2019年全国版高考数学(理)一轮复习必刷题：第九单元平面向量

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2019高考数学真题汇编平面向量

考点1 平面向量的概念及其线性运算1．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ． 1D ．22．在下列向量组中，能够把向量a ＝(3，2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算3．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.1524．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．考点3 平面向量的数量积及应用5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝___．6．设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝___．7．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．8．若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝______．9．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝______．10．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．考点4 单元综合11．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD→|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．练习：1.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .2.设向量,a b 满足||10a b +=，||6a b -=，则=∙b a（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）53. 设20πθ<<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a =，若b a //，则=θtan _______. 4.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.5.若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（）6.设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=________.7．在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(3,0),A B C -动点D满足||1,CD OA OB OD =++则｜｜的最大值是 8.如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==， 3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是。

2019版高考数学理科课标A版一轮复习课件：第九章平面

x2 y 2 2=|AB|,故点F的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,可知其方程为 + =1,又 3 4 x2 y 2 点F不能在y轴上,故所求轨迹方程为 + =1(x≠0),故选C. 3 4
例2 如图,P是圆x2+y2=4上的动点,P点在x轴上的射影是D,点M满足 DM
1 DP . = 2
面进行:一是方程的化简是否为同解变形;二是是否符合题目的实际意
义. 2.求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨迹方程, 然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等. 3.在求轨迹问题时常用的数学思想 (1)函数与方程的思想:求平面曲线的轨迹方程是将几何条件(性质)表示为动点坐标x、y的方程及函数关系; (2)数形结合的思想:由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形” 的有机结合; (3)等价转化的思想:通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问题时又需要相互转化.
围对动点坐标取值范围的影响.
6.交轨法:求两条动曲线(含直线)的交点的轨迹方程时,可引入参数t,用t 分别表示两条动曲线的方程,联立它们消去t便得交点的轨迹方程,此方法称为交轨法. 例1 (2017广东七校联考,10)已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过定点 A(0,1),B(0,-1),且以该圆的切线为准线,则抛物线焦点的轨迹方程是 ( C )
(1)求动点M的轨迹C的方程,并说明轨迹是什么图形; (2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A,B,求以OA,OB
为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.
解题导引
解析 (1)设M(x,y),则D(x,0),
1 DM = DP 知P(x,2y), 由 2

(1)分析题目:与动点M(x,y)相关的点P(x0,y0)在已知曲线上运动;

2019数学(理科)高考题分类(高考真题+模拟题) 平面向量

F 单元平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算17.F1,F2[2019·浙江卷] 已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ,最大值是 . 17.0 2√5 [解析] 以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴建立平面直角坐标系(图略),则A (0,0),B (1,0),C (1,1),D (0,1),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),BC ⃗⃗⃗⃗ =(0,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1),AC ⃗⃗⃗⃗ =(1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1), ∴λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗ +λ6BD⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6), ∴|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗ +λ6BD⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2. ∵λi ∈{-1,1},i=1,2,3,4,5,6,∴|λ1-λ3+λ5-λ6|=0或2或4,|λ2-λ4+λ5+λ6|=0或2或4. ①当λ1=λ3=λ4=λ5=λ6=-λ2时取到最小值0. ②当|λ1-λ3+λ5-λ6|=4时,λ1,-λ3,λ5,-λ6同号,当|λ2-λ4+λ5+λ6|=4时,λ2,-λ4,λ5,λ6同号, 显然λ5,λ6同号与λ5,-λ6同号不能同时成立,∴√(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2≤√42+22=2√5,当λ1=λ2=λ5=-λ3=-λ4=-λ6时取到最大值2√5.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算3.F2,F3[2019·全国卷Ⅱ] 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),AC ⃗⃗⃗⃗ =(3,t ),|BC ⃗⃗⃗⃗ |=1,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ = ( ) A .-3 B .-2 C .2 D .33.C [解析] BC ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t )-(2,3)=(1,t-3),所以|BC ⃗⃗⃗⃗ |=√12+(t -3)2=1,解得t=3,所以BC ⃗⃗⃗⃗ =(1,0),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ =(2,3)·(1,0)=2.17.F1,F2[2019·浙江卷] 已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ,最大值是 . 17.0 2√5 [解析] 以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴建立平面直角坐标系(图略),则A (0,0),B (1,0),C (1,1),D (0,1),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),BC ⃗⃗⃗⃗ =(0,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1),AC ⃗⃗⃗⃗ =(1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1), ∴λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6), ∴|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗ +λ6BD⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2. ∵λi ∈{-1,1},i=1,2,3,4,5,6,∴|λ1-λ3+λ5-λ6|=0或2或4,|λ2-λ4+λ5+λ6|=0或2或4. ①当λ1=λ3=λ4=λ5=λ6=-λ2时取到最小值0. ②当|λ1-λ3+λ5-λ6|=4时,λ1,-λ3,λ5,-λ6同号,当|λ2-λ4+λ5+λ6|=4时,λ2,-λ4,λ5,λ6同号, 显然λ5,λ6同号与λ5,-λ6同号不能同时成立,∴√(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2≤√42+22=2√5,当λ1=λ2=λ5=-λ3=-λ4=-λ6时取到最大值2√5.F3 平面向量的数量积及应用7.F3[2019·全国卷Ⅰ] 已知非零向量a ,b 满足|a|=2|b|,且(a-b )⊥b ,则a 与b 的夹角为 ( ) A .π6 B .π3 C .2π3 D .5π67.B [解析] 因为(a-b )⊥b ,所以(a-b )·b=a ·b-b 2=|a||b|cos <a ,b>-|b|2=0,得|a|cos <a ,b>=|b|,又|a|=2|b|,所以cos <a ,b>=12,所以a 与b 的夹角为π3.3.F2,F3[2019·全国卷Ⅱ] 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),AC ⃗⃗⃗⃗ =(3,t ),|BC ⃗⃗⃗⃗ |=1,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ = ( ) A .-3 B .-2 C .2 D .33.C [解析] BC ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t )-(2,3)=(1,t-3),所以|BC ⃗⃗⃗⃗ |=√12+(t -3)2=1,解得t=3,所以BC ⃗⃗⃗⃗ =(1,0),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ =(2,3)·(1,0)=2.13.F3[2019·全国卷Ⅲ] 已知a ,b 为单位向量,且a ·b=0,若c=2a-√5b ,则cos <a ,c>= . 13.23 [解析] 因为|c|=√(2a -√5b)2=√4a 2+5b 2=√4+5=3,a ·c=a ·(2a-√5b )=2a 2-√5a ·b=2,所以cos <a ,c>=a ·c |a||c|=23.7.A2,F3[2019·北京卷] 设点A ,B ,C 不共线,则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗ |”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.C [解析] 设AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α.因为A ,B ,C 不共线,所以以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗ 为邻边作平行四边形ABDC ,由向量的平行四边形法则,可得AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ , 故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗ 2+2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗ |cos α. 在△ABC 中,可得BC ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AB⃗⃗⃗⃗⃗ , 故BC ⃗⃗⃗⃗ 2=(AC⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗ 2-2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗ 2-2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗ |cos α. 若α为锐角,则cos α>0,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2>BC ⃗⃗⃗⃗ 2,即|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗ |,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗ |;若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗ |,则|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗ |,即cos α>0,所以α为锐角.所以“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗ |”的充分必要条件.12.F3[2019·江苏卷] 如图1-3,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE=2EA ,AD 与CE 交于点O.若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ ,则ABAC的值是 .图1-312.√3 [解析] 如图所示,过D 作DF ∥CE ,交AB 于点F.因为D 是BC 的中点,所以F 是BE 的中点.又BE=2EA ,所以EF=EA ,所以AO=OD ,所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ). 又EC⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AE ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ =6×14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ , 即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3AC ⃗⃗⃗⃗ 2,所以ABAC=√3.14.C8,F3[2019·天津卷] 在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=2√3,AD=5,∠A=30°,点E 在线段CB 的延长线上,且AE=BE ,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗ = .14.-1 [解析] 如图所示,因为AD ∥BC ,所以∠EBA=∠BAD=30°,又AE=BE ,所以△ABE 是底角为30°的等腰三角形.过点E 作EH ⊥AB ,交AB 于点H ,则AH=12AB=√3,故EH=1,AE=BE=2,且∠AEB=120°.过点B 作BF ∥AE ,交AD 于点F ,则BF=AE=2,AF=BE=2,所以FD=3.在△ABD 中,由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos 30°=12+25-2×2√3×5×√32=7,所以BD=√7.在△BFD中,由余弦定理得cos ∠DBF=BD 2+BF 2-DF 22BD ·BF=7+4-92×7×2=√714,所以BD⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗ =-BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗ =-√7×2×√714=-1.F4 单元综合7.[2019·长沙长郡中学月考(四)] 在△ABC 中,D 为AB 的中点,点E 满足EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EC ⃗⃗⃗⃗ ,则ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A .56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC⃗⃗⃗⃗⃗ B .43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C .56AB⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D .43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7.A [解析] ∵D 为AB的中点,点E 满足EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EC ⃗⃗⃗⃗ ,∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =43CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =43(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗ )-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A .14.[2019·山西联考] 已知向量a=(x ,2),b=(-2,1),若a 与2a-b 共线,则|b||a|= .14.12 [解析] 由a=(x ,2),b=(-2,1),得2a-b=(2x+2,3),因为a 与2a-b 共线,所以3x-2(2x+2)=0,解得x=-4,所以a=2b ,|b||a|=12.24.[2019·日照一模] 已知正方形ABCD 的边长为2,E 是正方形内部(不包括正方形的边)一点,且AE ⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ =2,则(AE ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )2的最小值为 ( ) A .232B .12C .252D .1324.C[解析]以A为原点,分别以AB,AD所在的直线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,设E(x,y),则AC⃗⃗⃗⃗ =(2,2),AE⃗⃗⃗⃗ =(x,y).∵AE⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗ =2,∴2x+2y=2,即x+y=1(0<x<2,0<y<2),则(AE⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗ )2=(x+2)2+(y+2)2.易知(AE⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗ )2的最小值的几何意义是在线段x+y=1(0<x<2,0<y<2)上取一点,使其到点M(-2,-2)的距离的平方最小,而点M(-2,-2)到线段x+y=1(0<x<2,0<y<2)的距离d=√2=√2,故所求的最小值为252.。

2019年高考真题理科数学解析汇编：平面向量word资料6页

第 1 页2019年高考真题理科数学解析汇编：平面向量一、选择题1 ．（2019年高考（天津理））已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=A P A Bλ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ （）A ．12B．12CD．32-± 2 ．（2019年高考（浙江理））设a ,b 是两个非零向量.（）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |3 ．（2019年高考（重庆理））设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥,则_______=（）ABC．D ．104 ．（2019年高考（四川理））设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使||||a ba b =成立的充分条件是（）A ．a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．//a b 且||||a b =5 ．（2019年高考（辽宁理））已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a -b6 ．（2019年高考（湖南理））在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC = 1则___BC =.（）ABC． D 7 ．（2019年高考（广东理））对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b（）A ．12B ．1C ．32D ．528 ．（2019年高考（广东理））(向量)若向量()2,3BA =,()4,7CA =,则BC =（）第 2 页A ．()2,4--B ．()2,4C ．()6,10D ．()6,10--9 ．（2019年高考（大纲理））ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD =（）A ．1133a b -B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b - 10．（2019年高考（安徽理））在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ则点Q 的坐标是（）A．(- B．(-C．(2)--D．(2)-二、填空题11．（2019年高考（新课标理））已知向量,a b 夹角为45︒,且1,210a a b =-=;则_____b =[来源:shulihuashulihua]12．（2019年高考（浙江理））在∆ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB AC ⋅=______________. 13．（2019年高考（上海理））在平行四边形ABCD 中,∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ .[来源:shulihua]14．（2019年高考（江苏））如图,在矩形ABCD 中,2AB BC ==，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是____.15．（2019年高考（北京理））已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________; DE DC ⋅的最大值为________.16．（2019年高考（安徽理））若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则a b 的最小值是_____第 3 页2019年高考真题理科数学解析汇编：平面向量参考答案一、选择题 1. 【答案】A【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】∵=BQ AQ AB -=(1)AC AB λ--,=CP AP AC -=AB AC λ-, [来源:数理化网] 又∵3=2BQ CP ⋅-,且||=||=2AB AC ,0<,>=60AB AC ,0=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅,∴3[(1)]()=2AC AB AB AC λλ----,2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--⋅-,所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---,解得1=2λ. 2. 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的,∵|a +b |=|a |-|b |,则a ,b 共线,即存在实数λ,使得a =λb .如选项A:|a +b |=|a |-|b |时,a ,b 可为异向的共线向量;选项B:若a ⊥b ,由正方形得|a +b |=|a |-|b |不成立;选项D:若存在实数λ,使得a =λb ,a ,b 可为同向的共线向量,此时显然|a +b |=|a |-|b |不成立. 3. 【答案】B【解析】由0240a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=,由//422b c y y ⇒-=⇒=-,故||(21)a b +=+=【考点定位】本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键在于根据a c ⊥、//b c ,得到,x y 的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算.4. [答案]D[解析]若使||||a ba b =成立,则方向相同，与选项中只有D 能保证,故选D. [点评]本题考查的是向量相等条件⇔模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其模为0且方向任意. 5. 【答案】B【解析一】由|a +b |=|a -b |,平方可得a ⋅b =0, 所以a ⊥b ,故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a +b |=|a -b |,所以该平行四边形为矩形,所以a ⊥b ,故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解. [来源:shulihua]C第 4 页6. 【答案】A【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.1cos 2B BC ∴=-.又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⋅,解得BC =.【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC 的夹角为B ∠的外角.7. 【解析】C;因为||cos cos 1||b a b ba a a a θθ⋅==≤<⋅,且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以12b a =,||12cos ||b a θ=,所以2||cos 2cos 2||a ab b θθ==<,且22cos 1a b θ=>,所以12a b <<,故有32a b =,选 C. 【另解】C;1||cos 2||k a a b b θ==,2||cos 2||k b b a a θ==,两式相乘得212cos 4k k θ=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12,k k 均为正整数,于是cos 12θ<=<,所以1224k k <<,所以123k k =,而0a b ≥>,所以123,1k k ==,于是32a b =,选C. [来源:数理化网] 8. 解析:A.()2,4BC BA CA =-=--. 9. 答案D【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D 的位置的运用. [来源:shulihua]【解析】由0ab ⋅=可得90ACB ∠=︒,故AB =用等面积法求得CD =,所以AD =,故4444()5555AD AB CB CA a b ==-=-,故选答案D 10. 【解析】选A【方法一】设34(10cos ,10sin)cos ,sin 55OP θθθθ=⇒== [来源:数理化网]则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=- C第 5 页【方法二】将向量(6,8)OP =按逆时针旋转32π后得(8,6)OM =-则)(OQ OP OM =+=- 二、填空题[来源:shulihuashulihua] 11. 【解析】b=12. 【答案】16-【解析】此题最适合的方法是特例法.假设∆ABC 是以AB =AC 的等腰三角形,如图,AM =3,BC =10,AB =ACcos∠BAC =3434100823417+-=-⨯.AB AC ⋅=cos 16AB AC BAC ⋅∠=-13. [解析] 如图建系,则A (0,0),B (2,0),D (21,23),C (25,23).t CD BC ==||||∈[0,1],则t BM =||,t CN 2||=, 所以M (2+2t ,23t ),N (25-2t ,23),故AN AM ⋅=(2+2t)(25-2t )+23t ⋅23=)(6)1(5222t f t t t =++-=+--,因为t ∈[0,1],所以f (t )递减,(AN AM ⋅)max = f (0)=5,(AN AM ⋅)min = f (1)=2.[评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M 在B (N 在C )和M 在C (N 在D ),而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!14. .【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义. 【解析】由2AB AF=,得cos ABAF FAB ∠=由矩形的性质,得cos =AF FAB DF ∠.记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，,则θαβ=+. 又∵2BC =，点E 为BC 的中点,∴1BE =.本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解.15. 【答案】1;1 [来源:shulihuashulihua]【解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ⋅=⋅=⋅,可知||cos ||DE DA θ=,因此2||1DE CB DA ⋅==;||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα⋅=⋅=⋅,而||cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影,要想让DE DC ⋅最大,即让射影最大,此时E 点与B 点重合,射影为||DC ,所以长度为1【考点定位】本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法. [来源:shulihuashulihua]16. 【解析】a b的最小值是98第 6 页。

