期末复习3(第23章旋转)

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2024九年级数学上册“第二十三章旋转”必背知识点

2024九年级数学上册“第二十三章旋转”必背知识点一、旋转的基本概念定义：将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。

其中，O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

旋转三要素：旋转中心、旋转角度、旋转方向。

二、旋转的性质旋转后的图形与原图形的关系：旋转后的图形与原图形全等。

对应点与旋转中心的距离：对应点到旋转中心的距离相等。

对应点与旋转中心所连线段的夹角：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

图形变化：图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。

三、中心对称定义：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。

这个点叫做对称中心。

中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。

这个点叫做该图形的对称中心。

性质：1. 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分。

2. 关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形。

3. 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。

四、关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反。

即点P(x,y)关于原点对称的点的坐标为P'(-x,-y)。

五、作图与应用利用旋转性质作图：关键是连接图形中的每一个关键点与旋转中心，并按要求绕旋转中心转过一定角度，然后在新的位置上截取与原来等长的线段，连接各点得到新的图形。

旋转的应用：旋转在几何图形的变换、证明以及解决实际问题中都有广泛的应用，如通过旋转构造全等图形、证明角相等或线段相等。

六、例题与练习为了加深对旋转知识点的理解和记忆，可以通过做一些相关的例题和练习题来巩固所学内容。

这些题目通常会涉及到旋转的基本概念、性质以及应用等方面的知识点。

综上所述，九年级数学上册 “第二十三章旋转”的必背知识点主要包括旋转的基本概念、性质、中心对称及其性质、关于原点对称的点的坐标以及作图与应用等方面。

章复习第23章旋转

章复习第23章旋转（学案）一、旋转的定义及特征⑴定义：把一个图形____某一点0____________的图形变换叫做旋转，点O叫做________，转动的角叫做________．注：①图形的旋转是由________和________决定的；②________在旋转过程中是不动的；③旋转不改变图形的______________。

⑵特征：①________到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的________等于________；③旋转前、后的图形________．二、旋转作图的基本步骤⑴根据题意，确定________及________、________；⑵找出图形的关键点（如________）；⑶连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到这些关键点的对应点；⑷依次连接这些关键点的对应点，得到旋转后的图形．三、中心对称及中心对称图形⑴中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转________，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．注：①关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过________，而且被________所平分；②关于中心对称的两个图形是全等图形。

⑵中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

注1：常见的中心对称图形有：①线段；②相交直线；③平行四边形；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦正六边形；⑧圆。

以上图形除平行四边形外，其余图形也是轴对称图形．注2：中心对称与中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别，又有联系。

区别：(1)中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指一个具有某种性质的图形；(2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。

人教版九年级上册数学第23章旋转综合复习(含答案)

人教版九年级数学第23章旋转综合复习一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，如果甲、乙两图关于点O对称，那么乙图中不符合题意的一块是()2. 如图所示的图案中，是中心对称图形的是()3. 把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为()A．30°B．90°C．120°D．180°4. 如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1，2)，B(3，3)．作菱形OABC关于y轴的对称图形菱形OA′B′C′，再作菱形OA′B′C′关于点O的中心对称图形菱形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是()图25－K－1A．(2，－1) B．(1，－2)C．(－2，1) D．(－2，－1)5. 2018·绵阳在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A(3，4)逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为()A．(4，－3) B．(－4，3)C．(－3，4) D．(－3，－4)6. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AO B＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是()A．(－1，2＋3) B．(－3，3)C．(－3，2＋3) D．(－3，3)7. 如图，将△ABC以点O为旋转中心旋转180°后得到△A′B′C′.ED是△ABC的中位线，经旋转后变为线段E′D′.已知BC＝4，则线段E′D′的长度为()A．2 B．3 C．4 D．1.58. 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为()A．90°－αB．αC．180°－αD．2α9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C ，M 是BC 的中点，P 是A′B′的中点，连接PM.若BC ＝2，∠A ＝30°，则线段PM 的最大值是( )A ．4B ．3C ．2D ．110. 2020·河北模拟如图所示，A 1(1，3)，A 2(32，32)，A 3(2，3)，A 4(3，0)．作折线OA 1A 2A 3A 4关于点A 4中心对称的图形，得折线A 8A 7A 6A 5A 4，再作折线A 8A 7A 6A 5A 4关于点A 8中心对称的图形……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P 从原点O 出发，沿着折线以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t 秒．当t ＝2020时，点P 的坐标为( )A ．(1010，3)B ．(2020，32)C ．(2016，0)D ．(1010，32)二、填空题（本大题共7道小题）11. 在平面直角坐标系中，将点A (4，2)绕原点按逆时针方向旋转90°后，其对应点A ′的坐标为________．12. 如图，在正方形网格中，格点△ABC 绕某点顺时针旋转角α(0＜α＜180°)得到格点△A 1B 1C 1，点A 与点A 1，点B 与点B 1，点C 与点C 1是对应点，则α＝________°.13. 如图所示，△ABC的顶点都在网格线的交点(格点)上，如果将△ABC绕点C 逆时针旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是________．14. 如图，△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2 2.将△BDE绕点B逆时针旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，CE′＝________．15. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．16. 如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB＝3，AC＝2，且α＋β＝∠B，则EF＝________.17. 如图，在平面直角坐标系中，对点P(1，0)作如下变换：先向上平移(后一次平移比前一次多1个单位长度)，再作关于原点的对称点，即向上平移1个单位长度得到点P1，作点P1关于原点的对称点P2，向上平移2个单位长度得到点P3，作点P3关于原点的对称点P4……那么点P2020的坐标为____________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 如图，△ABO与△CDO关于点O中心对称，点E，F在线段AC上，且AF ＝CE.求证：DF＝BE.19. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与点A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE 交BC于点F，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．20. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是BC边上的点，将△ABD 绕点A逆时针旋转得到△ACD′.(1)求∠DAD′的度数；(2)当∠DAE＝45°时，求证：DE＝D′E.21. 请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：(1)探究1：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.求证：△BCD的面积为1 2a 2.(提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE)(2)探究2：如图②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB 绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由．(3)探究3：如图③，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．人教版九年级数学第23章旋转综合复习-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C[解析]2. 【答案】D3. 【答案】C4. 【答案】A[解析] ∵点C的坐标为(2，1)，∴点C′的坐标为(－2，1)，∴点C″的坐标为(2，－1)．故选A.5. 【答案】B[解析] 如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为(－4，3)．6. 【答案】B7. 【答案】A[解析] ∵ED 是△ABC 的中位线，BC ＝4，∴ED ＝2.又∵△A ′B ′C ′和△ABC 关于点O 中心对称，∴E ′D ′＝ED ＝2.8. 【答案】C[解析] 由题意可得∠CBD ＝α，∠C ＝∠EDB.∵∠EDB ＋∠ADB ＝180°， ∴∠C ＋∠ADB ＝180°.由四边形的内角和定理，得∠CAD ＋∠CBD ＝180°. ∴∠CAD ＝180°－∠CBD ＝180°－α.故选 C.9. 【答案】B[解析] 连接PC.在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，BC ＝2， ∴AB ＝4.根据旋转的性质可知，∠A′CB′＝90°，A′B′＝AB ＝4. ∵P 是A′B′的中点，∴PC ＝12A′B′＝2. ∵M 是BC 的中点，∴CM ＝12BC ＝1. 又∵PM≤PC ＋CM ，即PM≤3，∴PM 的最大值为3(此时点P ，C ，M 共线)．故选B.10. 【答案】A二、填空题（本大题共7道小题） 11. 【答案】(－2，4)12. 【答案】90 [解析] 连接AA 1，CC 1，分别作AA 1和CC 1的垂直平分线，两直线相交于点D ，则点D 即为旋转中心，连接AD ，A 1D ，则∠ADA 1＝α＝90°.13. 【答案】(1，0)14. 【答案】2＋6 [解析] 如图，连接CE′，∵△ABC ，△BDE 都是等腰直角三角形，BA ＝BC ，BD ＝BE ，AC ＝4，DE ＝2 2，∴AB ＝BC ＝2 2，BD ＝BE ＝2.∵将△BDE 绕点B 逆时针旋转后得△BD′E′， ∴D′B ＝BE′＝BD ＝2，∠D′BE′＝90°， ∠D′BD ＝∠ABE′， ∴∠ABD′＝∠CBE′， ∴△ABD′≌△CBE′(SAS)， ∴∠D′＝∠CE′B ＝45°. 过点B 作BH ⊥CE′于点H ，在Rt △BHE′中，BH ＝E′H ＝22BE′＝2，在Rt △BCH 中，CH ＝BC 2－BH 2＝6， ∴CE′＝2＋ 6.故答案为2＋ 6.15. 【答案】18[解析] 如图．∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴∠B ＋∠ADC ＝180°.又∵AB ＝AD ，∴将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后点B 与点D 重合，点C 的对应点E 落在CD 的延长线上，∴AE ＝AC ＝6，∠CAE ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACE ＝12AC·AE ＝12×6×6＝18.16. 【答案】13 [解析] ∵α＋β＝∠B ，∴∠EAF ＝∠BAC ＋∠B ＝90°，∴△AEF是直角三角形，且AE ＝AB ＝3，AF ＝AC ＝2，∴EF ＝AE 2＋AF 2＝13.17. 【答案】(1，－505)[解析] 根据题意可列出下面的表格：观察表格可知：这些点平均分布在四个象限中，序号除以4余1的点在第一象限，横坐标都是1，纵坐标为序号减1除以4的商加1；序号除以4余2的点是序号除以4余1的点关于原点的对称点；序号能被4整除的点在第四象限，横坐标为1，纵坐标为序号除以4的商的相反数；序号除以4余3的点在第二象限，是序号能被4整除的点关于原点的对称点．因为2020÷4＝505，所以点P 2020在第四象限，坐标为(1，－505)．三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】证明：∵△ABO 与△CDO 关于点O 中心对称， ∴BO ＝DO ，AO ＝CO.∵AF ＝CE ，∴AO －AF ＝CO －CE ，即FO ＝EO.在△FOD 和△EOB 中，⎩⎨⎧FO ＝EO ，∠FOD ＝∠EOB ，DO ＝BO ，∴△FOD ≌△EOB(SAS)，∴DF ＝BE.19. 【答案】解：(1)证明：由题意可知，CD ＝CE ，∠DCE ＝90°. ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ，即∠ACD ＝∠BCE.在△ACD 与△BCE 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)．(2)∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°. ∵△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE ，∠CBE ＝∠A ＝45°. ∵AD ＝BF ，∴BE ＝BF ， ∴∠BEF ＝12×(180°－45°)＝67.5°.20. 【答案】解：(1)∵将△ABD 绕点A 逆时针旋转，得到△ACD′， ∴∠DAD′＝∠BAC.∵∠BAC ＝90°，∴∠DAD′＝90°.(2)证明：∵△ABD 绕点A 逆时针旋转得到△ACD′， ∴AD ＝AD′，∠DAD′＝∠BAC ＝90°. ∵∠DAE ＝45°，∴∠D′AE ＝∠DAD′－∠DAE ＝90°－45°＝45°， ∴∠D′AE ＝∠DAE.在△AED 与△AED′中，⎩⎨⎧AE ＝AE ，∠DAE ＝∠D′AE ，AD ＝AD′，∴△AED ≌△AED′(SAS)， ∴DE ＝D′E.21. 【答案】解：(1)证明：如图①，过点D 作DE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，∴∠BED ＝∠ACB ＝90°.由旋转知，AB ＝BD ，∠ABD ＝90°，∴∠ABC ＋∠DBE ＝90°.又∵∠A ＋∠ABC ＝90°，∴∠A ＝∠DBE .在△ABC 和△BDE 中，⎩⎨⎧∠ACB ＝∠BED ，∠A ＝∠DBE ，AB ＝BD ，∴△ABC ≌△BDE (AAS)，∴BC ＝DE ＝a .∵S △BCD ＝12BC ·DE ，∴S △BCD ＝12a 2.(2)△BCD 的面积为12a 2.理由：如图②，过点D 作CB 的垂线，与CB 的延长线交于点E ，∴∠BED ＝∠ACB ＝90°.∵线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，∴AB ＝BD ，∠ABD ＝90°，∴∠ABC ＋∠DBE ＝90°.又∵∠A ＋∠ABC ＝90°.∴∠A ＝∠DBE .在△ABC 和△BDE 中，⎩⎨⎧∠ACB ＝∠BED ，∠A ＝∠DBE ，AB ＝BD ，∴△ABC ≌△BDE (AAS)，∴BC ＝DE ＝a .∵S △BCD ＝12BC ·DE ，∴S △BCD ＝12a 2.(3)如图③，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，过点D 作DE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，∴∠AFB ＝∠E ＝90°，BF ＝12BC ＝12a ，∴∠F AB ＋∠ABF ＝90°.∵线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，∴∠ABD ＝90°，AB ＝BD ，∴∠ABF ＋∠DBE ＝90°，∴∠F AB ＝∠DBE .在△AFB 和△BED 中，⎩⎨⎧∠AFB ＝∠BED ＝90°，∠F AB ＝∠DBE ，AB ＝BD ，∴△AFB ≌△BED (AAS)，∴BF ＝DE ＝12a ，∴S △BCD ＝12BC ·DE ＝12·a ·12a ＝14a 2.。

