2020届高三第八次考前适应性训练数学(理)试题

高三第八次考前适应性训练数学（理）试题一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.欧拉公式cos sin ixe x i x =+(其中i 为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的,当x=π时,10,ieπ+=这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式，若将3ie π所表示的复数记为z,则z i = 13.22A i +13.22B i -31.22C i -31.22D i + 2.已知集合A={x||x|<3,x ∈N },集合B={-1,0,1,2},则图中阴影部分所表示的集合为A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{-1,0,1,2}3.函数()sin ||xf x e x =⋅的大致图象是4.已知向量(2,3),(,4)a b x ==-r r ，且a r 与b r共线,则b r 在a r 方向上的投影为413.A.13B.13C -413.D 5.已知点(3)A -在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线上，则该双曲线的离心率为.3AB.2C.3D.46.△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若2sin sin cos 2,a A B b A a +=则ba= A.1.2B.3CD.27.执行如图所示的程序框图,若输出的5,i =则图中判断框内可填入 的条件是4.?5A S ≤7.8B S ≤？9.10C s ≤？15.?16D S ≤8.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如18=7+11,在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是2.21A3.28B1.14C1.7D 9.已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都相等，D 是侧棱1BB 的中点,则异面直线1AB 与1C D 所成的角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°10.已知函数f(x)=sinωx -cosωx 在(,)42ππ上单调递减,若ω>0,则ω的取值范围是7.[2,]2A7.[3,]2BC.[3,4]7.[,4]2D11.已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且x ∈[0,1]时,2(),f x x =则11()2f -= A.-14B.12C.34D.112.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F B ,C 分别为椭圆的上、下顶点,直线2BF 与椭圆的另一个交点为D,若127cos ,25F BF ∠=则直线CD 的斜率为 24.25A14.25B12.25C7.25D 二、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分。

13.曲线()ln xf x e x =⋅在点(1,0)处的切线方程为____14.若直线kx-y+k=0与不等式组1010220y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是_____15.已知5sin cos 5θθ+=且θ∈(0,π),则3tan()4πθ-=____16.在三棱锥A-BCD 中,AB=AC,DB=DC,AB+BD=4,AB ⊥BD,则三棱锥A-BCD 的外接球体积的最小值为____ 三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分 17.(12分)已知数列{}n a 满足1*123(1)242,.2n n n n a a a a n -+++++=∈L N (1)求{}n a 的通项公式; (2)求{}n a 的前n 项和.n S18.(12分)某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式(,b y c x b =⋅c 为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(,)97e e内时为优等品.现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：根据所给统计量,求y 关于x 的回归方程;附:对于样本(,)(1,2,,6)i i v u i =L ,其回归直线u=b·v+a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:121()()ˆˆˆ,, 2.7183()niii nii v v uu bau bv e v v ==--==-≈-∑∑19.(12分)如图,三棱柱111ABC A B C -的底面是等边三角形1,A 在底面ABC 上的射影为△ABC 的重心G.(1)已知1,AA AC =证明:平面1ABC ⊥平面11A B C ；(2)已知平面11A B BA 与平面ABC 所成的二面角为60°,G 到直线AB 的距离为a,求锐二面角111B AC C --的余弦值.20.(12分)已知点F(0,1),直线l:y=-1,点E 为l 上一动点,过E 作直线12,l l l ⊥为EF 的中垂线1,l 与2l 交于点G,设点G 的轨迹为曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)若过F 的直线与Γ交于A,B 两点,线段AB 的垂直平分线交y 轴于点P,求|FP|与|AB|的比值.21.(12分)已知函数f(x)=ln(1+x)+sinx-ax,a>0. (1)当a=2时,证明:f(x)≤0;(2)若f(x)在(-1,+∞)只有一个零点,求a.(二)选考题:共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(选修4-4:坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆1C 和圆2C 的极坐标方程分别是ρ=4cosθ和ρ=2sinθ.(1)求圆1C 和圆2C 的公共弦所在直线的直角坐标方程;(2)若射线OM:θ=α与圆1C 的交点为O 、P,与圆2C 的交点为O 、Q,求|OP|·|OQ|的最大值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 的对边. (1)若a,b,c 成等比数列，证明:2222()a b c a b c ++>-+；(2)若a+b<2c,证明:c a c <<理科数学参考答案及评分标准命题、审题组教师 杨昆华 张宇甜 顾先成 李春宣 王海泉 莫利琴 蔺书琴 张远雄 崔锦 杨耕耘一、选择题1. 