直线与圆的典型题型分类解析-高考复习(精品)

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《直线与圆》常见考点及题型分析

《直线与圆》常见考点及题型分析陕西省麟游县中学（721599）韩红军1.热点透析解析几何涉及直线与圆和圆锥曲线两部分内容，是衔接初等数学和高等数学的纽带，是运用“数”研究“形”。

（1）近几年高考的热点：第一部分是直线的方程。

需要掌握直线的倾斜角和斜率，直线方程的几种形式（如点斜式、两点式和一般式等），两直线位置关系（平行、垂直）的判定和应用。

第二部分是圆的方程。

需要掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程，与圆有关的最值问题、弦长问题、轨迹问题等。

第三部分是直线和圆、圆与圆的位置关系。

需要掌握直线与圆、圆与圆的位置关系中基本量的计算。

（2）近几年常考的题型：主要是一道选择题或填空题，单独出解答题的概率不大，然而有可能作为解答题的背景或渗透在解答题的第（1）问中。

2.热点题型分类精讲题型一：求直线的倾斜角或斜率例1.（2014，安徽）过点P(－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3解析：易知直线l 的斜率存在，所以可设l ：y ＋1＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0.因为直线l 圆x 2＋y 2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l 的距离|3k －1|1＋k2≤1，即k 2－3k ≤0，解得0≤k≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.故选D ．评注：直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.题型二：求直线的方程例2.（2014，福建）已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＝2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0.又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0，3)，则m ＝3，所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0，故选D.评注：若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.题型三：求圆的方程例3.（2014，陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：由圆C 的圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，得圆C 的圆心为(0，1)．又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.例4.（2014，山东）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析：因为圆心在直线x －2y ＝0上，所以可设圆心坐标为(2b ，b)．又圆C 与y 轴的正半轴相切，所以b>0，圆的半径是2b.由勾股定理可得b 2＋(3)2＝4b 2，解得b ＝±1.又因为b>0，所以b ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(2，1)，半径是2，所以圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4.评注：求圆的方程的两种方法：(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．题型四：直线与圆的位置关系例5.（2014，江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：由题意可得，圆心为(2，－1)，r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2－2－3|12＋22＝35 5，所以弦长为2r 2－d 2＝24－95＝2555 . 例6.（2014，浙江）已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r 2＝2－a ，则圆心(－1，1)到直线x＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4, 故选B.例7.（2014，湖北）直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.解析：依题意得，圆心O 到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a|2＝|b|2＝1×sin 45°，得 |a|＝|b|＝1.故a 2＋b 2＝2.例8.（2014，全国）直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．解：根据题意，OA⊥PA，OA ＝2，OP ＝10，所以PA ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OPA ＝OA PA ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OPA 1－tan 2∠OPA ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43. 评注：解决圆与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，要用平面几何中有关圆的性质，养成勤画图的良好习惯. 题型五：圆与圆的位置关系例9.（2014，湖南）若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9 D ．－11解析：依题意可得C 1(0，0)，C 2(3，4)，则|C 1C 2|＝33＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m ，由r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9. 故选 C ．题型六：求轨迹的方程例10.（2014，全国新课标卷Ⅰ）已知点P(2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x ，y)，则CM ＝(x ，y －4)，MP ＝(2－x ，2－y)．由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y －4)(2－y)＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON⊥PM.因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM|＝|OP|＝2 2，O 到直线l 的距离为4105，故|PM|＝4105，所以△POM 的面积为165.评注：解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯. 题型七：最值问题例11.（2014，北京）已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A(－m ，0)，B(m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 解析：由图可知，圆C 上存在点P 使∠APB＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42－1≤m≤32＋42＋1，即4≤m≤6.故选B ．例12.（2014，四川）设m∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P(x ，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是( )A ．[5，2 5 ]B ．[10，2 5 ]C ．[10，4 5 ]D ．[25，4 5 ]解析：由题意可知，定点A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P(x ，y)落在以AB 为直径的圆周上，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，即|PA|＋|PB|≥|AB|＝10.又|PA|＋|PB|＝（|PA|＋|PB|）2＝|PA|2＋2|PA||PB|＋|PB|2≤2（|PA|2＋|PB|2）＝2 5，所以|PA|＋|PB |∈[10，2 5]，故选B.例13.（2013，江西师大附中）已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PA PB 、是圆012222=+--+y x y x 的切线，A B 、是切点， C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是( )A ．2B ．2C ．22D ．4解析：由题意，圆012222=+--+y x y x 的圆心是C （1，1），半径为1，PA=PB 。

直线与圆题型及做题技巧

直线与圆题型及做题技巧
一、直线与圆题型
1、求圆与直线的位置关系，即直线是否与圆相交，相交的情况有几种；
2、求直线与圆的交点；
3、求圆与直线的切线；
4、求直线与圆的关系，即圆是否在直线内部，圆是否完全包含在直线外面；
5、求直线上一点到圆的距离；
6、求圆上一点到直线的距离；
7、求圆心到直线的距离；
8、求圆的切点；
9、求圆的外切线；
10、求圆的内切线；
二、做题技巧
1、首先应该判断出圆与直线的位置关系，其次才能确定
解题思路；
2、要分析圆的参数方程和直线的参数方程，并将它们进
行比较；
3、从圆的数学定义出发，可以把问题转化为求解二元一
次方程组；
4、可以利用圆心到直线的距离公式求解；
5、可以利用圆上一点到直线的距离公式求解；
6、可以利用圆的切点求解，如果圆与直线不相交，可以
求出两个切点；
7、可以利用圆的外切线求解，此时可以求出一条外切线；
8、可以利用圆的内切线求解，此时可以求出一条内切线；
9、可以利用圆的半径求解，如果圆与直线不相交，可以
求出直线与圆的距离；
10、可以利用三角法求解，如果圆与直线不相交，可以求出直线与圆的距离。

总之，在做直线与圆的题目时，首先要分析出圆与直线的位置关系，然后根据圆和直线的数学定义，把问题转化为求解
二元一次方程组的形式，再利用相关公式解出相应的解，最后根据题目要求，得出结果。

直线与圆的高考常见题型总结

a-3 +2
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知识篇新高考名师护航
高二数学 2023 年 10 月
解得
5
a)≤ (
a-3)+2 ,
2
2
2
1
3
≤a≤ 。
3
2
(
2
0
2
3 年新高考 Ⅰ 卷 )过点 (
0,
例 6
与圆 x2 +y2 -4
-2)
x-1=0 相切的两条直
y -2)<1,
2
2
,
方程 xc
o
sθ+ (
s
i
nθ=1(
0≤θ≤2π)
θ
y-2)
无解。因此经过任意点的直线均为有限个。
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高二数学 2023 年 10 月
(
对于 B:
不在任一直线上。
0,
2)
对于 C:
做圆 x + (
y-2)=1 的外切正
2
故选 ABD。
2
n 边形即可。 (将正 n 边形的中心置于 (
0,
,
中心到边的距离设为 1,此正 n 边形即满
2)
足题意)
例 4
2
x-y-3=0 的距离为(
5
A.
5
对于 D:注意到任意三条直线若能围成
高考热点 2
2
(写出所有真
其中真命题的代号是
。
命题的代号)

高中直线与圆题型归纳总结

高中直线与圆题型归纳总结直线与圆是高中数学中的重要知识点，涉及到的题型较为广泛。

在这篇文章中，我将对高中直线与圆题型进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握和应用这些知识。

一、直线与圆的基本性质在解题过程中，掌握直线与圆的基本性质是非常重要的。

下面列举了一些常见的性质：1. 直线与圆的位置关系：a. 若直线与圆有两个交点，则该直线称为切线；b. 若直线与圆相交于两个不重合的交点，则该直线称为割线；c. 若直线与圆不相交，则该直线称为外切线或外割线；d. 若直线完全在圆内，则该直线称为内切线或内割线。

2. 判定直线与圆的位置关系的方法：可以通过直线的方程与圆的方程进行联立，进而判断位置关系。

二、直线与圆的相交性质1. 两条直线与圆的相交性质：a. 相交弧的性质：两条直线与圆相交，相交的弧度数相等；b. 垂直切线的性质：切线与半径垂直；c. 切线长度的性质：切线长的平方等于切点到圆心的距离与圆半径的乘积。

2. 直线与圆的切线性质：a. 切线定理：切线与半径垂直；b. 外切角性质：切线与半径的夹角等于其对应的弧所对圆心角的一半。

三、直线与圆的方程1. 圆的一般方程：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆半径。

2. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数且不全为零。

3. 判定直线与圆的位置关系的方法：将直线方程代入圆的方程，求解该二次方程的判别式，进而判断位置关系。

四、直线与圆的应用题1. 判断两个圆的位置关系：比较两个圆的圆心距离与两个圆半径之和的大小来判断位置关系。

2. 直线与圆的垂直与切线问题：通过证明直线与半径的斜率乘积为-1，判定直线与圆的垂直关系；通过判定直线与圆的切点的情况，判定直线与圆的切线关系。

3. 直线与圆的联立方程求解问题：列出直线方程与圆方程，通过解联立方程，求解直线与圆的交点坐标。

4. 直线与圆的面积问题：求直线与圆所形成的图形的面积，可以通过计算扇形面积与三角形面积之和来完成。

高考数学真题题型分类解析专题专题07 直线与圆

高考数学真题题型分类解析高考数学真题题型分类解析专题07直线与圆直线与圆命题解读考向考查统计1.高考对直线的考查，重点是直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法、两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等。

2.高考对圆的考查，重点是圆的标准方程与一般方程的求法，除了待定系数法外，要特别要重视利用几何性质求解圆的方程。

同时，除了直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，还特别要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题。

3.其他就是直线、圆与其他知识点的交汇。

直线与圆的位置关系2023·新高考Ⅰ卷，62022·新高考Ⅱ卷，152023·新高考Ⅱ卷，152024·新高考Ⅱ卷，10（多选题的一个选项中考查）圆与圆的位置关系2022·新高考Ⅰ卷，14直线的斜率2022·新高考Ⅱ卷，3命题分析2024年高考新高考Ⅰ卷未直接考查直线与圆的相关知识点，Ⅱ卷在多选题的一个选项中考到了直线与圆相切的问题，其实在压轴题中也有直线斜率的影子，后续专题再呈现。

其实直线与圆直接考查的话，难度一般是较易的，一般计算不出错即可。

在一些上难度的题型中，往往有直线斜率的一些影子。

直线与圆考查应关注：直线、圆的方程及位置关系，直线方程的求解、直线过定点问题的求解、含参直线方程中参数取值范围求解、直线与圆的位置关系中涉及的弦长与切线方程的求解。