《第二十三章_旋转_章末复习》名师教案

第23章章末复习（曹瑶）一、本章思维导图二、典型例题讲解例1、随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【知识点】中心对称图形；轴对称图形质【解题过程】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形；定义性质定义性质1、平面内、一个图形定义2、绕旋转中心、某个方向3、转动一定角度（旋转角）性质1、图形的形状、大小不变2、对应线段、对应角相等3、对应点到旋转中心距离相等4、对应点与旋转中心连线夹角相等性质3、转动180°1、图形的形状、大小不变2、对应线段、对应角相等3、对应线段平行（或者在同一直线上）且相等4、对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分中心对称定义1、平面内、一个图形2、绕旋转中心图案设计成中心对称中心对称图形关于原点对称的点的坐标旋转平移轴对称B 、是轴对称图形，不是中心对称图形；C 、是轴对称图形，也是中心对称图形；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选C ．【思路点拨】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【答案】C例2、如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB =23，∠C =120°，则点B′的坐标为（）C'B'A'ACBOx yA.(3,3)B. (3,3)-C. (6,6)D. (6,6)-【知识点】坐标与图形的旋转变化，菱形的性质，垂直的定义，旋转的性质【数学思想】数形结合【解题过程】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB 的度数，又由将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA 的度数，然后在Rt △B′OF 中，利用三角函数即可求得OF 与B′F 的长，则可得点B′的坐标：过点B 作BE ⊥OA 于E ，过点B′作B′F ⊥OA 于F ，∴∠BEO =B′FO =90°. ∵四边形OABC 是菱形，∴OA ∥BC ，∠AOB =12∠AOC .∵∠AOC +∠C =180°，∠C =120°，∴∠AOC =60°，∠AOB =30°. ∵菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置， ∴∠BOB′=75°，O B′=OB=.∴∠B′OF =45°. 在等腰Rt △B ′OF 中，OF =OB ′÷2=×2=∴B′F=∵点B′在第四象限，∴点B′的坐标为：.故选D.【思路点拨】利用旋转的性质，找到特殊的直角三角形即可解题. 【答案】D例3、在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =AB =4， D 、E 分别是AB 、AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于，线段CE 1的长等于；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1= CE 1，且BD 1⊥CE 1．E 1BCE D （D 1）APE 1BCEDD 1A图1 图2【知识点】旋转变换【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）∵∠A =90°，AC =AB =4，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，∴AE =AD =2，∵等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°）， ∴当α=90°时，AE 1=2，∠E 1AE =90°，1BD ==∴1E C ==故答案为25，25；（2）证明：当α=135°时，如图2，∵Rt△AD1E1是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，在△D1AB和△E1AC中∵1111AD AED ABE ACAB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△D1AB≌△E1AC（SAS），∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，记直线BD1与AC交于点F，∴∠BF A=∠CFP，∴∠CPF=∠F AB=90°，∴BD1⊥CE1 .【思路点拨】（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；（2）根据旋转的性质得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，进而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案.【答案】详见解题过程第23章章末检测题（曹瑶）一、选择题（每小题4分，共48分）1、下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【知识点】轴对称图形与中心对称图形的概念【解题过程】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选C．【思路点拨】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.【答案】C2、将叶片图案旋转180°后，得到的图形是()【知识点】图案旋转【解题过程】A是叶片图案经过翻转、旋转得到；B与叶片图案成轴对称；C是叶片图案经过平移得到；D是叶片图案旋转180°后得到.所以应选D.【思路点拨】以旋转图形的定义为依据进行判断，观察图形可知【答案】D.3、如图，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC'等于（）A.60°B.105°C.120°D.135°【知识点】旋转角【数学思想】数形结合【解题过程】∵△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，∴∠CAC′=60°，又∵等腰直角△ABC中，∠B=90°，∴∠BAC=45°，∴∠BAC′=∠BAC+∠CAC′=45°+60°=105°．故答案为105°【思路点拨】抓准旋转的性质，旋转角相等即可解题.【答案】B.4、在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OB，则点B 的坐标是()A.(-4，3)B.(-3，4)C.(3，-4)D.(4，-3)【知识点】坐标系中点的旋转【数学思想】数形结合【解题过程】解：如图：∴点B的坐标为（-4，3）．故选A．【思路点拨】画出坐标系，利用全等三角形解题.【答案】A.5、如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB'的长为（）A．4 B．2 C．1 D．3【知识点】中心对称【数学思想】数形结合【解题过程】∵此图是中心对称图形，A为对称中心，∴△BAC≌△B′AC′，∴∠B=∠B′，∠C=∠C′，AC=AC′，AB=AB'，∵∠C =90°，∠B =30°，AC =1， ∴AB′=2AC′=2，∴BB'=2AB'=4．故选A ．【思路点拨】利用中心对称图形关于A 为对称中心，得出两图形全等，即可解决. 【答案】A .6、如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF 、MN 相交于中心点O ，对△ABC 分别作下列变换： ①先以点A 为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；②先以点O 为中心作中心对称图形，再以点A 的对应点为中心逆时针方向旋转90°； ③先以直线MN 为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A 的对应点为中心顺时针方向旋转90°.其中，能将△ABC 变换成△PQR 的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【知识点】平移、旋转、轴对称【数学思想】数形结合【解题过程】根据题意分析可得：①②③都可以使△ABC 变换成△PQR ．故选D ．【思路点拨】利用平移、旋转、轴对称的定义. 【答案】D7、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB'C'D'，图中阴影部分的面积为( ) A.21B.33C. 33-1D.43-1【知识点】旋转的性质【数学思想】数形结合【解题过程】如图，设B′C′与CD 的交点为E ，连接AE ，在Rt △AB′E 和Rt △ADE 中， AE =AE ，AB′=AD ，∴Rt △AB′E ≌Rt △ADE （HL ）， ∴∠DAE =∠B′AE ， ∵旋转角为30°， ∴∠DAB′=60°， ∴∠DAE =0.5×60°=30°， ∴DE =33∴阴影部分的面积=1—33 故选C ．【思路点拨】找准旋转角，利用30°的直角三角形解题. 【答案】C8、如图，直线434+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺针旋转90°后得到△AOB′，则点B′的坐标是（）A.（3，4）B.（4，5）C.（7，4）D.（7，3）【知识点】坐标系中点的旋转【数学思想】数形结合【解题过程】直线434+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于A （3，0），B （0，4）两点．旋转前后三角形全等．由图易知点B′的纵坐标为OA 长，即为3， ∴横坐标为OA +OB =OA +O′B′=3+4=7．故选D ．【思路点拨】找对应线段，利用三角形全等. 【答案】D9、将含有30°角的直角三角板OAB 如图放置在平面直角坐标中，OB 在x 轴上，若OA =2，将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，则点A 的对应点A′的坐标为（）A.3(，)1B.1(，)3-C.2(，)2-D.2(-，)2 【知识点】坐标与图形变化-旋转．【数学思想】数形结合【解题过程】解：如图，∵三角板绕原点O 顺时针旋转75°， ∴旋转后OA 与y 轴夹角为45°， ∵OA =2， ∴OA′=2，∴点A′的横坐标为2222=⨯，纵坐标为2222-=⨯-，所以A′点的坐标为)2,2(-，故选C. 【思路点拨】利用旋转性质得出OA′线段长度和各夹角大小，然后求出A′的坐标. 【答案】C.10、已知坐标平面上的机器人接受指令“[a ，A ]”(a ≥0，0°<A <180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向面对方向沿直线行走a . 若机器人的位置在原点，面对方向为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为( )A. (-1，-3)B. (-1，3)C.(3，-1)D.(-3，-1)【知识点】图形旋转【数学思想】数形结合【解题过程】由已知得到：OA=2，∠COA=60°，过A作AB⊥x轴于B，∴∠BOA=90°-60°=30°，∴AB=1，由勾股定理得：OB=3，∴A的坐标是（-3，-1）．故选C．【思路点拨】旋转过程中对应线段相等【答案】D.11、如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（）．A.），132014(+-B.），132014(--C.），132014(-D.），132014(+【知识点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移.【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵△ABC 是等边三角形AB =3﹣1=2，∴点C 到x 轴的距离为1+2×23=3+1，横坐标为2，∴A （2，3+1），第2016次变换后的三角形在x 轴上方，点A 的纵坐标为3+1，横坐标为2-2016×1=-2014，所以，点A 的对应点A′的坐标是(-2014，3+1)故答案为：A (-2014，3+1)．【思路点拨】据轴对称判断出点A 变换后在x 轴上方，然后求出点A 纵坐标，再根据平移的距离求出点A 变换后的横坐标，最后写出即可.【答案】A .12、如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．有直角∠MPN ，使直角顶点P 与点O 重合，直角边PM 、PN 分别与OA 、OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM 、PN 分别交AB 、BC 于E 、F 两点，连接EF 交OB 于点G ，则下列结论中正确的个数是（）．（1）EF =2OE ；（2）S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD =1：4；（3）BE +BF =2OA ；（4）在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE =43．A.1个B.2个C.3个D.4个【知识点】四边形的旋转【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴OB=OC ，∠OBE =∠OCF =45°，∠BOC =90°，∴∠BOF +∠COF =90°，∵∠EOF =90°，∴∠BOF +∠COE =90°，∴∠BOE =∠COF ，在△BOE 和△COF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠OCF OBE OCOB COF BOE ， ∴△BOE ≌△COF （ASA ），∴OE =OF ，BE =CF ，∴EF =2OE ；故正确；（2）∵S 四边形OEBF =S △BOE +S △BOF =S △BOF +S △COF =S △BOC =41S 正方形ABCD ， ∴S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD =1：4；故正确；（3）∴BE +BF =BF +CF =BC =2OA ；故正确；（4）过点O 作OH ⊥BC ， ∵BC =1，∴OH =21BC =21，设AE =x ，则BE =CF =1﹣x ，BF =x ，∴S △BEF +S △COF =21BE •BF +21CF •OH =21x （1﹣x ）+21（1﹣x ）×21 =﹣21（x ﹣41）2+329， ∵a =﹣21＜0， ∴当x =41时，S △BEF +S △COF 最大；即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE =41；故错误. 【思路点拨】（1）由四边形ABCD 是正方形，直角∠MPN ，易证得△BOE ≌△COF （ASA ），则可证得结论；（2）由（1）易证得S 四边形OEBF =S △BOC =41S 正方形ABCD ，则可证得结论；（3）由BE =CF ，可得BE +BF =BC ，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE +BF =2OA ；（4）首先设AE =x ，则BE =CF =1﹣x ，BF =x ，继而表示出△BEF 与△COF 的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案.【答案】C二、填空题（每小题4分，共24分）13、下面图形：①四边形，②等边三角形，③正方形，④等腰梯形，⑤平行四边形，⑥圆，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有．（填序号）【知识点】轴对称、中心对称【解题过程】①是轴对称图形，也是中心对称图形；②是轴对称图形，不是中心对称图形；③不是轴对称图形，是中心对称图形；④是轴对称图形，不是中心对称图形；⑤不是轴对称图形，是中心对称图形；⑥是轴对称图形，也是中心对称图形．故选答案为：①⑥．【思路点拨】把握住轴对称和中心对称的定义即可.【答案】①⑥14、小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距公里.【知识点】中心对称图形的性质【解题过程】解：∵小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，∴小明、小辉两家到学校距离相等，∵小明家距学校2公里，∴他们两家相距：4公里．故答案为4.【思路点拨】根据中心对称图形的性质，得出小明、小辉两家到学校距离相等，即可得出答案.【答案】4.15、将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD =110°，则∠BOC =_____. D C B A O【知识点】旋转角【数学思想】数形结合【解题过程】由题意可得∠AOB +∠COD =180°，又∠AOB +∠COD =∠AOC +2∠COB +∠BOD =∠AOD +∠COB ，∵∠AOD =110°，∴∠COB =70°．故答案为70°．【思路点拨】旋转角相等【答案】70°16、如图，在正方形ABCD 内作∠EAF =45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，过点A 作AH ⊥EF ，垂足为H ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，若BE =2，DF =3，则AH 的长为．【知识点】旋转的性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：由旋转的性质可知：AF=AG ，∠DAF =∠BAG ．∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD =90°．又∵∠EAF =45°，∴∠BAE+∠DAF =45°．∴∠BAG +∠BAE =45°．∴∠GAE =∠F AE ．在△GAE 和△F AE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE GAE AF AG∴△GAE ≌△F AE ．∵AB ⊥GE ，AH ⊥EF ，∴AB=AH ，GE=EF =5．设正方形的边长为x ，则EC=x-2，FC=x-3．在Rt △EFC 中，由勾股定理得：EF 2=FC 2+EC 2，即（x -2）2+（x -3）2=25．解得：x =6．∴AB =6．∴AH =6．故答案为：6．【思路点拨】由旋转的性质可知：AF =AG ，∠DAF =∠BAG ，接下来再证明∠GAE =∠F AE ，由全等三角形的性质可知：AB=AH ，GE=EF =5．设正方形的边长为x ，接下来，在Rt △EFC 中，依据勾股定理列方程求解即可．【答案】6.17、如图，等边△ABC 绕点B 逆时针旋转30°时，点C 转到C′的位置，且BC′与AC 交于点D ，则CDD C '的值为．【知识点】旋转的性质，等边三角形的性质【数学思想】数形结合【解题过程】设等边△ABC 的边长是a ，则BD ＝23BC 3， C′D ＝331a a ⎛= ⎝⎭，CD = 12a .∴31'2312a C D CD a ⎛ ⎝⎭==【思路点拨】等边△ABC 绕点B 逆时针旋转30°时，则△BCD 是直角三角形，即可求解.【答案】23.18、如图，边长为1的正方形ABCD 中绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为．【知识点】旋转的性质；正方形的性质．【数学思想】数形结合【解题过程】如图，连接AO ，根据旋转的性质，得∠BAB′=30°，则∠DAB′=60°．在Rt △ADO 和Rt △AB′O 中，AD=AB′，AO=AO ，∴Rt △ADO ≌Rt △AB′O ．∴∠OAD =∠OAB′=30°．又∵AD =1，∴OD =AD •tan ∠OAD =33 ∴阴影部分的面积33133212=⨯⨯⨯=，故答案为33 【思路点拨】此题只需把公共部分分割成两个三角形，根据旋转的旋转发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再进一步计算其面积．【答案】33 三、解答题（共78分）19、（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）（﹣2，1），先将△ABC 沿一确定方向平移得到△A 1B 1C 1，点B 的对应点B 1的坐标是（1，2），再将△A 1B 1C 1绕原点O 顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 2，点A 1的对应点为点A 2．（1）画出△A 1B 1C 1；（2）画出△A 2B 2C 2；（3）求出在这两次变换过程中，点A 经过点A 1到达A 2的路径总长．【知识点】作图-旋转变换；作图-平移变换【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作；（3）OA =244422=+.点A 经过点A 1到达A 2的路径总长=18024901522••++π=π2226+．【思路点拨】（1）由B 点坐标和B 1的坐标得到△ABC 向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到△A 1B 1C 1，则根据点平移的规律写出A 1和C 1的坐标，然后描点即可得到△A 1B 1C 1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1的对应点为点A2，点B1的对应点为点B2，点C1的对应点为点C2，从而得到△A2B2C2；（3）先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以OA1为半径，圆心角为90°的弧长，然后把它们相加即可得到这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长.【答案】（1）见上图（2）见上图（3）π226+220、（8分）四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得△ABE,如图所示，如果AF=4，AB=7.（1）指出旋转中心和旋转角度；（2）求DE的长度.【知识点】旋转的性质【数学思想】数形结合【解题过程】（1）根据正方形的性质可知：△AFD≌△AEB，即AE=AF=4，∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA；可得旋转中心为点A；（2）DE=AD-AE=7-4=3.【思路点拨】利用旋转的性质找到旋转角和对应线段即可.【答案】（1）点A；旋转角度为90°或270°（2）321、（8分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1．（1）线段A1C1的长度是，∠CBA1的度数是．（2）连接CC1，求证：四边形CBA1C1是平行四边形．【知识点】旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定【解题过程】解：（1）10；135°.（2）证明：∵∠A 1C 1B =∠C 1BC =90°，∴A 1C 1∥BC ．又∵A 1C 1=AC =BC ，∴四边形CBA 1C 1是平行四边形.【思路点拨】（1）由于将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1BC 1，根据旋转的性质可以得到A 1C 1=AC =10，∠CBC 1=90°，而△ABC 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出∠CBA 1=∠CBC 1＋∠A 1BC 1=90°＋45°=135°.（2）由∠A 1C 1B =∠C 1BC =90°可以得到A 1C 1∥BC ，又A 1C 1=AC =BC ，利用评选四边形的判定即可证明.【答案】（1）10；135° （2）略22、（10分）两个长为2cm ，宽为1cm 的长方形，摆放在直线l 上（如图①），CE =2cm ，将长方形ABCD 绕着点C 顺时针旋转α角，将长方形EFGH 绕着点E 逆时针旋转相同的角度．（1）当旋转到顶点D 、H 重合时，连接AE 、CG ，求证：△AED ≌△GCD （如图②）．（2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND 为正方形．【知识点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质与判定；正方形的判定【数学思想】数形结合【解题过程】证明：（1）如图②，∵由题意知，AD=GD ，ED=CD ，∠ADC=∠GDE=90°，∴∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE ，即∠ADE=∠GDC ，在△AED 与△GCD 中，AD GD ADE GDC ED CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△GCD （SAS ）；（2）如图③，∵α=45°，BC∥EH，∴∠NCE=∠NEC=45°，CN=NE，∴∠CNE=90°，∴∠DNH=90°，∵∠D=∠H=90°，∴四边形MHND是矩形，∵CN=NE，∴DN=NH，∴矩形MHND是正方形．【思路点拨】（1）根旋转的性质得AD=GD，CD=ED，由于∠CDE=∠EDC,则可根据全等三角形的判定方法SAS得到△AED≌△GCD（SAS）；（2）由于α=45°，结合旋转的性质，∠CNE=90°，再根据矩形的性质∠GHN=∠AND=90°，可以判定四边形MHND是矩形，最后根据DN=NH，所以可判断矩形MHND是正方形.【答案】见解题过程23、（10分）如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF．（1）求证：BE=CD；（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质.【数学思想】数形结合【解题过程】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，∴AB =AC ， ∴∠BAE =∠CAD ，在△ACD 和△ABE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AE CAD BAE AC AB ， ∴△ACD ≌△ABE （SAS ）， ∴BE =CD ；（2）∵AD ⊥BC ， ∴BD =CD ，∴BE =BD =CD ，∠BAD =∠CAD ， ∴∠BAE =∠BAD ，在△ABD 和△ABE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AE BAD BAE AB AB ， ∴△ABD ≌△ABE （SAS ）， ∴∠EBF =∠DBF ， ∵EF ∥BC ， ∴∠DBF =∠EFB ， ∴∠EBF =∠EFB ， ∴EB =EF ， ∴BD =BE =EF =FD ， ∴四边形BDFE 为菱形【思路点拨】（1）根据旋转可得∠BAE =∠CAD ，从而SAS 证明△ACD ≌△ABE ，得出答案BE =CD ；（2）由AD ⊥BC ，SAS 可得△ACD ≌△ABE ≌△ABD ，得出BE =BD =CD ，∠EBF =∠DBF ，再由EF ∥BC ，∠DBF =∠EFB ，从而得出∠EBF =∠EFB ，则EB =EF ，证明得出四边形BDFE 为菱形【答案】详见解题过程24、（12分）数学问题：计算m 1+21m +31m +...+n m1（其中m 、n 都是正整数，且m ≥2，n ≥1）．探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算21+221+321+...+n 21．第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为21；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为21+221；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…； …第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为21+221+321+...+n 21，最后空白部分的面积是n 21．根据第n 次分割图可得等式：21+221+321+...+n 21．=1﹣n 21．探究二：计算31+231+331+...+n 31．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为32；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为32+232；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…； …第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为32+232+332+...+n 32，最后空白部分的面积是n 31．根据第n 次分割图可得等式：32+232+332+...+n 32=1﹣n 31，两边同除以2，得31+231+331+...+n 31=21-n321⨯．探究三：计算n 41...41414132++++．（仿照上述方法，只画出第n 次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）解决问题：计算m 1+21m +31m +...+n m1．（只需画出第n 次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）根据第n 次分割图可得等式：，所以，m 1+21m +31m +...+n m1= ．拓广应用：计算n n 51-5...51-551-551-53322++++．【知识点】作图—应用与设计作图；规律型：图形的变化类【数学思想】数形结合【解题过程】解：探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为43；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为24343+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， …，第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和为：n 43...43434332++++，最后的空白部分的面积是n 41，根据第n 次分割图可得等式：n n 41-143...43434332=++++，两边同除以3，得nn 431-3141...41414132⨯=++++；解决问题：n n mm m m m m m m m 1-11-...1-1-1-32=++++，m 1+21m +31m +...+n m 1=nm m m ⨯---）（1111；故答案为：n n 41-143...43434332=++++，nmm m ⨯---）（1111.拓广应用：n n 51-5...51-551-551-53322++++ =1﹣51+1﹣251+1﹣351+…+1﹣n 51，=n ﹣（51+251+351+…+n 51），=n ﹣（41﹣n 541⨯），=nn 54141⨯+-．【思路点拨】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；解决问题：按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以（m ﹣1）即可得解；拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解.【答案】n n 41-143...43434332=++++，nm m m ⨯---）（1111，n n 51-5...51-551-551-53322++++=n n 54141⨯+-25、（12分）在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD 的邻边长分别为1，a （a ＞1）的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a 的值. 【知识点】作图—应用与设计作图【数学思想】数形结合【解题过程】解：①如图，a =4，②如图，a =25，③如图，a =34，④如图，a =35，【思路点拨】平行四边形ABCD 的邻边长分别为1，a （a ＞1），剪三次后余下的四边形是菱形的4种情况画出示意图. 【答案】a =4、a =25、a =34、a =35. 26、（12分）已知：点P 是平行四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ，点O 为AC 的中点．（1）当点P 与点O 重合时如图1，易证OE =OF （不需证明）（2）直线BP 绕点B 逆时针方向旋转，当∠OFE =30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF 、AE 、OE 之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．【知识点】四边形中的旋转【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）∵AE ⊥PB ，CF ⊥BP ， ∴∠AEO =∠CFO =90°，在△AEO 和△CFO 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠COF AOE OCAO CFOAEO ， ∴△AOE ≌△COF ， ∴OE =OF ．（2）图2中的结论为：CF =OE +AE ．图3中的结论为：CF =OE ﹣AE ．选图2中的结论证明如下：延长EO 交CF 于点G ， ∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ， ∴AE ∥CF ， ∴∠EAO =∠GCO ，在△EOA 和△GOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠COG AOE OCAO GCO EAO ， ∴△EOA ≌△GOC ， ∴EO =GO ，AE =CG ，在RT △EFG 中，∵EO =OG ， ∴OE =OF =GO ， ∵∠OFE =30°，∴∠OFG =90°﹣30°=60°， ∴△OFG 是等边三角形， ∴OF =GF ， ∵OE =OF ， ∴OE =FG ， ∵CF =FG +CG ， ∴CF =OE +AE ．选图3的结论证明如下：延长EO 交FC 的延长线于点G ， ∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ， ∴AE ∥CF ， ∴∠AEO =∠G ，在△AOE 和△COG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OC AO GOC AOE G AEO∴△AOE ≌△COG ， ∴OE =OG ，AE =CG ，在RT △EFG 中，∵OE =OG ， ∴OE =OF =OG ， ∵∠OFE =30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．【思路点拨】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG 是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似.【答案】略。

