2018年最新高考数学一二轮复习热点题型精讲精练专题七 二次函数与幂函数
2018年高考数学一轮复习专题07二次函数与幂函数教学案文!
07 二次函数与幂函数1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )．零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象和性质高频考点一 幂函数的图象和性质例1、(1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2(2)若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞ C ．(－1，2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2【解析】 (1)由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.(2)因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，【答案】 (1)C (2)D【方法规律】 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【变式探究】 (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )(2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1C ．2D ．1或2【解析】 (1)设f (x )＝x α(α∈R)，则4α＝2， ∴α＝12，因此f (x )＝x 12，根据图象的特征，C 正确．(2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n 在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1， 又n ＝1时，f (x )＝x－2的图象关于y 轴对称，故n ＝1.【答案】(1)C(2)B高频考点二二次函数的图象与性质例2、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数；(3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．其图象如图所示，又∵x∈[－4，6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0，1)上为减函数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数．【方法规律】解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．【变式探究】(1)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________．【解析】 (1)由A ，C ，D 知，f (0)＝c <0，从而由abc >0，所以ab <0，所以对称轴x ＝－b2a >0，知A ，C 错误，D 满足要求；由B 知f (0)＝c >0，所以ab >0，所以x ＝－b2a <0，B 错误． (2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称， ∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2， 又f (x )的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4， 故f (x )＝－2x 2＋4.【答案】 (1)D (2)－2x 2＋4 高频考点三 二次函数的应用例3、 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】 B【方法规律】(1)对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若是二次函数，就隐含着a ≠0，当题目未说明是二次函数时，就要分a ＝0和a ≠0两种情况讨论．(2)由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .(3)涉及二次函数的零点常与判别式有关，常借助函数的图象的直观性实施数形转化． 【变式探究】(1)(已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对x ∈[－3，1]，f (x )＞0恒成立，则实数a的取值范围为________．(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点，则m 的取值范围是________．(2)函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点可化为函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m 恰有4个交点，作函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象如图所示，故m 的取值范围是(－1，0)． 【答案】 (1)⎝⎛⎭⎫－12，4 (2)(－1，0)高频考点四、分类讨论思想在二次函数最值中的应用 例4、已知f(x)＝ax2－2x(0≤x ≤1)，求f(x)的最小值． 解 (1)当a ＝0时，f(x)＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f(x)min ＝f(1)＝－2.[2分](2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .①当1a ≤1，即a ≥1时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，∴f(x)在[0，1a ]上递减，在[1a ，1]上递增．∴f(x)min ＝f(1a )＝1a －2a ＝－1a .②当1a >1，即0<a<1时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f(x)在[0,1]上递减． ∴f(x)min ＝f(1)＝a －2.[9分]【方法与技巧】 1．二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式． (3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便． 2．研究二次函数的性质要注意： (1)结合图象分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论． 3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 【失误与防范】1．对于函数y ＝ax2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．1.【2016高考新课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．1．（2014·全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．【答案】(－∞，2]2．（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D 【答案】D【解析】只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选D.3．（2013·安徽卷）“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C是必要的．4．（2013·湖南卷）函数f(x)＝2ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像的交点个数为() A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】法一：作出函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5的图像如图：可知，其交点个数为2，选B.法二：也可以采用数值法：可知它们有2个交点，选B.5．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是() A． x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f(x)的极值点，则f ′(x 0)＝0 【答案】C6．（2013·北京卷）函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f(x)＝( ) A ．e x ＋1 B ．e x －1 C ．e－x ＋1D ．e－x －1【答案】D【解析】依题意，f(x)向右平移一个单位长度得到f(x －1)的图像，又y ＝e x 的图像关于y 轴对称的图像的【解析】式为y ＝e －x ，所以f(x －1)＝e －x ，所以f(x)＝e－x －1.1．已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y ＝x α的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( ) A ．1，3B ．－1，1C ．－1，3D ．－1，1，3【解析】 因为函数y ＝x α为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y ＝x －1的值域为{y |y ≠0}，函数y ＝x ，y ＝x 3的值域都为R .所以符合要求的α的值为1，3. 【答案】 A2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0【解析】 因为f (0)＝f (4)>f (1)，所以函数图象应开口向上，即a >0，且其对称轴为x ＝2，即－b2a ＝2，所以4a ＋b ＝0. 【答案】 A3．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax ＋1a 的图象可能是( )【解析】 若a <0，由y ＝x a 的图象知排除C ，D 选项，由y ＝ax ＋1a 的图象知应选B ；若a >0，y ＝x a 的图象知排除A ，B 选项，但y ＝ax ＋1a 的图象均不适合，综上选B.【答案】 B4．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f （x ）x 在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数【答案】 D5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)【解析】 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)，所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2.【答案】 A6．函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值( ) A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断 【解析】 依题意，幂函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，4m 9－m 5－1>0，解得m ＝2，则f (x )＝x 2 015. ∴函数f (x )＝x 2 015在R 上是奇函数，且为增函数．由a ＋b >0，得a >－b ，∴f (a )>f (－b )，则f (a )＋f (b )>0.【答案】 A7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是______．【解析】 作出函数y ＝f (x )的图象如图．则当0<k <1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根．【答案】 (0，1)8．已知P ＝2－32，Q ＝⎝⎛⎭⎫253，R ＝⎝⎛⎭⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________． 【解析】 P ＝2－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22>12>25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223>⎝⎛⎭⎫123>⎝⎛⎭⎫253，即P >R >Q .【答案】 P >R >Q9．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．【答案】 (0，1]10．已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．【解析】 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.∴m －n 的最小值是1.【答案】 111．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N ＋)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解 幂函数f (x )的图象经过点(2，2)，12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]，对称轴x ＝－32∈[－2，3]，∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知，a ＝－13或－1.13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，故b的取值范围是[－2，0].。
高考数学一轮复习专题2.7二次函数及幂函数练习(含解析)
第七讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R{x|x≥0}{x|x≠0}（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像R R考向一 幂函数概念及性质【例1】已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________． 【答案】 1【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意． 【举一反三】1．已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 2+2f −3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数f =() A ．−1 B ．2 C ．3 D ．2或−1【答案】A【解析】∵函数f (f )=(f 2−f −1)f f2+2f −3是幂函数，∴f 2−f −1=1，解得：f =2或f =−1，f =2时，f (f )=f ，其图象与两坐标轴有交点不合题意，f =−1时，f (f )=1f 4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故f =−1，故选：A ．2．已知函数f（f）=(3f2−2f)f f是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（）A．−13B．−1C．1 D．−13或1【答案】C【解析】函数f（x）=（3m2-2m）x m是幂函数，则3m2-2m=1，解得m=1或m=-13，又f（x）为增函数，则m=1满足条件，即m的值为1．故选：C．3．已知幂函数f(f)=f f的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A．f(f)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．f(f)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，√2），∴√2=2α，解得α=12，故f（x）=√f，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．4．设α∈{−1，1，12，3}，则使函数y=f f的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．−1，1，3 B．12，1 C．−1，3 D．1，3【答案】D【解析】当α＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当α＝1时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；当α=12函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α＝3时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．考向二图像问题【例2】（1）当f∈{−1,12,1,3}时，幂函数f=f f的图象不可能经过的象限是A．第二象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝f f（x≥0），g（x）＝fff f x的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】（1）D （2）D【解析】（1）因为f=f−1经过第一、三象限；f=f12经过第一象限；f=f1经过第一、三象限；f=f3经过第一、三象限；所以不可能经过的象限是第二、四象限，选D.（2）∵实数a＞0且a≠1，∴函数f（x）＝x a（x＞0）是上增函数，故排除A；∴当a＞1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝log a x的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当0＜a＜1时，∴在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是增函数，g（x）＝log a x是减函数，由此排除B和C，符合条件的选项只有D．故选：D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数f=f 12的图象可能是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】幂函数y=f12为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选：D．2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①f=f 13，②f=f2，③f=f12，④f=f−1B．①f=f3，②f=f2，③f=f 12，④f=f−1C．①f=f2，②f=f3y=x3，③f=f−1，④f=f 1 2D．①f=f 13，②f=f12，③f=f2，④f=f−1【答案】B【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．3．在同一直角坐标系中，函数f(f)=f f(f≥0)，f(f)=log f f(f>0,且f≠1)的图象可能是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；对于B项，幂函数f>1，对数函数0<f<1，所以B项不满足要求；对于C项，幂函数要求0<f<1，而对数函数要求，f>1，所以C项不满足要求；对于D项，幂函数与对数函数都要求0<f<1，所以D项满足要求；故选D.4．如图是幂函数y＝x m和y＝x n在第一象限内的图象，则( )A．－1<n<0,0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1【答案】B【解析】由题图知，f=f f在[0,+∞)上是增函数，f=f f在(0,+∞)上为减函数，∴f>0,f<0，又当f>1时，f=f f的图象在f=f的下方，f=f f的图象在f=f−1的下方，∴f<1,f<−1，从而0<f <1,f <−1，故选B.考向三 比较大小【例3】设f =(35)25,f=(25)35,f=(25)25，则f ,f ,f 的大小关系是A ．f >f >fB ．f >f >fC ．f >f >fD ．f >f >f【答案】A【解析】对于函数f =(25)f ，在(0,+∞)上是减函数，∵35>25，∴(25)35<(25)25，即f <f ；对于函数f =f 25，在(0,+∞)上是增函数，∵35>25，∴(35)25>(25)25，即f >f ．从而f <f <f ．故A 正确． 【举一反三】1.已知点(f ,9)在幂函数f (f )=(f −2)f f 的图象上，设f =f (f − 13),f =f (ln 13)，f =f (√22) 则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f【答案】A【解析】由f (f )=(f −2)f f 为幂函数得f −2=1,f =3, 因为点(3,9)在幂函数f (f )上，所以3f =9，f =2,即f (f )=f 2， 因为f =f (f − 13)=f (3− 13),f =f (ln 13)=f (ff3),又3− 13<√22<1<ff3,所以f <f <f ，选A.2．设f =20.3，f =30.2，f =70.1，则f 、f 、f 的大小关系为（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题意得：f =20.3=√2310=√810，f =30.2=√3210=√910，f =70.1=√710f =√f 10在(0,+∞)上是增函数且9>8>7∴f >f >f 本题正确选项：f3.．已知f =(√2)125，f =925，f =4log 4f 2，则下列结论成立的是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f 【答案】A【解析】f =265=6415，f =345=8115，∵64<81，∴6415<8115，即f <f ，f =e 2>4>3>345=f ，故f <f <f ，选A .考向四 二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. (3)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.【答案】（1）f (x )＝x 2－2x ＋3 （2）x 2＋2x （3）x 2＋2x ＋1【解析】（1）由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.（2）设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .（3）设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)，又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】 x 2－4x ＋3【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.2.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【套路总结】1. 求二次函数解析式的方法【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.3.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式． 【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.4.已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R)．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57【解析】(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0⇒15<b <57，即实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 考向五 二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．（2） 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________ （3） 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 【答案】（1）[0,2] （2）[－3,0] （3）38或－3【解析】（1）二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0， 又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. （2）当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． （3）f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.【举一反三】1．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________. 【答案】 2或－1【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.2．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______．【答案】 [7，＋∞)【解析】 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.3．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】 [－2,0]【解析】当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．考向六 二次函数恒成立【例6】 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．（(2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．【答案】（1） (－∞，－1) （2）2【解析】（1）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.（2） 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． 【答案】【解析】(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1. ∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.2.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 考向七 二次函数根的分布【例7】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是．【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【举一反三】1.已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是． 【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x -+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2x m =．当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点． 当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合．因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点． 当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立．因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-．所以此时10a -≤<．综上可得，10a -≤≤．2.若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是． 【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ，这样可以解得m 的范围5(2,)2． 3.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是 （ ）A ．()12,20B ．()12,18C ．()18,20D ．()8,18 【答案】A【解析】由题意得()()()20420{10{1000f b c f b c f c ->-+>-<⇒-+<>>，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为()()()2,0,1,0,3,2A B C ）：，而()393f b c =++，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20，过B 点取最小值12，()3f 的取值范围是()12,20，选A ．4.已知函数()42f x xx x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________． 【答案】()64,81【解析】根据题意，()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知，126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅()()2111166x x x x =⋅-⋅-+=()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦，()()21123,398,9x x <<∴--+∈，()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81．1．已知函数f(f)=(f−1)2f f2−4f+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则f=( ) A．0或4 B．0或2 C．0 D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．2．已知幂函数f（x）=x a（a是常数），则（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)在(0,+∞)上单调递增C．f(x)的图象一定经过点(1,1)D．f(x)的图象有可能经过点(1,−1)【答案】C【解析】（1）对于A，幂函数f（x）=x a的定义域与a有关，不一定为R，A错误；（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递增，a＜0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递减，B错误；（3）对于C，幂函数f（x）=x a的图象过定点（1，1），C正确；（4）对于D，幂函数f（x）=x a的图象一定不过第四象限，D错误．故选：C．3．如图所示的曲线是幂函数f=f f在第一象限的图象，已知f∈{−4,−14,14,4}，相应曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为（）A．