以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考查最值问题。

预计2025年高考还是主要考查直线与圆的位置关系。

试题精讲一、多选题1．（2024新高考Ⅱ卷·10）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +−=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个一、单选题1．（2023新高考Ⅰ卷·6）过点()0,2−与圆22410x y x +−−=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A ．1B2．（2022新高考Ⅱ卷·3）图1是中国称为步，垂直距离称为举，图2是某古1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的成公差为0.1的等差数列，且直线A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.93．（2022新高考Ⅰ卷·14）写出与圆是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ′′′′是桁是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中111,DD CC 邻桁的举步之比分别为1111111,0.5,DD CC BB k OD DC CB ==OA 的斜率为0.725，则3k =（）与圆221x y +=和22(3)(4)16x y −+−=都相切的一条直是桁，相邻桁的水平距离1,,BB AA 是举，1231,AAk k BA ==．已知123,,k k k 一条直线的方程．由图像可知由图像可知，，共有三条直线符合条件又由方程22(3)(4)16x y −+−=和x 即为过两圆公共切点的切线方程即为过两圆公共切点的切线方程，，又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为直线OC 与直线10x +=的交点为条件条件，方程为(当切线为l时，因为14 3OOk=，所以O到l的距离||19116td==+，解得当切线为m时，设直线方程为kx由题意211344pkk p=+++=，解得kp．（新高考卷）设点有公共点，则a的取值范围是．5．（2023新高考Ⅱ卷·15）已知直线:10l x my −+=与2:14C x y −+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC面积为85”的m 的一个值．一、直线的倾斜角和斜率1、直线的倾斜角若直线l 与x 轴相交，则以x 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l 重合所成的角称为直线l 的倾斜角，通常用，，， αβγ表示（1）若直线与x 轴平行（或重合），则倾斜角为0 （2）倾斜角的取值范围[0)，∈απ 2、直线的斜率设直线的倾斜角为α，则α的正切值称为直线的斜率，记为tan =k α （1）当2=πα时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）倾斜角α与斜率k 的关系当0=k 时，直线平行于轴或与轴重合；当0>k 时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k 的增大而增大；当0<k 时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随k 的增大而增大； 3、过两点的直线斜率公式已知直线上任意两点，11()，A x y ，22()，B x y 则2121−=−y y k x x （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．（2）若12=x x ，则直线AB 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线两直线，AB AC 的斜率相等→、、A B C 三点共线；反过来，、、A B C 三点共线，则直线，AB AC 的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．二、直线的方程1、直线方程的五种形式在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 3、线段中点坐标公式若点12，P P 的坐标分别为1122()()，，，x y x y 且线段12PP 的中点M 的坐标为()，x y ，则121222+= + = x x x y y y ，此公式为线段12PP 的中点坐标公式． 4、两直线的夹角公式若直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的夹角为α，则2112tan 1k k k k α−=+.三、两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．两直线方程平行垂直11112222:0:0++=++=l A x B y C l A x By C1221122100且−=−≠A B A B B C B C12120+=A A B B111222::=+=+l y k x b l y k x b （斜率存在）11,22::==l x x l x x （斜率不存在）1212,=≠k k b b 或 1212,,==≠x x x x x x121=−i k k 或12与k k 中有一个为0，另一个不存在．四、三种距离1、两点间的距离平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 的距离公式为12||=P P．特别地，原点O （0，0）与任一点P （x ，y ）的距离||=OP 2、点到直线的距离点000(,)P x y 到直线:0++=l Ax By C 的距离=d 特别地，若直线为l ：x =m ，则点000(,)P x y 到l 的距离0||=−d m x ；若直线为l ：y =n ，则点000(,)P x y 到l 的距离0||=−d n y 3、两条平行线间的距离已知12,l l 是两条平行线，求12,l l 间距离的方法：（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．（2）设1122:0,:0++=++=l Ax By C l Ax By C ，则1l 与2l 之间的距离=d注：两平行直线方程中，x ，y 前面对应系数要相等． 4、双根式双根式()=±f x 型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．五、圆1、圆的四种方程（1）圆的标准方程：222()()−+−=x a y b r ，圆心坐标为（a ，b ），半径为(0)>r r（2）圆的一般方程：22220(40)++++=+−>x y Dx Ey F D E F ，圆心坐标为,22−− D E ，半径r（3）圆的直径式方程：若1122(,),(,)A x y B x y ，则以线段AB 为直径的圆的方程是1212()()()()0−−+−−=x x x x y y y y2、点与圆的位置关系判断（1）点00(,)P x y 与圆222()()−+−=x a y b r 的位置关系： ①222()()−+−>⇔x a y b r 点P 在圆外； ②222()()−+−=⇔x a y b r 点P 在圆上； ③222()()−+−<⇔x a y b r 点P 在圆内．（2）点00(,)P x y 与圆220++++=x y Dx Ey F 的位置关系：①2200000++++>⇔x y Dx Ey F 点P 在圆外； ②2200000++++=⇔x y Dx Ey F 点P 在圆上； ③2200000++++<⇔x y Dx Ey F 点P 在圆内．六、直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系判断（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心(,)a b 到直线0Ax By C ++=的距离，则d =：d r <⇔直线与圆相交，交于两点,P Q ，||PQ =d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由2220()()Ax By C x a y b r++= −+−= ，消元得到一元二次方程20p x q x t ++=，20p x q x t ++=判别式为∆，则：0∆>⇔直线与圆相交； 0∆=⇔直线与圆相切； 0∆<⇔直线与圆相离．七、两圆位置关系的判断用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆12,O O 的半径分别是,R r ，（不妨设R r >），且两圆的圆心距为d ，则：d R r <+⇔两圆相交； d R r =+⇔两圆外切； R r d R r −<<+⇔两圆相离 d R r =−⇔两圆内切；0d R r ≤<−⇔两圆内含（0d =时两圆为同心圆）设两个圆的半径分别为R r ，，R r >，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征 d R r >+d R r =+R r d R r −<<+d R r =−d R r <−代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数 4321【直线与圆常用结论直线与圆常用结论】】一、直线1、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点11()，P x y 关于点00()，Q x y 的对称点为22()，′P x y ，则根据中点坐标公式，有12012022+=+ = x x x y y y 可得对称点22()，′P x y 的坐标为0101(22)，−−x x y y 2、点关于直线对称点11()，P x y 关于直线:0++=l Ax By C 对称的点为22()，′P x y ，连接′PP ，交l 于M 点，则l 垂直平分′PP ，所以′⊥PP l ，且M 为′PP 中点，又因为M 在直线l 上，故可得12121022′⋅=− ++++= l PP k k x x y y AB C ，解出22()，x y 即可．3、直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4、直线关于直线对称求直线1:0++=l ax by c ，关于直线2:0++=l dx ey f （两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12，l l 算出交点00()，P x y第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()，Q x y ，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点22()，′Q x y 第三步：利用两点式写出3l 方程 5、常见的一些特殊的对称点()，x y 关于x 轴的对称点为()，−x y ，关于y 轴的对称点为()，−x y ．点()，x y 关于直线=y x 的对称点为()，y x ，关于直线=−y x 的对称点为()，−−y x ．点()，x y 关于直线=x a 的对称点为(2)，−a x y ，关于直线=y b 的对称点为(2)，−x b y ．点()，x y 关于点()，a b 的对称点为(22)，−−a x b y ．点()，x y 关于直线+=x y k 的对称点为()，−−k y k x ，关于直线−x y =k 的对称点为()，+−k y x k ． 6、过定点直线系过已知点00()，P x y 的直线系方程00()−=−y y k x x （k 为参数）． 7、斜率为定值直线系斜率为k 的直线系方程=+y kx b （b 是参数）． 8、平行直线系与已知直线0++=Ax By C 平行的直线系方程0++=Ax By λ（λ为参数）． 9、垂直直线系与已知直线0++=Ax By C 垂直的直线系方程0−+=Bx Ay λ（λ为参数）． 10、过两直线交点的直线系过直线1111:0++=l A x B y C 与2222:0++=l A x B y C 的交点的直线系方程：111222()0+++++=A x B y C A x B y C λ（λ为参数）．二、圆1、圆的参数方程①222(0)+=>x y r r 的参数方程为cos sin = =x r y r θθ（θ为参数）；②222()()(0)−+−=>x a y b r r 的参数方程为cos sin =+ =+x a r y b r θθ（θ为参数）．注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(cos ,sin )++a r b r θθ（θ为参数，,（）a b 为圆心，r 为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值． 2、关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=．（2）过圆222()()x a y b r −+−=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r −−+−−=（3）过圆220x y D x E y F ++++=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为0000022x x y y x x y y D E F ++++⋅+⋅+= （4）求过圆222x y r +=外一点00(,)P x y 的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为00()y y k x x −=−，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k 的方程，求出k 值．若求出的k 值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．一、单选题1．（2024·江西新余·二模）已知直线0x ay −=交圆C：2220x y y +−−=于M ，N 两点，则“MCN △为正三角形”是“0a =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024·陕西西安·三模）若过点0,1P 可作圆22240x y x y a +−−+=的两条切线，则a 的取值范围是（） A ．()3,+∞B ．()1,3−C ．()3,5D ．()5,+∞【答案答案】】C【分析分析】】根据点在圆外即可求解.【详解详解】】圆22240x y x y a +−−+=，即圆()()22125x y a −+−=−，则50a −>，解得5a <．的距离的最大值为（） A ．1B ．2C ．3D ．44．（2024·四川成都·三模）已知直线1:10l x ay −+= 与:11C x a y −+−= 相交于 A B ，两点，若ABC 是直角三角形，则实数 a 的值为（）A ．1 或 1−B 或C ．17− 或 1−D ．17− 或5．（2024·湖南邵阳·三模）已知直线l ：1x y +=，过直线l 上的任意一点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则APB ∠的最大值为（） A ．3π4B ．2π3C ．π2D ．π6当OP 最小时最小时，，则sin APO ∠又因为OP 的最小值即为圆心此时2sin ,2APO APO ∠=∠故选故选：：C ． 6．（2024·重庆·二模）已知圆:O 若92PA PB ⋅= ，则OP =（） A B ．3C ．设,APO BPO OP α∠=∠=则23sin ,cos x xxαα==cos cos212sin APB ∠α==−3,x y P +=是圆O 外一点，过点P 作圆O 的两条切线7．（2024·北京·三模）已知圆()2:11C x y +−=和两点()()(),0,,00A t B t t −>，若圆C 上存在点P ，使得0PA PB ⋅=，则t 的取值范围为（）A ．(]0,1B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]3,4故选故选：：B A ．()2,6B ．()3,5C ．()()2,35,6∪D ．()()2,36,+∞∪9．（2024·北京·三模）已知直线，圆:16O x y +=，下列说法错误．．的是（）A ．对任意实数a ，直线l 与圆O 有两个不同的公共点；B ．当且仅当12a =−时，直线l 被圆O 所截弦长为C ．对任意实数a ，圆O 不关于直线l 对称；D ．存在实数a ，使得直线l 与圆O 相切．10．（2024·江西鹰潭·三模）已知m ∈R ，直线1:20l mx y m ++=与2:40l x my m −+=的交点P 在圆C ：()()()222340x y r r −+−=>上，则r 的最大值是（）A ．．．．【答案答案】】D【分析分析】】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，，可求得P 点轨迹方程点轨迹方程，，再由圆与圆的位置关系找出圆心距与两圆半径之间的关系可得结果.二、多选题11．（2024·湖南长沙·三模）已知圆 ()22:24C x y ++=，直线 ()():1210l m x y m m ++−+=∈R ，则（）A ．直线 l 恒过定点 ()1,1−B ．当0m =时，圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于 1 C ．直线l 与圆C 可能相切D ．若圆C 与圆 22280x y x y a +−++=恰有三条公切线，则8a =12．（2024·山西临汾·三模）已知,E F 是以为半径的圆上任意两点，且满足，P是EF 的中点，若存在关于()3,0对称的,A B 两点，满足0PA PB ⋅=，则线段AB 长度的可能值为（）A ．3B ．4C ．5D ．613．（2024·河南郑州·三模）已知直线:10l ax by ++=（,a b 不同时为0），圆22:20C x y x +−=，则（）A ．当221b a −=时，直线l 与圆C 相切B ．当2a b +=−时，直线l 与圆C ．当1,1a b ==−时，与圆C 外切D ．当1,1a b ==−时，直线l 与坐标C 不可能相交外切且与直线l 相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线与坐标轴相交于,A B 两点，则圆C 上存在点P 抛物线满足0PA PB ⋅=14．（2024·山东青岛·三模）已知动点M N ，分别在圆()()221:121C x y −+−= 和 ()()222:343C x y −+−=上，动点P 在 x 轴上，则（）A ．圆2C 的半径为3B ．圆1C 和圆2C 相离C ．PM PN +的最小值为D．过点P 做圆1C15．（2024·浙江温州·二模）已知圆1与圆2相交于122C AB C AB S S =△△，则实数a 的值可以是（）A ．10B ．2C ．223D ．14316．（2024·浙江绍兴·三模）已知M ，N 为圆224x y +=上的两个动点，点1,1P −，且PM PN ⊥，则（）A ．max2PM =B ．maxMN=C ．PMN 外接圆圆心的轨迹方程为22113222x y++−=D ．PMN 重心的轨迹方程为22551666x y++−=对于C 中，设PMN 的外接圆的圆心则有22(1)(1)4(x y ++−=−即22113()()222x y ++−=，对于D 中，设PMN 的重心为点由C 项知PMN 的外接圆的圆心点三、填空题17．（2024·广东汕头·三模）已知圆（i ）则圆C 的标准方程为；（ii ）若直线AB 关于y a =对称的直线知圆C 经过()2,0A ，()0,2B ，()2,4C 三点，的直线与圆C 有公共点，则a 的取值范围是.18．（2024·天津和平·三模）已知圆C 以点1,1为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆C 的半径最大时，圆C 的标准方程为．19．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点1,P a −关于直线0x y −=的对称点在圆22(2)(4)13x y −+−=内，则实数a 的取值范围是．因为(),1Q a −在圆22(2)(4)13x y −+−=的内部的内部，，所以22(2)(14)13a −−+−<，解得40a -<<，即实数a 的取值范围是()4,0−．故答案为故答案为：：()4,0−．20．（2024·湖南·二模）已知直线l 是圆22:1O x y +=的切线，点()2,1A −和点()0,3B 到l 的距离相等，则直线l 的方程可以是.（写出一个满足条件的即可）。

