数学思想方法在数列解题中的应用

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求数列前n项和的思想分析和方法探讨

求数列前n项和的思想分析和方法探讨数列前n项和是数学中常见的问题，通常用于解决求和、平均数、累积等问题。

在实际应用中，前n项和也被广泛应用于金融、计算机科学、物理学等领域。

对于一个数列，其前n项和就是数列前n个数的总和，而求解前n项和的过程也就是数据加和的过程。

本文将从数学和计算机两个维度，对数列前n项和的思想分析和方法探讨进行阐述。

在数学上，对于一个数列{a1, a2, a3, ……, an}，它的前n项和Sn可以表示为： Sn = a1 + a2 + a3 + …… + an。

用公式表示数列前n项和的具体方法包括：1.等差数列前n项和公式：Sn = n × [a1 + an] ÷ 2；对于一些复杂的数列，可能需要使用其他方法来求解前n项和，例如级数等等。

在计算机科学领域，数列前n项和的求解通常采用循环体的数据累加或递归（recursion）算法来计算。

其中循环体的算法最常用，通常满足以下模板：// 初始化累加器变量let sum = 0;// 循环实现累加器for (let i = 0; i < n; i++) {sum += an[i];}// 最后返回累加器的值其中，代码中的an数组包含数列的前n项数。

递归算法是一种基于函数不断调用自身来解决问题的方法，在数列前n项和的求解过程中，递归通常可以用于分治法（divide and conquer）的实现，例如：function sum(an, n) {if (n <= 0) // 基础情况return 0;else // 递归return sum(an, n - 1) + an[n - 1];在递归解决问题的过程中，找到适当的基础情况然后反向计算结果是非常重要的。

递归思想的主要优点是简单、通用，能够解决很多不同的问题。

综上所述，数列前n项和的思想分析和方法探讨可以分成两个方面：数学和计算机，尽管各自的技术和算法有所不同，但它们都在解决统一的问题：求解前n项和。

数列问题中的数学思想方法

数列问题中的数学思想方法(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数列问题中的数学思想方法,手机号码；电话006；湖南祁东育贤中学周友良 421600数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系，是每年高考的必考内容。

同时数列综合问题中蕴含着许多数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等）。

在处理数列综合问题时，若能灵活运用这些数学思想与方法，则会取得事半功倍的效果。

一、函数思想数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n 项和公式都可以看成n 的函数，也可以看成是方程或方程组，特别是等差数列的通项公式可以看成是n 的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析，加以解决。

例1.已知数列的通项公式10102+-=n n a n ，这个数列从第几项起，各项的数值逐渐增大从第几项起各项的数值均为正数列中是否存在数值与首项相同的项分析：根据条件，数列{}n a 的点都在函数10102+-=x x y 的图象上，如右图利用图象根据二次函数的性质可得，这个数列从第5项开始，各项的数值逐渐增大，从第9项起，各项的数值均为正数，第9项是与首项相同的项。

例2．已知数列{}n a 是等差数列，若10=n S ，502=n S ，求n S 3。

解：)1(2)1(2111-+=-+=n d a n d n n na n S n ，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，其通项为一次函数，设b ax x f +=)(，则点),(n S n n ，)2,2(2nSn n ，在其图象上，n b an 10=+∴，n b n a 2502=+⋅∴，nb n an 5,15-==∴，故nn n S n n a n f n 5315353)3(3-⋅==-⋅=，解之得：1203=n S 。

如何应用数学归纳法证明数列通项公式

如何应用数学归纳法证明数列通项公式数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，尤其适用于证明数列的通项公式。

通过逐步建立递归关系和进行归纳假设，我们可以得到一个准确的数列通项公式。

以下将详细介绍如何应用数学归纳法证明数列通项公式的步骤和注意事项。

一、数学归纳法的思想数学归纳法是通过逐步推理，从小范围到大范围的思想来证明一个命题在所有自然数上成立。

通过证明基础情况成立，再假设某个自然数成立，推导出下一个自然数也成立，从而证明所有自然数上该命题成立。

二、证明数列通项公式的步骤1. 建立基础情况：首先需要证明基础情况成立。

即证明当 n 取某个特定值时，数列通项公式成立。

通常可以选择 n = 1 或 n = 0 这样的较小的值。

2. 假设数列通项公式成立：假设当n = k 时，数列的通项公式成立，即数列的第 k 项可以用某个关于 k 的表达式表示。

3. 推导出下一项成立：利用数学归纳法的思想，假设第 k 项成立，我们需要推导出第k+1 项也成立。

通常可以通过计算前面几项的差值、比值或其他规律来推导出 k+1 项的表达式。

4. 结论：通过归纳法的推理，可以得出当 n 为任意自然数时，数列的通项公式成立。

三、数学归纳法证明数列通项公式的实例以等差数列为例，假设数列的第一项为 a1，公差为 d。

我们需要证明数列的第 n 项通项公式为 an = a1 + (n - 1)d。

（1）建立基础情况：当 n = 1 时，an = a1，结论成立。

（2）假设数列通项公式成立：假设当 n = k 时，数列的第 k 项可以用 ak = a1 + (k - 1)d 表示。

（3）推导出下一项成立：当 n = k+1 时，an = a1 + (k + 1 - 1)d = a1+ kd。

根据假设的归纳假设，ak = a1 + (k - 1)d，那么 an = ak + d = a1 + (k - 1)d + d = a1 + kd，得出当 n = k+1 时，数列的第 k+1 项也成立。

数列的数学归纳法与递推关系数学中的序列推导

数列的数学归纳法与递推关系数学中的序列推导数列是数学中经常出现的一种数值排列形式。

对于数列的研究，数学家们提出了数学归纳法和递推关系的概念与方法，以便推导与描述数列的特点与性质。

本文将详细介绍数学归纳法和递推关系在数列中的应用。

一、数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的方法，常用于证明递增数列或递减数列的性质。

数学归纳法的基本思想是通过已知条件证明当n=k时命题成立，然后再证明当n=k+1时命题也成立。

即若命题在n=k时成立，且在n=k+1时也成立，则可以得出命题对于所有正整数n成立。

以斐波那契数列为例，其递推关系式为Fn = Fn-1 + Fn-2 ，其中F1 = 1，F2 = 1。

我们可以利用数学归纳法来证明该递推关系成立。

首先，当n=1时，F1 = 1；当n=2时，F2 = 1。

由此可见，递推关系在n=1和n=2时成立。

假设当n=k时递推关系成立，即Fk = Fk-1 + Fk-2。

那么我们可以证明当n=k+1时递推关系也成立。

当n=k+1时，根据递推关系，有Fk+1 = Fk + Fk-1。

然而，根据归纳假设，我们知道Fk = Fk-1 + Fk-2，代入原式可得Fk+1 = Fk-1 + Fk-2 + Fk-1。

对上式进行简化，我们可以得到Fk+1 = 2Fk-1 + Fk-2。

由此可证明递推关系在n=k+1时也成立。

综上所述，通过数学归纳法的证明，我们可以得出斐波那契数列的递推关系成立。

二、递推关系递推关系是指数列中后一项与前面一项之间的关系式，通过这个关系式可以确定数列的每一项。

递推关系可以是线性的、非线性的，也可以是具有递归性质的。

在数学归纳法中已经涉及到斐波那契数列的递推关系。

除此之外，递推关系在数学中的应用非常广泛。

在等差数列中，递推关系可以表示为an = an-1 + d，其中d为公差。

在等比数列中，递推关系可以表示为an = an-1 * r，其中r为公比。

除此之外，递推关系还可以通过多项式、指数函数等方式进行描述。

数学归纳思想在小学数学中的应用

数学归纳思想在小学数学中的应用数学归纳思想是数学中一种重要的证明方法，它起源于欧几里得的几何学方法，后来被推广应用于数论、代数、解析、概率等各个数学分支中。

对于小学数学来说，数学归纳思想也有着重要的应用。

一、数学归纳思想的介绍数学归纳法是一种数学证明方法，它有三个基本步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。

