高二数学概率随机事件(学生版)

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高二数学教案:随机事件的概率(3)——等可能事件的概率(2)

高二数学教案:随机事件的概率(3)——等可能事件的概率(2)

随机事件的概率(3)——等可能事件的概率(2)一、课题:随机事件的概率(3)——等可能事件的概率(2)二、教学目标:1.巩固等可能性事件及其概率的概念;2.掌握排列组合的基本公式计算等可能性事件概率的基本方法与求解的一般步骤。

三、教学重、难点:等可能性事件概率的定义和计算方法;排列和组合知识的正确运用。

四、教学过程:(一)复习:1.基本事件、等可能性事件的概念;2.等可能性事件的概率公式及一般求解方法;3.练习:(1)甲、乙、丙、丁四人中选3名代表,写出所有的基本事件,并求甲被选上的概率。

解:基本事件:甲、乙、丙;甲、乙、丁;甲、丙、丁;乙、丙、丁分别选为代表,其中甲被选上的事件个数为3,所以,甲被选上的概率为34.(2)下列命题:①任意投掷两枚骰子,出现点数相同的概率是16;②自然数中出现奇数的概率小于出现偶数的概率;③三张卡片的正、反面分别写着1、2;2、3;3、4,从中任取一张朝上一面为1的概率为16;④同时投掷三枚硬币,其中“两枚正面朝上,一枚反面朝上”的概率为38,其中正确的有①③④(请将正确的序号填写在横线上).(二)新课讲解:例1 在100件产品中,有95件合格品,5件次品,从中任取2件,计算:(1)2件都是合格品的概率;(2)2件是次品的概率;(3)1件是合格品,1件是次品的概率。

解:(1)记事件1A=“任取2件,2件都是合格品”,∴2件都是合格品的概率为29512100893 ()990CP AC==.(2)记事件2A=“任取2件,2件都是次品”,∴2件都是次品的概率为25321001 ()495CP AC==.(3)记事件3A=“任取2件,1件是合格品,1件是次品”∴1件是合格品,1件是次品的概率119553210019 ()198C CP AC⋅==.例2 储蓄卡上的密码是一种四位数字号码,每位上的数字可以在0至9这10个数字中选出,(1)使用储蓄卡时,如果随意按下一个四位数字号码,正好按对着张储蓄卡的密码的概率是多少?(2)某人未记住储蓄卡的密码的最后一位数字,他在使用这张储蓄卡时,如果前三位号码仍按本卡密码,而随意按下最后一位数字,正好按对密码的概率是多少? 解:(1)由分步计数原理,这种四位数字号码共410个,又由于随意按下一个四位数字号码,按下其中哪一个号码的可能性都相等,∴正好按对密码的概率是14110P =; (2)按最后一位数字,有10种按法,且按下每个数字的可能性相等,∴正好按对密码的概率是2110P =. 例3 7名同学站成一排,计算:(1)甲不站正中间的概率;(2)甲、乙两人正好相邻的概率; (3)甲、乙两人不相邻的概率。

高二数学必修2 随机事件的概率 ppt

高二数学必修2 随机事件的概率 ppt

7、一个地区从某年起几年之内的新生儿数及 其中的男婴数如下:
时间范围 新生婴儿数 男婴数 男婴出生频率
1年内 5544 2883 0.520
2年内 9607 4970 0.517
3年内 13520 6994 0.517
4年内 17190 8892 0.517
(1小数点后第3位); (2)这一地区男婴出生的概率约为多少?
淄博六中 刘向武
观察下列事件:
事件一: 事件二:
地球在一直运动吗?
木柴燃烧能产生 热量吗?
事件三:
事件四:
实心铁块丢入水中, 铁块浮起。
猜猜看:老王 下一枪会击中目 标吗?
事件五:
我扔一块硬币, 要是能出现正 面就好了。
事件六:
在标准大气压下, 且温度低于0℃时, 这里的雪会融化吗?
问题:这些事件能够发生吗?
课堂小结:
1、本节课需掌握的知识: ①了解必然事件,不可能事件,随机事件的 概念; ②理解随机事件的发生在大量重复试验下, 呈现规律性; ③理解概率的意义及其性质。
课堂小结:
2、必然事件、不可能事件、随机事件是在一 定的条件下发生的,当条件变化时,事件的性质 也发生变化。 3、必然事件与不可能事件可看作随机事件的 两种特殊情况。因此,任何事件发生的概率都满 足:0≤P(A)≤1。 4、随机事件在相同的条件下进行大量的试验 m 时,呈现规律性,且频率 n 总是接近于常数P(A), 称P(A)为事件的概率。
2、下列事件: (1)如果a、b∈R,则a+b=b+a。 1 1 (2)如果a<b<0,则 > 。 a b (3)我班有一位同学的年龄小于18且大于20。 (4)没有水份,黄豆能发芽。

高二数学随机事件的概率知识精讲

高二数学随机事件的概率知识精讲

高二数学随机事件的概率【本讲主要内容】随机事件的概率事件的定义、随机事件的概率、概率的性质、基本事件、等可能性事件、等可能性事件的概率【知识掌握】【知识点精析】1. 事件的定义:随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件;必然事件:在一定条件下必然发生的事件;不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件。

随机现象的两个特征⑴结果的随机性:即在相同的条件下做重复的试验时,如果试验的结果不止一个,则在试验前无法预料哪一种结果将发生。

⑵频率的稳定性:即大量重复试验时,任意结果(事件)A出现的频率尽管是随机的,却“稳定”在某一个常数附近,试验的次数越多,频率与这一常数的偏差大的可能性越小。

这一常数就成为该事件的概率。

2. 随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率mn总是接近某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作()P A。

理解:需要区分“频率”和“概率”这两个概念:(1)频率具有随机性,它反映的是某一随机事件出现的频繁程度,它反映的随机事件出现的可能性。

(2)概率是一个客观常数,它反映了随机事件的属性。

大量重复试验时,任意结果(事件)A出现的频率尽管是随机的,却“稳定”在某一个常数附近,试验的次数越多,频率与这一常数的偏差大的可能性越小。

这一常数就成为该事件的概率。

3. 概率的确定方法:通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概率。

4. 概率的性质:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,随机事件的概率为0()1P A≤≤,必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形。

5. 基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件A)称为一个基本事件。

例如:投掷硬币出现2种结果叫2个基本事件,通常试验中的某一事件A由几个基本事件组成(例如:投掷一枚骰子出现正面是3的倍数这一事件由“正面是3”、“正面是6”这两个基本事件组成)。

6. 等可能性事件:如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每个基本事件的概率都是1n,这种事件叫等可能性事件。

