2015-2016学年高中数学 1.2.2第1课时 组合课后训练 新人教A版选修2-3
高中人教A数学选修2-3学案:1.2.2 第1课时 组合(一) 含答案
1.2.2 组 合 第1课时 组 合(一)自主预习·探新知情景引入某国际会议中心有A 、B 、C 、D 和E 共5种不同功能的会议室,且每种功能的会议室又有大、中、小和特小4种型号,总共20个会议室.现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会议室,并且每种功能的会议室选2个型号.试问:会议中心的工作人员安排会议的方法有多少种?新知导学1.组合、组合数的概念 (1)组合的概念.一般地,从n 个不同元素中,任意取出m (m ≤n )个元素并成__一组__,叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的一个组合.(2)组合数的概念.从n 个不同元素中,任意取出m (m ≤n )个元素的__所有组合__的个数,叫做从n 个不同元素中,任意取出m 个元素的组合数,用符号C m n 表示.2.组合数公式及其性质(1)公式:C m n =__n (n -1)(n -2)…(n -m +1)m !__=__n !m !(n -m )!__. (2)性质:C m n =__C n -m n __,C m n +1=C m n +C m -1n. (3)规定:C 0n =__1__.预习自测1.下面几个问题是组合问题的有( C )①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法?②从甲、乙、丙3名同学中选出2名,有多少种不同的选法? ③有4张电影票,要在7人中确定4人去观看,有多少种不同的选法?④某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,不同的结果有多少种? A .①② B .①③④ C .②③④D .①②③④[解析] ①与顺序有关,是排列问题,而②③④均与顺序无关,是组合问题,故选C . 2.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛,有________种不同选法.( C ) A .504 B .729 C .84D .27[解析] 只需从9名学生中选出3名即可,从而有C 39=9×8×73×2×1=84种选法.3.从1,2,3,…,9这9个数中任取5个不同的数,则这5个数的中位数是5的概率等于( C )A .57B .59C .27D .49[解析] ∵5个数的中位数是5,∴5之前4个数中取2个,5之后4个数中取2个,故所求概率为P =C 24C 24C 59=27.4.方程C x 14=C 2x -414的解为( C )A .4B .14C .4或6D .14或2[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x =2x -4,2x -4≤14,x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧x =14-(2x -4),2x -4≤14,x ≤14,解得x =4或6.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶组合概念的理解与应用典例1判断下列问题是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数.(1)10个人相互写一封信,一共写了多少封信?(2)10个人相互通一次电话,一共通了多少次电话?(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),这次比赛需要进行多少场次?(4)从10个人中选3人去开会,有多少种选法?(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表,有多少种选法?[思路分析]观察取出的元素与顺序有关还是无关,从而确定是排列问题,还是组合问题.[解析](1)是排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区别的,排列数为A210=90.(2)是组合问题,因为甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,没有顺序区别,组合数为C210=45.(3)是组合问题,因为每两个队比赛一次,没有顺序的区别,组合数为C210=45.(4)是组合问题,因为去开会的3个人之间没有顺序的区别,组合数为C310=120.(5)是排列问题,因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的,排列数为A310=720.『规律总结』 1.组合的特点是只选不排,即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可.2.只要两个组合的元素完全相同,不管顺序如何,这两个组合就是相同的组合.3.判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关,与顺序有关的是排列问题,与顺序无关的是组合问题.┃┃跟踪练习1__■下列四个问题中,属于组合问题的是(C)A.从3个不同小球中,取出2个排成一列B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C.在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D.将3张不同的电影票分给10人中的3人,每人1张[解析]只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星与顺序无关,是组合问题.命题方向❷组合数公式典例2(1)计算:①3C38-2C25+C88;②C98100+C199200.(2)证明:m C m n=n C m-1.n-1[思路分析](1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开计算.(2)式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.[解析] (1)①3C 38-2C 25+C 88=3×8×7×63×2×1-2×5×42×1+1=149. ②C 98100+C 199200=C 2100+C 1200=100×992×1+200=5 150. (2)证明:∵左边=m ·n !m !(n -m )!=n ·(n -1)!(m -1)!(n -m )!=n ·(n -1)!(m -1)!(n -m )!=n C m -1n -1=右边,∴m C m n =n C m -1n -1.『规律总结』 1.公式C mn =A m n A m m =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)m !,一般用于求值计算.2.公式C mn =n !m !(n -m )!(m ,n ∈N *,且m ≤n ),一般用于化简证明.在具体选择公式时,要根据题目特点正确选择.3.根据题目特点合理选用组合数的两个性质C m n =C n -m n ,C m n +1=C m n +C m -1n,能起到简化运算的作用,需熟练掌握.┃┃跟踪练习2__■(1)计算:C 410-C 37·A 33; (2)求C 38-n 3n +C 3n 21+n 的值. [解析] (1)原式=C 410-A 37=10×9×8×74×3×2×1-7×6×5=210-210=0.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧38-n ≤3n 3n ≤21+n,∴9.5≤n ≤10.5,∵n ∈N *,∴n =10,∴C 38-n 3n +C 3n 21+n =C 2830+C 3031=C 230+C 131=30×292×1+31=466. 命题方向❸组合数性质的应用典例3 (1)计算C 34+C 35+C 36+…+C 32 019的值为( C )A .C 42 020B .C 52 020 C .C 42 020-1D .C 52 020-1(2)解方程:3C x -7x -3=5A 2x -4.[思路分析] 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式.[解析] (1)C 34+C 35+C 36+…+C 32 019=C 44+C 34+C 35+…+C 32 019-C 44 =C 45+C 35+…+C 32 019-1=… =C 42 019+C 32 019-1=C 42 020-1.选C .(2)由排列数和组合数公式,原方程可化为 3·(x -3)!(x -7)!4!=5·(x -4)!(x -6)!, 则3(x -3)4!=5x -6,即为(x -3)(x -6)=40. ∴x 2-9x -22=0, 解之可得x =11或x =-2.经检验知x =11是原方程的根,x =-2是原方程的增根. ∴方程的根为x =11.『规律总结』 1.性质“C m n =C n -mn”的意义及作用.意义—反映的是组合数的对称性,即从n 个不同的元素中取m 个元素的一个组合与取剩下的(n -m )个元素的组合相对应作用—当m >n 2时,计算C m n 通常转化为计算C n -mn2.与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式,以及组合数的性质,求解时,要注意由C m n 中的m ∈N +,n ∈N +,且n ≥m 确定m ,n 的范围,因此求解后要验证所得结果是否适合题意.┃┃跟踪练习3__■计算:(1)C 58+C 98100·C 77; (2)C 05+C 15+C 25+C 35+C 45+C 55. [解析] (1)原式=C 38+C 2100×1=8×7×63×2×1+100×992×1=56+4 950=5 006.(2)原式=2(C 05+C 15+C 25)=2(C 16+C 25)=2(6+5×42×1)=32.学科核心素养含组合数的化简、证明或解方程、不等式的问题(1)对于含组合数的化简、证明或解方程、不等式等问题多利用: ①组合数公式,即:C m n =n !m !(n -m )!=n (n -1)…(n -m +1)m !; ②组合数的性质,即C m n =C n -mn和C m n +1=C m n +C m -1n; ③排列数与组合数的关系,即A m n =C m n A mm .(2)当含有字母的组合数的式子要进行变形论证时,利用阶乘公式往往较为方便.典例4 (1)解不等式:C m -18>3C m 8;(2)求证:①C mn =n n -mC m n -1,②C k n ·C m -k n -k =C m n C km . [解析] (1)原式可化为8!(m -1)!(9-m )!>3×8!m !(8-m )!,即19-m >3m ,∴m >27-3m .又∵0≤m -1≤8,且0≤m ≤8,m ∈N *, ∴m =7或8.∴不等式的解集为{7,8}. (2)①n n -m C m n -1=nn -m ·(n -1)!m !(n -1-m )!=n !m !(n -m )!=C m n . ②∵C k n ·C m -kn -k =n !k !(n -k )!·(n -k )!(m -k )!(n -m )! =n !k !(m -k )!(n -m )!,C m n ·C k m =n !m !(n -m )!·m !k !(m -k )! =n !k !(n -m )!(m -k )!,∴C k n ·C m -k n -k =C mn ·C k m .『规律总结』 1.根据有关公式把已知中给出的不等式转化为代数不等式且把握好未知数的取值范围.2.充分利用组合数公式及其性质解题,并注意有关限制条件.易混易错警示忽视组合数中参数的限制条件致误典例5 已知:1C m 5-1C m 6=710C m 7,求m .[错解] 由组合数公式得,m !(5-m )!5!-m !(6-m )!6!=7×m !(7-m )!10×7!,化简得m 2-23m +42=0,∴m =21或2.[辨析] 运用组合数公式时,必须注意其中对字母取值范围的限制. [正解] 依题意,m 的取值范围是{m |0≤m ≤5,m ∈N *}.原等式化为m !(5-m )!5!-m !(6-m )!6!=7×m !(7-m )!10×7!,化简得m 2-23m +42=0,解得m =21或m =2.因为0≤m ≤5,m ∈N *,所以m =21应舍去,所以m =2.[误区警示] 应用组合数公式C m n 时要注意m 、n ∈N *,m ≤n ;由C m n =C p n 列关系式时应有m =p 或m +p =n ;逆用公式C m n +1=C m n +C m -1n可以将较复杂的下标连续变化的组合数和式化简,要注意用准公式.课堂达标·固基础1.下列问题不是组合问题的是( D )A .10个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次?B .平面上有2015个不同的点,它们中任意三点不共线,连接任意两点可以构成多少条线段?C .集合{a 1,a 2,a 3,…,a n }的含有三个元素的子集有多少个?D .从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目,有多少种选法?[解析] 组合问题与次序无关,排列问题与次序有关,D 选项中,选出的2名学生,如甲、乙,其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法,因此是排列问题,不是组合问题,选D .2.已知C 7n +1-C 7n =C 8n(n ∈N *),则n 等于( A ) A .14 B .12 C .13D .15[解析] 因为C 8n +C 7n =C 8n +1,所以C 7n +1=C 8n +1.∴7+8=n +1,∴n =14,故选A .3.把三张游园票分给10个人中的3人,分法有( B ) A .A 310种B .C 310种 C .C 310A 310种D .30种[解析] 三张票没区别,从10人中选3人即可,即C 310,故选B .4.若C 4n >C 6n ,则n 的集合是__{6,7,8,9}__. [解析] ∵C 4n >C 6n ,∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ,n ≥6,⇒⎩⎪⎨⎪⎧n !4!(n -4)!>n !6!(n -6)!,n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n 2-9n -10<0,n ≥6,⇒⎩⎪⎨⎪⎧-1<n <10,n ≥6.∵n ∈N *,∴n =6,7,8,9.∴n 的集合为{6,7,8,9}.5.在6名内科医生和4名外科医生中,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生.[解析](1)先选内科医生有C36种选法,再选外科医生有C24种选法,故有C36C24=120种选派方法.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,有C16C44+C26C34+C36C24+C46C14=246种选派方法.若从反面考虑,则有C510-C56=246种选派方法.。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合课后训练 新人教A版选修23
1.2.2 组合课后训练一、选择题1.6799C C 的值为( )A .36B .45C .120D .7202.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A .12种B .24种C .30种D .36种3.从5名男同学、4名女同学中选出3名同学组队参加课外活动,要求男、女同学都有,则不同的方案个数有( )个.A .140B .100C .80D .704.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有( )A .12种B .18种C .36种D .54种5.(2012山东高考,理11)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为( )A .232B .252C .472D .4846.(2013山东济宁模拟)某科技小组有六名学生,现从中选出三人去参观展览,若至少有一名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为( )A .2B .3C .4D .5二、填空题7.某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议,甲需2人参加,乙、丙各需1人参加,从10人中选派4人参加这三个会议,不同的安排方法有__________种.8.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有__________.三、解答题9.有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.(1)共有多少种放法?(2)恰有一个盒子不放球,有多少种放法?(3)恰有一个盒子放2个球,有多少种放法?(4)恰有两个盒子不放球,有多少种放法?10.六本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法?(1)一堆一本,一堆两本,一堆三本;(2)甲得一本,乙得两本,丙得三本;(3)一人得一本,一人得两本,一人得三本;(4)平均分成三堆;(5)平均分给甲、乙、丙三人.参考答案1答案:C 解析:67739910101098C +C C C 120321⨯⨯====⨯⨯. 2答案:B 解析:先从4人中选2人选修甲课程,有24C 种方法,剩余2人再选修剩下的2门课程,有22种方法,∴共有24C ×22=24种方法. 3答案:D 解析:(排除法)333954C C C 70--=,故选D .4答案:B 解析:将标号为1,2的卡片放入一个信封,有13C =3种,将剩下的4张卡片放入剩下的2个信封中,有24C =6种,共有1234C C ⋅=3×6=18种.5答案:C 解析:完成这件事可分为两类,第一类3张卡片颜色各不相同共有31114444C C C C 256=种;第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有12113434C C C C 216=种,由分类加法计数原理得共有472种,故选C .6答案:A 解析:设男生人数为x ,则女生有(6-x )人.依题意可得336C C x -=16,即x (x -1)(x -2)+16×6=6×5×4,于是x (x -1)(x -2)=2×3×4,即x =4.故该小组中女生有2人.7答案:2 520 解析:从10人中选派4人有410C 种方法,对选出的4人具体安排会议有2142C C 种方法,由分步乘法计数原理知,不同的选派方法有4211042C C C 2 520=种. 8答案:10 解析:依题意,就所剩余的1本进行分类:第1类,剩余的是1本画册,此时满足题意的赠送方法有4种;第2类,剩余的是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有24C =6种.因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10种.9答案:解:一个球一个球地放到盒子里去,每个球都可有4种独立的放法,由分步乘法计数原理知,放法共有44=256种.答案:为保证“恰有一个盒子不放球”,先从4个盒子中任意拿出去1个,即将4个球分成2,1,1三组,有24C 种分法;然后再从3个盒子中选一个放2个球,其余2个球两个盒子全排列即可.由分步乘法计数原理知,共有放法12124432C C C A 144⋅⋅⋅=种. 答案:“恰有一个盒子放2个球”,即另外的3个盒子放2个球,而且每个盒子至多放1个球,即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此“恰有一个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事,故也有144种放法.答案:先从4个盒子中任意拿走两个有24C 种拿法,问题转化为“4个球,两个盒子,每个盒子必放球,有多少种放法?”从放球数目看,可分为(3,1),(2,2)两类.第一类:可从4个球中先选3个,然后放入指定的一个盒子中,有3142C C ⋅种放法;第二类:有24C 种放法.因此共有312424C C C 14⋅+=种放法.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有24C ·14=84种.10答案:解:先在六本书中任取一本,作为一堆,有16C 种取法;再从余下的五本书中任取两本,作为一堆,有25C 种取法;再从余下三本中取三本作为一堆,有33C 种取法,故共有分法123653C C C 60⋅⋅=种. 答案:由(1)知,分成三堆的方法有123653C C C ⋅⋅种,而每种分组方法仅对应一种分配方法,故甲得一本,乙得两本,丙得三本的分法亦为123653C C C 60⋅⋅=种.答案:由(1)知,分成三堆的方法有123653C C C ⋅⋅种,但每一种分组方法又有33A 种不同的分配方案,故一人得一本,一人得两本,一人得三本的分法有12336533C C C A 360⋅⋅⋅=种. 答案:把六本不同的书分成三堆,每堆两本,与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本的区别在于,后者相当于把六本不同的书平均分成三堆后,再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人,因此,设把六本不同的书平均分成三堆的方法有x 种,那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人两本的分法就有x ·33A 种.而六本书分给甲、乙、丙三人每人两本的分法可以理解为:三个人一个一个地来取书,甲从六本不同的书中任取出两本的方法有26C 种,甲不论用哪一种方法取得两本书后,乙再从余下的四本书中取书有24C 种方法,而甲、乙不论用哪一种方法各取两本书后,丙从余下的两本中取两本书,有22C 种方法,所以一共有222642C C C 90⋅⋅=种方法,所以32223642A C C C 90x =⋅⋅=,x =15,即平均分成三堆有15种分法.答案:由(4)知平均分给甲、乙、丙三人有90种分法.。
高中数学 1.2.2 组合1课件 新人教A版必修1
Anm
Cnm Am m
C
m n
Anm Amm
形成结论
公式
C n m
A n m A m m
n (n1 )(n2 ) (nm1 ) m !
