圆锥曲线中的离心率值学生学案

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谈数学核心素养下解题教学中的一题多解——以求圆锥曲线离心率的范围为例

谈数学核心素养下解题教学中的一题多解——以求圆锥曲线离心率的范围为例发布时间：2023-03-23T16:41:31.663Z 来源：《基础教育参考》2023年2月作者：陈素文[导读] 圆锥曲线的离心率问题是高考中的一个难点和热点，因为离心率是刻画圆锥曲线形状的一个基本量，能考察考生对圆锥曲线形状最本质的理解，考察数学抽象，数学建模，数学运算等数学核心素养，灵活多变，综合性强.在此以一题多解从多方面求出离心率为例，体现数学核心素养。

陈素文湖北省襄阳东风中学【摘要】圆锥曲线的离心率问题是高考中的一个难点和热点，因为离心率是刻画圆锥曲线形状的一个基本量，能考察考生对圆锥曲线形状最本质的理解，考察数学抽象，数学建模，数学运算等数学核心素养，灵活多变，综合性强.在此以一题多解从多方面求出离心率为例，体现数学核心素养。

【关键词】数学解题；核心素养；一题多解；圆锥曲线中图分类号：G626.5 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128（2023）2-115-01例：设P为双曲线C：上的一点，分别为C的左，右焦点，若的内切圆直径为 ,则双曲线C的离心率的取值范围（）A. B. C. D.解法1：如图，不妨设点在第一象限，设的内切圆与三边长分别切与点M,N,T则有，由双曲线定义有，所以，所以点T在双曲线上，即点T为双曲线的右顶点，所以内切圆圆心横坐标为，所以的内切圆圆心坐标为，当趋向无穷大时，几乎与渐近线平行.设渐近线的倾斜角为，切线的倾斜角为，则 .因为，且，因为，由得到，解得，因为，所以所以，所以，解得，故选A.分析：题目涉及焦点三角形，我们经常运用圆锥曲线的第一定义，比如说双曲线上的点到两焦点的距离差的绝对值为定值，然后再结合图形借助平面几何知识寻求不等关系，解法1就是利用角度之间的关系，又利用了三角恒等变换，得到a,c之间的不等式关系，体现了数形结合思想与方程思想，对学生的综合能力要求比较高.在此考察学生的数学运算，逻辑思维，直观想象。

圆锥曲线教案

圆锥曲线教案圆锥曲线教案一、教学目标：1. 理解什么是圆锥曲线，学会在笛卡尔坐标系中表示圆锥曲线。

2. 学会求解圆锥曲线的焦点、直径、离心率等相关性质。

3. 掌握对圆锥曲线进行方程变换、平移、旋转等操作的方法。

二、教学准备：1. 教师准备黑板、彩色粉笔等教学用具。

2. 学生准备笔记本、书籍等学习用具。

三、教学过程：1. 导入新知识：通过展示一张圆锥曲线的图片，询问学生对这个图形有什么了解，引导学生思考圆锥曲线的定义和性质。

2. 理论讲解：(1) 定义圆锥曲线：对圆锥在一个经过顶点的剖面研究所得到的曲线称为圆锥曲线。

(2) 表示方法：在笛卡尔坐标系中，圆锥曲线可由方程表示，例如椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

(3) 常见圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。

3. 实例演示：以椭圆为例，给出一个椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，引导学生求解椭圆的焦点、直径、离心率等相关性质。

4. 计算练习：给出多个圆锥曲线的方程，让学生进行计算练习，提高其运算能力。

5. 方程变换：介绍如何对圆锥曲线进行方程变换，包括水平方向和垂直方向的方程变换。

6. 平移与旋转：讲解如何对圆锥曲线进行平移和旋转，以及平移和旋转对方程的影响。

7. 总结归纳：对学过的内容进行总结归纳，梳理知识框架。

8. 解答疑问：解答学生对圆锥曲线相关问题的疑惑。

9. 课堂练习：布置一些课堂练习题，让学生巩固所学知识。

四、教学延伸：1. 引导学生进行实际应用：让学生寻找生活中的圆锥曲线，并分析其性质和特点。

2. 继续深入学习：对于学有余力的学生，可以探究更高级的圆锥曲线知识，如圆锥曲线的参数方程、极坐标方程等。

五、教学评价：1. 课堂练习的成绩。

2. 学生对于圆锥曲线相关问题的提问及解答情况。

3. 学生对于课堂知识的掌握和应用情况。

六、课后作业：1. 完成课堂练习题。

离心率学案 (1)

微专题：圆锥曲线离心率的求值及其范围【学习目标】（1）熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。

（2）掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略。

（3）灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想）解决问题。

【学习重、难点】重点：利用圆锥曲线自身性质、平面几何知识、常见结论等建立关于,,a b c 的关系式（等式或不等式）。

难点：平面几何知识在圆锥曲线中的应用。

【课前热身】1.已知椭圆的左焦点为1F ，有一小球A 从1F 处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到1F 时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为2.已知12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ， 1PF 与双曲线相交于点Q ，且12PQ QF =，则该双曲线的离心率为3.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左、右焦点，圆2222x y a b +=+与该双曲线相交于点P ，若21122PF F PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为4. 已知12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，，以线段12F F 为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是5.已知,,P A B 是双曲线22221x y a b -=上不同的三点,且,A B 关于原点对称,若直线,PA PB 的斜率乘积34PA PB k k =,则该双曲线的离心率是 6.已知斜率为1的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于B,D 两点，且BD 的中点为M （1,3），则双曲线的离心率为7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为F 1，F 2，若该椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝90°，则椭圆离心率的取值范围是 .8.如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2经验之谈：【类型专练】一、圆锥曲线离心率的值 1、代数法例1.（1）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆交于A,B 两点，直线l的倾斜角为60°，若2AF FB =，则椭圆的离心率为（2）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别为12B B ，右顶点为A ，直线1AB 与21B F 交于点D .若1123AB B D =，则C 的离心率等于__________．（3）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、,过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A B 、两点,直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ,若23ABC BCF S S ∆∆=,则椭圆的离心率为__________．2.平面几何性质应用例 2.（1）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，两渐近线上分别有A,B 两点，AB OB ⊥，//AF x BF OA ⊥轴，，则双曲线离心率为（曹人仁提供）（2）已知F 为双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线作垂线，垂足为A ,交另一条渐近线于点B 。