2019届高考数学总复习1.4平面向量课件理

��=λ�� ⇔ ��=x��+(1-x)��.
2.平面向量的数量积 (1)若a,b为非零向量,夹角为θ,则a· b=|a||b|cos θ. (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b=x1x2+y1y2.
A.-4 B.-1 C.1 D.4 由题意,设��=n��,则�� = �� + �� = ��+n�� = ��+n(�� −
解析
关闭
答案
-12-
一
二
关闭 9.(2018天津,理8)如图,在平面四边形ABCD 如图 ,取 AB F,,连接 EF. 中,AB ⊥ BC的中点 ,AD⊥CD ∠BAD= 120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动 2 2 (�� +�� ) -(�� -�� ) 点,·�� 则= �� ·��的最小值为 ) �� =(
解析
2 3π
关闭
答案
-8-
一
二
5.(2018广东四校联考)已知两个单位向量a,b的夹角为120°,k∈R,则 |a-kb|的最小值为( )
A.
3 4
B.
3 2
C.1
D.
3 2
关闭
|a-kb|2=a2-2ka· b+(kb)2=|a|2-2k|a|· |b|cos 120° +k2|b|2=k2+k+1= �� +

2019年全国高考数学试题分类汇编(理科)——平面向量

2019年全国高考数学试题分类汇编（理科）平面向量一、选择题1.（全国Ⅰ卷理7）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．2.（全国Ⅱ卷理3）已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】C【分析】根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．二、填空题4.（全国Ⅲ卷理13）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,ac <>=___________. 【答案】23. 【分析】根据2||c 结合向量夹角公式求出||c ，进一步求出结果. 【详解】因为25c a b =-，0a b ⋅=，所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅．5.（天津卷理14）在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_________. 【答案】1-【分析】可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。

(完整版)高三一轮复习平面向量知识点整理.doc

平面向量知识点整理1、概念（1）向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．（2）单位向量：长度等于1个单位的向量．（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有零向量 )④三点 A、 B、 C共线AB、AC 共线（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量．（5）相反向量：长度相等方向相反的向量。

a 的相反向量是 -a（6）向量表示：几何表示法AB ；字母a表示；坐标表示：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.uuur r uuur的长度叫做向量r r（7）向量的模：设OA a ，则有向线段OA a 的长度或模，记作：| a | .rx2 r 2 rx2 y2。

）（ | a | y2 , a | a |2（8）零向量：长度为0 的向量。

a＝O ｜ a｜＝O.r r r r【例题】 1.下列命题：（ 1）若a b ，则a b 。

（2）两个向量相等的充要条件是uuur uuur它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC ，则 ABCD 是平行四边形。

（4）若uuur uuur r r r r r r r r r r ABCD 是平行四边形，则 AB DC 。

（5）若 a b,b c ，则 a c 。

（6）若 a // b,b// c ，r r则 a // c 。

其中正确的是_______r r uur r （答：（4）（5））2. 已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为60o，那么 | a 3b | ＝_____（答：13 ）；2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．Crarbr r uuur uuur uuur a b C Cr rrrrr⑶三角形不等式：．⑷运算性质：①交换律： r r rr r r r r r r；a b ba ；②结合律： a bc a bc ③ r r r r r ．a 0 0 a a⑸坐标运算：设 rrx 2 , y 2r rx 1 x 2 , y 1 y 2 ．a x 1, y 1 ， b，则 a b3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设 r r x 2 , y 2 ，则 r r x 1 x 2 , y 1 y 2 ．a x 1, y 1 ，b a b设、两点的坐标分别为x 1 , y 1 ， x 2 , y 2 ，则 uuurx 1x 2 , y 1y 2 ．【例题】uuur uuur uuuruuur uuur uuur；（ 1） ① AB BC CD ___；② AB AD DCuuur uuur uuuruuur ruuur uuur _____③ ( AB CD ) ( AC BD) （答：① AD ；② CB ；③ 0 ）；uuur r uuur r uuur r r r r（ 2）若正方形 ABCD 的边长为 1， AB a, BC b, AC c ，则 | a b c |＝_____（答： 2 2 ）；（ 3）已知作用在点uur uuruurA(1,1)的三个力 F 1 (3,4), F 2 (2, 5), F 3(3,1) ，则合力uruuruur uurF F 1F 2 F 3 的终点坐标是（答：（9,1））4、向量数乘运算：r ⑴实数r的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作与向量 aa ．① r r ； a a②当 0 时， r r 的方向相同；a 的方向与 a r当 0 时， r r 的方向相反；当r a 的方向与 a 0 时， a 0 ．⑵运算律：① r r ；②r r r ；③ r r r r aa a a a ab ab ．r x, y ，则 r x, y x, y ．⑶坐标运算：设 a a【例题】（）若（ -3 ，），（，），且 MP 1MN1 M -2 N 6 -1 3，则点 P 的坐标为 _______（答： ( 6,7) ）；r rrr35、向量共线定理：向量，使a a 0 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数 r rr x 1 , y 1r x 2 , y 2r r r r 2r r2。

2019年高考数学解密题(含解析)之平面向量

平面向量考点1 平面向量的概念及线性运算题组一平面向量的概念调研1 设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则0=a a a ；②若a 与0a 平行，则0=a a a ；③若a 与0a 平行且1=a ，则0=a a .上述命题中，假命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与0a a 的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与0a 平行，则a 与0a 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时0=-a a a ，0=-a a ，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故答案为D.【名师点睛】本题考查了平面向量的概念以及应用的问题，解题时应把握向量的方向和模长，是基础题目．☆技巧点拨☆对于向量的概念问题：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性．具体应关注以下六点： (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． (6)非零向量a 与||a a 的关系：||a a 是a 方向上的单位向量． (7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.题组二平面向量的线性运算调研2 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =A ．1233AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133AD AB -D ．1233AD AB +【答案】C【解析】()11213333ED EA AD AC AD AD AB AD AD AB =+=-+=-++=-.故选C. 【名师点睛】本题考查向量的线性运算，属基础题.利用向量加法法则结合图象特点运算即可.调研3 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =，||||AB AC AB AC +=-，则||AM =________. 【答案】2【解析】由||||AB AC AB AC +=-可知，AB AC ⊥，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，1||||22AM BC ==. 调研4 已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足,PA BP CP AP PD λ++==0，则实数λ的值为________．【答案】−2【解析】如图所示，由AP PD λ=且PA BP CP ++=0，则P 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此2AP PD =-，则λ=−2.☆技巧点拨☆平面向量的线性运算是高考考查的热点内容，题型以选择题、填空题为主，难度较小，属中、低档题，主要考查向量加法的平行四边形法则与三角形法则及减法的三角形法则或向量相等，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．常见的平面向量线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用． (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果.题组三共线向量定理及其应用调研5 设向量12,e e 不共线，向量122λ+e e 与124+e e 平行，则实数λ=__________．【答案】12【解析】∵122λ+e e 与124+e e 平行，向量12,e e 不共线， ∴存在实数k 使得122λ+e e =k （124+e e ）=k 1e +4k 2e ， ∴1.242k kλλ=⎧⇒=⎨=⎩故答案为：12．【名师点睛】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．向量122λ+e e 与124+e e 平行则存在实数k 使得122λ+e e =k （124+e e ）=k 1e +4k 2e ，对应系数相等即可.调研 6 设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且2,2,2D C B D C E E A A F F B ===，则AD BE CF ++与BCA ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直【答案】A☆技巧点拨☆共线向量定理的主要应用：（1）证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线．【注】对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a 与b 共线是指a 与b 所在的直线平行或重合．向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个. （2）证明三点共线：若存在实数λ，使AB AC λ=，则A ，B ，C 三点共线．【注】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，,OA OB 不共线，满足OP xOA yOB=+(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y =1.（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．考点2 平面向量的基本定理及坐标表示题组一平面向量基本定理的应用调研1 如图，在平行四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若(),BE BA BD λμλμ=+∈R ，则λμ-=A ．34B ．14-C ．14D ．34-【答案】C【解析】∵BD ＝2BO ，BE ＝λBA ＋μBD ，∴BE ＝λBA ＋2μBO .∵E 为线段AO 的中点，∴BE ＝12(BA ＋BO )，根据平面向量基本定理得到对应系数相等，∴λ＝12，2μ＝12，解得μ＝14，∴λ−μ＝14.故选C.【名师点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，根据平行四边形的图象特点得到BE ＝λBA ＋2μBO ，又因为BE ＝12(BA ＋BO )，根据平面向量基本定理得到对应系数相等得到结果.调研2 在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB =2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点.若AB AM AN λμ=+，则λ＋μ=________.【答案】45【解析】解法一：连接AC ，由AB AM ANλμ=+，得11()()22AB AD AC AC AB λμ=⋅++⋅+，即(1)2AB μ-+()222AD AC λλμ++=0，即1(1)()()22222AB AD AD AB μλλμ-++++=0，即3(1)44AB λμ+-+()2AD μλ+=0. 又因为AB ，AD 不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ=45.解法二：(回路法)连接MN 并延长交AB 的延长线于T ，由已知易得AB =45AT ， ∴45AT AB AM AN λμ==+，∵T ，M ，N 三点共线，∴λ＋μ=45.☆技巧点拨☆1．对平面向量基本定理的理解（1）平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．（2）平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．（3）用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a =λ1e 1＋λ2e 2的形式，是向量线性运算知识的延伸．2．应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．3．应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．4．用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.题组二平面向量的坐标运算调研3 已知向量a =(2，1)，b =(1，−2)．若m a ＋n b =(9，−8)(m ，n ∈R )，则m −n 的值为________．【答案】−3【解析】【解析】由a =(2，1)，b =(1，−2)，可得m a ＋n b =(2m ，m )＋(n ，−2n )=(2m ＋n ，m −2n )，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝5，从而m −n =−3.调研4 在△ABC 中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，若PA =(4，3)，PQ =(1，5)，则BC 等于A ．(−6，21)B ．(−2，7)C ．(6，−21)D ．(2，−7)【答案】A【解析】22()(6,4),33()(6,21)AC AQ PQ PA BC PC AC AP ==-=-==-=-，故选A ．☆技巧点拨☆平面向量坐标运算的技巧1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.【注】（1）要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．（2）向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．题组三平面向量共线的坐标表示及运算调研5 已知向量()2,1=-a ，()1,3=-b ，则下列向量与2+a b 平行的是 A ．22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,3-C ．()1,2-D ．()0,2【答案】A【解析】因为()2,1=-a ，()1,3=-b ，所以2(3,1),+=a b 由(3,1)=322,23⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭可知2+a b 与向量22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭平行，故选A.【名师点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量共线的基本定理，属于中档题.根据向量的线性运算，计算2(3,1),+=a b 根据向量平行的基本定理即可判定.调研6 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC =2AB ，若三个顶点分别为A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________．【答案】(2，4)【解析】∵在梯形ABCD 中，DC =2AB ，AB ∥CD ，∴2DC AB =.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC =(4−x ，2−y )，AB =(1，−1)，∴(4−x ，2−y )=2(1，−1)，即(4−x ，2−y )=(2，−2)，∴4222x y -=⎧⎨-=-⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，故点D 的坐标为(2，4)．调研7 已知向量()3cos 2α=-，a 与向量()34sin α=-，b 平行，则锐角α等于A ．5π12 B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】∵向量()3c o s 2α=-，a 与向量()34s i n α=-，b 平行，∴()()3cos 4sin 23αα-⨯-=⨯，∴12sin cos 6sin26ααα==，∴sin21α=．又α为锐角，∴02πα<<，∴π22α=，∴π4α=．故选C ．【名师点睛】根据向量的共线及倍角公式得到sin21α=，然后根据α的范围得到所求的角的大小．解答本题的关键有两个：一是根据向量共线的充要条件得到关于角α的三角函数关系式；二是在已知三角函数值求角时，要注意讨论角的范围，这是解题中容易出现错误的地方．调研8 设OA =(1，−2)，OB =(a ，−1)，OC =(−b ，0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值是A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D解法二：k AB =－1＋2a －1，k AC =2－b －1，∵A ，B ，C 三点共线，所以k AB =k AC ，即－1＋2a －1=2－b －1，∴2a ＋b =1，所以1a ＋2b =2a ＋b a ＋4a ＋2b b =4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4a b =8(当且仅当b a =4ab，即11,42a b ==时，取“=”号)，∴1a ＋2b 的最小值是8.故选D ．☆技巧点拨☆平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，属中低档题，且常见题型及求解策略如下：1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则∥a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．3．三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB 与AC 共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.考点3 平面向量的数量积及向量的应用题组一平面向量数量积的运算调研1 设x ∈R ，向量a =(1，x )，b =(2，−4)，且a ∥b ，则a ·b = A ．−6 B ．10 C ． 5 D ．10【答案】D【解析】∵a =(1，x )，b =(2，−4)，且a ∥b ，∴−4−2x =0，x =−2，∴a =(1，−2)，a ·b =10，故选D ．调研2 在直角ABC △中，π2C ∠=，4AB =，2AC =，若32A D AB =，则CD CB ⋅=A ．18-B ．-C ．18D ．【答案】C【解析】在直角ABC △中，π2C ∠=，4AB =，2AC =，1cos 2AC CAB AB ∠==，若32AD AB =，则2C D C B A⋅=-⋅（）（） 223322AB AB AC AC AB AC =-⋅-⋅+3511642418222=⨯-⨯⨯⨯+=．故选C.【名师点睛】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．在直角ABC △中，求得1cos 2AC CAB AB ∠==，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．☆技巧点拨☆平面向量数量积的类型及求法：1．平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +.2．求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.【注】（1）在平面向量数量积的运算中，不能从a ·b =0推出a =0或b =0成立．实际上由a ·b =0可推出以下四种结论：①a =0，b =0；②a =0，b ≠0；③a ≠0，b =0；④a ≠0，b ≠0，a ⊥b ．（2）实数运算满足消去律：若bc =ca ，c ≠0，则有b =a ．在向量数量积的运算中，若a ·b =a ·c (a ≠0)，则不一定有b =c ．（3）实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．题组二平面向量数量积的应用调研3 已知非零向量()(,0,t ==-a b ，若4⋅=-a b ，则2+a b 与b 的夹角为A ．π3 B ．π2 C ．π6D ．2π3【答案】A【解析】∵4t ⋅=-=-a b ，∴t =4，∴()4,0=a ，又(=-b ，∴(22,+=a b . 设2+a b 与b 的夹角为θ，则(2)261cos 2242θ+⋅-+===+⋅⨯a b b a b b ，∴π=3θ.故答案为A ．【名师点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式的应用，属于中档题.根据条件容易求出t =4，从而得出()4,0=a ，从而得出(22,+=a b ，可设2+a b 与b 的夹角为θ，这样根据(2)cos 2θ+⋅=+⋅a b ba b b即可求出cos θ，进而得出θ的值．调研4 设向量(),4x =-a ，()1,x =-b ，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的取值范围为A ．(22)-，B ．()0,+∞C ．()()0,22+∞，D ．[22]-，【答案】C【解析】由向量(),4x =-a ，()1,x =-b ，因为向量a 与b 的夹角为锐角，则()()140x x ⨯+-⨯->且41x x-≠-，解得0x >且2x ≠，即x 的取值范围为()()0,22+∞，. 故选C.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算及向量的共线定理的应用，其中解答中熟记平面向量的坐标运算法则和平面向量的共线定理，列出相应的关系式是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.由题意，根据向量a 与b 的夹角为锐角，可得()()140x x ⨯+-⨯->且41x x-≠-，即可求解.☆技巧点拨☆平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 【注】在求ABC △的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如在等边三角形ABC 中，AB 与BC 的夹角应为120°而不是60°.题组三平面向量的模及其应用调研5 已知向量()2,1,10,=⋅=+=a a b a b ，则=bA B C ．2D ．5【答案】D【解析】∵|a +b ，∴222+⋅+a a b b =50， ∵2a =5，∴5+20+2b =50，解得2b =25，∴|b |=5．故选D ．【名师点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．对|a +b 两边平方即可得出2b ，进而得出|b |．调研6 设e 1，e 2为单位向量，它们的夹角为π3，a =x e 1＋y e 2，b =x e 1−y e 2(x ，y ∈R )，若|a |=3，则|b |的最小值为________．【答案】1【解析】∵单位向量e 1，e 2的夹角为π3，∴e 1·e 2=12，由|a |=3，得(x e 1＋y e 2)2=3，即x 2＋y 2＋xy =3，①则|b |2=(x e 1−y e 2)2=x 2＋y 2−xy ，② ①＋②得x 2＋y 2=|b |2＋32，①−②得xy =3－|b |22.又x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x =y 时“=”成立，∴|b |2＋32≥2·3－|b |22，解得|b |2≥1，因此，|b |的最小值为1.☆技巧点拨☆利用平面向量数量积求模及范围、求参数的取值或范围问题是高考考查数量积的一个重要考向，常以选择题、填空题的形式呈现，具有一定的综合性，且平面向量的模及其应用的常见类型与解题策略如下：(1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式||=a ，或坐标公式||=a 的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．(2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．(3)由向量的模求夹角．此类问题的求解其实质是求向量模方法的逆运用.题组四平面向量的应用调研7 已知D 是ABC △所在平面内一点，且满足()()0BC CA BD AD -⋅-=，则ABC △是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【解析】设,,BC a AC b AB c ===，则由()()()0BC CA BD AD BC CA BA -⋅-=-⋅=，得BC BA CA BA ⋅=⋅，所以ac cos B =bc cos A ，即a cos B =b cos A ，利用余弦定理化简得a 2=b 2，即a =b ，所以ABC △是等腰三角形．（此题也可用正弦定理化简a cos B =b cos A 得sin()0A B -=，即A B =可得）调研8 已知正三角形ABC 的边长为G ，P 是线段AC 上一点，则GP AP ⋅的最小值为A ．14- B ．－2 C ．34-D ．－1【答案】C【解析】如图，过点G 作GD AC ⊥，垂足为D ，当点P 位于线段AD 上时，0GP AP ⋅<；当点P 位于线段DC 上时，0GP AP ⋅>，故当G PA ⋅取得最小值时，点P 在线段AD 上，所以()··3G P A P A PD P A P A P ⋅=-=--，当3AP =时，取得最小值34-，故选C ．【名师点睛】求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，本题主要是通过向量的数量积运算得到关于某线段长的二次函数，确定其定义域求最值即可.过点G 作GD AC ⊥，垂足为D ，分析可知当G PA P ⋅取得最小值时，点P 在线段AD 上，从而得()||3GP AP AP AP ⋅=-⋅-，利用二次函数的性质可得最值.调研9 已知向量a =⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b =⎝⎛⎭⎫－sin x 2，－cos x 2，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.令函数f (x )=a ·b ，若c >f (x )恒成立，则实数c 的取值范围为 A ．(1，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(−1，＋∞) D ．(2，＋∞)【答案】A【解析】因为f (x )=a ·b =−cos 3x 2sin x 2−sin 3x 2cos x2=−sin2x ，又π≤2x ≤2π，所以−1≤sin2x ≤0，所以f (x )max =1.又c >f (x )恒成立，所以c >f (x )max ，即c >1.所以实数c 的取值范围为(1，＋∞)．故选A ．☆技巧点拨☆1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量与函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法． 3．向量的两个作用：(1)载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；(2)工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．4．向量中有关最值问题的求解思路：一是“形化”，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是“数化”，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题．【注】常见的向量表示形式：(1)重心．若点G 是ABC △的重心，则GA GB GC ++=0或1()3PG PA PB PC ++=(其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA GB GC ++=0，则点G 是ABC △的重心． (2)垂心．若H 是ABC △的垂心，则HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅.反之，若HA HB HB HC ⋅=⋅=HC HA ⋅，则点H 是ABC △的垂心．(3)内心．若点I 是ABC △的内心，则||||||BC IA CA IB AB IC ⋅+⋅+⋅=0.反之，若||||BC IA CA ⋅+⋅||IB AB IC +⋅=0，则点I 是ABC △的内心．(4)外心．若点O 是ABC △的外心，则()()()0OA OB BA OB OC CB OC OA AC +⋅=+⋅=+⋅=或||||||OA OB OC ==.反之，若||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC △的外心.1．（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考数学试题）已知P (6，8)，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转3π2后得向量OQ ，则点Q 的坐标是 A ．(8,−6) B ．(−8, −6) C ．(−6, 8)D ．(−6, −8)2．（山东省师大附中2019届高三上学期第二次模拟考试数学试题）设,a b 是非零向量，则2=a b 是=a ba b成立的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．（广东省珠海市2019届高三9月摸底考试数学试题）如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =A ．1324AB AD -+ B ．1223AB AD + C ．1132AB AD -D ．1324AB AD -4．（山东省青岛市2019届高三9月期初调研检测数学试题）已知向量()()1,1,3,,m =-=a b (),=m +若∥则a a bA ．2-B ．2C ．2-D ．−35．（甘肃省师大附中2018−2019学年上学期高三期中模拟数学试卷）已知1=a ，=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 与向量b 的夹角为A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．2π36．（吉林省吉林市2019届高三上学期第一次调研测试）已知等边ABC △的边长为2，则23AB BC CA ++=A ．B ．C ．D ．127．（湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第二次质检数学试题）已知P 是ABC △所在平面内一点，2PB PC PA ++=0，现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则黄豆落在PBC △内的概率是A ．23 B ．12C ．13D ．148．（四川省攀枝花市2019届高三第一次统一考试数学试题）在四边形ABCD 中，已知M 是AB 边上的点，且1MA MB MC MD ====，120CMD ∠=，若点N 在线段CD (端点,C D 除外)上运动，则NA NB ⋅的取值范围是 A ．[)1,0-B ．[)1,1- C ．3,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭9．（广西百色市高三年级2019届摸底调研考试数学试卷）已知4=a ，2⋅=-a b ，则向量b 在a 的方向上的投影为_______.10．（2018-2019学年第一学期安徽省高三第二次联考数学（文科）试题）若向量()23AB =，，()4BC m =-，，且A ，B ，C 三点共线，则AB BC ⋅=_______.11．（福建省泉州市永春二中、永春五中联考2019届高三上学期期中数学试题）已知向量2=a ，1=b ，a ，b 的夹角为60，如果()λ⊥+a a b ，则λ=______．12．（江苏省扬州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题）在△ABC 中，AH 是边BC 上的高，点G 是△ABC 的重心，若△ABC 的面积为1，AC ＝，tan C ＝2，则()()AH BC GB GC +⋅+＝_______．13．（盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试数学试题）如图，给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它的夹角为120，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC xOA yOB =+，其中x y ∈R ，，求x y +的最大值.14．（湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第二次质检数学试题）在锐角ABC △中，已知2AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅．（1）求tan tan tan tan C CA B+的值；（2）求cos C 的取值范围．15．（安徽省江南十校2019届高三第二次联考数学试题）在ABC △中，三内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知向量()2s i n cos 2x x =，m ，)1x =，n ，函数()f x =⋅m n 且()1f B =.（1）求角B 的值；（2）若23BA BC +=a b c ，，成等差数列，求b .1．（2018年高考新课标Ⅰ卷理科）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +2．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．03．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =A ．−8B ．−6C ．6D ．84．（2017新课标全国Ⅲ理科）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．25．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-6．（2016新课标全国Ⅲ理科）已知向量1(2BA =uu r ，1),2BC =uu u r 则ABC ∠= A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°7．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．8．（2017新课标全国Ⅰ理科）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b|=___________．9．（2016新课标全国Ⅰ理科）设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=___________．。