基础步骤是证明当n等于某个初始值时结论成立，归纳假设是假设当n=k时结论成立，然后证明当n=k+1时结论也成立，这就是归纳步骤。

通过这三个步骤，可以证明当n为任意正整数时结论都成立。

1. 数列的求和在小学数学中，数列的求和是一个非常常见的问题。

通过数学归纳思想，我们可以证明一些数列的求和公式。

对于等差数列1，2，3，4，...，n，我们可以通过归纳法证明求和公式Sn=n(n+1)/2成立。

当n=1时，等式成立；设当n=k时式子成立，即S(k)=k(k+1)/2，那么当n=k+1时，Sn=S(k)+k+1=(k(k+1))/2+k+1=(k+1)((k+1)+1)/2，即式子也成立。

通过数学归纳法，我们得到了等差数列求和公式。

2. 不等式的证明3. 几何图形的性质在小学几何中，我们需要证明一些几何图形的性质。

通过数学归纳思想，我们可以证明一些几何图形的性质的普遍成立。

对于正方形，我们可以证明正方形的对角线互相垂直相等。

当n=1时，正方形只有一条对角线，显然对角线是相等且互相垂直的。

假设当n=k时正方形的对角线互相垂直相等，那么当n=k+1时，正方形的对角线个数为2，根据归纳假设，对角线仍然是相等且互相垂直的。

通过数学归纳法，我们可以证明正方形的对角线互相垂直相等。

总结：数学归纳思想是一种重要的数学证明方法，在小学数学中也有着广泛的应用。

通过数学归纳思想，我们可以证明数列的求和公式、不等式的成立以及几何图形的性质等问题。

数学归纳思想在小学数学中具有重要的应用价值。

数学思想在数列问题中的应用举例

数学思想在数列问题中的应用举例李一诺(河北省邢台市第二中学２０１６级１８班㊀０５４０００)摘㊀要:数列常常与函数㊁方程㊁不等式等知识进行综合ꎬ它体现了函数与方程㊁等价转化㊁分类讨论等重要的数学思想方法.关键词:数列ꎻ数学思想ꎻ函数ꎻ转化ꎻ分类计论ꎻ数形结合中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－０００７－０２收稿日期:２０１８－１０－１５作者简介:李一诺(２００２.８－)ꎬ女ꎬ河北省邢台人ꎬ在校学生.㊀㊀一㊁利用方程思想解题方程思想充满了数列整个章节ꎬ它是解决数列有关元素问题的基本方法ꎬ运用方程思想解题需要抓住基本量ꎬ掌握好设未知数ꎬ列方程ꎬ解方程三个环节.例１㊀等差数列ａｎ{}的前ｍ项和为３０ꎬ前２ｍ项和为１００ꎬ则它的前３ｍ项的和为(㊀㊀).Ａ.１３０㊀㊀Ｂ.１７０㊀㊀Ｃ.２１０㊀㊀Ｄ.２６０解㊀设等差数列ａｎ{}的公差为ｄꎬ前ｎ项和为Ｓｎꎬ由题意可知Ｓｍ＝３０ꎬＳ２ｍ＝１００ꎬ将Ｓｍ＝３０ꎬＳ２ｍ＝１００代入Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎｎ－１()ｄ２得ｍａ１＋ｍｍ－１()ｄ２＝３０ꎬ２ｍａ１＋２ｍ２ｍ－１()ｄ２＝１００.ìîíïïïï解之得ｄ＝４０ｍ２ꎬａ１＝１０ｍ＋２０ｍ２ꎬʑＳ３ｍ＝３ｍａ１＋３ｍ３ｍ－１()ｄ２＝２１０.㊀㊀二㊁利用函数思想解题数列是特殊的函数ꎬ因此ꎬ求解数列问题应根据题意注意沟通数列与函数之间的内在联系ꎬ运用函数的思想方法求解往往使解题方便快捷.例２㊀在等差数列中ꎬ已知Ｓｐ＝ｑꎬＳｑ＝ｐｐʂｑ()ꎬ求Ｓｐ＋ｑ的值.解㊀由题意知:Ｓｎｎ＝ｇｎ()是一次函数ꎬʑ点ｐꎬｑｐæèçöø÷ꎬｑꎬｐｑæèçöø÷ꎬｐ＋ｑꎬＳｐ＋ｑｐ＋ｑæèçöø÷均在直线ｇｎ()＝ｄｎ２＋ａ１－ｄ２上ꎬ从而ｐｑ－ｑｐｑ－ｐ＝Ｓｐ＋ｑｐ＋ｑ－ｐｑｐ＋ｑ－ｑꎬ化简即得Ｓｐ＋ｑ＝－ｐ＋ｑ().㊀㊀三㊁利用分类讨论思想解题依据题中的条件ꎬ确定讨论对象和讨论标准ꎬ使用分类讨论思想ꎬ使解题更具有条理性ꎬ解题过程更加清晰.例３㊀求和Ｓｎ＝１＋２ｘ＋＋ｎｘｎ－１ｘʂ０().解㊀ȵＳｎ＝１＋２ｘ＋３ｘ２＋＋ｎ－１()ｘｎ－２＋ｎｘｎ－１ꎬʑｘＳｎ＝ｘ＋２ｘ２＋＋ｎ－１()ｘｎ－１＋ｎｘｎ.两式相减得１－ｘ()Ｓｎ＝１＋ｘ＋ｘ２＋＋ｘｎ－１()－ｎｘｎ.当ｘ＝１时ꎬＳｎ＝１＋２＋３＋＋ｎ＝１２ｎｎ＋１()ꎻ当ｘʂ１时ꎬＳｎ＝１－ｘｎ１－ｘ()２－ｎｘｎ１－ｘ.㊀㊀四㊁利用转化思想解题根据题目所给的结构特征ꎬ寻找项之间的规律ꎬ利用转化思想解题.它集中体现在求和过程中将非特殊数列转化为等差数列或等比数列.例４㊀求和Ｓｎ＝１２＋２３＋３４＋＋ｎｎ＋１().解㊀ȵｋｋ＋１()＝ｋ２＋ｋｋ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ()ꎬʑＳｎ＝１２＋１()＋２２＋２()＋＋ｎ２＋ｎ()＝１２＋２２＋＋ｎ２()＋１＋２＋＋ｎ()７＝１６ｎｎ＋１()２ｎ＋１()＋１２ｎｎ＋１()＝１３ｎｎ＋１()ｎ＋２().㊀㊀五㊁利用数形结合思想解题恩格斯曾经这样定义数学: 数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的数学 .数形结合不仅是一种重要的解题方法ꎬ而且也是一种重要的思维方法.它形象㊁直观ꎬ有利于我们解题.例５㊀设等差数列ａｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ已知ａ３＝１２ꎬＳ１２>０ꎬＳ１３<０ꎬ(１)求公差ｄ的取值范围ꎻ(２)指出Ｓ１ꎬＳ２ꎬＳ３ꎬ ꎬＳ１２中那一个值最大?并说明理由.㊀㊀解㊀(１)易得－２４７<ｄ<－３.(２)ȵｄ<０ꎬʑＳｎ＝ｆｎ()的图象为经过原点且开口向下的抛物线上的一群离散点.设抛物线与横轴的另一个交点为Ａｎ０ꎬ０()ꎬ由Ｓ１２>０ꎬＳ１３<０ꎬ可知１２<ｎ０<１３ꎬ对称轴ｎ＝ｎ０２ɪ６ꎬ６.５()ꎬ故当ｎ＝６时ꎬＳ６最大.㊀㊀六㊁利用构造思想解题构造法解题可以化繁为简ꎬ它主要体现在利用原数列构造新数列求通项的问题.例６㊀设正项数列ａｎ}{满足ａ１＝２ꎬａｎ＝２ａｎ－１ꎬ求ａｎ.解㊀ȵａｎ>０(ｎɪＮ)ꎬʑａｎ＝２ａｎ－１.两边取以为２底的对数ꎬｌｏｇ２ａｎ＝１＋１２ｌｏｇ２ａｎ－１.令ｂｎ＝ｌｏｇ２ａｎꎬ则有ｂｎ＝１２ｂｎ－１＋１.用迭代法得ｂｎ＝２－(１２)ｎ－１ꎬʑａｎ＝２２－(１/２)ｎ－１.㊀㊀参考文献:[１]孙丰亮ꎬ娄树庆.数学思想方法在数列教学中的运用[Ｊ].课程教育研究ꎬ２０１３(３１).[责任编辑:杨惠民]探究过度放缩后的一种修正术江凤华１㊀江国荣２(１.江苏省无锡市辅仁高级中学高三９班㊀２１４１２３ꎻ２.江苏省无锡市市北高级中学㊀２１４０４５)摘㊀要:用放缩法证明不等式是高中数学学习中的难点之一.学习时不容易掌握ꎬ我们放缩的步幅大了ꎬ常常偏离目标值.有没有一种方法在发现过度放缩以后采取一点修补办法证出目标呢?本文围绕这个目标做了一点尝试ꎬ发现还是可行的.关键词:放缩法证明ꎻ逐步留项ꎻ高中难题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－０００８－０２收稿日期:２０１８－１０－１５作者简介:江凤华(２００１－)ꎬ女ꎬ江苏省海门人ꎬ在校学生.江国荣(１９７１－)ꎬ男ꎬ江苏省海门人ꎬ教师ꎬ从事数学教学及数学教育研究.㊀㊀一㊁探究过程例１㊀证明:ðｎｉ＝１１ｉ２<５３.试证１㊀当ｎ＝１ꎬðｎｉ＝１１ｉ２＝１<５３.当ｎȡ２ꎬȵ１ｉ２<１ｉ (ｉ－１)＝１ｉ－１－１ｉꎬʑðｎｉ＝１１ｉ２＝１１２＋１２２＋１３２＋＋１ｎ２<１＋(１１－１２)＋(１２－１３)＋＋(１ｎ－１－１ｎ)＝２－１ｎ<２.８。