−4，−14，14，4 B．4，14，−14，−4 C．−14，−4，4，14D．4，14，−4，−14【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为4，14，−14，−4．故选B．4．函数f=2|f|−f2(f∈f)的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于函数y=2|x|﹣x 2（x ∈R ）是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ． 再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C ，从而得到应选A ，故选：A ．5．已知函数g （x ）=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象经过定点M ，若幂函数f （x ）=x α的图象过点M ，则α的值等于（ ）A ．﹣1B ．12 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】∵y=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象过定点M ，∴M （4，2），∵点M （4，2）也在幂函数f （x ）=x α的图象上，∴f （4）=4α=2，解得α=12，故选：B ． 6．已知幂函数y =x n 在第一象限内的图象如图所示，则曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 值可能依次为A ．–2，–12，12，2B ．2，12，–12，–2C ．–12，–2，2，12D ．2，12，–2，–12 【答案】B【解析】由图象可知：C 1的指数n>1，C 2的指数0<n<1，C 3，C 4的指数小于0，且C 3的指数大于C 4的指数．据此可得，只有B 选项符合题意．故选B ．7．幂函数y =x n是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n 的值可以是 A ．3 B ．1 C ．0 D ．–1 【答案】D【解析】根据幂函数的性质判断出幂函数f =f f 是奇函数时，指数f 为奇数；幂函数f =f f 的图象与两坐标轴不相交时，幂函数的指数f 小于0，对照选项，只有D 正确．故选D ． 8．在函数f =1f 2,f =2f 2,f =f 2+f ,f =3f 中，幂函数的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】显然，根据幂函数定义可知，只有f =1f 2=f −2是幂函数，故选B ．9．已知函数f =f f ,f =f f ,f =f f 的图象如图所示，则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f 【答案】A【解析】由图像可知，f >1,f =12,0<f <12，得f >f >f ，故答案为：A. 10．当f ∈{−1,12,3}时，幂函数f =f f 的图象不可能经过的象限是 A ．第二象限 B ．第三象限C ．第四象限 D ．第二、四象限 【答案】D【解析】f =f −1的图象经过第一、三象限，f =f 12的图象经过第一象限，f =f 的图象经过第一、三象限，f =f 3的图象经过第一、三象限．故选D ．11．已知正实数f ,f ,f 满足log f 2=2，log 3f =13，f 6=172，则f ,f ,f 的大小关系是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题得f 2=2,∴f 6=8,f =313,∴f 6=32=9, 因为8<172<9,a,b,c 都是正数，所以f <f <f .故选：B12．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（ ） A ．奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增D ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减【答案】C，【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，√2），∴2a=√2，解得a=12∴函数f（x）=f12，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．13．已知函数f=f f2−5f+4（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（）A．2或3 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】幂函数f=f f2−5f+4为偶函数，且在(0,+∞)递减，∴f2−5f+4<0，且f2−5f+4是偶数，由f2−5f+4<0得1<f<4，又由题设f是整数，故f的值可能为2或3，验证知f=2或者3时，都能保证f2−5f+4是偶数，故f=2或者3即所求．故选：A14．已知函数f(f)为偶函数，当f>0时，f(f)=f2−3f，则（）A．f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5)B．f(tan70∘)>f(−1.5)>f(1.4)C．f(1.4)>f(tan70∘)>f(−1.5)D．f(−1.5)>f(1.4)>f(tan70∘)【答案】A【解析】当f>0时，f(f)=(f−1.5)2−1.52，tan70∘−1.5>tan60∘−1.5≈0.232，又函数f(f)为偶函数，所以f(−1.5)=f(1.5)，1.5−1.4=0.1，根据二次函数的对称性以及单调性，所以f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5).故选A15．已知函数f(f)=f2+ff+1在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数f的取值范围是( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]C．[2,+∞)D．R【答案】A【解析】由题意，函数f(f)=f2+ff+1表示开口向上，且对称轴的方程为f=−f2，要使得函数f(f)在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,≤1，解得−2≤f≤2，故选A.则−1≤−f216．幂函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1在(0,+∞)上为增函数，则实数f的值为____________．【答案】2【解析】由函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1是幂函数，则f2−2f+1=1，解得f=0或f=2；当f=0时，f(f)=f−1，在(0,+∞)上为减函数，不合题意；当f=2时，f(f)=f3，在(0,+∞)上为增函数，满足题意．故答案为：2．17. 已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 是幂函数，且f (f )在(0,+∞)上单调递增，则实数f =________. 【答案】2【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m在区间（0，+∞）上单调递增，∴{f 2−f −1=1f＞0，解得m ＝2或-1（舍）．故答案为：2．18．已知幂函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1在(0,+∞)上是减函数，则实数f 的值为__________． 【答案】-2【解析】因为函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1是幂函数，所以f 2−2f −7=1，即(f +2)(f −4)=0， 解得f =−2或f =4，当f =−2时，f (f )=f −3，满足在(0,+∞)上是减函数，当f =4时，f (f )=f 3，在(0,+∞)上是增函数，所以f =−2，故答案是：−2. 19．若f (f )=(f −1)2f f 是幂函数且在(0,+∞)单调递增，则实数f =_______. 【答案】2【解析】f (f )=(f −1)2f f 为幂函数，所以(f −1)2=1，解得f =0或2. 当f =0时，f (f )=f 0=1，在(0,+∞)不单调递增，舍去； 当f =2时，f (f )=f 2，在(0,+∞)单调递增成立.故答案为：f =2. 20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x12(1−8f −f 2)的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x +1）>f （x –2）． 【答案】（1）f （x ）=x –4；（2）{x |x <12，x ≠0}．【解析】（1）因为f （x ）是幂函数，所以m 3–m+1=1，解得m ∈{0，±1}，又f （x ）的图象与x 轴和y 轴都无交点，经检验，只有当m=1时符合题意，所以m=1，此时f （x ）=x –4； （2）f （x ）=x –4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f （x+1）>f （x –2）成立，只需|x+1|<|x –2|，解得x<12， 又f （x ）的定义域为{x|x ≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x ≠0}． 21．已知幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3，其中m ∈[–2，2]，m ∈Z ，①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x ∈R ，都有f （–x ）+f （x ）=0；求同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）的解析式，并求x ∈[0，3]时，f （x ）的值域．【答案】f (f )=f 3；[0,27]. 【解析】∵幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3在区间（0，+∞）为增函数，∴–2m 2–m +3>0，即2m 2+m –3<0，解得m ∈（−32，1）， 又∵m ∈Z ，∴m =–1或m =0，当m =–1时，y =f （x ）=x 2为偶函数，不满足f （–x ）+f （x ）=0； 当m =0时，y =f （x ）=x 3为奇函数，满足f （–x ）+f （x ）=0． ∴同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）=x 3，当x ∈[0，3]时，f （x ）∈[0，27]，即函数f （x ）的值域为[0，27]． 22．已知函数f (f )=(f 2−2f −2)log f f 是对数函数．（1）若函数f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，讨论函数f (f )的单调性；（2）在（1）的条件下，若f ∈[13,2]，不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，求实数f 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由题意可知{f 2−2f −2=1f >0且f ≠1，解得f =3（负值舍去），所以f (f )=log 3f ．因为f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，所以{f +1>03−f >0 ，即{f >−1f <3，即−1<f <3，故f (f )的定义域为{f |−1<f <3}．由于f (f )=log 3(f +1)+log 3(3−f )=log 3(−f 2+2f +3)， 令f (f )=−f 2+2f +3(−1<f <3)，则由对称轴f =1可知，f (f )在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减； 因为f =log 3f 在(0,+∞)上单调递增，所以函数f (f )的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)．（2）因为不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，所以f −3≥f (f )min ,f ∈[13,2]， 由（1）知，当f ∈[13,2]时，函数f (f )的单调递增区间为[13,1]，单调递减区间为(1,2]， 因为f (13)=log 3329,f (2)=1，所以f (f )min =1，所以f −3≥1，即f ≥4，故实数f 的取值范围为[4,+∞)． 23．设二次函数f (f )=f 2+ff +f ，f ，f ∈f ．（1）若f (f )满足：对任意的f ∈f ，均有f (−f )≠−f (f )，求f 的取值范围； （2）若f (f )在(0，1)上与f 轴有两个不同的交点，求f 2+(1+f )f 的取值范围．【答案】(1) (0,+∞) (2) (0,116)【解析】（1）∵f (−f )+f (f )=(−f )2+f (−f )+f +f 2+ff +f =2(f 2+f )≠0恒成立， 所以，方程f 2+f =0无实数解所以，f 取值范围为(0,+∞)（2）设f (f )=0的两根为f 1，f 2，且0<f 1<f 2<1，则f (f )=(f −f 1)(f −f 2)， 所以f 2+(1+f )f =f (1+f +f )=f (0)f (1)=(0−f 1)(0−f 2)(1−f 1)(1−f 2)=f 1f 2(1−f 1)(1−f 2)=(−f 12+f 1)(−f 22+f 2)=[−(f 1−12)2+14][−(f 2−12)2+14]≤116.又因为f 1，f 2不能同时取到12，所以f 2+(1+f )f 取值范围为(0,116)． 24. 已知函数f (f )=f 2−2(f −1)f +4. （Ⅰ）若f (f )为偶函数，求f (f )在[−1,2]上的值域；（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，求f (f )在[1,f ]上的最大值. 【答案】（Ⅰ）[4,8]；（Ⅱ）7-2f【解析】（Ⅰ）因为函数f (f )为偶函数，故f (−f )=f (f )，得f =1.f (f )=f 2+4，因为−1≤f ≤2，所以4≤f (f )≤8,故值域为：[4,8].（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，则函数对称轴f =f −1≥2,f ≥3因为1<f −1<f ，所以f ∈[1,f −1]时，函数f (f )递减，[f −1,f ]时，函数f (f )递增，故当f ∈[1,f ]时，f (f )max {f (1),f (f )} ，∴f (1)=7−2f ,f (f )=−f 2+2f +4，f (1)−f (f )=(7−2f )−(−f 2+2f +4)=f 2−4f +3=(f −2)2−1由于f ≥3∴f (1)≥f (f ) ，故f (f )在[1,f ]上的最大值为7-2f .25．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. （2）a ＝－13或－1【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1. 26.设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【答案】见解析【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2. 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解7---二次函数与幂函数
高考数学一轮复习考点知识专题讲解二次函数与幂函数考点要求1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )． 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象和性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象(抛物线)定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a对称轴x ＝－b2a顶点坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝1212x 是幂函数．(×)(2)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．(×)(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.(√)(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(×) 教材改编题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14等于()A ．－12B.12C ．±12D.22答案B解析设f (x )＝x α， ∴2α＝2，α＝12，∴f (x )＝12x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12.2．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上单调，则实数k 的取值范围为________． 答案(－∞，40]∪[160，＋∞) 解析依题意知，k 8≥20或k8≤5，解得k ≥160或k ≤40.3．已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________．答案f(x)＝x2－4x解析因为y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，所以可设f(x)＝a(x－2)2－4(a>0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.题型一幂函数的图象与性质例1(1)若幂函数y＝x－1，y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1<m<0<n<1B．－1<n<0<m<1 2C．－1<m<0<n<1 2D．－1<n<0<m<1答案D解析幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1.当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0.综上可知，－1<n<0<m<1.(2)(2022·长沙质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m的图象关于y轴对称，则实数m＝________.答案2解析由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2.教师备选1．若幂函数f(x)＝(a2－5a－5)12ax-在(0，＋∞)上单调递增，则a等于()A．1B．6 C．2D．－1 答案D解析因为函数f(x)＝(a2－5a－5)12ax-是幂函数，所以a2－5a－5＝1，解得a＝－1或a＝6. 当a＝－1时，f(x)＝12x在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝6时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上单调递减， 所以a ＝－1.2．若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是() A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167B ．(0,2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，167D ．[2，＋∞)答案A解析因为函数f (x )＝12x 在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f (x )>f (8x －16)，所以⎩⎨⎧x ≥0，8x －16≥0，x >8x －16，即2≤x <167，所以不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167.思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．跟踪训练1(1)(2022·宝鸡检测)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1225，则() A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案A解析由题意得b ＝233<234＝432＝a ，a ＝432＝234<4<5＝1225＝c ， 所以b <a <c .(2)已知幂函数f (x )＝x m －3(m ∈N *)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m 等于()A ．1B ．2C ．1或2D ．3 答案B解析因为f (x )＝x m －3在(0，＋∞)上是减函数， 所以m －3<0，所以m <3. 又因为m ∈N *，所以m ＝1或2. 又因为f (x )＝x m －3是奇函数， 所以m ＝2.题型二 二次函数的解析式例2已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解方法一(利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二(利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12， 所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三(利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8， 即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.教师备选若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)满足条件f(－x)＝f(x)，定义域为R，值域为(－∞，4]，则函数解析式f(x)＝________.答案－2x2＋4解析f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.∵f(－x)＝f(x)，∴2a＋ab＝0，∴f(x)＝bx2＋2a2.∵f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，∴b<0，且2a2＝4，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4.思维升华求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2(1)已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)等于()A．x2－2x＋1B．x2＋2x＋1C．2x2－2x＋1D．2x2＋2x－1答案B解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1可得ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋(b －1)，所以⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝2a ，c ＝b －1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，c ＝1，因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________． 答案f (x )＝x 2－4x ＋3解析∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2， 又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3， 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， ∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1二次函数的图象例3设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是()答案D解析因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，c <0，b >0，不符合题意，故选D. 命题点2二次函数的单调性与最值 例4已知函数f (x )＝x 2－tx －1.(1)若f (x )在区间(－1,2)上不单调，求实数t 的取值范围； (2)若x ∈[－1,2]，求f (x )的最小值g (t )．解f (x )＝x 2－tx －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －t 22－1－t 24.(1)依题意，－1<t2<2，解得－2<t <4，∴实数t 的取值范围是(－2,4)．(2)①当t2≥2，即t ≥4时，f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝3－2t . ②当－1<t2<2，即－2<t <4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝－1－t 24.③当t2≤－1，即t ≤－2时，f (x )在[－1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－1)＝t .综上有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≤－2，－1－t 24，－2<t <4，3－2t ，t ≥4.延伸探究本例条件不变，求当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值G (t )． 解f (－1)＝t ，f (2)＝3－2t ，f (2)－f (－1)＝3－3t ， 当t ≥1时，f (2)－f (－1)≤0， ∴f (2)≤f (－1)， ∴f (x )max ＝f (－1)＝t ； 当t <1时，f (2)－f (－1)>0， ∴f (2)>f (－1)， ∴f (x )max ＝f (2)＝3－2t ，综上有G (t )＝⎩⎨⎧t ，t ≥1，3－2t ，t <1.教师备选1.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是________．(填序号)①当x >3时，y <0；②4a ＋2b ＋c ＝0； ③－1≤a ≤－23；④3a ＋b >0.答案①③解析依题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )， ∴函数与x 轴的另一交点为(3,0)， ∴当x >3时，y <0，故①正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c >0，故②错误；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1,0)，且a <0， ∴a －b ＋c ＝0，∵b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0， ∴3a ＋b <0，c ＝－3a ， ∵2≤c ≤3，∴2≤－3a ≤3， ∴－1≤a ≤－23，故③正确，④错误．2．(2022·沈阳模拟)已知f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)若f (x )在[0,1]上单调，求实数a 的取值范围； (2)若x ∈[0,1]，求f (x )的最小值g (a )． 解(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1单调递减； 当a >0时，f (x )的对称轴为x ＝1a ，且1a>0，∴1a≥1，即0<a ≤1；当a <0时，f (x )的对称轴为x ＝1a 且1a<0，∴a <0符合题意． 综上有，a ≤1.(2)①当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－1.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.(ⅰ)当1a<1，即a >1时，f (x )＝ax 2－2x ＋1图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上单调递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a＋1＝－1a ＋1.(ⅱ)当1a≥1，即0<a ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x ＋1在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.综上所述，g (a )＝⎩⎨⎧a －1，a ≤1，－1a ＋1，a >1.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3(1)若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a 的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3B ．[－6，－4] C ．[－3，－22] D ．[－4，－3] 答案B解析∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增， 当x >0时，f (x )＝x 2＋ax ＋2， 对称轴为x ＝－a 2，∴2≤－a2≤3，解得－6≤a ≤－4.(2)(2022·汉中模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋5在区间[0，m ]上有最大值6，最小值5，则实数m 的取值范围是________． 答案[1,2]解析由题意知，f (x )＝－(x －1)2＋6， 则f (0)＝f (2)＝5＝f (x )min ，f (1)＝6＝f (x )max ，函数f (x )的图象如图所示，则1≤m ≤2.课时精练1．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于() A ．3B ．－3C.13D ．－13答案C解析设f (x )＝x α，则4α2α＝2α＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝13.2．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为() A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 答案B解析二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， 设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ， 可得⎩⎨⎧a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所求的二次函数为g (x )＝3x 2－2x .3．