解析：依题意i31e cosisin332z πππ==+=，则1i i 2z =-，选C. 2. 解析：{}{}{}3,33,0,1,2A x x x x x x =<∈=-<<∈=N N ，易知图中阴影部分对应的集合为A B I ，{}0,1,2A B =I ，选B.3. 解析：函数()=e sin x f x x ⋅为非奇非偶函数，排除B ，C 选项；当0x =时，()00f =，所以选A.4. 解析：由已知：a r 与b r 共线，可得83x =-，所以b r 在a r 方向上的投影为：cos =a b b a b a ⋅=r r r r r r ，413-，选D.5. 解析：因为3ba-=-， 所以2222c a b e a a +===，选B ． 6. 解析：由正弦定理得：22sin sin sin cos 2sin A B B A A +=，所以22sin (sin cos )2sin B A A A ⋅+=，即：sin 2sin B A =，所以sin 2sin b Ba A==，选D ． 7. 解析：1,0i S ==；1,22S i ==；2113,3242S i =+==；3317,4482S i =+==；47115,58162S i =+==，此时输出，结合选项，选C.8. 解析：不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17，随机选取两个不同的数，其和等于18的情况有5,13和7,11两种，所以概率为272221C =，选A ．9. 解析：设BC 的中点为E ，则AE ⊥平面1BC ，连结1B E ，则11B E C D ⊥，由三垂线定理得11AB C D ⊥，选D ．10. 解析：因为()2sin()4f x x πω=-，因为0ω>，由已知得：24πππω-≤，所以4ω≤，由于()44424x πωππωππω-∈--，，所以4423242ωπππωπππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得732ω≤≤，选B ． 11. 解析：()()()=2=f x f x f x --，可推出()f x 为周期为2的函数，所以1111116=2224f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选A.12. 解析：有题意可知，127cos 25F BF ∠=，所以24cos 5bOBF a∠==，令5,40a t b t t ==>，(),则3c t =，所以43BD k =-,所以2222216=25D D D BD CD D D D y b y b y b b k k x x x a -+-===--g ，所以1225BDk =，选C.二、填空题13. 解析：因为()e e ln xx f x x x'=+⋅，由导数的几何意义知BCA 1B 1C 1D()1e k f '==，故曲线()e ln x f x x =⋅在点()1,0处的切线方程为()e 1y x =-.14. 解析：直线0kx y k -+=过定点()10-，， 不等式组表示的区域如图：可知k 的取值范围是：117⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 15. 解析：由21sin cos 5θθ+=（）得：42sin cos 05θθ=-<，所以()2πθπ∈，，由29sin cos 12sin cos 5θθθθ-=-=（），所以sin cos θθ-，由sin cos sin cos θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得：sin θ=，cos θ=，所以tan 2θ=-， 所以3tan 11tan()41tan 3πθθθ+-==--． 16. 解析：由题意可得，△ABD ≅△ACD ,所以AC CD ⊥,所以AD 为三棱锥A BCD -的外接球的直径，设=AB x ，则4BD x =-，所以2222(4)(4)82x x AD x x +-=+-≥=，所以三棱锥A BCD -的外接球的半径min R ，所以三棱锥A BCD -三、解答题 （一）必考题17. 解析：（1）1n =时，11a =2n ≥时，由1123(1)2422n n n n a a a a -++++⋅⋅⋅+=…① 可得21231(1)2422n n n na a a a ---+++⋅⋅⋅+=…② ①-②，12n n a n -=，11()2n n a n -=⋅因为1a 适合11()2n n a n -=⋅，所以{}n a 的通项公式为11()2n n a n -=⋅. ………6分（2）011121111()2()()222n n n S a a a n -=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯， …③1211111()2()()2222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，…④ ③-④得01111111()()()()22222n n n S n -=++⋅⋅⋅+-⨯11()112()12212nn n S n -=-⨯-，114(2)()2n nS n -=-+⋅. ………12分 18. 解：（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间e e ,97⎛⎫⎪⎝⎭内，即()0.302,0.388y x ∈，则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品 ， 现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数0,1,2,3ξ=， ()0333361020C C P C ξ===，()1233369120C C P C ξ===， ()2133369220C C P C ξ===，()3033361320C C P C ξ===． ξ的分布列为所以()199130123202020202E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………6分 （2）解：对b y c x =⋅（,0b c >）两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+，令ln ,ln i i i i v x u y ==，得u b v a =⋅+，且ln a c =，根据所给统计量及最小二乘估计公式有，1222175.324.618.360.2710.542101.424.66ni i i ni i v u nvu b v nv ∧==--⨯÷====-÷-∑∑， 118.324.6612a u b v ∧∧⎛⎫=-=-⨯÷= ⎪⎝⎭，得ln 1ˆˆa c ==，故ˆe c=， 所求y 关于x 的回归方程为0.5e y x =． ………12分19.