2019年高考理科数学分类汇编：平面向量(解析版)

∴ =-2 m2+8＞ 0，解得 2 x 2 ，
设 A（x1 ，y1 ）， B（ x2， y2），则 x1+x2=- m， x1x2
m2 1
，
2
y1y2=（ x1+m）（ x2+m） =x1x2+m（ x1 +x2）+m2， AO =（ -x1， -y1）， AB =（ x2-x1， y2-y1），
专题 07 平面向量
1．【 2019 年高考全国 I 卷理数】已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b，则 a 与 b 的夹角为
π
A．
6 2π
C．
3
【答案】 B
π
B．
3 5π
D．
6
【解析】因为 (a b)
b，所以 ( a b) b a b b2 =0，所以 a b b2 ，所以 cos = a b ab
为坐标原点，若 AO AB
3
，则实数 m=
2
A． 1
3
B．
2
y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、 B 两点， O
2
C．
2
1
D．
2
【答案】 C
【解析】联立
y x2
x y2
m 1
，得 2x2+2mx+m2- 1=0，
7
∵直线 y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、 B 两点， O 为坐标原点，
6 AO EC 3 AD AC AE
3
1
AB AC AC AB
2
3
3 AB AC AC AE ，
2
3

2019年高考数学理试题分类汇编：平面向量(含答案)

2019年高考数学理试题分类汇编平面向量一、选择题1、（2019年北京高考）设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D2、（2019年山东高考）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（A ）4（B ）–4 （C ）94 （D ）–94 【答案】B3、（2019年四川高考）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ﹒DB =DB ﹒DC =DC ﹒DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是（A ）434 （B ）494 （C ）37634+ （D ）372334+ 【答案】B4、（2019年天津高考）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC 的值为（）（A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B5、（2019年全国II 高考）已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8【答案】D 6、（2019年全国III 高考）已知向量13(,)22BA =uu v ,31(,),22BC =uu u v 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200【答案】A二、填空题1、（2019年上海高考）在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是 .【答案】[0,12]+2、（2019年上海高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是.【答案】5283、（2019年全国I 高考）设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = .【答案】2-4、（2019年浙江高考）已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤6 ,则a ·b 的最大值是．【答案】125、(2019江苏省高考)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】7 8。

2019年高考数学(理)一轮复习题第九单元平面向量

(
1
2
)
=
=
�� - 2 1 2�� 2 2 3 ×3-3×3 + 3 ×2
= 3 λ-5=-4,解得 λ=11.
3
11
3
【答案】11 7.(2017 年北京卷)设 m,n 为非零向量,则“存在负数 λ,使得 m=λn”是“m·n<0”的( ). A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
第九单元平面向量
考点一平面向量的线性运算
1.(2015 年全国Ⅱ卷)设向量 a,b 不平行,向量 λa+b 与 a+2b 平行,则实数 λ= . 【解析】∵λa+b 与 a+2b 平行,∴λa+b=t(a+2b)(t∈R),即 λa+b=ta+2tb, �� = 2, �� = ��, ∴ 1 = 2��,解得 1 �� = 2.
设 P(x0,y0),则
{
��0 = 2 + 5 cos��, ��0 = 1 + 5 sin��
2 5
2 5
(θ 为参数),
而��=(x0,y0),��=(0,1),��=(2,0).
∵��=λ��+μ��=λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),
∴��·��= 3�� + 3�� ·(λ��-��)