高考数学复习考点题型专题讲解20 直线与圆

高考数学复习考点题型专题讲解专题20 直线与圆高考定位考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.1.(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )A.1B. 2C.3D.2答案 B解析记点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，当AB⊥l时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为 2.故选B.2.(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( )A.12B.－12C.1D.－1答案 A解析依题意可知圆心坐标为(a，0)，又直线2x＋y－1＝0是圆的一条对称轴，所以2a＋0－1＝0，所以a＝12，故选A.3.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时，|PB|＝3 2D.当∠PBA最大时，|PB|＝3 2答案ACD解析设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，由题意知直线AB的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝|5＋2×5－4|5＝115>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋115，又4＋115<5＋1255＝10，故A正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，又115－4<1255－4＝1，故B不正确；过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA 最小时，点P与N重合，|PB|＝|MB|2－|MN|2＝52＋（5－2）2－42＝32；当∠PBA 最大时，点P 与Q 重合，|PB |＝32，故C ，D 都正确.综上，选ACD. 4.(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________.答案 (x －2)2＋(y －3)2＝13或(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x －43)2＋(y －73)2＝659或(x －85)2＋(y －1)2＝16925解析依题意设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F ＞0. 若过(0，0)，(4，0)，(－1，1)，则⎩⎨⎧F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧F ＝0，D ＝－4，E ＝－6，满足D 2＋E 2－4F ＞0，所以圆的方程为x 2＋y 2－4x －6y ＝0，即(x －2)2＋(y －3)2＝13；若过(0，0)，(4，0)，(4，2)，则⎩⎨⎧F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧F ＝0，D ＝－4，E ＝－2，满足D 2＋E 2－4F ＞0，所以圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5；若过(0，0)，(－1，1)，(4，2)，则⎩⎨⎧F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＝－83，E ＝－143，满足D 2＋E 2－4F ＞0，所以圆的方程为x 2＋y 2－83x －143y ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝659；若过(－1，1)，(4，0)，(4，2)，则⎩⎨⎧1＋1－D ＋E ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝－165，D ＝－165，E ＝－2，满足D 2＋E 2－4F ＞0，所以圆的方程为x 2＋y 2－165x －2y －165＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x －852＋(y －1)2＝16925.5.(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程________.答案 x ＝－1或7x －24y －25＝0或3x ＋4y －5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)解析如图，因为圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0，0)，半径r 1＝1，圆(x －3)2＋(y －4)2＝16的圆心为A (3，4)，半径r 2＝4，所以|OA |＝5，r 1＋r 2＝5，所以|OA |＝r 1＋r 2，所以两圆外切，公切线有三种情况： ①易知公切线l 1的方程为x ＝－1.②另一条公切线l 2与公切线l 1关于过两圆圆心的直线l 对称. 易知过两圆圆心的直线l 的方程为y ＝43x ，由⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝43x 得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－43，由对称性可知公切线l 2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－43.设公切线l 2的方程为y ＋43＝k (x ＋1)，因为点O (0，0)到l 2的距离为1，所以1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －43k 2＋1，解得k ＝724，所以公切线l 2的方程为y ＋43＝724(x ＋1)，即7x －24y －25＝0.③还有一条公切线l 3与直线l ：y ＝43x 垂直，设公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋t ，易知t >0，因为点O (0，0)到l 3的距离为1，所以1＝|t |⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋（－1）2，解得t ＝54或t ＝－54(舍去)，所以公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y －5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x －24y －25＝0或3x ＋4y －5＝0.热点一直线的方程及应用1.已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为零)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为零)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2.两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2(A 2＋B 2≠0). 3.点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2(A 2＋B 2≠0). 例1 (1)已知直线3x ＋2y －3＝0与直线6x ＋my ＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A.4B.132C.21313D.71326(2)已知直线l 1：mx ＋y －1＝0，l 2：(2m ＋3)x ＋my －1＝0，m ∈R ，则“m ＝－2”是“l 1⊥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)B (2)A解析(1)由直线3x＋2y－3＝0与6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以两直线方程分别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋72＝0，所以它们之间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪72－（－3）32＋22＝132.故选B.(2)若l1⊥l2，则m(2m＋3)＋m＝0，解得m＝0或m＝－2，所以“m＝－2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.故选A.易错提醒 1.求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；求解两条直线平行问题时，要注意排除两条直线重合的情况.2.求两平行直线间的距离时，需注意直线方程中x，y对应的系数相等.训练1 (1)已知直线l1：x＋(2a－1)y＋2a－3＝0，l2：ax＋3y＋a2＋4＝0，则“l1∥l2”是“a＝32”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(多选)(2022·南通模拟)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是( )A.x－2y＋2＝0B.2x－y－2＝0C.2x＋3y－18＝0D.2x－3y＋6＝0答案 (1)C (2)BC解析 (1)若l 1∥l 2，则a (2a －1)＝3，且a 2＋4≠a (2a －3)，解得a ＝32，所以充分性成立；当a ＝32时，l 1：x ＋2y ＝0，l 2：x ＋2y ＋256＝0，显然l 1∥l 2，所以必要性成立. 故“l 1∥l 2”是“a ＝32”的充要条件.(2)A ，B 在直线l 同侧时，k l ＝k AB ＝－2－24＋2＝－23，∴l ：y ＝－23(x －3)＋4，即2x ＋3y －18＝0，A ，B 在直线l 异侧时，l 过AB 中点M (1，0)，∴k l ＝0－41－3＝2，∴l ：y ＝2(x －3)＋4，即2x －y －2＝0，故选：BC.热点二圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2.例2 (1)(多选)(2022·潍坊调研)设圆A ：x 2＋y 2－2x －3＝0，则下列说法正确的是( ) A.圆A 的半径为2B.圆A 截y 轴所得的弦长为2 3C.圆A 上的点到直线3x －4y ＋12＝0的最小距离为1D.圆A 与圆B ：x 2＋y 2－8x －8y ＋23＝0相离(2)(2022·全国甲卷)设点M 在直线2x ＋y －1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为________.答案 (1)ABC (2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝5解析 (1)把圆A 的方程x 2＋y 2－2x －3＝0化成标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，所以圆A 的圆心坐标为(1，0)，半径为2，A 正确；圆A 截y 轴所得的弦长|CD |＝2×4－1＝23，B 正确；圆心(1，0)到直线3x －4y ＋12＝0的距离为3，故圆A 上的点到直线3x －4y ＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C 正确；圆B ：x 2＋y 2－8x －8y ＋23＝0的圆心为(4，4)，半径为3，根据（4－1）2＋42＝5可知，圆A 与圆B 外切，D 错误.故选ABC. (2)法一设⊙M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎨⎧2a ＋b －1＝0，（3－a ）2＋b 2＝r 2，a 2＋（1－b ）2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，r 2＝5，∴⊙M 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.法二设⊙M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则M (－D 2，－E2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2·（－D 2）＋（－E2）－1＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－3，∴⊙M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝5. 规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.训练2 (1)已知圆C 与x 轴的正半轴相切于点A ，圆心在直线y ＝2x 上，若点A 在直线x －y －4＝0的左上方且到该直线的距离等于2，则圆C 的标准方程为( ) A.(x －2)2＋(y ＋4)2＝4B.(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝16 C.(x －2)2＋(y －4)2＝4D.(x －2)2＋(y －4)2＝16(2)已知直线l 过点A (a ，0)且斜率为1，若圆x 2＋y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A.32B.±3 2C.±2D.± 2 答案 (1)D (2)D解析 (1)∵圆C 的圆心在直线y ＝2x 上， ∴可设C (a ，2a )，又圆C 与x 轴的正半轴相切于点A ， ∴a >0，且圆C 的半径r ＝2a ，A (a ，0). ∵点A 到直线x －y －4＝0的距离d ＝2， ∴d ＝|a －0－4|1＋1＝2，解得a ＝6或a ＝2， ∴A (2，0)或A (6，0)，又点A 在直线x －y －4＝0的左上方， ∴A (2，0)，∴C (2，4)，r ＝4，∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝16.故选D. (2)因为直线l 过点A (a ，0)且斜率为1，所以其方程为y ＝x －a ，即x －y －a ＝0.因为圆x 2＋y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1，所以圆心到直线的距离为1，即|－a |2＝1，解得a ＝± 2.故选D. 热点三直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离. 判断方法：(1)点线距离法(几何法).(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.考向1 直线与圆的位置关系例3 (1)(2022·北京石景山区二模)已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝9，过点D (1，2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则弦AB 长度的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A (－2，3)，B (0，a )，若直线AB 关于y ＝a 对称的直线与圆(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围是________. 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32解析 (1)根据题意圆C ：(x －3)2＋y 2＝9，圆心C (3，0)，半径为3，点D (1，2)在圆C 的内部.当直线DC 垂直于直线l 时，即点D 为AB 的中点时，弦AB 最短. ∵|DC |＝（3－1）2＋（0－2）2＝22， ∴|AB |min ＝2r 2－|DC |2＝29－8＝2. 故选B.(2)法一由题意知点A (－2，3)关于直线y ＝a 的对称点为A ′(－2，2a －3)，所以k A ′B ＝3－a 2，所以直线A ′B 的方程为y ＝3－a2x ＋a ，即(3－a )x －2y ＋2a ＝0. 由题意知直线A ′B 与圆(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，易知圆心为(－3，－2)，半径为1，所以|－3（3－a ）＋（－2）×（－2）＋2a |（3－a ）2＋（－2）2≤1，整理得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.法二易知(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1关于y 轴对称的圆的方程为(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，由题意知该对称圆与直线AB 有公共点.直线AB 的方程为y ＝a －32x ＋a ，即(a －3)x －2y ＋2a ＝0，又对称圆的圆心为(3，－2)，半径为1，所以|3（a －3）＋（－2）×（－2）＋2a |（a －3）2＋（－2）2≤1，整理得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.法三易知(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1关于y 轴对称的圆的方程为(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，由题意知该对称圆与直线AB 有公共点. 设直线AB 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋3＋2k ＝0，因为对称圆的圆心为(3，－2)，半径为1，所以|5k ＋5|k 2＋（－1）2≤1，解得－43≤k ≤－34，又k ＝a －32，所以－43≤a －32≤－34，解得13≤a ≤32，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.考向2 圆与圆的位置关系例4 (1)(2022·台州调研)已知圆O 1：x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0与圆O 2：x 2＋y 2＝4有且仅有两条公共切线，则正数a 的取值范围为( ) A.(0，1) B.(0，3) C.(1，3) D.(3，＋∞)(2)(多选)已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋2y －40＝0，则( )A.两圆相交B.公共弦长为410C.两圆相离D.公共弦长为210 答案 (1)C (2)AB解析 (1)由题意知圆O 1与圆O 2相交，圆O 1：x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0的圆心(a ，0)，半径为1.所以1<a 2<3，又a >0，解得a ∈(1，3)，故选C.(2)由题意知，圆C 1的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50， ∴圆心为C 1(5，5)，半径为r 1＝52，圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝50， ∴圆心为C 2(3，－1)，半径为r 2＝52， ∴两圆的圆心距d ＝（5－3）2＋[5－（－1）]2＝210， ∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴两圆相交，故选项A 正确，选项C 错误；设两圆的公共弦长为L ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫L 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22＝r 2(r ＝r 1＝r 2)， ∴L ＝410，故选项B 正确，选项D 错误.故选AB.规律方法 1.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.2.两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长.训练3(多选)(2022·武汉模拟)已知直线l：kx－y－k＋1＝0，圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝16，则下列选项正确的是( )A.