(2022·延吉检测)若函数y ＝(m 2－3m ＋3)·224m m x +-为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为() A ．0B ．1或2C ．1D ．2 答案C解析由于函数y ＝(m 2－3m ＋3)224mm x +-为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，y ＝x －1＝1x，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．当m ＝2时，y ＝x 4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．4．已知函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m 的值为() A ．－2或1B ．－2C ．1D ．1或2 答案A解析因为f (x )＝x 2－2mx －m ＋2＝(x －m )2－m 2－m ＋2≥－m 2－m ＋2，且函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，所以－m 2－m ＋2＝0，解得m ＝－2或m ＝1.5．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是()A ．b 2<4acB ．2a －b ＝1C ．a －b ＋c ＝0D ．5a <b 答案D解析因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，所以⎩⎨⎧－b 2a ＝－1，9a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝2a ，c ＝－3a ，因为二次函数的图象开口方向向下，所以a <0，对于A ，因为二次函数的图象与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0， 所以b 2>4ac ，故选项A 不正确； 对于B ，因为b ＝2a ，所以2a －b ＝0，故选项B 不正确；对于C ，因为a －b ＋c ＝a －2a －3a ＝－4a >0， 故选项C 不正确； 对于D ，因为a <0，所以5a <2a ＝b ，故选项D 正确．6．若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围是() A ．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，2) 答案A解析二次函数y ＝kx 2－4x ＋2图象的对称轴为直线x ＝2k，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2；当k <0时，2k<0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，则函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)．7．(2022·张家口检测)已知幂函数f (x )＝mx n ＋k 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝________. 答案0解析因为f (x )是幂函数， 所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫116n ＝14，解得n ＝12，所以m －2n ＋3k ＝0.8．已知函数f (x )＝4x 2＋kx －8在[－1,2]上不单调，则实数k 的取值范围是________． 答案(－16,8)解析函数f (x )＝4x 2＋kx －8的对称轴为直线x ＝－k 8，则－1<－k8<2，解得－16<k <8.9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3，且－1，3是函数f (x )的零点． (1)求f (x )的解析式，并解不等式f (x )≤3； (2)若g (x )＝f (sin x )，求函数g (x )的值域．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－b －2a ，－1×3＝3a ，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴当－x 2＋2x ＋3≤3时，即x 2－2x ≥0， 解得x ≥2或x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)． (2)令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2＋2t ＋3＝－(t －1)2＋4，t ∈[－1,1]， 当t ＝－1时，g (t )有最小值0， 当t ＝1时，g (t )有最大值4，故g (t )∈[0,4]．∴g (x )的值域为[0,4]．10．(2022·烟台莱州一中月考)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[t ，t ＋2](t ∈R )时，求函数f (x )的最小值g (t )(用t 表示)．解(1)因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1， 所以⎩⎨⎧ c ＝2，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x ＋1，即⎩⎨⎧ c ＝2，2ax ＋b ＋a ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝2，b ＋a ＝1，解得⎩⎨⎧ c ＝2，a ＝1，b ＝0，因此f (x )＝x 2＋2.(2)因为f (x )＝x 2＋2是图象的对称轴为直线x ＝0，且开口向上的二次函数， 当t ≥0时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递增，则f (x )min ＝f (t )＝t 2＋2；当t ＋2≤0，即t ≤－2时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递减，则f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2＋2＝t 2＋4t ＋6；当t <0<t ＋2，即－2<t <0时，f (x )min ＝f (0)＝2，综上g (t )＝⎩⎨⎧ t 2＋2，t ≥0，2，－2<t <0，t 2＋4t ＋6，t ≤－2.11．(2022·安康模拟)已知函数f (x )＝2x 2－mx －3m ，则“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的()A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案C解析若f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立，则⎩⎨⎧ f (1)＝2－4m <0，f (3)＝18－6m <0，解得m >3，{m |m >3}是{m |m >2}的真子集，所以“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件．12.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b 等于()A ．0B ．1C.12D ．2 答案A解析由BM ＝MN ＝NA ，点A (1,0)，B (0,1)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝13log 23，b ＝23log 13， ∴a －1b ＝13log 23－2311log 3＝0.13．(2022·江苏海安高级中学模拟)函数f (x )＝x 2－4x ＋2在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]，则b －a 的取值范围是________．答案[2,4]解析解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝2，解得x ＝0或x ＝4，解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝－2，解得x ＝2，由于函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]．若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，则[a ，b ]＝[0,2]或[a ，b ]＝[2,4]，此时b －a 取得最小值2；若函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，且当b －a 取最大值时，[a ，b ]＝[0,4]，所以b －a 的最大值为4.所以b －a 的取值范围是[2,4]．14．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0(m ∈R )的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案7解析由题意有⎩⎨⎧ α＋β＝2m ，αβ＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0，解得m ≤－2或m ≥1， α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14， 且m ≤－2或m ≥1，所以f (m )min ＝f (1)＝7.15．(2022·台州模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x －3)·(x 2＋ax ＋b )是偶函数，则f (x )的值域是________．答案[－16，＋∞)解析因为f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )＝(x －3)(x ＋1)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，所以有⎩⎨⎧ f (－3)＝f (3)＝0，f (1)＝f (－1)＝0，代入得⎩⎨⎧ 9－3a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－3.所以f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋2x －3)＝(x 2－3)2－4x 2＝x 4－10x 2＋9＝(x 2－5)2－16≥－16.16．已知a ，b 是常数且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx 且f (2)＝0，且使方程f (x )＝x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使得f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m ，2n ]? 解(1)由f (x )＝ax 2＋bx ，且f (2)＝0，则4a ＋2b ＝0，又方程f (x )＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根，得b ＝1，从而a ＝－12， 所以f (x )＝－12x 2＋x . (2)假定存在符合条件的m ，n ，由(1)知f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， 则有2n ≤12，即n ≤14. 又f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则f (x )在[m ，n ]上单调递增，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，解方程组得m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n ＝0，使函数f (x )在[－2,0]上的值域为[－4,0]．。
2018年高考数学一轮总复习专题2.4二次函数与幂函数练习含解析文
专题2.4 二次函数与幂函数考点分析从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质. 融会贯通考点一 幂函数的图象和性质 【例1】幂函数（是常数）的图象（ ） A. 一定经过点 B. 一定经过点C. 一定经过点D. 一定经过点【答案】C考点：幂函数的性质. 【变式训练1】幂函数的图象经过点，则是（ ）A. 偶函数，且在上是增函数B. 偶函数，且在上是减函数C. 奇函数，且在上是增函数D. 非奇非偶函数，且在上是增函数【答案】C 【解析】设幂函数为，代入点，解得，所以，可知函数是奇函数，且在上是增函数，故选C.【变式训练2】【2017届云南曲靖一中高三上月考】已知幂函数nx x f =)(的图象过点)41,8(，且)2()1(f a f <+，则a 的范围是（ ）A.13<<-aB.3-<a 或1>aC.1<aD.1>a 【答案】B【解析】因为幂函数n x x f =)(的图象过点)41,8(， 所以321282243nn n -=⇒=⇒=-，23()f x x-= 是偶函数，且在()0,+∞上递减，在(),0-∞上递增，由)2()1(f a f <+得，12,a +>解得3-<a 或1>a ，故选B.考点：1、幂函数的图象与性质；2、绝对值不等式的解法.【例2】【2017届福建福州外国语学校高三上学期期中数学】已知函数是幂函数25m 3f(x)=(m m 1)x －－－－且幂函数是(0,+∞)上的增函数,则m 的值为（ ）A ．2B ．－1C ．－1或2D ．0 【答案】B【变式训练】【2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试数学（文）】已知p ：幂函数()21m y m m x =--在()0,+∞上单调递增； :21q m -<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 .0C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由题意，命题:p 幂函数()21my m m x =-- 在()0,+∞上单调递增，则211{,20m m m m --=∴=> ，又:2112113q m m m -<⇔-<-<⇔<<，故p 是q 的充分不必要条件，选A. 【知识链接】(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较函数 特征性质y ＝x y ＝x 2y ＝x 312y x =1y x -=定义域RR R[0，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减增增x ∈(0，＋∞) 时，减；x ∈(－∞，0)时，减【解题方法与技巧】1．幂函数()y x R αα∈＝，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．在()0,1上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．考点二 二次函数的图象与性质 命题一：二次函数与不等式【例1】已知函数()()236f x x a a x c =-+-+.（1）当19c =时，解关于a 的不等式()10f >；（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集是()1,3-，求实数a 、c 的值. 【答案】（1）()2,8-;（2）33a =±， 9c =.【变式训练】已知函数2)(2+-+=a bx ax x f .（1）若关于x 的不等式0)(>x f 的解集是)3,1(-，求实数b a ,的值； （2）若2=b ，0>a ，解关于x 的不等式0)(>x f .【答案】（1）2,1=-=b a ，（2）当1≥a 时，解集为),2()1,(+∞---∞aa ； 当10<<a 时，解集为),1()2,(+∞---∞ aa . 【解析】（1）由题3,1-=x 是方程022=+-+a bx ax 的两根.代入有⎩⎨⎧=++=02382b a b ，∴⎩⎨⎧=-=21b a（2）当2=b 时，)1)(2(22)(2++-=+-+=x a ax a x ax x f ∵0>a ，∴0)(>x f 化为0)1)(2(>+--x aa x ①当12-≥-a a ，即1≥a 时，解集为1|{-<x x 或}2a a x -> ②当12-<-a a ，即10<<a 时，解集为aa x x 2|{-<或}1->x 综上，1≥a 时，解集为),2()1,(+∞---∞aa ； 10<<a 时，解集为),1()2,(+∞---∞ aa .【知识链接】1、二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．2、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当0∆<⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔20ax bx c ++=无实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆=⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔20ax bx c ++=有两个相等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;z.xxk当0∆>⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔20ax bx c ++=有两个不等的实根⇔ 20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞.命题二：二次函数的单调性【例1】【2017届福建连城县一中高三上期中数学（文）】已知函数()()2210f x ax ax a =-+<，若1212,0x x x x <+=，则()1f x 与()2f x 的大小关系是（ ） A.()()12f x f x = B.()()12f x f x > C.()()12f x f x < D.与a 的值无关【答案】C考点：二次函数图象与性质.【例2】如果函数f （x ）=x 2+2（a ﹣1）x+2在区间[4，+∞）上是递增的，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．a≤3 B．a≥﹣3 C ．a≤5 D．a≥5 【答案】B【解析】∵抛物线函数f （x ）=x 2+2（a ﹣1）x+2开口向上， 对称轴方程是x=1﹣a ，在区间[4，+∞）上递增， ∴1﹣a≤4，解得a≥﹣3． 故选B ．【变式训练】已知函数2()2f x x ax b =-++且(2)3f =-．（1）若函数()f x 的图象关于直线1x =对称，求函数()f x 在区间[2,3]-上的值域； （2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上递减，求实数b 的取值范围． 【答案】(1)[]1,19--；(2)3-≥b .考点：1.二次函数的值域；2.二次函数的单调性..0【例3】【2017届江苏泰州中学高三上学期月考】函数()()2212f x x a x =--+在区间[]1,4-上为单调函数，则a 的取值范围是__________． 【答案】(][),05,-∞⋃+∞所以当11-≤-a 或41≥-a 时,即0≤a 或4≥a 时函数单调,故应填答案(][),05,-∞⋃+∞. 考点：二次函数的图象和性质及运用．【变式训练1】【江苏省张家港2016-2017学年高二期中数学（文】若函数()261f x x x =-+-在区间(),12a a +上不是单调函数,则实数a 的取值范围是____. 【答案】（1，3）【解析】因为函数()261f x x x =-+-的对称轴为3x = ，函数在(),12a a + 不单调，312a a ∴<<+ ，解得： 13a <<，故答案为 ()1,3 .命题三：二次函数根的分布【例1】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是 . 【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【变式训练】已知关于x 的方程11()()2042x xa -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[]1,0-【知识链接】设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤.k 为常数.则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理.【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042；【定理2】kx x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042；【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af .推论1 210x x <<⇔0<ac . 推论2 211x x <<⇔0)(<++c b a a .【定理4】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a【定理6】在区间(,)a b 内有且只有一根，则()()0f a f b ≤，且检验等号． 【解题方法与技巧】二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑． 命题四：二次函数的最值【例1】【2016-2017学年江苏省泰州中学高二期中数学（文）】若函数24y x x =-的定义域为[]4,a -，值域为[]4,32-，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[]2,8【变式训练1】已知函数432--=x x y 的定义域是[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则m 的取值范围是（ ）A. (]4,0B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23 D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23【答案】C【解析】由题432--=x x y ，对称轴为：32x =.则325()24f =-，(0)4(3)f f =-=。
2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标7 二次函数与幂函数 理
2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标7二次函数与幂函数 理[解密考纲]本考点考查幂函数的图象与性质、二次函数的单调性与最值、二次函数恒成立问题以及二次方程的根的分布问题，一般以选择题、填空题的形式呈现，排在中间靠前的位置，难度中等．一、选择题1．(2017·河南南阳模拟)已知幂函数f (x )＝k ·x a的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋a ＝( C )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：因为f (x )＝k ·x a是幂函数，所以k ＝1.又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22，所以a ＝12，所以k ＋a ＝1＋12＝32. 2．(2017·天津模拟)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在第一象限与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，则a ，b ，c 符号为( B )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0解析：由题意知，抛物线开口向下，故a <0.由抛物线与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，得ac <0，所以c >0.再由顶点在第一象限得－b2a>0，所以b >0.3．对任意的x ∈[－2,1]，不等式x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，3] C ．[0，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：设f (x )＝x 2＋2x －a (x ∈[－2,1])，由二次函数的图象知，当x ＝1时，f (x )取得最大值3－a ，所以3－a ≤0，解得a ≥3，故选D ．4．对于幂函数f (x )＝x 45 ，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22和fx 1＋f x 22的大小关系是( B )A ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f x 1＋f x 22 D ．无法确定解析：根据幂函数的性质：当0<x <1时，图象是向上凸的，且通过点(0,0)，(1,1)，可知B 正确．5．(2016·陕西宝鸡模拟)设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，已知f (m )<0，则( C ) A ．f (m ＋1)≥0 B ．f (m ＋1)≤0 C ．f (m ＋1)>0D ．f (m ＋1)<0解析：因为f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示．由f (m )<0，得－1<m <0，所以m ＋1>0，所以f (m ＋1)>f (0)>0，故选C ．6．(2017·安徽淮南模拟)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)的值为( A )A ．5B ．6C ．8D ．与a ，b 的值有关解析：①当a ＝0时，由f (－1)＝f (3)可知b ＝0，此时f (x )＝5，所以f (2)＝5. ②当a ≠0时，因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5满足条件f (－1)＝f (3)，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象关于x ＝－1＋32＝1对称，则f (2)＝f (0)＝5，故选A ． 二、填空题7．(2017·甘肃兰州模拟)已知函数f (x )＝x 12，且f (2x －1)<f (3x )，则x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 解析：f (x )＝x 12 在[0，＋∞)上是递增的，f (2x －1)<f (3x )，则0≤2x －1<3x ，所以x ≥12.8．(2017·安徽宿州模拟)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为f (x )＝12(x －2)2－1.解析：依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1，又其图象过点(0,1)， ∴4a －1＝1，∴a ＝12，∴f (x )＝12(x －2)2－1.9．已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是[－5，－2]．解析：由题意得函数f (x )在[－2,2]上的值域A 为函数g (x )在[－2,2]上的值域B 的子集，又当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x－1∈(0,3]，所以当x ∈[－2,0)时，f (x )∈[－3,0)，而f (0)＝0，因此A ＝[－3,3]．由二次函数性质知B ＝[m －1,8＋m ]，从而⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤－3，8＋m ≥3，解得－5≤m ≤－2.三、解答题10．已知二次函数图象的对称轴为x ＝－2，截x 轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．解析：∵二次函数图象的对称轴为x ＝－2， ∴可设所求函数的解析式为f (x )＝a (x ＋2)2＋b . ∵二次函数f (x )的图象截x 轴所得的弦长为4， ∴f (x )过点(－2＋2,0)和(－2－2,0)． 又二次函数f (x )的图象过点(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝0，2a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，∴f (x )＝12(x ＋2)2－2.11．(2017·山东德州月考)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 取值范围． 解析：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f ＝5，f ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2.g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．12．(2017·辽宁沈阳模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的单调增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值． 解析：(1)f (x )的单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．(2)设x >0，则－x <0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ， 所以f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x >0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2xx ，x 2＋2xx(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值； 当1<a ＋1≤2，即0<a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1>2，即a >1时，g (2)＝2－4a 为最小值． 综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ，a ≤0，－a 2－2a ＋1，0<a ≤1，2－4a ，a >1.。
2018高考浙江版数学一轮复习讲义： 第2章 第4节 二次函数与幂函数
第四节 二次函数与幂函数
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；
顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质
2.(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 2
4a .( )
(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )
(4)当n ＞0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )
A. 3 B ．±3 C ．±9
D ．9
D [由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝1
2.