全国版高考数学(理)一轮复习必刷题：第九单元平面向量

畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643第九单元平面向量考点一平面向量的线性运算1.(2015年全国Ⅱ卷)设向量a ,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= .【解析】∵λa+b 与a+2b 平行,∴λa+b=t (a+2b )(t ∈R ),即λa+b=ta+2tb , ∴{λ=t,1=2t,解得{λ=12,t =12.【答案】122.(2015年全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ).A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AC ⃗⃗⃗⃗⃗【解析】AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A . 【答案】A3.(2017年全国Ⅲ卷)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为( ).A.3B.2√2 C .√5 D .2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则点C 的坐标为(2,1).设BD 与圆C 切于点E ,连接CE ,则CE ⊥BD.∵CD=1,BC=2, ∴BD=√12+22=√5, EC=BC ·CD BD =5=2√55, 即圆C 的半径为2√55, ∴点P 的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=45.设P (x 0,y 0),则{x 0=2+2√55cosθ,y 0=1+2√55sinθ(θ为参数),而AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0).∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),∴μ=12x 0=1+√55cos θ,λ=y 0=1+2√55sin θ. 两式相加,得λ+μ=1+2√55sin θ+1+√55cos θ=2+sin (θ+φ)≤3 (其中sinφ=√55,cosφ=2√55), 当且仅当θ=π2+2k π-φ,k ∈Z 时,λ+μ取得最大值3. 故选A . 【答案】A考点二向量的数量积运算畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码25486434.(2016年全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m ),b=(3,-2),且(a+b )⊥b ,则m=( ).A .-8B .-6C .6D .8【解析】因为a=(1,m ),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2).因为(a+b )⊥b ,所以(a+b )·b=0,所以12-2(m-2)=0,解得m=8. 【答案】D5.(2016年全国Ⅲ卷)已知向量BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),则∠ABC=( ).A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】因为BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√34+√34=√32.又因为BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠ABC=1×1×cos ∠ABC ,所以cos ∠ABC=√32.又0°≤∠ABC ≤180°,所以∠ABC=30°.故选A .【答案】A6.(2017年天津卷)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,则λ的值为 .【解析】由题意,知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2×cos 60°=3, AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λ-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2λ3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=λ-23×3-13×32+2λ3×22 =113λ-5=-4,解得λ=311.【答案】3117.(2017年北京卷)设m ,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m =λn ”是“m ·n<0”的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由题意知|m|≠0,|n|≠0.设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ,使得m =λn , 则m 与n 反向共线,θ=180°, 所以m ·n=|m||n|cos θ=-|m||n|<0.当90°<θ<180°时,m ·n<0,此时不存在负数λ,使得m =λn. 故“存在负数λ,使得m =λn ”是“m ·n<0”的充分而不必要条件. 故选A . 【答案】A8.(2017年山东卷)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量.若√3e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是 .【解析】由题意知|e 1|=|e 2|=1,e 1·e 2=0,|√3e 1-e 2|=√(√3e 1-e 2)2=√3e 12-2√3e 1·e 2+e 22=√3−0+1=2.同理|e 1+λe 2|=√1+λ2. 所以cos 60°=(√3e 1-e 2)·(e 1+λe 2)|3e -e ||e +λe |=√3e 12√3λ12222√1+λ=√3-2√1+λ=12,解得λ=√33.【答案】√33考点三与向量的模有关的运算9.(2017年全国Ⅰ卷)已知向量a ,b 的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .【解析】|a+2b|=√(a +2b)2=√a 2+4a ·b +4b 2=√22+4×2×1×cos60°+4×12 =√12=2√3.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【答案】2√310.(2016年全国Ⅰ卷)设向量a=(m ,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .【解析】∵|a+b|2=|a|2+|b|2+2a ·b=|a|2+|b|2,∴a ·b=0.又a=(m ,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2. 【答案】-211.(2017年浙江卷)已知向量a ,b 满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .【解析】设a ,b 的夹角为θ.∵|a|=1,|b|=2,∴|a+b|+|a-b|=√(a +b)2+√(a -b)2 =√5+4cosθ+√5−4cosθ.令y=√5+4cosθ+√5−4cosθ, 则y 2=10+2√25−16cos 2θ.∵θ∈[0,π],∴cos 2θ∈[0,1],∴y 2∈[16,20], ∴y ∈[4,2√5],即|a+b|+|a-b|∈[4,2√5].【答案】4 2√5考点四平面向量在平面几何中的应用12.(2017年全国Ⅱ卷)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( ). A.-2 B.-32C.-43D.-1【解析】如图,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ (D 为BC 的中点),则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ .要使PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反,即点P 在线段AD 上,则(2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =-2|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,问题转化为求|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值. 又|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×√32=√3, ∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤(|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2)2=(√32)2=34,∴[PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )]min =(2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =-2×34=-32.故选B . 【答案】B13.(2017年浙江卷)如图,已知平面四边形ABCD ,AB ⊥BC ,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与BD 交于点O ,记I 1=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 3=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ). A.I 1<I 2<I 3 B.I 1<I 3<I 2 C.I 3<I 1<I 2 D.I 2<I 1<I 3【解析】∵I 1-I 2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CA⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角为钝角, ∴I 1-I 2<0,即I 1<I 2.∵I 1-I 3=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠AOB-|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠COD =cos ∠AOB (|OA⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |), 又∠AOB 为钝角,OA<OC ,OB<OD ,∴I 1-I 3>0,即I 1>I 3. ∴I 3<I 1<I 2.故选C . 【答案】C高频考点:向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积均是高考热点,在历年高考中都有出现.命题特点:1.高考每年都会出现一道小题,考查的内容有向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP邀请码NJBHKZO，高佣联盟官方正版APP邀请码25486432.一般以容易题出现,但偶尔会以中档题和难题出现,所以难度要把控好.§9.1平面向量的概念及线性运算一向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量;向量的大小叫作向量的长度(或模).2.零向量:长度为的向量;其方向是任意的,记作0.3.单位向量:长度等于的向量.非零向量a的单位向量为±a|a|4.平行向量(也称共线向量):方向或的非零向量.(0与任一向量平行或共线)5.相等向量:长度且方向的向量.6.相反向量:长度且方向的向量.二向量的线性运算1.向量的加(减)法法则有法则和法则,向量的加法运算满足和.2.实数λ与向量a的积是一个向量,且|λa|=|λ||a|;当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.3.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一实数λ,使得b=λa.☞ 左学右考如图,在正方形ABCD 中,E 为CD 的中点,F 为BC 上靠近点B 的一个三等分点,则EF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ).A .12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AD ⃗⃗⃗⃗⃗B .23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C .13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D .12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AD ⃗⃗⃗⃗⃗下列命题中,正确的个数是( ).①若|a|=|b|,则a=b ; ②若a=b ,则a ∥b ; ③|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |;④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.A .1B .2C .3D .4已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 边的中点,且2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则( ).A .AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B .AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C .AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D .2AO⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗知识清单一、2.零 3.1个单位 4.相同相反 5.相等相同 6.相等相反畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643二、1.平行四边形三角形交换律结合律 2.> < 基础训练1.【解析】EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .【答案】D2.【解析】∵a 与b 的方向不能确定,∴①错误;②③正确;若b 为零向量,则a 与c 的方向不能确定,∴④错误. 【答案】B3.【解析】由2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可知,O 是底边BC 上的中线AD 的中点,故AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 【答案】A题型一平面向量的概念辨析【例1】给出下列命题:①若|a|=|b|,则a ∥b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的必要不充分条件;③若a=b ,b=c ,则a=c ;④“a=b ”的充要条件是“|a|=|b|且a ∥b ”.其中正确命题的序号是 .【解析】①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定共线.②正确.若四边形ABCD 为平行四边形,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ③正确.∵a=b ,∴a ,b 的长度相等且方向相同.又b=c ,∴b ,c 的长度相等且方向相同,∴a ,c 的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a ∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b ,故“|a|=|b|且a ∥b ”不是“a=b ”的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③. 【答案】②③正确理解相等向量、共线向量、单位向量以及向量的模等相关概念及其含义是解题的关键.【变式训练1】下列命题中正确的是( ).A .若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 也共线B .|a|=|b|,则a=±bC .向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量D .有相同起点的两个非零向量不平行【解析】由于零向量与任一向量都共线,所以A 不正确;模相等的两个向量方向是不确定的,所以B 不正确;向量的平行只要求方向相同或相反,与起点是否相同无关,所以D 不正确;对于C ,由零向量与任一向量都共线,可知C 正确,故选C .【答案】C题型二向量的线性运算【例2】(2017龙岩模拟)如图,下列结论正确的是( ).①PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+32b ;②PT ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a-b ; ③PS ⃗⃗⃗⃗ =32a-12b ;④PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+b. A .①② B .③④ C .①③ D .②④【解析】①根据向量的加法法则,得PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+32b ,故①正确;②根据向量的减法法则,得PT ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a-32b ,故②错误;③PS ⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QS ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+32b-2b=32a-12b ,故③正确;④PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QR ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+32b-b=32a+12b ,故④错误.故选C .【答案】C结合图形性质,准确、灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【变式训练2】如图,已知AB 是圆O 的直径,点C ,D 是半圆弧的两个三等分点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ).A .a-12bB .12a-bC .a+12bD .12a+b【解析】连接CD ,由点C ,D 是半圆弧的三等分点,得CD ∥AB 且CD⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+12a. 【答案】D题型三共线向量定理及应用【例3】设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a-5b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a+b ,求证:A ,B ,D 三点共线. (2)试确定实数k ,使ka+b 与a+kb 共线. 【解析】(1)∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a-5b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a+b , ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a-5b-5a+b=-2a-4b=-2(a+2b )=-2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 又∵它们有公共点B ,∴A ,B ,D 三点共线.(2)∵k a+b 与a+kb 共线,∴存在实数λ,使ka+b =λ(a+kb ),即ka+b =λa +λk b ,∴(k-λ)a=(λk -1)b.∵a ,b 是不共线的两个非零向量, ∴k -λ=λk -1=0,∴k 2-1=0,∴k=±1.解决点共线或向量共线的问题,要利用向量共线定理,先设后求.【变式训练3】已知向量a=2e 1-3e 2,b=2e 1+3e 2,c=2e 1-9e 2,其中向量e 1,e 2不共线,若存在实数λ,μ,使向量d =λa +μb 与c 共线,求λμ的值.【解析】∵d =λ(2e 1-3e 2)+μ(2e 1+3e 2)=(2λ+2μ)e 1+(-3λ+3μ)e 2,要使d 与c 共线,则应有实数k ,使d=kc , 即(2λ+2μ)e 1+(-3λ+3μ)e 2=2ke 1-9ke 2,∴{2λ+2μ=2k,-3λ+3μ=−9k,得λ=-2μ,∴λμ=-2.方法待定系数法在平面向量的线性运算中的应用用两个已知向量来表示另一向量的问题中,找不到问题的切入口,可利用待定系数法求解.例如用a 、b 表示OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb ,再结合图形,利用向量共线建立方程,用方程的思想求解.方程思想是解决此类题的关键,要注意体会.【突破训练】如图,在△ABO 中,OC⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 与BC 相交于点M ,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.试用a 和b 表示向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 【解析】设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb-a=(m-1)a+nb.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+12b.∵A ,M ,D 三点共线,∴AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. ∴存在实数t ,使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(m-1)a+nb=t (-a +12b).∴(m-1)a+nb=-ta+12tb.∴{m -1=-t,n =t 2,消去t 得,m+2n=1. ① ∵CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb-14a=(m -14)a+nb ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-14a=-14a+b.又∵C ,M ,B 三点共线,∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. ∴存在实数t 1,使得CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t 1CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(m -14)a+nb=t 1(-14a +b),∴{m -14=−14t 1,n =t 1,消去t 1得,4m+n=1. ②由①②得m=17,n=37,∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =17a+37b.1.(2017湖南二模)设e 0为单位向量,①若a 为平面内的某个向量,则a=|a|e 0;②若a 与e 0平行,则a=|a|e 0;③若a 与e 0平行且|a|=1,则a=e 0.上述命题中,假命题的个数是( ).A .0B .1C .2D .3【解析】向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|e 0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a 与e 0平行,则a 与e 0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|e 0,故②③也是假命题.【答案】D2.(2017南城中学质检)如图,在正六边形ABCDEF 中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .0 B .BE ⃗⃗⃗⃗⃗ C .AD⃗⃗⃗⃗⃗ D .CF⃗⃗⃗⃗⃗ 【解析】由图知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 【答案】D3.(2017运城一中质检)设a ,b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+pb ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2b ,若A ,B ,D 三点共线,则实数p 的值为( ).A .-2B .-1C .1D .2【解析】∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2b , ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a-b.又∵A ,B ,D 三点共线,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 设AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴2a+pb =λ(2a-b ), ∴p=-λ,2=2λ,∴λ=1,p=-1.【答案】B4.(2017四平二中二模)已知向量a ,b 不共线,c=ka+b (k ∈R ),d=a-b.如果c ∥d ,那么( ).A .k=1且c 与d 同向B .k=1且c 与d 反向C .k=-1且c 与d 同向D .k=-1且c 与d 反向【解析】∵c ∥d ,∴c =λd ,即ka+b =λ(a-b ),∴{k =λ,λ=−1.【答案】D5.(2017西宁市一模)如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,且CD=2DB ,点E 在边AD 上,且AD=3AE ,则用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示CE⃗⃗⃗⃗⃗ 为( ).畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643A .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +89AC⃗⃗⃗⃗⃗ B .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -89AC ⃗⃗⃗⃗⃗C .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +79AC ⃗⃗⃗⃗⃗D .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -79AC ⃗⃗⃗⃗⃗【解析】CE⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴CE⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +89CA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又∵89CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-89AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CE⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -89AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 【答案】B6.(2017四川质检)向量e 1,e 2不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(e 1+e 2),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2-e 1,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+e 2,给出下列结论:①A ,B ,C 三点共线;②A ,B ,D 三点共线;③B ,C ,D 三点共线;④A ,C ,D 三点共线.其中所有正确结论的序号为 .【解析】由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1+2e 2=2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,可得A ,C ,D 三点共线,且点B 不在此直线上. 【答案】④7.(2017河北三模)如图,在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= .【解析】由题图知CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ① CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ② 且AD⃗⃗⃗⃗⃗ +2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 由①+②×2,得3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ=23.【答案】238.(2017唐山一模)已知向量a ,b 是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使a ,b 共线的条件是 .(将所有正确的序号填在横线上)①2a-3b=4e ,且a+2b=-3e ;②存在相异实数λ,μ,使λa +μb=0; ③x a+yb=0(实数x ,y 满足x+y=0).【解析】由①得10a-b=0,故①正确;②正确;对于③,当x=y=0时,a 与b 不一定共线,故③错误. 【答案】①②9.(2017黄冈二模)已知a ,b 是不共线的向量,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa+b ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =a +μb ,λ,μ∈R ,则A ,B ,C 三点共线的充要条件为( ). A .λ+μ=2 B .λ-μ=1 C .λμ=-1 D .λμ=1【解析】因为A ,B ,C 三点共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC⃗⃗⃗⃗⃗ (m ≠0),所以{λ=m,1=mμ,则λμ=1. 【答案】D10.(2017安徽二模)已知A ,B ,C 是△ABC 的三个顶点,O 为平面内一点,满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若实数λ满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则λ的值为( ).A .3B .32C .-2D .23【解析】∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴O 为△ABC 的重心,设BC 的中点为D ,∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =32AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×32AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ=3.【答案】A11.(2017河南四校联考)设e 1,e 2是两个不共线的向量,已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+e 2sin α(-π2<α<π2),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-54e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,若A ,B ,D 三点共线,则函数f (x )=2cos (x+α)在[0,π)上的值域为( ).A .[-1,12]B .[-2,√3]C .(-2,1]D .(-1,√3]畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【解析】若A ,B ,D 三点共线,则存在实数λ,使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴2e 1+e 2sin α=λ(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ(e 1+14e 2),∴λ=2,sin α=14λ,∴sin α=12.∵-π2<α<π2,∴α=π6.∵0≤x<π,∴π6≤x+α<7π6,∴-2≤f (x )≤√3. 【答案】B12.(2017江西联考)在直角梯形ABCD 中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2√3,BC=2,点E 在线段CD 上,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则μ的取值范围是 .【解析】由题意可求得AD=1,CD=√3,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为AE⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2μDC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又因为0≤2μ≤1,所以0≤μ≤12.【答案】[0,12]13.(2017怀化模拟)已知a ,b 为两个不共线的向量,若四边形ABCD 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4a-b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a-3b. (1)试用a ,b 表示向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)证明四边形ABCD 为梯形.【解析】(1)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗=(a+2b )+(-4a-b )+(-5a-3b ) =(1-4-5)a+(2-1-3)b =-8a-2b.(2)因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-8a-2b=2(-4a-b )=2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以在四边形ABCD 中,AD ∥BC 且AD ≠BC , 即四边形ABCD 为梯形.§9.2 平面向量基本定理及坐标表示一平面向量基本定理如果e 1,e 2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a , 一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.其中,不共线的向量e 1,e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组 .二平面向量的坐标运算1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a+b= ,a-b= ,λa= ,|a|=√x 12+y 12.2.向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2.三平面向量共线的坐标表示设a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),其中b ≠0.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.☞ 左学右考已知向量m=(2,-5),n=(-1,3),则2m-3n 等于( ).A .(1,-1)B .(7,-19)C .(7,-1)D .(1,19)已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b 与b 平行,则k= .在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ,μ∈R ,求λ+μ的值.知识清单一、不共线有且只有基底二、1.(x 1+x 2,y 1+y 2) (x 1-x 2,y 1-y 2) (λx 1,λy 1) 2.(2)(x 2-x 1,y 2-y 1) 基础训练1.【解析】原式=2(2,-5)-3(-1,3)=(7,-19). 【答案】B2.【解析】由ka+b 与b 平行,得-3(2k+2)=2(k-3),∴k=0. 【答案】03.【解析】∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ+12μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(12λ+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+12μ=1,12λ+μ=1,两式相加得λ+μ=43.题型一平面向量基本定理的应用【例1】(2017山东省滨州市联考)在△ABC 中,M 为边BC 上的任意一点,点N 在线段AM 上,且满足AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),则λ+μ的值为( ). A .14B .13C .1D .4【解析】∵AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4μAC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵B ,M ,C 三点共线,∴4λ+4μ=1,∴λ+μ=14.【答案】A利用基底表示未知向量,实质就是利用向量的加法、减法及数乘进行线性运算;向量的表示是向量应用的前提.【变式训练1】(2017福建莆田一中高一月考)如图,在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .14a+12b B .12a+14bC .23a+13bD .13a+23b【解析】∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+12b .∵E 是OD 的中点,∴|DE||EB|=13,∴|DF|=13|AB|. ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643=13×(-12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16a-16b , ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+12b+16a-16b=23a+13b ,故选C . 【答案】C题型二向量坐标的基本运算【例2】已知a=(2,1),b=(1,x ),c=(-1,1).若(a+b )∥(b-c ),且c=ma+nb ,则m+n 等于( ).A .14B .1C .-13D .-12【解析】a+b=(3,1+x ),b-c=(2,x-1).由(a+b )∥(b-c ),得3(x-1)-2(x+1)=0,解得x=5,∴c=ma+nb=(2m+n ,m+5n ),即{2m +n =−1,m +5n =1,解得{m =−23,n =13.【答案】C【变式训练2】(1)(2017河南洛阳模拟)已知点M (5,-6)和向量a=(1,-2),若MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3a ,则点N 的坐标为( ). A .(2,0)B .(-3,6)C .(6,2)D .(-2,0)(2)(2017海南中学模考)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4),则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .(4,-1)B .(0,9)C .(2,-1)D .(2,9)【解析】(1)MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3a=-3(1,-2)=(-3,6),设N (x ,y ),则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-5,y+6)=(-3,6),所以{x -5=-3,y +6=6,解得{x =2,y =0,即N (2,0). (2)因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3)+(-1,-2)=(0,-5),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4), 所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)-(0,-5)=(2,9). 【答案】(1)A (2)D题型三共线向量的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题:(1)若向量a=mb+nc ,求实数m ,n ; (2)若(a+kc )∥(2b-a ),求实数k ;(3)若d 满足(d-c )∥(a+b ),且|d-c|=√5,求d. 【解析】(1)由题意得(3,2)=m (-1,2)+n (4,1), ∴{-m +4n =3,2m +n =2,解得{m =59,n =89.(2)a+kc=(3+4k ,2+k ),2b-a=(-5,2),∵(a+kc )∥(2b-a ), ∴2×(3+4k )-(-5)(2+k )=0, ∴k=-1613.(3)设d=(x ,y ),则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4). 由题意得{4(x -4)-2(y -1)=0,(x -4)2+(y -1)2=5,解得{x =3,y =−1或{x =5,y =3.∴d=(3,-1)或d=(5,3).(1)运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合.【变式训练3】(1)(2017南昌模拟)已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k ,12),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k ,10),且A ,B ,C 三点共线,则k 的值是( ).A .-23B .43C .12D .13(2)(2017福建石狮市联考)设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,-1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b ,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若A ,B ,C 三点共线,则1a +2b的最小值是( ).A .2B .4C .6D .8【解析】(1)AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-k ,-7),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2k ,-2).∵A ,B ,C 三点共线,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则-2×(4-k )=-7×(-2k ),解得k=-23.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643(2)由已知条件得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-1,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b-a ,1),若A ,B ,C 三点共线,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,由向量共线定理得(a-1)×1= 1×(-b-a ),∴2a+b=1,故1a +2b=(1a+2b)(2a+b )=4+b a +4a b≥4+2√4=8. 【答案】(1)A (2)D方法利用转化和化归的思想解决向量的线性运算问题复杂的向量线性运算是向量运算的难点,比较难以找到问题的突破口,但根据图形建立适当的平面直角坐标系,将线性问题转化成向量的坐标运算,是解决此类问题的常用方法,此方法容易理解且过程简单.【突破训练】(2016年四川卷)在平面内,定点A ,B ,C ,D 满足|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,动点P ,M 满足|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( ). A .434B .494C .37+6√34D .37+2√334【解析】∵|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴点A ,B ,C 在以点D 为圆心的圆上.又∵DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2, ∴DA⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 两两夹角相等,均为120°(如图).设圆D 的半径为r ,则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =r ·r ·cos 120°=-2,∴r=2. ∵PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴M 为PC 的中点.∵|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, ∴点P 在以点A 为圆心,1为半径的圆上.由上知△ABC 是边长为2√3的等边三角形.设AC 的中点为O ,连接DO ,OM ,则B ,D ,O 三点共线,则|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AP ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +14|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9+3×1×cos <BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ >+14=374+3cos <BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ >≤374+3=494,当BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向时取等号,即|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是494.【答案】B1.(2017福建三明质检)已知向量a=(3,1),b=(x ,-1),若a-b 与b 共线,则x 的值为( ).A .-3B .1C .2D .1或2 【解析】∵a=(3,1),b=(x ,-1),∴a-b=(3-x ,2). 又∵a-b 与b 共线,∴2x=x-3,∴x=-3. 【答案】A2.(2017陕西汉中二模)已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),则下列结论正确的是( ).A .a ·b=2B .a ∥bC .|a|=|b|D .b ⊥(a+b )【解析】因为a=(-2,0),a-b=(-3,-1),所以b=(1,1),所以a ·b=-2,|a|=2,|b|=√2,所以选项A ,B ,C 都不正确.而a+b=(-1,1),则b ·(a+b )=0,故选D .【答案】D3.(2017福建泉州调研)若向量a ,b 不共线,则下列各组向量中,可以作为一组基底的是( ).A .a-2b 与-a+2bB .3a-5b 与6a-10bC .a-2b 与5a+7bD .2a-3b 与12a-34b【解析】不共线的两个向量可以作为一组基底.因为a-2b 与5a+7b 不共线,所以a-2b 与5a+7b 可以作为一组基底. 【答案】C4.(2017山东烟台模拟)已知△ABC 的顶点分别为A (2,1),B (3,2),C (-3,-1),BC 边上的高为AD ,则点D 的坐标为( ).畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643A .(-95,75)B .(92,-75)C .(95,75)D .(-92,-75)【解析】设点D 的坐标为(x ,y ),∵AD 是边BC 上的高,∴AD ⊥BC ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又C ,B ,D 三点共线,∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y-1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,-3),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-3,y-2), ∴{-6(x -2)-3(y -1)=0,-6(y -2)+3(x -3)=0,解得{x =95,y =75,∴点D 的坐标为(95,75).【答案】C5.(2017哈尔滨模拟)如图,在△OAB 中,P 为线段AB 上的一点,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ).A .x=23,y=13B .x=13,y=23C .x=14,y=34D .x=34,y=14【解析】由题意知OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=23,y=13. 【答案】A6.(2017宁夏中卫二模)已知向量a=(x ,2),b=(2,1),c=(3,x ),若a ∥b ,则向量a 在向量c 方向上的投影为 .【解析】由a ∥b ,得x ×1-2×2=0,解得x=4,所以c=(3,4),a=(4,2),a ·c=12+8=20,所以向量a 在向量c 方向上的投影为√3+4=4.【答案】47.(2017江西九江模拟)在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,且DC=2AB ,三个顶点A (1,2),B (2,1),C (4,2),则点D 的坐标为 .【解析】∵在梯形ABCD 中,DC=2AB ,AB ∥DC ,∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .设点D 的坐标为(x ,y ),则DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x ,2-y ),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1),∴(4-x ,2-y )=2(1,-1),即(4-x ,2-y )=(2,-2),∴{4−x =2,2−y =−2,解得{x =2,y =4,即点D 的坐标为(2,4).【答案】(2,4)8.(2017南京模拟)如图,在△ABC 中,H 为边BC 上异于点B ,C 的点,M 为AH 的中点,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= . 【解析】由B ,H ,C 三点共线知,BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (k ≠0,1),则AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k (AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1-k )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(1-k )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k 2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{λ=12(1-k),μ=k 2,从而λ+μ=12.【答案】129.(2017郑州质检)已知A (2,3),B (5,4),C (7,10),点P 在第一、三象限的角平分线上,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),则λ等于( ). A .-32B .-12C .12D .32【解析】设P (x ,y ),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y-3). ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3+5λ,1+7λ). ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x -2=3+5λ,y -3=1+7λ,∴{x =5+5λ,y =4+7λ,由点P 在第一、三象限的角平分线上,得5+5λ=4+7λ,解得λ=12. 【答案】C10.(2017黑龙江哈尔滨师大附中三模)已知AB ⊥AC ,AB=AC ,点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-t )AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,若∠BAM=π3,则t 的值为( ). A .√3-√2 B .√2-1 C .√3-12D .√3+12【解析】由题意可得CBAC=√2.因为AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以t=|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643由正弦定理得CM AC =sin30°sin105°, 所以t=CM AC ·AC CB =√3-12,故选C .【答案】C11.(2017江西南昌模拟)如图,在正方形ABCD 中,M ,N 分别是BC ,CD 的中点,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的值为( ). A .85B .58C .1D .-1【解析】设正方形的边长为2,以点A 为原点,AB ,AD 分别为x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系(如图),则A (0,0),B (2,0),C (2,2),M (2,1),N (1,2),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),所以{2λ-μ=2,λ+2μ=2,解得{λ=65,μ=25,所以λ+μ=85. 【答案】A12.(2017辽宁大连市一模)已知向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,3),OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -n ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m>0,n>0),若m+n ∈[1,2],则|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( ).A .[√5,2√5]B .[√5,2√10)C .(√5,√10)D .[√5,2√10]【解析】因为OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3m+n ,m-3n ),所以|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(3m +n)2+(m -3n)2=√10(m 2+n 2).设点P 的坐标为(m ,n ),则|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10|OP|.由题意得P (m ,n )为可行域{1≤m +n ≤2,m,n >0内一点,可行域为一个梯形ABCD (去掉线段BC ,AD )及其内部,其中A (1,0),B (0,1),C (0,2),D (2,0),所以点O 到直线AB 的距离d=√22,所以|OP|≥d=√22,|OP|<|OD|=2,从而|OF|∈[√10×√22,√10×2)=[√5,2√10),故选B .【答案】B13.(2017重庆联考)正三角形ABC 内一点M 满足CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠MCA=45°,则mn的值为( ).A .√3-1B .√3+1C .√3+12D .√3-12【解析】如图,设正三角形的边长为a ,由CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mCA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+nCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =mCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nCB⃗⃗⃗⃗⃗ 2.∵cos 15°=cos (60°-45°)=√2+√64,∴{√22|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |a =ma 2+na 22,√2+√64|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |a =ma 22+na 2,∴m n =√3-12,故选D .【答案】D14.(2017上海模拟)如图,在△ABC 中,BO 为边AC 上的中线,BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),则λ的值为 .【解析】因为BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,从而AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +m 3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +m 3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+m 3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +m 3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以m 3=15,λ=1+m 3=65. 【答案】6515.(2017北京西城区质检)在直角△ABC 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,且DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,点P 是线段AD 上任一点,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 .畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【解析】如图,分别以AB ,AC 所在直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,则C (0,3),B (3,0). ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴D (2,1).又∵点P 是线段AD 上任一点,∴可设P (2y ,y ),0≤y ≤1,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(2y ,y )·(2y ,y-3)=5y 2-3y. ∵0≤y ≤1,∴-920≤5y 2-3y ≤2.∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[-920,2]. 即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[-920,2]. 【答案】[-920,2]§9.3 平面向量的数量积及应用一平面向量的数量积已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,则|a||b|cos θ叫作a 和b 的数量积(或内积),记作a ·b=|a||b|cos θ.规定:零向量与任一向量的数量积为 .两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±|a||b|.二平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.三平面向量数量积的重要性质1.e·a=a·e=|a|cos θ(e为单位向量).2.非零向量a,b,a⊥b⇔.3.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.4.a·a=a2,|a|=√a·a.5.cos θ=.6.|a·b|≤|a||b|.四平面向量数量积满足的运算律1.a·b=b·a(交换律);2.(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)(结合律);3.(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643五平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a ·b= ,由此得到1.若a=(x ,y ),则|a|2= 或|a|=√x 2+y 2. 2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ,B 两点间的距离|AB|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.3.设两个非零向量a ,b ,a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔ .☞ 左学右考已知向量a 与b 的夹角为3π4,且|a|=√2,|b|=2,则a (2a+b )等于( ).A .-1B .1C .2D .2√2向量a=(3,-4), 向量|b|=2,若a ·b=-5,则向量a ,b 的夹角为( ).A .π3B .π6C .3π4D .2π3设向量a ,b 满足a ·b=-12,且向量a 在向量b 方向上的投影为-4,则|b|等于( ).A .4B .3C .2D .1在△ABC 中,M 是BC 的中点,|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值.知识清单一、0。