(完整版)第二十三章旋转知识点

第二十三章旋转23.1 图形的旋转1.旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。

2.旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．3.旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．23.2 中心对称图形1.中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．2.中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．3.关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．4.坐标与图形变化--旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（-x，-y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．23.3课题学习图案设计1.利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．2.利用平移设计图案确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．3.作图--旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．4.利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．5.几何变换的类型（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．。

第23章旋转期末试题选编 2021-2022学年河南省各地人教版数学九年级上册(1)

第二十三章旋转一、单选题1．（2022·河南洛阳·九年级期末）如图，一块直角三角板ABC （∠A =60°）绕点C 顺时针旋转到△A ′B ′C ，当B ，C ，A ′在同一条直线上时，三角板ABC 旋转的角度为（）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2．（2022·河南驻马店·九年级期末）如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，旋转角为α（090α︒<<︒），若24α=°，则1∠的度数为（）A ．116︒B ．114︒C ．112︒D ．66︒3．（2022·河南商丘·九年级期末）在平面直角坐标系中，把点()5,4P -向右平移8个单位得到点1P ，再将点1P 绕原点顺时针旋转90︒得到点2P ，则点2P 的坐标是（）A ．()4,3-B ．()4,3C ．()4,3--D ．()4,3-4．（2022·河南驻马店·九年级期末）如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把 CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D ¢的坐标是（）A ．（2，10）B ．（﹣2，0）C ．（2，10）或（﹣2，0）D ．（10，2）或（﹣2，0）5．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2021次得到正方形202120212021OA B C ，那么点2021C 的坐标是（）A ．(1,0)-B ．22,22⎛- ⎝⎭C ．(1,0)D ．2222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭6．（2022·河南许昌·九年级期末）如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标（25，底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B ，点A 的对应点A′在x 轴上，则点O′的坐标为（）A ．（203，103）B ．（163，453）C ．（203，53）D ．（163，37．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，将△ABC 绕点C （0，-1）旋转180°得到A B C ''△，设点A 的坐标为（a ，b ），则点A '的坐标为（）A ．（-a ，-b ）B ．（-a ，-b -1）C ．（-a ，-b +1）D ．（-a ，-b -2）8．（2022·河南商丘·九年级期末）下列图形是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．9．（2022·河南开封·九年级期末）已知点M （a ，b ）在第二象限内，且||1,2a b ==，则该点关于原点对称点的坐标是（）A．（－2，1）B．（－1，2）C．（2，－1）D．（1，－2）10．（2022·河南商丘·九年级期末）下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．二、填空题11．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最小值_____．12．（2022·河南驻马店·九年级期末）如图，△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转40°后得到的图形，点C恰好在边AB上．若∠AOD=100°，则∠D的度数是_______°．13．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，直角 ABC 绕直角顶点C 顺时针方向旋转90°到A B C ''△的位置，AB 的中点D 旋转到D ¢，已知AC ＝12，BC ＝5，则线段D D ¢长为______．14．（2022·河南焦作·九年级期末）如图，90ACB DCE ∠=∠=︒，AC BC ==，2CD CE ==，将△ACB 固定，△CDE 以点C 为旋转中心旋转．当A 、D 、E 三点共线时，则BD 的长为______．15．（2022·河南安阳·九年级期末）已知点A （2，4）与点B （b ﹣1，2a ）关于原点对称，则ab ＝_____．16．（2022·河南商丘·九年级期末）与点(2,4)P -关于原点中心对称的点的坐标为__．17．（2022·河南信阳·九年级期末）已知点(,3)A a 与点()4,B b 关于原点对称，则a b +的值为_________．三、解答题18．（2022·河南三门峡·九年级期末）在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC 沿x 轴方向向左平移6个单位长度，画出平移后得到的△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB 2C 2；（3）直接写出点B 2，C 2的坐标．19．（2022·河南信阳·九年级期末）在Rt ABC 中，90,ABC AB BC ∠=︒=，点E 在射线CB 上运动．连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90︒得到EF ，连接CF ．（1）如图1，点E 在点B 的左侧运动．①当1BE =，3BC =时，则EAB ∠=_________︒；②猜想线段,CA CF 与CE 之间的数量关系为_____________________________．（2）如图2，点E 在线段CB 上运动时，第（1）问中线段,CA CF 与CE 之间的数量关系是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．（3）点E 在射线CB 上运动，3BC =BE x =，以A ，E ，C ，F 为顶点的四边形面积为y ，请直接写出y 与x 之间的函数关系式（不用写出x 的取值范围）．20．（2022·河南许昌·九年级期末）如图1，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A =30°，将Rt △ABC 绕C 点顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到Rt △DCE（1）当α＝15°，则∠ACE ＝°；（2）如图2，过点C 作CM ⊥BF 于M ，作CN ⊥EF 于N ，求证：CF 平分∠BFE ．（3）求Rt △ABC 绕C 点顺时针旋转，当旋转角α（0°＜α＜90°）为多少度时，△CFG 为等腰三角形．21．（2022·河南濮阳·九年级期末）已知AOB 和MON △都是等腰直角三角形，90AOB MON ∠=∠=︒．(1)如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =；(2)将MON △绕点O 顺时针旋转．①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=；②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若2OA =32OM =请直接写出线段AM 的长．22．（2022·河南三门峡·九年级期末）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，将ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后，得到DEC ，点D 刚好落在AB 边上．（1）求n 的值；（2）若F 是DE 的中点，判断四边形ACFD 的形状，并说明理由．23．（2022·河南洛阳·九年级期末）如图，在正方形网格中，将格点△ABC 绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△A 1B 1C 1，点A 与点A 1，点B 与点B 1，点C 与点C 1是对应点．（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O ；（2）直接写出旋转角α的度数．24．（2022·河南开封·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点分别是A （－4，1），B （－1，3），C （－1，1）．(1)将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的11A B C ，点1A 的坐标为___；(2)平移△ABC ，若点A 对应的点2A 的坐标为()4,5--，画出222A B C ∆，点2B 的坐标为___；(3)当11A B C ，绕某一点旋转可以得到（2）中的222A B C ∆，直接写出旋转中心的坐标：___．25．（2022·河南周口·九年级期末）如图， ABC 的三个顶点坐标分别为A (2，4)，B (1，1)，C (4，3)．（1）画出 ABC 绕点B 逆时针旋转90°后的 A 1BC 1，并写出点A 1、C 1的坐标；（2）连接AA 1，则AA 1＝．26．（2022·河南商丘·九年级期末）（1）问题发现如图1，在等边三角形ABC 内部有一点P ，3PA =，4PB =，5PC =，求APB ∠的度数．针对此问题，数学王老师给出了下面的思路：如图2，将APC △绕点A 逆时针旋转60°得到AP B '△，连结PP '，得到等边三角形APP ' ，在BPP ' 中，根据三角形三边关系以及勾股定理……请根据王老师的思路提示，完成本题的解答；（2）类比延伸如图3，在正方形ABCD 内部有一点P ，若135APD ∠=︒，试判断线段PA 、PB 、PD 之间的数量关系，并说明理由．27．（2022·河南焦作·九年级期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABO 的三个顶点分别为()1,3A -，()4,3B -，()0,0O ．（1）画出ABO 关于原点对称的11A B O ，并写出点1B 的坐标；（2）画出ABO 绕O 点顺时针旋转90︒后得到的22A B O V ，并写出点2B 的坐标．28．（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，4），B （1，2），C （5，3）．（1）作出ABC 关于点O 对称的图形111A B C △；（2）以点O 为旋转中心，将ABC 顺时针旋转90°，得到222A B C △，在坐标系中画出222A B C △．29．（2022·河南许昌·九年级期末）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，点A 的坐标是（1，-4）．(1)作出△ABC 关于原点O 对称的△A 1B 1C 1；(2)将△A 1B 1C 1向右平移5个单位长度，得到△A 2B 2C 2，画出△A 2B 2C 2；(3)如果△ABC 可以通过一次旋转得到△A 2B 2C 2，则旋转中心的坐标是．。

人教版数学九年级上册第二十三章旋转(章末总结)(复习课件)

B．
C．
D．
的
07
题型七（设计图案）
14 在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（）
A．平移、旋转和轴对称 B．轴对称和平移
C．平移和旋转
D．旋转和轴对称
15 五一节前，市园林部门准备在文化广场特设直径均为4米的八个圆形花坛，在内放置面
积相同的两种颜色的盆栽草花，要求各个花坛内两种草花的摆设不能相同，如图中的①、
故选：B.
）
04
题型四（中心对称的性质）
7 如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（
A．O1
B．O2
C．O3
D．O4
8．（2020·甘肃张掖市九年级期末）如图，四边形ABCD是
菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成
阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，
形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
1）这个点叫做对称中心。
2）这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
中心对称的性质: 1)中心对称的两个图形，对称点所连线段经过对称中心，而且被对
称中心所平分。
2)中心对称的两个图形是全等形。
基础巩固（平移、轴对称、旋转的区别与联系）
04
平移
相同点
120°
旋转角度是_________.
O
120°
P′
02
基础巩固（旋转的性质）
1）旋转前、后的图形全等。
2）对应点到旋转中心的距离相等。
3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
03
基础巩固（理解中心对称的概念和性质）
中心对称的概念：像这样，把一个图形绕某一个点旋转180º，如果它能够与另一个图

人教初三数学第23章旋转旋转基础知识及专项(word版含解析)