求离心率——学案

一、例题精讲题型一求离心率的值1. 定义法：对于求解离心率的值这类问题来说，根据圆锥曲线离心率 e =2ca ，可以直接求解出 a 和 c .【例1】在 Rt ΔABC 中， A = 90°， AB =AC = 1，如果一个椭圆过 A ， B 两点，它的一个焦点为 C ，另一个焦点在 AB 上，则椭圆的离心率为【例2】已知1F 、2F 是椭圆22x k ++21y k +=1的左右焦点，弦AB 过F 1，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为2. 方程法：从高考题型来看，有两类问题，一类是根据条件直接列出关于 a ， b ， c 的方程，即直接法;另一类是要根据条件设出与之相关的曲线方程，再进一步得到关于 a ， b ， c 的方程，即间接法.（1）直接法：设出相关未知量 → 根据条件列出关于 a ，b ，c 的方程 →化简并求解方程 → 得到离心率【例3】)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为 F 1， F 2 . P 是准线上一点，且PF 1⊥PF 2， | PF 1 | | PF 2 | =4ab ，求双曲线的离心率.当堂训练：1. 双曲线12222=-by a x 的左顶点和右焦点分别是A 、F ，点B 的坐标是（0，b ），若,90︒=∠ABF 则双曲线的离心率是________2. 设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰过点F ，则双曲线的离心率为_________3. 已知双曲线的一条准线与渐近线的交点为A 、B ，这条准线的相应焦点为F ，如果△ABF 是等边三角形，则双曲线的离心率为 _________（2）间接法设出相关未知量→设出相关曲线方程联立→化简→求解出圆锥曲线上的相关点坐标圆锥曲线方程代入圆锥曲线方程，化简求出e 韦达定理得到关于a ,b,c 的方程，化简求出e【例4】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为 F ，过 F 且斜率为的直线交 C 于 A ， B 两点，若AF = 4 FB ，则双曲线 C 的离心率为 .反思：这道题虽然是一道填空题，但是已经达到了一道综合题的难度. 事实上，将代入之后的化简过程运算量是很大的，对于绝大部分考生来说，采用这种方法之后，很容易陷入计算的泥潭. 倘若将A ， B 坐标算出代入计算量会更大.【例5】在平面直角坐标系 xoy 中， A 1， A 2， B 1， B 2 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的 4 个顶点，F 为右焦点，直线A 1 B 2 与直线B 1 F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 为线段OT 的中点，求椭圆的离心率.3. 以平面几何特征为突破口这类问题要充分注意几何关系，将几何关系分析清楚之后，再找关于 e 的关系式. 如果几何关系不能看清，那么在实施解题策略时会带来不必要的计算上的麻烦.【例6】F 1， F 2 分别是22221(0)x y a b a b-=>>的两个焦点， A 和 B 是以 O 为圆心，以 c 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2ABF ∆是等边三角形，求双曲线的离心率.小结：要充分注意平面几何关系在解题中的作用，若能发现问题的本质，则可事半功倍。

圆锥曲线中的离心率的问题(含解析)

圆锥曲线中的离心率的问题一、题型选讲题型一、求离心率的值求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。

常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。

例1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A B ．53C ．52D例3、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线1l ，2l 为双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，若1l ，2l 与圆N ：2221x y 相切，双曲线M 离心率的值为（）A BCD ．3例4、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（）AB C ．2D ．例5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（） A ．15 B ．21 C ．53D ．73例6、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（） A ．233B ．263C ．3D ．2题型二、求离心率的范围求离心率的值关键是找到不等关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率的范围。

圆锥曲线离心率的求法教案

圆锥曲线离心率的求法教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线的概念及性质2. 掌握圆锥曲线离心率的定义和求法3. 能够运用离心率公式解决实际问题二、教学内容1. 圆锥曲线的概念及性质2. 圆锥曲线离心率的定义3. 离心率的求法4. 离心率在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 圆锥曲线离心率的定义和求法2. 运用离心率公式解决实际问题四、教学方法1. 讲授法：讲解圆锥曲线的概念及性质，离心率的定义和求法2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生思考，提高学生参与度五、教学过程1. 导入：回顾椭圆、双曲线、抛物线的概念及性质2. 新课导入：介绍圆锥曲线的概念及性质3. 讲解离心率的定义：引导学生理解离心率的概念，公式4. 讲解离心率的求法：通过实例演示离心率的求法5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题6. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识教案首页：圆锥曲线离心率的求法教案课时安排：2课时教学目标：1. 理解圆锥曲线的概念及性质2. 掌握圆锥曲线离心率的定义和求法3. 能够运用离心率公式解决实际问题教学内容：1. 圆锥曲线的概念及性质2. 圆锥曲线离心率的定义3. 离心率的求法4. 离心率在实际问题中的应用教学重点与难点：1. 圆锥曲线离心率的定义和求法2. 运用离心率公式解决实际问题教学方法：1. 讲授法：讲解圆锥曲线的概念及性质，离心率的定义和求法2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生思考，提高学生参与度教学过程：1. 导入：回顾椭圆、双曲线、抛物线的概念及性质2. 新课导入：介绍圆锥曲线的概念及性质3. 讲解离心率的定义：引导学生理解离心率的概念，公式4. 讲解离心率的求法：通过实例演示离心率的求法5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题6. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对圆锥曲线概念及性质的理解程度，以及对离心率定义和求法的掌握情况。

圆锥曲线中求离心率的值与范围的问题(共28张PPT)

分析：在椭圆内的所有焦点三角形，当顶点 P 与短轴重合时，此时面积最大 Smax b
解析：注意，凡是经过原点的直线与椭圆或双曲线相交于两点时，这两点的位置是对
的，本题目中 ABF2 和 AF1F2 是全等的，因此 SABF2 SAF1F2 故当点 A 位于短轴的交点处时，面积最大 Smax bc
这两个区域内直线斜率的取值范围。
求离心率范围问题
②过焦点的直线与双曲线交点个数问题
例
12：已知双曲线 x2 a2

y2 b2
1的右焦点为
F，若过点
F
且倾斜角为 60
的直线与双曲线
的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_________.
解析：过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为 1 个或 2 个，取决于这条直线和右渐

2a PF2 PF2
注意 PF2 为焦半径，因此 a c PF2 a c
所以不等关系就能找出来了，解不等式可得 2 1 e 1
离心率范围问题
（2）焦点三角形顶角的取值范围：当 P 点处于 B 位置时，顶角最大，例：
例
10：设
P
是椭圆
x2 a2

y2 b2
1上一点，且 F1PF2
求离心率范围问题
和求离心率的值相似，求解离心率的取值范围问题依旧是需要建立一个不等关系，且不等关系中含有 a,b, c 或数字的形式，至于如何建立不等关系，可总结为四
种思考方向：
1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：
（1）焦半径的取值范围为 a c PF1 a c .
求离心率范围问题
例
7：椭圆
x2 a2

人教版数学高二年级《离心率在解题中的应用》教学设计[1]