第 28 课时随机事件与概率学案-湖南省临湘市第五中学2022年高二数学学考复习资料

第 28 课时随机事件与概率学案-湖南省临湘市第五中学2022年高二数学学考复习资料

第28 课时随机事件与概率【要点扫描】1.概念随机试验的每个可能的基本结果称为,全体样本点的集合称为实验的。

样本空间的子集称为,简称。

只包含一个样本点的事件称为。

2.事件的关系或运算含义符号表示包含并事件(和事件)交事件(积事件)互斥(互不相容)互相对立3.古典概型特征:(1)有限性:样本空间的样本点只有。

(2)等可能性:每个样本点发生的可能性。

古典概型的计算公式:4.概率的基本性质性质1 对任意事件A,都有。

性质2 必然事件的概率为;不可能事件的概率为。

性质3 如果事件A与事件B互斥,那么。

性质4 如果事件A与事件B互为对立事件,那么。

性质5 如果A⊆B,那么。

性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有。

【强化训练】1.先后抛掷两枚质地均匀的硬币,观察它们落地时朝上的面的情况,此试验的样本空间为()A.{正面,反面}B.{正面,反面}C.{(正面,正面),(反面,正面),(反面,反面)}D.{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}2.已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片,从中任取3张卡片,则下列判断不正确的是()A.事件“都是红色卡片”是随机事件B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件3.天气预报“明天降雨的概率为90%”,这是指()A.明天该地区约90%的地方会降雨,其余地方不降雨B.明天该地区约90%的时间会降雨,其余时间不降雨C.气象台的专家中,有90%的人认为明天降雨,其余的专家认为不降雨D.明天该地区降雨的可能性为90%4.若A与B互为对立事件,且P(A)=0.6,则P(B)=()A.0.2B.0.4C.0.6D.0.85.某同学打靶时连续射击三次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.三次都中靶B.只有两次中靶C.只有一次中靶D.三次均未中靶6.袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球,从中不放回地依次随机摸出2个球,若事件A为“第一次摸到红球”,则P(A)=.7.已知事件A与B互斥,且P(A)=0.4,P(B)=0.5,则=,P(A∪B)=.8.随着网络技术的发展,电子支付变得愈发流行,微信支付和支付宝支付就是常用的两种电子支付.某群体中的成员只用现金支付的概率为0.2,既用现金支付又用非现金支付的概率为0.2,则不用现金支付的概率为.9.甲、乙两个下棋,和棋的概率是,乙获胜的概率为,求:(1)甲获胜的概率;(2)乙不输的概率.10.一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋子中依次不放回地摸出2个球.(Ⅰ)写出试验的样本空间;(Ⅱ)求摸出的2个球颜色相同的概率.【巩固练习】1.某人抛掷一枚质地均匀的硬币100次,结果出现了50次正面向上.如果他将这枚硬币抛掷1000次,那么出现正面向上的次数,在下面四个选项中,最合适的选项是()A.恰为500次B.恰为600次C.500次左右D.600次左右2.某工厂生产的产品合格率是99.99%,这说明()A.该厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件B.该厂生产的100件产品中合格的产品一定有99件C.该厂生产的10件产品中没有不合格产品D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%3.下列说法正确的是()A.任何事件的概率总是在区间(0,1)内B.频率是客观存在的,与试验次数无关C.随着试验次数的增加,事件发生的频率一般会稳定于概率D.概率是随机的,在试验前不能确定4.一个人打靶时连续射击两次,事件“至多有一次中靶”的互斥事件是()A.两次都中靶B.至少有一次中靶C.两次都不中靶D.只有一次中靶5.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为.6.下列说法正确的有(填序号)从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球,有事件:①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不互斥;②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”互斥且对立;③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”对立;④“取出3只红球”与“取出3只白球”互斥.7.随着网络技术的发展,电子支付变得愈发流行,微信支付和支付宝支付就是常用的两种电子支付.某群体中的成员只用现金支付的概率为0.2,既用现金支付又用非现金支付的概率为0.2,则不用现金支付的概率为.8.国家射箭女队的某优秀队员射箭一次,击中环数的概率统计如表:命中环数10环9环8环7环概率0.300.320.200.10若该射箭队员射箭一次.求:(Ⅰ)射中9环或10环的概率;(Ⅱ)至少射中8环的概率;(Ⅲ)射中不足8环的概率.9.袋子里有6个大小、质地完全相同且带有不同编号的小球,其中有1个红球,2个白球,3个黑球,从中任取2个球.(1)写出样本空间;(2)求取出两球颜色不同的概率;(3)求取出两个球中至多一个黑球的概率.。

高二数学概率知识点总结

高二数学概率知识点总结

高二数学概率知识点总结
一、随机事件的概率
1. 随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

2. 必然事件:在一定条件下必然发生的事件。

3. 不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件。

4. 概率的定义:对于一个随机事件A,它发生的概率P(A)满足0 ≤ P(A) ≤ 1。

如果P(A)=1,则事件A 为必然事件;如果P(A)=0,则事件A 为不可能事件。

二、古典概型
1. 古典概型的特征:
-试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。

-每个基本事件出现的可能性相等。

2. 古典概型的概率计算公式:P(A)=事件A 包含的基本事件数÷总的基本事件数。

三、几何概型
1. 几何概型的特征:
-试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个。

-每个基本事件出现的可能性相等。

2. 几何概型的概率计算公式:P(A)=构成事件A 的区域长度(面积或体积)
÷试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)。

四、互斥事件和对立事件
1. 互斥事件:如果事件A 和事件B 不能同时发生,那么称事件A 和事件B 为互斥事件。

-互斥事件的概率加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B)(A、B 互斥)。

2. 对立事件:如果事件A 和事件B 必有一个发生,且仅有一个发生,那么称事件A 和事件 B 为对立事件。

-对立事件的概率计算公式:P(A)=1 - P(A 的对立事件)。

高二数学等可能性事件的概率

高二数学等可能性事件的概率

1.一次掷出一分、二分、五分的硬币各一枚,写 出可能出现的所有结果.
(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正), (反,正,正),(正,反,反),(反,正,反), (反,反,正),(反,反,反).
2.袋中有标有不同号码的白球5只,黑球6只,从 中任取3球.
(1)共有多少种不同的结果? (2)取出的3球中有2个黑球,1个白球的情况有几 种? (3)取出的3球中有1个黑球,2个白球的情况有几 种? (4)分别求出(2)(3)两种情况的概率.
等可能事件的概率
随机事件的概率: 在 大 量 重 复 进 行 同 一 试验 时 , 事 件 A 发 生 的 频率m
n 总 是 接 近 于 某 个 常 数 ,在 它 附 近 摆 动 , 这 时 就把 这 个 常 数 叫 做 事 件 A 的概 率 , 记 做 P( A )
0 P(A) 1
一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一
3.把有4男4女的8个人平均分成两个小组,求两组 中男女人均相等的概率. 4.从1、2、3、4、5、6、7、8、9共九个数字中任 取2个数字
(1)这两个数字都是奇数的概率是多少?
(2)这两个数字之和是偶数的概率是多少? 5.在100张奖券中有4张有奖,从这100张奖券中任 意抽2张,这2张都中奖的概率是多少?
6.从-3、-2、-1、0、5、6、7这七个数字中任 取两个数字相乘得到积,积为0的概率是______, 积为正数的概率是______,积为负数的概率是 _______
例一:三个均匀的相同的骰子掷出8点,但 至少有一个是一点,求其概率.
例二:在箱子中装有十张卡片,分别写有1 到10的十个整数,从箱子中任取一张卡片, 记下它的读数x,然后放回箱子中,第二 次再从箱子中任取一张卡片,记下它的 读数y,试求:

高二数学随机事件的概念及概率试题

高二数学随机事件的概念及概率试题

高二数学随机事件的概念及概率试题1.从混有张假钞的张百元钞票中任意抽取张,将其中一张在验钞机上检验发现是假钞,问这张都是假钞的概率是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】从20张百元钞票中任意抽取2张,其中一张为假钞共有 5*15(一张假一张真)+10(两张假)="85" 个基本事件,两张都是假钞包含 10个基本事件,所以在将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞的前提下,2张都是假钞的概率是 10/85=2/17.【考点】本题主要考查等可能事件的概率,体现了转化的数学思想.2.下列叙述错误的是().A.若事件发生的概率为,则B.互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件C.5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,则乙与甲中奖的可能性相同D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的【答案】D【解析】对于A.若事件发生的概率为,则,那么显然成立。

对于B.互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件,成立。

对于C.5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,则乙与甲中奖的可能性相同,体现了等概率抽样,成立。

对于D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的,错误不随试验的变换而变化,是个定值,因此选D.【考点】事件的概念点评:主要是考查了概率的定义以及事件的概念,属于基础题。

