高二数学下学期第二次段考试题 理

江西省新余市2016-2017学年高二数学下学期第二次段考试题 理一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0 B ．对任意x ∈R ，使得x 2＜0C ．存在x 0∈R ，都有D ．不存在x ∈R ，使得x 2＜02.若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．1-或13.已知，，若，则λ与μ的值分别为（ ）A ．﹣5，﹣2B ．5，2C ．D ．4.一物体A 以速度v （t ）=t 2﹣t+6沿直线运动，则当时间由t=1变化到t=4时，物体A 运动的路程（ ）A ．26.5B ．53C ．31.5D ．635.已知空间向量)1,1,0(=a，)1,0,1(=b ，则向量a 与b 的夹角为( )A.︒60 B .︒120 C.︒30D.︒1506.已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件7.要得到函数的导函数f′（x ）的图象，只需将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）B ．向右平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变）C ．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变）D ．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）8.用数学归纳法证明4221232n n n ++++⋅⋅⋅+=，则当1n k =+时左端应在n=k 的基础上加上A.21k + B.()21k + C.()()42112k k +++D.()()()()22221231k k k k ++++++⋅⋅⋅++9.下列命题正确的个数 （ ）（1） 命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”； （2）函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； （3）．22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立⇔max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立 （4）．“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．410.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AA 1=2，AC=BC=1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．11.对于在R 上可导的任意函数()f x ，若其导函数为'()f x ，且满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A ．(0)(2)2(1)f f f +≤B ．(0)(2)2(1)f f f +<C ．(0)(2)2(1)f f f +≥D ．(0)(2)2(1)f f f +>12.设a=dx ，b=dx ，c=dx ，则下列关系式成立的是（ ）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知=（2，1，3），=（﹣4，2，x ）且⊥，则|﹣|= ．14.由曲线，y=e x，直线x=1所围成的区域的面积为 ．15．如图，空间四边形OACB 中， =，=，=，点M 在OA 上，且，点N 为BC 中点，则等于 ．（用向量，，表示）16.已知函数()f x 的定义域是R ，(0)2f =，若对任意'{,()()1}x R f x f x ∈+<，则不等式()1x x e f x e <+的解集为 .三、解答题（本题共6道小题,第1题10分,其余每题12分，共70分）17.已知命题p ：关于x 的不等式x 2+2ax+4＞0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f （x ）=（3﹣2a ）x是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．18.在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n =．（1）求a 1，a 2，a 3；（2）由（1）猜想数列{a n }的通项公式（不需证明）； （3）求S n ．19.如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．（1）求的长；（2）求cos （•）的值；（3）求证A 1B⊥C 1M ．20.已知函数c bx ax x x f +++-=23)(图象上的点)2,1(-P 处的切线方程为13+-=x y ． （1）若函数)(x f 在2-=x 时有极值，求)(x f 的表达式； （2）若函数)(x f 在区间]0,2[-上单调递增，求实数b 的取值范围21.如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各棱长均为2，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC ，侧棱BB 1与底面ABC 所成角为60°．（Ⅰ）求直线A 1C 与底面ABC 所成的角；（Ⅱ）在线段A 1C 1上是否存在点P ，使得平面B 1CP⊥平面ACC 1A 1？若存在，求出C 1P 的长；若不存在，请说明理由．22.已知函数2()(1)ln ,f x a x x a R =-+∈.（1）当14a =-时，求函数()y f x =的单调区间； （2）当12a =时，令1()()3ln 2h x f x x x =-+-，求()h x 在[]1,e 的最大值和最小值；（3）当[)1,x ∈+∞时，函数()y f x =图像上的点都在不等式组1,1x y x ≥⎧⎨≤-⎩所表示的区域内，求实数a 的取值范围.试卷答案1.A2.A3.D 、4.C 在t=1和t=4这段时间内物体A 运动的路程是S=（t 2﹣t+6）dt=（t 3﹣t 2+6t ）|=（﹣8+24）﹣（﹣+6）=31.55.A6.A :12,31p x x ⌝+≤-≤≤，22:56,560,3,2q x x x x x x ⌝-≤-+≥≥≤或 p q ⌝⇒⌝，充分不必要条件7.D 解：的导函数f′（x ）=3cos （3x+）=sin （3x+），即可向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），8.D 9.B 10.D解：连结BC 1，∵AC ∥A 1C 1，∴∠C 1A 1B 是异面直线A 1B 与AC 所成角（或所成角的补角），∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AA 1=2，AC=BC=1，∴AB=，，BC 1==，A 1C 1=1，∴cos ∠C 1A 1B===，∴异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值为．