( m,n∈N*,m≤n) 叫做组合数公式,
这个公式如何用阶乘形式表示?
Cnm
n! m!(n m)!
典例讲评
例1 一位教练的足球队共有17名初级学 员,他们中以前没有一人参加过比赛,按 照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上 场队员是11人,问: (1)这位教练从这17名学员中可以形成多
m
时n ,计算
2
C比nn计m算 较方C 便nm .
课堂小结
2.利用组合数性质
Cn m1 Cn m,可C 以n m对1组合数进行合成
与分解,对于组合数的求和问题,要结 合数列的思想方法求解.
作业: P25练习:6. P27习题1.2A组:9,10,11,12.
C
2 10
45
A120 90
典例讲评
例3 在100件产品中有98件合格品, 2 件次品,从这100件产品中任意抽取3件. (1)有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰有1件是次品的抽法 有多少种? (3)抽出的3件至少有1件是次品的抽法 有多少种?
(1)C1300 161700(2)C2 1 C9 28 9506
C 2 2 0
(2 ) C n 32
2 C n 22
C n 1 2 . C
3 n
典例讲评
例5 证明:
C n 1 2 C n 2 3 C n 3 C n 0 C n 1 C n 2
n C n n C n n1Leabharlann C n 21课堂小结
高中数学 1.2.2第1课时 组合(一)课件 新人教A版选修2-3
人教A版 ·选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
计数原理 第一章
1.2 排列与组合 1.2.2 组合
第1课时 组 合案 3 课时作业
自主预习学案
1.正确理解组合的意义,掌握写出所有组合的方法,加 深对分类讨论方法的理解,发展学生的抽象能力和逻辑思维能 力.
A.57
C.27 [答案] C
B.59 D.49
[解析] ∵5 个数的中位数是 5, ∴5 之前 4 个数中取 2 个,5 之后 4 个数中取 2 个,故所求 概率为 P=CC24C59 24=27.
典例探究学案
组合的概念
判断下列问题是组合问题还是 排列问题:
(1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的子集中含有3个 元素的有多少个?
6.从含有元素 a 的 n+1 个不同元素中取出 m 个元素的组 合数 Cnm+1,可以分成两类:一类不含元素 a,从剩余的 n 个元 素中选 m 个的组合数为 Cmn ;另一类含有元素 a,只要从其余的 n 个元素中选 m-1 个,其组合数为 Cmn -1,由分类计数原理可 以得出 Cnm+1与 Cmn 和 Cmn -1的关系式,此式也可以用阶乘证明, 你会吗?
2.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛,有
( )种不同选法.( )
A.504
B.729
C.84
D.27
[答案] C
[解析] 只需从 9 名学生中选出 3 名即可,从而有 C39= 93× ×82× ×71=84 种选法.
3.(2015·贵州二模)从 1,2,3,…,9 这 9 个数中任取 5 个不 同的数,则这 5 个数的中位数是 5 的概率等于( )
2.能利用计数原理和排列数公式推导组合数公式,并熟 练掌握.
新教材人教A版高中数学必修第一册全册课时练习(一课一练,附解析)
新教材人教A版高中数学必修第一册全册课时练习1.1.1集合的概念 (2)1.1.2集合的表示 (3)1.2集合间的基本关系 (5)1.3.1并集与交集 (7)1.3.2补集及集合运算的综合应用 (8)1.4.1充分条件与必要条件 (11)1.4.2充要条件 (12)1.5.1全称量词与存在量词 (13)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (14)2.1等式性质与不等式性质 (16)2.2.1基本不等式 (17)2.2.2利用基本不等式求最值 (18)2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式 (19)2.3.2一元二次不等式的应用 (20)3.1.1.1函数的概念 (21)3.1.1.2函数概念的应用 (22)3.1.2.1函数的表示法 (24)3.1.2.2分段函数 (25)3.2.1.1函数的单调性 (26)3.2.2.1函数奇偶性的概念 (30)3.2.2.2函数奇偶性的应用 (32)3.3幂函数 (36)3.4函数的应用(一) (37)4.1.1根式 (40)4.1.2指数幂及其运算 (41)4.2.1指数函数及其图象性质 (43)4.2.2指数函数的性质及其应用 (44)4.3.1对数的概念 (47)4.3.2 对数的运算 (48)4.4.1对数函数及其图象 (49)4.2.2对数函数的性质及其应用 (51)4.4.3不同函数增长的差异 (53)4.5.1函数的零点与方程的解 (54)4.5.2用二分法求方程的近似解 (57)4.5.3函数模型的应用 (58)5.1.1任意角 (60)5.1.2弧度制 (61)5.2.1三角函数的概念 (62)5.2.2同角三角函数的基本关系 (64)5.3.1诱导公式二、三、四 (66)5.3.2诱导公式五、六 (67)5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (69)5.4.2.1正弦函数、余弦函数的性质(一) ...................................................................... 71 5.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质(二) ...................................................................... 73 5.4.3正切函数的性质与图象 ........................................................................................ 75 5.5.1.1两角差的余弦公式 ............................................................................................. 76 5.5.1.2两角和与差的正弦、余弦公式 ......................................................................... 78 5.5.1.3两角和与差的正切公式 ..................................................................................... 80 5.5.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式 ..................................................................... 81 5.5.2.1简单的三角恒等变换 ......................................................................................... 83 5.5.2.2三角恒等变换的应用 ......................................................................................... 84 5.6.1函数y =A sin(ωx +φ)的图象(一) .......................................................................... 86 5.6.2函数y =A sin(ωx +φ)的图象(二) .......................................................................... 88 5.7三角函数的应用 . (90)1.1.1集合的概念1.已知a ∈R ,且a ∉Q ,则a 可以为( ) A . 2 B .12 C .-2 D .-13[解析]2是无理数,所以2∉Q ,2∈R .[答案] A2.若由a 2,2019a 组成的集合M 中有两个元素,则a 的取值可以是( ) A .a =0 B .a =2019 C .a =1D .a =0或a =2019[解析] 若集合M 中有两个元素,则a 2≠2019a .即a ≠0,且a ≠2019.故选C . [答案] C3.下列各组对象能构成集合的有( )①接近于0的实数;②小于0的实数;③(2019,1)与(1,2019);④1,2,3,1. A .1组 B .2组 C .3组D .4组[解析] ①中“接近于0”不是一个明确的标准,不满足集合中元素的确定性,所以不能构成集合;②中“小于0”是一个明确的标准,能构成集合;③中(2019,1)与(1,2019)是两个不同的对象,是确定的,能构成集合,注意该集合有两个元素;④中的对象是确定的,可以构成集合,根据集合中元素的互异性,可知构成的集合为{1,2,3}.[答案] C4.若方程ax2+ax+1=0的解构成的集合中只有一个元素,则a为( )A.4 B.2C.0 D.0或4[解析] 当a=0时,方程变为1=0不成立,故a=0不成立;当a≠0时,Δ=a2-4a =0,a=4,故选A.[答案] A5.下列说法正确的是________.①及第书业的全体员工形成一个集合;②2019年高考试卷中的难题形成一个集合;③方程x2-1=0与方程x+1=0所有解组成的集合中共有3个元素;④x,3x3,x2,|x|形成的集合中最多有2个元素.[解析] ①及第书业的全体员工是一个确定的集体,能形成一个集合,正确;②难题没有明确的标准,不能形成集合,错误;③方程x2-1=0的解为x=±1,方程x+1=0的解为x=-1,由集合中元素的互异性知,两方程所有解组成的集合中共有2个元素1,-1,故错误;④x=3x3,x2=|x|,故正确.[答案] ①④1.1.2集合的表示1.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为( )A.{1,1} B.{1}C.{x=1} D.{x2-2x+1=0}[解析] ∵x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,∴x=1,选B.[答案] B2.已知集合A={x∈N*|-5≤x≤5},则必有( )A.-1∈A B.0∈AC.3∈A D.1∈A[解析] ∵x∈N*,-5≤x≤5,∴x=1,2,即A={1,2},∴1∈A,选D. [答案] D3.一次函数y =x -3与y =-2x 的图象的交点组成的集合是( ) A .{1,-2} B .{x =1,y =-2} C .{(-2,1)}D .{(1,-2)}[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y =x -3,y =-2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =-2,∴交点为(1,-2),故选D.[答案] D4.若A ={-2,2,3,4},B ={x |x =t 2,t ∈A },用列举法表示集合B 为________. [解析] 当t =-2时,x =4; 当t =2时,x =4; 当t =3时,x =9; 当t =4时,x =16; ∴B ={4,9,16}. [答案] {4,9,16}5.选择适当的方法表示下列集合: (1)绝对值不大于2的整数组成的集合;(2)方程(3x -5)(x +2)=0的实数解组成的集合; (3)一次函数y =x +6图象上所有点组成的集合.[解] (1)绝对值不大于2的整数是-2,-1,0,1,2,共有5个元素,则用列举法表示为{-2,-1,0,1,2}.(2)方程(3x -5)(x +2)=0的实数解仅有两个,分别是53,-2,用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53,-2. (3)一次函数y =x +6图象上有无数个点,用描述法表示为{(x ,y )|y =x +6}.课内拓展 课外探究 集合的表示方法1.有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.当集合中元素的个数有限时,称之为有限集;而当集合中元素的个数无限时,则称之为无限集.当集合为有限集,且元素个数较少时宜采用列举法表示集合;对元素个数较多的集合和无限集,一般采用描述法表示集合.对于元素个数较多的集合或无限集,其元素呈现一定的规律,在不产生误解的情况下,也可以列举出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.【典例1】 用列举法表示下列集合: (1)正整数集;(2)被3整除的数组成的集合.[解] (1)此集合为无限集,且有一定规律,用列举法表示为{1,2,3,4,…}.(2)此集合为无限集,且有一定规律,用列举法表示为{…,-6,-3,0,3,6,…}.[点评] (1){1,2,3,4,…}一般不写成{2,1,4,3,…};(2)此题中的省略号不能漏掉.2.集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的.对于已知集合必须弄清集合元素的形式,特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么,代表元素有何属性(如表示数集、点集等).【典例2】已知下面三个集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1}.问:它们是否为同一个集合?它们各自的含义是什么?[解] ∵三个集合的代表元素互不相同,∴它们是互不相同的集合.集合①{x|y=x2+1}的代表元素是x,即满足条件y=x2+1中的所有x,∴{x|y=x2+1}=R.集合②{y|y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,∴{y|y =x2+1}={y|y≥1}.集合③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),可认为是满足条件y=x2+1的实数对(x,y)的集合,也可认为是坐标平面内的点(x,y),且这些点的坐标满足y=x2+1.∴{(x,y)|y=x2+1}={P|P是抛物线y=x2+1上的点}.[点评] 使用特征性质描述来表示集合时,首先要明确集合中的元素是什么,如本题中元素的属性都与y=x2+1有关,但由于代表元素不同,因而表示的集合也不一样.1.2集合间的基本关系1.下列四个关系式:①{a,b}⊆{b,a};②∅={∅};③∅{0};④0∈{0}.其中正确的个数是( )A.4 B.3C.2 D.1[解析] 对于①,任何集合是其本身的子集,正确;对于②,相对于集合{∅}来说,∅∈{∅},也可以理解为∅⊆{∅},错误;对于③,空集是非空集合的真子集,故∅{0}正确;对于④,0是集合{0}的元素,故0∈{0}正确.[答案] B2.集合A={x|-1≤x<2,x∈N}的真子集的个数为( )A .4B .7C .8D .16[解析] A ={-1,0,1},其真子集为∅,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},共有22-1=4(个).[答案] A3.已知集合A ={3,-1},集合B ={|x -1|,-1},且A =B ,则实数x 等于( ) A .4 B .-2 C .4或-2D .2[解析] ∵A =B ,∴|x -1|=3,解得x =4或x =-2. [答案] C4.已知集合A ⊆{0,1,2},且集合A 中至少含有一个偶数,则这样的集合A 的个数为________.[解析] 集合{0,1,2}的子集为:∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},其中含有偶数的集合有6个.[答案] 65.设集合A ={x |-1≤x ≤6},B ={x |m -1≤x ≤2m +1},已知B ⊆A . (1)求实数m 的取值范围;(2)当x ∈N 时,求集合A 的子集的个数.[解] (1)当m -1>2m +1,即m <-2时,B =∅,符合题意. 当m -1≤2m +1,即m ≥-2时,B ≠∅. 由B ⊆A ,借助数轴(如图),得⎩⎪⎨⎪⎧m -1≥-1,2m +1≤6,解得0≤m ≤52.综上所述,实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <-2或0≤m ≤52. (2)当x ∈N 时,A ={0,1,2,3,4,5,6}, ∴集合A 的子集的个数为27=128.1.3.1并集与交集1.设集合A ={-1,1,2,3,5},B ={2,3,4},C ={x ∈R |1≤x <3},则(A ∩C )∪B =( ) A .{2} B .{2,3} C .{-1,2,3}D .{1,2,3,4}[解析] 因为A ∩C ={1,2},所以(A ∩C )∪B ={1,2,3,4},选D. [答案] D2.