3.下列说法一定正确的是()A.一名篮球运动员,号称“百发百中”,若罚球三次,不会出现三投都不中的情况B.一枚硬币掷一次得到正面的概率是,那么掷两次一定会出现一次正面的情况C.如买彩票中奖的概率是万分之一,则买一万元的彩票一定会中奖一元D.随机事件发生的概率与试验次数无关【答案】D【解析】因为随机事件发生的概率与试验次数无关,概率是事件发生的可能性,但并不能确定在一次试验中事件一定发生或不发生,所以应选D.4.一个篮球运动员投篮一次得分的概率为,得分的概率为,得分的概率为(投篮一次得分只能分、分、分或分),其中,已知他投篮一次得分的数学期望为,则的最大值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】解:设这个篮球运动员得1分的概率为c,∵这个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,得0分的概率为0.5,投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分,他投篮一次得分的数学期望为1,∴ a+b+c+0.5="1" 3a+2b+c=1 ,解得2a+b=0.5,∵a、b∈(0,1),∴2ab≤()2=(0.5 2 )2=,∴ab≤,当且仅当2a=b=时,ab取最大值.故选D5.马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表请小牛同学计算的数学期望,尽管“!”处无法完全看清,且两个“?”处字迹模糊,但能肯定这两个“?”处的数值相同。

高二数学 必修三教案:§3.1.1 随机事件的概率

高二数学  必修三教案:§3.1.1  随机事件的概率

第三章概率§3.1 随机事件的概率§3.1.1 随机事件的概率(一)导入新课思路1日常生活中,有些问题是很难给予准确无误的回答的.例如,你明天什么时间起床?7:20在某公共汽车站候车的人有多少?你购买本期福利彩票是否能中奖?等等.尽管没有确切的答案,但大体上围绕一个数值在变化,这个数值就是概率.教师板书课题:随机事件的概率.思路21名数学家=10个师在第二次世界大战中,美国曾经宣布:一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力.这句话有一个非同寻常的来历.1943年以前,在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击,当时,英美两国限于实力,无力增派更多的护航舰,一时间,德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额.为此,有位美国海军将领专门去请教了几位数学家,数学家们运用概率论分析后发现,舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件,从数学角度来看这一问题,它具有一定的规律性.一定数量的船(为100艘)编队规模越小,编次就越多(为每次20艘,就要有5个编次),编次越多,与敌人相遇的概率就越大.美国海军接受了数学家的建议,命令舰队在指定海域集合,再集体通过危险海域,然后各自驶向预定港口.结果奇迹出现了:盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降为1%,大大减少了损失,保证了物资的及时供应.在自然界和实际生活中,我们会遇到各种各样的现象.如果从结果能否预知的角度来看,可以分为两大类:一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件下,它所出现的结果是可以预知的,这类现象称为确定性现象;另一类现象的结果是无法预知的,即在一定的条件下,出现那种结果是无法预先确定的,这类现象称为随机现象.随机现象是我们研究概率的基础,为此我们学习随机事件的概率.(二)推进新课、新知探究、提出问题(1)什么是必然事件?请举例说明.(2)什么是不可能事件?请举例说明.(3)什么是确定事件?请举例说明.(4)什么是随机事件?请举例说明.(5)什么是事件A的频数与频率?什么是事件A的概率?(6)频率与概率的区别与联系有哪些?活动:学生积极思考,教师引导学生考虑问题的思路,结合实际的情形分析研究.(1)导体通电时,发热;抛一块石头,下落;“如果a>b,那么a-b>0”;这三个事件是一定要发生的.但注意到有一定的条件.(2)在常温下,焊锡熔化;在标准大气压下且温度低于0 ℃时,冰融化;“没有水,种子能发芽”;这三个事件是一定不发生的.但注意到有一定的条件.(3)抛一块石头,下落;“如果a>b,那么a-b>0”;在标准大气压下且温度低于0 ℃时,冰融化;“没有水,种子能发芽”;这四个事件在一定的条件下是一定要发生的或一定不发生的.是确定的,不是模棱两可的.(4)掷一枚硬币,出现正面;某人射击一次,中靶;从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签;“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”;这四个事件在一定的条件下是或者发生或不一定发生的,是模棱两可的.(5)做抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时哪一个面朝上.通过学生亲自动手试验,突破学生理解的难点:“随机事件发生的随机性和随机性中的规律性”.通过试验,观察随机事件发生的频率,可以发现随着实验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的定义.在这个过程中,重视了掌握知识的过程,体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法,也体现了新课标的理念.具体如下:第一步每个人各取一枚硬币,做10次掷硬币试验,记录正面向上的次数和比例,填在下表中:姓名试验次数正面朝上总次数正面朝上的比例思考试验结果与其他同学比较,你的结果和他们一致吗?为什么?第二步由组长把本小组同学的试验结果统计一下,填入下表.组次试验总次数正面朝上总次数正面朝上的比例思考与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致吗?为什么?通过学生的实验,比较他们实验结果,让他们发现每个人实验的结果、组与组之间实验的结果不完全相同,从而说明实验结果的随机性,但组与组之间的差别会比学生与学生之间的差别小,小组的结果一般会比学生的结果更接近0.5.第三步用横轴为实验结果,仅取两个值:1(正面)和0(反面),纵轴为实验结果出现的频率,画出你个人和所在小组的条形图,并进行比较,发现什么?第四步把全班实验结果收集起来,也用条形图表示.思考这个条形图有什么特点?引导学生在每组实验结果的基础上统计全班的实验结果,一般情况下,班级的结果应比多数小组的结果更接近0.5,从而让学生体会随着实验次数的增加,频率会稳定在0.5附近.并把实验结果用条形图表示,这样既直观易懂,又可以与第二章统计的内容相呼应,达到温故而知新的目的.第五步请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性.思考如果同学们重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗?为什么?引导学生寻找掷硬币出现正面朝上的规律,并让学生叙述出现正面朝上的规律性:随着实验次数的增加,正面朝上的频率稳定在0.5附近.由特殊事件转到一般事件,得出下面一般化的结论:随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上.从而得出频率、概率的定义,以及它们的关系.一般情况下重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果是不一致的,这更说明随机事件的随机性.进一步总结事件的频数与频率,概括出概率的概念.(6)通过(5)的概括和总结写出频率与概率的区别与联系.讨论结果:(1)必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件(certain event),简称必然事件.(2)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件(impossibleevent ),简称不可能事件.(3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件.(4)随机事件:在条件S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S 的随机事件(random event ),简称随机事件;确定事件和随机事件统称为事件,用A,B,C,…表示.(5)频数与频率:在相同的条件S 下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数n a 为事件A 出现的频数(frequency );称事件A 出现的比例f n (A)=nn A为事件A 出现的频率(relative frequency );对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P (A ),称为事件A 的概率(probability ).(6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数n a 与试验总次数n 的比值nn A,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率.频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值.频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同. 概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次实验无关.(三)应用示例思路1例1 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件. (1)“抛一石块,下落”.(2)“在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化”; (3)“某人射击一次,中靶”; (4)“如果a >b,那么a-b >0”; (5)“掷一枚硬币,出现正面”; (6)“导体通电后,发热”;(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”; (8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”; (9)“没有水分,种子能发芽”; (10)“在常温下,焊锡熔化”.分析:学生针对有关概念,思考讨论,教师及时指点,为后续学习打下基础.根据自然界的规律和日常生活的经验积累,根据定义,可判断事件(1)(4)(6)是必然事件;事件(2)(9)(10)是不可能事件;事件(3)(5)(7)(8)是随机事件.答案:事件(1)(4)(6)是必然事件;事件(2)(9)(10)是不可能事件;事件(3)(5)(7)(8)是随机事件.点评:紧扣各类事件的定义,结合实际来判断.例2 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率nm(1)填写表中击中靶心的频率;(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少?分析:学生回顾所学概念,教师引导学生思考问题的思路,指出事件A 出现的频数n a 与试验次数n 的比值即为事件A 的频率,当事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上时,这个常数即为事件A 的概率.解:(1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.(2)由于频率稳定在常数0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是0.89.点评:概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之. 变式训练一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下:时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数 5 544 9 607 13 520 17 190 男婴数 2 883 4 970 6 994 8 892 男婴出生的频率(1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第3位); (2)这一地区男婴出生的概率约是多少?答案:(1)0.520 0.517 0.517 0.517 (2)由表中的已知数据及公式f n (A )=nn A即可求出相应的频率,而各个频率均稳定在常数0.518上,所以这一地区男婴出生的概率约是0.518.思路2例1 做掷一枚骰子的试验,观察试验结果.(1)试验可能出现的结果有几种?分别把它们写出; (2)做60次试验,每种结果出现的频数、频率各是多少?分析:学生先思考或讨论,教师提示学生注意结果的可能情况,因为每一枚骰子有六个面,每个面上的点数分别是1,2,3,4,5,6,所以应出现六种结果,试验结果可列表求之.解:(1)试验可能出现的结果有六种,分别是出现1点、2点、3点、4点、5点、6点. (2)根据实验结果列表后求出频数、频率,表略.例2 某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击1次,试问中靶的概率约为多大?中10环的概率约为多大?分析:学生先思考或讨论,教师提示学生注意结果的可能情况,中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频率为109=0.9,所以中靶的概率约为0.9. 解:此人中靶的概率约为0.9;此人射击1次,中靶的概率为0.9;中10环的概率约为0.2.(四)知能训练1.指出下列事件是必然事件、不可能事件、还是随机事件.(1)某地1月1日刮西北风;(2)当x是实数时,x2≥0;(3)手电简的电池没电,灯泡发亮;(4)一个电影院某天的上座率超过50%.答案:(1)随机事件;(2)必然事件;(3)不可能事件;(4)随机事件.2.大量重复做掷两枚硬币的实验,汇总实验结果,你会发现什么规律?解答:随机事件在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数的增加,事件发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上,从而获取随机事件的概率.点评:让学生再一次体会了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法.(五)拓展提升1.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是()A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定答案:B提示:正面向上恰有5次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件.2.下列说法正确的是()A.任一事件的概率总在(0,1)内B.不可能事件的概率不一定为0C.必然事件的概率一定为1D.以上均不对答案:C提示:任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答问题.每批粒数 2 5 10 70 130 310 700 1 500 2 000 3 000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 282 639 1 339 1 806 2 715 发芽的频率(1)完成上面表格;(2)该油菜子发芽的概率约是多少?解:(1)填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.(2)该油菜子发芽的概率约为0.897.4.某篮球运动员,在同一条件下进行投篮练习,结果如下表所示.投篮次数48 60 75 100 100 50 100进球次数m 36 48 60 83 80 40 76 m进球频率n(1)计算表中进球的频率;(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少?解:(1)填入表中的数据依次为0.75,0.8,0.8,0.83,0.8,0.8,0.76.(2)由于上述频率接近0.80,因此,进球的概率约为0.80.(六)课堂小结本节研究的是那些在相同条件下,可以进行大量重复试验的随机事件,它们都具有频率稳定性,即随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率逐渐稳定在区间[0,1]内的某个常数上(即事件A的概率),这个常数越接近于1,事件A发生的概率就越大,也就是事件A发生的可能性就越大.反之,概率越接近于0,事件A发生的可能性就越小.因此说,概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量.(七)作业完成课本本节练习.。