直线l与圆一定相交B.当k＝0时，直线l与圆C交于两点M，N，点E是圆C上的动点，则△MNE面积的最大值为37C.当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小值为2 6D.若圆C与坐标轴分别交于A，B，C，D四个点，则四边形ABCD的面积为48答案AC解析∵直线l：kx－y－k＋1＝0过定点P(1，1).又(1－2)2＋(1＋2)2＝10<16，∴点P在圆内，因此直线与圆一定相交，故A正确；当k＝0时，直线y＝1，代入圆的方程得(x－2)2＋(1＋2)2＝16，解得x＝2±7，因此|MN|＝27，∵圆心为(2，－2)，圆半径为r＝4，∴圆心到直线l的距离为d＝3，因此E到直线l的距离的最大值为h＝4＋3＝7，∴△MNE面积最大值为S＝12×7×27＝77，故B错误；当l与圆有两个交点M，N时，|MN|最小，PC⊥l，|PC|＝（1－2）2＋（1＋2）2＝10，因此|MN |min ＝242－（10）2＝26，故C 正确；在圆方程(x －2)2＋(y ＋2)2＝16中分别令x ＝0和y ＝0可求得圆与坐标轴的交点坐标为A (2－23，0)，B (2＋23，0)，C (0，－2＋23)，D (0，－2－23)， ∴|AB |＝43，|CD |＝43，四边形ABCD 的面积为S ＝12×43×43＝24，故D 错误.故选AC. 热点四隐圆问题在解决某些解析几何问题时，题设条件看似与圆毫无关系，但通过对题目条件的分析、转化后，会发现此问题与圆有关，进而利用圆的性质解题，一般我们称之为隐圆问题. 例5(2022·济南模拟)已知直线kx －y ＋2k ＝0与直线x ＋ky －2＝0相交于点P ，点A (4，0)，O 为坐标原点，则tan∠OAP 的最大值为( )A.2－3B.33 C.1 D. 3答案 B解析直线kx －y ＋2k ＝0恒过定点M (－2，0)，直线x ＋ky －2＝0恒过定点N (2，0)，又易知两直线垂直，故P 点轨迹是以(0，0)为圆心，2为半径的圆，除去与x 轴的交点，于是得x 2＋y 2＝4(x ≠±2)，如图，观察图形可知，射线AP 绕点A 旋转∠OAP ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，当旋转到与圆O ：x 2＋y 2＝4相切时，∠OAP 最大，因为|OA|＝4，AP′为切线，点P′为切点，|OP′|＝2，∠OP′A＝π2，则∠OAP′＝π6，所以∠OAP最大值为π6，所以(tan∠OAP)max＝tan π6＝33.规律方法确定隐圆的几种方法：(1)借助圆的定义；(2)借助距离的平方和为常数；(3)借助平面向量的数量积为定值；(4)借助距离比值为常数(PAPB＝λ，λ>0且λ≠1，动点P的轨迹为阿波罗尼斯圆).训练4 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是________.答案[0，3]解析设M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10可得x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，即x2＋(y－1)2＝4，则点M在圆x2＋(y－1)2＝4上，由题目条件可知点M在圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，所以两圆相交或相切，则2－1≤（a－0）2＋（a－2－1）2≤1＋2，解得0≤a≤3.一、基本技能练1.过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )A.x－y＋1＝0B.x＋y－3＝0C.2x－y＝0或x＋y－3＝0D.2x－y＝0或x－y＋1＝0答案 D解析当直线过原点时，满足题意，方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为xa＋y－a＝1，∵直线过(1，2)，∴1a－2a＝1，∴a＝－1，∴方程为x－y＋1＝0，故选D.2.已知圆C：x2＋y2＝r2(r>0)，直线l：x＋3y－2＝0，则“r>3”是“直线l与圆C相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析由题意知圆心(0，0)到直线x＋3y－2＝0的距离d＝|－2|1＋3＝1，当r>3时，直线与圆相交，当直线与圆相交，则d＝1<r，故“r>3”是“直线l与圆C相交”的充分不必要条件.故选A.3.(2022·厦门模拟)已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋(2－2k)上存在一点P，使得|OP|＝2，则k的取值范围为( )A.[3－2，3＋2]B.(－∞，2－3]∪[2＋3，＋∞)C.[2－3，2＋3]D.(－∞，3－2]∪[3＋2，＋∞)解析点O (0，0)到直线l ：y ＝kx ＋(2－2k )的距离d ＝|2－2k |k 2＋1. 由题意得坐标原点到直线l 距离d ≤|OP |，所以|2－2k |k 2＋1≤2，解得2－3≤k ≤2＋3，故k 的取值范围为[2－3，2＋3]，故选C.4.(2022·北京海淀区一模)已知直线l ：ax ＋by ＝1是圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0的一条对称轴，则ab 的最大值为( )A.14B.12 C.1 D. 2 答案 A解析圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0的圆心为(1，1)，直线l ：ax ＋by ＝1是圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0的一条对称轴. 可得a ＋b ＝1，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号.所以ab 的最大值为14，故选A.5.(2022·西安模拟)过点P (5，1)作圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的割线l 交圆C 于A ，B 两点，点C 到直线l 的距离为1，则PA →·PB →的值是( ) A.32 B.33 C.6 D.不确定解析由题意，可得向量PA →与PB →共线且方向相同，圆C 的圆心为(－1，2)，半径为2，如图所示，其中PD 为切线，根据切割线定理，则PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|＝|PD →|2＝|PC →|2－|CD →|2＝62＋12－22＝33.故选B.6.(2022·广州二模)已知直线x ＋y ＋1＝0与x ＋2y ＋1＝0相交于点A ，过点A 的直线l 与圆M ：x 2＋y 2＋4x ＝0相交于点B ，C ，且∠BMC ＝120°，则满足条件的直线l 的条数为( )A.0B.1C.2D.3 答案 B解析由题意得点A (－1，0)，圆M ：x 2＋y 2＋4x ＝0的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心(－2，0)，半径r ＝2，由∠BMC ＝120°，可得圆心M 到直线l 的距离d ＝1，直线l 过点A (－1，0)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，圆心M 到直线l 的距离d ＝1，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. 圆心M (－2，0)到直线l 的距离d ＝|－2k －0＋k |k 2＋1＝|－k |k 2＋1＝1，此方程无解.故满足条件的直线l 的条数为1，故选B.7.已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为( )A.(y－1)2－x2＝65B.x2－(y－1)2＝65C.y2－(x＋1)2＝65D.(x＋1)2－y2＝65 答案 D解析设动圆圆心P(x，y)，半径为r，则P到l1的距离d1＝|2x－3y＋2|13，P到l2的距离d2＝|3x－2y＋3|13，因为l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24.∴2r2－d21＝26，2r2－d22＝24，化简后得r2－d21＝169，r2－d22＝144，相减得d22－d21＝25，将d1，d2代入距离公式后化简可得(x＋1)2－y2＝65，故选D.8.(2022·江门模拟)已知M是圆C：x2＋y2＝1上一个动点，且直线l1：mx－ny－3m＋n ＝0与直线l2：nx＋my－3m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A.[3－1，23＋1]B.[2－1，32＋1]C.[2－1，22＋1]D.[2－1，33＋1]答案 B解析依题意，直线l1：m(x－3)－n(y－1)＝0恒过定点A(3，1)，直线l2：n(x－1)＋m(y－3)＝0恒过定点B(1，3)，显然直线l1⊥l2，因此，直线l1与l2交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，其方程为：(x－2)2＋(y－2)2＝2，圆心N(2，2)，半径r2＝2，而圆C 的圆心C (0，0)，半径r 1＝1，如图：|NC |＝22>r 1＋r 2，所以两圆外离，由圆的几何性质得： |PM |min ＝|NC |－r 1－r 2＝2－1， |PM |max ＝|NC |＋r 1＋r 2＝32＋1，所以|PM |的取值范围是[2－1，32＋1].故选B.9.(多选)已知直线l 1：(a ＋1)x ＋ay ＋2＝0，l 2：ax ＋(1－a )y －1＝0，则( ) A.l 1恒过点(2，－2)B.若l 1∥l 2，则a 2＝12C.若l 1⊥l 2，则a 2＝1D.当0≤a ≤1时，直线l 2不经过第三象限答案 BD解析 l 1：(a ＋1)x ＋ay ＋2＝0⇔a (x ＋y )＋x ＋2＝0，令⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，即直线恒过点(－2，2)，故A 不正确；若l 1∥l 2，则有(a ＋1)(1－a )＝a 2，解得a 2＝12，经检验满足条件，故B 正确；若l 1⊥l 2，则有a (a ＋1)＋a (1－a )＝0，解得a ＝0，故C 不正确；若直线l 2恒过点(1，1)且不经过第三象限，则当1－a ≠0时，a a －1<0，解得0<a <1，当a＝1时，直线l2：x＝1，也不过第三象限，当a＝0时，直线l2：y＝1，也不过第三象限，综上可知，当0≤a≤1时，直线l2不经过第三象限，故D正确.10.(多选)(2022·全国名校大联考)如图，O为坐标原点，B为y轴正半轴上一点，矩形OABC为圆M的内接四边形，OB为直径，|OC|＝3|OA|＝3，过直线2x＋y－4＝0上一点P作圆M的两条切线，切点分别为E，F，则下列结论正确的是( )A.圆M的方程为x2＋(y－1)2＝1B.直线AB的斜率为2C.四边形PEMF的最小面积为2D.PA→·PC→的最小值为4 5答案AD解析由题意可得圆M的直径|OB|＝2，线段OB的中点即为圆M的圆心，所以圆M的方程为x2＋(y－1)2＝1，故A正确；易知∠AOB＝π3，从而可得∠xOC＝π3，所以直线OC的斜率为k OC＝tan π3＝3，由AB∥OC可得直线AB的斜率为k AB＝k OC＝3，故B错误；连接PM，可得Rt△PME≌Rt△PMF，所以四边形PEMF的面积为S＝2S Rt△PME＝|ME|·|PE|＝|PE|＝|PM|2－1，当直线PM与直线2x＋y－4＝0垂直时，|PM|最小，即|PM |min ＝|2×0＋1－4|5＝355，所以S min ＝255，故C 错误；因为PA →·PC →＝(PM →＋MA →)·(PM →＋MC →)＝(PM →＋MA →)·(PM →－MA →)＝PM →2－MA →2＝PM →2－1≥95－1＝45，故D 正确.故选AD.11.(2022·辽宁六校联考)已知直线l 1：y ＝(2a 2－1)x －2与直线l 2：y ＝7x ＋a 平行，则a ＝________. 答案 2解析∵两直线平行，∴⎩⎨⎧2a 2－1＝7，a ≠－2，解得a ＝2. 12.过点M (0，－4)作直线与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0相切于A ，B 两点，则直线AB 的方程为________. 答案x －7y ＋18＝0解析圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，圆心为C (－1，3)，半径为2，由圆的切线的性质可得MA ⊥AC ，则|MA |＝|MC |2－22＝（－1－0）2＋（3＋4）2－22＝46，所以，以点M 为圆心、以|MA |为半径的圆M 的方程为x 2＋(y ＋4)2＝46，将圆M 的方程与圆C 的方程作差并化简可得x －7y ＋18＝0. 因此直线AB 的方程为x －7y ＋18＝0. 二、创新拓展练13.(多选)(2022·青岛质检)已知圆C1：(x－3)2＋(y－1)2＝4，C2：x2＋(y＋3)2＝1，直线l：y＝k(x－1)，点M，N分别在圆C1，C2上.则下列结论正确的有( )A.圆C1，C2没有公共点B.|MN|的取值范围是[1，7]C.过N作圆C1的切线，则切线长的最大值是4 2D.直线l与圆C1，C2都有公共点时，k≥2 3答案AC解析圆C1的圆心C1(3，1)，半径r1＝2，圆C2的圆心C2(0，－3)，半径r2＝1.对于选项A，圆心距d＝（0－3）2＋（－3－1）2＝5>r1＋r2，所以圆C1，C2外离，选项A正确；对于选项B，|MN|的最小值为d－(r1＋r2)＝2，最大值为d＋(r1＋r2)＝8，选项B错误；对于选项C，连接C1C2与圆C2交于点N(外侧交点)，过N作圆C1的切线，切点为P，此时|NP|最长，在Rt△C1PN中，|NP|＝（d＋r2）2－r21＝62－22＝42，选项C正确；对于选项D，直线l方程化为kx－y－k＝0，圆心C1到直线l的距离|2k－1|k2＋1≤2，解得k≥－3 4，圆心C2到直线l的距离|3－k|k2＋1≤1，解得k≥43，所以直线l与圆C1，C2都有公共点时，k≥43，选项D错误.故选AC.14.(多选)(2022·武汉模拟)过点P(1，1)的直线与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A，B两点，线段MN是圆C的一条动弦，且|MN|＝42，则( )A.△ABC面积的最大值为92B.△ABC面积的最大值为14C.|AB|的最小值为27D.|PM→＋PN→|的最小值为22－2 答案BCD解析设圆心C到直线AB的距离为d，由题意得0≤d≤2，|AB|＝29－d2，则S△ABC＝12|AB|·d＝12×29－d2·d＝9d2－d4＝－⎝⎛⎭⎪⎫d2－922＋814，当d2＝2时，(S△ABC)max＝14，故A错误，B正确；由0≤d≤2，|AB|＝29－d2知|AB|min＝29－2＝27，C正确；过圆心C作CE⊥MN于点E，则点E为MN的中点，又|MN|＝42，则|CE|＝9－8＝1，即点E的轨迹为圆(x－2)2＋y2＝1.因为|PM→＋PN→|＝2|PE→|，且|PE→|min＝|PC|－1＝2－1，所以|PM→＋PN→|的最小值为22－2，故D正确.因此应选BCD.15.(多选)(2022·南通调研)P是直线y＝2上的一个动点，过点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，A，B为切点，则( )A.弦长|AB|的最小值为3B.存在点P，使得∠APB＝90°C.直线AB经过一个定点D.线段AB的中点在一个定圆上答案ACD解析依题意|OP |2＝|AP |2＋|AO |2＝|AP |2＋1，设AB ∩OP ＝C ，则C 为AB 的中点，且OP ⊥AB ，所以|AC |＝|AP |·|AO ||OP |＝|AP ||OP |，所以|AB |＝2|AC |＝2|OP |2－|AO |2|OP |＝21－1|OP |2，sin∠APB 2＝|OA ||OP |＝1|OP |，又|OP |∈[2，＋∞)，所以sin∠APB 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，|AB |∈[3，2)，所以|AB |min ＝3，(∠APB )max＝60°，故A 正确，B 不正确；设P (t ，2)，则|OP |＝t 2＋4，所以以OP 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －t 22＋(y －1)2＝14t 2＋1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 22＋(y －1)2－(x 2＋y 2)＝14t 2＋1－1，即tx ＋2y ＝1，则直线AB 的方程为tx ＋2y＝1，所以直线AB 过定点M ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，故C 正确；又OC ⊥MC ，|OM |＝12，所以AB 的中点C 在以OM 为直径的圆上，故D 正确；故选ACD.16.在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝1交x 轴于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧，若直线x ＋3y ＋m ＝0上存在点P ，使得|PA |＝2|PB |，则实数m 的取值范围为________. 答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤－133，1解析由题意得A (－1，0)，B (1，0)，设P (x ，y )，则由|PA |＝2|PB |，得（x ＋1）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2，即⎝⎛⎭⎪⎫x －532＋y 2＝169，因此圆⎝⎛⎭⎪⎫x －532＋y 2＝169与直线x ＋3y ＋m ＝0有交点，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪53＋m 2≤43，解得－133≤m ≤1.故实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－133，1.17.在平面直角坐标系xOy 中，过点A (0，－3)的直线l 与圆C ：x 2＋(y －2)2＝9相交于M ，N 两点，若S △AON ＝65S △ACM ，则直线l 的斜率为________.答案 ±3147解析由题意得C (0，2)，直线MN 的斜率存在，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为y ＝kx －3，与x 2＋(y －2)2＝9联立，得(k 2＋1)x 2－10kx ＋16＝0，Δ＝100k 2－64(k 2＋1)＝36k 2－64>0，得k 2>169，x 1＋x 2＝10k k 2＋1，x 1x 2＝16k 2＋1. 因为S △AON ＝65S △ACM ，所以12×3×|x 2|＝65×12×|2－(－3)|×|x 1|，则|x 2|＝2|x 1|，于是x 2＝2x 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＝10kk 2＋1，2x 21＝16k 2＋1两式消去x 1得k 2＝187，满足Δ>0，所以k ＝±3147. 18.(2022·浙江五校联考)已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －2)2＝1，则z ＝2x ＋yx 2＋y 2的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，115 解析方程(x －1)2＋(y －2)2＝1表示的是以C (1，2)为圆心，1为半径的圆，圆心C (1，2)在直线2x ＋y ＝0上方，且可知2x ＋y >0.设圆C 上任意一点P (x ，y )，过点P 作直线2x ＋y ＝0的垂线，垂足为H ，则z ＝2x ＋y x 2＋y 2＝5|2x ＋y |5x 2＋y 2＝5|PH ||OP |＝5sin∠POH .设过坐标原点的切线为y ＝kx ，由|k －2|k 2＋1＝1可得k＝34，所以该圆过坐标原点的切线方程为x ＝0和y ＝34x ，两个切点分别为P 1(0，2)，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65，且∠POH <π2，所以当P (x ，y )在点P 1(0，2)时， sin∠POH 最小，此时z min ＝1；当P (x ，y )在点P 2⎝⎛⎭⎪⎫85，65时，sin∠POH 最大，此时z max ＝115，所以z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，115.。

