数学模型(差分方程)
数学建模中的差分方程模型
数学建模中的差分方程模型
数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并寻求与之相连的
数学方法的学科，不仅仅在理论研究上有很大的应用，也在实际
生活中有着广泛的应用。在各种数学模型中，差分方程模型也是
一种很重要的模型。本文将结合实例，介绍差分方程模型的定义、建立、求解以及应用。
差分方程模型定义
差分方程模型是一种通过离散化的方法，将连续时间问题转化
为离散时间问题，来描述变量随时间的变化规律的数学模型。这
种数学模型以时间为自变量，以某个状态量为因变量，由一定的
关系式组成。例如：y(n+1)=ay(n)+b，式子中y(n)代表第n时刻系
统状态，y(n+1)代表第n+1时刻系统状态，a和b为常数。
差分方程模型建立
建立差分方程模型的关键是将实际问题中的连续变化离散化。
一般情况下，对于所建立的模型，首先要确定它的思路和范围，
然后根据实际情况，确定差分方程的形式。此外，还需要进行参
数的估计和参数变化的分析，以及对模型精确性的验证。
以物理学中的简谐振动为例，建立一个差分方程模型描述其运动，即一个质点在回复力作用下以简谐运动形式振动。设t为时间，y为质点的位移，v为质点的速度，a为质点的加速度，则有：
$$
y=n\Delta y \\
v=\dfrac{y(n+1)-y(n-1)}{2\Delta t} \\
a=\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2}
$$
其中n为时间步长，$\Delta t$为时间间隔。我们利用受力平衡
的原理，即简谐振动中的$F=-ky$得到：
$$
\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2} = -\dfrac{k}{m}y(n)
差分方程模型的基本概念
差分方程模型需要足够的历 史数据来建立模型，对于数 据量不足的情况，模型的预 测精度会受到影响。
参数估计困难
差分方程模型的参数估计通 常需要使用迭代算法，计算 复杂度高，且易陷入局部最 优解。
如何克服差分方程模型的局限性
引入非线性因素 采用动态模型 利用大数据技术
优化参数估计方法
在建立差分方程模型时，可以尝试引入非线性因素，以提高模 型的预测精度。
确定问题中的变量
在建立差分方程模型之前，需要明确 问题中涉及的变量，这些变量通常表 示时间序列数据或其他相关数据。
确定问题中的参数
除了变量外，还需要确定问题中涉及 的参数，这些参数可以是常数或已知 数值，用于描述变量的变化规律或关 系。
确定问题中的差分关系
理解时间序列数据的特性
在确定差分关系之前，需要了解时间序列数据的特性，如数据的趋势、季节性、周期性等。
确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
通过迭代公式，逐步逼近未知数的值。
差分方程模型
方程模型
yk f ( xk ) x k 1 h ( y k )
在P0点附近用直线近似曲线 y k y 0 ( x k x 0 ) ( 0 )
x k 1 x 0 ( y k y 0 )
k k 1
( 0)
x k 1 x 0 ( x k x 0 ) x
x
y0 0
xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
蛛网模型
设x1偏离x0
y k f ( x k ) x k 1 h ( y k )
y k g ( x k 1 )
x1 y 1 x 2 y 2 x 3
xk x0 , y k y0
xk x0 , y k y0
P1 P2 P3 P0 P1 P2 P3 P0
P0是稳定平衡点
y y2 y0 y3 y1 0 f g P4 P0 P2 y
P0是不稳定平衡点
P3 f P0 P1 x0 x
曲线斜率
K
P1 x1 x 0
f
P3
g
P4
K
g
y0 P2
K
f
K
g
x2 x0 x3
w w c w
c
(完整版)差分方程模型(讲义)
差分方程模型
一。引言
数学模型按照离散的方法和连续的方法, 可以分为离散模型和连续模型.
1。确定性连续模型
1) 微分法建模(静态优化模型），如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。
2）微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型.