2019年普通高等学校全国统一考试必刷卷理科数学九

36
(
)
10. 已知函数 f (x) 的图像关于原点对称，f (x) · f
3 0
<
x
≤
3 2
时，f (x)
=
log2
7
1 − 2x
，则
f (4) + f (5) + · · · + f (26) =（）.
A： 2
B： log2 5
C： 0
D： − log2 5
11.
已知函数 f (x) =
( 3 sin ωx −
π) 4
(ω
> 1/2) 在区间 (3π, 4π) 内不存在对称轴，则实数 ω
的取值范围是（
）.
A：
[
7
,
15 ]
13 ∪[ ,
19 ]
12 16 12 16
B：
[
7
,
11 ]
11 ∪[ ,
15 ]
12 16 12 16
C： ( 1 ,
7
11 19 ]∪( , ]
2 12 12 16
4a2 ，则双曲线的离心率为（ 3c
）.
A： 5 4
B：
√ 2
C： 5 3
D：
√ 3
5.
函数 f (x) =
ex x
+
x ex
的图象大致是（
）.
7. 条形码是将宽度不等的多个黑条和空白按照一定的编码规则排列，用以表达一组信息的图形标识符. 常见的条形码是“EAN −13”通用代码，它由从左到右排列的 13 个数字（用 a1, a2, · · · , a13 表示）组成，其中 a13 是校验码，用来校验前 12 个数字代码的正确性. 计算第 13 位校验码的程序框图如图（1）所示，框图中符号 [m] 表示不超过 m 的最大整数（如 [2.12] = 2）. 现有一条形码如图（2）所示（69418a63400136），其中第 6 个数字被污损，那被污损的数字 a6 是（）.

高考数学一轮复习（例题解析）第9章平面向量

高中数学一轮复习资料第九章平面向量1．已知三个向量a =co ，in ，b =co ，in ，c =3(cos θ，in ，满足0=++c b a ，则a 与b 的夹角为 π32 2、．下列命题：1若a 与b 为非零向量，且a ∥b 时，则a —b 必与a 或b 中之一的方向相同； 2若e 为单位向量，且a ∥e ，则a =|a |e ；3a ·a ·a=|a |34若a 与b 共线，又b 与c 共线，则a 与c 必共线5若平面内四个点A 、B 、C 、D 则必有ACBD=BCAD正确的命题个数为（ D ）A 、1B 、2C 、3D 、03、若o 为平行四边形ABCD 的中心，=41, 12223,6e e e C B -=则等于（ B ）A ．B ．C ．D ． 4、若)2,1(),7,5(-=-=b a ，且（b a λ+），则实数的值为______519______ 5、已知2||||==b a ，与的夹角为3π，则在上的投影为 3 。

6、在直角坐标平面上，向量)1,4(=OA ，向量)3,2(-=OB ，两向量在直线上的正射影长度相等，则直线的斜率为 21-3或 7、设平面向量=-2,1，=1,，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 )2,21()21,(---∞ 。

8、．已知向量)sin 2,cos 2(),2,2(),0,2(αα===CA OC OB ,则向量OB OA ,的夹角范围是 ]125,12[ππ 。

9、将函数x y 2=的图象按向量平移后得到62+=x y 的图象，给出以下四个命题： ①的坐标可以是)0,3(-； ②的坐标可以是)0,3(-和；③的坐标可以是； ④的坐标可以有无数种情况。

