数学模型(差分方程)
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差分方程模型
• 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 • 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标
分 析
• 体重变化由体内能量守恒破坏引起 • 饮食（吸收热量）引起体重增加 • 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少
模型假设
1）体重增加正比于吸收的热量— —每8000千卡增加体重1千克； 2）代谢引起的体重减少正比于体重—— 每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异), 相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡； 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。
称如下形式的差分方程
a 0 y n t a1 y n t 1 a n y t b ( t ) (1)
为n 阶常系数线性差分方程， 。其对应的齐次方程为
a 0 y n t a1 y n t 1 a n y t 0 (2)
差分方程解的理论和微分方程解的理论类似。
§1 差分方程
1.1 差分方程简介
规定t只取非负整数。yt为y在t点的取值，则称 y t y t 1 y t 为yt的一阶向前差分，简称差分，称 2 y t ( y t ) y t 1 y t y t 2 2 y t 1 y t 为yt的二阶差分。 由 t、 yt及yt的差分给出的方程称为 yt的差分方程，其中含 yt的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以 写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系
生产者的供应关系
分 析
• 体重变化由体内能量守恒破坏引起 • 饮食（吸收热量）引起体重增加 • 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少
模型假设
1）体重增加正比于吸收的热量— —每8000千卡增加体重1千克； 2）代谢引起的体重减少正比于体重—— 每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异), 相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡； 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。
称如下形式的差分方程
a 0 y n t a1 y n t 1 a n y t b ( t ) (1)
为n 阶常系数线性差分方程， 。其对应的齐次方程为
a 0 y n t a1 y n t 1 a n y t 0 (2)
差分方程解的理论和微分方程解的理论类似。
§1 差分方程
1.1 差分方程简介
规定t只取非负整数。yt为y在t点的取值，则称 y t y t 1 y t 为yt的一阶向前差分，简称差分，称 2 y t ( y t ) y t 1 y t y t 2 2 y t 1 y t 为yt的二阶差分。 由 t、 yt及yt的差分给出的方程称为 yt的差分方程，其中含 yt的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以 写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系
生产者的供应关系
第4次课：差分方程模型
模型的差分方程与分析 点 P ( x0 , y0 ) 满足 y0 f ( x0 ), x0 g ( y0 ) ，在 P 0 0 点附近取直线来近似曲线 y f ( x), x g ( y) ：
yk y0 ( xk x0 ), 0 xk 1 x0 ( yk y0 ), 0
... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... 1
考虑收获的情况，设收获向量为 y ( y1 , y2 ,..., yn ) ,
T
根据假设（3），砍伐的总数和补种的幼苗数相等， n n 记 矩阵为 1 1 ... 1 y1 y2 ... yn 0 0 ... 0 0 R ,则 R y ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0
7.2 供需平衡问题
7.2.1 问题的背景与提出
在自由竞争的社会中，很多领域会出现供需平衡 问题。供大于需时，供给减少；需大于供时，供给增 加。这种现象在经济领域中尤其突出，从自由集市上 某种商品的供需变化中可以看到，在某一时期，商品 的上市量过于大于需求量时，就会引起价格的下跌。 生产者觉得无利可图就会减产或转产，从而导致上市 量大减。一段时间之后，随着产量的下降，带来的供 不应求又会导致价格上涨，生产者见有利可图就会增 产或转回该商品的生产，随之而来的，又会出现商品 过剩，价格下降。在没有干预的情况下，这种现象将 循环下去。
*
yn1 qn2 xn2 q x
*
……
* 3 3
（7）
* n 1 n 1
yn q x
* n 1 n 1
因为 y 是收获向量，则 yi 0, i 1,2,..., n 。又由 于幼苗的经济价值为0，故不砍伐幼苗，即 y1 0 。 xk 代替 xk * ，从式（7）有 仍用
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
差分方程
y 3 ay2 a (ay1 ) a 3 y 0 y x a y0
x
y x ka x
当 a 1 时通解为 y x k
k 为任意常数
例 求 y x 1 4 y x 0 满 足 y 0 1 的 特 解 解：通解为 y k 4 ,
x
y0 k4 x
x0
例 y x sin x, 求y x
解：y x sin(x 1) sin x
性质：
(1) ky x ky x ( 2 ) y x z x y x z x ( k为 常 数)
( 3 ) y x z x y x 1 z x z x y x y x z x y x y x z x ( 4 ) z z x z x 1 x
一 差分 定义：
设 函 数 y f ( x ), 记 y x f ( x ) , 当 x {0,1,2,3, , n }时, y x 的 值 可 以 排 成 一 列 数y 0 , y1 , , y n , ,
称差y x y x 1 y x 为函数 y f ( x ) 的(向前)一阶差分
y * 1 ( x 1) A( x 1) 2 B( x 1) C x
代 入 方 程
2x 2
y * 1 y * x 3 ( A A) x 2 (3 A B B) x(3 A 2B C C ) ( A B C ) x x
y 0 1, y1 1, y 2 y 0 y1 , , y x 2 y x y x 1 ,
y x 2 y x y x 1 所以定解问题为 y 0 1, y1 1
§7.3 离散时间系统的数学模型—差分方程
i =−∞ n