高考数学一轮复习---直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习

直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。

高考数学复习考点题型归类解析40直线与圆综合应用(解析版)

高考数学复习考点题型归类解析专题40直线与圆综合应用一、关键能力1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，初步了解用代数方法处理几何问题的思想．二、教学建议直线与圆是高考的必考内容，它包括直线、圆和直线与圆综合应用等内容．高考常以选填题和解答题形式出现，对解析几何知识和数学思想方法的应用进行考查．近几年高考直线、圆试题的考查特点，一是考查两直线位置关系、点线距离、圆有关的概念、性质及其简单应用；二是以直线与圆位置关系为载体，在代数、向量等知识的交汇处设置解答题，考查解决轨迹、参数范围、探索型等综合问题的思想方法，并且注重测试逻辑推理和代数运算能力．三、自主梳理1.处理解析几何问题的两种方法：几何法、代数法2.圆上动点的处理方法：几何法：转化为具有几何意义的问题来解决（距离、角、斜率、截距）；代数法：设点坐标，用坐标去表示目标，寻求解决办法。

3.直线与圆交点的处理方法：几何法：转化的思想代数法：设而不求的办法四、高频考点+重点题型考点一、与其他知识（向量、简易逻辑、函数、不等式）交汇例1-1（与简易逻辑交汇）直线x﹣y+m＝0与圆x2+y2﹣2x﹣1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A．﹣3＜m＜1B．﹣4＜m＜2C．0＜m＜1D．m＜1【解答】解：联立直线与圆的方程得：{x−y+m=0x2+y2−2x−1=0，消去y得：2x2+（2m﹣2）x+m2﹣1＝0，由题意得：△＝（2m﹣2）2﹣8（m2﹣1）＝﹣4（m+1）2+16＞0，变形得：（m+3）（m﹣1）＜0，解得：﹣3＜m＜1，∵0＜m＜1是﹣3＜m＜1的一个真子集，∴直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜m＜1．故选：C．例1-2（与三角函数交汇）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax+by＝0的距离为2√2．则直线l的倾斜角的取值范围是．【解答】解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10＝0化简为标准方程，可得（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝18，∴圆心坐标为C （2，2），半径r ＝3√2，∵在圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax +by ＝0的距离为2√2， ∴圆心到直线的距离应小于或等于r −2√2=√2，由点到直线的距离公式，得√a 2+b 2≤√2，∴（2a +2b ）2≤2（a 2+b 2），整理得(−ab )2−4(−ab )+1≤0，解之得2−√3≤−ba ≤2+√3，∵直线l ：ax +by ＝0的斜率k =−ab ∈[2−√3，2+√3]∴设直线l 的倾斜角为α，则tan α∈[2−√3，2+√3]，即tan π12≤tan α≤tan 5π12．由此可得直线l 的倾斜角的取值范围是[π12，5π12]．故答案为：[π12，5π12] 例1-3（与向量的交汇）已知直线x +y ﹣k ＝0（k ＞0）与圆x 2+y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有OA →⋅OB →≥−2，那么k 的取值范围是（）A ．（√3，+∞）B ．[√2，2 √2）C ．[√2，+∞）D ．[√3，2 √2）【解答】解：根据题意，圆x 2+y 2＝4的圆心为（0，0），半径r ＝2，设圆心到直线x +y ﹣k ＝0的距离为d ；若直线x +y ﹣k ＝0（k ＞0）与圆x 2+y 2＝4交于不同的两点A ，B ，则d =√1+1=√22，则有k ＜2√2；设OA →与OB →的夹角即∠OAB ＝θ，若OA →⋅OB →≥−2，即|OA |×|OB |×cos θ≥﹣2，变形可得cos θ≥−12，则θ≤2π3，当θ=2π3时，d ＝1，若θ≤2π3，则d =√2≥1，解可得k ≥√2，则k 的取值范围为[√2，2√2）；故选：B ．例1-4（与基本不等式交汇）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P ，则P A ＋PB 的取值范围是( )A ．[5，25]B ．[25，45]C ．[10，45]D ．[10，25] 答案：D解析：由动直线x ＋my ＝0知定点A 的坐标为(0，0)，由动直线mx －y －m ＋3＝0知定点B 的坐标为(1，3)，且两直线互相垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动．故当点P 与点A 或点B 重合时，P A ＋PB 取得最小值，(P A ＋PB )min ＝AB ＝10．当点P 与点A 或点B 不重合时，在Rt △P AB 中，有P A 2＋PB 2＝AB 2＝10．因为P A 2＋PB 2≥2P A ·PB ，所以2(P A 2＋PB 2)≥(P A ＋PB )2，当且仅当P A ＝PB 时取等号，所以P A ＋PB ≤2P A 2＋PB 2＝2×10＝25，所以10≤P A ＋PB ≤25，所以P A ＋PB 的取值范围是[10，25]．故选D ．例1-5．过直线y ＝x 上一点作圆（x ﹣5）2+（y ﹣1）2＝2的两条切线l 1，l 2，当l 1，l 2关于直线y ＝x 对称时，l 1，l 2的夹角的大小为．【解答】解：圆（x ﹣5）2+（y ﹣1）2＝2的圆心（5，1），过（5，1）与y ＝x 垂直的直线方程：x +y ﹣6＝0，它与y＝x的交点N（3，3），N到（5，1）距离是2√2，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为60°．故答案为：60°．例1-6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣3＝0与x轴交于A，B两点，若动直线l与圆C相交于M，N两点，且△CMN的面积为4，若P为MN的中点，则△PAB的面积最大值为．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0得x＝﹣1或x＝3，即A（﹣1，0），B（3，0），圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝8，则圆心C（1，2），半径R=√8=2√2，△CMN的面积为4，×2√2×2√2sin∠MCN＝4，即S=12则sin∠MCN＝1，即∠MCN＝90°，则MN=√2CN=√2×2√2=4，则CP=1MN＝2，点P轨迹是个圆2要使△PAB的面积最大，则CP⊥AB，此时三角形的高为PD＝2+2＝4，AB＝3﹣（﹣1）＝4，×4×4=8，则△PAB的面积S=12故答案为：8．考点二、直线与圆中的探索性问题例2-1．在平面直角坐标系xOy 中，已知半径为2的圆C ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线x −√3y +2＝0相切．（1）求圆C 的方程；（2）在圆C 上，是否存在点P ，满足|PQ |=√22|PO |，其中，点Q 的坐标是Q （﹣1，0）．若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；（3）若在圆C 上存在点M （m ，n ），使得直线l ：mx +ny ＝1与圆O ：x 2+y 2＝1相交不同两点A ，B ，求m 的取值范围．并求出使得△OAB 的面积最大的点M 的坐标及对应的△OAB 的面积．【解答】解：（1）设圆心是（a ，0），（a ＞0），它到直线x −√3y +2＝0的距离是d =√1+3=2，解得a ＝2或a ＝﹣6（舍去），所以，所求圆C 的方程是（x ﹣2）2+y 2＝4．（4分）（2）假设存在这样的点P （x ，y ），则由PA =√22PO ，得x 2+y 2+4x +2＝0．（6分）即，点P 在圆D ：（x +2）2+y 2＝2上，点P 也在圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝4上．因为|CD|=4＞r c +r d =2+√2，所以圆C 与圆D 外离，圆C 与圆D 没有公共点．所以，不存在点P 满足条件．（8分）（3）存在，理由如下：因为点M （m ，n ），在圆C 上，所以（m ﹣2）2+n 2＝4，即n 2＝4﹣（m ﹣2）2＝4m ﹣m 2且0≤m ≤4．因为原点到直线l ：mx +ny ＝1的距离h =√m 2+n2=√4m1，解得14＜m ≤4 （10分）而|AB |＝2√1−ℎ2，所以S △OAB =12|AB |h =√ℎ2−ℎ4=√14m −(14m )2=√−(14m −12)2+14，因为116≤14m ＜1，所以当14m =12，即m =12时，S △OAB 取得最大值12，此时点M 的坐标是（12，√72）或（12，−√72），△OAB 的面积的最大值是12．（12分）例2-2．如图，已知⊙C 的圆心在原点，且与直线x +3y +4√2=0相切．（1）求⊙C 的方程；（2）点P 在直线x ＝8上，过点P 引⊙C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ． ①求四边形OAPB 面积的最小值； ②求证：直线AB 过定点．【解答】（1）解：依题意得：圆心（0，0）到直线x +3y +4√2=0的距离d ＝r ， ∴r ＝d =√2|√10=4√55， ∴圆C 的方程为x 2+y 2=165；（2）①解：连接OA ，OB ， ∵PA ，PB 是圆C 的两条切线， ∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴S 四边形OAPB =2S △OAP =12OA ⋅PA =12×4√55√PO 2−165=2√55√PO 2−165．∴当PO 取最小值为8时，(S 四边形OAPB )min =2√55√64−165=8√195； ②证明：由①得，A ，B 在以OP 为直径的圆上，设点P 的坐标为（8，b ），b ∈R ，则线段OP的中点坐标为（4，b2），∴以OP为直径的圆方程为(x−4)2+(y−b2)2=16+b24，即x2+y2﹣8x﹣by＝0．∵AB为两圆的公共弦，∴联立{x2+y2=165x2+y2−8x−by=0得：直线AB的方程为8x+by=165，b∈R，即8（x−25）+by＝0，则直线AB恒过定点（25，0）．例2-3．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．【解答】解：（1）曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，可设A（x1，0），B（x2，0），由韦达定理可得x1x2＝﹣2，若AC⊥BC，则k AC•k BC＝﹣1，即有1−00−x1•1−00−x2=−1，即为x1x2＝﹣1这与x1x2＝﹣2矛盾，故不出现AC⊥BC的情况；（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得y＝0时，x2+Dx+F＝0与x2+mx﹣2＝0等价，可得D＝m，F＝﹣2，圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2＝0，由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2＝0，可得E＝1，则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2＝0，另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），则由相交弦定理可得|OA|•|OB|＝|OC|•|OH|，即有2＝|OH|，再令x＝0，可得y2+y﹣2＝0，解得y＝1或﹣2．即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．例2-4．已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5＝0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y＝k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5＝0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y＝kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组{(x −3)2+y 2=4y =kx ，消去y 可得：（1+k 2）x 2﹣6x +5＝0，由△＝36﹣4（1+k 2）×5＞0，可得k 2＜45 由韦达定理，可得x 1+x 2=61+k 2，∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的参数方程为{x =31+k 2y =3k 1+k 2，其中−2√55＜k ＜2√55， ∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为：（x −32）2+y 2=94，其中53＜x ≤3；（3）结论：当k ∈（−2√57，2√57）∪{−34，34}时，直线L ：y ＝k （x ﹣4）与曲线C 只有一个交点．理由如下：联立方程组{(x −32)2+y 2=94y =k(x −4)，消去y ，可得：（1+k 2）x 2﹣（3+8k 2）x +16k 2＝0，令△＝（3+8k 2）2﹣4（1+k 2）•16k 2＝0，解得k ＝±34，又∵轨迹C 的端点（53，±2√53）与点（4，0）决定的直线斜率为±2√57， ∴当直线L ：y ＝k （x ﹣4）与曲线C 只有一个交点时， k 的取值范围为[−2√57，2√57]∪{−34，34}．例2-5．如图，圆C ：x 2﹣（1+a ）x +y 2﹣ay +a ＝0．（Ⅰ）若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；（Ⅱ）已知a ＞1，圆C 与x 轴相交于两点M ，N （点M 在点N 的左侧）．过点M 任作一条直线与圆O ：x 2+y 2＝4相交于两点A ，B ．问：是否存在实数a ，使得∠ANM ＝∠BNM ？若存在，求出实数a 的值，若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）因为由{y =0x 2−(1+a)x +y 2−ay +a =0可得x 2﹣（1+a ）x +a ＝0，由题意得△＝（1+a ）2﹣4a ＝（a ﹣1）2＝0，所以a ＝1，故所求圆C 的方程为x 2﹣2x +y 2﹣y +1＝0．（Ⅱ）令y ＝0，得x 2﹣（1+a ）x +a ＝0，即（x ﹣1）（x ﹣a ）＝0，求得x ＝1，或x ＝a ，所以M （1，0），N （a ，0）．假设存在实数a ，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣1），代入x 2+y 2＝4得，（1+k 2）x 2﹣2k 2x +k 2﹣4＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），从而x 1+x 2=2k 21+k 2，x 1x 2=k 2−41+k 2．因为NA 、NB 的斜率之和为 y 1x1−a+y 2x2−a=k[(x 1−1)(x 2−a)+(x 2−1)(x 1−a)](x 1−a)(x 2−a)，而（x 1﹣1）（x 2﹣a ）+（x 2﹣1）（x 1﹣a ）＝2x 1x 2﹣（a +1）（x 2+x 1）+2a =2k 2−41+k 2−(a +1)2k 21+k 2+2a =2a−81+k 2，因为∠ANM ＝∠BNM ，所以，NA 、NB 的斜率互为相反数，y 1x 1−a+y 2x 2−a=0，即2a−81+k 2=0，得a ＝4．当直线AB 与x 轴垂直时，仍然满足∠ANM ＝∠BNM ，即NA 、NB 的斜率互为相反数．综上，存在a ＝4，使得∠ANM ＝∠BNM ．例2-6．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设圆心C (a ,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， x 1,2＝2k 2±4k 4－4(k 2＋1)(k 2－4)2(k 2＋1)，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0，则k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，即2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4，所以当点N 的坐标为(4,0)时，能使得x 轴平分∠ANB 总成立．例2-7.已知t ∈R ，圆C ：x 2＋y 2－2tx －2t 2y ＋4t －4＝0． (1) 若圆C 的圆心在直线x －y ＋2＝0上，求圆C 的方程；(2) 圆C 是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．解析：(1) 配方得(x －t )2＋(y －t 2)2＝t 4＋t 2－4t ＋4，其圆心C (t ，t 2)．依题意t －t 2＋2＝0，解得t ＝－1或2．即x 2＋y 2＋2x －2y －8＝0或x 2＋y 2－4x －8y ＋4＝0为所求方程．(2) 整理圆C的方程为(x 2＋y 2－4)＋(－2x ＋4)t ＋(－2y )·t 2＝0，令⎩⎨⎧x 2＋y 2－4＝0，－2x ＋4＝0，－2y ＝0解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0. 故圆C 过定点(2，0)．考点三、与实际结合考察例3-1．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【答案】A 【分析】连接OC ，设半径为r ，则1OD r =-，在直角三角形OAD 中应用勾股定理即可求得r ，进而求得扇形OAB 的面积，减去三角形OAB 即可得阴影部分的面积．【详解】连接OC ，设半径为r ，5AD =寸，则1OD r =-在直角三角形OAD 中，222OA AD OD =+ 即()22251r r =+-，解得13r = 则5sin 13AOC ∠=，所以22.5AOC ∠= 则222.545AOB ∠=⨯=所以扇形OAB 的面积21451316966.333608S ππ⨯⨯=== 三角形OAB 的面积211012602S =⨯⨯= 所以阴影部分面积为1266.3360 6.33S S -=-= 所以选A例3-2．