2015-2016学年高中数学 2.3.4平面与平面垂直的性质双基限时练 新人教A版必修2

【名师一号】（学习方略）2015-2016学年高中数学 2.3.4平面与平面垂直的性质双基限时练新人教A版必修2 1．给出下列四个命题，其中真命题的个数是( )

①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.

A．4 B．3

C．2 D．1

解析①为直线和平面平行的性质定理，所以正确；②为直线与平面垂直的判定定理，所以正确；③不正确．平行于同一平面的两条直线相交、平行、异面都有可能；④为两个平面垂直的判定定理，所以正确．

答案B

2．用α表示一个平面，l表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与l( ) A．平行B．相交

C．异面D．垂直

解析排除法．当l与α相交时，A不成立，当l∥α时，B不成立，当l⊂α时，C 不成立．因此排除A、B、C，故D正确．

答案D

3．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，γ.给出下列三个命题：

①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，a∥β，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.

其中正确的个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．3

解析易知①、②、③都是假命题，因此选A.

答案A

4．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )

A．直线a必垂直于平面β

B．直线b必垂直于平面α

C．直线a不一定垂直于平面β

D．过a的平面与过b的平面垂直

答案C

5．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABC

D．平面PAE⊥平面ABC

解析如图所示：(1)∵DF∥BC，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF.故A成立；

(2)∵BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE，又DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B成立；

(3)由(2)知平面PAE⊥平面ABC，故D成立．

综上知，不成立的应是C.

答案C

6．如图，平面ABC⊥平面BCD，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.

解析取BC的中点E，连接AE，DE，∵AB＝AC＝a，

∴AE⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD ， 平面ABC∩平面BCD ＝BC. ∴AE⊥平面BCD.

∵DE ⊂平面BCD ，∴AE⊥DE. 计算得BC ＝2a. AE ＝

22a ，DE ＝12BC ＝22

a. ∴AD＝AE 2

＋DE 2

＝a. 答案 a

7．已知平面α，β和直线m ，给出条件：

①m ∥α；②m⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β. 则当满足条件________时，有m⊥β； 当满足条件________时，有m ∥β. 答案 ②⑤ ③⑤

8．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1与平面BB 1D 1D 的位置关系是__________．

解析 由底面ABCD 是正方形，知AC⊥BD，又AC⊥BB 1，∴AC⊥平面BB 1D 1D ，又AC 在平面ACD 1内，∴平面ACD 1⊥平面BB 1D 1D.

答案 垂直

9．如图，已知点M是菱形ABCD所在平面外的一点，且MA＝MC，求证：AC⊥平面BDM.

证明设BD∩AC＝O，连接MO，

10．已知：如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，求CD长．

解连接BC.

∵AC⊥AB，∴AC⊥β，AC⊥BD.

∵BD⊥AB，∴BD⊥α，BD⊥BC.

∴△CBD是直角三角形．

在Rt△BAC中，BC＝AC2＋AB2＝32＋42＝5，

在Rt△CBD中，CD＝BC2＋BD2＝52＋122＝13.

∴CD长为13.

11．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，求证：AB⊥BC.

证明如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于点D，则由平面A1BC⊥侧A1ABB1，且平面A1BC∩侧A1ABB1＝A1B，得AD⊥平面A1BC.

又∵BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC.

∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，

∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC.

又AA1∩AD＝A，∴BC⊥侧面A1ABB1.

又AB⊂侧面A1ABB1，∴AB⊥BC.

12．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.

(1)求证：AF∥平面BDE；

(2)求证：CF⊥平面BDE.

证明(1)设AC与BD交于点O，

∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝1

2

AC＝1，

∴四边形AOEF为平行四边形．

∴AF∥OE.

∵OE⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，

∴AF∥平面BDE.

(2)连接FO，∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，∴四边形CEFO为菱形，∴CF⊥EO.

∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.

又∵平面ACEF⊥平面ABCD，

且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，

∴BD⊥平面ACEF.

∴CF⊥BD，

又BD∩EO＝O，

∴CF⊥平面BDE.