2n − 1 ∇ sin nω = sin nω − sin(n − 1)ω = 2 sin cos ω 2 2
ω
∑δ (i ) = u(n)
n
i =−∞ n
∑ u(i ) = (n + 1)u(n)
2
n
1 ∑ iu(i ) = 2 n(n + 1)u(n) i =−∞
i =−∞
1 ∑ i u(i ) = 6 n(n + 1)(2n + 1)u(n) i =−∞
n代表序号
注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T 注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T 要足够小， 越小，近似程度越好。实际上， 要足够小， T越小，近似程度越好。实际上，利用计算 机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。 机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。 返回
返回
(四）稳定系统
有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。 称为稳定系统 有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。 稳定系统的充要条件：∑ h (n ) < ∞ 稳定系统的充要条件：
n = −∞ ∞
即：单位脉冲响应绝对可和。 单位脉冲响应绝对可和。
lim 注意： 注意： h( n ) = 0，只是系统稳定的必要条件， 只是系统稳定的必要条件，
n→∞
而非充分条件 而非充分条件。 充分条件。
返回
二、差分方程
在连续时间系统中， 在连续时间系统中，系统内部的数学运算关系可归结 为微分（积分）、乘系数、相加的关系， ）、乘系数 微分方程。 为微分（积分）、乘系数、相加的关系，即：微分方程。 在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 乘系数、相加的关系， 差分方程。 乘系数、相加的关系，即：差分方程。 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 因此描述系统的数学手段也不同。 因此描述系统的数学手段也不同。 （一）数学模型的基本单元 数学模型的基本单元 （二）差分 （三）差分方程 （四）差分方程的建立 （五）差分方程的特点
2n − 1 ∇ sin nω = sin nω − sin(n − 1)ω = 2 sin cos ω 2 2
ω
∑δ (i ) = u(n)
n
i =−∞ n
∑ u(i ) = (n + 1)u(n)
2
n
1 ∑ iu(i ) = 2 n(n + 1)u(n) i =−∞
i =−∞
1 ∑ i u(i ) = 6 n(n + 1)(2n + 1)u(n) i =−∞
n代表序号
注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T 注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T 要足够小， 越小，近似程度越好。实际上， 要足够小， T越小，近似程度越好。实际上，利用计算 机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。 机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。 返回
返回
(四）稳定系统
有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。 称为稳定系统 有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。 稳定系统的充要条件：∑ h (n ) < ∞ 稳定系统的充要条件：
n = −∞ ∞
即：单位脉冲响应绝对可和。 单位脉冲响应绝对可和。
lim 注意： 注意： h( n ) = 0，只是系统稳定的必要条件， 只是系统稳定的必要条件，
n→∞
而非充分条件 而非充分条件。 充分条件。
返回
二、差分方程
在连续时间系统中， 在连续时间系统中，系统内部的数学运算关系可归结 为微分（积分）、乘系数、相加的关系， ）、乘系数 微分方程。 为微分（积分）、乘系数、相加的关系，即：微分方程。 在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 乘系数、相加的关系， 差分方程。 乘系数、相加的关系，即：差分方程。 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 因此描述系统的数学手段也不同。 因此描述系统的数学手段也不同。 （一）数学模型的基本单元 数学模型的基本单元 （二）差分 （三）差分方程 （四）差分方程的建立 （五）差分方程的特点
差分方程数学建模举例
差分方程建模举例差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。
当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。
然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程。
另外，有时有可能通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。
有时还需要找出决定变量的初始条件。
有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。
模型1 种群生态学中的虫口模型：在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。
建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。
模型建立：假设第n 年的虫口数目为n P ，每年一个成虫平均产卵c 个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：n n cP P =+1，这是一种简单模型；如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为)1(21-n n p p 221n p ≈，故减少数应当与它成正比，从而有： 21n n n bP cP P -=+这个模型可化成：)1(1n n n x x x -=+λ，这是一阶非线性差分方程。
这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法来获得。
如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形。
第三章差分方程模型
x(k)=[x1(k), x2(k), ,xn(k)]T b=[b1, b2, ,bn]T
a11 A a21
an1
a12 a1n
a22
a2 n
an 2
ann
x(k 1) Ax(k) b, k 0,1,2,
3. 线性常系数差分方程组
例1 “房贷计算器”选择等额本息还款, 输入: 商业贷款总额100万元, 期
限20年, 年利率6.55%.