离心率在解题中的应用离心率是圆锥曲线中的一个基本量，它可以用来统一定义圆锥曲线，解析几何中的许多习题都跟它有直接联系．对于某些习题，若能将题设中的有关条件跟离心率巧妙地联系起来，常常会起到简化解题过程、迅速求解的功效．一、轨迹方程或曲线类型问题例１方程143)1(22--=+-y x yx 对应的点Ｐ（x ,y ）表示的轨迹为（）Ａ．抛物线Ｂ．双曲线Ｃ．椭圆Ｄ．两条直线分析：如果按一般方法：两边平方后再化简方程进行判断，不但计算较繁杂，右边还会出现xy 这样的二次项．由于现行的教材中没有坐标轴旋转的内容，因而用这样的方法学生很难得到正确的结论．但如果把方程变形为51435)1(22--⋅=+-y x yx ，左端就是Ｐ（x ,y ）到Ｍ（１，０）的距离，右端显然是Ｐ（x ,y ）到直线0143:=--y x l 的距离，上式即表示Ｐ（x ,y ）到Ｍ点的距离是直线l 的距离的５倍，因Ｍ不在直线l 上，根据圆锥曲线的定义，它的离心率e ＝５＞１，故选Ｂ．如用此法判别以下轨迹方程表示何种曲线就很容易了．（１）14351)1(22--=+-y x y x ；（抛物线）（２）143101)1(22--=+-y x yx ．（椭圆）例２以圆锥曲线焦点弦为直径的圆若与相应的准线的位置关系分别为①相交，②相切，③相离，那么此圆锥曲线一定分别是①＿＿＿，②＿＿＿，③＿＿＿．分析：判定为何种圆锥曲线的关系是求得相应条件下的离心率的范围．设圆锥曲线的焦点为Ｆ，焦点弦为ＭＮ，圆心为Ｐ，ＭM ′，ＰＰ′，ＮＮ′分别与准线l 垂直于Ｍ′，Ｐ′，Ｎ′（图１），则离心率P P PM P P MN N N M M NF MF N N NF M M MF e '='='+'+='='=2．①相交时，PM P P '，此时e ＞１，曲线为双曲线．同样可得出②抛物线，③椭圆．例３已知抛物线Ｃ：y ２＝４x ．若椭圆的左焦点及相应的准线与抛物线Ｃ的焦点Ｆ及准线l 分别重合，试求椭圆的短轴端点Ｂ与焦点Ｆ连线的中点Ｐ的轨迹方程．（图２）分析：由于可以求得焦点坐标和准线方程，因而假设Ｐ点为（x ，y ）后即可根据圆锥曲线的两个不同的定义，分别得出离心率的不同表达式，从而得到轨迹方程．解由y ２＝４x 得焦点Ｆ（１，０），准线l ：x ＝－１．设Ｐ点为（x ，y ），因Ｐ为ＢＦ的中点，得Ｂ点为（２x －１，２y ），设椭圆中心为Ｏ′，ＢＢ′⊥l 于Ｂ′，则有,,e BFO F e B B BF ='='因此BFO F B B BF '='，得2222)2()22(112112)2()22(y x x x y x +---=+-+-，化简得1),22(24)22(222-=-=+-x yx x yx 即．又因Ｏ′在Ｆ的右方x x ⇒-⇒022 ＞１．所以Ｐ点的轨迹方程为)1(12 x x y -=．二、最值问题例４设Ｐ（５，－１），Ｆ为椭圆112)2(16)6(22=-+-y x 的左焦点，点Ｑ在椭圆上移动．为了使PQ QF 21+有最小值，求Ｑ点的坐标．（图３）分析：根据题意，按两点间的距离公式列出PQ QF 21+的表达式，然后再按求最小值的常规方法求解，以确定Ｑ的坐标．这样解题过程相当繁杂，也难以求出结果．从题设知QF 即椭圆的焦半径，椭圆中PQ e c b a 又正好为而21,21,2,32,4====前面的系数，由此联想到用离心率、焦点、准线间的关系求解．解因21,2,4====a c e c a ，左准线为2166-=-x 即x ＝－２，设Ｑ到准线的距离为QN，因此QNQF QNQF e 21,21===，显然PN PQ QN PQ QF 21)(2121≥+=+，所以只有当Ｐ，Ｑ，Ｎ三点共线，且Ｑ在Ｐ，Ｎ之间时，PQ QF 21+的值最小为PN 21，此时Ｑ点和Ｐ点的纵坐标相同．将1-=y 代入椭圆方程得x ＝４或x ＝８，而x =8时Ｑ点在Ｐ点的右侧显然不合题意，舍去，所以Ｑ点的坐标为（４，－１）．解此类题只要观察定点和曲线上的动点连结的线段前面的系数是否为该圆锥曲线的离心率，求动点坐标时只要将过定点和准线垂直的直线方程对应的坐标代入曲线方程即得另一坐标，最小值即该点到相应准线的距离的e 倍．例5 已知a b R b a 4,2=∈且．试求2222)1()1()2(ba b a T +-+-+-=的最小值．分析：由a b 42=联想到),(,42b a M x y =为抛物线上的点，2222)1()1()2(b a b a +--+-和分别是Ｍ（a ,b ）到Ａ（２，１）和Ｆ（１，０）的距离，Ｆ（１，０）又恰为抛物线y ２＝４x 的焦点．此题经过这样变换不就是例６中求MF MA +的最小值吗？因为抛物线离心率e ＝１，很容易得Ｔ最小＝３．离心率在解题中的应用，远非以上两个方面．但从上面的例子已经可以看出，利用离心率的有关概念及性质会使某些问题的解答变得十分简捷流畅，值得我们进行研究和总结．。

新版高中数学圆锥曲线教案

新版高中数学圆锥曲线教案一、教学目标：1. 熟练掌握圆锥曲线的基本概念和性质；2. 能够理解常见圆锥曲线方程的几何意义；3. 能够运用圆锥曲线解决实际问题。

二、教学重点：1. 圆锥曲线的定义和分类；2. 圆锥曲线的方程及性质；3. 圆锥曲线的应用实例。

三、教学内容：1. 圆锥曲线的基本概念：椭圆、双曲线、抛物线；2. 圆锥曲线的方程：椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程；3. 圆锥曲线的性质：焦点、准线、离心率等；4. 圆锥曲线的应用：求解实际问题。

四、教学步骤：1. 引入：通过生活实例引入圆锥曲线的概念，引发学生兴趣；2. 讲解：介绍圆锥曲线的定义、分类、方程和性质；3. 练习：让学生进行练习，巩固所学内容；4. 应用：通过应用题，让学生运用所学知识解决实际问题；5. 总结：对本节课所学内容进行总结，强化记忆。

五、教学工具：1. 讲义、教材：提供相关知识点及例题；2. 幻灯片：辅助讲解，呈现图形与方程对应关系；3. 黑板、彩色粉笔：展示解题过程；4. 习题册、练习册：让学生进行巩固练习。

六、教学评价：1. 课堂表现：学生是否积极参与讨论、思维活跃；2. 作业情况：学生对作业的完成情况及正确率；3. 考试成绩：检验学生掌握情况。

七、教学反馈：1. 整理学生反馈意见，根据学生反馈调整教学方式；2. 总结本节课教学经验，为下一节课改进教学方法做准备。

八、教学延伸：1. 给学生留下更多实例让学生探究，提高学生学习兴趣；2. 引导学生自主进行拓展探索，培养学生解决问题的能力。

以上是本节课的教案范本，希望能够对教学工作有所帮助，祝教学顺利！。

昌吉市第九中学朱信芳高三数学《由高考试题探究一类圆锥曲线离心率的求法》教学设计1 -

教学设计：《高考二轮专题复习---由高考真题探究一类圆锥曲线离心率的求法》—昌吉市第九中学朱信芳教学内容分析本节内容在高考试题中占有很大的比重，圆锥曲线中的离心率问题也是高考中解析几何试题的一个倍受青睐的考查点，其考查内容主要是求离心率的值和范围，其求解策略一般有：利用曲线离心率定义，列方程，曲线的几何性质，题设指定条件，三角形的三边关系等。