例析数学思想在数列中的应用

把将要解决的陌生问题通过化归．变为个比较熟悉的问题来解决实际中我们常常将一个复杂问题化归为一个或几个简单的问题来解决．或将抽象的１９题化归为具体的问题来解决等例４设等差数列｛ａＩＩ｝的前项和为Ｓ，若１ ≤如 ≤４，２ ≤％≤３，求Ｓ６的取值范围。分析：因为如ｌ＋４ｄ，％ｌ＋５ｄ，Ｓ６＝６ａｌ＋１５ｄ。
个问题的解答
算原理及关系、结构．在新的条件环境下类比
新命题
位置．通常从数列的基本性质人手．进一步研究数列的通项公式和求和公式．有时会和方程、函数、不等式等知识结合起来考查。学生对于这类问题往往束手无策．但学生如果能理解数列中蕴含的数学思想方法．灵活运用它会起到意想不到的效果。下面笔者对数列试题中常涉及的数学思想方法进行举例分析
例８．设等差数列｛％｝的前ｎ项和为Ｓｎ，则
｜ｓ４，Ｓ８一Ｓ，Ｊｓｌ２一Ｓ８，Ｓ１６一Ｓ，２成等差数列，类比以上
结论有：等比数列｛ｂ｝的前项／７，积为Ｔ，则Ｔ４，Ｔ。成等比数列。分析：等差数列中的减类比到等比数列中
且还可以加深对知识的关系的理解
例５．（２０１０年福建理科）设等差数列｛｝的前ｎ项和为Ｓ，若＝一１１，＋ Ⅱ ６ —６，则当Ｓ
数学之友，２０１１（６）．ｒ２］孙翔峰．三维设计．光明日报出版社，

(完整版)数列中的数学思想和方法

2 2 ln 2.数列中的数学思想和方法数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力桥梁•能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志•数列中蕴涵了许多重要的数学思想，下面我们一起来看一看吧！一、方程思想方程思想就是通过设元建立方程，研究方程解决问题的方法•在解数列问题时，利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程(组) ，是解数列问题基本方法• 例1已知等差数列｛a n ｝的公差d 是正数，且a 3a 712,a 4 a 64 ,求其前n项和Sn 。

解：由等差数列｛a n ｝知 :a 3 a 7 a4 a 6，从而玄3玄7 12, a 3 a74 , 故a 3, a 7是方程 X 2 4x 12 0的两根,又d 0 ,解之，得：a 3 6, a 7 2。

再解方程组： a 2d6a 1 105a 6d2d 2所以S n10n(n 1)。

<法一 >法二、基本量法，建立首项和公差的二元方程知三求二点评：本题利用了 a 3 a 7 a 4 a 6这一性质构造了二次方程巧妙的解出了a ? 6^7 2，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与a n a m a p a q(或a . a m a p a q )找出解题的捷径。