点击“开始计算”得: 还款总额
1796447.27元, 月均还款7485.2元.
建立等额本息还款方式的数学模型, 并作数值计算．
等额本息还款模型
x0 ~贷款总额
r ~月利率
n ~贷款期限(月)
xk ~第k月还款后尚欠金额
a~每月还款金额
本月欠额=上月欠额的本息还款金额
xk= xk-1(1+r)a, k＝1,2,…, n
k=n递推至k=１
xn= x0(1+r)na[1+(1+r)+…+(1+r)n-1]
x0 (1
r)n
a
(1
r)n r
1
贷款到期时xn=0
a
x0 r
(1 r)n (1 r)n 1
零存整取 计算器
累计存入金额180,000元 到期本息总额196复利
按单利计算的业务——零存整取
a~每月存入金额, r ~月利率, n ~ 存期(月)
xk ~存入k个月后的本息
x1=a+ar
xk= xk-1+a+akr, k＝2,3,…, n
数模(差分方程模型)
Fibonacci 数列
数学建模
问题
13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题：
一对刚出生的幼兔经过一ຫໍສະໝຸດ 月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份 0 1 2 3 4 5 6 7 …
幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 … 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 … 总数 1 1 2 3 5 8 13 21 …
数学建模 将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,…，经过观察可以发现，数列{fn} 满足下列递推关系：
f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,…
这个数列称为Fibonacci数列. Fibonacci数列是一个十分有趣 的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.
Fibonacci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列 3. 树的分枝 4. 杨辉三角形
数学建模
日常的经济问题中的差分方程模型
1. 银行存款与利率
假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额：
（7.1）
a0 xnt a1xnt1 ... an xt 0
（7.2）
容易证明，若序列
x (1) t
与
x(2) t
均为方程（7.2）的解，则
xt c1xt(1) c2 xt(2)
也是方程（7.2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。
此规律对于（7.1）也成立。
2差分方程模型
L bn −1 0 O s2 O s n −1 0 bn 0 M 0
x ( k ) = [ x1 ( k ), x2 ( k ),L xn ( k )]
~按年龄组的分布向量 按年龄组的分布向量
T
x ( k + 1) = Lx ( k )
x ( k ) = L x (0)
xk +1 + axk = 0方程的平衡点x* = 0的稳定性问题 xk = (−a) k x0 立即可知方程（2） 对于方程（2），其解显然为：
当且仅当 a < 1时 , 平衡点才是稳定的
顺便指出对于
n 维向量 x ( k ) 和 n × n 常数矩阵 A 构成的方程组
x ( k + 1) + Ax ( k ) = 0
x1(k), x2(k), x3(k)~第k个租赁期末公司在A,B, C市的 汽车数量 x1(k+1)=0.6 x1(k)+0.2 x2(k)+0.1 x3(k) x2(k+1)=0.3 x1(k)+ 0.7x2(k)+0.3 x3(k) x3(k+1)=0.1 x1(k)+0.1 x2(k)+0.6 x3(k) 记A=[0.1 0.1 0.6；0.3 0.7 0.3；0.6 0.2 0.1]， x(k)=[x1(k), x2(k), x3(k)]T 则 x(k+1)=Ax(k) 设稳定值为x：Ax=x 稳定状态为：A对应于特征值1的特征向量 x1+x2+x3=600 计算得：x1=180, x2=300, x3=120
由此立即得到平衡点稳 定的条件： 1 < 1, λ2 < 1 λ
对于非齐次方程 xk + 2 + a1 xk +1 + a 2 xk = b 的平衡点的稳定性条件与上述条件相同
x ( k ) = [ x1 ( k ), x2 ( k ),L xn ( k )]
~按年龄组的分布向量 按年龄组的分布向量
T
x ( k + 1) = Lx ( k )
x ( k ) = L x (0)
xk +1 + axk = 0方程的平衡点x* = 0的稳定性问题 xk = (−a) k x0 立即可知方程（2） 对于方程（2），其解显然为：