提醒：处理方法需要牢记，另外运算的时候要格外细心，千万不要算错了！
三、点绕点旋转90问题
此种问题通过构造两个直角三角形全等，然后利用对应直角边线段长度相等，从而求出对应点坐标。
示例：将点A(3,4)绕点P(1,1)逆时针旋转90，求点A的对应点A1的坐标。分析：旋转不改变图形线段长度及图形线段
的夹角。因此有PAPA1。由于旋转角为90，即APA190，因此我们可以就斜边PAPA1，以平行于坐标轴的线段构造两个直角三角形。专门明显，这两个直角三角形时
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前、后图形全等。
4、把一个图形绕着某一点旋转180，假如它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于
那个点对称或中心对称，那个点叫做对称中心。这两个图形的对称点叫做关于中心的对称点。
5、（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都通过对称中心，而且被对称中心平分；
上三角形时，同学能够考虑以下利用旋转来解题。
以下通过一些实例来关心同学们明白得如何利用等腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在的三角形转动，从而构造全等三角形进而利用旋转知识解决相关问题。
结论3：对应点与旋转中心所构成的三角形均相似。如图，BAB1∽CAC1。
结论4：旋转前、后图形全等。如图，ABCAB1C1。
示例1：已知A(3,2)、O(0,0)，将线段OA绕点P旋转得到线段O1 A1，其中O1 (1,1)、A1 (3,4)，
O1为点O的对应点，A1为点A的对应点，求点P的坐标。
分析：旋转中心为对应点所连线段垂直平分线的交点，因此只要求出线段AA1和线段OO1的解析式，然后联赶忙可求出点P的坐标。
分析：既然直线l为线段AB的垂直平分线，因此直线l通过线段AB的中点，也即线段AB的

第23章旋转小结与复习课件

所连线段都经过对称中心，并且被对称中心__平___分__．
3. 中心对称图形把一个图形绕某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与本来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
第23章小结与复习
4．关于原点对称的点的坐标
两点关于原点对称时，它们的对应坐标互为相反数，即点 P(x ，y) 关于原点的对称点为 P′(－x ，－y )．
(2) 旋转作图时要明确三个方面：旋转中心、旋转角度及旋转方向 (顺时针或逆时针)．
第23章小结与复习
考点二旋转变换例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CE = BC，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90° 后得 CF，连接 EF．（1）补充完成图形；（2）若 EF∥CD，求证：∠BDC = 90°．
A2
易错提示：旋转作图不要搞错方向.
B2
第23章小结与复习考点三中心对称
例 5．(2021·黄冈中考)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( A ) A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆
第23章小结与复习
例 6．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( C )
第23章小结与复习
解析：(1) 因为旋转角 90°，故用直角三角板及圆规可快速确定
对应点的位置；(2) 先根据关于原点对称的点的坐标确定对称顶点
的坐标，再依次连接得到所要画的图形.
解：(1) 如图所示.
y
A1
B
(2) 如图所示，
点 A2 的坐标为(－3，－2)，

第二十三章旋转单元复习教案

第二十三章旋转单元复习教案教案标题：第二十三章旋转单元复习教案教案目标：1. 复习第二十三章旋转单元的关键概念和重要知识点；2. 强化学生对旋转单元的理解和应用能力；3. 提供多样化的学习活动，培养学生的合作与创造能力；4. 激发学生对数学学习的兴趣和自信心。

教学准备：1. 教材：包含第二十三章旋转单元的教材；2. 学习资源：计算器、白板、标尺、图形工具等；3. 学生资源：学生教材、练习册、作业本等；4. 教学辅助工具：PPT、视频等。

教学过程：引入活动：1. 利用一张PPT或者一段视频引入旋转单元的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 引导学生回顾前几章的知识，如平移、缩放等，与旋转单元进行对比。

知识点复习和讲解：1. 复习旋转单元的基本概念和术语，如旋转中心、旋转角度等。

2. 讲解旋转单元的性质和特点，如旋转对称、旋转不变等。

3. 通过示例和图形展示，讲解旋转单元的计算方法和公式。

练习活动：1. 分组讨论：将学生分成小组，让他们在小组内共同解决一些旋转单元的实际问题，如旋转图形的面积计算、旋转体的体积计算等。

2. 个人练习：发放练习册或者作业本，让学生进行个人练习，巩固旋转单元的计算方法和应用能力。

3. 案例分析：给学生提供一些旋转单元的实际案例，让他们进行分析和解决，培养学生的问题解决能力和创造力。

总结和评价：1. 学生展示：让学生展示他们在练习活动中的解决方法和答案，进行互相评价和讨论。

2. 总结复习：总结本节课的重点知识和方法，澄清学生的疑惑和困惑。

3. 课后作业：布置相关的课后作业，巩固学生对旋转单元的理解和应用能力。

教学扩展：1. 拓展学习：引导学生进一步了解旋转单元在实际生活中的应用，如建筑设计、机械制造等领域。

2. 探究学习：鼓励学生自主探究旋转单元的性质和特点，提出自己的问题和解决方法。

教学反思：1. 教学方法：根据学生的学习特点和需求，选择合适的教学方法，如合作学习、探究学习等。

第23章旋转的复习与小结

DB第二十三章旋转小结与复习【2306】班别：_________ 姓名：_________ 学号：__________一、基础知识回顾： 1．基本概念：（1）旋转：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动，这样的图形运动称为．这个定点称为，转动的角称为；（2）中心对称：把一个图形绕着某一点旋转1800，如果它能够与，那么就说这两个图形关于这个点对称或，，这个点叫做对，这两个图形中的对应点叫做关于中心的．（3）中心对称图形：如果一个图形绕着它的中心点旋转180°后能与，那么这个图形叫做，这个中心点叫做。

2．主要性质：旋转的主要性质：（1）对应点到旋转中心的距离；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于；（3）旋转前、后的图形．中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，且被对称中心。

（2）关于中心对称的两个图形是。

（3）点P （x,y ）关于原点对称的点的坐标是______ . 二、典型例题精讲例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB ，它绕O 点按顺时针方向旋转得到△OEF ，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是__________,旋转角是_________（2）经过旋转，点A 、B 分别移动到__________.例2．如图，△ABC 绕C 点旋转后，顶点A 的对应点为点D ，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形．例3．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=14，△ABF是△ADE的旋转图形．（1）旋转中心是________;（2）旋转了_______°（3）AF的长度是________;（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？______________例4.如图，ABC△中(23)A-，，(31)B-，，(12)C-，．（1）将ABC△向右平移4个单位长度，画出平移后的111A B C△；（2）画出ABC△关于x轴对称的222A B C△；（3）将ABC△绕原点O旋转180，画出旋转后的333A B C△，并写出其三个顶点的坐标。

人教版九年级数学上册第二十三章旋转章末复习课件(共53张)

条件 AB=AD, ∠B+∠D=180°, 可将△ABC绕点A逆时
针旋转, 使 AB和AD重合, 得到△ADE, 这样就可以将
求四边形ABCD的面积转化为求△ACE的面积了.
章末复习
解如图23-Z-6, 将△ABC绕点A逆时针旋转, 使AB和AD重合, 得到
△ADE, 则∠B=∠ADE.
∵∠B+∠ADC=180°, ∴∠ADE+∠ADC=180°, ∴C, D, E三点共线, ∴S四边形
不是
不是
选项
章末复习
相关题1
如图23-Z-2, 其中中心对称图形有( B ).
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
章末复习
专题二利用旋转的性质计算
【要点指点】利用旋转的性质进行计算时, 要抓住旋转的三要素, 找准
旋转前、后相等的量：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点
与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等.
中心对称的性质
设计图案
中心对称
中心对称图形
关于原点对称
的点的坐标
常见的中心对称图形：平行四边
形、圆、正多边形( 边数为偶数)
章末复习
归纳整合
专题一中心对称图形与轴对称图形
【要点指点】中心对称图形是绕着一个点旋转180°后能与本来
的图形重合的图形, 而轴对称图形是沿着一条直线翻折后直线两
旁的部分能够完全重合的图形. 一个图形可以既是轴对称图形又
(3)作出△ABC关于原点O 对称的△A3B3C3.
章末复习
解：(1)(2)(3)如图所示．
章末复习
专题五网格中的图案设计
【要点指点】在网格中设计轴对称图形、中心对称图形等是