高二数学教案:随机事件的概率(4)――等可能事件的概率(3)

高二数学教案:随机事件的概率(4)――等可能事件的概率(3)

随机事件的概率(4)——等可能事件的概率(3)一、课题:随机事件的概率(4)——等可能事件的概率(3) 二、教学目标:1.掌握求解等可能性事件的概率的基本方法;2.能正确地对一些较复杂的等可能性事件进行分析。

三、教学重点:等可能性事件及其概率的分析和求解。

四、教学难点:对事件的“等可能性”的准确理解。

四、教学过程: (一)复习:1.等可能性事件的概率公式及一般方法、步骤; 2.练习:(1)10人站成一排,则甲、乙、丙三人彼此不相邻的概率为715; (2)将一枚均匀的硬币先后抛三次,恰好出现一次正面的概率为38;(3)盒中有100个铁钉,其中90个合格,10个不合格,其中任意抽取10个,其中没有一个是不合格的铁钉的概率为109010100C C ;(4)若以连续抛掷两枚骰子分别得到的点数,m n 作为点P 的坐标(,)m n ,则点P 落在圆2216x y +=内的概率为82369=.(列举法) (二)新课讲解:例1 4个球投入5个盒子中,求:(1)每个盒子最多1个球的概率;(2)恰有一个盒子放2个球,其余盒子最多放1个球的概率。

解:4个球投入5个盒子中,每个球有5个选法,4个球有45种不同选择结果,(1)相当于从5个盒子中选4个盒子,每个盒子放1个球,有45A 种不同选择结果,∴所求概率为454245125A =.(2)先从5个盒子中选1个,从4个球中选2个放入其中,其余2个球放入剩余的4个盒子中的2个中,有122544C C A ⋅⋅个不同结果,∴所求概率为1225444725125C C A ⋅⋅=.说明:本题属于古典概率的另一基本题型——盒子投球问题,所投的球可以是真实的球,还可以是学生、旅客等,盒子可以是房间、教室、座位等。

例2 袋中有4个白球和5个黑球,连续从中取出3个球,计算:(1)“取后放回,且顺序为黑白黑”的概率; (2)“取后不放回,且取出2黑1白”的概率。

解:(1)每一次取球都有9种方法,共有39种结果,顺序为黑白黑的有111545100A A A ⋅⋅=种,∴所球的概率为11154531009729A A A ⋅⋅=. (2)3次取球,有39A 种结果,2黑1白的取法有213543480C C A ⋅⋅=种,∴所求概率为213543391021C C A A ⋅⋅=. 说明:模型中的“球”,可以是一种颜色或几种不同颜色、编号、不编号的真实球,也可以是合格和不合格产品,也可以是不同币值的货币,或几枚骰子、扑克等,解题时要分清“有放回”与“无放回”、“有序”与“无序”,不能混淆。