关注未知数的个数，关注独立方程的个数。

点评基本量法：性质法技巧备用：设｛a n ｝是公比大于1的等比数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和. 已知S 3= 7,且a i + 3,3a 2, a 3 + 4构成等差数列.(1) 求数列｛a n ｝的通项；(2) 令 b n = ln a 3n +1, n = 1,2,…,求数列｛ b n ｝的前 n 项和 T n .a 1+ a 2 + a 3= 7,解(1)由已知得a1+ 3 + a3+ 4解得a 2= 2.2= 3a 2,2 设数列｛a n ｝的公比为q ,由a 2= 2,可得a 1 =_, a 3= 2q ,q2 2又 S 3= 7,可知一 + 2 + 2q = 7,即 2q 2— 5q + 2= 0.q1解得 q 1 = 2, q 2 = ?.由题意得 q > 1, /• q = 2, a 1 = 1. 故数列｛a n ｝的通项为a n = 2n —1. ⑵由于 b n = ln a 3n +1, n = 1,2,…，由(1)得 a 3n +1 = 23n ,二 b n = ln 2 3n = 3nln 2.又 b n +1 — b n = 3ln 2, ••• ｛b n ｝是等差数列，3n n + 1故T n =...T n = b 1 + b 2 + …+ b n =n b 1+ b n3n n + 1ln 2.小结：方程思想是数学解题中常用的基本思想方法之一，注意到方程思想在数列间题中的应用 •常可以简洁处理一些其他思想方法难以解决的数列问题。

高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用

高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。

以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。

函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

例谈函数思想在数列问题中的应用

２运用函数思想解数列的求和问题
数列求和是数歹知识的一个重要万囱，在求Ｕ向
与一般的关系，是这种关系，函数思想方法成为正使
研究和解决数列问题的重要方法．们可以用函数我的思想、方法解决数列的问题．列中的通项、／数前７，
，、＃一２
图是条线那三点ｍ）２）的研究，出函数的最大值．象一直，么个（，ｍ，，（，求
、厶，
３ｌｆ的最大一２÷ｌ值问题，通过对函数单调性
和问题上，我们时常会运用到函数的单调性、周期性
等性质及函数的解析式．
项和、递推关系、最值问题及大小比较问题通常都可
以转化为函数问题来求解．
ｕ｝项（２ｓ）｛的ｃ＿，通０ｉｓ
其前项和为，则为
斜率相等，求出ｓ。的值．解：等差数列｛｝的前ｎ项和＝１＋
＋∞ ）上是减函数，最大值是２其）＝一．９
所以有ａ一．ａ＝ａ４ ≥ ９又２１－３＞ａ．１
综上，所求的ａ的最小值是一．９
识，它们的解析式应是相同的，而得到ｇ口的值．从，。
有两种形式有时我们必须运用等差、比数列的等知识去解决其它数列问题，将非等差、比的问题转化等为等差、等比问题加以解决，从而使问题简单化
或其子集上的函数．列与函数之间的关系是特殊数