学生学情分析知识层面：学生已经理解了圆锥曲线的离心率定义。

能力层面：已初步掌握求解圆锥曲线的离心率，具有一定的数形结合能力。

学之难：在遇到离心率的求值时不知怎样深挖条件，找寻解题思路。

教学目标分析教学目标是教学的出发点和归宿点，根据高考大纲要求和题型的地位和占比以及学生现有的知识水平，制定如下目标：1、通过典例剖析进一步提高学生研究问题、分析问题与解决问题能力。

2、通过典例的剖析和相应的对点练习应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。

3、通过一道高考真题的探究，层层深挖，突破一题多解，一题多变，体会从特殊到一般的推广，通过解决一道题触类旁通会一类题，能够在解决高考题的时候注重归纳总结一些有用的的结论，如：焦渐距、顶渐距。

4、在解题过程中逐步渗透方程思想、分类讨论思想、等价转化思想，数相结合的思想以及体会类比与归纳的数学方法，培养学生直观想象、数学运算、逻异推理等数学核心素养。

教学重难点分析重点：由高考真题探究圆锥曲线离心率的一题多解求法，通过解答一道题推广到解决一类题，能通过解决双曲线问题类比解决椭圆相关题。

难点：由2道高考真题探究圆锥曲线离心率的求法，通过解答一道题推广到解决一类题，能通过解决双曲线问题类比解决椭圆相关题，从而培养了学生对问题的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力。

教法分析训练为主线，思维为主攻。

选题多以选高考真题为主，先布置学生预习计划讲的例题与知识点，以讲典型的例题为核心来落实学生的思维与能力的提升。

求离心率的值与范围的问题

求离心率值问题
x2 例 1：如图，若四边形 AF1BF2 F1 , F2 是椭圆 C1 : y 2 1 和双曲线 C2 的公共焦点， 4 为矩形，则双曲线的离心率为____________.
解析：关于共焦点的问题， c 相等，在椭圆里面 AF1 AF2 2a 4 在 RT AF1F2 中满足 AF12 +AF22 =F1F22 ，解得 AF1 =2- 2，AF2 =2+ 2 则在双曲线中 a 2, c 3 ，则 e
弦定理，所以变形一下得
c sin PF2 F1 PF1 a sin PF1F2 PF2
因为 PF 1 2a PF 2 ，所以
c sin PF2 F1 2a PF2 a sin PF1F2 PF2
注意 PF2 为焦半径，因此 a c PF2 a c 所以不等关系就能找出来了，解不等式可得 2 1 e 1
率为____________.
解析：题目中未出现焦点三角形，则与定义无关，且 A,B 均不在双曲线上，因此求点坐标无用，题目双曲线中唯一出现的与 a, b, c 有关系的量就只有渐近线
了，因此题目中必定用到渐近线方程，题目中还给出了垂心的概念，因此垂直关系就很明显了。而题目中的等量关系就是垂直，例如 AF OB ，因此可采用斜率乘积为-1 来求，但是需要求出点 B 的坐标，点 B 的坐标是渐近线方程和抛物线的交点，因此联立即可：
解得
1 e 1 2
离心率范围问题
x2 y 2 例 8：双曲线 2 2 1 的两个焦点分别是 F1 , F2 ，若 P 是其上的一点，且 | PF 1 | 2 | PF 2 |， a b
则双曲线的离心率的取值范围是________.

浅谈高中数学圆锥曲线的离心率问题

浅谈高中数学圆锥曲线的离心率问题
赖景红
（内蒙古巴彦淖尔市乌拉特前旗第一中学）
【摘要】离心率一直是近年高考重点考察内容，同时离心率也是高中数学中学生较难掌握的一个知识点，本文通过对解析几何解题主要思想即用
一
、
若眦ｂ）＝
Ａ．２００３．
且ｆ（１成测
Ｂ．１００１．Ｃ．２００４
十．．．
Ｄ２００６．
等于（
） Βιβλιοθήκη 此题经观察后可以看出其特点是：（１）所求式子是分式之和；（２）每个分式的函数中分子自变量比分母自变量大 ‘ ；（３）各分子函数中其自变量依次从２到２００６的所有偶数，分母函数中自变量从１到２００５的所有奇数。看到这些特点联系已知条件可以想到：２＝１＋１，ｆ（２）＝ｆ【１＋１）＝ｆ（１）．ｆ（Ｉ），
学科交流
２ＱＭ生ＯＴＨ苤ＥＲ § Ｌ型（ＡＮ２Ｄ
从中学生町以得到丰富的知识。这样学生的课堂学习得到巩固，自主学习得命的活力。到了延伸，为学生提供了一个多练习，多活动，增长知识，开拓知识视野的参考文献：平台，发展了学生的自主学习能力，进而提高学生的语文能力。［１］中华人民共和国教育部语文课程标准【ｓ】北京：北京师范大学出版社，０２．总之，自主学习是主体教育思想在教学领域的反映，我们只有把语文２０课堂教学建立在自主学习的基础上，充分发挥学生自主学习的潜能，积极［２］范艳梅．学生自主学习能力的培养策略【Ｎ】．教育导报，２００７ — １ — ２５．促进学生学习形式的改变，激励学生主动参与，主动实践，主动思考，主【３】黄卫苹．在语文教学中培养学生自主学习能力【Ｎ】ｌ现代教育报一教师周００７－６－２０．动探索，主动创造，才能全面提高学生的素质，才能使语文课堂焕发出生刊．２

圆锥曲线离心率的求法教案

圆锥曲线离心率的求法教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线的概念，掌握圆锥曲线的标准方程。

2. 掌握离心率的定义，了解离心率与圆锥曲线的关系。

3. 学会运用公式法和待定系数法求解圆锥曲线的离心率。

4. 能够运用离心率解决实际问题，提高解决问题的能力。

二、教学内容1. 圆锥曲线的概念及标准方程2. 离心率的定义及性质3. 公式法求解圆锥曲线的离心率4. 待定系数法求解圆锥曲线的离心率5. 应用实例三、教学重点与难点1. 重点：圆锥曲线的标准方程，离心率的求解方法。

2. 难点：待定系数法求解圆锥曲线的离心率，应用实例的解决。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解圆锥曲线的概念、标准方程及离心率的定义。