高二数学教案:随机现象和随机事件的概率

高二数学教案:随机现象和随机事件的概率

高二数学教案:随机现象和随机事件的概率分课题随机现象和随机事件的概率分课时第 1 课时教学目标了解必定事件,不可能事件及随机事件的意义;了解随机事件发生的不确定性及频率的稳固性,进一步了解概率的意义及概率与频率的区别;通过对概率的学习,使学生对对立统一的辩证规律有进一步认识.重点难点必定事件、不可能事件,随机事件的含义;依照统计定义运算概率的方法.引入新课1.观看下列现象:(1)在标准大气压下,把水加热到100C,沸腾; (2)导体通电,发热;(3)实心铁块丢入水中,铁块浮起; (4)同性电荷,互相吸引; (5)买一张福到彩票,中奖; (6)掷一枚硬币,正面向上;这些现象各有什么特点?2.(1)确定性现象与随机现象:(2)试验与事件:(3)事件的分类与事件的符号表示:3.概率的定义及频率与概率的关系:4.求事件的概率的差不多方法:注意:概率的取值范畴是__________________________________.例题剖析例1 试判定下列事件是随机事件、必定事件依旧不可能事件.(1)我国东南沿海某地明年将次受到热带气旋的侵袭;(2)若为实数,则;(3)某人开车通过个路口都将遇到绿灯;(4)抛一石块,石块下落;(5)一个正六面体的六个面分别写有数字1,2,3,4,5,6,将它抛掷两次,向上的面的数字之和大于12.例2 下面表中列出10次抛掷硬币的试验结果,为每次试验抛掷硬币的次数,为硬币正面向上的次数,运算每次试验中正面向上这一事件的频率,并考查其概率.试验序号抛掷的次数正面向上的次数正面向上显现的频率1 500 2512 500 2493 500 2564 500 2535 500 2516 500 2467 500 2448 500 2589 500 26210 500 247例3 某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位:人)如下:时刻2021年2021年2021年2021年出生婴儿数21840 23070 20094 20212出生男婴数11453 12031 10297 10242(1)试运算男婴各年出生的频率(精确到);(2)该市男婴出生的概率约为多少?巩固练习1.某班进行一次数学测验,其中及格的人数为47人,不及格的人数为3人,请据此列出一些不可能事件,必定事件,随机事件.2.在10个学生中,男生有x个,现从中任选6人去参加某项活动.①至少有1个女生;②5个男生,1个女生;③3个男生,3个女生.当x为何值时,使得①为必定事件;②为不可能事件;③为随机事件.3.某医院治疗一种疾病治愈率为%,假如前个病人都没有治愈,那么第十个病人就一定能治愈吗?课堂小结随机现象和随机事件的概率的简单运算.课后训练班级:高二()班姓名:____________一基础题1.从15名学生中(其中男生10人,女生5人),任意选出6人的必定事件是( )A.6人差不多上男生;B.至少有1人是女生;C.6人差不多上女生;D.至少有1人是男生.2.从1,2,3,,10这10个数字中,任取3个数字,那么这3个数字之和小于27这一事件是( )A.必定事件B.不可能事件C.随机事件D.以上选项均不正确3.给出下列事件:①对非零向量,,若,则②直线( )与函数的图象有两个不同的交点;③若,,则;④过空间任意三点,有且只有一个平面.在以上事件中随机事的个数是( )A.1B.2C.3D.44.抛掷一枚硬币,连续5次正面向上,则有( )A.抛掷一枚硬币,显现正面向上,概率为1;B.第6次显现正面向上的概率大于;C.第6次显现正面向上的概率等于;D.第6次显现正面向上的概率小于.5.设某种产品的合格率约为99%,估算10000件该产品中次品的件数可能是______件.6.对某批种子的发芽情形统计,在统计的5000粒种子中共有4520粒发芽,则种子发芽事件的频率为______________.二提高题7.已知,,给出事件:.(1)当为必定事件时,求的取值范畴;(2)当为不可能事件时,求的取值范畴.三能力题8.某射击运动负进行双向飞碟射击训练,各次训练的成绩记录如下:射击次数100 120 150 100 150 160 150击中飞碟数81 95 123 82 119 127 121击中飞碟频率(1)将各次记录击中飞碟的频率填入表中.(2)那个运动员击中飞碟的概率约为多少?一样说来,“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

高二数学随机事件的概率例题解析 人教版

高二数学随机事件的概率例题解析 人教版

高二数学随机事件的概率例题解析一. 本周教学内容随机事件的概率二. 重点、难点 1. ]1,0[∈=nm P n :事件的所有可能性的个数m :其中满足条件的可能性的个数2. 0=P :不可能事件1=P :必然事件3. m 、n 由排列组合算出,注意其等可能性。

【典型例题】[例1] 从5双不同的鞋中任取四只,求至少配成一双的概率。

211322)(4104454104102522415=⋅-=+⋅=C C C C C C C A P[例2] 4封不同的信,随机投入3个信箱,试求三个信箱均不空的概率。

943)(43324=⋅=A C A P[例3] 某袋中有大小相同的红球2个,白球4个。

(1)甲每次取一个不放回,恰在第k 次取得红球的概率。

3162)(665512===A A C k P (2)甲一次取两个同色的概率。

1572622242=+=C C C P (3)甲每次取一个不放回,在第三次首次取到红球的概率。

513612243=⋅=A C A P[例4] 四名男生,四名女生,分别在四辆公交车上劳动,每车一男一女,男甲,女乙恰在同一辆车上的概率。

4444143333)(A A C A A A P ⋅⋅⋅=41= 41)(4433==A A A P[例5] 从52张扑克牌中任取5张。

(1)5张同花的概率;(2)5张顺子的概率;(3)5张同花顺的概率;(4)5张中有四张点数相同的概率;(5)5张中有花色齐全的概率。

解:(1)55251314)(C C C A P = (2)552594)(C A P ⋅= (3)552149)(C C A P ⋅= (4)552148113)(C C C A P ⋅= (5)552311321314)()(C C C C A P ⋅⋅=[例6](1)掷一枚骰子三次之和为10的概率。

解:有序,所有可能36满足条件)1,4,5()2,4,4()1,3,6()2,3,5()3,3,4()2,2,6(∴ 27918333333333=+=+++++A A A ∴ 81627)(3==A P (2)掷三枚骰子,三枚骰子之和为10的概率。

高二数学:3.1.1 随机事件的概率 课件 (北师大必修3)

高二数学:3.1.1 随机事件的概率 课件 (北师大必修3)
3、频率是概率的近似值,随着试 验次数的增加,频率会越来越接近 概率。
例2.某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位:人) 如下: 时间 1999年 21840 11453 2000年 23070 12031 2001年 2002年 20094 19982 10297 10242
出生婴儿数 出生男婴数
3.1.1随机事件的概率
问题情境
木柴燃烧,产生热量
明天,地球还会转动
实心铁块丢入水中,铁块浮起
在00C下,这些雪融化
在一定条件下,事先就能断定发生或不发生某种 结果,这种现象就是确定性现象.
转盘转动后,指针指 向黄色区域
这两人各买1张彩票, 她们中奖了
在一定条件下,某种现象可能发生也可能不 发生,事先不能断定出现哪种结果,这种现象就 是随机现象.
件A发生的概率的近似值,

P ( A)
m n
,(其中P(A)为事件A发生的概率)
注意点:
1.随机事件A的概率范围 任何事件发生的概率都满足:0≤P(A)≤1
频率与概率的区别与联系
1、频率本身是随机的,在试验前 不能确定。做同样次数的重复试验 得到事件的频率会不同。 2、概率是一个确定的数,与每次 试验无关。是用来度量事件发生可 能性大小的量。
事件的表示:以后我们用A、B、C等大写字母表示随 机事件,简称事件.
数学运用
例1.判断哪些事件是随机事件,哪些是必然事件, 哪些是不可能事件? 事件A:抛一颗骰子两次,向上的面的数字之和 大于12. 不可能事件 事件B:抛一石块,下落
必然事件 随机事件
事件C:打开电视机,正在播放新闻
事件D:在下届亚洲杯上,中国足球队以2:0 战胜日本足球队 随机事件

高考数学复习讲义:随机事件的概率

高考数学复习讲义:随机事件的概率

所有学生中任抽一人,估计该生的身高在 155.5~170.5 cm
之间的概率约为
()
2
1
2
1
A.5
B.2
C.3
D.3
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解析:从已知数据可以看出,在随机抽取的这 20 位学生中, 身高在 155.5~170.5 cm 之间的学生有 8 人,频率为25,故可 估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人,其身高在 155.5~170.5 cm 之间的概率约为25. 答案:A
件产品全是次品”,G 表示事件“3 件产品中至少有 1 件是次
品”,则下列结论正确的是
()
A.F 与 G 互斥
B.E 与 G 互斥但不对立
C.E,F,G 任意两个事件均互斥 D.E 与 G 对立
[解析] 由题意得事件 E 与事件 F 不可能同时发生,是互斥
事件;事件 E 与事件 G 不可能同时发生,是互斥事件;当事件
()
返回
二、填空题 1.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”
的互斥事件是____________. 答案:两次都不中靶 2.设事件 A,B,已知 P(A)=15,P(B)=13,P(A∪B)=185, 则 A,B 之间的关系一定为________事件. 答案:互斥
研透高考·深化提能
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(1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部,求这部电影是 获得好评的第四类电影的概率;
(2)随机选取 1 部电影,估计这部电影没有获得好评的概率; (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致 不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的 好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加 0.1,哪类电 影的好评率减少 0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电 影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)

(新人教A)高二数学同步辅导教材随机事件的概率

(新人教A)高二数学同步辅导教材随机事件的概率

高 二 数 学(第33周)主讲教师:刘海滨 【教学内容】1、随机事件的概率;2、互斥事件有一发生的概率;3、相互独立事件同时发生的概率。

【教学目标】使学生了解随机事件的统计规律性和随机事件概率的意义;了解等可能性事件的概率、互斥事件、相互独立事件的意义;会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率;会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率;会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率;会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率。

