有互感的电路

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互感和互感电压
对互感电压， 对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线 圈上， 因此， 要确定其符号， 圈上 ， 因此 ， 要确定其符号 ， 就必须知道两个线 圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。 圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。
Φ11 Φs
di 1 u21 = M 21 Φ0 dt di 1 u31 = M 31 dt
例. i 1* 1'
Φ
* 2 2'
1
*
2* 2'
3 3'
1'
同名端的实验测定： 同名端的实验测定： R S 1 i *
1'
10. 1
*2
互感和互感电压
+ V –
2'
22' dt dt 当两组线圈装在黑盒里， 只引出四个端线组， 当两组线圈装在黑盒里 ， 只引出四个端线组 ， 要确定 其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。 其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。
在正弦交流电路中， 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
U 1 = jω L1 I 1 + jω M 12 I 2
互感的性质 从能量角度可以证明， ①从能量角度可以证明，对于线性电感 M12=M21=M 只与两个线圈的几何尺寸、 ②互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互位置
和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时， 和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时，有
二、互感线圈的并联(一点相连) 互感线圈的并联(一点相连) 同名端在同侧 M i i1 * L1 * i2 L2
i = i1 +i2 的关系： 解得u, i的关系：
( L1 L2 M 2 ) di u= L1 + L2 2 M dt
( L1 L2 M 2 ) Leq = ≥0 L1 + L2 2 M
第10章 10章
10. 1 10. 2 10. 3 10. 4 10. 5
有互感的电路
互感和互感电压 互感线圈的串联和并联 有互感的电路的计算 全耦合变压器和理想变压器 变压器的电路模型
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一、 互感和互感 电压
互感和互感电压
Φ11 Φ 21
N1 i1 + u11 – + N2 u21 –
当线圈1 在线圈1中产生磁通， 当线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通，同 有部分磁通穿过临近线圈2 为时变电流时， 时，有部分磁通穿过临近线圈2。当i1为时变电流时， 磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。 磁通也将随时间变化 ， 从而在线圈两端产生感应电压 。 符合右手定则时， 当i1、u11、u21方向与Φ 符合右手定则时，根据电 磁感应定律和楞次定律： 磁感应定律和楞次定律：
* 全耦合 M = L1 L2
L = L1 + L2 ± 2 M = L1 + L2 ± 2 L1 L2
= ( L1 ± L2 ) 2
当 L1=L2 时 , M=L 4L L= 0 反接 顺接
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在正弦激励下： 在正弦激励下：
互感线圈的串联和并联
jω M I R1 jω L1 R2 jω L2 * * + – + U2 – U1 – + U U = ( R 1 + R 2 ) I + jω ( L 1 + L 2 ± 2 M ) I 相量图： 相量图： jω M I U jωL2 I jωM I
可以证明： 可以证明：M12= M21= M。
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互感和互感电压
当两个线圈同时通以电流时， 当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电 压均包含自感电压和互感电压： 压均包含自感电压和互感电压：
di 1 di 2 u1 = u11 + u12 = L1 +M dt dt di 1 di 2 u2 = u21 + u22 = M + L2 dt dt
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互感和互感电压
Φ 12
N1 + i2 N2 –
Φ 22
u12 – + u22 dΨ12 dΦ12 di 2 u12 = = N1 = M 12 dt dt dt dΨ22 dΦ22 di 2 u22 = = N2 = L2 dt dt dt
Ψ12 ( M 12 = ) i2 Ψ22 ( L2 = ) i2
M ∝ N1N2 （L ∝ N2）
U 2 = jω M 21 I 1 + jω L2 I 2Fra bibliotek10. 1
耦合系数 k：
互感和互感电压
k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。
M 可以证明，k≤1。 ≤ 。 L1 L2 全耦合: 全耦合: Φ s1 =Φs2=0 即 Φ11= Φ21 ，Φ22 =Φ12 k=
L = L1 + L2 2 M ≥ 0
∴ M ≤ 1 ( L1 + L2 ) 2
互感不大于两个自感的算术平均值。 互感不大于两个自感的算术平均值。
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互感线圈的串联和并联