第二十三章旋转期末试题选编 2021-2022学年四川省各地人教版数学九年级上册

第二十三章旋转一、单选题1．（2022·四川绵阳·九年级期末）如图，将ABC 绕点B 顺时针旋转角α，得到11A BC ，此时点A ，点B ，点1C 在一条直线上，若122A BC ∠=︒，则旋转角α=（）A ．79°B ．80°C ．78°D ．81°2．（2022·四川自贡·九年级期末）如图，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转110°，得到AB C ''△，若点B '在线段BC 的延长线上，则BB C ''∠的度数为（）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°3．（2022·四川南充·九年级期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转90°得到DEC ，则AED ∠的度数为（）A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°4．（2022·四川泸州·九年级期末）如图，OAB 绕点O 逆时针旋转80到OCD 的位置，已知45AOB ∠=，则AOD ∠等于（）A ．55B ．45C ．40D ．355．（2022·四川德阳·九年级期末）如图，在△ABC 中，∠CAB =70°．在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使得CC ′∠AB ，那么∠BAB ′的度数为（）A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°6．（2022·四川广元·九年级期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．7．（2022·四川广元·九年级期末）在平面直角坐标系中，点(2,3)P -关于原点对称的点Q 的坐标为（）A ．(2,3)-B ．(2,3)C ．(3,2)-D ．(1,3)--8．（2022·四川绵阳·九年级期末）若点(),2A m ，()3,B n 关于原点对称，则m 、n 的值为（）A ．3m =-，2n =B ．3m =，2n =-C ．3m =-，2n =-D ．3m =，2n =9．（2022·四川绵阳·九年级期末）下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．10．（2022·四川成都·九年级期末）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形二、填空题11．（2022·四川凉山·九年级期末）若点A （-m ，n -5）与点B （-1，-2m ）关于原点对称，则-mn =________． 12．（2022·四川自贡·九年级期末）若点(),1A a 与()4,B b -关于原点成中心对称，则b a =______． 13．（2022·四川南充·九年级期末）若点()1,1P a +关于原点的对称点是()3,1Q -，则=a ______． 14．（2022·四川资阳·九年级期末）如图，AOB 中，AO AB =，点A 的坐标为(3,4)，点B 在x 轴上，将AOB 绕点B 按顺时针方向旋转后得A O B ''，点A 的对应点A '在x 轴上，点O '的坐标为________．15．（2022·四川绵阳·九年级期末）如图，将∠ABC 绕点A 顺时针旋转角α（0°＜α＜180°），得到∠AED ，若AC ＝1，CE ，则α的度数为 ___．16．（2022·四川泸州·九年级期末）在平面直角坐标系中，点A （1，－2）关于原点对称的点为B （a ，b ），则a ＝______．17．（2022·四川乐山·九年级期末）如图，△ABC ，△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，将△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，若AD=3，AB=7，则线段MN 的取值范围是______．18．（2022·四川广元·九年级期末）在平面直角坐标系中，点A （1，2）关于原点对称的点为B （a ，b ），则a •b ＝_____．19．（2022·四川德阳·九年级期末）如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A （﹣2，5）的对应点A′的坐标是_________________.三、解答题20．（2022·四川广元·九年级期末）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC =120°，以BC 为边向形外作等边三角形BCD ，把△ABD 绕着点D 按顺时针方向旋转60°后得到△ECD ，且A 、C 、E 三点共线，若AB =3，AC =2，求∠BAD 的度数与AD 的长．21．（2022·四川绵阳·九年级期末）（1）解方程：()22224x x -=-（2）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立直角坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点C 的坐标为()41-,．∠把ABC 向上平移5个单位后得到对应的111A B C △，画出111A B C △，并写出点1B 的坐标；∠以原点O 为对称中心，画出111A B C △关于原点O 对称的222A B C △，并写出2B 的坐标．22．（2022·四川凉山·九年级期末）如图，在∠ABC 中AB =AC ，∠BAC =120°，∠FDE 中∠DFE =60°，将∠FDE 的顶点F 与∠ABC 的顶点A 重合，边FD 从AB 边开始绕点A 逆时针旋转，旋转过程中FD 与直线BC 的交点为N ，FE 与直线BC 的交点为M ．(1)点P 在线段BC 上，连接AP ，如图（1），∠FDE 在旋转过程中，当FD 平分∠BAP 时，求证：FE 平分∠CAP ；(2)∠FDE 在旋转过程中，如图（2），当∠BAN =45°时，探究线段BN ，MN ，MC 之间的数量关系，并用你所学的知识证明你的结论．23．（2022·四川德阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，其中，点A 的坐标为（1，1）．(1)将正方形ABCD 绕点A 顺时针方向旋转90°画出旋转后的图形；(2)若点B 到达点B 1，点C 到达点C 1，点D 到达点D 1，写出点B 1、C 1、D 1的坐标．24．（2022·四川南充·九年级期末）如图，在等腰直角ABC 中，90BAC ∠=︒，点D ，E 在边BC 上，且45DAE =︒∠，将ABD △绕点A 逆时针旋转90°得到ACF △，连接EF ．（1）求证：DE EF =．（2）若AB =4BD =，求CE ．25．（2022·四川广元·九年级期末）如图，ABC ∆在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为()4,4A -，()2,5B -、()2,1C -.（1）平移ABC ∆，使点C 移到点()12,4C --，画出平移后的111A B C ∆，并写出点1A 的坐标.（2）将ABC ∆绕点()0,3旋转180︒，得到222A B C ∆，画出旋转后的222A B C ∆，并写出点2A 的坐标. （3）求（2）中的点C 旋转到点2C 时，点C 经过的路径长（结果保留π）.参考答案：1．A【解析】利用旋转变换的性质求解即可．解：由旋转可知：∠ABC =∠A 1BC 1，∠∠ABA 1=∠CBC 1=12（180°-∠A 1BC ）=79°．故选：A ．本题考查旋转变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．B【解析】根据旋转的性质求出∠BB 1A 和∠AB 1C 1的度数即可解决问题．解：根据旋转的性质可知∠BAB 1=110°，且AB =AB 1，∠B =∠AB 1C 1．∠点B 1在线段BC 的延长线上，∠∠BB 1A =∠B =35°．∠∠AB 1C 1=35°．∠∠BB 1C 1=∠BB 1A +∠AB 1C 1=35°+35°=70°．故选：B本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质．解题的关键是知道旋转后的图形会出现等腰三角形，根据等边对等角求出有关角的度数．3．B【解析】由题意易得30,90A D ACB DCE ∠=∠=︒∠=∠=︒，然后根据三角形外角的性质可求解．解：由旋转的性质可得：30,90A D ACB DCE ∠=∠=︒∠=∠=︒，∠120AED D DCE ∠=∠+∠=︒；故选B ．本题主要考查旋转的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．4．D【解析】本题旋转中心为点O ，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角∠BOD 即为旋转角，利用角的和差关系求解．解：根据旋转的性质可知，D 和B 为对应点，∠DOB 为旋转角，即∠DOB =80°，所以∠AOD =∠DOB -∠AOB =80°-45°=35°．故选：D ．本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．5．C解：∠CC ′∠AB ，∠CAB =70°，∠∠C ′CA =∠CAB =70°，又∠C 、C ′为对应点，点A 为旋转中心，∠AC =AC ′，即△ACC ′为等腰三角形，∠∠BAB ′=∠CAC ′=180°-2∠C ′CA =40°．故选：C ．6．A【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意；B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A ．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7．A【解析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求解．解：点(2,3)P -关于原点对称的点Q 的坐标为(2,3)-．故选：A本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．8．C【解析】直接利用关于原点对称点的性质：横纵坐标互为相反数，得出答案．解：∠点A （m ，2）与点B （3，n ）关于对称，∠m =-3，n =-2．故选：C ．本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．9．C【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选C本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．10．D【解析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；根据定义对各选项进行判断即可．解：A中正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；B中矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；C中菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；D平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；故选D．本题考查了中心对称图形与轴对称图形．解题的关键在于对中心对称图形与轴对称图形定义的正确理解．11．3【解析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，求出m、n代入可得答案．解：点A（-m，n-5）与点B（-1，-2m）关于原点对称，得-m=-（-1）=1，n-5=2m，∠m=-1，n=3．∠-mn=-（-1）×3=3，故答案为：3．本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．12．1 4【解析】由题意知4010a b -=⎧⎨+=⎩，求出,a b 的值，代入求解即可．解：由题意知4010a b -=⎧⎨+=⎩解得41a b =⎧⎨=-⎩∠1144b a -== 故答案为：14．本题考查了关于原点成中心对称的点坐标的特征，负整数指数幂，代数式求值等知识．解题的关键在于求出,a b 的值．13．4-【解析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．解：由(1,1)P a +关于坐标原点的对称点为(3,1)Q -，得，13a +=-，解得：4a =-故答案为：4-．本题考查了关于原点的对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．14．4824,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】分别过点A ，O '作AD x ⊥，O C x '⊥，根据等面积法求得O C '，再根据勾股定理求得BC 即可求解．解：分别过点A ，O '作AD x ⊥，O C x '⊥，如下图：则(3,0)D ，AB A B OA O A ==='''，4=AD∠AO AB =∠点D 为OB 的中点，则(6,0)B由勾股定理得：5OA ==∠(11,0)A '由AOB O A B S S ''=△△可得：1122OB AD A B O C ''⨯=⨯，即645O C '⨯=⨯ 解得245O C '=由勾股定理得：185BC == 485OC OB BC =+= 所以，点O '的坐标为4824(,)55 故答案为4824,55⎛⎫ ⎪⎝⎭此题考查了旋转的性质，勾股定理以及等面积法求解三角形的高，解题的关键是熟练掌握旋转、勾股定理等有关性质．15．90︒【解析】先由旋转的性质得到1AC AE ==，然后结合CE 的长得到ACE ∆为直角三角形，从而求出α的度数．解：由旋转得，1AC AE ==， 2CE =222AC AE CE ∴+=，ACE ∴∆是直角三角形，90CAE ∠=︒，∴旋转角α的度数为90︒．故答案为：90︒．本题考查了旋转的性质和勾股定理，解题的关键是熟知“旋转过程中的对应边相等”．16．－1【解析】利用关于原点对称点的坐标性质得出a 的值即可．∠点A （1，-2）关于原点对称的点为B （-1，2），∠a=-1，故答案为：-1．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标的符号均相反．17．BD，然【解析】根据中位线定理和等腰直角三角形的判定证明△PMN是等腰直角三角形，求出MN=2后根据点D在AB上时，BD最小和点D在BA延长线上时，BD最大进行分析解答即可．∠点P，M分别是CD，DE的中点，CE，PM∠CE，∠PM=12∠点P，N分别是DC，BC的中点，BD，PN∠BD，∠PN=12∠∠ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∠∠BAD=∠CAE，∠∠ABD∠∠ACE（SAS），∠BD=CE，∠PM=PN，∠∠PMN是等腰三角形，∠PM∠CE，∠∠DPM=∠DCE，∠PN∠BD，∠∠PNC=∠DBC，∠∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∠∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∠∠BAC=90°，∠∠ACB+∠ABC=90°，∠∠MPN=90°，∠∠PMN是等腰直角三角形，BD，∠PM=PN=12BD，∠点D在AB上时，BD最小，∠BD=AB-AD=4，MN的最小值点D在BA延长线上时，BD最大，∠BD=AB+AD=10，MN的最大值为∠线段MN的取值范围是．故答案为：．此题考查了旋转的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等，关键是根据全等三角形的判定和等腰直角三角形的判定证明△PMN是等腰三角形．18．2【解析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．∵点A（1，2）关于原点对称的点为B（a，b），∴a＝﹣1，b＝﹣2，∴a•b＝2．故答案为2．此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键. 关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数.19．(5,2)解：∠线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，∠∠ABO∠∠A′B′O′，∠AOA′=90°，∠AO=A′O．作AC∠y轴于C，A′C′∠x轴于C′，∠∠ACO=∠A′C′O=90°．∠∠COC′=90°，∠∠AOA′﹣∠COA′=∠COC′﹣∠COA′，∠∠AOC=∠A′OC′．在∠ACO和∠A′C′O中，∠∠ACO=∠A′C′O，∠AOC=∠A′OC′，AO=A′O，∠∠ACO∠∠A′C′O（AAS），∠AC=A′C′，CO=C′O．∠A（﹣2，5），∠AC=2，CO=5，∠A′C′=2，OC′=5，∠A′（5，2）．故答案为（5，2）．考点：坐标与图形变化-旋转．20．∠BAD =60°，AD 的长为5．【解析】由旋转的性质可得出∠ADE =60°、DA =DE ，进而可得出△ADE 为等边三角形以及∠DAE =60°，由点A 、C 、E 在一条直线上可得出∠BAD =∠BAC -∠DAE =60°；由点A 、C 、E 在一条直线上可得出AE =AC +CE ，根据旋转的性质可得出CE =AB ，结合AB =3、AC =2可得出AE 的长度，再根据等边三角形的性质即可得出AD 的长度．解：∠∠ABD 绕着点D 按顺时针方向旋转60°后得到△ECD ，∠∠ADE =60°，DA =DE ，∠∠ADE 为等边三角形，∠∠DAE =60°．∠点A 、C 、E 在一条直线上，∠∠BAD =∠BAC -∠DAE =120°-60°=60°．∠点A 、C 、E 在一条直线上，∠AE =AC +CE ．∠∠ABD 绕着点D 按顺时针方向旋转60°后得到△ECD ，∠CE =AB ，∠AE =AC +AB =2+3=5．∠∠ADE 为等边三角形，∠AD =AE =5．本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质结合旋转角度为60°找出△ADE 为等边三角形是解题的关键．21．（1）12x =，26x =；（2）∠作图见解析，()15,1B ；∠作图见解析，()25,1B --【解析】（1）根据因式分解法求解一元二次方程，即可得到答案；（2）∠结合题意，根据直角坐标系的性质，得()1,4A -，()5,4B -，根据平移的性质，得()11,1A ，()15,1B ，()14,4C ，分别连接11A B ，11A C ，11B C ，即可得到答案；∠根据（2）∠的结论，得：()11,1A ，()15,1B ，()14,4C ，根据中心对称的性质，得()21,1A --，()25,1B --，()24,4C --，分别连接22A B ，22A C ，22B C ，即可得到答案．（1）()22224x x -=-∠()222444x x x -+=- ∠28120x x -+=∠()()260x x --=∠12x =，26x =；（2）∠根据题意，得：()1,4A -，()5,4B -把ABC 向上平移5个单位后，得()11,1A ，()15,1B ，()14,4C如下图，分别连接11A B ，11A C ，11B C∠111A B C △即为所求；∠根据（2）∠的结论，得：()11,1A ，()15,1B ，()14,4C ，以原点O 为对称中心，得：()21,1A --，()25,1B --，()24,4C --，如下图，分别连接22A B ，22A C ，22B C ，∠222A B C △即为所求．本题考查了一元二次方程、直角坐标系、平移、中心对称的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、平移、中心对称的性质，从而完成求解．22．(1)见解析(2)222BN CM MN =+，证明见解析【解析】（1）由角平分线的性质可得PFN BFN ∠=∠，由角的数量关系可得CFM PFM ∠=∠，可得FE 平分CAP ∠；（2）由旋转的性质可得AH AM =，CM BH =，ACB ABC ，120MAH ∠=︒，由“SAS ”可证ANM ANH ∆≅∆，可得MN NH =，MNA ANH ∠=∠，通过证明90BHN ∠=︒，可得结论．（1）解：证明：FD 平分BAP ∠，PFN BFN ∴∠=∠，120BAC ∠=︒，60DFE ∠=︒，60CFE BFN ∴∠+∠=︒，60PFN PFM ∠+∠=︒，CFM PFM ∴∠=∠，FE ∴平分CAP ∠；（2）222BN CE MN =+，理由如下：如图，将∆ACM 绕点A 顺时针旋转120︒，得到ABH ∆，连接NH ，ACM ABH ∴∆≅∆，AH AM ∴=，CM BH =，ACB ABC ，120MAH ∠=︒，60HAN MAH MAN ∴∠=∠-∠=︒，60MAN NAH ∴∠=∠=︒，在ANM ∆和ANH ∆中，AM AH MAN NAH AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ANM ANH SAS ∴∆≅∆，MN NH ∴=，MNA ANH ∠=∠，120CAB ∠=︒，AC AB =，30ABC ACB ABH ∴∠=∠=︒=∠，60NBH ∴∠=︒，75ANM BAN ABC ∠=∠+∠=︒，75ANM ANH ∴∠=∠=︒，30BNH ∴∠=︒，90BHN ∴∠=︒，222BN BH NH ∴=+，222BN CM MN ∴=+．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．23．(1)作图见解析(2)()()()1112,14,03,2B C D -，，【解析】（1）如图，将B C D 、、绕点A 顺时针旋转到111B C D 、、的位置，然后依次连接111A B C D 、、、即为所求；（2）由（1）中图可知点B 1、C 1、D 1的坐标．（1）解：如图，将B C D 、、绕点A 顺时针旋转到111B C D 、、的位置，然后依次连接111A B C D 、、、即为所求；（2）解：由（1）中图可知()()()1112,14,03,2B C D -、、∠点B 1、C 1、D 1的坐标分别为()()()2,14,03,2-、、．本题考查了图形的旋转，坐标系中的点坐标．解题的关键在于画出正确的旋转后的图形．24．（1）见解析；（2）3【解析】（1）根据旋转的性质，可得∠BAD =∠CAF ，AD =AF ，再由90BAC ∠=︒，45DAE =︒∠，可得∠EAF =45°，从而得到∠EAF =∠DAE ，进而得到∠DAE ∠∠F AE ，即可求证；（2）根据旋转的性质，可得∠B =∠ACF ，CF =BD =4，再由等腰直角三角形的性质可得∠B =∠ACB =45°，AB AC ==∠ACF =45°，12BC ，进而得到∠ECF =90°，再由DE EF =，可得EF =8-CE ，然后在Rt ECF △ 中，由勾股定理，即可求解．解：（1）∠将ABD △绕点A 逆时针旋转90°得到ACF △，∠∠BAD =∠CAF ，AD =AF ，∠90BAC ∠=︒，45DAE =︒∠，∠∠BAD +∠CAE =∠BAC -∠DAE =45°，∠∠CAF +∠CAE =∠BAC -∠DAE =45°，即∠EAF =45°，∠∠EAF =∠DAE ，∠AE =AE ，∠∠DAE ∠∠F AE ，∠DE =EF ；（2）∠将ABD △绕点A 逆时针旋转90°得到ACF △，∠∠B =∠ACF ，CF =BD =4，在等腰直角ABC 中，90BAC ∠=︒，∠∠B =∠ACB =45°，AB AC ==∠∠ACF =45°，12BC == ，∠∠ECF =∠ACB +∠ACF =90°，∠BD =4，∠DE +CE =8，∠DE =EF ，∠EF +CE =8，∠EF =8-CE ，在Rt ECF △ 中，222CE CF EF += ，∠()22248CE CE +=- ，解得：3CE = ．本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．25．（1）()14,1A --，见解析；（2）()24,2A ，见解析；（3）.【解析】（1）根据点C 移到点()12,4C --，可得出平移的方向和距离，然后利用平移的性质分别求出点A 1、B 1的坐标即可解决问题；（2）根据中心对称的性质，作出A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2，进一步即可解决问题；（3）利用勾股定理计算CC 2的长，再判断出点C 经过的路径长是以CC 2为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算即可.解：解：（1）如图所示，则∠A 1B 1C 1为所求作的三角形，点A 1的坐标是（﹣4，﹣1）；（2）如图所示，则∠A 2B 2C 2为所求作的三角形，点A 2的坐标是（4，2）；（3）点C 经过的路径长：是以（0，3）为圆心，以CC 2为直径的半圆，由勾股定理得：CC 2∠点C 经过的路径长：12×π×π．本题考查平移变换、旋转变换和勾股定理等知识，解题的关键是正确作出平移和旋转后的对应点.。