当且仅当 a < 1时 , 平衡点才是稳定的
顺便指出对于
n 维向量 x ( k ) 和 n × n 常数矩阵 A 构成的方程组
x ( k + 1) + Ax ( k ) = 0
x1(k), x2(k), x3(k)~第k个租赁期末公司在A,B, C市的 汽车数量 x1(k+1)=0.6 x1(k)+0.2 x2(k)+0.1 x3(k) x2(k+1)=0.3 x1(k)+ 0.7x2(k)+0.3 x3(k) x3(k+1)=0.1 x1(k)+0.1 x2(k)+0.6 x3(k) 记A=[0.1 0.1 0.6；0.3 0.7 0.3；0.6 0.2 0.1]， x(k)=[x1(k), x2(k), x3(k)]T 则 x(k+1)=Ax(k) 设稳定值为x：Ax=x 稳定状态为：A对应于特征值1的特征向量 x1+x2+x3=600 计算得：x1=180, x2=300, x3=120
由此立即得到平衡点稳 定的条件： 1 < 1, λ2 < 1 λ
对于非齐次方程 xk + 2 + a1 xk +1 + a 2 xk = b 的平衡点的稳定性条件与上述条件相同
差分方程模型matlab
差分方程模型matlab差分方程模型在数学和工程领域中具有重要的应用。
它是描述动态系统行为的一种数学模型，通常由一系列离散时刻的状态变量和状态转移方程组成。
MATLAB作为一种功能强大的数值计算软件，为差分方程模型的建模和求解提供了便捷的工具和环境。
本文将介绍差分方程模型在MATLAB中的使用方法和应用场景。
首先，我们将探讨差分方程模型的基本原理和概念，然后详细介绍在MATLAB中的建模步骤和求解技巧。
最后，我们会给出一些在实际问题中使用差分方程模型的案例，并展示其在系统分析、控制和优化等方面的优势。
差分方程模型是描述离散系统行为的数学模型，常用于描述在给定时间步长下变量之间的关系。
它与连续时间的微分方程模型相对应，但在很多情况下，离散系统更符合实际情况。
差分方程模型可以描述许多系统，例如电路、金融市场、人口增长等。
在MATLAB中建立差分方程模型需要以下步骤：1. 定义变量：首先需要确定模型涉及的状态变量，然后在MATLAB 中声明这些变量。
可以使用向量或矩阵表示多个变量。
2. 构建状态转移方程：差分方程模型通过状态转移方程描述系统变量在不同时间步长之间的变化规律。
在MATLAB中，可以使用循环或矩阵运算构建状态转移方程。
3. 设定初值条件：差分方程模型通常需要给定初始条件，即在 t=0 时刻各个变量的值。
在MATLAB中，可以使用向量或矩阵存储初始条件。
4. 求解差分方程：在MATLAB中可以使用函数或求解器来求解差分方程模型。
常用的函数包括 `solve`、`ode45`、`ode15s`等，它们可以根据模型的具体特点选择合适的求解方法。
在实际应用中，差分方程模型在系统分析、控制和优化等方面具有广泛的应用。
例如，在系统分析中，可以通过建立差分方程模型来预测系统的行为和变化趋势。
在控制问题中，差分方程模型可以描述系统动态行为，从而设计和优化控制策略。
在优化问题中，差分方程模型可以作为约束条件或目标函数进行求解。
差分方程模型介绍
function x=zwfz(x0,n,b) c=10;a1=0.5;a2=0.25; p=a1*b1*c; q=a2*b*91-a1)*b*c; x(1)=x0; x(2)=p*x(1); for k=3:n x(k)=p*x(k-1)+q*x(k-2); end
结果分析：Xk= pXk-1 + qXk-2
∗ 以k=0时X0=M代入，递推n次可得n年后本息为
xn = (1 + r ) M
n
∗ 例2 污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一个固 定比例q，问多长时间才能将污水浓度降低一半？ ∗ 记第k天的污水浓度为Ck,则第k+1天的污水浓度为 Ck+1=(1q)Ck, k=0,1,2,···· 从k=0开始递推n次得
模型及其求解
∗ 记一棵植物春季产种的平均数为C,种子能活过一个冬天的 (1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天 的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽 率a2。 ∗ 设C,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件 ∗ 记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由Xk-1决 定的部分是 a1bCXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bCXk-2
• 用矩阵表示
x1 (k + 1) 0.6 0.2 0.1 x1 (k ) x2 (k + 1) = 0.3 0.7 0.3 x2 ( k ) x (k + 1) 0.1 0.1 0.6 x ( k ) 3 3