2. 利用案例分析法，分析求解圆锥曲线离心率的公式法和待定系数法。

3. 运用练习法，巩固所学知识，提高解决问题的能力。

4. 开展小组讨论法，培养学生的合作意识，提高学生的创新能力。

五、教学过程1. 引入新课：通过复习椭圆、双曲线、抛物线的概念及标准方程，引出圆锥曲线的概念及标准方程。

2. 讲解圆锥曲线的标准方程，阐述离心率的定义及性质。

3. 讲解求解圆锥曲线离心率的公式法，并通过实例演示求解过程。

4. 讲解求解圆锥曲线离心率的待定系数法，并通过实例演示求解过程。

5. 开展练习环节，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。

6. 总结本节课的主要内容，布置课后作业，要求学生掌握圆锥曲线的标准方程，熟练运用公式法和待定系数法求解圆锥曲线的离心率。

六、教学评价1. 评价学生对圆锥曲线概念和标准方程的理解程度。

2. 评价学生对离心率定义和性质的掌握情况。

3. 评价学生运用公式法和待定系数法求解圆锥曲线离心率的能力。

4. 评价学生在实际问题中运用离心率解决问题的能力。

七、课后作业1. 请学生完成教材后的相关练习题，巩固圆锥曲线标准方程和离心率的求解方法。

2. 请学生选取一个实际问题，运用离心率解决，并将解题过程和答案写成报告。

高中数学_圆锥曲线离心率(1)教学设计学情分析教材分析课后反思

《圆锥曲线离心率（1）》教学设计一、教学目标分析1.知识与技能：①理解圆锥曲线离心率的概念；②掌握求离心率的常用方法，能够对含有,,a b c的二次方程，变形整理出关于离心率e的方程，从而解出e的值。

2.过程与方法：通过自主探究体会数形结合的数学思想方法；培养活动培养学生观察、分析、计算和归纳能力。

3.情感态度与价值观：通过对复杂计算过程的化简求值，体验科学探索与研究的不易，培养学生吃苦耐劳，细心钻研的精神。

二、教学重难点：重点：合理利用圆锥曲线的定义以及几何性质，得到关于参数a b c的关系式，从而变换出离心率e的方程。

,,难点：从含,,a b c的方程中化简变换出关于e的方程。

三、教学方法：小组合作、讲解示范法四、教学基本流程五、教学情境设计：六、板书设计：《圆锥曲线离心率（1）》学情分析学生已经对三种圆锥曲线进行了系统的学习、复习，高考经常对圆锥曲线离心率进行考察。

由于圆锥曲线对计算、数形结合、等价转化、化简变形，所以大部分高中生感觉难度较大，究其原因，学生主要有几个方面的原因:一是心理上的难关，认为圆锥曲线的题一定是难题，心生胆怯；二是知识难关，解决圆锥曲线（离心率）的常用方法不熟练；三是计算难关，解析几何最难的是复杂的计算，学生普遍的计算能力不强。

本节课主要从这三个方面帮助学生度过难关。

《圆锥曲线离心率（1）》评测练习效果分析1.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是．学生本题做得正确率较高，主要是区间的开闭出现问题。

2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P使1221sinsinPF F aPF F c=，则该双曲线的离心率的取值范围是．学生本题出错较高，主要是式子2111e ee-<<++的求解出现问题。

圆锥曲线专题求离心率课件高二上学期数学人教A版选择性

14
32
B.
4
3
C.
2
4
D.
3
练习1．椭圆 x2 y2 4m
1
1的离心率为 2
,则m ________.
练习1．椭圆 x2 y2 4m
1
1的离心率为
2
,则m ________.
当焦点位置不确定时，要“先定位，再定量”
x2 y2 1 4
A. 2 B. 3
3
6
C.
D.
2
2
A. 2
x2 y2 1 4
MF1 MF2 0的点 M 总在椭圆内部，则离心率 e 的取值范围为（）
A．(0,1)
B．(0, 1 ] C．(0, 2 ) D．[ 2 ,1)
2
2
2
已知哪些重要
⇒
的信息？
⇒ ⇒ 上述圆内含于椭圆 ⇒
例3．椭圆 x 2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左、右焦点分别是 F1、F2，满足
例3．椭圆 x 2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左、右焦点分别是 F1、F2，满足
MF1 MF2 0的点 M 总在椭圆内部，则离心率 e 的取值范围为（ C ）
A．(0,1)
B．(0, 1 ] 2
C．(0, 2 ) D．[ 2 ,1)
2
2
练习4．双曲线x 2 a2
y2 b2
1(a
高二 —人教A版—数学选择性必修第一册—第三章
圆锥曲线专题：求离心率
学习目标
1.能理解椭圆与双曲线离心率的概念和相关性质，借助题目条件进行求值应用.
2.通过问题的层层引入，总结出求离心率的方法.
3.通过分析一般情况下求离心率的方法，形成认识事物规律要抓住一般性的科学思维.