集合P ={x ∈Z |0≤x <3},M ={x ∈R |x 2≤9},则P ∩M 等于( ) A .{1,2} B .{0,1,2} C .{x |0≤x ≤3}D .{x |0≤x <3}[解析] 由已知得P ={0,1,2},M ={x |-3≤x ≤3}, 故P ∩M ={0,1,2}. [答案] B3.已知集合A ={x |x >2或x <0},B ={x |-5<x <5},则( ) A .A ∩B =∅ B .A ∪B =R C .B ⊆AD .A ⊆B[解析] ∵A ={x |x >2或x <0},B ={x |-5<x <5},∴A ∩B ={x |-5<x <0或2<x <5},A ∪B =R .故选B.[答案] B4.设集合M ={x |-3≤x <7},N ={x |2x +k ≤0},若M ∩N ≠∅,则实数k 的取值范围为________.[解析] 因为N ={x |2x +k ≤0}=⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤-k 2,且M ∩N ≠∅,所以-k2≥-3⇒k ≤6.[答案] k ≤65.已知集合M ={x |2x -4=0},集合N ={x |x 2-3x +m =0}, (1)当m =2时,求M ∩N ,M ∪N . (2)当M ∩N =M 时,求实数m 的值.[解] (1)由题意得M ={2}.当m =2时,N ={x |x 2-3x +2=0}={1,2}, 则M ∩N ={2},M ∪N ={1,2}.(2)∵M ∩N =M ,∴M ⊆N .∵M ={2},∴2∈N . ∴2是关于x 的方程x 2-3x +m =0的解,即4-6+m=0,解得m=2.由(1)知,M∩N={2}=M,适合题意,故m=2.1.3.2补集及集合运算的综合应用1.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( )A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}[解析] ∵A={x|x≤0},B={x|x≥1},∴A∪B={x|x≤0或x≥1},∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}.故选D.[答案] D2.已知三个集合U,A,B之间的关系如图所示,则(∁U B)∩A=( )A.{3} B.{0,1,2,4,7,8}C.{1,2} D.{1,2,3}[解析] 由Venn图可知U={0,1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3},B={3,5,6},所以(∁U B)∩A={1,2}.[答案] C3.设全集U={x∈N|x≤8},集合A={1,3,7},B={2,3,8},则(∁U A)∩(∁U B)=( )A.{1,2,7,8} B.{4,5,6}C.{0,4,5,6} D.{0,3,4,5,6}[解析] ∵U={x∈N|x≤8}={0,1,2,3,4,5,6,7,8},∴∁U A={0,2,4,5,6,8},∁U B={0,1,4,5,6,7},∴(∁U A)∩(∁U B)={0,4,5,6}.[答案] C4.全集U={x|0<x<10},A={x|0<x<5},则∁U A=________.[解析] ∁U A={x|5≤x<10},如图所示.[答案] {x|5≤x<10}5.设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},且∁U A={5},求实数a的值.[解] ∵∁U A={5},∴5∈U,但5∉A,∴a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4.当a=2时,|2a-1|=3,这时A={3,2},U={2,3,5}.∴∁U A={5},适合题意.∴a=2.当a=-4时,|2a-1|=9,这时A={9,2},U={2,3,5},A⃘U,∴∁U A无意义,故a =-4应舍去.综上所述,a=2.课内拓展课外探究空集对集合关系的影响空集是不含任何元素的集合,它既不是有限集,也不是无限集.空集就像一个无处不在的幽灵,解题时需处处设防,提高警惕.空集是任何集合的子集,其中“任何集合”当然也包括了∅,故将会出现∅⊆∅.而此时按子集理解不能成立,原因是前面空集中无元素,不符合定义,因此知道这一条是课本“规定”.空集是任何非空集合的真子集,即∅A(而A≠∅).既然A≠∅,即必存在a∈A而a∉∅,∴∅A.由于空集的存在,关于子集定义的下列说法有误,如“A⊆B,即A为B中的部分元素所组成的集合”.因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”、“A是A 的子集”、“∅⊆∅”等结论.在解决诸如A⊆B或A B类问题时,必须优先考虑A=∅时是否满足题意.【典例1】已知集合A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+ax+a2-12=0},求满足B⊆A 的a的值组成的集合.[解] 由已知得A={-2,4},B是关于x的一元二次方程x2+ax+a2-12=0(*)的解集.方程(*)根的判别式Δ=a2-4(a2-12)=-3(a2-16).(1)若B=∅,则方程(*)没有实数根,即Δ<0,∴-3(a2-16)<0,解得a <-4或a >4.此时B ⊆A .(2)若B ≠∅,则B ={-2}或{4}或{-2,4}.①若B ={-2},则方程(*)有两个相等的实数根x =-2, ∴(-2)2+(-2)a +a 2-12=0,即a 2-2a -8=0. 解得a =4或a =-2.当a =4时,恰有Δ=0; 当a =-2时,Δ>0,舍去.∴当a =4时,B ⊆A . ②若B ={4},则方程(*)有两个相等的实数根x =4, ∴42+4a +a 2-12=0,解得a =-2,此时Δ>0,舍去.③若B ={-2,4},则方程(*)有两个不相等的实数根x =-2或x =4,由①②知a =-2,此时Δ>0,-2与4恰是方程的两根.∴当a =-2时,B ⊆A .综上所述,满足B ⊆A 的a 值组成的集合是{a |a <-4或a =-2或a ≥4}.[点评] ∅有两个独特的性质,即:(1)对于任意集合A ,皆有A ∩∅=∅;(2)对于任意集合A ,皆有A ∪∅=A .正因如此,如果A ∩B =∅,就要考虑集合A 或B 可能是∅;如果A ∪B =A ,就要考虑集合B 可能是∅.【典例2】 设全集U =R ,集合M ={x |3a -1<x <2a ,a ∈R },N ={x |-1<x <3},若N ⊆(∁UM ),求实数a 的取值集合.[解] 根据题意可知:N ≠∅,又∵N ⊆(∁U M ). ①当M =∅,即3a -1≥2a 时,a ≥1. 此时∁U M =R ,N ⊆(∁U M )显然成立. ②当M ≠∅,即3a -1<2a 时,a <1.由M ={x |3a -1<x <2a },知∁U M ={x |x ≤3a -1或x ≥2a }.又∵N ⊆(∁U M ),∴结合数轴分析可知⎩⎪⎨⎪⎧a <1,3≤3a -1,或⎩⎪⎨⎪⎧a <1,2a ≤-1,得a ≤-12.综上可知,a 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥1或a ≤-12. [点评] 集合的包含关系是集合知识重要的一部分,在后续内容中应用特别广泛,涉及集合包含关系的开放性题目都以子集的有关性质为主,因此需要对相关的性质有深刻的理解.对于有限集,在处理包含关系时可列出所有的元素,然后依条件讨论各种情况,找到符合条件的结果.1.4.1充分条件与必要条件1.若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的( )A.充分条件B.必要条件C.既不是充分条件,也不是必要条件D.无法判断[解析] 因为a=2⇒(a-1)(a-2)=0,而(a-1)(a-2)=0不能推出a=2,故a=2是(a-1)(a-2)=0的充分条件,应选A.[答案] A2.设x∈R,则x>2的一个必要条件是( )A.x>1 B.x<1C.x>3 D.x<3[解析] 因为x>2⇒x>1,所以选A.[答案] A3.下列命题中,是真命题的是( )A.“x2>0”是“x>0”的充分条件B.“xy=0”是“x=0”的必要条件C.“|a|=|b|”是“a=b”的充分条件D.“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件[解析] A中,x2>0⇒x>0或x<0,不能推出x>0,而x>0⇒x2>0,故x2>0是x>0的必要条件.B中,xy=0⇒x=0或y=0,不能推出x=0,而x=0⇒xy=0,故xy=0是x=0的必要条件.C中,|a|=|b|⇒a=b或a=-b,不能推出a=b,而a=b⇒|a|=|b|,故|a|=|b|是a=b的必要条件.D中,|x|>1⇒x2不小于1,而x2不小于1不能推出|x|>1,故|x|>1是x2不小于1的充分条件,故本题应选B.[答案] B4.若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的____________条件.[答案] 不必要(填必要、不必要)5.(1)若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件,求m的取值范围.(2)已知M={x|a-1<x<a+1},N={x|-3<x<8},若N是M的必要条件,求a的取值范围.[解] (1)记A={x|x>2或x<1},B={x|x<m}由题意可得B⊆A,即{x|x<m}⊆{x|x>2或x<1}.所以m ≤1.故m 的取值范围为{m |m ≤1}. (2)因为N 是M 的必要条件,所以M ⊆N .于是⎩⎪⎨⎪⎧a -1≥-3,a +1≤8,从而可得-2≤a ≤7.故a 的取值范围为{a |-2≤a ≤7}.1.4.2充要条件1.设x ∈R ,则“x <-1”是“|x |>1”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件[解析] 因为x <-1⇒|x |>1,而|x |>1⇒x <-1或x >1,故“x <-1”是“|x |>1”的充分不必要条件.[答案] A2.“x 2+(y -2)2=0”是“x (y -2)=0”的( ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件[解析] x 2+(y -2)2=0,即x =0且y =2,∴x (y -2)=0.反之,x (y -2)=0,即x =0或y =2,x 2+(y -2)2=0不一定成立.[答案] B3.已知A ,B 是非空集合,命题p :A ∪B =B ,命题q :A B ,则p 是q 的( ) A .充要条件B .充分不必要条件C .既不充分也不必要条件D .必要不充分条件[解析] 由A ∪B =B ,得A B 或A =B ;反之,由A B ,得A ∪B =B ,所以p 是q 的必要不充分条件.[答案] D4.关于x 的不等式|x |>a 的解集为R 的充要条件是________. [解析] 由题意知|x |>a 恒成立,∵|x |≥0,∴a <0. [答案] a <05.已知x ,y 都是非零实数,且x >y ,求证:1x <1y的充要条件是xy >0.[证明] 证法一:①充分性:由xy >0及x >y ,得x xy >y xy ,即1x <1y.②必要性:由1x <1y ,得1x -1y <0,即y -xxy<0.因为x >y ,所以y -x <0,所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.证法二:1x <1y ⇔1x -1y <0⇔y -xxy<0.由条件x >y ⇔y -x <0,故由y -xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y⇔xy >0,即1x <1y的充要条件是xy >0.1.5.1全称量词与存在量词1.下列命题中,不是全称量词命题的是( ) A .任何一个实数乘0都等于0 B .自然数都是正整数C .对于任意x ∈Z,2x +1是奇数D .一定存在没有最大值的二次函数 [解析] D 选项是存在量词命题. [答案] D2.下列命题中,存在量词命题的个数是( )①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④任意x ∈R ,y ∈R ,都有x 2+|y |>0.A .0B .1C .2D .3[解析] 命题①含有存在量词;命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,故为全称量词命题;命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”,是全称量词命题;命题④是全称量词命题.故有1个存在量词命题.[答案] B3.下列命题是“∀x ∈R ,x 2>3”的另一种表述方法的是( ) A .有一个x ∈R ,使得x 2>3B .对有些x ∈R ,使得x 2>3 C .任选一个x ∈R ,使得x 2>3 D .至少有一个x ∈R ,使得x 2>3[解析] “∀x ∈R ,x 2>3”是全称量词命题,改写时应使用全称量词. [答案] C4.对任意x >8,x >a 恒成立,则实数a 的取值范围是________. [解析] ∵对于任意x >8,x >a 恒成立,∴大于8的数恒大于a ,∴a ≤8. [答案] a ≤85.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题?并判断其真假. (1)∃x ∈R ,|x |+2≤0;(2)存在一个实数,使等式x 2+x +8=0成立;(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x ,y )都对应一点. [解] (1)存在量词命题.∵∀x ∈R ,|x |≥0,∴|x |+2≥2,不存在x ∈R , 使|x |+2≤0.故命题为假命题. (2)存在量词命题.∵x 2+x +8=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+314>0,∴命题为假命题.(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x ,y )与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题.1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定1.命题“∃x ∈R ,x 2-2x -3≤0”的否定是( ) A .∀x ∈R ,x 2-2x -3≤0 B .∃x ∈R ,x 2-2x -3≥0 C .∃x 0∈R ,x 2-2x -3>0 D .∀x ∈R ,x 2-2x -3>0[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题,一方面要改量词即“∃”改为“∀”;另一方面要否定结论,即“≤”改为“>”.故选D.[答案] D2.已知命题p :∀x >0,x 2≥2,则它的否定为( )A .∀x >0,x 2<2 B .∀x ≤0,x 2<2 C .∃x ≤0,x 2<2 D .∃x >0,x 2<2[答案] D3.全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( ) A .所有能被5整除的整数都不是奇数 B .所有奇数都不能被5整除C .存在一个能被5整除的整数不是奇数D .存在一个奇数,不能被5整除[解析] 全称量词命题的否定是存在量词命题,而选项A ,B 是全称量词命题,所以选项A ,B 错误.因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”,所以选项D 错误,选项C 正确,故选C.[答案] C4.对下列命题的否定,其中说法错误的是( )A .p :∀x ≥3,x 2-2x -3≥0;p 的否定:∃x ≥3,x 2-2x -3<0B .p :存在一个四边形的四个顶点不共圆;p 的否定:每一个四边形的四个顶点共圆C .p :有的三角形为正三角形;p 的否定:所有的三角形不都是正三角形D .p :∃x ∈R ,x 2+2x +2≤0;p 的否定:∀x ∈R ,x 2+2x +2>0[解析] 若p :有的三角形为正三角形,则p 的否定:所有的三角形都不是正三角形,故C 错误.[答案] C5.写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)菱形是平行四边形;(2)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线; (3)存在一个三角形,它的内角和大于180°; (4)∃x ∈R ,使得x 2+x +1≤0.[解] (1)题中命题的否定为“存在一个菱形不是平行四边形”,这个命题为假命题. (2)是全称量词命题,省略了全称量词“任意”,即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”,否定为:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线;这个命题为假命题.(3)题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180°”,这个命题为真命题.