上述说法正确的是 ①②③④ 。

10、已知ABC ∆中，5||,3||,415,0,,===<⋅==∆b a S b a b CA a CB ABC ，则与的夹角为。

2019年全国版高考数学（理）一轮复习必刷题：第九单元平面向量

2019年全国版⾼考数学（理）⼀轮复习必刷题：第九单元平⾯向量第九单元平⾯向量考点⼀平⾯向量的线性运算1.(2015年全国Ⅱ卷)设向量a,b不平⾏,向量λa+b与a+2b平⾏,则实数λ=.【解析】∵λa+b与a+2b平⾏,∴λa+b=t(a+2b)(t∈R),即λa+b=ta+2tb,∴λ=t,1=2t,解得λ=12,t=12.【答案】122.(2015年全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平⾯内⼀点,BC=3CD,则().A.AD=-1AB+4ACB.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+13ACD.AD=43AB-13AC【解析】AD=AC+CD=AC+1BC=AC+1(AC-AB)=4AC-1AB=-1AB+4AC.故选A.【答案】A3.(2017年全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆⼼且与BD相切的圆上.若AP=λAB+µAD,则λ+µ的最⼤值为().A.3B.22C.5D.2【解析】建⽴如图所⽰的平⾯直⾓坐标系,则点C的坐标为(2,1).设BD 与圆C 切于点E ,连接CE ,则CE ⊥BD.∵CD=1,BC=2, ∴BD= 2+22= , EC=BC ·CD BD = 5=2 55, 即圆C 的半径为2 55, ∴点P 的轨迹⽅程为(x-2)2+(y-1)2=45.设P (x 0,y 0),则x 0=2+2 55cos θ,y 0=1+2 55sin θ(θ为参数),⽽AP =(x 0,y 0),AB =(0,1),AD =(2,0).∵AP =λAB +µAD =λ(0,1)+µ(2,0)=(2µ,λ),∴µ=12x 0=1+ 55cos θ,λ=y 0=1+2 55sin θ.两式相加,得λ+µ=1+2 5sin θ+1+ 5cos θ=2+sin (θ+φ)≤3其中sin φ=55,cos φ=2 55, 当且仅当θ=π2+2k π-φ,k ∈Z 时,λ+µ取得最⼤值3. 故选A . 【答案】A考点⼆向量的数量积运算4.(2016年全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=().B.-6C.6D.8【解析】因为a=(1,m),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2).因为(a+b)⊥b,所以(a+b)2b=0,所以12-2(m-2)=0,解得m=8.【答案】D5.(2016年全国Ⅲ卷)已知向量BA=1,3,BC=3,1,则∠ABC=().A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】因为BA=12,32,BC=32,12,所以BA2BC=34+34=32.⼜因为BA2BC=|BA||BC|cos∠ABC=1313cos∠ABC,所以cos∠ABC=32.⼜0°≤∠ABC≤180°,所以∠ABC=30°.故选A.【答案】A6.(2017年天津卷)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD2AE=-4,则λ的值为.【解析】由题意,知|AB|=3,|AC|=2,AB2AC=3323cos60°=3,AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23∴AD2AE=1AB+2AC2(λAC-AB)=λ-2 3AB2AC-13AB2+2λ3AC2=λ-2 333-13332+2λ3322=11 3λ-5=-4,解得λ=311.【答案】3117.(2017年北京卷)设m,n为⾮零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m2n<0”的().A.充分⽽不必要条件B.必要⽽不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由题意知|m|≠0,|n|≠0.设m 与n 的夹⾓为θ. 若存在负数λ,使得m=λn , 则m 与n 反向共线,θ=180°, 所以m 2n=|m||n|cos θ=-|m||n|<0.当90°<θ<180°时,m 2n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn. 故“存在负数λ,使得m=λn ”是“m 2n<0”的充分⽽不必要条件. 故选A . 【答案】A 8.(2017年⼭东卷)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量.若 3e 1-e 2与e 1+λe 2的夹⾓为60°,则实数λ的值是 .【解析】由题意知|e 1|=|e 2|=1,e 12e 2=0,| 3e 1-e 2|= ( 3e 1-e 2)2= 3e 12-2 3e 1·e 2+e 22= 3?0+1=2.同理|e 1+λe 2|= 1+λ2. 所以cos60°=31212| 3e -e ||e +λe |=3e 12 31·e 2222 1+λ=3-2 1+λ=12,解得λ= 33.【答案】 3考点三与向量的模有关的运算9.(2017年全国Ⅰ卷)已知向量a ,b 的夹⾓为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .【解析】|a+2b|= (a +2b )2=2+4a ·b +4b 2= 2+4×2×1×cos60°+4×12= 12=2 3.【答案】2310.(2016年全国Ⅰ卷)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.【解析】∵|a+b|2=|a|2+|b|2+2a2b=|a|2+|b|2,∴a2b=0.⼜a=(m,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2.【答案】-211.(2017年浙江卷)已知向量a,b满⾜|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最⼩值是,最⼤值是.【解析】设a,b的夹⾓为θ.∵|a|=1,|b|=2,∴|a+b|+|a-b|=2(a-b)2=+.令y=5+4cosθ+5?4cosθ,则y2=10+22θ.∵θ∈[0,π],∴cos2θ∈[0,1],∴y2∈[16,20],∴y∈[4,25],即|a+b|+|a-b|∈[4,25].【答案】425考点四平⾯向量在平⾯⼏何中的应⽤12.(2017年全国Ⅱ卷)已知△ABC是边长为2的等边三⾓形,P为平⾯ABC内⼀点,则PA2(PB+PC)的最⼩值是().A.-2B.-3C.-4D.-1【解析】如图,PB+PC=2PD(D为BC的中点),则PA2(PB+PC)=2PA2PD.要使PA2PD最⼩,则PA与PD⽅向相反,即点P在线段AD上,则(2PA2PD)min=-2|PA||PD|,问题转化为求|PA||PD|的最⼤值.⼜|PA|+|PD|=|AD|=233=3,2∴|PA ||PD |≤ |PA |+|PD|22= 322=34,∴[PA 2(PB +PC )]min =(2PA 2PD )min =-2334=-32.故选B . 【答案】B13.(2017年浙江卷)如图,已知平⾯四边形ABCD ,AB ⊥BC ,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与BD 交于点O ,记I 1=OA2OB ,I 2=OB 2OC ,I 3=OC 2OD ,则( ). A.I 1【解析】∵I 1-I 2=OA 2OB -OB 2OC =OB 2(OA -OC )=OB 2CA , ⼜OB与CA 所成⾓为钝⾓, ∴I 1-I 2<0,即I 1∵I 1-I 3=OA 2OB -OC 2OD=|OA ||OB |cos ∠AOB-|OC ||OD |cos ∠COD =cos ∠AOB (|OA ||OB |-|OC ||OD |), ⼜∠AOB 为钝⾓,OA<oc ,ob<od="" ,<="" p="" bdsfid="318">。

2019年新课标全国理数高考试题汇编：平面向量—老师专用

2019年新课标全国理数高考试题汇编：平面向量1．【2019全国高考新课标II 卷理数·12T 】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是（）A ．2-B ．32-C ． 43-D ．1-【答案】B解等问题，然后利用函数、不等式、方程的相关知识来解决．2．【2019全国高考新课标III 卷理数·12T 】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上。

若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A试题解析：如图所示，建立平面直角坐标系设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y , 根据等面积公式可得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+= ，【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则实行向量的加、减或数乘运算。

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并使用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。

3．【2019全国高考新课标I 卷理数·13T 】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= .【答案】试题解析：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b ，所以|2|+=a b 秒杀解析：利用如下图形，能够判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【考点】平面向量的运算【名师点睛】平面向量中涉及相关模长的问题时，常用到的通法是将模长实行平方，利用向量数量积的知识实行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时能够使用数形结合的思想，会加快解题速度.（4.【2019全国高考天津卷理数·13T 】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.【答案】 3115．【2019全国高考浙江卷理数·15T 】已知向量a ，b 满足则的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】试题解析：设向量的夹角为，由余弦定理有：，，令，则，1,2,==a b ++-a b a b ,a bθ212a b-=+21a b +=+=54cos a b a b ++-=+y []21016,20y =+据此可得：，即的最小值是4，最大值是．【考点】平面向量模长运算【名师点睛】本题通过设向量的夹角为，结合模长公式，可得，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化水平和最值处理水平有一定的要求． 6.【2019全国高考江苏卷理数·12T 】如图，在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC ,的模分别为1,1OA 与OC 的夹角为α，且tanα=7，OB 与OC 的夹角为45°。

2019全国各地高考数学重点试题分类解析汇编9：平面向量

2019全国各地高考数学重点试题分类解析汇编9：平面向量注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！【江西省泰和中学2018届高三12月周考】平面向量a ，b 满足||1,||2,a b ==a 与b 的夹角为60︒，那么“m=1”是“()a mb a -⊥”的〔〕A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】C 、【解析】解析：()=1-0m m =a -b a ，1m =，选Ｃ【山东省日照市2018届高三上学期期末理】〔3〕如下图，,,,,2c b a ====那么以下等式中成立的是〔A 〕ab c 2123-= 〔B 〕a b c -=2 〔C 〕b a c -=2〔D 〕ba c 2123-=【答案】A 解析：由），（3222+-=+=+=即得，即ab c 2123-=。

【山东实验中学2018届高三第一次诊断性考试理】11.的外接圆的圆心为O ，半径为1，假设，且，那么向量在向量方向上的射影的数量为〔〕(A).(B).(C). 3(D).【山东省微山一中2018届高三10月月考理】9、假设k R ∀∈，||||BA k BC CA -≥恒成立，那么△ABC 的形状一定是〔〕A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不能确定【答案】B【解析】根据遇模平方k R ∀∈，||||BA k BC CA -≥恒成立可以转化为:222222,220,()(2)0k R k BC kBA BC BA BC BC BA BC BC BA BC BC ∀∈∴-+-≥∴--≤22222cos (2cos )0,a c B a ac B a ∴--≤由余弦定理得: 2222cos 0,c B c b -+≤由正弦定理得:2sin 1,2B B π≥∴=.由上可知:该题综合考查向量的模、数量积、二次不等式恒成立、正余弦定理以及推理论证能力,是难题.【2018三明市普通高中高三上学期联考文】关于x 的方程20ax bx c ++=，〔其中a 、b 、c 都是非零平面向量〕，且a 、b 不共线，那么该方程的解的情况是 A.至多有一个解 B.至少有一个解 C.至多有两个解 D.可能有无数个解【答案】 A【解析】此题主要考查平面向量的基本定理、向量相等以及方程的解的相关知识，属于基础知识、基本计算的考查.由，x 是实数。

