《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2精要课件 导数的实际应用

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【学习要求】
导数的实际应用
1．了解导数在解决实际问题中的作用．
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2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 【学法指导】 1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想． 2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将 数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、 解决问题的能力．
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跟踪训练 3 如图所示，设铁路 AB＝50， BC＝10，现将货物从 A 运往 C，已知单 位距离铁路费用为 2，公路费用为 4，问 在 AB 上何处修筑公路至 C， 可使运费由 A 至 C 最省？
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解 设 M 为 AB 上的一点，且 MB＝x，
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小结 解决此类有关利润的实际应用题，应灵
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活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见 的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本； (2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
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跟踪训练 4
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日
的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足 a 关系式 y＝ ＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数．已知 x－3
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2 3 当 0<x< 3 时，S′>0； 2 3 当 3 <x<2 时，S′<0；
2 3 32 3 ∴当 x＝ 时，S 取得最大值，此时 S 最大值＝ ，即矩 3 9 4 3 8 形边长分别为 3 ，3时，矩形面积最大．
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题型二
强度最大、用料最省问题
为此，先求 V(x)的极值点．
a 在开区间0，2内，V′(x)＝12x2－8ax＋a2.
令 V′(x)＝0，即令 12x2－8ax＋a2＝0.
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1 1 解得 x1＝ a，x2＝ a(舍去)． 6 2
a 1 x1＝ a 在区间0，2内，x1 可能是极值点． 6 a 且当 0<x<x1 时，V′(x)>0；当 x1<x< 时，V′(x)<0. 2 a 因此 x1 是极大值点，且在区间0，2内，x1 是唯一的极 1 值点，所以 x＝x1＝6a 是 V(x)的最大值点． 1 即当截下的正方形边长为 a 时，容积最大． 6
填一填· 知识要点、记下疑难点
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1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，
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或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相 应的 最佳方案 _____或 最佳策略 ．这些都是最优化问题． 2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要 建立实际问题的 数学模型 ． 写出实际问题中变量之间 的函数关系 y＝f(x)，然后再利用导数研究函数的最值 .
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当 x 变化时，f(x)与 f′(x)的变化状态如下表：
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故 x＝12 时，f(x)达到极大值．因为 f(0)＝9 072，f(12)＝ 11 664， 所以定价为 30－12＝18(元)能使一个星期的商品销 售利润最大．
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9×1502 3×150 解此方程，得 x＝± ＝± ＝± 112.5. 4 4
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舍去负值，取 x＝x0＝112.5.
150 300 因为 T(0)＝ 30 ＋ 50 ＝11，T(300)≈11.2，
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1502＋112.52 187.5 T(112.5)＝ ＋ ＝10， 30 50
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2 (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y＝ ＋ x－3 10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 f(x) ＝ (x － 3)[ ＋ 10(x － 6)2] ＝ 2 ＋ 10(x － 3)(x － 6)2 ， x－3
3<x<6.
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
10 时，截面周长最小，用料最省． 4＋π
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题型三 例3
省时高效、费用最低问题
如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛
离岸边最近点 B 的距离是 150 km.在岸边距 点 B 300 km 的点 A 处有一军需品仓库．有
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一批军需品要尽快送达海岛．A 与 B 之间有 一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为 50 km，船时 速为 30 km，试在岸边选一点 C，先将军需品用火车送到点 C，再用轮船从点 C 运到海岛，问点 C 选在何处可使运输时 间最短？
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题型一
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面积、体积的最值问题
例1
如图所示， 现有一块边长为 a 的正方形铁板， 如果从
铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长 方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形 边长应为多少？
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解
(1)设商品降低 x 元时，多卖出的商品件数为 kx2，
若记商品在一个星期的销售利润为 f(x)，
则依题意有 f(x)＝(30－x－9)· (432＋kx2)
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＝(21－x)· (432＋kx2)， 又由已知条件 24＝k·2，于是有 k＝6， 2 所以 f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]． (2)根据(1)，有 f′(x)＝－18x2＋252x－432 ＝－18(x－2)(x－12)．
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跟踪训练 2 挖一条隧道，截面拟建成矩 形上方加半圆，如果截面积为 20 m2，当 宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？
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如图，设半圆的半径为 r，矩形的高为 h，则截面积 πr2 S＝2rh＋ 2 ＝20， 截面周长 C＝2r＋2h＋πr πr2 20－ 2 ＝2r＋ r ＋πr 20 πr ＝2r＋ － ＋πr r 2
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解 如图， 设矩形边长 AD＝2x(0<x<2)， AB＝y＝4－x2(y>0)， 则
则矩形的面积 S＝2x(4－x2)(0<x<2)， 即 S＝8x－2x3，
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S′＝8－6x2，
2 3 2 3 令 S′＝0，解得 x1＝ 3 ，x2＝－ 3 (舍去)．
例 2 横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与 宽的积成正比．要将直径为 d 的圆木锯成强度最大的横 梁，断面的宽度和高度应是多少？
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解 如图所示，设断面宽为 x，高为 h，
则 h2＝d2－x2.
横梁的强度函数 f(x)＝kxh2(k 为强度系数，k>0)， 所以 f(x)＝kx(d2－x2)，0<x<d.
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在开区间(0，d)内，令 f′(x)＝d(d2－3x2)＝0.
3 解方程 d －3x ＝0，得两个根 x＝± 3 d，其中负根没有
2 2
意义，舍去．
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3 3 当 0<x< 3 d 时，f′(x)>0；当 3 d<x<d 时，f′(x)<0. 3 因此，在区间(0，d)内只有一个极大值点 x＝ 3 d.
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解
设点 C 与点 B 的距离为 x km，
1502＋x2 300－x 则 运 输 时 间 T(x) ＝ ＋ ， 30 50
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0≤x≤300.
x 因为( 150 ＋x )′＝ 2 2， 150 ＋x
2 2
x 1 所以 T′(x)＝ 2 2－50. 30 150 ＋x 令 T′(x)＝0，则有 5x－3 1502＋x2＝0， 5x＝3 1502＋x2，25x2＝9(1502＋x2)．
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销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值， 使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
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解
(1)因为 x＝5 时，y＝11， a 所以2＋10＝11，所以 a＝2.Leabharlann 本 课 时 栏 目 开 关
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小结
求几何体的面积或体积的最值问题， 关键是分析几
何体的几何特征， 选择适当的量建立关于面积或体积的目 标函数，然后利用导数求解．
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跟踪训练 1 已知矩形的两个顶点位于 x 轴上， 另两个顶点位 于抛物线 y＝4－x2 在 x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积 最大时的边长．
于是 AM 上的运费为 2(50－x)， MC 上的运费为 4 102＋x2，
则由 A 到 C 的总运费为 p(x)＝2(50－x)＋4 100＋x2(0≤x≤50)． p′(x)＝－2＋ 4x 2， 100＋x