所以f (x )＝x 1
2＝x ， 故f (m )＝m ＝3⇒m ＝9.]
3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，120 B.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，－120。
2018年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2. 7幂函数
2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.7幂函数一、幂函数定义的应用1、相关链接<1）判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解读式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量;③幂系数为1.b5E2RGbCAP <2）若一个函数为幂函数，则该函数解读式也必具有以上的三个特征.<3）几个具体函数的定义①正比例函数；②反比例函数；③一次函数；④二次函数；⑤幂函数<）2、例题解读〖例1〗已知函数f(x>=(m2-m-1>x-5m-3,m为何值时，f(x>：(1>是幂函数；(2>是幂函数，且是(0，+∞>上的增函数；(3>是正比例函数；(4>是反比例函数.【方法诠释】利用幂函数必须满足的三个特征，构建关于m的式子求解(1>(2>；利用正比例函数、反比例函数的定义，构建关于m的方程，求解(3>(4>.p1EanqFDPw解读：(1>∵f(x>是幂函数，故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.(2>若f(x>是幂函数，且又是(0,+∞>上的增函数，则∴m=-1.(3>若f(x>是正比例函数，则-5m-3=1,解得此时m2-m-1≠0,故(4>若f(x>是反比例函数，则-5m-3=-1,则此时m2-m-1≠0,故〖例2〗已知y=(m2+2m-2>·+(2n-3>是幂函数，求m、n的值.思路解读：本题是求实数m、n的值，由于已知幂函数的解读式，因此在解题方法上可从幂函数的定义入手，利用方程思想解决.DXDiTa9E3d 解答：由题意得：，解得，所以，。
二、幂函数的图象与性质<一）幂函数的图象及应用1、相关链接幂函数的图象与性质由于的值不同而比较复杂，一般从三方面考查：<1）的正负：>0时，图象过原点和<1，1），在第一象限的图象上升；<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；RTCrpUDGiT<2）曲线在第一象限的凹凸性：>1时，曲线下凸；0<<1时，曲线上凸；<0时，曲线下凸；<3）=<其中，且互质）。
2018高考数学一轮复习(课标版理科)配套课件：第2章-第5节二次函数与幂函数(67张PPT)
A．4 C．2
[解析] 设幂函数为y＝x
n
1 1－1 1 1 n 则2＝4 ，即n＝－2.所以f4＝4 2＝2.
[答案] C
3．(2016· 丰台调研)函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2， ＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是( A．f(1)≥25 C．f(1)≤25
[解析]
)
B．f(1)＝25 D．f(1)>25
m 由题知 ≤－2，∴m≤－16， 8
∴f(1)＝9－m≥25.
[答案] A
4．(2016· 江西赣州月考)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－ 2)· xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减 函数，则n的值为( A．－3 C．2 ) B．1 D．1或2
偶 ____
奇 非奇非偶 ____ __________
在 单
增函数
(－∞，0] ________
增函数 增函数
－∞，0) 在(________
上递减；在
调 ________ 上递减； 在 ________ ________ 性
(0，＋∞) _________
上递增
(0，＋∞) _________
第二章
函数的概念与基本初等函数
第五节 二次函数与幂函数
1.会用二次函数的图象理解、分析、研究二次函数的性 质；2.了解幂函数的概念；3.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，
1 1 y＝x，y＝x2的图象，了解它们的变化情况.
知 识
梳 理 诊 断
1．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
1 2，
2018届高考数学二轮复习 幂函数与二次函数专题
幂函数与二次函数专题[基础达标](20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知幂函数y=f(x)的图象过点12，8，则f(-2)=()A.-18B.18C.8D.-8A【解析】设f(x)=x a，则f12=12a=8，a=-3，所以f(x)=x-3，f(-2)=(-2)-3=-18.2f(x)=a-x2(1≤x≤2)与g(x)=x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是() A.-54，+∞B.[1，2]C.-54，1D.[-1，1]D【解析】由题得方程a-x2=-x-1，x∈[1，2]有解，即求函数a=x2-x-1，x∈[1，2]的值域，易求得a∈[-1，1].3.已知函数f(x)=x2+x+c，若f(0)>0，f(p)<0，则必有()A.f(p+1)>0B.f(p+1)<0C.f(p+1)=0D.f(p+1)的符号不能确定A【解析】因为对称轴为x=-12，由f(0)>0，可知f(-1)>0，由f(p)<0，数形结合可知f(p+1)>0，即选项A正确.4.已知函数f(x)=-x2+4x，x∈[m，5]的值域是[-5，4]，则实数m的取值范围是() A.(-∞，-1) B.(-1，2] C.[-1，2] D.[2，5)C【解析】二次函数f(x)=-x2+4x的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x=2时取得，而当x=5或-1时，f(x)=-5，结合图象可知m的取值范围是[-1，2].5f(x)=x2+bx+c(x≤0)，2(x>0)，若f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()A.4B.2C.1D.3D【解析】由f(-4)=f(0)，可得-b2=-2，解得b=4.又由f(-2)=4-8+c=-2，可得c=2，∴f(x)=x2+4x+2(x≤0)，2(x>0).又f(x)=x，则当x≤0时，x2+4x+2=x，解得x1=-1，x2=-2.当x>0时，x=2，综上可知关于x的方程f(x)=x的解的个数为3.二、填空题(每小题5分，共15分)6a∈-2，-1，12，1，2，3，则使y=x a为奇函数且在(0，+∞)上单调递减的a值为.-1【解析】能使幂函数在(0，+∞)上单调递减的a=-2或-1，又y=x a为奇函数，则a=-1.7.已知函数f(x)=x2+ax(x≥0)，bx2-3x(x<0)为奇函数，则不等式f(x)<4的解集为.{x|x<4}【解析】若x>0，则-x<0，则f(-x)=bx2+3x，因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即bx2+3x=-x2-ax，则b=-1，a=-3，即f(x)=x2-3x(x≥0)，-x2-3x(x<0).若x≥0，则不等式f(x)<4等价于x2-3x<4，解得-1<x<4，此时0≤x<4；若x<0，则不等式f(x)<4等价于-x2-3x<4，此不等式恒成立.综上，f(x)<4的解集为{x|x<4}.8.已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).若f(x)在区间(-∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f(x1)-f(x2)|≤4，则实数a的取值范围是.[2，3]【解析】∵f(x)在区间(-∞，2]上是减函数，∴a≥2，又x=a∈[1，a+1]，且(a+1)-a≤a-1，∴f(x)max=f(1)=6-2a，f(x)min=f(a)=5-a2.∵对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f(x1)-f(x2)|≤4，∴f(x)max-f(x)min≤4，即(6-2a)-(5-a2)≤4，解得-1≤a≤3，又a≥2，∴2≤a≤3.[高考冲关](15分钟25分)1.(5分f (x )= 2x +1 (x <1)，x 2+ax (x ≥1)，若f (f (0))=4a ，则实数a 的值为 ( )A .12B .45C .2D .9C 【解析】f (0)=20+1=2，f (f (0))=f (2)=22+2a=4+2a ，所以4+2a=4a ，解得a=2.2.(5分)如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ，b ，c 为实数，a ≠0)的图象过点C (t ，2)，且与x 轴交于A ，B 两点，若AC ⊥BC ，则a 的值为 ( )A .-2B .2C .-12D .12 C 【解析】设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a .又AC ⊥BC ，所以AC·BC =(t-x 1，2)·(t-x 2，2)=x 1x 2-t (x 1+x 2)+t 2+4=c a +bta +t 2+4=0，又图象过点C (t ，2)，所以at 2+bt+c=2，即c a +bt a +t 2=2a ，所以2a +4=0，得a=-12.3.(5分f (x )在[a ，b ]上存在x 1，x 2(a<x 1<x 2<b )满足f'(x 1)=f (b )-f (a )b -a ，f'(x 2)=f (b )-f (a )b -a ，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“双中值函数”.已知函数f (x )=x 3-x 2+a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是( ) A . 13，12 B . 32，3C . 12，1D . 13，1 C 【解析】由定义可知f (a )-f (0)a -0=a 3-a 2a =a 2-a ，而f'(x )=3x 2-2x ，所以题意转化为方程3x 2-2x=a 2-a 在[0，a ]上有两解，即方程3x 2-2x-a 2+a=0在(0，a )内有两解，必须满足 Δ=4-12(-a 2+a )>0，-a 2+a >0，3a 2-2a -a 2+a >0，解得12<a<1.4.(5分f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2.若对任意的x∈[a，a+2]均有f(x+a)≥2f(x)，则实数a的取值范围是. [2，+∞)【解析】∵当x>0时，f(x)=x2，此时f(x)单调递增，又∵f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在R上单调递增.若对任意的x∈[a，a+2]，均有f(x+a)≥2f(x)成立，∵2f(x)=2x2=(2x)2=f(2x)，∴f(x+a)≥f(2x)恒成立，则x+a≥2x恒成立，即a≥(-1)x恒成立，∵x∈[a，a+2]，∴((-1)x)max=(-1)(a+2)，即a≥(2-1)(a+2)，解得a≥2.5.(5分)已知幂函数f(x)=x(2k-1)(3-k)(k∈Z)是偶函数，且在(0，+∞)上为增函数.且x ∈[-1，1]时，函数g(x)=f(x)-mx是单调函数，则实数m的取值范围是. (-∞，-2]∪[2，+∞)【解析】由f(x)在(0，+∞)上为增函数，得(2k-1)(3-k)>0，解得12<k<3，又k∈Z，所以k=1或2.当k=1时，f(x)=x2是偶函数；当k=2时，f(x)=x3是奇函数，舍去，所以f(x)=x2，则g(x)=x2-mx在x∈[-1，1]上单调，则m2≤-1或m2≥1，解m≤-2或m≥2，故m的取值范围是(-∞，-2]∪[2，+∞).。
2018年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第7讲二次函数与幂函数课件理
栏目导 航
板 块 一 板 块 二
板 块 三
板 块 四
• 1．幂函数的概念 y＝xα • 一般地，函数________叫做幂函数，其中x是 自变量，α是常数．
• 2．几个常用的幂函数的图象与性质
定义 α>0 幂函数 y＝xα(α∈R) α<0
图象
定义
幂函数 y＝xα(α∈R)
(0,0) 和________ (1,1) 图象过点________
解析：(1)错误，不符合幂函数的定义． (2)正确，因为图象与坐标轴相交，则由 x＝0 得 y＝0，若 y＝0，则得 x＝0. (3)错误，幂函数 y＝x－1 在定义域上不单调． 4ac－b2 b (4)错误，当－ ∉[m，n]时，二次函数的最值，在区间端点取得，而非 . 2a 4a
1 2．函数 y＝x3
(1,1) 图象过点________
在第一象限内，函数值随 x 的增大 在第一象限内，函数值随 x 的增大 增函数而减小， 减函数 而增大， 即在(0， ＋∞)上是________ 即在(0， ＋∞)上是________ 在第一象限内，当 a>1 时，图象下 性质 凹；当 0<a<1 时，图象上凸
m 形如 y＝x n m n
• 5．二次函数、二次方程、二次不等式三者间的关系 • 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐 根 ，也是一 标)是相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的________ 元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(或ax2＋bx＋c≤0)解集的 端点值 ． ________ • 6．二次函数在闭区间上的最值 • 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的 端点 或二次函数的________ 顶点处取得，可分别求值再比较 ________ 大小，最后确定最值．
(浙江版)2018年高考数学一轮复习专题2.5二次函数与幂函数(讲)
第05节二次函数与幂函数【考纲解读】【知识清单】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质对点练习【2017山东济南诊断】已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12B.1C.32D.2【答案】32【解析】由幂函数的定义知1k =.又1()22f =，所以1()22α=，解得12a =，从而32k α+=. 2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质对点练习【2017浙江湖州、衢州、丽水4月联考】已知函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈若存在实数[]1,2a ∈，对任意[]1,2x ∈，都有()1f x ≤，则75b c +的最大值是__________． 【答案】-6【解析】因为[]1,2x ∈，所以21ax bx c ++≤等价于21bx ca x--≤，题意为存在[]1,2a ∈，使得不等式21bx c a x --≤成立，所以211bx cx--≥，即210x bx c ++-≤对[]1,2x ∈成立，所以110{4210b c b c ++-≤++-≤，即0{23b c b c +≤+≤-，所以()()753226b c b c b c +=+++≤-，即75b c +的最大值为－6．【考点深度剖析】从近几年的高考试题来看，二次函数图象和性质的应用、最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质.【重点难点突破】考点1 二次函数的解析式【1-1】【2017湖北武汉模拟】若函数()()(2)f x x a bx a ＝＋＋ (常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式()f x ＝________. 【答案】224x －＋【解析】由()f x 是偶函数知()f x 图象关于y 轴对称，∴2b ＝－，∴()2222f x x a ＝－＋，又()f x 的值域为(－∞，4]，∴224a =，故()224f x x ＝－＋.【1-2】已知：抛物线与x 轴交于（-2，0），（4，0）两点，且过点为（1，-29），则函数解析式为______． 【答案】2142y x x =-- 【解析】设二次函数解析式为()()12y a x x x x =--，因为二次函数图象交x 轴于（-2，0），（4，0）两点，且过点（1，-29），设()()24y a x x =+-，∴()()9 12142a -=+-， ∴12a =．∴ 所求函数解析式为：()()1242y x x =+-, 2142y x x =--． 【领悟技法】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【触类旁通】【变式一】已知二次函数()f x 的图象经过点()4,3，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x R ∈，都有()2)2(f x f x －＝＋，求f (x )的解析式． 【答案】()243f x x x ＝－＋【解析】∵()2)2(f x f x －＝＋对x R ∈恒成立，∴()f x 的对称轴为2x ＝. 又∵()f x 图象被x 轴截得的线段长为2，∴()0f x =的两根为1和3. 设()f x 的解析式为()()()30(1)f x a x x a ≠＝－－． 又∵()f x 的图象过点()4,3，∴331a a ＝，＝.∴所求()f x 的解析式为()f x ＝(x-1)(x-3)，即()243f x x x ＝－＋. 【变式二】已知二次函数f (x )同时满足以下条件：(1)()1)1(f x f x ＋＝－； (2)()f x 的最大值为15；(3)()f x ＝0的两根的立方和等于17. 求()f x 的解析式．【答案】()26129f x x x ＝－＋＋【解析】依条件，设()()2()1150f x a x a <＝－＋，即()2215f x ax ax a ＝－＋＋.令()f x ＝0，即22150ax ax a =－＋＋，则1212152,1x x x x a+==+. 而33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+333121590232(1)2x x a a=+=-⨯⨯+=-．即90217a-=，则6a ＝－.故()26129f x x x ＝－＋＋. 考点2 二次函数的图象和性质【2-1】设二次函数()22f x ax ax c ＝－＋在区间[]0,1上单调递减，且()()0f m f ≤，则实数m 的取值范围是 （ ）( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]【答案】 D【解析】 二次函数()22f x ax ax c ＝－＋在区间[]0,1上单调递减，则0a ≠，()(1)20f x a x '<＝－，所以0a >，即函数图象的开口向上，对称轴是直线1x ＝．所以f(0)＝f(2)，则当()()0f m f ≤时，有02m ≤≤．【2-2】【2017浙江，5】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b无关，选B ．【2-3】已知函数()2f x x x c ＝＋＋，若()()000f f p ＞，＜，则必有( )A ．1()0f p ＋＞B ．1()0f p ＋< C ．1()0f p ＋= D ．()1f p ＋的符号不能确定 【答案】A【解析】函数()2f x x x c ＝＋＋的对称轴为12x =-，又因为()()000f f p ＞，＜，故10p －＜＜，10p ＋＞，所以1()0f p ＋＞.【领悟技法】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解． 【触类旁通】【变式一】【2017湖南岳阳县第一中学模拟】若，函数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围为( )A. （0,4]B. （0,8）C. （2,5）D.【答案】B 【解析】当时，显然不成立当 时，若=≥0，即 时结论显然成立；若=＜0，时只要 即可，即则 ,选B【变式二】若关于x 的不等式2420x x a --->在区间()1,4内有解，则实数a 的取值范围是（ ）A. 2a <-B. 2a >-C. 6a >-D. 6a <- 【答案】A【解析】试题分析：不等式2420x x a --->在区间()1,4内有解等价于()2max42a x x <--，令()242g x x x =--， ()1,4x ∈，所以()()42g x g ≤=-，所以2a <-. 考点3 二次函数的综合应用【3-1】【2017湖南衡阳三次联考】《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上取三个不同的点()(),a f a ， ()(),b f b ，()(),c f c ，均存在()()(),,f a f b f c 为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为（ ）A. []0,1 B. ⎡⎢⎣⎭ C. ⎛ ⎝⎦D. ⎣ 【答案】A【解析】由题意可知，∵()222f x x x =-+，∴0x =或2， 22201m m m ∴-+≤∴≤≤，，故选A.【3-2】【2017湖北九江模拟】已知()2(2)24f x x a x ＝＋－＋，如果对()31[]0x f x ∈－，，＞恒成立，则实数a 的取值范围为________. 【答案】1(,4)2-【解析】因为()2(2)24f x x a x ＝＋－＋，对称轴()2x a ＝－－，对()31[]0x f x ∈－，，＞恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3，1]的位置关系得：(2)3(3)0a f --<-⎧⎨->⎩或3(2)10a -≤--≤⎧⎨∆<⎩或(2)1(1)0a f -->⎧⎨>⎩解得a ∈∅或14a ≤＜或12a -<＜1，所以a 的取值范围为1(,4)2-. 【3-3】已知函数()22f x x x =-，()2g x ax =+（0a >），对任意的[]11,2x ∈-，存在[]01,2x ∈-，使()()10g x f x =，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[)3,+∞D ．(]0,3【答案】A【解析】[,]12x ∈-时，函数()22f x x x =-的值域为[,]13A =-，[,]12x ∈-时，()()20g x ax a =+>的值域为[,]222B a a =-+，由题意B A ⊆，则有21223a a -≥-⎧⎨+≤⎩，又0a >，故解得102a <≤．故选A ． 【领悟技法】二次函数求最值问题，一般先用配方法化为y ＝a (x －m )2＋n 的形式，得顶点(m ，n )和对称轴方程x ＝m ，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型：(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值． 