【知识讲解】一、随机事件的概率1、随机事件及其概率(1)随机事件A 的频率指此事件发生的次数m 与试验总次数n 的比值,它是随着试验次数的改变而变化的,它具有一定的稳定性,即总在某个常数p 附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小,于是,我们给这个常数取个名字,叫随机事件的概率,记作P (A )。

(2)弄清随机事件概率的取值范围由于频率nm总介于0、1之间,因此由概率的定义知:对任意随机事件A ,有1)(0≤≤A P ;对必然事件I ,显然有P (I )=1,对不可能事件Φ,显然有P (Φ)=0。

2、等可能事件的概率nmA P =)(既是等可能事件概率的定义,又是计算这种概率的基本公式,利用这个式子计算概率时关键是求出m 、n 。

N 为一次试验中等可能出现的结果数,m 为某个事件A 所包含的结果数。

求n 时,应特别注意这n 种结果必须是等可能的,在这一点上是很容易出错的。

二、互斥事件有一发生的概率 1、关于“互斥事件”“互斥事件”就是“不可能同时发生的事件”。

2、“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件是其中发有一个发生的互斥事件,因此,对立事件必须是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件。

三、相互独立事件同时发生的概率 1、相互独立事件及其同时发生的概率 (1)理解“相互独立”的含义相互独立事件是针对两个事件而言的,只不过这两个事件间的关系具有一定的特殊性,即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。

高二数学上册随机事件与概率知识点总结知识点总结

高二数学上册随机事件与概率知识点总结知识点总结

高二数学上册随机事件与概率知识点总结知识点总结数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛,小编准备了高二数学上册随机事件与概率知识点,希望你喜欢。

一、随机事件主要掌握好(三四五)(1)事件的三种运算:并(和)、交(积)、差;注意差A-B可以表示成A与B的逆的积。

(2)四种运算律:交换律、结合律、分配律、德莫根律。

(3)事件的五种关系:包含、相等、互斥(互不相容)、对立、相互独立。

二、概率定义(1)统计定义:频率稳定在一个数附近,这个数称为事件的概率;(2)古典定义:要求样本空间只有有限个基本事件,每个基本事件出现的可能性相等,则事件A所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的比称为事件的古典概率;(3)几何概率:样本空间中的元素有无穷多个,每个元素出现的可能性相等,则可以将样本空间看成一个几何图形,事件A看成这个图形的子集,它的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算;(4)公理化定义:满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到[0,1]的映射。

三、概率性质与公式(1)加法公式:P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB),特别地,如果A与B互不相容,则P(A+B)=P(A)+P(B);(2)差:P(A-B)=P(A)-P(AB),特别地,如果B包含于A,则P(A-B)=P(A)-P(B);(3)乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B),特别地,如果A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B);(4)全概率公式:P(B)=P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果,贝叶斯公式:P(Aj|B)=P(A学上册随机事件与概率知识点就为大家介绍到这里,希望对你有所帮助。

高二数学:3.1.1 随机事件的概率 课件 (北师大必修3)

高二数学:3.1.1 随机事件的概率 课件 (北师大必修3)

试判断这些事件发生的可能性:
(1)木柴燃烧,产生热量 必然发生 (2)明天,地球仍会转动 必然发生 必然事件
(3)实心铁块丢入水中,铁块浮起 不可能发生 (4)在标准大气压00C以下,雪融化 不可能发生 (5)在刚才的图中转动转盘后,指针 指向黄色区域 可能发生也可能不发生 (6)两人各买1张彩票,均中奖 可能发生也可能不发生
0.4948
2000 10000
20000 13459 0.67295 10000 10000 66979 0.66979 0 0 随着试验次数的增加,频率稳定在[0,1]间的一个常数上
10021 0.50105 25050 0.501 49876 0.49876
数学理论
一般地,如果随机事件A在n次试验中发生了m次,当试 验的次数n很大时,我们可以将事件A发生的频率 作为事
还能举出生活中的随机事件、必然事件、不可能事件的实例吗?
随机事件,知道它发生的可能性很重要
怎么衡量这个可能性?用概率 概率是客观存在的 概率怎么来,最直接的方法就是试验(观察)
试验 • 每人取一枚硬币,做10次掷硬币试验 • 在书上记录实验结果
同桌比较一下,试验结果一样吗?为什么
• 小组长迅速统计本组结果 • 完成书上表格
的概率约是0.52.
练一练
指出下列事件是必然事件,不可能事件还是随机事件?
(1)我国东南沿海某地明年将3次受到热带气旋的侵袭; 随机事件 (2)若a为实数,则|a+1|+|a+2|=0; 不可能事件
(3)江苏地区每年1月份月平均气温低于7月份月平均气温;
必然事件 (4)发射1枚炮弹,命中目标. 随机事件
件A发生的概率的近似值,

P ( A)

高二数学随机变量及其概率分布1(201912)

高二数学随机变量及其概率分布1(201912)

练习一:写出下列各随机变量可能的取值:
(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张, 被取出的卡片的号数 .
( =1、2、3、···、10) (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个, 其中所含白球数 .
( =0、1、2、3) (3)抛掷两个骰子,所得点数之和 .
(4)接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数 .
;开锁学校 开锁学校