数形结合思想在数列中的应用

㊀㊀㊀解题技巧与方法１４７㊀㊀数形结合思想在数列中的应用数形结合思想在数列中的应用Һ王法金㊀（安徽省宿州市灵璧第一中学，安徽㊀宿州㊀２３４２００）㊀㊀ʌ摘要ɔ数与形是数学中两个基本的研究对象，它们有着内在的联系，而且可以互相转化，这一转化可被称为数形结合．数形结合的应用大致可分为两种情形：以形助数和以数解形．文章从以形助数和以数解形两个角度谈数形结合思想在数列中的应用，旨在让一线教师认识到数形结合思想的重要性并熟悉其应用．ʌ关键词ɔ数形结合；数学思想；数列；图像；应用引㊀言数形结合是通过数与形的相互转化解决数学问题的一种重要思想．数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几何化㊁几何问题代数化．数形结合可解决的问题比较多，下面以数列为例，谈谈数形结合思想在数列中的应用．一㊁以形助数例１㊀已知数列｛ａｎ｝满足ａｎ＋１＝ｌｏｇ２ａｎ＋１()，若｛ａｎ｝是递增数列，则ａ１的取值范围是（㊀㊀）Ａ．（０，１）Ｂ．（０，２）Ｃ．（－１，０）Ｄ．（１，＋ɕ）分析㊀作出函数ｙ＝ｘ和ｙ＝ｌｏｇ２（ｘ＋１）的图像，结合图像分析求解．㊀图１解析㊀因为｛ａｎ｝是递增数列，所以ａｎ＜ａｎ＋１，即ａｎ＜ｌｏｇ２ａｎ＋１()．如图１，作出函数ｙ＝ｘ和ｙ＝ｌｏｇ２（ｘ＋１）的图像．由图１可知，当ｘɪ（０，１）时，ｘ＜ｌｏｇ２（ｘ＋１），且ｌｏｇ２（ｘ＋１）ɪ（０，１）．故当ａ１ɪ（０，１）时，ａ１＜ｌｏｇ２（ａ１＋１）＝ａ２，且ａ２ɪ（０，１），类推可得ａ１＜ａ２＜ａ３＜，满足｛ａｎ｝是递增数列，即ａ１的取值范围是（０，１）．故选Ａ．点评㊀通过图１可以直观得到：当ｘɪ（０，１）时，ｘ＜ｌｏｇ２（ｘ＋１）ɪ（０，１）．由此可知，当ａ１ɪ（０，１）时，有ａ１＜ｌｏｇ２ａ１＋１()＝ａ２，且ａ２ɪ（０，１）．类推可得ａ１＜ａ２＜ａ３＜，满足｛ａｎ｝是递增数列，即ａ１的取值范围是（０，１）．这样就轻松得到了答案，避免进入对ａ１进行讨论的繁杂境地，这体现了数形结合中以形助数的思想．例２㊀已知数列｛ａｎ｝满足：８＜ａ１＜９，且ｌｎａｎ＝ａｎ＋１－１ａｎ＋１，则（㊀㊀）Ａ．ａ３＜ａ４，ａ２０１９＜１Ｂ．ａ３＜ａ４，ａ２０１９＞１Ｃ．ａ３＞ａ４，ａ２０１９＜１Ｄ．ａ３＞ａ４，ａ２０１９＞１分析㊀根据题意设ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｘ－ｌｎｘ（ｘ＞０），利用导数讨论函数的单调性，进而得出ｘ－１ｘȡｌｎｘ在［１，＋ɕ）上恒成立，作出图像，结合图像即可得出结果．解析㊀由题意，设ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｘ－ｌｎｘ（ｘ＞０），则ｆᶄ（ｘ）＝１２ｘ＋１２ｘ㊃ｘ－１ｘ＝ｘ－２ｘ＋１２ｘ㊃ｘ＝（ｘ－１）２２ｘ㊃ｘȡ０，所以函数ｆ（ｘ）在（０，＋ɕ）上单调递增．又ｆ（１）＝０，所以ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｘ－ｌｎｘȡ０在［１，＋ɕ）上恒成立，即ｘ－１ｘȡｌｎｘ在［１，＋ɕ）上恒成立．画出函数ｙ＝ｘ－１ｘ和ｙ＝ｌｎｘ的图像，如图２所示．由图２可得，ａ１＞ａ２＞ａ３＞＞ａ２０１９＞＞１，故选Ｄ．图２㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１４８㊀点评㊀题目以数列的递推公式为背景，判断数列的单调性．数列是一种特殊的函数，故可借助函数图像及函数的单调性来判断数列的单调性．结合图像，由８＜ａ１＜９，且ａ１＝ａ２－１ａ２，知ａ１＞ａ２．类推可知ａ１＞ａ２＞ａ３＞ａ４＞＞ａ２０１９＞＞１．这样借助函数图像解决数列问题体现了数形结合中以形助数的思想．例３㊀（多选题）已知单位圆Ｏ的内接正ｎ边形Ａ１Ａ２Ａ３Ａｎ的边长㊁周长和面积分别为ａｎ，Ｌｎ，Ｓｎ，则下列结论正确的是（㊀㊀）Ａ．ａｎ＝２ｃｏｓπｎＢ．ＬｎＬ２ｎ＝ｃｏｓπ２ｎＣ．ＳｎＳ２ｎ＝１２Ｄ．ａ２ｎ＋（２－ａ２２ｎ）２＝４㊀图３解析㊀如图３，对于Ａ，单位圆Ｏ的内接正ｎ边形Ａ１Ａ２Ａ３Ａｎ的中心角为２πｎ，则ａｎ＝２ｓｉｎπｎ，故Ａ错误．对于Ｂ，由Ａ的结论ａｎ＝２ｓｉｎπｎ可得Ｌｎ＝ｎａｎ＝２ｎｓｉｎπｎ，则ＬｎＬ２ｎ＝２ｎｓｉｎπｎ４ｎｓｉｎπ２ｎ＝ｓｉｎπｎ２ｓｉｎπ２ｎ＝ｃｏｓπ２ｎ，故Ｂ正确．对于Ｃ，Ｓｎ＝ｎ１２ˑ１ˑ１ˑｓｉｎ２πｎæèçöø÷＝ｎ２ｓｉｎ２πｎ，则Ｓ２ｎ＝２ｎ２ｓｉｎ２π２ｎ＝ｎｓｉｎπｎ，故ＳｎＳ２ｎ＝ｎ２ｓｉｎ２πｎｎｓｉｎπｎ＝ｃｏｓπｎ，故Ｃ错误．对于Ｄ，由（１）知ａｎ＝２ｓｉｎπｎ，则ａ２ｎ＝２ｓｉｎπ２ｎ，故ａ２ｎ＋（２－ａ２２ｎ）２＝４ｓｉｎ２πｎ＋２－４ｓｉｎ２π２ｎæèçöø÷２＝４ｓｉｎ２πｎ＋æèçç２－４ˑ１－ｃｏｓπｎ２öø÷÷２＝４ｓｉｎ２πｎ＋４ｃｏｓ２πｎ＝４，故Ｄ正确．综上，正确答案为ＢＤ．点评㊀本题的解题关键点是明确әＯＡ１Ａ２，әＯＡ２Ａ３，，әＯＡｎ－１Ａｎ是腰长为１，顶角为π２ｎ的等腰三角形，这些通过图３可以得到．这样，通过图形可以帮助学生获得解题思路且突破解题关键，这就是以形助数思想的魅力所在．本题考查了学生的数形结合思想和数学思维能力㊁数学运算能力．二㊁以数解形例４㊀（多选题）如图４，在平面直角坐标系中的一系列格点Ａｉ（ｘｉ，ｙｉ），其中ｉ＝１，２，３，，ｎ，且ｘｉ，ｙｉɪＺ．记ａｎ＝ｘｎ＋ｙｎ，如Ａ１（０，０），即ａ１＝０，Ａ２（１，０），即ａ２＝１，Ａ３（１，－１），即ａ３＝０，，以此类推．设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，则（㊀㊀）图４Ａ．ａ２０２３＝４３Ｂ．Ｓ２０２３＝－８７Ｃ．ａ８ｎ＝２ｎＤ．Ｓ４ｎ＋５ｎ＋１＝３ｎ（ｎ＋１）２解析㊀由题知，点Ａ１（０，０），Ｓ１＝ａ１＝０，设Ａｉ＋１（ｘｉ＋１，ｙｉ＋１）＝Ｂｉ（ｘｉ，ｙｉ），ａｎ＋１＝ｂｎ，数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｔｎ，则Ｓｎ＋１＝Ｔｎ．第１圈从点（１，０）到点（１，１）共８个点，由对称性可知Ｓ９＝Ｔ８＝ｂ１＋ｂ２＋＋ｂ８＝０．第２圈从点（２，１）到点（２，２）共１６个点，由对称性可知Ｓ２５－Ｓ９＝Ｔ２４－Ｔ８＝ｂ９＋ｂ１０＋＋ｂ２４＝０，即Ｓ２５＝Ｔ２４＝０．以此类推，可得第ｎ圈的８ｎ个点对应的这８ｎ项的和为０，即Ｔ８ˑ＝Ｔ４ｎ＋４ｎ＝０．设ｂ２０２２在第ｋ圈，则８＋１６＋＋８ｋ＝（８＋８ｋ）ｋ２＝４ｋ（ｋ＋１），由此可知前２２圈共有２０２４个数，故Ｔ２０２４＝０，则Ｔ２０２２＝Ｔ２０２４－（ｂ２０２４＋ｂ２０２３），ｂ２０２４所在点的坐标为（２２，２２），则ｂ２０２４＝２２＋２２＝４４，ｂ２０２３所在点的坐标为（２１，２２），则ｂ２０２３＝２１＋２２＝４３，ｂ２０２２所在点的坐标为（２０，２２），则ａ２０２３＝ｂ２０２２＝２０＋２２＝４２，故Ａ错误．Ｓ２０２３＝Ｔ２０２２＝Ｔ２０２４－（ｂ２０２４＋ｂ２０２３）＝０－（４４＋４３）＝－８７，故Ｂ正确．ａ８所在点的坐标为（０，１），当ｎ＝１时，则ａ８ｎ＝㊀㊀㊀解题技巧与方法１４９㊀㊀ａ８＝０＋１＝１ʂ２，故Ｃ错误．Ｓ４ｎ＋５ｎ＋１＝Ｔ４ｎ＋５ｎ＝Ｔ４ｎ＋５ｎ－Ｔ４ｎ＋４ｎ＝ｂ４ｎ＋４ｎ＋１＋ｂ４ｎ＋４ｎ＋２＋＋ｂ４ｎ＋５ｎ，对应点的坐标为（ｎ＋１，ｎ），（ｎ＋１，ｎ－１），，（ｎ＋１，１），所以Ｓ４ｎ＋５ｎ＋１＝Ｔ４ｎ＋５ｎ＝（ｎ＋１＋ｎ）＋（ｎ＋１＋ｎ－１）＋＋（ｎ＋１＋１）＝（２ｎ＋１）＋２ｎ＋＋（ｎ＋２）＝（２ｎ＋１＋ｎ＋２）ｎ２＝３ｎ（ｎ＋１）２，故Ｄ正确．综上，正确答案为ＢＤ．点评㊀本题以图形及数列的求和为背景，观察图形，利用对称性进行代数运算，可求解选项Ａ，Ｂ，Ｃ．对于选项Ｄ，考虑已知的前ｎ项和与所求的关系，结合图形，可适当先列举找到规律，再求解．结合根据题干所给的图形的特点利用代数运算求解问题，这一过程体现了数形结合中以数解形的思想．例５㊀已知数列｛ａｎ｝，满足ａｎ＋１＝ｋ（ａｎ－ａ２ｎ）．若ａ１＝１２，ｋ＝１，则ａｎ＋１ａｎ{}的最小值是，若ａ１＝２，且存在常数Ｍ＞０，使得任意ａｎɤＭ，则ｋ的取值范围是．分析㊀当ａ１＝１２，ｋ＝１时，利用ｙ＝ｘ－ｘ２的图像和直线斜率的定义可求得ａｎ＋１ａｎ的最小值；当ａ１＝２时，利用ｙ＝ｋ（ｘ－ｘ２）的图像再结合题设条件可列出关于实数ｋ的不等式组，解之即可求得实数ｋ的取值范围．解析㊀令ｘ＝ａｎ，ｙ＝ａｎ＋１，ａｎ＋１ａｎ表示点（ａｎ，ａｎ＋１）与原点连线的斜率．当ｋ＝１时，ｙ＝ｘ－ｘ２，又ａ１＝１２，则ａ２＝１４，ａｎɪ０，１２æèçùûúú且递减，㊀图５如图５，由二次函数图像的性质可知ｙ＝ｘ－ｘ２在０，１２æèçùûúú上单调递增，所以（ａ１，ａ２）为ｙ＝ｘ－ｘ２，ｘɪ０，１２æèçùûúú的最高点，则ａ２ａ１最小，所以ａｎ＋１ａｎ{}的最小值为ａ１－ａ２１ａ１＝１２．当ｋ＝０时，ａｎ＋１＝０，又ａ１＝２，任意ａｎɤ２恒成立，符合题意；当ｋʂ０时，由ａ１＝２，且任意ａｎɤＭ得Ｍȡ２．结合ｙ＝ｋ（ｘ－ｘ２）的图像（如图６）可得，ｋ４ɤＭ，ｋ（Ｍ－Ｍ２）ɤＭ，ìîíïïï即ｋɤ４Ｍ，ｋɤ１Ｍ－１，{图６又４Ｍ＞１Ｍ－１（Ｍȡ２），则ｋɤ１Ｍ－１ɤ１，即－１ɤｋɤ１，ｋʂ０．故ｋ的取值范围是－１ɤｋɤ１．故答案为：１２；［－１，１］．点评㊀解本题的过程中，解题者根据题意作出相关函数的图像，再结合图像的特点进行代数运算，使问题得解，这一过程体现了数形结合中以数解形的思想．结㊀语作为教师，不仅要教会学生解题方法，还要教会学生解题的思想．数形结合是一种重要的数学思想，其将数与形紧密联系在一起，应用数形结合思想解题时，既可以以形助数，又可以以数解形．教师应该在解题教学中渗透数学结合思想，帮助学生梳理题目的框架与解题的思路，从而提升学生的解题能力．ʌ参考文献ɔ［１］陈元斌．数形结合思想在高中数学教学中的应用与分析［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２３（２３）：６６－６８．［２］张东林．数形结合思想在中学数学的应用［Ｊ］．中学数学，２０１２（８）：８４－８５．［３］曹莹，李鸿昌．一道数列最值问题的解法探究［Ｊ］．高中数学教与学，２０１９（１９）：１５－１６．。