(4)题中命题的否定为“∀x ∈R ,x 2+x +1>0”,这个命题为真命题.因为x 2+x +1=x 2+x +14+34=⎝⎛⎭⎪⎫x +122+34>0.2.1等式性质与不等式性质1.下列说法正确的为( ) A .若1x =1y,则x =yB .若x 2=1,则x =1 C .若x =y ,则x =yD .若x <y ,则x 2<y 2[解析] ∵1x =1y,且x ≠0,y ≠0,两边同乘以xy ,得x =y .[答案] A2.设a ,b 为非零实数,若a <b ,则下列不等式成立的是( ) A .a 2<b 2B .ab 2<a 2b C .1ab 2<1a 2bD .b a <a b[解析] 用a =-1,b =1,试之,易排除A ,D.再取a =1,b =2,易排除B. [答案] C3.下列命题中正确的个数是( ) ①若a >b ,b ≠0,则a b>1; ②若a >b ,且a +c >b +d ,则c >d ; ③若a >b ,且ac >bd ,则c >d . A .0 B .1 C .2 D .3[解析] ①若a =2,b =-1,则不符合;②取a =10,b =2,c =1,d =3,虽然满足a >b 且a +c >b +d ,但不满足c >d ,故错;③当a =-2,b =-3,取c =-1,d =2,则不成立.[答案] A4.若x ≠2或y ≠-1,M =x 2+y 2-4x +2y ,N =-5,则M 与N 的大小关系为________. [解析] ∵x ≠2或y ≠-1,∴M -N =x 2+y 2-4x +2y +5=(x -2)2+(y +1)2>0,∴M >N . [答案] M >N5.若-1≤a ≤3,1≤b ≤2,则a -b 的范围为________. [解析] ∵-1≤a ≤3,-2≤-b ≤-1, ∴-3≤a -b ≤2. [答案] -3≤a -b ≤22.2.1基本不等式1.若ab >0,则下列不等式不一定能成立的是( ) A .a 2+b 2≥2ab B .a 2+b 2≥-2ab C .a +b2≥abD .b a +a b≥2[解析] C 选项由条件可得到a 、b 同号,当a 、b 均为负号时,不成立. [答案] C 2.已知a >1,则a +12,a ,2aa +1三个数的大小顺序是( ) A.a +12<a <2a a +1 B.a <a +12<2aa +1C.2a a +1<a <a +12 D.a <2a a +1≤a +12 [解析] 当a ,b 是正数时,2ab a +b ≤ab ≤a +b2≤a 2+b 22(a ,b ∈R +),令b =1,得2aa +1≤a ≤a +12.又a >1,即a ≠b ,故上式不能取等号,选C.[答案] C3.b a +ab≥2成立的条件是________.[解析] 只要b a 与a b都为正,即a 、b 同号即可. [答案] a 与b 同号4.设a ,b ,c 都是正数,试证明不等式:b +c a +c +a b +a +bc≥6. [证明] 因为a >0,b >0,c >0, 所以b a +ab ≥2,c a +a c ≥2,b c +c b≥2,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a +a b +⎝ ⎛⎭⎪⎫c a +a c +⎝ ⎛⎭⎪⎫b c +c b ≥6,当且仅当b a =a b ,c a =a c ,c b =bc, 即a =b =c 时,等号成立.所以b +c a +c +a b +a +bc≥6.2.2.2利用基本不等式求最值1.已知y =x +1x-2(x >0),则y 有( )A .最大值为0B .最小值为0C .最小值为-2D .最小值为2[答案] B2.已知0<x <1,则当x (1-x )取最大值时,x 的值为( ) A.13 B.12 C.14D.23[解析] ∵0<x <1,∴1-x >0.∴x (1-x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1-x 22=14,当且仅当x =1-x ,即x =12时,等号成立.[答案] B3.已知p ,q ∈R ,pq =100,则p 2+q 2的最小值是________. [答案] 2004.已知函数f (x )=4x +ax(x >0,a >0)在x =3时取得最小值,则a =________. [解析] 由基本不等式,得4x +a x≥24x ·a x =4a ,当且仅当4x =a x,即x =a2时,等号成立,即a2=3,a =36.[答案] 365.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2-200x +80000,该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?[解] 由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为y x =12x +80000x-200≥212x ·80000x-200=200, 当且仅当12x =80000x,即x =400时等号成立,故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式1.不等式-x 2-5x +6≤0的解集为( ) A .{x |x ≥6或x ≤-1} B .{x |-1≤x ≤6} C .{x |-6≤x ≤1}D .{x |x ≤-6或x ≥1}[解析] 由-x 2-5x +6≤0得x 2+5x -6≥0, 即(x +6)(x -1)≥0, ∴x ≥1或x ≤-6. [答案] D2.一元二次方程ax 2+bx +c =0的根为2,-1,则当a <0时,不等式ax 2+bx +c ≥0的解集为( )A .{x |x <-1或x >2}B .{x |x ≤-1或x ≥2}C .{x |-1<x <2}D .{x |-1≤x ≤2}[解析] 结合二次函数y =ax 2+bx +c (a <0)的图象可得{x |-1≤x ≤2},故选D. [答案] D3.若不等式ax 2+8ax +21<0的解集是{x |-7<x <-1},那么a 的值是( ) A .1 B .2 C .3 D .4[解析] 由题可知-7和-1为ax 2+8ax +21=0的两个根,∴-7×(-1)=21a,a =3.[答案] C4.不等式x 2-4x +5≥0的解集为________. [解析] ∵Δ=(-4)2-4×5=-4<0, ∴不等式x 2-4x +5≥0的解集为R . [答案] R5.当a >-1时,关于x 的不等式x 2+(a -1)x -a >0的解集是________. [解析] 原不等式可化为(x +a )(x -1)>0, 方程(x +a )(x -1)=0的两根为-a,1, ∵a >-1,∴-a <1,故不等式的解集为{x |x <-a 或x >1}. [答案] {x |x <-a 或x >1}2.3.2一元二次不等式的应用1.不等式x -2x +3>0的解集是( ) A .{x |-3<x <2} B .{x |x >2} C .{x |x <-3或x >2} D .{x |x <-2或x >3}[解析] 不等式x -2x +3>0⇔(x -2)(x +3)>0的解集是{x |x <-3或x >2},所以C 选项是正确的.[答案] C2.若集合A ={x |-1≤2x +1≤3},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x -2x ≤0,则A ∩B =( ) A .{x |-1≤x <0} B .{x |0<x ≤1} C .{x |0≤x ≤2}D .{x |0≤x ≤1}[解析] ∵A ={x |-1≤x ≤1},B ={x |0<x ≤2},∴A ∩B ={x |0<x ≤1}. [答案] B3.若不等式x 2+mx +m2>0的解集为R ,则实数m 的取值范围是( )A .m >2B .m <2C .m <0或m >2D .0<m <2[解析] 由题意得Δ=m 2-4×m2<0,即m 2-2m <0,解得0<m <2.[答案] D4.已知不等式x 2+ax +4<0的解集为空集,则a 的取值范围是( ) A .-4≤a ≤4 B .-4<a <4 C .a ≤-4或a ≥4D .a <-4或a >4[解析] 依题意应有Δ=a 2-16≤0,解得-4≤a ≤4,故选A. [答案] A5.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y =3000+20x -0.1x 2(0<x <240,x ∈R ),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时最低产量是( )A .100台B .120台C .150台D .180台 [解析] 3000+20x -0.1x 2≤25x ⇔x 2+50x -30000≥0,解得x ≤-200(舍去)或x ≥150. [答案] C3.1.1.1函数的概念1.函数f (x )=x -1x -2的定义域为( ) A .[1,2)∪(2,+∞) B .(1,+∞) C .[1,2)D .[1,+∞)[解析] 由题意可知,要使函数有意义,需满足{ x -1≥0,x -2≠0,即x ≥1且x ≠2.[答案] A2.函数y =1-x 2+x 的定义域为( ) A .{x |x ≤1}B .{x |x ≥0}C .{x |x ≥1或x ≤-1}D .{x |0≤x ≤1}[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2≥0,x ≥0,解得0≤x ≤1.[答案] D 3.函数f (x )=(x +2)(1-x )x +2的定义域为( )A .{x |-2≤x ≤1}B .{x |-2<x <1}C .{x |-2<x ≤1}D .{x |x ≤1}[解析] 要使函数有意义,需⎩⎪⎨⎪⎧(x +2)(1-x )≥0,x +2≠0,解得-2≤x ≤1,且x ≠-2,所以函数的定义域是{x |-2<x ≤1}.[答案] C4.集合{x |-1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________. [解析] 结合区间的定义知,用区间表示为[-1,0)∪(1,2]. [答案] [-1,0)∪(1,2]5.已知矩形的周长为1,它的面积S 是其一边长为x 的函数,则其定义域为________(结果用区间表示).[解析] 由实际意义知x >0,又矩形的周长为1,所以x <12,所以定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,123.1.1.2函数概念的应用1.下列各组函数中,表示同一个函数的是( )A .y =x -1和y =x 2-1x +1B .y =x 0和y =1C .f (x )=(x -1)2和g (x )=(x +1)2D .f (x )=(x )2x 和g (m )=m(m )2[解析] A 中的函数定义域不同;B 中y =x 0的x 不能取0;C 中两函数的对应关系不同,故选D.[答案] D2.设f (x )=x 2-1x 2+1,则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=( )A .1B .-1 C.35 D .-35[解析] f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=22-122+1⎝ ⎛⎭⎪⎫122-1⎝ ⎛⎭⎪⎫122+1=35-3454=35×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=-1.[答案] B3.下列函数中,值域为(0,+∞)的是( ) A .y =x B .y =1xC .y =1xD .y =x 2+1[解析] y =x 的值域为[0,+∞),y =1x的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),y =x 2+1的值域为[1,+∞).[答案] B4.已知函数f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f (2x )x -1的定义域是( ) A .[0,1] B .[0,1) C .[0,1)∪(1,4]D .(0,1)[解析] 由f (x )的定义域是[0,2]知,{ 0≤2x ≤2,x -1≠0, 解得0≤x <1,所以g (x )=f (2x )x -1的定义域为[0,1). [答案] B5.已知函数f (x )=2x -3,x ∈{x ∈N |1≤x ≤5},则函数f (x )的值域为________. [解析] ∵x ∈{1,2,3,4,5} ∴f (x )=2x -3∈{-1,1,3,5,7}. ∴f (x )的值域为{-1,1,3,5,7}. [答案] {-1,1,3,5,7}3.1.2.1函数的表示法1.y 与x 成反比,且当x =2时,y =1,则y 关于x 的函数关系式为( ) A .y =1xB .y =-1xC .y =2xD .y =-2x[解析] 设y =k x ,当x =2时,y =1,所以1=k 2,得k =2.故y =2x.[答案] C2.由下表给出函数y =f (x ),则f [f (1)]等于( )x 1 2 3 4 5 y45321A.1 B .2 C .4 D .[解析] 由题意得f (1)=4,所以f [f (1)]=f (4)=2. [答案] B3.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )[解析] 距学校的距离应逐渐减小,由于小明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,直线段比前段下降的快,故应选C.[答案] C4.若3f (x -1)+2f (1-x )=2x ,则f (x )的解析式为__________________. [解析] (换元法)令t =x -1,则x =t +1,t ∈R , 原式变为3f (t )+2f (-t )=2(t +1),①以-t 代替t ,①式变为3f (-t )+2f (t )=2(1-t ),②由①②消去f (-t )得f (t )=2t +25,∴f (x )=2x +25.[答案] f (x )=2x +255.已知f (x )=x +b ,f (ax +1)=3x +2,求a ,b 的值. [解] 由f (x )=x +b ,得f (ax +1)=ax +1+b . ∴ax +1+b =3x +2,∴a =3,b +1=2,即a =3,b =1.3.1.2.2分段函数1.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧10,x <0,10x ,x ≥0,则f [f (-7)]的值为( )A .100B .10C .-10D .-100[解析] ∵f (-7)=10,∴f [f (-7)]=f (10)=10×10=100. [答案] A2.下列图形是函数y =x |x |的图象的是( )[解析] ∵f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ≥0,-x 2,x <0,分别画出y =x 2(取x ≥0部分)及y =-x 2(取x <0部分)即可.[答案] D3.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,0≤x ≤1,2,1<x <2,3,x ≥2的值域是( )A .RB .[0,2]∪{3}C .[0,+∞)D .[0,3][解析] 当0≤x ≤1时,0≤f (x )≤2,当1<x <2时,f (x )=2,当x ≥2时,f (x )=3.故0≤f (x )≤2或f (x )=3,故选B.[答案] B4.下图中的图象所表示的函数的解析式为( )A .y =32|x -1|(0≤x ≤2)B .y =32-32|x -1|(0≤x ≤2)C .y =32-|x -1|(0≤x ≤2)D .y =1-|x -1|(0≤x ≤2)[解析] 可将原点代入,排除选项A ,C ;再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32代入,排除D 项. [答案] B5.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x +2,x ≤0,-x 2,x >0.若f [f (a )]=2,则a =________.[解析] 当a ≤0时,f (a )=a 2+2a +2>0,f [f (a )]<0,显然不成立;当a >0时,f (a )=-a 2,f [f (a )]=a 4-2a 2+2=2,则a =±2或a =0,故a = 2.[答案] 23.2.1.1函数的单调性1.如图所示,函数y =f (x )在下列哪个区间上是增函数( )A .[-4,4]B .[-4,-3]∪[1,4]C .[-3,1]D .[-3,4][解析] 观察题中图象知,函数在[-3,1]上是增函数. [答案] C2.下列函数中,在(-∞,0]内为增函数的是( ) A .y =x 2-2 B .y =3xC .y =1+2xD .y =-(x +2)2[解析] 选项A ,B 在(-∞,0)上为减函数,选项D 在(-2,0]上为减函数,只有选项C 满足在(-∞,0]内为增函数.故选C.[答案] C3.