2019年全国版高考数学必刷题：第九单元平面向量

第九单元平面向量考点一平面向量的线性运算1.(2015年全国Ⅱ卷)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.【解析】∵λa+b与a+2b平行,∴λa+b=t(a+2b)(t∈R),即λa+b=ta+2tb,∴解得【答案】2.(2015年全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则().A.=-+B.=-C.=+D.=-【解析】=+=+=+(-)=-=-+.故选A.【答案】A3.(2017年全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为().A.3B.2C.D.2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则点C的坐标为(2,1).设BD与圆C切于点E,连接CE,则CE⊥BD.∵CD=1,BC=2,∴BD==,EC===,即圆C的半径为,∴点P的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=.设P(x0,y0),则(θ为参数),而=(x0,y0),=(0,1),=(2,0).∵=λ+μ=λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),∴μ=x0=1+cos θ,λ=y0=1+sin θ.两式相加,得λ+μ=1+sin θ+1+cos θ=2+sin(θ+φ)≤3 其中,当且仅当θ=+2kπ-φ,k∈Z时,λ+μ取得最大值3.故选A.【答案】A考点二向量的数量积运算4.(2016年全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=().A.-8B.-6C.6D.8【解析】因为a=(1,m),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2).因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,所以12-2(m-2)=0,解得m=8.【答案】D5.(2016年全国Ⅲ卷)已知向量=,=,则∠ABC=().A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】因为=,=,所以·=+=.又因为·=||||cos∠ABC=1×1×cos∠ABC,所以cos∠ABC=.又0°≤∠ABC≤180°,所以∠ABC=30°.故选A.【答案】A6.(2017年天津卷)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为.【解析】由题意,知||=3,||=2,·=3×2×cos 60°=3,=+=+=+(-)=+,∴·=·(λ-)=-·-+=-×3-×32+×22=λ-5=-4,解得λ=.【答案】7.(2017年北京卷)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由题意知|m|≠0,|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ,使得m=λn,则m与n反向共线,θ=180°,所以m·n=|m||n|cos θ=-|m||n|<0.当90°<θ<180°时,m·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.【答案】A8.(2017年山东卷)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是.【解析】由题意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,|e1-e2|=-=-=-=2.同理|e1+λe2|=.所以cos 60°=-==-=,解得λ=.【答案】考点三与向量的模有关的运算9.(2017年全国Ⅰ卷)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.【解析】|a+2b|=====2.【答案】210.(2016年全国Ⅰ卷)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.【解析】∵|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2,∴a·b=0.又a=(m,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2.【答案】-211.(2017年浙江卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.【解析】设a,b的夹角为θ.∵|a|=1,|b|=2,∴|a+b|+|a-b|=+-=+-.令y=+-,则y2=10+2-.∵θ∈[0,π],∴cos2θ∈[0,1],∴y2∈[16,20],∴y∈[4,2],即|a+b|+|a-b|∈[4,2].【答案】42考点四平面向量在平面几何中的应用12.(2017年全国Ⅱ卷)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是().A.-2B.-C.-D.-1【解析】如图,+=2(D为BC的中点),则·(+)=2·.要使·最小,则与方向相反,即点P在线段AD上,则(2·)min=-2||||,问题转化为求||||的最大值.又||+||=||=2×=,∴||||≤==,∴[·(+)]min=(2·)min=-2×=-.故选B.【答案】B13.(2017年浙江卷)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=·,I2=·,I3=·,则().A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3【解析】∵I1-I2=·-·=·(-)=·,又与所成角为钝角,∴I1-I2<0,即I1<I2.∵I1-I3=·-·=||||cos∠AOB-||||cos∠COD=cos∠AOB(||||-||||),又∠AOB为钝角,OA<OC,OB<OD,∴I1-I3>0,即I1>I3.∴I3<I1<I2.故选C.【答案】C高频考点:向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积均是高考热点,在历年高考中都有出现.命题特点:1.高考每年都会出现一道小题,考查的内容有向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积.2.一般以容易题出现,但偶尔会以中档题和难题出现,所以难度要把控好.§9.1平面向量的概念及线性运算一向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量;向量的大小叫作向量的长度(或模).2.零向量:长度为的向量;其方向是任意的,记作0.3.单位向量:长度等于的向量.非零向量a的单位向量为±4.平行向量(也称共线向量):方向或的非零向量.(0与任一向量平行或共线)5.相等向量:长度且方向的向量.6.相反向量:长度且方向的向量.二向量的线性运算1.向量的加(减)法法则有法则和法则,向量的加法运算满足和.2.实数λ与向量a的积是一个向量,且|λa|=|λ||a|;当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.3.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一实数λ,使得b=λa.☞左学右考如图,在正方形ABCD中,E为CD的中点,F为BC上靠近点B的一个三等分点,则=().A.-B.+C.-D.-下列命题中,正确的个数是().①若|a|=|b|,则a=b;②若a=b,则a∥b;③||=||;④若a∥b,b∥c,则a∥c.A.1B.2C.3D.4已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2++=0,则().A.=B.=2C.=3D.2=知识清单一、2.零3.1个单位4.相同相反5.相等相同6.相等相反二、1.平行四边形三角形交换律结合律2.><基础训练1.【解析】=+=-.【答案】D2.【解析】∵a与b的方向不能确定,∴①错误;②③正确;若b为零向量,则a与c的方向不能确定,∴④错误.【答案】B3.【解析】由2++=0可知,O是底边BC上的中线AD的中点,故=.【答案】A题型一平面向量的概念辨析【例1】给出下列命题:①若|a|=|b|,则a∥b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“∥”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要不充分条件;③若a=b,b=c,则a=c;④“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b”.其中正确命题的序号是.【解析】①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定共线.②正确.若四边形ABCD为平行四边形,则∥且||=||.③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同.又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故“|a|=|b|且a∥b”不是“a=b”的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③.【答案】②③正确理解相等向量、共线向量、单位向量以及向量的模等相关概念及其含义是解题的关键.【变式训练1】下列命题中正确的是().A.若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.|a|=|b|,则a=±bC.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行【解析】由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;模相等的两个向量方向是不确定的,所以B不正确;向量的平行只要求方向相同或相反,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,由零向量与任一向量都共线,可知C正确,故选C.【答案】C题型二向量的线性运算【例2】(2017龙岩模拟)如图,下列结论正确的是().①=a+b;②=a-b;③=a-b;④=a+b.A.①②B.③④C.①③D.②④【解析】①根据向量的加法法则,得=a+b,故①正确;②根据向量的减法法则,得=a-b,故②错误;③=+=a+b-2b=a-b,故③正确;④=+=a+b-b=a+b,故④错误.故选C.【答案】C【变式训练2】如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=().A.a-bB.a-bC.a+bD.a+b【解析】连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且==a,所以=+=b+a.【答案】D题型三共线向量定理及应用【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+2b,=3a-5b,=-5a+b,求证:A,B,D三点共线.(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.【解析】(1)∵=a+2b,=3a-5b,=-5a+b,∴=+=3a-5b-5a+b=-2a-4b=-2(a+2b)=-2,∴与共线.又∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)∵k a+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是不共线的两个非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.解决点共线或向量共线的问题,要利用向量共线定理,先设后求.【变式训练3】已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,其中向量e1,e2不共线,若存在实数λ,μ,使向量d=λa+μb与c共线,求的值.【解析】∵d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,要使d与c共线,则应有实数k,使d=kc,即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,得λ=-2μ,∴--∴=-2.方法待定系数法在平面向量的线性运算中的应用用两个已知向量来表示另一向量的问题中,找不到问题的切入口,可利用待定系数法求解.例如用a、b表示,可设=ma+nb,再结合图形,利用向量共线建立方程,用方程的思想求解.方程思想是解决此类题的关键,要注意体会.【突破训练】如图,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M,设=a,=b.试用a和b表示向量.【解析】设=ma+nb,则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.=-=-=-a+b.∵A,M,D三点共线,∴与共线.∴存在实数t,使得=t,即(m-1)a+nb=t-.∴(m-1)a+nb=-ta+tb.∴--消去t得,m+2n=1.①∵=-=ma+nb-a=-a+nb, =-=b-a=-a+b.又∵C,M,B三点共线,∴与共线.∴存在实数t1,使得=t1,∴-a+nb=t1-,∴--消去t1得,4m+n=1.②由①②得m=,n=,∴=a+b.1.(2017湖南二模)设e0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|e0;②若a与e0平行,则a=|a|e0;③若a与e0平行且|a|=1,则a=e0.上述命题中,假命题的个数是().A.0B.1C.2D.3【解析】向量是既有大小又有方向的量,a与|a|e0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与e0平行,则a与e0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|e0,故②③也是假命题.【答案】D2.(2017南城中学质检)如图,在正六边形ABCDEF中,++=().A.0B.C.D.【解析】由图知++=++=+=.【答案】D3.(2017运城一中质检)设a,b不共线,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为().A.-2B.-1C.1D.2【解析】∵=a+b,=a-2b,∴=+=2a-b.又∵A,B,D三点共线,∴,共线.设=λ,∴2a+pb=λ(2a-b),∴p=-λ,2=2λ,∴λ=1,p=-1.【答案】B4.(2017四平二中二模)已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么().A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向【解析】∵c∥d,∴c=λd,即ka+b=λ(a-b),∴-【答案】D5.(2017西宁市一模)如图,在△ABC中,点D在边BC上,且CD=2DB,点E在边AD上,且AD=3AE,则用向量,表示为().A.=+B.=-C.=+D.=-【解析】=+,=,=+,=,=+,∴=(+),∴=+=++,∴=,∴=+++=+++=+.又∵=-,∴=-.【答案】B6.(2017四川质检)向量e1,e2不共线,=3(e1+e2),=e2-e1,=2e1+e2,给出下列结论:①A,B,C三点共线;②A,B,D三点共线;③B,C,D三点共线;④A,C,D三点共线.其中所有正确结论的序号为.【解析】由=-=4e1+2e2=2,且与不共线,可得A,C,D三点共线,且点B不在此直线上.【答案】④7.(2017河北三模)如图,在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ=.【解析】由题图知=+,①=+,②且+2=0.由①+②×2,得3=+2,∴=+,∴λ=.【答案】8.(2017唐山一模)已知向量a,b是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使a,b共线的条件是.(将所有正确的序号填在横线上)①2a-3b=4e,且a+2b=-3e;②存在相异实数λ,μ,使λa+μb=0;③x a+yb=0(实数x,y满足x+y=0).【解析】由①得10a-b=0,故①正确;②正确;对于③,当x=y=0时,a与b不一定共线,故③错误.【答案】①②9.(2017黄冈二模)已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb,λ,μ∈R,则A,B,C三点共线的充要条件为().A.λ+μ=2B.λ-μ=1C.λμ=-1D.λμ=1【解析】因为A,B,C三点共线,所以∥.设=m(m≠0),所以则λμ=1.【答案】D10.(2017安徽二模)已知A,B,C是△ABC的三个顶点,O为平面内一点,满足++=0,若实数λ满足++λ=0,则λ的值为().A.3B.C.-2D.【解析】∵++=0,∴O为△ABC的重心,设BC的中点为D,∴=,∴=,而+=2=2×=3,∴λ=3.【答案】A11.(2017河南四校联考)设e1,e2是两个不共线的向量,已知向量=2e1+e2sin α-,=e1-e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则函数f(x)=2cos(x+α)在[0,π)上的值域为().A.-B.[-2,]C.(-2,1]D.(-1,]【解析】若A,B,D三点共线,则存在实数λ,使=λ,即=λ(-),∴2e1+e2sin α=λ(-)=λ,∴λ=2,sin α=λ,∴sin α=.∵-<α<,∴α=.∵0≤x<π,∴≤x+α<,∴-2≤f(x)≤.【答案】B12.(2017江西联考)在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是.【解析】由题意可求得AD=1,CD=,所以=2.因为=+μ,所以=+2μ.又因为0≤2μ≤1,所以0≤μ≤.【答案】13.(2017怀化模拟)已知a,b为两个不共线的向量,若四边形ABCD满足=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b.(1)试用a,b表示向量;(2)证明四边形ABCD为梯形.【解析】(1)=++=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=(1-4-5)a+(2-1-3)b=-8a-2b.(2)因为=-8a-2b=2(-4a-b)=2,即∥且||=2||,所以在四边形ABCD中,AD∥BC且AD≠BC,即四边形ABCD为梯形.§9.2平面向量基本定理及坐标表示一平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组.二平面向量的坐标运算1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=,a-b=,λa=,|a|=.2.向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=,||=--.三平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.a∥b⇔x1y2-x2y1=0.☞左学右考已知向量m=(2,-5),n=(-1,3),则2m-3n等于().A.(1,-1)B.(7,-19)C.(7,-1)D.(1,19)已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b与b平行,则k=.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,求λ+μ的值.知识清单一、不共线有且只有基底二、1.(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)2.(2)(x2-x1,y2-y1)基础训练1.【解析】原式=2(2,-5)-3(-1,3)=(7,-19).【答案】B2.【解析】由ka+b与b平行,得-3(2k+2)=2(k-3),∴k=0.【答案】03.【解析】∵=+,=+,=+,∴=λ+μ=+,则λ+μ=1,λ+μ=1,两式相加得λ+μ=.题型一平面向量基本定理的应用【例1】(2017山东省滨州市联考)在△ABC中,M为边BC上的任意一点,点N在线段AM上,且满足=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为().A.B.C.1D.4【解析】∵=,∴=.又=λ+μ,∴=4λ+4μ.∵B,M,C三点共线,∴4λ+4μ=1,∴λ+μ=.【答案】A【变式训练1】(2017福建莆田一中高一月考)如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则=().A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【解析】∵=a,=b,∴=+=+=a+b.∵E是OD的中点,∴=,∴|DF|=|AB|.∴==(-)=×-=a-b,∴=+=a+b+a-b=a+b,故选C.【答案】C题型二向量坐标的基本运算【例2】已知a=(2,1),b=(1,x),c=(-1,1).若(a+b)∥(b-c),且c=ma+nb,则m+n等于().A. B.1 C.-D.-【解析】a+b=(3,1+x),b-c=(2,x-1).由(a+b)∥(b-c),得3(x-1)-2(x+1)=0,解得x=5,∴c=ma+nb=(2m+n,m+5n),即-解得-【答案】C【变式训练2】(1)(2017河南洛阳模拟)已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为().A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0)(2)(2017海南中学模考)已知向量=(1,-3),=(-1,-2),=(2,4),则=().A.(4,-1)B.(0,9)C.(2,-1)D.(2,9)【解析】(1)=-3a=-3(1,-2)=(-3,6),设N(x,y),则=(x-5,y+6)=(-3,6),所以--解得即N(2,0).(2)因为+==(1,-3)+(-1,-2)=(0,-5),=(2,4),所以=-=(2,4)-(0,-5)=(2,9).【答案】(1)A(2)D题型三共线向量的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题:(1)若向量a=mb+nc,求实数m,n;(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;(3)若d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=,求d.【解析】(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),∴-解得(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),∵(a+kc)∥(2b-a),∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0,∴k=-.(3)设d=(x,y),则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).由题意得-----或解得-∴d=(3,-1)或d=(5,3).(1)运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合.【变式训练3】(1)(2017南昌模拟)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是().A.-B.C.D.(2)(2017福建石狮市联考)设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则+的最小值是().A.2B.4C.6D.8【解析】(1)=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2).∵A,B,C三点共线,∴∥,则-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-.(2)由已知条件得=(a-1,1),=(-b-a,1),若A,B,C三点共线,则∥,由向量共线定理得(a-1)×1=1×(-b-a),∴2a+b=1,故+=(2a+b)=4++≥4+2=8.【答案】(1)A(2)D方法利用转化和化归的思想解决向量的线性运算问题复杂的向量线性运算是向量运算的难点,比较难以找到问题的突破口,但根据图形建立适当的平面直角坐标系,将线性问题转化成向量的坐标运算,是解决此类问题的常用方法,此方法容易理解且过程简单.【突破训练】(2016年四川卷)在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||,·=·=·=-2,动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是().A.B.C.D.【解析】∵||=||=||,∴点A,B,C在以点D为圆心的圆上.又∵·=·=·=-2,∴,,两两夹角相等,均为120°(如图).设圆D的半径为r,则·=r·r·cos 120°=-2,∴r=2.∵=,∴M为PC的中点.∵||=1,∴点P在以点A为圆心,1为半径的圆上.由上知△ABC是边长为2的等边三角形.设AC的中点为O,连接DO,OM,则B,D,O三点共线,则||=3,=+=+.∴||2==||2+·+||2=9+3×1×cos<,>+=+3cos<,>≤+3=,当与同向时取等号,即||2的最大值是.【答案】B1.(2017福建三明质检)已知向量a=(3,1),b=(x,-1),若a-b与b共线,则x的值为().A.-3B.1C.2D.1或2【解析】∵a=(3,1),b=(x,-1),∴a-b=(3-x,2).又∵a-b与b共线,∴2x=x-3,∴x=-3.【答案】A2.(2017陕西汉中二模)已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),则下列结论正确的是().A.a·b=2B.a∥bC.|a|=|b|D.b⊥(a+b)【解析】因为a=(-2,0),a-b=(-3,-1),所以b=(1,1),所以a·b=-2,|a|=2,|b|=,所以选项A,B,C都不正确.而a+b=(-1,1),则b·(a+b)=0,故选D.【答案】D3.(2017福建泉州调研)若向量a,b不共线,则下列各组向量中,可以作为一组基底的是().A.a-2b与-a+2bB.3a-5b与6a-10bC.a-2b与5a+7bD.2a-3b与a-b【解析】不共线的两个向量可以作为一组基底.因为a-2b与5a+7b不共线,所以a-2b与5a+7b可以作为一组基底.【答案】C4.(2017山东烟台模拟)已知△ABC的顶点分别为A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,则点D的坐标为().A.