11.C当1>x 时，()0≥'x f ，当1<x 时，()0≤'x f ，所以当1=x 时，函数取得最小值，或是函数满足()0='x f ，函数是常函数，所以()()01f f ≤，()()21f f ≤，即()()()1220f f f ≥+，故选C.12.C解：∵，∴=ln2， =ln3，c==ln5．∵，，，∴，∴，∴，∴；∵，，，∴，∴，∴．∴．13.14.e ﹣ln2﹣1解：∵曲线，y=e x ，直线x=1交点为（0，1）、（1，e ）和（1，）∴曲线，y=e x ，直线x=1所围图形的面积为S===﹣=e ﹣ln2﹣1故答案为：e ﹣ln2﹣115.+解：==﹣=+．16.),0(+∞17.试题分析：令函数x x e x f e x F -=)()(,则不等式可等价转化为1)(<x F .因0]1)()([)(//<-+=x f x f e x F x ,故函数xx e x f e x F -=)()(是单调递减函数,而112)0()0(00=-=-=e f e F ,所以原不等式可化为)0()(F x F <,故0>x ,应填),0(+∞.17.解：①若命题p 为真，则：△=4a 2﹣16＜0，∴﹣2＜a ＜2； ②若命题q 为真，则：3﹣2a ＞1，∴a ＜1；∴若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 真q 假，或p 假q 真； ∴，或；∴1≤a ＜2，或a ≤﹣2；∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，2）．18.解：（1）由题意得，S n =，且a n ＞0，令n=1得，，得a 1=1，令n=2得，得，解得a 2=1，令n=3得，，解得a 3=；（2）根据（1）猜想：（n ∈N*）；（3）由（2）可得：S n =a 1+a 2+…+a n =1+++…+=．19.解：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O ﹣xyz ． （1）依题意得B （0，1，0），N （1，0，1），∴（2）依题意得A 1（1，0，2），B （0，1，0），C （0，0，0），B 1（0，1，2）．∴，，，，∴cos＜（3）证明：依题意得C 1（0，0，2），M =（﹣1，1，﹣2），=，∴=，∴20.20.（1）342)(23-+--=x x x x f （2）),4[+∞试题解析：b ax x x f ++-=23)(2'，┉…………………………1分 因为函数)(x f 在1=x 处的切线斜率为-3，所以323)1('-=++-=b a f ，即02=+b a ，┉…………………………2分又21)1(-=+++-=c b a f 得1-=++c b a ．┉…………………………3分 （1）因为函数)(x f 在2-=x 时有极值，所以0412)2('=+--=-b a f ，┉4分 解得3,4,2-==-=c b a ， ┉…………………………6分 所以342)(23-+--=x x x x f ． ┉…………………………7分（2）因为函数)(x f 在区间]0,2[-上单调递增，所以导函数b bx x x f +--=2'3)( 在区间]0,2[-上的值恒大于或等于零， ……………………………………………8分由03)(2'≥+--=b bx x x f 在区间]0,2[-上恒成立，得132--≥x x b 在区间]0,2[-上恒成立，只需max 2)13(--≥x x b …………………………………………………10分 令)(x g 132--=x x ，则)('x g =2)1()2(3---x x x ．当02≤≤-x 时，0)('≤x g 恒成立． 所以)(x g 在区间单]0,2[-单调递减，4)2()(max =-=g x g所以实数b 的取值范围为),4[+∞． (12)21解：（Ⅰ）过B 1作B 1O⊥BC 于O ， ∵侧面BCC 1B 1⊥平面ABC ， ∴B 1O⊥平面ABC ， ∴∠B 1BC=60°．又∵BCC 1B 1是菱形，∴O 为BC 的中点．… 以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则，B （0，﹣1，0），C （0，1，0），，，∴，又底面ABC 的法向量…设直线A 1C 与底面ABC 所成的角为θ，则，∴θ=45°所以，直线A 1C 与底面ABC 所成的角为45°． …（Ⅱ）假设在线段A 1C 1上存在点P ，设=，则，，．…设平面B 1CP 的法向量，则．令z=1，则，，∴． …设平面ACC 1A 1的法向量，则令z=1，则，x=1，∴． …要使平面B 1CP⊥平面ACC 1A 1，则==．∴．∴． …22.（1）递增区间是（0,2），递减区间是),2(+∞（2）min()1ln 2h x =-，max ()h x =242e -（3）0≤a Ⅰ）通过14a =-，函数f （x ），求出定义域以及函数的导数并分解因式，①当0＜x ＜2时，当x ＞2时，分别求解导函数的符号，推出函数得到单调区间．（Ⅱ）求出h （x ），求出函数的导数()'2h x x x=-，令h ′（x ）=0求出极值点，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后求解最值．（Ⅲ）由题意得()21ln 1a x x x -+≤-对x ∈所以max()h x =2122e -=242e -…………………… 8分 ． （3）由题意得1ln )1(2-≤+-x x x a 对),1[+∞∈x 恒成立，………………………9分 设=)(x g 1ln )1(2+-+-x x x a ，),1[+∞∈x ，则0)(max ≤x g ，),1[+∞∈x求导得xx ax x x a g )1)(12(1)12(2ax (x)'2--=++-=，…………………………10分当0≤a 时，若1>x ，则0)('<x g ，所以)(x g 在),1[+∞单调递减00)1()(max ≤==g x g 成立，得0≤a ；……………………………………………11分当21≥a 时，121≤=ax ,)(x g 在),1[+∞单调递增， 所以存在1>x ，使0)1()(=>g x g ，则不成立；…………………………………12分当210<<a 时，121>=ax ，则)(x f 在]21,1[a 上单调递减，),21[+∞a 单调递增， 则存在),21[1+∞∈a a ，有01ln 111ln )11()1(2>-+-=+-+-=a a aa a a a g ， 所以不成立， …………………………………………………………………………13分 综上得0≤a ．…………………………………………………………………………14分。