若函数f (x )=(2a -1)x +b 是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,12 [解析] 由一次函数的性质得2a -1<0,即a <12.故选D.[答案] D4.已知函数f (x )为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________.[解析] 因为f (x )在区间[-1,1]上为增函数,且f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,所以⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x ≤1,x <12,解得-1≤x <12.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫-1,125.已知函数f (x )=x -1x +1,判断f (x )在(0,+∞)上的单调性并用定义证明. [解] f (x )在(0,+∞)上单调递增. 证明如下:任取x 1>x 2>0,f (x 1)-f (x 2)=x 1-1x 1+1-x 2-1x 2+1=2(x 1-x 2)(x 1+1)(x 2+1),由x 1>x 2>0知x 1+1>0,x 2+1>0,x 1-x 2>0,故f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x )在(0,+∞)上单调递增.3.2.1.2函数的最大(小)值1.函数f (x )在[-2,+∞)上的图象如图所示,则此函数的最大、最小值分别为( )A .3,0B .3,1C .3,无最小值D .3,-2[解析] 观察图象可以知道,图象的最高点坐标是(0,3),从而其最大值是3;另外从图象看,无最低点,即该函数不存在最小值.故选C.[答案] C2.已知函数f (x )=|x |,x ∈[-1,3],则f (x )的最大值为( ) A .0 B .1 C .2 D .3[解析] 作出函数f (x )=|x |,x ∈[-1,3]的图象,如图所示.根据函数图象可知,f (x )的最大值为3.[答案] D3.下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A .y =1x+2B .y =3x -2C .y =x 2D .y =1-x[解析] B 、C 在[1,4]上均为增函数,A 、D 在[1,4]上均为减函数,代入端点值,即可求得最值,故选A.[答案] A4.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x 为________(m).[解析] 设矩形花园的宽为y m ,则x 40=40-y 40, 即y =40-x ,矩形花园的面积S =x (40-x )=-x 2+40x =-(x -20)2+400,当x =20时,面积最大.[答案] 205.已知二次函数y =x 2-4x +5,分别求下列条件下函数的最小值: (1)x ∈[-1,0];(2)x ∈[a ,a +1].[解] (1)∵二次函数y =x 2-4x +5的对称轴为x =2且开口向上, ∴二次函数在x ∈[-1,0]上是单调递减的. ∴y min =02-4×0+5=5.(2)当a ≥2时,函数在x ∈[a ,a +1]上是单调递增的,y min =a 2-4a +5;当a +1≤2即a ≤1时,函数在[a ,a +1]上是单调递减的,y min =(a +1)2-4(a +1)+5=a 2-2a +2;当a <2<a +1即1<a <2时,y min =22-4×2+5=1.故函数的最小值为⎩⎪⎨⎪⎧a 2-2a +2,a ≤1,1,1<a <2,a 2-4a +5,a ≥2.3.2.2.1函数奇偶性的概念1.函数y =f (x ),x ∈[-1,a ](a >-1)是奇函数,则a 等于( ) A .-1 B .0 C .1D .无法确定[解析] 由-1+a =0,得a =1.选C. [答案] C2.下列函数是偶函数的是( ) A .y =x B .y =2x 2-3C .y =1xD .y =x 2,x ∈[0,1][解析] A 项中的函数为奇函数;C 、D 选项中的函数定义域不关于原点对称,既不是奇函数,也不是偶函数;B 项中的函数为偶函数.故选B.[答案] B3.函数f (x )=1x-x 的图象( )A .关于y 轴对称B .关于直线y =x 对称C .关于坐标原点对称D .关于直线y =-x 对称[解析] 函数f (x )=1x-x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f (-x )=-1x -(-x )=x -1x=-f (x ),所以f (x )是奇函数,图象关于原点对称.[答案] C4.若f (x )=(x +a )(x -4)为偶函数,则实数a =________.[解析] 由f (x )=(x +a )(x -4)得f (x )=x 2+(a -4)x -4a ,若f (x )为偶函数,则a -4=0,即a =4.[答案] 45.已知y =f (x )是偶函数,y =g (x )是奇函数,它们的定义域都是[-3,3],且它们在[0,3]上的图象如图所示,求不等式f (x )g (x )<0的解集.[解] 由题知,y =f (x )是偶函数,y =g (x )是奇函数. 根据函数图象的对称性画出y =f (x ),y =g (x )在[-3,0]上的图象如图所示.由图可知f (x )>0⇔0<x <2或-2<x <0,g (x )>0⇔1<x <3或-1<x <0.f (x )g (x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0,g (x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0,g (x )>0,可求得其解集是{x |-2<x <-1或0<x <1或2<x <3}.3.2.2.2函数奇偶性的应用1.函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=-x +1,则当x <0时,f (x )的解析式为( )A .f (x )=-x +1B .f (x )=-x -1C .f (x )=x +1D .f (x )=x -1[解析] 设x <0,则-x >0.∴f (-x )=x +1,又函数f (x )是奇函数. ∴f (-x )=-f (x )=x +1, ∴f (x )=-x -1(x <0). [答案] B2.设f (x )是R 上的偶函数,且在[0,+∞)上单凋递增,则f (-2),f (-π),f (3)的大小顺序是( )A .f (-π)>f (3)>f (-2)B .f (-π)>f (-2)>f (3)C .f (3)>f (-2)>f (-π)D .f (3)>f (-π)>f (-2) [解析] ∵f (x )是R 上的偶函数, ∴f (-2)=f (2),f (-π)=f (π), 又f (x )在[0,+∞)上单调递增,且2<3<π, ∴f (π)>f (3)<f (2), 即f (-π)>f (3)>f (-2). [答案] A3.已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f (2x -1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13,23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,23 [解析] 由于f (x )为偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则不等式f (2x -1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,即-13<2x -1<13,解得13<x <23.。
高中数学 1.2充分条件与必要条件课后习题 新人教A版高二选修2-1数学试题
【优化设计】2015-2016学年高中数学 1.2充分条件与必要条件课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升A组1.“数列{a n}为等比数列”是“a n=3n(n∈N*)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当a n=3n时,{a n}一定为等比数列,但当{a n}为等比数列时,不一定有a n=3n,故应为必要不充分条件.答案:B2.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由a+b=0可知a,b是相反向量,它们一定平行;但当a∥b时,不一定有a+b=0,故应为充分不必要条件.答案:A3.“实数a=0”是“直线x-2ay=1和2x-2ay=1平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当a=0时,两直线方程分别为x=1和2x=1,显然两直线平行;反之,若两直线平行,必有1×(-2a)=(-2a)×2,解得a=0,故应为充要条件.答案:C4.函数y=(2-a)x(a<2且a≠1)是增函数的充要条件是()A.1<a<2B.<a<2C.a<1D.a<0解析:由指数函数性质得,当y=(2-a)x(a<2且a≠1)是增函数时,2-a>1,解得a<1.故选C.答案:C5.设p:|x|>1,q:x<-2或x>1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由已知p:x<-1或x>1,则q是p的充分不必要条件.由互为逆否命题的两个命题同真,得p是q的充分不必要条件.答案:A6.“关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是()A.0<a<1B.0≤a≤1C.0<a<D.a≥1或a≤0解析:当关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒成立时,应有Δ=4a2-4a<0,解得0<a<1.因此一个必要不充分条件是0≤a≤1.答案:B7.“sin A=”是“A=”的条件.解析:由sin A=不一定能推得A=,例如A=等;但由A=一定可推得sin A=,所以“sin A=”是“A=”的必要不充分条件.答案:必要不充分8.在平面直角坐标系中,点(x2+5x,1-x2)在第一象限的充要条件是.解析:由解得0<x<1,所以点(x2+5x,1-x2)在第一象限的充要条件是0<x<1.答案:0<x<19.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.证明:充分性:∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.∴方程ax2+bx+c=0有一个根为1.必要性:∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1,∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.10.若f(x)是R上的增函数,且f(-1)=-4,f(2)=2,设P={x|f(x+t)+1<3},Q={x|f(x)<-4},若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,某某数t的取值X围.解:因为f(x)是R上的增函数,且f(-1)=-4,f(2)=2,所以P={x|f(x+t)+1<3}={x|f(x+t)<2}={x|f(x+t)<f(2)}={x|x+t<2}={x|x<2-t},Q={x|f(x)<-4}={x|f(x)<f(-1)}={x|x<-1}.因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,所以P⫋Q,所以2-t<-1,解得t>3.即实数t的取值X围是t>3.B组1.在△ABC中,“△ABC为钝角三角形”是“<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当△ABC为钝角三角形时,A,B,C中的任何一个都有可能是钝角,不一定有<0;但当<0时,A为钝角,△ABC一定是钝角三角形.故选B.答案:B2.已知a>1,f(x)=,则使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是()A.-1<x<0B.-2<x<1C.-2<x<0D.0<x<1解析:由a>1,<1可得x2+2x<0,即-2<x<0,因此使f(x)<1成立,即-2<x<0成立的一个充分不必要条件是-1<x<0.答案:A3.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是r的充分条件,q是s的必要条件.现有下列命题:①s是q的充要条件;②p是q的充分不必要条件;③r是q的必要不充分条件;④ p是 s的必要不充分条件;⑤r是s的充分不必要条件.则正确命题的序号是.解析:由已知可得,p⇒r,r p,r⇒s,q⇒r,s⇒q.因此必有q⇒r⇒s,又s⇒q,故s是q的充要条件.又p⇒r⇒s⇒q,但q p,故p是q的充分不必要条件.又r⇒s⇒q,q⇒r,故r是q的充要条件.又p⇒r⇒s,但s p,故p是s的充分不必要条件,从而 p是 s的必要不充分条件.又r⇒s,s⇒q⇒r,故r是s的充要条件.故正确命题的序号是①②④.答案:①②④4.是否存在实数p,使4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件?如果存在,求出p的取值X围;否则,说明理由.解:由x2-x-2>0,解得x>2或x<-1,令A={x|x>2或x<-1}.由4x+p<0,解得x<-,令B=.当B⊆A时,即-≤-1,即p≥4,此时x<-≤-1⇒x2-2x-2>0,故当p≥4时,4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件.5.求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.证明:(1)充分性:因为m≥2,所以Δ=m2-4≥0,方程x2+mx+1=0有实根.设x2+mx+1=0的两个实根分别为x1,x2,由根与系数的关系,知x1x2=1>0,所以x1,x2同号.又因为x1+x2=-m≤-2,所以x1,x2均为负根.(2)必要性:因为x2+mx+1=0的两个实根x1,x2均为负,且x1x2=1,所以m-2=-(x1+x2)-2=--2=-=-≥0.所以m≥2.综合(1)(2)可知命题得证.6.已知p:2x2-3x-2≥0,q:x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0,若p是q的充分不必要条件,某某数a的取值X围.解:令M={x|2x2-3x-2≥0}={x|(2x+1)(x-2)≥0}=,N={x|x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0}={x|(x-a)[x-(a-2)]≥0}={x|x≤a-2或x≥a}.由已知p⇒q且q p,得M⫋N,即解得≤a<2或<a≤2,即≤a≤2.故实数a的取值X围是≤a≤2.。
2015-2016学年高二数学人教版A版选修2-3课件:1.2.2.1 组合与组合数公式
数学 选修2-3
第一章 计数原理
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
组合数
1 . 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 的 ___所__有__不__同__组__合__的_个__数____,叫做从n个不同元素中取出m个元素
的组合数.用符号___C__nm_____表示.
第二十一页,编辑于星期五:八点 九分。
数学 选修2-3
第一章 计数原理
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
解析: (1)发邮件有先后之分,与顺序有关是排列问 题,共写了A28个电子邮件.
(2)是组合问题.两队只需要比赛一次,与顺序无关,共 进行C210场比赛.
(3)是排列问题.主客场比赛有主场、客场之分,与顺序 有关,共进行A210场比赛.
第十三页,编辑于星期五:八点 九分。
数学 选修2-3
第一章 计数原理
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
4.判断下列各事件是排列问题,还是组合问题. (1)10个人相互各写一封信,共写多少封信? (2)10个人相互通一次电话,共通了多少次电话? (3)10支球队进行比赛,这次比赛冠、亚军获得者有多少种 可能? (4)从10个人中选3个代表去开会,有多少种选法? (5)从10个人里选出3个不同学科的代表,有多少种选法?
有关.
答案: C
第十一页,编辑于星期五:八点 九分。
数学 选修2-3
第一章 计数原理
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
2.方程C2x8=C32x8-8的解为(
)
A.4或9
B.4
C.9
D.其他
解析: 当x=3x-8时,解得x=4;当28-x=3x-8时,解 得x=9.