3）稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型），如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。
4) 变分法建模(动态优化模型),如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。
2。确定性离散模型
1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型.
2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。
3）图的方法建模,如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型.
4）差分方程建模,如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。
随着科学技术的发展,人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立,与此相适应,当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型（其中有马尔萨斯
模型Malthus 、洛杰斯蒂克Logistic 模型），又可建立人口差分方程模型.这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用.
差分方程模型
105 是平衡点，不稳定.
若 a 0 = 100000 ⇒ c = 0 , 则 ∀ n , a n = 100000
5 若 a0 > 10 ,
5 若 a 0 < 10 ,
c > 0,
c < 0,
则 an → +∞ 则 an → −∞
2. 二阶方程的平衡点及稳定性 只 须 讨 论 齐 次 方 程 a n − aa n −1 + ban − 2 = 0 ; 对 非 齐 次 方 程
Fn = Fn−1 + Fn −2 F1 = F2 = 1
F1 1 F2 1 F3 F4 F1 + F2 = 2 F3 + F2
(二阶线性差分方程初值问题)
F 4≠ 2 F3
注意上月新生的小兔不产兔
(因第 n 月末的兔子包括两部分, 一部分上月留下的为 Fn−1 ， 另一 部分为当月新生的，而新生的小兔数=前月末的兔数)
a( n) + a(n − 1) = 0 ， 平衡点 O 稳定的条件是 A 的所有特征根 | λ i |< 1 。
4.求解 n 阶齐次线性差分方程组方法: 仿照线性微分方程组解的
dx = λx d t 法,注意二者的区别 a n = λ a n −1 x = ce λ t an = cλ
| x2 |< 1 才是稳定的。
差分方程模型
yl = y0 ， xl = x0 ， (l = k, k +1,L)
即商品的数量保持在 x0 ，价格保持在 y0 ，不妨设 x1 ≠ x0 ，下面考虑 xk , yk 在图上的变 化 (k = 1,2,L) 。如下图所示，当 x1 给定后，价格 y1 由 f 上的 P1
wenku.baidu.com
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点决定，下一时段的数量 x2 由 g 上的 P2 点决定， y2 又可由 f 上的 P3 点决定。依此类
由集市上某种商品的价格变化看到如下现象：在某一时期，商品的上市量大于需求，引
起价格下跌，生产者觉得该商品无利可图，转而经营其它商品；一段时间之后，随着产
量的下降，带来的供不应求又会导致价格上升，又有很多生产商会进行该商品的生产；
随之而来的，又会出现商品过剩，价格下降。在没有外界干扰的情况下，这种现象将会
设：需求函数为一个单调下降函数。
（iii）下一时段商品数量由上一个时段的商品的价格决定，把
xk +1 = g( yk )
（6）
称之为供应函数。由于价格越高可以导致产量越大，故可假设供应函数是一个单调上升
的函数。
2.3 模型求解 在同一个坐标系中做出需求函数与供应函数的图形，设两条曲线相交于
P0 ( x0 , y0 ) ，则 P0 为平衡点。因为此时 x0 = g( y0 ) ，y0 = f ( x0 ) ，若某个 k ，有 xk = x0 ，
差分方程模型的理论和方法
差分方程模型的理论和方法
引言
1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。
第三章差分方程模型 ppt课件
等额本息方式前期还款额较少, 所欠本息的利息逐月
归还, 所以利息总额较大.
还款总额A1>A2
例1 例2： A1=1796447.27(元) , A2=1657729.17(元).
小结与评注 • 贷款购房两种基本还款方式：等额本息、等额本金. • 要点: 明确利息计算, 列出差分方程, 利用递推关系. • 模型适用于任何还款周期(半月、一季度等)——
n 1 2
例2 x0 =100(万元), r=0.0655/12, n=1220=240(月) x1=9625元, x240=4189.41(元), A2=1657729.17(元).