【触类旁通】【变式一】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围. 【答案】(－∞，1). 【解析】(1)由题意知12(1)10ba f ab ⎧-=-⎪⎨⎪-=-+=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩ 所以()221f x x x ＝＋＋，由()21()f x x ＝＋知，函数()f x 的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，221x x x k >＋＋＋在区间[－3，－1]上恒成立，即21k x x <＋＋在区间[－3，－1]上恒成立，令()21g x x x ＝＋＋，x ∈[－3，－1]，()g x 在区间[－3，－1]上是减函数，则()()11min g x g ＝－＝，所以1k <， 故k 的取值范围是(－∞，1).【变式二】【2017上海南洋模范中学质检】定义在R 上的函数()f x ，当(]1,1x ∈- 时， ()2f x x x =- ，且对任意的x 满足()()2f x af x -=（常数0a >），则函数f (x )在区间(]5,7上的最小值是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】当(]()(]1,3,21,1x x ∈-∈-，；当(]()(]5,7,23,5x x ∈-∈，考点4 二次函数根的分布【4-1】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是 . 【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【4-2】已知关于x 的方程11()()2042x xa -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x-+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2x m =.当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点.当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合.因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点.当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立.因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-.所以此时10a -≤< 综上可得，10a -≤≤.【4-3】若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是 . 【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ,这样可以解得m 的范围5(2,)2. 【领悟技法】二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑． 【触类旁通】【变式一】【2017贵州遵义第四中学模拟】已知关于x 的方程()2110x a x a b +++++=的两个根分别为,,αβ其中()0,1,α∈()1,β∈+∞，则） A. ()2,0- B. ()0,2 C. ()1,0- D. ()0,1 【答案】A【解析】设()()211f x x a x a b =+++++函数，则问题转化为函数()f x 的零点在()()0,1,1,+∞内，由二次函数()()211f x x a x a b =+++++的根的分布得出不等式组()()10230{{0010f a b f a b <++<⇒>++>，在平面直角坐标系aOb 中画出不等式组230{ 10a b a b ++<++>表示的平面区域如图，则问题转化为求动点(),P a b 与定点()1,1M -连线的斜率取值范围问题，因为0MB k =，所以20MP k -<<，应填答案A.【变式二】【2017上海市普陀区高三二模】设0a <，若不等式()22sin 1cos 10x a x a +-+-≥对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 . 【答案】2a ≤-【解析】因为不等式()22sin 1cos 10x a x a +-+-≥对于任意的x ∈R 恒成立，所以不等式()22cos 1cos 0x a x a -+-+≥对于任意的x ∈R 恒成立，令cos t x =，即()2210t a t a ---≤对于任意的[]1,1t ∈-恒成立，因为0a <，所以()2110a a ---≤，即220a a +-≥，解得2a ≤-或1a ≥（舍）；故答案为2a ≤-. 考点5 幂函数的图象与性质【5-1】图中曲线是幂函数ny x ＝在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12【答案】B【解析】当n 大于0时，幂函数为单调递增函数，当n 小于0时，幂函数为单调递减函数，并且在x ＝1的右侧幂指数n 自下而上依次增大，故选B.【5-2】【2017·郑州外国语学校期中】已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y x α＝的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( ) A.1，3 B.－1，1 C.－1，3D.－1，1，3【答案】A【解析】因为函数y x α＝为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又1y x －＝的值域为{}0|y y ≠，函数y x ＝，3y x ＝的值域都为R .所以符合要求的α的值为1，3.【5-3】已知幂函数()21*()()f x x m m m N ∈－＝＋，经过点(2，试确定m 的值，并求满足条件()2()1f a f a >－－的实数a 的取值范围．【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】∵幂函数()f x经过点21()2m m －＋，即12122()m m －2＝＋.∴22m m =＋.解得1m ＝或2m ＝－.又∵*m N ∈，∴1m ＝.∴()12f x x ＝，则函数的定义域为[0)∞，＋，并且在定义域上为增函数．由()2()1f a f a >－－，得201021a a a a -≥⎧⎪-≥⎨⎪->-⎩，解得312a ≤<.∴a 的取值范围为31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【领悟技法】1．幂函数()y x R αα∈＝，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．在()0,1上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．【触类旁通】【变式一】已知函数f (x )＝22++-k kx (k ∈Z )满足()()23f f <．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()2f x x ＝ ；（2）存在2q ＝．【解析】(1)∵()()23f f <，∴()f x 在第一象限是增函数．故220k k >－＋＋，解得12k <<－．又∵k Z ∈，∴0k ＝或1k ＝．∴()2f x x ＝． (2)假设存在0q >满足题设，由(1)知()2()2111,2[]g x qx q x x ∈＝－＋－＋，－．∵()21g ＝－，∴两个最值点只能在端点((1))1g －，－和顶点22141(,)24q q q q-+处取得． 而222414141-g(-1)=-(2-3q)=0444q q q q q q ++(-)≥，∴2max 4117g(x)=48q q +=，()1()234min g x g q ＝－＝－＝－，解得2q ＝∴存在2q ＝满足题意．【变式二】【2017______________． 【答案】[)1,1- ．【解析】由2230x x --+>，解得31x -<<，令()223g x x x =--+，则外函数为()223g x x x =--+的减区间，函数()g x 在[)1,1-上为减函数，则原函数的增区间为[)1,1-，故答案为[)1,1-.易错试题常警惕易错典例1：若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________． 易错分析：忽视0m =．正确解析：0m =时，函数在给定区间上是增函数；0m ≠时，函数是二次函数，对称轴为122x m=-≤-， 由题意知0m >，∴10<m 4≤，综上10m 4≤≤． 温馨提示：首先是函数类型的确定，其次对于二次函数来说，单调性与开口及对称轴有关系． 易错典例2：设()0,1x ∈时，函数p y x ＝的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．易错分析：考虑幂函数y ＝x α的图象时比较片面没有考虑到α>0尤其是易丢α＝0时的情况． 正确解析：(1)当0p >时，根据题意1p <，∴01p <<．(2)0p ＝时，函数为0)1(y x ≠＝，符合题意． (3)0p <时，在(0)∞，＋上过(1,1)点，函数为减函数，符合题意．综上所述，p 的取值范围(1)∞－，． 温馨提示：幂函数()y x R αα∈＝当指数α在不同范围内时其图象也会随着变化，注意分类讨论思想的运用．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
全国通用2018年高考数学考点一遍过专题06二次函数与幂函数含解析文
考点06二次函数与幂函数（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数12321,,,,y x y x y x y x y x=====的图象，了解它们的变化情况.一、二次函数 1．二次函数的概念形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数叫做二次函数. 2．表示形式(1)一般式：f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ≠0).(2)顶点式：f (x )=a (x −h )2＋k (a ≠0)，其中(h ，k )为抛物线的顶点坐标.学/ (3)两根式：f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标. 3．二次函数的图象与性质函数解析式2()(0)f x ax bx c a =++> 2()(0)f x ax bx c a =++<图象(抛物线)定义域 R值域24[,)4ac b a-+∞24(,]4ac b a --∞对称性函数图象关于直线2bx a=-对称顶点坐标 24(,)24b ac b a a-- 奇偶性当b =0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在(,]2ba-∞-上是减函数； 在[,)2ba -+∞上是增函数. 在(,]2ba-∞-上是增函数； 在[,)2ba-+∞上是减函数. 最值当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a-= 当2bx a =-时，2max 4()4ac b f x a -=4．常用结论(1)函数f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标是方程ax 2＋bx ＋c =0的实根.(2)若x 1，x 2为f (x )=0的实根，则f (x )在x 轴上截得的线段长应为|x 1−x 2|=24||b aca -.(3)当0a >且0∆<(0∆≤)时，恒有f (x )>0(()0f x ≥)；当0a <且0∆<(0∆≤)时，恒有f (x )<0(()0f x ≤).二、幂函数 1．幂函数的概念一般地，形如y =x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 为自变量，α为常数. 2．几个常见幂函数的图象与性质函数y x =2y x = 3y x =12y x =1y x=图象定义域R R R[0,)+∞ {|0}x x ≠值域 R[0,)+∞R[0,)+∞{|0}y y ≠奇偶性 奇函数 偶函数奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性在R 上单调递增在(,0)-∞上单调递减；在[0,)+∞上单调递增在R 上单调递增在[0,)+∞上单调递增在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减 过定点 过定点(0,0),(1,1)过定点(1,1)3．常用结论(1)幂函数在(0,)+∞上都有定义. (2)幂函数的图象均过定点(1,1).(3)当0α>时，幂函数的图象均过定点(0,0),(1,1)，且在(0,)+∞上单调递增. (4)当0α<时，幂函数的图象均过定点(1,1)，且在(0,)+∞上单调递减. (5)幂函数在第四象限无图象.考向一求二次函数或幂函数的解析式1．求二次函数解析式的方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下：2．求幂函数解析式的方法幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数； (2)底数为自变量； (3)系数为1.典例1已知幂函数()(,)f x kx k αα=∈∈R R 的图象过点1(,2)2，则k α+=A ．12 B ．1 C ．32D ．2【答案】A1．若函数()f x 是幂函数，且满足(4)3(2)f f =，则1()2f 的值等于A ．13 B ．13-C ．12D ．12-考向二幂函数的图象及性质的应用1．幂函数y =x α的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． ②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0,1时，幂函数y =x α在第一象限的图象特征如下：α α>1 0<α<1 α<0图象特殊点 过(0,0)，(1,1) 过(0,0)，(1,1)过(1,1) 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增递增递减举例y =x 212y x =1y x -=、12y x -=2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.典例2如图所示的曲线是幂函数 y x α=在第一象限的图象，已知11{44}44α∈--,,,，相应曲线1234,,,C C C C 对应的α值依次为A ．114444--，，， B ．114444--，，， C ．114444--，，， D ．114444--，，， 【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线1234,,,C C C C 对应的α值依次为114444--，，，．故本题选B ．2．当11{}1,32α-∈,时，幂函数y x α=的图象不可能经过的象限是 A ．第二象限B ．第三象限C ．第四象限D ．第二、四象限典例3设525352)52(,)52(,)53(===c b a ，则c b a ,,的大小关系是A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a【答案】A【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量.3．设112210.6,0.7,ln 2a b c ===，则,,a b c 之间的关系是 A ．c a b << B ．b a c << C ．c b a <<D ．a b c <<考向三二次函数的图象及性质的应用高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题，考查二次函数图象与性质的应用，以选择题、填空题的形式呈现，有时也出现在解答题中，解题时要准确运用二次函数的图象与性质，掌握数形结合的思想方法.常见类型及解题策略： 1．图象识别问题辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除．2．二次函数最值问题的类型及处理思路(1)类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． 3．解决一元二次方程根的分布问题的方法常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：a.开口方向；b.对称轴位置；c.判别式；d.端点函数值符号四个方面分析．4．求解与二次函数有关的不等式恒成立问题往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种情况：(1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是2040a b ac >⎧⎨-<⎩.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是2040a b ac <⎧⎨-<⎩.另外，也可以采取分离变量法，把问题转化为不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立，此时就等价于在区间D 上f (x )min >A ，接下来求出函数f (x )的最小值；若不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max <B ，求出函数f (x )的最大值即可.典例4已知函数242y x ax =+-在区间(,4]-∞上为减函数，则实数a 的取值范围是 A ．(,2]-∞- B ．(,2]-∞ C ．[2,)-+∞D ．[2,)+∞【答案】A【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．4．“2a =”是“函数()223f x x ax =--在区间[2,)+∞上为增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件典例5已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为.【答案】2(,0)2-【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得202m -<<．5．已知函数f (x )=x 2−2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )=−x 2＋2(a −2)x −a 2＋8.设H 1(x )=max{f (x )，g (x )}，H 2(x )=min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A −B = A ．a 2−2a −16B ．a 2＋2a −16C ．−16D ．161．下列幂函数中过点(0，0)，(1，1)的偶函数是 A ．12y x = B ．4 y x = C ．1y x -=D ．3y x =2．已知函数()242()f x x ax x =++∈R 的单调递减区间为(,6)-∞，则 A ．3a ≥ B ．3a = C ．3a =-D ．3a ≤-3．若幂函数()2233m y m m x -=-+的图象不过原点，则A ．12m ≤≤B ．1m =或2m =C ．2m =D ．1m =4．已知函数268y mx mx m =+++R ，则实数m 的取值范围是A ．[0,1]B ．(0,1)C ．(0,2)D ．[0,2]5．若四个幂函数y =x a，y =x b，y =x c，y =x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c6．如果函数()2f x x bx c =++对任意的实数x ，都有()()1f x f x +=-，那么 A ．()()()202f f f -<< B ．()()()022f f f <-< C ．()()()202f f f <<-D ．()()()022f f f <<-7．若1x y >>，01a b <<<，则下列各式中一定正确的是 A ．x y a b <B ．x y a b >C ．ln ln x yb a <D ．ln ln x yb a> 8．当[0,2]x ∈时，函数()()2413f x ax a x =+--在2x =时取得最大值，则实数a 的取值范围是 A ．1[,)2-+∞ B ．[0,)+∞ C ．[1,)+∞D ．2[,)3+∞9．若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 的取值范围是___________． 10．若00x y ≥≥，，且21x y +=，则223x y +的最小值为___________．1．（2017年高考浙江卷）若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关2．（2016年高考新课标III 卷）已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<3．（2016年高考浙江卷）已知函数f (x )=x 2+bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2017年高考北京卷）已知0x ≥，0y ≥，且x +y =1，则22x y +的取值范围是_________．1．【答案】A2．【答案】D【解析】1y x -=的图象经过第一、三象限，12y x =的图象经过第一象限，y x =的图象经过第一、三象限，3y x =的图象经过第一、三象限．故选D ． 3．【答案】A【解析】由函数ln y x =的图象可知0c <，又由函数12y x =的图象可得该函数在[0,)+∞上单调递增，因为0.60.7<，所以11220.60.70a b <<<，，综上所述选A ． 4．【答案】A【解析】因为2a =时，函数()223f x x ax =--在区间[2,)+∞上为增函数；函数()223f x x ax =--在区间[2,)+∞上为增函数时，2a ≤．所以“2a =”是“函数()2f x x =-23ax -在区间[2,)+∞上变式拓展为增函数”的充分不必要条件．故选A ． 5．【答案】C【解析】令f (x )=g (x )，即x 2−2(a ＋2)x ＋a 2=−x 2＋2(a −2)x −a 2＋8，即x 2−2ax ＋a 2−4=0，解得x =a ＋2或x =a −2.f (x )与g (x )的图象如图．由图象及H 1(x )的定义知H 1(x )的最小值是f (a ＋2)，H 2(x )的最大值为g (a −2)，∴A −B =f (a ＋2)−g (a −2)=(a ＋2)2−2(a ＋2)2＋a 2＋(a −2)2−2(a −2)2＋a 2−8=−16.1．【答案】B2．【答案】C【解析】函数()242f x x ax =++的对称轴为2x a =-，因为函数()242()f x x ax x =++∈R 的单调递减区间为(,6)-∞，所以26a -=，所以3a =-，故选C ． 3．【答案】B【解析】因为幂函数()2233m y m m x-=-+的图象不过原点，所以233120m m m ⎧-+=⎨-≤⎩，解得1m =或2m =．故选B ．4．【答案】A【解析】当0m =时，8＞0成立；当0m ≠时，00m ∆>⎧⎨≤⎩，即20364(8)0m m m m >⎧⎨-+≤⎩，解得01m <≤， 所以实数m 的取值范围是[0,1]．故选A ．考点冲关5．【答案】B【解析】幂函数a =2，b =12，c =13-，d =−1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x =1的右侧部分的图象，由下至上幂指数增大，所以a >b >c >d .故选B. 6．【答案】D【解析】由题意，函数()2f x x bx c =++对任意的实数x ，都有()()1f x f x +=-，则说明二次函数的对称轴为12x =，开口向上，则111(2)20222-->->-，则()()()022f f f <<-，故选D ． 7．【答案】A8．【答案】D【解析】当0a =时，()43f x x =--，在2x =时取得最小值，不符合题意；当0a ≠时，函数的对称轴为22ax a-=， 若0a >，要使在2x =时取得最大值，则221a a -≤，解得23a ≥； 若0a <，要使在2x =时取得最大值，则222a a -≥，解得12a ≥，与0a <矛盾，舍去． 综上，实数a 的取值范围是23a ≥．故选D ．9．【答案】(0,1)【解析】根据幂函数的性质，由于1223<，所以当01x <<时2132x x <，当1x >时，2132x x >，因此()0f x <的解集为(0,1).10．【答案】34【解析】10021,02x y x y y ≥≥+=∴≤≤，，，令2222223243333Z x y y y y =+=-+=-+（），由1[0,]2y ∈，可得当12y =时，223Z x y =+取得最小值34．1．【答案】B直通高考【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与无关，选B ．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 2．【答案】A【解析】因为423324a ==，1233255c ==，又函数23y x =在[0,)+∞上是增函数，所以222333345<<，即b a c <<，故选A ．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构，联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决． 3．【答案】A【解析】由题意知222()()24b b f x x bx x =+=+-，最小值为24b -.令2t x bx =+，则2222(())()(),244b b b f f x f t t bt t t ==+=+-≥-，当0b <时，(())f f x 的最小值为24b-，所以“0b <”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”；当0b =时，4(())f f x x =的最小值为0，()f x 的最小值也为0，所以“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0b <”．故选A. 4．【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即0,0x y ≥≥，1x y +=表示线段，那么22x y +的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.。