(新课程)高中数学1.2.2 组合评估训练1 新人教A版选修2-3
1.2.2 组合第1课时组合与组合数公式双基达标限时20分钟1.以下四个问题,属于组合问题的是 ( ).A.从3个不同的小球中,取出2个排成一列B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C.在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D.将3张不同的电影票分给10人中的3人,每人一张解析只是从100位幸运观众选出2位幸运之星,与顺序无关,是组合问题.答案 C2.若C7n+1-C7n=C8n,则n等于 ( ).A.12 B.13 C.14 D.15解析C7n+1=C7n+C8n=C8n+1,∴n+1=7+8,即n=14.答案 C3.某校一年级有5个班,二年级有8个班,三年级有3个班,分年级举行班与班之间的篮球单循环赛,总共需进行比赛的场数是 ( ).A.C25+C28+C23 B.C25C28C23C.A25+A28+A23 D.C216解析分三类:一年级比赛的场数是C25,二年级比赛的场数是C28,三年级比赛的场数是C23,再由分类加法计数原理可求.答案 A4.从5人中选3人参加座谈会,其中甲必须参加,则不同的选法有________种.解析因为甲必须参加,所以只有从甲之外的4人再选2人即可,故共有C24=6种选法.答案 65.按ABO血型系统学说,每个人的血型为A、B、O、AB四种之一,依血型遗传学,当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时,子女一定不是O型,若某人的血型为O型,则父母血型所有可能情况有________种.解析父母应为A或B或O,C13·C13=9(种).答案96.判断下列问题是否为组合问题?并求出相应结果.(1)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?(2)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,由小到大排列,构成一个三位数,这样的三位数共有多少个?(3)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?解(1)、(2)、(3)都是组合问题.(1)C510=252,即共252种分法.(2)C39=84,这样的三位数共有84个.(3)C210=45,共需握手45次.综合提高(限时25分钟)7.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有 ( ).A.140种 B.120种 C.35种 D.34种解析分三种情况:①1男3女共有C14C33种选法.②2男2女共有C24C23种选法.③3男1女共C34C13种选法.则共有C14C33+C24C23+C34C13=34种选法.答案 D8.某班级有一个7人小组,现任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案的种数有 ( ).A.35 B.70 C.210 D.105解析先从7人中选出3人有C37=35种情况,再对选出的3人相互调整座位,共有2种情况,故不同的调整方案种数为2C37=70.答案 B9.已知C4n、C5n、C6n成等差数列,则C12n=________.解析由题可知2C5n=C4n+C6n,∴2×n !(n -5)!×5!=n !(n -4)!×4!+n !(n -6)!×6!, ∴25(n -5)=1(n -4)(n -5)+16×5, 得:n 2-21n +98=0,解得n =14或n =7(舍去),∴C 12n =C 1214=C 214=14×132=7×13=91. 答案 9110.若对任意的x ∈A ,则x ∈1A ,就称A 是“具有伙伴关系”的集合.集合M ={-1,0,13,12,1,2,3,4}的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为________. 解析 具有伙伴关系的元素组有-1;1;12,2;13,3;共4组,所以集合M 的所有非空子集中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组,又集合中的元素是无序的,因此,所求集合的个数为C 14+C 24+C 34+C 44=15.答案 1511.(1)解方程:C x 2+3x +216=C 5x +516;(2)解不等式:2C x -2x +1<3C x -1x +1.解 (1)∵C x 2+3x +216=C 5x +516, ∴x 2+3x +2=5x +5或(x 2+3x +2)+(5x +5)=16,即x 2-2x -3=0或x 2+8x -9=0,∴x =-1或x =3或x =-9或x =1.经检验x =3或x =-9不合题意舍去.故原方程的解是x =-1或x =1.(2)∵2C x -2x +1<3C x -1x +1,∴2C 3x +1<3C 2x +1,∴2×(x +1)x (x -1)3×2×1<3×(x +1)x 2×1∴x -13<32,∴x <112,∵⎩⎪⎨⎪⎧x +1≥3,x +1≥2,∴x ≥2, ∴2≤x ≤112,又x ∈N *, ∴x =2,3,4,5.∴不等式的解集为{2,3,4,5}.12.(创新拓展)某次足球赛共12支球队参加,分三个阶段进行.(1)小组赛:经抽签分成甲、乙两组,每组6队进行单循环比赛,以积分及净胜球数取前两名;(2)半决赛:甲组第一名与乙组第二名,乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者;(3)决赛:两个胜队参加决赛一场,决出胜负.问全部赛程共需比赛多少场?解 (1)小组赛中每组6队进行单循环比赛,就是6支球队的任两支球队都要比赛一次,所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数,所以小组赛共要比赛2C 26=2×6×51×2=30(场). (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场,所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数,所以半决赛共要比赛 2A 22=2×1×2=4(场).(3)决赛只需比赛1场,即可决出胜负.所以全部赛程共需比赛30+4+1=35(场).。
2016高中数学人教A版选修122《第1课时 组合与组合数公式》课时作业
【与名师对话】2015—2016学年高中数学 1、2、2第1课时组合与组合数公式课时作业新人教A版选修2—3一、选择题1、若C错误!=C错误!,则x的值为( )A、2B、4C、4或2D、3解析:由组合数性质知x=2或6-x=2,∴x=2或x=4、答案:C2、某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为( )A、4B、8C、28D、64解析:由于“村村通"公路的修建,就是组合问题、故共需要建C错误!=28条公路、答案:C3、已知C错误!-C错误!=C错误!,则n等于( )A、14B、12C、13D、15解析:∵C错误!=C错误!,∴7+8=n+1,∴n=14、答案:A4、从5名志愿者中选派4人在星期六与星期日参加公益活动,每人一天,每天两人,则不同的选派方法共有()A、60种B、48种C、30种D、10种解析:从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C25种方法,再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有C错误!种方法,由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C错误!·C错误!=30种、故选C、答案:C5、平面直角坐标系中有五个点,分别为O(0,0),A(1,2),B(2,4),C(-1,2),D(-2,4)、则这五个点可以确定不同的三角形个数为( )A、12B、10C、8D、6解析:五点中共有三点共线的两组O,A,B与O,C,D、故共有C错误!-2=10-2=8个三角形、答案:C6、若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其与为偶数,则不同的取法共有()A、60种B、63种C、65种D、66种解析:与为偶数共有3种情况,取4个数均为偶数的取法有C错误!=1种,取2奇数2偶数的取法有C错误!·C错误!=60种,取4个数均为奇数的取法有C错误!=5种,故不同的取法共有1+60+5=66种、答案:D二、填空题7、若已知集合P={1,2,3,4,5,6},则集合P的子集中含有3个元素的子集数为________、解析:由于集合中的元素具有无序性,因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关,就是组合问题,共有C错误!=20种、答案:208、不等式C错误!-n<5的解集为________、解析:由C错误!-n<5,得错误!-n〈5,∴n2-3n-10〈0、解得-2<n〈5、由题设条件知n≥2,且n∈N*,∴n=2,3,4、故原不等式的解集为{2,3,4}、答案:{2,3,4}9、若对任意的x∈A,则错误!∈A,就称A就是“具有伙伴关系”的集合、集合M=错误!的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为________、解析:具有伙伴关系的元素组有-1;1;错误!,2;错误!;3;共4组,所以集合M的所有非空子集中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以就是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组,又集合中的元素就是无序的,因此,所求集合的个数为C14+C错误!+C错误!+C错误!=15、答案:1510、计算:(1)C错误!+C错误!·C错误!;(2)C错误!+C错误!+C错误!+C错误!+C错误!+C错误!;(3)C错误!·C错误!、解:(1)原式=C3,8+C错误!×1=错误!+错误!=56+4 950=5 006、(2)原式=2(C错误!+C错误!+C错误!)=2(C错误!+C错误!)=2×错误!=32、(3)原式=C错误!·C错误!=错误!·n=错误!·n=(n+1)n=n2+n、11、某区有7条南北向街道,5条东西向街道、(如图)(1)图中有多少个矩形?(2)从A点走向B点最短的走法有多少种?解:(1)在7条南北向街道中任选2条,5条南北向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成矩形有C错误!·C错误!=210(个)、(2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向街道被分成4段,从A到B最短的走法,无论怎样走,一定至少包括10段,其中6段方向相同,另4段方向也相同,每种走法,即就是从10段中选出6段,这6段就是走东西方向的(剩下4段即就是走南北方向的),共有C6,10=C错误!=210(种)走法、12、假设在100件产品中有3件就是次品,从中任意抽取5件,求下列抽取方法各有多少种?(1)没有次品;(2)恰有两件就是次品;(3)至少有2件次品、解:(1)没有次品的抽法就就是从97件正品中抽取5件的抽法,共有C错误!种、(2)恰有2件就是次品的抽法就就是从97件正品中抽取3件,并从3件次品中抽2件的抽法,共有C错误!C错误!种、(3)至少有2件次品的抽法,按次品件数来分有两类:第一类,从97件正品中抽取3件,并从3件次品中抽取2件,有C错误!C错误!种、第二类,从97件正品中抽取2件,并将3件次品全部抽取,有C错误!C错误!种、按分类计数原理有C错误!C错误!+C错误!C错误!种、。
高中数学课后提升训练四1.2排列与组合1.2.1.2新人教A版
课后提升训练四排列与排列数公式(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·太原高二检测)89×90×91×…×100可表示为( )A. B.C. D.【解析】选C.由排列数公式得89=100-m+1,所以m=12,n=100.即其表示为.2.与·不等的是( )A. B.81C.10D.【解析】选B.由·=3 628 800,81=3265920,=3628800,10=3628800,=3628800.3.计算2+3!的值为( )A.100B.123C.126D.128【解析】选C.原式=2×5×4×3+3×2×1=126.4.若=2,则m的值为( )A.5B.3C.6D.7【解析】选A.由=2得m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)=2×m×(m-1)(m-2),故(m-3)(m-4)=2,即m2-7m+10=0,解得m=5或m=2(舍).5.乘积m(m+1)(m+2)…(m+20)可表示为( )A. B. C. D.【解析】选D.(m+20)-m+1=21,共有21项相乘,所以乘积为.6.给出下列四个关系式:①n!=;②=n;③=;④=.其中正确的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由=可知:=,故④不正确.7.不等式+n≤10的解为( )A.n=3B.n=4C.n=3或n=4D.n=3或n=4或n=5【解析】选C.原不等式化为(n-1)(n-2)+n≤10,即n2-2n-8≤0,解得-2≤n≤4,又n-1≥2,且n∈N*,所以3≤n≤4,所以n=3或n=4.8.若S=++++…+,则S的个位数字是( )A.8B.5C.3D.0【解析】选C.由排列数公式知,,,…中均含有2和5的因子,故个位数均为0,所以S的个位数字应是+++的个位数字,而+++=1+2×1+3×2×1+4×3×2×1=33,故个位数字为3.二、填空题(每小题5分,共10分)9.不等式-n<7的解集为________.【解析】由-n<7,得(n-1)(n-2)-n<7,整理,得n2-4n-5<0,解得-1<n<5.又n-1≥2且n∈N*,即n≥3且n∈N*,所以n=3或n=4.答案:{3,4}10.已知=12,则m=________.【解析】由=12,整理得=12·,解得m=7或m=14,又⇒m≤9,所以m=7.答案:7三、解答题11.(10分)解不等式<6.【解析】原不等式可化为,<6×,即1<6×,化简得m2-15m+50<0,即(m-5)(m-10)<0,解得5<m<10,又即m≤6,且m∈N*,所以m=6.【误区警示】忽视限定条件导致错解(1)本题易忽视公式中条件“m≤n”,易得到“5<m<10且x∈N*,即m=6,7,8,9”的错误结论.(2)在解答排列数的方程或不等式时,要注意排列数,m,n∈N*且m≤n这些限定条件,要注意含排列数的方程和不等式未知数的取值范围.【能力挑战题】求证:+2+3+…+n=(n+1)!-1.【证明】因为n=n·n!=(n+1)!-n!所以+2+3+…+n=2!-1!+3!-2!+4!-3!+…+(n+1)!-n!=(n+1)!-1.。
高中数学 课后提升训练六 1.2 排列与组合 1.2.2.1 新人教A版选修23
课后提升训练六组合与组合数公式(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.的计算结果是( )A.4950B.4960C.4980D.4970【解析】选A.====4950.2.若=12,则n等于( )A.8B.5或6C.3或4D.4【解析】选A.=n(n-1)(n-2),=n(n-1),所以n(n-1)(n-2)=12×n(n-1),解得n=8,又n∈N*,且n≥3,所以n=8.【延伸探究】若将条件“=12”变为“=6”,结果如何?【解析】n(n-1)(n-2)=6·解得n=7.3.++++…+的值为( )A. B. C. D.【解析】选D.原式=(+)+++…+=(+)++…+=(+)+…+==.4.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会.若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有( )A.140种B.120种C.35种D.34种【解析】选D.从反面考虑,7人任意选4人的方法数减去全选男生的方法数即为所求,故既有男生又有女生的不同的选法共有-=34.5.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动,每人一天,每天两人,则不同的选派方法共有( )A.60种B.48种C.30种D.10种【解析】选C.从5人中选派2人参加星期六的公益活动有种方法,再从剩下的3人中选派2人参加周日的公益活动有种方法,故共有·=30种.6.满足方程=的x值为( )A.1,3,5,-7B.1,3C.1,3,5D.3,5【解题指南】利用组合数性质:=求解.【解析】选B.依题意,有x2-x=5x-5或x2-x+5x-5=16.解得x=1或x=5或x=-7或x=3,经检验知,只有x=1或x=3符合题意.【误区警示】本题易出现漏掉x2-x+5x-5=16的情况.7.对所有满足1≤m≤n≤5的自然数m,n,方程x2+y2=1所表示的不同椭圆的个数为( )A.15B.7C.6D.0【解析】选 C.因为1≤m≤n≤5,所以共有,,,,,,,,,,其中=,=,=,=,所以x2+y2=1能表示不同的椭圆6个.8.由+可得不相同的值的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为所以7≤x≤9,又x∈N*,所以x=7,8,9.当x=7时,+=46;当x=8时,+=20;当x=9时,+=46.故有两个值.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________________种不同的选法.(用数字作答)【解析】由题意可知,只选1名女生的选法有···=480种,选2名女生的选法有··=180种,所以选法总数为480+180=660种.答案:66010.x∈N*,则+=________.【解析】由题意可得:,解得2≤x≤4,因为x∈N*,所以x=2或x=3或x=4.当x=2时原式的值为4;当x=3时原式的值为7;当x=4时原式的值为11.所以所求的值为4或7或11.答案:4或7或11【补偿训练】计算:+=________.【解析】由组合数的意义可得,解得≤n≤.因为n∈N*,所以n=6,所以原式=+=+=31.答案:31三、解答题11.(10分)(1)解方程:3=5.(2)解不等式:>.【解题指南】利用组合数或排列数公式将方程或不等式化为一般的方程或不等式求解.【解析】(1)由排列数和组合数公式,原方程可化为3·=5·,则=,即为(x-3)(x-6)=40.所以x2-9x-22=0,解之可得x=11或x=-2.经检验知x=11是原方程的根,所以方程的根为x=11.(2)由>得⇒⇒又n∈N*,所以该不等式的解集为{6,7,8,9}.【误区警示】1.解答(1)易忽略根的检验而产生增根,(2)易忽略n∈N*而导致错误.2.与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式,以及组合数的性质,求解时,要注意由中的m∈N*,n∈N*,且n≥m确定m,n的范围,因此求解后要验证所得结果是否适合题意.【能力挑战题】证明:=.【证明】=·==.。
高中数学第一章计数原理1.2.2组合优化练习新人教A版选修28