《圆锥曲线的离心率》复习

《圆锥曲线的离心率》复习学习目标 1.掌握圆锥曲线的离心率的求法.2.会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题．一、定义法例1已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，若过F 1(－c ，0)的直线与圆x 2＋y 2相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且PF 2垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．答案33解析如图，设过F 1(－c ，0)的直线与圆x 2＋y 2相切于点Q ，则OQ ⊥PF 1，由于|OQ |＝12|OF 1|，所以∠PF 1F 2＝30°，因为PF 2垂直于x 轴，所以tan∠PF 1F 2＝|PF 2||F 1F 2|＝|PF 2|2c ，所以|PF 2|＝23c 3，则|PF 1|＝43c3，因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以23c 3＋43c3＝2a ，化简得a ＝3c ，所以离心率e ＝c a ＝13＝33.反思感悟根据椭圆或双曲线的定义，求出a ，c 或列出关于a ，c 的等式，得到关于e 的方程，进而求出e .跟踪训练1设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为__________．答案53解析不妨设P 为双曲线右支上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ，又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝＋1＝53.二、几何法例2设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，若线段PF 1的中点在y 轴上，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为()A.33B.36C.13D.16答案A解析如图，设PF 1的中点为M ，连接PF 2.因为O 为F 1F 2的中点，所以OM 为△PF 1F 2的中位线．所以OM ∥PF 2，所以∠PF 2F 1＝∠MOF 1＝90°.因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2|PF 2|，|F 1F 2|＝3|PF 2|.由椭圆定义得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3|PF 2|，即a ＝3|PF 2|2，2c ＝|F 1F 2|＝3|PF 2|，即c ＝3|PF 2|2，则e ＝c a ＝3|PF 2|2·23|PF 2|＝33.反思感悟涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得ca的值．跟踪训练2设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．答案3解析根据双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，PF 1|＋|PF 2|＝6a ，PF 1|－|PF 2|＝2a ，PF 1|＝4a ，PF 2|＝2a .又∵|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|最小．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得4a 2＋4c 2－4a 22×4a ×2c＝cos 30°，∴23ac ＝3a 2＋c 2.等式两边同除以a 2，得e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝ 3.三、寻求齐次方程求离心率例3(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为________．答案5－12解析在△ABF 中，|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c .由AB ⊥BF 得|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，即a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，整理得a 2＋b 2＝c 2＋2ac ，将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52.因为0<e <1，所以e ＝5－12.(2)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案2解析如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．反思感悟利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a ，b ，c 的关系式，结合a ，b ，c 之间的关系，化简为参数a ，c 的关系式进行求解．跟踪训练3已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为()A.2B．2C.2＋1 D.2－1答案C解析如图所示，∵两条曲线交点的连线过点F ，∴两条曲线交点为p2，±p代入双曲线方程得p 24a 2－p 2b 2＝1，又p 2＝c ，∴c 2a 2－4×c 2b2＝1，化简得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，∴e 4－6e 2＋1＝0，又e >1，∴e 2＝3＋22＝(1＋2)2，∴e ＝2＋1.四、求离心率的取值范围例4已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点到其渐近线的距离不大于255a ，则离心率e的取值范围为()A．[3，＋∞)B．[5，＋∞)C．(1，3]D．(1，5]答案D解析依题意得，点(a ，0)到渐近线bx ＋ay ＝0的距离不大于255a ，∴|ba ＋0|b 2＋a 2≤255a ，解得e ≤ 5.又e >1，∴1<e ≤ 5.反思感悟求离心率范围的常用思路(1)通过几何方法如圆锥曲线上点的坐标的范围、三角形中的不等关系等转化为求离心率的取值范围．(2)通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围．跟踪训练4已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1—→·PF 2—→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________．答案33，22解析设P (x ，y )，则PF 1—→·PF 2—→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，将y 2＝b 2－b 2a2x 2代入上式，解得x 2＝2c 2－b 2a 2c 2＝3c 2－a 2a 2c 2.又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2，∴e ＝ca∈33，22.1．知识清单：(1)圆锥曲线的离心率的求法．(2)圆锥曲线的离心率的范围问题．2．方法归纳：定义法、数形结合．3．常见误区：忽略离心率的范围导致出错．1．已知双曲线x 2－y 23＝1，则离心率等于()A．3 B.62C.52D．2答案D解析由双曲线方程可知c 2＝4，所以e ＝ca＝2.2．(多选)已知双曲线E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线E 的离心率为()A.52B.5C.533D.355答案AB解析若双曲线焦点在x 轴上，由渐近线方程为y ＝±2x ，得ba ＝2，∴e ＝c a＝＝5；若双曲线焦点在y 轴上，由渐近线方程为y ＝±2x ，得ab ＝2，∴e ＝c a＝＝52.3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是()A.12B.22C.32D.55答案C解析设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知y M ＝－b 2a 2k x M ，代入k ＝1，M (－4，1)，解得b 2a 2＝14，e ＝32.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，P 是椭圆C 上一点(不在坐标轴上)，Q 是∠F 1PF 2的角平分线与x 轴的交点，若|QF 2|＝2|OQ |，则椭圆离心率的取值范围是________．答案解析∵|QF 2|＝2|OQ |，∴|QF 2|＝23c ，|QF 1|＝43c .∵PQ 是∠F 1PF 2的角平分线，∴|QF 1||QF 2|＝|PF 1||PF 2|＝2，则|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＋|PF 2|＝3|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝2a3.由a －c <2a 3<a ＋c ，可得e ＝c a >13.又0<e 练习1．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为()A.35B.45C.54D.53答案C 解析因为双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的两焦点之间的距离为10，所以2c ＝10，c ＝5，所以a 2＝c 2－9＝16，所以a ＝4.所以离心率e ＝54.2．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为()A.52B.54C.2D．2答案A解析由椭圆的离心率为32，得a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.∴在双曲线中，e 2＝a 2＋b 2a 2＝5b 24b 2＝54.∴双曲线的离心率e ＝52.3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F 1AF 2＝34，则椭圆的离心率e 等于()A.12B.22C.14D.24答案D 解析设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c (c >0)，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1的坐标为(－c ，0)，右焦点F 2的坐标为(c ，0)，依题意，不妨设点A 的坐标为(0，b )，在△F 1AF 2中，由余弦定理得，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|·cos∠F 1AF 2，∵cos∠F 1AF 2＝34，∴4c 2＝2a 2－2a 2×34＝12a 2，∴e 2＝c 2a 2＝18，解得e ＝24.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，点A 是椭圆C 的上顶点，直线l ：y ＝2x 与椭圆C 交于M ，N 两点．