（1）证明：连接CG 并延长交AB 于M ，由已知得1A G ⊥平面ABC ，且CM AB ⊥， 所以1A G ⊥AB ，因为1CM A G G =I ， 所以AB ⊥平面1A MC ，所以AB ⊥1A C ，因为四边形11A ACC 是平行四边形，且1AA AC =， 所以四边形11A ACC 是菱形，所以11A C AC ⊥，因为1AB AC A =I ，所以1A C ⊥平面1ABC ，因为1A C ⊂平面11A B C ，所以平面1ABC ⊥平面11A B C .………5分1（2）解：连接1A B ，因为1A 在底面ABC 上的射影是ABC ∆的重心G ，所以1Rt A GA ∆与1Rt A GB ∆全等，所以11A A A B =，因为CM AB ⊥，所以点M 为AB 中点，所以1A M AB ⊥， 故平面11A B BA 与平面ABC 所成的二面角的平面角为160A MG ∠=o ， 由GM a =，得3MC a =，AB =，1A G =，故可以M 为原点，MB ，MC 分别作为x 轴、y 轴、建立空间直角坐标系，则,0,0)B，1(0,)A a，1,)B a, 1,4)C a , (0,3,0)C a ,所以11,0,0)A B =uuu u r，1(0,2)CA a =-uuu r，11,3,0)A C a =uuuu r，设()1111,,n x y z =u r 为平面11A B C 的一个法向量，则11111111020n A B n CA ay ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u r uuu u r u r uuu r，可取()1n =u r ， 设平面11A CC 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u r，则2112221223020n AC ay n CA ay ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u r uuu u r u u r uuu r，可取()2n =-u u r ，所以121212co ,s n n n n n n ⋅〈〉==⋅u r u u ru r u u r u r u u r ， 即锐二面角111B A C C --. ………12分20. 解：(1)由条件可知GE GF =，即点G 到l 的距离等于点G 到点F 的距离， 所以点G 的轨迹是以l 为准线，F 为焦点的抛物线， 其方程为：24x y =.………5分（2）设线段AB 的垂直平分线与AB 交于点M ，分别过点,A B 作11,AA l BB l ⊥⊥，垂足为11,A B ， 再过点A 作1AC BB ⊥，垂足为C ，因为,PFM ABC PMF ACB ∠=∠∠=∠， 所以PFM ∆∽ABC ∆，所以FP FM ABBC=，设AF m =，BF n =(不妨设n m >)，由抛物线定义得1AF AA m ==， 1BF BB n ==，所以BC n m =-， 而22m n n mFM AM AF m +-=-=-=，所以122n mFP FM AB BC n m -===-.………12分21. 解：（1）当2a =时，()()ln 1sin 2f x x x x =++-，令()()1cos 21g x f x x x '==+-+，则()()21sin 1g x x x '=--+， 若10x -<≤，则()211sin 1x x ≥>-+，则()0g x '<，则()g x 在(]1,0-上单调递减，又()00g =，故()()0g x f x '=≥，故()f x 在(]1,0-上单调递增， 又()00f =，故对任意()1,0x ∈-，()0f x <恒成立； 若0x ≥，因为111x<+且cos 1x ≤，所以()0f x '<，则()f x 在[)0,+∞上单调递减，又()00f =， 故对任意()0,+x ∈∞，()0f x <恒成立.综上，当2a =时，对任意()1,-+∞， ()0f x ≤恒成立. ……… 5分 （2）当2a >时，()1cos 1f x x a x'=+-+在(]1,0-上单调递减，又()020f a '=-<， 又1110a -<-<则，11(1)cos(1)0f a a-=->，结合零点存在性定理知在()1,0-内存在实数1x 可使得()10f x =，又()00f =，与()f x 在()1,-+∞只有一个零点矛盾；当02a <<时，()1cos 1f x x a x '=+-+在[]0,π上单调递减，又1103213f a ππ⎛⎫'=--< ⎪⎝⎭+， 结合零点存在性定理知在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭内存在实数m 可使得()0f m '=，故当[]0,x m ∈时()0f x '>，即()f x 在[]0,m 上单调递增，又()00f =，故()0f m >；构造函数()2111e 22x F x x x =++-，1x ≥，则()1()e 2x G x F x x '==+-，则()1e 0x G x '=-<， 故()G x 在[)1,+∞单调递减，又3(1)e 02G =-<，故()0G x <，故()F x 在[)1,+∞单调递减，又(1)2e 0F =-<，故()0F x <即2111e 022x x x ++-<，对任意1x ≥恒成立，因为02a <<，所以21a >，故20F a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即22211e 0aa a ++-<，即2211e 0a a a ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭，因为2e 1e 13am π->->>，且222222e 1sin e 1e 111e 0a a a af a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+---<++-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，- 11 - 即()2e 10a f f m ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭，由零点存在性定理知：在2,e 1a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在实数2x 可使()20f x =， 又()00f =，与()f x 在()1,-+∞只有一个零点矛盾；综上，要使()f x 在()1,-+∞只有一个零点，则2a =. ……… 12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。