与房贷计算器给出的相同
等额本息与等额本金方式的比较
• 等额本息方式简单，便于安排收支. • 等额本金方式每月还款金额前期高于等额本息方式,
输入必要信息 轻击鼠标即得
单利和复利 两种计算利息的基本方式
单利 ~１万元存5年定期, 年利率4.75%, 到期后本 息(本金加利息)：10000(1+0.04755)=12375元.
复利 ~１万元存1年定期, 年利率为3%, 到期不取则 自动转存, 5年后本息：10000 (1+0.03)5=11593元.
a =3000, r =0.035/12, n =125 (月) xn= 196,012.50
差分方程基本概念和方法
差分方程基本概念和方法
差分方程是一种描述离散系统行为的数学模型，与微分方程类似。差分方程的解描述了系统的演化过程，这使得差分方程在多个领域中有广泛的应用，如物理、生物、经济学等。
差分方程的基本概念：
1.序列：差分方程的解是一个序列，即有序数字集合。通常用{x_n}表示，其中n是自然数。
2.差分算子：在差分方程中，通常使用差分算子△来表示序列的递推关系。差分算子△的作用是将序列中的元素转化为下一个元素。
3.初始条件：差分方程还需要初始条件。初始条件是差分方程的一个边界条件，用来确定序列的起点。
差分方程的一般形式为：
x_{n+1}=f(x_n)
其中，x_{n+1}是序列中的下一个元素，f是一个给定的函数。
差分方程的解法可以分为两种方法：定解条件法和递推法。
1.定解条件法：
此方法适用于已知一些递推关系的问题。定解条件法的基本思想是找到满足差分方程的序列，并给出初始条件来解决方程。
步骤如下：
a.先猜测一个可能的递推关系，并将其代入差分方程中。
b.解得的递推关系与给定的初始条件进行比较，如果相符，则该递推
关系为差分方程的解。
c.如果猜测的递推关系与初始条件不符，可以再次猜测一个新的递推
关系，继续以上步骤，直到找到满足条件的递推关系。
2.递推法：
此方法适用于无法直接找到递推关系的情况。递推法的基本思想是通
过已知的序列元素来逐步计算下一个元素，以构造出满足差分方程的序列。步骤如下：
a.给出初始条件，即序列的前几项。
b.根据初始条件计算出序列的下一项，再利用这一项计算出下下一项，以此类推。
c.最终得到满足差分方程的序列。
差分方程模型matlab
差分方程模型matlab
差分方程模型在数学和工程领域中具有重要的应用。它是描述动态
系统行为的一种数学模型，通常由一系列离散时刻的状态变量和状
态转移方程组成。MATLAB作为一种功能强大的数值计算软件，为差分方程模型的建模和求解提供了便捷的工具和环境。
本文将介绍差分方程模型在MATLAB中的使用方法和应用场景。首先，我们将探讨差分方程模型的基本原理和概念，然后详细介绍在MATLAB中的建模步骤和求解技巧。最后，我们会给出一些在实际问题中使用差分方程模型的案例，并展示其在系统分析、控制和优
化等方面的优势。
差分方程模型是描述离散系统行为的数学模型，常用于描述在给定
时间步长下变量之间的关系。它与连续时间的微分方程模型相对应，但在很多情况下，离散系统更符合实际情况。差分方程模型可以描
述许多系统，例如电路、金融市场、人口增长等。
在MATLAB中建立差分方程模型需要以下步骤：
1. 定义变量：首先需要确定模型涉及的状态变量，然后在MATLAB 中声明这些变量。可以使用向量或矩阵表示多个变量。
2. 构建状态转移方程：差分方程模型通过状态转移方程描述系统变量在不同时间步长之间的变化规律。在MATLAB中，可以使用循环或矩阵运算构建状态转移方程。
3. 设定初值条件：差分方程模型通常需要给定初始条件，即在 t=0 时刻各个变量的值。在MATLAB中，可以使用向量或矩阵存储初始条件。
4. 求解差分方程：在MATLAB中可以使用函数或求解器来求解差分方程模型。常用的函数包括 `solve`、`ode45`、`ode15s`等，它们可以根据模型的具体特点选择合适的求解方法。
差分方程模型应用
建模思路及步骤
明确问题背景
求解差分方程
在建立差分方程模型前，需 要充分了解问题的实际背景 ，明确模型的适用范围和假