若点A 到直线l 的距离是1，且|MF |＋|NF |＝6，则椭圆C 的离心率是()A.13B.53C.253D.23答案D解析由椭圆方程可得，A (0，b )，因为点A 到直线l ：y ＝2x 的距离是1，所以|b |22＋1＝1，解得b ＝5，记椭圆的右焦点为F 1，连接MF 1，NF 1，由椭圆的对称性可得，|MF 1|＝|NF |，再由椭圆的定义可得，2a ＝|MF 1|＋|MF |＝|NF |＋|MF |＝6，所以a ＝3，则c ＝9－5＝2，故离心率为e ＝c a ＝23.5.已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则5a 2＋2e23b(其中e 为椭圆C 的离心率)的最小值为()A.533B.523C.5D.253答案B解析如图，连接PF 1，OQ ，由OQ 为△F 1PF 2的中位线，可得OQ ∥PF 1，|OQ |＝12|PF 1|，由圆x 2＋y 2＝b 2，可得|OQ |＝b ，即有|PF 1|＝2b ，由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，可得|PF 2|＝2a －2b ，又OQ ⊥PF 2，可得PF 1⊥PF 2，即(2b )2＋(2a －2b )2＝(2c )2，即b 2＋a 2－2ab ＋b 2＝c 2＝a 2－b 2，整理得2a ＝3b ，即b ＝23a ，c ＝a 2－b 2＝53a ，所以e ＝c a ＝53，则5a 2＋2e 23b ＝5a 2＋1092a＝a ≥12·25a ·109a ＝523.当且仅当5a ＝109a ，即a ＝23时，取得最小值523.6．(多选)在平面直角坐标系Oxy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在点P ，使得|PF 1|＝3|PF 2|，其中F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为()A.14B.12C．35－6D.34答案BCD解析设椭圆的焦距为2c (c >0)，PF 1|＝3|PF 2|，PF 1|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 1|＝3a 2，|PF 2|＝a 2，a －c ，a ＋c ，解得e ＝c a ≥12，又0<e <1，所以12≤e <1，所以该椭圆离心率的取值范围是12，1BCD.7．已知直线y ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，若|PA 2|＝52|A 1A 2|，则双曲线C 的离心率为________．答案2或103解析若渐近线的方程为y ＝bax ，则点P因为|PA 2|＝52|A 1A 2|，所以＋a 2＝5a 2，则＝4，所以a b＝3，从而e ＝1＋b 2a 2＝103.若渐近线的方程为y ＝－bax ，则点P －a 2b ，e ＝ 2.8．已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1＋e 22的最小值为________．答案6解析设椭圆对应的参数为a 1，b 1，c ，双曲线对应的参数为a 2，b 2，c ，由于线段PF 1的垂直平分线过F 2，所以有|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c .PF 1|＋2c ＝2a 1，PF 1|－2c ＝2a 2，两式相减得到4c ＝2(a 1－a 2)，即a 1－a 2＝2c ，所以2e 1＋e 22＝2a 1c ＋c 2a 2＝4＋2a 2c ＋c 2a 2≥4＋22a 2c ·c2a 2＝6，当且仅当c ＝2a 2时，等号成立，即最小值为6.9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，若双曲线上存在一点P ，使sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1＝ac，求双曲线的离心率的取值范围．解分析知P 不是双曲线的顶点．在△PF 1F 2中，由正弦定理，得|PF 2|sin∠PF 1F 2＝|PF 1|sin∠PF 2F 1.又sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1＝ac，所以a |PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1|＝c a|PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即c a |PF 2|－|PF 2|＝2a ，得|PF 2|＝2a 2c －a.由双曲线的几何性质，知|PF 2|>c －a ，则2a 2c －a >c －a ，即c 2－2ac －a 2<0，所以e 2－2e －1<0，解得－2＋1<e <2＋1.又e >1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，2＋1)．10.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2分别为椭圆的左、右、下、上顶点，F 2为其右焦点，直线B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，求该椭圆的离心率的取值范围．解设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 2(c ，0)．由题意，得A 2(a ，0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，则B 2A 2—→＝(a ，－b )，F 2B 1—→＝(－c ，－b )．因为∠B 1PA 2为向量B 2A 2—→与F 2B 1—→的夹角，且∠B 1PA 2为钝角，所以B 2A 2—→·F 2B 1—→<0，所以b 2－ac <0.又b 2＝a 2－c 2，所以a 2－ac －c 2<0，即1－e －e 2<0，解得e <－1－52或e >－1＋52，因为e ∈(0，1)，所以－1＋52<e <1，11．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是()0，320，34 C.32，1 D.34，1答案A解析设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝4－b 24∈0，32.12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且PF 2⊥x 轴，直线PF 1与C 的另一个交点为Q ，若|PF 1|＝4|F 1Q |，则C 的离心率为()A.255B.22C.155D.217答案D解析由题意，可将点P 的坐标代入椭圆C 的方程得c 2a 2＋|PF 2|2b 2＝1，解得|PF 2|＝b 2a.如图所示，过Q 点作QE ⊥x 轴，垂足为点E ，设Q (x 0，y 0)，根据题意及图可知，Rt△PF 2F 1∽Rt△QEF 1，∵|PF 1||F 1Q |＝4，∴|F 1F 2||EF 1|＝|PF 2||QE |＝4，∴|EF 1|＝|F 1F 2|4＝2c 4＝c 2，∴x 0＝－c －c 2＝－3c2.又∵y 0＝－|QE |＝－|PF 2|4＝－b24a .∴点Q －3c 2，－将点Q 的坐标代入椭圆方程，得9c 24a 2＋b 216a 2＝1.结合b 2＝a 2－c 2，解得e ＝c a ＝217.13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α)，3－1答案A解析椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，设左焦点为F ′.∴|AF ′|＋|AF |＝2a ，根据对称关系知四边形AF ′BF 为矩形，∴|AB |＝|FF ′|＝2c .由于AF ⊥BF ，∠ABF ＝α，∴|AF |＝2c sin α，|AF ′|＝2c cos α，∴2c sin α＋2c cos α＝2a ，∴e ＝ca ＝1sin α＋cos α＝12sin由于αα＋π4∈∴2＋64<sin ∴22<12sin<3－1，，3－114．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的内接△ABC 的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点为F ，线段AB 的中点为K ，且CF →＝2FK →，则椭圆离心率的取值范围是________．答案解析由题意可设B (0，b )，F (c ，0)，线段AB 的中点为K ，且CF →＝2FK →，可得F 为△ABC 的重心，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由重心坐标公式可得，x 1＋x 2＋0＝3c ，y 1＋y 2＋b ＝0，设AC 的中点为M (x ，y )，可得x ＝x 1＋x 22＝3c 2，y ＝y 1＋y 22＝－b2，即由题意可得点M 在椭圆内，可得9c 24a 2＋14<1，由e ＝c a ，可得e 2<13，所以0<e <33.15．直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为()A.32B．4－23C.3－12D.3－1答案D解析点A ，B 关于原点对称，故以线段AB 为直径的圆的圆心为原点，又圆经过椭圆的右焦点，所以半径为半焦距c ，设A (x 0，y 0)，则结合|OA |＝r ＝c 及y ＝－3x ，得y 0＝－3x 0，x 20＋y 20＝c 2，故A，－32c －12c ，32c ，代入椭圆方程，得14c 2a 2＋34c 2b 2＝1，由b 2＝a 2－c 2化简，得c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－8e 2＋4＝0，e 2＝8±82－4×42＝4±2 3.结合0＜e ＜1，得e 2＝4－23，即e ＝3－1.16.如图，已知在梯形ABCD 中，|AB |＝2|CD |，点E 分有向线段AC →所成的比为λ，双曲线经过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点．当23≤λ≤34时，求双曲线离心率e 的取值范围．解由题意可知CD ⊥y 轴．∵双曲线经过C ，D ，且以A ，B 为焦点，由双曲线的对称性知C ，D 关于y 轴对称．依题意，记A (－c，0)，E (x 0，y 0)，其中c ＝12|AB |为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得x 0＝λ－2c 21＋λ，y 0＝λh1＋λ.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则离心率e ＝ca.∵点C ，E 在双曲线上，∴将点C 的坐标代入双曲线方程得c 24a 2－h 2b2＝1，①将点E 的坐标代入双曲线方程得＝1.②再将e ＝c a 代入①得e 24－h 2b 2＝1，∴h 2b 2＝e 24－1，③将e ＝ca 代入②，得＝1.④将③式代入④式，整理得e 24(4－4λ)＝1＋2λ，∴λ＝1－3e2＋2.由题设23≤λ≤34，得23≤1－3e2＋2≤34，解得7≤e≤10.∴双曲线离心率的取值范围是[7，10]．。