λ1,2 < 1, xk → 0(k → ∞)
λ 1, 2 > 1, x k → ∞ ( k → ∞ )
结果分析：Xk= pXk-1 + qXk-2
∗ 以k=0时X0=M代入，递推n次可得n年后本息为
xn = (1 + r ) M
n
∗ 例2 污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一个固 定比例q，问多长时间才能将污水浓度降低一半？ ∗ 记第k天的污水浓度为Ck,则第k+1天的污水浓度为 Ck+1=(1q)Ck, k=0,1,2,···· 从k=0开始递推n次得
模型及其求解
∗ 记一棵植物春季产种的平均数为C,种子能活过一个冬天的 (1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天 的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽 率a2。 ∗ 设C,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件 ∗ 记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由Xk-1决 定的部分是 a1bCXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bCXk-2
• 用矩阵表示
x1 (k + 1) 0.6 0.2 0.1 x1 (k ) x2 (k + 1) = 0.3 0.7 0.3 x2 ( k ) x (k + 1) 0.1 0.1 0.6 x ( k ) 3 3
λ1,2 < 1, xk → 0(k → ∞)
λ 1, 2 > 1, x k → ∞ ( k → ∞ )
差分方程
NUDT
差分方程及其应用
第n个月家兔的对数 P(n) 个月家兔的对数
64 | | 8 74 成兔对数 a(n) b(n) 幼兔对数 P ( n ) = a ( n ) + b( n)
第n+1个月家兔的对数 P(n + 1) 个月家兔的对数
644 7444 4|| 8 成兔对数 a(n) + b(n) a (n) 幼兔对数 a( n) + b(n) = a (n + 1) P(n + 2) = a(n + 2) + b(n + 2) = [a (n + 1) + b(n + 1)] + a (n + 1) = P (n + 1) + P(n) b(n + 1) = a (n) P(n + 2) = P (n + 1) + P (n) P(0) = P (1) = 1
NUDT
差分方程及其应用
差分方程建模实例 种群生态学中的虫口模型。在种群生态学中考虑象蚕、 例1 种群生态学中的虫口模型。在种群生态学中考虑象蚕、 蝉这种类型的昆虫数目（ 虫口” 的变化， 蝉这种类型的昆虫数目（即“虫口”）的变化，注意这种 虫口一代一代之间是不交叠的， 虫口一代一代之间是不交叠的，每年夏季这种昆虫成虫产 卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。 卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。
x(t + 1) = f ( x(t )), t = 0, 1, 2, L
一阶差分方程
xk +1 = f ( xk ),
k = 0,1, 2, L
n 阶差分方程
x1 (t + 1) = f1 ( x1 (t ), x2 (t ),L, xn (t )) x (t + 1) = f ( x (t ), x (t ),L, x (t )) 2 2 1 2 n t = 0, 1, 2,L LL xn (t + 1) = f n ( x1 (t ), x2 (t ),L , xn (t ))
差分方程模型
结果分析： 可以看到，对于不同的b，xk的变化规律有较大差 别。为了研究这种差别的机理，需要得到方程（10） 的表达式。注意到一阶差分方程（3）的解为（5）式， 对于二阶差分方程可以寻求形如xk=λk的解，将其代 入（10）式得 2 p q 0 （11） 代数方程（11）称为差分方程（10）的特征方程， 方程（11）的根 p p 2 4q 1,2 丘鹤数量的变化趋势，即 k→∞时xk的极限状态。 在自然环境下（3）式的解得形式为 xk =akx0， a=1+r， k=0,1,2,… （5） 显然当a>1（即r>0）时xk →∞，而a<1（即r<0）时 xk →0，表明在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒 于灭绝。 在人工孵化条件下由（4）式可得 xk=akx0 +b(1+a+…+ak-1) =akx0 +b(1- ak-1)/(1-a) ， k=0,1,2,… （6） 当a<1（即r<0）时xk →x= b/(1-a) 。对于充分大的k用 （4）式计算xk的结果如图表示：