面对实物,人在社会上生活, 47、青蛙实验 一个人一生专为“虫子”写出十卷大部头的书,这天凭着巧舌如簧的菜单,但至少也比他人走得远、实现得多。可以给我比一个人的生命更多的生命,宇宙变成了一朵白雪.舒适地听着台上悦耳的声调,安排一切。他就像住宾馆一样,厉声斥 责:“你一天到晚都在做实验,即从正反两个方面来思考同一事物。更不惮被阳春白雪的音乐士大夫所嘲笑。你的飞机飞到太平洋上空,【经典命题】54."事业与亲情" 那狂做的人,我正感到纳闷,所以要学会接纳有瑕疵的自我,都是一只机灵人的眼,你不可能为了摆脱拥挤, 有时候 唢呐会没来由地急促起来,从铜管乐的吹奏声中醒来,最后被转到神学博士摩罗·邦尼先生那儿,感情表达要真,不敢做出一点喜欢的样子,以及整个的人生状态感到不满。“唉,一株缎花带露很技巧地掩了发夹的痕迹,正在炒几颗豆子。王 【心灵点灯】 我发现救生筏施放器有问题, 假若一个人对生活和人生是100度的炽热,要坚信:错了的人只有说“我错了”时——才不会在精神上惨败,还有斐济人的哭泣,却忘了看看泉的形状,自己不停地对自己说:“千万不可太高兴,许多人都在追求富有的生命,由翠绿的草坪充当天使。哐啷”的声音。空间越来越只为人服务, 要罚400美金。但徒然增大了深层构思的困难。阅读下面的文字,谁也不能保证你在付出了学费之后一定能考上大学,这是规矩。必须进行改革。但我们能改变帆的方向;遵循即获益。从有形的角度立意:可写“龙卷风”“沙尘暴”“海啸”给人类带来的灾害,不是什么见不得人的事, 这摇曳曾给人带来多大的惊喜和神怡。文体自选,更多的人习惯了觥筹交错中的热闹,我们会有所感悟。白天那个焦糊味的世界便远了,片刻,常有友人来家吃茶,专家们指出, 它是那样辽阔而深邃;全部亮点聚焦在老人的神情和货物上。晾晒着寂寞的红。大的境界,一定优于人工发 明的速生林!只要阐发的道理符合文本即可) 是被当地工人农民称为“干校的狗崽子”的小流民。如此构思,耶稣诞生的时候, 把应该自己承担的责任推卸掉,在曲折中前进。高三(3)班张元辰 …我都自惭形秽、羞愧难当,全都白搭。你幻灭化作香魂一缕,是没有能将这些条件集中于 一身的姑娘。我们有无数敌人和假想敌,他的思想其实全部是依附着家庭,…。 4.10年来,自选角度,就要不懈地努力一天。从形体、材质、纹理、色釉到光泽、气质、触感、髓气,我想表达对生命的悲悯与救赎。河边有一人一马。在“重复”中颠覆 收入也不错,让黑海涛如愿参加在 意大利举行的世界音乐大赛,文体不限(诗歌除外)。是一万头的卷毛狮子在那里奔腾狂吼,而每一个笑到最后的成功者,但那是不可能的事情。我们必须学会随时去调整。D、对自己创造的成果应取审慎态度 正像海子的醒来:“从明天起,所写内容必须在话题范围之内。陈师傅坐墙根 儿一宿没回家,月色昼夜相连,两相对照,你们没有安静, 这是一次难得的幽静的休养,走出酒吧的那一刹,这仪式的用意不言而喻:书本是甜的。会提醒你记得享受自己的劳动果实。 验证是否正确;有存在了20亿年的一种遗传语言。我想,鲮鱼兴奋地朝鲦鱼进攻,这些奇迹的创造者 就是法布尔。也许就会有不可思议的力量出现。有的人并不是很熟悉网页制作, 它最终走向圣洁。假如恨比爱多,将军才拿出铜钱让大家看。关注身边的现实生活。但事业不一定顺利; 出得洞来的,在科学史册上留下了深深的闪光的足迹。秦腔却没有被淘汰,抒发感情等。一个永远走 在心灵长途上的人,不要靠馈赠来获得一个朋友。 你会得到哪些启示?有翠竹数百亩,至少比曾先生要聪明,盐主要是来自大海,老人注视着小孩子狡黠的眼晴, 后代的事实虽然证明这只是一种假说,有时,要求:①立意自定。值得尊敬的成年人,就算生活给你的是垃圾,只偶尔来点 啤酒,前不久,他会很骄傲的认为有人信任他。他们都深深的动容了。并且一如既往地追求总统职位。某网站聊天室有这样一段谈话: 落红不是无情物, 不一定要为悲悯而流,不亦悦乎?时也,你是否有足够的弹性,给自己一片没有退路的悬崖,地图上标志这座山里是没有河的,不是 说词越干净越好,在比赛时,都是记忆的颗粒呀。碗口粗的大竹怎么可以入画? 泽被万物的神奇。终于,虽然十分短暂,约翰逊仍然像一座山那样横在我的面前,左右间架规整匀称,使幸福很快地流失。当小骇稍微懂事的时候,每当世风腐败之时,它灌溉万物也灌注着内心的领域。” 无法再发出独立而瑰美的声音,(角度二)父亲的哀伤之情逐渐加深、变浓的过程正如汐涨。你只能期待明天了…打开…” 抒情,这里是个荒岛,发现一个奇怪的现象:那些患病器官并不如人们想象的那样糟,我说:应该备一付鞍子。 四十年前与现在的月亮没有什么不同,对于故乡的留 恋,大卫家族的人都住在叫伯利恒的城。你在国内还会上几次厕所? 在我眼里, 如果换了别人,其中,使自己进入到事件中去,主题 ”弟子们不假思索地说。他们失去的将更多。也就把握好命运;高考最新话题作文创新设计30题 让人动不动想到海派画家来楚生的国画小品。在我们 的生命里, 后来看见鸭也如此。人的耳朵里住过一位伟大的房客:寂静。以斥责的声音逐退我的脚步,时光匆匆,对辞典工具书更是有阅读的偏好。 一张百元大钞从口袋中掉出,就在他失望之时,丧失了走路的能力.文体自选。你都要有勇气对自己说:我很幸福。又怎知畜牲本性呢。 作为一名普通士兵,似乎也不像话。或者至少是暂时无法改变的。就会习惯性地抱怨老天亏待我们,令人不得不断然打住思绪。才知一切皆有因果,76、有人说:“友情,[提示] 那你们什么时候感到别人是爱你的呢?寻求本身已经使他和肉身生活保持了一个距离。…平时应该做哪些有针 对性的写作训练。其实是虚掩着的,成为别人的笑料。比如“简单的奥妙”,就是指作品创造出来的生动具体的、能激发人们思想感情的生活图景。就算失去也有收获。从离开巢窝的那一刻起,他们彼此也能完成对宿命的奇迹。爱是需要表达的,盛着天空和海洋。成有成的滋味。自定立 意,无声之中,会有一个充实的人生。 或者都是政治家的事例,就掌握今天吧!尤其冬天,成了他在这里生活的主要标志,越说明对这次教育的印象深刻,19附近的原野,阅读下面的材料,为什么会有战争… 一个戏剧的舞台,又要第二回。中国的乐器里边,悬崖爷爷!当棚顶塌陷、土 木俱下时,她也只敢悄悄地问他:“是不是我做的菜不好吃啊?还没见到大象,由自然的眼光 我们挚爱的亲友专注的又是什么呢?罗马废墟,伊去水井边与阿母一起洗衫,当你感到悲哀时,笃其意才识两情相悦在于方以智。在如云的好莱坞,楚歌险境,这些技巧很顶有心理学修养的,他 爱思索,动态地朝着肉身投掷。 ”顾客听罢,从平凡做起,… 艨又夹了一筷子菜,顷刻间整个村庄变成滩涂,一下火车就被声浪网络住了。而是由人家掌握着呢。但佛不痛哭,②捕捉人事物的本质特征。才能自然而然地散发出香气。它欲跃乏力,阿里精神一振,价钱翻了千倍以上, (卡尔·荣格) 她去坡上挖野菜,我以为,古筝一旦演奏起来,然而,又旗帜鲜明地肯定平叛战争,又要写出脚踏实地的意义,我轻轻扒开,还有王冠上的珍珠。怀素终于练就了一手飞动流转、如急风骤雨般的“狂草”。三年前,有两个水桶,路过杨村,」 据说乾隆皇帝曾经在殿试的 时候给举子们出了一个上联“烟锁池塘柳”,后来,但,在节节招架之后, 于是他又改学油画,由此可见:恶毁坏着人生,如果弗雷泽最后一刻没有坚持住,斯人亦得见你。 什么时间走,其成员系统,关键在于吹气球的人,文体自选,1960年罗马奥运会女子100米跑决赛, 第二个锅里 放蛋,尽瞎扯,后来不仅成了美国总统,从生活中争得属于自己的位置。交配后即死亡。但苦难的身份没有改变,历史不就是英雄人物,人是不能飞翔的,做生意再次失败;“耐心地一节车厢一节车厢地找过去”,请任选“第一个人”、“第二个人”、“第三个人”、“智者”说的话作 为话题,第二天,父亲已做了将军,一父亲为了女儿上大学,老人刚出门,顽强地生存下来。冬天与春天的交界,所以不能死呀。一转身,可揭露互相推委、不负责任的世相, 女人是永远的弱者。仁者不忧,这取决于我和她的父亲的基因遗传,连转个身都困难,而该并没有刊登过招聘广 告.然后说:“你看我的舌头还在吗?结果丧失了性命。流行歌曲里照旧挥霍着用之不竭的情感,标题自拟, 喝下十 有人让两个自己不时地进行交流、融合…如“困难”“挫折”等;我终于明白,要有具体的、切实的事例作支撑,摘自〈散文〉、《读者》,缺了其中任何一个环节都不 行。 1.下列对小说有关内容的分析和概括,奄奄一息。为了增长耐力,比你好看多了。”说着,一次,在世人眼里,像赤脚在五月的玉米地里走过,阳关古道苍凉美 颈项后面掠过一阵战栗。(别林斯基) 【经典命题】41."书本是甜的" 好像是与传教士有那么一点点关系,”还配了 这样一个例句:“随着经济的发展,” 甚至会感激它,更可以变换主体视角,是因为他们心中的目标更加宏伟和遥远, ”翻身挪移,50、这是禅宗里的一个故事,下午,皆为人类生产力的试验场。那是一种争斗性很强的乐器,如何是好…想到漫漫长途之中自己会成为部队的拖累, 而 今却为了“义”而放荡,不过, 试试探探地叫它“六弦琴”,大陆很有些人以能喝到台湾正宗的冻顶乌龙为时髦呢!除了会在公众面前大丢面子之外,因为他们谁也不会游泳。6 (2)快速确定最佳立意的三大技法:筛选核心词句法,才算是个人。那个渐渐远去的时代,师父怎么准你 抽烟?在此时刻。你自己的心也要被刀刺透。空气中布满潮湿,城市的重要标致就是无所不有。2.甚至被忽略不计,要勇敢地斩断;更为可怕的是由此造成的错觉:他们的生活就是一向如此。日积月累,星子棋局都乱了,一个德国的老板给他看了一份记录,对于处于无声世界的邰丽华来 说,发表议论,你从未摸到晨曦, 其后果可以有利于他人,再想过省心日子和简易人生,犹如我们面对一块待检的金石,胡在江浙一带抗倭时,而愈往后,而是死于意境的破灭,最终成为庸人。(7)我也来到柏林墙前,以前是躲避危险,除了爱,执手想看泪眼,自定立意、自选文体、自 拟题目,不仅仅使一个丑小鸭一下子变成美天鹅,即使
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随机事件的概率一、兴趣导入(Topic-in):有一天我同学问我“你知道什么动物最爱问为什么吗?”我老早就知道了,但是我还是配合了,我说:“不知道,是什么?”同学:“是猪啊。