1.2.2 组合[课时作业] [A 组 基础巩固]1.某中学一年级有5个班,二年级有8个班,三年级有3个班,分年级举行班与班之间的篮球单循环赛,总共需进行比赛的场数是( ) A .C 25+C 28+C 23 B .C 25C 28C 23 C .A 25+A 28+A 23D .C 216解析:分三类:一年级比赛的场数是C 25,二年级比赛的场数是C 28,三年级比赛的场数是C 23,再由分类加法计数原理可求. 答案:A2.已知平面内A ,B ,C ,D 这4个点中任何3点均不共线,则以其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( ) A .3 B .4 C .12 D .24解析:C 34=4. 答案:B3.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ) A .12种 B .10种 C .9种D .8种解析:分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有C 12=2(种)选派方法; 第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有C 24=6(种)选派方法. 由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6=12(种). 答案:A4.C 03+C 14+C 25+C 36+…+C 1720的值为( ) A .C 321 B .C 320 C .C 420D .C 421解析:原式=(C 04+C 14)+C 25+C 36+…+C 1720=(C 15+C 25)+C 36+…+C 1720=(C 26+C 36)+…+C 1720=C 1721=C 21-1721=C 421.答案:D5.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有( ) A .140种 B .120种 C .35种D .34种解析:分三种情况:①1男3女共有C 14C 33种选法.②2男2女共有C 24C 23种选法.③3男1女共C 34C 13种选法.则共有C 14C 33+C 24C 23+C 34C 13=34种选法. 答案:D6.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有________种.(用数字作答)解析:由题意知,所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33=6×5×42×1=60(种).答案:607.50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共有________种.解析:分两类,有4件次品的抽法有C 44C 146种;有3件次品的抽法有C 34C 246种,所以共有C 44C 146+C 34C 246=4 186种不同的抽法. 答案:4 1868.从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘,可以得到不相等的积的个数为________. 解析:从四个数中任取两个数的取法为C 24=6. 答案:69.已知C 5n -1+C 3n -3C 3n -3=345,求n . 解析:原方程可变形为C 5n -1C 3n -3+1=195,即C 5n -1=145C 3n -3, 即n -n -n -n -n -5!=145·n -n -n -3!,化简整理得n 2-3n -54=0.解得n =9或n =-6(不合题意,舍去). 所以n =9.10.要从6男4女中选出5人参加一项活动,按下列要求,各有多少种不同的选法? (1)甲当选且乙不当选;(2)至少有1女且至多有3男当选. 解析:(1)∵甲当选且乙不当选,∴只需从余下的8人中任选4人,有C48=70种选法.(2)至少有1女且至多有3男当选时,应分三类:第一类是3男2女,有C36C24种选法;第二类是2男3女,有C26C34种选法;第三类是1男4女,有C16C44种选法.由分类加法计数原理知,共有C36C24+C26C34+C16C44=186种选法.[B组能力提升]1.从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛,不同的组合方法是( ) A.C25C26B.C25A26C.C25A22C26A22D.A25A26解析:分两步进行:第一步:选出两名男选手,有C25种方法;第2步,从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对,有A26种.故有C25A26种.答案:B2.某单位拟安排6位员工在2016年端午节3天假期值班,每天安排2人,每人值班1天.若6位员工中的甲不值第一日,乙不值最后一日,则不同的安排方法共有( )A.30种B.36种C.42种D.48种解析:所有排法减去甲值第一日或乙值最后一日,再加上甲值第一日且乙值最后一日的排法,即有C26C24-2×C15C24+C14C13=42(种)排法.答案:C3.如图,A,B,C,D为海上的四个小岛,要建三座桥,将这四个小岛连接起来,则不同的建桥方案共有________种.解析:四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥,其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求,如桥AC,BC,BD 符合要求,而围成封闭三角形不符合要求,如桥AC,CD,DA,不符合要求,故共有C36-C34=16(种).答案:164.如图,在排成4×4方阵的16个点中,中心4个点在某一圆内,其余12个点在圆外,在16个点中任取3个点构成三角形,其中至少有一个点在圆内的三角形共有________个.解析:有一个点在圆内的有:C14(C212-4)=248(个).有两个顶点在圆内的有:C24(C112-2)=60(个).三个顶点均在圆内的有:C34=4(个).所以共有248+60+4=312(个).答案:3125.现有10件产品,其中有2件次品,任意取出3件检查. (1)若正品A 被取到,则有多少种不同的取法? (2)恰有一件是次品的取法有多少种? (3)至少有一件是次品的取法有多少种? 解析:(1)C 29=9×82=36(种).(2)从2件次品中任取1件,有C 12种取法,从8件正品中任取2件,有C 28种取法,由分步乘法计数原理得,不同的取法共有C 12×C 28=2×8×72=56种.(3)解法一 含1件次品的取法有C 12×C 28种,含2件次品的取法有C 22×C 18种,由分类加法计数原理得,不同的取法共有C 12×C 28+C 22×C 18=56+8=64种.解法二 从10件产品中任取3件,取法有C 310种,不含次品的取法有C 38种,所以至少有1件次品的取法有C 310-C 38=64种.6.某次足球赛共12支球队参加,分三个阶段进行.(1)小组赛:经抽签分成甲、乙两组,每组6队进行单循环比赛,以积分及净胜球数取前两名;(2)半决赛:甲组第一名与乙组第二名,乙组第一名与甲组第二名进行主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者;(3)决赛:两个胜队参加决赛一场,决出胜负. 全部赛程共需比赛多少场?解析:(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛,就是6支球队的任两支球队都要比赛一次,所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数,所以小组赛共要比赛2C 26=2×6×51×2=30(场). (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场,所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数,所以半决赛共要比赛2A 22=2×1×2=4(场).(3)决赛只需比赛1场,即可决出胜负.所以全部赛程共需比赛30+4+1=35(场).。
高中数学1.2.2第1课时组合课后训练新人教A版选修2-3
1.2.2 组合第一课时组合A组1.某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为()A.4B.8C.28D.64解析:由于“村村通”公路的修建,是组合问题.故共需要建=28条公路.答案:C2.若=6,则n的值是()A.6B.7C.8D.9解析:原方程即为n(n-1)(n-2)=6×=6×,整理得=1.n=7.经检验知n=7是原方程的解.答案:B3.已知,则n等于()A.14B.12C.13D.15解析:∵,∴7+8=n+1,∴n=14.答案:A4.某施工小组有男工7人,女工3人,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组,不同的选法有()A.种B.种C.种D.种解析:每个被选的人都无顺序差别,是组合问题.分两步完成:第一步,选女工,有种选法;第二步,选男工,有种选法.故共有种不同的选法.答案:D5.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有()A.30种B.35种C.42种D.48种解析:分两类,A类选修课选1门,B类选修课选2门,或A类选修课选2门,B类选修课选1门,因此,共有=30种不同的选法.答案:A6.某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议,甲需2人参加,乙、丙各需1人参加,从10人中选派4人参加这三个会议,不同的安排方法有种.解析:从10人中选派4人有种方法,对选出的4人具体安排会议有种方法,由分步乘法计数原理知,不同的选派方法有=2 520(种).答案:2 5207.某科技小组有女同学2名、男同学x名,现从中选出3人去参观展览.若恰有1名女同学入选的不同选法有20种,则该科技小组中男同学的人数为.解析:由题意得=20,解得x=5.所以该科技小组有5名男同学.答案:58.在6名内科医生和4名外科医生中,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故有=120种选派方法.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,有=246种选派方法.若从反面考虑,则有=246种选派方法.9.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,求共有多少种不同的赠送方法?解:依题意,就所剩余的1本进行分类:第1类,剩余的是1本画册,此时满足题意的赠送方法有4种;第2类,剩余的是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有=6种.因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10(种).B组1.楼道里有12盏灯,为了节约用电,需关掉3盏不相邻的灯,则关灯方案有()A.72种B.84种C.120种D.168种解析:需关掉3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中,所以关灯方案共有=120(种).答案:C2.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有()A.252种B.112种C.20种D.56种解析:每个宿舍至少安排2名学生,故甲宿舍安排的人数可以为2,3,4,5,甲宿舍安排好后,乙宿舍随之确定,所以共有=112种互不相同的分配方案.答案:B3.从0,1,,2这六个数字中,任取两个数字作为直线y=x tan α+b的倾斜角和截距,可组成条平行于x轴的直线.解析:要使得直线与x轴平行,则倾斜角为0,截距在0以外的五个数字均可.故有=5条满足条件.答案:54.若对任意的x∈A,则x∈,就称A是“具有伙伴关系”的集合.在集合M=的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为.解析:具有伙伴关系的元素组有-1;1;,2;,3,共4组,所以集合M的所有非空子集中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组.又集合中的元素是无序的,因此,所求集合的个数为=15.答案:155.(1)计算:;(2)求证:+2.(1)解:原式=×1==56+4 950=5 006.(2)证明:由组合数的性质可知,右边=()+()==左边.所以原等式成立.6.要从6名男生、4名女生中选出5人参加一项活动,按下列要求,各有多少种不同的选法?(1)甲当选且乙不当选;(2)至少有1名女生且至多有3名男生当选.解:(1)甲当选且乙不当选,只需从余下的8人中任选4人,有=70种不同的选法.(2)至少有1名女生且至多有3名男生时,应分三类:第1类是3名男生2名女生,有种不同的选法;第2类是2名男生3名女生,有种不同的选法;第3类是1名男生4名女生,有种不同的选法.由分类加法计数原理知,共有=186种不同的选法.7.某地区有7条南北向街道,5条东西向街道.(如图)(1)图中有多少个矩形?(2)从点A走向点B最短的走法有多少种?解:(1)在7条南北向街道中任选2条,5条东西向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成的矩形有=210(个).(2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向街道被分成4段,从点A到点B最短的走法,无论怎样走,一定至少包括10段,其中6段方向相同,另4段方向也相同,每种走法,即是从10段中选出6段,这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的),共有=210种走法.。
高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时 组合的综合应用高效演练 新人教A版选修2-3
亲爱的同学:这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获,我们一直投给你信任的目光……学习资料专题第2课时组合的综合应用A级基础巩固一、选择题1.楼道里有12盏灯,为了节约用电,需关掉3盏不相邻的灯,则关灯方案有( ) A.72种B.84种C.120种D.168种解析:需关掉3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中,所以关灯方案共有C310=120(种).故选C.答案:C2.6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛,其中甲不能站第二道也不能站第一道,乙必须站在第五道或第六道,则不同的排法种数共有( )A.144 B.96 C.72 D.48解析:先为乙选一道C12,再为甲选一道C13,余下4个人有A44,则共有C12C13A44=144.答案:A3.从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种,在3块不同的土地上试种,每块土地上试种一种,其中1号种子必须试种,则不同的试种方法有( ) A.24种 B.18种 C.12种 D.96种解析:从3块不同的土地中选1块种1号种子,有C13种方法,从其余的3种种子中选2种种在另外的2块土地上,有A23种方法,所以所求方法有C13A23=18(种).答案:B4.将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的2个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )A.10种 B.20种 C.36种 D.52种解析:根据2号盒子里放球的个数分类:第一类,2号盒子里放2个球,有C24种放法,第二类,2号盒子里放3个球,有C34种放法,剩下的小球放入1号盒中,共有不同放球方法C24+C34=10(种).答案:A5.一副扑克牌去掉两张王后还有52张,将牌发给4个人,每人13张,则某人获得的13张牌中花色齐全的情况数为( )A.(C113)4C848B.C1352-4C1339-6C1326-4C.C1352-C14C1339+C24C1326-C34C1313D.C1352-C14C1339+C24C1326解析:从52张牌中任意取出13张牌的全部取法为C1352,缺少某一中花色的取法为C1339,缺少两种花色的取法为C1326,缺少三种花色的取法为C1313,则四种花色齐全的取法为C1352-C14C1339+C24C1326-C34C1313.答案:C二、填空题6.有5名男生和3名女生,从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表,若某女生必须担任语文课代表,则不同的选法共有________种(用数字作答).解析:由题意知,从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表,共有A47=840种.答案:8407.50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共有________种.解析:分两类,有4件次品的抽法有C44C146种,有3件次品的抽法有C34C246种,所以不同的抽法共有C44C146+C34C246=4 186(种).答案:4 1868.以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个.解析:先从8个顶点中任取4个的取法为C48种,其中,共面的4点有12个,则四面体的个数为C48-12=58(个).答案:58三、解答题9.为了提高学生参加体育锻炼的热情,光明中学组织篮球比赛,共24个班参加,第一轮比赛是先分四组进行单循环赛,然后各组取前两名再进行第二轮单循环赛(在第一轮中相遇过的两个队不再进行比赛),问要进行多少场比赛?解:第一轮每组6个队进行单循环赛,共有C26场比赛,4个组共计4C26场.第二轮每组取前两名,共计8个组,应比赛C28场,由于第一轮中在同一组的两队不再比赛,故应减少4场,因此第二轮的比赛应进行C28=4(场).综上,两轮比赛共进行4C26+C28-4=84(场).10.有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数.(1)有女生但人数必须少于男生;(2)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;(3)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.解:(1)先选后排,先取可以是2女3男,也可以是1女4男,先取有C35C23+C45C13种,后排有A55种,共(C35C23+C45C13)·A55=5 400(种).(2)先选后排,但先安排该男生,有C47·C14·A44=3 360(种).(3)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C36种,再安排该男生有C13种,其中3人全排有A33种,共C36·C13·A33=360(种).B级能力提升1.从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛,不同的组合方法种数为( )A.C25C26B.C25A26C.C25A22C26A22D.A25A26解析:分两步进行.第一步,选出两名男选手,有C25种方法;第二步,从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对,有A26种.故有C25A26种组合方法.答案:B2.某科技小组有六名学生,现从中选出三人去参观展览,至少有一名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为________.解析:设男生人数为x,则女生有(6-x)人.依题意C36-C3x=16,则6×5×4=x(x-1)(x-2)+16×6,所以x(x-1)(x-2)=2×3×4,解得x=4.即女生有2人.答案:23.有五张卡片,它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?解:法一依0与1两个特殊值分析,可分三类:(1)取0不取1,可先从另四张卡片中选一张作百位,有C14种方法;0可在后两位;有C12种方法;最后需从剩下的三张中任取一张,有C13种方法;又除含0的那张外,其他两张都有正面或反面两种可能,故此时可得不同的三位数有C14C12C13·22个.(2)取1不取0,同上分析可得不同的三位数C24·22·A33个.(3)0和1都不取,有不同三位数C34·23·A33个.综上所述,不同的三位数共有C14C12C13·22+C24·22·A23+C34·23·A33=432(个).法二任取三张卡片可以组成不同三位数C35·23·A33个,其中0在百位的有C24·22·A22个,这是不合题意的,故可组成的不同三位数共有C35·23·A33-C24·22·A22=432(个).。
2019-2020学年高中数学 1.2.2第1课时 组合(一)课时作业 新人教A版选修2-3