【高考导航】2018届高三数学理一轮复习第2章第4节二次函数与幂函数
即时应用
B．f(0)<f(－2)<f(2) C．f(2)<f(0)<f(－2) D．f(0)<f(2)<f(－2)
解析：因为a＝2 ，b＝4 ＝2 ，由函数y＝2x在R上为增函数知b<a；又因为a＝ 2 ＝4 ，c＝25 ＝5 ，由函数y＝x 在(0，＋∞)上为增函数知a<c.综上得b<a<c. 故选A.
2．(2016· 高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－ 2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xm，ym)，则 xi＝( B )
(1)由于f(x)为幂函数，所以n2＋ 2n－2＝1，解得n＝1或n＝－ 3，当n＝1时，函数f(x)＝x－2为 偶函数，其图象关于y轴对称， 且f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以n＝1满足题意；当n＝－3 时，函数f(x)＝x18为偶函数，其 图象关于y轴对称，而f(x)在(0， ＋∞)上是增函数，所以n＝－3 不满足题意，舍去．故选B.
0.9 ＜1＜1.1 _________________ ．
即时应用
＜1.1 . 函数，借助其单调性进行比 即0.9 ＜1＜1.1 . 较，准确掌握各个幂函数的图
象和性质是解题的关键．
考点三
2．(1)(2017· 烟台三中模拟)若(a＋1) ＜(3
2 －1，3 －2a) ，则实数a的取值范围是_______ ．
2018高考数学复习：第2章函数第3节二次函数与幂函数
第二章 函数第2节 函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性题型15 函数的奇偶性1. （2013山东文3）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（ ）.A. 2B. 1C. 0D. 2-1.分析 利用奇函数的性质()()f x f x -=-求解.解析 当0x 时，()21f x x x=+，所以()211121f =+=.因为()f x 为奇函数，所以()()112f f -=-=-.故选A.2. (2013浙江文11） 已知函数()f x =，若()3f a =，则实数a =____________.2.分析 直接代入求解.解析 因为()3f a ==，所以19a -=，即10a =. 3. （2014广东文5）下列函数为奇函数的是（ ）. A.122x x y =-B.3sin y x x =C.2cos 1y x =+D.22x y x =+ 4.（2014重庆文4）下列函数为偶函数的是（ ）.A.()1f x x =- 2B.()f x x x =+C.()22x x f x -=-D.()22x x f x -=+5.（2014新课标Ⅰ文5）设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A.()()f x g x 是偶函数 B. ()()f x g x 是奇函数C.()()f x g x 是奇函数 D. ()()f xg x 是奇函数6.（2014湖南文15）若()()3ln e1xf x ax =++是偶函数，则=a.7.（2015安徽文4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）. A ． ln y x = B ．21yx =+ C ．sin y x = D ．cos y x =7. 解析 选项A ：ln y x =的定义域为()0,+∞，故ln y x =不具备奇偶性.故A 错误；选项B ：21yx =+是偶函数，但210x +=无解，即不存在零点.故B 错误；选项C ：sin y x =是奇函数.故C 错误；选项D ：cos y x =是偶函数，且由cos 0y x ==，可得()ππ2x k k =+∈Z .故D 正确. 故选D.评注 1. 考查函数的奇偶性；2. 考查零点.8.（2015北京文3）下列函数中为偶函数的是（ ）. A.2sin y xx = B. 2cos y x x = C. ln y x = D. 2x y -=8. 解析 函数2sin y x x =为奇函数，2cos y x x =为偶函数，ln y x =与2x y -=为非奇非偶函数.故选B.9.（2015福建文3）下列函数为奇函数的是（ ）.A ．y =B ．e x y =C ．cos y x =D ．e e x x y -=-9.解析 函数y =e x y =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；e e x xy -=-是奇函数.故选D.评注 考查函数的奇偶性．10.（2015广东文3）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）. A ．sin 2y x x =+ B ．2cos y x x =-C ．122x xy =+D ．2sin y x x =+ 10. 解析 函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称.因为()11sin1f =+，()11sin1f -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数.故选D.评注 1.考查函数的奇偶性；2. 特殊值法的应用． 11.（2015湖南文8）设函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，则()f x 是（ ）.A.奇函数，且在()0,1上是增函数B. 奇函数，且在()0,1上是减函数C.偶函数，且在()0,1上是增函数 D. 偶函数，且在()0,1上是减函数11. 解析 由已知()f x 的定义域为()1,1-，关于原点对称.又因为()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，所以()f x 为奇函数.()2112'111f x x x x =+=+--，当()0,1x ∈时，()'0f x >，即()f x 在()0,1上为增函数. 故选A.12.（2015陕西文9）设()sin f x x x =-，则()f x （ ）.A. 既是奇函数又是减函数B. 既是奇函数又是增函数C. 是有零点的减函数D. 是没有零点的奇函数 12. 解析 因为()sin f x x x =-，()sin f x x x -=-+，所以()()f x f x =--，又()f x 的定义域为R ，关于原点对称，所以()f x 是奇函数；因为()()1cos 0f x x f x '=-⇒是增函数.因为()00f =，所以()f x 有零点.故选B.13.（2015湖北文21）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.(1)求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >；(2)设0a，1b ，证明：当0x >时，()()()()()11f x ag x a bg x b x+-<<+-. 13. 解析 (1)由()f x ，()g x 的奇偶性及条件()()e x f x g x += ① 得()()e x f x g x --+= ②联立式①式②解得1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0f x >. ③又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>=，即()1g x >. ④(2)由(1)得 2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x>+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由式⑤式⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ，由式③式④，得()0h x '>，故()h x 在[0)+∞，上为增函数， 从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故式⑦成立. （2）若1c ，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0)+∞，上为减函数， 从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故式⑧成立. 综合式⑦式⑧，得()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 14.（2016山东文9）已知函数()f x 的定义域为R . 当0x <时，()31f x x =-； 当11x -时，()()f x f x -=-； 12x >时， 1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()6f =（ ）.A.2-B.1-C.0D.214. D 解析 由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，当12x >时， )(x f 的周期为1，所以(6)(1)f f =.又当11x -时，()()f x f x -=-，所以(1)(1)f f =--.于是3(6)(1)(1)[(1)1]2f f f ==--=---=.故选D.15.（2016全国丙文16）已知()f x 为偶函数，当0x 时，1()ex f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是____________.15. 2y x = 解析 当0x ≥时，0x -≤，又因为()f x 为偶函数，所以()1()e x f x f x x -=-=+，()1'e 1x f x -=+，()'12f =，所以曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程2y x =.16.（2017全国2文14）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0x ∈-∞，时，()322f x x x =+,则()2f = .16.解析 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=.题型16 函数的单调性1.（2014北京文2）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）.A.e xy -= B.3y x = C.ln y x = D.y x=1. 解析e x y -=在R 上为减函数；3y x =是定义域为R 的增函数；ln y x =的定义域为()0,+∞；y x=在R 上不单调，故选B.2.（2014陕西文7）下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）.A. ()3f x x = B. ()3xf x = C. ()12f x x = D. ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭3.（2014湖南文4）下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）. A.21()f x x =B. 2()1f x x =+C. 3()f x x =D. ()2x f x -=4.（2014新课标Ⅱ文11）若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）. A.(],2-∞- B.(],1-∞- C.[)2,+∞ D.[)1,+∞5.（2014天津文12）函数()2lg f x x =的单调递减区间是________.6.（2015福建文15）若函数()()2x af x a -=∈R 满足()()11f x f x +=-，且()f x 在[),m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于_______．6.解析 由()()11f x f x +=-，得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则()12x f x -=.由复合函数单调性得()f x 在[)1,+∞上单调递增，故1m ，所以实数m 的最小值等于1．评注 考查函数的图像与性质． 7.（2016北京文4）下列函数中，在区间()1,1-上为减函数的是（ ）.A.11y x=- B.cos y x = C.()ln 1y x =+ D.2x y -= 7. D 解析 选项A 错误：因为11y x=-在区间()1,1-上为增函数；选项B 错误：cos y x =在()1,1-上不单调，如11cos cos 22⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；选项C 错误：函数()ln1y x =+在区间()1,1-上为增函数；选项D 正确：指数函数122xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭在R 上为减函数. 故选D.8.（2016浙江文7）已知函数()f x 满足：()f x x且()2,x f x x ∈R ，下列选项正确的是（ ）. A.若()f a b ，则a b B.若()2b f a ，则a b C.若()f a b，则ab D.若()2b f a ，则a b8. B 解析 若()2b f a ，由条件知()2a f a ≤，则22ab ，所以ab .故选项B 正确，其他3个选项可选特殊的函数()2,02,0x x x f x x -⎧=⎨<⎩≥逐一进行排除.故选B.9.（2016北京文16）已知函数()()2sin cos cos20f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求ω的值； （2）求()f x 的单调递增区间.9. 解析 （1）因为()2sin cos cos2sin2cos2f x x x x x x ωωωωω=+=+=π24x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ωω==.依题意ππω=，解得1ω=.（2）由（1）知，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.函数sin y x =的单调递增区间为()ππ2π,2π22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 由πππ2π22π242k x k -++，得3ππππ88k x k -+. 所以()f x 的单调递增区间为()3πππ,π88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 10.（2016全国丙文21）设函数()ln 1f x x x =-+. （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （3）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->.10.解析 (1)()111xf x x x-'=-=，当01x <<时，()0f x '>；当1x >时， ()0f x '<，所以()f x 在(]0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.（2）由（1）知，()f x 在1x =处取得最大值，最大值为(1)0f =. 所以1x ≠时，ln 1x x <-.故当()1,x ∈+∞时，ln 1x x <-，11ln 1xx<-，即11ln x x x-<<.(3)由题设1c >，设()()11x g x c x c =+--，则()1ln x g x c c x =--，令，()0g x '=，解得01lnln ln c c x c-=.当0x x <时，()0g x '>， ()g x 单调递增；当0x x >时，()0g x '<，()g x 单调递减.由（2）知，11ln c c c-<<，故001x <<，又(0)(1)0g g ==，故当01x <<时，()0gx >.所以当()0,1x ∈时， ()11x c x c +->.11.（2017全国2文8）函数()()2ln 28f x x x =-- 的单调递增区间是（ ）. A.(),2-∞- B.(),1-∞- C.()1+∞， D.()4+∞，11.解析 若使函数有意义，则2280x x -->，解得2x <-或4x >，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调递增区间为()4,+∞.故选D.题型17 函数的周期性1.（2016江苏11）设()f x 是定义在R上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),102,015x a x f x x x +-<⎧⎪=⎨-<⎪⎩，其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是 . 1. 11， 25-解析 由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得35a =，则()()()531f a f f ==-215a =-+=-.2.（2016北京文16）已知函数()()2sin cos cos20f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求ω的值； （2）求()f x 的单调递增区间.2. 解析 （1）因为()2sin cos cos2sin2cos2f x x x x x x ωωωωω=+=+=π24x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ωω==.依题意ππω=，解得1ω=.（2）由（1）知，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.函数sin y x =的单调递增区间为()ππ2π,2π22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 由πππ2π22π242k x k -++，得3ππππ88k x k -+. 所以()f x 的单调递增区间为()3πππ,π88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 题型18 函数性质的综合1.(2013重庆文9) 已知函数()()2sin 4f x ax b x a b =++∈R ，，()()2lg log 105f =，则()()lg lg2f =（ ）.A. 5-B.1- C. 3 D. 41.分析 运用奇函数性质，整体换元求解.解析 因为2log 10与lg 2（即10log 2）互为倒数，所以()2lg log 10与()lg lg2互为相反数. 不妨令()2lglog 10x =，则()lg lg2x =-，而()()()3sin 4f x f x ax b x +-=++()()3sin 48a x b x ⎡⎤+-+-+=⎣⎦， 故()()8853f x f x -=-=-=，故选C.2. (2013天津文7）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 且在区间[0,)+∞上单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f f a f a +， 则a 的取值范围是( ).A.[]1,2B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (]0,22.分析 根据函数的单调性和奇偶性得出关于a 的不等式求解.