高中数学数列问题中的数学思想

时，Ｉ厂’（ｘ）≥ｏ，算≥ｏ，而，（ｏ）＝ｏ，当并≥ｏ时，，（戈）≥０．
ｌｎ（１帆）剐一！＋！一．＋（一１）ｎ竺＋ｏ（矿），
Ｚ３
ｎ
由矿＞１＋茗，石≠ｏ，可得ｅ１＞１叫，菇≠ｏ，从而当口＞÷时，
．厂’（菇）＜ｅ５—１＋２Ⅱ（ｅ１—１）＝ｅ１（ｅ。一１）（ｅ。一２ｎ），所以当戈Ｅ（０，
所以得到高中数学以下结论：结论ｌ：∥≥ｌ慨，菇∈Ｒ；结论２：ｌｎ（１慨）≤ｘ，戈＞一１．例ｌ（２０１３年新课标全国卷２）已知函数，（菇）＝ｅ乙ｌｎ（菇＋，ｎ）．
那么ｍ可能有哪些取值？
当ｎ＝１时，ｎｌ＿１满足％＝２２－１，因此，惦２Ｌ１（ｎ∈Ⅳ）．
万方数据
解：从铲１人手，反向推算砚的值，共有以下８种情况
高中版十・７擞・７誓簟—簟圈豳
教
参
解法探究
２０１４年１月
数学分析观点下的高考导数试题探究
◎浙江省宁波市北仑明港高级中学顾静华综观近几年高考试题，导数无疑成为整张试卷的压轴题，其难度和广度通常令考生无从下笔，所以得分的情
（７）铲１ｊｎ５＝２ｊ舻÷（舍去）；
ｊ
（３）ｎ６－１ｊｎ５＝２ｊｎ４＿４ｊ叻＝８ｊｎ乒÷（舍去）；
（４）ｎ庐ｌ＝亭Ⅱ５－２ｊ嘶：４ｊ０３＿ｌｊｎ２＝２＝亭ｎｌ＝４；
（８）铲１ｊｎ５＝０（舍去）．
所以ｍ＝３２，５，４．评析：如果本题从正面入手，计算烦琐，很多学生没有毅力和时间来计算．因此遇到此类问题时不妨打破常规思维．实行“逆反”策略从结论出发。往往能够化难为
（１）证明：数列｛‰广％｝是等比数列；（２）求出数列｛ｎ，ｌ｝的通项公式．
所以÷一三＝４．
％＋１‰
评析：根据已知函数求出反函数．再根据公差数列的
解：（１）由珥萨３‰ｌ一施碍珥件２一％ｌ＿２（‰厂％），

(完整版)数列题型及解题方法归纳总结

1知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。

（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。

(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。

求a n 。

例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解：由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）22434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。

数学归纳思想在小学数学中的应用

数学归纳思想在小学数学中的应用
数学归纳法是一种数学推理方法，它在小学数学中有着广泛的应用。

数学归纳法主要通过证明两个命题：基本情况和归纳步骤。

基本情况是证明当n等于一个特定的值时，命题成立；归纳步骤是证明当n等于k时，命题成立，则n等于k+1时，命题也成立。

1. 数列的性质证明：数列是按照一定规律排列的数的集合。

数学归纳法可以用来证明数列的某个性质成立。

我们可以使用数学归纳法来证明斐波那契数列的递归关系式：
F(n) = F(n-1) + F(n-2)。

首先证明基本情况：当n=1或n=2时，斐波那契数列成立；然后证明归纳步骤：假设当n=k时，斐波那契数列成立，即F(k)=F(k-1)+F(k-2)，再证明当n=k+1时，斐波那契数列也成立。

3. 图形的性质证明：小学数学中常常需要证明各种图形的性质，如等边三角形的性质、等腰三角形的性质等。

数学归纳法可以用来证明某些图形性质的普遍性。

首先证明基本情况：当n=1时，图形性质成立；然后证明归纳步骤：假设当n=k时，图形性质成立，再证明当n=k+1时，图形性质也成立。

数学归纳法在小学数学中有着广泛的应用。

它可以用来证明数列、不等式、图形性质和等式的正确性。

通过数学归纳法的运用，小学生可以培养逻辑思维和证明能力，提高数学解题的能力。

数学归纳法也为学生打下了数学推理的基础，为进一步学习高阶数学奠定了良好的基础。

在小学阶段，数学归纳法的学习和应用是十分重要的。

例析数学思想在数列中应用

例析数学思想在数列中的应用数列是高中数学的重要内容，也是初、高等数学的重要的衔接点。

纵观近几年高考试卷不难发现它是必考内容之一，常以填空题和解答题形式出现，属于中、高档题型。

填空题主要考查等差（比）数列的通项公式、求和公式的应用以及基本性质；解答题往往放在最后两题的位置，通常从数列的基本性质入手，进一步研究数列的通项公式和求和公式，有时会和方程、函数、不等式等知识结合起来考查。