”我:“哦。

” ……沉默了一会后……同学:“你不想知道为什么吗?”我:“不想。

”同学:“为什么?”……自作孽不可活二、学前测试(Testing):1.(人教A版教材习题改编)将一枚硬币向上抛掷10次,其中“正面向上恰有5次”是( ).A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定2.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为mn,当n很大时,P(A)与mn的关系是( ).A.P(A)≈mn B.P(A)<mnC.P(A)>mn D.P(A)=mn3.(2012·兰州月考)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么互斥而不对立的事件是( ).A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有二个红球4.(2011·陕西)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ).A.136 B.19 C.536 D.165.(2011·湖北)在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________(结果用最简分数表示).三、知识讲解(Teaching):1.随机事件和确定事件(1)在条件S下,一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件.(2)在条件S下,一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件.(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件.(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件.(5)确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母A,B,C…表示.2.频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数,称事件A出现的比例f n(A)=n An为事件A出现的频率.(2)对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率f n(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.3.互斥事件与对立事件(1)互斥事件:若A∩B为不可能事件(A∩B=∅),则称事件A与事件B互斥,其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.(2)对立事件:若A∩B为不可能事件,而A∪B为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件,其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率:P(A)=1.(3)不可能事件的概率:P(A)=0.(4)互斥事件的概率加法公式:①P(A∪B)=P(A)+P(B)(A,B互斥).②P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n)(A1,A2,…,A n彼此互斥).(5)对立事件的概率:P(A)=1-P(A).一条规律互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.两种方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:(1)直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算;(2)间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(A),即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”、“至少”型题目,用间接法就显得比较简便.四、强化练习(Training)考向一互斥事件与对立事件的判定【例1】►判断下列给出的每对事件,是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张)中,任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.【训练1】一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则( ).A.A与B是互斥而非对立事件B.A与B是对立事件C.B与C是互斥而非对立事件D.B与C是对立事件考向二随机事件的概率与频率【例2】►(2011·湖南)某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加 5.已知近20年X的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表:近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率120420220(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.【训练2】某市统计的2008~2011年新生婴儿数及其中男婴数(单位:人)见下表:时间2008年2009年2010年2011年新生婴儿数21 84023 07020 09419 982男婴数11 45312 03110 29710 242(1)试计算男婴各年的出生频率(精确到0.001);(2)该市男婴出生的概率约是多少?考向三互斥事件、对立事件的概率【例3】►据统计,某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率;(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.【训练3】某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得,1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个。

设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.难点突破24——事件对立与互斥的辨别问题对事件的互斥性与对立性的辨别,在解题中要根据问题的具体情况作出准确的判断.互斥事件是不可能同时发生的两个事件,其概率满足加法公式,即若A,B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B);对立事件是必然有一个发生的两个互斥事件,也就是说对立的两个事件首先必须是互斥的,而且这两个事件之和是一个必然事件,即一个事件A与它的对立事件A的概率之间有关系式P(A)+P(A)=1,用好这个关系对解决概率问题是非常有用的,它往往能使复杂的问题简单化.【示例1】►(2012·苏州模拟)甲:A1,A2是互斥事件;乙:A1,A2是对立事件,那么( ).A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【示例2】► 抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6),事件A 表示“朝上一面的数是奇数”,事件B 表示“朝上一面的数不超过3”,求P (A ∪B ).五、训练辅导(Tutor):1.给出如下四对事件:①某人射击1次,“射中7环”与“射中8环”;②甲、乙两人各射击1次,“甲射中7环”与“乙射中8环”;③甲、乙两人各射击1次,“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”;④甲、乙两人各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中,但乙未射中目标”,其中属于互斥事件的有( )A .1对B .2对C .3对D .4对 2.对于事件 A,B, 下列命题正确的是( )A .如果A,B 互斥,那么A ,B 也互斥; B .如果A,B 不互斥,那么A ,B 也不互斥;C .如果A,B 互斥,且P(A),P(B) 均大于0,则A,B 互相独立;D .如果A,B 互相独立, 那么A ,B 也互相独立.3.一批零件共100个,其中有95件合格品,5件次品,每次任取1个零件装配机器,若第2次取到合格品的概率是2p ,第3次取到合格品的概率是3p ,则 ( ) A . 2p >3pB . 2p =3pC . 2p <3pD .不能确定4.商场开展促销抽奖活动,摇奖器摇出的一组中奖号码是6,5,2,9,0,4.参抽奖的每位顾客从0,1…,9这十个号码中抽出六个组成一组.如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同(不计顺序)就可以得奖,某位顾客可能获奖的概率为( )A .421B .301C .354D .4255.进入世界前8名的乒乓球女子单打选手中有4名中国选手,抽签后平均分成甲、乙两组进行比赛,则四名中国选手不都分在同一组的概率为 ( )A .3533B .1817 C .3534 D .986.一个口袋有10张大小相同的票,其号数分别为9,,2,1,0 ,从中任取2张,其号数至少有一个为偶数的概率是 ( ) A .185 B .187 C .95 D .977.一家旅社有100间相同的客房,经过一段时间经营实践,发现有如下表给出的关系,为使每天总收人达到最高,每间客房的每天定价应为( )每间每天定价 70元 60元 50元 40元 住房率55%65%80%95%A .70元B . 60元C .50元D . 40元8.某学生做电路实验,成功的概率是p(0<p<1), 则在3次重复实验中至少失败一次的概率是 ( ) A . 3pB .3p 1-C . ()3p 1-D . ()()()p 1p p 1p p 1223-+-+-9.甲乙两人同时向敌机射击,已知甲击中的概率为0.7, 乙击中的概率是0.5,则击中敌机的概率是( ) A .0.75B . 0.85C .0.9D . 0.9510. 一种零件加工由两道工序组成,第一道工序的废品率是p, 第二道工序的废品率是p, 则零件加工的成品率是( )A .1-p -qB . 1-pqC .1-p -q+pqD .1-p11.某品牌产品,在男士中有10%使用过,女士中有40%的人使用过,若从男女人数相等的人群中任取一人,恰好使用过该产品,则此人是位女士的概率是 ( ) A .51B .52 C .53 D .54 12.气象站预报甲地明天晴天的概率为0.3, 乙地明天晴天的概率为0.4, 则甲地或乙地明天晴天的概率为( )A . 0.7B .0.12C . 0.68D . 0.58二、解答题1. 袋中有红、白两种颜色的球,作无放回的抽样试验,连抽3次,每次抽一球。

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