2022-2023学年人教版九年级数学上册《第23章旋转》期末综合复习题(附答案)

2022-2023学年人教版九年级数学上册《第23章旋转》期末综合复习题（附答案）一．选择题1．如图，在方格纸中，线段a，b，c，d的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有（）A．3种B．6种C．8种D．12种2．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，DC＝7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（）A．B．5C．4D．3．正方形ABCD与正五边形EFGHM的边长相等，初始如图所示，将正方形绕点F顺时针旋转使得BC与FG重合，再将正方形绕点G顺时针旋转使得CD与GH重合…按这样的方式将正方形依次绕点H、M、E旋转后，正方形中与EF重合的是（）A．AB B．BC C．CD D．DA4．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A：P′C＝1：3，则P′A：PB＝（）A．1：B．1：2C．：2D．1：5．若一个图形绕着一个定点旋转一个角α（0°＜α≤180°）后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形．例如：等边三角形绕着它的中心旋转120°（如图），能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形．显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面四个图形中，旋转对称图形个数有（）A．1B．2C．3D．46．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．以A为对称中心作点P（0，2）的对称点P1，以B 为对称中心作点P1的对称点P2，以C为对称中心作点P2的对称点P3，以D为对称中心作点P3的对称点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2022的坐标是（）A．（2022，2）B．（2022，﹣2）C．（2024，﹣2）D．（0，2）7．如图，在方格纸上△DEF是由△ABC绕定点P顺时针旋转得到的．如果用（2，1）表示方格纸上A点的位置，（1，2）表示B点的位置，那么点P的位置为（）A．（5，2）B．（2，5）C．（2，1）D．（1，2）8．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a．﹣b﹣1）C．（﹣a，﹣b+1）D．（﹣a，﹣b﹣2）9．如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种10．对如图的几何体变换位置或视角，则可以得到的几何体是（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有种．12．如图所示，在正方形网格中，图①经过变换可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点（填“A”或“B”或“C”）．13．如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为平方单位．14．如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是cm2．15．如图是两张全等的图案，它们是轴对称图形，其中的三角形是正三角形，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，至少旋转度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．16．如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动1格或3格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点A（﹣5，4），现欲操纵它跳到点B（2，﹣3），请问机器蛙至少要跳次．三．解答题17．在平面直角坐标系中有△ABC与△A1B1C1，其位置如图所示，（1）将△ABC绕C点按（填“顺”或“逆”）时针方向旋转度时与△A1B1C1重合．（2）若将△ABC向右平移2个单位后，只通过一次旋转变换能与△A1B1C1重合吗？若能，请直接指出旋转中心的坐标、方向及旋转角度；若不能，请说明理由．18．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）求证：AM＝AN；（2）当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．19．附加题：A、计算：2﹣1＝；B、在正方形、直角三角形、梯形这三个图形中，为中心对称图形的是．20．如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴，y轴的负半轴上，且OA＝2，OB＝1．将Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的像沿x轴正方向平移1个单位，得△CDO．（1）写出点A，C的坐标；（2）求点A和点C之间的距离．21．如图，方格纸中的每个小正方形边长都是1个长度单位，Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（4，1）．（1）先将Rt△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到Rt△A1B1C1，试在图中画出Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）再将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，试在图中画出Rt△A2B2C2，并计算Rt△A1B1C1在上述旋转过程中点C1所经过的路径长．22．如图，△ABC三个顶点均在边长为1的正方形网格点上，以网格点O为坐标原点建立平面直角坐标系．请按要求解答下列问题．（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1．并求写出sin∠B1的值．（2）画出△ABC关于原点O对称的图形△A2B2C2．（3）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形△A3B3C3．23．如图，梯形ANMB是直角梯形．（1）请在图上拼上一个直角梯形MNPQ，使它与梯形ANMB构成一个等腰梯形；（2）将补上的直角梯形MNPQ以点M为旋转中心，逆时针旋转180°得梯形MN1P1Q1，再向上平移一格得B1M1N2P2．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）参考答案一．选择题1．解：由网格可知：a＝，b＝d＝，c＝2，则能组成三角形的只有：a，b，d可以分别通过平移ab，ad，bd得到三角形，平移其中任意两条线段方法各有两种，即能组成三角形的不同平移方法有6种．故选：B．2．解：∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠D＝30°，∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∵旋转角为15°，∴∠ACD1＝30°+15°＝45°，又∵∠CAB＝45°，∴△ACO是等腰直角三角形，∴∠ACO＝∠BCO＝45°，∵CA＝CB，∴AO＝CO＝AB＝×6＝3，∵DC＝7，∴D1C＝DC＝7，∴D1O＝7﹣3＝4，在Rt△AOD1中，AD1＝＝＝5．故选：B．3．解：∵正方形ABCD与正五边形EFGHM的边长相等，∴从BC与FG重合开始，正方形ABCD的各边依次与正五边形EFGHM的各边重合，而与EF重合是正方形的边与正五边形的边第五次重合，∴正方形中与EF重合的是BC．故选：B．4．解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP+∠ABP′＝90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠CBP′+∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′，在△ABP和△CBP′中，∵，∴△ABP≌△CBP′（SAS），∴AP＝P′C，∵P′A：P′C＝1：3，∴AP＝3P′A，连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB，∵∠AP′B＝135°，∴∠AP′P＝135°﹣45°＝90°，∴△APP′是直角三角形，设P′A＝x，则AP＝3x，根据勾股定理，PP′＝＝＝2x，∴PP′＝PB＝2x，解得PB＝2x，∴P′A：PB＝x：2x＝1：2．故选：B．5．解：图1绕中心旋转60°后能够与原来的图形重合，所以这个图形是旋转对称图形；图2中，无论怎么样旋转都无法重合，除非旋转360度，但超出条件范围，故图2不是旋转对称图形；图3绕中心旋转120°后能够与原来的图形重合，所以这个图形是旋转对称图形；图4绕中心旋转72°后能够与原来的图形重合，所以这个图形是旋转对称图形．故选：C．6．解：根据题意，以A为对称中心作点P（0，2）的对称点P1，即A是PP1的中点，又由A的坐标是（1，1），结合中点坐标公式可得P1的坐标是（2，0）；同理P2的坐标是（2，﹣2），记P2（a2，b2），其中a2＝2，b2＝﹣2．根据对称关系，依次可以求得：P3（﹣4﹣a2，﹣2﹣b2），P4（2+a2，4+b2），P5（﹣a2，﹣2﹣b2），P6（4+a2，b2），令P6（a6，b2），同样可以求得，点P10的坐标为（4+a6，b2），即P10（4×2+a2，b2），由于2022＝4×505+2，所以点P2022的坐标是（2022，﹣2），故选：B．7．解：如图，分别连接AD、CF，然后作它们的垂直平分线，它们交于P点，则它们旋转中心为P，根据图形知道△ABC绕P点顺时针旋转90°得到△DEF，∴P的坐标为（5，2）．故选：A．8．解：把AA′向上平移1个单位得A的对应点A1坐标为（a，b+1）．因A1、A2关于原点对称，所以A′对应点A2（﹣a，﹣b﹣1）．∴A′（﹣a，﹣b﹣2）．故选：D．9．解：得到的不同图案有：，共6种．故选：C．10．解：本题中，只有B的几何体和题目中的几何体一致．故选：B．二．填空题11．解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有以下几种：1处，3处，7处，6处，5处，选择的位置共有5处．故答案为：5．12．解：根据题意：观察可得：图①与图②对应点位置不变，通过平移可以得到；根据旋转中心的确定方法，两组对应点连线的垂直平分线的交点，可确定图②经过旋转变换得到图③的旋转中心是A．故答案为：平移，A．13．解：设B′C′和CD的交点是O，连接OA，∵AD＝AB′，AO＝AO，∠D＝∠B′＝90°，∴Rt△ADO≌Rt△AB′O，∴∠OAD＝∠OAB′＝30°，∴OD＝OB′＝，S四边形AB′OD＝2S△AOD＝2××＝2，∴S阴影部分＝S正方形﹣S四边形AB′OD＝6﹣2．14．解：连接AC．∵与关于点O中心对称，∴点O为AC的中点，∴AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积＝△BAC的面积＝＝2cm2．故答案为：2．15．解：正三角形要想变成和正偶数边形有关的多边形，边数最少也应是6边形，而六边形的中心角是60°，所以至少旋转60°角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．16．解：若机器蛙在点A（﹣5，4），根据跳步游戏规则，可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可跳到点B（2，﹣3）．这个路径步数最少是3步．三．解答题17．解：（1）依题意根据图形可知将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90度时与△A1B1C1重合；（2）若将△ABC向右平移2个单位后，只通过一次旋转变换能与△A1B1C1重合，如图，分别连接A1A′，B1B′，然后分别作C1C′、B1B′、A1A′的垂直平线，三条垂直平分线交于P点，故把平移后的△A′B′C′绕点O逆时针旋转90°后即可与△A1B1C1重合．18．（1）证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），∴AB＝AF，∠BAM＝∠F AN，在△ABM和△AFN中，，∴△ABM≌△AFN（ASA），∴AM＝AN；（2）解：当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是菱形．理由：连接AP，∵∠α＝30°，∴∠F AN＝30°，∴∠F AB＝120°，∵∠B＝60°，∴∠B+∠F AB＝180°，∴AF∥BP，∴∠F＝∠FPC＝60°，∴∠FPC＝∠B＝60°，∴AB∥FP，∴四边形ABPF是平行四边形，∵AB＝AF，∴平行四边形ABPF是菱形．19．解：A、2﹣1＝；B、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形；直角三角形和梯形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故是中心对称图形的是正方形．20．解：（1）点A的坐标是（﹣2，0），点C的坐标是（1，2）．（2）连接AC，在Rt△ACD中，AD＝OA+OD＝3，CD＝2，∴AC2＝CD2+AD2＝22+32＝13，∴AC＝．21．解：（1）Rt△A1B1C1如图所示，A1（﹣4，0）；（2）Rt△A2B2C2如图所示，根据勾股定理，A1C1＝＝，所以，点C1所经过的路径长＝＝π．22．解：（1）△A1B1C1如图所示，根据勾股定理，B1C1＝＝2，所以，sin∠B1＝＝；（2）△A2B2C2如图所示；（3）△A3B3C3如图所示．23．解：（1）按要求作出梯形MNPQ．（2）按要求作出梯形MN1P1Q1．按要求作出梯形B1M1N2P2．。