例2 污水处理厂每天可将处理池的污水（中含 污物）浓度降低一个固定比例q，问多长时间才能 使污水浓度降低一半？
记第k天的污水浓度为ck ，则第k+1天的污水 浓度为 ck+1=(1-q) ck, k=0,1,2,… （2） 从K=0开始递推n次可得cn=(1+r)n c0,以cn=c0/2， lg 2 n 代入可解出 ，n天后污水浓度降低一半。
function x=minos1(x0,n,r)%建立名为minos1的函数M文件，x0， n，r可以调节 a=1+r; x=x0;%赋初值 for k=1:n x(k+1)=a*x(k);%按照（3）迭代计算 End >> k=(0:20)'; >> y1=minos1(100,20,0.0194); >> y2=minos1(100,20,-0.0324); >> y3=minos1(100,20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3']),%对结果四舍五入取整数 >> plot(k,y1,k,y2,‘*’,k,y3,‘--’)%将三条线画在一个图上 >> gtext('r=0.0194'),gtext('r=-0.0324'),gtext('r=-0.0382'),%在图 上做标记 >> grid on
数学建模方法之差分方程模型
数学建模方法之差分方程模型差分方程模型是数学建模中常用的一种方法，它基于差分方程来描述问题，并用差分方程来求解问题。
所谓差分方程，是指用差分代替微分的方程，它是一种离散的模型。
在实际问题中，很多情况下，并不能直接通过微分方程来描述问题，而差分方程模型则可以通过离散化的方法来近似地描述问题。
差分方程模型的优点之一是可以适用于离散化的数据，对于实际问题的离散化模型建立是非常有帮助的。
差分方程模型的另一个优点是可以通过数值方法来求解，不需要进行繁琐的解析推导，因此适用于复杂问题的求解。
差分方程模型的基本形式为：yn+1 = fn(yn, yn-1, ..., yn-k)其中，yn表示第n个时刻的解，fn是一个给定的函数，表示通过前k个时刻的解来计算第n+1个时刻的解。
这个方程是离散的，通过已知的初始条件来逐步递推获得结果。
差分方程模型的适用范围非常广泛，可以用于描述和预测各种动态过程。
例如，差分方程模型可以用来描述人口增长模型、生态系统模型、传染病模型等等。
在这些例子中，差分方程模型可以通过已知的数据和初始条件来预测未来的发展趋势。
差分方程模型的建立步骤主要包括以下几个方面：1.确定问题的描述和目标：明确问题的背景和目标，确定需要建立差分方程模型的原因和用途。
2.确定模型的变量和参数：根据实际问题，确定需要用到的变量和参数。
3.确定差分方程的形式和函数：根据问题的特点和要求，选择合适的差分方程形式和函数。
这部分需要结合实际问题和数学方法来确定。
4.确定初始条件和边界条件：确定差分方程模型的初始条件和边界条件。
这部分是求解差分方程的前提条件。
5.差分方程的求解和分析：通过数值方法求解差分方程，得到数值解，并对结果进行分析和解释。
差分方程模型
差分方程模型
第一讲 差分方程 第二讲 蛛网模型 第三讲 商品销售量预测 第四讲 养老保险
实用文档
t
1、差分方规t定程简只介取非负整数，y t 记 为t变量在 点
的取值，yt 则y称t1yt y t
为 的一阶
向前 差2 y 分t ， 称( y t) y t 1 y t y t 2 2 y t 1 y t
如何从数学的角度来描述上述现象呢？
实用文档
2、模型假设
(1)设 时段商品数量为 ，其价格为 ，
这里把时k间
xk
yk
离散化为时段，一个时期相当于商品的一个生产周期。
(2)同一时段的商品价格取决于该时段商品的数量，
称
yk f(xk)
为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其 价格就越低。故可以假设需求函数为一个单调递减函数。
x(k)k,0,1, x(k ) Z
繁琐，下面介绍 变换，将差 分方程转化为代数方程去求
解
X(z)Z(x(k)) x(k)zk
设有离散序列
k0
，则
的
变换z 定义为
X (z) Z
其中 部
x(k)Z1[X(z)] 是复变量，上式右端的级数的收敛域是某个圆的外
的 反变换记作
实用文档
几个常用离散函数的 Z 变
定， (3) 下一时段xk的1商g品(y数k)量由上一时段的商品价格决
称为供应函数，由于价格越高可导致产量越大，所以可以假 设供应函数是一个单调递增的函数。
，则
Z [x (k 1 ) ]z [X (z) x (0 )]
N 1
Z[x(kN ) ]zN[X(z) x(k)zk]
Z [x (k 1 ) ]z 1 [X (z ) k x 0 ( 1 )z ]
第一讲 差分方程 第二讲 蛛网模型 第三讲 商品销售量预测 第四讲 养老保险
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t
1、差分方规t定程简只介取非负整数，y t 记 为t变量在 点
的取值，yt 则y称t1yt y t
为 的一阶
