．a c b d +>+C ．ad bc >D ．ac bd >【答案】B【解析】【分析】用不等式的基本性质得解.【详解】3210>>>，但3021+=+，3021⨯<⨯，A 、C 错a b c d >>>，,a c b d ∴>>，所以a c b d +>+.B 正确.30212>>->-，但()()30122⨯-<⨯-，D 错.故选:B.例5.（2014·四川·高考真题（文））若0,0,a b c d >><<则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c< 【答案】D【解析】【详解】本题主要考查不等关系．已知0,0a b c d >><<,所以110d c->->，所以a b d c ->-，故a b d c <．故选D 例6.【多选题】（2021·河北高三二模）若实数a ，b 满足43a a b <，则下列选项中一定成立的有（） A ．22a b >或0b a >>，逐一分析四个选项，即可得答案.【详解】因为43a a b <，所以3()0a a b -<，所以300a a b ⎧<⎨->⎩或300a ab ⎧>⎨-<⎩，所以0a b >>或0b a >>，所以22b a >，故A 正确；若0a b >>，则33a b >，故B 错误；若0a b >>，则0a b ->，所以1a b e ->，故C 错误；因为0a b >>或0b a >>，所以01a b <<，所以ln 0a b ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD【规律总结】1．判断不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例．2．证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．3．求取值范围(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．题型四：不等式的解法例7．（2020·全国·高考真题（理））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-. 故选：B.例8.（广东高考真题（理））不等式的解集为 . 【答案】.【解析】令，则，(][),32,-∞-⋃+∞()12f x x x =-++()21,2{3,2121,1x x f x x x x --<-=-≤≤+>（1）当时，由得，解得，此时有；（2）当时，，此时不等式无解；（3）当时，由得，解得，此时有；综上所述，不等式的解集为. 例9．（2019·天津·高考真题（文））设x ∈R ，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为__________. 【答案】2(1,)3- 【解析】【分析】通过因式分解，解不等式．【详解】2320x x +-<，即(1)(32)0x x +-<，即213x -<<，故x 的取值范围是2(1,)3-．例10.（2022·上海·高考真题）不等式10x x-<的解集为_____________.【答案】{}01x x << 【解析】【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.【详解】10100x x x x -<⎧-<⇒⎨>⎩或100x x ->⎧⎨<⎩，解第一个不等式组，得01x <<，第二个不等式组的解集为空集. 故答案为：{}01x x <<【规律方法】1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．2x <-()5f x ≥215x --≥3x ≤-3x ≤-21x -≤≤()3f x =1x >()5f x ≥215x +≥2x ≥2x ≥(][),32,-∞-⋃+∞(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【易错警示】忽视二次项系数的符号致误3.形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a|＋|x －b|≥|x－a －(x －b)|＝|a －b|.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解．题型五：绝对值不等式的应用例11.（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知,x y R ∈，则“1x <且2y <”是“3x y +<”的（）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】判断充分性可利用绝对值三角不等式，由3x y +<1,2x y <<可以举反例【详解】解：充分性：若1,2x y <<，则3x y x y +≤+<，充分性得证；必要性：若3x y +<，取2x =，0.5y =满足条件，但不能得出1,2x y <<，故为非必要条件；综上所述，“1,2x y <<”是“3x y +<”的充分不必要条件，故选：A ．例12．（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（） A ．1,3a b ≤≥ B ．1,3a b ≤≤ C ．1,3a b ≥≥ D ．1,3a b ≥≤【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a≤≤-≤，故选：D ．【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．3.求f (x )＝|x ＋a |＋|x ＋b |和f (x )＝|x ＋a |－|x ＋b |的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值.(3)利用绝对值的几何意义.。