设条件。
01
02
采用适当的数学方法求解差 分方程，得到系统状态随时 间变化的解析解或数值解。
03
04
构建差分方程
根据问题的特点和已知条件 ，选择合适的变量和参数， 构建描述系统状态变化的差
热传导过程分析
热传导建模
差分方程模型可用于描述热传导过程，即热量在物体内部的传递。通过差分方 程，可以分析物体内部的温度分布及其随时间的变化。
热传导性能评估
基于差分方程模型，可以对物体的热传导性能进行评估，如热导率、热扩散系 数等参数的测量和计算。
电路暂态过程研究
电路暂态建模
差分方程模型可用于描述电路的暂态过程，即电路在开关操作或电源变化时的瞬 间响应。通过差分方程，可以分析电路中电压、电流等参数的瞬时变化。
分方程。
模型检验与应用
将求解结果与实际问题进行 对比分析，验证模型的准确 性和有效性，进而将模型应 用于实际问题的预测和控制
。
02
差分方程模型在经济学中应 用
经济增长模型
1 2
3
索洛增长模型
利用差分方程描述资本积累、劳动力增长和技术进步对经济 增长的贡献。
拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型
差分方程模型
定义： 定义：
含有未知函数两个或两 个以上时期的符号 y x , y x + 1 , ⋯的方程，称为差分方程 . 的方程，
形式： 形式： F ( x , y x , y x +1 ,⋯ , y x + n ) = 0 或G ( x , y x , y x −1 , ⋯ , y x − n ) = 0 ( n ≥ 1)
由题设知： 证明 由题设知：y x +1 + ay x = f 1 ( x )
U x +1 + aU x = f 2 ( x ) Z x +1 + aZ x = f 3 ( x )
∴V x +1 + aV x = y x +1 + ay x + U x +1 + aU x + Z x +1 + aZ x = f1 ( x ) + f 2 ( x ) + f 3 ( x )
(3)∆ ( y x ⋅ z x ) = y x +1∆z x + z x ∆y x = y x ∆z x + z x +1∆y x
y x z x ∆ y x − y x ∆ z x z x + 1 ∆ y x − y x + 1 ∆z x (4)∆ = = z z x z x +1 z x z x +1 x
差分方程模型
实用文档
2、模型假设
(1)设 时段商品数量为 ，其价格为 ，
这里把时k间
xk
yk
离散化为时段，一个时期相当于商品的一个生产周期。
(2)同一时段的商品价格取决于该时段商品的数量，
称
yk f(xk)
为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其 价格就越低。故可以假设需求函数为一个单调递减函数。
定， (3) 下一时段xk的1商g品(y数k)量由上一时段的商品价格决
称为供应函数，由于价格越高可导致产量越大，所以可以假 设供应函数是一个单调递增的函数。
i 的幅角；2 2
实用文档
若特征方程有 重复根
，则齐
k
i
次方程的通解为 ( c 1 c k t k 1 )t ct o ( c 1 s c k t k 1 )t st in
yt
yt
程的通解，3.则求非非齐齐次次方方程b程(的t)的通y一t 解个y为特t 解
，若 为齐次方 。
齐次形qk 次多如(t) 方项程式b也的时对bt是tt特可特r1q解以殊kk(。证形bt)的的(t例明式)特如：的b解t若特p，次k(解t多) p项k不(bt式)是；可特rt若以征使根k用，待是，则b定t非q系k (齐t数重)为次法特方求征程q非根k的有(t，)
换
(1) 单位冲激函数(k) Z 的 变换
数学建模方法之差分方程模型
数学建模方法之差分方程模型
差分方程模型是数学建模中常用的一种方法，它基于差分方程来描述问题，并用差分方程来求解问题。所谓差分方程，是指用差分代替微分的方程，它是一种离散的模型。在实际问题中，很多情况下，并不能直接通过微分方程来描述问题，而差分方程模型则可以通过离散化的方法来近似地描述问题。