如图,某城市中心花园的边界是圆心为O ,直径为1千米的圆,花园一侧有一条直线型公路l ,花园中间有一条公路AB (AB 是圆O 的直径),规划在公路l 上选两个点P ,Q ,并修建两段直线型道路PB ,QA .规划要求:道路PB ,QA 不穿过花园.已知OC l ⊥,BD l ⊥(C ､D 为垂足),测得OC =0.9,BD =1.2(单位:千米).已知修建道路费用为m 元/千米.在规划要求下,修建道路总费用的最小值为_____元.【答案】2.1m 【分析】根据几何关系考虑道路不穿过花园，求解最小距离，即可得到最小费用. 【详解】如图：过点B 作直线BP AB ⊥交l 于P ，取BD 与圆的交点M ，连接,MA MB ，则MA MB ⊥，过点A 作直线AQ AB ⊥交l 于Q ，过点A 作直线AC l '⊥交l 于C '，根据图象关系可得，直线上，点P 左侧的点与B 连成线段不经过圆内部，点Q 右侧的点与A 连成的线段不经过圆的内部，最短距离之和即PB AC '+，根据几何关系：PBD BAM QAC '∠=∠=∠，3sin 5BAM ∠=，所以4cos cos cos 5PBD BAM QAC '∠=∠=∠=，所以 1.5BP =，2BD AC OC '+=，所以0.6AC '=，最小距离为2.1千米.修建道路总费用的最小值为2.1m 元. 故答案为：2.1m例3-3．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．（1）问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由；（2）城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？【答案】（1）否；（2）12小时. 【分析】建立直角坐标系，则城市A （0，0），当前台风中心(P -，设t 小时后台风中心P 的坐标为（x ，y ），由题意建立方程组，能求出10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A ．（2）t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，60+10t 为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果．【详解】（1）如图建立直角坐标系，则城市()0,0A ，当前台风中心(P -，设t 小时后台风中心P 的坐标为(),x y ，则x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，184.4PA ≈km ，台风的半径为r =160km ，因为r PA <，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A ()6010t + 230010800864000t t ⇒-+≤，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时.例3-4．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点(3,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营孙在区域即为回到军营.（1）若军营所在区域为222x y Ω+≤：，求“将军饮马”的最短总路程；（2）若军营所在区域为22x y Ω+≤’：，求“将军饮马”的最短总路程.【答案】（1（2 【分析】（1）根据利用圆的方程的知识画出军营区域及河岸线，作出A 关于河岸线的对称点'A ，根据对称性质和圆的性质即可求得；（2）先画出在第一象限的军营区域，再利用对称性画出运营区域，注意观察军营区域内哪一个到'A 最近，即可求得. 【详解】（1）若军营所在区域为22:2Ωx y +，圆：222x y +=，作图如下：设将军饮马点为P ，到达营区点为B ，'A 为A 关于直线4x y +=的对称点，因为()3,0A ,所以()'4,1A .则总路程||||||||PB PA PB PA '+=+，要使得路程最短，只需要||||PB PA '+最短，即点A '到军营的距离最短，即点A '到222x y +的最短距离，为OA '（2）若军营所在区域为:||2||2Ωx y +，对于||2||2x y =+，在x ≥0，y ≥0时为22,x y +=令0x =,得1y =,令0y =,则2x =,图象为连接点()0,1和()2,0的线段，根据对称性得到||2||2x y =+的图象如图所示的菱形，Ω':22x y+为这个菱形的内部(包括边界). 作图如下：由图可知，最短路径为连接()2,0点和'A 的连线，交直线4x y +=于点P ,饮马最佳点为P ，所以点A '到区域Ω最短距离A B '即“将军饮马”例3-5.如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直，保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解 (1)如图，过点B 作BE ⊥OC 于点E ，过点A 作AF ⊥BE 于点F .∵∠ABC ＝90°，∠BEC ＝90°，∴∠ABF ＝∠BCE ，∴tan ∠ABF ＝tan ∠BCO ＝43. 设AF ＝4x (m)，则BF ＝3x (m)，∵∠AOE ＝∠AFE ＝∠OEF ＝90°，∴OE ＝AF ＝4x (m)，EF ＝AO ＝60(m)， ∴BE ＝(3x ＋60)m.∵tan ∠BCO ＝43，∴CE ＝34BE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫94x ＋45 m ，∴OC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋94x ＋45 m ，∴4x ＋94x ＋45＝170，解得x ＝20.∴BE ＝120 m ，CE ＝90 m. 综上所述，BC ＝150 m.(2)如图，设BC 与⊙M 切于点Q ，延长QM ，CO 交于点P ，∵∠POM ＝∠PQC ＝90°.∴∠PMO ＝∠BCO . 设OM ＝x m ，则OP ＝43x m ，PM ＝53x m. ∴PC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋170m ，PQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1615x ＋136m.设⊙M 的半径为R ，∴R ＝MQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1615x ＋136－53x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫136－35x m ，∵A ，O 到⊙M 上任一点的距离不少于80 m ，则⎩⎨⎧R －OM ≥80，R －AM ≥80，即⎩⎪⎨⎪⎧136－35x －x ≥80，136－35x －(60－x )≥80.解得10≤x ≤35.当且仅当x ＝10时R 取到最大值．∴当OM ＝10 m 时，保护区面积最大，综上所述，当OM ＝10 m 时，保护区面积最大．课后作业一、单项选择题1．若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A B C D答案：B解析：由题意可设圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=，则()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心()1,1到直线230x y --=的距离均为15d ==；圆心()5,5到直线230x y --=的距离均为2d ==，所以圆心到直线230x y --=．故选B ．2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则PQ 的最小值为( )A ．95B ．185C ．2910D ．295答案：C解析：因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以PQ 的最小值为2910.3．圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b 的最小值是( )A ．23B ．203C ．323D ．163 答案：C解析：由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39，∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－2，6)，即－2a －6b ＋6＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)，∴2a ＋6b ＝23(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥23⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2 3a b ·3b a ＝323，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选C. 4．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[1－2，1＋2]B ．[1－2，3]C ．[1－22，3]D ．[－1，1＋2] 答案：C解析：由y ＝3－4x －x 2，得(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)． ∴曲线y ＝3－4x －x 2是半圆，如图中实线所示．当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，|2－3＋b |2＝2．∴b ＝1±22．由图可知b ＝1－22．∴b 的取值范围是[1－22，3]．故选C ．5．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且有|OA→＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[2，22) C ．[2，＋∞) D ．[3，22) 答案：B解析：当|OA ＋OB |＝33|AB |时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)的距离为1，此时k ＝2；当k ＞2时，|OA ＋OB |＞33|AB |，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k ＜22，综上，k 的取值范围为[2，22)．故选B ．6．已知点A (－5，0)，B (－1，－3)，若圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)上恰有两点M ，N ，使得△MAB 和△NAB 的面积均为5，则r 的取值范围是( ) A ．(1，5) B ．(1，5)C ．(2，5) D ．(2，5) 答案：B解析：由题意可得AB ＝(－1＋5)2＋(－3－0)2＝5，根据△MAB 和△NAB 的面积均为5，可得两点M ，N 到直线AB 的距离为2．由于直线AB 的方程为3x ＋4y ＋15＝0，若圆上只有一个点到直线AB 的距离为2，则有圆心(0，0)到直线AB 的距离|0＋0＋15|9＋16＝r ＋2，解得r ＝1；若圆上只有三个点到直线AB 的距离为2，则有圆心(0，0)到直线AB 的距离|0＋0＋15|9＋16＝r －2，解得r ＝5．所以实数r 的取值范围是(1，5)．故选B ．二、多项选择题7．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a 的值为( ) A ．33B ．－33 C ．4＋15D ．4－15 答案：CD解析：圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1．因为△ABC 为等边三角形，所以AB ＝BC ＝2，所以(|a ＋a －2|a 2＋1)2＋12＝22，解得a ＝4±15．故选CD ． 8．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72，若直线l ：x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y －4＝0C ．x ＋y －8＝0D ．x ＋y －10＝0 答案：AD解析：由题意知，圆心C (3，3)到直线l 的距离为13×62＝22，即|3＋3－m |2＝22，解得m ＝2或m ＝2，因此直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －10＝0．故选AD ．三、填空题9．已知点A (－1，1)，B (2，－2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)，则实数m 的取值范围是______________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[2，＋∞)解析：直线l ：x ＋my ＋m ＝0可化为x ＋m (y ＋1)＝0，所以直线恒过定点P (0，－1)． ∵点A (－1，1)，B (2，－2)，∴k P A ＝－2，k PB ＝－12，∵直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)，∴－1m ≤－2或－1m ≥－12， ∴m ≤12或m ≥2(经验证m ＝0也符合题意)．∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[2，＋∞)．10．已知过点P (2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a 等于____．答案：2解析：圆心为O (1，0)，由于P (2，2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，∴P 为切点，OP 与P 点处的切线垂直．∴k OP ＝2－02－1＝2，又点P 处的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直．∴a ＝k OP ＝2．11．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0．若点P到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．答案：2解析：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42， ∴圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235＞4，故直线与圆相离，则满足题意的点P 有2个．12．已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m ，0)，存在C 上的点P 和l上的Q 使得AP →＋AO →＝0，则实数m 的取值范围为________．答案：[2，3]解析：曲线C ：x ＝－4－y 2，是以原点为圆心，2为半径的圆，并且x P ∈[－2，0]，对于点A (m ，0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP →＋AQ →＝0，说明A 是PQ 的中点，Q的横坐标x ＝6，∴m ＝6＋x P2∈[2，3]．四、解答题13．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1，a )．(1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程； (2)若a ＝2，过点M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直，求AC ＋BD 的最大值．解析：(1)由条件知点M 在圆O 上，所以1＋a 2＝4，则a ＝±3．当a ＝3时，点M 为(1，3)，k OM ＝3，k 切＝－33，此时切线方程为y －3＝－33(x －1)．即x ＋3y －4＝0，当a ＝－3时，点M 为(1，－3)，k OM ＝－3，k 切＝33．此时切线方程为y ＋3＝33(x －1)．即x －3y －4＝0．所以所求的切线方程为x ＋3y －4＝0或x －3y －4＝0．(2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1，d 2≥0)，则d 21＋d 22＝OM 2＝3．又有AC ＝24－d 21，BD ＝24－d 22，所以AC ＋BD ＝24－d 21＋24－d 22．则(AC ＋BD )2＝4×(4－d 21＋4－d 22＋24－d 21·4－d 22)＝4×[5＋216－4(d 21＋d 22)＋d 21d 22] ＝4×(5＋24＋d 21d 22)．因为2d 1d 2≤d 21＋d 22＝3，所以d 21d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝62时取等号，所以4＋d 21d 22≤52，所以(AC ＋BD )2≤4×(5＋2×52)＝40．所以AC ＋BD ≤210，即AC ＋BD 的最大值为210．14．在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知AB ＝2OA ，且点B 的纵坐标大于0．(1)求AB→的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程．解析：(1)设AB →＝(x ，y )，由AB ＝2OA ，AB →·OA→＝0，得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝6，y ＝8或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝－8.若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B＞0矛盾．∴⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝－8舍去．即AB →＝(6，8)． (2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10， ∵OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6，8)＝(10，5)，∴直线OB 的方程为y ＝12x ．设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10．。