2021-2022学年人教版九年级数学上册《第23章旋转》期末综合复习训练(附答案)

2021-2022学年人教版九年级数学上册《第23章旋转》期末综合复习训练（附答案）1．如图，正三角形网格中，已有三个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有（）A．2种B．3种C．4种D．5种2．下列图案可以通过一个“基本图形”平移得到的是（）A．B．C．D．3．几何图形由点、线、面组成，点动成线、线动成面、面动成体．下列现象中能反映“线动成面”的是（）A．流星划过夜空B．笔尖在纸上快速滑动C．汽车雨刷的转动D．旋转门的旋转4．把一副三角板（如图甲）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6cm，DC＝7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F，则线段AD1的长为（）A．5cm B．5cm C．5cm D．3cm5．如图是华为手机图库标志，这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，这个旋转角至少为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中．点A的坐标为（﹣6，4），点B，C在x轴上．将正方形ABCD平移后，点O成为新正方形的对称中心，则正方形ABCD的平移过程可能是（）A．向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度B．向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度C．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度D．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度7．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，BA＝BC，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°，嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成菱形，并推理如下：点A，C分别转到了点C，A处，而点B转到了点D处．∵CB＝AD，BA＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∴四边形ABCD是平行四边形”和“∴四边形ABCD是菱形”之间作补充．下列正确的是（）A．嘉淇推理严谨，不必补充B．应补充：且AB∥CDC．应补充：且AB⊥CD D．应补充：且BA＝BC9．点P（﹣4，6）与Q（2m，n）关于原点对称，则m+n的值为（）A．2B．4C．﹣4D．﹣810．如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4）．将△OAB与正方形ABCD 组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）11．如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（）A．B．C．D．12．在平面直角坐标系中，把△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位得到△A1B1C1现把这两步操作规定为一种变换，如图，已知等边△ABC的顶点B、C的坐标分别是（﹣1，2），（﹣1，4），把三角形连续经过2022次这种变换得到△A2022B2022C2022，则点A2022的坐标是（）A．（1+，6066）B．（1+，6069）C．（﹣1﹣，6069）D．（﹣1﹣，6066）13．现有16个相同正方形拼成一个正方形网格，已有两个小方格涂黑，请你用不同方法再涂黑两个小方格，使涂黑后的图案成为轴对称图形．共有种涂法．14．时钟从上午9时到中午12时，时针沿顺时针方向旋转了度．15．一块直角三角板ADC中，D为直角顶点，∠A＝30°，将它绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB，其中E为直角顶点，则∠BAD＝．16．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，边AD，BC上分别有E、F两点，若直线EF 恰好平分矩形ABCD的面积，且与AD的夹角为60°时，则AE的长度为．18．下列图形中，是中心对称的图形有．①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形．19．方格纸中每个小方格都的边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．（1）在图1中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；（2）在图2中画一个格点正方形，使其面积等于10；（3）直接写出图3中△FGH的面积是．20．如图，是小明所在学校的平面示意图，已知宿舍楼的位置是点A（3，a）．将艺术楼向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为（b，0）．（1）a＝；b＝．（2）根据题意，画出相应的平面直角坐标系；（3）分别写出教学楼、实验楼、体育馆的坐标（教学楼用点B表示，实验楼用点C表示，体育馆用点D表示）．（4）用方向和距离表示艺术楼相对于实验楼的位置时，艺术楼在实验楼的什么方向上？21．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，边DE恰好经过点B，连接AD，求证：∠CDA＝∠E．22．如图，已知△ABC和△AEF中，∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∠EAB＝25°，∠F＝57°；（1）请说明∠EAB＝∠F AC的理由；（2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；（3）求∠AMB的度数．23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．（1）直接写出图中所有相等的线段．（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．24．如图，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A、点B和点C在小正方形的顶点上．（1）在图中确定点D，点D在小正方形的顶点上，连接DC，DA，使得到的四边形ABCD 为中心对称图形；（2）在（1）确定点D后，在图中确定点E，点E（不与点C重合）在小正方形的顶点上，连接ED，EB得到凸四边形ABED，使∠EBA＝∠EDA，直接写出ED的长．参考答案1．解：如图所示：将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有4种，即数字1，2，3，4位置．故选：C．2．解：A．可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项不合题意；B．可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项不合题意；C．是轴对称图形，不是基本图案的组合图形，故本选项不合题意；D．可以由一个“基本图案”平移得到，故把本选项符合题意．故选：D．3．解：A．流星划过夜空，属于点动成线，不符合题意；B．笔尖在纸上快速滑动，属于点动成线，不符合题意；C．汽车雨刷的转动，属于线动成面，符合题意；D．旋转门的旋转，属于面动成体，不符合题意．故选：C．4．解：∵旋转角为15°，∴∠OCB＝60°﹣15°＝45°，∴∠COB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴CD1⊥AB，∴AO＝CO＝AB＝×6＝3（cm），∴OD1＝DC﹣CO＝7﹣3＝4（cm），在Rt△AD1O中，由勾股定理得，AD1＝＝＝5（cm）；故选：B．5．解：∵360°÷6＝60°，∴旋转角是60°的整数倍，∴旋转角至少是60°．故选：C．6．解：如图，观察图象可知，向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后点O成为新正方形的对称中心．故选：D．7．解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．8．解：∵点P（﹣4，6）与Q（2m，n）关于原点对称，∴2m＝4，n＝﹣6，解得：m＝2，∴m+n＝2﹣6＝﹣4．故选：C．9．解：∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵每次旋转90°，∴4次一个循环，∵2022＝4×505+2，∴每4次一个循环，第2020次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（3，﹣10）．故选：D．10．解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，故添加BA＝BC．故选：D．11．解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，五角星图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，得到的图案是C．故选：C．12．解：∵△ABC是等边三角形，B、C的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，4），∴BC＝4﹣2＝2，∴点A到y轴的距离为1+2×＝+1，纵坐标为3，∴A（﹣﹣1，3），第2022次变换后A2022在y轴左边，所以，点A2022的横坐标为﹣﹣1，纵坐标3+2022×3＝6069，所以，点C的对应点C′的坐标是（﹣﹣1，6069）．故选：C．13．解：如图所示，共有9种涂法．故答案为：9．14．解：从上午9时到中午12时，时针就从指向9，旋转到指向12，共顺时针转了3个“大格”，而每个“大格”相应的圆心角为30°，所以，30°×3＝90°，故答案为：90．15．解：根据题意分两种情况画图：①如图，∵∠DAC＝30°，将它绕点A顺时针旋转60°，∴∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°；②如图，∵∠DAC＝30°，将它绕点A顺时针旋转60°，∴∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝90°；则∠BAD＝30°或90°．故答案为：30°或90°．16．解：根据旋转对称图形可知，绕点O旋转120°后可以和自身重合，故答案为：120°．17．解：如图，设AC交BD于点O，过点O作OH⊥AD于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，∵直线EF平分矩形的面积，∴直线EF经过矩形的对角线的交点O，∵OH∥AB，OD＝OB，∴AH＝DH＝3，∴OH＝AB＝2，在Rt△OEH中，∠OEH＝60°，∴EH＝＝，∴AE＝AH＝EH＝3﹣．故答案为：3﹣．18．解：根据中心对称图形的概念，是中心对称的图形有①正方形；②长方形；④线段；⑥平行四边形．故答案是：①②④⑥．19．解：（1）如图1所示：（2）如图2所示：（3）如图3所示：△FGH的面积＝矩形ABHC的面积﹣△AFG的面积﹣△BGH的面积﹣△FCH的面积＝5×6﹣﹣﹣＝9故答案为：9．20．解：（1）根据题意可知：a＝5，b＝﹣2，故答案为：5，﹣2；（2）如图，平面直角坐标系即为所求；（3）B（1，1），C（﹣1，0），D（﹣4，4）；（4）西北方向或北偏西45°．21．证明：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，∴AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，∴∠CDA＝，∠E＝，∴∠CDA＝∠E．22．解：（1）∵∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∴△ABC≌△AEF，∴∠C＝∠F，∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC﹣∠P AF＝∠EAF﹣∠P AF，∴∠BAE＝∠CAF＝25°；（2）通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；（3）由（1）知∠C＝∠F＝57°，∠BAE＝∠CAF＝25°，∴∠AMB＝∠C+∠CAF＝57°+25°＝82°．23．解：（1）∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∵△A'BD与△ACD关于点D成中心对称∴△A′BD≌△ACD，∴BD＝CD，AD＝A'D，AC＝A'B．（2）∵AD＝A'D，∴AA'＝2AD，∵AC＝A'B，AC＝3，∴A'B＝3，在ΔAA'B中，AB﹣A'B＜AA'＜AB+A'B，即5﹣3＜2AD＜5+3．∴1＜AD＜4．24．解：（1）如图：此时，由勾股定理得：CD＝AB＝2，AD＝BC＝．∴四边形ABCD是平行四边形．∴四边形ABCD是中心对称图形．（2）如上图，此时∠EBA＝45°，∵AD²＝AE²＝1²+2²＝5，DE²＝1²+3²＝10．∴AD²+AE²＝DE²．∴△ADE是等腰直角三角形．∠EDA＝45°．∴∠EDA＝∠EBA．ED＝．。