差分方程模型的优点之一是可以适用于离散化的数据，对于实际问题的离散化模型建立是非常有帮助的。差分方程模型的另一个优点是可以通过数值方法来求解，不需要进行繁琐的解析推导，因此适用于复杂问题的求解。
差分方程模型的基本形式为：
yn+1 = fn(yn, yn-1, ..., yn-k)
其中，yn表示第n个时刻的解，fn是一个给定的函数，表示通过前k个时刻的解来计算第n+1个时刻的解。这个方程是离散的，通过已知的初始条件来逐步递推获得结果。
差分方程模型的适用范围非常广泛，可以用于描述和预测各种动态过程。例如，差分方程模型可以用来描述人口增长模型、生态系统模型、传染病模型等等。在这些例子中，差分方程模型可以通过已知的数据和初始条件来预测未来的发展趋势。
差分方程模型的建立步骤主要包括以下几个方面：
1.确定问题的描述和目标：明确问题的背景和目标，确定需要建立差分方程模型的原因和用途。
2.确定模型的变量和参数：根据实际问题，确定需要用到的变量和参数。
3.确定差分方程的形式和函数：根据问题的特点和要求，选择合适的
差分方程形式和函数。这部分需要结合实际问题和数学方法来确定。
4.确定初始条件和边界条件：确定差分方程模型的初始条件和边界条件。这部分是求解差分方程的前提条件。
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1.1差分方程 1.2 市场经济中的蛛网模型 1.3 减肥计划——节食与运动 1.4 差分形式的阻滞增长模型 1.5 按年龄分组的种群增长
1.1差分方程
给定一个数列 h(0), h(1), h(2),L , h(n),L ，如果 h(n) 和数列中在 它面的若干项联系起来的一个方程对所有大于某一个整数 n0 的整数
z2 X (z) z 3zX (z) 2 X (z) 0
z
z
z
X (z)
z2 3z 2 z 1 z 2
对上式求Z的反变换得：
x(k) (1)k (2)k
这就是所求方程的解。
二、常系数线性非齐次差分方程的求解 形如
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) L akh(n k) f (n) (n k, k 1,L ) (3)
得 c1 1, c2 1, 故所求问题的解为
an 2n 1
方法二 对应的齐次差分方程的通解为
an* A 2n
观察有特解an 1, 故通解为 an A 2n 1, 由初始条件 a1 1 得
所求问题的解为
an 2n 1
例7 求差分方程 an 2an1 3 的通解。
Z[ax1(k) bx2 (k)] aX1(z) bX 2 (z),
其中 a, b为常数，收敛域为 X1(z), X2 (z) 的公共收敛域。
(2)平移性
设 Z[x(k)] X (z) ，则
N 1
a. Z[x(k N )] zN [X (z) x(k)zk ] k 0
线性非齐次微分方程的特解的方法。
例5 求非齐次差分方程 an 4an1 4an2 2n 的通解。 解：对应的齐次差分方程的特征方程为
x2 4x 4 0
特征根为 x1 x2 2,所以对应的齐次差分方程的通解为
an* (c1 c2 n) 2n
由所给非齐次差分方程的右端，可设其特解为
所以当且仅当 | a | 1时，方程（5）的平衡点（从而方程（4）的
平衡点）才是稳定的。
对于n 维向量 x(k)和n n 常数矩阵A构成的方程组
x(k 1) Ax(k) 0
其平衡点稳定的条件是矩阵A特征根 | i | 1,i 1, 2,L , n. 2.二阶线性差分方程的平衡点及稳定性 考察二阶线性差分方程
的解。 解：令 Z[x(k)] X (z) ，对差分方程求变换得：
Z[x(k 2) 3x(k 1) 2x(k)] 0
Z[x(k 2)] 3Z[x(k 1)] 2Z[x(k)] 0
z2[ X (z) x(0) x(1) z1 ] 3z[ X (z) x(0)] 2 X (z) 0
的特解 . 解：该差分方程对应的特征方程为
x4 x3 3x2 5x 2 0
其根为：x1 x2 x3 1, x4 2 ，所以