解析 因为()()1222log log log ,f a f a f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以原不等式可化为()()2log 1.f a f ≤又因为()f x 在区间[)0+∞，上单调递增，所以20log 1,a ≤≤即1 2.a ≤≤因为()f x 是偶函数，所以()()2log 1.f a f -≤又()f x 在区间(]0∞-，上单调递减，所以21log 0,a -≤≤所以1 1.2a ≤≤综上可知12.2a ≤≤故选C. 3. (2013天津文8)设函数2()e 2,()ln 3x x g x x x x f +-=+-=. 若实数, a b 满足()0,()0f a g b ==， 则( ). A. ()0()g a f b << B. ()0()f b g a <<C. 0()()g a f b <<D. ()()0f b g a <<3.分析 首先确定a b ,的范围，再根据函数的单调性求解. 解析 因为()e 10,x f x '=+>所以()f x 是增函数.因为()g x 的定义域是(0)+∞，，所以()120,g x x x'=+>所以()g x 是()0+∞，上的增函数. 因为()()0101e 10f f =-<=->，，所以0 1.a <<因为()()1202ln210gg =-<=+>，，所以12b <<，所以()()0,0.f b g a ><故选A. 4. (2013湖南文4） 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()112f g -+=，()()114f g +-=，则()1g 等于（ ）.A.4B.3C.2D.1 4.分析 根据奇、偶函数的性质，将()1f -和()1g -转化为()()1,1f g -列方程组求解.解析 ()f x 是奇函数，所以()()11f f -=-.又()g x 是偶函数，所以()()11g g -=.因为()()112f g -+=，所以()()112g f -=. ①又()()114f g +-=，所以()()114f g +=. ②由①②，得()13g=.故选B.5. (2013福建文13）已知函数()32,0,ππ4tan ,0,2x x f x f f x x ⎧<⎛⎫⎪⎛⎫==⎨ ⎪ ⎪-<⎝⎭⎝⎭⎪⎩则 . 5.分析 分步求函数值，先内后外.解析 因为ππ0,42⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以ππtan 144f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()()3π12124f f f ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 6．(2013福建文16）设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：（i ）{}();T f x x S =∈（ii ）对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()(),f x f x <那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合： ①,;A B *==N N ②}{}{}13,810;A x xB x x=-=-③{}01,.A x xB ==R其中，“保序同构”的集合对的序号是_______.（写出“保序同构”的集合对的序号）. 6.分析 举例说明有符合条件的函数即可. 解析 ①取()1f x x =+，符合题意.②取()9722f x x =-，符合题意. ③取()1tan π2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，符合题意.答案：①②③.7. （2014浙江文7）已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-，则（ ）.A.3cB.36c <C.69c <D. 9c > 8.（2014大纲文12）奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）.A ．2-B ．1-C ．0D ．1 9.（2014山东文9）对于函数()f x ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()()2f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（ ）.A. ()f x =B.()2f x x =C.()tan f x x =D.()()cos 1f x x =+10. （2014安徽文14）若函数()f x ()x ∈R 是周期为4的奇函数，且在[]0,2上的解析式为()()1,01sin ,12x x x f x x x -⎧=⎨π<⎩≤≤≤，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 10. 解析 依题意得29333313844444416f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 417777ππ18sin sin 6666662f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，29413154616216f f ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.11.（2014新课标Ⅱ文15）已知偶函数()f x 的图像关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -= .12.（2014四川文13）设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[)1,1x ∈-时，()242,10,,01,x x f x x x ⎧-+-<=⎨<⎩，则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭____________. 13.（2014浙江文15）设函数()2222, 0, 0x x x f x x x ⎧++⎪=⎨->⎪⎩，若()()2f f a =，则a =_________.14. （2014安徽文15）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： （1）直线l 在点()00Px y ，处与曲线C 相切；（2）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是 . （写出所有正确命题的编号） ① 直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：2x y =； ② 直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ； ③ 直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin =； ④ 直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan =； ⑤ 直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =. 14. 解析 ①直线:0l y =在()0,0P处与曲线3:C y x =相切，且曲线C 位于直线l 的两侧，①对；②直线3:1l x =-不是曲线()2:1C y x =+在()1,0P-处的切线，②错；③中cos y x '=，cos01=，因此曲线:sin C y x =在()0,0P 处的切线为:l y x=，设()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-，即()f x 是增函数，又()00f =，从而当0x <时，()0sin f x x x <⇒<，当0x >时，()0sin f x x x >⇒>，即曲线:sin C y x =在()0,0P 附近位于直线l 的两侧，③正确；④中2sin 1cos cos x y x x '⎛⎫'==⎪⎝⎭，211cos 0=，因此曲线:tan C y x =在()0,0P 处的切线为:l y x =，设()tan g x x x=-，则()21ππ10cos 22g x x x⎛⎫'=--<< ⎪⎝⎭，即()g x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数，且()00g =，同③得④正确；⑤中1y x '=，111=，因此曲线:ln C y x =在()1,0P 处的切线为:1l y x =-，设()()1ln 0h x x x x =-->，则()111x h x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，因此当1x =时，()()min 10h x h ==，因此曲线C 在()1,0P 附近位于直线l 的一侧，故⑤错误.因此答案为①③④.评注 本题考查导数的几何意义及导数在函数中的应用，解题时结合图像可简化运算和推理的过程15.（2014四川文15）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -.例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈.现有如下命题： ①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ，a D ∃∈，()f a b =”；②若函数()f x B ∈，则()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉；④若函数()()2ln 21xf x a x x =+++()2,x a >-∈R 有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题有____________（写出所有真命题的序号）.16.（2016天津文6）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，若实数a 满足)2()2(|1|->-f f a ，则a 的取值范围是（ ）.A.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ C.13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭16. C 解析 由题意得1|1||1||1|2113(2)(222|1|222a a a f f a a ---->⇒-><⇒-<⇒<<.故选C. 17.（2016上海文18）设()()(),,f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于下列命题：①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则()()(),,f x g x h x 中均为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T为周期的函数，则()()(),,f x g x h x 均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（ ）. A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题17.解析 ①不成立，可举反例.增函数加增函数必为增函数，增函数加减函数未必单调递减，这跟速度有关，因此可以举分段一次函数的形式，从速度快慢上控制.如：()11,23,x x x f x x +=>⎩-⎧⎨，()3,01223,1,0x x x g x x x x -+<+⎧=⎪⎩<⎪⎨， ()02,,0x x x x h x >-⎧=⎨⎩.故①错误. ②由题意()()()()f x g x f x T g x T +=+++，()()()()f x h x f x T h x T +=+++，()()()()g x h x g x T h x T +=+++，前两式求和后与第三式作差得()()f x f x T =+，同理可得()()gx g x T =+，()()h x h x T =+，故②正确.故选D.评注 按照②的逻辑，得到()f x 有一步是将增函数减去增函数，初想其未必就一定是增函数.18.（2016四川文14）若函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4x f x =，则()522f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.18.2- 解析 因为函数()f x 是定义在R上的周期为2的奇函数，所以()()()2020=0f f f =+=，1251112422222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()5222f f ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭. 19.（2016浙江文12）设函数()3231f x x x =++.已知0a ≠，且()()()()2–––f x f a x b x a =，x ∈R ，则实数a =_____，b =______.19.2-；1 解析 解法一：()()32323232313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，()()()()2322222x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩.解法二：()()()()()2F x f x f a x b x a =-=-- ，所以()0F a '=，由()()()32323232313133Fx f x f a x x a a x x a a =-=++---=+--， 所以()236F x x x '=+，将a 带入，解得2a =-或0（舍去）.即()()()2323412F x x x x x =+-=-+，所以1b =.20.（2016上海文23）已知a ∈R ，函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）当1a =时，解不等式()1f x >；（2）若关于x 的方程()()22log 0f x x +=的解集中恰有一个元素，求a 的值；（3）设0a>，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求a 的取值范围.20.解析 （1）由21log 11x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得112x +>，解得()0,1x ∈.（2）()2221log log 0a x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭有且仅有一解，等价于211a x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭有且仅有一解，等价于210ax x +-=有且仅有一解.当0a =时，1x =，符合题意；当0a ≠时，140a ∆=+=，14a =-. 综上所述，0a =或14-. （3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,+∞上单调递减.因此()f x 在[],1t t +上单调递减，故只需满足()()11f x f t -+，即2211log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以1121a a t t ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，即()12111t at t t t --=++，设1t r -=，则10,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()2111232t r rt t r r r r -==+---+.当0r=时，2032rr r =-+ ； 当102r <时，212323r r r r r=-++-，又函数2y x x=+在(单调递减， 所以219422r r++=.故112293332r r=+--.故a 的取值范围为23a . 评注 第（3）问还可从二次函数的角度考查，由1121a a t t ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭整理得()2110at a t ++-对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立.因为0a >，函数()211y at a t =++-的对称轴()0102a t a-+=<，故函数在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.所以当12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -，得23a.故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 21.（2017全国1文9）已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则（ ）.A.()f x 在()0,2上单调递增 B.()f x 在()0,2上单调递减C.()y f x =的图像关于直线1x =对称 D.()y f x =的图像关于点()1,0对称21.解析 由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图像关于直线1x =对称，选项C 正确，选项D 错误，又()112(1)(02)2(2)x f x x x x x x -'=-=<<--，在(0,1)上单调递增，在[)1,2上单调递减，选项A ，B 错误.故选C.22.（2017北京文5）已知函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）. A.是偶函数，且在R 上是增函数 B.是奇函数，且在R 上是增函数 C.是偶函数，且在R 上是减函数 D.是奇函数，且在R 上是减函数 22.解析 解法一：()f x 的定义域为R，关于原点对称，由()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可得()f x 为奇函数．由3xy =在R 上是增函数， 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，易知()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上是增函数．故选B ． 解法二：作为选择题，也可以代特殊值进去，由()()11f f -=-，可猜()f x 是奇函数，()f x 的定义域为R ，由(0)0f =，8(1)3f =，可猜()f x 是增函数.故选B ． 解法三：由()()113333xxxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()f x 为奇函数．由()330x x f x -'=+>，所以()f x 在R 上为增函数.故选B ．解法四：令12,[0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则()()121212113333x x x x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=---=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()2112121212113333333333x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫-+-=-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1212133+33x xx x ⎛⎫- ⎪⋅⎝⎭1. 因为12x x <，所以1233x x <，所以12330x x -<. 又因为121+033x x >⋅1，所以12()()0f x f x -<，所以12()()f x f x <.所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，因为()f x 在R 上为奇函数，且()00f =，所以()f x 在R 上为增函数.故选B ． 23.（2017天津文6）已知奇函数()f x 在R上是增函数.若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ）.A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.c a b << 23.解析 因为()f x 在R 上是奇函数，所以()22211log log log 555a ff f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()f x 在R上是增函数，且0.8222022log 4log 4.1log 5<<=<<，所以()()0.82212log 4.1log 5f f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭，即c b a <<.故选C ．24.（2017山东文14）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()42f x f x +=-.若当[]3,0x ∈-时，()6x f x -=，则()919f = .24.解析 因为()()()()()()62422f x f x f x f x +=++=+-=，所以6T =，又因为()f x 是偶函数，所以(919)(1)(1)6f f f ==-=.25.（2017江苏11）已知函数()312e ex x f x x x =-+-， 其中e 是自然对数的底数．若()()2120f a f a -+，则实数a 的取值范围是 ．25.解析 易知()f x 的定义域为R ，因为()()()312e e x x f x x x ---=---+-()312e exxx x f x =-+-+=-，所以()f x 是奇函数．又()2213e 3e 02x xf x x x +'=-+，且()0f x '=不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增．因为()()2120f a f a -+，所以()()()22122f a f a f a --=-，于是212a a --，即2210a a +-，解得11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故填11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．感谢您的下载! 快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
2018高考数学文全国大一轮复习课件：第二篇函数、导数
知识链条完善
【教材导读】
把散落的知识连起来
1.幂函数与指数函数有何不同?y=(x+1)3,y=x3-1,y= x 是幂函数吗? 提示:幂函数与指数函数的本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变 量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置.在所给的三个函数中只有
y= x 是幂函数.