高三高考数学总复习《直线与圆》题型归纳与汇总

高考数学总复习题型分类汇《直线与圆》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一倾斜角与斜率 (3)题型二直线方程 (3)题型三直线位置关系的判断 (4)题型四对称与直线恒过定点问题 (4)题型五圆的方程 (5)题型六直线、圆的综合问题 (6)【巩固训练】题型一倾斜角与斜率 (7)题型二直线方程 (8)题型三直线位置关系的判断 (9)题型四对称与直线恒过定点问题 (10)题型五圆的方程 (11)题型六直线、圆的综合问题 (12)高考数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 的方程为310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α．故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值.【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35a k a k CB AB +=-= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y =【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m+=，代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。

直线与圆高考经典题型归纳（含答案）

直线与圆高考经典题型归纳（含答案）直线与圆高考经典题型归纳一．选择题1．（09·湖南重点中学联考）过定点()2,1P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正向于A 、B两点，若使△ABC （O 为坐标原点）的面积最小，则l 的方程是（）A.30x y +-=B.350x y +-=C.250x y +-=D.240x y +-=2．（09·湖北重点中学联考）若P （2，－1）为圆（x －1）2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A.x －y －3=0B.2x +y －3=0C.x +y －1=0D.2x －y －5=03.（09·陕西）过原点且倾斜角为60?的直线被圆学2240x y y +-=所截得的弦长为（）A B .2 C D4.（09·宁夏海南）已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为 ( )A .2(2)x ++2(2)y -=1B .2(2)x -+2(2)y +=1C .2(2)x ++2(2)y +=1 D .2(2)x -+2(2)y -=15.（09·重庆）直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离6.（09·重庆）圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（） A ．22(2)1x y +-= B ．22(2)1x y ++= C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-=7．（08·湖北）过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（）A.16条B. 17条C. 32条D. 34条8．（08·北京）过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（）A ．30B ．45C ．60D ．90二．填空题9．（07·上海）已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为____________.10.（08·天津）已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为____________．11.（09·四川）若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 .12.（09·全国）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是: ①15 ②30 ③45 ④60⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）13.（09·天津）若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a >0）的公共弦的长为则a =___________.14．（09·辽宁）已知圆C 与直线x －y ＝0 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为_____________.三．解答题15．（09·广西重点中学第一次联考）设直线l 过点A （2，4），它被平行线x –y +1=0与x -y -l=0所截得的线段的中点在直线x +2y -3=0上，求直线l 的方程.16．（08·北京）已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程；（Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值．17．（08·江苏）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求：（Ⅰ）求实数b 的取值范围；（Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．18．(08·海淀一模)如图，在平面直角坐标系中，N 为圆A ：16)1(22=++y x 上的一动点，点B （1，0），点M 是BN 中点，点P 在线段AN 上，且.0=?BN MP （Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）试判断以PB 为直径的圆与圆22y x +=4的位置关系，并说明理由. 19．（08·年西城一模）在面积为9的ABC ?中，4tan 3BAC ∠=-，且DB CD 2=.现建立以A 点为坐标原点，以BAC ∠的平分线所在直线为x 轴的平面直角坐标系，如图所示.（Ⅰ）求AB 、AC 所在的直线方程；(Ⅱ)求以AB 、AC 所在的直线为渐近线且过点D 的双曲线的方程；(Ⅲ)过D 分别作AB 、AC 所在直线的垂线DF 、DE （E 、F 为垂足），求DE DF ?的值.20.（08·朝阳一模）已知点,A B 分别是射线()1:0l y x x =≥，2:l yx =-()0x ≥上的动点，O 为坐标原点，且OAB ? 的面积为定值2．(Ⅰ）求线段AB 中点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点()0,2N 作直线l ，与曲线C 交于不同的两点,P Q ，与射线12,l l 分别交于点,R S ，若点,P Q 恰为线段RS 的两个三等分点，求此时直线l 的方程．参考答案一．选择题 1．【答案】D【解析】由题设，可知12ABC S ab ?=，且211a b+=，∴2ab a b =+≥8.ab =?≥当且仅当2422a b a b a ab b ==+==??时，8ab =.∴ l 的方程为：1240.42x yx y +=?+-= ∴应选D. 2．【答案】A【解析】由（x －1）2+y 2=25知圆心为Q （1，0）.据k QP ·k AB =－1，∴k AB =－QPk 1=1（其中k QP =1201---=－1）. ∴AB 的方程为y =（x －2）－1=x －3，即x －y －3=0.∴ 应选A. 3.【答案】D【解析】直线方程y =,圆的方程为：22(2)4x y +-=∴圆心(0,2)到直线的距离1d ==，由垂径定理知所求弦长为*d ==，选D .4.【答案】B【解析】设圆2C 的圆心为（a ，b ），则依题意，有111022111a b b a -+?--=-?=-?+?，解得22a b =??=-?，对称圆的半径不变，为1.5.【答案】B【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离2d ==，而01<<，选B. 6.【答案】A【解法】设圆心坐标为(0,)b1=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=. 7．【答案】C【解析】由已知得圆心为P(-1，2)，半径为13，显然过A 点的弦长中最长的是直径，此时只有一条，其长度为26，过A 点的弦长中最短的是过A 点且垂直于线段PA 的弦，也只有一条，其长度为10（PA 的长为12，弦长=2221213-=10），而其它的弦可以看成是绕A 点不间断旋转而成的，并且除了最长与最短的外，均有两条件弦关于过A 点的直径对称，所以所求的弦共有2（26-10-1）+2=32．故选C ． 8．【答案】C 【解析】此圆的圆心为C （5，1），半径2=r .设直线x y l =:上的点P 符合要求，连结PC ，则由题意知l PC ⊥，又22215=-=PC .设2l 与⊙C 切于点A ，连结AC ，则2=AC .在PAC ?Rt 中，21=PCAC ，∴?=∠30APC ，∴l 1与l 2的夹角为60°. 故选C. 二．填空题 9．【答案】32【解析】 2123113m m =≠?=---.10.【答案】22(1)18x y ++=.【解析】圆C 的圆心与P （－2,1）关于直线y =x +1对称的圆心为(0,-1),设该圆的方程为.)1(222R y x =++设AB 中点为M ，连结CM 、CA ，在三角形CMA 中22222304(1)113,5||3,3318,CM AM R CM MA ?+?--===∴=+=+=又故圆的方程为.18)1(22=++y x11.【答案】4【解析】由题知)0,(),0,0(21m O O ，且53||5<<="" ，又21ao="">所以有525)52()5(222±=?=+=m m ∴4552=??=AB . 12.【答案】①或⑤【解析】两平行线间的距离为211|13|=+-=d ，由图知直线m 与1l 的夹角为o30，1l 的倾斜角为o45，所以直线m 的倾斜角等于00754530=+o 或00153045=-o . 13.【答案】1【解析】由知22260x y ay ++-=222)3()1(6=---+a a 解之得1=a .14．【答案】22(1)(1)2x y -++=【解析】圆心在x ＋y ＝0上,结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可.三．解答题 15．【答案】3x -y -2=0【解析】由几何的基本的性质，被两平行线所截得的线段的中点一定在y =x 上，将x +2y -3=0与y =x 联立构成方程组解得交点的坐标为（1，1）点，又由直线l 过点A （2，4）由两点式得直线l 的方程为：3x -y -2=0. 16．【解析】（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x =+．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．由2234x y y x n+=?=-+?，得2246340x nx n -+-=．因为A C ，在椭圆上，所以212640n ?=-+>，解得33n -<<．设A ，B 两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232nx x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+．所以122ny y +=．所以AC 的中点坐标为344n n ??，．由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ??，在直线1y x =+上，所以3144n n=+，解得2n =-．所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=．（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=，所以AB BC CA ==．所以菱形ABCD 的面积2S =．由（Ⅰ）可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-= 所以S =2(316)433n n ??-+-<< ? ??．所以当0n =时，菱形ABCD 的面积取得最大值17．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．（Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令()220f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．（Ⅱ）设所求圆的一般方程为：2x 20y Dx Ey F ++++=，令y ＝0 得20x Dx F ++=．这与22x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ．令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1．所以圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=.（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，左边＝02＋12＋2×0－（b ＋1）＋b ＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点（0，1）．同理可证圆C 必过定点（－2，1）．18．【解析】由点M 是BN 中点，又0=?BN MP ，可知PM 垂直平分BN .所以|PN |=|PB |，又|P A |+|PN |=|AN |，所以|P A |+|PB |=4.由椭圆定义知，点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆.设椭圆方程为12222=+by a x ，由2a =4，2c =2，可得a 2=4，b 2=3.动点P 的轨迹方程为.13422=+y x（II ）设点PB y x P ),,(00的中点为Q ，则)2,21(0y x Q +，0||12.2PB x ====-即以PB 为直径的圆的圆心为)2,21(00y x Q +，半径为01411x r -=，又圆422=+y x 的圆心为O （0，0），半径r 2=2，又||OQ =011.4x ===+故|OQ |=r 2－r 1，即两圆内切.19．【解析】（Ⅰ）设α=∠CAx则由tan tan 2BAC α∠=22tan 4.1tan 3αα==--α为锐角，∴2tan =α，∴AC 所在的直线方程为y=2xAB 所在的直线方程为y= -2x（Ⅱ）设所求双曲线为()0,422≠=-λλy x设()11,y x C ，()22,y x B ()0,021>>x x ，由DB CD 2=可??-+342,322121x x x x D ∴λ=??--??? ??+22122134234x x x x ，即λ=21932x x ,由34tan -=∠BAC ，可得54sin =∠BAC ，又 15x AB =， 25x AC =，()021>x x 12121sin 214529.25ABC S AB AC BAC x x x x ?∴=∠===即2921=x x ，代入（1）得16=λ，∴双曲线方程为116422=-y x （Ⅲ）由题设可知BAC DF DE ∠->=<π,，∴cos ,DE DF <> 3cos(),5BAC π=-∠=设点D 为()00,y x ，则11642020=-yx又点D 到AB ，AC 所在直线距离5200y x +=5200y x -=，DE DF DE DF ?=??><="" de="" p="">=-5200yx 348.525= 20.【解析】（I ）由题可设()11,A x x ，()22,B x x -，(),M x y ，其中120,0x x >>. 则1212,(1)2,(2)2x x x x x y +?=-?=??∵OAB ?的面积为定值2，∴)121122OAB S OA OB ?==12 2.x x ==22(1)(2)-，消去12,x x ，得222x y -=．由于120,0x x >>，∴0x >，所以点M 的轨迹方程为222x y -=（0x >）．（II ）依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+．由222,2,y kx x y =+??-=?消去y 得()221460k x kx ---=，设点P 、Q 、R 、S 的横坐标分别是P x 、Q x 、R x 、P x ，∴由,0P Q x x >得()2222210,162410,40,160,1P Q P Q k k k k x x k x x k ?-≠??=+->??+=>?-?-?=>?-?解之得：1k <<-．∴P Q x x -21k ==-由2,,y kx y x =+??=?消去y 得：21R x k =-，由2,,y kx y x =+??=-?消去y 得：21S x k =--，∴241R S x x k -=-. 由于,P Q 为RS 的三等分点，∴3R S x x -=P Q x x -.解之得53k =-. 经检验，此时,P Q 恰为RS 的三等分点，故所求直线方程为523y x =-+.。

高考数学直线与圆试题分类解析(教师版)新.doc

高考数学直线与圆试题分类解析一、考查直线方程以及直线间的位置关系 1、（安徽文数）（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 4.A【解析】设直线方程为20x y c -+=，又经过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --=. 【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为20x y c -+=，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行. 二、考查圆的方程以及直线与圆的位置关系 2、（湖南文数）14.若不同两点P ,Q 的坐标分别为（a ，b ），（3-b ，3-a ），则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为 -1 ,圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线对称的圆的方程为3、（山东文数）（16）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为 . 答案：4、（天津文数）（14）已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切。

则圆C 的方程为。

【答案】22(1)2x y ++=本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。

令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x 轴的交点为（-1.0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ==，所以圆C 的方程为22(1)2x y ++=【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。

5、（广东理数）12.已知圆心在x 的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O 的方程是12．22(5x y ++=．设圆心为(,0)(0)a a <，则r ==，解得5a =-．6、（山东理数）【解析】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：22+2=(a-1)，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为x+y-3=0。

高考中直线与圆的七大热点题型剖析

1)2=5。热点 3:直线与圆相交关系中的弦长
问题
例3 (2018年高考新课标卷)直线 y=
x+1与圆 x2 +y2 +2y-3=0 相交于 A,B
两点,则 AB =
。
解:借助弦心距、半径和半弦长构成的直
角三角形求解。已知圆的方程可化为 x2 +
(y+1)2=4,所以圆心为(0,-1),且半径r= 2。根据点到直线的距离公式,可得弦心距 d= 0+1+1 = 2。利用圆中的弦长公
12 + (-1)2
式,可得 AB =2 r2-d2 =2 4-2 = 2 2。
îï4+2D +F=0,
îïF=0,
可得所求圆的方程为 (x-1)2 +y2 =1。评析:一般地,与圆心和半径有关的问
题,选择标准式;否则,选择一般式。不论是
选择哪种形式,都要确定三个参数,利用方程
组求解。
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解题篇·创新题追根溯源高一使用 2019年11月
[ ] D.0,3 π
解:借助直线与圆的位置关系,利用几何
法构建斜率的不等式求解。易知直线l 的斜
率存在,可设直线l:y+1=k(x + 3),即
kx-y+ 3k-1=0。因为直线l 与圆x2 + y2=1有公共点,所以圆心 (0,0)到直线l 的
变式1:若过点 A(3,0)的直线l 与曲线 (x-1)2+y2=1 有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( )。

高考数学试题分类详解直线与圆

高考数学试题分类详解直线与圆一、选择题1、．与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是．【答案】:.22(2)(2)2x y -+-=【分析】：曲线化为22(6)(6)18x y -+-=，其圆心到直线20x y +-=的距离为6625 2.2d +-==所求的最小圆的圆心在直线y x =上，其到直线的距离为2，圆心坐标为(2,2).标准方程为22(2)(2)2x y -+-=。

2、(某某文5)若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22,则a 的值为(A)-2或2(B)2321或 (C)2或0 (D)-2或0解析：若圆04222=--+y x y x 的圆心(1，2)到直线0=+-a y x 的距离为22，∴|12|222a -+=，∴a =2或0，选C 。

3、（某某文13）圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（）Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x【答案】C【解析】圆2222210(1)2x y x x y +--=⇒-+=，圆心（1，0），半径2，关于直线032=+-y x 对称的圆半径不变，排除A 、B ，两圆圆心连线段的中点在直线032=+-y x 上，C 中圆2)2()3(22=-++y x 的圆心为（－3，2），验证适合，故选C 。

4、（某某理10）已知直线1x ya b+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（） A ．60条 B ．66条 C ．72条 D ．78条答案：选A解析：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆22100x y +=上的整数点共有12个，分别为()()()6,8,6,8,8,6±-±±，()()()8,6,10,0,0,10-±±±，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成21266C =条直线，其中有4条直线垂直x 轴，有4条直线垂直y 轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条。