h1(n) (c1 c2n c3n2 )(1)n, h2 (n) c4 2n
故通解为
h(n) h1(n) h2 (n) (c1 c2n c3n2 )(1)n c4 2n
同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增的小
兔也按此规律繁殖。设第n月末共有 h(n) 对兔子，试建立关于h(n)
的差分方程。
解：第n月末兔子包括两部分，一部分为上月留下来的，另外 一部分为当月新生的，而由题设知当月新生的兔子对数等于上上月
兔子对数，所以
h(n) h(n 1) h(n 2), n 3 h(1) h(2) 1
特别地 Z[x(k 1)] z[X (z) X (0)]
令l k N
证 ：Z[x(k N )] x(k N ) zk
x(l) zlN z N x(l) zl
k 0
lN
lN
N 1
N 1
=z N [ x(l) zl x(l) zl ] z N [ X (z) x(k) zk ]
称为差分方程（1）的特征方程。
方程（2）的k个根 q1, q2 ,L , qk 称为差分方程（1）的特征根。
定理1 设差分方程
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) L ak h(n k) 0 ak 0 (n k, k 1,L )
的特征根 q1, q2 ,L , qk 互不相同，则该差分方程的通解为：
h(n) c1q1n c2q2n L ck qkn
其中 c1 , c2 ,L , ck 为任意常数。
定理2 设 q1, q2 ,L , qt 是差分方程
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) L akh(n k) 0 ak 0 (n k,k 1,L )
对应的齐次差分方程的通解为
an* A 2n
观察有特解 an 3, 故通解为 an A 2n 1,
三、差分方程的平衡点及稳定性
1.一阶线性差分方程的平衡点及稳定性
一阶线性常系数差分方程
xk1 axk b, k 0,1,L , (4)
的平衡点由
x ax
b 解得，为 x*
1.几个常用离散函数的变换
(1)单位脉冲函数
(k
)
1, k 0, k
0 0
的Z变换为
Z[ (k)] (k) zk [1 zk ]k0 1 k 0
(2)单位阶跃函数
U (k )
0, k p 0 1, k 0
Leabharlann Baidu
的变换为
Z[U (k)] U (k) zk zk
l0
l0
k 0
N
b. Z[x(k N )] zN [X (z) x(k)zk ] k 1
特别地
Z[x(k 1)] z1[ X (z) x(1)z]
证：
令lk N
Z[x(k N)] x(k N) zk
x(l) zlN zN x(l) zl
k 0
lN
lN
1
N
zN [ x(l) zl x(l) zl ] zN[X (z) x(k) zk ]
l0
lN
k 1
例4.求齐次差分方程
x(k 2) 3x(k 1) 2x(k) 0 x(0) 0, x(1) 1
n 都有效，则称这个方程为差分方程。
例1 汉诺塔问题：n个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在 桩A上，大的在下，小的在上。现要将此n个盘移到空桩B或C上， 但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小 盘在上。移动过程中桩A也可利用。设移动n个盘的次数为an , 试建 立关于 an 的差分方程。
解：先将桩A上的n-1个盘按题意盘移到空桩B或C上，这需要 移动 an1 次，再将桩A上最大的盘移动到空桩C或B 上，这需要移动 1次，最后将桩B或C上的n-1个盘按要求移动到桩C或B 上，这又要
移动an1 次，于是得差分方程：
aa1n
2an1 1
1
例2 设第一月有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，