2.幂函数的图象能否经过第四象限? 提示:由y=xα知,当自变量x取值为正数时,y的值一定为正数,所以函数图
(2)常见幂函数的图象与性质
函数 特征 图象 或性质 图象 y=x y=x2 y=x3 y= x
1 2
y=x-1
定义域 值域 奇偶性 单调性
R R 奇 增 (1,1) (0,0) (-1,-1)
R [0,+∞) 偶 x∈[0,+∞) 时,增; x∈(-∞,0] 时,减 (1,1) (0,0) (-1,1)
1 1 4. 导学号 49612049 当 0<x< 时,若函数 y=x(1-ax)的最大值为 ,则 a 12
a=
.
2
1 1 解析:函数 y=x(1-ax)=-ax2+x=-a x + , 2a 4a
因为 0<x< 所以当 x=
1 1 1 ,所以 ∈ 0, , 2a a a
R R
[0,+∞)
[0,+∞)
(-∞,0)∪ (0,+∞)
(-∞,0)∪ (0,+∞)
奇
增 (1,1) (0,0) (-1,-1)非奇非偶增 Nhomakorabea奇
x∈(0,+∞) 时,减; x∈(-∞,0) 时,减 (1,1) (-1,-1)
2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第7讲 二次函数与幂函数实战演练 理
2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第7讲 二次函数与幂函数实战演练 理1．(2015·四川卷)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2单调递减，那么mn 的最大值为( B )A ．16B ．18C ．25D ．812解析：当m ＝2时，要使f (x )＝(n －8)x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，需n －8<0⇒n <8，于是mn <16，则mn 无最大值．当m ∈[0,2)时，f (x )的图象开口向下，要使f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，需－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18，又n ≥0， 则mn ≤m ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－m 2＝－12m 2＋9m . 而g (m )＝－12m 2＋9m 在[0,2)上为增函数，∴m ∈[0,2)时，g (m )<g (2)＝16，故m ∈[0,2)时，mn 无最大值．当m >2时，f (x )的图象开口向上，要使f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，需－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12，而2m ＋n ≥22m ·n ，所以mn ≤18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝12，2m ＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝6时，取“＝”，此时满足m >2，故(mn )max ＝18.故选B ．2．(2015·陕西卷)对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( A )A ．－1是f (x )的零点B ．1是f (x )的极值点C ．3是f (x )的极值D ．点(2,8)在曲线y ＝f (x )上解析：由已知得，f ′(x )＝2ax ＋b ，则f (x )只有一个极值点，若A ，B 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，2a ＋b ＝0，解得b ＝－2a ，c ＝－3a ，则f (x )＝ax 2－2ax －3a .由于a 为非零整数，所以f (1)＝－4a ≠3，则C 错．而f (2)＝－3a ≠8，则D 也错，与题意不符，故A ，B 中有一个错误，C ，D 都正确．若A ，C ，D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0， ①4a ＋2b ＋c ＝8， ②4ac －b 24a ＝3， ③由①②得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝83－a ，c ＝83－2a ，代入③中并整理得9a 2－4a ＋649＝0，又a 为非零整数，则9a 2－4a 为整数，故方程9a 2－4a ＋649＝0无整数解，故A 错．若B ，C ，D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＋b ＋c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，解得a ＝5，b ＝－10，c ＝8，则f (x )＝5x2－10x ＋8，此时f (－1)＝23≠0，符合题意．故选A ．3．(2015·福建卷)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q ＝9.解析：依题意有a ，b 是方程x 2－px ＋q ＝0的两根，则a ＋b ＝p ，ab ＝q ，由p >0，q >0可知a >0，b >0.由题意可知ab ＝(－2)2＝4＝q ，a －2＝2b 或b －2＝2a ，将a －2＝2b 代入ab ＝4可解得a ＝4，b ＝1，此时a ＋b ＝5，将b －2＝2a 代入ab ＝4可解得a ＝1，b ＝4，此时a ＋b ＝5，则p ＝5，故p ＋q ＝9.4．(2015·浙江卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，记M (a ，b )是|f (x )|在区间[－1,1]上的最大值．(1)证明：当|a |≥2时，M (a ，b )≥2；(2)当a ，b 满足M (a ，b )≤2时，求|a |＋|b |的最大值．解析：(1)证明：由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24，得对称轴为直线x ＝－a 2.由|a |≥2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2≥1，故f (x )在[－1,1]上单调，所以M (a ，b )＝max{|f (1)|，|f (－1)|}．当a ≥2时，由f (1)－f (－1)＝2a ≥4，得max{f (1)，－f (－1)}≥2，即M (a ，b )≥2. 当a ≤－2时，由f (－1)－f (1)＝－2a ≥4， 得max{f (－1)，－f (1)}≥2，即M (a ，b )≥2. 综上，当|a |≥2时，M (a ，b )≥2.(2)由M (a ，b )≤2得|1＋a ＋b |＝|f (1)|≤2， |1－a ＋b |＝|f (－1)|≤2，故|a ＋b |≤3，|a －b |≤3，由|a |＋|b |＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |，ab ≥0，|a －b |，ab <0，得|a |＋|b |≤3.当a ＝2，b ＝－1时，|a |＋|b |＝3，|f (x )|＝|x 2＋2x －1|， 此时易知|f (x )|在[－1,1]上的最大值为2，即M (2，－1)＝2. 所以|a |＋|b |的最大值为3.。
2018届高考数学文大一轮复习教师用书：第2章 函数、导数及其应用 第4节 二次函数与幂函数 含答案 精品
第四节 二次函数与幂函数———————————————————————————————— 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质(1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈的最值一定是4ac －b24a.( )(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( ) (4)当n ＞0时，幂函数y ＝x n在(0，＋∞)上是增函数．( ) (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A. 3 B ．± 3 C ．±9 D ．9D3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎪⎫120，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0C4．(2017·贵阳适应性考试(二))二次函数f (x )＝2x 2＋bx －3(b ∈R)零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4C5．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (－2,0)，B (4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________. 【导学号：31222037】y ＝－x 2＋2x ＋88，试确定此二次函数的解析式．【导学号：31222038】法一(利用一般式)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).2分 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，8分解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.12分 法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的图象的对称轴为x ＝2＋－2＝12.3分 ∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.8分∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.12分法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，2分 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.6分又函数的最大值是8，即4a－2a －－－a24a＝8，解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.12分用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2.2分又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3.6分设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)． 又∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，a ＝1.10分∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.12分☞角度(1)设abc ＞0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )A B C D(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．(1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 ，都有f (x )＜0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f m ＜0，f m ＋＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1＜0，m ＋2＋m m ＋－1＜0，解得－22＜m ＜0.] ☞角度2 二次函数的最值问题(1)(2017·广西一模)若x log 52≥－1，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3的最小值为( )A ．－4B ．－3C ．－1D ．0(2)(2017·安徽皖北第一次联考)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间上的最大值为2，则a 的值为( ) 【导学号：31222039】A ．2B ．－1或－3C ．2或－3D ．－1或2(1)A (2)D 上是减函数，∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1.②当0＜a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间上是增函数，在上是减函数， ∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1，由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1＋52或a ＝1－52.∵0＜a ≤1，∴两个值都不满足，舍去．③当a ＞1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间上是增函数， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.] ☞角度3 二次函数中的恒成立问题已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 上恒成立．当x ＝0时，适合；当x ≠0时，a ＜32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16.因为1x∈(－∞，－1]∪1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．2．由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .(1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )A B C D(2)已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m 的值为________．(1)C (2)11.幂函数的形式是y ＝x α(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2．若幂函数y ＝x α(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．3．若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.(1)设a ＝0.5，b ＝0.9，c ＝log 50.3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞c ＞b B ．c ＞a ＞b C ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c(2)若(a ＋1) ＜(3－2a ) ，则实数a 的取值范围是________． (1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，231．二次函数的三种形式的选法(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．2．研究二次函数的性质要注意(1)结合图象分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论．3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．4．幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若是二次函数，就隐含着a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要分a ＝0，a ≠0两种情况讨论．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．课时分层训练(七) 二次函数与幂函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )【导学号：31222040】A.12 B ．1 C.32 D ．2C2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( ) A ．－3 B ．13 C ．7 D ．5B3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1B4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( ) 【导学号：31222041】A B C DD5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2B 二、填空题6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，f＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.]7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________.【导学号：31222042】P ＞R ＞Q8．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________．(－4,4) 三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x(m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x 则函数的定义域为时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在上的最大值为1，求实数a 的值． (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈， 对称轴x ＝－32∈，2分∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分 (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；8分②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知a ＝－13或－1.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( ) 【导学号：31222043】A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断A2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈)的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈)的图象有两个交点．]3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间上恒成立，试求k 的范围．(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a＝－1，f －＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.2分所以f (x )＝x 2＋2x ＋1， 由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为.6分(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间上恒成立，8分令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈， 由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1， 即k 的取值范围是(－∞，1).12分。
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专题七二次函数与幂函数【高频考点解读】1.二次函数图象的应用及求最值是高考的热点．2.常将二次函数及相应的一元二次不等式、一元二次方程交汇在一起命题，重点考查三者之间的综合应用．3.高考主要考查幂函数的概念、图象与性质，单独考查的概率较低．4.题型以选择题、填空题为主，若与导数、解析几何知识交汇，【热点题型】题型一二次函数的图象例1、设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()【提分秘籍】分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等．【举一反三】已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是()解析：选D.∵a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0.【热点题型】题型二二次函数性质例2、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．【提分秘籍】(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．【举一反三】已知函数f(x)＝x2－2ax＋3a2－1(a＞0,0≤x≤1)，求f(x)的最大值和最小值．【热点题型】题型三幂函数的图象和性质已知幂函数f(x)＝(m∈N*)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数f(x)经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a 的取值范围．【提分秘籍】本题集幂函数的概念、图象及单调性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间[m，n]上的最值．当－b2a＜m时，函数在区间[m，n]上单调递增，最小值为f(m)，最大值为f(n)．当m≤－b2a≤n时，最小值为f(－b2a)＝4ac－b24a，最大值为f(m)或f(n)(m，n与－b2a距离较远的一个对应的函数值为最大值)．当－b2a＞n时，函数在区间[m，n]上单调递减，最小值为f(n)，最大值为f(m)．2．二次函数、二次方程、二次不等式之间的相互转化．(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．3．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是幂函数．【举一反三】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f (x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．【热点题型】题型四分类讨论思想在二次函数中的应用例4、已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数)．(1)若a＝1，作出函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．【提分秘籍】在研究有关二次函数最值时一般用到分类讨论思想，一是对二项式系数a进行讨论，二是要对对称轴进行讨论．在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论．具体运用时一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．【举一反三】已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2(a＞0)在区间[0,1]内有一个最大值－5，则a的值为________．【高考风向标】1．（·全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．2．（·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D3．（·安徽卷）“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（·湖南卷）函数f(x)＝2ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像的交点个数为() A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】法一：作出函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5的图像如图：可知，其交点个数为2，选B.5．（·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ． x 0∈R ，f(x 0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f(x)的极值点，则f ′(x 0)＝06．（·北京卷）函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f(x)＝( )A ．e x ＋1 B ．e x －1 C ．e－x ＋1D ．e－x －1【随堂巩固】1．设函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是________．2．已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g (x )的图象上，则f (2)＋g(－1)＝________.3．当a＝________时，函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]，值域为[－2,2]．4．设f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．5．给出关于幂函数的以下说法：①幂函数的图象都经过(1,1)点；②幂函数的图象都经过(0,0)点；③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；④幂函数的图象不可能经过第四象限；⑤幂函数在第一象限内一定有图象；⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函数．其中正确的说法有________．6.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数的关系如图所示，则每辆客车营运________年，使其营运年平均利润最大．6．已知函数f (x )＝x 2＋1的定义域为[a ，b ](a <b )，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴围成的图形面积为________．7．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．8．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为实数，a≠0)的图象过点C(t,2)，且与x轴交于A，B两点，若AC⊥BC，则a的值为________．9．已知函数f(x)＝|2x－3|，若0＜2a＜b＋1，且f(2a)＝f(b＋3)，则T＝3a2＋b的取值范围为________．10．已知函数f(x)＝x|x－2|.(1)写出f(x)的单调区间；(2)解不等式f(x)＜3；(3)设0＜a≤2，求f(x)在[0，a]上的最大值．解(1)f(x)的图象如图所示，所以f(x)的增区间为(－∞，1)和(2，＋∞)，减区间为[1,2]．11．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.(1)若存在x∈R使f(x)＜b·g(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M ，m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值． 【解析】 (1)由f (0)＝2可知c ＝2.又A ＝{1,2}， 故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋2＝0的两实根． 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝1－ba ，2＝2a .解得a ＝1，b ＝－2.所以f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－2,2]． 当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1. 当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10.13．已知13≤a ≤1，若f (x )＝ax 2－2x ＋1在区间[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )．(1)求g (a )的函数表达式；(2)判断g (a )的单调性，并求出g (a )的最小值．。