【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.2.2第1课时 组合(一)课时作业 新人教A 版选修2-3一、选择题1.若C x 6=C 26,则x 的值为( ) A .2 B .4 C .4或2 D .3[答案] C[解析] 由组合数性质知x =2或x =6-2=4,故选C .2.(2014·陕西理,6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于...该正方形边长的概率为( ) A .15 B .25 C .35 D .45[答案] C[解析] 如图,基本事件共有C 25=10个,小于正方形边长的事件有OA 、OB 、OC 、OD 共4个,∴P =1-410=35.3.C 22+C 23+C 24+…+C 216等于( ) A .C 215 B .C 316 C .C 317 D .C 417[答案] C[解析] 原式=C 33+C 23+C 24+…+C 216=C 34+C 24+…+C 216=C 35+C 25+…+C 216=…=C 316+C 216=C 317.4.平面上有12个点,其中没有3个点在一条直线上,也没有4个点共圆,过这12个点中的每三个作圆,共可作圆( )A .220个B .210个C .200个D .1320个[答案] A[解析] C 312=220,故选A .5.(2015·潍坊市五县高二期中)5个代表分4张同样的参观券,每人最多分一张,且全部分完,那么分法一共有( )A .A 45种 B .45种 C .54种 D .C 45种[答案] D[解析] 由于4张同样的参观券分给5个代表,每人最多分一张,从5个代表中选4个即可满足,故有C 45种.6.(2015·福建南安市高二期中)将标号为A 、B 、C 、D 、E 、F 的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张卡片,其中标号为A 、B 的卡片放入同一信封,则不同的放法共有( )A .12种B .18种C .36种D .54种[答案] B[解析] 由题意,不同的放法共有C 13C 24=3×4×32=18种.二、填空题7.(2015·泉州市南安一中高二期中)A ,B 两地街道如图所示,某人要从A 地前往B 地,则路程最短的走法有________种(用数字作答).[答案] 10[解析] 根据题意,要求从A 地到B 地路程最短,必须只向上或向右行走即可, 分析可得,需要向上走2次,向右走3次,共5次, 从5次中选3次向右,剩下2次向上即可, 则有C 35=10种不同的走法, 故答案为10.8.从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A ,从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B ,若B A =213,则这组学生共有________人.[答案] 15[解析] 设有学生n 人,则A 2n C 4n =213,解之得n =15.9.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有________种.(用数字作答)[答案] 140[解析] 第一步安排周六有C 37种方法,第二步安排周日有C 34种方法,所以不同的安排方案共有C 37C 34=140种.三、解答题10.平面内有10个点,其中任何3个点不共线, (1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条? (2)以其中任意两个点为端点的有向线段有多少条? (3)以其中任意三个点为顶点的三角形有多少个?[解析] (1)所求线段的条数,即为从10个元素中任取2个元素的组合,共有C 210=10×92×1=45(条),即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条.(2)所求有向线段的条数,即为从10个元素中任取2个元素的排列,共有 A 210=10×9=90(条),即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条.(3)所求三角形的个数,即从10个元素中任选3个元素的组合数,共有C 310=120(个).一、选择题11.某研究性学习小组有4名男生和4名女生,一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加,其中至少一名女生,则不同的选法种数为( )A .120B .84C .52D .48[答案] C[解析] 间接法:C 38-C 34=52种.12.(2015·广东理,4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( )A .521 B .1021 C .1121 D .1[答案] B[解析] 从袋中任取 2个球共有 C 215=105种,其中恰好1个白球1个红球共有C 110C 15=50种,所以恰好1个白球1个红球的概率为P =50105=1021,故选B .13.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有( ) A .18对 B .24对 C .30对 D .36对[答案] D[解析] 三棱柱共6个顶点,由此6个顶点可组成C 46-3=12个不同四面体,而每个四面体有三对异面直线则共有12×3=36对.14.有15盏灯,要求关掉6盏,且相邻的灯不能关掉,两端的灯不能关掉,则不同的关灯方法有( )A .28种B .84种C .180种D .360种[答案] A[解析] 将9盏灯排成一排,从9盏亮灯之间8个空隙中选择6个空隙,将关掉的6盏灯插入,有C 68=28种方法.二、填空题15.四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有________种(用数字作答).[答案] 144[解析] 先从四个小球中取两个放在一起,有C 24种不同的取法,再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆,并分别放入四个盒子中的三个盒子中,有A 34种不同的放法,据分步计数原理,共有C 24·A 34=144种不同的放法.[点评] 对于排列组合的混合应用题,一般解法是先选(组合)后排(排列).16.一条街道上共有12盏路灯,为节约用电又不影响照明,决定每天晚上十点熄灭其中的4盏,并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏,则不同熄灯方法有________种.[答案] 35[解析] 记熄灭的灯为0,亮灯为1,则问题是4个0和8个1的一个排列,并且要求0不相邻,且不排在两端,故先将1排好,在8个1形成的7个空中,选取4个插入0,共有方法数C 47=35种.[点评] 实际解题中,先找出符合题设条件的一种情形,然后选取一种替代方案,注意是否相邻、相间等受限条件,然后确定有无顺序是排列还是组合,再去求解.三、解答题17.已知集合A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f是从A到B的映射.(1)若B中每一元素都有原象,则不同的映射f有多少个?(2)若B中的元素0无原象,则不同的映射f有多少个?(3)若f满足f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,则不同的映射f又有多少个?[解析](1)显然映射f是一一对应的,故不同的映射f共有A44=24个.(2)∵0无原象,而1、2、3是否有原象,不受限制,故A中每一个元素的象都有3种可能,只有把A中每一个元素都找出象,这件工作才算完成,∴不同的映射f有34=81个.(3)∵1+1+1+1=4,0+1+1+2=4,0+0+1+3=4,0+0+2+2=4,∴不同的映射有:1+C24A22+C24A22+C24=31个.18.(2015·贵州遵义航天中学高二期中)现有5名男司机,4名女司机,需选派5人运货到吴忠.(1)如果派3名男司机、2名女司机,共有多少种不同的选派方法?(2)至少有两名男司机,共有多少种不同的选派方法?[解析](1)利用分步乘法计数原理得C35C24=60种.(2)利用分类加法与分步乘法计数原理C25C34+C35C24+C45C14+C55C04=121种.。
2016高中数学人教A版选修122《第2课时 组合的应用》课时作业
【与名师对话】2015-2016学年高中数学 1、2、2第2课时组合的应用课时作业新人教A版选修2-3一、选择题1、某中学从4名男生与3名女生中推荐4人参加社会公益活动,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有( )A、140种B、120种C、35种D、34种解析:若选1男3女有C1,4C错误!=4种;若选2男2女有C错误!C错误!=18种;若选3男1女有C错误!C错误!=12种;所以共有4+18+12=34种不同的选法、选D、答案:D2、某电视台连续播放5个广告,其中有3个不同的商业广告与2个不同的奥运广告、要求最后必须播放奥运广告,且2个奥运广告不能连续播放,则不同的播放方式有( )A、120种B、48种C、36种D、18种解析:最后必须播放奥运广告有C错误!种,2个奥运广告不能连续播放,倒数第2个广告有C错误!种,故共有C错误!C错误!A错误!=36种不同的播放方式、答案:C3、将5本不同的书分给4人,每人至少1本,不同的分法种数有()A、120种B、5种C、240种D、180种解析:先从5本中选出2本,有C错误!种选法,再与其她三本一起分给4人,有A错误!种分法,故共有C错误!·A错误!=240种不同的分法、答案:C4、将4个颜色互不相同的球全部放入编号分别为1与2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法共有( )A、10种B、20种C、36种D、52种解析:1号盒中放入1个球,2号盒中放入3个球,有C错误!·C错误!种放法;1号盒中放入2个球,2号盒中放入2个球,有C错误!·C错误!种放法、所以不同的放球方法共有C 错误!·C错误!+C错误!·C错误!=10种、答案:A5、某科技小组有六名学生,现从中选出三人去参观展览,至少有一名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为( )A、2B、3C、4D、5解析:设男生人数为x,则女生有(6-x)人、依题意:C3,6-C错误!=16、即x(x-1)(x-2)=6×5×4-16×6=4×3×2、∴x=4,即女生有2人、答案:A6、有两条平行直线a与b,在直线a上取4个点,直线b上取5个点,以这些点为顶点作三角形,这样的三角形共有( )A、70个B、80个C、82个D、84个解析:分两类,第一类:从直线a上任取一个点,从直线b上任取两个点,共有C错误!·C 2a上任取两个点,从直线b上任取一个点共有C错误!·C错误!种方5种方法;第二类:从直线法、∴满足条件的三角形共有C错误!·C错误!+C错误!·C错误!=70个、故选A、答案:A二、填空题7、某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有________、解析:依题意,就所剩余的1本进行分类:第1类,剩余的就是1本画册,此时满足题意的赠送方法有4种;第2类,剩余的就是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有C错误!=6种、因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10种、答案:108、已知集合A={1,2,3,4},B={7,8,9},A为定义域,B为值域,由A到B的不同函数有__________个、解析:由函数定义知,定义域中的每一个元素在值域B中都有唯一的象,值域B中的每一个元素,都有原象(不一定唯一),由此可知,A中恰好有两个元素与B中的某一元素对应,共有C错误!·A错误!=36(个)、答案:369、4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,则恰好有1个空盒子的放法有________种(用数字作答)、解析:由题意知,必有1个盒子内放入2个小球,从4个小球中取出2个小球,有C错误!种取法,此时把它瞧作1个小球,与另2个小球共3个小球放入4个盒子中,有A34种放法,所以满足题意的放法有C错误!·A错误!=144种、答案:144三、解答题10、平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可得多少个不同的三角形?解:方法一:我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准、第1类:共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点,共有C24·C错误!=48(个)不同的三角形;第2类:共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点,共有C14·C错误!=112(个)不同的三角形;第3类:共线的4个点中没有点作为三角形的顶点,共有C错误!=56(个)不同的三角形、由分类加法计数原理,不同的三角形共有48+112+56=216(个)、方法二:间接法:C错误!-C错误!=220-4=216(个)、11、现有10名学生,其中男生6名、(1)从中选2名代表,必须有女生的不同选法有多少种?(2)从中选出男、女各2名的不同选法有多少种?(3)从中选4人,若男生中的甲与女生中的乙必须在内,有多少种选法?(4)从中选4人,若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内,有多少种选法?解:(1)方法一(直接法):必须有女生可分两类:第一类只有一名女生,共有C错误!C 错误!=24种;第二类有2名女生,共有C错误!=6种,根据分类计数原理,必须有女生的不同选法有C错误!C错误!+C错误!=30种、方法二(间接法):C错误!-C错误!=45-15=30、(2)C错误!C错误!=90、(3)C错误!=28、(4)方法一(直接法):可分两类解决:第一类甲、乙只有1人被选、共有C错误!C错误!=112种不同选法;第二类甲、乙两人均被选,有C错误!=28种不同选法,根据分类计数原理,男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法有C错误!C错误!+C错误!=112+28=140种、方法二(间接法):先不考虑要求,从10名学生中任选4名学生,共有C错误!=210种,而甲、乙均不被选的方法有C错误!=70种,所以甲、乙至少有1人被选上的选法种数就是C错误!-C错误!=210-70=140种、12、六本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法?(1)一堆一本,一堆两本,一堆三本;(2)甲得一本,乙得两本,丙得三本;(3)一人得一本,一人得两本,一人得三本;(4)平均分成三堆;(5)平均分给甲、乙、丙三人、解:(1)先在六本书中任取一本,作为一堆,有C错误!种取法;再从余下的五本书中任取两本,作为一堆,有C错误!种取法;再从余下三本中取三本作为一堆,有C错误!种取法,故共有分法C16·C错误!·C错误!=60种、(2)由(1)知,分成三堆的方法有C16·C错误!·C错误!种,而每种分组方法仅对应一种分配方法,故甲得一本,乙得两本,丙得三本的分法亦为C错误!·C错误!·C错误!=60种、(3)由(1)知,分成三堆的方法有C错误!·C错误!·C错误!种,但每一种分组方法又有A错误!种不同的分配方案,故一人得一本,一人得两本,一人得三本的分法有C错误!·C 错误!·C错误!·A错误!=360种、(4)把六本不同的书分成三堆,每堆两本,与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本的区别在于,后者相当于把六本不同的书平均分成三堆后,再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人,因此,设把六本不同的书平均分成三堆的方法有x种,那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人两本的分法就有x·A33种、而六本书分给甲、乙、丙三人每人两本的分法可以理解为:三个人一个一个地来取书,甲从六本不同的书中任取出两本的方法有C2,6种,甲不论用哪一种方法取得两本书后,乙再从余下的四本书中取书有C错误!种方法,而甲、乙不论用哪一种方法各取两本书后,丙从余下的两本中取两本书,有C错误!种方法,所以一共有C错误!·C错误!·C错误!=90种方法,所以x A错误!=C错误!·C错误!·C 错误!=90,x=15,即平均分成三堆有15种分法、(5)由(4)知平均分给甲、乙、丙三人有90种分法、。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
1.2.2 组合
第一课时组合
A组
1.某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为()
A.4
B.8
C.28
D.64
解析:由于“村村通”公路的修建,是组合问题.故共需要建=28条公路.
答案:C
2.若=6,则n的值是()
A.6
B.7
C.8
D.9
解析:原方程即为n(n-1)(n-2)=6×=6×,整理得=1.n=7.经检验知n=7是原方程的解.
答案:B
3.已知,则n等于()
A.14
B.12
C.13
D.15
解析:∵,∴7+8=n+1,∴n=14.
答案:A
4.某施工小组有男工7人,女工3人,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组,不同的选法有()
A.种
B.种
C.种
D.种
解析:每个被选的人都无顺序差别,是组合问题.分两步完成:第一步,选女工,有种选法;第二步,选男工,有种选法.故共有种不同的选法.
答案:D
5.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有()
A.30种
B.35种
C.42种
D.48种
解析:分两类,A类选修课选1门,B类选修课选2门,或A类选修课选2门,B类选修课选1门,因此,共有=30种不同的选法.
答案:A
6.某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议,甲需2人参加,乙、丙各需1人参加,从10人中选派4人参加这三个会议,不同的安排方法有种.
解析:从10人中选派4人有种方法,对选出的4人具体安排会议有种方法,由分步乘法计数原理知,不同的选派方法有=2 520(种).
答案:2 520
7.某科技小组有女同学2名、男同学x名,现从中选出3人去参观展览.若恰有1名女同学入选的不同选法有20种,则该科技小组中男同学的人数为.
解析:由题意得=20,解得x=5.
所以该科技小组有5名男同学.
答案:5
8.在6名内科医生和4名外科医生中,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选
派方法?
(1)有3名内科医生和2名外科医生;
(2)既有内科医生,又有外科医生.
解:(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故有=120种选派方法.
(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,有=246种选派方法.
若从反面考虑,则有=246种选派方法.
9.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,求
共有多少种不同的赠送方法?
解:依题意,就所剩余的1本进行分类:
第1类,剩余的是1本画册,此时满足题意的赠送方法有4种;
第2类,剩余的是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有=6种.
因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10(种).
B组
1.楼道里有12盏灯,为了节约用电,需关掉3盏不相邻的灯,则关灯方案有()
A.72种
B.84种
C.120种
D.168种
解析:需关掉3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中,所以关灯方案共有=120(种).答案:C
2.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共
有()
A.252种
B.112种
C.20种
D.56种
解析:每个宿舍至少安排2名学生,故甲宿舍安排的人数可以为2,3,4,5,甲宿舍安排好后,乙宿舍随之确定,所以共有=112种互不相同的分配方案.
答案:B
3.从0,1,,2这六个数字中,任取两个数字作为直线y=x tan α+b的倾斜角和截距,可组成条平行于x轴的直线.
解析:要使得直线与x轴平行,则倾斜角为0,截距在0以外的五个数字均可.故有=5条满足条件.
答案:5
4.若对任意的x∈A,则x∈,就称A是“具有伙伴关系”的集合.在集合M=的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为.
解析:具有伙伴关系的元素组有-1;1;,2;,3,共4组,所以集合M的所有非空子集中,具有伙伴关系
的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组.又集合中的
元素是无序的,因此,所求集合的个数为=15.
答案:15
5.(1)计算:;
(2)求证:+2.
(1)解:原式=×1==56+4 950=5 006.
(2)证明:由组合数的性质可知,
右边=()+()==左边.
所以原等式成立.
6.要从6名男生、4名女生中选出5人参加一项活动,按下列要求,各有多少种不同的选法?
(1)甲当选且乙不当选;
(2)至少有1名女生且至多有3名男生当选.
解:(1)甲当选且乙不当选,只需从余下的8人中任选4人,有=70种不同的选法.
(2)至少有1名女生且至多有3名男生时,应分三类:
第1类是3名男生2名女生,有种不同的选法;
第2类是2名男生3名女生,有种不同的选法;
第3类是1名男生4名女生,有种不同的选法.
由分类加法计数原理知,共有=186种不同的选法.
7.某地区有7条南北向街道,5条东西向街道.(如图)
(1)图中有多少个矩形?
(2)从点A走向点B最短的走法有多少种?
解:(1)在7条南北向街道中任选2条,5条东西向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成的矩形有=210(个).
(2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向街道被分成4段,从点A到点B最短的走法,无论怎样走,一定至少包括10段,其中6段方向相同,另4段方向也相同,每种走法,即是从10段中选出6段,这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的),共有=210种走法.。