离散数学2014年7月份试题

试卷代号：1009-3
中央广播电视大学 学年度第
离散数学（本） 试题
2012年7月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1．若集合A ＝{a , b , c , d }，则下列表述正确的是( C )． A ．{a }∈A B ．{a }∉A
C ．{a , b , c }⊂A
D ．{a , b , c , d }∈A
2．设A ＝｛2｝，B ={3,4,5}，A 到B 的关系R ＝｛〈x , y 〉| x ∈A , y ∈B 且x = y+1｝，则R =( A )． A ．∅ B ．{<2, 3>,<2, 4>,<2, 5>} C ．{<2, 3 >} D ．{<2, 2>,<3, 3>} 3．无向图G 是个棵树，边数为12，则G 的结点数是（ D ）． A ．12 B ．24 C ．11 D ．13
4．下面的推理正确的是（ A ）．
A ．(1) （∃x ）（A （x ）→
B （x ）） 前提引入 (2) A （y ）→ B （y ） ES （1）． B ．(1) （∃x ）A （x ）→B （x ） 前提引入 (2) A （y ）→B （y ） US （1）．
C ．(1) （∀x ）A （x ）→B （x ） 前提引入
(2) A （y ）→B （y ） US （1）．
D ．(1) （∀x ）(A （x ）→B （x ）） 前提引入 (2) A （y ）→B （x ） ES （1）． 5．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（ B ）．
A ．┐(∃x )(A (x )∧
B (x )) B ．┐(∀x )(A (x ) →B (x ))
C ．┐(∃x )(A (x )∧┐B (x ))
D ．(∀x )(A (x )∧B (x ))
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6．设集合A ={1, 2, 3}，B ={3, 4, 5}，C ={2, 3, 4, 5}，则B ∪（A –C ）等于 {1, 3, 4, 5} 7．设A ={1，2}，B ={a ，b }，C ={3，4}，从A 到B 的函数f ={<1, b >, <2, a >}，从B 到C 的函数g ={< a ，3>, < b ，4>}，则Dom(g ︒ f )等于 {1，2}，或A ．
8．两个图同构的必要条件是 结点数相等；边数相等；度数相同的结点数相等 ． 9．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 v -e +r =2 ．
10．设个体域D ＝{1,2,3}，则谓词公式(∀x )A (x )消去量词后的等值式为 A (1)∧A (2)∧A (3) ．
三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）
11．将语句“3大于2或1加1等于2”翻译成命题公式．
设P：3大于2，Q：1加1等于2．）
则命题公式为：P∨Q．
12．将语句“如果明天下雪，我们就去旅游．”翻译成命题公式．
设P：明天下雪，Q：我们就去旅游．
则命题公式为：P→Q．
四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）
判断下列各题正误，并说明理由．
13．若图G中存在汉密尔路，则图G是一个汉密尔顿图．
不正确
反例：如图二中存在汉密尔路，但图G不是一个汉密尔顿图．
图二
14．无向图G是树当且仅当无向图G是连通图．
不正确
反例：如图三为连通图，但不是树．
图三
五、计算题（每小题12分，本题共36分）
15．设A={1，2，3，4，5}，R={<x，y>|x∈A，y∈A且x-y=3}，S={<x，y>|x∈A，y∈A且x+y=3}，试求R，S，R∙S，R-1，r(S) ，s(R)．
R={<4,1>, <5,2>}
S={<1,2>, <2,1>}
R∙S={<4,2>, <5,1>}
R-1={<1,4>,<2,5>}
r(S)={ <1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4><5,5>,<1,2>, <2,1>}
s(R)={ <4,1>,<5,2>,<1,4>,<2,5>}．
16．设有如图一所示的有向图G =<V, E>，
图一
（1）求G 的邻接矩阵A ；
（2）已知A 3=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡01
00
10001312
2423，求G 中v 1到v 4的长度为3的路径条数； （3）求G 中v 1的长度为3 的回路条数．
（1）G 的邻接矩阵为：A=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡01
00
10000101
0111， （2）由A 3中a 14可知，G 中v 1到v 4的长度为3 的路径有2条； （3）由A 3中a 11可知，G 中v 1的长度为3 的回路有3条；
说明：如果没有求出矩阵乘积，而通过列举找出正确的路与回路数，也给相应分数．
17．求（P ∨Q ）→R 的析取范式与主合取范式． （P ∨Q ）→R
⇔⌝（P ∨Q ）∨R ⇔(⌝P ∧⌝Q )∨R 析取范式
⇔(⌝P ∨R )∧(⌝Q ∨R )
⇔(⌝P ∨R )∨(Q ∧⌝Q ) ∧ (⌝Q ∨R ) ⇔(⌝P ∨R )∨(Q ∧⌝Q ) ∧ (⌝Q ∨R )∨(P ∧⌝P ) ⇔(⌝P ∨R ∨Q ) ∧ (⌝P ∨R ∨⌝Q ) ∧ (⌝Q ∨R ∨P ) ∧ (⌝Q ∨R ∨⌝P )
⇔ (P ∨⌝Q ∨R )∧(⌝P ∨Q ∨R )∧(⌝P ∨⌝Q ∨R ) 主合取范式
六、证明题（本题共8分）
18．设A ，B ，C 均为任意集合，试证明：A - ( B ∪C ) = (A - B ) - C ．
设S = A - ( B ∪C )，T = (A - B ) - C ，
若x ∈S ，则x ∈A 且x ∉B ∪C ，即 x ∈A ，并且x ∉B 且 x ∉C ， 由x ∈A 且x ∉B ，得x ∈A - B ，又由x ∉C 得 x ∈(A - B ) - C ，即x ∈T ， 所以S ⊆T ． 反之，若x ∈T ，则x ∈(A - B ) 且 x ∉C ， 由x ∈(A - B )，得x ∈A 且x ∉B ，则得x ∉B ∪C ，
即得x ∈A 且x ∉B ∪C ，即x ∈S ，
所以T ⊆S ． 因此T =S ．。