学生对于这类问题往往束手无策，但学生如果能理解数列中蕴含的数学思想方法，灵活运用它会起到意想不到的效果。

下面笔者对数列试题中常涉及的数学思想方法进行举例分析。

一、方程思想等差（比）数列一般涉及五个基本量：a1、d（q）、n、an、sn，我们根据其中三个可以求出另外二个的基本问题，可以运用方程思想，通过解方程（组）求解。

例1.（2010年福建高考）在等比数列{an}中，若公比q为4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an=___________。

分析：根据等比数列前n项和公式可求出a1=1，故an=4n-1。

注：本题利用方程思想揭示问题隐含的等量关系，从而显示设问与条件的联系。

等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛应用。

二、函数思想数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）上的特殊函数。

运用函数思想去研究数列，要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决相关问题，它不仅使问题简化，而且还可以加深对知识的关系的理解。

例2.已知a■=■，n∈n*，求{an}中最大项是第几项？分析：本题实质上求f（n）=n+■，n∈n*的最小值时项数，因为n+■≥2■，当且仅当n=■时取等号，又n∈n*，故n=12或13，又a12=a13，所以最大项是第12项和第13项。

注：函数思想在数列中的运用，学生有时想不到。

怎样有效地将数列情景转化为函数情景，然后用函数的性质解决问题，是运用函数思想解决数列问题的关键所在。

数学思想方法在数列教学中的运用

教学・信息
课程教育研究
ＣｏｕｒｓｅＥｄｕｃａｔｉｏｎＲｅｓｅａｒｃｈ
２０１３年１１月上旬干
数学思想方法在数列教学中的运用
孙丰亮娄树庆
（山东省沂源县第一中学山东
沂源２５６１００）
思维方式的培养。锻炼学生采用类比推理思想解题的能力。
４．方程的思想方法
所谓方程的思想，就是分析问题的数量关系，然后使用数学的特定格式，将问题的一些数量关系转化成数学模型，例如将函数转化成方程．然后通过解方程来解决函数问题。在数列问题中，由于数列可以看做特殊的函数，所以也可以将数列转化成方程来
１．函数的思想方法
数列与函数可以看作是特殊与一般的关系，正是二者之间的这种关系．使得函数思想方法成为了解决数列问题的一种重要思想方法。在数列知识内容的讲授过程中，我们可以将数列作为函数的一种特值．采用所熟悉的函数方法来处理数列问题。通过运用相关的函数思想．可以研究等比数列和等差数列的性质关系．也可以研究数列的最值和单调性问题。例如：已知等差数列｛｝，其首项为ａｌ（ａ。＞０），前ｎ项和ｓ，满足Ｓｘ＝Ｓ（ｘ ≠ｙ）。求Ｓ，前几项和最大？根据等差数列的性质我们可以将等差数列看作一次函数，前ｎ项和看作是二次函数。即ａｎ＝ａｎ＋ｂ（ａ＝ｂ≠０）。Ｓ：Ａｎ２＋Ｂｎ（ａ＝ｂ≠Ｏ）。所以．根据题意中的Ｓ＝Ｓ，我们可以根据二次函数列出Ａｘ２＋Ｂｘ＝Ａｙ２＋Ｂｙ，整理后即可得出：（ｘ — ｙ）【Ａ（Ｘ＋ｙ）＋Ｂ１＝０，所以Ａ

高考数列问题中的数学思想方法浅探

一
孔
指导老师
张云标
（）１从今年起的前年，该企业不进行技术改若造的累计纯利润为Ａ万元，进行技术改造后的累计纯利润为Ｂ万元（须扣除技术改造资金）求Ａ、，Ｂ的表达式．（）２依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造后的累计纯利润？解析：１依题意：５００＋（０－４）（）Ａ＝（Ｏ —２）５００＋
知识的理解．
【２（０４牟高考福建（科）某企业例】２０理卷）２００３年的纯利润为５０万元，０因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少２Ｏ万元．年初今该企业一次性投入资金６０万元进行技术改造，０预测在未扣除技术改造资金的情况下，第年（今年为第
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数列问题中数形结合思想的应用