直线与圆常考6种题型总结(解析板)--2024高考数学常考题型精华版

直线与圆常考6种题型总结【考点分析】考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆考点二：圆的标准方程设圆心的坐标()C a b ，，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=考点三：圆的一般方程圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标：()22D E --，，半径：r =注意：①对于F E D 、、的取值要求：2240D E F +->当2240D E F +-=时，方程只有实数解22D E x y =-=-，．它表示一个点()22D E--，当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．②二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，表示圆的充要条件是22040A C B D E AF =≠⎧⎪=⎨⎪+->⎩考点四：以1122()()A x y B x y ，，，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y -⋅-+--=考点五：阿波罗尼斯圆设A B ，为平面上相异两定点，且||2(0)AB a a =>，P 为平面上异于A B ，一动点且||||PA PB λ=（0λ>且1λ≠）则P 点轨迹为圆.考点六：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则直线与圆的位置关系几何意义代数意义公共点的个数①直线与圆相交r d <0>∆两个②直线与圆相切r d =0=∆一个③直线与圆相离r d >0<∆0个注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程2Ax Bx C ++=考点七：直线与圆相交的弦长问题法一：设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则弦长222d r AB -=法二：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程20Ax Bx C ++=，利用韦达定理，弦长公式即可【题型目录】题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的弦长问题题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题题型五：圆中最值问题题型六：圆与圆的位置关系问题【典型例题】题型一：圆的方程【例1】AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O 所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-=故答案为：()()22125x y -+-=【例2】已知圆22(1)(2)4x y +++=关于直线()200,0ax by a b ++=>>对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．92C ．4D ．8故选：B【例3】过点(1,1),(3,5)A B -，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程为_______．【例4】设甲：实数3a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB =米，拱高10OP =米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米.（注意：≈3.162）A ．6.48B ．5.48C ．4.48D ．3.48【答案】A【解析】以O 为原点,以AB 所在直线为x 轴,以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a ），则P (0,10),A (-50,0).可设圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=,由题意可得：()()222221050a r a r ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得：2120,16900a r =-=.所以所求圆的方程为()2212016900x y ++=.将x =-30代入圆方程,得:()290012016900y ++=,因为y >0,所以12040 3.162120 6.48y =≈⨯-=.故选：A.【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =，则PAB △面积的最大值是（）AB ．2C．D ．4【答案】C【解析】设经过点A ，B 的直线为x 轴，AB的方向为x 轴正方向，线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系.则()1,0A -，()10B ,．设(),P x y，∵PA PB==两边平方并整理得22610x y x +-+=，即()2238x y -+=．要使PAB △的面积最大，只需点P到AB （x 轴）的距离最大时，此时面积为122⨯⨯故选：C.【题型专练】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．2.经过三个点00()(02)()0A B C -,,,,的圆的方程为（）A ．(()2212x y ++=B ．(()2212x y +-=C ．(()2214x y ++=D ．(()2214x y +-=中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】22420x y x y +--=或22460x y x y +--=或22814033x y x y +--=或2216162055x y x y +---=（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，则0164020420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得420D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22420x y x y +--=；若圆过(0,0)，(4,0)，(1,1)-三点，则0164020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩，解得460D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22460x y x y +--=；若圆过(0,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则02020420F D E F D E F =⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得831430D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故圆的方程为22814033x y x y +--=；若圆过(4,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则16402020420D F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得1652165D E F ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，故圆的方程为2216162055x y x y +---=.4.已知“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（）A ．()1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-5.若两定点()1,0A ，()4,0B ，动点M 满足2MA MB =，则动点M 的轨迹围成区域的面积为（）．A ．2πB ．5πC ．3πD ．4π6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足PA PB＝12.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（）A ．轨迹C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得PD PE＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =【答案】BC【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.设MA MO，则在O，A，M三点所能构成7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足2=的三角形中面积的最大值是（）A．1B．2C．3D．4易知90MBO ∠=︒时，MOA S △取得最大值3．故选：C ．题型二：直线与圆的位置关系【例1】直线:10l kx y k -+-=与圆223x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．,33⎡-⎢⎣⎦D ．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为()43-=-x k y ，即043=-+-k y kx ，圆心为()3,2，半径为1，所以圆心到直线得距离1211433222+≤-⇒≤+-+-=k k k kk d ，解得3333≤≤-k【例3】直线:20l kx y --=与曲线1C x -只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬D ．(-由图知，当24k <≤或故选：C【例4】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．【题型专练】1.直线():120l kx y k k R -++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D【解析】将直线l 变形为()012=+-+y x k ，令⎩⎨⎧=+-=+0102y x ，解得⎩⎨⎧=-=12y x ，所以直线过定点()1,2-P ，因为()51222=+-，所以点P 在圆上，所以直线与圆相切或者相交2.已知关于x 的方程2(3)1k x ++有两个不同的实数根，则实数k 的范围______.当直线与半圆相切时，圆心O 到直线1l 的距离d 解得：13265k -=（舍），或13265k +=当直线过点(2,0)-时，可求得直线2l 的斜率2k =则利用图像得：实数k 的范围为3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭故答案为：3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭3.（2022全国新高考2卷）设点A (－2，3)，B (0(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围为_______．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型三：直线与圆的弦长问题【例1】已知圆C ：()()22210x y a a +-=>与直线l ：x -y -1=0相交于A ，B 两点，若△ABC 的面积为2，则圆C 的面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】如图，由圆C 方程可知圆心()0,1C ，半径为a ，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l 的距离d =又△ABC 的面积为11222S AB d =⋅==，解得AB =2222a ⎛+= ⎝⎭，则a =2，即圆C 的半径为2.则圆C 的面积为24S a ππ==.故选：C.【例2】已知圆22:60M x y x +-=，过点()1,2的直线1l ，2l ，…，()*n l n ∈N 被该圆M 截得的弦长依次为1a ，2a ，…，n a ，若1a ，2a ，…，n a 是公差为13的等差数列，则n 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n 的最大值此时，直线DE 的解析式为：3y x =-+直线BC 的解析式为：=+1y x 圆心到弦BC 所在直线的距离：AM 连接BM ,由勾股定理得，()22=322=1AB -x y+=交于,A B两点，过,A B分别作l的垂线与x轴交于【例3】已知直线:10l mx y+--=与圆2216,C D两点，则当AB最小时，CD=（）A．4B．C．8D．故选：D【例4】（多选题）若直线l 经过点0(3,1)P -，且被圆2282120x y x y +--+=截得的弦长为4，则l 的方程可能是（）A ．3x =B ．3y =C ．34130x y --=D ．43150x y --=【题型专练】1.直线:l y x m =+与圆224x y +=相交于A ，B 两点，若AB ≥m 的取值范围为（）A ．[]22-,B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线l 的距离为d ，而圆半径为2r =，弦AB 长满足AB ≥，则有1d =，又d =1≤，解得m -≤≤所以实数m 的取值范围为⎡⎣.故选：B2.在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=化简为22(2)(1)5x y -++=可得圆心为(2,1),r -=易知过点()1,0E 的最长弦为直径，即||AC =而最短弦为过()1,0E 与AC 垂直的弦，圆心(2,1)-到()1,0E 的距离：d ==所以弦||BD ==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅=故选：D.3.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于B A ,两点，且60AOB ∠= (其中O 为原点)，则k 的值为（）A ．3-或3B ．3C ．D 4.直线l ：()()2110m x m y -+-+=与圆C ：2260x x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值是（）A ．B ．2C ．D ．4【答案】D【解析】分别取1,2m m ==，则1010x y -+=⎧⎨-+=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点(1,1)P ，将圆C 化为标准方程：22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)，半径3r =.如图，因为AB =，所以当圆心到直线距离最大时AB 最小.当CP 不垂直直线l 时，总有d CP <，故当CP l ⊥时AB 最小，因为CP =所以AB的最小值为4=.故选：D题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题【例1】直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________．【例2】已知圆C ：228240x y y +--+=，且圆外有一点()0,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，且切点分别为A ，B ，则AB =______.【例3】点P 在圆C ：()()22334x y -+-=上，()2,0A ，()0,1B ，则PBA ∠最大时，PB =___________.【答案】3【分析】根据题意PBA ∠最大时，直线【详解】点P 在圆C ：()23x -+如图将BA 绕点B 沿逆时针方向旋转，当刚好与圆当旋转到与圆相切于点2P 时，∠【例4】过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（）A．PA B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【题型专练】1.过点(0,2)作与圆2220x y x +-=相切的直线l ，则直线l 的方程为（）A ．3480x y -+=B ．3480x y +-=C ．0x =D ．1x =2.直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【详解】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ =，故选：B.3.过点(2,2)P作圆224x y+=的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为_______．题型五：圆中最值问题【例1】已知l：4y x=+，分别交x，y轴于A，B两点，P在圆C：224x y+=上运动，则PAB△面积的最大值为（）A．8-B．16-C．8+D．16+【答案】C【解析】如图所示，以AB 为底边，则PAB △面积最大等价于点P 到l 距离最大，而点P 到l 距离最大值等于O 到l 的距离加半径看，O 到l 的距离d =O 的半径2r =，()4,0A -，()0,4B ，则AB =PAB △面积的最大值为()1282⨯=+故选：C【例2】已知点P 是圆()()2241625x y -+-=上的点，点Q 是直线0x y -=上的点，点R 是直线125240x y -+=上的点，则PQ QR +的最小值为（）A ．7B ．335C ．6D ．295由对称性可知CQ EQ =，点E 到直线125240x y -+=的距离为的交点以及点【例3】已知直线:320l x y ++=与x 、轴的交点分别为A 、B ，且直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，则PAB 面积的最大值是（）A ．103+B ．103+C D【例4】已知圆()()22:254C x y -+-=的圆心为C ，T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为（）A ．10B ．16C ．18D ．20()2TM TC TC CM TC TC CM ⋅=+⋅=+ CM TM ⊥ ，CM CT CM CT ∴⋅=⋅ 24TM TC TC ∴⋅=- ，【例5】已知复数z 满足1i 1z +-=（i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A ．2B 1C 1D ．1【答案】B【解析】令i z x y =+，x ，y ∈R ，则()1i 11i 1z x y +-=++-=，即()()22111x y ++-=，表示点(),x y 与点()1,1-距离为1的点集，此时，i z x y =-()()22111x y ++-=上点到原点距离，所以z 的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，，且半径为1，1．故选：B ．【例6】若0x =，则2yx -的取值范围为【答案】11[,]22-【解析】因为0x +=x =-所以()2210x y x +=≤如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,2yx -的几何意义是点(),x y 与点()2,0连线的斜率如图，()()0,1,0,1A B -，()2,0P101022PA k -==--，101022PB k --==-所以2y x -的取值范围为11[,]22-故选：D【例】AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为⊙C 上一动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[0，100]B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【答案】D 【解析】【分析】取AB 中点为Q ,利用数量积的运算性质可得2||9PA PB PQ ⋅=- ，再利用圆的性质可得||PQ 取值范围，即求.【详解】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+= ，PA PB BA -= 221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦ 2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦ ，又||6BA = ，4CQ =2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∵点P 为⊙C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72].故选：D.【题型专练】1．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y ++=上，则ABP 面积的取值范围是（）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣2.（多选题）已知点P 在圆O :224x y +=上,直线l :43120x y +-=分别与x 轴,轴交于,A B 两点,则（）A ．过点B 作圆O 的切线,则切线长为B ．满足0PA PB ⋅=的点P 有3个C ．点P 到直线l 距离的最大值为225D ．PA PB +的最小值是1【答案】ACD【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,0PA PB ⋅=即PA PB ⊥,所以点P 在以AB 为直径的圆上,设AB 的中点为M ,写出圆M 的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大PM 3．已知动点A ，B 分别在圆1C ：()2221x y ++=和圆2C ：()2244x y -+=上，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值是_______【答案】3-##3-+如图，设点()10,2C -关于直线10x y -+=对称的点为()030,C x y ，所以，00002121022y x x y +⎧=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得003,1x y =-=，即()33,1C -，所以，3252C C =所以，32523PA B C P C r R --+=-≥，即PA PB +的最小值是523-.故答案为：523-4．过直线3450x y +-=上的一点P 向圆()()22344x y -+-=作两条切线12l l ，．设1l 与2l 的夹角为θ，则θ的最大值为______．【答案】π3##60︒【分析】由题可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，根据圆的性质结合条件可得1sin sin22APC θ∠=≤，进而即得.【详解】由()()22344x y -+-=，可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，则2APB APC θ=∠=∠，在Rt APC △中，2AC =，2sin sin 2CA APC CP CPθ∠===又()3,4C 到直线3450x y +-=的距离为223344534⨯+⨯-+所以4CP ≥，1sin sin22APC θ∠=≤，所以APC ∠的最大值为π6，即θ的最大值为π3.故答案为：π3.5．已知圆22:410,+--=M x y x (),P x y 是圆M 上的动点，则3t x =+的最大值为_________；22x y +的最小值为____________．6.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z --的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】2z = ，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z -- 的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴--==.故选：C.题型六：圆与圆的位置关系问题【例1】已知圆221:1C x y +=与圆222:(3)(4)4C x y -+-=，则圆1C 与2C 的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离【例2】已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥ 可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.【例3】圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（）A ．B ．C ．D ．【例4】已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】由题意得P 点轨迹，转化为有交点问题【详解】90APB ∠=︒，记AB 中点为O ，则||OP m =，故P 点的轨迹是以原点为圆心，m 为半径的圆，又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则|1|||1m OC m -≤≤+，而||10OC =，得911m ≤≤．故选：B【题型专练】1．写出与圆221x y +=和圆()2264x y -+=都相切的一条直线的方程______.2.（2022全国新高考1卷）写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程_______．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.3.（多选题）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 14.已知点()()2,3,5,1A B -，则满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，将所求转化为求圆A 与圆B 的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数即为圆A 与圆B 的公切线条数，因为513AB ==>+，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D5.已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（）A ．4B ．9C ．7D ．2【答案】B【解析】【分析】分析可知()21max 4PN PM PC PC -=-+，设点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，可得出22PC PC '=，求出21PC PC '-的最大值，即可得解.【详解】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max min max PN PM PN PM -=- ，又2max 3PN PC =+，1min 1PMPC =-，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC ∴-=+--=-+．点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，2121125PC PC PC PC C C ''-=-≤==，所以，()max 549PN PM -=+=，故选：B ．。