离心率的范围问题学生版(3)

微重点　离心率的范围问题圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．知识导图考点一　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围考点二　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围考点三　利用几何图形的性质求离心率的范围考点分类讲解考点一　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围规律方法　此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a ，b ，c 的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．1(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.35,1B.14,35C.12,1D.0,142(23-24高三上·云南曲靖·阶段练习)已知F 1，F 2，分别为双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，M 为双曲线左支上任意一点，若MF 22MF 1 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是()A.1,72B.2,4C.1,3D.3,53(23-24高三上·陕西安康·阶段练习)已知双曲线E ：x 2a2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 与双曲线E 的左、右两支分别交于点A ，B ，弦AB 的中点为M 且MF 1⊥MF 2.若过原点O 与点M 的直线的斜率不小于3，则双曲线E 的离心率的取值范围为()A.1,2B.2,+∞C.1,5D.5,+∞4(2023·亳州模拟)已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若C 与直线y =x 有交点，且双曲线上存在不是顶点的P ，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，则双曲线离心率的取值范围为．考点二　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围规律方法　利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解．1(2024·陕西·模拟预测)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，抛物线C 2：x 2=2py (p >0)，椭圆C 1与抛物线C 2相交于不同的两点A ,B ，且四边形ABF 1F 2的外接圆直径为5c 2，若b >c ，则椭圆C 1的离心率的取值范围是()A.55,22B.22,255C.55,255D.255,12(2024高三·全国·专题练习)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1,A 2,B 1,B 2椭圆顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是()A.5-22,0B.0,5-22C.0,5-12D.5-12,13(23-24高三下·陕西安康·阶段练习)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，抛物线C 2:x 2=2py (p >0)，且椭圆C 1与抛物线C 2相交于A ,B 两点，若F 1A ⋅F 1B =3c 2，则椭圆C 1的离心率的取值范围是()A.0,33B.0,33C.33,1D.33,1 4已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上存在点P ，使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=ac ，则该双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,1+2)B.(1,1+3)C.(1,1+2]D.(1,1+3]考点三　利用几何图形的性质求离心率的范围规律方法　利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．1(2023·无锡模拟)已知点P 在双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)上，P 到两渐近线的距离分别为d 1，d 2，若d 1d 2≤12|OP |2恒成立，则C 的离心率的最大值为()A.2B.3C.2D.52(2022高三上·河南·专题练习)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的焦距为2c ，直线y =b a x +b 2与椭圆C 交于点P ,Q ，若PQ ≤7c ，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.32,1 B.0,22C.105,1 D.0,133(23-24高三上·广东·阶段练习)过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1,a >0,b >0 的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为H ，点O 为坐标原点，若sin ∠HOF >sin ∠HFO ，又直线y =2x 与双曲线无公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.(2,5]B.(2,+∞)C.(1,5)D.(2,5)4(2023·陕西西安·模拟预测)已知两动点A ，B 在椭圆C ：x 2a2+y 2=1a >1 上，动点P 在直线3x +4y -10=0上，若∠APB 恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,23B.23,1C.0,63D.63,1强化训练一、单选题1(2023·全国·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且PF 1⊥PF 2，2≤PF 1PF 2 ≤4，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.52,344B.173,5C.1,173D.5,+∞2(23-24高二上·江苏徐州·期中)设F 1，F 2分别为椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2=60°，若椭圆的离心率e 1∈22,32 ，则双曲线C 2的离心率e 2的取值范围为()A.52,62B.62,+∞ C.324,62D.62,1423(2023·贵州黔东南·一模)设双曲线E :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，M 0,3b ，若直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，且F 为△MAB 的重心，则E 的离心率的取值范围为() A.133,3 ∪3,+∞B.2137,3 ∪3,+∞C.1,133D.1,2137 4(2023·四川攀枝花·三模)已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0,b >0 ，A 为双曲线C 的左顶点，B 为虚轴的上顶点，直线l 垂直平分线段AB ，若直线l 与C 存在公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是()A.2,3B.2,+∞C.3,+∞D.1,25(2023·湖北·模拟预测)已知双曲线x 2m-y 24-m =1，m ∈0,4 ，过点P 2,1 可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是()A.1,5B.1,52C.1,2D.1,26(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,25B.25,1C.35,1D.35,17(2023·四川·模拟预测)已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A ,B 两点，若H ,G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则HG 的取值范围为()A.22,4B.3,2C.2,433D.22,4638(23-24高二上·山东济宁·阶段练习)设椭圆x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，PF 1 =λPF 2 13≤λ≤3 ，∠F 1PF 2=π2，则椭圆离心率的取值范围为()A.22,53B.12,59C.22,104D.12,58二、多选题9(2024·河北邯郸·三模)已知双曲线C :x 2λ+6-y 23-λ=1，则()A.λ的取值范围是(-6,3)B.C 的焦点可在x 轴上也可在y 轴上C.C 的焦距为6D.C 的离心率e 的取值范围为(1,3)10(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末)已知椭圆C :x 24+y 2b2=1(0<b <2)的左右焦点分别为F 1,F 2，点P 2,1 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A.离心率的取值范围为0,22B.QF 1 ⋅QF 2 的最小值为4C.不存在点Q ，使得QF 1⋅QF2=0D.当e =33时，以点P 为中点的椭圆的弦的斜率为111(2023·广东汕头·三模)已知F 1，F 2分别为椭圆C :x 24+y 23=1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点(不在x 轴上)，△PF 1F 2外接圆的圆心为H ，半径为R ，△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，半径为r ，直线PI 交x 轴于点M ，O 为坐标原点，则()A.S △PF 1F 2最大时，r =33B.PH ⋅PO的最小值为2C.椭圆C 的离心率等于PI IMD.R ⋅r 的取值范围为12,23三、填空题12(22-23高三上·福建泉州·期中)抛物线C 1:y 2=4x 的焦点F ，点P 3,2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为.13(2023·广东·一模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，倾斜角为π3的直线PF 2与双曲线C 在第一象限交于点P ，若∠PF 1F 2≥∠F 2PF 1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.14(23-24高三上·湖南娄底·期末)已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，直线l 1和l 2相互平行，直线l 1与双曲线C 交于A ,B 两点，直线l 2与双曲线C 交于D ,E 两点，直线AE 和BD 交于点P (异于坐标原点).若直线l 1的斜率为3，直线OP (O 是坐标原点)的斜率k ≥1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.四、解答题15(21-22高三上·新疆昌吉·阶段练习)已知双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上(点P 不在x 轴上)，且PF 1 =5PF 2 .(1)用a 表示PF 1 ,PF 2 ；(2)若∠F 1PF 2是钝角，求双曲线离心率e 的取值范围.16(2023·上海奉贤·三模)已知双曲线T ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．17(23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习)设双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，a 2+b 2=1，O 为坐标原点，过F 的直线l 与C 的右支相交于A ，B 两点.(1)若b <22，求C 的离心率e 的取值范围；(2)若∠AOB 恒为锐角，求C 的实轴长的取值范围.18(2023·上海徐汇·一模)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为e．(1)若e=2，且双曲线E经过点(2,1)，求双曲线E的方程；(2)若a=2，双曲线E的左、右焦点分别为F1、F2，焦点到双曲线E的渐近线的距离为3，点M在第一象限且在双曲线E上，若MF1=8，求cos∠F1MF2的值；(3)设圆O:x2+y2=4，k,m∈R．若动直线l:y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线E交于A,B时，总有∠AOB=π2，求双曲线E离心率e的取值范围．19(22-23高三下·上海浦东新·阶段练习)已知坐标平面xOy上左、右焦点为-4,0，4,0的双曲线C1:x2m2-y2n2=1m,n>0和圆C2:x2+y-a2=9a∈R．(1)若C1的实轴恰为C2的一条直径，求C1的方程；(2)若C1的一条渐近线为y=3x，且C1与C2恰有两个公共点，求a的值；(3)设a=5，若存在C2上的点P x0,y0，使得直线l P:x0xm2-y0yn2=1与C1恰有一个公共点，求C1的离心率的取值范围．。

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