7-40故学故学2020年第7期数列问题中数形结合思想的应用梅晓明(上海市第六十中学，上海200071)数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.要求学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界.六个核心素养既相对独立又相互交融，是一个有机的整体.数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质，因此落实好数形结合思想方法的教学对学生核心素养的养成起到了十分重要的作用.巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果.数形结合包括两个方面：一个是“以数解形”，其二是“以形助数“以形助数”是数形结合研究的一个重点.数形结合作为一种数学思想方法,在中学数学的几何教学中得到了广泛的使用，但在代数教学，尤其是数列的教学中应用相对较少. 本文就柱形图、数轴、函数图像等在数列问题中的应用，结合笔者平时拓展课的教学作些探讨.1借助柱形图在Excel中的柱形图是用来分析数据、直观地进行对比表示数据的图形，这种直观很好地反映了离散数据之间的相互关系.因此，我们可以借助这一特征来表示数列，研究数列.问题1若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，我们称这个数列为“好数列”，例如：1, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 1，1是一个好数列.若一个好数列的各项之和是2019,（1)问这样的数列至少有多少项？（2)求项数最少且最大项唯一时的“好数列”的个数.分析：要使数列项数最少，从1开始必须n尽量取到后面较大数，并且最大数两边的数尽量不要相等；据此可以构造一个柱形图（如图1)，借助此图,将数列相应的数值标注其上.若中间最高的柱子至少放1根时，得到数列：|aJ : 1，2, 3,…，n，…，3, 2, 1，其和设为匕.从而有= 1+ 2 + 3 +.’•+«■ + ••• + 3 + 2 + 1 =n2,由«2019,估算出大约在44和45之间，那么最高一根柱子上的数字应为44, M2019 - 442 = 83 = 44 + 39 = 43 + 40 = 42 + 41，分别放在原柱状图的两侧或同侧即可，此时此数列至少有44 + 43 + 2 = 89项.若中间最高的柱子至少放2根时，同理得到数列：1, 2，3，…，n - 1, r a - 1，…，3，2, 1,得到其和为：n2 - «■.由n2 - n»2019,可估算 = 44,而442 - 44 = 1892, 2019 - 1892 二 127, 127 = 42 + 42 + 43,于是得到此时数列的项数为：43 x 2 + 3 = 89•综上：满足题意的数列最少的项数为89项.上面的柱形图为后续第2小题的排列组合问题又提供了很好的思维平台，从而使接下来的问题可以得到圆满的解决.由83 = 44 + 39(不可）=43 + 40 = 42 + 41 得：/V, = (：▲(放 43)><(：;(放40)+(：丨（放42)><(^(放41) = 8, 故这样的数列共有8个.类似的问题还有很多：例如2020年浦东新区第一次模拟考试题第21题第3小题，我们也可以使用柱形图加以解决.题目为：2020年第7期故辛敉学7-41定义f i ai y a2^ '**>an)=1- a2I+ I a2 - a3I + ••• +1 an_x - an I (n e N*, T i > 3)为有限实数列U…1的波动强度.设数列A，«2，…，是数列 1 + 21，2 + 22, 3 + 23,…，r a+ 2"的一个排歹!J,求/(a,，a2，…，a…)的最大值，并说明理由.这是一道难题，若借助于柱形图（如图2)，采取“以形辅数”的方法，问题可以得到很好的解决•记\ = n + 2",要想/(a,, a2，…，a…)取到最大值，只要|6…丨的大下标项以正数的形式出现的次数越多越好，小下标的项以负数的方式出现即可.因/(〇1，％，…，a…)定义所限，大下标每一项最多只能出现2次，即它们的系数最多为2,同理小下标的项系数最小只能为-2.b ut>2k-\b k-\b k+\图2当n = 2A:(A： > 2)时，取 & = a2 = f c以，a3 = \-1，a4 =厶2*-1，…，a2*-l =厶I，a2t =厶“1，我们结合柱形图不难写出：f{alt fl2> a3> "'*>a2k)=2(bu + + …+ b k+1)+ bk+l - bk -2(V i + \-2 + …+ M=2k2 + l211*2 - 2k+2 - 24 + 3二丄r e2 + 4 • 2" - 9 • 27 + 3.2使用类似方法，当n= 2A+ l(fc>3)时，问题也可以同样解决.使用构造法用新的观点去观察、分析、理解对象，利用问题条件和结论之间的联系，构造出满足题意的新对象，使得原问题的隐含条件通过构造清晰地呈现，问题转化为易于解决的新问题.2借助数轴数轴是一种特定的图形，使用数轴可以表示实数.数列是按照一定的次序排列的一列数,当数列是单调数列时，我们可以借助数轴来表示并研究数列.问题2 (2019年崇明区第二次模拟考试题第21题）已知数列U…丨是公差为d(d > 0)的等差数歹!J，如果数列尤1，*2，…，*m(m彡3, 01 eN*)满足a,< 〜< a2 < *2 <•*•<:«…< 0^+,，则称数列〜，巧，…，&是“可等距划分数列(1)判断数列2, 4, 8, 14是否是“可等距划分数列”，并说明理由；(2)已知 e R，/c > 0,设 6n=fcra+t，求证：对任意的m e ]>T，数列丨6…丨（r a=1, 2,…，m)都是“可等距划分数列”；(3)若数列|2"丨（n= l, 2,…，m)是“可等距划分数列”，求m的所有可能值.分析：若凭空来想象这一题，难度比较大.如果借助于数轴这一工具（如图3)，问题就能得到直观的呈现，思路就能较快地展开.13711150 2 4 8 14 x图3第一小题：可以先尝试找到8和14的中点11，在4和8之间插入7,从而有公差为4的等差数列，很快便找到-1，3, 7, 11，15.通过数轴分析，还可以发现此数列的等距划分数列并不是唯一的.对于第二小题，从第一小题的解答获得启发，构造图4.取与6^每两项之间的中点构造数列 I a…j，a… =~^=A:n + t -舍，于是有a…+1=A，即|a…丨为等差数列.又/c > 0,故\为增数列，中点数列\恒满足<a… < ，综上所述，丨6…丨一定是“可等距划分数列Q\Q j口3口4b2b3b (x)图4第三小题：同理借助数轴得：①当/n = 3时，可构造4项等差数列：-1，3, 7, 11或0,3, 6, 9;②当m = 4时,可构造5项等差数列:-3.5, 2.5, 7.5, 12.5, 17. 5;③当m 彡 5 时，7-42故学故学2020年第7期若可以为等距划分数列，至少需满足：12 < 〇2< 4，4 < a3< 8,可得：〇< d< 6.等差数列中 a-t > 32,a6 = a2 + < 4 + 4 x6 = 28,产生矛盾！综上：m可能的值为：/« = 3或m = 4.3借助函数图像数列是一种特殊的函数.数列可以看作一个定义域为正整数集P T或其有限子集丨1，2, 3,…，的函数，因此使用图像可以直观表示并研究数列的很多问题.问题3 (2018年杨浦区第一次模拟考试题)若数列 a,，a2，…，a…(ra & 3)中，a,e N*(1 矣i矣/i)，_EJ(才任意的2 矣A：彡n- 1,a t+1 + 〜> 2at恒成立，则称辦M为“[/-掰I J”.U)若数列为“t/-数列”，写出所有可能的*，y;(2)若数列”4: a"a2，…，a… 中，a, = 1，an = 2017,求n的最大值；(3)设为给定的偶数，对所有可能的 “-数歹！a,,a2，…，。

数学思想在解题中的应用

数学思想在解题中的应用数学思想是数学知识的本质与内在规律的综合体现，是解决数学问题的灵魂和工具。

本文将从三个方面探讨数学思想在解题中的应用。

一、函数与方程思想函数与方程思想是数学中重要的思想方法，它通过对问题中的变量进行等价转化，构造出方程或函数模型，从而利用数学方法解决问题。

在解题中，我们常常需要根据问题中的数量关系，建立相应的函数关系式或方程组，通过对这些式子的变形、求解，达到解决问题的目的。

例如，在解几何问题时，我们常常需要将几何条件转化为代数条件，通过建立面积、距离、角度等之间的关系式，利用函数思想求解。

又如在解代数问题时，我们可以通过观察题目的特点，将问题中的条件转化为方程组，利用方程思想求解。

函数与方程思想的应用非常广泛，它不仅可以解决代数问题，还可以解决几何问题、数列问题等。

二、数形结合思想数形结合思想是数学中一种重要的思想方法，它通过将抽象的数学语言与直观的图形相结合，从而简化解题过程，加深对数学概念的理解。

在解题中，我们可以通过对问题的条件和结论进行几何或代数转化，将图形或式子相结合，从而找到解决问题的突破口。

例如，在解三角函数问题时，我们可以通过画出图形，将三角函数问题转化为几何问题，从而利用几何方法求解。

又如在解方程问题时，我们可以通过画出函数的图像，将方程问题转化为图像问题，从而找到方程的根或函数的单调性等性质。

数形结合思想的应用非常广泛，它不仅可以解决代数问题，还可以解决几何问题、三角函数问题等。

三、分类讨论思想分类讨论思想是数学中一种重要的逻辑思想方法，它通过对问题进行分类，分别讨论，从而得出问题的解。

在解题中，我们常常需要根据问题的条件和结论的特点，将问题进行分类讨论，从而得到问题的解。

例如，在解不等式问题时，我们常常需要根据不等式的形式和特点，将不等式进行分类讨论，从而得到不等式的解集。

又如在解概率问题时，我们常常需要根据事件的类型和概率公式进行分类讨论，从而得到事件的概率。