向前 差2 y 分t ， 称( y t) y t 1 y t y t 2 2 y t 1 y t
如何从数学的角度来描述上述现象呢？
实用文档
2、模型假设
(1)设 时段商品数量为 ，其价格为 ，
这里把时k间
xk
yk
离散化为时段，一个时期相当于商品的一个生产周期。
(2)同一时段的商品价格取决于该时段商品的数量，
称
yk f(xk)
为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其 价格就越低。故可以假设需求函数为一个单调递减函数。
x(k)k,0,1, x(k ) Z
繁琐，下面介绍 变换，将差 分方程转化为代数方程去求
解
X(z)Z(x(k)) x(k)zk
设有离散序列
k0
，则
的
变换z 定义为
X (z) Z
其中 部
x(k)Z1[X(z)] 是复变量，上式右端的级数的收敛域是某个圆的外
的 反变换记作
实用文档
几个常用离散函数的 Z 变
定， (3) 下一时段xk的1商g品(y数k)量由上一时段的商品价格决
称为供应函数，由于价格越高可导致产量越大，所以可以假 设供应函数是一个单调递增的函数。
，则
Z [x (k 1 ) ]z [X (z) x (0 )]
N 1
Z[x(kN ) ]zN[X(z) x(k)zk]
Z [x (k 1 ) ]z 1 [X (z ) k x 0 ( 1 )z ]
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一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法 形如
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) L akh(n k) 0 (n k, k 1,L ) (1)
的差分方程称为k阶常系数线性齐次差分方程，其中 a1 , a2 ,L , ak
是常数，且 ak 0. 方程 xk a1 xk 1 a2 xk 2 L ak 0 (2)
线性非齐次微分方程的特解的方法。
例5 求非齐次差分方程 an 4an1 4an2 2n 的通解。 解：对应的齐次差分方程的特征方程为
x2 4x 4 0
特征根为 x1 x2 2,所以对应的齐次差分方程的通解为
an* (c1 c2 n) 2n
由所给非齐次差分方程的右端，可设其特解为
n 都有效，则称这个方程为差分方程。
例1 汉诺塔问题：n个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在 桩A上，大的在下，小的在上。现要将此n个盘移到空桩B或C上， 但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小 盘在上。移动过程中桩A也可利用。设移动n个盘的次数为an , 试建 立关于 an 的差分方程。
z2 X (z) z 3zX (z) 2 X (z) 0
z
z
z
X (z)
z2 3z 2 z 1 z 2
对上式求Z的反变换得：
x(k) (1)k (2)k
这就是所求方程的解。
二、常系数线性非齐次差分方程的求解 形如
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) L akh(n k) f (n) (n k, k 1,L ) (3)
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) L ak h(n k) 0 ak 0 (n k, k 1,L )
的特征根出现一对共轭复根 x1,2 i和k-2个不同实根 x3 ,L , xk
则差分方程的通解为：
h(n) c1 n cos n c2 n sin c3x3n L ck xkn
1.几个常用离散函数的变换
(1)单位脉冲函数
(k
)
1, k 0, k
0 0
的Z变换为
Z[ (k)] (k) zk [1 zk ]k0 1 k 0
(2)单位阶跃函数
U (k )
0, k p 0 1, k 0
的变换为
Z[U (k)] U (k) zk zk
的特征方程相异的根，且 qi (i 1,2,L ,t) 是特征方程的 mi 重根，则该
差分方程的通解为：
t
h(n) h1(n) h2 (n) L ht (n) hi (n)
i1
其中 h1(n) (c1 c2n L cmi nmi1)qin
定理3 设差分方程
an 3an1 2an3 0
其特征方程为 x2 3x 2 0, 特征根为 x1 1, x2 2, 故通解为 an c1c2 2n
由 a1 1及an 2an1 1 知 a2 3, 将 a1 1, a2 3 代入an c1c2 2n
特别地 Z[x(k 1)] z[X (z) X (0)]
令l k N
证 ：Z[x(k N )] x(k N ) zk
x(l) zlN z N x(l) zl
k 0
lN
lN
N 1
N 1
=z N [ x(l) zl x(l) zl ] z N [ X (z) x(k) zk ]
其中 2 2 , arctan .