一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法 形如
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) L akh(n k) 0 (n k, k 1,L ) (1)
的差分方程称为k阶常系数线性齐次差分方程，其中 a1 , a2 ,L , ak
是常数，且 ak 0. 方程 xk a1 xk 1 a2 xk 2 L ak 0 (2)
代入初始条件有
c1 c4 1
c1c1 2cc
2 2
c3 2c4 0 4c3 4c4 1
c1 3c 2 9c3 8c4 2
解之得:
7
1
2
c1 9 ,c 2 3 ,c3 0,c4 9
故所求初值问题的特解为：
h(n) ( 7 1 n)(1)n 2 2n
an A n2 2n
代入原方程得 A 1 , 故所求方程的通解为
2
an
(c1
c2
n) 2n
1 2
n2
2n
有些非齐次差分方程还可以化为齐次方程求解或用观察法求特解
例6
求解汉诺塔问题：aa1n
2an1 1
1
解：方法一 由 an 2an1 1 得 an1 2an2 1 两试相减得
的差分方程称为k阶常系数线性非齐次差分方程，其中 a1 , a2 ,L , ak
是常数，且 ak 0, f (n) 0. 定理4 方程（3）的通解等于它对应的齐次差分方程（1）的通
解加上它本身的一个特解，即
h(n) h*(n) h(n)
其中 h*(n) 是（1）的通解，h(n) 是（3）的一个特解。 注意：求常系数线性非齐次差分方程的特解可参照求常系数
z
(| z |f 1)
k0
k0
z 1
(3)单边指数函数 f (k) ak (a f 0且a 1) 的变换为
Z[ak ] ak zk
z
(|z| f a)
k 0
za
2. Z变换的性质
(1)线性性
设 Z[x1(k)] X1(z), Z[x2 (k)] X2 (z),则
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) L ak h(n k) 0 ak 0 (n k, k 1,L )
的特征根出现一对共轭复根 x1,2 i和k-2个不同实根 x3 ,L , xk
则差分方程的通解为：
h(n) c1 n cos n c2 n sin c3x3n L ck xkn
的特征方程相异的根，且 qi (i 1,2,L ,t) 是特征方程的 mi 重根，则该
差分方程的通解为：
t
h(n) h1(n) h2 (n) L ht (n) hi (n)
i1
其中 h1(n) (c1 c2n L cmi nmi1)qin
定理3 设差分方程
xk2 a1xk1 a2xk 0 (6)
的平衡点 x* 0 的稳定性.(6)的通解为
xk c11k c2k2
93
9
二 .常系数线性差分方程的Z变换解法
设有离散函数（数列）x(k),(k 0,1, 2,L ) ，则 x(k) 的Z变换
定义为
X (z) Z[x(k )] x(k ) zk
k 0
其中z是复变量，因此级数 x(k) zk 的收敛域为某个圆的外部。
k 0
X (z) 的Z反变换记作 x(k) Z 1[X (z)]
其中 2 2 , arctan .
例3.设初始值为h(0) 1,h(1) 0,h(2) 1,h(3) 2 ，求差分方程
h(n) h(n 1) 3h(n 2) 5h(n 3) 2h(n 4) 0 (n 4,5,L )
an 3an1 2an3 0
其特征方程为 x2 3x 2 0, 特征根为 x1 1, x2 2, 故通解为 an c1c2 2n
由 a1 1及an 2an1 1 知 a2 3, 将 a1 1, a2 3 代入an c1c2 2n
b ,当k 1 a
时，若xk
x*,
则平衡点是稳定的，否则 x* 是不稳定的。
易知，可以用变量代换将（4）的平衡点的稳定性问题转换为
xk1 axk 0, k 0,1,L , (5)
的平衡点 x* 0的稳定性问题。而方程（5）的解为 xk (a)k x0 , k 1, 2,L