互感的测量方法： 互感的测量方法： * 顺接一次，反接一次，就可以测出互感： 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
L顺 L反 M= 4
N 1Φ11 N 2Φ22 Q L1 = , L2 = i1 i2 N 2Φ21 N 1Φ12 M 12 = , M 12 = i1 i2 ∴ M 12 M 21 = L1 L2 , M 2 = L1 L2 ∴ k =1
def
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互感和互感电压
二、互感线圈的同名端 具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和 互感电压。 互感电压 。 表达式的符号与参考方向和线圈绕 向有关。对自感电压， 取关联参考方向， 向有关。对自感电压，当u, i 取关联参考方向， i与Φ 符合右螺旋定则，其表达式为 符合右螺旋定则，
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dΨ dΦ11 11 u11 = = N1 dt dt
互感和互感电压
dΨ dΦ21 21 u21 = = N2 dt dt
u11：自感电压； u21：互感电压。Ψ ：磁链) 自感电压； 互感电压。 磁链)
当线圈周围无铁磁物质(空心线圈) 当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有
di 1 u11 = L1 dt di 1 u21 = M 21 dt Ψ 11 ( L1 = ) i1 Ψ 21 ( M 21 = ) i1
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2. 同名端在异侧 i + u – i1 * L1
互感线圈的串联和并联
M i2 L2 *
di 1 di 2 u = L1 M dt dt u = L2 di 2 di M 1 dt dt
在正弦交流电路中， 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为 I 1 jω M I2 + + & & & U 1 = jω L1 I 1 + jω MI 2 * * jω L2 U 2 U 1 jω L1 & & & U 2 = jω MI 1 + jω L2 I 2 _ _
di 1 di 2 u2 = M + L2 dt dt
dΨ11 dΦ11 di 1 u11 = = N1 = L1 dt dt dt
上式说明， 上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线 圈上的，只要参考方向确定了， 圈上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可 容易地写出，可不用考虑线圈绕向。对线性电感， 容易地写出，可不用考虑线圈绕向。对线性电感， 描述其特性， 取关联方向时， 用u,i描述其特性，当u,i取关联方向时，符号为 为非关联方向时，符号为负。 正；当u,i为非关联方向时，符号为负。
L1：线圈1的自感系数；M21：线圈1对线圈2的互感系数。 线圈1的自感系数； 线圈1对线圈2的互感系数。
单位： 单位：H 同理， 当线圈2 同理 ， 当线圈 2 中通电流 i2 时会产生磁通 Φ 22 ， Φ 12 。 i2 为时变时 ， 线圈 2 和线圈 1 两端分别产生感 为时变时， 线圈2 和线圈1 应电压u22 ，u12 。
di 1 di 2 u2 = M + L2 dt dt
注意： 注意：
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互感和互感电压
一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系； (1) 一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系； 有三个线圈， 相互两两之间都有磁耦合， 有三个线圈 ， 相互两两之间都有磁耦合 ， 每对耦 合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。 合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。 (2) 互感电压的符号有两重含义。 2) 互感电压的符号有两重含义。 同名端； 同名端； 参考方向； 参考方向； 互感现象的利与弊： 互感现象的利与弊： 利用——变压器：信号、功率传递 变压器：信号、 利用 变压器 避免——干扰 干扰 避免 克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用。 克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用。
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互感线圈的串联和并联
( L1 L2 M 2 ) Leq = ≥0 L1 + L2 2 M
故
M≤
L1 L2
互感小于两元件自感的几何平均值。 互感小于两元件自感的几何平均值。 如全耦合： 如全耦合：L1L2=M2 当
L1≠L2 ，Leq=0 (物理意义不明确) (物理意义不明确 物理意义不明确) L1=L2 ， Leq=L (相当于导线加粗，电感不变) 相当于导线加粗，电感不变)
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2. 反串 i R1 u1 + + u – – u2 R2
互感线圈的串联和并联
i * L1 – + L2 * M + R u L –
u = R1 i + L1 di M di + L2 di M di + R2 i dt dt dt dt = ( R1 + R2 )i + ( L1 + L2 2 M ) di = Ri + L di dt dt L = L1 + L2 2 M ∴ R = R1 + R2