例3.设初始值为h(0) 1,h(1) 0,h(2) 1,h(3) 2 ，求差分方程
h(n) h(n 1) 3h(n 2) 5h(n 3) 2h(n 4) 0 (n 4,5,L )
差分方程模型
1.1差分方程 1.2 市场经济中的蛛网模型 1.3 减肥计划——节食与运动 1.4 差分形式的阻滞增长模型 1.5 按年龄分组的种群增长
1.1差分方程
给定一个数列 h(0), h(1), h(2),L , h(n),L ，如果 h(n) 和数列中在 它面的若干项联系起来的一个方程对所有大于某一个整数 n0 的整数
b ,当k 1 a
时，若xk
x*,
则平衡点是稳定的，否则 x* 是不稳定的。
易知，可以用变量代换将（4）的平衡点的稳定性问题转换为
xk1 axk 0, k 0,1,L , (5)
的平衡点 x* 0的稳定性问题。而方程（5）的解为 xk (a)k x0 , k 1, 2,L
代入初始条件有
c1 c4 1
c1c1 2cc
2 2
c3 2c4 0 4c3 4c4 1
c1 3c 2 9c3 8c4 2
解之得:
7
1
2
c1 9 ,c 2 3 ,c3 0,c4 9
故所求初值问题的特解为：
h(n) ( 7 1 n)(1)n 2 2n
的解。 解：令 Z[x(k)] X (z) ，对差分方程求变换得：
Z[x(k 2) 3x(k 1) 2x(k)] 0
Z[x(k 2)] 3Z[x(k 1)] 2Z[x(k)] 0
z2[ X (z) x(0) x(1) z1 ] 3z[ X (z) x(0)] 2 X (z) 0
h(n) c1q1n c2q2n L ck qkn
其中 c1 , c2 ,L , ck 为任意常数。
定理2 设 q1, q2 ,L , qt 是差分方程
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) L akh(n k) 0 ak 0 (n k,k 1,L )
所以当且仅当 | a | 1时，方程（5）的平衡点（从而方程（4）的
平衡点）才是稳定的。
对于n 维向量 x(k)和n n 常数矩阵A构成的方程组
x(k 1) Ax(k) 0
其平衡点稳定的条件是矩阵A特征根 | i | 1,i 1, 2,L , n. 2.二阶线性差分方程的平衡点及稳定性 考察二阶线性差分方程
的特解 . 解：该差分方程对应的特征方程为
x4 x3 3x2 5x 2 0
其根为：x1 x2 x3 1, x4 2 ，所以
h1(n) (c1 c2n c3n2 )(1)n, h2 (n) c4 2n
故通解为
h(n) h1(n) h2 (n) (c1 c2n c3n2 )(1)n c4 2n
xk2 a1xk1 a2xk 0 (6)
的平衡点 x* 0 的稳定性.(6)的通解为
xk c11k c2k2
k 0
lN
lN
1
N
zN [ x(l) zl x(l) zl ] zN[X (z) x(k) zk ]
l0
lN
k 1
例4.求齐次差分方程
x(k 2) 3x(k 1) 2x(k) 0 x(0) 0, x(1) 1
解：先将桩A上的n-1个盘按题意盘移到空桩B或C上，这需要 移动 an1 次，再将桩A上最大的盘移动到空桩C或B 上，这需要移动 1次，最后将桩B或C上的n-1个盘按要求移动到桩C或B 上，这又要
移动an1 次，于是得差分方程：
aa1n
2an1 1
1
例2 设第一月有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，
l0
l0
k 0
N
b. Z[x(k N )] zN [X (z) x(k)zk ] k 1
特别地
Z[x(k 1)] z1[ X (z) x(1)z]
证：
令lk N
Z[x(k N)] x(k N) zk
x(l) zlN zN x(l) zl
an A n2 2n
代入原方程得 A 1 , 故所求方程的通解为
2
an
(c1
c2
n) 2n
1 2
n2
2n
有些非齐次差分方程还可以化为齐次方程求解或用观察法求特解
例6
求解汉诺塔问题：aa1n
2an1 1
1
解：方法一 由 an 2an1 1 得 an1 2an2 1 两试相减得
对应的齐次差分方程的通解为
an* A 2n
观察有特解 an 3, 故通解为 an A 2n 1,
三、差分方程的平衡点及稳定性
1.一阶线性差分方程的平衡点及稳定性
一阶线性常系数差分方程
xk1 axk b, k 0,1,L , (4)
的平衡点由
x ax
b 解得，为 x*
得 c1 1, c2 1, 故所求问题的解为
an 2n 1
方法二 对应的齐次差分方程的通解为
an* A 2n
观察有特解an 1, 故通解为 an A 2n 1, 由初始条件 a1 1 得
所求问题的解为
an 2n 1
例7 求差分方程 an 2an1 3 的通解。
93
9
二 .常系数线性差分方程的Z变换解法
设有离散函数（数列）x(k),(k 0,1, 2,L ) ，则 x(k) 的Z变换
定义为
X (z) Z[x(k )] x(k ) zk