-B.-C.D.--【解析】设点D的坐标为(x,y),∵AD是边BC上的高,∴AD⊥BC,∴⊥.又C,B,D三点共线,∴∥.∵=(x-2,y-1),=(-6,-3),=(x-3,y-2),∴-------解得∴点D的坐标为.【答案】C5.(2017哈尔滨模拟)如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则().A.x=,y=B.x=,y=C.x=,y=D.x=,y=【解析】由题意知=+,又=2,所以=+=+(-)=+,所以x=,y=.【答案】A6.(2017宁夏中卫二模)已知向量a=(x,2),b=(2,1),c=(3,x),若a∥b,则向量a在向量c方向上的投影为.【解析】由a∥b,得x×1-2×2=0,解得x=4,所以c=(3,4),a=(4,2),a·c=12+8=20,所以向量a在向量c方向上的投影为=4.【答案】47.(2017江西九江模拟)在梯形ABCD中,AB∥DC,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为.【解析】∵在梯形ABCD中,DC=2AB,AB∥DC,∴=2.设点D的坐标为(x,y),则=(4-x,2-y),=(1,-1),∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),∴---解得即点D的坐标为(2,4).【答案】(2,4)8.(2017南京模拟)如图,在△ABC中,H为边BC上异于点B,C的点,M为AH的中点,若=λ+μ,则λ+μ=.【解析】由B,H,C三点共线知,=k(k≠0,1),则=+=+k=+k(-)=(1-k)+k,所以==(1-k)+.又=λ+μ,所以-从而λ+μ=.【答案】9.(2017郑州质检)已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),点P在第一、三象限的角平分线上,且=+λ(λ∈R),则λ等于().A.-B.-C.D.【解析】设P(x,y),则=(x-2,y-3).∴+λ=(3+5λ,1+7λ).∵=+λ,∴--∴由点P在第一、三象限的角平分线上,得5+5λ=4+7λ,解得λ=.【答案】C10.(2017黑龙江哈尔滨师大附中三模)已知AB⊥AC,AB=AC,点M满足=t+(1-t),若∠BAM=,则t的值为().A.-B.-1C.-D.【解析】由题意可得=.因为=t+-t,所以-=t-t,即=t,所以t=.由正弦定理得=,所以t=·=-,故选C.【答案】C11.(2017江西南昌模拟)如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=λ+μ,则λ+μ的值为().A. B.C.1D.-1【解析】设正方形的边长为2,以点A为原点,AB,AD分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系(如图),则-解得所以λ+μ=.A(0,0),B(2,0),C(2,2),M(2,1),N(1,2),所以=(2,2),=(2,1),=(-1,2),所以【答案】A12.(2017辽宁大连市一模)已知向量=(3,1),=(-1,3),=m-n(m>0,n>0),若m+n∈[1,2],则||的取值范围是().A.[,2]B.[,2)C.(,)D.[,2]【解析】因为=(3m+n,m-3n),所以||=-=.设点P的坐标为(m,n),则||=|OP|.由题意得P(m,n)为可行域内一点,可行域为一个梯形ABCD(去掉线段BC,AD)及其内部,其中A(1,0),B(0,1),C(0,2),D(2,0),所以点O到直线AB的距离d=,所以|OP|≥d=,|OP|<|OD|=2,从而|OF|∈=[,2),故选B.【答案】B13.(2017重庆联考)正三角形ABC内一点M满足=m+n,∠MCA=45°,则的值为().A.-1B.+1C.D.-【解析】如图,设正三角形的边长为a,由=m+n,得∵cos 15°=cos(60°-45°)=,∴∴=-,故选D.【答案】D14.(2017上海模拟)如图,在△ABC中,BO为边AC上的中线,=2,设∥,若=+λ(λ∈R),则λ的值为.【解析】因为=2,所以=+=+.又∥,可设=m,从而=+=++=+.因为=+λ,所以=,λ=1+=.【答案】15.(2017北京西城区质检)在直角△ABC中,||=||=3,且=2,点P是线段AD上任一点,则·的取值范围是.【解析】如图,分别以AB,AC所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则C(0,3),B(3,0).∵=,∴D(2,1).又∵点P是线段AD上任一点,∴可设P(2y,y),0≤y≤1,则·=(2y,y)·(2y,y-3)=5y2-3y.∵0≤y≤1,∴-≤5y2-3y≤2.∴·∈-.即·的取值范围是-.【答案】-§9.3平面向量的数量积及应用一平面向量的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则|a||b|cos θ叫作a和b的数量积(或内积),记作a·b=|a||b|cos θ.规定:零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±|a||b|.二平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.三平面向量数量积的重要性质1.e·a=a·e=|a|cos θ(e为单位向量).2.非零向量a,b,a⊥b⇔.3.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.4.a·a=a2,|a|=.5.cos θ=.6.|a·b|≤|a||b|.四平面向量数量积满足的运算律1.a·b=b·a(交换律);2.(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)(结合律);3.(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).五平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=,由此得到1.若a=(x,y),则|a|2=或|a|=.2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离|AB|=||=--.3.设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔.☞左学右考已知向量a与b的夹角为,且|a|=,|b|=2,则a(2a+b)等于().A.-1B.1C.2D.2向量a=(3,-4),向量|b|=2,若a·b=-5,则向量a,b的夹角为().A.B.C.D.设向量a,b满足a·b=-12,且向量a在向量b方向上的投影为-4,则|b|等于().A.4B.3C.2D.1在△ABC中,M是BC的中点,||=1,=2,求·(+)的值.知识清单一、0三、2.a·b=05.五、x1x2+y1y21.x2+y23.x1x2+y1y2=0基础训练1.【解析】a(2a+b)=2a2+a·b=4-2=2.【答案】C2.【解析】cos<a,b>==-=-,即向量a,b的夹角为.【答案】D3.【解析】设向量a,b的夹角为θ,则a·b=|a|·|b|cos θ=|a|cos θ·|b|=-4|b|=-12,∴|b|=3.【答案】B4.【解析】如图,因为M是BC的中点,所以+=2.又=2,||=1,所以·(+)=·2=-4||2=-||2=-.题型一平面向量的数量积的运算【例1】(2017江西省玉山县一中期中)设D为边长是2的正三角形ABC所在平面内一点,=3,则·的值是().A.B.-C.D.4【解析】∵=3,∴点D在线段BC的延长线上,且BD=4CD,则||=||=,∴·=(+)·=+·=4+2××=.【答案】A【变式训练1】(1)(2017银川一中高一期末)已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=().A.-1B.0C.1D.2(2)(2017长沙模拟)在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,E为BC的中点,点F在边CD上,若·=2,则·的值是.【解析】(1)∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴a2=2,a·b=-3.∴(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.(2)如图,∵=+,·=·(+)=·+·=·=2||=2,∴||=1,∴||=1,∴·=(+)·(+)=·+·+·+·=·+·=2×1×(-1)+×2×1=2.【答案】(1)C(2)2题型二向量的夹角与向量的模【例2】已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则a与b的夹角的大小为,|a+b|=.【解析】∵(2a-3b)·(2a+b)=61,∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,∴64-4a·b-27=61,∴a·b=-6.∴cosθ==-=-.又0≤θ≤π,∴θ=.∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,∴|a+b|=.【答案】【变式训练2】(1)(2017四川联考)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为().A. B.C.D.π(2)(2017宝鸡模拟)已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在△ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC的中点,则||=.【解析】(1)由(a-b)⊥(3a+2b),得(a-b)·(3a+2b)=0,即3a2-a·b-2b2=0.又|a|=|b|,设<a,b>=θ,∴3|a|2-|a|·|b|·cos θ-2|b|2=0,∴|b|2-|b|2·cos θ-2|b|2=0,∴cos θ=.又∵0≤θ≤π,∴θ=.(2)∵=(+)=2a-2b,∴||2=4(a-b)2=4(a2-2a·b+b2).∵向量a,b的夹角为,∴||2=4×-=4,∴||=2.【答案】(1)A(2)2题型三向量数量积的综合应用【例3】如图,在等腰三角形ABC中,底边BC=2,=,=,若·=-,则·=().A.-B.C.-D.【解析】∵=,∴D是AC的中点,则=(+).∵·=-,∴(+)·(+)=-,即-=-1.∵BC=2,∴AB=,∴cos∠ABC=,∴·=-·=-.【答案】A【变式训练3】(2017河北模拟)在Rt△ABC中,∠A=90°,D是BC边上的动点,且||=3,||=4,=λ+μ(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,||的值为().A.B.3 C.D.【解析】因为=λ+μ,而D,B,C三点共线,所以λ+μ=1,所以λμ≤=,当且仅当λ=μ=时取等号,此时=+,即D是线段BC的中点,所以||=||=,故选C.【答案】C方法向量的线性运算与数量积的综合应用在利用向量数量积的有关性质解题时,会出现过程比较长,且转化后不容易发现解题突破口等问题,可结合向量的线性运算,即利用三角形法则或平行四边形法则找到问题的本质,使问题简单化,形象化.【突破训练】已知非零向量a与向量b的夹角为钝角,|b|=2.当t=-2时,|b-ta|(t∈R)取得最小值,则a·(b-a)等于().A.-B.-2C.-D.【解析】如图,设=a,=b,=ta,则向量=b-ta,∴当a与b-ta垂直时,|b-ta|取得最小值,即a⊥(b+2a).又∵|b|=2,|b+2a|=,∴|a|=,cos<a,-b>=⇒cos<a,b>=-,则a·(b-a)=a·b-a2=×2×--=-.【答案】A1.(2017九江市周考)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k等于().A.-12B.6C.-6D.12【解析】∵2a-b=(5,2-k),a·(2a-b)=0,∴10+2-k=0,解得k=12.【答案】D2.(2017衡水中学押题卷)已知平面向量a,b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=().A.20B.12C.4D.2【解析】∵|b|=1,|a|=2,<a,b>=60°,∴a·b=1.∴|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=12,∴|a+2b|=2.【答案】D3.(2017银川模拟)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=().A.1B.2C.3D.5【解析】|a+b|2=a2+2a·b+b2=10,|a-b|2=a2-2a·b+b2=6,两式相减,得4a·b=4,∴a·b=1.【答案】A4.(2017葫芦岛市二模)已知e1,e2是夹角为90°的两个单位向量,且a=3e1-e2,b=2e1+e2,则a,b的夹角为().A.120°B.60°C.45°D.30°【解析】设a,b的夹角为θ,则cos θ==.-∵(3e1-e2)·(2e1+e2)=6-=5,(3e1-e2)2=9+=10,(2e1+e2)2=4+=5,∴cos θ=,∴θ=45°.【答案】C5.(2017马鞍山市二模)已知向量与的夹角为60°,且||=3,||=2,若=m+n,且⊥,则实数的值为().A. B.C.6 D.4【解析】·=3×2×cos 60°=3,∵=m+n,⊥,∴(m+n)·=(m+n)·(-)=(m-n)·-m+n=0,∴3(m-n)-9m+4n=0,∴=.【答案】A6.(2017银川模拟)已知向量a=(1,2),b=(3,-4),则向量a在向量b方向上的投影为().A.-2B.-1C.0D.2【解析】向量a在向量b方向的投影为|a|cos<a,b>==-1.【答案】B7.(2017辽宁省模拟)若向量a,b满足|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=.【解析】∵|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,∴(a+b)·a=0,(2a+b)·b=0,即a·b=-1,b2+2a·b=0,解得|b|=.【答案】8.(2017石嘴山中学月考)在菱形ABCD中,若AC=4,则·=.【解析】设∠CAB=θ,AB=BC=a,由余弦定理得a2=16+a2-8a cos θ,∴a cos θ=2,∴·=4×a×cos(π-θ)=-4a cos θ=-8.【答案】-89.(2017四川五校联考)在△ABC中,AB=2,AC=3,·=1,则BC等于().A.B.C.2D.【解析】∵·=1,且AB=2,∴1=||||cos(π-B),∴||||cos B=-1.在△ABC中,|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cos B,即9=4+|BC|2-2×(-1).∴|BC|=.【答案】A10.(2017陕西省二模)已知向量a,b的夹角为锐角,|a|=,|b|=,且a与a-b夹角的余弦值为,则a·b等于().A.4B.5C.6D.7【解析】∵a与a-b夹角的余弦值为,∴a·(a-b)=|a|·|a-b|,即3-a·b=|a-b|,∴(3-a·b)2=(a-b)2,化简得(a·b)2-4a·b-5=0,解得a·b=5或a·b=-1(舍去).【答案】B11.(2017湖北省三模)如图,在五边形ABCDE中,四边形ABCD是矩形,△ADE是等腰直角三角形,且AB=3,AD=4,则·=().A.18B.20C.21D.23【解析】延长BA至F,使得EF⊥AF(图略),则=+=+.又=+,∴·=(+)·=+=23.【答案】D12.(2017山东一模)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=4,D是AB上一点,且·=5,则||等于().A.6B.4C.2D.1【解析】设=λ,∵=-,∴·=·(-)=λ-·=5,∴25λ=15,解得λ=,∴||=||=2.【答案】C13.(2017哈尔滨模拟)设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=a cos θ-b sin θ,若e1,e2均为单位向量,且e1·e2=,则向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为().A. B.C.D.【解析】由题设知,若向量e1,e2的夹角为θ,则e2,-e1的夹角为π-θ.由题意可得f(e1,e2)=e1cos θ-e2sin θ,f(e2,-e1)=e2cos(π-θ)+e1sin(π-θ)=e1sin θ-e2cos θ,故f(e1,e2)·f(e2,-e1)=(e1cos θ-e2sin θ)·(e1sin θ-e2cos θ)=cos θsin θ-e1·e2cos2θ-e1·e2sin2θ+cos θsin θ=2sin θcos θ-.∵e1·e2=,∴cos θ=,sin θ=,∴2sin θcos θ-=2××-=0,∴向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为.【答案】B14.(2017兰州模拟)已知a,b,c三个向量共面,且均为单位向量,a·b=0,则|a+b-c|的取值范围是.【解析】∵a·b=0,∴a⊥b.∵a,b是单位向量,∴|a+b|=,则当a+b与c反向时,|a+b-c|取最大值为+1;当a+b与c同向时,|a+b-c|取最小值为-1.【答案】[-1,+1]15.(2017太原模拟)若等边△ABC的边长为2,平面内一点M满足=+,则·=.【解析】由题意,建立如图所示的平面直角坐标系,∴=(,-3),=(-,-3),∴=+=--,∵=+=(0,3)+--=-,∴·=--·-=-2.【答案】-216.(2017宝山区三模)如图,在同一平面内,点P位于两平行直线l1,l2同侧,且点P到l1,l2的距离分别为1,3,点M,N分别在l1,l2上,|+|=8,则·的最大值为.【解析】过点P作与l1垂直的直线,并以该直线为y轴,l1为x轴建立平面直角坐标系(如图),则l1:y=0,l2:y=2,P(0,-1).设M(a,0),N(b,2),∴=(a,1),=(b,3),+=(a+b,4).由|+|=8,可知(a+b)2+16=64,∴a+b=4或a+b=-4.又∵·=ab+3,∴当a+b=4时,·=ab+3=-a2+4a+3,当a+b=-4时,·=ab+3=-a2-4a+3,可知两种情况最大值均为15.【答案】15阶段总结三微专题一三角函数三角函数是高考热点和必考内容,一般以选择题或填空题的形式出现,考查的主要内容为:三角函数图象与性质(图象的解析式、值域或最值,单调区间和对称性等)、图象的变换,而基本关系式和诱导公式通常会与上述知识点相结合.复习备考时,应做到:1.理解记忆同角三角函数基本关系式和诱导公式,通过训练加强公式运用能力的培养,寻找化简求值中的规律.2.会作三角函数的图象,理解三种图象变换,通过图象研究三角函数性质,同时会对三角函数进行恒等变形,然后讨论图象、性质.3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用.【例1】(1)(2017河南调研)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)-的部分图象如图所示,则把函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象的解析式是().A.y=2sin 2xB.y=2sin-C.y=2sin-D.y=2sin-(2)已知θ∈,且2cos2-=cos θ+1,则函数f(x)=2sin(x+θ)在-上的最大值为().A.1B.2C.D.-【分析】(1)先根据图象得到函数f(x)的解析式,再利用“左加右减”原则进行平移即可得到函数图象的解析式.(2)先根据已知条件求出θ的值,再根据x的取值范围求出x+θ的取值范围,进而求函数f(x)的最大值.【解析】(1)由图可知,T=+=,所以T=π,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).又因为f=2sin=2,所以+φ=+2kπ(k∈Z),因为-<φ<,所以φ=-,所以f(x)=2sin-,所以函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象的解析式是f(x)=2sin 2x.(2)由2cos2-=cos θ+1,得cos-=cos θ,即tan θ=.∵θ∈,∴θ=,则f(x)=-2sin.又∵x∈-,∴x+∈-,∴当x+=-时,f(x)max=1.【答案】(1)A(2)A【拓展训练1】(1)把函数y=sin 3x的图象适当变化就可以得到y=(sin 3x-cos 3x)的图象,这个变化可以是().A.沿x轴方向向右平移个单位长度B.沿x轴方向向左平移个单位长度C.沿x轴方向向右平移个单位长度D.沿x轴方向向左平移个单位长度(2)关于f(x)=3sin,有以下命题:①若f(x1)=f(x2)=0,则x1-x2=kπ(k∈Z);②f(x)的图象与g(x)=3cos-的图象相同;③f(x)在区间--上是减函数;④f(x)的图象关于点-对称.其中正确的命题是.(填序号)【解析】(1)∵y=(sin 3x-cos 3x)=sin-=sin 3-,∴将函数y=sin 3x的图象沿x轴方向向右平移个单位长度可以得到函数y=(sin 3x-cos 3x)的图象.(2)①由f(x)=3sin知,若f(x1)=f(x2)=0,则x1-x2=(k∈Z),故①不正确;②∵f(x)=3sin=3cos-=3cos-,∴f(x)的图象与g(x)=3cos-的图象相同,故②正确;③∵f(x)=3sin的单调递减区间是+2kπ≤2x+≤+2kπ,即x∈,k∈Z,∴f(x)在区间--上是减函数,故③正确;④∵f(x)=3sin的对称中心是-,0(k∈Z),∴f(x)的图象关于点-对称,故④正确.【答案】(1)C(2)②③④微专题二三角恒等变换三角恒等变换是高考热点和必考内容,有时以选择题或填空题的形式出现,有时与三角函数或解三角形相结合,通过三角恒等变换,化简三角函数式,进一步研究函数的性质、解三角形等,是常考题型.复习备考时,应做到:1.牢记和差公式、倍角公式,把握公式特征.2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换,三角变换中角的变换技巧是解题的关键.【例2】(1)函数f(x)=sin-+2cos2x-1的单调递增区间是.(2)已知θ∈且sin θ-cos θ=-,则-等于().A. B.C.D.【分析】(1)先通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数,再利用正弦函数的单调递增区间,求f(x)的单调递增区间.(2)先根据已知条件求出sin-的值,进而求得cos-的值,再利用二倍角公式和诱导公式将-化简求得结果.【解析】(1)f(x)=sin-+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=sin,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为-,k∈Z.(2)由sin θ-cos θ=-,得sin-=.∵θ∈,∴cos-=,∴-=-=--=--=2cos-=.【答案】(1)-,k∈Z(2)D【拓展训练2】(1)若=,则tan=.(2)若函数f(x)=-a sin cos-的最大值为2,则a=.【解析】(1)∵==,∴tan x=2,∴tan=tan-=-=.(2)f(x)=+a sin cos =cos x+a sin x=sin(x+φ),其中tan φ=,由已知得=4,解得a=±.【答案】(1)(2)±微专题三解三角形解三角形是必考内容,而且常与三角恒等变换公式相结合.复习备考时,应做到:1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用.2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换.【例3】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a cos B=b cos A,边BC上的中线长为4.(1)若A=,求c;(2)求△ABC面积的最大值.【分析】(1)先由正弦定理与两角和与差的正弦公式求得角B,从而求得c与a的关系,再用余弦定理求得c的值;(2)先用余弦定理求得a,再用三角形面积公式结合基本不等式即可求得△ABC面积的最大值.【解析】(1)由a cos B=b cos A及正弦定理得sin A cos B=sin B cos A,∴sin(A-B)=0,∴B=A=,∴c= a.由余弦定理得16=c2+-2c·cos ,解得c=.(2)由A=B知c=2a cos A,∵16=c2+-2c·cos A,∴a2=,∴S△ABC=ac sin A=.∵sin2A+9cos2A≥6sin A cos A,当且仅当sin A=3cos A时,等号成立,∴S△ABC=≤,即△ABC面积的最大值为.【拓展训练3】(2017四川省资阳市联考)如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足-=,D是BC边上的一点.(1)求角B的大小;(2)若AC=7,AD=5,DC=3,求AB的长.【解析】(1)由-=,得c cos B-a cos B=b cos A,即c cos B=a cos B+b cos A.由正弦定理,得sin C cos B=sin A cos B+sin B cos A=sin(A+B)=sin C,所以cos B=.又0°<B<180°,所以B=45°.(2)在△ADC中,AC=7,AD=5,DC=3,由余弦定理得cos∠ADC=-=-=-,所以∠ADC=120°,∠ADB=60°.在△ABD中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°,由正弦定理,得=,所以AB====.微专题四平面向量平面向量是高考热点,每年必有一道题,一般以选择题或填空题的形式出现,考查的内容包括:向量的基本概念、向量的线性运算、向量的坐标运算和向量的数量积.复习备考时,应做到:1.重视向量的概念,熟练掌握向量加减法及几何意义.2.理解平面向量基本定理的意义、作用,会运用定理表示向量,然后再进行向量运算.3.理解数量积的意义,掌握求数量积的各种方法,理解数量积的运算性质,并能利用数量积解决向量的几何问题.【例4】(1)(2017河南省开封市届高三上学期月考)已知向量a=(1,),b=(3,m),且b在a方向上的投影为3,则向量a与b夹角为.(2)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=4,BC=2,∠ABC=60°,动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,则·的最小值为.【分析】(1)由b在a方向上的投影为3,可得m的值,再利用夹角公式可得向量a与b夹角的大小.(2)利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式,根据具体的形式求最值.【解析】(1)b在a方向上的投影为3,即|b|cos<a,b>===3,解得m=,。