数学必修四-三角函数复习提纲

高一必修四：三角函数一 任意角的概念与弧度制（一）角的概念的推广 1、角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。

按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。

习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。

射线旋转停止时对应的边叫角的终边。

2、特殊命名的角的定义：(1)正角，负角，零角 ：见上文。

(2)象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180|ββ 终边在y 轴上的角的集合： {}Z k k ∈+⨯=,90180|ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90|ββ (4)终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+(5)与α终边反向的角：(21)x k απ=++终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180|ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180|ββ(6)若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k180 (7)成特殊关系的两角若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=180360k 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：90360±+=βαk 注：(1)角的集合表示形式不唯一.(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同. 3、本节主要题型：1.表示终边位于指定区间的角.例1:写出在720-︒到720︒之间与1050-︒的终边相同的角. 例2:若α是第二象限的角,则2,2αα是第几象限的角?写出它们的一般表达形式.例3:①写出终边在y 轴上的集合.②写出终边和函数y x=-的图像重合,试写出角α 的集合.③α在第二象限角,试确定2,,23ααα所在的象限. ④θ角终边与168︒角终边相同,求在[0,360)︒︒内与3θ终边相同的角.（二）弧度制 1、弧度制的定义：l Rα=2、角度与弧度的换算公式：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.一个式子中不能角度,弧度混用. 3、题型（1）角度与弧度的互化例:74315,330,,63ππ︒︒ （2）L R α=，211,22l r s lr r αα===的应用问题 例1:已知扇形周长10cm ,面积24cm ,求中心角.例2:已知扇形弧度数为72︒,半径等于20cm ,求扇形的面积. 例3:已知扇形周长40cm ,半径和圆心角取多大时,面积最大. 例4:121237570,750,,53ααβπβπ=-︒=︒==-a.求出12,αα弧度,象限.b.12,ββ用角度表示出,并在720~0-︒︒之间找出，他们有相同终边的所有角. 二 任意角三角函数（一）三角函数的定义 1、任意角的三角函数定义正弦r y =αsin ，余弦r x=αcos ，正切xy =αtan 2、三角函数的定义域：（二）单位圆与三角函数线1、单位圆的三角函数线定义如图(1)PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线。

OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线。

如图(2)A T 表示α角的正切值，叫做正切线。

注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负（三）同角三角函数的基本关系式同角三角函数关系式(1) 商数关系：αααtan cos sin =(2) 平方关系：1cos sin 22=+αα（四）诱导公式x x k x x k x x k tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+=+πππ222 x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- xx x x xx t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=-=--=-πππ222xx x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+πππxx x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=-πππ三 三角函数的图像与性质 （一）基本图像： 1．正弦函数2．余弦函数ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-3．正切函数（二）、函数图像的性质正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：（三）、常见结论： 1.xy sin =与xy cos =的周期是π.2.)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y (0≠ω)的周期ωπ2=T .3.2tanx y =的周期为2π.4.)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x (Z k ∈)，对称中心(0,πk )；)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =(Z k ∈)，对称中心(0,21ππ+k )；)tan(ϕω+=x y 的对称中心(0,2πk ). 5.当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·tan 1,β=-()2k k Z παβπ-=+∈6.函数x y tan =在R 上为增函数.(×)[只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的.]7.奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有00=)(f .(x ∉0的定义域，则无此性质)8.x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数(π=T)；xy cos =是周期函数(如图)；x y cos =为周期函数(π=T )；212cos +=x y 的周期为π(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：y=cos |x|图象y=|cos2x +1/2|图象四 和角公式 两角和与差的公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-五 倍角公式和半角公式（一）倍角与半角公式：αααcos sin 22sin =2cos 12sinαα-±=ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=2cos 12cosαα+±=ααα2tan 1tan 22tan -=sin 1cos tan21cos sin ααααα-===+（二）万能公式：2tan12tan2sin 2ααα+=2tan 12tan 1cos 22ααα+-=2tan 12tan2tan 2ααα-=六 三角函数的积化和差与和差化积公式()()()()()()()()1sin cos sin sin 21cos sin sin sin 21cos cos cos cos 21sin sin cos cos 2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦=+--⎡⎤⎣⎦=++-⎡⎤⎣⎦=-+--⎡⎤⎣⎦sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-七 特殊角函数值42675cos 15sin -== , 42615cos 75sin +==, 3275cot 15tan -== , 3215cot 75tan +==。